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Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
1
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
(Adaptado Excel 2016)
Actualizado Noviembre 2018
Alfonso Rodríguez Sandiás
Grupo Valoración Financiera Aplicada
www.usc.es/valfinap
www.usc.es/modeleva
Universidad de Santiago de Compostela
Este documento está acompañado de tres ficheros:
• Leyes.xls
• Rentas.xls
• Préstamos.xls
Objetivo cero errores: Aunque han sido revisados, tanto el documento que tiene en sus
manos como los XLS de apoyo pueden contener algún error, ya sea técnico, ya sea de
transcripción de la hoja de cálculo al texto, o también errores en la redacción o tipográficos. No
dude en ponerse en contacto con el autor para alertar de dichos errores y ayudar a mejorar este
trabajo.
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
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TABLA DE CONTENIDOS
1. LEYES FINANCIERAS ....................................................................................................................... 4
1.1. Ley de Capitalización Simple ................................................................................................. 4
1.2. Ley de Capitalización Compuesta ......................................................................................... 7
1.3. Ley de Capitalización Simple vs Compuesta........................................................................ 10
1.4. Ley de Descuento Simple .................................................................................................... 12
1.5. Ley de Descuento Comercial ............................................................................................... 15
1.6. Ley de Descuento Compuesto ............................................................................................. 17
1.7. Ley de Descuento Simple vs Comercial ............................................................................... 20
1.8. Ley de Descuento Simple vs Compuesto ............................................................................. 21
1.9. Ley de Descuento Simple vs Comercial vs Compuesto ........................................................ 23
1.10. Tasas de Interés ................................................................................................................ 25
2. RENTAS..................................................................................................................................... 28
2.1. Valor Actual de Rentas Constantes ..................................................................................... 28
2.1.1. Valor Actual de una Renta Constante Finita pospagable ................................................................. 28
2.1.2. Valor Actual de una Renta Constante Finita prepagable ................................................................. 30
2.1.3. Valor Actual de una Renta Constante Finita pospagable, diferida .................................................. 30
2.1.4. Valor Actual de una Renta Constante Finita prepagable, diferida ................................................... 31
2.1.5. Valor Actual de una Renta Constante Infinita pospagable .............................................................. 32
2.1.6. Valor Actual de una Renta Constante Infinita prepagable .............................................................. 32
2.1.7. Valor Actual de una Renta Constante Infinita pospagable, diferida ................................................ 33
2.1.8. Valor Actual de una Renta Constante Infinita prepagable, diferida ................................................ 33
2.2. Valor Final de Rentas Constantes ....................................................................................... 34
2.2.1. Valor Final de una Renta Constante Finita pospagable ................................................................... 34
2.2.2. Valor Final de una Renta Constante Finita prepagable ................................................................... 35
2.3. Otros Datos Rentas Constantes .......................................................................................... 35
2.3.1. Valor Actual de una Renta Constante y un posible Pago Final ........................................................ 36
2.3.2. Valor Final de una Renta Constante y un posible Pago Inicial ......................................................... 37
2.3.3. Determinación del Pago, dadas el reto de variables ....................................................................... 37
2.3.4. Determinación del número de pagos, dadas el reto de variables ................................................... 38
2.3.5. Determinación de la tasa de interés, dadas el reto de variables ..................................................... 39
2.4. Valor Actual de Rentas Variables Geométricas .................................................................. 39
2.4.1. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita pospagable .............................................................. 39
2.4.2. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita prepagable .............................................................. 41
2.4.3. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita pospagable, diferida ................................................ 41
2.4.4. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita prepagable, diferida ................................................ 42
2.4.5. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita pospagable ............................................................ 43
2.4.6. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita prepagable ............................................................ 43
2.4.7. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita pospagable, diferida ............................................. 44
2.4.8. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita prepagable, diferida .............................................. 44
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
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2.5. Valor Final de Rentas Variables Geométricas ..................................................................... 45
2.5.1. Valor Final de una Renta Geométrica Infinita pospagable .............................................................. 45
2.5.2. Valor Final de una Renta Geométrica Infinita prepagable............................................................... 46
2.6. Valor Actual de Rentas Variables Aritméticas .................................................................... 47
2.6.1. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita pospagable ................................................................ 47
2.6.2. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita prepagable ................................................................ 48
2.6.3. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita pospagable, diferida .................................................. 49
2.6.4. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita prepagable, diferida .................................................. 50
2.6.5. Valor Actual de una Renta Aritmética Infinita pospagable .............................................................. 50
2.6.6 Valor Actual de una Renta Aritmética Infinita prepagable ............................................................... 51
2.6.7 Valor Actual de una Renta Aritmética Infinita pospagable, diferida ................................................ 51
2.6.7 Valor Actual de una Renta Artimética Infinita prepagable, diferida ................................................. 52
2.7. Valor Final de Rentas Variables Aritméticas ....................................................................... 52
2.7.1. Valor Final de una Renta Aritmética Finita pospagable ................................................................... 53
2.7.2. Valor Final de una Renta Aritmética Finita prepagable ................................................................... 53
3. PRÉSTAMOS ............................................................................................................................... 55
3.1. Préstamo Italiano ............................................................................................................... 55
3.1.1. Préstamo italiano, vencimiento prefijado ....................................................................................... 55
3.1.2. Préstamo italiano, vencimiento flexible .......................................................................................... 56
3.1.3. Préstamo italiano, vencimiento flexible, interés variable ............................................................... 57
3.1.4. Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización ................................................ 58
3.1.5. Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses .............................. 59
3.1.6. Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses, interés variable ... 60
3.2. Préstamo Francés ............................................................................................................... 61
3.2.1. Préstamo francés, vencimiento prefijado ....................................................................................... 61
3.2.2. Préstamo francés, vencimiento flexible .......................................................................................... 64
3.2.3. Préstamo francés, vencimiento flexible, interés variable ................................................................ 65
3.2.4. Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización ................................................ 66
3.2.5. Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses .............................. 67
3.2.6. Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses, interés variable ... 68
3.3. Préstamo Americano .......................................................................................................... 70
3.3.1. Préstamo americano, vencimiento prefijado .................................................................................. 70
3.3.2. Préstamo americano, vencimiento flexible ..................................................................................... 71
3.3.3. Préstamo americano, vencimiento flexible, interés variable .......................................................... 72
3.3.4. Préstamo americano, vencimiento flexible, carencia de intereses ................................................. 72
3.3.5. Préstamo americano, vencimiento flexible, carencia de intereses, interés variable ....................... 74
3.4. Modelos de Préstamo ......................................................................................................... 75
3.4.1. Préstamo francés o italiano, vencimiento flexible y carencia ......................................................... 75
3.4.2. Préstamo francés o italiano, vencimiento flexible, carencia e interés variable ............................... 78
3.4.3. Préstamo francés o italiano, vencimiento flexible y carencia, formulación con nombres .............. 80
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
4
El texto que desarrollamos a continuación no pretende ser una lección exhaustiva de
Cálculo Financiero. Nos hemos limitado a describir las cuestiones esenciales de cálculo
financiero básico, utilizando como herramienta de comunicación un programa de hoja de cálculo,
Excel, en su versión 2016. No obstante, las cuestiones que desarrollamos son perfectamente
extrapolables a otros programas similares y aversiones previas del programa. Nos ocuparemos
de hacer un repaso a las leyes financieras, a los cálculos de valoración relacionados con las
rentas y a los préstamos en sus diferentes variantes.
En los diferentes apartados haremos una pequeña introducción de los conceptos que se
analizan. Aconsejamos a aquellos interesados en profundizar en las diferentes cuestiones y en
conocer cómo se derivan las diferentes formulaciones que acudan a un manual de cálculo
financiero.
En las diferentes figuras hemos tratado de mostrar las fórmulas incorporadas para que
el lector pueda seguir mejor el desarrollo de los ejemplos. Para ello hemos usado funciones
personalizadas y la función FORMULATEXTO, disponible en Excel 2016.
En la elaboración de los ficheros de Excel que han servido de soporte para la redacción
de este texto se han usado cuestiones de Excel referidas a formatos, validaciones, funciones,
TABLAS, etc. Si el lector desconoce estas cuestiones le recomendamos el texto Fundamentos
de Excel para Finanzas, disponible en www.usc.es/modeleva.
1. Leyes Financieras
Las leyes financieras son las que nos permiten trasladar un capital, una cuantía, de un
momento a otro del tiempo. Cuando se trata de trasladar un capital hacia el futuro, hacia un
momento posterior, hablamos de leyes de capitalización. Cuando se trata de trasladar un capital
hacia el presente, hacia un momento anterior, hablamos de leyes de descuento. En cada uno de
los casos tendremos diferentes variantes en función de las hipótesis que se estén manejando, y
que darán lugar a diferentes expresiones matemáticas, que son, en sí mismas, las leyes
financieras.
1.1. Ley de Capitalización Simple
La Ley de Capitalización Simple estipula que un Capital Inicial (C0) al trasladarse hacia
el futuro durante una serie de periodos (t) y según una determinada tasa de interés (r), se
convertiría en un Capital Final en el momento t (Ct) de:
�� = �� × (� + × �) Veamos un ejemplo:
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
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Tenemos un capital inicial de 10.000 euros, 5 periodos y una tasa de interés en cada
periodo del 10%. El resultado, como podemos ver, de aplicar la Ley de Capitalización Simple es
de 15.000. Observar que no hemos mencionado si los periodos son anuales, mensuales, o
semanales, etc. Lo relevante es que la tasa de interés periódica se corresponda al periodo
considerado. En este caso podríamos suponer que los periodos son anuales y la tasa de interés
también es anual. Pero observe el siguiente ejemplo:
En este caso los periodos podrían ser mensuales, y la tasa de interés, mensual, podría
ser ese 1%.
Como podemos observar en los dos ejemplos, la Ley de Capitalización Simple asume
que en cada periodo se generan intereses por la cuantía depositada en el momento inicial. En
nuestro primer ejemplo, se generan 1.000 euros de intereses cada año, el 10% sobre las 10.000
iniciales.
En la siguiente tabla podemos comprobar cómo le afecta al valor del Capital Final el
número de periodos que se esté considerando.
Hemos elaborado la tabla de dos formas alternativas (columnas C y D). En ambos casos
usamos como referencia los periodos establecidos en la columna B. La alternativa de la columna
C está realizada con la herramienta TABLA. En C10 vinculamos el resultado desde C6. Hemos
personalizado el formato de número de la celda C10 para que aparezca el texto “Capital Final”.
Al hacer la TABLA le hemos indicado que la columna entra en la celda C4, la que contiene el
número de periodos. En la columna D, alternativa, simplemente introducimos en D11 la fórmula
que se puede ver en E12 en la figura, bloqueando el capital inicial y la tasa de interés periódica,
y dejando sin bloquear la referencia al número de periodos tomada desde la columna B. Dicha
fórmula se puede copiar hacia abajo y ya obtenemos el mismo resultado que con la herramienta
TABLA.
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
6
En la figura podemos observar cómo cada año que pasa el capital final aumenta en
1.000, que es justamente la cuantía de intereses sobre el capital inicial que se corresponden a
cada periodo. La siguiente figura ilustra la evolución del Capital Final:
A continuación, mostramos el impacto que tiene sobre el Capital Final la consideración
de diferentes tasas de interés, asumiendo los datos originales en cuanto a Capital Inicial y al
número de periodos.
