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FUNCIONES

CONCEPTOS BÁSICOS A DESARROLLAR: DOMINIO Y RANGO.

AMBIENTACIÓN: Tomado de la enciclopedia Círculo1

EL PAPEL DE LAS FUNCIONES

Sin darles mayor importancia, todos los días se manipulan funciones matemáticas de algún tipo. Una lista de productos y sus respectivos precios es una función. Un directorio telefónico es una función. Las calificaciones que reciben los estudiantes al final de un período de estudio son funciones. Función es la lista que lleva Juan del número de goles que anota su equipo favorito en cada partido de fútbol que éste juega, o la que lleva Marcela del número de expedientes que se despachan cada día en la oficina donde trabaja.Las funciones hacen parte de la vida cotidiana tanto como los números y los conjuntos, pero se hace uso de ellas sin necesidad de conocer formalmente su carácter matemático. Un conocimiento más detallado y riguroso del concepto de función en su forma más general, tal y como se desarrolló históricamente, permite explorar lo que constituye uno de los logros científicos más importantes que puede exhibir la humanidad: el cálculo diferencial e integral.Una función no es más que una manera de relacionar entre sí los objetos de dos conjuntos cualesquiera. Una lista de los precios de unos productos es la relación que existe entre cada uno de los productos que en un momento dado le interesan a alguien, y todos los precios posibles que estos productos podrían tener. El hecho de que a cada uno de los productos le corresponda un precio, y solamente uno, es lo que hace de la lista de precios una función. Una función no permite ambigüedad; para cada producto sólo puede haber un precio…

1 CASTILLO, Eugenia; FORERO, Jaime; RODRÍGUEZ J. Carlos. ENCICLOPEDIA TEMÁTICA ILUSTRADA CÍRCULO. 1 ed. Colombia: Editorial Norma S.A., 1999. p. 54.

1

ACTIVIDADES PRE

Para cada una de las siguientes preguntas contesta falso ó verdadero, justifica las respuestas falsas.

1. La solución de la ecuación:x2=9es x=3

Falso, ya que: x2=9→x2−9=0( x+3 ) ( x−3 )=0x+3=0ó x−3=0x=−3ó x=3

La respuesta correcta es:

x=−3ó x=3

2. Los racionales son aquellos números que se pueden escribir como el cociente entre dos números enteros, siempre que el denominador sea diferente de cero.

Verdadero.

3. Los números imaginarios están formados por la raíz negativa de un número par.

Falso:

Los números imaginarios están formados por la raíz par de los números negativos.

4. La raíz de los números negativos no existe.

Falso:

La raíz par de los números negativos no existe dentro del campo de los números reales.

2

Ó falso, ya que por ejemplo: 3√−8=−2Si existe

5. El logaritmo de los números negativos no existe.

Verdadero.

6. El resultado 20 de no existe.Falso:

20=1 Siexiste

7. Al dividir un número diferente de cero, entre cero, el resultado es igual a cero.Falso:

Ya que el cero en el denominador está prohibido.

En una relación entrada salida, la entrada la representamos por la letra x y la salida la representamos por la letra y, ambas letras están relacionadas por un mecanismo (que puede ser una fórmula ó expresión matemática). Escriba dos fórmulas diferentes que cumplan con la relación para cada par entrada salida.

8. Entrada x = 5, salida y = 10.

Algunas soluciones posibles:y=2xy=x+5y=15−xy=x2−15

9. Entrada x = 2, salida y = 3 / 4.

Algunas soluciones posibles:

y=x−54

3

y=x2−134

y= x+14

y=8−x8

10.Entrada x = - 5, salida y = 12

Algunas soluciones posibles:y=x2−13

y=3 x+28

y=−2x+2

Para cada pregunta seleccione la opción correcta:

11.El resultado de 3−2 es:a. −6

b. −9

c. 9

d.19

Respuesta: d.

3−2= 132=

19

INTERACTIVIDAD

Justificación a la elección de la opción a:

Razón: Una potencia no es una multiplicación de la base (3) por el exponente (-2).

4

Es incorrecto hacer la multiplicación: (3)(-2) = - 6.

Justificación a la elección de la opción b:

Razón: Exponente negativo no significa que el resultado es negativo, es decir, es incorrecto suponer que:

3-2 = (- 3)(3) = - 9

Justificación a la elección de la opción c.

Razón: No se puede desconocer el signo negativo del exponente, es decir, es incorrecto suponer que:

3-2 = (-3)(-3) = 9Ó suponer que:

3-2 = (3)(3) = 9

Justificación a la elección de la opción d:

Razón: Exponente negativo significa que se debe intercambiar la base entre el numerador y el denominador (ó viceversa) y cambiarle el signo al exponente, es decir, el exponente negativo se debe resolver así:

3−2= 132

= 1(3 ) (3 )

=19

Que es la elección correcta

5

12.La ecuación x2=25 tiene como solución:a. x = 5b. x = - 5c. x = - 5 ó x = 5 d. x = 25

Respuesta c.x2=25x2−25=0

( x+5 ) ( x−5 )=0x+5=0∨ x−5=0x=−5∨ x=5

INTERACTIVIDAD

Justificación a la elección de la opción a.

Razón:Al extraer raíz cuadrada para solucionar la ecuación es incorrecto realizar la siguiente acción:

x2=25⇒√x2=√25⇒ x=5

No olvide que la raíz cuadrada tiene dos valores, uno positivo y

otro negativo.

Justificación a la elección de la opción b:

Razón:Al extraer raíz cuadrada para solucionar la ecuación es incorrecto realizar la siguiente acción:

x2=25⇒√x2=−√25⇒ x=−5

6

No olvide que la raíz cuadrada tiene dos valores, uno positivo y

otro negativo.


Razón:

Al solucionar la ecuación x2=25 los siguientes procesos son correctos:

x2=25⇒ x2−25=0⇒ ( x+5 ) (x−5 )=0 )

x+5=0∨x−5=0x=−5∨x=5

Otra forma puede ser:

x2=25⇒√x2=±√25⇒ x=±5x=−5∨x=5

Justificación a la elección de la opción d:

Razón:x2=25

Es diferente a:x=25

13.Al reemplazar la variable x por 3 en la expresión ax+b el resultado es 192 . Los

valores de a y b que cumplen con esta igualdad, son respectivamente:

a.92 , 5.

b.236 , 2.

c.32 , 10.

7

d.176 , 1

INTERACTIVIDAD

Justificación a la elección de la opción a:

RazónSi hacemos los siguientes reemplazos en la expresión ax+b :

x=3 , a=192

∧b=5

Se debe obtener como resultado

192 . Si el resultado es diferente la

opción es incorrecta.

Reemplazando:

ax+b⇒192

(3 )+5=572

+5=57+102

=672

≠192

Justificación a la elección de la opción b.

Razón:

Al reemplazar: x=3 , a=23

6∧b=2

en la expresión ax+b el resultado no

es igual a

192 .

Reemplazando:

ax+b⇒ 236

(3 )+2=232

+2=23+42

=272

≠192

8


Razón


2∧b=10

en la expresión ax+b el resultado no

es igual a

192 .

Reemplazando:

ax+b⇒ 32

(3 )+10=92+10=9+20

2=29

2≠19

2

Justificación a la elección de la opción d.

Razón:


6∧b=1

en la expresión ax+b el resultado es

igual a

192 .

Reemplazando:

ax+b⇒176

(3 )+1=172

+1=17+22

=192

14.La expresión: 0( 80 ) es igual a:

a. 8

9

b. 0c. 1.d. Indeterminado.

Respuesta correcta es la opción d, ya que:

0( 80 )=0

0Indeterminado .

INTERACTIVIDAD


Razón:No es correcto efectuar el siguiente proceso:

0( 80 )=0

0∗8=1∗8=8

Ya que la expresión cero sobre cero no es igual a 1

00≠1


Razón:

No es correcto efectuar el siguiente proceso:

10

0( 80 )=0

0=0


00≠0

Justificación la elección de la opción c.

Razón:No es correcto efectuar el siguiente proceso:

0( 80 )=0∗8

0=0

0=1


00≠1


11

Razón:

0( 80 )=0

0Indet er minado

15.Al reemplazar la variable x por - 2 en la expresión a x2+bx+c el resultado es 36. Los valores de a ,b , y c que cumplen con la igualdad, son respectivamente:

a. 7, - 9, -10.b. - 7, 9, 46.c. 7, 9, - 26.d. 28, - 18, 26.

INTERACTIVIDAD


Razón:

Reemplazando x por – 2 en la expresión ax2+bx+c :

a (−2 )2+b (−2 )+c⇒4 a−2b+c

La expresión resultante es:

4 a−2b+c

Reemplacemos la tripleta 7, - 9 y – 10 en la expresión:

4 a−2b+c

Si el resultado igual a 36, será la respuesta correcta.

4 a−2b+c , con a=7 , b=−9∧c=−10

4 (7 )−2 (−9 )+ (−10 )⇒28+18−10=36

12


Razón:


a (−2 )2+b (−2 )+c⇒4 a−2b+c


4 a−2b+c

Reemplacemos la tripleta - 7, 9 y 46 en la expresión:

4 a−2b+c


4 a−2b+c , con a=−7 , b=9∧c=46

4 (−7 )−2 (9 )+ (46 )⇒−28−18+46=0≠36


Razón:


a (−2 )2+b (−2 )+c⇒4 a−2b+c


4 a−2b+c

Reemplacemos la tripleta 7, 9 y – 26 en la expresión:

13

4 a−2b+c


4 a−2b+c , con a=7 , b=9∧c=−26

4 (7 )−2 (9 )+ (−26 )⇒28−18−26=−16≠36


Razón:


a (−2 )2+b (−2 )+c⇒4 a−2b+c


4 a−2b+c

Reemplacemos la tripleta 28, - 18 y 26 en la expresión:

4 a−2b+c


4 a−2b+c , con a=28 , b=−18∧c=26

4 (28 )−2 (−18 )+(26 )⇒112+36+26=174≠36

16.Dada la expresión: 250 se puede afirmar que:

a. Es indeterminada.

14

b. No existe.c. Es igual a 25d. Es igual a cero.

Justificación a la elección de la opción a

Razón:

00

Es indeterminado y además el cero en el denominador está prohibido en matemáticas.


Razón:No existe, ya que la división entre cero está prohibida.


Razón:250

≠25 El cero en el denominador está prohibido en matemáticas.


Razón:250

≠0 El cero en el denominador está prohibido en matemáticas.

17.Si en un rectángulo, la base es 5 cm y su altura es el doble de la base, entonces el perímetro y la altura del rectángulo son, respectivamente:

a. 30 cm y 50 cm2.b. 15 cm y 25 cm2.c. 20 cm y 25 cm2.

15

d. 5 cm y 10 cm2.

Respuesta:Base = 5 cmAltura = doble de la base = 2*5 =10La figura muestra el rectángulo y sus dimensiones.

El perímetro es la suma de los lados:P = 5 + 10 + 5 +10 = 30 cm

El área se obtiene multiplicando base por altura.A= 5 cm * 10 cm = 50 cm2.

La opción correcta es la a.

18.En un rectángulo la base es el doble de su altura, si la altura la representamos con la letra x, la expresión para el perímetro del rectángulo es:

a. 4 x

b. 6 x2

c. 2 x2

d. 6 x

16

Respuesta:Altura = x.Base = doble de la altura = 2xLa figura muestra las dimensiones del rectángulo.

PerímetroP = x + 2x +x +2x = 6xLa opción correcta es la d.

19.La expresión para el área del rectángulo anterior es:a. 2 x

b. 2 x2

c. x2

d. 4 x

Respuesta:El área de un rectángulo es igual a multiplicar su base por su altura.De la figura podemos ver que la base es 2x y su altura es x.Por lo tanto:

A = 2x * x = 2x2

La opción correcta es la b.

20.Se tiene un cuadro como se muestra en la siguiente figura.

17

Si el valor de x varía entre 1 y 3, entonces el área del cuadro varía entre

a. 8 y 16b. 1 y 9c. 2 y 4d. 4 y 16

Solución:Como la figura corresponde a un cuadrado, su área será igual a lado por lado.

A = (x + 1) (x + 1)

Como x varía entre 1 y 3, el menor valor de x es uno, en este caso el lado del cuadrado será: 1 + 1 = 2 y el área será:

A = 2 * 2 = 4.

El mayor valor de x es tres, en este caso el lado del cuadrado es 3 + 1 = 4.

El área será:

A = 4 * 4 = 16

Entonces el área varía entre 4 y 16.

Respuesta: opción d

21.Para la figura:

18

La expresión para el área sombreada es:

a.78π x2

b.34π x2

c.12π x2

d. π x2

Solución:El área sombreada será igual al área del círculo mayor menos dos veces el área del círculo menor.

Área del círculo mayor.Podemos ver de la figura que el radio del círculo mayor es x, por lo tanto el área del círculo mayor, que la simbolizamos como es:

A1=π x2

Área del círculo menor.

De la figura podemos ver que el radio del círculo menor es 14x, por lo

tanto el área del círculo menor, que la simbolizamos , es:

A2=π ( 14x )

2

=π 116x2

El área sombreada es:

19

A=A1−2 A2

A=π x2−2∗π 116x2

A=π x2−π 18x2

A=8 π x2−π x2

8

A=78π x2

La respuesta correcta es la opción a.

22.Para la gráfica de la figura:

20

Una de las siguientes afirmaciones es falsa:

a. Cuando la variable x es igual a – 2, la variable y es igual a 0.b. Cuando la variable x es igual a 2, la variable y es igual a 0.c. Cuando la variable x es igual a – 1, la variable y es igual a 1.d. Cuando la variable x es igual a 1, la variable y es igual a 3.

Respuesta:La afirmación falsa es la opción b, ya que cuando la variable x es igual a 2, la variable y es igual a 4.

INTERACTIVIDAD

La elección de la opción a es incorrecta, ya que como se puede observar en la figura, este punto si se encuentra sobre la gráfica.

21

La elección de la opción b, es correcto, ya que como se puede observar en la siguiente figura el punto (2, 0) no está sobre la gráfica.

22

La elección de la opción c es incorrecto, ya que el punto (-1, 1) si está sobre la gráfica como se puede ver en la siguiente figura.

23

La elección de la opción d es incorrecto, ya que el punto (1, 3) si esta sobre la gráfica como lo muestra la siguiente figura.

24

23.Para la gráfica de la figura:

25

Una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

a. Cuando la variable x es igual a – 2, la variable y es igual a – 1.b. Cuando la variable x es igual a 0, la variable y es igual a 3.c. Cuando la variable x es igual a – 2, la variable y es igual a 4.d. Cuando la variable x es igual a 1, la variable y es igual a – 1.

Respuesta:La opción correcta es la c.

INTERACTIVIDAD.La opción a es incorrecta, ya que el punto (-2,-1) no se encuentra sobre la gráfica como se puede observar en la siguiente figura.

La opción b es incorrecta, ya que el punto (0,3) no se encuentra sobre la gráfica como se puede observar en la siguiente figura.

26

La opción c es correcta, ya que el punto (-2,4) si se encuentra sobre la gráfica como se puede observar en la siguiente figura.

La opción d es incorrecta, ya que el punto (1,-1) no se encuentra sobre la gráfica como se puede observar en la siguiente figura.

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Realice el siguiente apareamiento.

FUNCIÓN Es la suma de los lados de una figura cerrada.

ÁREA Se deben llevar a un denominador común.

PERÍMETRO Exponente negativo en el numerador significa que debemos cambiar la base para el denominador y le cambiamos de signo al exponente; y el exponente negativo en el denominador, significa que debemos cambiar la base al numerador y le cambiamos de signo al exponente.

SUMA DE FRACCIONARIOS Es el valor de la incógnita que satisface la ecuación.

ÁREA SOMBREADAD Es una ley o regla que asigna a cada valor de un conjunto A un único valor de un conjunto B.

EXPONENTE NEGATIVO Se debe hacer una resta suma o resta de áreas.

RAÍZ DE UNA ECUACIÓN Superficie comprendida dentro de un perímetro.

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ACTIVIDADES DURANTE

FUNCIONES

Como lo afirma el autor STEWAR2

“Una función es una regla que describe la forma en que una cantidad depende de otra; por ejemplo, al estudiar el movimiento, la distancia recorrida es una función del tiempo.”

A continuación presentamos una definición de FUNCIÓN (o modelo matemático) sin entrar en detalles,

Una función es una expresión algebraica que indica la relación que existente entre dos o más variables. En cálculo diferencial se estudian las funciones que relacionan dos variables.

Una de las variables se asume como variable independiente y tradicionalmente se le asigna la letra x. Otras letras que se utilizan para la variable independiente son: q cuando se trata de producción, t para el tiempo.

La otra variable es la variable dependiente que por tradición se le asigna la letra y.

2 STEWAR. James; REDLIN. Lothar; WATSON. Saleem. Precálculo. 3ed. México: International Thomson Editores, 2001. p. 130

29

NOTACIÓN DE FUNCIÓN

Para indicar que la variable dependiente y está escrita en términos de la variable independiente x (o lo que es lo mismo, depende de la variable independiente x), lo hacemos mediante la siguiente notación:

y=f ( x )Que se lee y igual a efe de x

Se puede utilizar otras letras.

y=g (x ) y=c (t )y=f ( z ) y=c (q )

La variable independiente es la que está dentro del paréntesis.

DOMINIO Y RANGO.

DOMINIO: El dominio para cualquier función está constituido por todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x). Todos los valores tomados de los números reales.

RANGO: El rango para cualquier función está constituido por todos los números que puede tomar la variable dependiente (la y). Al rango también se le conoce como la imagen de la función

¿Qué números o qué cantidades o qué expresiones no pertenecen a los números reales?

La respuesta es que a los números reales no pertenecen ni la división entre cero, ni los números imaginarios (Raíz par de un número negativo), ni el logaritmo de números negativos ó de cero.

Para ampliar más sobre estos temas puedes consultar las siguientes páginas en internet:

Los siguientes enlaces corresponden a videos donde se puede ver el concepto de función desde otra óptica.

http://www.youtube.com/watch?v=iBFu6kLa9uY

30


http://www.youtube.com/watch?v=P4VQgjLI03U&feature=related

http://www.google.com/support/youtube/bin/answer.py?hl=en&answer=143421

http://www.youtube.com/watch?v=fclwNoVpx6Q&feature=related

REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES

Se tienen cuatro maneras posibles para representar una función:

Verbalmente (con una descripción de palabras)

Numéricamente (con una tabla de valores)

Visualmente (con una gráfica)

Algebraicamente (con una fórmula explícita)

Si una sola función se puede representar de las cuatro maneras, a menudo resulta útil pasar de una representación a otra, para adquirir un conocimiento adicional de esa función. 3

Para entender mejor el concepto de función y las diferentes formas de representar funciones, analicemos las siguientes situaciones conceptuales cotidianas.

SITUACIÓN 1:

Para la relación nota definitiva en matemáticas generales y los 40 estudiantes de Contaduría Pública que finalizaron el primer semestre en la CORPORACIÓN UNIVESITARIA RÉMINGTON, determine:

1. ¿Qué valores puede asumir la variable nota definitiva en matemáticas generales?

3 STEWART, James. Cálculo conceptos y contexto. 1 ed. México: International Thomson Editores, 1999. p. 15.

31

http://www.youtube.com/watch?v=fclwNoVpx6Q&feature=related

http://www.google.com/support/youtube/bin/answer.py?hl=en&answer=143421

http://www.youtube.com/watch?v=P4VQgjLI03U&feature=related

Solución:

Cualquier número entre cero y cinco.

2. ¿Qué valores puede asumir la variable estudiante?

Cualquier número entero entre 0 y 40.

3. ¿La nota depende del estudiante ó el estudiante depende de la nota?

Solución:La nota depende del estudiante, ya que si conozco el nombre del estudiante puedo saber cuál es su nota mirando en la planilla.Pero si lo tomamos al revés, conociendo una nota, no puedo saber a qué estudiante pertenece, por ejemplo, la nota 3.5 ¿a qué estudiante pertenece? La respuesta es que la pueden tener varios estudiantes.

4. Si llamamos Dominio a todos los valores que puede tomar la variable independiente, ¿cuál es el dominio en esta situación?

Solución:

Si asumimos que en un salón hay 40 estudiantes entonces el dominio corresponde a todos los números enteros entre 0 y 40, es decir,

Dom . x∈ [0 ,40 ]

5. Si llamamos Rango a todos los valores que puede asumir la variable dependiente, ¿Cuál es el rango en este caso?

Solución:

El rango corresponde al valor de todas las notas que puede obtener un estudiante, es decir cualquier número entre 0 y 5,

Rango y∈ [0,5 ]

6. ¿Es posible que un estudiante tenga dos ó más notas diferentes en matemáticas generales?

