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8/17/2019 Funções aula.docx

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Funções

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos,tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de

comunicação. Um teto com ilustrações, ! muito mais interessante, c"amativo,agradável e de fácil compreensão. #ão ! s$ nos jornais ou revistas %ue encontramosgráficos. &s gráficos estão presentes nos eames laboratoriais, nos r$tulos de produtosaliment'cios, nas informações de composição %u'mica de cosm!ticos, nas bulas derem!dios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos anecessidade dos conceitos de plano cartesiano.

& conceito de função ! um dos mais importantes da matemática. Ele está sempre presente na relação entre duas grandezas variáveis. Assim são eemplos de funções() & valor a ser pago numa corrida de tái ! função do espaço percorrido*) A área de um %uadrado ! função da medida do seu lado*

) & comprimento de uma barra de ferro ! dado em função da temperatura, pois o ferrose dilata %uando a%uecido.) & preço %ue se paga por uma ligação telef+nica ! dado em função do tempo %ue se falaao telefone.) & consumo de combust'vel de um ve'culo ! dado em função de um percurso

percorrido.) uando ingerido bebida alco$lica, a concentração de álcool no sangue ! dada emfunção da %uantidade de bebida consumida.-empre localizado( om o sistema de coordenadas cartesianas tanto podemos localizar uma peça no tabuleiro de adrez como uma cidade no mapa)mundi.) Ao relacionarmos espaço em função do tempo, n/mero do sapato em função do

taman"o dos p!s.) intensidade da fotoss'ntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a%ue ela ! eposta.) Uma pessoa em função da impressão digital.) 0er'metro de um tri1ngulo ! função da medida de seus lados.

0ercebemos %uão importantes são os conceitos de funções para compreendermosas relações entre os fen+menos f'sicos, biol$gicos, sociais.

&bserve %ue as relações %ue vimos a seguir t2m duas caracter'sticas em comum() A todos os valores da variável independente estão associados valores da variáveldependente*) 0ara um dado valor da variável independente está associado um /nico valor davariável dependente.

As relações %ue t2m essas caracter'sticas são c"amadas de funções

&bservamos então %ue as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano,relações e funções estão presentes no nosso cotidiano.


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0lano cartesiano

Referência histórica: &s nomes 0lano artesiano e 0roduto artesiano são"omenagens ao seu criador 3en! 4escartes 56789)697:;, fil$sofo e matemático franc2s.& nome de 4escartes em


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Exercicios pg 69 do 1 ao 3

A função ! um modo especial de relacionar grandezas.

B 4uas grandezas e = se relacionam de tal forma %ue(

C pode assumir %ual%uer valor em um conjunto A dado.

C a cada valor de corresponde um /nico valor = em um dado conjunto D.

C os valores %ue = assume dependem dos valores assumidos por .

A dist1ncia percorrida por uma bicicleta pode ser escrita em função do n/merode pedaladas eecutadas pelo ciclista. A epressão em função indica %ue os valores dasgrandezas mencionadas estão de algum modo relacionados.

Ao comprarmos pães o valor a ser pago depende do valor do g do pão ou se avenda for feita por unidade depende do valor de cada unidade.

'emos rias maneiras para representar a idéia de função.

Como representar uma função

Diagrama de Grácos(plano Lei de formação


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Definição matemática de função

f: A B

x : ariel independente

y ou f ( x : ariel dependente

cada elemento do conjunto A dee estar associado a um !nicoelemento do conjunto B.

Uma função (ou aplicação) f é uma lei segundo a

qual cada elemento em um con!unto A est"

associado a exatamente um único elemento# chamado f( ) ou $# em umcon!unto B%


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Nao é funçao de A em B é funçaode A em B

Não é função de A em B funçao de Aem B

As figuras , 7 e 9 representam apenas relações. #ote %ue na fig. alguns elementos deA t2m duas c"egadas em D, na fig. 7 sobrou um elemento de A sem relacionar)se com De, finalmente, na fig. 9 um /nico elemento de A t2m várias c"egadas em D. A letra 3 acima do diagrama indica ser apenas uma relação.