En la columna C la TABLA se establece indicando que el input (de la columna B) entra
en la celda C5, la tasa de interés periódica. En la columna D, el elemento que dejamos sin
bloquear en la fórmula es la tasa de interés referenciada desde la columna B. También en este
caso hemos elaborado un gráfico ilustrativo:
0
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
30.000
35.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Euro
s
Periodos
Evolución de un Capital según la Ley de
Capitalización Simple
0
5.000
10.000
15.000
20.000
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
Euro
s
Tasa de interés
Capital Final con la Ley de Capitalización Simple, según tasa de
interés
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
7
Por último, queremos ver el impacto sobre el Capital Final de modificaciones simultáneas
en la tasa de interés periódica y en el número de periodos que se estén considerando. Esta
cuestión podría resolverse usando una fórmula con bloqueos parciales, pero hemos preferido
laborar una tabla de doble entrada con la herramienta TABLA:
En la celda C51 vinculamos el Capital Final de nuestro ejemplo inicial. Al elaborar la
TABLA solicitamos que la fila entre en C4 (el número de periodos) y la columna en C5 (la tasa
de interés periódica). El siguiente gráfico muestra claramente el impacto de ambas variables en
el Capital Final según la Ley de Capitalización Simple.
1.2. Ley de Capitalización Compuesta
La Ley de Capitalización Compuesta estipula que un Capital Inicial (C0) al trasladarse
hacia el futuro durante una serie de periodos (t) y según una determinada tasa de interés (r), se
convertiría en un Capital Final en el momento t (Ct) de:
�� = �� × (� + )� Veamos un ejemplo:
0
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
30.000
35.000
40.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodos
Capital Final con la Ley de Capitalización Simple, según tasa de interés y número de periodos
0% 5% 10% 15% 20% 25%
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
8
Tenemos un capital inicial de 10.000 euros, 5 periodos y una tasa de interés en cada
periodo del 10%. El resultado, como podemos ver, de aplicar la Ley de Capitalización Compuesta
es de 16.105. Como en el caso anterior lo relevante es que la tasa de interés periódica se
corresponda al periodo considerado.
Hemos establecido dos formas alternativas para la determinación del Capital Final. La
primera de ellas es la simple transposición de la expresión matemática de la Ley de
Capitalización Compuesta que hemos mostrado anteriormente. La segunda alternativa usa la
función VF. En dicha función debemos indicar los siguientes argumentos y en el siguiente orden:
la tasa de interés (C5), el número de periodos (C4), el pago anual, si lo hubiera, y que en nuestro
caso es 0 (este 0 no puede ser omitido, es necesario ponerlo en la fórmula), y el capital inicial
(C3). Observe que el Capital Inicial lo hemos puesto en negativo (-C3). Ello es debido a que
Excel asume que para que recibamos un Capital en el futuro (entrada de caja), es preciso que
invirtamos en el presente (salida de caja). Otra alternativa sería poner C3 en positivo y poner el
signo menos antes de VF en la fórmula.
La Ley de Capitalización Compuesta asume que en cada periodo se generan intereses
por la cuantía acumulada al inicio de cada periodo, es decir, calcula intereses sobre el principal
depositado más los intereses previos acumulados. Como podemos observar, en nuestro ejemplo
se consigue un valor final de 16.105 frente a las 15.000 de la Ley de Capitalización Simple.
En la siguiente tabla podemos comprobar cómo le afecta al valor del capital final el
número de periodos que se esté considerando.
El proceso de elaboración es el mismo del caso anterior. La única salvedad es que la
fórmula en D11 que se debe copiar a lo largo de la columna D, es ahora la que se corresponde
a la Ley de Capitalización Compuesta.
En la siguiente figura podemos observar el crecimiento exponencial en el capital final a
medida que consideramos un mayor número de periodos.
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
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A continuación, mostramos el impacto que tiene sobre el Capital Final la consideración
de diferentes tasas de interés, asumiendo los datos originales en cuanto a Capital Inicial y al
número de periodos.
También en este caso se reproducen las dos técnicas ya indicadas con anterioridad para
la obtención de los resultados. En cuanto al gráfico:
Por último, la siguiente tabla, elaborada como en el apartado anterior, muestra el impacto
sobre el Capital Final de modificaciones simultáneas en la tasa de interés periódica y en el
número de periodos que se estén considerando.
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
80.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Euro
s
Periodos
Evolución de un Capital según la Ley de
Capitalización Compuesta
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
16.000
18.000
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
Euro
s
Tasa de interés
Capital Final con la Ley de Capitalización Compuesta,
según tasa de interés
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
10
El siguiente gráfico muestra claramente el impacto de ambas variables en el Capital Final
según la Ley de Capitalización Compuesta. Dicho impacto es mucho más acusado que con la
Ley de Capitalización Simple.
El siguiente apartado compara ambas leyes.
1.3. Ley de Capitalización Simple vs Compuesta
En los dos apartados anteriores hemos podido constatar que la Ley de Capitalización
Compuesta genera un Capital Final, ceteris paribus, superior a la Ley de Capitalización Simple.
En el presente apartado ilustramos esta cuestión.
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
80.000
90.000
100.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodos
Capital Final con la Ley de Capitalización Compuesta, según tasa de interés y número de periodos
0% 5% 10% 15% 20% 25%
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
11
He aquí nuestro ejemplo, un Capital Inicial de 10.000, 5 periodos y una Tasa de Interés
Periódica del 20%. Mientras con Capitalización Simple el Capital Final asciende a 20.000 con
Capitalización Compuesta son 24.883.
Para que se pueda visualizar perfectamente la diferencia entre ambas leyes vamos a
analizar el impacto sobre el resultado de cada una de ellas de considerar diferentes horizontes
temporales manteniendo la tasa de interés del 20%. Lo haremos usando una TABLA con un input
(el número de periodos) y dos outputs (el capital final con cada una de las dos leyes).
En la fila 12 situamos los periodos alternativos que queremos analizar, desde 0 a 10. En
C13 vinculamos el resultado de la Ley de Capitalización Simple desde C6 y en C14 el resultado
de la Ley de Capitalización Compuesta desde C7. Al elaborar la TABLA le indicamos que el input
(en este caso una fila) entra en la celda C4, la del periodo en el modelo. En este caso el gráfico,
que vemos a continuación, es especialmente ilustrativo.
La evolución del Capital Final es exponencial con la ley Compuesta frente a la linealidad
de la ley Simple. Cuántos más años dure la operación más diferencia habrá entre los resultados
de ambas leyes.
De forma similar podemos ver la diferencia entre ambas leyes en función de la tasa de
interés, manteniendo el periodo inicialmente considerado de cinco años. Realizamos una TABLA
como la anterior, pero ahora en la fila 18 situamos diferentes tasas de interés. Para que el efecto
visual del gráfico sea más notorio hemos establecido tasas de interés desde el 0% hasta el 50%.
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodos
Capital Final con la Ley de Capitalización simple y Compuesta, según número de periodos
Simple Compuesta
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
12
En la Ley de Capitalización Simple el aumento de los tipos de interés tiene un efecto
lineal mientras que con la Ley Compuesta el impacto es muy superior.
1.4. Ley de Descuento Simple
La Ley de Descuento Simple estipula que un Capital Final (Ct) al trasladarse o
actualizarse hacia el presente durante una serie de periodos (t) y según una determinada tasa
de interés (r), se convertiría en un Capital Actual (o Capital Inicial) en el momento 0 (C0) de:
�� = ��(� + × �) Veamos un ejemplo:
Tenemos un capital final de 10.000 euros, 5 periodos y una tasa de interés en cada
periodo del 10%. El resultado, como podemos ver, de aplicar la Ley de Descuento Simple es de
6.667. Como en los casos anteriores debe haber coherencia entre la tasa de interés periódica y
el tipo de periodos (anuales, mensuales, etc.) usados.
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
80.000
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
Euro
s
Tasa
Capital Final con la Ley de Capitalización simple y Compuesta, según tasa de interés
Simple Compuesta
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
13
En la siguiente tabla, que elaboramos como en los apartados referidos a las leyes de
capitalización, podemos comprobar cómo le afecta al valor del Capital Actual el número de
periodos que se esté considerando.
La siguiente figura ilustra la evolución del capital actual:
Observar que, dada su formulación matemática, no es una recta, como sí lo era la figura
de la Ley de Capitalización Simple. El paso del tiempo, atenúa poco a poco su impacto.
A continuación, mostramos el impacto que tiene sobre el Capital Actual la consideración
de diferentes tasas de interés, asumiendo los datos originales en cuanto a Capital Final y al
número de periodos.
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodos
Evolución de un Capital según la Ley de Descuento
Simple
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
14
También en este caso hemos elaborado un gráfico ilustrativo, en el que, como en el
gráfico anterior se observa la pérdida de la linealidad respecto a la Ley de Capitalización Simple:
Por último, vemos el impacto sobre el Capital Actual de modificaciones simultáneas en
la tasa de interés periódica y en el número de periodos que se estén considerando. Recurrimos
de nuevo a una TABLA de doble entrada:
En la celda C41 vinculamos el Capital Actual de nuestro ejemplo inicial. Al elaborar la
TABLA solicitamos que la fila entre en C4 (el número de periodos) y la columna en C5 (la tasa
de interés periódica). El siguiente gráfico muestra claramente el impacto de ambas variables en
el Capital Actual según la Ley de Descuento Simple.
Cuánto más alta sea la tasa de interés (líneas inferiores del gráfico) más acusado es el
efecto del paso del tiempo.
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
Euro
s
Tasa de interés
Capital Actual con la Ley de Descuento Simple, según
tasa de interés
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodos
Capital Actual con la Ley de Descuento Simple, según tasa de interés y número de periodos
0% 2% 4% 6% 8% 10%
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
15
1.5. Ley de Descuento Comercial
La Ley de Descuento Comercial estipula que un Capital Final (Ct) al trasladarse o
actualizarse hacia el presente durante una serie de periodos (t) y según una determinada tasa
de interés (r), se convertiría en un Capital Actual (o Capital Inicial) en el momento 0 (C0) de:
�� = �� × (� − × í����� ) Esta ley se usa para operaciones a corto plazo, inferiores a un año. Hemos puesto 360
en la fórmula, pero podría ponerse también 365.
Veamos un ejemplo:
Tenemos un capital final de 100.000 euros, 90 días de plazo y una tasa de interés anual
del 8%. El resultado, como podemos ver, de aplicar la Ley de Descuento Comercial es de 98.000.
En la siguiente tabla, que elaboramos como en los apartados anteriores, podemos
comprobar cómo le afecta al valor del Capital Actual el número de días que se esté considerando.
La siguiente figura ilustra la evolución del Capital Actual:
88.000
90.000
92.000
94.000
96.000
98.000
100.000
102.000
1 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Euro
s
Días
Capital Actual según la Ley de
Descuento Comercial
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
16
A continuación, mostramos el impacto que tiene sobre el Capital Actual la consideración
de diferentes tasas de interés, asumiendo los datos originales en cuanto a Capital Final y al
número de días.
También en este caso hemos elaborado un gráfico ilustrativo:
Por último, vemos el impacto sobre el Capital Actual de modificaciones simultáneas en
la tasa de interés periódica y en el número de días que se estén considerando. Recurrimos de
nuevo a una TABLA de doble entrada:
En la celda C43 vinculamos el Capital Actual de nuestro ejemplo inicial. Al elaborar la
TABLA solicitamos que la fila entre en C4 (el número de días) y la columna en C5 (la tasa de
interés periódica). El siguiente gráfico muestra claramente el impacto de ambas variables en el
Capital Actual según la Ley de Descuento Comercial.