Solución:

32

No es posible, ya que la nota en Matemáticas y en cualquier materia es única.

7. ¿Es posible que una misma nota corresponda a dos ó más estudiantes diferentes?

Solución:

Si es posible, ya que, puede suceder que dos ó más estudiantes tengan la misma nota de 5.0 ó 3.0, ó 2.5, ó cualquier otra nota igual.

SITUACIÓN 2:

En una fábrica se tiene que hay en total 835 empleados, los sueldos que se pagan mensualmente oscilan entre 1 y 12 salarios mínimos legales.

1. ¿Cuáles variables se relacionan en esta situación problémica?Solución:

Variable independiente: Empleado.Variable dependiente: Salario del empleado.

2. ¿Es posible que un empleado tenga dos o más sueldos diferentes? ¿Por qué?

Solución:

No es posible, porque a ninguna persona le pagan dos o más veces por realizar el mismo trabajo.

3. ¿Es posible que un mismo sueldo corresponda a dos o más empleados diferentes? ¿Por qué?

Solución:

Si es posible, podemos ver que hay muchas personas ganándose por ejemplo el mínimo.

4. ¿Cuál es la variable dependiente?

Solución:

Salario o sueldo de cada empleado.

33

5. ¿Cuál es la variable independiente?

Solución:

Empleado o trabajador.

6. ¿Cuál es el domino?

Solución:

Cualquier número entero entre cero y 835, son 835 trabajadores.

7. ¿Cuál es el rango?

Solución:

Cualquier número entre 1 y 12 salarios mínimos, el número puede ser decimal o entero.

Analicemos también las siguientes situaciones problémicas.

La siguiente situación es planteada el autor URIBE CÁLAD4

SITUACIÓN PROBLÉMICA 1: CLASIFICACIÓN SPT3 (NO HAY QUE HALLAR EL MODELO)

En cierto país el costo del correo se rige por la siguiente tabla

Peso en gramos CostoHasta 20 g U.S. $ 0.20Entre 20 g y 50 g U.S. $ 0.26Entre 50 g y 110 g U.S. $ 0.39Entre 100 g y 250 g U.S. $ 0.85

4 URIBE C. Julio A; ORTIZ D. Marco T. Matemáticas Experimental 8. 1 ed. Medellín: UROS editores, 2004. p. 169.

34

Entre 250 g y 500 g U.S. $ 1.70Entre 500 g y 1000 g U.S. $ 2.35Entre 1000 g y 2000 g U.S. $ 3.20

Carlos y Manuela le escriben a sus amigos José, Natalia, Lina y Sebastián. La carta de José pesa 15 g, La de Natalia pesa 85 g, la de Lina 90 g y la de Sebastián pesa 525 g. Contesta:

1. ¿Cuánto cuesta poner cada carta?

Solución:La carta de José cuesta U.S. $ 0.20La carta de Natalia cuesta U.S. $ 0.39.La carta de Lina cuesta U.S. $ 0.39.La carta de Sebastián cuesta U.S. $ 2.35.

2. ¿Es posible que a dos cartas les corresponda el mismo valor?

Solución:Si es posible, lo podemos ver con las cartas de Natalia y Lina, ya que ambas cuestan U.S $ 0.39 aunque tienen diferentes pesos.

3. ¿A una misma carta le puede corresponder costos distintos?

Solución:No es posible, ya que no sería lógico pagar dos veces por una misma carta.

4. ¿Cuál de las dos siguientes afirmaciones es correcta? Justifica:a. El peso de la carta depende del costo de la misma.b. El costo de la carta depende del peso de la misma.

Solución:El costo de una carta depende de su peso, ya que como lo podemos ver en la tabla, la tarifa para el costo de cata carta está dada en términos de su peso.

5. ¿Qué valores puede asumir la variable costo de envío?

35

Solución:

Cualquier valor entre U.S. $ 0.20 y U.S. $ 3.20

6. ¿Qué valores puede asumir la variable peso de la carta?

Solución:

Cualquier valor entre 0 g y 2000 g, obviamente cero gramos no sería un valor que se incluya, ya que, corresponde a no envira una carta, y usted no pagaría por no enviar una carta.Entonces, la respuesta correcta es: De cero gramos en adelante (sin incluir el cero) hasta 2000 gramos.

SITUACIÓN PROBLÉMICA 2: CLASIFICACIÓN SPT2 REC.

La siguiente situación problémica es una adaptación de un de las experiencias del autor URIBE CÁLAD5

Carlos tiene una lámina rectangular de cartón de 30 cm de largo por 20 cm de ancho. Recorta cuadrados de lado x cm en las cuatro esquinas para

construir una caja sin tapa, como lo muestra la secuencia en la figura siguiente.

5 Ibíd., p. 170.

36

Podemos ver que:El alto de la caja es: x cmEl ancho de la caja es: 30−2x cmEl largo de la caja es: 20−2x cm

Contesta las siguientes preguntas:

1. ¿La expresión para el volumen de la caja es?

Solución:

Volumen = alto * ancho * largoSea: v ( x ) el volumen.Tenemos que:

v ( x )=x (30−2 x )(20−2 x)

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Efectuemos las multiplicaciones correspondientes y reduzcamos términos semejantes:

v ( x )=(30 x−2 x2 ) (20−2 x )v ( x )=600 x−60 x2−40x2−4 x3

v ( x )=4 x3−100 x2+600 x cm2

2. ¿Qué variables intervienen en esta situación problémica?

Solución:

Intervienen diferentes variables que son:Altura de la caja, ancho de la caja, largo de la caja y volumen de la caja.Podemos ver que el largo, el ancho y el volumen de la caja dependen de la altura de la caja.También podemos ver que el volumen depende del ancho, el largo y la altura de la caja.Observando la función anterior, podemos afirmar que el volumen depende de la altura de la caja.Las variables de la situación problémica son:Variable independiente: Altura de la caja (ó lado del cuadrado a quitar).Variable dependiente: Volumen de la caja.

3. ¿Cuál es la variable independiente?Altura de la caja.

4. ¿Cuál es la variable dependiente?Volumen de la caja.

5. ¿Cuál es el domino?

Para determinar el dominio hagamos la siguiente tabla en Excel.

PLANTILLA PARA DETERMINAR EL DOMINIO Y EL RANGO DE LA FUNCIÓN:

38

v ( x )=4 x3−100 x2+600 x cm3

En la columna valor de x ingresamos números positivos, en este caso, números del cero al veinte.

En la columna correspondiente a v(x) escribimos la fórmula para el volumen. =4*A2^3-100*A2^2+600*A2.

Desplegamos y se obtiene la información de la tabla.

A B

Valor de xValor de

v(x)0 01 5042 8323 10084 1056

39

5 10006 8647 6728 4489 216

10 011 -17612 -28813 -31214 -22415 016 38417 95218 172819 273620 4000

Solución:

Recordemos que el dominio consiste en todos los valores que puede asumir la variable independiente, es decir la x.Para este caso particular, debemos dar valores a x que permitan que se pueda fabricar una caja con la lámina de cartón de 30 cm por 20 cm.

No sobra indicar que:Con una de las dimensiones igual a cero, no puede haber caja, no es posible construir una caja con dimensiones negativas, es decir, la altura, el largo y el ancho de la caja solo pueden asumir valores positivos.Para contestar esta pregunta observemos los resultados de la plantilla en Excel, dando valores a x y observando que valores toma v(x).

Podemos ver que para x = 0, se obtiene v(x) = 0, por lo tanto, x = 0 no pertenece al dominio de v(x).

También se observa que el v(x) es positivo:

40

Desde x = 1 hasta x = 9, (en x = 0 y en x = 10 v(x) = 0)Desde x = 18 v(x) es positivo.

Recordemos que no puede suceder que una de las dimensiones de la caja sea negativa.

Podemos ver que si x = 18:El alto de la caja seria: x=18cmEl ancho de la caja seria: 30−2x=30−2∗18=−6cmEl largo de la caja sería: 20−2x=20−2∗18=−16cmEsto sucede si se toman valores de 18 en adelante.Las dimensiones negativas no son permitidas.

Por lo tanto el dominio de v(x) es: x∈ (0 ,10 )

El paréntesis quiere decir que no se incluyen los extremos, en este caso ni el valor x = 0 ni el valor x = 10, pero si los valores de x de cero en adelante, hasta el 10 sin incluir el 10.

6. ¿Cuál es el rango?

Solución:

Recordemos que el rango consiste en todos los valores que puede asumir la variable dependiente, en este caso la variable dependiente es el volumen de la caja.El volumen de la caja no puede ser ni cero, ni negativo.Para determinar el dominio y el rango utilicemos el Excel:

Para el rango observemos la columna correspondiente a v(x) para los valores de x entre 0 y 10, podemos ver que v(x) toma valores desde cero hasta 1056 y luego vuelve a llegar a cero.Rango: y∈ ( 0 ,1056 ]

El corchete en un intervalo quiere decir que se incluye el extremo, es decir, el volumen puede alcanzar los 1056 cm3.

7. ¿El volumen depende del tamaño del cuadrado a quitar o el tamaño del cuadrado a quitar depende del volumen? Justifique.

41

Solución:

Podemos ver que el volumen depende del tamaño del cuadrado a quitar, ya que dependiendo de este la altura, el largo aumentan o disminuyen, lo mismo sucede con el volumen.

SITUACIÓN PROBLÉMICA 3: CLASIFICACIÓN SPT2 – PP

Un mayorista tiene la siguiente promoción del día:Vende piñas a 2000 pesos la unidad y ofrece un descuento de 10 pesos por piña comprada.

Contesta las siguientes preguntas.

1. Si vende una piña ¿cuál es su ingreso?

Solución:

Precio = 2000 – 10(1) = 1990.Ingreso = 1990(1) =1990.

2. Si vende dos piñas ¿Cuál es su ingreso?

Solución:

Precio = 2000 – 10(2) = 1980. Pesos.Ingreso = 1980(2) = 3960 pesos.

3. Si vende 10 piñas ¿Cuál es su ingreso? ¿Cuál es el precio de venta de cada piña?

Solución:

Precio = 2000 – 10(10) = 1900.Ingreso = 1900(10) = 19000 pesos.

42

4. ¿Qué variables intervienen en la situación problémica?

Solución:

Sea q: Número de piñas vendidas.Sea y = r(q): Ingreso obtenido por la venta de las q piñas.

5. ¿Cuál es la variable dependiente?

Solución:

Ingreso obtenido por la venta de q piñas.

6. ¿Cuál es la variable independiente?

Solución:

Cantidad q de piñas vendidas.

7. ¿Es posible representar esta situación problémica utilizando un modelo?

Solución:

Si.

8. Encuentre un modelo o expresión matemática que represente el ingreso del mayorista.

Solución:

Para construir la función de ingreso en la venta de la q piñas, tengamos en cuenta que:

Ingreso = precio de venta multiplicado por la cantidad vendida.

En la siguiente tabla podemos observar mejor la construcción de la función de ingreso para la venta de q piñas.

43

Cantidad de piñas vendidas

Precio de venta Ingreso

1 2000 – 10(1) [2000 – 10(1)]*12 2000 – 10(2) [2000 – 10(2)]*23 2000 – 10(3) [2000 – 10(3)]*34 2000 – 10(4) [2000 – 10(4)]*4

q 2000 – 10q (2000 – 10q)*q

Como y = r(q) es el ingreso obtenido al vender q piñas:

r (q )=(2000−10q )q=2000q−10q2

r (q )=2000q−10q2

Para contestar las preguntas 9, 10, 11 y 12 hagamos una plantilla en Excel.

Cantidad vendida

Ingreso obtenido

0 010 1900020 3600030 5100040 6400050 7500060 84000

44

70 9100080 9600090 99000

100 100000110 99000120 96000130 91000140 84000150 75000160 64000170 51000180 36000190 19000200 0210 -21000220 -44000230 -69000240 -96000250 -125000

9. ¿Bajo qué condiciones es esta promoción rentable para el mayorista?Cuando vende 100 piñas, ya que de esta manera su ingreso es de 100000 pesos y es el máximo ingreso que puede obtener.

10.¿Bajo qué condiciones el mayorista obtendrá el máximo ingreso?Cuando vende 100 piñas a un precio de 1000 pesos cada una, con un ingreso máximo de 100000 pesos.

11.¿Cuál es el domino de la expresión anterior?

Dom.q∈ [0,200 ]

12.¿Cuál es el rango de la expresión anterior?

y∈ [0,100000 ]

SITUACIÓN PROBLÉMICA 4. CLASIFICACIÓN SPT1--PP

45

La siguiente situación problémica es una adaptación de una de las experiencias del autor URIBE CÁLAD6

Fíjate bien en la siguiente gráfica y en lo que dice Mateo.

Salí de mi casa a visitar a Mariana. Llegué a su casa y la esperé un rato. Luego, salimos al parque y conversamos. Finalmente volvimos juntos a mi casa.

Contesta:

1. ¿A qué hora salió Mateo de su casa?

Solución:

Observando la gráfica anterior podemos ver que Mateo salió de su casa las 7:30.

2. ¿Cuánto tiempo tardó en llegar a la casa de Mariana y qué distancia recorrió?

6 Ibíd., p. 170.

46

Solución:

Demoró 30 minutos.Recorrió una distancia de 800 metros. (Esto se lee en el eje vertical).

3. ¿Cuánto tiempo debió esperar a Mariana?

Solución:

Esperó aproximadamente 15 minutos.

4. ¿Qué distancia hay de la casa de Mariana al parque?

Solución:

1600m – 800m = 800m

5. ¿Cuánto tiempo tardaron en ir de la casa de Mariana al parque?

Solución:

45 minutos

6. ¿Cuánto tiempo permanecieron en el parque?

Solución:

Una hora y 30 minutos (1:30).

7. ¿Qué distancia hay del parque a la casa de Mateo? ¿Cuánto se demoraron en recorrer esta distancia?

Solución:

1600 metros.

8. ¿Cuánto tiempo transcurrió desde que Mateo salió y regresó a su casa?

Solución:

47

3 horas.


Para la función:

y=f ( x )= 2x+503x2−9x

1. Haga una plantilla en Excel en la cual se observe los valores de y=f (x )para diferentes valores dex.

Solución:

En la columna correspondiente A1 escriba la x, luego empezando en la celda A2 ingrese los números de -10 hasta 10.En la columna correspondiente B1 escriba y, luego en la celda B2 escriba la siguiente fórmula =(2*A2+50)/(3*A2¿ 2-9*A2) De enter y luego despliegue.

X Y-10 0,07692308-9 0,09876543-8 0,12878788-7 0,17142857-6 0,2345679-5 0,33333333-4 0,5-3 0,81481481-2 1,53333333-1 40 #¡DIV/0!

1-

8,66666667

48

2 -93 #¡DIV/0!4 4,833333335 26 1,148148157 0,761904768 0,559 0,41975309

10 0,33333333

2. Explique ¿por qué en la tabla de valores aparece valores de y= f ( x ) con la expresión #¡DIV/0!?

SoluciónPodemos ver que esto sucede cuando x = 0 y x = 3. En estos valores de x el denominador se hace igual a cero y recordemos que la división entre cero está prohibida.Esto quiere decir que x = 0 y x = 3 no pertenecen al dominio de la función.

3. ¿Cuál es el dominio de la función?

Solución:

Dominio todos los reales menos x = 0 y x = 3.

Esto se escribe así:

Domin io : x∈ lR−{0 , 3 }


Para la función:y=f ( x )=√ x2+3 x−18

49


X Y-10 7,21110255-9 6-8 4,69041576-7 3,16227766-6 0-5 #¡NUM!-4 #¡NUM!-3 #¡NUM!-2 #¡NUM!-1 #¡NUM!0 #¡NUM!1 #¡NUM!2 #¡NUM!3 04 3,162277665 4,690415766 67 7,211102558 8,366600279 9,48683298

10 10,5830052

2. Explique ¿por qué en la tabla de valores aparece valores de y= f ( x ) con la expresión #¡NUM!?

Solución

Esto aparece en x = -5, x = -4, x= -3, x = -2, x = -1, x= 0, x = 1 y x = 2.Al reemplazar estos números en la raíz, se obtiene la raíz par de números negativos, que no pertenece a los reales.


Solución:

50

Dom . x∈(−∞ , −6 ]∪[3 , ∞)


Para la función:y=f ( x )=√16−x2


X Y-10 #¡NUM!-9 #¡NUM!-8 #¡NUM!-7 #¡NUM!-6 #¡NUM!-5 #¡NUM!-4 0-3 2,64575131-2 3,46410162-1 3,872983350 41 3,872983352 3,464101623 2,645751314 05 #¡NUM!6 #¡NUM!7 #¡NUM!8 #¡NUM!9 #¡NUM!

10 #¡NUM!

2. Explique ¿por qué en la tabla de valores aparece valores de y= f ( x ) con la expresión #¡NUM!?


51

En las situaciones problémicas anteriores podemos ver algunos conceptos que debemos formalizar, tales conceptos son:Evaluación de funciones.Tipos de funciones y su clasificación.Determinación del dominio.Grafica de las funciones.

EVALUACIÓN DE FUNCIONES.

Consiste en reemplazar en la función a x por el valor indicado y obtener la respectiva y.

Ejemplo1: CLASIFICACIÓN SPT2 – PP

Si y=f ( x )=4 x−3 x2−6

Halle: f (1) , f (−2) , f (0 ) , f ( 2

3 )SOLUCIÓN

Cundo nos piden hallarf (1) , nos piden determinar el valor de y , cundo x=1 ; esto es:

Cundo x=1 , y= f (1)=4(1 )−3(1 )2−6=4−3(1)−6=4−3−6=−5

f (1)=−5 Quiere decir que cundo x=1 , y=−5

f (−2)=4(−2 )−3(−2)2−6=−8−3(4 )−6=−8−12−6=−26

f (−2)=−26 Quiere decir que cuando x=−2 , y=−26

f (0)=4 (0 )−3(0 )2−6=0−3( 0)−6=−6

f ( 23 )=4( 2

3 )−3( 23 )

2−6=8

3−3( 4

9 )−6=83−4

3−6=−14

3

52


Si , y=f ( x )= x−4x+1

Halle : f (1) , f (−1 ), f (4 ) , f (−3)

SOLUCIÓN

f (1)=1−41+1

=−32

f (−1 )=−1−4−1+1

=−50 .

Recuerde que la división entre cero no pertenece a ningún campo numérico, por lo tanto menos uno (-1) no pertenece al dominio de la función (x = - 1 no pertenece al dominio de f(x)).

f (4 )= 4−44+1

=05=0

f (−3 )=−3−4−3+1

=−7−2

=72


Si , y=g( x )=√ x−6 Halle : g (10) , g (0) , g (5) , g (8 )

SOLUCIÓN

g(10 )=√10−6=√4=2

g(0 )=√0−6=√−6 .

Recuerde, que la raíz par de un número negativo no pertenece a los números reales, por lo tanto, x=0 no pertenece al dominio del modelo matemático.

g(5 )=√5−6=√−1 . x=5 No pertenece al dominio.

53

g(8 )=√8−6=√2=1 ,414213562. ..


Para la situación problémica 2 que dice:

Carlos tiene una lámina rectangular de cartón de 30 cm de largo por 20 cm de ancho. Recorta cuadrados de lado x cm en las cuatro esquinas para

construir una caja sin tapa, para la cual la función de volumen es:

v ( x )=4 x3−100 x2+600 x cm3

Se desea hallar el volumen cuando el lado del cuadrado a quitar es de 7 cmEsto es:

v (3 )=4 (7)3−100(7)2+600 (7 )=672 cm3

Enlaces evaluación de funciones:

http://www.youtube.com/watch?v=tqGxgRySDXA

http://www.youtube.com/watch?v=fBuRPI0VcGE&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=FmcyySs_doQ&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=FDB1j9Ze-G8&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=hDerTNynXi4&feature=related

INTERSECCIONES CON LOS EJES:

Una intersección con los ejes es el punto donde la gráfica de la función corta cada uno de los ejes.

Las intersecciones con el eje x (si los hay) se obtienen Haciendo y = 0 y despejando la x.

A partir de una gráfica las intersecciones con el eje x corresponden a los puntos donde la gráfica corta el eje x.

