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Funciones de dos variablesSuperficies cuadraticas

Curvas de nivel

FUNCIONES Y SUPERFICIES

Sergio Stive Solano Sabie 1

Abril de 2013

1Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.comSergio Solano Sabie CALCULO III

Curvas de nivel

FUNCIONES Y SUPERFICIES

Sergio Stive Solano Sabie 1

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1Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.comSergio Solano Sabie CALCULO III

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Funciones de dos variables1 La temperatura T en un punto de la superficie de la Tierra

en cualquier instante determinado depende en todomomento de la longitud x y latitud y del punto. Podemospensar en T como una funcion de dos variables x y y.Indicamos esta dependencia funcional escribienfo T (x, y).

2 El volumen V de un cilindro circular depende de su radio ry de su altura h. Sabemos que V = πr2h. Decimos que Ves una funcion de r y h, y escribimos esto comoV (r, h) = πr2h.

Definicion 1.1Una funcion de dos variables es una regla que le asigna acada par de numeros reales (x, y) en el conjunto D un numeroreal unico denotado con f(x, y). El conjunto D es el dominiode f y su rango es el conjunto de valores que f toma; es decir,{f(x, y) | (x, y) ∈ D}.

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Funciones de dos variables

Ejemplo 1.1Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funcionesy evalue f(3, 2).

1 f(x, y) =√x+y+1x−1

2 f(x, y) = x ln(y2 − x)

Solucion.1 La expresion para f tiene sentido si el denominador es

distinto de 0 y la cantidad que esta bajo el radical no esnegativa. Ası que el dominio de f es

D = {(x, y) | x+ y + 1 ≥ 0, x 6= 1}.2 Puesto que ln(y2−x) esta definida solo cuando y2−x > 0,

es decir, x < y2, el dominio de f es D = {(x, y) | x < y2}.Sergio Solano Sabie CALCULO III

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GraficasDefinicion 1.2Si f es una funcion f de dos variables con dominio D,entonces la grafica de f es el conjunto de todos los puntos(x, y, z) en R3, tal que z = f(x, y) y (x, y) ∈ D.

La grafica de una funcion f de dos variables es una superficieS con ecuacion z = f(x, y). Podemos visualizar la grafica de Scomo si estuviera abajo o arriba de su dominio en el plano xy.

Ejemplo 1.2

Trace la grafica de la funcion.1 f(x, y, z) = 6− 3x− 2y (plano)2 f(x, y) = x2 (cilindro parabolico)3 f(x, y) = 4x2 + y2 (paraboloide elıptico)4 f(x, y) = y2 − x2 (paraboloide hiperbolico)

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Graficas

Para representar una funcion de dos variables, a menudo resul-ya util determinar la forma de las secciones transversales (reba-nadas) de la grafica.Por ejemplo, si mantenemos a x fija al hacer x = k (una cons-tante) y dejar que y varıe, el resultado es una funcion de unavariable z = f(k, y), cuya grafica es la curva que resulta de in-tersectar la superficie z = f(x, y) con el plano vertical x = k.De una forma similar, podemos cortar la superficie con el planovertical y = k y observar las curvas z = f(x, k).Tambien podemos cortarlas con los planos horizontales z = k.Estos tres tipos de curvas se llaman trazas (o secciones trans-versales) de la superficie z = f(x, y).

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Graficas

Ejemplo 1.3

Dibuja la superficie cuadratica cuya ecuacion es

x2 +y2

Solucion. La traza en el plano xy(z = 0) es x2 + y2

9 = 1, la cualreconocemos como una ecuacion de una elipse. En general, latraza horizontal en el plano z = k es x2 + y2

9 = 1 − k2

4 (z = k)que es una elipse, dado que k2 < 4, es decir, −2 < k < 2.De manera analoga, las trazas verticales tambien son elipses:

4= 1− k2 x = k (si− 1 < k < 1)

x2 +z2

4= 1− k2

9y = k (si− 3 < k < 3)

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Graficas

Ejemplo 1.3

Dibuja la superficie cuadratica cuya ecuacion es

x2 +y2

Solucion. La traza en el plano xy(z = 0) es x2 + y2

9 = 1, la cualreconocemos como una ecuacion de una elipse. En general, latraza horizontal en el plano z = k es x2 + y2

9 = 1 − k2

4 (z = k)que es una elipse, dado que k2 < 4, es decir, −2 < k < 2.De manera analoga, las trazas verticales tambien son elipses:

4= 1− k2 x = k (si− 1 < k < 1)

x2 +z2

4= 1− k2

9y = k (si− 3 < k < 3)

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Graficas

En la siguiente figura se muestra como al dibujar algunas deesas trazas se esboza la forma de la superficie. Se llama elip-soide debido a que todas sus trazas son elipses.

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Superficies cuadraticas

Definicion 2.1La grafica de una ecuacion de segundo grado de tres variablesx, y y z se llama superficie cuadratica.

A continuacion se muestran graficas de los seis tipos basicosde superficies cuadraticas en su forma convencional.

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Ejemplo 2.1

Clasifica la superficie cuadratica x2 + 2z2 − 6x− y + 10 = 0.

Solucion.Al completar el cuadrado, la ecuacion se escribe como

y − 1 = (x− 3)2 + 2z2

Al comparar esta ecuacion con la tabla anterior, la ecuacion re-presenta un paraboloide elıptico. El eje de la parabola es para-lelo ala eje y y se le desplazo de tal manera que su vertice esel punto (3, 1, 0). Las trazas en el plano y = k (k > 1) son laselipses

(x− 3)2 + 2z2 = k − 1, y = k > 1

Las trazas en el plano xy es la parabola con ecuacion y = 1 +(x− 3)2, z = 0.

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En la siguiente figura se muestra el paraboloide

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Definicion 3.1La curvas de nivel de una funcion f de dos variables son lacurvas con ecuacion f(x, y) = k, donde k es una constante (enel recorrido de f ).

Ejemplo 3.1

Dibuje las curvas de nivel de la funcion g(x, y) =√9− x2 − y2.

Solucion. Las curvas de nivel son√9− x2 − y2 = k o bien x2 − y2 = 9− k2

Esta es una familia de cırculos concentricos con centro (0, 0) yradio

√9− k2.

Curvas de nivel

Un ejemplo usual de las curvas de nivel ocurren en los mapastopograficos de las regiones montanosas:

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GRACIAS POR SU ATENCION

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