TIPOS DE FUNO

1. FUNO CONSTANTE

Chama-se funo constante a funo f: IR IR,

x f(x) = b, com b IR.

Obs.: Im(f) = {b}

Obs.: O grfico uma reta paralela ao eixo das abscissas e passa pelo ponto (0,b).

Exemplo: Construir o grfico das funes abaixo:

a) y = 3 b) y = -1

2. FUNO LINEAR

Chama-se funo linear a funo f: IR IR,

x f(x) = ax, com a IR* .

Obs.: Im(f) = IR. De fato se y = ax, temos x = a

y, no h restries.

Obs.: Pode-se provar que o grfico da funo linear uma reta que passa pela origem (0,0).

Obs.: Pode-se provar que a funo linear o modelo matemtico para resoluo de problemas de proporcionalidade,

isto , problemas que consistem em: dados os nmeros: x1, y1, x2, y2, determinar um deles de forma que todos sejam

diretamente proporcionais:

== a

x

yx

y

2

2

1

1 , isto , quando y aumenta o x aumenta da mesma forma ou inversamente

proporcionais:

==== ayx

x

ya

x

yxy

2

2

1

1

2

21

1 1 , isto , embora o y diminua o x aumenta da mesma forma. Tais

problemas so conhecidos por problemas de regra de trs no ensino fundamental. Note que na funo linear f(x) = ax,

temos f(x1) = ax1, isto , a = 1

1

x

ye f(x2) = ax2, isto , a =

2

2

x

y. Da conhecendo a taxa de variao a (que definiremos

com mais preciso a seguir) podemos resolver problemas desse tipo.

Exemplo: Uma pessoa viaja 120 km em 2 horas. Quantas horas levar a mesma pessoa para percorrer 180 km com a

mesma velocidade?

SOLUO:

Como distancia percorrida(d) e tempo decorrido(t) so grandezas diretamente proporcionais, podemos traduzir o

problema da seguinte forma:

3 -1

Seja d(t) = a.t, distancia percorrida em funo do tempo decorrido. Como d(2) = 120 e a = 602

120)(1

1== aa

t

td,

obtemos facilmente t2 em d(t2) = 180, pois: 360180)(

222

2=== t

ta

t

td. Logo 3 horas o tempo que ela levar.

Obs.: Neste caso a taxa de variao a tambm conhecida por velocidade mdia.

Exemplo 2: Um nibus, a uma velocidade constante de 80 km/h, faz uma viagem entre duas cidades em 5 horas. Quanto

tempo levar para fazer essa mesma viagem velocidade de 60 km/h?

SOLUO:

Como velocidade mdia v = t

dt

d 1.= e tempo decorrido t =

vd

v

d 1.= so grandezas inversamente proporcionais,

podemos traduzir o problema da seguinte forma:

Seja v(t) = t

a1

, a velocidade(v) em funo do tempo(t). Como f(5) = 51

a , isto ,

80 = 51

a 4005.80

51

80=== aaa , obtemos facilmente t2 em f(t2) = 60, pois:

.67,660400601.400601 22

22

horastttt

a ===

Logo 6horas e 40min o tempo aproximado que o nibus levar.

3. FUNO IDENTIDADE

Chama-se funo identidade a funo f: IR IR

x f(x) = x.

Obs.: Im(f) = IR

Obs.: O grfico a reta bissetriz do 1 e 3 quadrantes.

4. FUNO AFIM

Definio 1: Uma funo do tipo f: IR IR

x f(x) = ax + b, com a,b constantes reais chamada funo afim.

Definio 2:

a) A ordenada do ponto (0,b), isto , f(0) = b chamada valor inicial ou coeficiente linear da funo afim.

b) O a, em f(x) = ax + b, chamado taxa de crescimento, variao ou coeficiente angular da funo afim.

c) A funo linear um caso particular da funo afim (funo afim com b = 0).

Obs.1: Dados (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)), pontos de uma funo afim, distintos, porm arbitrrios, podemos determinar a taxa

de crescimento a.

