1

Liviu JALBĂ Octavian STĂNĂȘILĂ

VECTORI, TENSORI, CÂMPURI

- de la concept la aplicații -

București, 2015

Fundația

Floarea Darurilor

2

Culegerea textului și tehnoredactarea

Elena-Mădălina Florescu

Tipărită la Regia Autonomă Monitorul Oficial

București, ROMÂNIA, în 500 exemplare.

ISBN 111–111–1–11111-1 FD

3

4

5

CUPRINS

PREFAȚĂ pag. 11

CAPITOLUL 1: VECTORI, OPERAȚII CU VECTORI,

MODURI DE REPREZENTARE pag. 13

§1.1. Conceptul de vector, operații simple cu vectori pag. 13

§1.2. Reper cartezian în plan și în spațiu pag. 26

§1.3. Produse de vectori pag. 34

§1.4. Alte sisteme de coordonate în plan sau în spațiu

și repere mobile pag. 43

CAPITOLUL 2: VECTORI ABSTRACȚI, APLICAȚII

LINIARE, COMPONENTE COVARIANTE ȘI

CONTRAVARIANTE pag. 51

§2.1. Bază a unui spațiu vectorial pag. 51

§2.2. Transformări liniare pag. 61

§2.3. Matrice de trecere de la o bază la alta pag. 69

§2.4. Componente contravariante și componente covariante

ale unui vector pag. 74

6

CAPITOLUL 3: CÂTEVA APLICAȚII MECANICE ALE

VECTORILOR pag. 81

§3.1. Lucru mecanic pag. 81

§3.2. Echilibrul unui solid rigid pag. 85

§3.3. Mișcarea pe un plan înclinat pag. 93

§3.4. Mișcarea curbilinie 2D și mișcarea

circulară uniformă pag. 97

CAPITOLUL 4: CÂMPURI DE VECTORI ȘI APLICAȚII

ÎN ELECTROMAGNETISM pag. 107

§4.1. Câmpuri de vectori, linii de câmp pag. 107

§4.2. Câmpul electrostatic pag. 116

§4.3. Câmpul magnetic pag. 122

§4.4. Operații diferențiale asupra câmpurilor de vectori pag. 129

CAPITOLUL 5: TENSORI, EXEMPLE

ȘI OPERAȚII pag. 145

§5.1. Mărimi cu caracter tensorial pag. 146

§5.2. Definiția tensorilor 3D liberi și exemple pag. 152

§5.3. Operații cu tensori pag. 161

7

CAPITOLUL 6: CÂMPURI DE TENSORI pag. 167

§6.1. Noțiunea de câmp de tensori și exemple pag. 167

§6.2. Tensori în coordonate curbilinii pag. 168

§6.3. Aplicații geometrice ale tensorului metric,

simbolurile lui Christoffel pag. 178

§6.4. Derivarea covariantă a scalarilor și vectorilor pag. 186

CAPITOLUL 7: CÂTEVA APLICAȚII ALE

TENSORILOR pag. 193

§7.1. Mișcarea pe o traiectorie plană pag. 193

§7.2. Mișcarea pe o traiectorie în spațiu pag. 198

§7.3. Tensorul de inerție pag. 200

§7.4. Tensorul câmpului electromagnetic pag. 203

§7.5. Transport paralel pag. 208

§7.6. Tensorul de curbură și ecuațiile lui Einstein pag. 214

§7.7. O retrospectivă: Geometria și Fizica pag. 218

BIBLIOGRAFIE pag. 225

INDICE DE NUME ȘI NOTAȚII pag. 227

8

9

10

11

PREFAȚĂ

Vectorii și tensorii sunt concepte și instrumente

intelectuale, importante prin ele însele (ca fapt de cultură) și mai

ales pentru aplicațiile lor în Mecanică, Electromagnetism, Teoria

relativității și în alte domenii ale Fizicii și Ingineriei.

În Gimnaziu, vectorii au fost introduși, pentru rațiuni

didactice, în mod intuitiv, ca „țepe” care să sugereze mărimea,

direcția și sensul unor entități fizice precum viteza, accelerația,

forța. În Liceu, vectorii au fost prezentați exclusiv ca obiecte

geometrice, mai precis ca „segmente orientate”. Mai târziu, în

Învățământul Superior, programa a cuprins capitole de Calcul

vectorial și Teoria câmpului, dizolvate în cursurile de Algebră

liniară (studiul vectorilor abstracți) și Analiză matematică.

Calculul tensorial a fost utilizat episodic în studiul Rezistenței

materialelor sau al Mecanicii mediilor continue.

Sunt binecunoscute, deopotrivă de către profesori și elevi,

dificultățile întâlnite în predarea și asimilarea noțiunii de vector;

s-au realizat progrese și în privința comunicării, a folosirii

argumentelor euristice (de tipul „voilà!), cu încercări de

formalizare (relații de echivalență, inversarea sensului „de la

particular la general” etc.). Tinerii studioși nu pot face diferența

între diversele moduri de prezentare, corecte științific și logic

echivalente (dar nu și didactic!). Este de asemenea esențial să

distingem între conceptul intrinsec și diversele reprezentări ale

lui. Astfel, vectorii și tensorii sunt concepte absolute,

independente de sistemele de coordonate și de reprezentările lor

într-un reper sau altul. Doar coordonatele lor diferă de la un reper

la altul.

12

Un alt concept de neevitat îl constituie cel de câmp

(≡familie) de vectori sau tensori depinzând de punct și acționând

într-o anumită regiune.

Autorii au ales definițiile cele mai lucrative, acoperite de

comentarii, exemple/contraexemple sugestive și bineînțeles, de

aplicații. Rigoarea este respectată, apelând totuși la desen și la

devoalarea aspectelor fizice care stau la baza tuturor conceptelor

matematice viabile, frumoase prin utilitatea lor. Ne adresăm

tinerilor care au cunoștințe elementare de Analiză matematică și

Algebră de liceu, dar și celor care au dorința de a-și dezvolta

zestrea matematică. În capitolele finale, îndeosebi în partea lor

teoretică, nu am putut evita derivatele parțiale, regula de derivare

a funcțiilor compuse („chain rule”) și câteva elemente de

Geometrie diferențială.

Autorii, octombrie 2015

13

CAPITOLUL 1: VECTORI, OPERAȚII CU

VECTORI, MODURI DE REPREZENTARE

§1.1. Conceptul de vector, operații simple cu vectori

Euristic, vectorii simbolizează (descriu, reprezintă...)

entitățile fizice sau geometrice caracterizate prin mărime, direcție

și sens. Termenul „vector” provine din latinescul „veho, vehere,

vexi, vectum” (a trage, a căra, a purta); el a fost introdus de

astronomii Secolului al XVIII–lea care studiau mișcarea

planetelor în jurul Soarelui. Același termen este utilizat și în alte

contexte; de exemplu, în Geografie („vector turismogen”), în

Sociologie („vector de influență”) sau în studiul memoriei

computerelor („vector de date”).

Să fixăm două puncte distincte A, B dintr-un plan P (de

exemplu „planul” acestei foi de hârtie). Acestor două puncte li se

pot asocia mai multe obiecte geometrice diferite:

- perechea ordonată (𝐴, 𝐵) ∈ 𝑃 × 𝑃, care diferă de perechea

ordonată (𝐵, 𝐴);

- mulțimea {𝐴, 𝐵}, care este egală cu mulțimea {𝐵, 𝐴};

- dreapta AB (care coincide cu dreapta BA);

- segmentul orientat [𝐴𝐵], care conține toate punctele dreptei

AB situate între A și B (incluzând capetele); [𝐴𝐵] ≠ [𝐵𝐴];

- semidreapta (AB având originea în A;

- distanța d(A, B) relativ la o unitate de măsură fixată; numărul

real și pozitiv d(A, B) este tocmai lungimea segmentului [𝐴𝐵],

exprimată în m, cm, km, µm etc.

14

Prin convenție, segmentul orientat [𝐴𝐵] este reprezentat

printr-o săgeată spre B; era posibilă și o reprezentare ca un arc de

curbă, dar ar fi fost o complicație inutilă (fig. 1.1).

Fig. 1.1

În cazul când B=A, dreapta AB nu este definită (nu are

sens), iar segmentul [𝐴𝐵] este redus la punctul A și are

lungimea nulă.

Notă: În Matematică s-a făcut convenția tacită de a

considera ca primare unele noțiuni precum: mulțimile,

elementele, punctele, dreptele, planele, evenimentele, obiectele,

formele etc. Acest fapt a condus la evitarea unor cercuri vicioase

și a început să fie preluat și de alte științe. Pentru a defini un

concept se fac referiri la concepte anterior definite; de exemplu,

spunând că o mulțime este o colecție, apare imediat întrebarea:

„ce este colecția?”, etc.

Două segmente orientate [AB] și [CD], nereduse la un

punct, se numesc echipolente dacă segmentele [AD] și [BC] au

același mijloc, sau echivalent, patrulaterul ABDC este

paralelogram (eventual degenerat); se scrie [AB]~[CD]; (fig. 1.2).

Fig. 1.2

15

Definiția 1.1: Un vector liber 𝐴𝐵 având suportul în

planul P (adică A, B ∈ P, deci dreapta AB este inclusă în P) este

mulțimea segmentelor echipolente cu segmentul [AB]. Doi

vectori AB și CD se numesc egali dacă [AB]~[CD].

Vectorul nul este 0=AA .

Se mai spune că vectorul AB este un vector liber 2D

(bidimensional), având punctul de aplicație în A, extremitatea în

B și dreapta AB ca suport.

Prin convenție, vom nota vectorii cu litere bold a, b, v, w,

A, V, W etc.

Dacă v=AB , se notează cu ‖v‖ sau simplu v–lungimea

vectorului v (numită și mărime, normă sau măsură). Dacă w=v,

atunci se mai spune că w este o copie a lui v (fig.1.3). Dacă v=w,

atunci desigur v=w, dar reciproc nu!

Fig. 1.3

Se notează cu V2(P) sau simplu V2 mulțimea vectorilor

liberi 2D având suportul în P. Fiind dat un vector v ∈ V2(P) și un

punct oarecare 𝑀 ∈ P există și este unic un punct N ∈ P astfel

încât v=MN (fig. 1.3). (În mod tacit, se folosește axioma lui

Euclid a paralelelor!).

Așadar, orice vector are o infinitate de copii, fiecare având

câte un punct de aplicație prescris.

16

Întrebare firească: Care este deosebirea între un segment

orientat [AB] și vectorul v=AB ? Un răspuns este următorul:

segmentul [AB] determină (definește) un singur vector v=AB ,

dar v poate fi de asemenea definit de o infinitate de segmente,

toate echipolente între ele.

Notă: O direcție în planul P este mulțimea tuturor

dreptelor paralele cu o dreaptă fixată. Dacă d este o direcție și D,

Dd, atunci D∥D.

Deosebirea dintre dreaptă și direcție este următoarea: o

dreaptă are o singură direcție d, dar unei direcții îi corespund o

infinitate de drepte (paralele între ele). Evident, orice vector nenul

are o direcție și un sens.

În Gimnaziu, s-au definit vectorii ca „entități care au

mărime, direcție, sens și punct de aplicație”. Se observă că

segmentele orientate îndeplinesc aceste cerințe și că definiția din

Gimnaziu și definiția 1.1 sunt esențialmente echivalente; nu mai

dăm alte detalii.

În unele contexte fizice, se utilizează vectori alunecători

în lungul unei drepte D, anume vectori AB cu capetele A, B

aparținând dreptei D; de exemplu, vom întâlni vectori alunecători

în legătură cu forțele care acționează asupra unor solide sau cu

momentul unei forțe. De asemenea, se utilizează vectori legați

într-un punct A, ca vectori având ca punct de aplicație

exclusiv pe A.

Exemple:

1) Primele exemple de vectori le constituie segmentele orientate.

2) Să ne imaginăm un râu, asimilat cu o mulțime de particule de

apă. Pentru orice particulă M, considerăm viteza acelei

particule în punctul M și la momentul t. Această viteză poate

17

fi reprezentată pe hârtie doar adoptând o convenție de scală;

de exemplu, 1 cm să reprezinte viteza 1 cm/s. În acest mod,

viteza este un vector v(M,t), care este un vector legat în M

(fig. 1.4); evident, s-ar pierde sensul fizic dacă s-ar apela la

alte copii ale lui v.

Fig.1.4

Vom vedea că acest exemplu ilustrează conceptul de câmp de

vectori (depinzând de timp).

3) Temperaturile, masele, lungimile, ariile, sarcinile electrice,

energiile etc. sunt mărimi exprimate prin numere (reale) și nu

au caracter vectorial; unor astfel de mărimi, împreună cu

numerele reale, li se spune scalari, care pot varia în timp sau

spațiu. Dar vitezele, accelerațiile, forțele, sunt entități

calificate ca vectori; acestea pot fi mai mari sau mai mici, dar

în plus pot fi orientate într-o direcție sau alta!

4) Să presupunem că pe marginea unei mese orizontale se află

un pietroi; împins cu o forță F, pietroiul cade de pe masă, dar

o forță F=F, care nu are același suport cu F, poate să nu aibă

același efect (fig. 1.5). Așadar, egalitatea vectorilor liberi nu

revine la egalitatea efectelor! Dar vectorii alunecători pe

suportul lui F pot avea același efect cu F.

18

Fig. 1.5

Chiar și aceste exemple arată capcanele înțelegerii de fond

a noțiunilor de bază: egalitate, vectori legați, vectori alunecători,

câmp de vectori etc. Este mereu necesară lămurirea

ambiguităților, prin definirea precisă a termenilor și cenzurarea

intuiției. Dar excesul de rigoare nu trebuie să evite utilizarea

elementelor intuitive. Exemplul anterior al vitezelor particulelor

de apă este înlocuit în unele prezentări prin definiția câmpului de

vectori, în următorii termeni seci: un câmp de vectori într-o

regiune D este o aplicație DV3. Este corect, dar nu didactic. În

acest text, vom combina definițiile fără ambiguități cu

comentariile și argumentele euristice.

Unghiul a doi vectori

Fie v, wV2(P) doi vectori liberi nenuli și necoliniari

(adică având suporturile neparalele). Alegem un punct OP și

considerăm punctele A, BP astfel încât OA =v și OB =w (fig. 1.6).

Măsura unghiului format de vectorii v, w este acel număr

𝛼 ∈ (0, 180°) sau în radiani 𝛼 ∈ (0, π) astfel încât

măs(AOB) = 𝛼 (Reamintim că unghiul de 1 se obține

considerând un cerc trigonometric și divizând arcul de cerc al

primului cadran în 90 de părți egale).

19

Fig. 1.6

În mod evident, măsura 𝛼 nu depinde de alegerea

punctului O (unghiuri cu laturi paralele). Dacă 𝛼 = 90, vectorii

v, w se numesc ortogonali (v⊥w); dacă v, w sunt nenuli și

coliniari, atunci se consideră că 𝛼 = 0 dacă ei au același sens și

𝛼 = 180 dacă sunt de sens contrar. Dacă unul din vectorii v, w

este nul, atunci măsura 𝛼 nu este definită.

Adunarea vectorilor

Definiția 1.2: Dacă v, wV2(P) sunt doi vectori nenuli, ca

în figura 1.6, fie C al patrulea vârf al paralelogramului construit

pe vectorii OA ,OB .

Se definește suma (rezultanta):

v+w=OC .

Desigur, trebuie arătat că acesta nu depinde de alegerea

punctului O. Această definiție transcrie celebra „regulă a

paralelogramului”, atribuită lui S.Stevin, dar pe care Arhimede o

cunoștea din Antichitate, și anume faptul că trăgând de o cutie K

cu forțele F1, F2 în sensul indicat (figura 1.7, a) și neglijând

frecarea, se obține același efect cu cel făcut de rezultanta F1+F2.

Similar, pentru scripeții cu greutăți din figura 1.7, b.

20

Fig. 1.7

Regula paralelogramului este impusă de natură și nu este

un moft sau un rod al imaginației cuiva! Vom vedea că „adunarea

pe componente”, des întâlnită mai încolo în diverse contexte, este

tocmai o transcripție a acestei reguli.

Trebuie amintit că se poate folosi de asemenea „regula

triunghiului” (desigur echivalentă cu cea a paralelogramului, dar

uneori mai comod de utilizat):

Dacă v=AB și w=BC (deci se consideră o copie a lui w cu

punctul de aplicație în extremitatea lui v), atunci

v+w=AC (fig. 1.8).

Fig. 1.8

Se cunosc proprietățile adunării vectorilor:

comutativitate, asociativitate, vectorul nul ca element neutru,

opusul unui vector.

21

Pe scurt, tripletul (V2(P), +, 0) formează un grup

comutativ. Dar nu facem exces de Algebra din clasa a XII-a.

Din figura 1.6, se observă că lungimea vectorului OC este

cel mult egală cu suma lungimilor vectorilor v și w, adică:

‖v+w‖≤‖v‖+‖w‖ (1)

De asemenea, se poate defini inductiv suma mai multor

vectori vi, 1≤i≤n; în plus, ‖∑ vini=1 ‖ ≤ ∑ ‖vi‖

ni=1 .

Definiția 1.3: Fie O∈P un punct „fix”. Pentru orice punct

M∈P, se definește vectorul de poziție al lui M (vector legat în

O), ca fiind r=OM , notat și cu rM.

Fig. 1.9

Pentru orice vector AB , avem OA +AB =OB (regula

triunghiului în fig. 1.9) deci:

AB =OB -OA =𝐫𝐵-rA. (2)

Așadar, orice vector din V2(P) este egal cu vectorul de

poziție al extremității sale minus vectorul de poziție al capătului.

Multiplicarea vectorilor cu scalari

Alături de adunarea vectorilor care este o operație internă

având eticheta „+”, se poate considera operația externă prin care

care oricărui scalar 𝛼 ∈ ℝ și oricărui vector v ∈ V2(P) i se

asociază multiplicatul 𝛼v. Anume, se știe cum se definesc vectorii

22

2v, 10v, v, 3v, deci 𝛼v pentru 𝛼 ∈ ℤ; dacă 𝛼 ∈ 0ℝ,

atunci 𝛼v=0.

De asemenea, dacă n≥1 este întreg și 𝛼=1n, atunci

1nv este

vectorul coliniar, având același sens cu v, dar mărimea de n ori

mai mică. Iar dacă 𝛼 =mn

, cu m, n numere întregi și n ≥ 1, atunci

𝛼v =1n

(mv). Din aproape în aproape se definește multiplicatul 𝛼v

pentru orice 𝛼 ∈ ℚ, rațional.

Un salt subtil trebuie realizat pentru a defini, de exemplu,

vectorul √2v. Procedeul implică noțiunea de limită de șiruri;

anume, alegem un șir de numere raționale rn tinzând către √2

pentru n → ∞, de exemplu, șirul extracțiilor succesive ale

radicalului: 1; 1,4; 1,41; 1,414 etc. Având deja definiți vectorii

rnv, limita lor este √2v. Același procedeu se folosește teoretic

pentru a defini 𝛼v când 𝛼 este irațional. Nu dăm mai multe detalii

și, de asemenea, amintim fără demonstrație proprietățile

următoare, cu notații transparente:

𝛼(v+w)=𝛼v+ αw;

(𝛼+β)v=𝛼v+βv, 𝛼(βv)=(𝛼β)v și 1ℝv=v.

O proprietate des utilizată este următoarea:

‖𝛼v‖=|𝛼|·‖v‖, (3)

valabilă pentru orice 𝛼 ∈ ℝ și orice v∈V2(P). De asemenea, dacă

vi, 1≤i≤n sunt vectori și 𝛼𝑖 ∈ ℝ, se definește combinația liniară

∑ 𝛼𝑖𝐯𝑖𝑛𝑖=1 și avem ‖∑ 𝛼𝑖𝐯𝑖

𝑛𝑖=1 ‖ ≤ ∑ |𝛼𝑖| · ‖𝐯𝑖‖

𝑛𝑖=1 .

Definiția 1.4: Orice vector din V2(P) având mărimea 1 (la

care se adaugă eventual unitatea de măsură 1 cm, 1 m etc) se

numește versor sau vector unitar.

23

Pentru orice vector nenul v∈V2(P), se definește versorul

lui, ca fiind:

𝝆 =1‖v‖· v. (4)

Evident, conform (3), ‖𝝆‖ =1‖v‖

·‖v‖=1.

Orice direcție are doi versori ± 𝝆. Pentru a determina o

direcție, este suficient de indicat un vector nenul având suportul

paralel cu acea direcție. Dacă v≠0 și 𝛼 ≠0, atunci vectorii 𝛼v și

v au aceeași direcție; dacă 𝛼>0, ei au și același sens.

Atenție! Nu se definesc v >w, √𝐯, v w⁄ , log10

v etc.

Câteva aplicații geometrice elementare

1) Doi vectori nenuli v1, v2 ∈V2(P), se numesc coliniari

(sau echivalent, liniar dependenți) dacă și numai dacă

suporturile lor sunt paralele. Să arătăm că aceasta este echivalent

cu faptul că există scalari 𝛼, 𝛽, astfel încât 𝛼2 + 𝛽2 ≠ 0 și

𝛼v1+𝛽v2=0. Fie 𝝆1=versorul lui v1 și 𝝆2= versorul lui v2. Dacă v1,

v2 sunt coliniari, atunci evident 𝝆1 = ±𝝆2 , deci conform (4),

1

𝑣1𝐯1 = ±

1

𝑣2𝐯2, adică, notând 𝛼 = 𝑣1 și 𝛽 = 𝑣2, 𝑣2𝐯1 ∓ 𝑣1𝐯2 =

𝟎, deci 𝛼2 + 𝛽2 ≠ 0. Reciproc, dacă 𝛼𝐯1 + 𝛽𝐯2 = 𝟎 și de

exemplu, 𝛽 ≠ 0, atunci v2=−𝛼

𝛽𝐯1 deci v2 și v1 sunt coliniari.

2) Linia mijlocie într-un triunghi

Considerăm un triunghi ABC; fie M mijlocul laturii [AB]

și N mijlocul laturii [AC]. Atunci dreapta MN este paralelă cu

dreapta BC și ‖MN ‖ =12‖BC ‖; (fig. 1.10).

24

Fig. 1.10

Într-adevăr, MN =AN -AM =12

AC -12

AB =12(AC -AB )=

12

BC .

Atunci vectorii MN și BC sunt coliniari deci dreptele MN și

BC sunt paralele. În plus, ‖MN ‖=‖12

BC ‖=12‖BC ‖.

3) Punct care împarte un segment dat într-un raport dat

Fixăm un segment [AB] cu A ≠ B și un număr real

𝑘 ≠ −1. Se spune că un punct M, situat pe dreapta AB, împarte

segmentul în raportul k, dacă 𝐴𝑀 = 𝑘𝑀𝐵 . Evident, M este un

punct interior segmentului ⇄ 𝑘 > 0. Pentru orice punct O (numit

ad-hoc referențial), relația anterioară devine OM -OA =k(OB -

OM ), de unde (k+1)OM =OA +kOB , adică:

rM=OM =1

k+1(rA+k rB). (5)

Ca aplicație, indicăm expresia vectorilor – mediană AM și

bisectoare interioară AD , într-un triunghi ABC (fig. 1.11).

Fig. 1.11

25

Considerăm latura [BC] și A ca referențial; aplicând (5)

pentru k=1, rezultă AM =12(AB +AC ).

Apoi, aplicând teorema bisectoarei, rezultă că piciorul D

al bisectoarei împarte segmentul [BC] în raportul k=BDDC

=ABAC

=cb.

Folosind relația (5), rezultă:

AD =1

c b⁄ +1(AB +(c b⁄ )AC )=

1

b+c(bAB +cAC ).

Centrul de „greutate” G al triunghiului ABC împarte

segmentul mediană [AM] în raportul k=2. Alegând un referențial

oarecare O și aplicând formula (5), rezultă că OM =12

(OB +OC )

și OG =OA +2OM

3=

13 (rA+rB+rC).

Notă: Printr-o convenție tacită, în Mecanică orice obiect

(solid) care nu își modifică structura în timp este considerat ca

având toată masa concentrată într-un punct reprezentativ C, numit

centrul de masă al obiectului. Pentru a descrie mișcarea obiectului

în raport cu un referențial O, este utilă considerarea vectorului

OC , care determină poziția, direcția și sensul în care se deplasează

obiectul. Dar în cazul obiectelor vâsco–elasto–plastice (de tipul

cristalelor, cauciucului, curgerilor etc.), care își modifică

structura în timp, este necesară utilizarea tensorilor.

Ca o sinteză a celor spuse, reținem că scalarii (adică

numerele) sunt entități definite printr-o anumită valoare (care

poate fi constantă sau variabilă), vectorii sunt caracterizați prin

mărime, o singură direcție și un sens; vom vedea că tensorii au

mărime, dar simultan mai multe direcții semnificative.

26

§1.2. Reper cartezian în plan și în spațiu

Bijecția lui Descartes

Considerăm două drepte distincte concurente într-un

punct O și un vector nenul v=AB ∈V2(P), cu suportul într-un plan

P (fig.1.12). Prin capetele lui v ducem paralele la cele două drepte

și notăm v1=A1B1 , v2=A2B2

.

Evident,

v=v1+v2. (6)

Fig. 1.12

Vectorii v1, v2 se numesc componentele vectoriale ale lui

v relativ la direcțiile dreptelor D1, D2; ei se mai numesc și

proiecțiile lui v, notate pr1v și pr2v.

Se demonstează ușor că pentru orice v, w∈V2(P) și orice

𝛼 ∈ ℝ, prk(v+w)=prkv+prkw și prk(v)=·prkv pentru k=1, 2.

Relația (6) extinde descompunerea forțelor pe două

direcții neparalele.

Reamintim că se numește axă de coordonate orice dreaptă

D pe care sunt fixate un punct O∈D (originea axei) și unul din

cei doi versori ai axei, notat u.

27

Pe scurt, o axă este orice dreaptă pe care se fixează

convențional 0, 1 și . Pentru orice punct 𝑀∈D există și este unic

un scalar xM ∈ ℝ astfel încât OM = xMu.

Se mai spune că {O;u} formează un reper 1D

(unidimensional) și scalarul xM este numit abscisa lui M relativ

la acest reper. Aplicația f:D→ℝ, M↦xM este bijectivă (numită

bijecția lui Descartes). Dacă M, N∈D, atunci MN =ON - OM =

= (xN-xM)·u și distanța dintre punctele M, N este:

d(M,N)=‖MN ‖=‖(xN-xM)u‖=|xN-xM|, conform (3).

Evident, abscisa mijlocului segmentului [MN] este egală

cu 12(xM+xN).

Bijecția lui Descartes are o interpretare de natură

filosofică: ea stabilește o legătură strânsă între obiecte geometrice

(puncte) și obiecte algebrice (numere), care a condus la

Geometria analitică, adică „geometrie prin calcul”. Matematica și

Fizica au urmărit mereu diverse punți de legătură numite

”unificări”; de exemplu, este binecunoscut „visul lui Einstein” de

a strânge într-o teorie unitară toate interacțiunile din Univers.

Descartes a realizat primul unificarea Algebrei cu Geometria!

Reper cartezian în plan

Definiția 1.5: Se numește reper cartezian 2D

( bidimensional) în planul P orice triplet {O; e1, e2}, unde

𝑂 ∈ 𝑃 și e 1, e 2 sunt doi vectori nenuli și necoliniari, având

suportul în P (figura 1.13). Se mai spune că planul P este raportat

la un sistem de coordonate xOy, unde axa Ox este reperul {O;e 1 }

și axa Oy, reperul {O; e 2}.

28

Termenul „cartezian” provine de la Cartezius (numele

latinizat al lui Descartes).

Pentru orice punct M∈P, ducem paralele MM1 și MM2 la

cele două axe. Atunci există scalari a, b ∈ ℝ astfel încât OM 1=ae 1

și OM 2=be 2 deci:

OM =OM 1+OM 2=ae 1+be 2. (7)

Fig. 1.13

Numerele a, b sunt unice (căci dacă OM = ae 1+be 2,

atunci ar rezulta că (a-a')·e 1+(b-b')·e 2=0 și dacă a≠a, atunci

e 1=b-b'a'-a

e 2 și e 1, e 2 ar fi coliniari; absurd.

Așadar, a=a și apoi b=b. Relația 𝑂𝑀 =a�� 1+b�� 2 se scrie

mai sintetic M(a, b) și se spune că a, b sunt coordonatele

carteziene ( abscisa și ordonata) ale lui M relativ la reperul

considerat.

Dacă 𝑀′(a,b), atunci:

MM = OM OM = (aa) e 1+(bb) e 2.

Fiind dat un vector v∈V2(P), există și este unic un punct

M∈P astfel încât v=OM ; dacă M(a, b) atunci:

v=ae 1+be 2. (8)

Numerele a, b se numesc componentele scalare ale lui v.

29

Este evident că acestea depind de reperul fixat

{O; e 1, e 2}xOy (dar vectorul v, nu!).

Regăsim astfel bijecția lui Descartes 𝑓:P→ℝ2, M↦(a, b).

Totodată, orice vector v∈V2(P), se reprezintă în mod unic, ca o

combinație liniară a vectorilor e1, e2. Această proprietate se mai

formulează astfel: „vectorii e1, e2 constituie o bază pentru V2(P)”.

Se poate spune că prin identificarea v↔ (a, b) s-a deschis ERA

DIGITALIZĂRILOR, prin care diverse obiecte fizice,

matematice, chimice, economice și chiar artistice sunt descrise

perfect prin numere!

Definiția 1.6: Un reper {O; e1, e2} se numește ortonormal

dacă vectorii e1, e2 sunt versori perpendiculari (adică ‖e1‖=1,

‖e2‖=1 și e1e2). Reperul se zice ortogonal dacă e1e2 și atât.

Proprietăți ale vectorilor relativ la un reper cartezian plan

Fixăm un reper cartezian oarecare {O; e1, e2} în planul P

și fie v=ae1+be2, w=ce1+de2 orice doi vectori din V2(P).

1) v=w ⇄ a=c și b=d;

2) v+w=(a+c)e1+(b+d)e2;

3) v=( a)e1+( b)e2 pentru orice scalar 𝛼 ∈ ℝ;

4) vectorii v, w presupuși nenuli sunt coliniari ⇄ există

𝜆 ∈ ℝ astfel încât v=𝜆𝐰 ⇄ componentele lor scalare sunt

proporționale.

Notă: Demonstrația acestor proprietăți rezultă direct din

definiții. Proprietatea 2) este o consecință a „regulii

paralelogramului”. Anume, putem presupune că v=OM și w = ON

au punctul de aplicație în O; (fig. 1.14). Atunci M(a, b) și N(c, d).

Fie S al patrulea vârf al paralelogramului construit pe

vectorii v, w. Ducând prin punctele M, N, S paralele la axele de

30

coordonate și folosind congruența unor triunghiuri, rezultă

coordonatele carteziene ale lui S(a+c, b+d).

Fig. 1.14

Deci OS =(a+c)e1+(b+d)e2; dar OS =v+w.

Dacă reperul {O; e1, e2} este ortonormal, atunci se adaugă

următoarele:

5) ‖v‖=√a2+b2 („lungimea unui vector este radical din

suma pătratelor componentelor scalare”);

6) Dacă M(a, b) și M (a, b), atunci distanța d(M, M )=

‖MM' ‖=√(a'-a)2+(b

'-b)

2;

7) Vectorii v și w sunt perpendiculari ⇄ are loc relația

ac+bd=0 („suma produselor componentelor scalare este nulă”).

Proprietățile 5) și 6) rezultă direct din definiții, aplicând teorema

lui Pitagora. Iată un argument demonstrativ pentru

proprietatea 7 (fig. 1.15): avem v ⊥w ⇄ paralelogramul OMSN

este un dreptunghi ⇄ OS2=OM

2+ON

2 =⏞

prop. 5)

(a+c)2+(b+d)

2=

= a2+b2+c2+d

2 ⇄ ac+bd=0.

31

Fig. 1.15

Notă: Reperele carteziene ortonormale sunt utilizate cu

precădere în Geometria analitică. Reperele ortogonale sunt

utilizate atunci când pe axe se dispun mărimi de natură diferită

(timp pe axa orizontală/spațiu parcurs pe verticală,

presiune/volum, temperatură/presiune etc.). În prezentarea

Teoriei tensorilor, vom adopta repere carteziene oarecare.

Menționăm de asemenea că în probleme concrete, alegerea

reperului exploatează diverse simetrii fizice.

Reper cartezian în spațiu

În continuare, vom nota cu S mulțimea punctelor din

spațiu (Universul fizic). Pentru orice două puncte distincte

A, B∈S se pot considera segmentul orientat [A,B], dreapta AB,

distanța d(A,B) (scalar real însoțit de o anumită unitate de

măsură), paralelograme, echipolența a două segmente coplanare

etc. Ca în cazul plan, se definesc vectorii liberi de tipul v=AB .

Vom nota cu V3 mulțimea vectorilor liberi 3D

(tridimensionali) cu suportul în S. Din nou, dacă vV3 și MS,

atunci există și este unic un punct NS astfel încât v=MN . Pentru

orice v, wV3, se definesc v=‖𝐯‖, lungimea (norma, măsura)

32

lui v, suma v+w (cu regula paralelogramului), v (cu ℝ),

vectorul nul 0, cu proprietățile uzuale, în analogie cu cazul 2D.

Și în acest caz, {V3,+,0} formează un grup comutativ.

Trei vectori v1, v2, v3V3 se numesc coplanari dacă

există scalari a, b, cℝ, nu toți nuli, astfel încât av1+bv2+cv3=0;

de exemplu, dacă c0, atunci v3=-ac

v1-bc

v2 deci v3 este situat într-

un plan paralel cu vectorii v1 și v2. Așadar, vectorii coplanari au

suporturile paralele cu un plan.

Se spune că mișcarea corpurilor în spațiu nu poate fi

descrisă fără a avea în vedere un reper. Reperele sunt evocate și

în alte contexte (de ex. social – economice).

Definiția 1.7: Se numește reper cartezian 3D în spațiul S

orice triplet {O; e1, e2, e3}, unde OS este un punct considerat

fixat și e1, e2, e3 vectori nenuli și necoplanari. Reperul se numește

ortonormal dacă e1,e2,e3 sunt versori doi câte doi perpendiculari.

Se mai spune că spațiul S este raportat la un sistem de

coordonate Oxyz unde axa Ox este {O;e1}, Oy este {O;e2} și

Oz{O;e3}. Pentru orice punct MS, paralela prin M la Oz

intersectează planul xOy în M . Se duc M M1∥Oy, M M2∥Ox și

MM3∥OM (figura 1.16).

Fig. 1.16

33

Avem OM =OM' +OM 3=OM 1+OM 2+OM 3. Dar există

scalari unici a, b, c astfel încât OM 1=ae1, OM 2=be2, OM 3=ce3;

aceștia sunt numiți coordonatele carteziene ale punctului M

relativ la reperul considerat (numite abscisa, ordonate și cota lui

M). Se scrie M(a, b, c), ceea ce este echivalent cu relația

OM =ae1+be2+ce3 .

Pentru orice vector vV3, există și este unic un punct

MS astfel încât v=OM ; coordonatele carteziene ale acestui punct

M se mai numesc componentele scalare ale lui v. Dacă M(a,b,c),

atunci:

v=ae1+be1+ce3. (9)

Așadar, orice vector vV3 este combinație liniară unică

de vectorii e1,e2,e3. Se mai spune că e1,e2,e3 formează o bază

pentru V3 (sau pentru spațiul S raportat la reperul considerat).

Proprietăți ale vectorilor relativ la un reper cartezian în spațiu

Fixăm un reper cartezian oarecare {O; e1,e2,e3} în spațiu

și fie v = ae1+be2+ce3, v′ = a'e1+b'e2+c'e3, doi vectori din V3.

1) v=v⇄ a=a’, b=b’, c=c’;

2) v+w=(a+a)𝐞1 + (𝑏 + 𝑏′)𝐞2 + (𝑐 + 𝑐

′)𝐞3;

3) v=(a) 𝐞1 + (b) 𝐞2 + (c) 𝐞3;

4) vectorii v, v presupuși nenuli sunt coliniari ⇄ există

𝜆 ∈ ℝ astfel încât v=v ⇄ componentele lor scalare sunt

proporționale;

5) trei vectori din V3 sunt coplanari ⇄ unul din ei este

combinație liniară a celorlalți doi;

6) considerând punctele M(a, b, c), M(a, b, c),vectorul

𝑀𝑀 ′ = 𝑂𝑀 ′ − 𝑂𝑀 = (𝑎′ − 𝑎)𝐞1 + (𝑏′ − 𝑏)𝐞2 + (𝑐

′ − 𝑐)𝐞3

34

deci componentele scalare ale vectorului 𝑀𝑀 ′ sunt diferențele

coordonatelor lui M și M, adică ale extremității și capătului

acelui vector.

Dacă reperul {O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} este ortonormal, atunci:

7) v=‖𝐯‖ = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 și distanța:

d(M,M)=‖𝑀𝑀 ′‖ = ((𝑎′ − 𝑎)2 + (𝑏′ − 𝑏)2 + (𝑐′ − 𝑐)2)1 2⁄ ;

8) vectorii v, v presupuși nenuli sunt perpendiculari ⇄

𝑎𝑎′ + 𝑏𝑏′ + 𝑐𝑐′ = 0.

Proprietatea 7) rezultă direct din definiție, aplicând

teorema lui Pitagora, iar proprietatea 8) va fi demonstrată în

paragraful următor.

Notă: Fixând un reper în spațiu ca mai sus, bijecția lui

Descartes 𝑓: 𝑆 → ℝ3, 𝑀 ↦ (𝑎, 𝑏, 𝑐), care asociază oricărui punct

din spațiul fizic tripleta coordonatelor sale, extinde ideea

unificării Geometriei și Algebrei, resursă pentru multe dezvoltări

benefice – parametri de stare, spații cu mai multe dimensiuni,

identificări ale diverselor obiecte și chiar procese cu seturi

convenabile de numere. Spațiul ℝ𝑛, 𝑛 ≥ 4, are o existență

matematică în sine, chiar dacă dispare suportul geometric direct

(așa cum se întâmplă în cazul 1D, 2D, 3D).

§1.3. Produse de vectori

În acest paragraf, vom reaminti definițiile și proprietățile

principale ale produsului scalar (PS), produsului vectorial (PV),

produsului mixt (PM) și ale dublului produs vectorial (DPV),

pentru vectori din V3 și implicit pentru vectori din V2(P).

35

Produs scalar

Definiția 1.8. Pentru orice doi vectori nenuli v, wV3, se

numește produsul lor scalar (pe scurt, PS) numărul real

v·w=v·w·cos 𝜃, (10)

unde 𝜃 = măs(𝐯, ��); fig. 1.17. Dacă unul din vectori este nul,

atunci produsul lor scalar este nul.

Așadar, v·w=v·prvw (adică mărimea lui v multiplicată cu

proiecția scalară a lui w pe v). Denumirea PS provine de la faptul

că valoarea lui este un scalar.

Fig. 1.17

În continuare, vom fixa un reper ortonormal

{O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞3}; în acest caz, 𝐞1·𝐞1 = 1 · 1 · cos 0 = 1; 𝐞1 · 𝐞2 =

= 1 · 1 · cos 90 ° = 0, 𝐞2 · 𝐞2 = 1, 𝐞2 · 𝐞3 = 0 etc. Altfel spus,

𝐞𝑖 · 𝐞𝑗 = 𝛿𝑖 𝑗 (simbolul lui Kronecker) pentru orice 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3.

Proprietăți ale PS

PS 1. Dacă v, wV3, atunci v·w=w·v(comutativitate);

PS 2. Dacă v, w1, w2V3, atunci v·(w1+w2)=v·w1+v·w2

(distributivitatea PS în raport cu adunarea) și mai general,

v·(∑ 𝐰𝑘𝑛𝑘=1 ) = ∑ (𝐯 · 𝐰𝑘)

𝑛𝑘=1 ;

PS 3. Dacă v, w V3 și 𝛼 ∈ ℝ, atunci (v)·w=(v·w)

=v·(w) (balansarea scalarului);

PS 4. Dacă vV3, atunci v·v≥0 și v·v=0 ⇄ v=0.

36

Demonstrația este imediată. Astfel, PS 1 rezultă din relația

cos(−𝜃) = cos 𝜃.

Apoi,

v·(w1+w2)=v·prv(w1+w2)=

= v·prvw1+ v·prvw2=v·w1+v·w2 .

Dăm câteva consecințe directe (relativ la un reper

ortonormal).

1) Dacă v=a𝐞1 + 𝑏𝐞2 + 𝑐𝐞3 și v′ = 𝑎′𝐞1 + 𝑏′𝐞2 + 𝑐

′𝐞3,

atunci v·v′ = 𝑎𝑎′ + 𝑏𝑏′ + 𝑐𝑐′.

Într-adevăr,

v·v=v·(𝑎′𝐞1 + 𝑏′𝐞2 + 𝑐

′𝐞3)=

=⏞PS 2

𝑎′(𝐯 · 𝐞1) + 𝑏′(𝐯 · 𝐞2) + 𝑐

′(𝐯 · 𝐞3).

Dar,

v·e1=(𝑎𝐞1 + 𝑏𝐞2 + 𝑐𝐞3)·𝐞1=

= 𝑎(𝐞1 · 𝐞1) + 𝑏(𝐞2 · 𝐞1) + 𝑐(𝐞3 · 𝐞1) =

= 𝑎 · 1 + 𝑏 · 0 + 𝑐 · 0 = 𝑎;

similar, v·e2=b și v·e3=c. Ca atare, v·v′ = 𝑎′𝑎 + 𝑏′𝑏 + 𝑐′𝑐.

Așadar, PS v·v este egal cu suma produselor

componentelor lor scalare.

2) Dacă v, wV3 sunt nenuli, atunci v⊥w ⇄ v·w=0.

3) Dacă v=𝑎𝐞1 + 𝑏𝐞2 + 𝑐𝐞3, atunci v·v = v·v·cos 0° =

𝑣2; PS v·v se mai notează v2 deci v2 = v2.

4) Dacă v, w ∈ V3 sunt nenuli, atunci din definiția PS,

rezultă

cos(𝐯,𝐰) =𝐯· 𝐰

𝑣𝑤. (11)

Atenție: PS nu este asociativ: v·(w·w1)≠(v·w)·w1. Din

acest motiv, produsele scalare trebuie puse în paranteze.

37

Exemple

1) Fie un plan P raportat la un reper 2D ortonormal

{O;e1,e2} și 𝛒 un versor cu punctul de aplicație în O. Dacă

𝜃 = măs(𝛒, 𝐞1), atunci componentele scalare ale lui 𝛒 sunt cos 𝜃

și sin 𝜃 deci =(cos) e1+(sin) e2. Dacă este un alt versor și

𝜃′ = măs(𝛒′, 𝐞1) atunci 𝛒′ = (cos 𝜃′)𝐞1 + (sin 𝜃′)𝐞2;(fig. 1.18).

Să calculăm în două moduri PS 𝛒 · 𝛒′. Pe de-o parte,

·=1·1·cos(𝜃 − 𝜃′) și pe de-alta, · = (cos 𝜃𝐞1 + sin 𝜃 𝐞2) ·

(cos 𝜃′ 𝐞1 + sin 𝜃′ 𝐞2) = cos 𝜃 cos 𝜃

′+sin 𝜃 sin 𝜃′.

Am demonstrat în acest mod formula nebanală:

cos(𝜃 − 𝜃′) = cos 𝜃 cos 𝜃′ + sin 𝜃 sin 𝜃′.

Fig. 1.18

2) Fie F și F două forțe care fac unghiul de măsură . Iată

cum se determină mărimea rezultantei R=F+F; anume, avem:

R2=R2=(F+F)·(F+F)=𝐹2 + 𝐹′2 + 2F·F

Deci,

𝑅 = (𝐹2 + 𝐹′2 + 2𝐹𝐹′ cos 𝛼)1 2⁄ .

38

Produs vectorial

Așa cum îi spune numele, acesta este un alt vector, care se

dovedește util, de exemplu, pentru studiul momentului unei forțe

aplicate la capătul unei pârghii sau asupra unei particule încărcate

aflate într-un câmp magnetic.

Definiția 1.9: Fie v, w doi vectori din V3. Dacă unul este

nul sau dacă ei sunt coliniari, atunci se definește v w = 0. Dacă

v, w sunt vectori nenuli, se pot presupune ca având același punct

de aplicație O și formând unghiul 𝜃 ∈ [0, 𝜋]. Atunci v w este

acel unic vector:

-cu punctul de aplicație O;

-cu direcția perpendiculară pe planul determinat de v și w;

-cu mărimea A numeric egală cu aria paralelogramului

construit pe vectorii v, w deci:

A=v·w· sin 𝜃;

- cu sensul dat de regula burghiului rotit de la v spre w.

Dintre cei doi versori ai direcției menționate, notăm cu N

pe cel având sensul burghiului. Mulți autori recomandă în locul

regulii burghiului, regula mâinii drepte, ca în figura 1.19.

Atunci,

v w=AN (12)

Fig. 1.19

39

Notă: Produsul scalar al vectorilor v, w se mai notează

⟨𝐯,𝐰⟩, între croșete și se mai numește „dot–product”; produsul

vectorial se mai notează [v, w], între paranteze mari și se mai

numește „cross–product”.

În continuare, fixăm un reper ortonormal {O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3}.

Evident, 𝐞1 × 𝐞2 = 𝐞3, 𝐞2 × 𝐞3= 𝐞1, 𝐞3 × 𝐞1 = 𝐞2, 𝐞1 × 𝐞1 =

𝟎, 𝐞2 × 𝐞2 = 𝟎, 𝐞3 × 𝐞3 = 𝟎, 𝐞2 × 𝐞1 = −𝐞3, 𝐞3 × 𝐞2 = − 𝐞1 și

𝐞1 × 𝐞3 = −𝐞2.

Proprietăți ale PV

PV 1. Dacă v, wV3, atunci vw este un vector

perpendicular și pe v și pe w; în plus, ‖𝐯 × 𝐰‖ = 𝑣 · 𝑤 · sin 𝜃;

PV 2. Pentru orice v, wV3, 𝐯 × 𝐰=𝐰× 𝐯

(anticomutativitate);

PV 3. 𝐯 × (𝐰 +𝐰′) = 𝐯 × 𝐰 + 𝐯 ×𝐰′ (distributivitatea

PV în raport cu adunarea);

PV 4. Dacă v, w V3 și 𝛼 ∈ ℝ, atunci v× (𝛼𝐰) =

𝛼(𝐯 × 𝐰) = 𝐯 × (𝛼𝐰) (balansarea scalarului);

PV 5. 𝐯 × 𝐰 este nul ⇄ unul din vectori este nul sau v, w

sunt coliniari;

PV 6. Dacă v=ae1+be2+ce3, v=ae1+be2+ce3, atunci

v × 𝐰 = |𝐞1 𝐞2 𝐞3𝑎 𝑏 𝑐𝑎′ 𝑏′ 𝑐′

|, (13)

unde acest „determinant” se dezvoltă numai după linia întâi.

Afirmațiile PV 1, PV 2, PV 4 și PV 5 rezultă direct din

definiție. Proprietatea PV 3 este mai dificil de demonstrat. Pentru

demonstrație (nebanală!) putem presupune că vectorii sunt nenuli

și că au același punct de aplicație A. Fie P planul trecând prin A

și perpendicular pe v (figura 1.20). Dacă w1 este proiecția

40

ortogonală a vectorului w pe planul P, atunci v×𝐰 = 𝐯 × 𝐰1

(aplicând definiția); în plus, vectorul 𝐯 × 𝐰1 are suportul conținut

în P și este obținut din 𝐰1 prin rotire cu 𝜋

2 și multiplicare cu v.

Notând s=𝐰×𝐰′ și s1 proiecția lui s pe P, rezultă

v× (𝐰+𝐰′) = 𝐯 × 𝐬 = 𝐯 × 𝐬1 = 𝐯 × (𝐰1 +𝐰′1) =⏞(∗)

𝐯 × 𝐰1 +

𝐯 × 𝐰′1 = 𝐯 × 𝐰+ 𝐯 × 𝐰′. Relația () rezultă observând că

rotind un paralelogram în planul P cu 𝜋

2 și multiplicând laturile lui

cu v, se obține tot un paralelogram.

Fig. 1.20

Rămâne de demonstrat PV 6. Aplicând distributivitatea,

adică desfacerea parantezelor, rezultă v×𝐰 = (𝑎𝐞1 + 𝑏𝐞2 +

𝑐𝐞3) × (𝑎′𝐞1 + 𝑏

′𝐞2 + 𝑐′𝑒3) = 𝑎𝑎

′𝐞1 × 𝐞1 + 𝑎𝑏′𝐞1 × 𝐞2 +

𝑎𝑐′𝐞1 × 𝐞3 + 𝑏𝑎′𝐞2 × 𝐞1 +⋯.

Ținând cont că:

𝐞1 × 𝐞1 = 𝟎, 𝐞1 × 𝐞2 = 𝐞3, 𝐞2 × 𝐞1 = −𝐞3 etc, se obține

după calcul relația (13).

Atenție. Nici PV nu este asociativ:

v × (𝐰 × 𝐰1) ≠ (𝐯 × 𝐰) × 𝐰1. Din acest motiv,

produsele vectoriale trebuie puse în paranteze.

41

Produs mixt

Reamintim acum produsul mixt, care „amestecă” PS și

PV. Presupunem fixat un reper ortonormal 3D {O;e1,e2,e3}.

Definiția 1.10: Pentru orice trei vectori a, b, cV3,

produsul lor mixt (PM) este scalarul a·(b×c).

Proprietăți ale PM

PM 1. Dacă a=𝑎1𝐞1 + 𝑎2𝐞2 + 𝑎3𝐞3, 𝐛 = 𝑏1𝐞1 + 𝑏2𝐞2 +

𝑏3𝐞3, 𝐜 = 𝑐1𝐞1 + 𝑐2𝐞2 + 𝑐3𝐞3, atunci

a·(b ×c)=|

𝑎1 𝑎2 𝑎3𝑏1 𝑏2 𝑏3𝑐1 𝑐2 𝑐3

|, (14)

adică PM a trei vectori este un scalar egal cu determinantul

componentelor lor scalare.

PM 2. a·(b × c) este egal în modul cu volumul

paralelipipedului construit pe vectorii a, b, c (figura 1.21).

Fig.1.21

PM 3. PM este nul dacă unul din vectori este nul sau doi

dintre ei sunt coliniari; mai general, PM este nul ⇄ cei trei vectori

sunt coplanari (adică suporturile lor sunt paralele cu același plan).