54

http://www.youtube.com/watch?v=hDerTNynXi4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=FDB1j9Ze-G8&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=FmcyySs_doQ&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=fBuRPI0VcGE&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=tqGxgRySDXA

Las intersecciones con el eje y (si los hay) se obtienen Haciendo x = 0.

A partir de una gráfica, las intersecciones con el eje y son los puntos donde la gráfica corta el eje y.

CONTINUIDAD:Se dice que una función es continua en todo su dominio, cuando se puede recorrer toda la gráfica sin tener que levantar la mano, cuando no hay huecos o espacios entre sus gráficas, si algo de esto se llega a presentar se dice que la función es discontinua.

La función y=f ( x ) mostrada en la figura 1 es continua, porque podemos recorrer toda su gráfica sin necesidad de levantar la mano.

La función y=g ( x ) mostrada en la figura 2 es discontinua (no es continua), porque al recorrer su gráfica hay que levantar la mano para continuar, o porque hay un espacio entre sus gráficas. Esta función es discontinua en el punto x1.

Para indicar puntos de discontinuidad se debe nombrar la x del punto.

55

INTERVALOS DECRECIMIENTO E INTERVALOS DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN:

CRECIMIENTO: Se dice que una función es creciente cuando al aumentar la x, la y también aumenta (o viceversa). DECRECIMIENTO: Se dice que una función es decreciente cuando al aumentar la x, la y disminuye (o viceversa).

Entiéndase por x a la variable independiente, entiéndase por y a la variable dependiente.

Función creciente{X↑ Y↑

¿X↓ Y↓

Función decreciente:{X↑ Y↓

¿X↓ Y↑

Gráficamente se puede determinar fácilmente si una función es creciente o decreciente, recorriendo la gráfica de la función de izquierda a derecha, si la sensación es que se sube por la gráfica, quiere decir que en este tramo

56

la función es creciente, y si la sensación es de bajada, quiere decir que en este tramo la función es decreciente.

Para determinar intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento siempre se toma como límites del intervalo el valor de x del punto y los intervalos serán abiertos (en algunos textos se toman cerrados).

Para la figura 3 tenemos que los intervalos de crecimiento y de decrecimiento son:

Crecimiento: x∈ (−∞ , x 1 )∧( x 2,∞ )

Decrecimiento: x∈ ( x1 , x2 )

Enlaces de crecimiento y decrecimiento de funciones

http://www.youtube.com/watch?v=Dgl23EjUtRs

http://www.youtube.com/watch?v=5HHdMwt3X6Q

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

En este tema nos interesa: Identificar el tipo de función, determinar su dominio (a partir de unos valores específicos de x utilizando el Excel), representar

57

http://www.youtube.com/watch?v=5HHdMwt3X6Q

http://www.youtube.com/watch?v=Dgl23EjUtRs

gráficamente la función (utilizando el Derive), determinar intervalos de decrecimiento e intervalos de crecimiento y determinar continuidad y discontinuidad de funciones (Observando la gráfica).

1. FUNCIÓN POLINÓMICA

Una función polinómica es toda función de la forma:

y= f ( x )=an xn+an−1 x

n−1+¿⋅¿⋅+a1 x+a0

Se identifica porque:No tiene variable en logaritmos, no tiene variable en el denominador, no tiene variable dentro de una raíz, no es exponencial, no es trigonométrica.

Ejemplos.

y=g (x )=7 x−3 y=h( x )=7 x3−10 x+2 f ( x )=2 x2−5 x+6

DOMINIO: El dominio de las funciones polinómicas está formado por el conjunto de todos los números reales.

CONTINUIDAD: Las funciones polinómicas son continuos en todo su dominio.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA: La forma de graficar las modelos polinómicas depende de cada tipo de modelo.Las funciones polinómicas se clasifican a su vez en:

1. FUNCIÓN LINEAL Ó FUNCIÓN DE PRIMER GRADO:Es una función de la forma:

y= f ( x )=mx+b

Donde m y bson constantes y representan: m la pendiente y b el intercepto o punto de corte de la línea recta con el eje y.

NOTA:

58

Cuando la pendiente es positiva, la función es siempre creciente.Cuando la pendiente es negativa, la función es siempre decreciente.

La pendiente da información acerca del ángulo de inclinación de la recta con el eje “x” así:Cuando el ángulo de inclinación es menor de 90° la pendiente tiene signo positivo.Cuando el ángulo de inclinación es mayor de 90° la pendiente tiene signo negativo.Cuando el ángulo de inclinación es igual a 90° la pendiente no existe, esto se asocia con división entre cero, en este caso se tiene una recta vertical cuya ecuación es x = c.Cuando el ángulo de inclinación es igual a cero la pendiente también es igual a cero, en este caso se tiene una recta horizontal cuya ecuación es y = b.

GRÁFICA: Para graficar una función lineal es suficiente con dos puntosLos paso a seguir son:

1. Se seleccionan dos valores de x arbitrariamente 2. Cada valor de x seleccionado se reemplaza en el modelo para obtener la

respectiva y.3. Las parejas obtenidas se ubican en el plano cartesiano.4. Unimos los dos puntos obtenidos mediante una línea recta.

Ejemplo1: Para la función y= f ( x )=3x−5 .

1. Halle su dominio.2. Realice su gráfica.3. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de crecimiento.4. Indique si la función es continua ó discontinua, en caso de ser discontinua

indique los puntos de discontinuidad.

SOLUCIÓN

1. Dominio. x∈ lR2. Grafica:

Seleccionamos dos valores de x (los que nosotros queramos) por ejemplo x = 0 y x = 4, con estos valores obtenemos la respectiva y reemplazando en la función.Para x=0 , y= f (0 )=3(0 )−5=−5 .Este punto tiene coordenadas (0, -5).

59

Parax=4 , y= f (4 )=3(4 )−5=12−5=7 .Este punto tiene coordenadas (4,7).

Haciendo una tabla de valores queda.

X 0 4Y -5 7

Ubicamos estos dos puntos en el plano cartesiano y los unimos mediante una línea recta. La gráfica se muestra en la figura 7

FIGURA 7: Gráfica de y= f ( x )=3x−5

3. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de crecimiento.Observando la gráfica de la figura 7 podemos ver que la función es siempre creciente.

60

Creciente: (−∞ ,∞ )La función no decrece.

4. Continuidad: La función es continua en todo su dominio.

Ejemplo2: Para la función y=f ( x )=−4 x+10



SOLUCIÓN

1. Dominio: x∈ lR2. Gráfica:

Sí x=2 y=f (2)=−4 (2)+10=−8+10=2 .Sí x=5 y=f (5 )=−4(5 )+10=−20+10=−10 .

X 2 5Y 2 -10

La gráfica se muestra en la figura 8

61

FIGURA 8: Gráfica de y=f ( x )=−4 x+10

3. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de crecimiento.Como la pendiente es negativa, la función es decreciente, esto también se puede observar en la figura 8.

Decrece: (−∞ ,∞ )

4. Indique si la función es continua ó discontinua, en caso de ser discontinua indique los puntos de discontinuidad. La función es continua en todo su dominio.

Ejemplo3: Para la función: y=g (x )=2



SOLUCIÓN

62

1. Dominio: x∈ (−∞ ,∞ )2. Gráfica.

Podemos ver que para cualquier valor de x, la y siempre tendrá el mismo valor. La gráfica se ve en la figura 9

x - 8 8y 2 2

FIGURA 9: Gráfica de y=g (x )=2

3. Crecimiento de crecimiento.Como la pendiente es igual a cero, la función no crece ni decrece, es una función constante.No crece No decrece.

4. Continuidad. Es siempre continua.

El siguiente enlace nos muestra otra visión de la función lineal

http://www.youtube.com/watch?v=gCqprj3jTzQ&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=BxsVZUHCDMk&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=rIpnGj3Vge0&feature=related


2. FUNCIÓN CUADRÁTICA Ó FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

Es una función de la forma:

y=f ( x )=ax2+bx+c

Donde a, b, c son constantes con a diferente de cero(a≠0 ) .

63


http://www.youtube.com/watch?v=rIpnGj3Vge0&feature=related


http://www.youtube.com/watch?v=gCqprj3jTzQ&feature=related

DOMINIO:Por ser una función polinómica, su dominio corresponde a todos los números reales.

GRÁFICA: Esta modelo corresponde a una parábola y su gráfica depende del valor de a.

Sí a es positiva(a>0 ) . La parábola abre hacia arriba, por lo tanto el vértice de la parábola corresponde a un mínimo.

Sí a es negativa(a<0 ) . La parábola abre hacia abajo, por lo tanto el vértice de la parábola es un máximo.

VERTICE DE UNA PARÁBOLA

El vértice es el punto en el cual la parábola pasa de crecer a decrecer ó de decrecer a crecer.Lo podemos ver en la figura 10:

Esta parábola abre hacia arriba

Esta parábola abre hacia abajo.

Figura 10: Forma de una parábola.

64

Para graficar una parábola se debe tener en cuenta los siguientes pasos:

1. Identificar los valores de las constantes a, b, c:a es coeficiente de x

2

b es coeficiente dexc es el término independiente, número que no tiene variable.

2. Dependiendo del signo de a identificamos hacia donde abre la parábola.

3. Encontramos las coordenadas del vértice:

xvértice=xv=−b2a

yvértice= yv=f ( xv )

Sí a>0 {Decrece (−∞ , xv )Crece (xv ,∞ ) ,

Si a<0 { Crece (−∞ , xv )Decrece (xv ,−∞ )

4. Podemos ubicar las intersecciones con los ejes (opcional).

5. Damos valores a x alrededor del vértice aproximadamente 3 a la izquierda y 3 a la derecha. (Estos puntos incluyen el vértice).

6. Obtenemos la respectiva y reemplazando en el modelo matemático.

7. Ubicamos los puntos anteriores en el plano cartesiano y los unimos mediante líneas.

NOTA: Una función cuadrática es siempre continua.

Ejemplo1: Para la función: y= f ( x )=x

2+6 x+8Determine: Dominio, grafique, determine intervalos de crecimiento y de decrecimiento, determine si la función es continua o discontinua (indique en qué punto):

SOLUCIÓN

65

Dom. x∈ lR Por ser una función polinómica.

Gráfica.

a=1 , b=6 , c=8

Como a es positiva(a=1 , 1>0 ) . La parábola abre hacia arriba.

xv=−62(1)

=−62=−3→ xv=−3

yv= f ( xv )=f (−3 )=(−3 )2+6 (−3 )+8=9−18+8=−1→ yv=−1

El vértice tiene coordenadas (−3 ,−1 )Puntos alrededor de la x del vértice.A su izquierda:

x=−4→ y=(−4 )2+6 (−4 )+8=16−24+8=0x=−4 , y=0x=−5→ y=(−5)2+6(−5 )+8=25−30+8=3x=−5 , y=3x=−6→ y=(−6 )2+6 (−6 )+8=36−36+8=8x=−6 , y=8

A su derecha:

x=−2→ y=(−2)2+6(−2)+8=4−12+8=0x=−2 , y=0x=−1→ y=(−1)2+6 (−1 )+8=1−6+8=3x=−1 , y=3x=0→ y=(0 )2+6 (0)+8=8x=0 , y=8

Vérticex -6 -5 -4 -3 -2 -1 0y 8 3 0 -1 0 3 8

66

Ubicamos estos puntos en el plano cartesiano y los unimos mediante líneas.La gráfica se muestra en la figura 11.

De la gráfica de la figura 11 podemos ver que la función es:

Creciente (−3 ,∞ )

Decreciente (−∞ ,−3 )La función es continua, por ser una función polinómica.

FIGURA 11. Gráfica de:y= f ( x )=x2+6 x+8

Ejemplo2: Para la función y=f ( x )=−3 x2+4 x+5 Determine: Dominio, grafique, determine intervalos de crecimiento y de decrecimiento, determine si el modelo es continuo o discontinuo (indique en qué punto):

67

SOLUCIÓN

Dom.x∈ lRGráfica:a=−3 , b=4 , c=5Como a es negativa . a=−3 (−3<0 ) la parábola abre hacia abajo .

xv=−42(−3)

=−4−6

=23

yv= f ( xv )= f (23 )=−3 (23 )2+4(2

3 )+5=−3∗49

+83

+5=−43

+83+5=19

3Puntos alrededor de la x del vértice:

A su izquierda: x=0 , x=−1 , x=−2

A su derecha: x=1 , x=2 , x=3

Para cada valor obtenemos la respectiva y reemplazando en la función. Los resultados los vemos en la tabla.

Vérticex -2 -1 0 2/3 1 2 3y -15 -2 5 19/3 6 1 -10

Ubicamos estos puntos en el plano cartesiano y los unimos mediante líneas.La gráfica es la mostrada en la figura 12

68

FIGURA 12 Gráfica de: y= f ( x )=−3 x2+4 x+5

Crece: (−∞ ,2/3 )

Decrece:(2/3 ,∞ )Es un modelo continuo.

Enlaces función cuadrática

http://www.youtube.com/watch?v=eIq654T4mcs&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=LTP4RrECJvo&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=0pUnHF1FJ2s&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=IC4ZV4du_Jg&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=PDFZm6L_ge0&feature=fvw

http://www.youtube.com/watch?v=mVodIKYyRF4&feature=related

69

http://www.youtube.com/watch?v=mVodIKYyRF4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=PDFZm6L_ge0&feature=fvw

http://www.youtube.com/watch?v=IC4ZV4du_Jg&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=0pUnHF1FJ2s&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=LTP4RrECJvo&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=eIq654T4mcs&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=oi3inrtM7H0&feature=related

3. MODELO CÚBICO:Es un modelo de la forma:

y=f ( x )=Ax3+Bx 2+Cx+D .

Con A, B, C, D constantes y A diferente de cero.Para graficar estos modelos y los modelos de grado superior a tres, se utilizan otras técnicas que veremos más adelante.

2. FUNCIÓN RACIONAL


y= f ( x )=g( x )h( x )

, con h( x )≠0

Se identifica porque la función tiene x en el denominador.La función racional es la función cociente de dos funciones polinómicas.

DOMINIO:Está formado por todos los números reales menos los polos de la función.Un polo es un valor de x donde el denominador se hace cero.

Para determinar los polos de una función racional (si tiene) se procede de la siguiente manera.

1. Igualamos el denominador a cero.2. Solucionamos la ecuación resultante. Si la ecuación no tiene solución,

quiere decir que la función racional no tiene polos.3. Los valores de x obtenidos son los polos de la función.

Ejemplos: Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Ejemplo1:y=w( x )= 5 x

2 x−5

SOLUCIÓN

70

http://www.youtube.com/watch?v=oi3inrtM7H0&feature=related

Igualamos el denominador a cero.

2 x−5=0→2x=5→x=52

x=52 Es el polo; lo debemos excluir del dominio.

Dom . x∈lRMenos x = 5/2. Otra forma de decir lo mismo es: Dom. x≠5

2

Ejemplo2: y= f ( x )= 4 x−7

2 x2−x−6

SOLUCIÓN

2 x2−x−6=0 → 22∗(2 x2−x−6 )=0 →

4 x2−1 (2 x )−62

=0

(2 x−4 ) (2x+3 )2 =0 →

2 (x−2) (2x+3 ) )2 =0 → ( x−2 ) (2x+3 )=0

x−2=0 → x=2

2 x+3=0 →2 x=−3 → x=−32

Dom . x≠2∧x≠−32

Ejemplo3: y= f ( x )= 3

x2−1

SOLUCÔN

x2−1=0 → ( x+1 ) ( x−1 )=0x+1=0 → x=−1x−1=0 → x=1Dom, x≠1 , x≠−1

Ejemplo4: y=k ( x )=3 x2−6 x+7

x2+3 x+3

SOLUCIÓN

71

x2+3 x+3=0

x=−3±√(3 )2−4 (1 ) (3 )2 (1 )

=−3±√9−122

=−3±√−32

Esta ecuación no tiene solución en los lR, quiere decir que la función no tiene polos, por lo tanto el dominio son todos los números reales.

Dom . x∈lR

NOTA: Una función racional presenta discontinuidad en cada polo.

Procedimiento:

1. Determine el dominio de la función.2. Asigne a “x” valores que se encuentren a la izquierda y a la derecha de

cada polo. Por cada polo que haya asigne como mínimo cinco valores a su izquierda y cinco a su derecha. Tenga en cuenta que a “x” no se le pueden asignar los polos.

3. Obtenemos la respectiva y reemplazando en la función.4. Ubicamos estos puntos en el plano cartesiano.5. Ubique los polos en el plano cartesiano. Por cada polo trazamos líneas

paralelas al eje y; dichas rectas reciben el nombre de asíntotas verticales. Las asíntotas dividen el plano cartesiano de tal manera que los puntos que se encuentren a la derecha de una asíntota vertical no se pueden unir con los puntos que se encuentren a su izquierda.

6. Ubique las asíntotas horizontales. Para ello identifique cual es la “x” de mayor exponente y divida el coeficiente del denominador entre el coeficiente del numerador, el valor obtenido corresponde a la “y” y es la asíntota horizontal. Trace una recta horizontal en “y” igual a dicho valor.

7. Unimos los puntos resultantes con líneas curvas; pero dichas líneas no pueden tocar las asíntotas.

8. Si se quiere una gráfica mejor, podemos ubicar también las intersecciones con los ejes.

Ejemplo1: Para la función: y= f ( x )= 5 x

x+6a. Determine el dominio.b. Determine intersecciones con los ejes.c. Grafique.d. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento.

72

e. Determine si la función es continuo o discontinuo, en caso de que sea discontinua, indique los puntos de discontinuidad.

SOLUCIÓN

Dominio:Igualamos el denominador a cero: x+6=0 → x≠−6Para graficar debemos dar valores a x a la izquierda y a la derecha de menos seis y reemplazando en la función obtenemos la respectiva y. Los valores los podemos ver en la siguiente tabla.

x -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1y 11 12,5 15 20 35 Asint

.-25 -10 -5 -2,5 -1

Para hallar la asíntota horizontal, podemos ver en la función que la “x” de mayor exponente es “x”. El coeficiente de “x” en el numerador es 5 y el coeficiente de “x” en el denominador es 1, los dividimos, entonces la asíntota horizontal es: y=5 /1=5y=5 Es la asíntota horizontal.La gráfica de esta función tiene la forma de la gráfica mostrada en la figura 13.

73

FIGURA 13. Gráfica de: y=f ( x )= 5 x

x+6

Crece: (−∞ ,−6 )∧(−6 ,∞ )La función es discontinuo en x = - 6.

Ejemplo2: Para la función: y=f ( x )=100x

x2−10 x+9a. Determine el dominio.b. Determine intersecciones con los ejes.c. Grafique.d. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento.e. Determine si la función es continuo o discontinuo, en caso de que sea

discontinua, indique los puntos de discontinuidad.

SOLUCIÓN

Dominio:Igualamos el denominador a cero:

74

x2−10x+9=0→ ( x−1 ) ( x−9 )=0x−1=0→ x=1x−9=0→ x=9dominio : x≠1 ∧ x≠9

Asíntota horizontal. La x de mayor exponente es x2. En el numerador

tiene exponente cero (no hay x2en el numerador), en el denominador su

exponente es 1.Asíntota horizontal es: y=0/1=0y=0 Asíntota horizontal

Debemos dar valores a la izquierda y a la derecha de x = 1, y a la izquierda y a la derecha de x = 9

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -6,15 -6,25 -6,06 -5 0 Asint. -28,57 -25 -26,66 -31,25

x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14y -31,25 -40 -58,33 -114,28 Asint. 111,11 55 36,36 27,08 21,53

La gráfica se muestra en la figura 14.

75

FIGURA 14 Gráfica de y=f ( x )=100x

x2−10 x+9

Decrece: (−∞ ,−3 ) , (3,9 )∧(9 ,∞ )

Crece: (−3,1 ) , (1,3 )

La función es discontinuo en x = 1 y en x = 9.

NOTA: Si la función racional a graficar tiene como dominio todos los reales (quiere decir que no tiene polos); en este caso para hacer su gráfica podemos dar valore a x partiendo del cero (de valores a la izquierda y a la derecha del cero).Se asigna a “x” el cero cinco valores a su izquierda y cinco valores a su derecha.

NOTA:

Una función racional es continua en todo su dominio.

Una función racional es discontinua en los polos.

Ejemplo3:

Para la función cuya gráfica se muestra en la figura 15. Indique:

a. Intervalos en los cuales la función es continua.b. La ecuación de cada asíntota vertical y de cada asíntota horizontal.c. Intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento.