&om'nio# ontradom'nio e on!unto*magem

&( f )( dom'nio &( f )( contradom'nio *m( f )( imagem


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&( f )( A &( f )( D *m( f )( G :* 6* H,H7*I

4om'no( são os elementos do conjunto de partida, ou seja, os valores correspondentes a

A

ontradom'nio( são todos os elementos do conjunto de c"egada, conjunto Dindependentemente se receberam a seta ou não.

Jmagem( são apenas os elementos do conjunto de c"egada 5contradom'nio; %uereceberam a seta dos elementos do conjunto de partida.

*ejam os conjuntos + e , onde x pertence a + e y pertence a .

-ei de formação

/ 01

Note que: todos os elementos de + tem um correspondente em

Eemplo(

4ado o conjunto A @ G:,6,H,K,I e o conjunto D @ G:,6,H,K,,7,9I a função ALDdefinida pela f$rmula f5; @ M H, monte o seu diagrama e identifi%ue %uem ! o


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dom'nio, a imagem e o contradom'nio dessa função.

omo a função ! ALD 5de A para D; dizemos %ue o conjunto de partida ! o A e o dec"egada o D. Assim, os elementos do conjunto A serão os valores %ue o irá assumir.-ubstituindo na f$rmula f5; @ M H ou = @ M H, iremos encontrar o seguintediagrama(

Assim, podemos dizer %ue os elementos %ue irão fazer parte do conjunto do dom'niosão( 4 @ G:,6,H,K,I.&s elementos %ue irão fazer parte do conjunto imagem são( Jm @ GH,K,,7,9I.&s elementos %ue irão fazer parte do conjunto contradom'nio são( 4 @ G:,6I.

+:

6; 4ados A @ G )K, )H, :, K I e D @ G ) 6, :, 6, H, , 7, N I e uma relação epressa pelaf$rmula y = x + 2, com pertencendo a A e = pertencendo a D.a; Faça o diagrama e verifi%ue se f ! uma função de A em D.3esolução(

b; -e for uma função de A em D, determine o dom'nio, a imagem e o contra)dom'nio def%3esolução(

4&OJ#J& 4E UOA FU#PQ& 3EA< 4E RA3JSRE< 3EA< 50T 9;

uando trabal"amos com uma função, ! importante sabermos %ual o dom'niodessa função, pois ! ele %ue vai determinar os valores poss'veis para a variávelindependente. Em muitos casos, o dom'nio e o contradom'nio não v2m eplicitados,devemos, então, considerar como dom'nio o conjunto de todos os n/meros reais %ue

podem ser colocados no lugar da variável independente na f$rmula da função, obtendo,ap$s os cálculos, um n/mero real, já, o contradom'nio será os n/meros reais.

!"emplos


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6; Encontrar o dom'nio das funções(

a; F5; @3 x−5

2 x−4

3esolução(

b; f5; @ √ 4 x−4

3esolução(

,R-.*/ &+ U0A .U123/

0ara construir o gráfico de uma função, utilizaremos o sistema de coordenadascartesianas ortogonais.

& gráfico ! conjunto de todos os pontos 5*=; do plano cartesiano, com ∈4 e=∈Jm.

0ara isso, consideremos os valores do dom'nio da função o eio e asrespectivas imagens no eio =.

+emplos:6; onstruir o gráfico das funções(

a; f ( A→D, definida por f5; @ M H, sendo A @ G )6* :* 6* H I e D @ G 6* H* K* * 7 I

b; f( R⟶ R definida por f5; @ M H

A1A4*5A1&/ ,R-.*/5 &+ .U126+5A partir do gráfico de uma função, podemos obter informações importantes sobre ocomportamento dessa função, como() & dom'nio e a imagem.