Demonstrăm PM 1. Avem:

b×c = |

𝐞1 𝐞2 𝐞3𝑏1 𝑏2 𝑏2𝑐1 𝑐2 𝑐3

| = |𝑏2 𝑏3𝑐2 𝑐3

| 𝒆1 − |𝑏1 𝑏3𝑐1 𝑐3

| 𝐞2 + |𝑏1 𝑏2𝑐1 𝑐2

| 𝐞3

42

Și

a·(b×c)=𝑎1 |𝑏2 𝑏3𝑐2 𝑐3

| − 𝑎2 |𝑏1 𝑏3𝑐1 𝑐3

| + 𝑎3 |𝑏1 𝑏2𝑐1 𝑐2

| și rezultă

relația (14).

Pentru PM 2, putem presupune că vectorii sunt nenuli și

că au același punct de aplicație. În general, v·w=v·prvw deci

a·(b ×c)=‖ 𝐛 × 𝐜 ‖·prbxca. Dar ‖ 𝐛 × 𝐜 ‖ este egal cu aria A a

paralelogramului construit pe vectorii b, c. Apoi notăm cu h

proiecția ortogonală a vectorului a pe vectorul b ×c. Apoi,

proiecția scalară prbxca=휀h, unde 휀 = ±1 după cum h are sau nu

același sens cu b ×c. Rezultă că |𝐚 · (𝐛 × 𝐜) | = 𝐴 · ℎ=volumul

paralelipipedului construit pe vectorii a, b, c.

Notă: Conform PM 1, proprietățile de calcul ale

produsului mixt rezultă din reformularea proprietăților

determinanților. Atunci PM 3 este o consecință directă. Adăugăm

că dacă intervertim doi vectori, atunci PM își schimbă semnul

(căci așa se întâmplă cu un determinant prin intervertirea a două

linii): a·(c ×b)=− 𝐚 · (𝐛 × 𝐜) etc. Iar dacă se face o permutare

circulară a celor trei vectori, produsul mixt nu se modifică:

a·(b ×c)=c·(a ×b)=b·(c ×a).

Un fapt important este următorul: aplicând proprietățile

anterioare, avem:

a·(b ×c)=−𝐜 · (𝐛 × 𝐚) = 𝐜 · (𝐚 × 𝐛) = (𝐚 × 𝐛) · 𝐜.

Așadar, a·(b ×c)=(a ×b)·c și din această cauză, PM

a·(b ×c) se poate nota fără ambiguitate (a, b, c), ceea ce este

folosit în mod curent.

43

Dublu produs vectorial (DPV)

Dacă a, b, c sunt trei vectori din V3, atunci are loc formula

lui Gibbs:

a×(b×c)=(a·c)b–(a·b)c=|b c

(a·c) (c·b)|. (15)

Fără micșorarea generalității, putem alege un reper

ortonormal {O; e1, e2, e3}, astfel încât a=e3. Formula (15) se

obține prin calcul direct, explicitând cei doi membri ai formulei.

Notă: Pentru memorizare, formula lui Gibbs se scrie

a×(b ×c)=b(a·c)–c(a·b) și se mai numește formula „BAC–

CAB”. Vectorul DPV a×(b ×c) este o combinație liniară a

vectorilor b, c din paranteză (presupuși nenuli și necoliniari); ca

atare, el are suportul conținut în planul determinat de b și c.

Să recapitulăm ... Reținem că PS (respectiv PV) se

utilizează în relații de perpendicularitate (respectiv coliniaritate),

iar PM în relații de coplanaritate. Apoi, PS permite calculul

lungimilor de vectori (v=√𝐯 · 𝐯) sau măsurilor unghiurilor dintre

vectori (conform (11)); PV este util pentru calculul ariilor

triunghiurilor (1

2‖𝐯 × 𝐰‖), iar scalarul PM pentru calculul

volumelor paralelipipedelor sau tetraedrelor (1

6|𝐚 · (𝐛 × 𝐜)|).

§1.4. Alte sisteme de coordonate în plan sau în spațiu

și repere mobile

Coordonatele unui punct sunt seturi de numere care

permit localizarea cu precizie a acelui punct. De exemplu, pentru

a cunoaște poziția unui punct în plan, este necesară fixarea unui

reper și determinarea coordonatelor carteziene sau polare. Iar pe

suprafața Pământului, ignorând altitudinea, un punct este bine

44

determinat dacă se cunosc longitudinea și latitudinea. Sistemul

GPS de cartografiere a dus la „paroxism” aceste disponibilități ale

sateliților și observatorilor tereștri.

Pentru multe probleme, reperele carteziene (sistemele

carteziene de coordonate) sunt utile, dar există și alte sisteme de

coordonate care pot fi mai convenabile. Astfel, în probleme cu

simetrie centrală (simetrie față de un punct) se recomandă

trecerea la coordonate polare în plan sau sferice în spațiu, după

cum în cazul simetriilor axiale (de exemplu, propagarea undelor

electromagnetice în antene sau studiul transmisiei căldurii prin

țevi), sunt binevenite coordonate cilindrice.

Coordonate polare în plan

Fie un plan P raportat la un reper ortonormal

{O;e1,e2}xOy. Poziția unui punct curent MP poate fi precizată

nu doar prin perechea (x,y) ∈ ℝ2 a coordonatelor carteziene,

astfel încât 𝑂𝑀 = 𝑥𝐞1 + 𝑦𝐞2. Dacă 𝑀 ≠ 𝑂, se pot considera raza

polară 𝜌 = d(𝑂,𝑀) și unghiul polar 𝜃 dintre semidreptele Ox și

OM (figura 1.22).

Fig. 1.22

Evident, 𝜌 > 0 ș𝑖 𝜃 ∈ [0,2𝜋). Dacă M=O, atunci 𝜌 = 0,

este nedeterminat și au loc relațiile:

45

𝑥 = 𝜌 cos 𝜃, 𝑦 = 𝜌 sin 𝜃, (16)

valabile nu numai în cadranul întâi. Aplicația,

𝐹 ∶ 𝐷 → ℝ2, (𝜌, 𝜃) ↦ (𝑥, 𝑦) = (𝜌 cos 𝜃, 𝜌 sin 𝜃) (17)

unde 𝐷 = {(𝜌, 𝜃)|𝜌 > 0, 𝜃 ∈ [0,𝜋

2) ∪ (

𝜋

2,3𝜋

2) ∪ (

3𝜋

2, 2𝜋)} este

numită trecerea de la coordonate polare la coordonate carteziene.

Bineînțeles, trecerea inversă este dată de relațiile

𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 și tg 𝜃 =𝑦

𝑥 (unde 𝜃 este ales astfel încât să fie în

același cadran cu punctul (x, y)).

Așa cum e1 arată sensul creșterii abscisei x a punctului

curent M, iar e2 sensul creșterii ordonatei y, tot astfel putem defini

versori care descriu sensul creșterii lui sau . Pentru aceasta,

considerăm vectorul de poziție al lui M, anume:

r=xe1+ye2=(𝜌 cos 𝜃)𝐞1 + (𝜌 sin 𝜃)𝐞2

și vitezele de variație ale lui r în raport cu și , exprimate prin

vectorii–derivate parțiale:

𝜕𝐫

𝜕𝜌= cos 𝜃𝐞1 + sin 𝜃𝐞2 și

𝜕𝐫

𝜕𝜃= −(𝜌 sin 𝜃)𝐞1 + (𝜌 cos 𝜃) 𝐞2.

Mărimile acestor vectori sunt ‖𝜕𝐫

𝜕𝜌‖ = √cos2𝜃 + sin2𝜃=1

și ‖𝜕𝐫

𝜕𝜃‖ = 𝜌. Perechea (1, ) poartă numele de parametrii lui

Lamé. Versorii lor sunt notați:

𝐮𝜌 = cos 𝜃 𝐞1 + sin 𝜃 𝐞2 și

𝐮𝜃 = −(sin 𝜃)𝐞1 + (cos 𝜃)𝐞2 (17)

Evident, 𝐮𝜌 · 𝐮𝜃 = −cos 𝜃 sin 𝜃 + sin 𝜃 cos 𝜃 = 0 deci uρ⊥uθ.

În fiecare punct M din plan, acești vectori arată ca în figura 1.23.

46

Fig. 1.23

În timp ce reperul ortonormal {O;e1,e2} este „fix”,

reperul ortonormal 2D {M; 𝐮𝜌, 𝐮𝜃} este mobil, variind odată cu

punctul M. De exemplu, în lungul semiaxei pozitive Ox, 𝜃 = 0 și

conform (17), 𝐮𝜌 = 𝐞1, 𝐮𝜃 = 𝐞2. Dar în lungul semiaxei negative

Ox´, 𝜃 = 𝜋 și 𝐮𝜌 = −𝐞1 ,𝐮𝜃 = −𝐞2. În lungul semiaxei pozitive

Oy, 𝜃 =𝜋

2 și 𝐮𝜌 = 𝐞2, 𝐮𝜃 = −𝐞1.

Mulțimea 𝐶𝑎 = {𝑀|𝜌 = 𝑎, cu 𝑎 > 0 constant} este un

cerc cu centrul în O de rază a, iar mulțimea

𝐶𝑏 = {𝑀|𝜃 = 𝑏, 𝑏 ∈ ℝ} este o semidreaptă cu capătul în O

(figura 1.24).

Fig. 1.24

În punctul T, având coordonatele polare a, b, versorii

𝐮𝜌 și 𝐮𝜃 corespunzători sunt tangenți la „curbele” Ca și Cb

47

respectiv. În lungul dreptei Cb, variază , iar în lungul cercului

Ca variază .

Coordonate sferice în spațiu

Considerăm un reper ortonormal în spațiul fizic

S,{O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} ≡ 𝑂𝑥𝑦𝑧. Fie M un punct oarecare nesituat pe

axa Oz, pe care îl proiectăm pe planul xOy în punctul 𝑀′. Notăm

r=d(O,M), raza polară a lui M, = unghiul dintre semidreptele

OM și Oz (numit colatitudinea lui M) și =unghiul dintre

semidreptele 𝑂𝑀′ și Ox (numit longitudinea lui M).

În general, r>0, 𝜃 ∈ (0, 𝜋) și 𝜑 ∈ [0,2𝜋). Se mai notează

𝜌 = 𝑂𝑀′. Dacă M aparține axei Oz, atunci 𝜑 este nedeterminat și

𝜌 = 0. Ducem 𝑀′𝑀1 ⊥ 𝑂𝑥,𝑀′𝑀2 ⊥ 𝑂𝑦 și 𝑀𝑀3 ⊥ 𝑂𝑧.

Dacă M are coordonatele carteziene x, y, z, atunci

𝑀′(𝑥, 𝑦, 0),𝑀1(𝑥, 0,0),𝑀2(0, 𝑦, 0) și 𝑀3(0,0, 𝑧). Evident,

𝜌 = 𝑂𝑀′ = 𝑟 sin 𝜃 și 𝑀𝑀3 = 𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2; (fig.1.25).

Fig. 1.25

Tripletul (𝑟, 𝜃, 𝜑) formează coordonatele sferice ale lui

M. Justificarea denumirii este aceea că dacă 𝑟 = 𝑟0, constant,

atunci M descrie o sferă cu centrul în O și rază 𝑟0; dacă 𝜃 = 𝜃0,

constant, atunci punctul M descrie un con cu vârful în origine și

48

axa Oz; iar dacă 𝜑 = 𝜑0, constant, atunci M se află într-un

semiplan care trece prin axa Oz. Au loc relațiile:

𝑥 = 𝜌 cos𝜑 = 𝑟 sin 𝜃 cos𝜑 , 𝑦 = 𝜌 sin𝜑 =

= 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑 , 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃, (18)

care dau legătura între coordonate carteziene și cele sferice ale

unui punct curent. Invers, cunoscând x, y, z, se determină r, 𝜃, 𝜑;

de exemplu:

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, cos 𝜃 =𝑧

√𝑥2+𝑦2+𝑧2, tg 𝜑 =

𝑦

𝑥 etc.

Dăm acum expresia vectorului de poziție r=𝑂𝑀 ;

conform (18),

r=𝑟 sin 𝜃 cos𝜑 𝐞1 + 𝑟 sin 𝜃 sin𝜑 𝐞2 + 𝑟 cos 𝜃 𝐞3. (19)

Pentru a determina direcția și sensul mișcării punctului

mobil M dacă r (𝜃 sau 𝜑 ) cresc, trebuie calculate vitezele de

variație ale lui r în raport cu r, 𝜃 sau 𝜑, adică derivatele

parțiale respective. Conform (19), ținând 𝜃 și 𝜑 constante, avem:

𝜕𝐫

𝜕𝑟= sin 𝜃 cos𝜑 𝐞1 + sin 𝜃 sin𝜑 𝐞2 + cos 𝜃 𝐞3; ‖

𝜕𝐫

𝜕𝑟‖ = 1.

Apoi,

𝜕𝐫

𝜕𝜃= 𝑟cos𝜃 cos𝜑 𝐞1 + 𝑟cos 𝜃 sin𝜑 𝐞2 − 𝑟 sin 𝜃 𝐞3 și‖

𝜕𝐫

𝜕𝜃‖ = 𝑟.

În fine,

𝜕𝐫

𝜕𝜑= − 𝑟 sin𝜃 sin𝜑 𝐞1 + 𝑟 sin 𝜃 cos𝜑 𝐞2 și ‖

𝜕𝐫

𝜕𝜑‖ = 𝑟 sin 𝜃.

Mărimile acestor vectori sunt numite parametrii lui

Lamé: 1, r, r sin 𝜃. Versorii acestora sunt:

𝐮𝑟 = sin 𝜃 cos𝜑 𝐞1 + sin 𝜃 sin 𝜑 𝐞2 + cos 𝜃 𝐞3 = 𝐫

𝑟 ;

𝐮𝜃 = cos 𝜃 cos𝜑 𝐞1 + cos 𝜃 sin𝜑 𝐞2 − sin 𝜃 𝐞3 și

𝐮𝜑 = −sin𝜑 𝐞1 + cos𝜑 𝐞2.

49

Se observă că 𝐮𝑟 · 𝐮𝜃 = 0, 𝐮𝑟 · 𝐮𝜑 = 0 și 𝐮𝜃 · 𝐮𝜑 = 0

deci reperul {M; 𝐮𝑟 , 𝐮𝜃, 𝐮𝜑} este un reper ortonormal 3D mobil

în spațiul S.

Coordonate cilindrice în spațiu

Considerând din nou figura 1.25, tripletul (𝜌, 𝜑, 𝑧)

formează coordonatele cilindrice ale punctului curent M(x, y, z).

Justificarea denumirii este aceea că dacă 𝜌 = 𝜌0, constant, atunci

M descrie un cilindru circular drept infinit având Oz ca axă; dacă

𝜑 = 𝜑0, atunci M se află într-un semiplan trecând prin axa Oz, iar

dacă z=z0, constant, atunci M descrie un plan paralel

cu planul xOy.

În acest caz, legătura dintre coordonatele carteziene și cele

cilindrice, este dată de relațiile:

𝑥 = 𝜌 cos𝜑 ; 𝑦 = 𝜌 sin𝜑 ; 𝑧 = 𝑧; 𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2; tg 𝜑 =𝑦

𝑥

deci

r=𝑂𝑀 = 𝜌 cos𝜑 𝐞1 + 𝜌 sin𝜑 𝐞2 + 𝑧𝐞3. (20)

Atunci,

𝜕𝐫

𝜕𝜌= cos𝜑 𝐞1 + sin𝜑 𝐞2 și

𝐮𝜌 = vers (𝜕𝐫

𝜕𝜌) = cos𝜑 𝐞1 + sin𝜑 𝐞2.

Apoi,

𝜕𝐫

𝜕𝜑= −𝜌 sin𝜑 𝐞1 + 𝜌 cos𝜑 𝐞2 și

𝐮𝜑 = vers (𝜕𝐫

𝜕𝜑) = −sin𝜑 𝐞1 + cos𝜑 𝐞2.

În fine, 𝜕𝐫

𝜕𝑧= 𝐞3 și 𝐮𝑧 = vers (

𝜕𝐫

𝜕𝑧) = 𝐞3. Mărimile

vectorilor 𝜕𝐫

𝜕𝜌,𝜕𝐫

𝜕𝜑,𝜕𝐫

𝜕𝑧 sunt respectiv 1, , 1 (parametrii lui Lamé).

50

Deoarece 𝐮𝜌 · 𝐮𝜑 = 0, 𝐮𝜌 · 𝐮𝑧 = 0 și 𝐮𝜑 · 𝐮𝑧 = 0,

rezultă că reperul mobil 3D {M; 𝐮𝜌, 𝐮𝜑 , 𝐮𝑧} este ortonormal,

variabil odată cu punctul M.

Vom adăuga și alte proprietăți, după ce vom studia,

bineînțeles cu ajutorul vectorilor, mișcarea curbilinie. Nu

întâmplător coordonatele sferice și cele cilindrice sunt un caz

particular al coordonatelor curbilinii în spațiu.

Întrebare: Sunt necesare aceste noi tipuri de coordonate și

repere mobile?

Un răspuns: vom vedea că există diverse probleme care se

rezolvă mai simplu dacă se aplică aceste coordonate; de exemplu,

la studiul mișcării în lungul unei curbe cu longitudine constantă

pe o planetă sferică (=constant), sau la studiul câmpului

magnetic în jurul unui conductor electric (=constant).

51

CAPITOLUL 2: VECTORI ABSTRACȚI,

APLICAȚII LINIARE, COMPONENTE

COVARIANTE ȘI CONTRAVARIANTE

§2.1. Bază a unui spațiu vectorial

Până acum, am considerat vectorii „clasici”, priviți ca

entități definite prin mărime, direcție și sens. Prin introducerea

reperelor 2D sau 3D, am observat că aceeași vectori pot fi

caracterizați și identificați cu seturi de numere, omițând „structura

lor fizică”. Se pierde în concretețe, dar se câștigă altceva. Epoca

noastră este dominată de tehnologia informației și una din ideile–

fanion este cea a „digitalizării”, a asocierii de numere convenabile

celor mai diverse obiecte fizice și concepte. Algebrizarea și

digitalizarea sunt opuse geometrizării, dar sunt strâns legate de

procesul de abstractizare; orice efort în acest sens va fi răsplătit.

Matematica secolului al XX–lea a introdus ideea utilizării

noțiunilor prin proprietățile lor, admise ca „reguli de joc”,

omițând astfel materializarea lor vulgară (de tipul vectorilor ca

țepe sau ale triunghiurilor ca plăci). Aceasta nu împiedică

folosirea argumentelor de tip „voilà!”, euristice.

Definirea vectorilor prin seturile lor de coordonate relativ

la un reper sau altul permite răspunsul la întrebări de tipul: ce se

întâmplă cu un vector dacă se modifică reperul?

Răspunsul: nu se întâmplă nimic cu vectorul în sine (care

are un caracter absolut), ci doar cu componentele lui. Vitezele,

accelerațiile, forțele, intensitățile etc. nu se modifică în esența lor;

vor diferi însă numerele care le vor fi asociate! Tot astfel,

52

scalarii – numerele, constantele fizice, temperaturile, masele,

sarcinile electrice etc. Se modifică doar dacă le dăm alte moduri

de reprezentare (de exemplu, trecând în baza 2 sau modificând

scala sau unitățile de măsură).

Un ultim argument este acela că trebuie pregătită definirea

tensorilor, care sunt în esență entități definite prin mărime și mai

multe direcții.

Spații vectoriale

S-a constatat că multe obiecte matematice – polinoame,

matrice, funcții etc. – au proprietăți similare cu cele ale vectorilor;

se adună, se înmulțesc cu scalari etc. Alte operații trebuie

introduse cu precauție, ținând cont de specific; de exemplu,

vectorii nu se împart și nu se logaritmează etc. Ținând cont de

acest fapt, s-a dezvoltat studiul „vectorilor abstracți”, care sunt

obiecte matematice de natură neprecizată (ca elemente ale unei

anumite mulțimi, numite spațiu vectorial) și care respectă anumite

„reguli de joc”, anume cele 9 axiome de spațiu vectorial.

Definiția 2.1: Se numește spațiu vectorial (≡ liniar)

orice mulțime nevidă V pe care sunt definite o operație algebrică

internă numită adunare (cu eticheta „+”) și o operație externă de

multiplicare cu scalari (𝛼, 𝑥) ↦ 𝛼𝑥, astfel încât (V,+,0V) să fie

grup comutativ și în plus, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 și ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, 𝛼(𝑥 + 𝑦) =

𝛼𝑥 + 𝛼𝑦 , (𝛼 + 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 , 𝛼(𝛽𝑥) = (𝛼𝛽)𝑥 și 1x=x.

Elementele lui V se numesc vectori (abstracți), iar

numerele reale ca mutiplicatori de vectori – scalari. Prototipul

spațiilor vectoriale reale le constituie mulțimea V2(P) a vectorilor

liberi având suportul conținut în planul P și mulțimea V3 a

vectorilor liberi din spațiu (cf. § 1.1).

53

Dacă V este un spațiu vectorial real și notăm 0V=0 vectorul

nul (care este tocmai elementul neutru la adunare), atunci pentru

orice 𝛼 ∈ ℝ, 𝛼𝟎𝑉 = 𝟎𝑉 și oricare ar fi 𝑥 ∈ 𝑉 , 0ℝ𝑥 = 𝟎𝑉. Iar

dacă 𝛼𝑥 = 𝟎𝑉, atunci fie 𝛼 = 0ℝ , fie 𝑥 = 𝟎ℝ .

Reținem că în orice spațiu vectorial există un vector

abstract marcat, anume vectorul nul 𝟎𝑉 (pe care îl vom nota

simplu 0); apoi, pentru 𝑥 ∈ 𝑉, există opusul −𝑥 ∈ 𝑉 și pentru

orice număr finit de scalari 𝛼1, … , 𝛼𝑛 și tot atâția vectori abstracți

𝑥1, … , 𝑥𝑛, se poate considera combinația liniară ∑ 𝛼𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 . Dar

pentru a defini lungimi de vectori, versori, unghiuri între vectori

nenuli, paralelograme, arii, ortogonalitate etc., este necesară

definirea unui produs scalar (PS) abstract.

Un alt exemplu important de spațiu vectorial îl constituie

spațiul n–dimensional ℝ𝑛 (𝑛 ≥ 1 fiind un întreg fixat); vectorii

din ℝ𝑛, numiți n–dimensionali, sunt seturi ordonate

x=(𝑥1, … , 𝑥𝑛) de câte n numere reale. Folosirea indicilor etaj va

fi explicată mai târziu. Dacă y=(𝑦1, … , 𝑦𝑛) ∈ ℝ𝑛, atunci prin

convenție x=y ⇄ 𝑥𝑗 = 𝑦𝑗 pentru orice j (1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛). Vectorul

nul este setul 0 având toate cele n componente nule. În ℝ𝑛 există

și alți vectori remarcabili:

e1=(1,0,...,0); e2=(0,1,0,...,0),..., en=(0,0,...,1), (1)

numiți vectorii bazei canonice. Considerând simbolul lui

Kronecker 𝛿𝑗𝑖 = {

1 dacă 𝑖 = 𝑗0 dacă 𝑖 ≠ 𝑗

, atunci 𝐞𝑖 = (𝛿𝑗𝑖); 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

Uneori acesta este notat 𝛿𝑖𝑗

Exemple

1) Fie V=ℝ3; atunci 0V=(0,0,0); e1=(1,0,0), e2=(0,1,0),

e3=(0,0,1).

54

Pentru orice vector x=(x1,x2,x3), avem

x1e1+x2e2+x3e3=(x1,x2,x3). Deci 𝑥 = ∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘3𝑘=1 . Mai general,

orice vector x ∈ ℝ𝑛 se scrie x=∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘𝑛𝑘=1 .

2) Dacă V este un spațiu vectorial și dacă 𝑊 ⊂ 𝑉 este o

submulțime, astfel încât, ori de câte ori 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑊 și 𝛼 ∈ ℝ, să

rezulte că x+y ∈ 𝑊 și 𝛼𝑥 ∈ 𝑊, atunci W este un spațiu vectorial

(numit subspațiu al lui V); desigur, 0V ∈ 𝑊. De exemplu, luând

V=V3, mulțimea W a vectorilor având suportul conținut într-un

plan trecând prin origine formează un subspațiu al lui V.

Notă: Printr-o convenție propusă de Einstein și acceptată

de toți fizicienii și matematicienii, în sumele unde un indice etaj

și un indice subsol se repetă, se omite „semnul ” și se

subînțelege că se face sumarea după acel indice repetat; indicii

care se repetă sunt numiți „muți” și nu contează modul în care

sunt notați. De regulă, se înțelege din context care este domeniul

de variație al valorilor indicilor muți.

Exemple

1) Suma ∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘3𝑘=1 este notată 𝑥𝑘𝐞𝑘 sau 𝑥𝑗𝐞𝑗 omițând

simbolul ∑ .3k=1 În mod similar:

∑ 𝑥𝑝𝐞𝑝3𝑘=1 = 𝑥𝑝𝐞𝑝 = 𝑥

𝑘𝐞𝑘 = 𝑥1𝐞1 + 𝑥

2𝐞2 +⋯+ 𝑥𝑛𝐞𝑛. Apoi,

∑𝑥𝑝𝑘𝑦𝑝 = 𝑥𝑝𝑘𝑦𝑝 (sumă după p) deci rezultatul este o mărime 𝑧𝑘;

2) ∑ 𝑥𝑘𝛿𝑘𝑗𝑛

𝑗=1 = 𝑥𝑘𝛿𝑘𝑗= 𝑥𝑗;

3) ∑ 𝑥𝑝𝑞𝑦𝑝𝑟3

𝑝=1 este o mărime care poate fi notată

𝑥𝑝𝑞𝑦𝑝𝑟 = 𝑧𝑞

𝑟 .

Definiția 2.2: Pentru orice doi vectori n–dimensionali

x=(x1,...,xn), y=(y1,...,yn) din ℝ𝑛 se definește produsul scalar

euclidian:

⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑥1𝑦1 +⋯+ 𝑥𝑛𝑦𝑛 (2)

55

(un număr real egal cu suma produselor componentelor). Se

extind fără dificultate proprietățile PS 1–PS 4 din § 1. 3. Se

definește norma euclidiană (lungimea) vectorului

n–dimensional x ca fiind acel număr real și pozitiv ‖𝑥‖ =radical

din suma pătratelor componentelor; adică:

‖𝑥‖ = ((𝑥1)2 +⋯+ (𝑥𝑛)2)1 2⁄ .

Dacă vectorii x, y sunt nenuli, atunci se definește măsura

„unghiului” dintre ei, prin:

cos 𝜃 =⟨𝑥,𝑦⟩

‖𝑥‖·‖𝑦‖, 𝜃 ∈ [0, 𝜋].

Se verifică ușor proprietățile unei norme:

N1 (pozitivitate). Pentru orice 𝑥 ∈ ℝ𝑛, ‖𝑥‖ ≥ 0

și ‖𝑥‖ = 0 ⇄ 𝑥 = 𝟎;

N2 (balansarea scalarului). Dacă x∈ ℝ𝑛 și 𝛼 ∈ ℝ, atunci

‖𝛼𝑥‖ = |𝛼| · ‖𝑥‖;

N3 (inegalitatea triunghiului). Dacă x, y∈ ℝ𝑛, atunci

‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖.

Distanța euclidiană între punctele x, y din ℝ𝑛 este

‖𝑥 − 𝑦‖ deci d(0,x)=‖𝑥‖. Punctul x se poate identifica cu

„vectorul” 𝑂𝑥 (ca un reflex al bijecției lui Descartes).

Exemplu: Dacă x=(1,2,3,0) și y=(2,1,1,2) în ℝ4, atunci

‖𝑥‖ = √1 + 22 + 32 = √14, ‖𝑦‖ = √10 și cos 𝜃 = 1

√140.

Desigur, ℝ1 = ℝ; am văzut că dacă P este un plan raportat

la un reper cartezian {O,e1,e2}xOy, atunci are loc bijecția lui

Descartes, prin care fiecărui punct M∈ 𝑃 se asociază perechea

coordonatelor sale carteziene x, y(𝑂𝑀 = 𝑥𝐞1 + 𝑦𝐞2).

56

În mod similar, fixând în spațiul fizic S un reper cartezian

{O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} ≡ 𝑂𝑥𝑦𝑧, se definește bijecția lui Descartes

𝑓: 𝑃 → ℝ3, 𝑀 ↦ (𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑂𝑀 = 𝑥𝐞1 + 𝑦𝐞2 + 𝑧𝐞3.

Așadar, spațiile aritmetice ℝ2 și ℝ3 sunt direct legate de

Geometria analitică 2D sau 3D. Dar apare un prim șoc ... În timp

ce ℝ𝑛 are o existență algebrică asigurată pentru 𝑛 ≥ 4, au

dispărut interpretările geometrice directe. Se spune că raționăm

fără să vedem, folosind „ochiul minții”. Chiar și fizicienii,

inginerii sau economiștii sunt interesați de spațiile

n–dimensionale.

Exemplu: Spațio–timpul lui Minkowski M=ℝ4 nu este o

ficțiune matematică, ci este la fel de real ca orice alt obiect

matematic. Pentru matematicieni, existența unui obiect revine la

necontradicția lui și atât!

Un element E=(t, x, y, z)∈M este numit un eveniment

punctual (≡ un "flash") care se produce în punctul (x, y, z) și la

momentul t. Două evenimente E și E=(𝑡′, 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) sunt fizic

conectabile, dacă există și se poate transmite semnal de la unul la

celălalt, adică distanța poate fi acoperită cu cel mult viteza

luminii, ((𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + (𝑧 − 𝑧′)2)1 2⁄ ≤ 𝑐 · |𝑡 − 𝑡′|, unde

c este viteza luminii. Dacă 𝐸′ = 𝟎ℝ4, evenimentul E este fizic

conectabil cu 0 ⇄ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑐2𝑡2 ≤ 0. Mulțimea

evenimentelor E fizic conectabile cu 0 în viitor (𝑡 > 0) este

C+={(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑀 |𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑐2𝑡2 ≤ 0, 𝑡 > 0}.

Această mulțime este numită sugestiv conul luminii sau

conul viitorului, cu vârful în 0; este imposibil de vizualizat. Cel

mult putem „contempla” secțiunea lui C+ cu hiperplanele y=0,

z=0, notată C+𝑠 , care este redată în figura 2.1. Pentru orice

57

eveniment E există câte un con al viitorului, în lungul

traiectoriilor.

Fig. 2.1

Nu extindem aceste dezvoltări, deoarece ne-am îndepărta

de scopul cărții. Menționăm, de asemenea, că o funcție reală

𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) de n variabile poate fi considerată ca o funcție de o

singură variabilă vectorială x=(𝑥1, … , 𝑥𝑛). De exemplu, dacă la

bordul unui automobil există 15 instrumente de măsură, se poate

considera ca evoluția acelui automobil este o funcție de 15

parametri reali. Așa s-a ajuns la parametri de stare și la studiul

evoluției în timp a stărilor, ceea ce a stimulat împletirea

geometriei multidimensionale cu concepte algebrice. Și totul a

plecat de la lărgirea viziunii asupra vectorilor!

Baze și digitalizarea vectorilor abstracți

Definiția 2.3: Fie V un spațiu vectorial real și k vectori

(abstracți) 𝑥1, … , 𝑥𝑘 ∈ 𝑉; 𝑘 ≥ 1. Se spune că acești vectori sunt

liniar independenți (≡formează o familie liniar independentă)

dacă din ipoteza că ∑ 𝛼𝑗𝑥𝑗 = 𝟎𝑉𝑘𝑗=1 , rezultă că toți scalarii 𝛼𝑗 sunt

nuli. De asemenea, se spune că vectorii 𝑥1, … , 𝑥𝑘 generează

spațiul V (≡ formează o familie de generatori), dacă orice vector

din V este o combinație liniară a lor.

58

Dacă vectorii 𝑥1, … , 𝑥𝑘 nu sunt liniar independenți, atunci

ei se numesc liniar dependenți; în acest caz, există scalari

𝛼1, … , 𝛼𝑘 , nu toți nuli, astfel încât ∑ 𝛼𝑗𝑥𝑗 = 𝟎𝑉𝑘𝑗=1 .

Exemple

1) Doi vectori nenuli din V2(P) sunt liniar independenți

⇄ dreptele suport ale lor sunt concurente neparalele. Trei vectori

nenului din V3 sunt liniar independenți ⇄ sunt necoplanari.

2) Fie 𝑉 = ℝ3[𝑋] mulțimea polinoamelor cu coeficienți

reali de grad cel mult 3. Polinoamele 𝑢1 = 𝑋3 + 2𝑋2, 𝑢2 =

𝑋2 și 𝑢3 = 𝑋3 + 𝑋2 sunt liniar dependente, deoarece 𝑢1 − 𝑢2 −

𝑢3 = 0.

Definiția 2.4: Un spațiu vectorial V se numește de

dimensiune finită dacă există o familie finită

ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑘}, (3)

formată din vectori liniar independenți și care generează

spațiul V.

Se poate arăta că spațiul V are mai multe baze diferite

(chiar o infinitate!), dar toate au același număr de vectori, numit

dimensiunea lui V; se scrie dim V=k.

Dacă dim V=k, k vectori liniar independenți (atâția cât

dimensiunea!) formează o bază; similar, k generatori formează

bază. Nu dăm detalii.

Exemple

1) Fie V=V2(P), unde planul P este raportat la un reper

cartezian ortonormal {O;e1,e2}.Vectorii e1, e2 formează o bază a

lui V2(P); căci dacă 𝛼𝐞1 + 𝛽𝐞2 = 𝟎, atunci rezultă 𝛼 = 0, 𝛽 = 0

iar relația (8) din § 1.2 arată că ei generează V2(P). Dar există o

infinitate de alte baze pentru V2(P); de exemplu, considerând

vectorii 𝐟1 = 𝐞1 + 𝑎𝐞2 și 𝐟2 = 𝐞1 + 𝐞2, cu 𝑎 ≠ 1.

59

2) Fie V=V3 și {O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} un reper cartezian

ortonormal în spațiu. Atunci ℬ = {𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} constituie o bază a

lui V3. Într-adevăr, dacă 𝛼1𝐞1 + 𝛼2 𝐞2 + 𝛼3 𝐞3 = 𝟎𝑉 și înmulțim

scalar cu 𝐞1, rezultă că 𝛼1 = 0 (căci 𝐞1 · 𝐞2 = 0, 𝐞1 · 𝐞3 = 0);

similar, înmulțind scalar cu 𝐞2 și cu 𝐞3, rezultă 𝛼2 = 0, 𝛼3 = 0.

Deci vectorii lui ℬ sunt liniar independenți. Apoi orice vector

v∈V3 este combinație liniară a vectorilor 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3 (relația (9) din

§ 1. 2). Așadar, dim V3=3. Similar, dim V2(P)=2.

3) În spațiul aritmetic n–dimensional ℝ𝑛, vectorii

𝐞𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 explicitați în (1) formează baza canonică [Dacă

∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘 = 𝟎𝑛𝑘=1 , atunci (𝑥1, … , 𝑥𝑛) = (0,… ,0) deci toți xk=0.

Apoi pentru orice x=(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛, 𝑥 = ∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘𝑛𝑘=1 .]. Așadar,

dim ℝ𝑛 = 𝑛.

4) Mulțimea polinoamelor de grad ≤ 𝑝 cu coeficienți reali

formează un spațiu vectorial de dimensiune p+1, cu baza

canonică ℬ = {1, 𝑋, 𝑋2, … , 𝑋𝑝}. De asemenea, mulțimea Mm, n a

matricelor 𝑚 × 𝑛 cu coeficienți reali este un spațiu vectorial de

dimensiune mn, cu baza ℬ = {𝑀𝑖𝑗}; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 unde

matricea 𝑀𝑖𝑗 are toate elementele nule, cu excepția celui situat pe

linia i și coloana j, care este egal cu 1. Spațiul Mn(ℝ) al matricilor

pătratice de ordin n are dimensiunea n2.

5) Iată și un exemplu insolit. Să notăm cu R, G, B culorile

numite de bază (R=roșu, având lungimea de undă

𝜆𝐑 ≅ 700,0 mm; G=verde, cu 𝜆𝐆 ≅ 546,1 mm și B=albastru, cu

𝜆𝐁 ≅435,8 mm). Pentru orice altă culoare F, o lege a lui

Grassmann arată că există și sunt unici scalarii a, b, c ∈ ℝ astfel

încât F=aR+bG+cB. Transmisiile TV în culori sunt de fapt

transmisiile adaptate pentru culorile de bază, cu

calibrările necesare.

60

În continuare, vom considera exclusiv spații vectoriale de

dimensiune finită. Reținem că dimensiunea este numărul maxim

de vectori liniar independenți; de asemenea, dim V este numărul

de condiții necesare și suficiente pentru a determina un element

al lui V.

Notă importantă

Existența unei baze ℬ = {𝐞1, . . . , 𝐞𝑛} într-un spațiu

vectorial V permite, între altele, „digitalizarea” vectorilor

abstracți. Anume, pentru orice 𝑥 ∈ 𝑉 există un set de scalari

𝑥1, … , 𝑥𝑛 astfel încât 𝑥 = ∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘𝑛𝑘=1 = 𝑥𝑘𝐞𝑘 (Einstein).

Acest set este unic, deoarece dacă x=∑ 𝛼𝑘𝐞𝑘𝑛𝑘=1 , atunci

∑ (𝑥𝑘 − 𝛼𝑘)𝐞𝑘𝑛𝑘=1 = 𝟎𝑉 și cum vectorii ek sunt liniar

independenți, rezultă 𝑥𝑘 − 𝛼𝑘 = 0, deci 𝑥𝑘 = 𝛼𝑘 pentru orice k.

În acest mod, vectorul abstract x se identifică prin setul

ordonat de scalari 𝑥1, … , 𝑥𝑛 , numite coordonatele (sau

componentele) lui x relativ la baza ℬ.

Ca atare, în loc de a manipula vectori, se prelucrează seturi

de numere asociate, perfect controlabile. Aceasta este o idee

fundamentală în proliferarea tehnicilor informatice; de exemplu,

domeniul Codificării sau cel al Recunoașterii Formelor

exploatează digitalizarea diverselor configurații (de exemplu,

electrocardiograme, recunoașterea vocii sau amprentelor, undele

seismice, undinele, codul genetic, codurile bancare sau militare

etc.).

61

§2.2. Transformări liniare

Transformare liniară, izomorfism

În unele probleme sau descrieri este necesar un anumit tip

de „transfer” de informație. De fapt, orice funcție 𝑓: 𝐴 → 𝐵,

𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) transferă date din A în B. De asemenea, multe

transformări geometrice – rotații, omotetii, scalări – trebuie

descrise numeric („digitalizat”).

Definiția 2.5: Fie V, W sunt două spații vectoriale (reale).

O funcție 𝑓: 𝑉 → 𝑊 se numește transformare liniară

(≡aplicație liniară) dacă pentru orice vectori x, y ∈ 𝑉 și orice

scalar , avem:

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) și 𝑓(𝛼𝑥) = 𝛼𝑓(𝑥). (4)

De aici rezultă că 𝑓(∑ 𝛼𝑘𝑥𝑘𝑛𝑘=1 ) = ∑ 𝛼𝑘𝑓(𝑥𝑘)

𝑛𝑘=1 pentru

𝑥𝑘 ∈ 𝑉 și 𝛼𝑘 scalari.

Înlocuind =0, rezultă că f (0V)=0W. Așadar, f „transferă”

informație de tip liniar (de exemplu, combinații liniare) de la V la

W. O transformare liniară 𝑓: 𝑉 → 𝑊 este bine determinată dacă

se cunosc valorile ei pe vectorii unei baze din V. Într-adevăr, fie

ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} o bază în V și 𝑦𝑖 = 𝑓(𝐞𝑖) ∈ 𝑊. Pentru orice

𝑥 ∈ 𝑉 avem o scriere unică 𝑥 = ∑ 𝑏𝑘𝐞𝑘𝑛𝑘=1 . Așadar, scalarii bk și

vectorii yi sunt cunoscuți. Atunci valoarea 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑏𝑘𝑓(𝐞𝑘)𝑛𝑘=1

va fi ea însăși cunoscută!

Definiția 2.6: Transformarea liniară 𝑓: 𝑉 → 𝑊 se numește

izomorfism dacă este și bijectivă.

Două spații vectoriale V, W se numesc izomorfe dacă se

poate stabili un izomorfism 𝑓: 𝑉 → 𝑊. În acest caz, inversa

𝑓−1 ∶ 𝑊 → 𝑉 este de asemenea un izomorfism.

62

Dacă ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} este o bază a lui V și 𝑓: 𝑉 → 𝑊 este

un izomorfism, atunci 𝑓(ℬ) = {𝑓(𝐞1),… , 𝑓(𝐞𝑛)} este o bază a lui

W. Se arată ușor că dacă două spații vectoriale sunt izomorfe,

atunci ele au aceeași dimensiune și reciproc.

Exemple

1) Orice spațiu vectorial V de dimensiune n este izomorf

cu ℝ𝑛; anume, fixând o bază ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} a lui V, aplicația

𝑓:ℝ𝑛 → 𝑉, 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = ∑ 𝑥𝑘𝐞𝑘 ≡ 𝑥𝑘𝐞𝑘

𝑛𝑘=1 este un izomorfism.

Aplicația f este bijecția lui Descartes.

2) Funcțiile 𝑓: 𝑉 → ℝ se numesc funcționale pe V.

Explicităm funcționalele liniare 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ și pentru aceasta, fie

ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} o bază a lui ℝ𝑛 (de exemplu, baza canonică).

Pentru orice 𝑥 ∈ ℝ𝑛, 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) avem 𝑥 = 𝑥𝑘𝐞𝑘

deci 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥𝑘𝐞𝑘) = 𝑥𝑘𝑓(𝐞𝑘). Notăm 𝑐𝑘 = 𝑓(𝐞𝑘) deci

𝑐𝑘 ∈ ℝ. Așadar, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = ∑ 𝑐𝑘𝑥𝑘 ≡ 𝑐𝑘𝑥

𝑘𝑛𝑘=1 .

Deci funcționalele liniare pe ℝ𝑛 sunt polinoame omogene

de gradul întâi în variabilele x1,...,xn.

3) Fie 𝑉 = C[𝑎,𝑏]∞ mulțimea funcțiilor indefinit derivabile

pe intervalul [a, b]. Operația de derivare 𝐷: 𝑉 → 𝑉, 𝑓 ↦ 𝑓′ este o

transformare liniară. De asemenea, luarea integralei 𝐼: 𝑉 → ℝ ,

𝑓 ↦ ∫ 𝑓(𝑡)d𝑡𝑏

𝑎 este o funcțională liniară. În acest caz, spațiul

vectorial V este infinit–dimensional și ne interesează mai puțin.

Transformări geometrice în plan

Fixăm un plan P. Se numește transformare geometrică

a lui P orice funcție bijectivă 𝑓: 𝑃 → 𝑃. Dacă 𝐴 ∈ 𝑃, atunci

punctul 𝐴′ = 𝑓(𝐴) se numește transformatul (≡imaginea) lui A

prin f, iar dacă 𝐹 ⊂ 𝑃 este o figură, 𝐹′ = 𝑓(𝐹) se numește

63

transformata (≡imaginea) figurii F. Transformările geometrice

care păstrează distanțele și măsurile unghiurilor se numesc

deplasări (≡transformări rigide). Translațiile, rotațiile, simetriile

față de drepte fixate sunt exemple de deplasări.

Exemple

1) Fiind dat un vector v ∈ V2(P), translația de vector v

este funcția bijectivă 𝜏𝐯 ∶ 𝑃 → 𝑃 care asociază oricărui punct 𝐴 ∈

𝑃 acel unic punct 𝐴′ ∈ 𝑃, astfel încât 𝐴𝐴′ =v; (fig. 2.2). Dacă v,

w∈V2(P), atunci:

𝜏𝐯 ∘ 𝜏𝐰 = 𝜏𝐯 + 𝐰 și (𝜏𝐯)−1 = 𝜏−𝐯.

Așadar, translația de vector w urmată de translație de

vector v are același efect cu translația de vector v+w.

Fig. 2.2

2) Fixăm un punct O∈P și un număr real . Rotația de

unghi în jurul lui O este funcția bijectivă 𝜌𝜃 ∶ 𝑃 → 𝑃 care

asociază oricărui punct 𝐴 ∈ 𝑃 acel unic punct 𝐴′ ∈ 𝑃 astfel încât

𝑂𝐴′ = 𝑂𝐴 și măs 𝐴𝑂𝐴′ = 𝜃; (fig. 2.3), pentru 𝜃 =𝜋

2. Rotația se

presupune în sens invers acelor de ceas. Pentru orice 𝜃, 𝜃′ avem:

𝜌𝜃 ∘ 𝜌𝜃′ = 𝜌𝜃+𝜃′ și (𝜌𝜃)−1 = 𝜌−𝜃.

64

Fig. 2.3

3) Fixăm 𝑘 > 0 și un punct O ∈ P. Omotetia de centru O

și raport k este funcția bijectivă 𝜔𝑘 ∶ 𝑃 → 𝑃 care asociază oricărui

punct A ∈ P acel unic punct A ∈ P astfel încât punctele O, A, A

să fie coliniare și OA =k OA; fig. 2.4 pentru k=2.

Fig. 2.4

Translațiile și rotațiile sunt deplasări și figura deplasată F

este congruentă cu originalul F; dar omotetiile, nu (pentru k≠1),

figura F fiind asemenea, dar nu congruentă cu F. Bineînțeles,

translațiile și rotațiile conservă distanțele, măsurile unghiurilor și

ariile. Omotetiile conservă unghiurile dar amplifică distanțele cu

k și ariile cu k2. Translațiile nu sunt transformări liniare (pentru că

nu duc O în O), dar rotațiile și omotetiile, da.

65

Fixăm acum un reper {O; 𝐞1, 𝐞2}≡ 𝑥𝑂𝑦 în planul P și fie

v=𝑣1𝐞1 + 𝑣2 𝐞2. Prin translația 𝜏𝐯, punctul M(x,y) este

transformat în 𝑀′(𝑥′, 𝑦′) astfel încât 𝑀𝑀′ =v.

Așadar (𝑥′ − 𝑥)𝐞1 + (𝑦′ − 𝑦)𝐞2 = 𝑣1𝐞1 + 𝑣2𝐞2, de

unde 𝑥′ = 𝑥 + 𝑣1, 𝑦′ = 𝑦 + 𝑣2. Aceste relații se mai numesc

formulele translației.

Introducând matricele:

𝑇𝐯 = (1 0 𝑣10 1 𝑣20 0 1

), 𝑋 = (𝑥𝑦1) , 𝑋′ = (

𝑥′𝑦′1

),

formulele translației se scriu matriceal astfel:

𝑋′ = 𝑇𝐯 · 𝑋.

Matricea Tv este inversabilă, având ca inversă 𝑇−𝐯 deci

𝑋 = 𝑇−𝐯 · 𝑋′ și explicit, 𝑥 = 𝑥′ − 𝑣1, 𝑦 = 𝑦′ − 𝑣2.

Prin rotația 𝜌𝜃, punctul curent M(x, y) este transformat în

𝑀′(𝑥′, 𝑦′) astfel încât 𝑂𝑀′ = 𝑂𝑀 și măs(𝑀𝑂𝑀′ )= 𝜃; fig. 2.5.

Fig. 2.5

Notând OM=𝑂𝑀′ = 𝑟 și 𝛼 = măs(𝑂𝑥, 𝑂��) rezultă:

𝑥′ = 𝑟 cos(𝜃 + 𝛼) = 𝑟(cos 𝜃 cos 𝛼 − sin 𝜃 sin 𝛼) și

𝑦′ = 𝑟 sin(𝜃 + 𝛼) = 𝑟(sin 𝜃 cos 𝛼 + cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝛼).

Așadar, au loc următoarele formule ale rotației:

𝑥′ = 𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃 , 𝑦′ = 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃. (5)

66

În mod explicit,

𝜌𝜃 ∶ ℝ2 → ℝ2, 𝜌𝜃(𝑥, 𝑦) = (𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin𝜃, 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃) (6)

și evident, 𝜌𝜃 este o transformare liniară.

Relațiile (5) se pot scrie matriceal, anume:

𝑋′ = 𝑅𝜃 · 𝑋, unde 𝑅𝜃 = (cos 𝜃 − sin 𝜃 0sin 𝜃 cos 𝜃 00 0 1

);

matricea 𝑅𝜃 este ireversibilă și (𝑅𝜃)−1 = 𝑅−𝜃 deci X=𝑅−𝜃 · 𝑋′.

În fine, prin omotetia 𝜔𝑘 a planului P, de raport k, în raport

cu O, punctul curent M(x, y) este transformat în 𝑀′(𝑥′, 𝑦′) unde

𝑥′ = 𝑘𝑥 , 𝑦′ = 𝑘𝑦. Așadar, 𝜔𝑘 ∶ ℝ2 → ℝ2, 𝜔𝑘 = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦) este

o transformare liniară. Relațiile anterioare pot fi scrise matriceal,

introducând matricea:

Ω𝑘 = (𝑘 0 00 𝑘 00 0 1

) ; anume 𝑋′ = Ω𝑘 · 𝑋 și 𝑋 = Ω1 𝑘⁄ · 𝑋′.

Exemple

1) Pentru a reprezenta conica 2x2+y2–4x+2y=0, efectuăm

translația 𝑥 = 𝑥′ + 1, 𝑦 = 𝑦′ − 1 (de vector v=e1 – e2, unind O

cu 𝑂′(1, −1)). După calcule, ecuația devine 2𝑥′2 + 𝑦′2 − 3 = 0.

Recunoaștem o elipsă având ecuația 𝑥′2

3 2⁄+𝑦′2

3− 1 = 0 relativ la

reperul 𝑥′𝑂′𝑦′, cu lungimile semiaxelor √3 2⁄ și √3; (fig. 2.6).

Fig. 2.6

67

2) Să considerăm un reper cartezian ortonormal

{O;𝐞1, 𝐞2}≡ 𝑥𝑂𝑦 și punctul A(4, 5). Determinăm coordonatele

𝑥′, 𝑦′ ale imaginii lui A după translația de vector v=3𝐞1 + 2𝐞2,

urmată de omotetia de raport k=2, în raport cu originea și rotația

de unghi 𝜋

5 în jurul originii. Cu notații transparente, avem:

(𝑥′𝑦′1

) = 𝑅𝜋 5⁄ · Ω2 · 𝑇𝐯 · (𝑥𝑦1) =

=

(

cos

𝜋

5− sin

𝜋

50

sin𝜋

5cos

𝜋

50

0 0 1)

· (2 0 00 2 00 0 1

) · (1 0 30 1 20 0 1

) · (4−51).

și se fac calculele produselor de matrice (care corespund

compunerilor succesive de transformări).

Notă importantă

Așa cum prin fixarea unei baze într-un spațiu vectorial V,

vectorii lui V pot fi afectați cu numere (prin extinderea

reprezentărilor vectorilor fizici relativ la repere carteziene de

coordonate, studiată în § 1. 2), tot astfel, transformările liniare

între spații vectoriale pot fi „digitalizate”, fiind asociate cu

anumite matrice.

