funciones vectoriales y funciones de varias variables
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UNIDAD III
FUNCIONES VECTORIALES
3.1 Definición de función vectorial de una variable real, dominio y graficaciòn
Definición:
Sea un conjunto de números reales una función vectorial con dominio es
una correspondencia que asocia a cada número en un vector en .El
contra dominio de consta de todos los vectores para en .
Ejemplo
Para en
Calcular y traza sus vectores de posición
a)
b)
Para los valores de en el vector de posición de esta en uso de los
planos coordenados
Los conceptos de punto final curva cerrada, curva cerrada simple y longitud de una curva se definen exactamente igual que para las curvas planas
Curvas planas Curvas en el espacio
Calcule la longitud de la curva parametrizada
Sea
Para
a) Trazar la grafica de la curva
b) Calcular
LIMITES,DERIVADAS E INTEGRALES
DEFINICIÒN:
Sea .El limite de cuando tiende a : es
.
Siempre y cuando y tengan límite cuando tiende a
DEFINICIÒN:
Una función vectorial es continua si:
TEOREMA
Si , donde son derivables, entonces:
Sea
Determinar
a) b)
=
Ejercicios Dominio [1-2]
DOMINIO [0-2π]
DEFINICIÒN:
Sea . La integral definida desde hasta de es:
Siempre y cuando y sean integrables en [ ]
Evalué la integral de 0 a 1
( )
TEOREMA
Si una curva plana esta dada paramétricamente , donde y existen
entonces la curva en es:
CALCULAR LA CURVATURA EN EL PUNTO
=
Determina la curvatura
Teorema
Sea una curva en el espacio dada por y y donde :
.La curvatura k en el punto de
Calcular la curvatura de la curva dada por las ecuaciones paramétricas en
(MATRIZ)
T 1 2 3 4X 1 2 3 4
y 1 2 9 16 z 1 2 27 64
CALCULE DE LA CURVATURA EN
a) P(1,3)
b)
=
I j k2t 3 02 0 0
=i-j+k(6)=0i-0j-6k
I j k3 6
0 6t 6
I j K-4sent -9cost 1-4cost -9sent 0
Definición
Sea
El vector de posición de una partícula en el plano donde es el tiempo y y
son funciones escalares con primera y segunda derivada .La velocidad,
rapidez y aceleración de la partícula al tiempo se define como:
Velocidad:
Rapidez=
Aceleración :
Ejemplo: el vector de posición de una partícula que se mueve en un plano
coordenado es:
Para
****grafica****
Demostrar que si un punto P se mueve sobre una ecuación circunferencial de
radio k con rapidez constante, entonces en vector aceleración tiene una
magnitud constante =
rapidez angular
UNIDAD IV
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Curvas de nivel
Ejemplo sea la función con dominio tal que
Trazar la grafica de f e indicar las trazas en los planos z=0, 2, 4, 6, 8
Trace algunas curvas de nivel
x y z-2 4 0 -1 1 00 0 01 1 02 4 0
x y z-2 2 2-1 -1 20 -2 21 -1 22 2 2
x y Z-2 0 4 -1 -3 40 -4 41 -3 42 0 4
x y Z-2 -2 6-1 -5 60 -6 61 -5 62 -2 6
x y Z-2 -4 8-1 -7 80 -8 81 -7 82 -4 8
Sea la función por dominio tal que
x y Z-2 2.2 0-1 2.8 00 3 01 2.8 02 2.2 0
x y Z1.7 22.2 2
0 2.6 22.2 21.7 2
x y Z1.4 42 4
0 -2.23 42 4
1.4 4
x y Z1 6
1.41 60 0 6
1.41 61 6
x y Z0.54 80.83 8
0 1 80.83 80.54 8
****grafica****
Trace algunas curvas de nivel de
x y z-2 4 0 -1 1 00 0 01 1 02 4 0
x y z-2 2 2-1 -1 20 -2 2
1 -1 22 2 2
x y Z-2 0 4 -1 -3 40 -4 41 -3 42 0 4
x y Z-2 -2 6-1 -5 60 -6 61 -5 62 -2 6
x y Z-2 -4 8-1 -7 80 -8 81 -7 82 -4 8
4.1 Definición de una función de dos variables
Sea un conjunto de pares ordenados de números reales. Una función de dos
variables, es una correspondencia que asocia a cada par en en un único
numero real que se denota por .
El conjunto es el dominio de . El contradominio de consta de todos los
números reales en
4.2 Grafica de una función de 2 variables
La grafica de una función es una superficie en el espacio
tridimencianal.