76

Figura 15: Gráfica de la función y=f ( x )

SOLUCIÓN

Para y=f ( x )

a. La función es continua en : (−∞,−3 ), (−3 ,1 ) , (1 ,3 ) , (3 ,∞ )b. Asíntotas verticales: x=−3 , x=1∧ x=3 Asíntotas horizontales: y=0c. Crece: (−∞,−3 ), (−3 ,1 )∧ (1 , 2 ] Decrece: [ 2 , 3 )∧ (3 ,∞ )

Ejemplo4:

Para la función y=f ( x )= 5−9 x2

2x2+3x−20

Determine:

77

d. Dominio.e. La ecuación de las asíntotas.f. Indique en que intervalos la función es continua.

g. Halle: f (−35 )

SOLUCIÓN

a. Dominio:2 x2+3 x−20=0

2∗−20=−40

Losnúmeros son8 y−5

2 x2+8 x−5 x−20=0

(2 x2+8x )−(5 x+20 )=0

2 x ( x+4 )−5 ( x+4 )=0

( x+4 ) (2 x−5 )=0

( x+4 )=0∨ (2x−5 )=0

x=−4∨ x=52

Dominio:

x≠−4∧ x≠ 52

b. Asíntotas verticales:

x=−4 , x=52

Asíntotas horizontales: y=−92

78

c. Continuidad: (−∞,−4 ) ,(−4 , 52 ) ,( 5

2,∞)

d. f (−35 )

f (−35 )=

5−9(−35 )

2

2(−35 )

2

+3 (−35 )−20

=5−9( 9

25 )2( 9

25 )−95−20

=5−

8125

1825

−95−20

=

125−8125

18−45−50025

¿

4425

−52725

=−44∗25527∗25

=−44527

f (−35 )=−44

527

GRAFICA DE FUNCIONES RACIONALES CON ASÍNTOTAS OBLICUOAS

Las asíntotas oblicuas se presentan cuando la función racional tiene la forma:

y= p ( x )q ( x )

Y se tiene que la función p ( x ) es un grado mayor que la función q ( x )

Y además se tiene que tanto p ( x ) como q ( x ) no tiene factores comunes.

En este caso la asíntota oblicua se obtiene efectuando la división de

p ( x )q ( x ) cuyo

resultado es:

79

C ( x )+R ( x )q ( x )

Dónde:

C ( x ) :Es el cociente de la división y corresponde a una línea recta, esta es la asíntota oblicua.

R ( x ) : Es el residuo que resulta de la división.

R (x )q ( x )

: Es la función racional a graficar, se grafica igual que en los ejercicios

anteriores.

La gráfica de y= p ( x )

q ( x )=C ( x )+ R ( x )

q (x ) tiende a tocar a la asíntota oblicua pero ni la toca ni la corta.

Ejemplo1:

El siguiente ejemplo es una adaptación de uno de los ejemplos del autor ZILL7

Grafique la función: f ( x )= x2−x−6

x−4

7 ZILL. Dennis G; DEWAR. Jacqueline M. Algebra y Trigonometría. 2 ed. México: Mc Graw Hill. 1995. p. 231.

80

SOLUCIÓN

Dominio:

x−4=0⇒ x=4

Dom . x≠4

Sabemos que la recta x=4 es una asíntota vertical.

Para determinar las asíntotas oblicuas debemos efectuar la división

x2−x−6x−4

SOLUCIÓN DE LA DIVISIÓN

x2 −x −6 x−4

−x2 +4 x x+3

3 x −6

−3 x +12

6

En esta división tenemos que:

C ( x )=x+3

R( x )=6

p( x )=x−4

Por lo tanto:

81

f ( x )= x2−x−6x−4

=x+3+ 6x−4 , es decir:

f ( x )=x+3+ 6x−4

La asíntota oblicua es la recta:

y=x+3

Para hacer esta gráfica se procede así:

1. Asignamos valores a x a la izquierda y a la derecha del polo que es x = 4

x -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 0.8 1.5 2 2 0 Polo 14 12 12 12.5 13.2

2. En el plano cartesiano graficamos la asíntota vertical x = 4.

3. En el plano cartesiano ubicamos la asíntota oblicua y = x + 3Para graficar esta asíntota buscamos las coordenadas de dos puntos de la siguiente manera:

Si x=0 , y=0+3=3Si y=0 , 0= x+3⇒−3=x

La tabla de valores para la asíntota es:

82

x 0 3y - 3 0

4. Ubique los puntos en el plano cartesiano y únalos.La gráfica se ve en la figura 16.

Figura 16: Gráfica de: f ( x )= x2−x−6

x−4

Ejemplo2:

El siguiente ejemplo es uno de los ejercicios propuestos por el autor ZILL.8

8 Ibíd., p. 233.

83

Grafique: f ( x )= x

2−2xx+2

SOLUCIÓN

Dominio:

x+2=⇒ x=−2⇒Dom. x≠−2

Asíntotas verticales:

La recta x=−2

Asíntotas oblicuas.

x2 −2 x +0 x+2

−x2 −2 x x−4

−4 x +0

+4 x +8

+8

Se debe graficar: f ( x )=x−4+ 8

x+2

La asíntota oblicua es la recta: y=x−4

La gráfica de esta función se ve en la figura 17.

84

Figura 17: Gráfica de: f ( x )= x2−2x

x+2

NOTA:

Para realizar la gráfica de las funciones vistas se puede utilizar como herramienta el PC.

Enlaces función racional

http://www.youtube.com/watch?v=opcIlP0qGTI&feature=related

85


http://www.youtube.com/watch?v=opcIlP0qGTI

http://www.youtube.com/watch?v=rqxYrRopUEg

http://www.youtube.com/watch?v=8eAfMqRXwbY

http://www.youtube.com/watch?v=FMEJUSFyw2A&feature=fvsr

http://www.youtube.com/watch?v=adxHYh-0OHM&feature=fvsr

3. FUNCIÓN IRRACIONAL


y=f ( x )=n√g (x ).Se identifica porque tiene variable dentro de un radical.Llamamos función irracional a aquella en la que la variable aparece elevada a exponentes racionales no enteros.

DOMINIO:Se presentan dos casos:

Caso #1:Si la raíz es impar el dominio corresponde a todos los números reales: Dom. x∈ lR .

Caso #2:Si la raíz es par, se debe garantizar que los valores que se le asignen a “x” hagan positivo todo dentro de la raíz.

Procedimiento:

1. Plantee la inecuación g( x )≥0 .

86

http://www.youtube.com/watch?v=adxHYh-0OHM&feature=fvsr

http://www.youtube.com/watch?v=FMEJUSFyw2A&feature=fvsr

http://www.youtube.com/watch?v=8eAfMqRXwbY

http://www.youtube.com/watch?v=rqxYrRopUEg

http://www.youtube.com/watch?v=opcIlP0qGTI

2. Se soluciona la inecuación.3. La solución de la inecuación es el dominio de la función irracional.4. Si la inecuación planteada no tiene solución o si toda dentro de la raíz par

es positivo, quiere decir que el dominio de la función es todos los reales: Dom x∈lR .

Ejemplo1: Determine el dominio de: y=f ( x )=√x2+2x−15

SOLUCIÓN

Esta es una inecuación cuadrática.

PASOS:

1. Todo lo que está dentro de la raíz debe ser mayor o igual que cero, se debe plantear la inecuación: x

2+2 x−15≥0

2. Encuentre los números críticos de la expresión resultante. Esto es iguale a cero y resuelva la ecuación resultante, los valores obtenidos son los números críticos de la expresión. Un número crítico es un número donde una expresión se hace cero, es decir, donde posiblemente hay cambio de signo en la expresión.Para el ejemplo: x

2+2 x−15=0→ x=−5∨x=3 Estos son los números críticos.

3. Ubique los Números críticos en la recta numérica.

4. Evalúe el signo de la expresión obtenida en el paso uno. Para ello se toma un número que se encuentre a la izquierda del primer número crítico, se toma un número que se encuentre entre ambos números críticos y se toma un número que se encuentre a la derecha del segundo número crítico. Estos números se reemplazan en la expresión obtenida en el paso uno y el signo del resultado se coloca en la recta numérica.

5. La respuesta o solución de la inecuación, se da tomando los intervalos que cumplan con el sentido de la desigualdad. Para ello nos fijamos en el sentido de la desigualdad de la expresión obtenida en el paso dos.Sí dice: ¿0 Se toman los ++++, sin incluir los números críticos.

87

Sí dice: ¿0 Se toman los ++++, incluyendo los números críticos.

Sí dice: ¿0 Se toman los-------, sin incluir los números críticos.

Sí dice: ¿0 Se toman los ------, incluyendo los números críticos.

La solución de la inecuación es: x∈(−∞ ,−5 ]∪[ 3 ,∞)

Este es el mismo dominio del modelo: Dom. x∈(−∞ ,−5 ]∪[ 3 ,∞)

Ejemplo2: Determine el dominio de: y= f ( x )=√3 x−5

SOLUCIÓN

Se debe solucionar la siguiente inecuación:

3 x−5≥0→3 x−5=0⇒3x=5→ x=53

Ubicando en la recta numérica

88

Dominio : x∈[5 /3 ,∞)

Ejemplo3: Determine el dominio de: y=√x2−9

SOLUCIÓN

Se debe solucionar la siguiente inecuación:

x2−9≥0

Se debe resolver la ecuación:

x2−9=0x2−9=0⇒ ( x+3 ) ( x−3 )=0⇒ x+3=0∨x−3=0

x=−3∨x=3

Ubicando estos dos valores en la recta numérica y dando valores a la izquierda y a la derecha de cada uno de ellos tenemos:

89

Podemos ver que llegamos a la solución:

x∈(−∞ ,−3 ]∪[ 3 ,∞)El dominio es este mismo intervalo.

Ejemplo4: Determine el dominio de: y=g (x )=√6 x2−7 x−3

SOLUCIÓN

Se debe solucionar la desigualdad:

6 x2−7x−3≥0

Se debe resolver la ecuación:

6 x2−7x−3=0

66

(6 x2−7 x−3 )=0⇒36 x2−7 (6 x )−18

6=0⇒

(6 x−9 ) (6 x+2 )6

=0

3 (2 x−3 )2 (3x+1 )6

=0⇒ (2x−3 ) (3 x+1 )=0⇒2 x−3=0∨3 x+1=0

2 x−3=0⇒2x=3⇒ x=32∨3x+1=0⇒3 x=−1⇒ x=−1

3

La solución de la ecuación es:

x=32∨x=−1

3

90

Ubicamos estos dos números en la recta numérica y determinamos el signo a la izquierda y a la derecha de cada uno de ellos.

El dominio de la función es:

Dom . . x∈=(−∞ ,−13]∪[ 3

2,∞)

Ejemplo5: Determine el dominio de: y=g (x )=7√5 x−7

SOLUCIÓN

Como la raíz es impar el dominio es todos los números reales

Dom . x∈lR

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN IRRACIONAL:

1. Determine el dominio de la función.2. Asigne valores a x que estén dentro de cada intervalo empezando

por los extremos. Por cada intervalo asigne aproximadamente cinco valore.

3. Para cada valor se obtiene la respectiva y reemplazando en la función.

4. Se ubican estos puntos en el plano cartesiano.5. Se unen los puntos mediante líneas.6. Los puntos de intervalos diferentes no se pueden unir entre si.

91

Ejemplo1: Para la función: y= f ( x )=√x2+6x+5

a. Determine el dominio.b. Grafique.c. Determine intervalos de crecimiento y de decrecimiento.d. Determine si es continuo o discontinuo.

SOLUCIÓN

Debemos determinar primero el dominio.

x2+6 x+5≥0x2+6 x+5=0( x+1 ) ( x+5 )=0x+1=0∨x+5=0x=−1∨x=−5


El dominio queda.

Dom . x∈(−∞ ,−5 ]∪[−1,∞)

Los valores de x que debemos dar son: El menos cinco y cuatro valores a la izquierda de x = - 5 y el menos uno y cuatro valores a la derecha de x = -1.

92

La gráfica es la mostrada en la figura18

x -9 -8 -7 -6 -5 -1 0 1 2 3y 5,65 4,58 3,46 2,23 0 0 2,23 3,46 4,58 5,65

FIGURA 18. Gráfica de y= f ( x )=√x2+6x+5

Crece: (−1 ,∞ )

Decrece:(−∞ ,−5 )

93

Ejemplo2: Para la función y=f ( x )=√2−xa. Determine el dominio.b. Grafique.c. Determine intervalos de crecimiento y de decrecimiento.d. Determine si es continuo o discontinuo.

SOLUCIÓN

Dominio:2−x≥0→− x≥−2→ x≤2Dom . x∈(−∞ ,2 ]

Debemos dar valores empezando en 2 y menores, lo podemos ver en la tabla.

x -2 -1 0 1 2y 2 1,73 1,41 1 0

La gráfica se muestra en la figura 19

94

FIGURA 19 Gráfica de: y=f ( x )=√2−x

Decrece: (−∞ ,2 )La función es continua.

NOTA:Si el dominio de una función irracional es todos los números reales (esto se presenta cuando la raíz es impar o cuando la inecuación no tiene solución). Para hacer su gráfica podemos tomar como referencia el cero (Damos valores a x a la izquierda y a la derecha del cero).

NOTA:Una función irracional es continua en todo su dominio.

Ejemplo3:

Para la función y=√−3 x2−10 x+48

Determine:

a. Dominio.

b. Halle: f (−83 )

SOLUCIÓN

a. Dominio−3 x2−10 x+48≥0

−3 x2−10 x+48=0

3 x2+10 x−48=0

3∗−48=−144

95

Losnúmeros sonel18 yel−8

3 x2+18 x−8 x−48=0

3 x2+18 x−8 x−48=0

3 x ( x+6 )−8 ( x+6 )=0

( x+6 ) (3 x−8 )=0

( x+6 )=0∨ (3 x−8 )=0

x=−6∨ x=83

Dominio:

x∈[−6 , 83 ]

b. f (−83 )

f ( 83 )=√−3 (−8

3 )2

−10 (−83 )+48=√−3( 64

9 )+ 803

+48

¿√−643

+803

+48=√−64+80+1443

f ( 83 )=√ 160

3

Enlaces función irracional

http://www.youtube.com/watch?v=BCjQrBEBGdU

http://www.youtube.com/watch?v=QUCCVAEu4TM

http://www.youtube.com/watch?v=GwkbhPJiHDk&feature=related

96

http://www.youtube.com/watch?v=GwkbhPJiHDk&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=QUCCVAEu4TM

http://www.youtube.com/watch?v=BCjQrBEBGdU

http://www.youtube.com/watch?v=rjYLm4O0_6Q

http://www.youtube.com/watch?v=WRGerv-iDXM&feature=related

4. FUNCIÓN ALGEBRAICA

Se llama función algebraica a una función f que puede expresarse como combinaciones de sumas, restas, divisiones, potencias o raíces de funciones polinómicas.

Entonces todas las funciones polinómicas, racionales e irracionales son algebraicas, pero también lo son cualquier combinación de estas.

Ejemplo1:

y=g (x )=√ 2 x−35x+1

Ejemplo2:

f ( x )= √ x5 x+2

Para determinar el dominio de estas funciones se debe tener en cuenta el tipo de funciones que se están combinando.

Determine el dominio de las siguientes funciones

97

http://www.youtube.com/watch?v=WRGerv-iDXM&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=rjYLm4O0_6Q

Ejemplo1: y=f ( x )= √ x

x−1

SOLUCIÓN

Se debe cumplir que x≥0∧x−1≠0

Es decir: x≥0∧x≠1

Ubicando en la recta numérica tenemos que:

Dominio: x∈[ 0,1)∪(1 ,∞]

Ejemplo2:√ x2−92 x−1

SOLUCIÓN

Se debe cumplir que:

x2−92 x−1

≥0⇔ x2−9=0∧2x−1=0

x=−3∨x=3∨x=1/2

98

Dominio: x∈[−3 , 1

2)∪[3 ,∞)

En x=1

2 el intervalo es abierto, ya que en dicho valor el denominador se

hace cero, es decir, x= 1

2 es un polo.

Ejemplo3: y=g (x )=20 x−7

√5−3 x

SOLUCIÓN

Se debe cumplir que 5−3x>0

5−3x=05=3x53=x

99

Ubicando en la recta numérica:

Dominio: x∈(−∞ , 5

3 )

NOTA:

Una función algebraica es continua en todo su dominio.

Para graficar estas funciones veremos más adelante unas técnicas más apropiadas utilizando la derivada.

Pero lo podemos hacer utilizando una herramienta informática como el Excel ó el Derive.

Utilizando herramienta informática grafique las siguientes funciones, halle también el dominio.

100

Ejemplo1: f ( x )=√ 2x−3

x2−25

SOLUCIÓN

Para hallar el dominio, se debe cumplir que:

2 x−3≥0∧x2−25>0

2 x−3=0⇒2x=3⇒ x=32

x2−25=0⇒ (x+5 ) ( x−5 )=0⇒ x+5=¿ x−5=0⇒ x=−5∨x=5

A continuación ubicamos estos puntos en la recta numérica y luego determinamos el signo de la expresión irracional a la izquierda y a la derecha de cada uno de estos números.

101


Dom . x∈(−5 , 32]∪ (5 ,∞ )

La grafica hecha en derive es la mostrada en la figura 20 donde x=−5∧x=5

Son asíntotas verticales.

102

Figura 20. Grafica de: f ( x )=√ 2x−3

x2−25

Ejemplo2: f ( x )=√9 x−3 x2

x−1

SOLUCIÓN

Para determinar su dominio, se debe cumplir que:

9 x−3 x2≥0∧x−1≠0

103

9 x−3 x2=0⇒3 x (3−x )=0⇒3 x=0∨3−x=0⇒ x=0∨x=3∧

x−1=0⇒ x=1

Ubicando estos tres valores en la recta numérica, tenemos:


x∈[ 0,1)∪(1,3 ]

La gráfica, hecha con el derive, la podemos ver en la figura 21. Podemos ver que la recta x=1 es una asíntota horizontal.

104

Figura 21. Grafica de f ( x )=√9 x−3 x2

x−1

Enlaces dominio funciones algebraicas.

http://www.youtube.com/watch?v=N-5-UZszfWo&feature=fvw

http://www.youtube.com/watch?v=IOY19h2EUqk&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=y7pyPffU0kA&feature=fvsr

FUNCIONES TRASCENDENTES

Son funciones que no son algebraicas, entre estas funciones tenemos las funciones exponenciales, las funciones trigonométricas, las funciones logarítmicas, las funciones trigonométricas inversas y las funciones hiperbólicas entre otras.

105

http://www.youtube.com/watch?v=y7pyPffU0kA&feature=fvsr



5. FUNCIÓN EXPONENCIAL


y= f ( x )=bg(x ) Exponencial generalCon b>0 , b≠1

DOMINIO:El dominio depende de g(x).Ejemplos: Determine el dominio de las siguientes funciones:

Ejemplo1:y= f ( x )=5x

SOLUCIÓN

Es una función exponencial que tiene en el exponente un polinomio, su dominio corresponde a todos los números reales.

Dom. x∈ lR

Ejemplo2:y= f ( x )=e2 x+1

SOLUCIÓN

Como en el exponente hay una función lineal: Dom. x∈ lR .

Ejemplo3: y=f ( x )=e5 xx−4

SOLUCIÓN

Como en el exponente hay una función racional, el dominio será todos los reales menos los polos.

x−4=0⇒ x=4

Dom. x≠4 .

Grafica de funciones exponenciales:

106

Si el dominio es x∈ lR para su grafica asigne a x el cero y aproximadamente 2 ó 3 valores a su izquierda y 2 ó 3 valores a su derecha.

Si el dominio no es todos los reales, para graficar siga las pautas de la gráfica de la expresión que está en el exponente.

Ejemplo1: Para la función: y= f ( x )=5x

1. Determine el dominio: Dom. x∈ lR .2. Determine intersecciones con los ejes:

x = 0, y=50=1 (0,1) Intersección con el eje y. Con el eje x no tiene intersecciones, ya que si y =

0 queda 0=5x⇔ log5 0=x , el logaritmo de cero no existe, por lo tanto la ecuación no tiene solución.