Definiția 2.7: Fie 𝑓: 𝑉 → 𝑊 o transformare liniară (între

spații vectoriale de dimensiune finită). Fixăm o bază

ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} în V și o bază ℬ′ = {𝐟1, … , 𝐟𝑚} în W. Pentru orice

j,1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, vectorul 𝐞𝑗 al bazei va avea imaginea 𝑓(𝐞𝑗) în W și

acesta este o combinație liniară a vectorilor bazei ℬ′; așadar,

avem o scriere unică:

𝑓(𝐞𝑗) = ∑ 𝑎𝑖𝑗𝐟𝑖𝑛𝑖=1 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚. (7)

Matricea de tip m× 𝑛 astfel formată este notată:

𝑀𝑓ℬ,ℬ´ = (𝑎𝑖𝑗); 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

68

și numită matricea asociată lui f relativ la bazele ℬ,ℬ′.

Evident, 𝑀𝑓ℬ,ℬ´ = (𝑓(𝐞1)| 𝑓(𝐞2) | … | 𝑓(𝐞𝑛)), unde pe

coloane sunt trecute componentele scalare ale vectorilor

respectivi.

Definiția 2.8: Fie V un spațiu vectorial real. Se numește

operator liniar al lui V orice transformare liniară ℎ: 𝑉 → 𝑉 a

spațiului V în el însuși. Dacă ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} este o bază a lui V,

avem o scriere ℎ(𝐞𝑗) = ∑ 𝑎𝑗𝑖𝐞𝑖, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

𝑛𝑖=1 și matricea 𝑀ℎ

ℬ

astfel formată se numește matricea operatorului h relativ

la baza ℬ.

Evident, matricea 𝑀ℎℬ este pătratică de ordin n și

𝑀ℎℬ = 𝑀ℎ

ℬ,ℬ.

Exemple

1) Fie 𝑉 = ℝ3, 𝑊 = ℝ2 și 𝑓: 𝑉 → 𝑊, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

(5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧, − 2𝑦 + 3𝑧). f este o transformare liniară și

determinăm matricea lui f relativ la bazele canonice din ℝ2 și ℝ3.

Avem,

𝑓(𝐞1) = 𝑓(1, 0, 0) = (5, 0) = 5𝐟1 + 0𝐟2; apoi

𝑓(𝐞2) = 𝑓(0, 1, 0) = (3, −2) = 3𝐟1 − 2𝐟2 și

𝑓(𝐞3) = 𝑓(0, 0, 1) = (2, 3) = 2𝐟1 + 3𝐟2.

Atunci matricea lui f este o matrice 2 × 3; anume:

𝑀𝑓 = (𝑓(𝐞1)| 𝑓(𝐞2) | 𝑓(𝐞3)) = (5 3 20 −2 3

).

2) Fie V=ℝ2 și ℎ = 𝜌𝜃 operatorul de rotație în jurul

originii. Scriem matricea lui h relativ la baza canonică {𝐞1, 𝐞2}

din ℝ2; 𝐞1=(1,0) și 𝐞2=(0,1).

Conform (6), ℎ(𝐞1) = ℎ(1,0) = (cos 𝜃 , sin 𝜃); ℎ(𝐞2) =

ℎ(0,1) = (− sin 𝜃 , cos 𝜃) deci 𝑀ℎ = (cos 𝜃 − sin 𝜃sin 𝜃 cos 𝜃

).

69

3) Considerăm operatorul de derivare al spațiului

𝑉 = ℝ3[𝑋], relativ la baza canonică ℬ = {1, 𝑋, 𝑋2, 𝑋3} a lui V.

Notăm 𝒆1 = 1, 𝐞2 = 𝑋, 𝐞3 = 𝑋2, 𝐞4 = 𝑋

3.

Avem:

ℎ(𝐞1) = 0 = 0 · 𝒆1 + 0 · 𝐞2 + 0 · 𝐞3 + 0 · 𝐞4;

ℎ(𝐞2) = 1 = 1 · 𝐞1 + 0 · 𝐞2 + 0 · 𝐞3 + 0 · 𝐞4;

ℎ(𝐞3) = 2𝑋 = 0 · 𝐞1 + 2 · 𝐞2 + 0 · 𝐞3 + 0 · 𝐞4 și

ℎ(𝐞4) = 3𝑋2 = 0 · 𝐞1 + 0 · 𝐞2 + 3 · 𝐞3 + 0 · 𝐞4.

Atunci

𝑀ℎ = (

0 1 0 00 0 2 000

00

0 30 0

).

Notă: Menționăm o problemă fundamentală a teoriei

matricelor pătratice, anume cea a reducerii la forme mai simple,

prin folosirea vectorilor proprii. Dacă 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ), trebuie

determinată o matrice nesingulară 𝑇 ∈ 𝑀𝑛(ℝ) astfel încât

produsul 𝑇−1𝐴𝑇 să aibă o formă cât mai simplă (diagonală,

triunghiulară superior, forma Jordan etc.). În acest text, nu vom

folosi această disponibilitate.

§2.3. Matrice de trecere de la o bază la alta

Există situații când sunt necesare repere distincte și

stabilirea unor transferări de informații de la un reper la altul. De

exemplu, studiul mișcării unui satelit artificial în jurul Lunii

necesită un reper relativ la Lună; de asemenea, legătura cu

Pământul reclamă un reper relativ la Pământ. Este utilă stabilirea

regulilor de „trecere” de la un reper la altul.

70

Definiția 2.9: Fie V un spațiu vectorial real de dim n. Dacă

ℬ = {𝐞1, … , 𝐞𝑛} și ℬ = {��1, … , ��𝑛} sunt două baze ale lui V,

atunci pentru orice j, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 există scalari reali 𝑡𝑖𝑗, astfel încât:

��𝑗 = 𝑡𝑗𝑖𝐞𝑖, (sumă după i). (8)

Matricea pătratică de ordin n

𝑇 = (𝑡𝑗𝑖) , 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛

astfel formată, se numește matricea de trecere de la ℬ la ℬ.

De exemplu, ��1 = 𝑡11𝐞1 + 𝑡1

2𝐞2 +⋯+ 𝑡1𝑛𝐞𝑛 și

componentele lui ��1 formează coloana întâi a matricei T; similar,

componentele lui ��2 alcătuiesc coloana a doua a lui T etc. Dacă

��1 = 2��1, atunci 𝑡11 = 2, 𝑡1

2 = 0,… , 𝑡1𝑛 = 0.

Fie 𝑥 ∈ 𝑉 un vector (abstract) oarecare. El are reprezentări

(scrieri) unice relativ la cele două baze: 𝑥 = 𝑥𝑖𝐞𝑖 , 𝑥 = ��𝑗��𝑗.

Atunci:

𝑥𝑖𝐞𝑖 = ��𝑗��𝑗 =⏞

𝑐𝑓.(8)

��𝑗(𝑡𝑗𝑖𝐞𝑖) = (𝑡𝑗

𝑖��𝑗)𝐞𝑖 deci (𝑥𝑖 − 𝑡𝑗𝑖��𝑗)𝐞𝑖 = 0.

Deoarece vectorii 𝐞𝑖 sunt liniar independenți, rezultă că

parantezele sunt nule, deci:

𝑥𝑖 = 𝑡𝑗𝑖 ��𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. (9)

Notând:

𝑋 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛)T și �� = (��1, … , ��𝑛)T,

matricile–coloană ale coordonatelor lui x relativ la bazele ℬ și ℬ,

relațiile (9) se scriu matriceal condensat astfel:

𝑋 = 𝑇 · ��. (9´)

În mod similar (≡simetric), are loc relația �� = 𝑈 · 𝑋, unde

U este matricea de trecere de la ℬ la ℬ. Așadar, X=TUX și X fiind

arbitrar, rezultă că TU=In. Așadar, matricele T și U sunt

nesingulare și 𝑈 = 𝑇−1.

71

În mod explicit, dacă 𝑈 = (𝑢𝑗𝑖); 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛, atunci au loc

relațiile ��𝑖 = 𝑢𝑗𝑖𝑥𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

Reamintim că dacă A este o matrice de tip 𝑚× 𝑛 și B de

tip 𝑛 × 𝑝, atunci are sens produsul AB (de tip 𝑚 × 𝑝) și pentru

transpuse, (𝐴𝐵)T = 𝐵T𝐴T. În continuare, o matrice notată uzual

(aij) va fi notată (𝑎𝑗𝑖) cu indicele de linie la „etaj” și cel de coloană

la „subsol”.

Dacă A, B sunt matrice pătratice de ordin n și

A=(𝑎𝑗𝑖) , 𝐵 = (𝑏𝑗

𝑖), atunci AB =(𝑐𝑗𝑖) și 𝑐𝑗

𝑖 = 𝑎𝑘 𝑖𝑏𝑗

𝑘 (sumă după k).

Dacă AB=In=(𝛿𝑗𝑖), matricea unitate, atunci A este inversabilă și

𝐵 = 𝐴−1.

Dacă T=(𝑡𝑗𝑖) este inversabilă și U=(𝑢𝑗

𝑖) este inversa ei,

atunci au loc relațiile

𝑡𝑘𝑖 𝑢𝑗𝑘 = 𝛿𝑗

𝑖 și 𝑢𝑘𝑖 𝑡𝑗𝑘 = 𝛿𝑗

𝑖. (10)

Exemple

1) Fie ℬ = {𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} o bază carteziană ortonormală în

V3 și ℬ = {𝐞2, 𝐞1, 𝐞2 + 2𝐞3}. Arătăm că ℬ este o bază în V3 și

determinăm matricea de trecere de la ℬ la ℬ, precum și

coordonatele vectorului 𝐯 = 𝐞1 + 𝐞2 + 𝐞3 relativ la baza ℬ. Este

suficient să arătăm că vectorii bazei ℬ, adică ��1 = 𝐞2, ��2 = 𝐞1,

��3 = 𝐞2 + 2𝐞3 sunt liniar independenți; ori, dacă:

𝑎𝐞2 + 𝑏𝐞1 + 𝑐(𝐞2 + 𝟐𝐞3) = 0, atunci b=0, a+c=0,

2c=0 deci a=0, b=0, c=0. Apoi, X=(1, 1, 1)T;

��1 = 𝐞2 = 0 · 𝐞1 + 1 · 𝐞2 + 0 · 𝐞3,

��2 = 𝐞1 = 1 · 𝐞1 + 0 · 𝐞2 + 0 · 𝐞3 și

��3 = 0 · 𝐞1 + 1 · 𝐞2 + 2 · 𝐞3, deci

72

T=(0 1 01 0 10 0 2

);

Atunci:

𝐓−1 = (0 1 −1 2⁄1 0 00 0 1 2⁄

) și

𝑋′ = T−1 · 𝑋 = (1 2⁄ 1 1 2⁄ )T.

2) Fie V=V2(P)≅ ℝ2 raportat la reperul ortonormal

{𝑂, 𝐞1, 𝐞2} ≡ 𝑥𝑂𝑦 și ��𝑂�� sistemul de coordonate, având

versorii axelor ��1, ��2, obținut prin rotirea în jurul lui O, cu unghiul

𝜃, în sens pozitiv (fig. 2.7).

Fig. 2.7

Am văzut în §1.3 că: ��1 = 𝐞1 cos 𝜃 + 𝐞2 sin 𝜃 și ��2 =

𝐞1 cos (𝜃 +𝜋

2) +𝐞2 sin (𝜃 +

𝜋

2) = −𝐞1 sin 𝜃 + 𝐞2 cos 𝜃, deci

matricea de trecere de la baza ℬ = {𝐞1, 𝐞2} la baza ℬ = {��1, ��2}

este T=(cos 𝜃 − sin 𝜃sin 𝜃 cos 𝜃

), cu inversa:

𝑇−1 = (cos 𝜃 sin 𝜃− sin 𝜃 cos 𝜃

).

Dacă v ∈ 𝑉 este un vector care în baza ℬ se reprezintă prin

𝑣 = 𝑣1𝐞1 + 𝑣1𝐞2, atunci în baza ℬ va avea reprezentarea

𝑣 = ��1��1 + ��2��2, unde (��

1

��2) = 𝑇−1 (𝑣

1

𝑣2) deci:

��1 = 𝑣1 cos 𝜃 + 𝑣2 sin 𝜃 și

73

��2 = −𝑣1 sin 𝜃 + 𝑣2 cos 𝜃.

De exemplu, dacă v=3𝐞1 + 2𝐞2 și 𝜃 = 120°, atunci v1=3,

v2=2,�� 1 = 3 · (−1

2) + 2 · (

√3

2) ≅ 0,23; ��2 = −3 · (

√3

2) + 2 ·

(−1

2) ≅ −3,6.

Extindem acum conceptul de reper la spații

vectoriale generale.

Definiția 2.10: Dacă V este un spațiu vectorial real, se

numește reper în V (sau observator) orice pereche (a; ℬ)

formată dintr-un punct 𝑎 ∈ 𝑉 și o bază ℬ a lui V. Reperul se mai

numește sistem de coordonate atașat unui observator plasat în

punctul a.

În continuare, vom presupune că a=𝟎𝑉 ≡ 𝟎. Dacă ℬ și ℬ

sunt două repere și T este matricea de trecere de la ℬ la ℬ , atunci

pentru orice vector abstract 𝑥 ∈ 𝑉, matricele–coloană ale

coordonatele lui x relativ la cele două baze satisfac relația

𝑋 = 𝑇 · �� sau �� = 𝑇−1 · 𝑋.

Definiția 2.11: Se spune că două baze ℬ, ℬ sunt orientate

la fel, dacă determinantul matricei de trecere este strict pozitiv

(det T> 0).

Dacă ℬ = {𝐞1, 𝐞2, 𝑒3, … , 𝐞𝑛} și ℬ = {𝐞2, 𝐞1, 𝐞3, … , 𝐞𝑛}

(intervertind primii doi vectori), atunci determinantul matricei de

trecere este egal cu – 1, deci ℬ și ℬ nu sunt orientate la fel. Orice

altă bază a lui V este orientată la fel ca ℬ sau ca ℬ, deci bazele

ordonate ale spațiului V sunt împărțite în două clase disjuncte. A

fixa o orientare a spațiului V revine la a fixa una din cele

două clase.

74

Exemple

1) Dacă dim V=1, atunci sunt posibile două orientări,

prin versori: ℬ = {𝐞1} și ℬ={−𝐞1}. Orientarea unei drepte se

realizează fixând unul din cei doi versori opuși.

2) Dacă dim V=2 (de exemplu V este asimilat cu un plan

trecând prin originea unui reper cartezian 3D), a fixa o orientare

revine la a fixa o bază {𝐞1, 𝐞2}; cealaltă orientare corespunde

bazei {𝐞2, 𝐞1}. În exemplul legat de figura 2.7, cele două repere

erau orientate la fel.

3) În spațiul fizic 3D, alegerea unei orientări este legată

de particularitățile ființei umane; una din orientări este numită

„sinistrorsum” (regula mâinii stângi) și cealaltă este numită

„dextrorsum” (regula mâinii drepte). Astfel, un reper cartezian

ortonormal Oxyz de versori i, j, k astfel încât k=i×j este

sinistrorsum. Simetria în oglindă modifică orientarea.

Notă: În exemplul legat de figura 2.7, același vector v a

fost descris pentru doi observatori; se spune că acesta este punctul

de vedere pasiv („contemplativ”). Dar se pot considera un singur

observator {O; ℬ}, operatorul f=𝜌𝜃: 𝑉 → 𝑉 de rotație și vectorul

𝐯′ = 𝜌𝜃(𝐯) ≅⏞cf.(6)

0,23𝐞1 − 3,6𝐞2. Acesta este punctul de vedere

activ („participativ”).

§2.4. Componente contravariante și componente

covariante ale unui vector

Vom modifica notațiile și vom folosi în mod consecvent

convenția lui Einstein de notație a sumelor. Glumind, Einstein a

declarat că aceasta este singura lui contribuție în Matematică ...

75

Cazul 2D

Identificăm spațiul vectorial V2(P) cu ℝ2 și fixăm o bază

ℬ = {𝐠1, 𝐠2}, asociată cu un sistem cartezian de coordonate xOy,

nu neapărat ortonormal (fig. 2.8).

Fig. 2.8

Definiția 2.12: Baza reciprocă a lui ℬ este ℬr = {𝐠1, 𝐠2},

având proprietatea definitorie că produsele scalare satisfac

relațiile

𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 pentru 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2. (11)

Așadar, 𝐠1 ⊥ 𝐠2 și 𝐠2 ⊥ 𝐠1; apoi g

1·g1=1 ș i g

2·g2=1.

Deoarece 𝐠1 și 𝐠2 sunt nenuli și liniar independenți (adică

necoliniari), la fel vor fi vectorii 𝐠1 și 𝐠2 perpendiculari pe ei.

Definiția 2.13: Considerăm pentru 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2, produsele

scalare:

𝑎𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 ; 𝑎𝑗𝑖 = 𝑎𝑖𝑗. (12)

Matricea simetrică G=(𝑎𝑖𝑗) ∈ 𝑀2(ℝ) se numește

matricea Gram a bazei ℬ.

Notând 𝛿 = det𝐺 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎122 , rezultă 𝛿 ≠ 0

deoarece 𝛿 = ‖𝐠1 × 𝐠2‖2.

Explicităm vectorii 𝐠1, 𝐠2. Scriind 𝐠1 = 𝑎𝐠1 + 𝑏𝐠2 și

înmulțind scalar cu 𝐠1 și apoi cu 𝐠2, rezultă relațiile:

76

1 = 𝑎 · 𝑎11 + 𝑏 · 𝑎12,

0 = 𝑎 · 𝑎12 + 𝑏 · 𝑎22,

de unde rezultă a=1

𝛿𝑎22 și 𝑏 = −

1

𝛿𝑎12.

În mod similar, scriind 𝐠2 = 𝑐𝐠1 + 𝑑𝐠2 și înmulțind

scalar cu 𝐠1, 𝐠2 , rezultă 𝑐 = −1

𝛿𝑎12 și 𝑑 =

1

𝛿𝑎11.

În final,

𝐠1 =1

𝛿(𝑎22𝐠1−𝒂𝟏𝟐𝐠2),

𝐠2 =1

𝛿(−𝑎12𝐠1+𝑎11𝐠2). (13)

Conform (13), rezultă că matricea de trecere de la baza ℬ

la baza ei reciprocă ℬr este:

𝑇 =1

𝛿(𝑎22 −𝑎12−𝑎12 𝑎11

); inversa ei este:

𝑇−1 = (𝑎11 𝑎12𝑎12 𝑎22

) = 𝐺. (14)

Deci matricea de trecere de la ℬr la ℬ este tocmai

matricea Gram a lui ℬ.

Așa cum am mai spus, vectorii sunt entități independente

de reper (numite „absolute”). Doar componentele lor scalare

relativ la o bază fixată depind de acea bază. Fie v ∈ V2(𝑃) un

vector liber oarecare, având o copie cu punctul de aplicație în O.

Definiția 2.14: Vectorul v are o scriere unică relativ la

baza ℬ și o altă scriere unică relativ la baza reciprocă ℬr; anume

v=𝑣1𝐠1+𝑣2𝐠2 = 𝑣

𝑘𝐠𝑘 (sumă după k) (15)

și similar,

v=𝑣1𝐠1 + 𝑣2𝐠

2 = 𝑣𝑘𝐠𝑘. (16)

Componentele scalare 𝑣𝑘 se numesc contravariante (sau

componente–etaj), iar 𝑣𝑘–covariante (sau componente–

subsol).

77

Pentru determinarea componentelor contravariante, se

înmulțește scalar relația (15) cu 𝐠1 și cu 𝐠2; rezultă:

𝑣1 = 𝐯 · 𝐠1 și 𝑣2 = 𝐯 · 𝐠2. (17)

În mod similar, pentru determinarea componentelor

covariante, se înmulțește relația (16) scalar cu 𝐠1 și 𝐠2:

𝑣1 = 𝐯 · 𝐠1 și 𝑣2 = 𝐯 · 𝐠2. (18)

Așadar, au loc reprezentările:

𝐯 =(𝐯 · 𝐠𝑘)𝐠𝑘 și 𝐯 = (𝐯 · 𝐠𝑘)𝐠𝑘 (sume după k). (19)

Reținem următoarea procedură algoritmică pentru

determinarea bazei reciproce și componentelor covariante sau

contravariante.

Dată o bază ℬ = {𝐠1, 𝐠2} în ℝ2 (sau V2(P)), se urmează pașii:

Pasul 1. Se determină produsele scalare 𝑎𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 ,

1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2;

Pasul 2. Se determină matricea Gram G și inversa ei;

Pasul 3. Relațiile (13) se scriu matriceal:

(𝐠1

𝐠2) = 𝐺−1 (

𝐠1𝐠2)și se deduc vectorii bazei reciproce;

Pasul 4. Fixând un vector v, componentele lui

contravariante sunt 𝑣𝑘 = 𝐯 · 𝐠𝑘, iar componentele covariante

sunt 𝑣𝑘 = 𝐯 · 𝐠𝑘 pentru k=1, 2.

Exemple

1) Dacă ℬ = {𝐞1, 𝐞2} este baza canonică (sau orice altă

bază carteziană ortonormală în plan), atunci G=I2 (matricea

unitate), g1=g1=e1 și g2=g

2=e2 deci ℬr = ℬ. În acest caz,

componentele contravariante coincid cu cele covariante și cu cele

inițiale.

78

2) Fie ℬ = {g1,g

2} o bază în ℝ2; g1=(1,3) și g2=(4,0).

Atunci a11=g1·g1=10, a12=a21=g1·g2=4 și a22=g2·g2=16. Atunci

matricea Gram este G=(10 44 16

) și inversa ei este:

𝐺−1 =1

144(16 −4−4 10

).

Apoi

(𝐠1

𝐠2) = 𝐺−1 (

𝐠1𝐠2).

Deci:

𝐠1 =1

144(16𝐠1 − 4𝐠2) =

1

36(4𝐠1 − 𝐠2) și

𝐠2 =1

144(−4𝐠1 + 10𝐠2).

În mod explicit, 𝐠1 = (0,1

3) și 𝐠2 = (

1

4, −

1

12) și baza

reciprocă este ℬr = {𝐠1, 𝐠2}.

Să considerăm acum vectorul v=(1,2) din ℝ2.

Componentele lui contravariante sunt:

𝑣1 = 𝐯 · 𝐠1 =2

3, 𝑣2 = 𝐯 · 𝐠2 =

1

12;

iar cele covariante sunt:

𝑣1 = 𝐯 · 𝐠1 = 7 și 𝑣2 = 𝐯 · 𝐠2 = 4.

Interpretarea geometrică a componentelor contravariante

și covariante

Fiind dat reperul oarecare în plan ℛ={O; 𝐠1, 𝐠2} și

vectorul v=𝑂𝐶 , ducem CA (respectiv CB) paralele cu suportul lui

𝐠2 (respectiv 𝐠2). Din paralelogramul OACB, rezultă

descompunerea v=𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 = 𝑣1𝐠1 + 𝑣2𝐠2 și astfel se obțin

componentele contravariante 𝑣1, 𝑣2 ale lui v (fig. 2.9). Apoi

vectorul 𝐠1 al bazei reciproce este perpendicular pe 𝐠2 și

79

𝐠2 ⊥ 𝐠1. Prin punctul C ducem paralele CE la 𝐠2 și CF la 𝐠1. Din

paralelogramul OECF rezultă descompunerea v=𝑂𝐸 + 𝑂𝐹 =

𝑣1𝐠1 + 𝑣2𝐠

2 și scalarii v1, v2 sunt componentele covariante ale lui

v relativ la reperul ℛ considerat. Pentru determinare efectivă,

trebuie urmată procedura menționată anterior.

Fig.2.9

Cazul 3D

Fie acum ℛ={O;𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} un reper cartezian oarecare în

spațiul 𝑆 ≅ ℝ3 și baza ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3}.

Definiția 2.14: Baza reciprocă a lui ℬ este

ℬr = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3}, având proprietatea definitorie:

𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 pentru 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3. (20)

Așadar, pentru 𝑖 ≠ 𝑗, vectorul 𝐠𝑗 este perpendicular pe

𝐠𝑖. Vectorii 𝐠1, 𝐠2, 𝐠3 se mai numesc reciprocii lui 𝐠1, 𝐠2, 𝐠3.

În acest caz, folosind produsele mixte, vectorii 𝐠𝑗 se

exprimă direct. Notăm G=(𝐠1, 𝐠2, 𝐠3), determinantul

componentelor scalare ale vectorilor bazei ℬ; desigur G≠0

(deoarece vectorii 𝐠𝑖 nu sunt coplanari). Atunci

considerăm vectorii:

𝐠1 =1

𝐺(𝐠2 × 𝐠3), 𝐠

2 =1

𝐺(𝐠3 × 𝐠1), 𝐠

3 =1

𝐺(𝐠1 × 𝐠2). (21)

80

Se verifică ușor, folosind proprietățile PM, cele 9 relații (20).

Definiția 2.15: Dacă v ∈ 𝑉3 este un vector oarecare, avem

scrieri unice:

v=𝑣𝑘𝐠𝑘 și 𝐯 = 𝑣𝑘𝐠𝑘, (22)

similare cu (15) și (16). Componentele covariante și

contravariante ale lui v sunt:

𝑣𝑘 = 𝐯 · 𝐠𝑘 și 𝑣𝑘 = 𝐯 · 𝐠𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 3. (23)

Dacă baza ℬ este ortonormală (adică 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = δ𝑖𝑗 pentru

orice i, j), atunci 𝐠𝑘 = 𝐠𝑘 pentru 1 ≤ 𝑘 ≤ 3 și ℬr = ℬ.

Notă: Reținem că oricărei baze ℬ i se asociază o bază

reciprocă ℬr; nu există „reciprocul unui vector”, ci setului de

vectori din baza ℬ i se asociază un set de reciproci.

Din acest moment, vectorii pot fi gândiți nu doar ca

„săgeți cu mărime și direcție”; apoi, nu vorbim de vectori

covarianți sau contravarianți, ci de componente covariante sau

contravariante ale unui vector. Acesta este un pas important în

abordarea și stăpânirea conceptului de tensor.

81

CAPITOLUL 3: CÂTEVA APLICAȚII

MECANICE ALE VECTORILOR

Vom da câteva exemple semnificative, unde vectorii sunt

utilizați în mod esențial și eficient. În acest mod, se poate câștiga

încrederea în conceptele prezentate, în posibilitatea de a rezolva

probleme și apoi de a aborda studii mai complexe.

§3.1. Lucru mecanic

Un automobil utilizează în deplasare forța de tracțiune

datorată motorului; se spune că efectuează lucru (mecanic). La fel

se întâmplă dacă ridicăm un obiect sau dacă împingem un dulap

în cameră. Dar forța de greutate a unui dulap sau greutatea unui

obiect care atârnă nu fac lucru mecanic.

O aplicație importantă a PS este expresia lucrului efectuat

de o forță care acționează asupra unui obiect sau corp. Mulți elevi

răspund automat că „lucrul este egal cu forța înmulțită cu

distanța”. Această afirmație este relativ corectă numai dacă forța

ar fi coliniară cu direcția de deplasare a obiectului. Vom mai

întâlni PS și în studiul câmpului electromagnetic.

Definiția 3.1: Lucrul mecanic (pe scurt, lucrul) al unei

forțe F în lungul unui vector deplasare d este produsul scalar:

L=F·d=Fd cos 𝛼, (1)

unde 𝛼 = măs(𝐅, ��).

Dacă 𝛼 este unghi obtuz, atunci 𝐿 < 0. Dacă 𝛼 = 0°,

adică forța F are punctul de aplicație deplasat pe distanța d, în

82

același sens, atunci L=F·d („forța × deplasarea”). Dacă F ⊥d,

atunci L = 0, deoarece cos 90° = 0.

Lucrul se măsoară în Jouli [J]; 1J ≡ 1Nm este lucrul

efectuat de o forță cu mărimea 1N, al cărei punct de aplicație se

deplasează cu 1 m.

Dacă forța F are mărimea constantă și acționează în lungul

unui interval [a, b] pe o axă, atunci L=F·(b–a), adică aria

dreptunghiului hașurat din figura 3.1.

Fig. 3.1

Dar dacă F este o forță variabilă având mărimea F(x) în

punctul ei x de aplicație, atunci lucrul lui F în lungul intervalului

[a, b] este numeric egal cu aria trapezului curbiliniu hașurat în

figura 3.2, mărginit în planul xOy de curba y=F(x), axa Ox și

paralelele duse la axa Oy prin capetele intervalului.

Fig. 3.2

83

Așadar,

L = ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥𝑏

𝑎 . (2)

Justificarea formulei (2) este aceea că lucrul este o mărime

aditivă de domeniu (în sensul că lucrul efectuat în lungul

reuniunii a două sau mai multe intervale disjuncte este suma

lucrurilor pe intervalele separate); temperatura sau umiditatea nu

sunt mărimi aditive de domeniu. Lucrul L al forței variabile este

limita sumei lucrurilor ∑ 𝐹(𝑥𝑘)𝑛𝑘=1 (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘) pe subintervalele

unei diviziuni ale intervalului [a, b] deci (2).

În unele considerații, este util conceptul de lucru

elementar dL al unei forțe F, exprimat ca PS dintre F și

„vectorul–deplasare” dr; anume, dL=F·dr. În Fizică se adoptă din

rațiuni didactice unele concepte ideale; de exemplu, particulă sau

mobil cu masă, dar 0–dimensional, sarcină electrică punctuală

etc. Tot astfel, vectorul–deplasare dr este o ficțiune fizico–

matematică, fiind un vector având mărimea infinitezimală (!?) și

direcția nedeterminată.

Lucrul L al unei forțe F în lungul unei curbe plane C este

„suma lucrurilor elementare” și se exprimă printr-o integrală

curbilinie; L=∫ 𝐅 · d𝐫𝐶

. Dar nu mai dăm detalii.

Exemple

1) Lucrul efectuat prin ridicarea unei mase m la înălțimea

h este L=G·h=mgh. Dar lucrul greutății în raport cu vectorul h

orientat în sus este L=G·h=𝑚𝑔ℎ · cos 180° = −𝑚𝑔ℎ; așadar,

căderea unei pietre nu face lucru!

2) Lucrul unei forțe elastice variabile Fe(x)=3x, pentru

𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], este L=∫ 𝐹e(𝑥)d𝑥𝑏

𝑎=3

2(𝑏2 − 𝑎2).

84

3) Pe un plan înclinat cu unghiul 𝛼 față de orizontală, un

corp (punctual) cu masa m coboară din poziția A în poziția B;

(fig. 3.3).

Fig. 3.3

Determinăm lucrul forței de frecare pe distanța d dintre

cele două poziții. Acest lucru trebuie să fie negativ, deoarece forța

de frecare se opune mișcării. Componenta normală la plan a

greutății mg a corpului este N=mgcos 𝛼 și forța de frecare este

Ffr=kN (k fiind coeficientul de frecare pe plan). Atunci lucrul

cerut este L=Ffr·d=𝑘𝑚𝑔 cos 𝛼 · 𝑑 · cos 180° = −𝑘𝑚𝑔𝑑 cos 𝛼.

Notă: În limbaj uzual, se spune că un sistem fizic „are

energie”, dacă el poate efectua lucru. Energia unui sistem este o

mărime fizică măsurată în J, exprimând tocmai capacitatea

sistemului de a efectua lucru. În cazul sistemelor mecanice, se

vorbește de energie mecanică; aceasta este de două tipuri: cinetică

(≡ de mișcare) și potențială (≡ de poziție). Energia cinetică a unui

corp cu masa m și viteza v este scalarul 𝑚𝑣2

2. O teoremă

fundamentală afirmă că variația energiei cinetice între două stări

ale unui corp aflat în mișcare de translație este egală cu lucrul

rezultantei forțelor care acționează asupra acelui corp,

între cele două stări.

85

§3.2. Echilibrul unui solid rigid

Legea pârghiilor

Statica este acea parte a Mecanicii care studiază echilibrul

forțelor care acționează asupra corpurilor solide rigide, care nu se

deformează, putând fi deplasate (adică translatate sau rotite) fără

a fi modificate distanțele dintre puncte.

Există trei axiome ale staticii:

I. Două forțe care acționează asupra unui corp K realizează

echilibrul dacă ele au punctele de aplicație situate pe aceeași

dreaptă–suport și sunt de tipul F, –F; punctele de aplicație pot fi

deplasate pe acea dreaptă–suport (fig. 3.4).

Fig. 3.4

II. Dacă mai multe forțe care acționează asupra unui corp sunt

în echilibru, atunci rezultanta (≡suma) lor este nulă; așadar,

fiecare forță este egală ca mărime și de sens opus cu rezultanta

celorlalte.

III. Dacă două forțe 𝐅1, 𝐅2 care acționează asupra unui corp K au

un punct comun de aplicație, atunci ele pot fi înlocuite cu suma

lor R=𝐅1 + 𝐅2 (fig. 3.5).

86

Fig. 3.5

În Statică se aplică aceste principii și mai puțin faptul că

un vector ar fi egal cu o copie translatată a lui, așa cum se

consideră în Geometria analitică. Folosind aceste principii, se

poate demonstra o teoremă veche, celebra „lege a pârghiilor” a

lui Arhimede: „Fiind date punctele distincte A, B ca puncte de

aplicație ale forțelor paralele și având același sens 𝐅1 ∥ 𝐅2,

rezultanta R=𝐅1 + 𝐅2 este paralelă cu forțele și are punctul de

aplicație în acel unic punct S (numit punct de sprijin) situat pe

segmentul [AB], astfel încât SA·F1=SB·F2 (fig. 3.6) (SA este brațul

forței 𝐅1, iar SB–brațul forței 𝐅2).

Fig. 3.6

În cazul când 𝐅1 ∥ 𝐅2 dar au sens contrar și 𝐹1 > 𝐹2,

punctul de sprijin S este situat pe prelungirea dreptei AB, mai

aproape de forța mai mare, astfel încât SA·F1=SB·F2 (fig. 3.7).

87

Fig. 3.7

Dacă 𝐅2 = −𝐅1 și suporturile lor sunt diferite, atunci se

spune că avem un cuplu de forțe; în acest caz, corpul K se rotește

în jurul mijlocului segmentului [AB].

Se cunosc multiple aplicații ale legii pârghiilor, la tot felul

de mașini și mecanisme simple.

Noțiunile de „echilibru” și „lucru” pot părea

contradictorii. O forță efectuează lucru doar dacă este aplicată

unui punct aflat în mișcare, iar echilibrul sugerează tocmai lipsa

mișcării. Deoarece forța musculară a omului este prea limitată,

s-au inventat multe dispozitive care ne amplifică forța. Nu se pot

uita cuvintele lui Arhimede: „Dați-mi un punct de sprijin și voi

muta Pământul”. Dar pentru a muta Pământul cu 1 m, brațul

pârghiei respective trebuia să fie enorm! Niciun mecanism nu

poate da vreun câștig de lucru sau energie și „ce se câștigă în forță,

se pierde în distanță!”, conform legii conservării energiei.

Așadar, produsul scalar a fost utilizat în mod esențial

pentru a defini conceptul de lucru. În continuare, reamintim o

utilizare spectaculoasă a produsului vectorial.

Definiția 3.2: Momentul unei forțe F=𝐴𝐵 în raport cu un

punct „fixat” O este produsul vectorial:

M(O)=𝑂𝐴 × 𝐅. (3)

88

M(O) este un vector perpendicular atât pe vectorul de

poziție 𝐫𝐴 = 𝑂𝐴 al punctului de aplicație al forței F, cât și pe

vectorul F. Mărimea lui este egală cu OA·F·sin 𝛼 = 𝐹 · 𝑂𝑂′,

unde 𝑂𝑂′ ⊥ 𝐴𝐵 (fig. 3.8).

Fig. 3.8

Sensul vectorului M(O) este dat de „regula burghiului” sau

„a mâinii drepte”. Dacă A′ este un alt punct situat pe

dreapta–suport AB a lui F, atunci M(O)=𝑂𝐴′ ×F (deoarece

𝑂𝐴′ = 𝑂𝐴 + 𝐴𝐴′ și 𝐴𝐴′ ×F=0). Așadar, F poate „aluneca” pe

suportul ei, fără a modifica momentul în raport cu O.

Distanța d = 𝑂𝑂′ de la O la suportul forței se numește

brațul forței. Așadar, ‖𝐌(𝑶)‖ = forța × brațul.

Exemplu

Momentul rezultant al unui cuplu F, −F (unde F=𝐴𝐵 și

– 𝐅 = 𝐶𝐷 ) în raport cu un punct O nu depinde de acel punct; într-

adevăr, 𝑂𝐴 × 𝐅 + 𝑂𝐶 × (−𝐅) = (𝑂𝐴 − 𝑂𝐶 ) × 𝐅 = 𝐶𝐴 ×F și

acest produs vectorial nu depinde de O.

Dacă mai multe forțe acționează asupra unui corp, atunci

suma momentelor lor în raport cu un punct se numește momentul

rezultant. Se poate arăta că „dacă forțele au suporturile fie

concurente în același punct fie paralele, atunci momentul

89

rezultant al lor este egal cu momentul rezultantei acelor forțe”

(teorema lui Varignon).

Teorema condițiilor de echilibru

Reamintim că un solid rigid se află în echilibru dacă sub

acțiunea tuturor forțelor care acționează asupra acelui solid, el nu

își modifică poziția față de un reper fix (sau inerțial). O particulă

este în echilibru ⇄ rezultanta R a tuturor forțelor care acționează

asupra ei este nulă. Acest fapt este valabil și pentru un solid rigid

care ar putea fi doar translatat (nu și rotit) pe o suprafață

orizontală sau pe un plan înclinat.

Are loc următoarea:

TEOREMĂ: „Presupunem că toate forțele care

acționează asupra unui solid rigid sunt coplanare. Solidul se află

în echilibru ⇄ rezultanta forțelor este nulă și suma momentelor

forțelor relativ la un punct este nulă”.

Aplicând momentele, se poate face un studiu unitar al

echilibrului „pârghiilor”, ca solide rigide (bare) asupra cărora

acționează două forțe paralele – forța rezistentă R și forța activă

F; suma forțelor R, F și a reacției sprijinului este nulă și în plus,

barele respective se pot roti în jurul unui punct de sprijin S. În

funcție de poziția punctelor de aplicație ale forțelor față de S,

avem trei tipuri de pârghii:

a. S situat între punctele de aplicație ale forțelor coliniare

și cu același sens R și F (fig. 3.9 a)); pentru echilibru, suma

momentelor lui F și R în raport cu S este nulă, adică

𝑆𝐴 × 𝐅 + 𝑆𝐵 × 𝐑 = 0. Explicitând, regăsim legea lui Arhimede:

𝐹 · 𝑏𝐹 = 𝑅 · 𝑏𝑅 (brațul unei forțe este distanța de la punctul de

sprijin la suportul forței); similar pentru celelalte două cazuri:

90

b. R are punctul de aplicație între S și punctul de aplicație

al lui F, iar R și F au sens contrar (fig. 3.9 b));

c. F are punctul de aplicație între S și punctul de aplicație

al lui R și F, R au sens contrar (fig. 3.9 c)).

Fig. 3.9

Exemplu

Un corp aflat pe un plan înclinat se poate cel mult translata

(fig. 3.10).

Fig. 3.10

Condiția de echilibru este ca rezultanta forțelor care

acționează asupra corpului să fie nulă, adică G+N+Ffr=0, cu

notații transparente. Înmulțind scalar cu versorul orizontal u,

rezultă 0+N·1·cos(90° + 𝛼) + 𝐹fr · 1 · cos 𝛼 = 0, adică:

91

−𝑁 sin𝛼 + 𝑘𝑁 cos 𝛼 = 0; regăsim condiția tg𝛼 = 𝑘

(unde k este coeficientul de frecare pe plan). Dacă tg𝛼 > 𝑘, forța

de frecare este înfrântă și corpul alunecă pe plan.

Centrul de greutate al unui solid rigid

Orice particulă de masă m din această cameră este atrasă

spre centrul Pământului cu forța gravitațională

G=m·g (≡greutatea particulei). Orice corp solid K este alcătuit

din particule Pi având mase 𝑚𝑖 (număr imens, dar finit!) și masa

corpului este 𝑀 = ∑ 𝑚𝑖𝑖 , iar greutatea lui este

G=∑ (𝑚𝑖𝐠)𝑖 = 𝐠∑ 𝑚𝑖𝑖 = 𝑀𝐠; am presupus că g≅9,81 m/s2 este

o constantă. Punctul de aplicație al forței G este numit centrul de

greutate al corpului K, notat GK. Corpul K este omogen dacă

masa lui M este distribuită uniform, în sensul că dacă numărul

componentelor Pi este N, atunci 𝑚𝑖 =𝑀

𝑁 pentru orice i.

Pentru un corp omogen de masă M și volum V, se

definește densitatea lui de volum 𝜌 =𝑀

𝑉 (măsurată în kg/m3 ); în

cazul unei bare omogene 1D, se definește densitatea liniară

𝜌 =𝑀

ℓ (ℓ=lungimea barei), iar în cazul unei plăci omogene,

𝜌 =𝑀

𝐴 (A=aria plăcii).

Revenim la cazul unui corp solid omogen K având masa

M și alcătuit din N particule Pi. Considerând un referențial O și

notând 𝐫𝑖 = 𝑂𝑃 𝑖, vectorul de poziție al particulei Pi, se poate arăta

că vectorul de poziție al centrului de greutate GK este:

𝑂𝐺 𝐾 =1

𝑀∑ 𝑚𝑖𝐫𝑖𝑖 =

1

𝑀∑

𝑀

𝑁𝐫𝑖𝑖 =

1

𝑁∑ 𝐫𝑖𝑖 . (4)

În cazul când corpul omogen K are o axă de simetrie,

centrul de greutate GK aparține acelei drepte, iar dacă K are un

92

centru de simetrie, atunci GK va fi tocmai acel punct. În studiul

echilibrului unui corp solid, este util de calculat momentul forței

de greutate în raport cu centrul de greutate.

Exemplu

Pentru o bară omogenă K, centrul de greutate GK se află la

mijlocul barei și pentru o placă omogenă triunghiulară, GK se află

în punctul de intersecție a medianelor și în plus, pentru orice

referențial 𝑂, 𝑂𝐺 𝐾 =1

3(𝐫1 + 𝐫2 + 𝐫3), media aritmetică a

vectorilor de poziție ai vârfurilor triunghiului. Pentru un corp

conic circular drept omogen K, GK este situat pe înălțimea

conului, la trei pătrimi de vârf.

Fie K un corp solid așezat pe o față plană P (≡ suprafața

de sprijin). Se spune că echilibrul lui K este stabil dacă, după

„mici intervenții” asupra corpului, acesta revine la poziția

anterioară. Astfel, o prismă omogenă ca în figura 3.11, pentru care

centrul de greutate GK se proiectează în interiorul suprafeței de

sprijin hașurate, se află în echilibru stabil. Este și cazul celebrului

turn din Pisa.

Fig. 3.11

93

§3.3. Mișcarea pe un plan înclinat

Studiul planului înclinat oferă o bună ocazie pentru a

vedea rolul vectorilor în descrierea unor mișcări uzuale ale

obiectelor. Bineînțeles, considerăm un model idealizat al planului

înclinat, abstras din observarea diverselor rampe, piste de ski sau

bob, drumuri în pantă etc.

Definiția 2.3: Planul înclinat este o suprafață plană care

formează cu planul orizontal un unghi ascuțit (de măsură 𝛼).

Ne propunem să studiem mișcarea unei cutii de masă m

pe o suprafață plană orizontală. Asupra cutiei acționează

greutatea G și forța de reacție a suportului N= – G. În cazul când

cutia este deplasată (bineînțeles sub acțiunea unei anumite forțe),

apare o forță orizontală de frecare Ffr care se opune mișcării,

având mărimea kN, unde k este coeficientul de frecare; acesta

depinde de suprafață și este determinabil experimental.

Dacă însă cutia se deplasează pe un plan înclinat (cu 𝛼),

atunci G trebuie descompusă în două componente vectoriale, una

𝐆1 în lungul planului și alta 𝐆2 perpendiculară pe plan (fig. 3.12).

Fig. 3.12

Așadar, G=𝐆1 + 𝐆2. Reacția planului înclinat este

N=−𝐆2. Mărimile vectorilor considerați sunt: G=mg, G1=Gsin 𝛼

și G2=Gcos 𝛼.

94

Notă: Există convenții, uneori subînțelese, alteori omise.

Astfel, automobilul, schiorul sau cutia sunt asimilate cu o

particulă (sau cu un mobil zero dimensional) și se neglijează

rezistența aerului; de asemenea, punctul de aplicație al greutății G

este chiar centrul de masă C al cutiei.

Alegem un reper ortonormal {C; i, j}≡ 𝑥𝐶𝑦, cu axa Cx de

versor i îndreptată în lungul planului spre coborâre și Cy cu

versorul j pe direcția normală. Totdeauna se recomandă axele

legate de sensul mișcării (fig. 3.13).

Fig. 3.13

Componentele scalare ale lui G sunt 𝐺𝑥 = 𝐺 sin 𝛼,

𝐺𝑦 = −𝐺 cos 𝛼 și 𝐺 = 𝑚𝑔.

Atunci G=𝐺𝑥𝐢 + 𝐺𝑦𝐣 = 𝑚𝑔(sin 𝛼 𝐢 − cos 𝛼 𝐣). În lipsa

frecării, forțele care acționează asupra cutiei sunt greutatea G și

reacția planului de sprijin N=Nj și rezultanta lor este:

R=G+N=𝑚𝑔 sin 𝛼 𝐢 + (N −mg cos 𝛼)𝐣.

Dar 𝑁 = 𝐺 cos 𝛼 = 𝑚𝑔 cos 𝛼 deci R=mg sin 𝛼i.

Pe de-altă parte, legea a II-a a dinamicii lui Newton arată

că R=ma deci a=1

𝑚𝐑 =

1

𝑚(𝑚𝑔 sin 𝛼 𝐢) = 𝑔𝐢 sin 𝛼. Ca atare, în

lipsa frecării sau a tracțiunii în sus, accelerația mișcării are același

sens cu versorul i, independent de masă. Mărimea accelerației

95

este a=gsin 𝛼, strict mai mică decât accelerația gravitațională g

(deoarece sin 𝛼 < 1).

Cunoscând accelerația (constantă) a, se determină diverse

elemente ale mișcării – viteze, durate etc. Reamintim formulele

mișcării rectilinii uniform accelerate; cu notații transparente, dacă

viteza inițială a cutiei într-o anumită poziție este 𝑣0, atunci viteza

la momentul t este 𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎𝑡, iar drumul parcurs până la

momentul t este 𝑠(𝑡) = 𝑣0𝑡 +𝑎𝑡2

2. Notând cu 𝑣1 viteza cutiei într-

o poziție aflată la distanța d de poziția inițială, rezultă

𝑣1 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, deci 𝑡 = 𝑣1−𝑣0

𝑎 și d=𝑣0 ·

𝑣1−𝑣0

𝑎+1

2𝑎 · (

𝑣1−𝑣0

𝑎)2

și

după calcule, 𝑑 =𝑣12−𝑣0

2

2𝑎. Această relație se poate obține și

aplicând „teorema variației energiei cinetice” (diferența

energiilor cinetice este egală cu lucrul efectuat):

𝑚𝑣12

2−𝑚𝑣0

2

2= 𝐹𝑑 = 𝑚𝑎𝑑.

Exemplu

Dacă alunecarea cutiei se produce pe o rampă cu lungimea

d=3 m, înclinată cu 𝛼 = 20° față de orizontală și pornește din

vârful rampei cu viteza 𝑣0 = 0, atunci accelerația va fi

a=g· sin 𝛼 ≅ 9,81 · sin 20 ° ≅ 3,36 m/s2; viteza finală (la baza

rampei) va fi 𝑣1 = √2𝑎𝑑 = √2 · 3,36 · 3 ≅4,5 m/s. Iar durata

mișcării va fi t = 𝑣1−𝑣0

𝑎≅1,3 s.

Acum să introducem în discuție frecarea, ceea ce revine la

a ține cont de încă o forță. Frecarea operează în două regimuri:

frecarea statică descrie cât trebuie împins un obiect staționar

pentru a-l deplasa; frecarea cinetică apare după ce obiectul se

mișcă și se opune mișcării. În cazul planului înclinat, forța de

frecare Ffr este coliniară cu componenta 𝐆1 și are mărimea kN

96

deci Ffr=−𝑘𝑁𝐢 = −𝑘𝑚𝑔 cos 𝛼i. În acest caz, rezultanta forțelor

va fi R+Ffr=mg(sin 𝛼 − 𝑘 cos 𝛼)i și accelerația mișcării va fi

𝑎 =𝑅

𝑚= 𝑔(sin 𝛼 − 𝑘 cos𝛼). Efectul frecării este acela că

accelerația mișcării este mai mică și durata mișcării mai mare.

Exemple

1) Reluăm exemplul anterior, presupunând k=0,2. Atunci

a=9,81(sin 20° -0,2 cos 20°) ≅1,51 m/s2 și 𝑣1 = √2𝑎𝑑 ≅3,0 m/s;

durata mișcării va fi de circa 2 s.

2) Pe o rampă se află un corp de masă m. Ce forță trebuie

să acționeze asupra corpului în următoarele situații:

a) corpul să se deplaseze uniform accelerat în sus;

b) corpul să fie menținut în repaus;

c) corpul să fie deplasat în sus cu accelerația a1;

d) corpul să alunece în jos cu accelerația a1?

Răspuns

a) 𝑚𝑔(sin𝛼 + 𝑘 cos 𝛼);

b) 𝑚𝑔(sin𝛼 − 𝑘 cos 𝛼);

c) 𝑚[𝑎1 + 𝑔(sin 𝛼 + 𝑘 cos 𝛼)];

d) 𝑚[𝑎1 − 𝑔(sin 𝛼 − 𝑘 cos 𝛼)].

3) Estimăm randamentul unui plan înclinat și considerăm

un corp cu greutatea G care trebuie ridicat la înălțimea h. Lucrul

util este Lu=Gh; lucrul consumat Lc este lucrul forței de tracțiune

pe lungimea ℓ a planului deci Lc=(𝐺 sin 𝛼 + 𝑘𝐺 cos 𝛼) · ℓ.

Randamentul este numărul adimensional:

𝜂 =𝐿u

𝐿c=

ℎ

ℓ(sin𝛼+𝑘 cos𝛼)=

sin𝛼

(sin𝛼+𝑘 cos𝛼)=

1

1+𝑘 ctg𝛼.

Întrebare: Cum se determină experimental coeficientul de

frecare k? Iată un răspuns: Se așează o cutie paralelipipedică pe o

scândură netedă, dar nu unsă! Se ridică încet, la un capăt

97

scândura, până ce bătând ușor în scândură, să se asigure

deplasarea uniformă a cutiei. Greutatea cutiei plus reacțiunea

sprijinului au valoarea 𝑚𝑔 sin 𝛼, iar valoarea forței de frecare

este 𝑘𝑚𝑔 cos 𝛼. Cutia începe să alunece dacă

mgsin 𝛼 ≥ 𝑘𝑚𝑔 cos 𝛼 deci 𝑘 ≤ tg 𝛼. Se consideră măsura

minimă a unghiului 𝛼 când cutia începe să alunece. Atunci k=tg𝛼.