96.000
96.500
97.000
97.500
98.000
98.500
99.000
99.500
100.000
100.500
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
Euro
s
Tasa de interés
Capital Actual con la Ley de Descuento Comercial,
según tasa de interés
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1.6. Ley de Descuento Compuesto
La Ley de Descuento Compuesto estipula que un Capital Final (Ct) al trasladarse o
actualizarse hacia el presente durante una serie de periodos (t) y según una determinada tasa
de interés (r), se convertiría en un Capital Actual (o Capital Inicial) en el momento 0 (C0) de:
�� = ��(� + )� Veamos un ejemplo:
Tenemos un capital final de 10.000 euros, 5 periodos y una tasa de interés en cada
periodo del 10%. El resultado, como podemos ver, de aplicar la Ley de Descuento Compuesto
es de 6.209. Como en los casos anteriores debe haber coherencia entre la tasa de interés
periódica y el tipo de periodos (anuales, mensuales, etc.) usados. Además de realizar el cálculo
aplicando directamente la fórmula matemática (B6), también hacemos un cálculo alternativo
usando la función VA que requiere como argumentos la tasa de interés periódica, el número de
periodos, el pago periódico si lo hubiera (y que en nuestro caso es 0, y que no puede omitirse) y
el valor del capital final, que hemos de poner en negativo para que el resultado de la función sea
positivo.
En la siguiente tabla, que elaboramos como en los apartados anteriores, podemos
comprobar cómo le afecta al valor del Capital Actual el número de periodos que se esté
considerando.
86.000
88.000
90.000
92.000
94.000
96.000
98.000
100.000
102.000
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300
Euro
s
Días
Capital Actual con la Ley de Descuento Comercial, según tasa de interés y número de días
0% 2% 4% 6% 8% 10%
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18
La siguiente figura ilustra la evolución del capital actual:
Observar que, dada su formulación matemática, tiene una forma con una pendiente más
acusada que la referida a la Ley de Descuento Simple. El paso del tiempo, no obstante, atenúa
poco a poco su impacto.
A continuación, mostramos el impacto que tiene sobre el Capital Actual la consideración
de diferentes tasas de interés, asumiendo los datos originales en cuanto a Capital Final y al
número de periodos.
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Euro
s
Periodos
Evolución de un Capital según la Ley de Descuento
Compuesto
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19
También en este caso hemos elaborado un gráfico ilustrativo, en el que, como en el
gráfico anterior se observa la mayor pendiente respecto a la Ley de Descuento Simple:
Por último, vemos el impacto sobre el Capital Actual de modificaciones simultáneas en
la tasa de interés periódica y en el número de periodos que se estén considerando. Recurrimos
de nuevo a una TABLA de doble entrada:
En la celda C51 vinculamos el Capital Actual de nuestro ejemplo inicial. Al elaborar la
TABLA solicitamos que la fila entre en C4 (el número de periodos) y la columna en C5 (la tasa
de interés periódica). El siguiente gráfico muestra claramente el impacto de ambas variables en
el Capital Actual según la Ley de Descuento Compuesto.
Cuánto más alta sea la tasa de interés (líneas inferiores del gráfico) más acusado es el
efecto del paso del tiempo.
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
Euro
s
Tasa de interés
Capital Actual con la Ley de Descuento Compuesto,
según tasa de interés
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodos
Capital Actual con la Ley de Descuento Compuesto, según tasa de interés y número de periodos
0% 5% 10% 15% 20% 25%
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20
1.7. Ley de Descuento Simple vs Comercial
En este apartado vamos a ver una comparativa entre la Ley de Descuento Simple y la
Ley de Descuento Comercial. Tenemos el siguiente ejemplo:
Tenemos un Capital Final de 100.000, un plazo de 90 días y una Tasa de Interés Anual
del 8%. Aplicamos directamente las fórmulas para cada caso:
��������� ������, �� = ���� + × í�����
��������� ��������, �� = �� × (� − × í����� )
Y constatamos que el Capital Actual es inferior cuando sea plica la Ley de Descuento
Comercial.
En la siguiente TABLA podemos ver la evolución del Capital Actual según ambas leyes
y el número de días en consideración.
Como nos pone de manifiesto también el siguiente gráfico, el paso del tiempo aumenta
la diferencia entre el resultado de ambas leyes.
88.000
90.000
92.000
94.000
96.000
98.000
100.000
102.000
1 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Euro
s
Días
Descuento Simple vs Descuento Comercial, según número de días
Simple Comercial
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En la siguiente TABLA podemos ver la evolución del Capital Actual según ambas leyes
y la tasa de interés en consideración.
El siguiente gráfico ilustra la diferencia entre ambas leyes que es significativa a tasa de
interés muy elevadas.
1.8. Ley de Descuento Simple vs Compuesto
Comparamos ahora la Ley de Descuento Simple con la Ley de Descuento Compuesto.
Ambas leyes se reflejan en la siguiente formulación:
��������� ������, �� = ��(� + × �)
��������� ����������, �� = ��(� + )� En ambos casos es necesaria la concordancia entre la tasa de interés periódica y el tipo
de periodo considerado.
Veamos nuestro ejemplo:
80.000
85.000
90.000
95.000
100.000
105.000
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
Euro
s
Tasa
Descuento Simple vs Descuento Comercial, según tasa de interés
Simple Comercial
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Tenemos, un Capital Final de 10.000, 5 periodos y una Tasa de Interés Periódica del
10%. Mientras con Descuento Simple el Capital Inicial asciende a 6.667 con Descuento
Compuesto son 6.209.
Para que se pueda visualizar perfectamente la diferencia entre ambas leyes vamos a
analizar el impacto sobre el resultado de cada una de ellas de considerar diferentes horizontes
temporales manteniendo la tasa de interés del 10%. Lo haremos usando una TABLA con un input
(el número de periodos) y dos outputs (el capital inicial con cada una de las dos leyes).
En la fila 12 situamos los periodos alternativos que queremos analizar, desde 0 a 10. En
C13 vinculamos el resultado de la Ley de Descuento Simple desde C6 y en C14 el resultado de
la Ley de Descuento Compuesto desde C7. Al elaborar la TABLA le indicamos que el input (en
este caso una fila) entra en la celda C4, la del periodo en el modelo. El gráfico, que vemos a
continuación, ilustra mejor la comparativa.
La evolución del Capital Actual con la ley Compuesta presenta una caída mucho más
acusada que la ley Simple. Cuántos más años dure la operación más diferencia habrá entre los
resultados de ambas leyes.
De forma similar podemos ver la diferencia entre ambas leyes en función de la tasa de
interés, manteniendo el periodo inicialmente considerado de cinco años. Realizamos una TABLA
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodos
Capital Actual con la Ley de Descuento simple y Compuesto, según número de periodos
Simple Compuesta
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como la anterior, pero ahora en la fila 20 situamos diferentes tasas de interés. Para que el efecto
visual del gráfico sea más notorio hemos establecido tasas de interés desde el 0% hasta el 50%.
En la Ley de Descuento Simple el aumento de los tipos de interés tiene un efecto menos
penalizador que con la Ley Compuesta, que muestra un impacto muy superior.
1.9. Ley de Descuento Simple vs Comercial vs Compuesto
Por último, vamos a realizar una comparativa entre las tres leyes de descuento. Es una
comparativa que puede parecer innecesaria en tanto que la ley de descuento compuesto se usa
básicamente para operaciones a largo plazo y la simple y la comercial para operaciones a corto
plazo.
Usaremos las siguientes formulaciones:
��������� ������, �� = ��(� + × �) ��������� ��������, �� = �� × (� − × í����� )
��������� ���������, �� = ��(� + ) ��� ���! Asumimos en este caso que r es una tasa de interés anual. De esta forma, la Ley de
Descuento Compuesto en su exponente pondrá la fracción de año (dividiendo en este caso entre
360) que representa el periodo considerado. Será inferior a 1 cuando el periodo sea de menor
de 360 días y superior cuando sea un periodo superior a un año (360 días).
Veamos nuestro ejemplo:
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
Euro
s
Tasa
Capital Actual con la Ley de Descuento simple y Compuesto, según tasa de interés
Simple Compuesta
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Como vemos la ley que más penaliza la actualización del capital final es la comercial,
después la simple y después la compuesta. Esta situación se da para plazos inferiores a un año.
Veamos una TABLA que nos muestra esta cuestión.
El gráfico en este caso es difícil de “leer”.
Hemos realizado un análisis similar para periodos superiores a un año. En este caso la
ley compuesta penaliza más que la simple tal como ya vimos en el epígrafe anterior.
92.000
93.000
94.000
95.000
96.000
97.000
98.000
99.000
100.000
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Euro
s
Días
Simple vs Comercial vs Compuesto, según número de días, inferior a un año
Simple Comercial Compuesto
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25
El gráfico, en este caso, es más ilustrativo.
1.10. Tasas de Interés
Dedicamos este último epígrafe del bloque de leyes financieras a mostrar la relación
entre los tipos de interés y el periodo de capitalización cuando nos estamos refiriendo a leyes de
descuento o capitalización compuestas.
Debemos tener en cuenta las siguientes relaciones:
"���é� ���ó ��� = %��� ������� �����&��� �� �� �� �ñ�
%��� �(����)� ����� = �� + %��� *������ +����&��� �� �� �� �ñ� &��� �� �� �� �ñ� − � =
(� + "���é� ���ó ���)&��� �� �� �� �ñ� − �
"���é� ���ó ��� = (� + ���� �(����)� �����)� &��� �� �� �� �ñ�! − �
Veamos nuestro ejemplo. Asumimos un 10% de tasa nominal que se compondrá en
cuatro periodos anuales, es decir, trimestralmente.
0
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
120.000
0 360 720 1.080 1.440 1.800 2.160 2.520 2.880 3.240 3.600
Euro
s
Tasa
Simple vs Comercial vs Compuesto, según número de días, superior a
un año
Simple Comercial Compuesto
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26
Calculamos la tasa de interés periódica dividiendo la tasa nominal del 10% entre 4, lo
que implica un 2,5% trimestral.
Para calcular la tasa efectiva anual usamos directamente las expresiones indicadas con
anterioridad, en las celdas C7 y C8, o bien usamos la función de Excel INT.EFECTVO, a la cual
habrá que incorporar dos argumentos, la tasa nominal y el número de periodos por año.
Para determinar de nuevo, a partir de la tasa efectiva anual el interés periódico
recurrimos, en C10, a la expresión indicada anteriormente.
De la tasa periódica podríamos pasar de nuevo a la tasa nominal anual multiplicando por
4, en este caso, o bien usando la función de Excel TASA.NOMINAL, que exige como argumentos
la tasa efectiva anual y el número de periodos por año. Y de esta forma se cierra el círculo, a
través del cual se ven las relaciones entre las diferentes tasas de interés.
Veamos a continuación el impacto en la tasa efectiva anual de diferentes periodos de
composición (periodos por año) y de diferentes tasas nominales:
Cuanto mayor sea el número de periodos por año mayor será la tasa efectiva anual
correspondiente. Este efecto es mayor a mayor tasa nominal. Veamos un gráfico:
0%
5%
10%
15%
20%
25%
1 2 3 4 6 12 25 50 365
Tasa
efe
ctiv
a
Periodos por año
Tasa efectiva anual según tasa nominal y periodos por año
5% 10% 15% 20%
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En nuestra tabla hemos llegado a 365 periodos por año, es decir, periodos de
composición de un día. Podríamos seguir fraccionando el año y establecer periodos de
composición por hora, por minuto, etc. En el límite tendríamos un periodo de composición
continuo. Cuando se llega a esa situación se calcula el tipo de interés con composición o
capitalización continua a partir de la siguiente expresión:
%��� ����� �(����)� ����í��� = � − �
Siendo “e” el número e (2,71828) y r la tasa nominal
Y también.
