funções funções 1. interpretação de gráficos o gráfico representa a viagem da joana num dia...
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FunçõesFunções 1. Interpretação de Gráficos
O gráfico representa a viagem da Joana num dia em que resolveu visitar uns amigos
Tempo (horas)
Distância
( Km)
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Ana Arromba - Instituto de AlmalaguêsManuela Pedro - Instituto de Almalaguês
Paula Curto - Escola Básica 2,3/Secundária de Condeixa-a-Nova
Circulo de EstudosDesenvolvimento do Programa de 10º ano de
Matemática B para o Ensino SecundárioJaneiro e Maio 2002
Escola Secundária Martinho Árias
FunçõesFunções 1. Interpretação de Gráficos
A que distância de casa estava a Joana quando efectuou a primeira paragem?
A Joana estava a 10m de casa. Durante a viagem, qual foi a distância máxima que a separou de casa?
A distância máxima que a separou de casa foi 15m.
Quanto tempo demorou a viagem? A viagem demorou 3h30m.
Quanto tempo esteve parada a Joana? A Joana esteve parada 1h30m.
A que horas chegou a Joana a casa? A Joana chegou ás 3h30m.
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FunçõesFunções 1. Noção de Função
Considera os seguintes conjuntos A e B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A Bf
Definição de Função:
Dados dois conjuntos A e B, se f é uma correspondência entre A e B e se a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B, então f é uma função ou aplicação de A para B. Voltar
C
FunçõesFunções 1. Noção de Função
•A esta correspondência chama-se _________.
•Ao conjunto A chamamos conjunto de partida ou _________________ e representa-se por ______. Df = { }
•A todo o elemento de A chamamos _____________.
•Ao conjunto B chamamos _______________________ da função.
Conjunto de chegada de f = { }
•A todo o elemento de B ao qual corresponde um elemento de A chamamos ___________.
Estabelece o conjunto C formado pelas imagens dos elementos de A
• Ao conjunto C chamamos ______________ da função e representa-se
por D’f = { }
função
Domínio
Df
imagem
Conjunto de Chegada
Objectos
1, 2, 3, 4
contradomínio
D’f 5, 6, 7
5, 6, 7, 8, 9
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FunçõesFunções 1. Noção de Função
Simboliza-se do seguinte modo:
f:
A B
x y=f(x)
• x é variável independente e y a variável dependente
• Ao conjunto B chamamos Conjunto de Chegada
• Ao conjunto A chamamos Domínio e representa-se por Df
• Ao conjunto das imagens chama-se Contradomínio da função e representa-se por D‘
f
• A cada objecto x corresponde uma e uma só imagem y=f(x);
FunçõesFunções 1. Interpretação de diagramas
A correspondência não é uma função porque o objecto 1 tem duas imagens, 4 e 5, logo mais do que uma imagem.
A correspondência não é uma função porque o objecto 2 não tem imagens.
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Num determinado dia registaram-se as temperaturas de ar na cidade de Aveiro, de hora a hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas em função da hora do dia.
FunçõesFunções 2. Representação gráfica de uma Função
Horas
Temperaturaº C
Indique:
• o domínio;
• o contradomínio;
1
2
0;24]
-3;6]
• as horas do dia em que se registou a temperatura 0ºC
3
• os intervalos de tempo onde a temperatura: - é positiva; - é negativa;
4
• os intervalos onde a temperatura: -aumenta; -aumenta e é positiva; - diminui; - diminui e é positiva; - é constante;
5
FunçõesFunções 2. Representação gráfica de uma Função
Um gráfico de uma função só pode ser intersectado no máximo uma vez por uma qualquer recta vertical.
• Como averiguar se se trata de uma função
Não se trata de uma representação de uma
funçãoTrata-se de uma representação de uma
função
FunçõesFunções Interpretação gráfica do domínio
Domínio
O domínio de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos xx
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FunçõesFunções Interpretação gráfica do Contradomínio
Contradomínio
O Contradomínio de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos yy
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FunçõesFunções 3. Noções gerais de uma função
• Zeros de uma função
zeros
Definição: Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula.