3. Grafique. Los puntos para la gráfica se muestran en la siguiente tabla y la gráfica se muestra en la figura 22.

Si x = - 3, y=5−3= 1

53= 1

125=0 .008

Si x = - 2, y=5−2= 1

52= 1

25=0. 04

Si x = - 1, y=5−1=1

5=0 .2

Si x = 0, y=50=1Si x=1 , y=51=5Si x=2 , y=52=25Si x=3 , y=53=125

X -3 -2 -1 0 1 2 3Y 0,008 0,04 0,2 1 5 25 125

4. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Crece (−∞ ,∞ )

107

FIGURA 22. Gráfica de: y= f ( x )=5x

Ejemplo2: Para la función: y= f ( x )=35 x+1

1. Determine el dominio: El dominio es todos los reales, ya que en el exponente hay un polinomio. Dom. x∈ lR .

2. Determine intersecciones con los ejes:

x=0⇒ y=35(0)+1=31=3⇒(0,3 )Esta es la intersección con el eje y.

Con el eje x no tiene intersecciones, ya que si y = 0, la ecuación 0=35 x+1,

no tiene solución.

3. Grafique.

108

Para hacer la grafica, se debe asignar a x: El cero y cinco valores a su izquierda y cinco a su derecha, como lo muestra la tabla.

X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 0.0 0.

00.0 0.

00.01 3 729 17714 4304672

110460353203 2541865828329

La grafica se muestra en la figura 23.

4. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento.

La función crece (−∞ ,∞ )

Figura 23: Grafica de y=f ( x )=35 x+1

Ejemplo3:

Para la función: y= f ( x )=e2 x−1x2−4

1. Determine el dominio:

Como en el exponente hay una función racional para determinar su dominio hacemos el denominador del exponente igual a cero

x2−4=0⇔(x−2)( x+2)=0⇔ x−2=0∨x+2=0x=2∨x=−2

Dominio: x≠2∧x≠−2

109

2. Determine intersecciones con los ejes:

x=0⇒ y=e2(0)−1(0)2−4 ⇒ y=e

−1−4 ⇒ y=e1/4⇒ y=1 ,284 . ..

(0,1 ,284 .. .) Es el intercepto con el eje y.

Con el eje x no tiene intercepto.

3. Grafique.

Para la gráfica asigne a x cinco valores a la izquierda de –2, cinco valores entre –2 y 2 y cinco valores a la derecha de 2. A continuación se muestrean estos valores en la tabla.

X -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7Y 0.7 0.6 0.5 0.4 0.2 nad

a2.7 1.2 0.7 nada 2.7 1.7 1.5 1.4 1.3

La grafica se muestra en la figura 24.

4. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento.

La función crece (−∞ ,∞ )

Figura 24. Grafica de y= f ( x )=e2 x−1x2−4

NOTA:Una función exponencial es continua en todo su dominio.

110

Enlaces para funciones exponenciales

111

http://www.youtube.com/watch?v=cXnw6kzqASI&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=Uee7HeiCkt4

http://www.youtube.com/watch?v=pogo0SmmSbE

http://www.youtube.com/watch?v=eHGKhPA5dF0&feature=PlayList&p=77286F52BE3722A4&playnext=1&playnext_from=PL&index=1

http://www.youtube.com/watch?v=bJ6-A_wxDuo&feature=PlayList&p=FDC4EC1973B5CD8F&playnext=1&playnext_from=PL&index=57

http://www.youtube.com/watch?v=aPVTZAxOykY&feature=PlayList&p=77286F52BE3722A4&index=0&playnext=1

http://www.youtube.com/watch?v=wW7UQGAw_sA&feature=PlayList&p=77286F52BE3722A4&playnext=1&playnext_from=PL&index=2

6. FUNCIÓN LOGARÍTMICA


y=f ( x )=logb g (x ).Con b>0 , b≠1

DOMINIO:Para hallar el dominio se debe resolver la inecuación: g( x )>0

Ejemplos: Determine el dominio y las intersecciones con los ejes de las siguientes funciones:

Ejemplo1:y= f ( x )=log3 x

SOLUCIÓN

112












http://www.youtube.com/watch?v=pogo0SmmSbE

http://www.youtube.com/watch?v=Uee7HeiCkt4

http://www.youtube.com/watch?v=cXnw6kzqASI&feature=related

DOMINIO: Se debe plantear y solucionar la inecuación: x>0 Dom. x∈ (0 ,∞ ) .

INTERSECCINES CON LOS EJES:

Con el eje y si x = 0, y=log3 0 No existe, no hay intersecciones con el eje y.

Con el eje x: y=0⇒0= log3 x=0⇒ x=30⇒ x=1⇒ (1, 0).

Ejemplo2: y=f ( x )=log2(2 x−3 )

SOLUCIÓN

DOMINIO: 2 x−3>0⇒2 x−3=0⇒2 x=3⇒ x=3

2


INTERSESCCIONES CON LOS EJES:

Si x=0⇒ y=log2 (2(0)−3)=log2(−3 ) No existe . No hay intersección con el eje y.

Si y=0⇒0=log2(2 x−3 )⇒2x−3=20

2x−3=1⇒2x=1+3⇒2x=4⇒ x=4 /2⇒ x=2(2,0 ) int ersescción con eje x

Ejemplo3:y=f ( x )=log (x2−4 )

SOLUCIÓN

113

DOMINIO: x2−4>0

x2−4=0⇒ ( x+2 ) ( x−2 )=0⇒ x+2=0∨x−2=0x=−2∨x=2


Dom . x∈ (−∞ ,−2 )∪(2 ,∞ )

INTERSECCIONES:

Si x=0⇒ y=log ((0)2−4 )=log(−4 ) no existe . No hay intersección con el eje y.

Si y=0⇒0=log ( x2−4 )⇒ x2−4=100

x2−4=1⇒ x2−4−1=0⇒ x2−5=0x=√5∨x=−√5

(√5 ,0 )∧(−√5 ,0 ) Intersecciones con el eje x.

Ejemplo4:y= ln(5 x+10 )

SOLUCIÓN

DOMINIO: 5 x+10>0

5 x+10=0⇒5 x=−10⇒ x=−10/5⇒ x=−2


114

Dom . x∈ (−2 ,∞ )

INTERSECCIONES:Si x=0⇒ y=ln (5 (0)+10 )⇒ y= ln10⇒ y=2 ,302⇒(0 , 2,302 .. .)con el eje y.

Si y=0⇒0=ln (5 x+10 )⇒ 5 x+10=e0

5 x+10=1⇒5 x=1−10⇒5 x=−9⇒ x=−9 /5 (−9/5,0 ) Con el eje x.

ASPECTOS A TENER EN CUENTA PARA OPERAR CON LOGARITMOS:

La calculadora solo tiene dos teclas para trabajar logaritmos:

La tecla log que significa log10

La tecla ln que significa log eExtraer log o ln con estas calculadoras es sencillo.En una calculadora Casio fx−82MS o similar, que se identifican porque ellas operan igual que como se escribe, el procedimiento es el siguiente:

Ejemplo1:Obtenga:

SOLUCIÓN

log 20 . Digite la tecla log , digite el número 20, digite la tecla igual y el resultado obtenido es: 1.30109996En la gráfica se muestra la secuencia:

Ejemplo2:Obtenga:

115

SOLUCIÓN

ln 135 . Digite la tecla ln , digite el número 135 , digite la tecla igual, el resultado obtenido es: 4 . 905274778

Hay calculadoras que trabajan en orden diferente al que se escribe, para estas calculadoras el procedimiento es:

log 20 . Digite el número 20 , digite la tecla log , el resultado obtenido es: 1.30109996. La secuencia se ve en la gráfica 1.30109996.

ln 135 Digite el número 135 , digite la tecla ln , el resultado obtenido es: 4 . 905274778

Cuando la base del logaritmo es diferente a 10 o a e, se debe hacer cambio de base, para ello se aplica la siguiente fórmula:

log AB=lnBln A

= logBlog A

Ejemplos: Calcule los siguientes logaritmos:

log 224= log 24

log 2=ln 24

ln 2=4 .584962501

log3 625= log625

log3= ln625

ln3=5 .859894083

GRAFICA DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS:

Se debe asignar valores a x dentro de cada intervalo, se recomienda asignar a x aproximadamente cinco valores por intervalo, empezando en un valor ligeramente mayor o menor que cada extremo del intervalo

Los extremos de cada intervalo son asíntotas verticales.

Ejemplo1: Para la función: y=f ( x )=log2 x

1. Determine el dominio:

116

SOLUCIÓNx>0x=0


Dom. x∈ (0 ,∞ ) .

2. Determine intersecciones:

SOLUCIÓNCon el eje x:

Si y = 0, 0=log2 x⇒20=x⇒ x=1⇒ Inter sec ción : (1,0 )

No tiene con el eje y, ya que si x = 0, y= log20 , no existe .

3. Grafique:Los valores se muestran en la tabla, la gráfica se muestra en la figura 25.x = 0 es una asíntota vertical

4. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Crece (0 ,∞)

X 0,2 0,5 1 2 3 4Y -2,32... -1 0 1 1,58... 2

117

FIGURA 25. Gráfica de y= f ( x )=log2 x

Ejemplo2: Para la función: y=f ( x )=log5(2x−10 )1. Determine el dominio:

SOLUCIÓN

2 x−10>02 x−10=0⇒2x=10⇒ x=10/2⇒ x=5


118

Dom. x∈ (5 ,∞ ) .

2. Determine intersecciones:

SOLUCIÓN

Si x = 0, y=log5(2 (0 )−10)=log5 (−10 ) No existeNo tiene con el eje y.Con el eje x Si y = 0,

0=log5 (2x−10 )⇒50=2 x−10⇒1=2 x−10⇒1+10=2x

11=2x⇒11

2=x

Intersección con el eje x es: (11/2,0).

3. Grafique:Los valores se muestran en la tabla, la gráfica se muestra en la figura 26.x = 5 es una asíntota vertical.

X 5 6 7 8 9 10 11y Asintota

vert.0.43... 0.86... 1.11... 1.29... 1.463... 1.54...

5. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Crece

119

Figura 26. Grafica de y= f ( x )=log5 (2x−10 )

NOTA:Una función logarítmica es continua en todo su dominio.

En el siguiente enlace nos presentan una visión de las funciones cuadráticas, logarítmicas y exponenciales.

http://www.youtube.com/watch?v=bSgmlSW-RVY&feature=related

Enlaces de función logarítmica

http://www.youtube.com/watch?v=FGwxP3F5Qj0

http://www.youtube.com/watch?v=MMXOEhzSsYY

http://www.youtube.com/watch?v=h-6XK99tcVo

http://www.youtube.com/watch?v=avU9orGN_oc

120

http://www.youtube.com/watch?v=avU9orGN_oc

http://www.youtube.com/watch?v=h-6XK99tcVo

http://www.youtube.com/watch?v=MMXOEhzSsYY

http://www.youtube.com/watch?v=FGwxP3F5Qj0

http://www.youtube.com/watch?v=bSgmlSW-RVY&feature=related

7. FUNCIÓN DEFINIDA POR TRAMOS.

Este tipo de funciones también reciben el nombre de:

FUNCIÓN DEFINIDA POR PARTES O FUNCIÓN DEFINIDA POR TRAMOS O FUNCIÓN SECCIONALMENTE DEFINIDA.

Ejemplo1: Grafique la función:

y= f ( x )={1−x si x≤1x2 si x>1

SOLUCIÓN

Cuando x≤1 Se debe utilizar f ( x )=1−x , como es una línea recta asignemos a x el 1 y el menos dos para hacer su gráfica.

x 1 -2y=1−x 0 3

El valor correspondiente a x=1 si hace parte de esta gráfica, por esto se coloca en dicho punto un punto lleno.

Cuando x>1 , se debe utilizar f ( x )=x2, es una parábola, demos a x

valores de 1 en adelante:

x 1 2 3 4 5y=x2 1 4 9 16 25

Tenga en cuenta que para este tramo el valor x=1 no hace parte de esta figura, para indicar esto en la gráfica se hace con un punto hueco.La gráfica se muestra en la figura 27.

121

Figura 27. Grafica de la función: y=f ( x )={1−x si x≤1

x2 si x>1

Ejemplo2: Para la función:

y= f ( x )={3 x+2 si x≤−2x2+1 si x>−2

Halle:

f (0) , f (−1 ), f (−2 ) , f (10) , f (−5 ) , f (−2 )

SOLUCIÓN

Como x=0 es mayor que – 2, debemos reemplazar en el tramo: x2+1

f (0)=(0 )2+1=1

Como x=−1 es mayor que – 2, debemos reemplazar en el tramo: x2+1

f (−1 )=(−1 )2+1=1+1=2

122

Como x=10 es mayor que – 2, debemos reemplazar en el tramo: x2+1

f (10)=(10 )2+1=100+1=101

Como x=−5 es menor que – 2, debemos reemplazar en el tramo: 3 x+2

f (−5 )=3 (−5 )+2=−15+2=−13

Como x=−2 es igual a – 2, debemos reemplazar en el tramo: 3 x+2

f (−2)=3 (−2 )+2=−6+2=−4

Grafique:

SOLUCIÓN

Para graficar esta función damos 5 valores a x menores ó iguales a – 2 (incluyendo el – 2) y los reemplazamos en 3 x+2 . Y damos 5 valores a x mayores que – 2 (sin incluir el – 2) y los reemplazamos en x

2+1 .Para ello completamos la siguiente tabal de valores:

x −6 −5 −4 −3 −2y=3 x+2 −16 −13 −10 −7 −4x −1 0 1 2 3

y=x2+1 2 1 2 5 10

La grafica es la mostrada en la figura 28.

123

Figura 28.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN: y=f ( x )={3 x+2 si x≤−2

x2+1 si x>−2

Enlaces para funciones por tramos

http://www.youtube.com/watch?v=jkUW3dtMSyU&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=F8lDKlw4N-U&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=5Z52EpuyYOw&feature=related

FUNCIONES ESPECIALES:

1. y=f ( x )=|x| Función valor absoluto de x: Esta función toma cualquier número y lo convierte a positivo.

y=f ( x )=|x|={ x si x≥0−x si x<0

El dominio de esta función es todos los reales.

Tarea: Grafique esta función.Ejemplo:

124

http://www.youtube.com/watch?v=5Z52EpuyYOw&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=F8lDKlw4N-U&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=jkUW3dtMSyU&feature=related

Si y= f ( x )=|x|Halle:

1. f (2)=|2|=2

2. f (−3 )=|−3|=3

3. f (0)=|0|=0

4.f (−3 /5)=|−3

5|=3

5

2. y=f ( x )=[ [x ] ] Se llama función mayor entero menor o igual a x. Esta función toma cualquier número y lo convierte en el entero más próximo menor o igual que el número de entrada.El dominio de esta función es todos los números realesEjemplo:

Si y=f ( x )=[ [x ] ]Halle:

1. f (5)=[ [5 ] ]=5

2. f (9 .5 )=[ [ 9 . 5 ] ]=9

3. f (0)=[ [0 ] ]=0

4. f (−4 .65)=[ [−4 .65 ] ]=−5

5. f (2/5)= [ [2/5 ] ]= [ [0 . 4 ] ]=0

6. f (√30 )=[ [√30 ]]=[ [5 .47 . . ] ]=5

Queda como tarea graficar esta función e indicar si es continua o discontinua, en caso de ser discontinua indique en que valores de x lo es.

3. f ( x )=signo( x ). Se llama función signo de x y se define como:

f ( x )={ 1 , si x>00 , si x=0−1 , si x<0

Para la función halle:1. f (10)=1

2. f (−2)=−1

3. f (0)=0

4. f (√3 )=1

125

5. f (−2/3 )=−1

4. Grafique: y=f ( x )=|2x+1|

5. Grafique: y= f ( x )=|x2−5 x+4|

6. Para la función: y=f ( x )=[ [2 x−3 ] ] Determine:1. f (0)

2. f (2/3)

3. f (5)

4. f (√3 )5. f (e )

6. f (π )

126

3. DETERMINACIÓN DEL RANGO DE FUNCIONES

Para determinar el rango de una función se procede de la siguiente manera:

Despeje la variable independiente de la función, si la función está en la forma y= f ( x ), despeje la x.

La función queda en la forma: x= f ( y )

Las restricciones para el rango son las mismas restricciones que para hallar el dominio, es decir:

El rango está formado por todos los números reales que pueden ser asignados a la variable dependiente (la y)No pertenecen a los números reales: Ni la división entre cero, ni los números imaginarios (Raíz par de un número negativo), ni el logaritmo de números negativos ó de cero, entre otros.

DETERMINE EL DOMINIO Y EL RANGO DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES.

Ejemplo1: y=5 x−3

SOLUCIÓNDOMINIOPor ser un polinomio, el dominio es:

Dominio : x∈lR

RANGO:

Debemos despejar la variable x de la expresión y=5 x−3

y=5 x−3⟹ y+3=5x⟹ y+35

=x

Se obtiene la expresión:

x= y+35

Que corresponde a un polinomioPor lo tanto:

Rango : y∈lR

127

Ejemplo2: f ( x )=x2−3 x−4

SOLUCIÓN

DOMINIO:Por ser un polinomio:

Dom .x∈lR

RANGO:Es conveniente escribir la función

f ( x )=x2−3 x−4

De tal manera que aparezca la variable y, es decir:

y=x2−3 x−4

Debemos despejar la variable x de la expresión anterior:

y=x2−3 x−4→x2−3x−4− y=0

Que corresponde a una ecuación cuadrática:

Con a=1 , b=−3∧ c=−4− y

Utilizando la fórmula general para una ecuación de segundo grado, la cual es:

x=−b±√b2−4ac2a

Tenemos que:

x=−(−3 )±√(3 )2−4 (1 ) (−4− y )2 (1 )

x=3±√9+16+4 y2

x=3±√25+4 y2

128

Como se obtuvo una función irracional con raíz para (la variable y esta dentro de un radical par) se debe cumplir que:

25+4 y ≥0

Solución de la desigualdad:

25+4 y=0⇒ 4 y=−25

y=−254

= (−6.25 )

El rango de la función es:

y∈[−254,∞ )

Ejemplo3: y=5 x−14 x−3

SOLUCIÓN

DOMINIO:Por ser una función racional (La variable x esta en el denominador) el domino esta formado por todos los reales menos los polos.Se debe solucionar la ecuación:

4 x−3=0

4 x−3=0⟹ 4 x=3⟹x=34

El domino es:

x∈ lR−{34 }

129

Otra forma es: Dominio : x≠ 34

RANGO:Para hallar el rango se debe despejar la x

y= 5x−14 x−3

⟹ y (4 x−3 )=5 x−1⟹ 4 xy−3 y=5 x−1

4 xy−5 x=3 y−1⇒ x ( 4 y−5 )=3 y−1

x=3 y−14 y−5

Se obtiene una función racional

Se debe encontrar los polos de esta función

4 y−5=04 y=5

y=54

Rango:

y ≠ 54

Ejemplo4: y=√18−3 x

SOLUCIÓNDOMINIO

18−3x ≥0

18−3x=0⇒−3 x=−18⇒ x=−18−3

⇒ x=6

130

Dominio: x∈ (−∞ , 6 ]

RANGO.

Se debe despejar la x de la expresión y=√18−3 xPara eliminar la raíz cuadrada, elevamos en ambos lados al cuadrado.

( y )2=(√18−3x )2⇒ y2=18−3 x⇒3 x=18− y2⇒ x=18− y2

3

Se obtiene la función polinómica:

x=18− y2

3

Cuyo rango es: y∈lRPero si observamos la función inicial:

y=√18−3 x

Solamente estamos tomando la parte positiva de la expresión:

y ±√18−3x

Por lo tanto la variable y solo puede asumir valores positivos, es decir:

Rango : y ⌊0 ¿¿

Ejemplo5: y=e4x−3

SOLUCIÓN

131

DOMINIOComo en el exponente hay una función polinómica, el dominio corresponde a todos los números reales:

Dominio : x∈lR

RANGODespejemos la variable y de la expresión y=e4x−3

y=e4x−3⇒ lny=4 x−3⇒ lny+3=4 x

x= lny+34

Se debe cumplir que y>0El rango es:

Rango : y∈ (0 ,∞ )

Ejemplo6: y=log (4 x+10 )

SOLUCIÓN

DOMINIOPor ser una función logarítmica, se debe cumplir que:

4 x+10>0

4 x+10=0⇒ 4 x=−10⇒ x=−104

x=−52

132

Dom .x∈(−52,∞)

RANGOSe debe despejar la variable x de la expresión:

y=log (4 x+10 )

y=log (4 x+10 )⇒10y=4 x+10⇒10y−10=4 x

x=10y−104

Como en el exponente hay un polinomio:

Rango : y∈lR

Ejemplo7: y=5 x2+9 x−7

SOLUCIÓN

DOMINIO:

Dominio : x∈lR

133

RANGO

y=5 x2+9 x+7⇒ 5x2+9 x+7− y=0

Utilizando fórmula general con:

a=5 , b=9∧ c=7− y

x=−(9 )±√( 9 )2−4 (5 ) (7− y )2 (5 )

x=−9±√81−140+20 y10

x=−9±√−59+20 y10

−59+20 y ≥0

−59+20 y=0⇒−59=−20 y⇒−59−20

= y

y=5920

Rango : y∈[ 5920,∞)

134

Ejemplo8: y=−√3 x2−x−4

SOLUCIÓN

DOMINIO

3 x2−x−4 ≥0

3 x2−x−4=0

33

(3 x2−x−4 )=0

9 x2−1 (3 x )−123

=0

(3x−4 ) (3 x+3 )3

=0

(3x−4 )3 ( x+1 )3

=0

(3 x−4 ) ( x+1 )=0

3 x−4=0∨ x+1=0

3 x−4=0 ∨ x+1=0

3 x=4 ∨ x=−1

x=43

∨ x=−1

135

Dominio : x∈ (−∞,−1 ]∪ [ 43,∞ )

RANGO

Debemos despejara la x de la expresión: y=−√3 x2−x−4

y=−√3 x2−x−4

Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos en ambos lados al cuadrado.