%��� ������� ����� = ,* (� + ���� ����� �(����)� ������) Indicando LN el logaritmo neperiano.
Veamos la aplicación a nuestro ejemplo de un 10% de tasa nominal.
Observe que la tasa continua alcanza el 10,5171%. En la tabla anterior vimos que un
10% nominal con composición diaria llegaba a 10,516%. La diferencia es muy pequeña.
Quizás usted piense que el suponer que la composición de intereses se realiza de forma
continua es poco útil en la práctica. Bueno, cuando estudie la valoración de opciones verá que
está equivocado.
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2. Rentas
Nos referimos con la expresión “Renta” a una sucesión de cuantías a lo largo del tiempo.
Para valorar de forma conjunta dichas cuantías podrían valorarse una a una y posteriormente
sumarlas o bien usar alguna expresión matemática que haga el cálculo del conjunto.
Las rentas pueden ser finitas (con un horizonte temporal limitado) o infinitas (con un
horizonte temporal ilimitado). Las rentas pueden ser constantes (la misma cuantía en cada
momento del tiempo) o variables. Dentro de las variables podemos distinguir aquellas que siguen
una progresión geométrica de las que siguen una progresión aritmética. Las rentas pueden ser
inmediatas, es decir con inicio en el primer periodo, o diferidas, con un inicio posterior. Por último,
las rentas pueden ser pospagables (se sitúan al final de cada uno de los periodos considerados)
o prepagables (se sitúan al inicio de cada uno de los periodos). Estas características que
acabamos de indicar dan lugar a una gran casuística que trataremos de mostrar a lo largo de los
siguientes apartados, determinando el Valor Actual y el Valor Final de los distintos tipos de rentas.
2.1. Valor Actual de Rentas Constantes
Las rentas constantes son aquellas que tienen la misma cuantía a lo largo del horizonte
temporal, sea finito (n) o infinito (denominaremos a dicha cuantía α). Denotaremos por i la tasa
de interés aplicada a la valoración. Dicha tasa de interés deberá corresponderse al periodo
usado, es decir, si la renta es anual, si se produce con lapsos temporales de un año, la tasa de
interés debe ser anual, si la renta es mensual, se produce con lapsos temporales de un mes, la
tasa de interés debe ser mensual.
2.1.1. Valor Actual de una Renta Constante Finita pospagable
Se trata de una renta de cuantía α que se encuentra durante un número finito de periodos
al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la determinación de su Valor
Actual puede establecerse con alguna de las expresiones que mostramos a continuación:
-./01 2345./ = 6 × 71 − 1(1 + 9):9 ; = 6 × <19 − = 19 × (1 + 9):>?
Los elementos entre paréntesis son variantes del denominado factor de anualidad. En
este caso, factor de anualidad a n periodos y tasa de interés i por periodo.
@:¬B= 71 − 1(1 + 9):9 ; = <19 − = 19 × (1 + 9):>?
Vamos a establecer diferentes formas de cálculo. Algunos de dichos cálculos precisan
que se expliciten en la hoja de cálculo las rentas en los periodos correspondientes. Es por ello
que limitamos a 10 periodos nuestro modelo, bien entendido que en muchas de las variantes de
cálculo no existe ninguna limitación. Esta misma consideración es aplicable al resto de ejemplos
de rentas finitas que iremos desgranando en los siguientes apartados.
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29
En nuestro ejemplo vamos a suponer una renta de 8.000 con cuatro periodos de duración
y una tasa de interés del 10%.
En la fila 9, apoyándonos en una condicional situamos la renta en los cuatro periodos.
Con formato condicional hemos difuminado las columnas que se correspondan con periodos
superiores a 4.
En la fila 10 calculamos el factor de descuento usando la siguiente expresión:
C.3401 DE DEF35EG40H = 1(1 + 9)H En la fila 11 multiplicamos cada elemento de la renta por el factor de descuento
correspondiente.
Usamos hasta 8 variantes para determinar el valor de la renta.
La primera y última variantes se corresponden con las dos alternativas de la fórmula
antes indicada.
La variante 2 suma los elementos de la fila11, los valores actuales de cada elemento de
la renta.
La variante 3 usa la función SUMAPRODUCTO para determinar la suma de los
elementos de la renta multiplicados por sus correspondientes factores de descuento.
La variante 4 usa la función VNA. Dicha función exige que se le indique la tasa de interés
y el rango de valores. Situamos el rango de valores máximo que en nuestro ejemplo alcanza
hasta la columna L (diez periodos).
La variante 5 usa la función VA. Dicha función requiere que se le indique la tasa de
interés, el número de periodos y el pago o renta constante. Si queremos que el resultado sea
positivo debemos poner un signo menos en el pago o bien poner “- VA”.
La variante 6 multiplica el valor de la renta por el factor de anualidad. El factor de
anualidad se calcula con la función VA indicando que el pago es “- 1”.
La variante 7 usa una fórmula array. Le indicamos que sume el rango de la renta dividido
entre 1 más la tasa de interés y elevado al rango de periodos. Las fórmulas array se validan con
CONTROL + SHIFT + ENTER.
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30
2.1.2. Valor Actual de una Renta Constante Finita prepagable
Se trata de una renta de cuantía α que se encuentra durante un número finito de periodos
al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la determinación de su
Valor Actual puede establecerse con alguna de las expresiones que mostramos a continuación:
-./01 2345./ = 6 × 71 − 1(1 + 9):9 ; × (1 + 9) = 6 × <19 − = 19 × (1 + 9):>? × (1 + 9) Es la fórmula de la renta constante pospagable multiplicada por (1+i). Para su
determinación podemos usar cualquiera de las variantes del apartado anterior y multiplicarlas
por (1+i). Eso es lo que hemos hecho en las variantes 1, 6 y 8.
Las variantes 2 y 3 son las mismas que antes, pero con el matiz de que el factor de
descuento de la fila 30 responde a la siguiente fórmula:
C.3401 DE DEF35EG40H(I1EI.J.K/E) = 1(1 + 9)HLM
En las variantes 4 y 5, en la función VA, añadimos dos argumentos. Un 0 para indicar
que no hay un pago final y un 1 para indicar que los pagos periódicos son prepagables. No se
puede omitir el 0 del pago final pues “marca posición”.
Por último, la variante 7, la fórmula array, simplemente resta 1 en el rango de los
exponentes.
2.1.3. Valor Actual de una Renta Constante Finita pospagable, diferida
Se trata de una renta de cuantía α que se encuentra durante un número finito de periodos
al final de cada uno de dichos periodos y cuyo primer elemento se producirá dentro de “d”
periodos. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede establecerse
con alguna de las expresiones que mostramos a continuación:
-./01 2345./ = 6 × 71 − 1(1 + 9):9 ; × (1 + 9)LN = 6 × <19 − = 19 × (1 + 9):>? × (1 + 9)LN
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31
Se podría calcular multiplicando por (1 + 9)LNcualquiera de las variantes de valoración
de la renta constate pospagable que hemos visto antes. En nuestro ejemplo hemos hecho 7
variantes.
En la fila 50 nuestra condicional comprueba que el periodo no sea inferior al diferimiento
ni superior al diferimiento más la duración de la renta. En ambos casos pone un 0, y en los
periodos correspondientes a la renta pone su cuantía. En nuestro caso es una renta de cuatro
periodos y dos de diferimiento, por lo cual empieza en el periodo 3 y acaba en el 6. El formato
condicional oculta el resto de periodos.
La variante 1 aplica la fórmula antes mostrada directamente.
Las variantes 2, 3, 4, 7, son idénticas a las anteriores.
En la variante 5 dividimos el resultado de la función VA por (1+C46)^C47
Como curiosidad hemos hecho la variante 6. En este caso calculamos con VA el valor
actual de un valor final (que es el VA de una renta pospagable, tal como ya ha sido calculado
con anterioridad) que se producirá dentro de d periodos. En la VA que aparece inicialmente en
la fórmula es preciso indicarle que el pago periódico es 0. Esta VA sólo se ocupa de la
actualización del valor de la renta pospagable, para aplicar el efecto del diferimiento.
2.1.4. Valor Actual de una Renta Constante Finita prepagable, diferida
Se trata de una renta de cuantía α que se encuentra durante un número finito de periodos
al inicio de cada uno de dichos periodos y cuyo primer elemento se producirá dentro de “d”
periodos. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede establecerse
con alguna de las expresiones que mostramos a continuación:
-./01 2345./ = 6 × 71 − 1(1 + 9):9 ; × (1 + 9)LN × (1 + 9) = 6 × <19 − = 19 × (1 + 9):>? × (1 + 9)MLN
Se podría calcular multiplicando por (1 + 9)LNcualquiera de las variantes de valoración
de la renta constate prepagable que hemos visto antes. O Bien multiplicando por (1+i) alguno de
los resultados de la renta pospagable diferida. En nuestro ejemplo hemos hecho 7 variantes,
teniendo en cuenta que el factor de descuento de la fila 71 ha sido desarrollado como prepagable.
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32
La variante 1 aplica la fórmula antes mostrada directamente.
Las variantes 2 y 3 son idénticas a las anteriores.
La variante 4 aplica el diferimiento (dividiendo entre (1+i) ^d) al resultado obtenido con
VA, en la que se ha indicado en el último argumento que es prepagable (1).
La variante 5, como la variante 6 del ejemplo anterior, aplica VA (para tener en cuenta el
diferimiento) al resultado obtenido de otra VA (que es la que calcula el valor de la renta
prepagable).
La fórmula array de la variante 6 resta 1 en el rango de los exponentes, para tener en
cuenta que la renta es prepagable.
Por último, la variante 7, usa de nuevo dos VA, pero en este caso, la segunda VA en vez
de calcular el valor de la renta prepagable calcula el de la renta pospagable y lo multiplica por
(1+i).
2.1.5. Valor Actual de una Renta Constante Infinita pospagable
Se trata de una renta de cuantía α que se encuentra durante un número infinito de
periodos al final de cada periodo. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual
puede establecerse con la expresión que mostramos a continuación:
-./01 2345./ = 6 × 19
El cálculo del Valor Actual es inmediato aplicando directamente la formula indicada.
2.1.6. Valor Actual de una Renta Constante Infinita prepagable
Se trata de una renta de cuantía α que se encuentra durante un número infinito de
periodos al inicio de cada periodo. La fórmula matemática para la determinación de su Valor
Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a continuación:
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33
-./01 2345./ = 6 × (1 + 19 ) Simplemente es preciso añadir a la renta constante infinita pospagable un primer término,
un α.
Elaboramos dos pequeñas variantes. La primera de ellas se corresponde a sumar a la
renta pospagable el nuevo término (el inicial e inmediato) y la segunda variante es la que aplica
directamente la fórmula indicada anteriormente.
2.1.7. Valor Actual de una Renta Constante Infinita pospagable, diferida
Se trata de una renta de cuantía α que se encuentra durante un número infinito de
periodos al final de cada periodo y comenzando dentro de d periodos. La fórmula matemática
para la determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = 6 × 19 × (1 + 9)LN
Hemos hecho tres variantes. La primera y la segunda aplican directamente la fórmula.
