funciones y grÁficas -...
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FUNCIONES Y GRÁFICAS
María del Carmen Arroyo Barroso
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EVALUACIÓN
• APUNTES: 10%
• ACTIVIDADES: 20%
• EXAMEN: 70%
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ESQUEMA DEL TEMA
FUNCIONES
DOMINIO, EXPRESIÓN Y EVALUACIÓN
VARIACIONES
CRECIMIENTO
DECRECIMIENTO
MÁXIMO
MÍNIMO
TENDENCIA
FUNCIONES PERIÓDICAS
CONTINUIDAD
CONTINUA
DISCONTINUA
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HISTORIA
• Origen: Necesidad de explicar fenómenos físicos.
Medición y cualificación: Finales S. XVI
Galileo investigó sobre las relaciones matemáticas entre 2 variables x e y (Relación cuantitativa entre causa y efecto). Consideró importante medir y valorar causas y efectos, buscando una relación que describiera con sencillez un fenómeno.
• Aparición: El concepto de función va tomando forma en el S.XVII, quedando definido en el S. VIII con Euler.
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Spam = list (s)
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Puedo hacer uso de una función para obtener el número de naranjos que necesito para obtener la producción máxima.
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DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función relaciona dos variables, X (variable independiente) e y (variable dependiente). Cada valor de x se corresponde a un único valor de y.
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Las funciones las podemos expresar de 4 maneras diferentes:
1.Verbal 2. Gráfica 3. Formula o expresión analítica 4. Tabla de valores
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EXPRESIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN:
DOMINIO Tramo de valores de x para los cuales hay valores de y
RECORRIDO Conjunto de valores de y que toma la función.
Y = f(x) (v. dependiente) Eje de ordenada
X (v. independiente) Eje de abscisa
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Tiempo en horas
Velocidad en Km/h
8 14
Tiempo
Velocidad
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3
9 20
20
11 00
80
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Página 155 del libro Ejercicio 1, página 146
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Página 146
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VARIACIONES, TENDENCIA Y CONTINUIDAD
• VARIACIONES
– CRECIMIENTO
Al aumentar x, y aumenta.
– DECRECIMIENTO
Al aumentar x, y disminuye.
– MÁXIMO RELATIVO
Su ordenada es la mayor de los puntos que la rodean.
– MÍNIMO RELATIVO
Su ordenada es la menor de los puntos que la rodean.
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0 70
0 70
85 42
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42 85
85
0 42
42 70
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Tarea: 2, página 149
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VARIACIONES, TENDENCIA Y CONTINUIDAD
• TENDENCIA
Comportamiento a largo plazo. Se ve una tendencia.
Periodicidad- Funciones Periódicas.
Su comportamiento se repite cada vez que la variable independiente (x) recorre un cierto intervalo llamado Periodo.
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0,5 s
0,5 s
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VARIACIONES, TENDENCIA Y CONTINUIDAD
• CONTINUIDAD
– CONTINUA
– DISCONTINUA
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Página 151
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Tarea: 2, página 151 y 2 página 155
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Tarea: 2, página 155
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3, página 155
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EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN
La expresión analítica de una función es una ecuación que relaciona la variable dependiente (y) con la variable independiente (x).
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2, página 153
a) El volumen de un cilindro es: V𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋𝑟2
𝑉 = 𝜋𝑥2𝑥 = 𝜋𝑥3 b)
f x = 𝐴𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 +𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 = 𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟2 = 2𝜋𝑟2
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝑃𝐶 = 2π𝑥𝑥 = 2𝜋𝑟2 𝐴𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟2 = 4𝜋𝑟2
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3, página 153
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EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN La evaluación de una función consiste en la sustitución de unos valores de x para obtener la y.
𝑓 𝑥 =𝑥
2𝑥 + 1 𝑥: 0; −2;−
1
2
𝑓 0 =0
2 0 + 1= 0
𝑓 −2 =−2
2 −2 + 1=
−2
−4 + 1=
−2
−3=
2
3
𝑓 𝑥 =−
12
2 −12
+ 1=
−12
−1 + 1= ∄
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1, página 152 La función que relaciona la medida de la base, x, con el área del rectángulo viene dada por la formula:
𝐴 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 40 − 𝑥 𝑐𝑜𝑛 0 < 𝑥 < 40, que es la expresión analítica.
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1, página 152 La función que relaciona la medida de la base, x, con el área del rectángulo viene dada por la formula:
𝐴 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 40 − 𝑥 𝑐𝑜𝑛 0 < 𝑥 < 40, que es la expresión analítica.
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Hazlo tu, página 154
𝐼. 𝑦 = 4𝑥 + 5
𝐼𝐼. 𝑦 = 6 −6
𝑥
𝐼𝐼𝐼. 𝑦 = 5 − 𝑥 𝐼𝑉. 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2
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Hazlo tu, página 154
𝐼. 𝑦 = 4𝑥 + 5
𝐼𝐼. 𝑦 = 6 −6
𝑥
𝐼𝐼𝐼. 𝑦 = 5 − 𝑥 𝐼𝑉. 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2
A B
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Página 154
𝐼. 𝑦 = 4𝑥 + 5
𝐼𝐼. 𝑦 = 6 −6
𝑥
𝐼𝐼𝐼. 𝑦 = 5 − 𝑥 𝐼𝑉. 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2
C D
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Evalúa las siguientes funciones para los valores de x
indicados en cada una:
a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3 𝑥: 2; 𝑎; 1
2
b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 1 𝑥: −2; 𝑎
2;
1
2
c) 𝑓 𝑥 = −𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑥: −2; −1
d) 𝑓 𝑥 =34
𝑥−6 𝑥: 2; 10; 6
f) 𝑓 𝑥 = 4𝑥 − 2 𝑥:1
2; 2
g) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 2 𝑥 ≤ 0𝑥2 + 1 𝑥 > 0
𝑥: −2; 3
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CÁLCULO DEL DOMINIO Se puede obtener con: expresión gráfica y expresión analítica.
a)Funciones lineales 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑛
b)Funciones cuadráticas 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
c)Funciones racionales
𝑓 𝑥 =𝑔(𝑥)
(𝑥) 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 (𝑥) ≠ 0
d)Funciones radicales
𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑔(𝑥) ≥ 0
El dominio de la función son todos los números reales.
𝑥/𝑥 ∈ 𝑅 −∞,+∞
El dominio serán todos los valores reales menos el valor o valores de x que hagan 0 el denominador.
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CÁLCULO DEL DOMINIO Se puede expresar de 3 formas:
Intervalo Desigualdad Sobre la recta
𝑎, 𝑏 𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
𝑎, 𝑏) 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏
(𝑎, 𝑏 𝑥 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏
𝑎, 𝑏 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
(𝑎,+∞) 𝑥 𝑥 > 𝑎
𝑎,+∞) 𝑥 𝑥 ≥ 𝑎
−∞, 𝑏 𝑥 𝑥 < 𝑏
(−∞, 𝑏 𝑥 𝑥 ≤ 𝑏
−∞,+∞ 𝑥 𝑥 ∈ 𝑅
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CÁLCULO DEL DOMINIO
Calcula y expresa el dominio de las siguientes
funciones:
a) 𝑓 𝑥 = 4𝑥2 − 𝑥 + 1
b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2
c) 𝑓 𝑥 =2
𝑥−2
d) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4