( y )2=(−√3x2−x−4 )2

y2=3 x2−x−4

Igualamos a cero:

3 x2−x−4− y2=0

Resulta una ecuación cuadrática con:

a=3 , b=−1, c=−4− y2

Solucionando por fórmula general

x=−(−1 )±√ (−1 )2−4 (3 ) (−4− y2 )

2 (3 )

136

x=1±√1+48 y2

6

Como resulta una raíz para, todo lo que este dentro de la raíz par debe ser positivo.

Se debe solucionar la desigualdad:

1+48 y2≥0

Esta expresión siempre es positiva, ya que es una suma de cuadrados, por lo tanto, su dominio corresponde a los números reales.

Pero si observamos la expresión: y=−√3 x2−x−4 esta corresponde a la parte negativa de la expresión y=±√3 x2−x−4 por lo tanto el rango es:

Rango : y∈ (−∞ ,0 ]

Ejemplo9: y=√x2+4

SOLUCIÓN

DOMINO

Por ser una raíz par, se debe cumplir: x2+4≥0

Sabemos que x2+4 es una suma de cuadrados, una suma de cuadrados siempre es positiva, por lo tanto, el dominio es:

Dominio : x∈lR

RANGO

Despejando la x de la expresión y=√x2+4

Para eliminar la raíz, elevamos al cuadrado.

137

y2=(√x2+4 )2

y2=x2+4

y2−4=x2

x2= y2−4

Extrayendo raíz cuadrada.

√ x2=±√ y2−4

x=±√ y2−4

Se debe cumplir que todo lo que este dentro de la raíz par debe ser positivo:

y2−4≥0

y2−4=0

( y+2 ) ( y−2 )=0

y=−2∨ y=2

La solución de la desigualdad es: y∈ (−∞,−2 ]⋃ [ 2,∞ )

138

Pero observando la expresión y=√x2+4 podemos ver que corresponde a la parte positiva de la expresión y=±√ x2+4

De los valores que puede tomar la variable y, solo puede asumir valores positivos.

Rango : y∈ [2 ,∞ )

Ejemplo10: y=5 x−32 x−9

SOLUCIÓN

DOMINIO

Por ser una función racional se deben eliminar del domino los valores de x que hagan cero el denominador.

Para ello se debe solucionar la ecuación: 2 x−9=0

2 x−9=0

2 x=9

x=92

Dominio : x∈lR−{92 }

Otra forma:

Dominio : x≠ 92

RANGO

Debemos despejar la x de la expresión y=5 x−32 x−9

y=5 x−32 x−9

y (2x−9 )=5 x−3

139

2 xy−9 y=5 x−3

2 xy−5 x=9 y−3

x (2 y−5 )=9 y−3

x= 9 y−32 y−5

Resulta una función racional

2 y−5=0

2 y=5

y=52

Rango: y≠ 52

Ejemplo11:

y=5102 x−3

SOLUCIÓN

DOMINIO

Tenemos una función exponencial la cual tiene en el exponente una función racional.Se debe eliminar del dominio todo valor de x que hace cero el denominador.

2 x−3=02 x=3

x=32

Domini o : x≠ 32

RANGO

140

y=5102 x−3 ⇒ log5 y=10

2 x−3⇒ log 5 y (2x−3 )=10⇒2 x−3=10

log5 y⇒2 x=10

log5 y+3

x=

10log 5y

+3

2⇒ x=10

2 log 5 y+ 3

2

x= 5log5 y

+ 32

Se obtiene una función logarítmica, por lo tanto todo valor de y debe hacer positiva la cantidad dentro del logaritmo. Se debe solucionar:

y>0Rango : y∈ (0 ,∞ )

Ejemplo12: y=log 2x2−4 x

SOLUCIÓN

DOMINIOx2−4 x>0x2−4 x=0x (x−4 )=0x=0∨ x=4

Dominio : x∈ (−∞ ,0 )∪ ( 4 ,∞ )RANGO

y=log 2x2−4 x

141

2y=x2−4 xx2−4 x−2y=0

Tenemos una ecuación cuadrática cona=1 , b=−4 , c=−2y

Solucionando esta ecuación por fórmula general, tenemos:

x=−(−4 )±√(−4 )2−4 (1 ) (−2y )

2 (1 )

x=4±√16+4 (2y )

216+4 (2y )≥0

Esta expresión siempre es positiva

Rango : y∈lREnlaces dominio y rango.

http://www.youtube.com/watch?v=694clGRG-a4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=c4TeoNGlcM0&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=qOCMPXoxJyg&feature=related

FUNCIONES EN DERIVE

http://www.youtube.com/watch?v=MUi-SKIWOpo&feature=related

http://www.slideshare.net/eceballos2/graficas-en-derive-60-2605016

http://www.youtube.com/watch?v=KLQHyT3LfbE&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=WaiQ2ltHVPs&feature=related

SITUACIONES PROBLÉMICAS

142

http://www.youtube.com/watch?v=WaiQ2ltHVPs&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=KLQHyT3LfbE&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=MUi-SKIWOpo&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=qOCMPXoxJyg&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=c4TeoNGlcM0&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=694clGRG-a4&feature=related

1. CLASIFICACIÓN SPT1--PP

Suponga que la altura de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el piso está dada por:

y=s ( t )=−4,9t2+58 ,8 t .

Donde y está en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos. Determine:

a. Tiempo que la pelota demora para alcanzar su altura máxima y su altura máxima.

SOLUCIÓNPara determinar esto lo podemos hacer de dos maneras diferentesFORMA 1:

Dando diferentes valores a t y determinando los valores de

para esto utilicemos el Excel.

t s(t)0 01 53,92 983 132,34 156,85 171,56 176,47 171,58 156,89 132,310 9811 53,912 013 -63,714 -137,215 -220,520 -78425 -1592,530 -264640 -548850 -9310

143

100 -43120

De la tabla podemos ver que la altura máxima es 176,4 metros que se obtiene cuando han transcurrido 6 segundos.

FORMA 2: Analíticamente.La función:

y=s ( t )=−4,9t 2+58 ,8 t

Es una parábola que abre hacia arriba, por lo tanto el vértice es un máximo.

Determinación de las coordenadas del vértice.

Para determinar la altura máxima hay que hallar s(6)

b. Determine qué tiempo ha transcurrido cuando la altura es de 171,5 m

MÉTODO 1:

De la tabla podemos ver que la atura es de 171,5 m para t = 5 segundos y para t = 7 segundos.

MÉTODO 2:

Utilizando fórmula cuadrática (o formula general)

144

2. CLASIFICACIÓN: SPT1—REC

Se tiene una lámina rectangular de cartón de dimensiones a y b conocidas, véase la figura 29.

Figura 29.

Con esta lámina de cartón se pueden fabricar cajas sin tapa y de altura x. Para ello en cada esquina de la caja se cortan cuadrados idénticos de lado x. Véase figura 30.

Figura 30

Luego se doblan los lados hacia arriba. Véase la figura 31

145

Figura 31

El volumen de una caja de base rectangular se obtiene como:

Volumen = altura multiplicada por el largo multiplicado por el ancho unidades cúbicas.

Para la caja podemos ver que:

Altura = x

Largo = a – 2x

Ancho = b – 2x

Por lo tanto el volumen, que lo podemos simbolizar como v es igual a:

v=x ( a−2 x ) (b−2 x )

Efectuando la multiplicación:

v ( x )=(ax−2x2 ) (b−2 x )=abx−2ax2−2bx2+4 x3⇒4 x3−(2ax2+2bx2 )+abx

La expresión para el volumen es:

v=4 x3−2 x2 (a+b )+abx

TENEINDO EN CUENTA LA SITUACIÓN ANTERIOR RESUELVA LA SIGUIENTE SITUACIÓN PROBLÉMICA:

146

Se desea construir una caja de forma rectangular sin tapa a partir de una lámina de cartón de 20 cm por 15 cm. Para ello se cortarán cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y se doblarán los lados hacia arriba.

1. Escriba la función o modelo matemático para el volumen.

SOLUCIÓN

Tenemos que la función para el volumen es:

v=4 x3−2 x2 (a+b )+abx

Tenemos también que: a=20 cm∧b=15 cm

Reemplazando en la función de volumen:

v=4 x3−2 x2 (20+15 )+(20 ) (15 ) x

v=4 x3−70 x2+300 x cm3

2. Determine el dominio matemático para esta función.

SOLUCIÓN

Por ser una función polinómica su volumen es: x∈ lR

3. Determine el dominio desde el punto de vista real para el modelo de volumen.

SOLUCIÓN

Se debe cumplir que el volumen sea mayor que cero.

v>0⇒ x (a−2 x ) (b−2 x )>0

147

Reemplazando los valores de a y de b en la desigualdad:

x (20−2 x ) (15−2x )>0

x>0∨ 20−2 x>0∨15−2 x>0

Tenemos los siguientes: x=0∨ x=10∨x=15

2

La solución de la desigualdad es:

El domino es: x∈(0 , 15

2 )∪(10 , +∞ )

Los valores x=0 , x=10∧x=15

2 no se incluyen, ya que con estos valores el volumen sería igual a cero, es decir no habría caja.

4. Determine las dimensiones de la caja de tal manera que su volumen sea de

378 cm3. De su respuesta con una precisión de tres decimales.

SOLUCIÓN

Se bebe plantear y solucionar la ecuación:

148

4 x3−70 x2+300 x =378

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN

4 x3−70 x2+300 x −378=0

2 (2x3−35 x2+150 x −189 )=0

2 x3−35 x2+150 x −189=0

La ecuación la vamos a solucionar inicialmente Factorizando el polinomio de grado 3 de esta ecuación, debemos utilizar el método por evaluación.

Recordemos que los posibles factores del polinomio 2 x3−35 x2+150 x −189 son

los divisores del término independiente:

Los posibles factores son:

x=−1⇒ (−1 )3−35 (−1 )2+150 (−1 )−189=−376 No es factor

x=1⇒ (1 )3−35 (1 )2+150 (1 )−189=−72 No es factor.

x=−3⇒ (−3 )3−35 (−3 )2+150 (−3 )−189=−1008 No es factor.

x=3⇒ (3 )3−35 (3 )2+150 (3 )−189=0 Esto quiere decir que: x−3 es un factor. Para encontrar el otro factor debemos efectuar la división:

2x3−35 x2+150 x −189x−3

149

Efectuamos esta división utilizando división sintética:

2 - 35 150 - 189 3

6 - 87 189

2 - 29 63 0

La ecuación queda:

( x−3 ) (2 x2−29 x+63 )=0

x−3=0∨2x2−29x+63=0

x−3=0⇒ x=3

2 x2−29 x+63=0

Esta última ecuación la resolvemos utilizando fórmula general.

2 x2−29 x+63=0⇒ x=−(−29 )±√(−29 )2−4 (2 ) (63 )2 (2 )

⇒ x=29±√841−5044

x=29±√3774

⇒ x=29+√3774

≈11.839∨x=29−√3774

≈2. 661

Con x=3 , las dimensiones de la caja son:

Altura: x⇒3 cm

150

Largo: 20−2x⇒20−2 (3 )⇒14 cm

Ancho: 15−2x⇒15−2 (3 )⇒9 cm

Con x=2 .661 , las dimensiones de la caja son:

Altura: x⇒2. 661 cm

Largo: 20−2x⇒20−2 (2 .661 )⇒14 .678 cm

Ancho: 15−2x⇒15−2 (2 .661 )⇒9. 678 cm

Con x=11. 839 , no es posible, ya que:

Altura: x⇒2.661 cm

Largo: 20−2x⇒20−2 (11.839 ) ⇒−3 .678 cmDaría una dimensión negativa, no es posible.

5. Determine la cantidad de material utilizado.

SOLUCIÓN

Con x=3 la cantidad de material utilizado es:

Cantidad de material utilizado = 14∗9+2∗14∗3+2∗9∗3=236 cm2

Con x=2 .661 la cantidad de material utilizado es:

Cantidad de material utilizado:

14 . 678∗9. 678+2∗14 . 678∗2 .661+2∗9 . 678∗2 . 661=271 .676316 cm2

151

6. Utilice las dimensiones apropiadas de tal manera que el desperdicio de material sea el más bajo dentro de los posibles para un volumen de 378 cm3.

SOLUCIÓN

Observando el resultado anterior, podemos ver que el menor desperdicio se presenta cuando las dimensiones de la caja son:

Altura: 2 .661 cm

Largo: 14 . 678 cm

Ancho: 9 . 678 cm

3. CLASIFIACIÓN: SPT2—PP

El modelo de demanda (o precio) para la venta de q unidades de un producto está dado por:

p(q )=1200−3q US$

I. Determine el modelo de ingreso.

SOLUCIÓN

Sabemos que ingreso es igual al precio multiplicado por la cantidad vendida.El precio está dado:

p(q )=1200−3q US$La cantidad vendida es: q

El ingreso que lo simbolizamos como r (q )

es:r (q )=p (q )∗q= (1200−3q )q=1200q−3q2

La función o modelo para el ingreso es:

r (q )=1200q−3q2 Dólares

152

II. Determine el dominio matemático para el modelo de ingreso.

SOLUCIÓN

Por ser un polinomio, el dominio es:

Domqϵ lR

III. Determine el dominio desde el punto de vista de la situación problémica aplicada a la vida real.

SOLUCIÓN

Por ser una situación problémica q debe ser positivo, es decirDomqϵ (0 ,∞ )

Pero para efectos de un negocio productivo, el ingreso no puede ser negativo, por lo tanto:

SOLUCIÓN DE LA DESIGUALDAD

1200q−3q2=03q ( 400−q )=0

3q=0∨400−q=0

q=03∨400=q

q=0∨q=400Ubicando en la recta numérica:

153

IV. Determine cuantas unidades fueron vendidas cuando se tiene un ingreso de 76800 dólares.

SOLUCIÓN

Se pide hallar el valor 0 los valores de q de tal manera que el ingreso sea de 76800 dólares, para ello se debe plantear y solucionar:

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN

q=80∨q=320

Para obtener un ingreso de 76800 dólares se debe vender 80 ó 320 unidades del producto.

V. Grafique.A partir de la gráfica determine:

Nivel de producción que maximiza el ingreso.

Ingreso máximo.

SOLUCIÓN

La función y=r (q )=1200q−3q2 US$

es una parábola que abre hacia

abajo.

Con ayuda del derive podemos ver que se gráfica es la mostrada en la

figura 32.

154

Figura 32

El nivel de producción que maximiza el ingreso es q = 200 unidades.

El ingreso máximo es de 120000 dólares.

4. SPT2--REC

Se tiene una lámina cuadrada de cartón de lado x, véase la figura 33.

Figura 33.

155

Con esta lámina de cartón se pueden fabricar cajas sin tapa y de altura h. Para ello en cada esquina de la caja se cortan cuadrados idénticos de lado h. Véase figura 34.

Figura 34

Luego se doblan los lados hacia arriba. Véase la figura 35.

Figura 35.

El volumen de una caja de base rectangular se obtiene como:

Volumen = altura multiplicada por el largo multiplicado por el ancho unidades cúbicas.

Para la caja podemos ver que:

Altura = h

Largo = x – 2h

Ancho = x – 2h

Por lo tanto el volumen, que lo podemos simbolizar como v es igual a:

v=h ( x−2h ) ( x−2h )

156

Efectuando la multiplicación la expresión para el volumen es:

v=h x2−4 h2 x+4 h3

Teniendo en cuenta la situación problémica anterior resuelva:

Se desea construir una caja sin tapa. Para ello se tomará una lámina cuadrada de cartón y se cortarán en las cuatro esquinas cuadrados idénticos de 5 cm de lado y se doblarán hacia arriba. Determine el dominio de la función de volumen.

1. Escriba la función para el volumen.2. Determine el dominio matemático para esta función.3. Determine el dominio desde el punto de vista real para el modelo de volumen.4. Determine las dimensiones de la lámina de cartón a utilizar, Si la caja será

hecha para contener un volumen de 2000 cm3. 5. Determine las dimensiones de la caja.6. Determine la cantidad de material utilizado.

SOLUCIÓN:

1. Escriba la función de volumen de la caja.

Una forma es reemplazando h=5 en la expresión

v=h x2−4 h2 x+4 h3

v=5 x2−4 (5 )2 x+4 (5 )3=5 x2−100 x+500c m3

Tenemos que:

v ( x )=5 x2−100 x+500 c m3

Otra forma puede ser de la siguiente manera:

157

Un cuadrado es un rectángulo que tiene los cuatro lados iguales, véase la figura 36.

Figura 36.

Sea x el lado del cuadrado; se va a quitar en las cuatro esquinas 5 cm a cada lado de la esquina. Véase la figura 37.

Figura 37

Quitando 5 cm en cada esquina el lado de la caja será x –5 –5 = x – 10. Véase la figura 38.

Figura 38.

158

Doblando los lados hacia arriba la caja queda:

Figura 39

La función para el volumen es: v ( x )=5( x−10)( x−10 )

Simplificando queda:

v ( x )=5 x2−100 x+500 cm3

2. Dominio matemático:SOLUCIÓN

Por ser un polinomio su dominio es: x∈ lR

3. Determine el dominio desde el punto de vista real para el modelo de volumen:

SOLUCIÓN

Se debe cumplir que:

v ( x )>0

Esto implica que:

5( x−10 )( x−10 )>10⇒ x>10

159

Dominio: x∈ (10 ,∞ )

4. Determine las dimensiones de la lámina de cartón a utilizar, Si la caja será hecha para contener un volumen de 2000 cm3.

SOLUCIÓN

Se debe plantear y solucionar:

v ( x )=2000

Esto implica que:

5 x2−100 x+500 =2000

5( x2−20 x+100 )=2000

x2−20x+100=20005

→ x2−20 x+100=400

x2−20x+100−400=0x2−20x−300=0( x+10 ) (x−30 )=0x+10=0 ∨ x−30=0x=−10 NO ∨ x=30

Las dimensiones de la lámina de cartón deben ser: 30 cm por 30 cm.

5. Determine las dimensiones de la caja.

SOLUCIÓN

Observando la figura 38, tenemos que:

160

Largo: x−10=30−10=20cm

Ancho: x−10=30−10=20cm

Alto: 5cm

6. Determine la cantidad de material utilizado:

SOLUCIÓN

Observando las figuras 38 y 39 podemos deducir que la cantidad de material utilizado es:Cantidad de material utilizado es igual a: El área de la base más 4 veces el área de un costado.

Cantidad de material = 20 cm * 20 cm + 4 * 20 cm * 5 cm

Cantidad dematerial=800 cm2

5. CLASIFICACIÓN: SPT3--PP

Se cuenta con 1200 cm2 de material para hacer una caja con base cuadrada y sin tapa.

Encuentre una expresión para el volumen de la caja en términos de una sola variable.

SOLUCIÓN

Sean:Cada lado de la base cuadrada.

La altura de la caja Véase la figura 40

161

Figura 40El volumen de esta caja es:

Para escribir ‘’y’’ en términos de ‘’x’’, utilizamos la condición para la cantidad de material.Cantidad de material es: 1200 cm2 Para la caja de la figura 1 la cantidad de material es igual a:La cantidad de material de la base cuadrada más 4 veces la cantidad de material de los cuatro costados, esto es:

Despejando ‘’y’’ tenemos que:

Reemplazando la expresión anterior en

Tenemos que la expresión para el volumen de la caja es:

Determine el dominio de la expresión anterior.