Com efeito, f(x1) = ax1 + b

f(x2) = ax2 + b

f(x2) f(x1) = ax2 + b (ax1 + b)

f(x2) f(x1) = ax2 + b ax1 b

f(x2) f(x1) = a(x2 ax1)

a = )()f(x - )f(x

12

12

xx

fazendo x2 x1 = h

a = h

f(x) - h)f(x +

Obtemos a taxa de crescimento no intervalo de extremos x, x + h.

Obs.2: Numa funo afim o coeficiente linear b a ordenada do ponto em que o grfico G de f(x) = ax + b corta o eixo

OY e a inclinao de G em relao ao eixo OX o coeficiente angular a.

Teorema 1: Uma funo afim crescente, isto , x1 < x2 f(x1) < f(x2), quando a > 0.

De fato, x1 < x2 x2 - x1 > 0 e f(x1) < f(x2) f(x2) - f(x1) > 0, isto , a(x2 x1) > 0.

Pois, f(x2) f(x1) = ax2 + b - (ax1 + b)

= ax2 ax1

= a(x2 x1).

Mas a(x2 x1) > 0 e x2 x1 > 0. Logo a > 0.

Teorema 2: O grfico de uma funo afim uma reta.

Dada uma funo afim, seu grfico G o conjunto dos pontos (x, ax + b) IR2, onde x IR.

Sejam M = (x1, ax1 + b), N = (x2, ax2 + b) e P = (x3, ax3 + b) trs pontos quaisquer de G. Podemos admitir, sem perda de

generalidade, x1 < x2

Teorema de Caracterizao da Funo Afim

Seja f: IR IR uma funo injetiva montona.

Se a diferena f(x+h) f(x) depender apenas de h, mas no de x, ento f uma funo afim.

Teorema de Caracterizao da Funo Afim (Reformulado)

Seja f: IR IR uma funo injetiva montona.

Se, na funo f, acrscimos sofridos por f(x) forem proporcionais aos acrscimos dados a x ento a funo f uma

funo afim.

APLICAES

Aplicao 1: Os valores dos pontos de fuso e ebulio respectivamente nas escalas de graus termomtricos Celsius e

Fahrenheit so 00C = 320F e 1000C = 2120F. Expresse uma temperatura dada em graus Celsius em funo de graus

Fahrenheit.

SOLUO: Antes de tudo analisemos os pontos dessa forma: 320F = 00C e 2120F = 1000C, uma vez que queremos obter a

temperatura dada em graus Celsius em funo de graus Fahrenheit. Da definio de funo afim temos:

a = 95

322120100

)()f(x - )f(x

12

12=

=

xx e f(32) = 9

5. 32 +b 0 = b+

9160

b = -9

160.

Logo C(F) = aF + b, onde C graus Celsius e F graus Fahreneit, pode ser expressa, substituindo os valores encontrados,

por:

C(F) = 95

F - 9

160 ou

9)32(5

=

FC como normalmente encontrada nos livros do ensino mdio.

Aplicao 2: Na loja A, um aparelho custa R$ 3.800,00 mais uma taxa mensal de manuteno de R$ 20,00. Na loja B, o

mesmo aparelho custa R$ 2.500,00 porm a taxa de manuteno de R$ 50,00 por ms. Quando e qual das duas

opes a mais vantajosa?

SOLUO:

A despesa total y com o aparelho na loja A pode ser expressa pela funo f(x) = 20.x + 3800, onde x o tempo em

meses.

A despesa total y com o aparelho na loja B pode ser expressa pela funo g(x) = 50.x + 2500, onde x o tempo em

meses.

Por exemplo, no primeiro ms temos: f(1) = 20.1 + 3800 = 3820 e g(1) = 50.1 + 2500 = 2550 percebe-se ento que para

apenas um ms de uso vantagem comprar o aparelho na loja B, pois a economia que se faz de 3820 2550 = 1270.

Devemos descobrir quando essa economia (diferena) torna-se igual a zero, pois a partir desse momento (ms), ser

mais vantagem, obviamente, comprar na loja A.

