funÇÕes trigonomÉtricas

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

O que você deve saber sobre

As funções trigonométricas são muito úteis na modelagem de fenômenos periódicos observados na natureza. Conceitos como amplitude e período, além das transformações possíveis em seusgráficos, permitem aplicações na astronomia, na geografia, na medicina e em inúmeros outros campos do conhecimento humano.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

É definida como a relação f: que associa a cada valor real x um valor real y = sen x,

correspondente à coordenada yC do

ponto C, extremidade dos arcos côngruos a x na circunferência trigonométrica, de tal modo que:

I. A função seno

Gráfico de f(x) = sen x

Para valores do domínio 0 e 2 (1a volta positiva no centro), a

função sen x assume todos os valores reais no intervalo [–1, 1]. Esse comportamento se repete nos intervalos com extremidades

cujos calores são múltiplos inteiros de 2.

Ex.: Em [–2, 4], existem seis valores de x cuja imagem vale

–0,5 (indicados no gráfico por setas vermelhas).

I. A função seno


O valor 2 é chamado período da função seno, pois, a cada intervalo

correspondente a 2 percorrido no domínio, os valores de f(x) percorrem

novamente o intervalo de –1 a 1, como na 1a volta da circunferência, e assim sucessivamente, tanto no sentido anti-horário da circunferência trigonométrica como no sentido horário.

Veja que f(x) = f(x + 2) = f(x + 4) = f(x + 6) e assim por diante, pois

cada 2 corresponde a uma volta completa.

O intervalo de variação da imagem de y = sen x é y [–1, 1], e sua

amplitude é igual a 1, o que representa o quanto os valores de sen x variam acima e abaixo de zero.

I. A função seno


É definida como a relação f: que associa a cada valor real x um valor real y correspondente

à abscissa xC do ponto C, extremidade

dos arcos côngruos a x na circunferência trigonométrica, de tal modo que:

II. A função cosseno


I. as curvas das funções seno e cosseno têm o mesmo formato, embora defasadas (deslocadas) unidades uma em relação a outra;

II. ambas têm amplitude igual a 1, com a imagem variando no intervalo fechado [–1, 1];

III. ambas têm período igual a 2.

II. A função cosseno

Observe o gráfico da função y – cos x, para x


2

É definida como a relação f: que associa a cada valor real x um valor real t, que corresponde à ordenada do ponto T, obtido a partir do arco x que pertence à circunferência trigonométrica, de tal modo que t = AT = tg x.

III. A função tangente


Nesse gráfico, merecem destaque os pontos em que a curva não é

contínua, pois para os valores de x = + k, com k inteiro, a função

não está definida.

III. A função tangente

Gráfico da função f(x) = tg x


2

Vamos partir da função seno e introduzir parâmetros, um de cada vez, observando as consequências geométricas sobre o gráfico.A função geral tem o formato: y = a sen(bx + c) + dGráficos de y = sen x e y = 2 . sen x (a = 2; b = c = d = 0)

O coeficiente a influi na amplitude da função.

IV. Comentários gerais


Gráficos de y = sen x e y = sen 2x (a = c = d = 0; b = 2)

O coeficiente b altera o período da função.



Gráficos de y = sen x e y = sen(x + 1) (a = b = d = 0; c = 1)

O parâmetro denotado pela letra c provoca uma translação horizontal no gráfico da função.



Gráficos de y = sen x e y = sen x + 1 (a = b = c = 0; d = 1)

Nesse caso, o parâmetro d desloca o gráfico verticalmente.




Funções trigonométricasClique na imagem para ver a animação.

(UFC-CE) Considere as funções definidas f: e g: , respectivamente, por f(x) = x2 + 1 e g(x) = cos x - sen x.

a) Explicite a função composta h(x) = f(g(x)).b) Determine o valor máximo da função composta h(x) = f(g(x)).

1

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – NO VESTIBULAR

EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a sen (b t), em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metro, então:

2EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

(PUC-Campinas-SP) O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores, teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, etambém sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metro. Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria semelhante a este:


RESPOSTA: A

(PUC-SP) Na figura a seguir tem-se o gráfico função f, de em , definida por f(x) = k . sen (mx), em que k e m são reais, e cujo período é 8л. 3

5EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS


RESPOSTA: B

(Unifesp) Na procura de uma função y = f(t) para representar um fenômeno físico periódico, cuja variação total de y vai de 9,6 até 14,4, chegou-se a uma função da forma f(t) = A + B sen com o argumento medido em radianos.

8EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:a) Encontre os valores de A e B para que a função f satisfaça as condições dadas.b) O número A é chamado valor médio da função. Encontre o menor t positivo no qual f assume o seu valor médio.


)( 105

90t

(Unifesp) Considere a função y = f(x) = 1 + sen definida para todo x real

a) Dê o período e o conjunto imagem da função f.b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, 1], tais que y = 1.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS12


RESPOSTA:

2

2 x

(UFPB) Considere um corpo, preso a uma mola, oscilando em torno da sua posição de equilíbrio O, como na figura ao lado.No instante t, a posição x = x(t) desse corpo, em relação à sua

posição de equilíbrio, é dada pela função x(t) = cos , t ≥ 0.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS15

Dessa forma, o gráfico que melhor representa a posição x desse corpo, como função do tempo t, em relação ao ponto O, é:


RESPOSTA: B Comparemos as funções: f(t) = cos t

e g(t) = cos (at + b) em que, a = e b , analisando a

influência dos coeficientes a e b no gráfico de f(t):

■ a > 1 altera o período diminuindo-o; isso descarta as

alternativas d e e;

■ b > 0 desloca o gráfico horizontalmente para a direita;

■ g (t) = 0;

■ À medida que t aumenta, a partir de t = 0, g(t) também

aumenta; portanto, ela é crescente no início, e a

alternativa a está descartada.

Portanto, o gráfico que melhor representa a função

x(t), respeitando as considerações anteriores, está na

alternativa b.

32

23

t

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