Funciones trigonomtrica con tringulos rectngulos

Ahora nos concentraremos en otros problemas que tienen que ver con tringulos rectngulos. El propsito ser hallar todas las desconocidas de un tringulo rectngulo, dadas las unidades de los lados o la unidad de un ngulo agudo y la de un lado. Las funciones trigonomtricas juegan un papel importante en este proceso. Recuerda que un tringulo rectngulo es un tringulo con un ngulo de 90 grados. Se localiza el tringulo rectngulo en el Cuadrante I del sistema de coordenadas y utilizamos la definicin de las seis funciones trigonomtricas que implica los lados de un tringulo, como se ilustra a continuacin: Relaciones trigonomtricas

P(a,b) c a b

El lado b se conoce como el lado opuesto de un ngulo , el lado a es el lado adyacente del ngulo y el lado c es la hipotenusa. Funciones del tringulo rectngulo

c (hipotenusa) (opuesto) b

a (adyacente)

Ejemplos para discusin: 1) Halla los lados desconocidos de un tringulo rectngulo si el lado b = 4 y el ngulo = 400.

b=4

2) Utiliza los datos provisto en la figura a continuacin y contesta:

c=?

b=3

a=4 a) Halla las seis relaciones trigonomtricas para el ngulo indicado en el tringulo.

b) Halla el valor del ngulo indicado en grados y radianes (utilizando la relacin coseno). c) Halla el valor del ngulo indicado en grados y radianes (utilizando la relacin tangente). Nota: Las teclas [sen-1],[cos-1] y [tan-1] representan relaciones trigonomtricas inversas para hallar el ngulo agudo correspondiente, medido en grados o radianes. Ejercicio de prctica: Halla el lado a y el lado b, en un tringulo rectngulo si c = 6.25 y el ngulo = 32.20.

Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano. Este procedimiento tambin se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que est en el plano cartesiano. Determinar las coordenadas del punto M. Las coordenadas del punto M son (3,-5).

De lo anterior se concluye que: Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, segn sean positivas o negativas, respectivamente. Doa Lupe nos ha dicho que su farmacia est dentro del centro de la ciudad . Supongamos que deseamos saber la ubicacin exacta de la farmacia de Doa Lupe Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un polica para que nos oriente. El polica nos ha dicho que caminemos 5 cuadras haca el este y 6 cuadras haca el norte para llegar a la farmacia.La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano. Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera: Para el problema planteado , el origen del plano ser el punto de partida que es en donde le preguntamos al polica sobre la ubicacin de la farmacia.

Funciones lineales: Esta clase de funciones tienen dos caractersticas esenciales:

Las variaciones entre dos valores de la variable independiente y la de sus correspondientes de la variable dependiente son uniformes. Todos los puntos de su grfica estn alineados.

Funciones de proporcionalidad directa: Si en todos los pares de valores de una funcin de proporcionalidad directa dividimos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo nmero. Ese valor se llama constante de proporcionalidad, y se escribe habitualmente k. Funciones de proporcionalidad inversa: Si en todos los pares de valores de una funcin de proporcionalidad inversa multiplicamos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo nmero, que es la constante de proporcionalidad, y habitualmente se escribe k.

Propuestas de ActividadesPg. 41 Act. 37 Ignacio participa en el triatln de su ciudad, que consiste en tres trayectos: el primero es de carrera pedestre, el segundo es de nado en una laguna y el ltimo es de mountain-bike. Observen la grfica, que muestra la altura con respecto al nivel de la laguna que se encuentra Ignacio en cada momento de la competencia, y respondan a las preguntas. a) Cunto tiempo tard en alcanzar la altura mxima?

Cuales son las funciones trigonometricas en el circulo unitario.

Mejor respuesta - elegida por los votantesEl circulo unitario se llama as por que el radio mide una unidad, el centro del circulo esta en el origen del plano cartesiano, los angulos se generan de derecha a izquierda, o sea que en el primer cuadrante tienes angulos que van de 0 a 90 grados en el segundo de 90 a 180, en el tercero de 180 a 270, y en el cuarto de 270 a 360. cuando se marca un angulo se hace con el giro del radio, acuerdate que mide uno, si llevas una perpendicular del punto que forma el radio con la circunferencia hacia el eje de las Xs formas un triangulo rectangulo, la funcion seno en el circulo te queda entonces como y/d(d=r)(cateto opuesto entre hipotenusa) pero como d=1 entonces el seno es igual a y. el coseno te queda x/d pero como d=1, el coseno es igual a x. para la tangente es y/x, pero aqui se traza la tangente al circulo y se prolonga d, para concluir que la tangente se va a encontrar con lo que mida y, ya que x va a ser igual a 1, por lo que la tangente es igual a y(cateto opuesto entre cateto adyacente que vale uno).

relaciones trigonomtricasTipos de relaciones que comparan las longitudes de los lados de un tringulo rectngulo. Las ms comunes incluyen al seno, coseno y tangente.

Relacion los Trminos: seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (se c), cotangente (cot)

Funcin senof(x) = sen x

Dominio:

Recorrido: [1, 1]

Perodo:

Continuidad: Continua en Impar: sen(x) = sen x

f(x) = cos x

Dominio:

Recorrido: [1, 1]

Perodo:

Continuidad: Continua en

Par: cos(x) = cos x

Funcin tangentef(x) = tg x

Dominio:

Recorrido:

Continuidad: Continua en

Perodo: Impar: tg(x) = tg x

Funcin cotangentef(x) = cotg x

Dominio:

Recorrido:

Continuidad: Continua en

Perodo: Impar: cotg(x) = cotg x

Funcin secantef(x) = sec x

Dominio:

Recorrido: ( , 1]

[1, )

Perodo:

Continuidad: Continua en Par: sec(x) = sec x

Funcin cosecantef(x) = cosec x

Dominio: Recorrido: ( , 1]

[1, )

Perodo:

Continuidad: Continua en Impar: cosec(x) = cosec x

EjerciciosDe un tri ngulo rectngulo ABC , se co nocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el tringul o.

sen B = 280/415 = 0. 6747

B = ar c se n 0 .6747 = 4 2 25

C = 90 - 42 25 = 4 7 35

c = a cos B

c = 415 0.7381 = 3 06. 31 m

De un tringulo rectngulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el tringulo.

tg B = 33/21 = 1 .5714

B = 57 32

C = 90 - 57 32 = 3 2 28

a = b/sen B

a = 33/0.5437 = 3 9.1 2 m

De un tringulo rectngulo ABC , se conoce n a = 45 m y B = 22 . Resolver el tringulo

C = 90 - 22 = 6 8

b = a sen 22

b = 4 5 0.3746 = 16 .85 m

c = a cos 22

c = 45 0.9272 = 41 .72 m

De un tringulo rectngulo ABC , se conocen b = 5.2 m y B = 37. Resolver el tringulo

C = 90 - 37 = 5 3

a = b/sen B

a = 5. 2/0.6018 = 8. 64 m

c = b cotg B

c = 5. 2 1.3270 = 6. 9 m

De un tringulo rectngulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7. Resolver el tringulo

De un tringulo rectngulo ABC , se conocen b = 3 m y B = 54.6. Resolver el tringulo.

De un tringulo rectngulo ABC , se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el tringulo.

De un tringulo rect ngulo ABC, se conoce n b = 3 m y c = 5 m. Resolver el tringulo.