DDeterminação dos zeros de uma função:
GraficamenteAveriguar as abcissas dos pontos do gráfico para os quais o gráfico da função intersecta o eixo das abcissas ( xx )
AnaliticamenteDeterminar os valores de x para os quais f(x)=0 isto é, x: f (x)=0
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FunçõesFunções 3. Noções gerais de uma função
Definição : Seja f uma função de domínio D, dizemos que : - f é positiva em I (I D) se e só se f(x) > 0, para todo o xI. - f é negativa em I (I D) se e só se f(x) < 0, para todo o xI.
DDeterminação do sinal de uma função:
Graficamente-A função é positiva para todos os valores de x cujas imagens estão acima do eixo das abcissas.
-A função é negativa para todos os valores de x cujas imagens estão abaixo do eixo das abcissas.
f(x) >0
f(x) < 0
• Sinal de uma função
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FunçõesFunções Noções gerais de uma função
A função f é crescente num intervalo E.
A função f é estritamente crescente num intervalo E.
A função g é estritamente decrescente num intervalo E.
A função g é decrescente num intervalo E.
a b
g
g(a)
g(b)
a b
f
f(a)
f(b)
O a b
f
f(a)
f(b)
O a b
g
g(a)
g(b)
• Monotonia de uma função
Definição : Diz-se que f é crescente / estritamente crescente em EDf se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b, então f(a)f(b) / se a < b, então f(a)< f(b).
Definição : Diz-se que g é decrescente / estritamente decrescente em EDf se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b então g(a) g(b) / se a < b, então g(a)>g(b).
Definição : Uma função crescente ou decrescente diz-se monótona.
Observação: Uma função constante é considerada crescente e decrescente.
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FunçõesFunções Noções gerais de uma função
• Monotonia de uma função
Definição : Seja f uma função de domínio D.
f(a) é um máximo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(a) f(x)
f(b) é um mínimo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(b) f(x)
Definição : Seja f uma função de domínio D.
f(a) é um máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(a) f(x), qualquer que seja o x E D
f(b) é um mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(b) f(x), qualquer que seja o x E D
Definição : Aos valores do domínio a que correspondem os máximos / mínimos
relativos da função chamam-se maximizantes / minimizantes Voltar
FunçõesFunções Noções gerais de uma função
FDefinição : Uma função f é injectiva num intervalo EDf se para dois valores quaisquer de E, x1 e x2, se x1
x2 então f(x1) f(x2).
• Injectividade de uma função
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Definição : Uma função f é não injectiva num intervalo EDf se existem pelo menos dois objectos distintos com a mesma imagem.
FunçõesFunções Noções gerais de uma função
GraficamenteVê-se que uma função é não injectiva se existir pelo menos uma recta horizontal que intersecte o gráfico da função em mais do que um ponto.
f é função injectiva f é função não injectiva
• Injectividade de uma função
FunçõesFunções Noções gerais de uma função
• Sobrejectividade de uma função
FDefinição : Uma função g é sobrejectiva se o seu contradomínio coincide com o conjunto de chegada.
f é não sobrejectiva
g é sobrejectiva
FunçõesFunções Noções gerais de uma função
• Taxa de Variação Média
A taxa de variação média (t.v.m) entre a e b traduz a rapidez de variação da função e obtém-se dividindo a variação da função pela amplitude do intervalo, isto é:
t.v.m. = [a, b]
f(b) - f(a)
b - aa b
f(b)
f(a)f(b)-f(a)
b-a
f
FunçõesFunções Noções gerais de uma função
• Observações
• se a função é crescente a taxa de variação média é positiva nesse intervalo
• se a função é decrescente num dado intervalo então a taxa de variação média é negativa nesse intervalo.
• se a função é constante num dado intervalo então a taxa de variação média é zero nesse intervalo