functii derivabile legatura intre continuitate si derivabilitate derivate laterale derivate de ordin...
TRANSCRIPT
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
1/16
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
2/16
1 Introducere
2 Derivata unei funcţii într-un punct
3 Derivate laterale
4 Derivatele unor funcţii elementare şi compuse
5 Operaţii cu funcţii derivabile
6
Derivate de ordin superior
!
"onclu#ii
$iblio%rafie
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
3/16
INTRODUCERE
Noţi!"# $" $"ri%#&' # fo(& i!&ro$(' )i fo*o(i&' +!#&"#&i-' $" (#%#!&* I(##- N"&o! /0123 4 05326 +!*"7'&r' - (&$i* "-#!i-ii.
Pro8*"# %i&"9"i i!(!!"" # !i o8i*
vite#a medie a mobilului în intervalul de timp &t'( t) este*
( ) ( )
0
0m
tt
tstsv
−
−=.
vite#a instantanee a mobilului în momentul t' +fi,at( t' . ' este*
( ) ( ) ( )0
0
tt0
tt
tstslimtv0 −
−=→
acceleraţia mobilului la momentul t' fi,at este*
( ) ( ) ( )
0
0
tt0
tt
tvtvlimta
0
−
−=
→
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
4/16
Apro#p" +! #-"*#)i &ip )i (#%#!&* Go&&fri"$ i*;"* L"i8!i9 /0121 4 05016 # i!&ro$( !oţi!"# $" $"ri%#&' +!*"7'&r' - (&$i* !7"!&"i *# o -r8' +!&r
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
5/16
I.DERIVATA UNEI FUNCŢII ÎNTR
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
6/16
DERIVABILITATE
Ori-" f!-ţi" $"ri%#8i*' +!&r
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
7/16
II. DERIVATE LATERALE
DERIVATA LA ST@NGA:
Fi" f!-ţi# f:DR )i => 9 D.
( ) ( ) ( )
0
0
xxxx
0
'
sxx
xf xf limxf
0
0 −
−=
<→
DERIVATA LA DREAPTA: ( ) ( ) ( )
0
0
xxxx
0
'
dxx
xf xf limxf
0
0 −
−=
>→
F!-ţi# f #r" $"ri%#&' )i "(&" $"ri%#8i*' +! => $#-' )i !#i $#-' #r"$"ri%#&" *#&"r#*" )i "(&", r"(p"-&i%, derivabil la stAn%a şi la dreapta +! => )i:
( ) ( ) ( )0'
0
'
d0
'
s xf xf xf ==
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
8/16
INTERPRETAREA GEOETRICĂA DERIVATELOR LATERALE
( )0'
s xf "=i(&'.
( )0'
d xf "=i(&'.
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
9/16
PUNCTE REARCABILE ALE GRAFICULUI FUNCŢIEI
BC"8: D: C8OE0":0:
Fi" f!-ţi# f:DR )i => 9 D.
P!-&* => 9 D (" !")&" p!-& $" +!&o#r-"r"#* f!-ţi"i f $#-' f!-ţi# "(&" -o!&i!' +! => )i#r" $"ri%#&" *#&"r#*" i!fi!i&" )i $if"ri&" +!#-"(& p!-&.
BC"8: BCFIBGE0:
P!-&* => 9 D (" !")&" p!-& !7;i*#r #*f!-ţi"i f $#-' f!-ţi# "(&" -o!&i!' +! => )i #r" $"ri%#&" *#&"r#*" $if"ri&" +! #-"(&p!-& )i -"* pţi! !# "(&" fi!i&'.
BC"8: D: IC/G:HIBC: P!-&* => 9 D (" !")&" p!-& $"
i!f*"=i!" #* f!-ţi"i f $#-' f!-ţi#"(&" -o!&i!' +! =>, #r" $"ri%#&' +!#-"(& p!-& /fi!i&' (# i!fi!i&'6, i#rf!-ţi# "(&" -o!%"=' /-o!-#%'6 $" op#r&" # *i => )i -o!-#%' /-o!%"='6 $"
-"#*#*&' p#r&" # *i =>.
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
10/16
III. DERIVATELE UNOR FUNCŢIIELEENTARE ŞI COPUSE
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
11/16
IV. OPERAŢII CU FUNCŢII DERIVABILE
Fi" f!-ţii*" f,7:D
R )i => 9 D p!-& $" #-*#r" # *i D. D#-'f!-ţii*" f )i 7 (!& $"ri%#8i*" +! p!-&* => 9 D, #&!-i f!-ţii*" f 7, f7)i f7, $#-' 7/=>6>, (!& $"ri%#8i*" +! p!-&* =>, )i # *o- r'&o#r"*"r"7*i $" $"ri%#r":
( ) ( ) ( ) ( )0'
0
'
0
'
xgxf xgf +=+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0'
000
'
0
'xgxf xgxf xgf ⋅+⋅=⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,
xg
xgxf xgxf x
g
f
0
2
0
'
000
'
0
'
⋅−⋅=
( ) 0xg 0 ≠
( ) '''
gf gf +=+
( ) ''' gf gf gf ⋅+⋅=⋅
2
'''
g
gf gf
g
f ⋅−⋅=
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
12/16
Fi" I )i i!&"r%#*" $" !"r" r"#*" )i f!-ţii*" :I
,f*I
. D#-' "(&"$"ri%#8i*' +! p!-&* => 9 I,i#r f "(&" $"ri%#8i*' +! p!-&* /=>6H> 9 ,#&!-i f!-ţi# -op(' /f6:I "(&" $"ri%#8i*' +! p!-&* => )i #r" *o-r"*#ţi#:
( ) ( ) ( )( ) ( )0
''
0
'xuxuf xuf
⋅=
DERIVAREA FUNCŢIEI INVERSEŞI A FUNCŢILOR COPUSE
( ) ( ) ''' uuf uf ⋅=
D#-' ,%:IR (!& f!-ţii $"ri%#8i*" p" I )i /=6J>, = 9 I. A&!-i f!-ţi#% "(&" $"ri%#8i*' p" I )i $"ri%# "(&":
( ) 'v'1v'v
vulnuuuvu ⋅+⋅⋅=
−
Fi" I )i i!&"r%#*" o#r"-#r" )i f:I o f!-ţi" -o!&i!' )i 8i?"-&i%'.