En un caso situando la actualización causada por el diferimiento en el denominador y en el otro
caso multiplicando por (1 + 9)LN tal como se mostraba en la fórmula.
La tercera variante usa VA para aplicar el diferimiento a un único pago final calculado
dividiendo la renta entre la tasa de interés.
2.1.8. Valor Actual de una Renta Constante Infinita prepagable, diferida
Se trata de una renta de cuantía α que se encuentra durante un número infinito de
periodos al inicio de cada periodo y comenzando dentro de d periodos. La fórmula matemática
para la determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = 6 × (1 + 19 ) × (1 + 9)LN
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34
Hemos hecho tres variantes. La primera y la segunda aplican directamente la fórmula.
En un caso situando la actualización causada por el diferimiento en el denominador y en el otro
caso multiplicando por (1 + 9)LN tal como se mostraba en la fórmula.
La tercera variante usa VA para aplicar el diferimiento a un único pago final calculado
añadiendo el término inicial al resultado de dividir la renta entre la tasa de interés, para que así
se tenga en cuenta que es prepagable.
2.2. Valor Final de Rentas Constantes
Nos ocupamos a continuación de la determinación del Valor Final de rentas constantes.
Las rentas de duración ilimitada no tienen, por definición, un valor final.
Por otro lado, el valor final de una renta es independiente de si la renta comienza en el
primer periodo o si tiene diferimiento. En todo caso, dicho valor final, que será el mismo, se
situará al final de dicha renta. De esta forma sólo hemos de establecer los valores finales de
rentas constantes finitas, en su modalidad pospagable y prepagable.
2.2.1. Valor Final de una Renta Constante Finita pospagable
Se trata de una renta de cuantía α que se encuentra durante un número finito de periodos
al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la determinación de su Valor
Final puede establecerse como mostramos a continuación:
-./01 C9G./ = 6 × 71 − 1(1 + 9):9 ; × (1 + 9): = 6 × <19 − = 19 × (1 + 9):>? × (1 + 9):
Simplemente se multiplica por (1 + 9): el Valor Actual de dicha renta.
Podríamos hacer un gran número de variantes apoyándonos en las variantes vistas para
determinar el Valor Actual de la renta, pero vamos a limitarnos a cuatro variantes:
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35
La primera variante simplemente aplica la fórmula indicada con anterioridad.
La segunda variante usa la función VF. En este caso los argumentos son la tasa de
interés, el número de periodos y el pago periódico (en negativo, para que el resultado sea
positivo).
La tercera variante calcula el factor de anualidad del valor final (para ello como
argumento de pago ponemos -1) y lo multiplica por la renta.
La cuarta variante recurre a una fórmula array para calcular el VA cuyo resultado se
multiplica por (1 + 9): para determinar el Valor Final.
2.2.2. Valor Final de una Renta Constante Finita prepagable
Se trata de una renta de cuantía α que se encuentra durante un número finito de periodos
al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la determinación de su
Valor Final puede establecerse como mostramos a continuación:
-./01 C9G./ = 6 × 71 − 1(1 + 9):9 ; × (1 + 9)MO: = 6 × <19 − = 19 × (1 + 9):>? × (1 + 9)MO:
Se trata de añadirle un 1 en el exponente en el momento de pasar el Valor Actual a Valor
Final, es decir, multiplicamos por (1 + 9)MO:.
Hemos hecho las siguientes variantes de cálculo.
La primera aplica directamente la fórmula antes mostrada.
La segunda y la tercera, que se apoyan en VF, le indican con el argumento final (1) que
la renta es prepagable.
En la fórmula array restamos un 1 en el rango de los exponentes de la actualización para
aplicar la prepagabilidad y posteriormente multiplicamos por (1 + 9): para determinar el Valor
Final.
2.3. Otros Datos Rentas Constantes
En este apartado vamos a describir el uso de una serie de funciones que trabajan, de
algún modo, sobre la misma base. Por un lado, veremos las funciones VA y VF, ya vistas para
rentas constantes finitas, en las que se puede añadir, además, un último pago (en VA) o un pago
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36
inicial (en VF). A continuación, veremos las funciones PAGO, NPER y TASA, que nos permiten
determinar la renta, el número de periodos y la tasa de interés, dados unos valores para el resto
de variables de una renta constante, pos o prepagable y con posibilidad de un valor inicial y otro
final.
2.3.1. Valor Actual de una Renta Constante y un posible Pago Final
La función VA permite calcular el valor actual de una renta constante, dada una tasa de
interés y un número de periodos. Como ya vimos anteriormente, también se le puede añadir un
argumento para indicar que es prepagable (1), que en caso de no incluirse se asume que es un
0, pospagable. Pero antes de dicho argumento también se puede añadir un argumento con el
valor de un posible pago final. Veamos nuestro ejemplo:
Se trata de una renta constante de 8.000 durante cuatro periodos a final de cada periodo
y con una tasa del 10%. En este caso, además, al final del cuarto periodo hay un pago más, de
4.000. Hemos puesto la función VA en negativo, para que el resultado sea positivo. Los
argumentos obligados son la tasa, el número de periodos y el pago periódico. Los argumentos
opcionales (y que Excel sustituirá por 0 en caso de no incluirlos) son el posible pago final (en
nuestro caso las 4.000) y un 0 para indicar que los pagos periódicos son pospagables (como es
nuestro caso) o un 1 para indicar que los pagos periódicos son prepagables. El posible pago final
es, en todo caso, pospagable.
Si en C8 ponemos un 1, para indicar que los pagos periódicos son prepagables:
Supongamos ahora que el pago final, opcional, no existe, siendo los otros pagos
prepagables:
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37
El cero de C7 debe figurar en la fórmula pues “marca la posición”, para que Excel
interprete que el 1 se refiere al argumento final.
2.3.2. Valor Final de una Renta Constante y un posible Pago Inicial
La función VF permite calcular el valor final de una renta constante, dada una tasa de
interés y un número de periodos. Como ya vimos anteriormente, también se le puede añadir un
argumento para indicar que es prepagable (1), que en caso de no incluirse se asume que es un
0, pospagable. Pero antes de dicho argumento también se puede añadir un argumento con el
valor de un posible pago inicial. Veamos nuestro ejemplo:
Se trata de una renta constante de 8.000 durante cuatro periodos al inicio de cada
periodo y con una tasa del 10%. En este caso, además, al inicio del primer periodo hay un pago
más, de 1.000. Hemos puesto la función VF en negativo, para que el resultado sea positivo. Los
argumentos obligados son la tasa, el número de periodos y el pago periódico. Los argumentos
opcionales (y que Excel sustituirá por 0 en caso de no incluirlos) son el posible pago inicial (en
nuestro caso las 1.000) y un 0 para indicar que los pagos periódicos son pospagables o un 1
para indicar que los pagos periódicos son prepagables, como es nuestro ejemplo. El posible pago
inicial es, en todo caso, prepagable.
Se pueden hacer las mismas consideraciones respecto a la necesidad de “marcar
posición” en los argumentos que hicimos en el epígrafe anterior.
2.3.3. Determinación del Pago, dadas el reto de variables
En este caso se trata de buscar la cuantía de la renta constante que, dados una tasa de
interés y un número de periodos consigue un determinado valor actual, permitiendo
opcionalmente añadir un pago final y un argumento de pos o pregabilidad.
En nuestro ejemplo la tasa de interés es el 10%, la renta o pago se producirá durante 6
periodos, con un Valor Actual de 40.000. Además, hay un pago final de 10.000 y los pagos
periódicos deben ser prepagables. El pago final es opcional como lo es también el argumento
para indicar si el pago periódico es prepagable. El pago final es, en todo caso, pospagable. El
resultado nos indica que una renta de 7.171 por periodo, a inicio de seis periodos, más un pago
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final de 10.000 al finalizar el sexto periodo equivale a un valor actual de 40.000 siendo la tasa de
interés el 10%.
Los argumentos de la función PAGO son: la tasa de interés, el número de periodos, el
valor actual, y opcionalmente el pago final y el argumento de pos o prepagabilidad. El valor actual
lo ponemos en negativo y el pago final en positivo y obtenemos un valor de la función PAGO
positivo. Si el pago final fuese del mismo signo que el Valor Actual la renta (PAGO) necesaria
para obtener el mismo Valor Actual debería ser más alta.
2.3.4. Determinación del número de pagos, dadas el reto de variables
En este caso se trata de buscar el número de pagos necesarios, dados una tasa de
interés y la cuantía de un pago periódico, necesarios para obtener un valor actual, permitiendo
opcionalmente añadir un pago final y un argumento de pos o pregabilidad.
En nuestro ejemplo la tasa de interés es el 10%, la renta o pago es de 7.171, con un
Valor Actual de 40.000. Además, hay un pago final de 10.000 y los pagos periódicos deben ser
prepagables. El pago final es opcional como lo es también el argumento para indicar si el pago
periódico es prepagable. El pago final es, en todo caso, pospagable. El resultado nos indica que
hacen falta seis periodos para que una renta de 7.171 por periodo, a inicio de seis periodos, más
un pago final de 10.000 al finalizar el sexto periodo, consiga un valor actual de 40.000 siendo la
tasa de interés el 10%.
Los argumentos de la función NPER son: la tasa de interés, el pago periódico, el valor
actual, y opcionalmente el pago final y el argumento de pos o prepagabilidad. El valor actual lo
ponemos en negativo y el pago final en positivo, con el mismo signo que el pago periódico.
Veamos el siguiente ejemplo:
No nos da un número entero de años. El resultado nos está indicando que serían
precisos seis pagos periódicos y aproximadamente el 0,55 del pago del séptimo año, además
del pago final de 10.000.
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2.3.5. Determinación de la tasa de interés, dadas el reto de variables
En este caso se trata de buscar la tasa de interés dados un número de pagos y la cuantía
de un pago periódico, necesarios para obtener un valor actual, permitiendo opcionalmente añadir
un pago final y un argumento de pos o pregabilidad.
En nuestro ejemplo el número de periodos es de 6, la renta o pago es de 7.171, con un
Valor Actual de 40.000. Además, hay un pago final de 10.000 y los pagos periódicos deben ser
prepagables. El pago final es opcional como lo es también el argumento para indicar si el pago
periódico es prepagable. El pago final es, en todo caso, pospagable. El resultado nos indica que
la tasa de interés para que una renta de 7.171 por periodo, a inicio de seis periodos, más un
pago final de 10.000 al finalizar el sexto periodo, consiga un valor actual de 40.000, es el 10%.
Los argumentos de la función TASA son: el número de periodos, el pago periódico, el
valor actual, y opcionalmente el pago final y el argumento de pos o prepagabilidad. El valor actual
lo ponemos en negativo y el pago final en positivo, con el mismo signo que el pago periódico.
2.4. Valor Actual de Rentas Variables Geométricas
Las rentas variables en progresión geométrica son aquellas en las que cada término de
la renta aumenta en un porcentaje constante sobre el término anterior. Dicho porcentaje lo
denotaremos por “g”. Así: 6POM = 6P × (1 + J)
O, de forma general, también: 6P = 6M × (1 + J)PLM
Siendo α1 el primer término de la renta.