§3.4. Mișcarea curbilinie 2D și mișcarea circulară

uniformă

Reamintim că dacă la fiecare moment t, se notează cu 𝑠(𝑡)

drumul parcurs pe o axă de un mobil (≡ particulă) până la

momentul t, atunci se definește viteza 𝑣(𝑡) ca fiind limita

limℎ→0

𝑠(𝑡+ℎ)−𝑠(𝑡)

ℎ, adică derivata 𝑠′(𝑡). Accelerația particulei la

momentul t este 𝑣′(𝑡) = 𝑠′′(𝑡). Aceste noțiuni se extind la cazul

mobilelor constrânse să se miște pe anumite curbe în plan

sau în spațiu.

Vectori tangenți

Arătăm acum virtuțile vectorilor în studiul mișcărilor

curbilinii 2D sau 3D. În mod concret, considerăm un mobil

(≡particulă) situată pe o curbă (C) dintr-un plan raportat la un

reper cartezian ortonormal plan {O;𝐞1, 𝐞2}≡xOy; presupunem că

la fiecare moment t, dintr-un interval de timp I, mobilul se află în

punctul 𝑀(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)); (fig. 3.14).

98

Fig. 3.14

Vectorul său de poziție este:

r(𝑡) ≡ 𝑂𝑀 = 𝑥(𝑡)𝐞1 + 𝑦(𝑡)𝐞2. (5)

Curba (C) este presupusă netedă (continuă, având

tangentă în fiecare punct și fără autointersecții). Relațiile:

𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), pentru orice 𝑡 ∈ 𝐼 (6)

se numesc ecuațiile parametrice ale curbei (C). Eliminând

parametrul t, se obține o relație de forma F(x,y)=0, care este

ecuația carteziană a curbei (C).

Fixăm un moment 𝑡0 ∈ 𝐼 și fie 𝑀0 ∈(C) poziția

corespunzătoare a mobilului. Așadar,

𝑀0(𝑥(𝑡0), 𝑦(𝑡0)) deci 𝑀0𝑀 = 𝑂𝑀 − 𝑂𝑀0 = 𝐫(𝑡) − 𝐫(𝑡0),

conform (5).

Pentru 𝑡 ≠ 𝑡0 , rezultă:

1

𝑡−𝑡0𝑀0𝑀 =

1

𝑡−𝑡0(𝐫(𝑡) − 𝐫(𝑡0)) =

𝑥(𝑡)−𝑥(𝑡0)

𝑡−𝑡0𝐞1 +

𝑦(𝑡)−𝑦(𝑡0)

𝑡−𝑡0𝐞2.

Pentru t tinzând spre t0, rezultă că punctul M tinde spre

M0, iar dreapta–coardă M0M tinde spre tangenta la curba (C) în

punctul M0. La limită, rezultă relația între derivate:

r′(𝑡0) = 𝑥′(𝑡0)𝐞1 + 𝑦′(𝑡0)𝐞2.

Acest vector este coliniar cu tangenta în punctul M0 la

curba (C). El este notat v(𝑡0) și numit totodată vectorul–viteză al

mobilului M la momentul t0.

99

Definiția 3.4: Pentru orice 𝑡 ∈ 𝐼, vectorul:

v(t)≡ 𝐫′(𝑡) = 𝑥′(𝑡)𝐞1 + 𝑦′(𝑡)𝐞2 (7)

este vectorul–viteză la momentul t. El este tangent în punctul M

la curba (C), adică are direcția tangentei la curba (C) în punctul

curent M al curbei. Momentele t, când v(t)=0, se numesc de

repaus.

În cazul unui cerc, tangenta într-un punct al cercului este

perpendiculară pe raza respectivă; în cazul unei drepte, tangenta

este acea dreaptă, dar la alte curbe, singurul raționament este cel

anterior, care apelează la limita coardelor și la derivarea

vectorului de poziție pe componente.

Curba (C) se mai numește traiectoria mobilului curent.

Se studiază și traiectorii spațiale, pe curbe 3D raportate la repere

ortonormale Oxyz. Curbele din spațiu sunt fie date parametric,

adăugând la relațiile (6) încă o ecuație de tipul z=z(t), fie ca

intersecție a două suprafețe (de exemplu, cercuri privite ca

intersecții ale unor sfere cu plane sau secțiunile conice – elipse,

parabole sau hiperbole obținute din intersecția unui con circular

drept cu diverse plane). Din nou, dacă o curbă în spațiu este dată

parametric, prin r=r(t), atunci derivata r′(𝑡) are direcția tangentei

la curbă, în punctul corespunzător.

Exemplu

Fie curba (C): x=2t+3, y=𝑡2 + 𝑡 și 𝑡0 = 1.

Atunci r(𝑡) = (2𝑡 + 3)𝐞1 + (𝑡2 + 𝑡)𝐞2, r′(𝑡) = 2𝐞1 +

(2𝑡 + 1)𝐞2 și 𝐫′(𝑡0) = 2𝐞1 + 3𝐞2. Eliminând t, se obține ecuația

𝑦 = (𝑥−3

2)2

+𝑥−3

2=1

4(𝑥2 − 4𝑥 + 3) și recunoaștem un trinom

de gradul al doilea, deci ecuația unei parabole.

Se poate considera mai departe vectorul–accelerație la

momentul t, anume a(t)=v′(𝑡) = 𝒓′′(𝑡). Viteza scalară este

100

𝑣(𝑡) = ‖𝐯(𝑡)‖ și accelerația scalară este 𝑎(𝑡) = ‖𝐚(𝑡)‖ pentru

orice 𝑡 ∈ 𝐼.

Atenție: în timp ce a(𝑡) = 𝐯′(𝑡), se poate întâmpla ca

a(𝑡) ≠ 𝑣′(𝑡), așa cum arată exemplul următor.

Exemplu

Presupunem că la orice moment t, un mobil se află în

punctul 𝑀(𝑡2 − 4𝑡, 𝑡2 + 1). Determinăm vectorul–viteză,

vectorul–accelerație, viteza scalară și accelerația scalară la orice

moment.

Avem r(t)=(𝑡2 − 4𝑡)𝐞1 + (𝑡2 + 1)𝐞2 deci

v(𝑡) = 𝐫′(𝑡) = (2𝑡 − 4)𝐞1 + 2𝑡𝐞2 și

𝐚(𝑡) = 𝐯′(𝑡) = 2𝐞1 + 2𝐞2.

Apoi,

𝑣(𝑡) = √(2𝑡 − 4)2 + 4𝑡2 și 𝑎(𝑡) = 2√2.

Mișcarea circulară uniformă

Fie (C) cercul cu centrul în origine și raza R (R>0). Îi

atașăm reperul ortonormal {O;𝐞1, 𝐞2}≡ 𝑥𝑂𝑦. Presupunem că un

mobil este identificat cu punctul curent M(x, y), care satisface

condiția OM=R, deci √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅. Așadar, ecuația cercului

este 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑅2 = 0. Fie 𝑀𝑀′ ⊥ 𝑂𝑥 și A punctul de intersecție

dintre OM ′ și (C); (fig. 3.15).

Fig. 3.15

101

Definiția 3.5: Mișcarea mobilului M pe cercul (C) este

numită uniformă dacă în intervale de timp egale, mobilul

parcurge arce de cerc egale (≡congruente). Se notează cu T durata

unei singure rotiri complete (numită perioada mișcării) și cu f

numărul de rotații pe secundă (f se numește frecvența mișcării

sau turația).

Așadar, aplicând regula de trei simplă: în T [s] mobilul

face 1 rotație, deci în 1 s, va face f=1

𝑇 rotații. Atunci în timpul t,

mobilul face n=t·f rotații.

Mobilul M se deplasează pe cerc cu viteză constantă v și

parcurge lungimea 2𝜋𝑅 a cercului în T secunde. Atunci:

𝑣 =2𝜋𝑅

𝑇. (8)

Notăm cu 𝜔 măsura unghiului la centru al cărui arc este

parcurs în 1s. Atunci în t secunde, mobilul parcurge un arc de

măsură 𝜔𝑡 și lungime 𝑅𝜔𝑡. În T secunde (cât perioada), mobilul

parcurge o singură dată întregul cerc deci 𝑅𝜔𝑇 = 2𝜋𝑅, de unde

𝜔 =2𝜋

𝑇= 2𝜋𝑓 și ca atare, conform (8),

𝑣 = 𝑅𝜔. (9)

Așadar, dacă arcul AM este parcurs în t secunde, atunci

măsura lui este 𝜔𝑡 și aceeași măsură (în radiani) o va avea și

unghiul 𝐴𝑂��. Numărul 𝜔>0 se numește accelerația unghiulară

(constantă) a mișcării (presupusă în sens invers acelor de

ceasornic). Din triunghiul 𝑂𝑀𝑀′, rezultă:

𝑥(𝑡) = 𝑅 cos𝜔𝑡 ș𝑖 𝑦(𝑡) = 𝑅 sin𝜔𝑡 (𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2).

Acestea sunt ecuațiile parametrice ale cercului (C). Cercul

este parcurs o singură dată pornind din punctul A și revenind tot

în A dacă 0 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 2𝜋; așadar, parametrul t variază de la 0 la T.

Vectorul de poziție al mobilului M va fi:

102

r(𝑡) = 𝑅 cos𝜔𝑡 𝐞1 + 𝑅 sin𝜔𝑡 𝐞2 , pentru 𝑡 ∈ [0, 𝑇].

Vectorul-viteză este:

𝐯(𝑡) = 𝐫′(𝑡) = −𝑅𝜔 sin𝜔𝑡 𝐞1 + 𝑅𝜔 cos𝜔𝑡 𝐞2;

mărimea lui, adică v(t), se numește viteza liniară a mobilului.

Evident,

𝑣(𝑡) = ‖𝐯(𝑡)‖ = √𝑅2𝜔2sin2𝜔𝑡 + 𝑅2𝜔2cos2𝜔𝑡 = 𝑅𝜔

și regăsim formula (9). Apoi vectorul–accelerație este:

𝐚(𝑡) = 𝐯(𝑡)′ = −𝑅𝜔2 cos𝜔𝑡 𝐞1 − 𝑅𝜔2 sin𝜔𝑡 𝐞2 , care

este egal tocmai cu −𝜔2r(t).

Accelerația scalară a mobilului este:

𝑎(𝑡) = ‖𝐚(𝑡)‖ = ‖−𝜔2𝐫(𝑡)‖ = 𝑅𝜔2 = 𝑅 (𝑣

𝑅)2

=𝑣2

𝑅.

Reținem că vectorii–viteză și accelerație sunt variabili

(depinzând de t), dar mărimile lor sunt constante (fiind

independente de t); anume,

𝑣 = 𝑅𝜔 și 𝑎 =𝑣2

𝑅= 𝑅𝜔2. (10)

Deoarece v(𝑡) = 𝑂𝑀 și r′(𝑡) are direcția tangentei în M

la cercul (C), rezultă că r′(𝑡) ⊥ 𝐫(𝑡), deci vectorul–viteză este

perpendicular pe vectorul de poziție, la orice moment t. Apoi

a(𝑡) = −𝜔2𝐫(𝑡), deci vectorul–accelerație este coliniar cu r(𝑡) și

este orientat pe rază cu sensul spre centru.

Din aceste motive, viteza v(𝑡) =r′(𝑡) se mai numește

tangențială, iar accelerația a(𝑡) se numește centripetă (radială

sau normală); (fig. 3.16). Viteza scalară v=R𝜔 se numește

liniară (sau periferică).

103

Fig. 3.16

Notă: Frecvența f se măsoară în Hz (1 Hz=1 s–1 ); 𝜔 se

măsoară în rad/s. Notând cu 𝛼(𝑡) măsura unghiului la centru

𝐴𝑂��, atunci viteza unghiulară este derivata 𝜔(𝑡) = 𝛼′(𝑡). În

cazul mișcării circulare uniforme, avem:

𝛼(𝑡) = 𝜔𝑡 și 𝛼′(𝑡) = 𝜔, constantă.

Exemplu

Presupunem că în mișcarea circulară uniformă pe un cerc

de centru O și rază R=2 m, un mobil M se deplasează astfel încât

vectorul său de poziție 𝑂𝑀 se rotește cu unghiul 𝜋

2 în 3s.

Determinăm viteza periferică și accelerația.

Așadar, o rotație completă se face în T=12s deci conform

(9), 𝜔 =2𝜋

𝑇=𝜋

6.

Atunci v=R𝜔 =𝜋𝑅

6≅1,04 m/s și a=

𝑣2

𝑅=0,54 m/s2.

Vectorul viteză al unui solid rotitor

Rotirea unui solid rigid K în spațiu (de exemplu, un

tambur) poate fi descrisă printr-un vector w având direcția axului

de rotație și mărimea egală cu viteza unghiulară 𝜔 a rotației;

sensul va fi precizat mai jos. Fie 𝑀 ∈ 𝐾 un punct al solidului, aflat

la distanța d de ax. Atunci viteza sa liniară v este, conform (9),

104

egală cu 𝜔𝑑. Alegem un punct referențial O pe ax. Vectorul de

poziție al punctului M este 𝑂𝑀 =r; figura 3.17. Notând cu 𝜃

unghiul dintre vectorii w și r, rezultă:

𝑣 = 𝜔𝑑 = ‖𝐰‖ · 𝑑 = ‖𝐰‖ · 𝑟 sin 𝜃 = ‖𝐰 × 𝐫‖.

Sensul vectorului w este ales astfel încât vectorul–viteză

v cu punctul de aplicație M să fie egal tocmai cu produsul

vectorial 𝐰× 𝐫. Formula:

v=𝐰× 𝐫 (11)

este utilizată pentru a determina viteza v în orice punct al corpului

K. Unii autori numesc w ca fiind vectorul–viteză tangențială și

îl notează cu 𝛚. Așadar, v=𝛚× 𝐫.

Fig. 3.17

Notă:

În Mecanică se studiază mișcări curbilinii mai complexe

și mișcări circulare neuniforme, nu numai ale particulelor dar și

ale solidelor sau fluidelor. Scopul nostru declarat a fost acela de

a ilustra câteva aplicații în care vectorii sunt indispensabili. Am

văzut că ei reprezintă forțe – greutatea, frecarea, forțe elastice; am

vorbit de componente ale vectorilor și de viteze sau accelerații ale

105

diverselor mișcări. În practica uzuală, accelerația este privită ca

„viteza de variație a vitezei”; astfel, la un automobil avem trei

acceleratoare – pedala cu care modificăm viteza scalară, frâna

(decelerare) ce produce o variație în lungul tangentei la traiectorie

și rotirea volanului, care produce o variație radială a direcției

automobilului, independentă de viteza scalară. Toate acestea

necesită abordări mai subtile, în care rolul vectorilor este

amplificat, ajungând la câmpuri de vectori variabili în spațiu și

timp. Cu ajutorul acestora, se descriu nu numai fenomene

mecanice, dar și fenomene electrice sau magnetice, care

constituie o altă fațetă a realității fizice.

106

107

CAPITOLUL 4: CÂMPURI DE VECTORI

ȘI APLICAȚII ÎN

ELECTROMAGNETISM

În capitolele anterioare, am studiat vectori liberi,

considerați în diverse situații. Denumirea de „liberi” provine de

la faptul că punctul de aplicație poate fi oriunde, adică un vector

liber are o copie cu punctul de aplicație în orice punct prescris. În

acest capitol, vom considera câmpuri de vectori; un câmp de

vectori este o familie de vectori legați. De asemenea, ne vom

referi la câmpuri scalare care sunt în fond funcții de mai multe

variabile (reale).

§4.1. Câmpuri de vectori, linii de câmp

Câmp de vectori, câmp scalar

Stările principale ale materiei supuse unor acțiuni sau

forțe sunt cele de substanță (în cazul acțiunii „directe”) și de

câmp (pentru acțiuni „la distanță”). În substanțe, materia este

concentrată, bine localizată și adeseori, la vedere. În cazul

câmpurilor, materia este delocalizată, relativ ascunsă organelor de

simț, dar capabilă să transmită interacțiuni „prin contingență”.

Definiția 4.1: A defini (≡a considera) un câmp de vectori

(≡câmp vectorial) într-o regiune D din spațiul fizic S revine la

a asocia oricărui punct 𝑀 ∈ 𝐷 un vector având punctul de

aplicație în M. Mai precis, un câmp de vectori este o aplicație:

𝐯: 𝐷 → 𝑉3, 𝑀 ↦ 𝐯(𝑀) , (1)

108

sau echivalent, o familie de vectori legați {v(M)}, 𝑀 ∈ 𝐷,

indexată după punctele regiunii D; (fig. 4.1).

Fig. 4.1

Dacă spațiul S este raportat la un reper cartezian

{O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} de versori 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3, atunci punctul curent

𝑀(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) din D este bine definit prin vectorul său de poziție

𝑂𝑀 = 𝑥𝑖𝐞𝑖 (sumă după i) și:

𝐯(𝑀) = 𝐯(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑃𝑘(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝐞𝑘 (2)

(sumă după k), unde funcțiile 𝑃𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 3, presupuse continue,

se numesc componentele scalare ale câmpului vectorial v.

Definiția 4.2: Un câmp scalar în regiunea D este o funcție

continuă 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), 𝜑 ∶ 𝐷 → ℝ , prin care fiecărui punct

𝑀 ∈ 𝐷 i se asociază un scalar 𝜑(𝑀) ≡ 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3).

Așadar, un câmp de vectori echivalează (relativ la un

reper) cu trei câmpuri scalare.

Notă: Ideea de câmp a fost introdusă în secolul al XIX-lea

de Faraday și apoi dezvoltată de Maxwell. Acum știm că suntem

străbătuți sau înconjurați de diverse câmpuri – gravitațional,

electromagnetic, termic, al radiației solare etc.

În continuare, nu vom mai menționa explicit regiunea D

în care acționează câmpurile considerate.

109

Cele spuse anterior au loc în plan. Dacă {O; 𝐞1, 𝐞2} este

un reper cartezian 2D într-un plan P, atunci punctul curent

𝑀(𝑥1, 𝑥2) are vectorul de poziție rM=𝑥1𝐞1 + 𝑥2𝐞2; un câmp de

vectori este de forma v(𝑀) = 𝑃1(𝑥1, 𝑥2)𝐞1 + 𝑃2(𝑥

1, 𝑥2)𝐞2. Un

câmp scalar este o funcție 𝜑(𝑥1, 𝑥2) cu valori reale.

Exemple

1) Se poate considera câmpul vectorilor de poziție

r=r(𝑀) ≡ 𝑂𝑀 relativ la un reper plan {O; 𝐞1, 𝐞2} deci r=𝑥𝑘𝐞𝑘;

fig. 4.2. Același lucru în spațiu, relativ la un reper {O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3}.

Fig. 4.2

În acest caz, din nou r=𝑥𝑘𝐞𝑘 (sumă după k, pentru 1 ≤ 𝑘 ≤ 3);

(fig. 4.3).

Fig. 4.3

2) Funcția definită prin 𝜑(𝑀)=temperatura în M sau

𝜓(𝑀)=umiditatea în M sunt exemple de câmpuri scalare.

110

Dacă 𝜑: 𝐷 → ℝ este un câmp scalar și a o constantă

reală, mulțimea {𝑀 ∈ 𝐷|𝜑(𝑀) = 𝑎} se numește suprafața de

nivel a a câmpului 𝜑. Evident, suprafețele de nivele diferite sunt

disjuncte. În cazul câmpului scalar al temperaturilor, suprafețele

de nivel sunt izotermele.

3) În figura 4.4 este redat un câmp de vectori normali la o

suprafață Σ (deci perpendiculari pe planele tangente

corespunzătoare).

Fig. 4.4

4) Am văzut că rotirea unui solid rigid K (de exemplu un

tambur) poate fi descrisă printr-un vector 𝛚 având direcția axului

de rotație (fig. 3.17). Conform formulei (11) din § 3.4, pentru

orice punct 𝑀 ∈ 𝐾, vectorul–viteză v cu punctul de aplicație

în M este:

v=𝛚 × 𝐫 (2’)

unde r este vectorul de poziție al lui M relativ la un punct

referențial O situat pe ax.

În acest mod, se poate considera câmpul vectorilor–viteză

ai punctelor solidului K (aici D=K).

Tot astfel, putem vorbi de câmpul vitezelor moleculelor

oricărui fluid (gaz sau lichid).

111

Linii de câmp

Definiția 4.3: Fie v un câmp de vectori. Se numește linie

de câmp al lui v orice curbă 𝛾 care este netedă (≡având tangentă

în fiecare punct și fără autointersecții), care are proprietatea

definitorie că pentru orice punct 𝑀 ∈ 𝛾, vectorul v(M) al

câmpului, având punctul de aplicație în M, este tangent la 𝛾

chiar în M.

În figura 4.5 redăm mai multe linii de câmp 𝛾, 𝛾1, 𝛾2 ale

aceluiași câmp v. Presupunem îndeplinite condițiile matematice

de continuitate sau netezime (≡derivabilitate), care asigură că

prin fiecare punct trece o singură linie de câmp; așadar, orice două

linii de câmp distincte nu se intersectează.

Fig. 4.5

Liniile de câmp indică orientarea vectorilor câmpului. Ne

amintim de experimentul cu pilitura de fier răsfirată pe o masă

orizontală și care, la apropierea unui magnet, se regrupează pe

niște curbe închise.

Reamintim că în lungul unei curbe dată parametric r=r(t),

direcția tangentei este cea a derivatei 𝐫′(𝑡) =𝑑𝐫

d𝑡 a vectorului de

poziție (conform §3.4). Dacă v=𝑃𝑘𝐞𝑘 (conform (2)) este un câmp

de vectori, atunci în fiecare punct M al unei linii de câmp, 𝐫′(𝑀)

112

este coliniar cu v(M); ca atare, v=𝑃𝑘𝐞𝑘 și vectorul–deplasare

dr=(d𝑥𝑘)𝐞𝑘 au componentele scalare proporționale, adică:

d𝑥1

𝑃1=d𝑥2

𝑃2=d𝑥3

𝑃3. (3)

Aceste relații formează sistemul diferențial al liniilor de câmp.

În cazul unui câmp de vectori bidimensional v, având

componentele 𝑃1(𝑥1, 𝑥2) și 𝑃2(𝑥

1, 𝑥2), liniile de câmp sunt curbe

situate în planul 𝑥1𝑂𝑥2, în lungul cărora,

d𝑥1

𝑃1=d𝑥2

𝑃2, (4)

relație numită ecuația diferențială a liniilor de câmp.

Exemple

1) Dacă r este câmpul plan al vectorilor de poziție, atunci

r=𝑥1𝐞1 + 𝑥2𝐞2 și ecuația (4) devine

d𝑥1

𝑥1=d𝑥2

𝑥2. Prin integrare,

rezultă ln|𝑥1| = ln|𝑥2| + ln 𝐶, deci 𝑥1 = 𝐶𝑥2, cu C constantă

arbitrară. Recunoaștem o familie de semidrepte având capătul în

origine; în acest caz, D=ℝ2\{(0, 0)}.

În cazul câmpului vectorilor de poziție din spațiu, sistemul

(3) devine d𝑥1

𝑥1=d𝑥2

𝑥2=d𝑥3

𝑥3; prin integrare, rezultă:

𝑥1 = 𝐶1𝑥2 și 𝑥2 = 𝐶2𝑥

3, cu 𝐶1, 𝐶2 constante arbitrare.

Recunoaștem din nou o familie de semidrepte în spațiu

având capătul în origine, situate în regiunea D=ℝ3\{(0, 0, 0)}.

2) Pentru câmpul plan al vectorilor v=𝑥2𝐞1 − 𝑥1𝐞2,

ecuația (4) devine d𝑥1

𝑥2=

d𝑥2

−𝑥1. Atunci 𝑥1d𝑥1 + 𝑥2d𝑥2 = 0 și prin

integrare, (𝑥1)2 + (𝑥2)2 = 𝐶. Recunoaștem o familie de cercuri

cu centrul în origine.

În figura 4.6, redăm valorile câmpului v cu punctul de

aplicație în punctele A(2,1), B(1,2), C(0,1), D (−1,0) și E(√5,0).

113

Evident, v(A)=𝐞1 − 2𝐞2, v(B)=2𝐞1 − 𝐞2, v(C)=𝐞1,

v(D)=𝐞2, v(E)=−√5𝐞2. Sunt figurate și două linii de câmp:

cercurile 𝛾1 (tangent la vectorii v(A), v(B), și v(E)) și 𝛾2 (tangent

la v(C) și la v(D)).

Fig. 4.6

3) Să reluăm exemplul câmpului v=w×r al vitezelor

punctelor solidului rotitor din figura 3.17. Alegem reperul

cartezian ortonormal 𝑂𝑥1𝑥2𝑥3 de versori 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3 astfel încât

vectorul 𝛚, adică axa de rotație să aibă direcția axei 𝑂𝑥3, adică

𝛚 = 𝑎𝐞3 cu a real nenul.

Atunci,

v=𝛚 × 𝐫 = 𝑎𝐞3 × (𝑥1𝐞1 + 𝑥

2𝐞2 + 𝑥3𝐞3) =

= 𝑎𝑥1(𝐞3 × 𝐞1) + 𝑎𝑥2(𝐞3 × 𝐞2) = −𝑎𝑥

2𝐞1 + 𝑎𝑥1𝐞2.

Liniile de câmp satisfac sistemul diferențial

d𝑥1

−𝑎𝑥2=

d𝑥2

𝑎𝑥1=d𝑥3

0.

Prin convenție, dacă într-un șir de rapoarte egale, un

numitor este nul, atunci și numărătorul corespunzător este nul.

Atunci 𝑥1d𝑥1 + 𝑥2d𝑥2 = 0 și d𝑥3 = 0 și prin integrare,

(𝑥1)2 + (𝑥2)2 = 𝐶1 și 𝑥3 = 𝐶2. Recunoaștem cercuri cu centrul

pe axa de rotație.

114

Câmpul gravitațional

Să considerăm o particulă atractoare de masă m, plasată

într-un punct „fix” O. Pentru orice particulă de masă m′, plasată

într-un punct 𝑀 ∈ 𝑆\{𝑂}, fie r=𝑂𝑀 vectorul de poziție al lui M

și 𝑟 = ‖𝐫‖=distanța OM. Atunci 1

𝑟 r este versorul lui r (fig. 4.7).

Fig. 4.7

Forța F de atracție exercitată de O asupra particulei din M

are mărimea 𝐹 = 𝛾G𝑚𝑚′

𝑟2 (𝛾G fiind constanta gravitațională).

Notând 𝛾G𝑚𝑚′ = 𝑎, rezultă F=

𝑎

𝑟2; așadar, forța de atracție va fi:

F(M)=–F vers(r)=−𝑎

𝑟3 r, cu a>0 constant. (5)

Definiția 4.4: Câmpul de vectori {F(M)}, definit în S\{O},

este numit câmpul gravitațional newtonian creat de perechea

atractoare (O, m), în regiunea S\{O}.

Dacă se consideră un reper 3D cartezian {O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} ≡

𝑂𝑥1𝑥2𝑥3, atunci r=𝑥𝑘𝐞𝑘 (sumă după k),

𝑟 = (𝑥12 + 𝑥2

2 + 𝑥32)1 2⁄ ș𝑖

𝐅(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = −𝑎𝑥1𝐞1 + 𝑎𝑥

2𝐞2 + 𝑎𝑥3𝐞3

(𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32)3 2⁄.

Liniile de câmp ale câmpului gravitațional satisfac

sistemul diferențial d𝑥1

𝑥1=d𝑥2

𝑥2=d𝑥3

𝑥3 ca și liniile de câmp ale

câmpului vectorilor de poziție; deci sunt semidrepte cu capătul în

punctul atractor O.

115

Câmpul scalar:

U=𝑎

𝑟=

𝑎

(𝑥12+𝑥22+𝑥32)1 2⁄ (6)

este numit potențialul scalar newtonian al câmpului

gravitațional al perechii (O, m).

Un set finit de N particule (𝑂𝑘, 𝑚𝑘), 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁,

determină câmpul gravitațional:

F=∑ (−𝑎𝑘

𝑟𝑘𝐫𝑘)

𝑁𝑘=1 , unde 𝐫𝑘 = 𝑂𝑘𝑀 , 𝑟𝑘 = ‖𝐫𝑘‖ și 𝑎𝑘 > 0

sunt constante.

Potențialul scalar corespunzător este U=∑𝑎𝑘

𝑟𝑘

𝑁𝑘=1 .

Notă: Orice corp fizic este atractor și creează un câmp

gravitațional, având un potențial scalar. În cazul setului de N

particule, ca și al corpurilor, acțiunea poate fi echivalentă cu cea

a unui centru de masă (C,m), unde m=suma maselor

componentelor. Nu intrăm în detalii.

Reamintim doar că greutatea G a unui corp K de pe

Pământ este forța cu care Pământul, considerat concentrat în

centrul său de masă, atrage acel corp. Avem G=‖𝐆‖ = 𝛾𝐺 ·𝑚·𝑚𝑃

𝑅2

unde m=masa corpului K, mP=masa Pământului și R=raza

Pământului. Notăm g=𝛾𝐺 ·𝑚𝑃

𝑅2 .

Deoarece 𝛾𝐺 ≅ 6,67 × 10−11 Nm4/kg2 (constanta

gravitațională fiind una din constantele fundamentale ale Fizicii),

𝑚𝑃 ≅ 6 × 1024 kg și 𝑅 ≅ 6,38 × 106 m, rezultă 𝑔 ≅ 9,81 m/s2

deci G=mg. Vectorial, G=mg, cu G orientat spre centrul

Pământului.

116

§4.2. Câmpul electrostatic

Legea lui Coulomb

Am văzut în Capitolul 3 utilitatea vectorilor în probleme

de mecanică. Vectorii sunt un instrument esențial și în abordarea

bazelor Electromagnetismului.

Noțiunea de sarcină electrică este una primară; sarcinile

electrice sunt pozitive sau negative și își păsrează această calitate

atunci când sunt deplasate sau transferate de la un corp la altul.

Reamintim legea lui Coulomb relativ la forța de

interacțiune dintre sarcinile electrice :

„Dacă q și q′ sunt două sarcini electrice punctuale aflate

la distanța r, atunci între ele există o forță de atracție sau

respingere

𝐹𝑞𝑞′ = 휀 ·𝑞𝑞′

𝑟2, (7)

unde 휀 este o constantă multiplicativă. Ca vector, forța 𝐹 𝑞𝑞′,

numită coulombiană, are suportul pe dreapta care unește

sarcinile”.

Sarcinile electrice se măsoară în Coulombi (C). Prin

convenție, două sarcini identice, situate la distanța de 1 m, au

mărimea de 1C dacă forța lor coulombiană are mărimea de 1N.

Constanta fizică 휀 are, în vid, valoarea ±8,99 × 109

[m2·N/C2]. Semnul „+” (respectiv „−”) este folosit dacă sarcinile

sunt de semn contrar (respectiv de același semn).

Atenție! Spre deosebire de forțele gravitaționale

newtoniene care sunt doar atractive, forțele coulombiene pot fi și

de respingere.

Notă: Atomii, moleculele și corpurile fizice sunt neutre

electric. Însă electronii sunt purtători de sarcini negative, iar

117

protonii – purtători de sarcini pozitive. Sarcina elementară este

𝑒 ≅ 1,6 × 10−19C (constantă fizică fundamentală, alături de

viteza luminii, constanta gravitațională 𝛾𝐺, numărul lui

Avogadro, masa electronului etc.). Sarcina unui electron este – 𝑒

și cea a unui proton este +e. Nu intrăm în detalii.

Câmpul electrostatic

Fie q o sarcină electrică punctuală; vom nota tot cu q

punctul unde este plasată. Pentru orice punct 𝑀 ∈ 𝑆 ∖ {𝑞}, fie

r=𝑞𝑀 și 𝑟 = ‖𝑞𝑀 ‖=distanța dintre locul sarcinii q și M (fig. 4.8).

Fig. 4.8

Definiția 4.5: Câmpul electrostatic generat de sarcina q

este:

𝐄𝑞 = {𝐄𝑞(𝑀)};𝑀 ∈ 𝑆 ∖ {𝑞}, unde 𝐄𝑞(𝑀) = 휀𝑞

𝑟3𝐫. (8)

Dacă q este o sarcină „+”, atunci 𝐄𝑞(𝑀) este coliniar și

are același sens cu r; dacă q este „−”, atunci 𝐄𝑞(𝑀) = −휀𝑞

𝑟3 r

are sens contrar lui r: fig. 4.9.

Fig. 4.9

118

Vectorii câmpului electrostatic creat de o sarcină electrică

pozitivă q arată ca în figura 4.10 a), iar liniile sale de câmp sunt

semidrepte care „ies” din acea sarcină. În cazul când q este o

sarcină negativă, situația este redată în figura 4.10 b), iar liniile

de câmp sunt semidrepte care „intră” în sarcina q.

Fig. 4.10

Se spune că liniile de câmp „ies” din sarcinile „+” și intră

în sarcinile „−”.

Mai multe sarcini electrice separate produc un câmp

electric, așa cum mase punctuale separate produc un câmp

gravitațional. Vom vedea ulterior că și câmpurile magnetice

variabile produc câmpuri electrice.

Exemple

1) Să considerăm două sarcini 𝑞1, 𝑞2 pozitive și cu aceeași

mărime în C. Câmpul electrostatic asociat acestei perechi este

E=E1+E2; pentru orice punct M, E(M)=E1(M)+E2(M), conform

regulei paralelogramului (fig. 4.11).

119

Fig. 4.11

2) Conform (8), un proton generează la distanța de 1 cm,

în vid, câmpul E=8,99 ×1,6×10−19

10−6𝐫 ≅ (14,4 × 10−4 N/C)r; în

aceleași condiții, un electron, generează câmpul

(−14,4 × 10−4N/C)r, în sensul că dacă electronul se află într-un

punct A, atunci vectorul câmpului electrostatic generat într-un

punct M este (−14,4 × 10−4)𝐴𝑀 .

3) O sarcină pozitivă q1=+2C este plasată în punctul

A(–1, 0) și una negativă q2=–1C este plasată în punctul B(2, 1).

Ne propunem să determinăm vectorul câmpului E creat de cele

două sarcini având punctul de aplicație în M(3, 0); fig. 4.12.

Conform (8),

E1(M)=휀 ·2

𝐴𝑀3· 𝐴𝑀 = 휀 ·

2

644𝐢 =

8 i și

E2(M)=−휀 ·1

𝐵𝑀3· 𝐵𝑀 = −휀 ·

1

2√2(𝒊 − 𝒋) deci

E(M)=E1(M)+E2(M)≅ 휀(−0,22𝐢 + 0,35𝐣).

120

Fig. 4.12

Proprietățile câmpului electrostatic

Am văzut în § 3.1 că un câmp de forțe F efectuează lucrul

elementar dL=F·dr (produs scalar) și că lucrul mecanic în lungul

unui arc de curbă unind două puncte A și B este:

𝐿𝐴𝐵 = ∫ 𝐅 · d𝐫𝐴𝐵

.

Fie q o sarcină electrică pozitivă și F=Eq=휀𝑞

𝑟3 r, câmpul

electrostatic generat de q. Forța asupra unei sarcini 𝑞′ este 𝑞′Eq și

lucrul elementar al acestei forțe este dL=휀𝑞𝑞′

𝑟3 r·dr.

Dar r·r=r2 și diferențiind, rezultă r·dr=rdr, deci

dL=휀𝑞𝑞′

𝑟3 rdr = 휀𝑞𝑞′

d𝑟

𝑟2. Atunci notând rM=distanța de la q la M,

rezultă:

𝐿𝐴𝐵 = ∫ 휀𝑞𝑞′d𝑟

𝑟2= ε𝑞𝑞′ (−

1

𝑟)𝐴

𝐵

𝐴𝐵= 휀𝑞𝑞′ (

1

𝑟𝐴−

1

𝑟𝐵); (fig. 4.13).

Fig. 4.13

121

Definiția 4.6: Expresia 𝑉𝑀 = 휀𝑞1

𝑟𝑀 se numește

potențialul electrostatic al sarcinii q în punctul M. Funcția

𝑉: 𝑆 ∖ {𝑞} → ℝ , 𝑀 ↦ 𝑉𝑀 este un câmp scalar.

Sintetizăm câteva proprietăți:

1) Lucrul câmpului electrostatic pe orice arc de curbă,

unind punctele A, B, este:

𝐿𝐴𝐵 = 𝑞′(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵), independent de arc. (9)

Anume, LAB depinde numai de capetele arcului.

2) În cazul când curba este închisă (𝐴 ≡ 𝐵), atunci lucrul

câmpului electrostatic este nul (căci rA=rB).

3) Dacă 𝐵 → ∞, atunci 𝑟𝐵 → ∞ și 𝑉𝐵 → 0, deci conform

(9), potențialul sarcinii q în punctul A este egal cu lucrul sarcinii

q deplasate de la A la infinit, împărțit cu 𝑞′.

4) Dacă există mai multe sarcini electrice q1, q2, ...,

fiecare determină câte un câmp electrostatic și câte un potențial,

care se însumează.

Notă: Cele spuse anterior se refac pentru o sarcină

negativă q și 𝑉𝐴 ar fi lucrul sarcinii deplasate de la infinit la

punctul A. Potențialul 𝑉𝐴 nu poate fi măsurat (căci nu putem

ajunge de la infinit sau merge spre infinit!). Dar diferențele de

potențial pot fi măsurate.

Definiția 4.7: Diferența de potențial 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 se numește

tensiunea creată de sarcina q între punctele A și B.

Mărimea vectorului câmpului electrostatic Eq este

‖𝐄𝑞‖ =| 𝑞|

𝑟2 și se măsoară în [m2N/C2]·[C/m2]=[N/C]. Apoi,

lucrul forței coulumbiene F se măsoară în Nm și potențialul

electrostatic al sarcinii q se măsoară în [m2N/C2]·[C/m]=[Nm/C].

Dar 1 Nm=1 J. Așadar, potențialul electrostatic al unei sarcini

122

electrice se măsoară în [J/C]. Deoarece 1 J/C=1 V (volt),

diferențele de potențial electrostatic se măsoară în volți.

Curentul electric este mișcarea ordonată (≡ fluxul) de

sarcini electrice libere care circulă printr-un conductor (de

exemplu, un cablu de sârmă). În metale, purtătorii de sarcini

electrice sunt electronii. Circulația curentului electric este

similară cu căderea gravitațională a unei ape de la o înălțime, iar

diferența de potențial este similară cu diferența dintre nivelurile

apei. Dacă nu există diferență de potențial electric la capetele unui

conductor, nu există curent electric!

Curentul continuu (numit și constant sau direct) este

cel în care același număr de sarcini electrice, fără schimbare de

sens, trec în aceleași intervale de timp, prin secțiunea transversală

a conductorului.

Dacă N este numărul de purtători de sarcini electrice

(electroni liberi), ce trec printr-un conductor metalic în timpul Δ𝑡,

atunci intensitatea medie a curentului este 𝐼 =𝑁𝑒

Δ𝑡; I se măsoară în

amperi (1 A=1 C/s). Pentru o singură sarcină electrică q

avem q=It.

Dar scopul nostru nu este un curs de Electricitate, ci doar

o ocazie să arătăm rostul vectorilor și câmpurilor de vectori.

§4.3. Câmpul magnetic

Linii magnetice

Nu vom discuta despre fascinanții magneți permanenți cu

doi poli N/S (care nu există separat), nici despre busolă sau

despre experimentele lui Oersted, cel care a observat că în

123

apropierea unui conductor electric, că acul busolei este deviat de

la poziția N–S.

Faraday a făcut primul mare pas, arătând că dacă un curent

trece printr-un conductor electric (cu intensitatea I), ca în figura

4.14, dispus pe axa Oz, atunci în jurul conductorului se află linii

magnetice circulare închise; sensul de deplasare a curentului spre

„ z crescător” este dat de „regula burghiului” rotit de la Ox la Oy.

Altfel spus, dacă punem degetul mare al mâinii drepte în

lungul unui conductor electric în sensul vectorului–intensitate 𝐼 și

apoi ne îndoim degetele ca și când am apuca acel conductor,

câmpul magnetic are direcția degetelor răsucite! În acest mod,

Faraday a explicat și experimentul lui Oersted.

Fig. 4.14

Definiția 4.7: Câmpul magnetic este un câmp de vectori,

care asociază fiecărui punct M din vecinătatea unui magnet

permanent (sau a unui conductor cu sarcini electrice în mișcare,

sau al unei bobine–solenoid), un vector B(M) tangent în M la linia

magnetică trecând prin acel punct.

Mărimea 𝐵(𝑀) = ‖𝐁(𝑀)‖ se numește inducția

magnetică în M.

124

Așadar, un curent electric generează un câmp magnetic;

Faraday a arătat că și invers, un câmp magnetic aflat în mișcare,

produce un curent electric, descoperind fenomenul de „inducție

magnetică” și deschizând astfel era motoarelor electrice și a

Electromagnetismului. După anul 1850, Maxwell a stabilit

legătura matematică subtilă dintre câmpurile electric și magnetic,

pe care o vom prezenta la sfârșitul acestui Capitol.

Un mic electromagnet se poate construi înfășurând o

sârmă metalică în jurul unui miez de fier și conectând capetele

sârmei la bornele unei baterii ca în figura 4.15.

Fig. 4.15

Electromagneții sunt bobine având un miez de fier

interior; ei au diverse forme și mărimi și pot susține, prin atracția

magnetică, încărcături suspendate, fiind folosiți la transport de

mari lingouri, containere cu materiale, dar și la telefoane, motoare

electrice, relee etc.

Spre deosebire de liniile de câmp ale câmpului

electrostatic, care „ies” din sarcinile electrice „+” și intră în

sarcinile „–”, liniile de câmp ale câmpului magnetic (≡ linii

magnetice) sunt curbe închise în jurul conductorului electric care

le-a produs. Ca și în cazul sarcinilor electrice „fixe” care

125

generează câmpul electrostatic, curenții electrici staționari

(pentru care fluxul de sarcini electrice este constant) produc un

câmp magnetostatic.

Legea lui Lorentz

Considerăm un magnet în formă de „U” și un conductor

rectiliniu AB de lungime relativ mică ℓ, așezat între polii

magnetului, ca în figura 4.16.

Fig. 4.16

Aplicând o tensiune de curent continuu la capetele

conductorului, cu intensitatea I direcționată în sensul curentului,

Ampère a arătat că există o forță F, numită forță magnetică,

acționând asupra conductorului. Această forță este exprimată prin

produsul vectorial

F=ℓ𝐈 × 𝐁, (10)

unde B este câmpul magnetic și I un vector în sensul

conductorului AB, cu mărimea cât intensitatea curentului electric.

De fapt, F este un câmp de vectori, pentru că acționează într-o

întreagă regiune.

Dacă q este o sarcină electrică deplasată cu viteza

purtătorilor de sarcini v printr-un conductor rectiliniu de lungime

ℓ și dacă în câmpul magnetic creat avem B⊥I, atunci conform

126

(10), rezultă că F=ℓIB. Notând cu t durata parcurgerii

conductorului, de către curentul electric, atunci ℓ = 𝑣𝑡 deci

𝐹 = 𝑣𝐵𝐼𝑡 = 𝑣𝐵𝑞 (deoarece q=It). Așadar, conform (10), rezultă

F=(vt)I×B=t(Iv) ×B=(It)v×B.

Am dedus astfel legea lui Lorentz:

TEOREMĂ: „Forța magnetică FB produsă de un câmp

magnetic B acționând asupra unei sarcini electrice q, care se

deplasează cu viteza v printr-un conductor rectiliniu, este:

𝐅𝐁 = 𝑞𝐯 × 𝐁”. (11)

Mărimea ei este 𝐹𝐁 = 𝑞𝑣𝐵 sin 𝜃, unde 𝜃 = măs(𝐯, ��).

Definiția 4.8: Inducția magnetică B=‖𝐁‖ se măsoară în

tesla (T). Conform (10), 1 T=1 N/Am este inducția magnetică ce

realizează forța de 1 N asupra unui conductor de lungime 1 m,

prin care trece un curent de 1 A, perpendicular pe liniile

magnetice ale lui B.

Notă: Conform legii lui Coulomb și relației (8), forța

indusă de câmpul electrostatic Eq asupra unei alte sarcini 𝑞′ este

𝑞′𝐄𝑞. Există unele similitudini, dar și diferențe între forțele

magnetice și cele electrice; subliniem câteva din acestea:

- ambele sunt proporționale cu mărimea sarcinii q;

- ambele sunt direct proporționale cu mărimea câmpurilor

𝐄𝑞 și B;

- sarcinile de semn opus induc forțe de sens opus;

- viteza de deplasare a sarcinii apare doar în cazul magnetic,

unde forța depinde de măsura unghiului dintre vectorul–viteză

v și vectorul câmpului magnetic B.

Toate aceste afirmații sunt deduse din interpretarea

produsului vectorial din relația (11). Adăugăm că, dacă vectorii v

127

și B sunt coliniari, atunci 𝐅𝐁 este nulă; apoi forța 𝐅𝐁 are mărimea

maximă dacă 𝜃 = 90°.

Considerăm planul determinat de vectorii v și B presupuși

necoliniari. Forța magnetică 𝐅𝐁 este perpendiculară pe acest plan

(figura 4.17). Câmpurile magnetice pot produce accelerații

radiale, dar nu și tangențiale, unor particule încărcate (≡ sarcini

electrice); ca atare, ele pot modifica direcția, dar nu și viteza

particulelor.

Fig. 4.17

Notă: O convenție comună în Fizică și Inginerie este cea care

amintește de „săgeata vânătorului”. Privită din față, vezi vârful

săgeții ⨀ și din spate, se vede crucea ⨂. Cu această convenție,

notația ⨂B înseamnă că vectorul B „intră” în pagină, iar ⨀B

înseamnă că vectorul B „iese” din pagină. Convențiile sunt

folosite în figura 4.17, în cazul sarcinii q pozitive sau negative.

Dacă q este o particulă încărcată pozitiv și aceasta se

rotește în lungul liniilor magnetice (pe cercuri sau spirale), în

sensul indicat în figura 4.18, iar ⨀B, atunci forța magnetică 𝐅𝐁

are orientarea indicată. Așadar, o particulă parcurge cercuri

închise, reluate indefinit, în sensul acelor de ceasornic, împinsă

de forța magnetică.

128

Fig. 4.18

În cazul unei particule încărcate negativ, același vector –

inducție magnetică B inversează sensul mișcării pe cerc. Mișcarea

particulei are loc pe spirală în dacă v nu este perpendicular pe B.

Iată acum și o aplicație a produselor scalare.

Flux magnetic

Definiția 4.9: Fluxul câmpului magnetic B printr-o placă

plană de arie A este scalarul

Φ = (𝐁 · 𝐧)𝐴, (12)

unde n este versorul normalei la plan de aceeași parte cu B

(figura 4.19).

Fig. 4.19

129

Notând 𝛼=măs(𝐁, ��), avem Φ = 𝐵𝐴 cos 𝛼. Fluxul se

măsoară în weberi [wb]; 1 wb=1Tm2 este fluxul printr-o placă de

arie 1m2, străbătută normal de un câmp magnetic cu mărime 1T.

Exemplu: Dacă A=10 cm2, B=2 T și 𝛼 = 60°, atunci

Φ = 2 × 10 × 10−4 × cos(60°) = 10−3 wb.

Pentru a varia fluxul, trebuie modificate B, A, 𝛼. Dacă se

translatează placa, fluxul nu se modifică. Dar în cazul când

câmpul B nu este constant sau dacă placa se rotește, atunci Φ

variază. S-a constatat experimental că prin variația fluxului

magnetic, se generează o forță electromotoare ℰ𝑖 și un curent

electric, numit curent de inducție. În plus, Faraday a arătat că

forța ℰ𝑖 este proporțională cu viteza de variație în timp a fluxului,

adică ℰ𝑖 = −Φ′(𝑡). Semnul este explicat prin legea Joule–Lenz,

conform căreia curentul electric de inducție generează un câmp

care se opune cauzei care l-a produs.

Această afirmație susține următorul principiu al lui Le

Chatelier: „Dacă asupra unui sistem fizico–chimic, social–

economic etc., aflat în echilibru, se aplică o constrângere, atunci

sistemul se opune acelei constrângeri”.

Ne oprim aici cu aplicațiile vectorilor în

Electromagnetism.

§4.4. Operații diferențiale asupra câmpurilor de vectori

Pentru a descrie mărimile variabile și vitezele lor de

variație, în raport cu timpul sau cu poziția, sunt necesare

derivatele, în diferite ipostaze–derivate pe anumite direcții,

derivate parțiale (pe direcțiile axelor), gradienți etc. În liceu, s-au

învățat derivatele funcțiilor de o variabilă reală, proprietățile lor

130

legate de viteze, accelerații, curburi etc., ca și rolul lor în trasarea

graficelor. Aici vom sublinia doar câteva aspecte conceptuale.

Fixăm un reper cartezian ortonormal 3D,

{O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞3}≡ 𝑂𝑥1𝑥2𝑥3.

Gradientul unui câmp scalar

Definiția 4.10: Dacă 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) este o funcție netedă

într-o regiune 𝐷 ⊂ ℝ3 și cu valori reale, atunci pentru orice punct

𝑎 ∈ 𝐷, gradientul lui 𝝋 în a este vectorul liber:

grad𝑎𝜑 =𝜕𝜑

𝜕𝑥1(𝑎)𝐞1 +

𝜕𝜑

𝜕𝑥2(𝑎)𝐞2 +

𝜕𝜑

𝜕𝑥3(𝑎)𝐞3 =

𝜕𝜑

𝜕𝑥𝑘(𝑎)𝐞𝑘. (13)

Câmpul de gradienți în D va fi grad 𝜑 =𝜕𝜑

𝜕𝑥𝑘𝐞𝑘.

Exemple

1) Dacă 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 5𝑥1 +𝑥2

𝑥3 ( pentru 𝑥3 ≠ 0),

atunci grad 𝜑 = 5𝐞1 +1

𝑥3𝐞2 −

𝑥2

(𝑥3)2𝐞3.

2) Dacă r este vectorul de poziție al unui punct curent

M(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), atunci r=𝑥𝑘𝐞𝑘, 𝑟 = ((𝑥1)2 + (𝑥2)2 + (𝑥3)2)1 2⁄ .

Avem 𝜕𝑟

𝜕𝑥𝑘=𝑥𝑘

𝑟 și grad 𝑟 =

1

𝑟(𝑥𝑘𝐞𝑘) =

𝐫

𝑟. Iar dacă

c=(𝑐1, 𝑐2, 𝑐3) este un vector constant și 𝜑 = 𝐜 · 𝐫 = 𝑐𝑘𝑥𝑘,

𝜕𝜑

𝜕𝑥𝑘= 𝑐𝑘 deci grad (c·r)=c.