Ejemplo:
Una ecuación de un plano en donde describe una función
expresando
o bien
EL dominio de esta función es todo el conjunto en parejas ordenadas de
números reales
El dominio de esta función es todo en el conjunto de parejas ordenadas de
números reales
Continuidad
Una función es una continua en una región del plano si es
continua en todo punto . La suma y el producto de 2 funciones continuas son continuo exepto en algunos puntos en donde el dominador es cero, si es una
función de dos variables continua en por ultimo la grafica de una función
continua es una superficie si quiebres
Limites
Ejemplo
Evaluar el
Regla de las 2 trayectorias
Si 2 trayectorias que llevan a un punto producen 2 valores limites
diferenciales para entonces el limite no existe
Ejemplo
Demostrar que el limite de demostrar que no existe
Calcular el limite si existe de
Derivadas parciales
Definición sea una función de 2 variables. Las primeras derivadas parciales de
con respecto a y a son las funciones definidas por
Notaciones para las derivadas parciales
Si
Ejemplo
Sea encontrar y
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Segundas derivadas parciales:
Ejemplo:
Obtener la segunda derivada parcial de f.
INCREMENTOS Y DIFERENCIALES
Sea y sean y y los incrementos de x y y respectivamente. El
incremento de es.
Sea
a) Si los incrementos de y son y , determinar
b) Aplicar para calcular el cambio de y cuando varia de
a) =?
y
TEOREMA
Sea , donde f es una función definida en una región rectangular,
, para la cual fx y fy existen en R y son continuos en el punto
de R. Si , esta en R y
donde Σ1 y Σ2 son funciones de
Δx y Δy que tienen limite 0 cuando (Δx,Δy)=(0,0)
Encontrar los valores de para
DIFERENCIALES
Definición.- Sea y sean Δx y Δy incrementos de x y y,
respectivamente.
i) Los diferenciales de dx y dy de las variables independientes x y y son y
ii) La diferencia dw de la variable dependiente w es
El radio y la altura de un cilindro circular recto mide 3’’ y 8’’ respectivamente, con un error posible en la medición de +- 0.05 pulgadas. Usar diferenciales para estimar el error máximo que se comete al calcular el volumen del cilindro. error±0.05
Error en la medición de 1% (±0.01)
Determinar el error al calcular la resistencia total
)ˉ²
REGLA DE LA CADENA
Si y donde y son diferenciables, entonces:
Ejemplo
Derivadas direccionales
Definición:
Sea y sea un vector unitario. La derivada direccional de en
en la dirección de se denota por y se define por:
Teorema:
Si es una función diferenciable de dos variables y es un vector unitario, entonces:
Gradiente
Definición sea una función de dos variables. El gradiente de de es la funcion
vectorial dada por:
Rotacional
Definición
Sea una función vectorial en tres dimensiones dada por:
Donde tienen derivadas parciales en alguna región. El rotacional de esta dada por
i j K
i j K
Encontrar la rotacional de:
a) F(x ,y ,z)=x2zi+y2xj+(y+2z)kb) F(x ,y ,z)=(3x+y)i+xy2zj+xz2k
Rot = xF=?
xF=
I j K
X2z Y2x Y+2z
=i+jx2-ky2= i+x2j-y2k
xF=
i j K
(3x+y) Xy2z Xz2
= xy2i-z2j+(y2z-1)k
Divergencia
Suponga que F(x, y, z)= M(x, y, z)i+ N(x, y, z)j+ P(x, y, z)k, tal que M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región. La divergencia de F se deriva por DIv F o por V, y esta dada por:
Div F= F = + +
F=
= + +
a) Div F= F=
= 2xz +2yx + 2
b) Div F= F=
= 3 + 2xyz +2 xz
Derivación parcial implícita
Y= x2+2 Explicita
Y2+2xy+y=0 Implícita
X2+y(2x+1)=0
Y(2x+1)=-x2
X2-2y3+4y=2
X2-2y3+4y-2=0
X6+2x3y-y7x=10
X6+2x3y-y7x-10=0
6x5+6x2y-y7
=2x3-7y6x
Coordenadas cilíndricas y Esféricas
Teorema
Las coordenadas rectangulares (x, y, z) y las coordenadas cilíndricas (r, , z)de un punto están
relacionadas como sigue:
x=r cos y=r sen tan =
r2=x2+y2 z=z
Coordenadas Esféricas
Teorema
Las coordenadas rectangulares (x, y, z) y las coordenadas esféricas (P, Φ , ) de un punto p están relacionadas como sigue:
Cambie las coordenadas cilíndricas u coordenadas rectangulares
Cambie las coordenadas esféricas dadas a coordenadas rectangulares
Cambie las coordenadas rectangulares dadas a coordenadas esféricas
Calcular las coordenadas rectangulares a cilíndricas
Convierta sus coordenadas esféricas a cilíndricas