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) &s pontos onde o gráfico intercepta os eios coordenados.) &s intervalos para os %uais a função ! crescente, decrescente ou constante.

) &s intervalos para os %uais a o valor da função ! positivo e negativo.

) & valor máimo ou m'nimo %ue a função atinge.) & 5s; valor 5es; da5s; raiz5es; da função.

omo reconhecer quando um gr"fico representa uma funçãoomo para cada valor de do dom'nio devemos ter em correspond2ncia um /nico = docontradom'nio, ! poss'vel identificar se um gráfico representa ou não função, traçamosretas paralelas ao eio =. 0ara ser função, cada reta vertical traçada por pontos dodom'nio deve interceptar o gráfico em um /nico ponto.

omo determinar o dom'nio e a imagem & dom'nio de uma função ! obtido pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eio (a7scissas)) A imagem de uma função ! obtida pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eio $(ordenadas)+emplo

Exercicios pg "6 do 9 ao 11# pg "" do 1$ ao 1"# pg %"&


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omo determinar as ra'8es ou os 8eros de uma funçãoTraficamente a5s; raiz5es; de uma função !5são; a5s; a5s; abscissa5s; do5s; ponto5s; ondeo gráfico encontra o eio (a7scissas)%

omo determinar o inter9alo onde a função é crescente# decrescente ou constante) -e aumentarmos o valor da variável independente e aumentar os valores da imagem,temos função crescente.) -e aumentarmos o valor da variável independente e diminuir os valores da imagem,temos função decrescente.-e aumentarmos o valor da variável independente e não alterar os valores da imagem,

temos função constante.


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alor m"imo e alor m'nimo de uma função


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;eros ou Ra'8es de uma .unção

&l"e o gráfico da função ao lado e perceba %ue alguns dos seus pontos estão localizados

sobre oeio das abscissas.A abscissa de cada um destes pontos ! denominada zero da função ou raiz da função.Vodo elemento do dom'nio da função %ue tem como imagem o elemento :, ! uma raizda função.

A função f(") # " $ % é a função &ue relaciona todo o 'alor de " do domnio

ao 'alor " $ % no contradomnio!ssa função é uma função polinomial de %o grau* tam+ém c,amada defunção am* pois a função tem a forma f(") # a" $ +* onde a -./ e + -.

Funções Crescentes e Decrescentes

A função y @ xK ! crescente em todo o seu dom'nio. Wá a função y @ − xK ! decrescenteem todo o seu dom'nio. A função y @ xH ! crescente para valores positivos de x e !decrescente para valores negativos. A função y @ m x M b ! crecente em toda a retasempre %ue m for positivo e ! decrescente sempre %uem for negativo.

Funções Pares e Ímpares

http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx


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5a; & gráfico de uma função par ! sim!trico em relação ao eio y.

5b; & gráfico de uma função 'mpar ! sim!trico em relação X origem.

5c; A soma de funções pares ! uma função par.

5d; A soma de funções 'mpares ! uma função 'mpar.

5e; & produto de funções pares ! uma função par.

5f; & produto de um n/mero par de funções 'mpares ! uma função par. & produto de umn/mero 'mpar de funções 'mpares ! 'mpar.

5g; & produto de uma função 'mpar por uma função par ! uma função 'mpar.

Dica do especia'ista

"É importante também explorar três casos particulares que são consequências de

alterações da expressão completa, y ax ! b (eja os grficos a%ai1o), analisando como a

ausência de um termo inluencia as relações entre as #ari$#eis%"

anice )ereira opes, professora da Uniersidade 2ederal de 3ois (U23)

+dentidade 4 / 1. 5 grfico diide o 67 e o 07 quadrante em partes iguais.

Constante 4 / %. 5 grfico é uma reta paralela ao ei1o 1.

inear 4 / a1. 5 grfico é uma reta que passa pela origem.

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