D#-' f!-ţi# f "(&" $"ri%#8i*' +! p!-&* => 9 I, fK/=>6>, #&!-i f!-ţi#i!%"r(' f40:I "(&" $"ri%#8i*' +! p!-&* H> f/=>6 )i
( ) ( )( )0'0
'1
xf
1yf =−
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
13/16
V. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR
( )( )
( ) ( )
0
0
''
xVVx
xx0
''
xx
xf xf limxf
0
0 −
−=
⊂∈
→
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
14/16
CONCLUII
Determinarea unor optimuri situaţionale( prin aplicarea calcululuidiferenţial( în probleme practice sau specifice unor domenii de activitate
tudiul funcţiilor în %eneral( al funcţiilor continue( derivabile în special(
necesit de#voltarea unor competenţe %enerale şi specifice reflectate în* Identificarea %raficJvi#ual( a proprietţilor unei funcţii numerice( privind*mr%inirea( continuitatea( tendinţa asimptotic( derivabilitatea
Esocierea de date( e,trase dintr-o situaţie problem( cu proprietţi alefuncţiilor numerice studiate( de tipul* teoreme de conver%enţ( operaţii cu
limite( limite tip( tabele de derivare Eplicarea unor al%oritmi specifici( calculului diferenţial( în re#olvarea unorprobleme şi modelarea unor procese specifice( unor domenii de activitate
:,primarea în limba=ul anali#ei matematice( a unor teoreme concrete(modelabile prin funcţii numerice
Interpretarea pe ba#a lecturii %rafice( a proprietţilor unor funcţii( carerepre#int e,emple din domeniul economic( social( ştiinţific
Kerificarea e,perimental a re#ultatelor( deduse prin calcul( pentru problemepractice e,primabile matematic
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
15/16
- #?&or* $"ri%#8i*i&'ţii (" po#&" (i*ii or$i!* $" *&ip*i-i&"#*" r'$'-i!i*or !"i "-#ţii po*i!oi#*" (# # i!&"r%#*"*or +! -#r" ("7'("(- r'$'-i!i*" !"i "-#ţii #(o-i#&" !"i f!-ţii po*i!oi#*".
$"&"ri!#r"# i!&"r%#*"*or $" o!o&o!i" p"!&r o f!-ţi" $#&'
/f!-ţi# "(&" -r"(-'&o#r" (# $"(-r"(-'&o#r"6 4 #-"(& *-r (" f#-"(&$ii!$ ("!* $"ri%#&"i +!&Mi # f!-ţi"i
$"&"ri!#r"# p!-&"*or $" "=&r" p"!&r o -*#(' "=&i!(' $" f!-ţii!"ri-" 4 #-"(& *-r (" f#-" (&$ii!$ ("!* $"ri%#&"i +!&Mi #f!-ţi"i
r"9*&"*" &"or"&i-" #(pr# o!o&o!i"i )i p!-&"*or $" "=&r" #*"!"i f!-ţii p"ri& o8ţi!"r"# !or i!"7#*i&'ţi -#r", - #?&or*"&o$"*or "*""!r" #r fi 7r" $" $"o!(&r#&
$"&"ri!#r"# i!&"r%#*"*or $" -o!%"=i&" (# -o!-#%i&" #*" !"i
f!-ţii 4 #-"(& *-r (" f#-" (&$ii!$ ("!* $"ri%#&"i # $o# #f!-ţi"i
Ap*i-#ţii &i*" #*" $"ri%#&"i !"i f!-ţii
-
8/20/2019 Functii Derivabile Legatura Intre Continuitate Si Derivabilitate Derivate Laterale Derivate de Ordin Superior (1)
16/16
BIBLIOGRAFIE
#ri( Br&"#, G"or7" Br&"# 4 #&"#&i-', #!#* p"!&r-*#(# # OI>
Li# Ar#', To#$"r oro9#! 4 C*"7"r" $" pro8*"" $" #!#*i9'#&"#&i-' , E$i&r# U!i%"r(#* P#!, B-r")&i, 0QQ5
ir-"# G#!7# 4 Pro8*"" r"9o*%#&" $i! #!#*"*" $"#&"#&i-' p"!&r -*#(# # OI