2.4.1. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita pospagable
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
de g por ciento en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número
finito de periodos al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la
determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = 6M × 71 − �1 + J1 + 9 :9 − J ;
Cuando i sea igual a g es preciso usar una formulación alternativa, pues de no ser así la
fórmula planteada no tendrá solución:
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40
-./01 2345./, (Fó/0 35.GD0 9 = J), = 6M × G × (1 + 9)LM
Vamos a establecer diferentes formas de cálculo. Algunos de dichos cálculos precisan
que se expliciten en la hoja de cálculo las rentas en los periodos correspondientes. Es por ello
que limitamos a 10 periodos nuestro modelo, bien entendido que con la aplicación directa de la
fórmula mostrada esta precaución no es necesaria. Esta misma consideración es aplicable al
resto de ejemplos de rentas finitas que iremos desgranando en los siguientes apartados.
En nuestro ejemplo vamos a suponer una renta inicial de 8.000 con cinco periodos de
duración, una tasa de interés del 10% y un crecimiento de la renta entre cada periodo del 4%.
En la fila 10, con una condicional establecemos la renta a lo largo de los periodos en los
que efectivamente se produce (cinco en nuestro ejemplo), usando la siguiente expresión: 6P = 6M × (1 + J)PLM
La primera forma de cálculo aplica la fórmula directamente. Hemos incluido la función
SI.ERROR para que en caso de error, cuando i coincide con g, se establezca el cálculo
alternativo.
Las variantes 2, 3, 4 y 5 ya fueron descritas en la determinación del valor actual de rentas
constantes.
Por último, en este caso hemos incluido la variante 6. Dicha variante transforma la renta
en progresión geométrica en una renta constante. Para ello ajustamos tanto la renta como la tasa
de interés. De esta forma se puede aplicar la función VA, que vimos para las rentas constantes.
La renta ajustada a constante será:
6 .Q5F4.D. 30GF4.G4E = 6M1 + J
La tasa de interés ajustada a constante será:
R.F. 9 .Q5F4.D. . 30GF4.G4E = 1 + 91 + J − 1
Este tipo de transformación se puede aplicar también al resto de rentas en progresión
geométrica finitas que vamos a ver a continuación, aunque nosotros no lo haremos.
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41
2.4.2. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita prepagable
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
de g por ciento en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número
finito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la
determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = 6M × 71 − �1 + J1 + 9 :9 − J ; × (1 + 9)
Es simplemente el valor que hemos calculado en el apartado anterior multiplicado por
(1+i).
En nuestro ejemplo vamos a suponer una renta inicial de 7.000 con cuatro periodos de
duración, una tasa de interés del 12% y un crecimiento de la renta entre cada periodo del 4%.
En la fila 29, con una condicional establecemos la renta a lo largo de los periodos en los
que efectivamente se produce (cinco en nuestro ejemplo), usando la siguiente expresión: 6P = 6M × (1 + J)PLM
En la fila 30 establecemos el factor de descuento, teniendo en cuenta que es prepagable.
La primera forma de cálculo aplica la fórmula directamente. Hemos incluido la función
SI.ERROR para que en caso de error, cuando i coincide con g, se establezca el cálculo
alternativo que mostramos en el epígrafe anterior.
Las variantes 2, 3, 4 y 5 ya fueron descritas en la determinación del valor actual de rentas
constantes prepagables. Observe en la variante 5 cómo se le resta un 1 al rango de los
exponentes.
2.4.3. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita pospagable, diferida
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
de g por ciento en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número
finito de periodos al final de cada uno de dichos periodos y a partir de un determinado periodo
de diferimiento, d. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede
establecerse con la expresión que mostramos a continuación:
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-./01 2345./ = 6M × 71 − �1 + J1 + 9 :9 − J ; × (1 + 9)LN
Es simplemente el valor que hemos calculado para la renta geométrica pospagable e
inmediata, actualizado según el número de periodos de diferimiento. Para ello multiplicamos por (1 + 9)LN.
En nuestro caso la renta empieza en el año 3 (carencia de dos años) y tiene una duración
de cuatro años. El primer término es 7.000, el crecimiento el 2% y la tasa de interés el 4%.
En la variante 1 multiplicamos el valor de la renta inmediata por (1 + 9)LN. El resto de
variantes de cálculo son las mismas que en la renta pospagable inmediata.
2.4.4. Valor Actual de una Renta Geométrica Finita prepagable, diferida
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
de g por ciento en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número
finito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos y a partir de un determinado periodo
de diferimiento, d. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede
establecerse con la expresión que mostramos a continuación:
-./01 2345./ = 6M × 71 − �1 + J1 + 9 :9 − J ; × (1 + 9)MLN
La fórmula simplemente actualiza el número de periodos de diferimiento (d) el valor
obtenido con la renta prepagable e inmediata.
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En el ejemplo es una renta de 3 años de duración, con un año de diferimiento. El primer
término es 7.000, el crecimiento el 2% y la tasa de interés el 4%.
La primera variante de cálculo recoge la fórmula que hemos mostrado anteriormente, así
como la fórmula alternativa que vimos para el caso de que la tasa de interés coincida con la tasa
de crecimiento y la fórmula resulte en un error. El resto de variantes reproducen lo ya mostrado
en los apartados anteriores.
2.4.5. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita pospagable
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
de g por ciento en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número
infinito de periodos al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la
determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = 6M9 − J
Cuando i sea igual a g esta renta no tiene solución, su Valor Actual no converge a
ninguna cifra.
En nuestro caso, el primer término de la renta es 8.000, la tasa de interés es el 12% y el
crecimiento el 2%. El resultado, 80.000, lo hemos calculado aplicando directamente la fórmula
mostrada con anterioridad.
2.4.6. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita prepagable
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
de g por ciento en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número
infinito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la
determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = 6M × (1 + J)9 − J
Cuando i sea igual a g esta renta no tiene solución, su Valor Actual no converge a
ninguna cifra.
En nuestro caso, el primer término de la renta es 8.000, la tasa de interés es el 12% y el
crecimiento el 2%. El resultado, 89.600, lo hemos calculado aplicando dos pequeñas variantes
de la fórmula mostrada con anterioridad.
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44
La segunda variante nos permite ver cómo en la prepagable no basta con sumar a la
pospagable el término inmediato, sino que además hay que multiplicar por (1+g) pues el segundo
término de la renta incorpora ya crecimiento respecto al primero.
2.4.7. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita pospagable, diferida
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
de g por ciento en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número
infinito de periodos al final de cada uno de dichos periodos y con un diferimiento de d periodos
antes de comenzar. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede
establecerse con la expresión que mostramos a continuación:
-./01 2345./ = 6M9 − J × (1 + 9)LN
Cuando i sea igual a g esta renta no tiene solución, su Valor Actual no converge a
ninguna cifra.
En nuestro caso, el primer término de la renta es 8.000, la tasa de interés es el 12% y el
crecimiento el 2%. La renta tiene un periodo de diferimiento. El resultado, 71.429, lo hemos
calculado aplicando directamente la fórmula mostrada con anterioridad. En un caso hemos
introducido la actualización causada por el diferimiento como un factor multiplicativo y en el otro
como un factor divisor.
2.4.8. Valor Actual de una Renta Geométrica Infinita prepagable, diferida
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
de g por ciento en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número
infinito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos y con un diferimiento de d periodos
antes de comenzar. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede
establecerse con la expresión que mostramos a continuación:
-./01 2345./ = 6M9 − J × (1 + 9)MLN
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45
Cuando i sea igual a g esta renta no tiene solución, su Valor Actual no converge a
ninguna cifra.
En nuestro caso, el primer término de la renta es 8.000, la tasa de interés es el 12% y el
crecimiento el 2%. La renta tiene un periodo de diferimiento. El resultado, 80.000, lo hemos
calculado aplicando directamente la fórmula mostrada con anterioridad. En un caso hemos
introducido la actualización causada por el diferimiento como un factor multiplicativo y en el otro
como un factor divisor.
2.5. Valor Final de Rentas Variables Geométricas
Nos ocupamos a continuación de la determinación del Valor Final de rentas variables
con progresión geométrica. Las rentas de duración ilimitada no tienen, por definición, un valor
final.
Por otro lado, el valor final de una renta es independiente de si la renta comienza en el
primer periodo o si tiene diferimiento. En todo caso, dicho valor final, que será el mismo, se
situará al final de dicha renta. De esta forma sólo hemos de establecer los valores finales de
rentas variables en progresión geométrica finitas, en su modalidad pospagable y prepagable.
2.5.1. Valor Final de una Renta Geométrica Infinita pospagable
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
de g por ciento en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número
finito de periodos al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la
determinación de su Valor Final puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = 6M × 71 − �1 + J1 + 9 :9 − J ; × (1 + 9):
Simplemente se multiplica por (1 + 9): el Valor Actual de dicha renta.
Cuando la tasa de interés coincida con la tasa de crecimiento es preciso usar la fórmula
alternativa para calcular el Valor Actual vista con anterioridad.
Vamos a ver tres variantes de cálculo para nuestra renta con un primer término de 8.000,
cuatro periodos de duración, una tasa de interés del 10% y un 4% de crecimiento:
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46
La primera variante simplemente aplica la fórmula indicada con anterioridad.
La segunda variante usa la función VNA para calcular el Valor Actual y posteriormente
lleva dicho valor hasta el momento n (4 en el ejemplo) multiplicando por (1 + 9):.
La tercera variante recurre a una fórmula array para calcular el VA cuyo resultado se
multiplica por (1 + 9): para determinar el Valor Final.
2.5.2. Valor Final de una Renta Geométrica Infinita prepagable
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
de g por ciento en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número
finito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la
determinación de su Valor Final puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = 6M × 71 − �1 + J1 + 9 :9 − J ; × (1 + 9)MO:
Simplemente se multiplica por (1 + 9): el Valor Actual de dicha renta prepagable, que a
su vez multiplicaba por (1+i) el Valor Actual de la pospagable.
Cuando la tasa de interés coincida con la tasa de crecimiento es preciso usar la fórmula
alternativa para calcular el Valor Actual vista con anterioridad.
Vamos a ver tres variantes de cálculo para nuestra renta con un primer término de 7.000,
cinco periodos de duración, una tasa de interés del 12% y un 3% de crecimiento:
La primera variante simplemente aplica la fórmula indicada con anterioridad.
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47
La segunda variante usa la función VNA para calcular el Valor Actual de la renta
pospagable y posteriormente convierte dicho valor en prepagable y lo lleva hasta el final
multiplicando por (1 + 9)MO: . La tercera variante recurre a una fórmula array para calcular el VA cuyo resultado se
multiplica por (1 + 9): para determinar el Valor Final. En la actualización se resta 1 del rango de
los exponentes para tener en cuenta que es prepagable.
2.6. Valor Actual de Rentas Variables Aritméticas
Las rentas variables en progresión aritmética son aquellas en las que cada término de la
renta aumenta en una cuantía absoluta constante sobre el término anterior. Dicha cuantía la
denotaremos por “h”. Así: 6POM = 6P + ℎ
O, de forma general, también: 6P = 6M + (G − 1) × ℎ
Siendo α1 el primer término de la renta.
2.6.1. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita pospagable
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
constante de cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un
número finito de periodos al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para
la determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = @:¬B × =6M + ℎ9 > − G × ℎ × (1 + 9)L:9 = @:¬B × =6M + ℎ9 + G × 9> − G × ℎ9
Siendo @:¬Bel factor de anualidad a n periodos y tasa de interés i, que hemos visto ya
en las rentas constantes y que es igual a
@:¬B= 71 − 1(1 + 9):9 ; = <19 − = 19 × (1 + 9):>?
Usaremos en este caso su denotación simplificada para tratar de hacer la formulación
más asequible.
