functii injective, surjective si bijective
TRANSCRIPT
1. FUNCŢII INJECTIVE
Considerăm funcţia şi .
Studiind diferenţa valorilor funcţiei în ,
se observă că:
- dacă atunci ,
- dacă atunci .
Aşadar, funcţia are urmatoarea proprietate: „oricăror argumente diferite le
corespund valori ale funcţiei diferite.“
Figura 1
Această proprietate este specifică unei clase importante de funcţii.
1.1. Definiţie. Funcţia se numeşte funcţie injectivă (sau injecţie)
dacă pentru oricare două elemente cu proprietatea că rezultă că
.
Revenind la funcţia de gradul întâi
putem spune că aceasta este injectivă.
1
Funcţia de gradul al doilea nu
este injectivă întrucât pentru orice avem .
Definiţia funcţiei injective este echivalentă cu propoziţia următoare.
1.2. Propoziţie. Funcţia este injectivă dacă şi numai dacă oricare
ar fi cu proprietatea că rezultă că .
Demonstraţie. Proprietatea de injectivitate a fost definită ca o implicaţie de
forma în care şi sunt propoziţiile următoare:
şi .
Propoziţia 1.2 rezultă din echivalenţa logică dintre propoziţia şi
contrara ei .
■
O condiţie suficientă ca o funcţie să fie injectivă este dată în propoziţia
următoare.
1.3. Propoziţie. Dacă funcţia este strict monotonă pe atunci
este funcţie injectivă.
Demonstraţie. Fie cu proprietatea că . Presupunem că .
Atunci dacă este strict crescătoare, respectiv dacă este
strict descrescătoare. Aşadar şi deci este injectivă.
■
În propoziţia următoare este dată o caracterizare geometrică a funcţiilor
numerice injective (obţinută din definiţie).
1.4. Propoziţie. Funcţia cu este injectivă dacă şi numai
dacă orice paralelă la axa dusă prin punctele mulţimii , reprezentată pe axa
, intersectează graficul lui în cel mult un punct.
În propoziţia următoare este dată o caracterizare a funcţiilor numerice injective
cu ajutorul operaţiei de “simplificare”.
2
1.5. Teoremă. Funcţia este injectivă dacă şi numai dacă pentru
orice mulţime şi orice funcţii cu rezultă .
Demonstraţie. Presupunem că este injectivă şi că , adică
pentru orice . Funcţia fiind injectivă rezultă
pentru orice , ceea ce înseamnă că .
Invers, să presupunem că pentru orice mulţime şi orice funcţii
cu avem şi că nu este injectivă. Atunci există
, astfel încât . Pe mulţimea definim funcţiile
astfel , , . Atunci avem
şi
.
Înseamnă că şi , ceea ce vine în contradicţie cu presupunerea de mai
sus. ■
2. FUNCŢII SURJECTIVE
Fie funcţiile şi date cu ajutorul
diagramelor:
Figura 2
Din studiul diagramelor se observă că fiecare element al mulţimii ,
codomeniul funcţiei , este valoare a funcţiei , în timp ce elementul nu este
valoare a funcţiei .
3
Proprietatea funcţiei ca fiecare element al codomeniului să fie valoare a
funcţiei, este caracteristică unei clase speciale de funcţii.
2.1. Definiţie. Funcţia se numeşte funcţie surjectivă (sau surjecţie)
dacă pentru orice element y B există un element x A cu proprietatea că .
Revenind la funcţiile f şi g definite prin diagramele din figura 1, rezultă că
funcţia este funcţie surjectivă, iar funcţia nu este funcţie surjectivă.
Funcţia de gradul întâi este funcţie
injectivă.
O funcţie nu este surjectivă dacă există y B cu proprietatea că pentru
orice x A avem .
Având o funcţie şi submulţimile , mulţimea
există astfel încât
se numeşte imaginea mulţimii prin , iar mulţimea
se numeşte preimaginea mulţimii .
Propoziţia următoare oferă caracterizări ale funcţiilor surjective.
2.2. Propoziţie. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
a) Funcţia este surjectivă;
b) ;
c) Pentru orice y B ecuaţia cu necunoscuta are cel puţin o
soluţie în .
d) Pentru orice y B avem .
Demonstraţie. Presupunem că este surjectivă. Atunci oricare ar fi y B
există un element x A cu proprietatea că , ceea ce înseamnă că şi
deci . Cum rezultă că şi am demonstrat implicaţia a) b) .
Dacă atunci orice element din aparţine mullţimii şi deci
există x A încât . Astfel are loc implicaţia b) c) .