Notă: Nu are sens gradientul unui câmp de vectori.

Aparent, grad𝑎𝜑 depinde de reper, dar nu este așa; acest vector

are un caracter absolut, anume el depinde numai de 𝜑 și a.

De asemenea, pentru o funcție de două variabile reale

𝜑(𝑥1, 𝑥2), se definește, în analogie cu formula (13),

grad 𝜑 =𝜕𝜑

𝜕𝑥1𝐞1 +

𝜕𝜑

𝜕𝑥2𝐞2.

131

Proprietăți ale gradientului

1) Dacă 𝜑 = 𝑎, constant, atunci grad a=0.

2) Dacă 𝜑,𝜓 sunt două câmpuri scalare, atunci:

grad(𝜑 + 𝜓) = grad𝜑 + grad𝜓,

grad(𝜑𝜓) = 𝜑 grad 𝜓 + 𝜓 grad 𝜑.

3) grad 𝑢(𝜑) = 𝑢′(𝜑)grad 𝜑.

Exemplu:

grad(𝑟2) = 2𝑟 ·𝐫

𝑟= 2𝐫 și grad(

1

𝑟) = −

1

𝑟2·𝐫

𝑟= −

1

𝑟3𝐫.

4) Derivata după o direcție (de fapt după un versor s)

este d𝜑

d𝐬(𝑎) = lim

𝑡→0

𝜑(𝑎+𝑡𝐬)−𝜑(𝑎)

𝑡;

în punctul curent, d𝜑

d𝐬= 𝐬 · grad 𝜑.

Exemplu: Fie 𝜑 și a fixate; dintre toate direcțiile, cea

pentru care d𝜑

d𝐬(𝑎) este maximă (sau minimă) este ±s, unde s este

versorul vectorului grad𝑎𝜑. Ca nostimadă, dacă T reprezintă

temperatura dintr-o regiune, s-a constatat experimental (!?) că o

muscă aflată într-un punct a zboară în direcția unde va fi mai

cald și acea direcție este tocmai grad𝑎𝑇.

5) Fixăm 𝜑 și a și considerăm suprafața Σ de nivel a

câmpului scalar 𝜑 care trece prin a, având ecuația

𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝜑(𝑎). Punctul a se numește singular dacă

grad𝑎𝜑 = 𝟎. Dacă a este nesingular, atunci suprafața Σ are plan

tangent în punctul a și normala la Σ în a are direcția vectorului

grad𝑎𝜑 (figura 4.20).

132

Fig. 4.20

Divergența și rotorul unui câmp de vectori

Divergența unui câmp vectorial descrie tendința creării

unor surse „emitente” sau „absorbante”. De exemplu, în cazul

câmpului vectorilor–viteză ai unor particule de fluid, punctele

unde divergența este strict pozitivă (respectiv negativă) sunt

izvoare (respectiv puțuri) locale. Similar, rotorul unui câmp

descrie tendința de a crea vârtejuri locale.

Divergența și rotorul au fost introduse în Fizică și

Matematică de Maxwell.

Fie v(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ≡ 𝑃𝑘(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝐞𝑘 un câmp de vectori

în D, unde componentele scalare sunt continue și au derivate

parțiale continue în D.

Definiția 4.11: Dacă 𝑎 ∈ 𝐷, atunci divergența lui v în a

este scalarul:

div𝑎𝐯 = 𝜕𝑃1

𝜕𝑥1(𝑎) +

𝜕𝑃2

𝜕𝑥2(𝑎) +

𝜕𝑃3

𝜕𝑥3(𝑎) (14)

și rotorul lui v în a este vectorul

rot𝑎𝐯 = |

𝐞1 𝐞2 𝐞3𝜕

𝜕𝑥1𝜕

𝜕𝑥2𝜕

𝜕𝑥3

𝑃1 𝑃2 𝑃3

| =

133

= (𝜕𝑃3

𝜕𝑥2−𝜕𝑃2

𝜕𝑥3) 𝐞1 + (

𝜕𝑃1

𝜕𝑥3−𝜕𝑃3

𝜕𝑥1) 𝐞2 + (

𝜕𝑃2

𝜕𝑥1−𝜕𝑃1

𝜕𝑥2) 𝐞3, (15)

cu derivatele parțiale calculate în punctul a.

În punctul curent, div v=𝜕𝑃1

𝜕𝑥1+𝜕𝑃2

𝜕𝑥2+𝜕𝑃3

𝜕𝑥3 și similar pentru

rot v, omițând punctul a.

Atenție! grad 𝜑 este un câmp de vectori (numit câmp de

gradienți); div v este un câmp scalar, iar rot v este un

câmp de vectori.

Definiția 4.12: Un câmp de vectori v se numește

solenoidal (≡fără surse) dacă div𝑎𝐯 = 0 în orice punct a. Dacă

rot𝑎𝐯 = 𝟎 pentru orice a, se spune că v este un câmp irotațional

(≡fără vârtejuri).

Exemple

1) Pentru cazul vectorilor de poziție în spațiu, aplicând

direct (14) și (15), rezultă div r=3 și rot r=0.

2) Fie v=4𝑥1𝐞1 + 2(𝑥2)2𝐞2 − 3(𝑥

3)2𝐞3. Atunci

div v=4+4𝑥2 − 6𝑥3 și:

rot v=|

𝐞1 𝐞2 𝐞3𝜕

𝜕𝑥1𝜕

𝜕𝑥2𝜕

𝜕𝑥3

4𝑥1 2(𝑥2)2 −3(𝑥3)2| = 𝟎.

Proprietăți ale divergenței și rotorului

Cu notații transparente, avem:

1) Dacă c este un câmp constant de vectori, atunci div c=0,

rot c=0;

2) div(v+w)=div v+div w, rot(v+w)=rot v+rot w;

3) Dacă c este un vector constant și r vectorul de poziție,

atunci div r=3, rot r=0, div(c×r)=0 și rot(c×r)=2c.

134

4) Dacă 𝜑 este un câmp scalar și v un câmp de vectori, atunci

div(𝜑v)=𝜑 div v+v·grad 𝜑 și rot(𝜑v)=𝜑 rotv–v × grad 𝜑.

Demonstrația rezultă din definiția 4.11, prin calcul de derivate.

Exemple

1) Considerăm câmpul gravitațional newtonian creat de

perechea atractoare (O, m), definit în relația (5). Așadar,

F=−𝑎

𝑟3𝐫 , cu 𝑎 > 0 constantă.

Atunci, notând 𝜑 = −𝑎

𝑟3, avem grad 𝜑=

3𝑎

𝑟4·𝐫

𝑟=3𝑎

𝑟5𝐫 deci

F=𝜑r. Așadar:

divF=𝜑divr+r·grad𝜑 = 3𝜑 +r·(3𝑎

𝑟5𝐫) − 3

𝑎

𝑟3+3𝑎

𝑟3≡ 0 și

rot F=𝜑 rot r–r×grad 𝜑=0–r× (3𝑎

𝑟5𝐫) = −

3𝑎

𝑟5(𝐫 × 𝐫) ≡ 𝟎.

Așadar, câmpul F este atât solenoidal, cât și irotațional în

regiunea 𝐷 = 𝑆 ∖ {𝑂}.

2) Am definit în relația (6) potențialul scalar U=𝑎

𝑟. Avem

grad U=−𝑎

𝑟2·𝐫

𝑟= −

𝑎

𝑟3𝐫 =F. Așadar, câmpul gravitațional este

un câmp de gradienți (F=gradU).

3) Câmpul electrostatic generat de o sarcină q a fost definit

în relația (8): 𝐄𝑞 = 휀𝑞

𝑟3𝐫; iar potențialul electrostatic

corespunzător este V=휀𝑞 ·1

𝑟. Așadar, div 𝐄𝑞 ≡ 0, rot 𝐄𝑞 ≡ 0

(același calcul ca mai sus) și în plus, 𝐄𝑞 = −grad V. Deci, câmpul

electrostatic generat de o sarcină electrică este de asemenea

solenoidal, irotațional și un câmp de gradienți.

3) Am văzut că în cadrul rotirii unui tambur în jurul unui

ax, se pune în evidență câmpul vectorilor–viteză ai punctelor

acelui tambur; anume v=𝛚 × 𝐫, unde 𝛚 este vectorul–viteză

tangențială și r vectorul de poziție.

135

Atunci div v=0 și rot v=2 𝛚.

Vectorul–viteză tangențială măsoară tendința de rotire a

punctelor tamburului, iar câmpul vitezelor nu are surse.

Notă: Pentru un câmp de vectori plan

v=𝑃1(𝑥1, 𝑥2)𝐞1 + 𝑃2(𝑥

1, 𝑥2)𝐞2, se definesc div v=𝜕𝑃1

𝜕𝑥1+𝜕𝑃2

𝜕𝑥2 și

rot v=(𝜕𝑃2

𝜕𝑥1−𝜕𝑃1

𝜕𝑥2) 𝐞3. De exemplu, pentru vectorul de poziție,

div r=2 și rot v=0.

Pseudo-operatorul nabla

Gradientul, divergența și rotorul se mai numesc operatori

diferențiali de ordinul întâi în Teoria câmpului. O tratare unitară

a lor se realizează folosind forme diferențiale, dar nu dorim

această abordare. O altă posibilitate de prezentare unitară este

apelarea la un pseudo-operator cu caracter vectorial

∇= 𝐞1𝜕

𝜕𝑥1+ 𝐞2

𝜕

𝜕𝑥2+ 𝐞3

𝜕

𝜕𝑥3, numit „nabla”; prin folosirea unor

convenții, el permite obținerea de formule corecte și unele

simplificări de scriere. Astfel, ∇𝜑 („multiplicarea” lui ∇ cu

câmpul scalar 𝜑) este interpretat ca grad 𝜑; „produsul scalar” ∇·v

reprezintă div v, iar „produsul vectorial” ∇ ×v este rot v. Pseudo-

operatorul ∇ este liniar în toate cele trei ipostaze. Apoi, precum

derivata clasică a unui produs, (𝑢𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑣𝑢′, ∇ aplicat unui

produs are ca rezultat o sumă de două produse, în care ∇

acționează câte o singură dată, păstrând ordinea și regulile de

algebră vectorială (cu condiția ca toate entitățile cărora li se aplică

∇ să fie scrise la dreapta lui). În plus, derivata d𝜑

d𝐬 după un versor

s se exprimă de asemenea cu „nabla”:

d𝜑

d𝐬= 𝐬 · ∇𝜑 = (𝐬 · ∇)𝜑.

136

Exemple

1) Dacă c este un vector constant, atunci ∇·c=0 și ∇ ×c=0.

2) Apoi, div(𝜑v)=∇(𝜑v)=∇·(𝜑⏞↓

𝐯) + ∇ · (𝜑 𝐯⏞↓

) =

=v· ∇𝜑 + 𝜑(∇ · 𝐯) = 𝐯 · grad𝜑 + 𝜑rot 𝐯;

rot(𝜑𝐯) = ∇ ×(𝜑⏞↓

𝐯) + ∇ × (𝜑 𝐯⏞↓

)=

= −𝐯 × ∇𝜑 + 𝜑∇ × 𝐯 = −𝐯 × grad𝜑 + 𝜑rot v;

3) div(v× 𝐰) = ∇ · (𝐯⏞↓

×𝐰)+∇ · (𝐯 × 𝐰⏞↓

)=w· (∇ × 𝐯) −

𝐯 · (∇ × 𝐰) = 𝐰 · rot 𝐯– 𝐯 · rot 𝐰. Săgeata verticală „↓” indică

factorul căruia i se aplică ∇. În fine, menționăm iterarea lui ∇:

div(rot v) = ∇ · (∇ × v) ≡ 0;

div(grad 𝜑) = div (𝜕𝜑

𝜕𝑥𝑘𝐞𝑘) =

= ∑𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑘 (𝜕𝜑

𝜕𝑥𝑘) =

𝜕2𝜑

(𝜕𝑥1)2+

𝜕2𝜑

(𝜕𝑥2)2+

𝜕2𝜑

(𝜕𝑥3)2≡ ∆𝜑, care se

mai numește laplacianul lui 𝜑. Funcțiile 𝜑 asfel încât ∆Φ ≡ 0 se

numesc armonice. În fine, rot(grad 𝜑) = ∇ × (∇𝜑) ≡ 0. Așadar,

orice câmp de gradienți este irotațional și orice câmp de rotori (de

tip rot v) este solenoidal. Se poate arăta că și invers, orice câmp

irotațional este un câmp de gradienți (dacă regiunea D

nu are „găuri”).

Operații diferențiale în coordonate curbilinii

Am prezentat în § 1.4 coordonatele polare în plan și

coordonatele sferice și cilindrice în spațiu (fig. 1.25). În cazul

coordonatelor sferice, am explicitat triedrul mobil ortonormal

{M;𝐮𝑟 , 𝐮𝜃 , 𝐮𝜑} cu originea în orice punct M din spațiu având

coordonatele r, 𝜃, 𝜑; fig. 4.21.

137

Fig. 4.21

În cazul coordonatelor cilindrice 𝜌, 𝜑, 𝑧, triedrul mobil

este {M; 𝐮𝜌, 𝐮𝜑 , 𝐮𝑧}; fig. 4.22.

Fig. 4.22

Astfel de repere sunt utilizate în unele probleme specifice,

exploatând unele simetrii; astfel, pentru a descrie mișcarea în

lungul unor curbe de longitudine constantă pe o sferă (în direcția

versorului 𝐞𝜃) se recomandă coordonate sferice, iar în studiul

câmpului magnetic în jurul unui conductor electric cilindric, ca în

cazul antenelor, se recomandă coordonate cilindrice.

Exemple

1) Exprimăm vectorul de poziție r în coordonate sferice și

apoi în coordonate cilindrice:

138

Evident, r=r 𝐮𝑟; apoi r=𝜌𝐮𝜌 + 𝑧𝐮𝑧.

2) Același lucru pentru vectorul v=a×r, unde a este un

vector constant. Alegem axele astfel încât a să fie orientat pe axa

Ox3 deci a=a𝐮𝑧.

Scriem a=𝑎1𝐮𝑟 + 𝑎2𝐮𝜃 + 𝑎3𝐮𝜑 deci: 𝑎1 = 𝐚 · 𝐮𝑟 =

= 𝑎 · 1 · cos 𝜃 = 𝑎 cos 𝜃 , 𝑎2 = 𝑎 · 𝐮𝜃 = 𝑎 · 1 · cos(𝜋

2+ 𝜃) =

= −𝑎 sin 𝜃 și 𝑎3 = 𝐚 · 𝐮𝜑 = 0.

Atunci a=𝑎 cos 𝜃 𝐮𝑟 − 𝑎 sin 𝜃 𝐮𝜃.

Deci v=(𝑎 cos 𝜃 𝐮𝑟 − 𝑎 sin 𝜃 𝐮𝜃)× 𝑟𝐮𝑟 = 𝑎 sin 𝜃 𝐮𝑟 ×

𝐮𝜃 = 𝑎𝑟 sin 𝜃 𝐮𝜑.

În fine, în coordonate cilindrice,

v=𝑎𝐮𝑧 × (𝜌𝐮𝜌 + 𝑧𝐮𝑧) = 𝑎𝜌𝐮𝑧 × 𝐮𝜌 = 𝑎𝜌𝐮𝜑.

Mai general, considerăm un reper cartezian ortonormal

{O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3}≡ 𝑂𝑥1𝑥2𝑥3 și coordonate curbilinii în spațiu

𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 (de exemplu, sferice sau cilindice). Utilizarea indicilor

etaj sau subsol ține de convențiile de covarianță care vor fi

stabilite ulterior. Orice punct M are două rânduri de coordonate și

vectorul său de poziție este r≡ 𝑂𝑀 = 𝑥𝑘𝐞𝑘 (sumă după k). Se

presupune că există relații de forma 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3); 1≤i≤3,

inversabile și cu funcții continue având derivate parțiale continue.

Notăm 𝐠𝑖 =𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3. Reamintim că derivatele parțiale sunt

derivate în raport cu una din variabile, considerând constante pe

celelalte. De aceea, fiecare vector 𝐠𝑖 este tangent în punctul curent

la curbele 𝑢𝑗 = 𝐶, constant (pentru 𝑗 ≠ 𝑖). Vectorii 𝐠𝑖 formează

o bază mobilă care variază cu 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3.

Definiția 4.12: Notăm 𝐮𝑖=versorul lui 𝐠𝑖 și 𝐿𝑖 =

‖𝐠𝑖 ‖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3. Așadar, 𝐠1 = 𝐿1𝐮1, 𝐠2 = 𝐿2𝐮2, 𝐠3 = 𝐿3𝐮3 și în

139

acest mod, avem reperul mobil ℛ = {𝑀; 𝐮1, 𝐮2, 𝐮3}. Scalarii

𝐿1, 𝐿2, 𝐿3 se numesc parametrii Lamé ai sistemului de

coordonate {𝑢1, 𝑢2, 𝑢3}. Aceste coordonate curbilinii se numesc

ortogonale, dacă produsele scalare satisfac relațiile 𝐮𝑖 · 𝐮𝑗 = 𝛿𝑖𝑗,

1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3. Atunci reperul ℛ mobil este ortonormal.

Exemple

1)Pentru coordonate carteziene ortonormale,

{O;i,j,k}≡ 𝑂𝑥𝑦𝑧 , 𝐫 = 𝑥 𝐢 + y 𝐣 + z 𝐤, avem:

𝐠1 =𝜕𝐫

𝜕𝑥= 𝐢, 𝐠2 =

𝜕𝐫

𝜕𝑦= 𝐣, 𝐠3 =

𝜕𝐫

𝜕𝑧= 𝐤, 𝐿1 = 1, 𝐿𝟐 = 1, 𝐿𝟑 = 1 .

Acest sistem de coordonate este evident ortogonal.

2) În cazul coordonatelor sferice, vectorul de poziție este

dat de formula (19) din §1.4 și am explicitat versorii

𝐮1 = 𝐞𝑟 , 𝐮2 = 𝐞𝜃 și 𝐮3 = 𝐞𝜑 (fig.4.21); coeficienții Lamé sunt

𝐿1 = 1, 𝐿2=r și 𝐿3 = 𝑟 sin 𝜃. În cazul coordonatelor cilindrice,

vectorul de poziție a fost indicat în formula (20) din §1.4; în plus,

𝐮1 = 𝐞𝜌, 𝐮2 = 𝐞𝜑 și 𝐮3 = 𝐞𝑧 (fig. 4.22). Coeficienții Lamé sunt

𝐿1 = 1, 𝐿2 = 𝜌 și 𝐿3 = 1. Ambele sisteme de coordonate

sunt ortogonale.

În continuare, indicăm expresia gradientului, divergenței,

rotorului și laplacianului în coordonate curbilinii ortogonale; ele

se pot explicita, în coordonate sferice și cilindrice.

Nu dăm detalii.

- Dacă Φ(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) este un câmp scalar, atunci:

∇Φ =1

𝐿1

𝜕Φ

𝑢1𝐮1 +

1

𝐿2

𝜕Φ

𝑢2𝐮2 +

1

𝐿3

𝜕Φ

𝑢3𝐮3.

- Dacă v=𝑃1𝐮1 + 𝑃2𝐮

2 + 𝑃3𝐮3, atunci

∇ · 𝐯 =1

𝐿1𝐿2𝐿3[𝜕

𝜕𝑢1(𝑃1𝐿2𝐿3) +

𝜕

𝜕𝑢2(𝑃2𝐿3𝐿1) +

𝜕

𝜕𝑢3(𝑃3𝐿1𝐿2)] și

140

∇ × 𝐯 =1

𝐿1𝐿2𝐿3|

𝐿1𝐮1 𝐿2𝐮2 𝐿3𝐮3𝜕

𝜕𝑢1𝜕

𝜕𝑢2𝜕

𝜕𝑢3

𝐿1𝑃1 𝐿2𝑃2 𝐿3𝑃3

|.

- Laplacianul:

∆Φ =1

𝐿1𝐿2𝐿3[𝜕

𝜕𝑢1(𝐿2𝐿3

𝐿1

𝜕Φ

𝜕𝑢1) +

𝜕

𝜕𝑢2(𝐿3𝐿1

𝐿2

𝜕Φ

𝜕𝑢2) +

𝜕

𝜕𝑢3(𝐿1𝐿2

𝐿3

𝜕Φ

𝜕𝑢3)].

În cazul coordonatelor carteziene, regăsim formulele (13),

(14), (15) și ∆Φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝜕2Φ

𝜕𝑥2+𝜕2Φ

𝜕𝑦2+𝜕2Φ

𝜕𝑧2;

în coordonate sferice,

∆Φ(𝑟, 𝜃, 𝜑) =1

𝑟2 sin𝜃[𝜕

𝜕𝑟(𝑟2 sin 𝜃

𝜕Φ

𝜕𝑟) +

𝜕

𝜕𝜃(sin 𝜃

𝜕Φ

𝜕𝜃) +

𝜕

𝜕𝜑(1

sin𝜃

𝜕Φ

𝜕𝜑)];

în coordonate cilindrice,

∆Φ =1

𝜌[𝜕

𝜕𝜌(𝜌

𝜕Φ

𝜕𝜌) +

𝜕

𝜕𝜑(1

𝜌

𝜕Φ

𝜕𝜑) +

𝜕

𝜕𝑧(𝜌

𝜕Φ

𝜕𝑧)];

în fine, în coordonate polare în plan,

∆Φ(𝜌, 𝜃) =𝜕2Φ

𝜕𝜌2+1

𝜌

𝜕Φ

𝜕𝜌+

1

𝜌2𝜕2Φ

𝜕𝜃2.

Ecuațiile lui Maxwell

Am văzut că sarcinile electrice mobile induc un câmp

magnetic B (legea lui Lorentz, din §4.3), după cum variația în

timp a câmpului magnetic induce un câmp electric E. Vectorii E

și B sunt perpendiculari.

Definiția 4.13: A defini un câmp electromagnetic într-o

regiune D din spațiu revine la a asocia fiecărui punct 𝑀 ∈ 𝐷 și la

orice moment t, o pereche de câmpuri variabile de vectori E(M,t)

și B(M, t) (pe scurt, (E,B)), formată dintr-un câmp electric și un

câmp magnetic, perpendiculare unul pe altul în fiecare punct,

legate inseparabil între ele, oscilând și generându-se reciproc.

141

Hertz a descoperit circuitul oscilant L–C care îi poartă

numele, generând primul exemplu de câmp electromagnetic și

confirmând profeția lui Maxwell. Există acum și alte modalități

de generare de astfel de câmpuri.

Liniile de câmp ale câmpului electromagnetic apar ca

„împletituri” de curbe 𝛾𝐄, 𝛾𝐁 precum inelele unui lanț, care trec

prin fiecare punct din regiunea D (fig. 4.23).

Fig. 4.23

Undele electromagnetice sunt purtătoare ale câmpului

electromagnetic, cu viteze v astfel încât E=B×v, cu mărimi

comparabile cu viteza luminii (‖𝐯‖ ≅ 𝑐).

Folosind „∇”, formulăm cele 4 ecuații celebre ale

câmpului electromagnetic, care sunt atribuite lui Maxwell, deși

parțial, ele fuseseră descoperite anterior de Faraday și Gauss.

Maxwell le-a dat forma actuală, folosind operatorii diferențiali.

Se notează cu 𝜌 densitatea de sarcină electrică volumică

(în C/m3) și cu 휀0=permitivitatea în vid (o constantă egală cu

8,85 × 10−12 Nm2/C2).

Apoi J este vectorul–densitate de curent electric și

𝜇0=permeabilitatea magnetică exprimând gradul de magnetizare

în vid (numită de asemenea constanta magnetică și având

valoarea 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 N/A2); avem 휀0𝜇0 =

1

𝑐2.

142

M1. ∇ · 𝐄 =𝜌

0 (legea lui Gauss a câmpului electric);

M2. ∇ · 𝐁 = 0 (legea lui Gauss a câmpului magnetic);

M3. ∇ × 𝐄 = −𝜕𝐁

𝜕𝑡 (legea lui Faraday);

M4. ∇ × 𝑩 = 𝜇0𝐉 +1

𝑐2𝜕𝐄

𝜕𝑡 (legea lui Maxwell).

Vom relua aceste ecuații în Capitolul 7 în legătură cu

tensorul electromagnetic.

Ecuația M1 arată că în punctele unde 𝜌 > 0 (respectiv

𝜌 < 0), liniile de câmp ale câmpului electric E diverg (respectiv

converg), în analogie cu sursele (respectiv puțurile) curgerii unor

fluide. Ecuația M2 exprimă imposibilitatea izolării unei sarcini

magnetice (imposibilitatea existenței unui monopol magnetic) și

faptul că liniile câmpului magnetic sunt curbe închise în jurul

conductorilor electrici. Ecuația M3 arată că variația în timp a

câmpului magnetic generează un câmp electric nenul, iar M4

arată că variația în timp a câmpului electric generează un câmp

magnetic chiar dacă J=0.

În încheierea acestui capitol, dăm câteva consecințe ale

ecuațiilor M1–M4.

1) Conform M4, aplicând „div”, rezultă:

0=𝜇0 ∇ · 𝐉 + 1

𝑐2∇ · (

𝜕𝐄

𝜕𝑡) deci

∇ · 𝐉 + 𝟏

𝒄𝟐𝜇0

𝜕

𝜕𝑡(∇ · 𝐄) și conform M1,

∇ · 𝐉 +𝜕𝜌

𝜕𝑡= 0 (ecuația de continuitate).

2) Presupunem că J≡ 𝟎, 𝜌 ≡ 0; se spune atunci că spațiul

este liber de sarcini. Conform M1 și M2, câmpurile E și B sunt

solenoidale și

∇ × 𝐄 = −𝜕𝐁

𝜕𝑡 și ∇ × 𝐁 =

𝟏

𝒄𝟐𝜕𝐄

𝜕𝑡.

143

Notăm M=E×B și 𝜑 =1

2(𝐵2 +

1

𝑐2𝐸2).

Atunci:

∇ · 𝐌 = ∇ · (𝐄 × 𝐁) = 𝐁 · (∇ × 𝐄) − 𝐄 · (∇ × 𝐁) =

= 𝐁 · (−𝜕𝐁

𝜕𝑡) − 𝐄 · (

1

𝑐2𝜕𝐄

𝜕𝑡) = −

1

2

𝜕

𝜕𝑡(𝐵2 +

1

𝑐2𝐸2) = −

𝜕𝜑

𝜕𝑡.

Așadar, are loc relația

∇ · 𝑀 +𝜕𝜑

𝜕𝑡= 0,

numită ecuația de continuitate a lui Poynting în spațiul liber.

3) Dacă B este constant în timp, atunci 𝜕𝐁

𝜕𝑡≡ 𝟎 și conform

M3, E este un câmp irotațional, deci un câmp de gradienți:

𝐄 = ∇Φ. Înlocuind în ecuația M1, rezultă ∇ · (∇Φ) =𝜌

0, deci

∆Φ =𝜌

0 . Aceasta este o ecuație cu derivate parțiale de ordinul

doi, de tip Poisson. Dacă în plus, 𝜌 ≡ 0 atunci ∆Φ = 0 (ecuație

de tip Laplace), iar Φ este o funcție armonică (numită potențialul

câmpului electric).

4) Presupunem că J≡ 𝟎 și 𝜌 =constant. Aplicând

rotorul în M4, se obține ∇ × (∇ × 𝐁) = ∇ × (1

𝑐2𝜕𝐄

𝜕𝑡) =

1

𝑐2∇ ×

(𝜕𝐄

𝜕𝑡) =

1

𝑐2𝜕

𝜕𝑡(∇ × 𝐄) =⏞

cf.M31

𝑐2𝜕

𝜕𝑡(−

𝜕𝐁

𝜕𝑡) = −

1

𝑐2𝜕2𝐁

𝜕𝑡2.

În mod similar,

∇ × (∇ × 𝐄) =⏞cf.M3

∇ × (−𝜕𝐁

𝜕𝑡) = −

𝜕

𝜕𝑡(∇ × 𝐁) =⏞

cf.M4

= −1

𝑐2𝜕

𝜕𝑡(𝜕𝐄

𝜕𝑡) = −

1

𝑐2𝜕2𝐄

𝜕𝑡2.

Pe de altă parte, are loc identitatea

∇ × (∇ × 𝐯) = ∇(∇ · 𝐯) − ∆𝐯 deci

∇ × (∇ × 𝐁) = ∇(∇ · 𝐁) − ∆𝐁 =⏞cf.M2

− ∆𝐁 și

144

∇ × (∇ × 𝐄) = ∇(∇ · 𝐄) − ∆𝐄 =⏞cf.M1

− ∆𝐄.

Ca atare,

∆𝐁 =1

𝑐2𝜕2𝐁

𝜕𝑡2 și ∆E =

1

𝑐2𝜕2𝐄

𝜕𝑡2.

Deci câmpurile de vectori B și E sunt soluții ale aceleeași

ecuații vectoriale cu derivate parțiale de ordinul II:

∆𝐮 −1

𝑐2𝜕2𝐮

𝜕𝑡2= 𝟎 (numită ecuația propagării undelor).

O soluție particulară a acestei ecuații pentru proiecția

vectorului u pe axa Ox este de forma 𝑢𝑥 = 𝐴 sin2𝜋

𝜆(𝑥 − 𝑐𝑡), unde

𝜆 este lungimea de undă; într-adevăr,

𝜕2𝑢𝑥

𝜕𝑥2= −𝐴

4𝜋2

𝜆2sin

2𝜋

𝜆(𝑥 − 𝑐𝑡) ,

𝜕2𝑢𝑥

𝜕𝑦2= 0,

𝜕2𝑢𝑥

𝜕𝑧2= 0 și

𝜕2𝑢𝑥

𝜕𝑡2= −𝐴 ·

4𝜋2

𝜆2𝑐2sin

2𝜋

𝜆(𝑥 − 𝑐𝑡) deci

∆𝑢𝑥 −1

𝑐2𝜕2𝑢𝑥

𝜕𝑡2≡ 0.

Studiul ecuației propagării undelor electromagnetice este

adâncit în Electrodinamică.

145

CAPITOLUL 5: TENSORI, EXEMPLE ȘI

OPERAȚII

Printr-o convenție tacită, obiectele materiale sunt privite

ca puncte (≡ centre de masă) atribuite maselor lor. Pentru a

descrie mișcarea unui obiect M, care nu își modifică în timp

structura, se consideră un referențial „fix” O, împreună cu

vectorul de poziție 𝑂𝑀 având o singură direcție. Dar dacă

obiectul urmărit își modifică structura, este necesară considerarea

simultană a mai multor direcții. Acesta este cazul unui corp aflat

într-un fluid unde apar vârtejuri locale, cazul mersului pe o sârmă

sau al unui corp ceresc cu traiectorie curbată în jurul unei mase

mari. Dar și cel al unui cristal străbătut de un câmp electric.

Așa cum vectorii permit studiul unor mărimi, numite

vectoriale (de tipul forțelor, vitezelor, accelerațiilor etc.), care se

referă la o singură direcție, tot astfel tensorii sunt utilizați în

probleme care necesită două sau trei direcții. Se spune că nu poți

trece printr-o incintă dacă nu cunoști „tensorul presiunilor” și nu

poți echilibra roțile unui automobil fără să apelezi la „tensorul de

inerție”. Fără a mai vorbi de Teoria elasticității, Mecanica

fluidelor, Teoria relativității generale și Cosmologie.

Vom considera cu precădere tensori 3D în spațiul fizic S,

raportat la diverse repere. Am văzut că relativ la un reper „fixat”,

vectorii sunt descriși prin componentele lor – triplete de scalari

sau numere reale; tensorii 2D sau 3D sunt utilizați în probleme

care necesită două (respectiv trei) direcții și au 9 (respectiv 27)

componente scalare. Dar vectorii și tensorii, în esența lor, nu

depind de vreun reper,ei având un caracter absolut.

146

Tensorii au fost descoperiți de italienii Levi Civita și Ricci

spre sfârșitul secolului al XIX–lea, aceștia creând Calculul

tensorial, odată cu studiul matricelor și al funcțiilor de mai multe

variabile reale.

§5.1. Mărimi cu caracter tensorial

În acest capitol și următoarele, vom nota V=V3.

Exemple preliminare

1) Pentru orice forță F și orice vector–deplasare d, se

poate considera lucrul L=F·d (produs scalar) și în acest mod, este

definită o aplicație:

𝐿: 𝑉 × 𝑉 → ℝ, 𝐿(𝐅, 𝐝) = 𝐅 · 𝐝.

Această aplicație este biliniară (adică liniară în fiecare

argument) și vom vedea că aceasta definește un tensor.

2) Considerăm un tambur rotitor K în jurul unei axe și

exprimăm momentul lui cinetic. Fixăm un punct referențial O pe

axă și admitem că tamburul constă din N particule materiale

având masele 𝑚𝑘 și vectorii de poziție 𝐫𝑘 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁). Notăm

cu 𝛚 vectorul–viteză unghiulară al lui K; (fig. 5.1).

Fig. 5.1

147

Fiecare particulă are momentul cinetic (≡unghiular)

𝐋𝑘 = 𝐫𝑘 × (𝑚𝑘𝐯𝑘), cu viteza 𝐯𝑘 = 𝛚 × 𝐫𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 (conform

formulei (11) din § 3.4). Momentul cinetic total al lui K este

L=∑ 𝐋𝑘𝑁𝑘=1 . Acesta depinde de distribuția maselor 𝑚𝑘 și de viteza

unghiulară. Asocierea 𝛚 ↦ L este un operator liniar:

I: V→V,

care este tocmai tensorul de inerție asociat corpului K.

3) Presupunem un solid rigid asupra căruia acționează o

forță de compresie sau răsucire; făcând o secțiune plană Σ în acel

solid, el se desface în două părți. Datorită forțelor interne, cele

două părți se deplasează, una în raport cu cealaltă, cu o forță F

care este proporțională cu aria A a secțiunii și perpendiculară pe

planul secțiunii (fig. 5.2).

Fig. 5.2

Considerăm vectorul A=An, unde n este versorul normalei la

planul Σ. La nivel „infinitezimal” (adică pentru o secțiune

„mică”), asocierea A ↦ F definește un alt operator liniar T: V→V,

care reprezintă tensorul tensiunilor în solidul considerat.

Vectori și covectori

Definiția 5.1: Orice aplicație liniară 𝜑: 𝑉 → ℝ se numește

funcțională liniară pe V și se notează cu V* mulțimea

148

funcționalelor liniare pe V. Definind suma 𝜑 + 𝜓 și multiplicarea

cu scalarul 𝜆 în mod uzual, mulțimea V* este un spațiu vectorial

real, numit dualul lui V.

Așa cum elementele lui V se numesc vectori,

funcționalele liniare pe V se mai numesc covectori; covectorul

nul din V* este funcționala 𝜑: 𝑉 → ℝ care asociază oricărui

vector v∈ 𝑉, scalarul 𝜑(𝐯) = 0.

Pentru orice bază ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} a lui V, se definește

(≡asociază) un set de trei covectori ai lui V *; anume, se consideră

funcționalele liniare 𝐠𝑖 ∶ 𝑉 → ℝ (cu i–indice etaj) astfel încât

𝐠𝑖(𝐠𝑗) = 𝛿𝑗𝑖 pentru 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3. (1)

LEMĂ: Covectorii 𝐠𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3, formează o bază a lui V*.

Demonstrație:

Într-adevăr, dacă 𝛼𝑖𝐠𝑖 = 0 (sumă după i), atunci pentru

orice j, (𝛼𝑖𝐠𝑖)(𝐠𝑗) = 0, deci 0=𝛼𝑖𝐠

𝑖(𝐠𝑗) = 𝛼𝑖𝛿𝑗𝑖 = 𝛼𝑗. Așadar,

covectorii 𝐠𝑖 sunt liniar independenți. Apoi, pentru orice covector

a∈V*, avem

a=𝑎𝑖𝐠𝑖, unde 𝑎𝑖 = 𝐚(𝐠𝑖), 1 ≤ 𝑖 ≤ 3. (2)

Într-adevăr, este suficient să arătăm că această relație are loc pe

vectorii bazei ℬ: (𝑎𝑖𝐠𝑖)(𝐠𝑗) = 𝑎𝑖𝐠

𝑖(𝐠𝑗) = 𝑎𝑖𝛿𝑗𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝐚(𝐠𝑗).

Relația (2) arată că 𝐠𝑖 generează spațiul dual V*.

Definiția 5.2: Baza {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} de covectori a lui V* se

numește baza duală a lui ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} și se notează cu ℬd.

Așadar, dim V*=dim V=3.

Notă: Există o anumită similitudine (și atât) între baza

duală ℬd (a lui V*) și baza reciprocă ℬr (a lui V3).

149

Dacă 𝐚 ∈ V* este un covector, el se reprezintă unic sub

forma a=𝑎𝑖𝐠𝑖 (sumă după i); numerele reale 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 formează

setul de componente scalare ale covectorului a.

Este important să stabilim modul cum se modifică, la o

schimbare de bază, componentele scalare ale vectorilor sau

covectorilor.

Presupunem că în V3 se consideră două baze

ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} și ℬ = {��1, ��2, ��3} (legate de repere carteziene

diferite în spațiu). Atunci există scalari 𝑡𝑗𝑖 astfel încât pentru

1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3 au loc relațiile:

��𝑗 = 𝑡𝑗𝑖𝐠𝑖 (sumă după i) și, invers, 𝐠𝑗 = 𝑢𝑗

𝑘��𝑘 (sumă după k) (3)

Notă: Se observă corespondențele de tip „∖” între indicii–

etaj și subsol. Se consideră că acest tip de corespondență a

indicilor este cea standard (sau covariantă). Cealaltă posibilitate

se numește contravariantă.

Reamintim că matricea T=(𝑡𝑗𝑖) pătratică de ordin 3, este

inversabilă cu 𝑈 = 𝑇−1 = (𝑢𝑗𝑖) și au loc relațiile:

𝑡𝑘𝑖 𝑢𝑗𝑘 = 𝛿𝑗

𝑖, 𝑢𝑘𝑖 𝑡𝑗𝑘 = 𝛿𝑗

𝑖 pentru orice i,j. (4)

Orice vector v∈ 𝑉 are două reprezentări relativ la bazele

ℬ, ℬ și anume:

v=𝑣𝑖𝐠𝑖 și v=��𝑗��𝑗. (5)

Folosind relațiile (3), rezultă v=��𝑗��𝑗 = ��𝑗𝑡𝑗𝑖𝐠𝑖 deci

𝑣𝑖 = 𝑡𝑗𝑖��𝑗; înmulțind aici cu 𝑢𝑖

𝑘, rezultă:

𝑢𝑖𝑘𝑣𝑖 = (𝑢𝑖

𝑘𝑡𝑗𝑖)��𝑗 =⏞

cf.(4)

𝛿𝑗𝑘��𝑗 = ��𝑘.

Așadar,

𝑣𝑖 = 𝑡𝑗𝑖��𝑗 și ��𝑘 = 𝑢𝑖

𝑘𝑣𝑖, pentru orice i, k. (6)

150

(Relația secundă se poate obține și direct prin inversarea

bazelor ℬ și ℬ).

Se observă aici corespondența de tip „ / ” între indicii –

etaj și subsol, numită „contravariantă” (căci contravine

standardului fixat).

Notă: Ca un fapt esențial, reținem că dacă se măsoară

componentele scalare ale unui vector relativ la o bază, atunci se

pot determina (≡deduce) prin calcul, fără alte măsurători,

componentele scalare ale aceluiași vector relativ la altă bază, fiind

suficient de știut matricea de trecere T (sau inversa ei U). Aceasta

este semnificația formulelor (6).

Stabilim acum modul cum se modifică, la o schimbare a

bazei, componentele scalare ale covectorilor.

Fie ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠2}, ℬ = {��1, ��2, ��3} două baze ale lui V

și ℬd = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3}, ℬd = {��1, ��2, ��3} bazele duale

respective (pentru V*). Fie a∈V* un covector oarecare; 𝑎𝑗 =

𝐚(𝐠𝑗) și ��𝒌 = 𝐚(��𝑘).

Conform (3), avem 𝑎𝑗 = 𝐚(𝐠𝑗)=a(𝑢𝑗𝑘��𝑘) = 𝑢𝑗

𝑘𝐚(��𝑘) = 𝑢𝑗𝑘��𝑘.

Așadar, setul (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) al componentelor scalare ale

covectorului a relativ la baza ℬ se modifică după regula:

𝑎𝑖 = 𝑢𝑖𝑘��𝑘, de unde ��𝑖 = 𝑡𝑖

𝑘𝑎𝑘, pentru 1 ≤ 𝑖 ≤ 3, (7)

unde (��1, ��2, ��3) este setul componentelor scalare ale aceluiași

covector a relativ la baza duală ℬd.

Se observă că pentru covectori are loc regula „∖”, pentru

corespondența indicilor etaj și subsol, diferită de regula (6) de

tipul „ / ” din cazul vectorilor v=(𝑣1, 𝑣2, 𝑣3).

151

Operatori liniari

Reamintim că un operator liniar al spațiului V=V3 este

orice aplicație liniară ℎ: 𝑉 → 𝑉 (definiția 2.8 din §2.2). Dacă

ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠2} și ℬ = {��1, ��2, ��3} sunt două baze ale lui V,

atunci se pot considera următoarele trei matrice pătratice

din M3(ℝ):

- matricea M𝐡 ℬ = (ℎ𝑗

𝑖) a lui h relativ la ℬ;

- matricea M𝐡 ℬ =(ℎ𝑗

𝑖) a lui h relativ la ℬ;

- matricea de trecere 𝑇 = (𝑡𝑗𝑖) de la ℬ la ℬ și inversa ei,

𝑈 = (𝑢𝑗𝑖) asigurând trecerea de la ℬ la ℬ.

Conform definiției 2.8 din §2.3 și relațiilor (3), au loc

următoarele relații, pentru orice 1≤ 𝑗 ≤ 3:

h(𝐠𝑗) = ℎ𝑗𝑖𝐠𝑖; 𝐡(��𝑗) = ℎ𝑗

𝑖𝐠𝑖;

��𝑗 = 𝑡𝑗𝑖𝐠𝑗 și 𝐠𝑗 = 𝑢𝑗

𝑘��𝑘. (8)

Fie v ∈ 𝑉 oarecare și w=h(v) imaginea lui v prin

operatorul h. Așadar, w=h(𝑣𝑗𝐠𝑗) = 𝑣𝑗𝐡(𝐠𝑗) =⏞

cf.(8)

𝑣𝑗ℎ𝑗𝑘𝐠𝑘.

Comparând cu relația w=𝑤𝑘𝐠𝑘, rezultă că 𝑤𝑘 = ℎ𝑗𝑘𝑣𝑗 pentru

orice k [Aceasta este tocmai scrierea pe componente a relației

w=h(v)]. În mod similar, ��𝑘 = ℎ𝑗𝑘��𝑗 =⏞

cf.(6)

ℎ𝑗𝑘𝑢𝑞

𝑗𝑣𝑞. Ca atare,

conform (6), 𝑤𝑝 = 𝑡𝑘𝑝��𝑘 = 𝑡𝑘

𝑝ℎ𝑗𝑘��𝑗 = 𝑡𝑘

𝑝ℎ𝑗𝑘𝑢𝑞

𝑗𝑣𝑞; pe de-altă

parte, 𝑤𝑝 = ℎ𝑞𝑝𝑣𝑞 și, în concluzie, rezultă următoarea relație între

elementele matricei operatorului h între cele două baze:

ℎ𝑞𝑝 = 𝑡𝑘

𝑝𝑢𝑞𝑗ℎ𝑗𝑘 (deoarece v a fost ales arbitrar!).

Schimbând notarea indicilor de sumare, rezultă relația

ℎ𝑗𝑖 = 𝑡𝑝

𝑖 𝑢𝑗𝑞ℎ𝑞

𝑝 (sumă după p și q) și invers,

152

ℎ𝑗𝑖 = 𝑢𝑝

𝑖 𝑡𝑗𝑞ℎ𝑞

𝑝 , (9)

ultima relație rezultând și prin intervertirea bazelor ℬ, ℬ.

Notă: Notând cu X (respectiv ��) matricea–coloană a

componentelor scalare ale vectorului v relativ la baza ℬ (respectiv

ℬ), faptul că w=h(v) revine la relațiile Y=HX și respectiv

�� = ����, unde H=M𝐡 ℬ și �� = M𝐡

ℬ și Y (respectiv ��), reprezintă

matricea–coloană a componentelor lui w=h(v) relativ la ℬ

(respectiv ℬ). Deoarece 𝑋 = 𝑇��, 𝑌 = 𝑇�� și 𝑈 = 𝑇−1, rezultă

�� = ���� = ��𝑈𝑋, deci 𝑌 = 𝑇�� = 𝑇��𝑈𝑋, adică 𝐻𝑋 = 𝑇��𝑈𝑋;

cum X este arbitrar, rezultă 𝐻 = 𝑇��𝑈 și invers, �� = 𝑈𝐻𝑇.

Aceasta este scrierea matriceală a relațiilor (9).

Reținem că �� = 𝑇−1𝐻𝑇; în general, două matrice

pătratice A, B ∈ M3(ℝ) se numesc asemenea, dacă există o

matrice nesingulară T ∈ M3(ℝ), astfel încât B=𝑇−1𝐴𝑇. Așadar,

matricele H și �� ale aceluiași operator relativ la baze distincte

sunt asemenea. Problema reducerii matricei pătratice H (sau

echivalent, a operatorului h) revine la a determina o matrice

nesingulară T, astfel încât matricea 𝑇−1𝐻𝑇 să aibă o formă cât

mai simplă (diagonală sau Jordan etc.). Această problemă este un

punct central al Algebrei liniare, care se rezolvă apelând la vectori

și valori proprii, dar ne oprim aici.

§5.2. Definiția tensorilor 3D liberi și exemple

Reamintim că prin scalari se înțeleg numerele reale, dar

și mărimile fizice, chimice, economice etc. asociate cu diverse

unități de măsură, care nu depind de vreo poziție sau direcție în

spațiu. Scalarii sunt independenți de reper.

153

Ca și până acum, fie V=V3. Multe noțiuni pot fi extinse la

cazul vectorilor și tensorilor din ℝ𝑛, cu 𝑛 ≥ 2.

Definiția generală 5.3: Prin convenție, scalarii se

consideră tensori de ordin 0 (zero).

Fie 𝑛 ≥ 1 și 𝑟, 𝑠 ≥ 0 numere întregi astfel încât r+s=n.

Se numește tensor liber 3D de ordin n și tip r+s orice aplicație

multiliniară (adică liniară în fiecare argument)

𝐓: 𝑉∗ ×. . .× 𝑉∗⏞ 𝑟 ori

× 𝑉 × …𝑉⏞ 𝑠 ori

→ ℝ. (10)

Această definiție trebuie aplicată și transformată în

instrument de lucru. Se observă că tensorii liberi, ca și vectorii

liberi (nu câmpurile), sunt obiecte matematice absolute, în sensul

că nu sunt relative la vreun reper 3D. În practica utilizării

tensorilor în probleme concrete, este esențială reprezentarea lor

prin seturi sau masive de numere reale, numite componente. În

acest sens, explicităm definiția anterioară (10), începând cu

valorile mici ale ordinului n.

Fixăm o bază ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠2} a lui V și fie

ℬ = {��1, ��2, ��3} baza duală (a lui V*).

Tensori de ordin 1 și tip 1+0

Conform definiției (10) aceștia sunt aplicații liniare:

T:V* → ℝ.

Stabilim mai întâi următoarea:

LEMĂ: Există un izomorfism liniar canonic I: V → 𝑉∗∗.

Demonstrație: Se subînțelege că V** este spațiul vectorial

al aplicațiilor liniare T:V* → ℝ.

Fiecărui vector v ∈ 𝑉 îi asociem aplicația ℓ𝐯 ∶ 𝑉∗ → ℝ,

definită prin ℓ𝐯(𝜑) = 𝜑(𝐯). Așadar, I(v)=ℓ𝐯. Este evident că

154

aplicația I este liniară. Termenul „canonic” este legat de faptul că

definiția aplicației I nu folosește vreun reper extern.

Arătăm că I este injectivă; într-adevăr, dacă I(v)=0, atunci

ℓ𝐯 = 0 adică 𝜑(v)=0 pentru orice 𝜑 ∈ V*. Dacă v=𝛼𝑖𝐠𝑖 (scriere

în baza ℬ), atunci luând 𝜑 = 𝐠𝑗, rezultă 𝐠𝑗(𝛼𝑖𝐠𝑖) = 0, adică

𝛼𝑖𝐠𝑗(𝐠𝑖) = 0, deci 𝛼𝑖𝛿𝑖

𝑗= 0. Ca atare toți 𝛼𝑗 = 0 și v=0.

În fine, arătăm că I este surjectivă: fixăm T∈V** și fie

𝑣𝑗 = 𝐓(𝐠𝑗), 1 ≤ 𝑗 ≤ 3. Luând v=𝑣𝑖𝐠𝑖, rezultă:

ℓ𝐯(𝐠𝑗) = 𝐠𝑗(𝐯) = 𝐠𝑗(𝑣𝑖𝐠𝑖) = 𝑣

𝑖𝐠𝑗(𝐠𝑖) = 𝑣𝑖𝛿𝑖𝑗= 𝑣𝑗 .

Așadar, aplicațiile liniare T și ℓ𝐯 coincid pe toți vectorii

𝑣𝑗 ai bazei ℬd, deci T=ℓ𝐯.

Conform acestei leme, tensorul T:V* → ℝ de tip 1+0 se

identifică cu acel unic vector v ∈ 𝑉, astfel încât T=ℓ𝐯; am văzut

că v=𝑣𝑖𝐠𝑖, unde 𝑣𝑖 = 𝐓(𝐠𝑖); 1 ≤ 𝑖 ≤ 3.

Invers, orice vector v ∈ 𝑉, 𝐯 = 𝑣𝑖𝐠𝑖, reprezentat prin

componentele scalare contravariante 𝑣𝑖 (cu indice–etaj), este

identificat cu un tensor 1+0 și se mai numește

vector contravariant.

Dacă ℬ = {��1, ��2, ��3} este o altă bază a lui V3, am văzut

că între componentele scalare (𝑣𝑖) și (��𝑖) ale aceluiași vector

v ∈V3, au loc relațiile (6).

Reținem că a considera un tensor 1+0, adică un vector

contravariant v ∈ V3, este echivalent cu a considera setul

componentelor (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) cu indici–etaj relativ la o bază ℬ,

împreună cu relațiile (6) de legătură cu componentele aceluiași

vector relativ la orice altă bază ℬ.

Notă: Trebuie făcută distincția între tensori și seturile de

componente scalare ale lor. Înainte de dezvoltarea Algebrei

155

liniare, tensorii 1+0 erau definiți direct prin seturile de numere de

tip (𝑣𝑖), ceea ce conducea la confuzii de limbaj.