Fazendo f(x) g(x) = 20.x + 3800 (50.x + 2500) = - 30.x + 1300. Da -30.x + 1300 = 0 x = 3143

301300

= , isto , aps

43 meses e 10 dias de uso, torna-se mais vantajoso (econmico) comprar o aparelho na loja A.

ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNO

Seja uma funo f: A B com y = f(x), estudar o seu sinal significa determinar para que valores de x teremos

f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0.

ESTUDO DO SINAL DA FUNO AFIM

Definio 1. Raiz ou zero de uma funo f: A B, o x A tal que f(x) = 0. No caso da funo afim sua raiz ou zero

x = a

b , pois ax + b = 0 ax = -b x =

a

b .

Para fazer o estudo dos sinais da funo afim devemos observar seu grfico considerando dois casos:

I) Funo afim crescente, isto , a > 0.

Observando o grfico conclumos:

a) x = -b/a f(x) = 0

b) x > -b/a f(x) > 0

c) x < -b/a f(x) < 0

II) Funo afim decrescente, isto , a < 0.

Observando o grfico conclumos:

a) x = -b/a f(x) = 0

b) x > -b/a f(x) < 0

c) x < -b/a f(x) > 0

Obs.: Note que irrelevante a posio do eixo das ordenadas.

Exemplo: Estude o sinal das funes reais:

a) f(x) = 2x 1 SOLUO: x = -b/a = 1/2. Logo, x = 1/2 f(x) = 0, x > 1/2 f(x) > 0 e x < 1/2 f(x) < 0.

b) f(x) = - 2x + 4 SOLUO: x = -b/a = 2. Logo, x = 2 f(x) = 0, x > 2 f(x) < 0 e x < 2 f(x) > 0.

INEQUAES DO 1 GRAU

Definio 1: Chama-se inequao na incgnita x a qualquer uma das sentenas abertas abaixo:

f(x) > g(x)

f(x) < g(x)

f(x) > g(x)

f(x) < g(x), com f, g funes de domnio Df e Dg IR

-b/a

y

x

+

-

x -b/a

y

+

-

Obs.: Caso f(x) e g(x) sejam funes afins, lineares, identidades ou constantes definimos a inequao como inequao

do 1 grau.

Exemplos:

2x 4 > x

3x 5 < 2

x2 3 > 1/x

3

12

x

x

Definio 2: Chama-se soluo de uma inequao o nmero real x0 que torna verdadeira a sentena aberta que a

representa.

Exemplo: x0 = 3 soluo de 2x + 1 > x + 3, pois 2.3 + 1 > 3 + 3.

Definio 3: Chama-se conjunto soluo(S) de uma inequao o conjunto de todas as solues da inequao. Resolver

uma equao significa determina o seu conjunto soluo.

Exemplo: 2x + 1 > x + 3 tem conjunto soluo S = { x IR | x > 2}

Definio 4: Chamam-se inequaoes equivalentes em D IR duas ou mais inequaes com o mesmo conjunto soluo.

Exemplo: 3x + 6 > 0 e x + 2 > 0 so inequaes equivalentes em IR, pois o conjunto soluo de ambas

S = { x IR | x > - 2}.

PRINCPIOS DE EQUIVALNCIA PARA INEQUAES COM D IR.

(I) f(x) < g(x) f(x) + h(x) < g(x) + h(x), h(x) definida em D1 D2. (II) f(x) < g(x) f(x) . h(x) < g(x) . h(x), h(x) > 0 definida em D1 D2. (III) f(x) < g(x) f(x) . h(x) > g(x) . h(x), h(x) < 0 definida em D1 D2.

Obs.: Tais princpios valem tambm para as desigualdades expressas por >, < e >.

Na prtica, aplicamos os princpios com os seguintes enunciados:

Em uma inequao podemos transportar um termo de um membro para outro trocando o sinal do termo

considerado, ou ainda multiplicar os dois membros pela mesma expresso, mantendo ou invertendo o sentido da

desigualdade, conforme essa expresso seja positiva ou negativa respectivamente.