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48
En nuestro caso es una renta que comienza en 8.000 y cada periodo aumenta en 1.000
hasta el periodo 5, que será 12.000. La tasa de interés es el 10%.
En la fila 10 establecemos la renta con una condicional que va sumando el término de
crecimiento de la renta en cada periodo.
Las dos primeras variantes de cálculo usan directamente las fórmulas presentadas
anteriormente. El cálculo del factor de anualidad se hace con la función VA, como ya hemos visto
en ocasiones anteriores.
Las variantes 3, 4, 5 y 6, son las mismas que hemos visto para las rentas constantes y
geométricas.
2.6.2. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita prepagable
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
constante de cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un
número finito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para
la determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = <@:¬B × =6M + ℎ9 > − G × ℎ × (1 + 9)L:9 ? × (1 + 9)= T@:¬B × =6M + ℎ9 + G × 9> − G × ℎ9 U × (9 + 9)
Es decir, simplemente multiplicamos por (1 +i) el valor actual de la renta aritmética finita
pospagable, tal como ha sido calculada en el epígrafe previo.
En nuestro caso es una renta que comienza en 7.000 y cada periodo aumenta en 1.000
hasta el periodo 4, que será 10.000. La tasa de interés es el 10%. Los pagos se producen a inicio
de los diferentes periodos.
En la fila 29 establecemos la renta con una condicional que va sumando el término de
crecimiento de la renta en cada periodo.
Las dos primeras variantes de cálculo usan directamente las fórmulas presentadas
anteriormente. El cálculo del factor de anualidad se hace con la función VA, como ya hemos visto
en ocasiones anteriores.
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49
Las variantes 3, 4, 5 y 6, son las mismas que hemos visto para las rentas anteriores.
Observe que en la última variante se resta 1 del rango de exponentes para tener en cuenta que
la renta es prepagable.
2.6.3. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita pospagable, diferida
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
constante de cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un
número finito de periodos al final de cada uno de dichos periodos, y comenzando con d periodos
de diferimiento. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede
establecerse con la expresión que mostramos a continuación:
-./01 2345./ = V@:¬B × =6M + ℎ9 > − G × ℎ × (1 + 9)L:9 W × (1 + 9)LN= T@:¬B × =6M + ℎ9 + G × 9> − G × ℎ9 U × (1 + 9)LN
Es decir, simplemente multiplicamos por (1 + 9)LNel valor actual de la renta aritmética
finita pospagable, tal como ha sido calculada anteriormente.
En nuestro caso es una renta que comienza en 7.000 en el periodo 3, pues tiene dos de
diferimiento, y cada periodo durante cinco aumenta en 1.000 hasta las 11.000, que tendrán lugar
en el periodo 7. La tasa de interés es el 10%. Los pagos se producen al final de los diferentes
periodos.
En la fila 49 establecemos la renta con una condicional que va sumando el término de
crecimiento de la renta en cada periodo, pero teniendo en cuenta que la renta empieza con
diferimiento.
Las dos primeras variantes de cálculo usan directamente las fórmulas presentadas
anteriormente. El cálculo del factor de anualidad se hace con la función VA, como ya hemos visto
en ocasiones anteriores.
Las variantes 3, 4, 5 y 6, son las mismas que hemos visto para las rentas anteriores.
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50
2.6.4. Valor Actual de una Renta Aritmética Finita prepagable, diferida
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
constante de cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un
número finito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos, y comenzando con d periodos
de diferimiento. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede
establecerse con la expresión que mostramos a continuación:
-./01 2345./ = V@:¬B × =6M + ℎ9 > − G × ℎ × (1 + 9)L:9 W × (1 + 1) × (1 + 9)LN= T@:¬B × =6M + ℎ9 + G × 9> − G × ℎ9 U × (1 + 1) × (1 + 9)LN
Es decir, simplemente multiplicamos por (1 + 9)LN el valor actual de la renta aritmética
finita prepagable, tal como ha sido calculada anteriormente.
En nuestro caso es una renta que comienza en 7.000 en el periodo 2, pues tiene uno de
diferimiento, y cada periodo durante cuatro aumenta en 1.000 hasta las 10.000, que tendrán lugar
en el periodo 5. La tasa de interés es el 4%. Los pagos se producen al inicio de los diferentes
periodos.
En la fila 69 establecemos la renta con una condicional que va sumando el término de
crecimiento de la renta en cada periodo, pero teniendo en cuenta que la renta empieza con
diferimiento.
Las dos primeras variantes de cálculo usan directamente las fórmulas presentadas
anteriormente. El cálculo del factor de anualidad se hace con la función VA, como ya hemos visto
en ocasiones anteriores.
Las variantes 3, 4, 5 y 6, son las mismas que hemos visto para las rentas anteriores.
2.6.5. Valor Actual de una Renta Aritmética Infinita pospagable
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
constante de cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un
número infinito de periodos al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
51
la determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = 19 × =6M + ℎ9 >
En nuestro caso es una renta de 8.000 a final del primer periodo con un incremento de
1.000 en cada periodo ilimitadamente en el tiempo y la tasa de interés es el 12%. En C86
aplicamos directamente la fórmula indicada anteriormente.
2.6.6 Valor Actual de una Renta Aritmética Infinita prepagable
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
constante de cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un
número infinito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para
la determinación de su Valor Actual puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = 19 × =6M + ℎ9 > × (1 + 9)
En nuestro caso es una renta de 8.000 a inicio del primer periodo con un incremento de
1.000 en cada periodo ilimitadamente en el tiempo y la tasa de interés es el 12%. En C94
aplicamos directamente la fórmula indicada anteriormente.
2.6.7 Valor Actual de una Renta Aritmética Infinita pospagable, diferida
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
constante de cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un
número infinito de periodos al final de cada uno de dichos periodos, pero con un diferimiento de
d periodos en su inicio. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede
establecerse con la expresión que mostramos a continuación:
-./01 2345./ = 19 × =6M + ℎ9 > × (1 + 9)LN
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
52
En nuestro caso es una renta de 8.000 a final del primer periodo (pero comenzando con
un diferimiento de un periodo) con un incremento de 1.000 en cada periodo ilimitadamente en el
tiempo y la tasa de interés es el 12%. En C103 aplicamos directamente la fórmula indicada
anteriormente.
2.6.7 Valor Actual de una Renta Artimética Infinita prepagable, diferida
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
constante de cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un
número infinito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos, pero con un diferimiento de
d periodos en su inicio. La fórmula matemática para la determinación de su Valor Actual puede
establecerse con la expresión que mostramos a continuación:
-./01 2345./ = 19 × =6M + ℎ9 > × (1 + 9) × (1 + 9)LN
En nuestro caso es una renta de 8.000 a inicio del primer periodo (pero comenzando con
un diferimiento de dos periodos) con un incremento de 1.000 en cada periodo ilimitadamente en
el tiempo y la tasa de interés es el 12%. En C112 aplicamos directamente la fórmula indicada
anteriormente.
Observe que el resultado es el mismo que en el apartado anterior. En este caso tenemos
dos periodos de diferimiento en vez de uno, pero como es prepagable, ambas rentas son iguales.
2.7. Valor Final de Rentas Variables Aritméticas
Nos ocupamos a continuación de la determinación del Valor Final de rentas variables
con progresión aritmética. Las rentas de duración ilimitada no tienen, por definición, un valor final.
Por otro lado, el valor final de una renta es independiente de si la renta comienza en el
primer periodo o si tiene diferimiento. En todo caso, dicho valor final, que será el mismo, se
situará al final de dicha renta. De esta forma sólo hemos de establecer los valores finales de
rentas variables en progresión aritmética finitas, en su modalidad pospagable y prepagable.
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
53
2.7.1. Valor Final de una Renta Aritmética Finita pospagable
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
de una cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número
finito de periodos al final de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la
determinación de su Valor Final puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = V@:¬B × =6M + ℎ9 > − G × ℎ × (1 + 9)L:9 W × (1 + 9):= T@:¬B × =6M + ℎ9 + G × 9> − G × ℎ9 U × (1 + 9):
Simplemente se multiplica por (1 + 9): el Valor Actual de dicha renta.
Vamos a ver cuatro variantes de cálculo para nuestra renta con un primer término de
8.000, cinco periodos de duración, una tasa de interés del 10% y un crecimiento de 1.000:
Las dos primeras variantes simplemente aplican las fórmulas indicadas con anterioridad.
La tercera variante usa la función VNA para calcular el Valor Actual y posteriormente
lleva dicho valor hasta el momento n (5 en el ejemplo) multiplicando por (1 + 9):.
La cuarta variante recurre a una fórmula array para calcular el VA cuyo resultado se
multiplica por (1 + 9): para determinar el Valor Final.
2.7.2. Valor Final de una Renta Aritmética Finita prepagable
Se trata de una renta de cuantía α1 en el primer periodo y con un crecimiento acumulativo
de una cuantía h en cada uno de los siguientes periodos y que se encuentra durante un número
finito de periodos al inicio de cada uno de dichos periodos. La fórmula matemática para la
determinación de su Valor Final puede establecerse con la expresión que mostramos a
continuación:
-./01 2345./ = V@:¬B × =6M + ℎ9 > − G × ℎ × (1 + 9)L:9 W × (1 + 9): × (1 + 9)= T@:¬B × =6M + ℎ9 + G × 9> − G × ℎ9 U × (1 + 9): × (1 + 9)
Simplemente se multiplica por (1 + 9): el Valor Actual de dicha renta, o por (1 + i) el Valor
Final de la Renta pospagable.
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
54
Vamos a ver cuatro variantes de cálculo para nuestra renta con un primer término de
7.000, cuatro periodos de duración, una tasa de interés del 12% y un crecimiento de 1.000:
Las dos primeras variantes simplemente aplican las fórmulas indicadas con anterioridad.
La tercera variante usa la función VNA para calcular el Valor Actual y posteriormente
lleva dicho valor hasta el momento n (4 en el ejemplo) multiplicando por (1 + 9): y se incorpora
la prepagabilidad multiplicando por (1+i).
La cuarta variante recurre a una fórmula array para calcular el VA en la que se ha restado
un 1 al rango de los exponentes para tener en cuenta que es prepagable, y cuyo resultado se
multiplica por (1 + 9): para determinar el Valor Final
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
55
3. Préstamos
En este bloque nos vamos a ocupar de establecer modelos de préstamos. Dedicaremos
apartados a los préstamos con sistema italiano de amortización, sistema francés y sistema
americano. En cada caso comenzaremos con un caso muy sencillo, en el que el vencimiento
estará prefijado. Posteriormente iremos dotando de flexibilidad al modelo. En un primer momento
facilitaremos que el vencimiento pueda ser establecido por el usuario dentro de un marco general.
A continuación, añadiremos la posibilidad de que el tipo de interés sea variable. También
incorporaremos un modelo con carencia en la amortización y otro con carencia en amortización
e intereses. En cada tipo de préstamo concluiremos con un modelo que permita vencimiento
flexible, carencia de amortización e intereses y tipo de interés variable.
Por último, añadiremos tres modelos generales con una gran flexibilidad en todos sus
elementos.
Muchas de las modalidades que planteamos tiene poco o ningún uso en la práctica de
la banca en estos momentos, pero creemos que es oportuno conocerlas.
3.1. Préstamo Italiano
Denominamos préstamo italiano a aquel en el cual la cuota de amortización es constante
a lo largo del horizonte temporal, siendo la cuota total a pagar decreciente, pues los intereses
también lo son. Puede denominarse préstamo de amortización constante. Es un préstamo muy
sencillo de establecer. Veámoslo.