Tensori de ordinul 1 și tip 0+1

Conform definiției (10), aceștia sunt aplicații liniare

T:V → ℝ.

Notăm 𝑣𝒊 = 𝐓(𝐠𝑖); 1 ≤ 𝑖 ≤ 3 și fie 𝐯 = 𝑣𝑖𝐠𝑖.

Aplicația T se identifică prin setul de numere (𝑣𝒊), al

componentelor scalare covariante ale vectorului v=𝑣𝑖𝐠𝑖. Dacă

ℬ = {��1, ��2, ��3} este o altă bază a lui V3, atunci între

componentele scalare (𝑣𝑖) și (��𝑖) ale aceluiași vector v ∈ V3 au

loc relațiile (7).

Tensorii de tip 0+1 sunt exact covectori (conform

definiției 5.1); ei se mai numesc vectori covarianți. De fapt, este

vorba de componentele covariante ale vectorilor. Reținem că a

considera (≡ a defini sau a da) un tensor 0+1 revine la a defini un

set de trei numere reale de tipul (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) cu indici–subsol

relativ la o bază ℬ, împreună cu relațiile (7) care arată cum se

determină componentele aceluiași tensor relativ la orice altă bază

ℬ a lui V3.

Tensori de ordinul 2

Tensorii de ordin 2 au 32=9 componente scalare și

corespund la două direcții. Componentele lor formează matrice

pătratice de ordin 3.

Există trei posibilități: tensori de tip 2+0 (dublu

contravarianți), tensori micști de tipul 1+1 (o dată covariant și o

dată contravariant) și tensori 0+2 (dublu covarianți).

156

Un tensor dublu contravariant este, conform (10), o

aplicație biliniară

T:V*×V* → ℝ. (11)

Componentele lui scalare, relativ la baza ℬ, sunt:

𝑇𝑖𝑗 = 𝐓(𝐠𝑖, 𝐠𝑗); 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3.

Reamintim că o aplicație biliniară ℎ: ℝ3 × ℝ3 → ℝ

asociază oricărei perechi 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) un

număr real de forma ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗 (sumă după i, j).

Fie v, w ∈ V* doi covectori oarecare. Atunci avem scrieri

v = 𝑣𝑖𝐠𝑖, w=𝑤𝑗𝐠

𝑗 , deci T(v, w)=T(𝑣𝑖𝐠𝑖, 𝑤𝑗𝐠

𝑗)=𝑣𝑖𝑤𝑗𝐓(𝐠𝑖, 𝐠𝑗)=

=𝑇𝑖𝑗𝑣𝑖𝑤𝑗. În mod similar, relativ la baza ℬ avem

T(v,w)= ��𝑖𝑗��𝑖��𝑗 unde ��𝑖𝑗 = 𝐓(��𝑖, ��𝑗). Conform (7), avem

��𝑖 = 𝑡𝑖𝑘𝑣𝑘 și ��𝑗 = 𝑡𝑗

𝑝𝑤𝑝, deci T(v,w)=��𝑖𝑗𝑡𝑖𝑘𝑣𝑘𝑡𝑗

𝑝𝑤𝑝.

Așadar, 𝑇𝑖𝑗𝑣𝑖𝑤𝑗 = ��𝑖𝑗𝑡𝑖

𝑘𝑡𝑗𝑝𝑣𝑘𝑤𝑝 și înlocuind indicii de

sumare i și j cu k, respectiv p, în membrul stâng și ținând cont că

v, w erau arbitrari, rezultă relațiile

𝑇𝑘𝑝 = 𝑡𝑖𝑘𝑡𝑗𝑝��𝑖𝑗 (sumă după i, j). (12)

Raționând similar, sau intervertind bazele, rezultă

��𝑖𝑗 = 𝑢𝑘𝑖 𝑢𝑝

𝑗𝑇𝑘𝑝(sumă după k, p) (12´)

Așadar, a considera (≡ a defini, a da) un tensor dublu

contravariant revine la a avea un masiv de numere (𝑇𝑖𝑗), formând

o matrice pătratică 3×3, care la o schimbare de bază ℬ ⇄ ℬ se

modifică după regulile (12) și (12’).

Un tensor dublu covariant (de tip 0+2) este o aplicație

biliniară

T: 𝑉 × 𝑉 → ℝ.

157

Relativ la baza ℬ, el are componentele

𝑇𝑖𝑗 = 𝐓(𝐠𝑖 , 𝐠𝑗), 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3.

Dacă v, w ∈ 𝑉 sunt doi vectori oarecare, v= 𝑣𝑖𝐠𝑖,

w=𝑤𝑗𝐠𝑗 și, raționând ca mai sus, la o schimbare de bază ℬ ⇄ ℬ,

au loc relații de forma

𝑇𝑖𝑗 = 𝑢𝑖𝑝𝑢𝑗

𝑞��𝑝𝑞 ș𝑖 ��𝑝𝑞 = 𝑡𝑝𝑖 𝑡𝑞𝑗𝑇𝑖𝑗. (13)

În fine, pentru un tensor mixt de tip 1+1, adică o aplicație

biliniară, T: 𝑉 × 𝑉∗ → ℝ, componentele scalare relativ la baza ℬ

sunt 𝑇𝑗𝑖 = 𝐓(𝐠𝑗, 𝐠

𝑖) și la o schimbare de bază ca mai sus, au loc

relațiile

𝑇𝑗𝑖 = 𝑡𝑝

𝑖 𝑡𝑗𝑞��𝑞

𝑝 și ��𝑞𝑝 = 𝑢𝑝

𝑖 𝑡𝑗𝑞𝑇𝑗

𝑖. (14)

Există încă un tensor mixt de tip 1+1, anume

T: 𝑉∗ × 𝑉 → ℝ, dar nu mai dăm detalii.

Notă: Se poate observa că s-a păstrat peste tot convenția

privind corespondența indicilor de contravarianță sau covarianță,

de sumare, pe direcțiile „ / ” sau „∖”.

Vom considera ulterior tensori de ordin 3, 4 sau mai

general. Prin convenție, un tensor de tip r+s este numit de r ori

contravariant și de s ori covariant. Definiția generală 5.3 poate fi

reformulată astfel:

Definiția 5.3´: Un tensor de ordin n=r+s în spațiul ℝ3

este un masiv de 3n numere reale 𝑇𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟, astfel încât, la o

schimbare a bazei ℬ ⇄ ℬ, să fie satisfăcute relațiile următoare:

𝑇𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟 = 𝑡𝑝1

𝑖1 …𝑡𝑝𝑟𝑖𝑟 𝑢𝑗1

𝑞1…𝑢𝑗𝑠𝑞𝑠��𝑞1…𝑞𝑠

𝑝1…𝑝𝑟 (15)

și invers,; există n=r+s indici de sumare (muți)

𝑝1, … , 𝑝𝑟 , 𝑞1, … , 𝑞𝑠, iar indicii de contravarianță 𝑖1… 𝑖𝑟 și cei de

covarianță 𝑗1… 𝑗𝑠 își păstrează locurile (cu menținerea regulilor

158

de corespondență „ / ” sau „∖” între indicii de sumare). Reamintim

că 𝑡𝑗𝑖 (sau 𝑢𝑗

𝑖) sunt elemente corespunzătoare ale matricei de

trecere de la o bază la alta. Suma din formula (15) este o sumă

multiplă, cu indicii de sumare variind de la 1 la 3.

Exemple de tensori

1) Fie v=(𝑣𝑖) un vector contravariant și a=(𝑎𝑖) un covector

(≡ vector covariant), 1 ≤ 𝑖 ≤ 3, relativ la aceeași bază ℬ.

Se definește coprodusul scalar

⟨𝐚, 𝐯⟩ = 𝑎𝑖𝑣𝑖 (sumă după i). (16)

Arătăm că acesta este un scalar (≡ tensor de ordin 0), adică este

independent de reper. Într-adevăr, dacă ℬ este o altă bază, atunci

cu notații transparente, conform relațiilor (6) și (7), avem:

⟨𝐚, 𝐯⟩ = 𝑎𝑗𝑣𝑗 =⏞cf.(7)

(𝑢𝑗𝑖��𝑖)(𝑡𝑘

𝑗��𝑘) = (𝑢𝑗

𝑖𝑡𝑘𝑗)(��𝑖��

𝑘) =

𝛿𝑘𝑖 ��𝑖��

𝑘 = ��𝑖��𝑖 = ⟨��, ��⟩.

Atenție: ⟨𝐯, 𝐚⟩ nu are sens! Deci coprodusul scalar este o

operație diferită de PS.

2) Aplicația F: 𝑉∗ × 𝑉 → ℝ, (a, v) ↦ ⟨𝐚, 𝐯⟩ este

evident biliniară; anume, dacă a=𝑎𝑖𝐠𝑖 și 𝐯 = 𝑣𝑗𝐠𝑗, atunci

⟨𝐚, 𝐯⟩ = 𝑎𝑖𝑣𝑖 = (𝑎𝑖𝑣

𝑗)𝛿𝑗𝑖 = (𝑎𝑖𝑣

𝑗)(𝐠𝑖(𝐠𝑗)) = (𝑎𝑖𝐠𝑖)(𝑣𝑗𝐠𝑗) =

= a(v) și F este liniară în ambele argumente. Așadar, F este un

tensor mixt.

3) Tensorul lui Kronecker este K=(𝛿𝑗𝑖), indicând astfel

componentele lui relativ la o bază ℬ. Acesta este un tensor mixt,

deoarece trecând la o altă bază ℬ, avem 𝛿𝑗𝑖 = 𝑡𝑝

𝑖 𝑢𝑗𝑞𝛿��

𝑝 (căci

𝛿𝑗𝑖 = 𝑡𝑝

𝑖 𝑢𝑗𝑝); așadar, se verifică relația (14).

159

4) Cel mai important tensor, având multiple aplicații, așa

cum vom vedea, este tensorul metric, definit prin produsul scalar

și notat g; anume el este tensorul dublu covariant

g:𝑉 × 𝑉 → ℝ, (𝐯,𝐰) ↦ v·w.

În mod explicit, relativ la o bază ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠2} a lui V=V3,

scriind v=𝑣𝑖𝐠𝑖, 𝐰 = 𝑤𝑗𝐠𝑗 , rezultă:

g(v,w)=v·w=(𝑣𝑖𝐠𝑖) · (𝑤𝑗𝐠𝑗) = (𝑣

𝑖𝑤𝑗)(𝐠𝑖 · 𝐠𝑗).

Notând 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 (produse scalare uzuale în V3),

rezultă că g(v,w)=𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑤𝑗 (sumă după i, j), ceea ce confirmă

faptul că aplicația g este biliniară.

Matricea pătratică (𝑔𝑖𝑗) ; 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3 este evident

simetrică. Tensorul metric este evident independent de reper,

deoarece are o definiție fizică intrinsecă–produsul mărimilor

vectorilor prin cosinusul unghiului dintre ei.

5) Am văzut că orice operator liniar h: 𝑉 → 𝑉 are o

matrice pătratică (ℎ𝑗𝑖) relativ la orice bază ℬ și că la orice

schimbare de bază ℬ ⇄ ℬ au loc relațiile (9); comparând cu

relațiile (14), constatăm că este definit un tensor mixt de tip 1+1.

6) Reluând exemplele date în §5.1, se observă că lucrul

unei forțe determină un tensor dublu covariant (0+2), iar tensorul

de inerție și tensorul tensiunilor sunt micști, de tipul 1+1.

Fără a intra în detalii, indicăm câțiva tensori semnificativi:

tensorii de deformare și de tensiune în Mecanica mediilor

continue, tensorul lui Faraday–Maxwell în Electromagnetism,

tensorul dielectric, tensorul de difuzie în medii biologice (celule,

țesuturi etc.), tensorul vederii computerizate, tensorul de curbură.

Câteva aplicații vor fi mai adâncite în Capitolul 7.

160

Notă: Conform definiției 5.3, tensorii sunt obiecte

matematice, anume aplicații multiliniare, independente de vreun

reper; în același timp, ei apar în descrierea unor situații fizice.

Pentru a opera cu tensori, este utilă considerarea unor

repere convenabile și a raporta acei tensori la reperele respective,

apelând la masivele (≡ matricele) componentelor scalare. Nu

orice masiv de date (seturi 1D, matrice pătratice 2D sau matrice

cubice 3D etc.) reprezintă componentele unui tensor, ci numai

cele care la o schimbare de reper (≡ bază), respectă reguli de tipul

(12)–(15). Mulți autori identifică tensorii cu masivele sau seturile

componentelor lor, ceea ce poate fi lucrativ, dar necesită precauții

de limbaj.

În cazul ℝ𝑛, vectorii (din V) și respectiv covectorii (din

V*) sunt reprezentați prin seturile de câte n componente scalare,

cu indici–etaj, respectiv indici–subsol. Pentru tensorii de ordin 1

componentele sunt legate de o singură direcție. În reprezentarea

unor aplicații biliniare, numărul componentelor este n2 și tensorii

respectivi se referă la două direcții. Un tensor de ordin 3 are n3

componente scalare formând o matrice cubică și se referă la

informații simultan pe trei direcții. Numărul de indici și pozițiile

lor determină regulile de transformare a componentelor la o

schimbare a bazei.

Tensorii considerați aici sunt liberi, în sensul că nu

variază punct cu punct într-un domeniu, în analogie cu cazul

vectorilor liberi. În Capitolul următor vom studia câmpuri de

tensori, legați de punctul de aplicație, de repere mobile și de

coordonate curbilinii.

161

Spinori

La trecerea de la un reper ortonormal la altul printr-o

rotație, se modifică desigur componentele oricărui tensor și

această transformare nu depinde de drumul reperului în „spațiul

reperelor”; există însă drumuri continue în acest spațiu care nu se

pot deforma continuu unul la celălalt din cauza orientării

reperului. Din acest motiv, se atașează fiecărui reper un invariant

discret, având doar două valori, +1 și –1, care precizează

comportarea; acest invariant se numește spin. Un spinor este un

obiect fizico–matematic, care se comportă ca un tensor rotit, cu

precizarea semnului determinat de spin.

§5.3. Operații cu tensori

1. Multiplicarea cu scalari, sumă

Dacă T este un tensor de tip r+s și 𝛼 este un scalar, atunci

multiplicatul 𝛼T este un tensor de același tip; în particular,

−T este opusul lui T.

Dacă X, Y sunt doi tensori de același tip (r, s), atunci

suma X+Yeste un tensor de același tip (cu suma pe componente).

Nu se pot aduna tensori de tipuri diferite. Tensorul nul are toate

componentele nule, indiferent de bază. Desigur, X–Y=X+(−Y).

2. Produsul tensorial

Fie X un tensor de tip r+s și Y un tensor de tip p+q.

Definim un nou tensor, notat Z=X⨂𝐘 , numit produsul tensorial

al tensorilor X, Y având componentele (relativ la o bază ℬ):

𝐙𝑗1…𝑗𝑠+𝑞

𝑖1…𝑖𝑟+𝑝 = 𝐗𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟 𝐘

𝑗𝑠+1…𝑗𝑠+𝑞

𝑖𝑟+1…𝑖𝑟+𝑝.

162

Tensorul Z are tipul (r+p, s+q), ordinul n=r+p+s+q și 3𝑛

componente scalare.

Atenție: X⨂𝐘 ≠ 𝐘⨂𝐗.

Exemple

1) Fie X=(𝑋𝑖) și Y=(𝑌𝑗). Atunci X⨂𝐘 = (𝑍𝑖𝑗), unde

𝑍𝑖𝑗= 𝑋𝑖𝑌

𝑗.

2) Fie X=(𝑋𝑖), 𝐘 = (𝑌𝑘𝑗). Atunci X⨂𝐘 = (𝑍𝑘

𝑖𝑗), unde

𝑍𝑘𝑖𝑗= 𝑋𝑖𝑌𝑘

𝑗 (27 de componente).

3) Dacă X=(𝑋𝑗𝑖) și 𝐘 = (𝑌 𝑞

𝑛 𝑝), atunci X⨂𝐘 = (𝑍𝑗 𝑞𝑖 𝑛 𝑝),

unde 𝑍𝑗 𝑞𝑖 𝑛 𝑝 = 𝑋𝑗

𝑖𝑌𝑞𝑛 𝑝

. Așadar, X are ordinul 2 și Y are ordinul 3,

iar X⨂𝐘 are ordinul 5 (deci 35 componente).

Faptul că se obțin tensori valabili se verifică arătând

modul cum se respectă regulile de schimbare a bzei. Ca

exemplificare, reluăm exemplul 1). Așadar, la o schimbare

ℬ → ℬ, avem 𝑋𝑖 = 𝑢𝑖𝑝��𝑝 și 𝑌

𝑗 = 𝑡𝑘𝑗��𝑘 (conform (11) și (12))

deci 𝑋𝑖𝑌𝑗 = 𝑢𝑖

𝑝𝑡𝑘𝑗��𝑝��

𝑘, adică 𝑍𝑖𝑗= 𝑡𝑘

𝑗𝑢𝑖𝑝��𝑝

𝑘 și recunoaștem

regula (14) a unui tensor mixt.

Notă: Este importantă notarea indicilor pentru a evita

repetările de indici, acolo unde nu este cazul. Indicele repetat

implică automat aplicarea convenției lui Einstein.

3. Contracția tensorilor

Reținem că prin considerarea unui produs tensorial, crește

numărul de indici (deci ordinul) tensorilor factori. Operația de

contracție diminuează numărul de indici. Anume, se egalează un

indice–etaj cu unul subsol și se face suma componentelor după

indicele repetat. Nu se face contracția a doi indici–etaj sau a doi

163

indici–subsol! Așadar, dintr-un tensor de tip r+s se obține unul de

tip (r–1)+(s–1) și ordinul scade cu 2.

Exemple

1) Fie X=(𝑋𝑖) și 𝐘 = (𝑌𝑗). Atunci X⨂𝐘 = (𝑋𝑖𝑌𝑗).

Făcând contracția i=j, se obține un scalar, anume suma

𝑧 = 𝑋1𝑌1 + 𝑋2𝑌2 + 𝑋

3𝑌3.

2) Coprodusul scalar ⟨𝐚, 𝐯⟩ a unui covector a=(𝑎𝑖) cu un

vector v=(𝑣𝑗) se obține considerând produsul tensorial

a⨂𝐯 = (𝑎𝑖𝑣𝑗), făcând contracția i=j; se obține astfel scalarul

⟨𝐚, 𝐯⟩ = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣

2 + 𝑎3𝑣3, adică (16).

Am văzut că a ⨂𝐯 ≠ 𝐯⨂𝐚.

3) Fie X=(𝑋𝑝 𝑞𝑖 𝑗) un tensor de tip (2, 2) și ordin 4. Făcând

contracția i=q, rezultă un tensor mixt de ordin 2, notat Y, având

componentele (𝑌𝑝𝑗), unde 𝑌𝑝

𝑗= ∑ 𝑌𝑝 𝑖

𝑖 𝑗3𝑖=1 = 𝑌𝑝 1

1 𝑗+ 𝑌𝑝 2

2 𝑗 + 𝑌𝑝 3

3 𝑗.

4) Fie tensorul C=(𝐶𝑗 𝑘𝑖 ) de ordin 3. Prin contracția i=j se

obține vectorul covariant V=(𝑣𝑘), cu componentele:

𝑣𝑘 = 𝐶𝑖 𝑘𝑖 = 𝐶1 𝑘

1 + 𝐶2 𝑘2 + 𝐶3 𝑘

3 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 3.

5) Fie X=(𝑋𝑘𝑖 𝑗) și 𝐘 = (𝑌𝑝

ℓ). Atunci X⨂𝐘 = (𝑍𝑘 𝑝𝑖 𝑗 ℓ),

unde 𝑍𝑘 𝑝𝑖 𝑗 ℓ

= 𝑋𝑘𝑖 𝑗𝑌𝑝ℓ și făcând contracția 𝑖 = 𝑘, ℓ = 𝑝, se obține

un vector contravariant V=(𝑣𝑗), unde 𝑣𝑗 = ∑ ∑ 𝑋𝑖𝑖 𝑗𝑌𝑝𝑝 =𝑝𝑖

=(𝑋11 𝑗+ 𝑋2

2 𝑗+ 𝑋3

3 𝑗)(𝑌1

1 + 𝑌22 + 𝑌3

3).

4. Ridicarea și coborârea indicilor

Reamintim că am definit tensorul metric g, care este un

tensor dublu covariant, având, relativ la o bază ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠2} a

spațiului V3, componentele 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 (produse scalare).

Matricea pătratică G=(𝑔𝑖𝑗) de ordin 3 se numește matricea

164

Gram asociată bazei ℬ (definiția 2.13 din §2.4). Această matrice

este inversabilă și se poate considera baza ℬr = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3}

a vectorilor reciproci (definiția 2.14 din §2.4), unde

𝐠1 =1

∆(𝐠2 × 𝐠3), 𝐠

2 =1

∆(𝐠3 × 𝐠1), 𝐠

3 =1

∆(𝐠1 × 𝐠2) și ∆=detG.

Notând produsele scalare 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 și folosind faptul că

𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 (relația (20) din §2.4), rezultă relațiile

𝑔𝑖𝑗𝑔𝑗𝑘 = 𝛿𝑖

𝑘, deci matricea G=(𝑔𝑖𝑗) are ca inversă matricea

𝐺−1 = (𝑔𝑖𝑗). Se poate considera tensorul dublu contravariant

(2+0) având componentele (𝑔𝑖𝑗), numit dualul tensorului metric

g și notat 𝐠d.

Fie X un tensor de tip r+s și fixăm un indice–subsol k.

Facem apoi produsul tensorial Y=𝐠d⨂𝐗 dintre dualul tensorului

metric g și X; contractăm indicele k cu un indice–etaj q și se va

obține un nou tensor. Acest procedeu se numește ridicarea

indicelui k. Prin operația inversă și luând produsul tensorial

g ⨂𝐗, se obține coborârea indicelui.

Exemple

1) Fie tensorul mixt X=(𝑋𝑗𝑖); pentru a ridica indicele j,

considerăm 𝐠d⨂𝐗 = (𝑔𝑝𝑞𝑋𝑗𝑖) și contractăm j=p. Se obține

tensorul dublu contravariant Y=(𝑌𝑞𝑖) unde 𝑌𝑞𝑖 = ∑ 𝑔𝑗𝑞𝑋𝑗𝑖3

𝑗=1 =

= 𝑔1𝑞𝑋1𝑖 + 𝑔2𝑞𝑋2

𝑖 + 𝑔3𝑞𝑋3𝑖 .

2) Fie X=(𝑋𝑗𝑖) și coborâm indicele i; considerăm

g⨂𝐗 = (𝑔𝑝𝑞𝑋𝑗𝑖) și facem contracția i=p. Atunci se obține

tensorul Z=(𝑍𝑞𝑗), unde 𝑍𝑞𝑗 = ∑ 𝑔𝑖𝑞𝑋𝑗𝑖3

𝑖=1 .

3) Coborârea (sau ridicarea) de indici se poate face și

folosind alți tensori, nu numai tensorul metric. De exemplu, fie

A=(𝑎𝑖𝑗) și X=(𝑥𝑘); ridicăm k, considerând A⨂𝐗 = (𝑎𝑖𝑗𝑥𝑘) și

165

realizând contracția i=k. Se obține vectorul contravariant

Y = (𝑌𝑗), unde 𝑌𝑗 = ∑ 𝑎𝑘𝑗𝑥𝑘.3𝑘=1

Notă: Considerând un tensor și permutând indicii, se

obține un nou tensor, diferit de cel inițial. Componentele acestuia

coincid cu componentele tensorului inițial, dar se află pe locuri

diferite. De exemplu, dacă X=(𝑋𝑖𝑗𝑘 ) și considerăm

Y=(𝑌𝑖𝑗𝑘) cu 𝑌𝑖𝑗

𝑘 = 𝑋𝑗𝑖𝑘, avem X≠Y.

Levi Civita a introdus un simbol care îi poartă numele, anume:

휀𝑗𝑘ℓ = 휀𝑗𝑘ℓ

= {

0 dacă cel puțin doi indici sunt egali

1 dacă permutarea (jkl)a numerelor 1,2,3 este pară

-1 dacă permutarea (jkl)a numerelor 1,2,3 este impară

휀𝑗𝑘ℓ nu sunt componentele unui tensor, dar

𝜔𝑖𝑗𝑘 = √det (𝑔𝑖𝑗) 휀𝑖𝑗𝑘 sunt componentele unui tensor 3+0, numit

tensorul de volum.

Dacă v=(𝑣𝑖),𝐰 = (𝑤𝑖) sunt doi vectori contravarianți,

atunci se poate defini vectorul covariant cu componentele

𝑎𝑖 = 𝜔𝑖𝑗𝑘𝑣𝑗𝑤𝑘 (sumă după j și k); apoi prin ridicarea indicelui i,

se obține un vector contravariant remarcabil cu componentele

𝑎𝑟 = 𝑔𝑟𝑖𝑎𝑖, care este tocmai produsul vectorial v×w, relativ la o

bază nu neapărat ortonormală. Nu dăm detalii.

166

167

CAPITOLUL 6: CÂMPURI DE TENSORI

Până acum am definit și am operat cu tensori liberi, care

nu sunt legați de un anumit punct. Componentele lor depind de

baze ale lui V3, care sunt formate din vectori liberi. Așa cum am

studiat câmpurile de vectori în Capitolul 4, vom considera tensori

legați de diverse puncte dintr-o regiune D a spațiului fizic S. În

acest mod, regiunea D se „umple” cu tensori și se spune că avem

un câmp de tensori în D. Ideea acestora a apărut la italianul Ricci.

§6.1. Noțiunea de câmp de tensori și exemple

Definiția 6.1: A defini (≡ a considera) un câmp de tensori

de ordin n și de tip (r, s) (r+s=n) într-o regiune D a spațiului

înseamnă a asocia oricărui punct 𝑀 ∈ 𝐷 un astfel de tensor T(M)

legat de punctul M. Echivalent, este definită o familie de tensori

de același tip {T(M)}, 𝑀 ∈ 𝐷, indexată după punctele regiunii D.

Spre deosebire de vectori, tensorii nu pot fi vizualizați prin

săgeți, dar pot fi reprezentați prin matrici (sau masive)

de numere reale!

Fixând în spațiul S un reper cartezian ortonormal

{O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡ 𝑂𝑥1𝑥2𝑥3 și implicit o bază ℬ = {𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} a

lui V3, orice punct 𝑀 ∈ 𝐷 este bine localizat prin vectorul său de

poziție r=𝑂𝑀 = 𝑥𝑖𝐞𝑖 și punctul M are coordonatele carteziene

(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), deci componentele tensorului T sunt funcții

𝑇𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), de trei variabile reale 𝑥𝑖, care pot fi derivate

parțial; iar dacă depind și de timpul t, pot fi derivate și în raport

168

cu t. Așadar, câmpurile de tensori reprezintă matrice pătratice,

cubice etc. de funcții continue și netede.

Exemple

1) Câmpurile de vectori sau de covectori sunt exemple de

câmpuri de tensori de ordin 1.

2) Se poate vorbi de câmpul de tensori ai tensiunilor în

orice solid rigid.

3) Diversele operații cu tensori (sumă, produs tensorial,

contracție, ridicare de indici etc.) se pot face simultan pentru

câmpuri de tensori de același tip.

Notă: Adeseori, în loc de câmpuri de tensori se spune

simplu tensori și doar în funcție de context, trebuie văzut că

tensorii depind de punct, deci componentele lor sunt funcții

neconstante.

§6.2. Tensori în coordonate curbilinii

Considerăm un alt reper cartezian {𝑂; ��1, ��2, ��3} ≡

𝑂��1��2��3. În figura 6. 1 am reprezentat simbolic cele două repere.

Fig. 6.1

Dacă r=𝑂𝑀 și �� = ��𝑀 sunt vectorii de poziție ai

punctului curent M și dacă 𝑂�� = 𝐚, atunci r=a+��. Punctul M are

două rânduri de coordonate carteziene: (𝑥𝑖) și (��𝑖) deci

169

r=𝑥𝑖𝐞𝑖, �� = ��𝑘��𝑘, 𝐚 = 𝑎

𝑖𝐞𝑖. Notând cu 𝑇 = (𝑡𝑗𝑖) matricea de

trecere de la ℬ la baza ℬ = {��1, ��2, ��3} și cu 𝑈 = 𝑇−1 = (𝑢𝑗𝑖),

inversa ei, avem ��𝑘 = 𝑡𝑘𝑖 𝐞𝑖 (relația (1) din § 5.1) și rezultă

următoarele relații de legătură între coordonatele carteziene ale

lui M relativ la cele două repere:

𝑥𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑡𝑘𝑖 ��𝑘 și invers, ��𝑖 = ��𝑖 + 𝑢𝑘

𝑖 𝑥𝑘; �� = −𝑎. (1)

Cunoscând componentele unui tensor T relativ la reperul

ℬ, se pot calcula componentele aceluiași tensor relativ la orice alt

reper cartezian ℬ, prin formule de tipul (10) din §5.2. Dar

afirmația este mai generală. Se mai spune că vectorii și tensorii

„geometrizează” spațiul fizic, iar reperele fixe îl „aritmetizează”.

Câmpurile de vectori și tensori nu pot fi studiate fără a recurge la

derivate și la noțiuni de Analiză matematică, deoarece trebuie

descrisă „viteza de variație” a componentelor.

Definiția 6.2: Se numesc coordonate curbilinii ale unui

punct M triplete de numere reale (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) care determină în

mod precis poziția lui M, realizând o corespondență bijectivă

𝑀 ⇄ (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3).

În plus, se presupune că există relații între coordonatele

carteziene (𝑥𝑖) și coordonatele curbilinii (𝑢𝑖), de forma:

𝑥𝑖 = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) și invers, 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), (2)

exprimate prin funcții continue, cu derivate parțiale continue (sau

cum se spune în „jargon riguros”, determină un difeomorfism

de clasă C2).

Exemple: Coordonatele sferice 𝑢1 = 𝑟, 𝑢2 = 𝜃, 𝑢3 = 𝜑

sau coordonatele cilindrice 𝑢1 = 𝜌, 𝑢2 = 𝜑, 𝑢3 = 𝑧 sunt

coordonate curbilinii, prezentate în §1.4, împreună cu relațiile lor

170

cu coordonatele carteziene. În §4.4 am indicat și reperele mobile

legate de aceste coordonate (figurile 4.21, 4.22).

Digresiune matematică

Reamintim regula de derivare a funcțiilor compuse

(numită „chain–rule”), în cazul funcțiilor derivabile de o variabilă

(reală): dacă 𝑧 = 𝑓(𝑥) și 𝑥 = 𝜑(𝑢), atunci 𝑧 = 𝑓(𝜑(𝑢)) și

𝑧′(𝑢) =d𝑧

d𝑢=d𝑓

d𝑥

d𝑥

d𝑢= 𝑓′(𝑥)𝑥′(𝑢). Reamintim că derivatele

parțiale sunt derivate în raport cu una din variabile, considerând

constante pe celelalte.

În cazul funcțiilor de două sau mai multe variabile, regula

se complică. Dacă 𝑧 = 𝑓(𝑢, 𝑣), 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦), atunci:

𝑧 = 𝑓(𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)), 𝜕𝑧

𝜕𝑥=

𝜕𝑓

𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑓

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑥 și

𝜕𝑧

𝜕𝑦=

𝜕𝑓

𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑦+𝜕𝑓

𝜕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦 etc.

Derivând identitatea:

𝑥𝑖 ≡ 𝑥𝑖(𝑢1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), 𝑢2(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), 𝑢3(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)),

1 ≤ 𝑖 ≤ 3 în raport cu 𝑥𝑗 , rezultă:

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑢𝑘·𝜕𝑢𝑘

𝜕𝑥𝑗=

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑥𝑗= 𝛿𝑗

𝑖. (3)

Vectorul de poziție r=𝑂𝑀 al punctului M va avea

expresia r=𝑥𝑖𝐞𝑖 = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3)𝐞𝑖 (sumă după i) și se notează:

𝐠𝑖 =𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3. (4)

Reperul mobil

Definiția 6.3: Reperul ℛu = {M; 𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} ≡ (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3)

se numește reperul mobil asociat coordonatelor curbilinii (𝑢𝑖).

171

Versorii vectorilor 𝐠𝑖 se notează 𝐮𝑖; scalarii 𝐿𝑖 = ‖𝐠𝑖‖ se

numesc parametri Lamé relativ la coordonatele curbilinii (𝑢𝑖),

1 ≤ 𝑖 ≤ 3. Evident, 𝐠1 = 𝐿1𝐮1, 𝐠2 = 𝐿2𝐮2, 𝐠3 = 𝐿3𝐮3.

Reperul ℛu se numește ortogonal dacă:

𝐮𝑖 · 𝐮𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 deci 𝐠𝑖 ⊥ 𝐠𝑗 pentru 𝑖 ≠ 𝑗. (5)

Vectorul 𝐠1 fiind derivata parțială 𝜕𝐫

𝜕𝑢1, el este tangent

curbei parametrice 𝛾1: 𝐫 = 𝐫(𝑢1, 𝐶, 𝐶′) cu 𝑢2 = 𝐶, 𝑢3 = 𝐶′

constante; similar pentru vectorii 𝐠2 și 𝐠3 (fig. 6.2).

Fig. 6.2

Exemple

Coordonatele sferice și cilindrice determină repere mobile

ortogonale. În cazul coordonatelor sferice (fig. 1.25), mulțimea

punctelor cu r=𝑟0 constant este o sferă, 𝜃 = 𝜃0 este un con cu

vârful în origine, iar 𝜑 = 𝜑0 reprezintă un semiplan trecând prin

axa 𝑂𝑥3; 𝐠1 va fi tangent la curba 𝛾1 care este o semidreaptă prin

origine (intersecția con–plan); similar 𝐠2 este tangent la

meridianul r=C, 𝜑 = 𝐶′ etc. De aceea versorul 𝐮𝑟 este orientat în

lungul vectorului de poziție r. Similar, pentru ceilalți versori ai

bazelor mobile din figurile 4.21 și 4.22.

Definiția 6.4: Setul de trei vectori variabili (depinzând de

coordonatele (𝑢𝑖)):

172

𝐠𝑖 =𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑝𝐞𝑝 (sumă după p) (6)

poartă numele de reciprocii vectorilor 𝐠𝑖 =𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3 ai

bazei ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} a lui V3.

TEOREMĂ: Au loc relațiile,

𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖

𝑗 și 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑗

𝑖 , 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3

deci {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} formează baza reciprocă a bazei

ℬ = {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3}.

Demonstrație:

Conform (4), 𝐠𝑖 =𝜕

𝜕𝑢𝑖(𝐫) =

∂

∂𝑢𝑖(𝑥𝑘𝐞𝑘) =

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝐞𝑘 și

𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = (

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝐞𝑘) (

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑝𝐞𝑝)=

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑝(𝐞𝑘 · 𝐞𝑝) =

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑝(𝛿𝑘𝑝) =

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑘=⏞cf.(3)

𝛿𝑖𝑗. Cum PS este comutativ, 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝐠𝑗 · 𝐠

𝑖 = 𝛿𝑗𝑖.

Din cunoașterea componentelor unui vector (sau tensor)

într-o bază asociată unui sistem de coordonate curbilinii (𝑢𝑖),

vom arăta că se pot calcula componentele aceluiași vector (sau

tensor) într-o bază asociată oricărui alt sistem de coordonate

curbilinii (��𝑖). Din relații de tipul (2) între coordonatele

carteziene (𝑥𝑖) și coordonatele curbilinii (��𝑖), se obțin relații

directe (𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖), prin eliminarea variabilelor intermediare

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. În mod similar cu cazul vectorilor 𝐠𝑖 =𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖, se introduc

��𝑖 =𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3. Aplicând regula derivării funcțiilor

compuse, avem 𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖=

𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑖, deci:

𝐠𝑖 =𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑖��𝑗 și simetric, ��𝑖 =

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑖𝐠𝑗. (7)

173

Un rezultat des utilizat îl constituie următoarea

LEMĂ: Au loc următoarele relații:

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑘= 𝛿𝑘

𝑖 și simetric similar,𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑘= 𝛿𝑘

𝑖 . (8)

Demonstrație: Avem identități de forma:

��𝑖 = ��𝑖(𝑢1(��1, ��2, ��3), 𝑢2(��1, ��2, ��3), 𝑢3(��1, ��2, ��3)) și invers,

𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(��1(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), ��2(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), ��3(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3)),

1 ≤ 𝑖 ≤ 3. Derivând prima relație în raport cu ��𝑗, rezultă

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑘=

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑘 și ținem cont că

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑘= 𝛿𝑘

𝑖 . Arătăm acum că:

𝐠𝑖 =𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗��𝑗 și simetric, ��𝑖 =

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗𝐠𝑗. (9)

În general, pentru a arăta că doi vectori v, w sunt egali,

este suficient să arătăm că produsele lor scalare cu vectorii unei

baze sunt egale. Dar 𝐠𝑖 · 𝐠𝑘 = 𝛿𝑘𝑖 și pe de altă parte:

(𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗��𝑗) · 𝐠𝑘 =⏞

cf.(6)

(𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗��𝑗) · (

𝜕𝑢𝑝

𝜕𝑢𝑘��𝑝) =

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑝

𝜕𝑢𝑘(��𝑗 · ��𝑝) =

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑝

𝜕𝑢𝑘𝛿𝑝𝑗=

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑘= 𝛿𝑘

𝑖 ,

ultima relație rezultând aplicând lema anterioară. Se obține astfel

prima relație (9); cealaltă, rezultă intervertind coordonatele

(𝑢𝑖) și (��𝑖).

Putem acum stabili legătura între componentele–etaj sau

între cele subsol ale vectorilor sau tensorilor relativ la schimbarea

de coordonate (𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖).

Fie v ∈ V3 un vector oarecare. Pentru componentele

contravariante, avem scrieri unice v=𝑣𝑖𝐠𝑖 și 𝐯 = ��𝑗��𝑗. Așadar,

��𝑗��𝑗=𝑣𝑖𝐠𝑖 =⏞

cf.(6)

𝑣𝑖𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑖��𝑗 și cum vectorii ��𝑗 (1 ≤ 𝑗 ≤ 3) sunt

liniar independenți, rezultă:

174

��𝑗 =𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑖𝑣𝑖; simetric, 𝑣𝑗 =

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑖��𝑖. (10)

Aceste relații se referă la componentele–etaj. În mod similar,

v=𝑣𝑖𝐠𝑖 = ��𝑗��

𝑗. Se remarcă dispunerea „/” a indicilor și barelor.

Similar, pentru componentele covariante, avem v=𝑣𝑖𝐠𝑖,

v=��𝑗��𝑗 deci ��𝑗��

𝑗 = 𝑣𝑖𝐠𝑖 =⏞cf.(8)

𝑣𝑖 (𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗 ��𝑗) = (𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗) ��𝑗 și cum

��𝑗 sunt liniar independenți (1 ≤ 𝑗 ≤ 3), rezultă relațiile:

��𝑗 =𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗 𝑣𝑖 ; simetric 𝑣𝑖 =

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗 ��𝑗. (11)

Și în acest caz, există corespondența „∖” pentru indici și bare.

Relațiile (10) și (11) probează afirmația anterioară;

anume, cunoscând componentelor unui vector contravariant (sau

covariant) într-un sistem de coordonate curbilinii (𝑢𝑖), se pot

determina, prin calculul unor derivate parțiale, componentele

acelui vector în oricare alt sistem de coordonate (��𝑖).

În Capitolul 5, am definit tensorii „liberi”, prin

componentele lor relativ la un reper cartezian fixat; prin regulile

de tip (4), (6), (9) și în general, (10) din acest capitol, am stabilit

legătura între componentele respective la o schimbare de reper,

prin trecere la alt reper cartezian. Acum am extins aceste reguli,

aplicabile câmpurilor de tensori, anume la repere mobile, asociate

unor sisteme de coordonate curbilinii.

Extindem relațiile (10), (11) la câmpurile de ordin 𝑛 ≥ 2.

Fie T un câmp de tensori dublu covarianți și

𝑇𝑖𝑗 = 𝐓(𝐠𝑖 , 𝐠𝑗), componentele relativ la sistemul (𝑢𝑖) de

coordonate curbilinii și ��𝑖𝑗 = 𝐓(��𝑖, ��𝑗), componentele relativ la

coordonatele curbilinii (��𝑖). Aceste componente sunt funcții de

𝑢𝑖 sau ��𝑖. Așadar, cum T este o aplicație biliniară, conform

definiției 5.4, avem:

175

𝑇𝑖𝑗 = 𝐓(𝐠𝑖, 𝐠𝑗) =⏞cf.(7)

𝐓(𝜕𝑢𝑝

𝜕𝑢𝑖��𝑝,

𝜕𝑢𝑞

𝜕𝑢𝑗��𝑞) =

𝜕𝑢𝑝

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑞

𝜕𝑢𝑗𝐓(��𝑝, ��𝑞),

pentru orice i, j.

Deci:

𝑇𝑖𝑗 =𝜕𝑢𝑝

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑞

𝜕𝑢𝑗��𝑝𝑞 și simetric, ��𝑖𝑗 =

𝜕𝑢𝑝

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑞

𝜕𝑢𝑗𝑇𝑝𝑞. (12)

În cazul tensorilor dublu contravarianți,

𝑇𝑖𝑗 = 𝐓(𝐠𝑖 , 𝐠𝑗) =⏞cf.(9)

𝐓(𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑝��𝑝,

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑞��𝑞) =

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑝𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑞𝐓(��𝑝, ��𝑞),

adică:

𝑇𝑖𝑗 =𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑝𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑞��𝑝𝑞 și simetric, ��𝑖𝑗 =

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑝𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑞𝑇𝑝𝑞. (13)

În cazul tensorilor micști de ordin 2 apar două posibilități,

considerând T(𝐠𝑖, 𝐠𝑗) sau 𝐓(𝐠𝑖, 𝐠𝑗). În cazul când T este un

tensor simetric, relația de legătură între componente este:

𝑇𝑗𝑖 =

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑝𝜕𝑢𝑞

𝜕𝑢𝑗��𝑞𝑝 și ��𝑗

𝑖 =𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑝𝜕𝑢𝑞

𝜕𝑢𝑗𝑇𝑞𝑝, pentru orice i, j. (14)

Se extinde acea corespondență de indici și bare, remarcată

în cazul vectorilor.

Exemple

1) Dacă 𝜑(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), 𝜑 ∶ 𝐷 → ℝ este un câmp scalar, am

definit gradientul ∇𝜑 ca fiind vectorul având componentele

𝑇𝑖 =𝜕𝜑

𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3.

Realizând o schimbare de coordonate de tipul (2), funcția

𝜑 depinde de variabilele ��𝑖 și 𝜕𝜑

𝜕𝑢𝑖=

𝜕𝜑

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑖 deci ��𝑖 =

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑢𝑖𝑇𝑗, de

tipul (11). Așadar, gradientul unui câmp scalar este un vector

covariant.

2) Pentru o funcție derivabilă de o variabilă, diferențiala

ei în punctul curent este d𝑓=𝑓′(𝑥)1ℝ unde 1ℝ este aplicația

identică. În particular, dacă 𝑓(𝑥) = 𝑥, atunci 𝑓′(𝑥) = 1 și ca

176

atare, dx=1ℝ. Așadar, d𝑓 = 𝑓′(𝑥)d𝑥. Pentru o funcție

𝑓(𝑥, 𝑦) avem d𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑥d𝑥 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦d𝑦 și pentru o funcție de trei

variabile 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), diferențiala ei este:

d𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑥1d𝑥1 +

𝜕𝑓

𝜕𝑥2d𝑥2 +

𝜕𝑓

𝜕𝑥3d𝑥3 = ∇𝑓 · d𝐫,

unde dr=(d𝑥𝑖) este vectorul–deplasare, având drept componente

diferențialele variabilelor.

În cazul unei schimbări de coordonate de tipul (2), avem:

d𝑢𝑖 =𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗d��𝑗 și notând 𝑇𝑖 = d𝑢𝑖, ��𝑖 = d��𝑖, avem 𝑇𝑖 =

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗d��𝑗,

relație de tipul (10), deci vectorul–deplasare se comportă ca un

vector contravariant.

3) Câmpul tensorului metric în ℝ3

Pentru orice sistem de coordonate curbilinii 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, se

consideră conform (4), produsele scalare

𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 =𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖·𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑗 (15)

și cum r=𝑥𝑘𝐞𝑘 = 𝑥𝑝𝐞𝑝, rezultă 𝑔𝑖𝑗 = (

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝐞𝑘) · (

𝜕𝑥𝑝

𝜕𝑢𝑗𝐞𝑝) =

(𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑝

𝜕𝑢𝑗) (𝐞𝑘 · 𝐞𝑝).

Dar{𝐞1, 𝐞2, 𝐞3} este o bază ortonormală deci 𝐞𝑘 · 𝐞𝑝 = 𝛿𝑘𝑝.

Atunci,

𝑔𝑖𝑗 =𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑗 (sumă după k), pentru orice 1≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3. (16)

Pentru orice schimbare de coordonate (𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖) avem:

��𝑖𝑗 =𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑗= (

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑝𝜕𝑢𝑝

𝜕𝑢𝑖) (

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑞𝜕𝑢𝑞

𝜕𝑢𝑗) =

= 𝜕𝑢𝑝

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑞

𝜕𝑢𝑗(𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑝𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑞) =

𝜕𝑢𝑝

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑞

𝜕𝑢𝑗𝑔𝑝𝑞;

177

Așadar, conform (11), (𝑔𝑖𝑗) sunt componentele unui câmp

de tensori dublu covariant, numit câmpul tensorului metric al

spațiului și notat cu g.

În cazul câmpurilor de tensori de tip (r,s) și ordin n

(n=r+s), setul de componente 𝑇𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟(𝑢𝑖) se modifică la o

schimbare de coordonate (𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖), după regula:

𝑇𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟 =

𝜕𝑢𝑖1

𝜕𝑢𝑝1…𝜕𝑢𝑖𝑟

𝜕𝑢𝑝𝑟

𝜕𝑢𝑞1

𝜕𝑢𝑗1…𝜕𝑢𝑞𝑠

𝜕𝑢𝑗𝑠��𝑞1…𝑞𝑠𝑝1…𝑝𝑟 și invers, (17)

cu corespondența „ / ” pentru indicii–etaj de contravarianță (și

bare) și „∖” pentru indicii–subsol de covarianță.

Notă importantă

Relațiile (10)–(15) din §5.2 se referă la legăturile dintre

componentele aceluiași tensor relativ la două sisteme de

coordonate carteziene („necurbilinii”), unde coeficienții 𝑡𝑗𝑖 ,

respectiv 𝑢𝑗𝑖 erau elementele matricei de trecere de la un reper la

altul.

Relațiile (10)–(14) de mai sus se referă la cazul

câmpurilor de tensori (≡„tensori variabili cu punctul”), unde rolul

coeficienților 𝑡𝑗𝑖 (respectiv 𝑢𝑗

𝑖) este luat de derivatele parțiale 𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗

(respectiv 𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗).

Așa cum am mai spus, ne situăm într-o regiune D a

spațiului S ≡ ℝ3. Scalarii sunt mărimi care au o singură valoare,

independentă de vreun reper. Câmpurile de vectori sunt triplete

de componente scalare depinzând de 𝑢𝑖, care combinate cu

vectorii bazei unor repere formează mărimi care au un caracter

absolut, având o singură direcție, de îndată ce respectă regulile

„de joc” la schimbările de coordonate (𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖). Un câmp de

tensori de ordin n în ℝ3 este un masiv de 3n scalari numiți

178

componentele tensorului; acești scalari combinați cu vectorii

bazei mobile formează o mărime fizică cu caracter absolut

(independentă de reper), corespunzând la n direcții în spațiu.

Astfel, un câmp de tensori de ordin 2 are 9 componente,

variabile odată cu punctul în care sunt plasate.

§6.3. Aplicații geometrice ale tensorului metric,

simbolurile lui Christoffel

Componentele dublu covariante și dublu contravariante

ale tensorului metric

Am văzut că prin utilizarea sistemelor de coordonate,

carteziene sau curbilinii, vectorii și tensorii sunt „aritmetizați” și

în acest mod, li se pot asocia disponibilități aplicative deosebite.

Astfel, tensorul metric g permite definirea unor mărimi

fundamentale din spațiu – lungimi de arce de curbă, măsuri de

unghiuri între curbe, arii ale unor porțiuni curbilinii de suprafață

etc. Se spune că tensorul metric „produce” geometria spațiului.

Fixând un reper cartezian ortonormal {O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡

(𝑂𝑥1𝑥2𝑥3) și un sistem de coordonate curbilinii (𝑢𝑖), atunci

avem relații de tipul (2) și poziția oricărui punct M este

determinată prin vectorul său de poziție

r=𝑥𝑖𝐞𝑖 = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3)𝐞𝑖; am notat 𝐠𝑖 =

𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3

(conform (4)). În acest mod, se obține reperul mobil

{M; 𝐠1, 𝐠2, 𝐠2} ≡ (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), cu „axe curbe” (nu drepte ca în

cazul reperelor carteziene). Bazei {𝐠1, 𝐠2, 𝐠2} i se asociază baza

vectorilor reciproci {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3} definiți în (6), prin 𝐠𝑖 =𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗𝐞𝑗.

179

Am văzut că 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖

𝑗 și 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑗

𝑖 și că au loc relațiile (7)

și (9) de legătură la o schimbare de coordonate (𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖).

Tensorul metric g are în coordonate curbilinii (𝑢𝑖)

componentele dublu covariante 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 =⏞cf.(6)

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑗 (sumă

după k), pentru 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3.

De asemenea se pot defini componentele contravariante

ale tensorului metric g, anume:

𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = (𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑝𝐞𝑝) · (

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑞𝐞𝑞) =

=𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑝𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑞(𝐞𝑝 · 𝐞𝑞) =

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑝𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑞𝛿𝑝𝑞 =

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑝𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑝 (sumă după p).

Calculul lungimilor vectorilor (în coordonate curbilinii)

Fie v ∈ V3 un vector fixat. Avem 𝑣2 = 𝐯 · 𝐯. Considerând

componentele covariante ale lui v, avem v=𝑣𝑖𝐠𝑖 deci

𝑣2 =(𝑣𝑖𝐠𝑖)·( 𝑣𝑗𝐠

𝑗) = 𝑣𝑖𝑣𝑗(𝐠𝑖·𝐠𝑗) = 𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑣𝑗 și v =√𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑣𝑗. Pe

de altă parte, considerând componentele contravariante,

𝑣2 = (𝑣𝑖𝐠𝑖)(𝑣𝑗𝐠𝑗) = 𝑣

𝑖𝑣𝑗(𝐠𝑖 · 𝐠𝑗) = 𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑣𝑗 și v=√𝑔𝑖𝑗𝑣

𝑖𝑣𝑗.

De asemenea, 𝑣2 = (𝑣𝑖𝐠𝑖) · (𝑣𝑗𝐠𝑗) = 𝑣𝑖𝑣𝑗(𝐠𝑖 · 𝐠

𝑗) =

𝑣𝑖𝑣𝑗𝛿𝑖𝑗= 𝑣𝑖𝑣𝑖.