Exemplo: Resolver, em IR, as inequaes do 1 grau:

a) xxx

+

21

32

, calcula-se o mmc(2,3) = 6

xxx

.62

13

2.6

+ multiplica-se ambos os membros por 6

2(x + 2) 3(x - 1) > 6x

- x + 7 > 6x

- x 6x > -7

- 7x > - 7 multiplica-se ambos os membros por -1 < 0 e altera-se o sentido da desigualdade

7x < 7

x < 1

S = { x IR | x < 1}

Definio 5: Chamam-se inequaes simultneas as apresentadas da forma

f(x) < g(x) < h(x)

.

Exemplo: Resolver a inequao 3x + 2 < - x + 3 < x + 4

SOLUO:

Como: 3x + 2 < - x + 3 tem soluo S1 = { x IR | x < 41

} e

-x + 3 < x + 4 tem soluo S2 = { x IR | x > - 21

}

Logo, 3x + 2 < - x + 3 < x + 4 tem soluo S = S1 S2 = { x IR | 21

< x < 41

} (ver operaes com intervalos de IR)

Definio 6: Chamam-se inequaes produto as inequaes do tipo:

f(x).g(x) > 0

f(x).g(x) < 0

f(x).g(x) > 0

f(x).g(x) < 0.

Observao: A soluo da inequao-produto do tipo f(x).g(x) > 0 obtida observando-se que

f(x).g(x) > 0 f(x) > 0 e g(x) > 0 ou f(x) < 0 e g(x) < 0

Assim conclumos que a soluo de uma inequao-produto do tipo f(x).g(x) > 0 S = {(S1 S2) (S3 S4)}, onde

S1,S2,S3 e S4 so respectivamente as solues de f(x) > 0, g(x) > 0, f(x) < 0 e g(x) < 0.

Fazendo uma anlise semelhante a anterior podemos obter o conjunto soluo dos outros trs tipos de inequaes-

produto existentes.

Exemplo: Resolver, em IR, a inequao-produto: (x + 2).(2x - 1) > 0

(I) x + 2 > 0 e 2x 1 > 0

x > -2 x > 1/2

S1 :

S2 :

S1 S2 :

(II) x + 2 < 0 e 2x 1 < 0

x < - 2 e x < 1/2

S3 :

S4 :

S3 S4 :

-2

1/2

1/2

-2

1/2

-2

E finalmente a soluo da inequao-produto:

S1 S2 :

S3 S4 :

S = {(S1 S2) (S3 S4)}:

Portanto S = { x IR | x < -2 ou x >21

}

Exemplo: Resolver, em IR, a inequao-produto: (x + 2).(2x - 1) > 0 estudando os sinais das funes envolvidas.

f(x) - - - - - - + + + + + + + + + + + + + +

g(x) - - - - - - - - - - - - - + + + + + + +

f(x).g(x) + + + + + - - - - - - - + + + + + + +

Portanto S = { x IR | x < -2 ou x >21

}

Definio 7: Chama-se inequaes-quocientes as inequaes do tipo 0)()(

>xgxf

, 0)()(

xgxf

obtida observando-se que

0)()(

>xgxf

f(x) > 0 e g(x) > 0 ou f(x) < 0 e g(x) < 0

Assim conclumos que a soluo de uma inequao-quociente do tipo 0)()(

>xgxf

S = {(S1 S2) (S3 S4)}, onde

S1,S2,S3 e S4 so respectivamente as solues de f(x) > 0, g(x) > 0, f(x) < 0 e g(x) < 0.

Fazendo uma anlise semelhante a anterior podemos obter o conjunto soluo dos outros trs tipos de inequaes-

quociente existentes.

Exemplo: Resolver, em IR, a inequao-quociente 21

43

+

x

xestudando os sinais das funes envolvidas.

Primeiro observe que: 21

43

+

x

x 0

125

+

x

x. Logo,

f(x) - - - - - - + + + + + + + + + + + + + +

g(x) + + + + + + + + + + + - - - - - - - - -

f(x)/g(x) - - - - - - + + + + + + - - - - - - - - -

Portanto S = { x IR | x < -52

ou x > 1}.