SOLUCIÓN

162

Por ser una función polinómica su dominio es: Por ser una situación problémica y para que pueda ser construida la caja, su dominio se debe limitar sólo a los números reales que cumplan que:

SOLUCIÓN DE LA DESIGUALDAD

Las raíces son:

La solución de la desigualdad, que es el dominio de la función es:

NOTA:

Encuentre el volumen máximo posible de la caja.

SOLUCIÓN

Dando valores a la variable x, reemplazando en la función de volumen y utilizando el Excel.

X v(x)1 299,752 5983 893,254 1184

163

5 1468,756 17467 2014,258 22729 2517,7510 275011 2967,2512 316813 3350,7514 351415 3656,2516 377617 3871,7518 394219 3985,2520 400021 3984,7522 393823 3858,2524 374425 3593,7526 340627 3179,2528 291229 2602,7530 225031 1852,2532 140833 915,7534 37435 -218,75

Podemos ver que el volumen máximo es 4000 cm3 y se obtiene cuando x = 20

Las dimensiones de la caja que permiten obtener el máximo volumen son:

20 cm X 20 cm X 10 cm.

164

El volumen máximo también lo podemos determinar a partir de la gráfica de la

parte pertinente de la función de volumen. Figura 41

Figura 41

6. CLASIFICACIÓN: SPT3—REC

Una empresa dispone de cierta cantidad P de dinero para cercar una porción rectangular de terreno adyacente a un río usando éste como un lado del área cercada véase figura 42. El costo de la cerca paralela al río es de k unidades de

dinero por metro instalado y el de la cerca para los otros dos lados es de d unidades de dinero por metro instalado.

FIGURA 42.

165

Encuentre una expresión para el dinero que cuesta cercar el terreno: Encuentre una expresión para el área cercada. Si se dispone de cierta cantidad P de dinero para cercar el terreno,

encuentre una función para él área cercada en términos de una sola variable.

Determine cual es el dominio matemático para la función de área. Determine el dominio desde es punto de vista real del problema para la

función de área. Determine las dimensiones del terreno de tal manera que el área cercada

sea máxima. Determine el área máxima cercada. Realice la gráfica de la función de área.

SOLUCIÓN

Para resolver una situación problémica, se debe definir las variables del problema, por lo general, para definir variables se debe tener en cuenta cada pregunta.

Como las longitudes del terreno no son conocidas, debemos asignarle a cada una variable:

Sean:

x : Cantidad de cerca a utilizar para cercar el lado paralelo al río. Es una de las variables de la situación problémica.

y :Cantidad de cerca a utilizar para cada lado no paralelo al río. Es otra variable de la situación problémica.

Véase la figura 43

166

Figura 43.

a. Encuentre una expresión para el dinero que cuesta cercar el terreno:

Para el lado paralelo al río se va a utilizar x metros de cerca.Para cada lado no paralelo al río se va a utilizar y metros de cerca, como son dos lados, se va a utilizar 2 y . (Véase figura 43)El dinero que cuesta cercar el terreno será: ‘’x multiplicado por k más dos veces y metros multiplicado por d, en unidades de dinero’’, que simbólicamente se puede escribir como:

kx+2dy Unidades de dinero

b. Encuentre una expresión para el área cercada.

La figura que se quiere cercar es un rectángulo, el área de un rectángulo es base por altura.Si observamos la figura 43, la base es x y la altura es yEl área del rectángulo de la figura 43 es igual a: x multiplicado por y en metros cuadrados, si utilizamos la letra A para representar el área del rectángulo, la expresión anterior se puede escribir como:

A=xy m2

c. Si se dispone de cierta cantidad P de dinero para cercar el terreno, encuentre una función para él área cercada en términos de una sola variable.

La función para el área: A=xy m2 está en términos de dos variables, que son

x e y , debemos buscar una expresión, diferente al área, que relacione estas dos variables y nos permita despejar una de ellas.Esta expresión es la cantidad de dinero:Sabemos que la cantidad de dinero disponible para cercar el terreno es: PTambién sabemos que la expresión para la cantidad de dinero a gastar es:

kx+2dy Unidades de dinero

Igualando tenemos:

kx+2dy=P

De la igualdad anterior podemos despejar una de las variables.

167

Despejando y :

kx+2dy=P⇒2dy=P−kx⇒ y=P−k x2d

y= P−kx2d

Reemplazando y= P−kx

2d en A=xy m2:

A=x( P−kx2d )⇒ A= xP−kx 2

2d⇒ A= P

2dx− k

2dx2

Dónde: d , k∧P son cons tan tes positivas , x var iable

Como la función está solo en términos de la variable x , podemos, decir, La función de área es:

A ( x )= P2d

x− k2d

x2

d. Determine cuál es el dominio matemático para la función de área.

Podemos ver que:

A ( x )= P2cx− b

2cx2

Es una función polinómica (parábola), sabemos que el dominio de cualquier función polinómica es todos los números reales, es decir:

Dom de A ( x )= P2cx− b

2cx2 es x∈lR

e. Determine el dominio desde el punto de vista real del problema para la función de área.

Una forma puede ser:

Se debe cumplir que:x>0∧ y>0

Para que y sea mayor que cero, se debe cumplir que:

168

y= P−kx2d

>0

P−kx2d

>0⇒P−kx>0

Solucionando la desigualdad: P−kx>0Se tiene:

Dom x∈(−∞ , Pk )

Pero como: x>0∧ y>0

Se tiene que: Dom x∈(0 , Pk )

Otra forma para hallar el domino:Se debe cumplir que: ‘’El área cercada debe ser mayor que cero’’ estos es:

P2 cx− k

2dx2>0⇒Px−kx2>0

Px−kx 2>0⇒ x (P−kx )>0x=0∨P−kx=0P−kx=0→bx=P→x= P

kDominio:

x∈(0 , Pk )

f. Determine las dimensiones del terreno de tal manera que el área cercada sea máxima.

Podemos ver que A ( x )= P

2dx− k

2dx2

es una parábola que abre hacia arriba.Por lo tanto el vértice es un máximo.La coordenada de la x del vértice es:

xv=− b2a

Para la parábola tenemos:

a=− k2d

∧b= P2d

169

xv=− b2a

=−

P2d

2(− k2d )

= P∗2d2k∗2d

⇒ xv=P

2k

El área máxima se obtiene cuando

x= P2 k Metros.

g. Determine el área máxima cercada.Área máxima:

A( P2k )= P2d ( P2k )− k

2d ( P2k )2

= P2

4 dk− P2

8dk=2 P2−P2

8dk= P2

8dk

Amax= P2

8kdm2

h. Realice la gráfica de la función de área.

BOSQUEJO DE LA GRÁFICASabemos que la función para el área que tiene como ecuación:

y=A ( x )= P2d

x− k2d

x2

Es una parábola que abre hacia arriba.

Su eje de simetría es la recta:

x=xv=P

2k

También sabemos que las coordenadas del punto máximo son:

( P2k , P2

8 kd )

170

Nos falta determinar las intersecciones con los ejes:

Si x = 0.

y= P2d

(0 )− k2d

( 0 )⇒ y=0

Intersecciones con el eje y:

(0,0 )

Si y = 0

0= P2dx− k

2dx2⇒ x ( P2d− k

2dx)=0

x=0∨ P2d

− k2d

x=0⇒ P2d

= k2d

x⇒ x=P /2dk /2d

⇒ x=Pk

Intersecciones con el eje x:

(0,0 )∧( Pk , 0)El bosquejo de la gráfica lo podemos ver en la figura 44.

171

Figura 44

Bosquejo de la gráfica dey=A ( x )= P

2dx− k

2dx2

Nota:

Este tipo de problemas puede presentar las siguientes variaciones:

Se conoce el perímetro.

Figura cuadrada.

La condición que un lado es mayor (o menor o proporcional) al otro lado.

UTILIZACIÓN DE LA INFORMATICA PARA DESARROLLAR ESTA SITUACIÓN PROBLÉMICA PARA UN CASO PARTICULAR

Es decir, cuando es conoce: d , k∧P

la situación problema puede estar planteada

de la siguiente manera:

172

La siguiente situación problémica la propone el autor HAEUSSLER9

Una empresa dispone de US$ 3000 para cercar una porción rectangular de terreno adyacente a un río usando a éste como un lado del área cercada, véase la figura 42. El costo de la cerca paralela al río es de US$ 5 por metro instalado y el de la cerca para los otros dos lados es de US$ 3 por metro instalado. Encuentre las dimensiones del área máxima cercada.

Utilizando el Excel se obtiene la siguiente tabla:

TABLA

VALORES DE X

VALORES DE Y

y= P−kx2d

CONSTANESÁREA

A ( x )= P2d

x− k2dx2

10 491,6666667 P 4916,66666720 483,3333333 3000 9666,66666730 475 D 1425040 466,6666667 3 18666,6666750 458,3333333 K 22916,6666760 450 5 2700070 441,6666667 30916,6666780 433,3333333 34666,6666790 425 38250

100 416,6666667 41666,66667110 408,3333333 44916,66667120 400 48000130 391,6666667 50916,66667140 383,3333333 53666,66667150 375 56250160 366,6666667 58666,66667170 358,3333333 60916,66667180 350 63000190 341,6666667 64916,66667200 333,3333333 66666,66667210 325 68250220 316,6666667 69666,66667230 308,3333333 70916,66667

9 HAEUSSLER. Ernest. F. Jr; RICHARD S. Paul. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias sociales y de la vida. 8 ed. México: Prentice Hall, 1997. p. 697.

173

240 300 72000250 291,6666667 72916,66667260 283,3333333 73666,66667270 275 74250280 266,6666667 74666,66667290 258,3333333 74916,66667300 250 75000310 241,6666667 74916,66667320 233,3333333 74666,66667330 225 74250340 216,6666667 73666,66667350 208,3333333 72916,66667360 200 72000370 191,6666667 70916,66667380 183,3333333 69666,66667390 175 68250400 166,6666667 66666,66667410 158,3333333 64916,66667420 150 63000430 141,6666667 60916,66667440 133,3333333 58666,66667450 125 56250460 116,6666667 53666,66667470 108,3333333 50916,66667480 100 48000490 91,66666667 44916,66667500 83,33333333 41666,66667510 75 38250520 66,66666667 34666,66667530 58,33333333 30916,66667540 50 27000550 41,66666667 22916,66667560 33,33333333 18666,66667570 25 14250580 16,66666667 9666,666667590 8,333333333 4916,666667600 0 0610 -8,333333333 -5083,333333620 -16,66666667 -10333,33333630 -25 -15750640 -33,33333333 -21333,33333

174

650 -41,66666667 -27083,33333660 -50 -33000670 -58,33333333 -39083,33333680 -66,66666667 -45333,33333690 -75 -51750700 -83,33333333 -58333,33333

a. Encuentre una expresión para el dinero que cuesta cercar el terreno:

5 x+2 (3 ) y=5 x+6 y Dólares

b. Encuentre una expresión para el área cercada.

A=xy m2

c. Si se dispone de 3000 dólares para cercar el terreno, encuentre una función para él área cercada en términos de una sola variable.

5 x+6 y=3000⇒ y=3000−5 x6

A ( x )=30006

x−56x2

d. Determine cuál es el dominio matemático para la función de área.

Como la función para el área es una parábola, el domino es:

Dom x∈lR

e. Determine el dominio desde el punto de vista real del problema para la función de área.

Observando la tabla anterior podemos ver que el área asume valores positivos desde 1 hasta 600, por lo tanto, el dominio real será:

Dom x∈ (0 , 600 )

Si comparamos este dominio con el dominio obtenido en el caso general:

Dominio:

x∈(0 , Pk )

175

Al efectuar la operación:

Pk=3000

5=600

Se obtienen el mismo dominio.Dom x∈ (0 , 600 )

f. Determine las dimensiones del terreno de tal manera que el área cercada sea máxima.

Observando la tabla anterior podemos ver que el área máxima cercada es

75000 m

2 y so obtiene cuando: x=300 m∧ y=250 m

g. Determine el área máxima cercada.

75000 m2

h. Realice la gráfica de la función de área.

176

Figura 45

Gráfica de A ( x )=3000

6x− 5

6x2

177

PRUEBA FINAL

Para cada función:Determine el dominioGrafique.Indique continuidad.Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento.

1. f ( x )=7 x2−5x+10

2. f ( x )=√5 x−1

3. f ( x )= log11( x2−16 )

4. f ( x )= 24 x−5

5.f ( x )= 7 x−3

x2−10 x

178

ACTIVIDAD

1. En una fábrica se tiene que hay en total 520 empleados, los sueldos que se pagan mensualmente oscilan entre 1 y 7 salarios mínimos legales. Estudie la relación que existe entre los trabajadores y el salario mensual de cada uno de ellos, para ello determine:

a. Variable independiente.b. Variable dependientec. Dominio.d. Rango.

2. Que valores enteros puede asumir la variables x cuando se afirma que “El dominio de x son todos los números que pertenecen al intervalo semi abierto a la derecha cuyos extremos son el número –11 y el número 5.

3. Dados los valores de entrada “x”, encuentre el modelo matemático f ( x )que

produce los valores de salida “y”.

4. Si los valores de “x” son 3, 5, 7, 8 y el modelo es f ( x )= x2

2 , encuentre los

respectivos valores de “y”.

Determine el dominio y reango de las siguientes funciones:

6.y= f ( x )= 8

x

179

7. y=f ( x )=√x−3

8.f ( x )=11 x−1

2x+5

9.f ( x )=15 x−9

2x2+7x+3

10.f ( x )=23 x

3 x2−14 x−5

11.f ( x )= 8x−3

5 x2+11 x+2

12.h( x )=35 x+8

7 x2+13 x−2

13.g( x )= x−14

2 x2−9x−5

14.g( x )=40

x2−x .

15.g( x )=3 x+25

x2+9

16.h( x )= 3 x+51

2 x3−3 x2−9 x

17.h( x )=1000

5 x2−17 x+6

18.g( x )= x

6 x2+19 x+15

19.g( x )= 7 x+6

6 x−15 x2−1

20.g( x )= x+1

35x2−31x+6

180

21.f ( x )= x2+4

6 x2−13 x−15

22. g( x )=√15 x2−4 x−4

23.f ( x )= x−2

6 x2−19 x+15

24.h( x )=√35 x2+4 x+4

25. f ( x )=√10 x2−11 x−6

26. g( x )=√6 x2−5 x−6

27.f ( x )= 4 x

6 x2+x−15

28.g( x )=10 x−1

6 x2−5 x−25

29. f ( x )=√3 x2−14 x+15

30. y=f ( x )=3x2−2 x−5

31.h( x )= 5 x

3 x2−3

181

32. f ( x )=√6 x2+13 x+2

33. f ( x )=√ x2+9

34. y=f ( x )=5x+2

35. y= f ( x )=5√x4−81

36. y=f ( x )=log5 (18 x−3 x2)

37.u( x )=√x2+3x−4

38. y= f ( x )=e10x2−16

39. y=f ( x )=log (5x−6 )

40. y= f ( x )=3√x−5 R : x∈[ 5 ,∞)

41. f ( t )=4−t2

42. y= f ( t )=√4−t2

43.h( x )=10 x

x2−1

182

44. y=f ( x )=ex2+1

45. y=3x

46.y=( 1

5 )x

47.y=−√ x+2

x−3R : Dom x∈(−∞ ,−2 ]∪(3 ,∞ )

48.y= f ( x )=3 x−2

4

49. y=f ( x )=log3 (x2−4 x−5 )

50. y=ex

51. y= f ( x )=log ( x2−24 ). Dom. x∈ (−∞ ,−√24 )∪(√24 ,∞ )

52. y=h( x )=52 x+1x2+10 x

53.y=f ( x )=√ 7−x

x2−4R : x∈ (−∞ ,−2 )∪(2,7 ]

183

54.y=f ( x )= √ x

2 x2−13 x+12

55. y=k ( x )=log7 (x2−49 )

56. y=2x−3

57. y=log2 x

58. y= ln( x+2)

59.y= f ( x )=√ x2−2x−3

x2−4 R : x∈ (−∞ ,−2 )∪(−2 ,−1 ]∪[ 3 ,∞)

60. y=log2(25−x2)

61. f ( x )= 73 x3−12x

62. f ( x )= 8 x8 x3+27

63. f ( x )= x+96 x2−24 x

184

Para cada uno de las siguientes funciones determine:

a. Dominio y rango.

b. Intersecciones con los ejes.

c. Represente su gráfica. La gráfica debe incluir las intersecciones, si las

hay.

d. Intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento (a partir de la

gráfica).

e. Indique si la función es continua o no. Indique los puntos donde hay

discontinuidad (a partir de la gráfica). Justifique su respuesta.

63. y=f ( x )=√x2+4 x+3 R : x∈(−∞ ,−3 ]∪[−1 ,∞) . Intersecciones con los ejes: (-

3,0), (-1,0), (0,√3 ). Decrece x∈ (−∞ ,−3 ) , Crece x∈ (−1 ,∞ ) . Discontinuo

en x = -3, en x = -1.

64. f ( x )=√25− x2

65.y=k ( x )= 1

1+x2

66.f ( x )=100

x2+9

67. f ( x )=√6 x2+13 x+2 R: Dom. x∈(−∞ ,−2 ]∪[−1 /6 ,∞) Intersecciones con

los ejes:(0 ,√2 ) (-2,0), (-1/6, 0). Crece x∈ (−1/6 ,∞ ) . Decrece x∈ (−∞ ,−2 ) . Discontinua en todo su dominio.

185

68. y=f ( x )=√4−3 x−x2

69.f ( x )={ x2 , si x<0

−2 x+1 , si x≥0

70.f ( x )= 1

1+e−x

71.f ( x )= x2+x−2

x−2

72. y=f ( x )=3√x2+9x+8 .

73.h( x )= 4−x2

2 x2−7x−4

74.y=f ( x )= 4 x−7

x2−8 x+12

75. y=f ( x )=log2(3 x−5 ).

76. y= f ( x )=5 x2−6 x−7

77. y= f ( x )=log5 (x2−6 x+5)

186

78. y=f ( x )=√25−x2−2x . R: Dom. x∈ [−5,5 ] . Intersecciones con los ejes:

(0,5 ) , (√5 ,0 )

79. g( x )=xe−12x 2

80. y=h( x )=e− x2

81. y= f ( x )=√x2−9−4 . R: Dom. x∈(−∞ ,−3 ]∪[ 3 ,∞). Intersecciones con los

ejes:(5,0 )∧(−5,0 ) Decrece:(−∞ ,−3 ) Crece:(3 ,∞ )

DETERMINE EL DOMINIO Y EL RANGO DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES.

INDIQUE ADEMÁS CONTINUIDAD DE CADA FUNCIÓN.

82.y=2−x

x

83. f ( x )=√ x+4

84.f ( x )= 2

x2−x

85. f ( x )=√1−x2

187

86.f ( x )= 1

x2−1

87.g( x )= x

x2−x

88.

89.

90.h( x )=3 x2−2 x+5

91. g( x )=log3(3x−5 )

92. y=e2 x+1

93. g( x )=5+√x−3 R : Dom . x∈[ 3 , ∞), Rango y∈[5 , ∞)

94. f ( x )=x2+4

95. f ( x )=√ x−5

96. f ( x )=√2 x−6−1 R : Dom : x∈[ 3 , ∞), Rango : y∈[−1 , ∞)

188

97. f ( x )=√3 x+2

98. f ( x )=√16−x R: Dom : x∈(−∞ , 16 ] , Rango : y∈[ 0 , ∞)

99. f ( x )=2x

100. f ( x )=log5 (5x−2 )

101. f ( x )=5+10−x R : Rango : y∈ (5 , ∞ )

102. f ( x )=4−2−x

103. h( x )=log( x+10)

104. h( x )=log2 ( x−3 )

SITUACIONES PROBLÉMICAS

En estas situaciones problémicas se pide resolver una serie de preguntas como: Determinar dominio, representar gráficamente la función, encontrar máximos o mínimos.La determinación de los máximos (o mínimos) de la función se puede realizar utilizando el PC, por ejemplo con el Excel mediante una tabla de valores o realizando la gráfica de la función.

189

105. SPT3 – REC: Se desea cercar un campo rectangular en el cual el ancho es 20 metros más pequeño que el largo.

a. Encuentre una expresión para el perímetro en términos de una sola variable.

b. Encuentre una expresión para el área cercada en términos de una sola variable.

c. Determine el dominio de la función de área.d. Utilizando una herramienta de informática represente gráficamente la

función de área, a partir de la gráfica, determine el área máxima cercada.e. Si el área cercada es igual a 8000 m2, determine las dimensiones del

terreno.