În acest mod, avem trei formule pentru calculul lungimii

v = ‖𝐯‖ a oricărui vector. Bineînțeles, toate sunt corecte și extind

cazul reperelor carteziene ortogonale (din Geometria analitică de

liceu) atât la cazul reperelor carteziene neortonormale, cât și la

cel al reperelor mobile legate de coordonate curbilinii. În cazul

unui reper cartezian ortonormal {O; 𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡ (𝑂𝑥1𝑥2𝑥3)

avem 𝐠𝑖 = 𝐞𝑖, 𝐠𝑖 = 𝐞𝑖 și pentru un vector v, avem

180

𝑣𝑖 = 𝑣𝑖 și 𝑣2 = 𝑣𝑖𝑣𝑖, regăsind faptul că lungimea unui vector

este radical din suma pătratelor componentelor scalare.

Calculul măsurii unghiului a doi vectori nenuli

Fie v, w ∈V3 doi vectori nenuli. Produsul scalar este un

scalar independent de vreun reper. Dacă 𝜃=măs(𝐯, ��), atunci

v·w=v·w cos 𝜃 deci cos 𝜃 =𝐯·𝐰

𝑣𝑤.

Considerând componentele covariante ale lui v și w avem

v=𝑣𝑖𝐠𝑖, 𝐰 = 𝑤𝑗𝐠

𝑗 deci v·w=𝑣𝑖𝑤𝑗(𝐠𝑖 · 𝐠𝑗) = 𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑤𝑗. Același

lucru pentru componentele contravariante; avem v=𝑣𝑖𝐠𝑖,

w=𝑤𝑗𝐠𝑗 deci v·w=𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑤𝑗. Atunci:

cos 𝜃 =𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑤𝑗

√𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑣𝑗√𝑔𝑖𝑗𝑤𝑖𝑤𝑗

=𝑔𝑖𝑗𝑣

𝑖𝑤𝑗

√𝑔𝑖𝑗𝑣𝑖𝑣𝑗√𝑔𝑖𝑗𝑤

𝑖𝑤𝑗.

De asemenea, scriind v = 𝑣𝑖𝐠𝑖 și w = 𝑤𝑗𝐠𝑗, avem formula:

cos 𝜃 =𝑣𝑖𝑤

𝑖

√𝑣𝑖𝑣𝑖√𝑤𝑖𝑤𝑖

.

Metrica spațiului ℝ3

Un rol deosebit de important îl joacă cel de metrică.

Definiția 6.5: Se numește metrica euclidiană a spațiului

ℝ3, forma pătratică (scalară):

d𝑠2 = d𝑥𝑘d𝑥𝑘 = (d𝑥1)2 + (d𝑥2)2 + (d𝑥3)2. (17)

În esență, ea exprimă pătratul distanței euclidiene dintre

punctele „infinitezimal vecine” (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) și (𝑥1 + d𝑥1, 𝑥2 +

d𝑥2, 𝑥3 + d𝑥3); (fig. 6.3). De asemenea, ds=‖d𝐫‖, adică

elementul de arc este mărimea vectorului–deplasare,

adică d𝑠2 = d𝐫 · d𝐫.

181

Fig. 6.3

Deoarece 𝑥𝑘 = 𝑥𝑘(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), 1 ≤ 𝑘 ≤ 3, rezultă d𝑥𝑘 =𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖d𝑢𝑖

Deci, d𝑠2=(𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖d𝑢𝑖) · (

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑗d𝑢𝑗) =

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑗d𝑢𝑖d𝑢𝑗. Conform

(16), se obține următorul rezultat fundamental:

TEOREMĂ: Metrica spațiului ℝ3 în coordonate

curbilinii este:

d𝑠2 = 𝑔𝑖𝑗d𝑢𝑖d𝑢𝑗. (18)

Exemple

Explicităm componentele tensorului metric în coordonate

sferice și apoi în cilindrice.

Notăm cu 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 coordonatele carteziene

{O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡ (𝑂𝑥1𝑥2𝑥3) reperul ortonormal în spațiul ℝ3; fie

𝑢1 = 𝑟, 𝑢2 = 𝜃, 𝑢3 = 𝜑 coordonatele sferice. Vectorul de poziție

al punctului M(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) curent este:

r=(𝑢1 sin 𝑢2 cos 𝑢3) 𝐞1 + (𝑢1 sin 𝑢2 sin 𝑢3) 𝐞2 + (𝑢

1 cos 𝑢2)𝐞3

Atunci,

𝐠1 =𝜕𝐫

𝜕𝑢1= (sin 𝑢2 cos 𝑢3) 𝐞1 + (sin 𝑢

2 sin𝑢3) 𝐞2 + (cos𝑢2)𝐞3,

𝐠2 =𝜕𝐫

𝜕𝑢2=(𝑢1 cos𝑢2 cos 𝑢3) 𝐞1+(𝑢1 cos 𝑢2 sin𝑢3) 𝐞2-(𝑢1 sin 𝑢2)𝐞3

𝐠3 =𝜕𝐫

𝜕𝑢3= (−𝑢1 sin𝑢2 sin 𝑢3) 𝐞1 + (𝑢

1 sin 𝑢2 cos 𝑢3) 𝐞2 + 0𝐞3.

Atunci,

𝑔11 = 𝐠1 · 𝐠1 = 1, 𝑔22 = 𝐠2 · 𝐠2 = (𝑢1)2 = 𝑟2,

𝑔33 = 𝐠3 · 𝐠3 = (𝑢1 sin 𝑢2)2 = 𝑟2sin2𝜃 și

𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 0 pentru 𝑖 ≠ 𝑗.

182

Matricea 𝐺 = (𝑔𝑖𝑗) este:

𝐺 = (1 0 00 𝑟2 00 0 𝑟2sin2𝜃

) cu inversa,

𝐺−1 =

(

1 0 0

01

𝑟20

0 01

𝑟2sin2𝜃)

.

G este simetrică; în plus, parametrii Lamé sunt 𝐿𝑖 = √𝑔𝑖𝑖

(deci 1, r, rsin𝜃). Conform (18), metrica spațiului ℝ3 în

coordonate sferice este:

d𝑠2 = 𝑔11(d𝑢1)2 + 𝑔22(d𝑢

2)2 + 𝑔33(d𝑢3)2 =

= d𝑟2 + 𝑟2d𝜃2 + 𝑟2sin2𝜃d𝜑2.

Exemplu Pe sfera r=R, metrica este d𝑠2 = 𝑅2d𝜃2 +

𝑅2sin2𝜃d𝜑2. Punctele de pe emisfera nordică unde longitudinea

este egală cu latitudinea se află pe curba 𝛾: 𝑟 = 𝑅, 𝜃 = 𝜑.

Elementul de arc pe această curbă este dat de

d𝑠2 = (𝑅2 + 𝑅2sin2𝜃)d𝜃2 și lungimea arcului pentru 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

2

este 𝐿 = ∫ d𝑠 = 𝑅 ∫ √1 + sin2𝜃 d𝜃𝜋

20𝛾

, ușor de estimat.

În coordonate cilindrice, avem 𝑢1 = 𝜌, 𝑢2 = 𝜑, 𝑢3 = 𝑧; atunci:

r=(𝑢1 cos 𝑢2) 𝐞1 + (𝑢1 sin 𝑢2)𝐞2 + 𝑢

3𝐞3 deci,

𝐠1 =𝜕𝐫

𝜕𝑢1= (cos 𝑢2) 𝐞1 + (sin 𝑢

2)𝐞2,

𝐠2 =𝜕𝐫

𝜕𝑢2= (−𝑢1sin𝑢2)𝐞1 + (𝑢

1 cos 𝑢2)𝐞2 și

𝐠3 =𝜕𝐫

𝜕𝑢3= 𝐞3.

183

Deci 𝑔11 = 1, 𝑔22 = (𝑢1)2 = 𝜌2 și 𝑔33 = 1. Parametrii

Lamé sunt 𝐿𝑖 = √𝑔𝑖𝑖 deci 𝐿1 = 1, 𝐿2 = 𝜌, 𝐿3 = 1. Iar metrica

spațiului ℝ3 în coordonate cilindrice este:

d𝑠2 = d𝜌2 + 𝜌2d𝜑2 + d𝑧2.

Simbolurile lui Christoffel

În multe aplicații, este important modul de variație a unui

câmp de vectori de la un punct la altul. În cazul exprimărilor

vectorilor sau tensorilor relativ la repere carteziene fixe, cu

versori constanți, derivarea se face pe componente, dar în cazul

raportării la repere mobile, lucrurile sunt ceva mai complicate.

Fixând un reper cartezian ortonormal {O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡

(𝑂𝑥1𝑥2𝑥3) și un sistem de coordonate curbilinii (𝑢𝑖), atunci

vectorul de poziție al punctului curent este r = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3)𝐞𝑖 și

am notat 𝐠𝑖 =𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3 și 𝐠𝑖 =

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝒙𝒋𝐞𝑗. Orice vector v ∈ V3

se poate exprima în componente contravariante prin v = 𝑣𝑖𝐠𝑖. De

exemplu, 𝜕𝐯

𝜕𝑢1=

𝜕

𝜕𝑢1(𝑣𝑖𝐠𝑖) =

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢1𝐠𝑖 + 𝑣

𝑖 𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢1 . Similar se petrec

lucrurile în cazul celorlalte variabile 𝑢𝑖 și al tensorilor. Așadar,

trebuie ținut cont de derivatele vectorilor bazei {𝐠𝑖}.

Definiția 6.6: Derivatele 𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗 fiind ele însele vectori din

V3 (depinzând de 𝑢𝑗) se exprimă prin combinații liniare ale

vectorilor bazei {𝐠𝑖}. Așadar, au loc relații de forma:

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗= Γ𝑖𝑗

𝑘𝐠𝑘 (sumă după k), pentru 1≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3. (19)

Funcțiile Γ𝑖𝑗𝑘 se numesc simbolurile lui Christoffel.

Numărul lor este 27 și nu sunt componente ale vreunui

tensor (de ordin 3).

184

Indicele i este cel al vectorului de bază care se derivează,

j este indicele variabilei în raport cu care se face derivata, iar k

indică direcția.

Din formula definitorie (19) rezultă de asemenea că:

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗= −Γ𝑘𝑗

𝑖 𝐠𝑘. (19’)

Într-adevăr, aplicând faptul că pentru orice vector w ∈ V3

avem w=(w·𝐠𝑘)𝐠𝑘, rezultă că

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗= (

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗· 𝐠𝑘) 𝐠

𝑘 .

Dar 𝐠𝑖 · 𝐠𝑘 = 𝛿𝑘𝑖 și derivând în raport cu 𝑢𝑗 ,

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗· 𝐠𝑘 +

𝐠𝑖 ·𝜕𝐠𝑘

𝜕𝑢𝑗= 0 deci:

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗· 𝐠𝑘 = − 𝐠

𝑖 ·𝜕𝐠𝑘

𝜕𝑢𝑗=⏞

cf.(19)

− 𝐠𝑖 · (Γ𝑘𝑗𝑝 𝐠𝑝) = −Γ𝑘𝑗

𝑖 și avem (19’).

În continuare, vom stabili cum se calculează simbolurile

Γ𝑖𝑗𝑘 dacă se cunoaște tensorul metric (deci componentele dublu

covariante sau dublu contravariante ale acestuia).

Înmulțim scalar relația vectorială (19) cu 𝐠𝑝; așadar,

𝐠𝑝 ·𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗= Γ𝑖𝑗

𝑘(𝐠𝑝 · 𝐠𝑘). Dar 𝐠𝑝 · 𝐠𝑘 = 𝛿𝑘𝑝 deci:

Γ𝑖𝑗𝑝 = 𝐠𝑝 ·

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗. (20)

Dar 𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗=

𝜕

𝜕𝑢𝑗(𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖) =

𝜕2𝐫

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑖=

𝜕2𝐫

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗 (conform teoremei lui

Schwartz), deci 𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗=

𝜕

𝜕𝑢𝑖(𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑗) =

𝜕𝐠𝑗

𝜕𝑢𝑖 și relația (19) se scrie

𝜕𝐠𝑗

𝜕𝑢𝑖= Γ𝑖𝑗

𝑘𝐠𝑘, apoi înmulțind scalar cu 𝐠𝑝, rezultă Γ𝑖𝑗𝑝= 𝐠𝑝 ·

𝜕𝐠𝑗

𝜕𝑢𝑖,

adică intervertind indicii i, j, rezultă că Γ𝑗𝑖𝑝 = 𝐠𝑝 ·

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗.

Comparând cu (20), rezultă că Γ𝑖𝑗𝑘 = Γ𝑗𝑖

𝑘, adică simbolurile

lui Christoffel sunt simetrice în raport cu indicii inferiori.

Așadar, putem scrie: Γ𝑖𝑗𝑝 =

1

2𝐠𝑝 ·

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗+1

2𝐠𝑝 ·

𝜕𝐠𝑗

𝜕𝑢𝑖.

185

Aici se face un artificiu, adunând două paranteze care de

fapt sunt identic nule. Anume,

Γ𝑖𝑗𝑝 =

1

2𝐠𝑝 ·

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗+ (

1

2𝑔𝑘𝑝

𝜕𝐠𝑘

𝜕𝑢𝑗· 𝐠𝑖 −

1

2𝑔𝑘𝑝

𝜕𝐠𝑗

𝜕𝑢𝑘· 𝐠𝑖) +

1

2𝐠𝑝 ·

𝜕𝐠𝑗

𝜕𝑢𝑖+ (

1

2𝑔𝑘𝑝

𝜕𝐠𝑘

𝜕𝑢𝑖· 𝐠𝑗 −

1

2𝑔𝑘𝑝

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑘· 𝐠𝑗).

Dar, 𝐠𝑝 = 𝑔𝑘𝑝𝐠𝑘, deci

Γ𝑖𝑗𝑝 =

1

2𝑔𝑘𝑝𝐠𝑘 ·

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗+ (

1

2𝑔𝑘𝑝

𝜕𝐠𝑘

𝜕𝑢𝑗· 𝐠𝑖 −

1

2𝑔𝑘𝑝

𝜕𝐠𝑗

𝜕𝑢𝑘· 𝐠𝑖) +

1

2𝑔𝑘𝑝𝐠𝑘 ·

𝜕𝐠𝑗

𝜕𝑢𝑖 + (

1

2𝑔𝑘𝑝

𝜕𝐠𝑘

𝜕𝑢𝑖· 𝐠𝑗 −

1

2𝑔𝑘𝑝

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑘· 𝐠𝑗).

Grupând termenii, rezultă:

Γ𝑖𝑗𝑝 =

1

2𝑔𝑘𝑝 [(𝐠𝑘 ·

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗+𝜕𝐠𝑘

𝜕𝑢𝑗· 𝐠𝑖) + (𝐠𝑘 ·

𝜕𝐠𝑗

𝜕𝑢𝑖+

𝜕𝐠𝑘

𝜕𝑢𝑖· 𝐠𝑗) − (

𝜕𝐠𝑗

𝜕𝑢𝑖· 𝐠𝑖 +

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑘· 𝐠𝑗)]=

1

2𝑔𝑘𝑝 [

𝜕

𝜕𝑢𝑗(𝐠𝑘 · 𝐠𝑖) +

𝜕

𝜕𝑢𝑖(𝐠𝑘 · 𝐠𝑗) −

𝜕

𝜕𝑢𝑘(𝐠𝑖 · 𝐠𝑗)].

În acest mod, am demonstrat următoarea:

TEOREMĂ:

Γ𝑖𝑗𝑝 =

1

2𝑔𝑘𝑝 (

𝜕𝑔𝑖𝑘

𝜕𝑢𝑗+𝜕𝑔𝑗𝑘

𝜕𝑢𝑖−𝜕𝑔𝑖𝑗

𝜕𝑢𝑘), sumă după k. (21)

Aplicând această formulă, se pot calcula explicit

simbolurile lui Christoffel pentru orice sistem de coordonate

curbilinii, de îndată ce se cunosc componentele tensorului metric.

Exemplu

Determinăm simbolurile lui Christoffel în coordonate

cilindrice 𝜌, 𝜑, 𝑧.

Avem 𝑔11 = 1, 𝑔22 = 𝜌2, 𝑔33 = 1, 𝑔11 = 1, 𝑔22 =

1

𝜌2 ,

𝑔33 = 1, 𝑔𝑖𝑗 = 0 pentru 𝑖 ≠ 𝑗 și 𝑔𝑖𝑗 = 0 pentru 𝑖 ≠ 𝑗.

Conform (21), rezultă:

186

Γ111 =

1

2𝑔11 (

𝜕𝑔11

𝜕𝜌+𝜕𝑔11

𝜕𝜌−𝜕𝑔11

𝜕𝜌) +

1

2𝑔21 (

𝜕𝑔12

𝜕𝜌+𝜕𝑔12

𝜕𝜌−𝜕𝑔11

𝜕𝜑) +

1

2𝑔31 (

𝜕𝑔13

𝜕𝜌+𝜕𝑔13

𝜕𝜌−𝜕𝑔11

𝜕𝑧) =

1

2(0 + 0 − 0) + 0 + 0 = 0; apoi,

Γ221 = −𝜌 , Γ12

2 =1

𝜌, Γ212 =

1

𝜌 (după calcule). Restul simbolurilor

sunt nule.

§6.4. Derivarea covariantă a scalarilor și vectorilor

Am văzut rolul operației de derivare în studiul variației

câmpurilor de vectori; ca exemplu, reamintim viteza și accelerația

mișcării în lungul unei curbe (vezi §3.4). În cazul reperelor

carteziene „fixe” {O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡ (𝑂𝑥1𝑥2𝑥3), ca în cazul

Geometriei analitice, vectorii 𝐞𝑖 ai bazei lui V3 sunt constanți ca

mărime și direcție și ca atare, derivarea oricărui vector

v(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑣𝑖(𝑥𝑗) 𝐞𝑖, se face derivând componentele scalare,

anume 𝜕𝐯

𝜕𝑥𝑗=

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑥𝑗𝐞𝑖 (relativ la coponentele covariante); iar dacă

reperul ar fi și ortonormal, atunci 𝐞𝑖 = 𝐞𝑖 și

𝑣𝑖 = 𝑣𝑖 pentru orice 1 ≤ 𝑖 ≤ 3. Dar în cazul coordonatelor

curbilinii, pentru derivarea vectorilor de bază, trebuie utilizate

simbolurile lui Christoffel.

Considerăm un reper mobil 3D, {M; 𝐠1,𝐠2, 𝐠3} ≡

(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) în coordonate curbilinii. Dacă v(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) este un

câmp de vectori din V3 și folosim componentele sale

contravariante, atunci v=𝑣𝑖𝐠𝑖 deci 𝜕𝐯

𝜕𝑢𝑗=

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗𝐠𝑖 + 𝑣

𝑖 𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗. Dar

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗= Γ𝑖𝑗

𝑘𝐠𝑘 (conform formulei (19)) și ca atare:

𝜕𝐯

𝜕𝑢𝑗=

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗𝐠𝑖 + 𝑣

𝑖Γ𝑖𝑗𝑘𝐠𝑘.

187

Intervertind indicii de sumare 𝑖 ↔ 𝑘 în ultimul termen,

rezultă 𝜕𝐯

𝜕𝑢𝑗= (

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗+ 𝑣𝑘Γ𝑘𝑗

𝑖 )𝐠𝑖.

Definiția 6.7: Setul de funcții

𝑣;𝑗𝑖 =

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗+ 𝑣𝑘Γ𝑘𝑗

𝑖 , depinzând de 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, (22)

poartă numele de componentele derivatei covariante, ∇𝑗𝑣𝑖, în

lungul direcției 𝐠𝑗.

Am demonstrat astfel relația:

𝜕𝐯

𝜕𝑢𝑗= v;𝑗

𝑖 𝐠𝑖 (sumă după i); 1≤ 𝑗 ≤ 3. (23)

În mod similar, folosind componentele covariante ale

vectorului v, avem v = 𝑣𝑖𝐠𝑖 deci

𝜕𝐯

𝜕𝑢𝑗=

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗𝐠𝑖 + 𝑣𝑖

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗 . Aplicând

formula (19’) și intervertind indicii de sumare i, k, rezultă că

𝑣𝑖𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗= −𝑣𝑖Γ𝑘𝑗

𝑖 𝐠𝑘 = −(𝑣𝑘Γ𝑖𝑗𝑘)𝐠𝑖 deci

𝜕𝐯

𝜕𝑢𝑗= (

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗− 𝑣𝑘Γ𝑖𝑗

𝑘)𝐠𝑖.

Setul de funcții

𝑣𝑖;𝑗 =𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗− 𝑣𝑘Γ𝑖𝑗

𝑘; 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 3 (24)

reprezintă componentele derivatei covariante ∇𝑗𝑣𝑖, în lungul

direcției 𝐠𝑗. Așadar,

𝜕𝐯

𝜕𝑢𝑗= 𝑣𝑖;𝑗𝐠

𝑖 (sumă după i). (25)

Notă: Se poate arăta că seturile de funcții 𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗(sau

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗) nu

au caracter tensorial (la o schimbare de coordonate

(𝑢𝑖) ⇄ (��𝑖)). Dar 𝑣;𝑗𝑖 și respectiv 𝑣𝑖;𝑗 sunt componentele unui

tensor mixt, respectiv tensor dublu covariant, care reprezintă

derivata covariantă a vectorului (𝑣𝑖) respectiv (𝑣𝑖).

Atenție! Nu există derivate contravariante.

188

Derivata covariantă a unui câmp scalar 𝜑 pe direcția unui

vector nenul h ∈ V3, într-un punct a din spațiu este scalarul

d𝜑

d𝐡(𝑎) ≡ (∇𝐡𝜑)𝑎 = lim𝑡→0

𝑡≠0

𝜑(𝑎+𝑡𝐡)−𝜑(𝑎)

𝑡.

În punctul curent, are loc formula

∇𝐡𝜑 = 𝐡 · ∇𝜑. (26)

Acesta nu este un concept nou; l-am reamintit în Capitolul

4, §4.4 (derivata lui 𝜑 după un versor s, notată (s·∇)𝜑). În

Capitolul 4, am definit pseudovectorul ∇ care trebuie uitat,

deoarece nu are legătură directă cu derivata covariantă a

tensorilor.

Exemplu

Derivatele parțiale ale unei funcții (netede) scalare sunt

derivatele pe direcția axelor. Tot astfel, deriata parțială a unui

câmp scalar sau vectorial în raport cu variabila 𝑢𝑗 este tocmai

derivata pe direcția vectorului 𝐠𝑗 de bază.

Conceptul general de derivare covariantă

Acest concept a fost introdus și studiat de italienii Levi-

Civita și Ricci, ca și de germanul Christoffel, ca un instrument

indispensabil în studiul curburii suprafețelor sau varietăților, ca și

în probleme de Mecanică cerească.

Până acum am definit:

I. derivata covariantă ∇𝐡𝜑 a unui câmp scalar 𝜑 pe direcția unui

vector nenul h;

II. derivata covariantă a unui câmp de tensori de ordin 1 (ca

vectori contravarianți sau covarianți, prin formulele (22) și (24));

III. iar dacă 𝜑 este un câmp scalar, v un câmp de vectori, ambele

netede în vecinătatea unui punct a și dacă h este un vector nenul,

189

atunci asocierea (v, h) ↦ (∇𝐡𝐯)𝑎 este liniară în fiecare argument

și în plus,

∇𝐡(𝜑𝐯)𝑎 = 𝜑(𝑎)(∇𝐡𝐯)𝑎+(∇𝐡𝜑)𝑎𝐯(𝑎).

În punctul curent,

∇𝐡(𝜑𝐯) = φ∇𝐡𝐯 + (∇𝐡𝜑)𝐯. (27)

Exemplu

Dacă v ∈ V3 și considerăm componentele contravariante

(se mai spune atunci că v însuși este un vector contravariant!),

atunci v = 𝑣𝑖𝐠𝑖 și avem:

𝜕𝐯

𝜕𝑢𝑗= ∇𝐠𝑗𝐯 = ∇𝐠𝑗(𝑣

𝑖𝐠𝑖) =⏞cf.(27)

𝑣𝑖∇𝐠𝑗𝐠𝑖 + (∇𝐠𝑗𝑣𝑖) 𝐠𝑖 =

𝑣𝑖𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗+𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗𝐠𝑖 =⏞

cf.(19)

𝑣𝑖(Γ𝑖𝑗𝑘𝐠𝑘) +

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗𝐠𝑖 = (𝑣

𝑖Γ𝑖𝑗𝑘)𝐠𝑘 +

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗𝐠𝑖;

intervertind în primul termen indicii de sumare i și k, regăsim

formula (23).

I. Pentru orice câmp de tensori T de tip (r,s), se asociază

derivata sa covariantă ∇T, care este un câmp de tensori de

tip (r, s+1). Asocierea T ↦ ∇T este liniară și în plus,

pentru orice câmp scalar 𝜑, avem:

∇(𝜑𝐓) = ∇𝜑⨂𝐓 + 𝜑∇𝐓 și dacă T, U sunt doi

tensori oarecare, atunci:

∇(𝐓⨂𝐔) = (∇𝐓)⨂𝐔 + 𝐓⨂(∇𝐔).

Reținem că prin aplicarea derivării covariante, unui tensor

îi crește ordinul de covarianță cu o unitate.

Exemple

Aplicând aceste reguli, se obțin următoarele formule

privind derivatele covariante (pe direcția 𝐠𝑘) ale tensorilor de

ordin doi și mai general:

190

𝐓;𝑘𝑖𝑗=𝜕𝐓𝑖𝑗

𝜕𝑢𝑘+ Γ𝑝𝑘

𝑖 𝐓𝑝𝑗 + Γ𝑝𝑘𝑗𝐓𝑖𝑝;

𝐓𝑖𝑗;𝑘 =𝜕𝐓𝑖𝑗

𝜕𝑢𝑘− Γ𝑘𝑖

𝑞𝐓𝑞𝑗 − Γ𝑘𝑗𝑞 𝐓𝑖𝑞;

𝐓𝑗;𝑘𝑖 =

𝜕𝐓𝑗𝑖

𝜕𝑢𝑘+ Γ𝑘𝑝

𝑖 𝐓𝑗𝑝 − Γ𝑘𝑗

𝑞 𝐓𝑞𝑖 .

}

(28)

(𝐓𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟)

;𝑘=

𝜕

𝜕𝑢𝑘𝐓𝑗1…𝑗𝑠𝑖1…𝑖𝑟 + Γ𝑝𝑘

𝑖1𝐓𝑗1…𝑗𝑠𝑝𝑖2…𝑖𝑟 +⋯+

Γ𝑝𝑘𝑖𝑟 𝐓𝑗1…𝑗𝑠

𝑖1…𝑖𝑟−1𝑝 − Γ𝑘𝑗1𝑞 𝐓𝑞𝑗2…𝑗𝑠

𝑖1…𝑖𝑟 −⋯− Γ𝑘𝑗𝑠𝑞 𝐓𝑗1…𝑗𝑠−1𝑞

𝑖1…𝑖𝑟 (29)

Așadar, se consideră derivata parțială uzuală a tensorului

la care se adaugă multiplicatul corespunzător Γ𝑝𝑘𝑖 pentru fiecare

indice–etaj i și se scade multiplicatul corespunzător Γ𝑗𝑘𝑞

pentru

fiecare indice–subsol j.

Derivarea covariantă în lungul unei curbe situată pe o

suprafață; interpretarea geometrică

Fixăm pentru moment un reper cartezian ortonormal

{O;𝐞1, 𝐞2, 𝐞2} ≡ (𝑂𝑥1𝑥2𝑥3) în spațiu.

Fie 𝛾: 𝛒 = 𝛒(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼 o curbă parametrizată netedă, cu

𝛒′(𝑡) ≠ 0 pentru orice 𝑡 ∈ 𝐼. În plus, presupunem că 𝛾 este situată

pe o suprafață Σ ∶ 𝐫 = 𝐫(𝑢1, 𝑢2) cu (𝑢1, 𝑢2) variind într-o regiune

D din ℝ2, astfel încât să existe funcții 𝑢1, 𝑢2 ∶ 𝐼 → ℝ astfel încât

(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡)) ∈ 𝐷 și 𝛒(𝑡) = 𝐫(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡)) pentru orice 𝑡 ∈ 𝐼.

Un vector h ∈ V3 se numește tangent la Σ într-un punct

a ∈ Σ dacă există o curbă 𝛾: 𝛒 = 𝛒(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼 situată pe Σ și o

valoare 𝑡0 ∈ 𝐼 astfel încât 𝛒(𝑡0) = 𝑂𝑎 și 𝛒′(𝑡0) = 𝐡; (fig. 6.4).

A determina curba 𝛾 revine la a indica explicit funcțiile:

𝑢1 = 𝑢1(𝑡), 𝑢2 = 𝑢2(𝑡); 𝑡 ∈ 𝐼.

191

Fig. 6.4

Presupunem în plus că pentru orice (𝑢1, 𝑢2) ∈ 𝐷, vectorii

𝐠1 =𝜕𝐫

𝜕𝑢1 și 𝐠2 =

𝜕𝐫

𝜕𝑢2 sunt necoliniari (adică 𝐠1 × 𝐠2 ≠ 𝟎); se

spune atunci că Σ este nesingulară. De fapt, acești vectori sunt

tangenți la suprafața Σ, fiind tangenți la curbele de coordonate

𝑢2 = 𝐶, constant și 𝑢1 = 𝐶, constant.

Se notează cu 𝑇𝑎Σ mulțimea tuturor vectorilor tangenți la

Σ în punctul a, având punctul de aplicație în originea sistemului

de coordonate 𝑂𝑥1𝑥2𝑥3; 𝑇𝑎Σ este un spațiu vectorial de

dimensiune 2, având baza 𝐠1, 𝐠2 (calculați în a). 𝑇𝑎Σ este numit

planul tangent la Σ în a.

Fie acum v ∈ V3 un vector având punctul de aplicație în

𝛒(𝑡) și tangent la Σ în acest punct; așadar, vectorul variabil

v(𝑡) = 𝐯(𝛒(𝑡)) = 𝐯(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡)) are suportul în planul tangent

𝑇𝛒(𝑡)Σ; desenat punctat în figura 6.5. În general, derivata în sens

clasic v´(t) nu este conținută în acest plan.

192

Fig. 6.5

Considerăm reperul mobil format din vectorii

𝐠1, 𝐠2 și 𝐠3 = 𝐠1 × 𝐠2. Avem o scriere v(𝑡) = 𝑣𝑖(𝑢1(𝑡),

𝑢2(𝑡))𝐠𝑖; sumă după i pentru 1 ≤ 𝑖 ≤ 2.

Dar v´(𝑡) =d𝑣𝑖

d𝑡𝐠𝑖 + 𝑣𝑖

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗𝑑𝑢𝑗

d𝑡=⏞

cf.(19)

(d𝑣𝑖

d𝑡+ 𝑣𝑘Γ𝑘𝑗

𝑖 d𝑢𝑗

d𝑡) 𝐠𝑖;

sumă după i (aici 1 ≤ 𝑖 ≤ 3). Notăm D𝐯

d𝑡= proiecția vectorului

v´(𝑡) pe planul tangent 𝑇𝛒(𝑡)Σ (generat de 𝐠1, 𝐠2).

Așadar, (sumă după i și k; 1≤ 𝑖 ≤ 2 și 1 ≤ 𝑘 ≤ 3),

D𝐯

d𝑡= (

d𝑣𝑖

d𝑡+ 𝑣𝑘Γ𝑘𝑗

𝑖 𝑑𝑢𝑗

d𝑡) 𝐠𝑖. (30)

Avem d𝑣𝑖

d𝑡=

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗𝑑𝑢𝑗

d𝑡 și comparând cu relația (23), rezultă

D𝐯

d𝑡= 𝑣;𝑗

𝑖 𝑑𝑢𝑗

d𝑡𝐠𝑖 (sumă după i, j) (31)

Așadar, are loc:

TEOREMĂ: Funcțiile scalare 𝑣;𝑗𝑖 𝑑𝑢

𝑗

d𝑡 sunt componentele

contravariante ale vectorului D𝐯

d𝑡, deci:

D𝐯

d𝑡= ∇𝛒′(𝑡)𝐯. (32)

Cu alte cuvinte, vectorul D𝐯

d𝑡 (≡proiecția lui v´(t) pe planul

𝑇𝛒(𝑡)Σ) este derivata covariantă a câmpului v presupus tangent la

Σ pe direcția h=𝛒′(𝑡).

193

CAPITOLUL 7: CÂTEVA APLICAȚII ALE

TENSORILOR

În acest capitol, vom depăși acumulările teoretice și vom

prezenta argumente pentru a justifica de ce tensorii sunt obiecte

fizico–matematice importante sau chiar indispensabile.

Până acum ne-am plasat în spațiul fizic S≡ ℝ3, dar tot ce

am spus este valabil și poate fi refăcut fără dificultăți principiale

în ℝ𝑛, pentru 𝑛 ≥ 2.

§7.1. Mișcarea pe o traiectorie plană

În Capitolul 3 am considerat mișcarea circulară uniformă.

Determinăm acum vectorul–viteză și vectorul–accelerație în

lungul unei curbe plane parametrizate, în coordonate curbilinii.

Considerăm un reper cartezian ortonormal 2D, într-un

plan P, {O;𝐞1, 𝐞2} ≡ 𝑂𝑥1𝑥2 (Am schimbat notația sistemului de

coordonate xOy de versori i, j, folosită în Capitolul 1).

Poziția unui punct M din planul P poate fi de asemenea

precizată prin două coordonate curbilinii 𝑢1, 𝑢2 (de exemplu,

𝜌 și 𝜃). Așadar, punctul curent M are două rânduri de coordonate:

(𝑥1, 𝑥2) și (𝑢1, 𝑢2); în plus, există relații 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2),

inversabile prin 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑥1, 𝑥2); 1 ≤ 𝑖 ≤ 2, care asigură o

corespondență bijectivă, (𝑥1, 𝑥2) ⇄ (𝑢1, 𝑢2) exprimată prin

funcții continue cu derivate parțiale continue.

Vectorul de poziție r=𝑂𝑀 al punctului M se scrie astfel:

r= 𝑂𝑀 = 𝑥𝑘𝐞𝑘 = 𝑥1𝐞2 + 𝑥

2𝐞2, deci

r=𝑥𝑘(𝑢1, 𝑢2)𝐞𝑘; (fig.7.1). (1)

194

Fig. 7.1

Notând 𝐠𝑖 =𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖 (pentru i = 1, 2), se obține un reper

mobil curbiliniu 2D în planul P, {M;𝐠1, 𝐠2} ≡ (𝑂𝑥1𝑥2).

Bazei {𝐠1, 𝐠2} a spațiului vectorial V2(P) îi corespunde

baza reciprocă {𝐠1, 𝐠2}, unde 𝐠𝑗 =𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑝𝐞𝑝.

Într-adevăr, 𝐠𝑖 =𝜕

𝜕𝑢𝑖(𝑥𝑘𝐞𝑘) =

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝐞𝑘 și 𝐠𝑗 =

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑝𝐞𝑝, deci:

𝐠𝑖 · 𝐠𝑗=𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑝(𝐞𝑘 · 𝐞𝑝) =

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑝𝛿𝑘𝑝 =

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑘= 𝛿𝑖

𝑗,

pentru 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2, ultima egalitate rezultă din relația (3), §6.2.

De asemenea, 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝐠𝑗 · 𝐠𝑖 = 𝛿𝑗

𝑖.

Exemplu (coordonate polare)

În acest caz, 𝑢1 = 𝜌 și 𝑢2 = 𝜃 deci r=𝑥1𝐞1 + 𝑥2𝐞2 =

𝜌 cos 𝜃 𝐞1 + 𝜌 sin 𝜃 𝐞2. Atunci𝐠1 =𝜕𝐫

𝜕𝜌= cos 𝜃 𝐞1 + sin 𝜃 𝐞2 și

𝐠2 =𝜕𝐫

𝜕𝜃= −𝜌 sin 𝜃 𝐞1 + 𝜌 cos 𝜃 𝐞2. Evident, 𝐠1 · 𝐠2 = 0 deci

𝐠1 ⊥ 𝐠2; (fig. 7.2).

Fig. 7.2

195

Luând 𝐠1 = 𝐠1 și 𝐠2 =

1

𝜌2𝐠2, avem:

𝐠1 · 𝐠1 = 1, 𝐠1 · 𝐠

2 = 𝐠1 · (1

𝜌2𝐠2) =

1

𝜌2(𝐠1 · 𝐠2) = 0 și

𝐠2 · 𝐠2 = 𝐠2 · (

1

𝜌2𝐠2) =

1

𝜌2(𝐠2 · 𝐠2) =

1

𝜌2· 𝜌2 = 1.

Așadar, 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖

𝑗 pentru orice i, j. În acest mod, {𝐠1, 𝐠2} este

baza reciprocă a bazei {𝐠1, 𝐠2} în spațiul vectorial V2(P).

Să presupunem acum o curbă parametrizată

𝛾: 𝑢1 = 𝑢1(𝑡), 𝑢2 = 𝑢2(𝑡), cu parametrul t variind într-un

interval I. Atunci r(𝑡) = 𝑥𝑘(𝑢1, 𝑢2)𝐞𝑘 și vectorul–viteză este:

v(𝑡) = 𝐫′(𝑡) = (𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢1𝑢′1 +

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢2𝑢′2) 𝐞𝑘 = (

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢1𝐞𝑘) 𝑢

′1 +

(𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑢2𝐞𝑘) 𝑢

′2 =𝜕𝐫

𝜕𝑢1𝑢′1 +

𝜕𝐫

𝜕𝑢2𝑢′2 = 𝐠1𝑢

′1 + 𝐠2𝑢′2.

Așadar,

v(𝑡) = 𝑢′𝑖(𝑡)𝐠𝑖 (sumă după i). (2)

Apoi vectorul–accelerație este a(𝑡) = 𝐯′(𝑡) =

(𝑢′𝑖𝐠𝑖)′(𝑡) = 𝑢′′𝑖𝐠𝑖 + 𝑢

′𝑖𝐠𝑖′. Dar 𝐠𝑖

′ =d

d𝑡(𝐠𝑖) =

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗𝑢′𝑗(𝑡).

Deoarece 𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗 sunt vectori din V2(P), ei sunt combinații

liniare ale vectorilor {𝐠1, 𝐠2}. Anume 𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗= Γ𝑖𝑗

𝑘𝐠𝑘 (sumă după k).

Simbolurile lui Christoffel Γ𝑖𝑗𝑘 (în număr de 23 =8) sunt

funcții de 𝑢1, 𝑢2.

Ca atare,

a(𝑡) = 𝐠𝑘𝑢′′𝑘 + 𝑢′𝑖

𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗𝑢′𝑗 = 𝐠𝑘𝑢

′′𝑘 + Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖𝑢′𝑗𝐠𝑘.

Am demonstrat astfel următoarea formulă:

a(𝑡) = (𝑢′′(𝑡) + Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡))𝐠𝑘. (3)

196

TEOREMĂ: Componentele–etaj ale vectorilor–viteză și

accelerație, în lungul unei curbe plane, în coordonate

curbilinii sunt:

𝑣𝑘 = 𝑢′𝑘(𝑡) și 𝑎𝑘 = 𝑢′′𝑘(𝑡) + Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡); 𝑘 = 1, 2. (4)

Exemplu:

În coordonate polare, avem:

r=𝜌 cos 𝜃 𝐞1 + 𝜌 sin 𝜃 𝐞2;

𝐠1 =𝜕𝐫

𝜕𝜌= cos 𝜃 𝐞1 + sin 𝜃 𝐞2,

𝐠2 =𝜕𝐫

𝜕𝜃= −𝜌 sin 𝜃 𝐞1 + 𝜌 cos 𝜃 𝐞2.

Apoi,

𝜕𝐠1

𝜕𝜌= 0 = Γ11

𝑘 𝐠𝑘 deci Γ111 = 0, Γ11

2 = 0.

𝜕𝐠1

𝜕𝜃= − sin 𝜃 𝐞1 + cos 𝜃 𝐞2 = Γ12

𝑘 𝐠𝑘 = Γ121 𝐠1 +

Γ122 𝐠2 = Γ12

1 (cos 𝜃 𝐞1 + sin 𝜃 𝐞2) + Γ122 (− 𝜌 sin 𝜃 𝐞1 +

𝜌 cos 𝜃 𝐞2) și identificând coeficienții, rezultă

Γ121 = 0, Γ12

2 =1

𝜌 etc.

În final,

Γ122 = Γ21

2 =1

𝜌, Γ22

1 = −𝜌 și restul Γ𝑖𝑗𝑘 sunt nuli.

Așadar, conform (2), viteza v(t)=𝜌′(𝑡)𝐠1 + 𝜃′(𝑡)𝐠2 are

componentele 𝑣𝜌 = 𝜌′(𝑡) (numită viteza radială, în direcția lui

𝐠1), respectiv 𝑣𝜃 = 𝜃′(𝑡)- viteza tangențială (în direcția lui 𝐠2).

Apoi, conform (4) 𝑎𝜌 = 𝜌′′ − 𝜌(𝑡)𝜃′(𝑡)2 este accelerația

radială (în direcția 𝐠1) și 𝑎𝜃 = 𝜃′′(𝑡) +2

𝜌𝜌′(𝑡)𝜃′(𝑡) este

accelerația tangențială (în direcția lui 𝐠2).

Notă: Calculul prealabil al simbolurilor lui Christoffel

este mai migălos.

Conform (2), v(t)=𝜌′(𝑡)𝐠1 + 𝜃′(𝑡)𝐠2 și apoi:

197

𝐚(𝑡) = 𝐯′(𝑡) = 𝜌′′(𝑡)𝐠1 + 𝜌′(𝑡)𝐠1

′ + 𝜃′′(𝑡)𝐠2 + 𝜃′(𝑡)𝐠2

′.

Dar

𝐠1′ = (−sin 𝜃 𝐞1 + cos 𝜃 𝐞2)𝜃

′ =𝜃′(𝑡)

𝜌𝐠2

și 𝐠2′ = [(−𝜌′ sin 𝜃 − 𝜌 cos 𝜃 · 𝜃′)𝐞1 + (𝜌

′ cos 𝜃 −

𝜌 sin 𝜃 · 𝜃′)𝐞2] − 𝜌𝜃′𝐠1 +

𝜌′

𝜌𝐠2.

Deci,

𝐚(𝑡) = 𝜌′′(𝑡)𝐠1 + 𝜌′(𝑡)

𝜃′(𝑡)

𝜌𝐠2 + 𝜃

′′(𝑡)𝐠2 +

𝜃′(𝑡) (−𝜌𝜃′𝐠1 +𝜌′

𝜌𝐠2).

Ca atare,

𝐚(𝑡) = (𝜌′′ − 𝜌𝜃′2)𝐠1 + (𝜃

′′ +2𝜌′𝜃′

𝜌)𝐠2, (5)

regăsind formulele anterioare.

Aplicație

În cazul mișcării circulare (Capitolul 3, §3.4), avem

𝜌(𝑡) = 𝑅 constant și toate formulele se simplifică masiv. În acest

caz, vectorul–viteză este v(𝑡) = 𝜃′(𝑡)𝐠2, deci viteza radială este

nulă și viteza tangențială are mărimea 𝜃′(𝑡). Dacă mișcarea este

uniformă, atunci 𝜃(𝑡) = 𝜔𝑡 (𝜔 = constant), deci v(𝑡) = 𝜔𝐠2 și

ca mărime ‖𝐯(𝑡)‖ = 𝜔‖𝐠2‖ = 𝑅𝜔. Regăsim că v=R𝜔, tocmai

formula (9) din Capitolul 3, §3.4. Apoi 𝑎𝜌 = −𝜌𝜃′2 și 𝑎𝜃 = 𝜃′′.

În cazul mișcării circulare uniforme, 𝑎𝜌 = −𝜔2𝑅 și 𝑎𝜃 = 0;

vectorul–accelerație este a(𝑡) = −𝑅𝜔2𝐠1, cu mărimea a=𝑅𝜔2 =

𝑣2

𝑅, regăsind formula (10) din Capitolul 3, §3.4.

198

§7.2. Mișcarea pe o traiectorie în spațiu

Ne restrângem la a obține expresia vectorilor–viteză și

accelerație. Fie 𝛾: 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑡), 1 ≤ 𝑖 ≤ 3, 𝑡 ∈ 𝐼 o curbă

parametrizată în spațiu, în coordonate curbilinii.

Atunci vectorul de poziție la momentul t este

r(𝑡) = 𝑥𝑘(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡), 𝑢3(𝑡))𝐞𝑘 și vectorul–viteză este

v(𝑡) = 𝐫′(𝑡) =𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖𝑢′𝑖(𝑡) = 𝑢′𝑖(𝑡)𝐠𝑖. Apoi vectorul–accelerație

este a(𝑡) = 𝐯′(𝑡) = 𝑢′′𝑖(𝑡)𝐠𝑖 + 𝑢′𝑖(𝑡)𝐠𝑖

′(𝑡). Vectorii 𝐠𝑖′(𝑡) se

reprezintă cu cele 27 de simboluri ale lui Christoffel:

𝐠𝑖′(𝑡) =

d

d𝑡(𝐠𝑖(𝑢

1(𝑡), 𝑢2(𝑡), 𝑢3(𝑡))) =𝜕𝐠𝑖

𝜕𝑢𝑗𝑢′𝑗(𝑡) =

(Γ𝑖𝑗𝑘𝐠𝑘)𝑢

′𝑗(𝑡).

Ca atare, a(𝑡) = 𝑢′′𝑘(𝑡)𝐠𝑘 + 𝑢′𝑖Γ𝑖𝑗

𝑘𝐠𝑘𝑢′𝑗 = (𝑢′′𝑘(𝑡) +

Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡))𝐠𝑘, regăsind (3).

Sintetizând, am demonstrat următoarea:

TEOREMĂ: Vectorii–viteză și accelerație în mișcarea pe

o curbă în spațiu r=r(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡), 𝑢3(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼 în coordonate

curbilinii sunt

v(𝑡) = 𝑢′𝑘(𝑡)𝐠𝑘 și

a(𝑡) = (𝑢′′𝑘(𝑡) + Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡))𝐠𝑘. (6)

Bineînțeles, în cazul coordonatelor carteziene

ortonormale, regăsim formulele v(𝑡) = 𝐫′(𝑡) și a(𝑡) = 𝐫′′(𝑡), în

lungul unei curbe 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼.

Aplicație

Dacă F=𝐹𝑘𝐠𝑘 este forța aplicată unei particule de masă

m, atunci legea a II–a a dinamicii lui Newton ma=F devine,

199

conform (5), sistemul diferențial al ecuațiilor de mișcare pe o

traiectorie în spațiu, în coordonate curbilinii; anume:

m(𝑢′′𝑘(𝑡) + Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡)) = 𝐹𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 3.

COROLAR: Dacă F=0, adică în lipsa forțelor, atunci

mișcarea are loc în lungul geodezicelor, care verifică sistemul

diferențial

𝑢′′𝑘(𝑡) + Γ𝑖𝑗𝑘𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡) = 0, 1 ≤ 𝑘 ≤ 3. (7)

Acesta este numit sistemul liniilor geodezice ale spațiului;

îl vom reîntâlni în legătură cu transportul paralel (sau mai bine

zis, „autoparalel”) pe o suprafață.

Notă: În cazul coordonatelor carteziene ortonormale,

acestea sunt curbele r=r(t) cu 𝐫′′(𝑡) = 0, 𝑡 ∈ 𝐼, adică liniile

drepte.

Considerând o curbă 𝛾: 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], cu funcțiile

𝑢𝑖 continue și cu derivate continue până la ordinul doi inclusiv,

lungimea L a curbei 𝛾 este L=∫ d𝑠𝛾

. Dar elementul de arc „ds”

este dat de metrica (d𝑠)2 = 𝑔𝑖𝑗d𝑢𝑖d𝑢𝑗 , (𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 · 𝐠𝑗), conform

formulei (18) din Capitolul 6, § 6. 3.

Așadar,

L=∫ √𝑔𝑖𝑗𝑢′𝑖(𝑡)𝑢′𝑗(𝑡)𝑏

𝑎 d𝑡.

În Calculul variațional se arată că această integrală este

minimă (sau maximă) tocmai în lungul liniilor geodezice (care

verifică (7)). Se spune popular că „pentru a ajunge dintr-un punct

A într-un punct B în timp minim, trebuie să mergi pe geodezica

spațiului care trece prin punctele A și B.” Geodezicele în plan sunt

liniile drepte; geodezicele pe sferă sunt arcele de cercuri mari, iar

pe un cilindru circular drept, elicele circulare. Nu mai dăm detalii.

200

§7.3. Tensorul de inerție

Masa unui corp este acea proprietate a corpului care se

opune accelerației lui; pentru accelerare este necesară aplicarea

unei forțe. În mod analog, momentul de inerție este cel care se

opune accelerării unghiulare, fiind necesară aplicarea unui

moment. În acest paralelism, între mișcarea de translație pe o axă

și mișcarea de rotație în jurul unui ax, legii a II–a a lui Newton

F=m·a îi corespunde legea L=I𝛚, unde I este momentul de

inerție, L este momentul unghiular (≡ cinetic) și 𝛚 viteza

unghiulară. Dar surpriză ... I nu mai este un scalar (ca în cazul

masei) ci un operator liniar, pe care l-am definit în

Capitolul 5, §5.1. Anume, pentru o particulă de masă m și vectorul

de poziție r , considerăm operatorul liniar I:V3→ V3, 𝛚 ↦ 𝐋 =

𝐫 × 𝐩 = 𝐫 × (𝑚𝐯) = 𝑚𝐫 × (𝛚 × 𝐫), conform relației (11) din

Capitolul 3, § 3.4. Explicităm acest operator, asimilat cu un tensor

mixt de ordinul 2 (cf. §5.2).

Considerăm un reper ortonormal {O; i, j, k}≡ {𝑂𝑥𝑦𝑧} ca

în Capitolul 1; vectorul de poziție al punctului curent este

r=xi+yj+zk și vectorul-viteză unghiulară 𝛚=ai+bj+ck. Admitem

un sistem de N puncte materiale cu masele 𝑚𝑘 și vectorii de

poziție 𝐫𝑘 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁), relativ la originea reperului considerat.

Aplicând „CAB–BAC” (Capitolul 1, formula (15)),

𝐫 × (𝛚 × 𝐫) = 𝑟2𝛚− (𝛚 · 𝐫)𝐫, rezultă că momentul unghiular

al sistemului este L=∑ 𝐋𝑘𝑁𝑘=1 unde 𝐋𝑘 = 𝑚𝑘[𝑟𝑘

2𝛚− (𝛚 · 𝐫𝑘)𝐫𝑘].

Scriind 𝐫𝑘=𝑥𝑘i+𝑦𝑘j+𝑧𝑘k, 1≤ 𝑘 ≤ 𝑁, rezultă

𝐿𝑘 = 𝑚𝑘[(𝑥𝑘2 + 𝑦𝑘

2 + 𝑧𝑘2)(𝑎𝐢 + 𝑏𝐣 + 𝑐𝐤) − (𝑎𝑥𝑘 +

𝑏𝑦𝑘 + 𝑐𝑧𝑘)(𝑥𝑘𝐢 + 𝑦𝑘𝐣 + 𝑧𝑘𝐤)].