-2

1/2

-2 1/2

-2 1/2

0

0

-2/5 1

0

0

APLICAES

Aplicao 1. Para atendimento domiciliar um tcnico em informtica X cobra R$ 60,00 a visita e R$ 45,00 a hora de

trabalho, um tcnico Y cobra R$ 40,00 a visita e R$ 50,00 a hora de trabalho. A partir de quanto tempo de servio mais

econmico contratar o tcnico X ?

SOLUO: Escrevendo o custo(c) do atendimento em funo do tempo(t) de servio do tcnico temos:

Tcnico X: cx = 60 + 45t

Tcnico Y: cy = 40 + 50t

Para o tcnico X ser mais econmico que o tcnico Y seu custo deve ser menor, portanto devemos resolver a inequao

abaixo:

cx < cy

60 + 45t < 40 + 50t

-5t .(-1) < -20 .(-1)

t > 4

Logo, a partir de 4h de servio passa a ser mais econmico contratar o tcnico X.

Aplicao 2. Duas lan houses, A e B, localizadas em um mesmo bairro, adotam regimes diferentes de preos, em funo

do tempo de acesso, como mostra o grfico seguinte.

a) Qual das lan houses cobra entrada ? Qual o valor cobrado ?

SOLUO: Observe que caso seja cobrada uma entrada, a mesma computada no tempo 0, isto , devemos observar os

pontos (0,yA) na funo A e (0,yB) na funo B, que so respectivamente (0,0) e (0,1). Logo a lan house B cobra R$ 1,00

na entrada (x=0).

b) A partir de quantos minutos de acesso mais econmico escolher a lan house B ?

SOLUO: Seja p: a varivel preo e t: a varivel tempo de acesso. Podemos expressar o preo do acesso em funo de

tempo:

Para a lan house A temos os pontos: (0, 0) e (2; 5,60), substituindo esses valores na funo abaixo obtemos:

pA(t) = at + b pA(t) = at + b

pA(0) =a.0 + b pA(2) = a.2 + b

0 = 0 + b 5,60 = 2a + 0

b = 0 a = 2,8

Preo(R$)

Tempo(h) 0 2

1,00

5,60

6,00

A B

Da podemos montar pA(t) = 2,8.t

Para a lan house B temos os pontos (0, 1) e (2, 6), substituindo esses valores na funo abaixo obtemos:

pB(t) = at + b pB(t) = at + b

pB(0) = a.0 + b pB(2) = a.2 + b

1 = 0 + b 6 = 2.a + 1

b = 1 a = 2,5

Da podemos montar pB(t) = 2,5.t + 1

Logo mais econmico escolher B quando pB < pA, isto , 2,5.t + 1 < 2,8.t

2,5.t 2,8.t < - 1

- 0,3.t . (-1) < - 1 . (-1)

0,3.t > 1

t > 1/0,3

t > 10/3 h, isto , 10/3 . 60 min = 200 minutos.

Portanto mais econmico escolher a lan house B a partir de 3h e 20 min de acesso.

Aplicao 3. Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema ps-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de

R$ 50,00 e cada minuto em ligaes locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para at 50

minutos em ligaes locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligaes locais de R$ 1,50.

a) Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de 30 minutos em ligaes locais.

SOLUO: Seja c: a varivel conta mensal e t: a varivel minutos de ligaes locais por ms. Podemos expressar valor

da conta(c) em funo de tempo de ligaes e minutos mensais: (t) atravs da relao:

Plano A Plano B

cA = 50 + 0,25.t cB =

>+

50_)50.(5,140

500_,40tset

tse

cA = 50 + 0,25.30

cA = 57,50 cB = 40,00

Portanto, R$ 57,50 o valor da conta no plano A. Portanto, R$ 40,00 o valor da conta no plano B.

b) A partir de quantos minutos mensais em ligaes locais o plano B deixa de ser vantajoso?

SOLUO: B deixar de ser vantajoso o mesmo que: cB > cA 40 + 1,5.(t 50) > 50 + 0,25.t

40 + 1,5.t 75 > 50 + 0,25.t

1,5.t 35 > 50 + 0,25.t

1,25.t > 85

t > 68

Portanto, o Plano B deixa de ser vantajoso a partir de 69 minutos mensais em ligaes locais.