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FuncionesPresentado por: Tammy Roterman y
Orli GlogowerPresentado a: Patricia Cáceres
Décimo Grado
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Funciones
Definición
Características
Formas de expresar
Funciones Inyectivas,
Sobreyectivas y Biyectivas
Funciones Pares e Impares
Tipos
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Función• Definición• Una función es una relación entre un
conjunto dado X (el conjunto de salida) y otro conjunto de elementos Y (el conjunto de llegada) de manera que a cada elemento x del conjunto de salida le corresponda uno y solo un elemento del conjunto de llegada f(x).
• A cada Pre Imagen le corresponde una sola y solo una Imagen.
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Formas de expresar una función
Una función se puede expresar de 4 distintas formas:
Enunciado
AlgebraicamenteGráfica
Tabla
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Una función se expresa a través de una tabla, cuando se dan algunos valores de X con los valores correspondientes de Y.
X 0 2 8 10 12
Y 3 4 2 8 10
Ejemplo:
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Una función se expresa a través de un enunciado cuando se describe verbalmente.
Ejemplo: Una función es la relación entre los elementos del conjunto de salida y los elementos del conjunto de llegada.
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Una función se expresa a través de una formula o expresión algebraica cuando se da una ecuación en la que se relacionan las variables X y Y.
f(x)= 2X + 4f(x)= 4X2 – 3X + 8
f(x)= X3 + 2X2 – 4X + 3
Ejemplo:
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Una función se expresa a través de una gráfica, cuando se representan los pares (x,y) en el plano cartesiano.
Ejemplo:
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Variable dependiente
Variable independiente
Imagen
Pre Imagen
Conjunto de salida Conjunto de llegada
Dominio
Rango
Punto de corte con X
Punto de corte con Y
Crecimiento
Periodicidad
Máximos y mínimos
Características de las funciones
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Son los posibles valores del conjunto de llegada. La variable dependiente se llama Y.
Son los posibles valores del conjunto de salida. La variable independiente se llama
X.
Características
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Imagen: Los valores del conjunto de llegada que se relacionan con los valores del conjunto de salida. Pre Imagen: Los valores del conjunto de salida que se relacionan con los valores del conjunto de llegada.
a 1
b 2
c 3
4
YX
f
Características
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Rango: Conjunto de elementos del conjunto de llegada que están relacionadas con un valor del conjunto de salida.
Dominio: Conjunto de elementos del conjunto de salida que están relacionadas con algún elemento del conjunto de llegada.
Características
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Conjunto de Salida: Conjunto de Pre Imágenes.
Conjunto de Llegada: Conjunto de Imágenes.
Características
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Punto de corte con X: Se halla cuando Y=0. Se iguala la función a 0, y se resuelve la ecuación resultante.
Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se reemplaza X por 0.
Características
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Crecimiento:Función creciente: Es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y.Función decreciente: Es decreciente, cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y.
Periodicidad:Una función es periódica, si su gráfica se repite en intervalos de amplitud constante.Periodo: Longitud del intervalo que se repite.
Máximos y mínimos:Máximo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es mayor que en los puntos que están próximos.Mínimo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es menor que en los puntos que están próximos.
Características
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• Funciones Inyectivas:
• Una función es Inyectiva si a cada Imágen le corresponde una única Pre Imágen.
• Funciones Sobreyectivas:
• Una función es Sobreyectiva si cada elemento del rango es como mínimo la imagen de un elemento del domino.
1
2
3
D
B
C
A
X Y
1
2
3
4
D
B
C
X Y
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Función Biyectiva:
• Una función es Biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada (inyectiva), sumándole que a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada (sobreyectiva).
1
2
3
4
D
B
C
A
X Y
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• Función Impar:
• Se llama función impar a la que para todo x perteneciente al Dominio de la función, se cumple que:
• Se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas.
• Ejemplo:• f(x)= X3
• f(2)=8• f(-2)=-8
• Todas las funciones impares cumplen la ecuación:
• Función Par:
• Se llama función par a la que para todo x perteneciente al Domino de la función, se cumple que:
• Se produce una simetría con respecto al eje y.
• Ejemplo:• f(x)= X2
• f(-2)= 4• f(2)= 4
• Todas las funciones pares cumplen la ecuación:
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Impar
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Par
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Tipos de funciones
Trigonométricas
Por Partes o A Trozos
Valor AbsolutoLogarítmica
RacionalPolinómicas Exponencial
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Grado Impar
Funciones polinómicas
Cuadrática
Grado ParConstante
Lineal
Cúbica
Afín
Idéntica
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Generalidades de una función Polinómica
• Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de polinomios.
• Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden clasificar en:
• En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones:
• Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x).• Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x).• Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x).
Grado Nombre Expresión 0 Constante y= a 1 Lineal y= ax + b 2 Cuadrática y= ax2 + bx + c 3 Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d
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Función Constante
• Es una función polinómica de grado cero que no depende de ninguna variable.
• Se define por la ecuación: y= a
Dominio= IRRango= aConjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con x= no existePunto de corte con y= a
EJEMPLO
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Análisis:y= 6Dominio-Conjunto de salida= IRConjunto de llegada= IRRango= {6}Punto de corte con y= 6
Constante
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Función Afín
• La función afín viene dada por la ecuación: y= mx+n
• Donde X y Y son las variables• m es la pendiente• n es la ordenada en el origen
• Dominio= IR• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Punto de corte con y= n
La m de una recta determina la inclinación de la misma, entonces:Si m<0 decrecienteSi m>0 creciente Si m=0 constantem se calcula:
EJEMPLO
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Análisis:y= 6x +2Dominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 2Punto de corte con x= -1/3Pendiente= 6
Afín
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Funciones de Grado Par
• Las funciones de grado par son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es par.