4
Din existenţa soluţiei ecuaţiei pentru orice y B rezultă că
şi deci c) d).
Mai trebuie demonstrat că d) a). Pentru aceasta considerăm un element y B
. Cum rezultă că există astfel încât ceea ce înseamnă că
este surjectivă. ■
O caracterizare geometrică a funcţiilor numerice surjective (obţinută din
definiţie) este dată în propoziţia următoare.
2.3. Propoziţie. Funcţia cu este surjectivă dacă şi
numai dacă orice paralelă la axa dusă prin punctele mulţimii , reprezentată
pe axa , intersectează graficul lui în cel puţin un punct.
În propoziţia următoare este dată o caracterizare a funcţiilor numerice
surjective cu ajutorul operaţiei de “simplificare”.
2.4. Teoremă. Funcţia este surjectivă dacă şi numai dacă pentru
orice mulţime şi orice funcţii cu rezultă .
Demonstraţie. Presupunem că este surjectivă. Atunci oricare ar fi y B
există un element x A cu proprietatea că . Atunci din rezultă că
pentru orice pentru orice y B avem , ceea ce înseamnă că .
Invers, să presupunem că pentru orice mulţime şi orice funcţii
cu avem şi că nu este surjectivă. Atunci există astfel încât
. Presupunem că . Definim funcţiile astfel şi
. Atunci pentru orice x A avem
. Deci şi , ceea ce
constituie o contradicţie. Considerăm acum cazul . Fie . Din
rzultă că există două aplicaţii diferite . Din avem , ceea
ce reprezintă iarăşi o contradicţie.
■
3. FUNCŢII BIJECTIVE
5
2.1. Definiţie. Funcţia se numeşte funcţie bijectivă (sau bijecţie)
dacă este injectivă şi surjectivă.
Un exemplu de funcţie bijectivă este funcţia de gradul întâi
.
Caracterizarea geometrică a funcţiilor numerice bijective este dată în
propoziţia următoare.
3.2. Propoziţie. Funcţia cu este bijectivă dacă şi numai
dacă orice paralelă la axa dusă prin punctele mulţimii , reprezentată pe axa
, intersectează graficul lui exact într-un punct.
Alte caracterizări ale funcţiilor injective, surjective, bijective sunt date în
teoremele următoare.
3.3. Teoremă. Funcţia este injectivă dacă şi numai dacă există o
funcţie astfel încât , unde este funcţia identică a mulţimii
.
Demonstraţie. Presupunem că există o funcţie astfel încât .
Fie două funcţii pentru care avem . Atunci
, adică . Rezultă că şi conform teoremei 1.5, este
funcţie injectivă.
Invers, presupunem că este funcţie injectivă şi fie . Dfinim funcţia
astfel , pentru care obţinem
, adică . ■
Funcţia cu proprietate din teorema 3.3 se numeşte retractă (inversă la
stânga) a funcţiei .
3.4. Teoremă. Funcţia este surjectivă dacă şi numai dacă există
o funcţie astfel încât , unde este funcţia identică a mulţimii
.
6
Demonstraţie. Presupunem că există o funcţie astfel încât .
Fie două funcţii pentru care avem . Atunci
, adică . Rezultă că şi conform teoremei 2.4, este
funcţie surjectivă.
Invers, presupunem că este funcţie surjectivă. Pentru fiecare y B alegem
un astfel încât şi definim funcţia , . Pentru această
funcţie obţinem , adică . ■
Funcţia cu proprietate din teorema 3.4 se numeşte secţiune (inversă la
dreapta) a funcţiei .
3.5. Corolar. O funcţie este bijectivă dacă şi numai dacă are o
retractă şi o secţiune.
3.6. Corolar. a) O retractă a unei funcţii este surjectivă, iar o secţiune este
injectivă.
b) Dacă este funcţie bijectivă, este inversa lui , este
retractă a lui şi este scţiune a lui , atunci .
3.7. Exemplu. Să se arate că funcţia , este
bijectivă.
Rezolvare. Considerăm cu . Atunci
şi mai departe deducem , ceea ce înseamnă că este injectivă.
Fie acum . Determinăm încât . Deci trebuie
să avem . Rezolvând această ecuaţie în necunoscuta găsim .
Arătăm că , adică . În adevăr presupunând că am ajunge la
contradicţia . Înseamnă că este surjectivă.
În consecinţă este bijectivă. □
3.8. Exemplu de funcţie care este injectivă şi nu este surjectivă.
.
7
3.9. Exemplu de funcţie care este surjectivă şi nu este injectivă.
.
8