94.SPT3 – REC: Un granjero tiene 750 m de cerca y desea cerrar un área rectangular y dividirla en cuatro corrales iguales, colocando cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo.

a. Encuentre una expresión matemática para el área del terreno en términos de una sola variable.

b. Determine el dominio de la expresión anteriorc. Determine el dominio desde el punto de vista de la situación problémica.d. Represente gráficamente la función anterior.e. Determine las dimensiones del terreno de tal manera que el área cercada

sea de 3500 m2.

95.SPT3 – REC: El propietario de un lote desea cerrarlo rectangularmente con malla y ladrillo, teniendo que cercar tres lados con malla y uno con ladrillo. Este lote tiene 800 metros cuadrados de área. Si el metro instalado de malla tiene un costo de US$ 8 y el metro instalado de ladrillo tiene un costo de US$ 24.

a. Determine una expresión matemática para el costo de cercar el terreno en términos de una sola variable.

b. Determine el dominio matemático y el dominio desde la situación problémica de la expresión anterior.

c. Utilizando una tabla de valores, determine las dimensiones del lote de manera que sus costos sean mínimos.

96.SPT3 – REC: Se desea construir un cartel de 50 cm cuadrados de área de material impreso con 4 cm de margen arriba y abajo y de 2 cm de margen en cada lado.

a. Encuentre una expresión para el lado más largo de la hoja de papel utilizada.

190

b. Determine el dominio de la expresión anterior.c. ¿Qué dimensiones debe tener la hoja de papel a utilizar si esta tiene un

área de 648 cm2?d. ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para que el gasto de papel sea

mínimo?

97.SPT3 –REC: El siguiente problema es una adaptación de un ejercicio propuesto por el autor HAEUSSLER.10

Un cartel rectangular de cartón debe tener 150 cm cuadrados para material impreso; márgenes de 3 cm arriba y abajo y de 2 cm a cada lado.

a. Encuentre una expresión para la cantidad de cartón utilizado en términos de una sola variable.

b. Determine el dominio de la expresión anterior.c. A partir de una tabla de valores o de la gráfica del modelo de cantidad de

material utilizado, encuentre las dimensiones del cartel de manera que la cantidad de cartón que se use sea mínima. R: 10X15 cm

98.SPT3 – PP: El siguiente ejercicio es una adaptación de un ejercicio planteado por el autor HOFFMANN.11

El departamento de recreación de una ciudad planea construir un campo de juego rectangular de 3.600 m2 de área y rodearlo de un cerco.

a. Encuentre un modelo matemático para la cantidad de cerca utilizada.b. Dibuje su gráfica.c. Determine las dimensiones del campo de juego que permitan utilizar la

mínima cantidad de cerca.

99.SPT1 – REC: Una compañía está diseñando un empaque para su producto. Una parte del empaque será una caja abierta construida de un cuadrado de aluminio cortando cuadros de 3 centímetros en cada esquina y doblando los lados hacia arriba.

a. Encuentre un modelo para el volumen de la caja. R:v (x )=3 x2−36 x+108 cm3

b. Determine el dominio de la expresión anterior.c. Si la caja debe ser hecha para contener un volumen de 588 cm3,

determine la cantidad de material utilizado.

10 Ibíd., p. 699.11 HOFFMANN. Laurence D. BRADLEY. Gerald L. Cálculo aplicado a Administración, Contaduría y Ciencias Sociales. 5 ed. Bogotá: McGraw-Hill, 1995. p. 215.

191

100. SPT3 – PP: Un campo rectangular tiene un perímetro es 320 metros.

a. Exprese el área del campo en términos de la longitud de uno de sus lados. b. Elabore su gráfica.c. A partir de la gráfica estime las dimensiones del campo de área máxima.

101. SPT2 – REC: Una caja sin tapa va a fabricarse cortando cuadrados iguales en cada esquina de una lámina cuadrada de 22 cm de lado, doblando luego hacia arriba los lados.

a. Encuentre una expresión para el volumen de la caja.b. Dibuje la gráfica de la parte pertinente de la expresión anterior.c. Si la caja será hecha para contener un volumen de 100 cm3 determine las

dimensiones de la caja.

102. SPT2 – REC: Se desea construir una caja rectangular sin tapa con una pieza de cartón de 24 cm de largo por 9 cm de ancho, cortando cuadros idénticos en las cuatro esquinas y doblando los lados resultantes hacia arriba.

a. Encuentre una expresión para el volumen de la caja en términos de la longitud del cuadro que se va a quitar en cada esquina.

b. Elabore la gráfica de la pertinente de la expresión anterior.c. ¿Es posible construir una caja cortando en cada esquina cuadros

idénticos de 5 cm de lado? Justifique su respuesta.d. Si la caja será hecha para contener un volumen de 360 cm3 diga cuales

serán las dimensiones de la cajae. Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen.

103. SPT3 – PP: Se cuenta con 1200 cm2 de material para hacer una caja con base cuadrada y sin tapa.

a. Encuentre una expresión para el volumen de la caja en términos de una sola variable.

b. Determine el dominio de la expresión anterior.c. Encuentre el volumen máximo posible de la caja.

104. SPT2 – REC: Una caja cubierta debe hacerse de una hoja rectangular de cartón que mide 10 cm por 18 cm. Esta se hace cortando las regiones sombreadas de la figura 1 y después doblando sobre las líneas punteadas.

192

a. Encuentre una expresión para el volumen de la caja en términos de la variable x.

b. Determine el dominio de la expresión anterior.c. Encuentre los valores x, y, z que maximizan el volumen.d. Determine también la cantidad de material utilizado.

FIGURA 1

105. SPT3 – PP: Se desea construir un envase cilíndrico de base circular que tenga una capacidad de 125 metros cúbicos.

a. Halle una expresión para la cantidad de lámina utilizada en términos de una sola variable.

b. Halle las dimensiones que debe tener para que la cantidad de lámina empleada sea mínima.

c. Si la altura del envase es 10 cm, determine su radio.

106. SPT3 – PP: Un fabricante de recipientes está diseñando una caja sin tapa y con base cuadrada que debe tener un volumen de 64 cm3.

a. Determine una expresión para la cantidad de material utilizada.b. ¿Qué dimensiones debe tener la caja de manera que la cantidad de

material usado sea mínima?c. Si la longitud de la base de la caja es de 5 cm, determine su altura.

193

107. SPT3 – REC: El siguiente ejercicio es un ejemplo tomado del autor SOLER12

Se va a construir un depósito en forma de paralelepípedo rectangular de base cuadrada y volumen sea 144 metros cúbicos. El material de las caras cuadradas cuesta $ 2.000 el metro cuadrado y el de las caras laterales cuesta $ 3.000 el metro cuadrado.

a. Halle una expresión para el costo del depósito.b. Determine las dimensiones del depósito para que su costo sea mínimo.

108. SPT3 – PP: El siguiente ejercicio es una adaptación de un ejercicio propuesto por el autor HAEUSSLER.13

Una empresa de TV por cable tiene 4800 suscriptores que pagan cada uno en promedio $18000 mensuales por el servicio, un estudio determinó que puede conseguir 150 suscriptores más por cada $500 menos en la cuota mensual.

a. Encuentre una expresión para el ingreso de la empresa de TV.b. Elabore la gráfica de la parte pertinente de la expresión anterior.c. ¿Cuál será la cuota que maximice el ingreso y cuál será ese ingreso

máximo?

109. SPT3 – PP: El siguiente ejercicio es una adaptación de un ejercicio propuesto por el autor HAEUSSLER.14

El fabricante de un producto encuentra que para las primeras 500 unidades que produce y vende la utilidad es de $50 por unidad. La utilidad disminuye en $0,10 por cada unida que produce más allá de 500. Por ejemplo la utilidad total cuando produce y vende 502 unidades es de 500(50)+2(49,8).

a. Encuentre una expresión para la utilidad del fabricante.b. A partir de una gráfica determine el nivel de producción que maximiza la

utilidad.

12 SOLER FAJARDO, Francisco; NUÑEZ, Reinaldo; ARANDA SILVA, Moisés. Fundamentos de Cálculo con aplicaciones a ciencias Económicas y Administrativas. 2 ed. Bogotá: Ecoe ediciones, 2002. p. 277.

13 HAEUSSLER. Ernest. F. Jr; RICHARD S. Paul. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias sociales y de la vida. 8 ed. México: Prentice Hall, 1997. p. 699.14 Ibíd., p. 699.

194

110. SPT3 – PP: El siguiente ejercicio es una adaptación de un ejercicio propuesto por el autor HAEUSSLER15

Una empresa de bienes raíces posee 100 apartamentos. Cada uno de los cuales puede rentarse en promedio por $400000 mensuales. Sin embargo por cada $10000 mensuales de aumento, habrá dos apartamentos vacíos, sin posibilidad de rentarlos de nuevo.

a. Determine una expresión para el ingreso mensual de la empresa.b. Elabore una tabla de valores para el ingreso y úsela par determinar la

renta por apartamento que maximizará el ingreso mensual.

111. SPT3 – PP: El siguiente ejercicio es una adaptación de un ejercicio propuesto por el autor HOFFMANN16

Los agricultores pueden obtener 2 dólares por arroba de papas el primero de julio, después el precio cae 2 centavos de dólar por arroba cada día.

El primero de julio un agricultor tiene 80 arrobas de papa en el campo y estima que la producción está creciendo a una tasa de una arroba por día.

a. Determine una expresión para el ingreso.b. A partir de la gráfico o de una tabla de valores para el modelo de

ingresos, conteste las siguientes preguntas:

1. ¿Cuándo debe recoger la cosecha de tal manera que su ingreso sea máximo?

2. ¿Cuál es el precio al que debe vender la arroba para que el ingreso?

113. SPT2 – PP: El modelo de ingreso para la venta de q unidades de un producto está dado por:

y=r (q )=1200q−3q2 US$

a. Grafique la parte pertinente de esta función.b. A partir de la gráfica determine:

1. Nivel de producción que maximiza el ingreso.2. Ingreso máximo.

c. ¿Cuántas unidades se deben vender para que el ingreso sea de US$ 76800?

15 Ibíd., p. 699.16 HOFFMANN. Laurence D. BRADLEY. Gerald L. Cálculo aplicado a Administración, Contaduría y Ciencias Sociales. 5 ed. Bogotá: McGraw-Hill, 1995. p. 215.

195

114. SPT2 – PP: El modelo de costo para un producto en cierta fábrica está dada por:

c (q )=3 q2−420q+16500 US$

a. Determine el dominio matemático del modelo de costo.b. Determine el dominio desde el punto de vista de la situación problémica

del modelo de costo.c. Elabore la gráfica de este modelo.

A partir de la gráfica determine:

1. Nivel de producción que minimiza los costos.2. Costos mínimos.

d. Elabore una tabla de valores y a partir de esta tabla determine:1. Nivel de producción que minimiza los costos.2. Los costos mínimos.

115. SPT3 – REC: Un mayorista ofrece un precio de venta de $ 5.200 menos un descuento de $ 5 por cada artículo de las mismas especificaciones comprado.

a. Determine el modelo de precio.b. Determine el modelo de ingreso.c. Encuentre un intervalo apropiado en el cual sea óptimo para el

mayorista sostener estas condiciones.d. Grafique el modelo de ingreso. A partir de la gráfica determine

i. El nivel de producción que maximice el ingreso.ii. El ingreso máximo.

e. Determine el precio de venta de cada artículo cuando el ingreso es máximo.

116. SPT1 – REC: Un fabricante estima que si cada pedido de materias primas contiene “x” unidades, el costo total de adquirir y almacenar el suministro anual de materias primas será:

c ( x )=4 x+100 .000x Dólares

a. Represente la parte pertinente de la gráfica de este modelo de costo y a partir de ella estime el tamaño óptimo de un pedido, es decir bajo qué condiciones se obtiene el costo mínimo y cual es este costo mínimo.

196

b. Cuando el costo es de 1000 dólares, estime cuantas unidades fueron adquiridas y almacenadas.

c. Si se adquiere y se almacenan 500 unidades, ¿el costo es?

117. SPT1 – REC: Un fabricante estima que si se emplean x máquinas, el costo de un período de producción será:

c ( x )=10 x+1500x Dólares.

a. Represente la parte pertinente de la gráfica de este modelo y a partir de ella calcule cuantas máquinas deberá utilizar el fabricante para minimizar el costo.

b. ¿Si los costos en un período de producción son de 500 dólares, estime cuantas máquinas fueron utilizadas?

c. Determine el costo cuando se utilizan 50 máquinas.

118. SPT3 – REC: La siguiente situación problémica es propuesta como ejemplo por el autor HOFFMANN17

El departamento de carretera planea construir un área de picnic para automovilistas a un lado de una carretera principal. Será rectangular y tendrá un área de 5.000 m2 y estará cercada en los tres lados no adyacentes a la carretera.

a. Exprese la cantidad de metros de maya requerida para cercar en términos de la longitud del lado no cercado.

b. Elabore la gráfica de la parte pertinente del modelo obtenido en el numeral a y úsela para determinar la longitud del terreno que permite utilizar la mínima cantidad de metros de maya para cercar el terreno.

119. SPT2 – REC: A partir de una pieza de cartón de 28 cm por 28 cm, se construirá una caja abierta, Para ello se quitará un pequeño cuadrado en cada esquina y se doblarán los lados hacia arriba.

a. Exprese el volumen de la caja resultante en términos de la longitud del pequeño cuadrado.

b. Elabore la gráfica de la parte pertinente del modelo anterior.

17 Ibíd., p. 205.

197

c. Si la caja es hecha para contener un volumen de 320 cm3 determine las dimensiones de la caja. Determine también la cantidad de material utilizado.

120. SPT1 – PP: La siguiente situación problémica es propuesta por el autor HAEUSSLER18

Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el ingreso total por las ventas será de:

100√q US$.

Si cada unidad producida tiene un costo de US$ 2 y el costo fijo es de US$ 1.200.a. Encuentre un modelo para la utilidad.b. Determine el punto de equilibrio.

121. SPT3 – REC: Un terreno rectangular de 500m2 de área va a ser cercado. La cerca para el frente del terreno, como da a una carretera, tiene un costo de US$ 50 el metro instalado, para los otros tres lados, el metro instalado tiene un costo de US$ 35.

a. Obtenga un modelo para el costo total del cercado del terreno en términos del lado que da a la carretera.

b. Elabore la gráfica de este modelo. c. A partir de la gráfica, estime las dimensiones del terreno que permitan

minimizar los costos.d. Determine cuál es el costo mínimo.

122. SPT2 – PP: El modelo de utilidad en cierta empresa está dado por:

U (q )=8q−q2

Donde q número de unidades producidas y vendidas y U (q ) es la utilidad en dólares.

a. Elabore la parte pertinente del modelo de utilidad.b. Si la utilidad es de 15 dólares, estime ¿cuántas unidades fueron

vendidas?

18 HAEUSSLER. Ernest. F. Jr; RICHARD S. Paul. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias sociales y de la vida. 8 ed. México: Prentice Hall, 1997. p. 699.

198

123. SPT1 – PP: Un proyectil es lanzado al aire con una velocidad inicial de 192 metros por segundo. Después de t segundos su altura es:

S( t )=192 t−16 t2

a. Elabore la gráfica de la parte pertinente de este modelo.b. A partir de la gráfica determine el tiempo en el cual el proyectil alcanza

su altura máxima.c. Halle la altura máxima que alcanzará.d. Determine el tiempo en el cual la velocidad es de 576 m / s.

124. SPT1 – PP: El modelo de ingreso para la venta de q unidades de un producto está dado por:

y=r (q )=1200q−3q2 US$

Utilizando una tabla de valores determine:a. Nivel de producción que maximiza el ingreso.b. Ingreso máximo.c. ¿Cuántas unidades se vendieron cuando el ingreso es de US$ 76800?

125. SPT1- PP: Una compañía de investigación de mercadeo estima que t meses después de la introducción de un nuevo producto, y familias lo usaran. Dónde:

y= f ( t )=1009t (15−t )

y está dada en miles de familias.T tiempo en meses.

a. Elabore la parte pertinente de este modelo.b. A partir de la gráfica estime el número máximo de familias que usarán el

producto.

126. SPT1 – PP: Se estudian los efectos nutricionales sobre conejos que fueron alimentados con una proteína especial. El peso promedio, en gramos, ganado por cada conejo al utilizar la proteína especial está dado por:

y= f ( p )=− 350

p2+6 p+60

Donde p, es la cantidad de proteína en gramos, utilizada en la alimentación de cada conejo.

y= f ( p ): Es el peso promedio ganado por cada conejo, en gramos.

199

Elabore una tabla de valores para la parte pertinente de este modelo matemático.Utilizando la tabla de valores determine:

a. Cantidad de proteína a utilizar para alcanzar el máximo peso.b. El peso máximo ganado por un conejo. c. Si el peso ganado por un conejo es de 29,5 gramos, ¿qué cantidad de

proteína se ha utilizado?

127. SPT1 – PP: El desplazamiento y en metros de un objeto desde un punto de referencia en un tiempo t en segundos, está dado por:

y=s ( t )=3,2 t2−16 t+28 ,7

Determine:a. En qué tiempo ocurre el desplazamiento mínimo.b. El desplazamiento mínimo del objeto.

128. SPT1 – PP: Durante un choque la fuerza F (en Newton) que actúa sobre un objeto varía con el tiempo de acuerdo con el modelo matemático:

F= f ( t )=87 t−21 t2

Donde t esta en segundosa. ¿Para qué valor de t la fuerza fue máxima?b. ¿Cuál fue el valor máximo de la fuerza?

129. SPT2 PP: El modelo para la demanda (o precio) en la venta de q unidades de cierto artículo está dado por:

p(q )=−5q+500−10500q

$ (miles).

Determine:a. El modelo para el ingreso.b. Elabore la gráfica de la función de ingreso, a partir de la gráfica

determine: El ingreso máximo.c. ¿Cuál es el precio de cada artículo cuando el ingreso es de $ 875000?

130. SPT2 – PP: El modelo de costo promedio en cierta fábrica está dada por:

c (q )=q−140+5500q

US$.

200

Determine:

a. Modelo de costo.b. Grafique la parte pertinente de la función de costo.c. A partir de la gráfica de la función de costo determine:

1. Nivel de producción que minimiza los costos.2. Costos mínimos.

132. SPT2 – PP: Un fabricante puede producir radios a un costo de US$ 10 cada uno y estima que si vende a x dólares cada uno, los consumidores comprarán aproximadamente 80-x radios cada mes. a. Encuentre un modelo matemático para la utilidad mensual del fabricante en

términos del precio x. b. Elabore la gráfica de este modelo.c. Determine el precio al cual la utilidad del fabricante será mayor.

134. SPT1 – REC: Por cada pedido de materias primas, un fabricante debe pagar derechos de solicitud para cubrir los gastos de manejo y transporte, esto genera costos de transporte y manejo. Después de haberlas recibido, las materias primas deben almacenarse hasta su utilización, lo que origina costos de almacenamiento. Un fabricante estima que si cada pedido contiene q unidades, el costo total de obtener y almacenar las materias primas del año está dado por:

c (q )=3 x+50 . 0004 x

Dólares

Elabore la gráfica de la parte pertinente de este modelo y estime el tamaño óptimo de un pedido.

Enlaces de interés

http://www.youtube.com/results?search_query=vide0s+de+funciones+matem%C3%A1ticas&search_type=&aq=f Esta página fue consultada en Julio 21 de 2009.

http://www.youtube.com/watch?v=YEGlys8MHxgEsta página fue consultada en Julio 21 de 2009.

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HOFFMANN. Laurence D. BRADLEY. Gerald L. Cálculo aplicado a Administración, Contaduría y Ciencias Sociales. 5 ed. Bogotá: McGraw-Hill, 1995.

PURCELL, Edwin J; VARVERG, Dale. Cálculo con geometría analítica. 6 ed. México: Prentice Hall, 1993.

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http://www.jfinternational.com/funciones-matematicas.html

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml#fun

http://www.wikilearning.com/apuntes/funciones_matematicas-funciones/3503-1

http://www.eleducador.com/col/contenido/contenido.aspx?catID=110&conID=307




http://descartes.isftic.mepsyd.es/materiales_didacticos/Derivada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm

http://mathway.com/ Este link nos sirve para resolver problemas de álgebra, trigonometría y cálculo consultado por última vez el 1° de septiembre de 2009.




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http://mathway.com/

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