• Se definen por la ecuación:
EJEMPLO
y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e
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Grado Par
y= 2X4 + 4x3 + 6x2 – x + 8
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Función Cuadrática
• Es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:
• Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de a.
• El vértice de una parábola se halla mediante la ecuación:
• Dominio= IR• Rango= (máximo o mínimo relativo, • Conjunto de salida= IR• Conjunto de llegada= IR• Punto/s de corte con x: y= 0, se
halla/n mediante la formula cuadrática:
• Punto de corte con y= c
EJEMPLO
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Análisis:y= x2 + 3x – 4Dominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= -4Punto de corte con x= {-4, 1}Mínimo relativo= -3/2
Cuadrática
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Funciones de Grado Impar
• Las funciones de grado impar son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es impar.
• Se definen por la ecuación:
EJEMPLO
y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e
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Grado Impar
y= 3x3 + 2x2 – x + 4
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Función Lineal
Es la función que se define por la ecuación: y= mx
Dominio= IRRango= IRConjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con Y= 0Punto de corte con X= 0
EJEMPLO
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Análisis:y= 4xDominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 0Punto de corte con x= 0Pendiente= 4
Lineal
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Función Idéntica
• Es la función que asigna como imagen a cada elemento del dominio el mismo elemento.
• Se define por la ecuación: y= x• Su pendiente es m=1• Su gráfica es la recta bisectriz
de los cuadrantes primero y tercero.
EJEMPLO
• Dominio= IR• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Punto de corte con X y Y= 0
![Page 37: Funciones Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower Presentado a: Patricia Cáceres Décimo Grado](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062500/5665b4751a28abb57c919e70/html5/thumbnails/37.jpg)
Análisis: y= xDominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 0Punto de corte con x= 0
Idéntica
![Page 38: Funciones Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower Presentado a: Patricia Cáceres Décimo Grado](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062500/5665b4751a28abb57c919e70/html5/thumbnails/38.jpg)
Función Cúbica
• Función que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
con a ≠ 0 , a,b,c,d IR∈
EJEMPLO
Dominio= IRConjunto de Salida= IRRango= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con y= d
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Análisis:y= x3 + 3x2 + 4x + 6Domino-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 6Punto de corte con x= -2.5
Cúbica
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Función Valor Absoluto
• La función de valor absoluto se define por la ecuación: y= IxI + c
• El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo.
-X, Si X < 0 IXI=
El valor absoluto de X siempre será igual o mayor que cero, y nunca será negativo.
X, Si X > 0
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• No negatividad : |a| ≥ 0• Definición positiva: |a| = 0 a = 0• Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b|• Propiedad aditiva: |a+b| ≤ |a|+|b|• Simetría: |-a| = |a|• Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b• Desigualdad triangular: |a-b| ≥ |a-c|+ |c-b|
Propiedades del Valor Absoluto
Dominio= IRConjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRRango= (mínimo, ∞) o ( - ∞, máximo)
EJEMPLO
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![Page 43: Funciones Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower Presentado a: Patricia Cáceres Décimo Grado](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062500/5665b4751a28abb57c919e70/html5/thumbnails/43.jpg)
![Page 44: Funciones Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower Presentado a: Patricia Cáceres Décimo Grado](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062500/5665b4751a28abb57c919e70/html5/thumbnails/44.jpg)
Función Logarítmica
• La función logarítmica se define por la ecuación: y= loga x
• Solo esta definida en los números positivos.
• Si a>1:• Dominio= IR +
• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Puntos que pertenecen a la gráfica: (1,0) y (a,1)• Creciente
• Si 0<a<1:• Dominio= IR +
• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Puntos que pertenecen a la gráfica: (1,0) y (a,1)• Decreciente
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Deducciones de los logaritmos
•No existe el logaritmo de un número con base negativa•No existe el logaritmo de un número negativo•No existe el logaritmo de cero•El logaritmo de 1 es cero•El logaritmo en base a de a es uno• El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
5. Cambio de base
EJEMPLO
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Función Racional
• Esta definida por una expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios:
• En las funciones racionales, la variable X no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de Y es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de q.
Dominio= IR- {asíntotas verticales}Conjunto de Salida= IRRango= R- {asíntotas horizontales}Conjunto de Llegada= IRPunto de Corte con x= Se iguala a 0 el numerador.Punto de Corte con y= Se sustituye x por 0 en la ecuación original.
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Asíntotas
Las asíntotas son rectas a las cuales se aproxima una función sin llegar a ellas.
Para: f xa x a x a
b x b x bm
m
nn
( )...
...
1 0
1 0
1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal.3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales.
Es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula. Se hallan igualando el denominador a 0.
EJEMPLO
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Función Exponencial• La función exponencial se define por
la ecuación: y= ax, donde a y x son números reales.
• Cuando a<1, la función es decreciente.
• Cuando a>1, la función es creciente. (a debe ser diferente de 1)
• También está la función exponencial natural definida por la ecuación y=ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828....
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Propiedades de los Exponentes
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Dominio= IRConjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRRango= (0, ∞)El eje x es una asíntota horizontal.
EJEMPLO
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Referencias de consulta• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar• http://www.x.edu.uy/lineal.htm• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm• http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par• http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar• http://www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm• http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funciones.pdf• http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_2.pdf• http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html• http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html• http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/
Funciones_formas_de_expresar/elementos.htm• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva• http://bc.inter.edu/facultad/Ntoro/logaw.htm• http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/fraciow.htm