201

Atunci componentele scalare ale lui L, anume 𝐿1∗ , 𝐿2

∗ , 𝐿3∗ ,

sunt coeficienții lui i, j și respectiv k deci

𝐿1∗ = ∑ 𝑚𝑘[𝑎(𝑦𝑘

2 + 𝑧𝑘2) − 𝑏𝑥𝑘𝑦𝑘 − 𝑐𝑥𝑘𝑧𝑘]

𝑁𝑘=1 ,

𝐿2∗ = ∑ 𝑚𝑘[𝑏(𝑧𝑘

2 + 𝑦𝑘2) − 𝑎𝑦𝑘𝑥𝑘 − 𝑐𝑦𝑘𝑧𝑘]

𝑁𝑘=1 și

𝐿3∗ = ∑ 𝑚𝑘[𝑐(𝑥𝑘

2 + 𝑦𝑘2) − 𝑎𝑧𝑘𝑥𝑘 − 𝑏𝑧𝑘𝑦𝑘]

𝑁𝑘=1 .

Introducem acum următoarea matrice simetrică 3 × 3,

numită matricea de inerție a sistemului:

𝐼 = (

∑𝑚𝑘(𝑦𝑘2 + 𝑧𝑘

2) −∑𝑚𝑘𝑥𝑘𝑦𝑘 −∑𝑚𝑘𝑥𝑘𝑧𝑘−∑𝑚𝑘𝑥𝑘𝑦𝑘 ∑𝑚𝑘(𝑧𝑘

2 + 𝑥𝑘2) −∑𝑚𝑘𝑦𝑘𝑧𝑘

−∑𝑚𝑘𝑥𝑘𝑧𝑘 −∑𝑚𝑘𝑦𝑘𝑧𝑘 ∑𝑚𝑘(𝑥𝑘2 + 𝑦𝑘

2)

).

Relația operatorială L=I·𝛚 se scrie matriceal astfel:

(𝐿1∗ 𝐿2

∗ 𝐿3∗ )T = 𝐼 · (𝑎 𝑏 𝑐)T. (8)

Toate elementele matricei 𝐼 au dimensiunea [kgm2] în

sistemul SI de unități, ca în cazul momentului scalar de inerție,

notat md2.

Elementele de pe diagonala principală a matricei

anterioare se numesc momentele de inerție ale sistemului celor N

puncte materiale, iar celelalte se numesc produse ale inerției.

Notă: În mecanică, momentul de inerție al unui obiect

măsoară tendința lui de a se opune accelerării unghiulare și

depinde de masa obiectului și de poziția față de axa de rotație.

Astfel, 𝐼11 = ∑𝑚𝑘(𝑦𝑘2 + 𝑧𝑘

2) arată ce moment unghiular (cinetic)

se produce în direcția axei Ox datorită rotirii în jurul lui Ox, iar

𝐼13 arată momentul produs în direcția Ox datorită rotirii în jurul

lui Oz etc.

Exemplu

Să considerăm un sistem de 4 particule situate în punctele

𝐴1(1, 0, 0), 𝐴2 (−1

2,√3

2, 0) , 𝐴3 (−

1

2 , −

√3

2, 0) și 𝐴4(0, 0, 𝑑);

202

(fig.7.3). În aceste puncte dispunem mase 𝑚𝑘 = 1. În acest caz,

matricea de inerție se determină cu ușurință; anume, este matricea

diagonală 𝐼 = diag (𝑑2 +3

2, 𝑑2 +

3

2, 3).

Fig. 7.3

Efectuăm o rotație 𝑅1 de unghi 𝜃 în jurul axei Ox;

matricea de rotație este

𝑅1 = (1 0 00 cos 𝜃 − sin 𝜃0 − sin 𝜃 cos 𝜃

).

Noua matrice de inerție va fi:

𝐿′ = 𝑅1 · (𝐿1∗ 𝐿2

∗ 𝐿3∗ )T =⏞

cf.(8)

𝑅1 · 𝐼 · (𝑎 𝑏 𝑐)T =

= (𝑅1𝐼𝑅−1) · 𝑅 · (𝑎 𝑏 𝑐)T.

Notăm 𝐼1 = 𝑅1𝐼𝑅−1 și 𝜔1 = 𝑅 · (𝑎 𝑏 𝑐)

T deci

𝐿′ = 𝐼1𝜔1.

Matricea 𝐼1 este asemenea cu 𝐼 și 𝜔1 este matricea

componentelor vitezei unghiulare a sistemului de puncte rotit în

jurul lui Ox. Aici se probează virtutea utilizării tensorilor. Se pot

determina, prin calcule de matrice, diverse mărimi după

modificări ale poziției sau ale maselor punctelor sistemului.

Dar problema se pune și invers. Determinăm prin

măsurători matricea de inerție 𝐼 (matrice simetrică). Prin metode

203

de Algebră liniară, se diagonalizează 𝐼 și în acest mod, se

determină matricea de rotație prin care noua matrice de inerție

devine o matrice diagonală D. Vectorii proprii ai matricei 𝐼 dau

axele principale, iar elementele lui D sunt tocmai noile momente

de inerție.

§7.4. Tensorul câmpului electromagnetic

Specialiștii în telecomunicații au reușit să transmită în eter

„fără fir”, informații la mare distanță și aproape instantaneu. Cei

mai mulți semeni ai noștri nu știu că, în ultimă analiză,

tehnologiile moderne utilizează ecuațiile lui Maxwell M1–M4

(din Capitolul 4, §4.4). Pentru a înțelege esența tensorului

electromagnetic care va fi introdus mai jos, este necesară

„descifrarea” acestor ecuații.

Ecuația M1 (div E = 𝜌 휀0⁄ ) arată că în orice loc,

divergența câmpului electric este proporțională cu densitatea 𝜌 de

sarcini electrice din acel loc.

Deoarece liniile de câmp ale câmpului electrostatic

pornesc din sarcinile „+” și intră în sarcinile „−”, acele linii

diverg din locurile unde se concentrează sarcini „+” și converg

(se strâng) spre concentrările de sarcini „−”.

Ecuația M2 (div B≡0) arată că în Univers nu există

sarcini magnetice, iar câmpul B este fără surse și fără puțuri.

Ecuația M3 (rot E=−𝜕𝐁

𝜕𝑡) arată că „vârtejul” câmpului

electric este egal cu opusa vitezei de variație a

câmpului magnetic.

204

În fine, ecuația M4 (rot B=𝜇0𝐉 + 1

𝑐2𝜕𝐄

𝜕𝑡) arată că

„vârtejul” lui B este produs atât de un curent electric cât și de o

variație a câmpului electric.

Pe scurt, ecuațiile lui Maxwell descriu comportarea în

spațiu și timp a câmpului electromagnetic.

Pentru fundamentarea Teoriei relativității restrânse,

Einstein a impus două rezultate:

- legile fizicii sunt aceleași în toate reperele inerțiale

neaccelerate;

- viteza luminii în vid este constantă (cu valoarea c)

independent de mișcarea sursei sau observatorului.

Pornind de aici, Einstein a dedus că distanțele în spațiu și

duratele în timp depind de mișcarea relativă a observatorului. Ca

atare, spațiul și timpul sunt inter-legate și transformările Galilei

(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧, ) ⇄ (𝑡′, 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) nu sunt compatibile cu cele două

postulate. Să ne imaginăm un puls de lumină care radiază sferic

dintr-un anumit loc. Un observator aflat în originea sistemului de

coordonate (t, x, y, z) va vedea că pătratul distanței acoperite de

frontul de undă al undei de lumină va fi 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑐2𝑡2;

similar, un observator din celălalt sistem de coordonate

(𝑡′, 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) va măsura același lucru și ținând cont de constanța

vitezei luminii, rezultă că:

𝑐2𝑡2 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 = 𝑐2𝑡′2 − 𝑥′2 − 𝑦′2 − 𝑧′2.

Pentru a da aceeași dimensiune coordonatelor, s-a

introdus 4–vectorul (𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), unde 𝑥0 = ct, 𝑥1 = 𝑥,

𝑥2 = 𝑦, 𝑥3 = 𝑧.

Totodată, s-a introdus elementul de „arc spațio–temporal”

ds, definit prin: (d𝑠)2 = (d𝑥0)2 − (d𝑥1)2 − (d𝑥2)2 − (d𝑥3)2,

205

care corespunde celui din geometria euclidiană din ℝ3 (definiția

6.5 din §6.3).

Schimbarea de coordonate (𝑥𝑖) ⇄ (𝑥′𝑖) care conservă

(d𝑠)2 între repere inerțiale a fost stabilită de olandezul

H.Lorentz. Pentru a simplifica formulele, transformarea Lorentz,

în sensul deplasării pe axa 𝑂𝑥1 cu viteza v, este definită prin:

𝑥′0 = 𝛾(𝑥0 − 𝛽𝑥1), 𝑥′1 = 𝛾(𝑥1 − 𝛽𝑥0),

𝑥′2 = 𝑥2, 𝑥′3 = 𝑥3; (9)

unde am notat 𝛽 =𝑣

𝑐 și 𝛾 = (1 − 𝛽2)−

1

2.

Așadar, (d𝑠)2 = 𝑔𝑖𝑗d𝑥𝑖d𝑥𝑗, unde 𝑔𝑖𝑗 sunt componentele

covariante ale tensorului metric din spațiul Einstein–Minkowski;

matricea acestora este:

(𝑔𝑖𝑗) = (

10

0−1

0 00 0

0 0 −1 0 0 0 0 −1

).

Nu discutăm acum consecințele aparent contradictorii ale

teoriei lui Einstein asupra observatorilor aflați în repere inerțiale

diferite precum: contracția lungimilor, dilatarea timpului sau

relativitatea simultaneității.

Conform Teoriei relativității restrânse, ecuațiile lui

Maxwell sunt adevărate în toate reperele inerțiale și ca atare, ele

trebuie să aibă o formulare tensorială. Astfel, densitatea de

sarcină electrică 𝜌 este un scalar și densitatea de curent este un

4–vector de forma J=(𝑐𝜌, 𝐽𝑥, 𝐽𝑦, 𝐽𝑧), iar componentele câmpului

electric E=(𝐸𝑥, 𝐸𝑦, 𝐸𝑧) și magnetic B=(𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧) vor fi

incorporate în componente ale unui tensor.

206

Definiția 7.1: Componentele dublu contravariante ale

tensorului electromagnetic sunt elementele următoarei matrici

antisimetrice:

𝐹𝑖𝑗 =

(

0 −𝐸𝑥 𝑐⁄ −𝐸𝑦 𝑐⁄ −𝐸𝑧 𝑐⁄

𝐸𝑥 𝑐⁄ 0 −𝐵𝑧 𝐵𝑦𝐸𝑦 𝑐⁄

𝐸𝑧 𝑐⁄

𝐵𝑧−𝐵𝑦

0 𝐵𝑥

−𝐵𝑥 0 )

iar componentele dublu covariante sunt (𝐹𝑖𝑗) = (𝐹𝑖𝑗)T.

Să considerăm ecuația:

𝜕𝐹𝑖𝑗

𝜕𝑥𝑖= 𝜇0𝐽

𝑗 . (10)

Înlocuind j=0 și explicitând însumarea după i, rezultă:

𝜕𝐹00

𝜕𝑥0+𝜕𝐹10

𝜕𝑥+𝜕𝐹20

𝜕𝑦+𝜕𝐹30

𝜕𝑧= 𝜇0(𝑐𝜌), adică

0+𝜕

𝜕𝑥(𝐸𝑥 𝑐⁄ ) +

𝜕

𝜕𝑦(𝐸𝑦 𝑐⁄ ) +

𝜕

𝜕𝑧(𝐸𝑧 𝑐⁄ ) = 𝜇0𝑐𝜌.

Deci,

𝜕(𝐸𝑥)

𝜕𝑥+𝜕(𝐸𝑦)

𝜕𝑦+𝜕(𝐸𝑧)

𝜕𝑧= 𝜇0𝑐

2𝜌, adică

divE=𝜇01

0𝜇0𝜌 =

𝜌

0. Tocmai legea M1!

Apoi înlocuim 𝛽=1, 2, 3 în (10) obținând:

𝜕𝐹𝑖1

𝜕𝑥𝑖= 𝜇0𝐽

1,𝜕𝐹𝑖2

𝜕𝑥𝑖= 𝜇0𝐽

2,𝜕𝐹𝑖3

𝜕𝑥𝑖= 𝜇0𝐽

3.

Înlocuind componentele 𝐹𝑖𝑗 și însumând după i, rezultă

respectiv relațiile

𝜕(𝐵𝑧)

𝜕𝑦−𝜕(𝐵𝑦)

𝜕𝑧= 𝜇0𝐽𝑥 +

1

𝑐2𝜕(𝐸𝑥)

𝜕𝑡,

𝜕(𝐵𝑥)

𝜕𝑧−𝜕(𝐵𝑧)

𝜕𝑥= 𝜇0𝐽𝑦 +

1

𝑐2

𝜕(𝐸𝑦)

𝜕𝑡 și

𝜕(𝐵𝑦)

𝜕𝑥−𝜕(𝐵𝑥)

𝜕𝑦= 𝜇0𝐽𝑧 +

1

𝑐2𝜕(𝐸𝑧)

𝜕𝑡,

Așadar, rot B=𝜇0𝐉 +1

𝑐2𝜕𝐄

𝜕𝑡, adică tocmai M4.

207

Considerăm acum tensorul antisimetric:

ℱ𝑖𝑗 =

(

0 −𝐵𝑥 −𝐵𝑦 −𝐵𝑧

𝐵𝑥 0 𝐸𝑧 𝑐⁄ −𝐸𝑦 𝑐⁄

𝐵𝑦𝐵𝑧

−𝐸𝑧 𝑐⁄

𝐸𝑦 𝑐⁄0

−𝐸𝑥 𝑐⁄ 𝐸𝑥 𝑐⁄ 0 )

,

care este de fapt dualul tensorului electromagnetic și ecuația

𝜕ℱ𝑖𝑗

𝜕𝑥𝑖= 0. Înlocuind j=1, 2, 3 și însumând după i, rezultă M3. În

fine, înlocuind j=0, rezultă 𝜕ℱ𝑖0

𝜕𝑥𝑖= 0 și însumând după i, se obține

div B=0 deci M2.

Am stabilit astfel următoarea:

TEOREMĂ: Ecuațiile M1–M4 se scriu condensat, sub

formă tensorială, astfel:

𝜕𝐹𝑖𝑗

𝜕𝑥𝑖= 𝜇0𝐽

𝑗 și 𝜕ℱ𝑖𝑗

𝜕𝑥𝑖= 0 (11)

Dar virtutea tensorilor nu este numai simplificarea

scrierii! Desigur, a scrie că doi vectori (din ℝ3) sunt egali revine

la trei ecuații într-una singură; iar faptul că doi tensori de ordinul

k sunt egali înseamnă 3k ecuații scalare într-una; în cazul

electromagnetic, ecuațiile (11) înlocuiesc împreună

32 + 32 = 18 ecuații scalare.

Tensorii ascund o altă excepțională disponibilitate;

anume, permit decelarea comportării componentelor lor la

diverse schimbări de coordonate. În cazul tensorului

electromagnetic, putem studia modul cum câmpurile E, B depind

de mișcarea observatorului!

Să presupunem un observator aflat într-un reper care se

deplasează în lungul axei 𝑂𝑥1 cu viteza constantă v. Putem acum

deduce comportarea lui E și B din cunoașterea comportării în

reperul inițial și iată cum ...

208

Considerăm matricea transformării liniare Lorentz (9):

𝑀 = (

𝛾 −𝛾𝛽−𝛾𝛽 𝛾

0 00 0

0 00 0

1 00 1

).

Matricea (𝐹𝑖𝑗)′ = 𝑀𝐹𝑖𝑗𝑀T dă componentele tensorului

electromagnetic relativ la celălalt reper. Explicitând acest produs

de matrici și comparând componentele în cele două repere,

rezultă relațiile:

𝐸𝑥′ = 𝐸𝑥, 𝐸𝑦

′ = 𝑐𝛾(𝐸𝑦 𝑐⁄ − 𝛽𝐵𝑧),

𝐸𝑧′ = 𝑐𝛾(𝐸𝑧 𝑐⁄ + 𝛽𝐵𝑦);

𝐵𝑥′ = 𝐵𝑥, 𝐵𝑦

′ = 𝛾(𝐵𝑦 + 𝛽𝐸𝑧 𝑐⁄ ) și

𝐵𝑧′ = 𝛾(𝐵𝑧 − 𝛽𝐸𝑦 𝑐⁄ ). (12)

Să presupunem că E=0 și că B≠0. Așadar în reperul

(t, x, y, z) nu există câmp electric, dar există câmp magnetic.

Conform relațiilor (12), în celălalt reper, avem 𝐸𝑦′ = −𝑐𝛾𝛽𝐵𝑧 și

𝐸𝑧′ = 𝑐𝛾𝛽𝐵𝑦 deci avem atât câmp electric cât și câmp magnetic!

Invers, dacă B=0 și E≠0, atunci conform (12),

𝐵𝑦′ = 𝛾𝛽 𝐸𝑧 𝑐⁄ și 𝐵𝑧

′ = −𝛾𝛽 𝐸𝑦 𝑐⁄ deci avem din nou un câmp

electric și unul magnetic.

Așadar, existența și modul de manifestare al câmpurilor

electric și magnetic depind de mișcarea observatorului! Acesta

este încă un argument privind dependența profundă a celor două

câmpuri intim inter-legate.

§7.5. Transport paralel

În planul sau spațiul euclidian, orice doi vectori (liberi),

având puncte de aplicație diferite, pot fi aduși să aibă același punct

209

de aplicație prin simplă translație, fără a-și modifica valoarea

(vectorii bazei 𝐞𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3, ai unui reper cartezian fiind

constanți). Dar în cazul unui vector tangent la o suprafață

„curbată”, pentru derivarea lui este necesară compararea lui cu

vectori tangenți vecini situați în alte plane tangente. Pentru a

realiza o astfel de comparare, se definește un transport mai

special.

Definiția 7.2: Considerăm un câmp de vectori v tangenți

la o suprafață Σ în lungul unei curbe 𝛾: 𝛒 = 𝛒(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼, situată pe

Σ. Câmpul v se numește paralel în lungul lui 𝛾 dacă derivata sa

covariantă este identic nulă, adică:

D𝐯

d𝑡= 0, pentru orice 𝑡 ∈ 𝐼. (13)

Dacă 𝑡0,𝑡1 ∈ 𝐼 sunt distincte, un vector 𝐙0 ∈ 𝑇𝛒(𝑡0)Σ se

numește paralel cu un vector 𝐙1 ∈ 𝑇𝛒(𝑡1)Σ dacă există un câmp

de vectori v paralel în lungul drumului 𝛒(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼, astfel încât

𝐙0 = 𝐯(𝑡0) și 𝐙1 = 𝐯(𝑡1); (fig. 7.4).

Fig. 7.4

Din definiția 7.2 și din formula (30) din Capitolul 6,

rezultă următoarea:

TEOREMĂ: Fie v(t) un câmp de vectori tangenți la o

suprafață Σ în lungul unei curbe 𝛾: 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼 situată pe Σ.

210

Câmpul este paralel în lungul lui 𝛾 ⇄ scriind v=𝑣𝑖𝐠𝑖 (𝐠𝑖 =𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖 ),

componentele scalare contravariante 𝑣𝑖(𝑡) sunt soluții ale

sistemului diferențial:

d𝑣𝑖

dt+ 𝑣𝑘Γ𝑘𝑗

𝑖 d𝑢𝑗

d𝑡= 0, pentru 1 ≤ i ≤ 3. (14)

În mod echivalent, componentele scalare 𝑣𝑖 verifică relația:

𝑣;𝑗𝑖 = 0 pentru orice 𝑖, 𝑗. (15)

Notă: Simbolurile Γ𝑘𝑗𝑖 depind de 𝑢1, 𝑢2; deoarece Σ și 𝛾

sunt date, parametrii 𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡) depind de t și sunt cunoscuți.

Atunci sistemul (14) este un sistem liniar și omogen, cu

coeficienți variabili. Se determină 𝑣1(𝑡), 𝑣2(𝑡), 𝑣3(𝑡) și apoi v(t),

cunoscând condițiile inițiale la momentul t0; în acest mod se

determină câmpul paralel v(t) căutat la orice alt moment 𝑡 ∈ 𝐼.

Aplicație

1) Curbele 𝛒 = 𝛒(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼, tangente la suprafața Σ și în

lungul cărora D𝛒′

d𝑡= 0 pentru orice 𝑡 ∈ 𝐼 (adică ∇𝛒′𝛒

′ ≡ 0 deci 𝛒′

se deplasează paralel în direcția 𝛒′) sunt geodezice pe Σ.

În acest caz,

𝛒(𝑡) = 𝐫(𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡)) deci,

𝛒′(𝑡) =𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑗d𝑢𝑗

d𝑡=d𝑢𝑗

d𝑡𝐠𝑗; așadar, vectorul 𝛒′(𝑡) are

componentele d𝑢1

d𝑡,d𝑢2

d𝑡, 0 relativ la reperul {𝐠1, 𝐠2, 𝐠3}.

Ca atare, vectorul v=𝛒′(𝑡) are componentele 𝑣𝑖(𝑡) =d𝑢𝑖

d𝑡

pentru i=1, 2 și 𝑣3(𝑡) ≡ 0. Atunci sistemul diferențial (14)

devine: d

d𝑡(d𝑢𝑖

d𝑡) +

d𝑢𝑘

d𝑡Γ𝑘𝑗𝑖 d𝑢𝑗

d𝑡= 0, adică:

d2𝑢𝑖

d𝑡2+ Γ𝑘𝑗

𝑖 d𝑢𝑗

d𝑡

d𝑢𝑘

d𝑡= 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2. (16)

211

Acesta este tocmai sistemul diferențial al geodezicelor pe

suprafața Σ.

2) Studiem transportul paralel în lungul unei curbe 𝛾

situate pe sfera Σ cu centrul în O și raza R. Am văzut în §6.3

metrica spațiului în coordonate sferice r, 𝜃, 𝜑. Pe suprafața Σ

avem r=R, deci metrica pe Σ este dată de:

d𝑠2 = 𝑅2d𝜃2 + 𝑅2sin2𝜃d𝜑2.

Așadar, tensorul metric pe Σ are componentele:

(𝑔𝑖𝑗) = (𝑅2 00 𝑅2sin2𝜃

) și (𝑔𝑖𝑗) = (1 𝑅2⁄ 0

0 1 𝑅2sin2𝜃⁄).

Putem acum calcula simbolurile lui Christoffel, folosind

formula (21) din Capitolul 6, anume:

Γ𝑖𝑗𝑝 =

1

2𝑔𝑘𝑝 (

𝜕𝑔𝑖𝑘

𝜕𝑢𝑗+𝜕𝑔𝑗𝑘

𝜕𝑢𝑖−𝜕𝑔𝑖𝑗

𝜕𝑢𝑘); sumă după k.

Notând 𝑢1 = 𝜃 și 𝑢2 = 𝜑 rezultă:

Γ221 =

1

2𝑔𝑘1 (

𝜕𝑔2𝑘

𝜕𝑢2+𝜕𝑔2𝑘

𝜕𝑢1−𝜕𝑔22

𝜕𝑢𝑘) =

=1

2𝑔11 (

𝜕𝑔21

𝜕𝑢2+𝜕𝑔21

𝜕𝑢1−𝜕𝑔22

𝜕𝑢1) + 0 =

1

2·1

𝑅2(0 + 0 −

𝜕

𝜕𝜃(𝑅2sin2𝜃)) = −sin 𝜃 cos 𝜃; apoi

Γ212 =

1

2𝑔𝑘2 (

𝜕𝑔2𝑘

𝜕𝑢1+𝜕𝑔1𝑘

𝜕𝑢2−𝜕𝑔21

𝜕𝑢𝑘) =

1

2𝑔22 (

𝜕𝑔22

𝜕𝑢1+𝜕𝑔12

𝜕𝑢2−𝜕𝑔21

𝜕𝑢2) =

1

2·

1

𝑅2sin2𝜃·𝜕

𝜕𝜃(𝑅2sin2𝜃) =

cos𝜃

sin𝜃; valorile celor 8

simboluri Γ𝑗𝑘𝑖 sunt Γ22

1 = −sin 𝜃 cos 𝜃, Γ212 = Γ12

2 =cos𝜃

sin𝜃 și restul

de 5 sunt nule.

Folosind sistemul (34), se pot determina geodezicele

sferei (care sunt cercurile mari).

Considerăm însă curba 𝛾: 𝜃 = 𝜃0 (paralel al sferei) și

transportăm paralel vectorul v=(𝑣1, 𝑣2) care la momentul inițial

212

t=0 are valoarea (0, 1). Așadar, 𝑢1(𝑡) = 𝜃0, 𝑢2(𝑡) = 𝜑(𝑡) și

v(t)=v(𝜃0, 𝜑(𝑡)); 𝑣1(0) = 0, 𝑣2(0) = 1. Sistemul (14) devine:

d𝑣1

dt+ Γ22

1 d𝑢2

d𝑡𝑣2 = 0,

d𝑣2

dt+ Γ21

2 d𝑢2

d𝑡𝑣1 + Γ12

2 d𝑢1

d𝑡𝑣2 = 0.

d𝑣1

dφ𝜑′(𝑡) − sin 𝜃0 cos 𝜃0 𝑣

2𝜑′(𝑡) = 0,

d𝑣2

dφ𝜑′(𝑡) +

cos𝜃0

sin𝜃0𝜑′(𝑡)𝑣1 = 0 .

Ca atare,

d𝑣1

dφ− sin 𝜃0 cos 𝜃0 𝑣

2 = 0,d𝑣2

dφ+cos𝜃0

sin𝜃0𝑣1 = 0. (17)

Derivând prima ecuație, rezultă:

d2𝑣1

d𝜑2− sin 𝜃0 cos 𝜃0

d𝑣2

dφ= 0, adică

d2𝑣1

d𝜑2+ cos2 𝜃0 𝑣

1 = 0 .

Aceasta este o ecuație diferențială de forma:

d2𝑦

d𝜑2+ 𝜔2𝑦 = 0, care are soluția generală

𝑦(𝜑) = 𝐴 cos(𝜔𝜑) + 𝐵 sin(𝜔𝜑) etc.

Așadar,

𝑣1 = 𝐴 cos(𝜑cos𝜃0) + 𝐵 sin(𝜑cos𝜃0) și similar,

𝑣2 = 𝐶 cos(𝜑cos𝜃0) + 𝐷 sin(𝜑cos𝜃0).

Se pun condițiile inițiale:

𝑣1|𝜑=0 = 0, 𝑣2|𝜑=0 = 1.

Apoi din relațiile (17), rezultă:

d𝑣1

d𝜑|𝜑=0

= sin 𝜃0 cos 𝜃0 și d𝑣2

d𝜑|𝜑=0

= 0.

Din aceste relații, rezultă A=0, B=sin 𝜃0, C=1, D=0.

În concluzie, se determină 𝑣1 = sin 𝜃0 · sin(𝜑 cos 𝜃0) și

𝑣2 = cos(𝜑 cos 𝜃0), deci componentele vectorului transportat.

213

Notă: Se poate arăta că prin transport paralel în lungul

unei curbe situate pe o suprafață, vectorii își conservă norma

(adică ‖𝐙0‖ = ‖𝐙1‖ în figura 7.4). În cazul unei suprafețe plane,

în lungul unei drepte 𝛾, transportul paralel al unui vector revine

la o simplă translație (fig. 7.5.a). Dar în cazul unei sfere, pe curba

închisă pqNp formată dintr-un arc de ecuator pq și două arce de

median qN, Np, un vector v cu punctul de aplicație în p și orientat

spre Nord, revine în p având o altă orientare. Această aparentă

anomalie este datorată curburii suprafeței sferice.

Fig. 7.5

Transportul paralel poate fi definit și pe varietăți

diferențiabile, care extind deopotrivă curbele și suprafețele. Fără

a intra în detalii, o varietate diferențiabilă M de dimensiune n este

un spațiu metric care local este un interval deschis (pentru n=1),

un disc deschis (pentru n=2), o bilă deschisă pentru n=3 etc.

Pentru orice punct 𝑎 ∈ 𝑀, se definește spațiul 𝑇𝑎𝑀 al

vectorilor tangenți la M în a; acest spațiu vectorial are o bază

mobilă de tipul 𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Se pot considera tensori pe o

varietate și câmpuri de vectori tangenți, derivata covariantă D𝐯

d𝑡 și

transportul paralel al unui câmp de vectori tangenți în lungul unei

214

curbe situate pe M. Modelul îl constituie cazul suprafețelor

prezentat anterior.

Varietatea M se numește riemanniană dacă pentru orice

punct 𝑎 ∈ 𝑀, se poate indica un produs scalar abstract

𝐠𝑎 ∶ 𝑇𝑎𝑀 × 𝑇𝑎𝑀 → ℝ; notând 𝑔𝑖𝑗(𝑎) = 𝐠𝑎 (𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑖,𝜕𝐫

𝜕𝑢𝑗), se

definesc componentele unui tensor dublu covariant (0+2) pe M,

numit tensorul metric al varietății M. O teoremă a lui I. Nash

arată că orice varietate riemanniană se scufundă într-un spațiu

euclidian. Dar Riemann ne-a lăsat o moștenire neprețuită, anume

posibilitatea de a considera diverse metrici d𝑠2, inclusiv unele

compatibile cu Fizica Universului material, precum metrica

Schwarzschild.

§7.6. Tensorul de curbură și ecuațiile lui Einstein

Studiul curburii unui spațiu este un subiect central în

Fizică și Matematică; acesta poate fi abordat doar apelând la

tensori de ordin superior.

Ne reamintim că produsul a două matrice pătrate A, B de

același ordin este necomutativ, deci comutatorul lor C=AB–BA

este, în general, nenul. În mod similar, compunerea a doi operatori

este necomutativă.

Exemplu: Fie A=operatorul de derivare a funcțiilor de o

variabilă (𝜑 ↦ 𝜑′) și B=operatorul de înmulțire cu x (𝜑 ↦ 𝑥𝜑).

Atunci 𝐴(𝜑) = 𝜑′ și 𝐵(𝐴(𝜑)) = 𝑥𝜑′, în timp ce

𝐴(𝐵(𝜑)) = (𝑥𝜑)′ = 𝜑 + 𝑥𝜑′ deci 𝐵𝐴 ≠ 𝐴𝐵.

215

Fixăm un reper mobil 4D ℛ ={𝐠1, 𝐠2, 𝐠3, 𝐠4} ≡

(𝑂 𝑢1𝑢2𝑢3𝑢4) în coordonate curbilinii. Comparăm „operatorii”

de derivare covariantă pe direcția 𝐠𝑗 și pe direcția 𝐠𝑘.

Fie v∈V4 un vector; apelând la componente covariante,

v=𝑣𝑖𝐠𝑖. Derivata covariantă pe direcția 𝐠𝑗 va fi tensorul având

componentele dublu covariante 𝑣𝑖;𝑗 =𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗− Γ𝑖𝑗

𝑝𝑣𝑝 și apoi derivata

covariantă a acestui tensor, notat 𝑣𝑖𝑗, pe direcția 𝐠𝑘, va fi:

𝑣𝑖𝑗;𝑘 =𝜕𝑣𝑖𝑗

𝜕𝑢𝑘− Γ𝑖𝑘

𝑞 𝑣𝑞𝑗 − Γ𝑗𝑘𝑟 𝑣𝑖𝑟 deci

𝑣𝑖𝑗;𝑘 =𝜕

𝜕𝑢𝑘(𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗− Γ𝑖𝑗

𝑝𝑣𝑝) − Γ𝑖𝑘𝑞 (

𝜕𝑣𝑞

𝜕𝑢𝑗− Γ𝑞𝑗

𝑝 𝑣𝑝) −

Γ𝑗𝑘𝑟 (

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑟− Γ𝑖𝑟

𝑝𝑣𝑝) =𝜕2𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑘𝜕𝑢𝑗−𝜕(Γ𝑖𝑗

𝑝)

𝜕𝑢𝑘𝑣𝑝 − Γ𝑖𝑗

𝑝 𝜕𝑣𝑗

𝜕𝑢𝑘− Γ𝑖𝑘

𝑞 𝜕𝑣𝑞

𝜕𝑢𝑗+

Γ𝑖𝑘𝑞 Γ𝑞𝑗

𝑝 𝑣𝑝 − Γ𝑗𝑘𝑟 𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑟+ Γ𝑗𝑘

𝑟 Γ𝑖𝑟𝑝𝑣𝑝 (în total 7 termeni). (18)

Așadar, pornind de la v≡ (𝑣𝑖), am considerat viteza de

variație a lui 𝑣𝑖 pe direcția 𝐠𝑗 și apoi variația acelei viteze pe

direcția 𝐠𝑘. Vom explicita acum aceleași variații, dar inversând

ordinea (fig. 7.6). Așadar,

Fig. 7.6

Ca mai sus, intervertind indicii j, k, avem:

𝑣𝑖;𝑘 =𝜕𝑣𝑖𝑘

𝜕𝑢𝑗− Γ𝑖𝑗

𝑝𝑣𝑝 și

216

𝑣𝑖𝑘;𝑗 =𝜕2𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑗𝜕𝑢𝑘−

𝜕(Γ𝑖𝑘𝑝)

𝜕𝑢𝑗𝑣𝑝 − Γ𝑖𝑘

𝑝 𝜕𝑣𝑝

𝜕𝑢𝑗− Γ𝑖𝑗

𝑞 𝜕𝑣𝑞

𝜕𝑢𝑘+

Γ𝑖𝑗𝑞Γ𝑞𝑘

𝑝 𝑣𝑝 − Γ𝑘𝑗𝑟 𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑢𝑟+ Γ𝑘𝑗

𝑟 Γ𝑖𝑟𝑝𝑣𝑝. (18’)

Într-un spațiu euclidian „plat”, simbolurile lui Christoffel

sunt identic nule, deci 𝑣𝑖𝑗;𝑘 = 𝑣𝑖𝑘;𝑗. Ca atare, orice diferență care

apare în formulele (18) și (18’) este datorată curburii spațiului ℝ3

relativ la reperul ℛ. Comparând termen cu termen cele două

formule, constatăm că primii termeni coincid (conform teoremei

lui Schwartz din Analiza matematică); apoi termenul al 4–lea din

(18) coincide cu al 3–lea din (18’) și al 3–lea din (18) cu al 4–lea

din (18’) și în fine, penultimii și ultimii termeni coincid, deoarece

Γ𝑗𝑘𝑟 = Γ𝑘𝑗

𝑟 .

Ca atare, am demonstrat următoarea:

TEOREMĂ: Pentru orice i, j, k

𝑣𝑖𝑗;𝑘 − 𝑣𝑖𝑘;𝑗 = (𝜕Γ𝑖𝑘

𝑝

𝜕𝑢𝑗−𝜕Γ𝑖𝑗

𝑝

𝜕𝑢𝑘+ Γ𝑖𝑘

𝑞 Γ𝑞𝑘𝑝 − Γ𝑖𝑗

𝑞Γ𝑞𝑘𝑝 ) 𝑣𝑝 ; (19)

sumă după p.

Definiția 7.3: Termenii din paranteză reprezintă

componentele 𝑅𝑖𝑗𝑘𝑝

ale unui tensor de tip 1+3 (o dată

contravariant și de trei ori covariant), numit tensorul de curbură

al lui Riemann și notat cu R.

Așadar,

𝑣𝑖𝑗;𝑘 − 𝑣𝑖𝑘;𝑗 = 𝑅𝑖𝑗𝑘𝑝 𝑣𝑝 (sumă după p). (20)

COROLAR: Un spațiu este „plat” (≡fără curbură) ⇄ toate

cele 44 componente 𝑅𝑖𝑗𝑘𝑝

sunt identic nule pentru orice i, j, k, p.

Definiția 7.4: Tensorul lui Ricci este obținut contractând

în tensorul lui Riemann indicii p și j deci 𝑅𝑖𝑘 = 𝑅𝑖𝑝𝑘𝑝

(sumă după p).

217

Scalarul R=𝑔𝑖𝑘𝑅𝑖𝑘 (sumă după i și k) este numit curbura

lui Ricci.

Definiția 7.5: Tensorul lui Einstein este tensorul dublu

covariant, având componentele:

𝐸𝑖𝑗 = 𝑅𝑖𝑗 −1

2𝑅𝑔𝑖𝑗.

Acest tensor apare în următoarea ecuație a Relativității

generale, anume

𝐸𝑖𝑗 + Γ𝑔𝑖𝑗 =8𝜋𝐺

𝑐4𝑇𝑖𝑗, (21)

unde (𝑇𝑖𝑗) este tensorul energie–moment, care caracterizează

diverse ipostaze ale materiei în Univers, de exemplu fluxuri de

energie sau masă; G este constanta gravitațională, Γ este constanta

cosmologică și c – viteza luminii.

Ecuația (21) este forma tensorială a unui sistem de ecuații

diferențiale neliniare de ordin 2; impunând condiții suplimentare

la frontiera unor regiuni, se obțin soluții care descriu câmpul

gravitațional din acele regiuni.

În ecuația (21) este concentrată următoarea profeție a lui

Einstein: ”materia descrie modul în care spațiul (≡ Universul) se

curbează, iar spațio–timpul lui Minkowski descrie modul în care

materia se mișcă”. Nu dăm alte detalii.

Exemplu: Să considerăm ca spațiu suprafața Σ a unei sfere

de rază R din ℝ3. Am văzut că metrica suprafeței este dată de

d𝑠2 = 𝑅2d𝜃2 + 𝑅2(sin2θ)d𝜑2; notând coordonatele cu indicii 1,

2 în loc de 𝜃, 𝜑, avem 𝑔11 = 𝑅2, 𝑔12 = 𝑔21 = 0, 𝑔22 = 𝑅

2sin2𝜃

și 𝑔11 =1

𝑅2, 𝑔12 = 𝑔21 = 0, 𝑔22 =

1

𝑅2sin2𝜃. Am văzut în

aplicația V că: Γ221 = −sin 𝜃 cos 𝜃 , Γ12

2 = Γ212 =

cos𝜃

sin𝜃 și restul,

nule. Atunci componentele tensorului lui Riemann de curbură pot

218

fi calculate explicit; fără a mai da detalii, se obțin următoarele

componente 𝑅1122 = −1, 𝑅121

2 = 1 (restul fiind nule).

Așadar, sfera nu este un spațiu plat, deoarece R ≠0.

§7.7. O retrospectivă: Geometria și Fizica

Ambele sunt domenii vechi ale cunoașterii nu doar

contemplative. Se vorbește de intuiția geometrică, de

interpretările geometrice ale unor considerații, de reprezentări

geometrice ale datelor etc. Dar s-a ajuns acum la o situație când

utilizarea obiectelor sau conceptelor geometrice nu mai are

înțelesul uzual. Descoperirea coordonatelor (prin Descartes și

Galilei) a lărgit mult disponibilitățile Geometriei, prin studiul

curbelor și suprafețelor, ca și conexiunile cu Mecanica și legile

mișcării pe curbe sau suprafețe. S-au clarificat bazele Geometriei

analitice – vectori, operațiile cu vectori, măsurile (lungimi, arii,

219

volume) și ale Analizei matematice prin Newton, Leibniz, Euler,

Lagrange, Abel. După 1800, Gauss a dezvoltat Teoria

suprafețelor, stabilind între altele „Theorema Egregium” relativ

la curbură (ca un invariant intrinsec, independent de spațiul

ambiant). Acesta a fost începutul Geometriei diferențiale

moderne și Calculului tensorial datorat îndeosebi la Riemann și

Levi Civita. După 1850 s-a declanșat studiul spațiilor cu mai

multe dimensiuni și al Algebrei liniare, iar Klein a stabilit legătura

dintre diversele geometrii posibile și grupurile de transformări.

De exemplu, Geometria euclidiană clasică este în esență studiul

grupului de deplasări (roto–translații și simetrii). În ultimul secol,

Geometria a descoperit obiecte noi de studiu – varietăți, fibrați,

corzi („strings”–uri), care nu erau importante pentru ele însele.

Fizica pusese bazele Electromagnetismului prin Faraday,

Maxwell și Hertz și ale studiului fenomenelor tehnice prin Carnot,

Joule, Boltzmann; după mai puțin de un secol, au apărut mari

spirite iscoditoare – Poincaré, Einstein, Heisenberg, Hawking

ș.a., ca și mari întrebări fără răspuns direct relativ la natura

luminii, timpului, Universului, precum și la misterele lumii

atomice. Microcosmosul și Macrocosmosul, ca obiecte și subiecte

de studiu sistematic, erau de mare interes pentru toți oamenii de

știință. Întrebări serioase există și astăzi legate de tipurile de

interacțiuni și simetrii din natură, de gravitație, undele

gravitaționale, de lumea cuantică, găurile negre, multiversuri etc.

Spațiul fizic a rămas o sursă permanentă pentru adâncirea

conceptelor de măsură, continuitate, curbură sau categoriilor

filozofice analogic/digital/cuantic sau algoritmic–computațional.

Scopul declarat al Fizicii a fost acela de a descoperi legile care

guvernează fenomenele din Univers, căutând unitatea lor în

220

sensul „visului lui Einstein” și explicarea tuturor interacțiunilor

cunoscute – coliziuni, atracții/respingeri, reacții, acțiuni etc. De

exemplu, gravitatea ne ține pe Pământ, forța electromagnetică

ține atomii împreună, manifestându-se în lumină și în celelalte

unde electromagnetice; iar interacțiunile slabe și tari determină

fisiunea/fuziunea nucleară.

Pentru matematicieni și fizicieni, un șoc l-a constituit

dependența de scală; astfel, comportarea unui fluid la distanța de

peste 1 cm este descrisă de ecuațiile Navier–Stokes; sub 0,1 cm,

este necesar studiul structurilor granulare și sub 1Å–studiul

atomului. Iar la dimensiuni picometrice, modelul actual este cel

al teoriilor de calibrare („gauge”), care negociază dualitatea

undă/corpuscul și a particulelor elementare. La fiecare scară

dimensională se aplică altă dinamică și praguri separatoare sunt

constituite de constanta lui Planck și cea „a structurii fine”. Se

poate spune că marile progrese în Geometria modernă sunt

datorate îndeosebi unor cercetători din domeniul Fizicii, care au

orientat și au stimulat eforturile de materializare, cu crearea altor

standarde de rigoare și control al noilor euristici. Printre

specialiști există astăzi convingerea că Universul cu toate

problemele lui admite o descriere geometrică; inclusiv misterul

vieții se află în adâncurile materiei, așa cum spunea Pasteur.

Mișcarea liberă (inerțială) este legată de Geometria spațiului și

are loc în lungul geodezicelor (sistemul (7)). Dacă în teoria lui

Newton, cauza (≡ sursa generatoare) a câmpului gravitațional

este masa, în Teoria Relativității, locul masei este luat de tensorul

energie–impuls al lui Einstein, extins la un Univers curbat. Este

suficient pentru a înțelege de ce Fizica și Geometria se află

într-un parteneriat secular neîntrerupt.

221

În această carte, am pornit de jos ...

Nu ne adresăm specialiștilor dintr-un domeniu sau altul și

am considerat că merită prezentate, atât cât ne pricepem, pentru

cei mai diverși cititori, câteva concepte și metode în jurul celor

trei cuvinte–cheie care dau titlul cărții. Cu experiența noastră, am

observat că s-au realizat progrese nu numai în știință sau

tehnologie, ci și în simplificarea modului de prezentare și

propagare a consecințelor sau speranțelor induse de acele

progrese. În comunicare cu cei tineri, nu trebuie să ne temem că

„suntem înțeleși”, ascunzându-ne după un limbaj prețios.

222

223

224

225

BIBLIOGRAFIE

1. I.V.BELKO, A.A.BURDUN – Geometrie diferențială, Minsk, 1982.

2. E. BISTRICEANU – Bazele Mecanicii, vol. I, II, Ed. Sigma 2010.

3. V. BRÎNZĂNESCU, O. STĂNĂȘILĂ – Matematici speciale –

Ed. ALL, 1998.

4. D. FLEISCH – Vectors and Tensors (a student’s guide),

Cambridge Univ. Press, 2012.

5. L. JALBĂ, D. STANOMIR, O. STĂNĂȘILĂ –

Fizică pentru nepoți, Fundația Floarea Darurilor, 2015

6. I. MANIN – Mathematics and Physics, Birkhauser, 1981.

7. L. ORNEA – O introducere în Geometria diferențială,

Ed. Theta, 2015.

8. R. PENROSE – The Geometry of the Universe, Math. Today, 1978.

9. R. A. SHARIPOV – Quick introduction to Tensor Analysis,

lecture notes, Internet, 2004.

10. B. SCHUTZ – A first course in General Relativity,

Cambridge Univ. Press, 2009.

11. IAN STEWART – De ce frumusețea este adevărul,

Ed. Humanitas, 2010.

12. C. VILLANI – Teorema vie, Ed. Humanitas, 2014

13. H. WEYL – Space, Time, Matter, Dover publications, Inc., 1950.

226

227

INDICE DE NUME ȘI NOTAȚII

A

abscisa, 27

accelerația radială, 196

accelerația tangențială, 196

accelerația unghiulară, 101

aplicație liniară, 61

axă, 26

B

balansarea scalarului, 55

baza duală, 148

baza reciprocă, 75, 79

bază, 33

bază canonică, 59

bijecția lui Descartes, 27

brațul forței, 88

C

calcul, 150

câmp, 107

câmp de gradienți, 130

câmp de tensori, 167

câmp de vectori, 107

câmp electromagnetic, 140

228

câmp magnetic, 123

câmp paralel în lungul lui, 209

câmp vectorial, 107

câmpul tensorului metric, 177

centripetă, 102

centru de greutate, 91

coborârea indicelui, 164

colatitudine, 47

combinație liniară, 22

componentă vectorială, 26

componente, 153

componente scalare, 28, 33

componente–etaj, 76

componentele derivatei covariante, 187

componentele scalare, 108

componente–subsol, 76

contravariante, 76, 80

conul luminii, 56

conul viitorului, 56

coordonate, 60

coordonate carteziene, 28, 33

coordonate curbilinii, 169

coordonate polare, 194

coordonate sferice, 47

copie, 15

coprodus scalar, 158

corp omogen, 91

covariante, 76, 80

covector, 148

229

cuplu, 87

curba netedă, 98

curent constant, 122

curent continuu, 122

curent de inducție, 129

curent direct, 122

curent electric, 122

D

densitate de volum, 91

densitate liniară, 91

deplasări, 63

derivata după o direcție, 131

dimensiune finită, 58

direcție, 16

distanța euclidiană, 55

dualul lui V, 148

dualul tensorului, 164

E

echilibru stabil, 92

echipolente, 14

echivalent, 16

ecuația de continuitate, 142, 143

ecuație a Relativității generale, 217

ecuații parametrice, 98

F

formulele translației, 65

230

forță magnetică, 125

frecvența, 101

funcție armonică, 136

funcțională liniară, 147

funcționale, 62

G

generează spațiul, 57

gradientul lui φ, 130

greutatea, 115

grup comutativ, 21

I

imaginea, 62, 63

inducție magnetică, 123

inegalitatea triunghiului, 55

irotațional, 133

izomorfe, 61

izomorfism, 61

L

legea lui Coulomb, 116

legea lui Lorentz, 126

liniar dependenți, 23, 58

liniar independenți, 57

liniară, 102

linie de câmp, 111

longitudine, 47

lucru elementar, 83

231

lucru mecanic, 81

lungimea vectorului, 55

M

marime aditivă, 83

matrice asemenea, 152

matrice de trecere, 70

matricea de inerție, 201

matricea Gram, 75

matricea Gram asociată, 164

măsura, 18

măsura „unghiului” , 55

metrica euclidiană, 180

mișcare uniformă, 101

moment, 87

moment de repaus, 99

moment rezultant, 88

momentele de inerție ale sistemului, 201

multiplicat, 161

N

n–dimensionali, 53

norma euclidiană, 55

normală, 102

O

observator, 73

operator liniar, 68

operatori diferențiali, 135

232

operația de contracție, 162

opus, 161

orientate la fel, 73

originea axei, 26

ortogonale, 139

P

parametrii lui Lamé, 45, 48, 49, 139

periferică, 102

perioada, 101

plan înclinat, 93

planul tangent, 191

potențial electrostatic, 121

potențialul câmpului electric, 143

potențialul scalar newtonian, 115

pozitivitate, 55

primar, 14

produs scalar, 35

produs scalar euclidian, 54

produse ale inerției, 201

produsul tensorial, 161

punct oarecare, 15

punct singular, 131

R

radială, 102

raza polară, 47

reciproci, 79

reducere, 69

233

reducerea matricei, 152

reper cartezian 1D, 27

reper cartezian 2D, 27

reper cartezian 3D, 32

reper cartezian fixat, 174

reper în V, 73

reper mobil, 46, 174, 194

reper mobil 3D, 50

reper ortogonal, 29, 171

reper ortonormal, 29, 32, 50

reper ortonormal 3D mobil, 49

rezultanta, 19

riemanniană, 214

rotație, 161

S

sarcină în mișcare, 123

scalar, 17, 52, 152

scalarul lui Ricci, 217

simbolurile lui Christoffel, 183

sistem de coordonate, 73

solenoidal, 133

spațiu vectorial, 52

spațiul n–dimensional, 53

spin, 161

subspațiu, 54

substanță, 107

suma, 19

suprafața de nivel, 110

234

T

tangențială, 102

tensiune, 121

tensor dublu contravariant, 156

tensor dublu covariant, 156

tensor liber, 160

tensor mixt, 157

tensori de ordin 0, 153

tensorul de curbură, 216

tensorul de inerție, 147

tensorul de volum, 165

tensorul electromagnetic, 206

tensorul lui Einstein, 217

tensorul lui Kronecker, 158

tensorul lui Ricci, 216

tensorul metric, 159, 163, 214

tensorul nul, 161

tensorul tensiunilor, 147

traiectorie, 99

transformare geometrică, 62

transformare liniară, 61

transformat, 62

transformata, 63

transformări rigide, 63

translație de vector, 63

transport paralel, 211

triplet, 21

turația, 101

235

V

vector, 52

vector abstract, 52

vector contravariant, 154

vector coplanar, 32

vector de poziție, 21

vector egal, 15

vector liber, 15

vector nul, 15

vector paralel, 209

vector unitar, 22

vectori alunecători, 16

vectori coliniari, 23

vectori covarianți, 155

vectori legați, 16

vectorul–accelerație, 193, 195

vectorul–viteză, 98, 99, 193, 195

vectorul–viteză tangențială, 104

versor, 22

viteza liniară, 102

viteza radială, 196

viteza tangențială, 196

volt, 122

236

237

238

239

240