3.1.1. Préstamo italiano, vencimiento prefijado
En este primer ejemplo vamos a preparar el cuadro de amortización de un préstamo
italiano con un vencimiento de 5 periodos, input que estará prefijado. La cuantía de nuestro
ejemplo serán 10.000 y la tasa de interés periódica el 10%. Como ya ha sido mencionado en
otros apartados, la tasa de interés tiene que ser coherente con el periodo utilizado, anual,
mensual, etc.
Existen diferentes estructuras para establecer el cuadro de amortización de un préstamo,
pero en general se corresponden con la que hemos planteado en la figura. En este caso hemos
establecido una estructura vertical, en la que cada fila del cuadro de amortización se corresponde
con un periodo, y en la que cada columna se refiere a un concepto. Comenzamos vinculando en
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
56
C8 el capital inicial del préstamo, desde C3. Los intereses a pagar en ese primer periodo serán
la tasa de interés multiplicada por ese capital inicial. Bloqueamos la tasa de interés y esta fórmula
ya puede ser copiada hacia abajo. La amortización es el resultado de dividir la cuantía inicial
entre el número de periodos. Bloqueamos ambas celdas en la fórmula y podemos copiar hacia
abajo. La cuota es la suma de intereses y amortización, que copiamos hacia bajo sin bloquear
ningún elemento. El capital al final del periodo es el capital al inicio del periodo menos la
amortización del periodo. También copiamos sin ningún tipo de bloqueo hacia abajo. Para
concluir, el capital al inicio del periodo dos debe vincularse con el de final del periodo uno.
Copiamos sin bloqueos hacia abajo y el préstamo está concluido. Podemos observar cómo el
capital al final de periodo 5 es cero. También vemos cómo la amortización es constante y tanto
los intereses como la cuota son decrecientes. El siguiente gráfico resume la operación.
3.1.2. Préstamo italiano, vencimiento flexible
En el presente modelo vamos a generalizar el anterior flexibilizando el número de
periodos del préstamo que podrá establecerse en cualquier número entre 1 y 10. En el ejemplo
pondremos 8. El cuadro de amortización estará preparado para un máximo de 10 periodos. Con
formato condicional se “ocultarán” (color de fuente gris) las filas de los periodos que no se utilicen,
en nuestro caso las dos últimas. La formulación es la misma que en el ejemplo anterior, copiada
hasta el periodo diez, salvo en el caso de la amortización, que será donde situemos una
condicional para ajustarse a la flexibilidad del préstamo.
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
1 2 3 4 5
Euro
s
Periodo
Préstamo italiano, vencimiento prefijado
Amortización Intereses
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
57
En E5 mostramos la fórmula introducida en la celda E8 y copiada hacia abajo. Con dicha
fórmula comprobamos si el periodo es inferior al periodo de vencimiento del préstamo, y de ser
así aplica la cuota de amortización, en caso contrario pone un cero.
No es preciso retocar el resto de fórmulas pues cuando el capital final sea cero, al acabar
el periodo 8 en nuestro ejemplo, los intereses serán cero, la amortización también lo será al
actuar la condicional, y la cuota también. Todos los elementos del préstamo quedarán a cero a
partir de ese momento. Veamos el gráfico
3.1.3. Préstamo italiano, vencimiento flexible, interés variable
En los ejemplos anteriores el préstamo generaba intereses a la misma tasa a lo largo de
los diferentes periodos. En el presente modelo vamos a incorporar al caso anterior el hecho de
que las tasas de interés aplicables puedan ser diferentes en cada periodo. En el ejemplo
pondremos una determinada tasa los cuatro primeros periodos, luego otra los tres siguientes y
otra los tres últimos. Si se desea se puede poner una tasa diferente cada periodo, o la misma en
todos los periodos.
Respecto al modelo anterior, hemos situado las diferentes tasas de interés en la columna
H. El único cambio en la formulación es en la columna de intereses. En la celda D8 establecemos
los intereses cómo el capital inicial de ese primer periodo multiplicado por la tasa de interés de
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodo
Préstamo italiano, vencimiento flexible
Amortización Intereses
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
58
ese primer periodo. Copiamos la fórmula hacia abajo sin bloquear ningún elemento. No es
preciso realizar ningún otro cambio en el resto del cuadro de amortización. En cuanto al gráfico:
3.1.4. Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización
Volvamos al caso de que la tasa de interés sea fija. En el presente modelo vamos a
incorporar la posibilidad de que la operación de préstamo tenga carencia en la amortización
durante un máximo de dos periodos. Dado que vamos a considerar que dicha carencia se suma
a la duración del préstamo y queremos seguir contando con diez periodos como máximo para la
amortización, necesitamos establecer un total de doce periodos, doce filas, en nuestro modelo.
En nuestro ejemplo la operación es a 9 años, con dos de carencia, es decir, un total de
11 años, en los cuales en los dos primeros se pagan intereses, pero no se amortiza nada. En la
fila 7 de la figura mostramos la fórmula aplicada a la primera cuota de amortización, y que será
copiada hacia abajo, que es la única fórmula que requiere modificaciones respecto al ejemplo
sin carencia.
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodo
Préstamo italiano, vencimiento flexible, interés variable
Amortización Intereses
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
59
La condicional comprueba si el periodo es menor o igual a la carencia. De ser así la
amortización será cero. La segunda función SI comprueba si el periodo menos la carencia es
inferior o igual a los periodos del préstamo (en nuestro caso entre los periodos 3 y 11, ambos
incluidos), y de ser así aplica la cuota de amortización, en caso contrario la amortización será
cero. En cuanto al gráfico:
3.1.5. Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses
Incorporemos ahora a nuestro modelo previo el hecho de que durante los periodos de
carencia además de no amortizar principal tampoco se paguen intereses. Es decir, carencia total.
Siendo así el principal de la deuda aumentará en dichos periodos.
En nuestro ejemplo la operación es a 8 años, con dos de carencia, es decir, un total de
10 años, en los cuales en los dos primeros ni se pagan intereses ni se amortiza y el capital final
aumenta con los intereses devengados y no pagados.
En las filas 5, 6 y 7 de la figura mostramos las nuevas fórmulas aplicadas a la columna
de intereses, amortización y capital final. Dichas fórmulas deben ser copiadas hacia abajo desde
el primer periodo.
En el cómputo de intereses se incluye una condicional que indica que serán cero cuando
el periodo sea inferior o igual al periodo de carencia.
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
60
La amortización incorpora al modelo previo un cambio en el establecimiento de la cuota.
Dicha cuota debe amortizar no el capital inicial sino el capital incrementado con los intereses
generados en los periodos de carencia. Para ello multiplicamos el capital inicial por 1 más la tasa
de interés y elevado a la duración de la carencia.
Por último, en el capital final se incluye una condicional que implica que, si el periodo es
menor o igual a la carencia el capital inicial se incrementará con los intereses, multiplicando para
ello el capital inicial por 1 más la tasa de interés.
En cuanto al gráfico:
3.1.6. Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización e
intereses, interés variable
Incorporemos ahora a nuestro modelo previo, que incorpora carencia tanto de
amortización como de intereses, el hecho de que la tasa de interés sea variable. En nuestro
ejemplo el préstamo tiene dos periodos de carencia total, a partir de los cuales se amortiza en 7
periodos.
En las filas 4, 5 y 6 de la figura mostramos las nuevas fórmulas aplicadas a la columna
de intereses, amortización y capital final. Dichas fórmulas deben ser copiadas hacia abajo desde
el primer periodo.
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Euro
s
Periodo
Préstamo italiano, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses
Amortización Intereses
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
61
En el cómputo de intereses se incluye una condicional que indica que serán cero cuando
el periodo sea inferior o igual al periodo de carencia. En caso de haber superado el periodo de
carencia los interese se calculan como el capital inicial del periodo por la tasa de interés de dicho
periodo.
La amortización del modelo previo no sirve pues al tener tasa de interés diferente cada
año el capital a amortizar no se puede calcular como antes aplicando 1 más la tasa de interés y
elevando a la carencia. En este caso, en los periodos de amortización lo que haremos será dividir
el capital al inicio del periodo entre el número de periodos de amortización que quedan en ese
momento. Para determinar dicho número sumamos 1 al número de periodos de la operación más
el número de periodos de carencia y le restamos el número del periodo en el que nos
encontremos. Copiamos hacia abajo con los bloqueos adecuados.
Por último, en el capital final se incluye una condicional que implica que, si el periodo es
menor o igual a la carencia el capital inicial se incrementará con los intereses, multiplicando para
ello el capital inicial por 1 más la tasa de interés del periodo en cuestión.
En cuanto al gráfico:
3.2. Préstamo Francés
Denominamos préstamo francés a aquel en el cual la cuota es constante a lo largo del
horizonte temporal, siendo la cuota de amortización creciente y los intereses decrecientes. Puede
denominarse préstamo de cuota constante. Es el tipo de préstamo más habitual. El prestatario
paga la misma cuantía a lo largo del horizonte temporal (salvo que el tipo de interés sea variable).
Al principio una gran parte del pago son intereses y se dedica muy poco a amortización. A medida
que el préstamo avanza los intereses disminuyen y la amortización aumenta. Hagamos un
recorrido similar al que hemos realizado para el préstamo italiano, aumentando poco a poco el
grado de dificultad.
3.2.1. Préstamo francés, vencimiento prefijado
En este primer ejemplo vamos a preparar el cuadro de amortización de un préstamo
francés con un vencimiento de 5 periodos, input que estará prefijado. La cuantía de nuestro
ejemplo serán 10.000 y la tasa de interés periódicas el 10%. Como ya ha sido mencionado en
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Euro
s
Periodo
Préstamo italiano vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses, interés variable
Amortización Intereses
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
62
otros apartados, la tasa de interés tiene que ser coherente con el periodo utilizado, anual,
mensual, etc.
Manteniendo la estructura del cuadro de amortización vamos a realizarlo mediante tres
variantes que usan en mayor o menor medida funciones preestablecidas de Excel.
La primera variante usa las funciones PAGO, PAGOINT y PAGOPRIN, respectivamente,
para la determinación de la cuota total de los intereses y de la amortización.
Comenzamos vinculando en C9 el capital inicial del préstamo, desde C3.
Los intereses los calculamos con la función PAGOINT, que requiere como argumentos
la tasa de interés, el periodo en el que nos encontramos, el número de periodos del préstamo y
la cuantía del mismo (que ponemos con signo menos). Bloqueamos todos los elementos menos
el periodo en el que nos encontramos, y copiamos hacia abajo.
La amortización los calculamos con la función PAGOPRIN, que requiere como
argumentos la tasa de interés, el periodo en el que nos encontramos, el número de periodos del
préstamo y la cuantía del mismo (que ponemos con signo menos). Bloqueamos todos los
elementos menos el periodo en el que nos encontramos, y copiamos hacia abajo.
Calculamos la cuota total con la función PAGO, que requiere como argumentos la tasa
de interés, el número de periodos del préstamo y la cuantía del mismo (que ponemos con signo
menos). Bloqueamos todos los elementos y copiamos hacia abajo.
El capital al final del periodo es el capital al inicio del periodo menos la amortización del
periodo. También copiamos sin ningún tipo de bloqueo hacia abajo. Para concluir, el capital al
inicio del periodo dos debe vincularse con el de final del periodo uno. Copiamos sin bloqueos
hacia abajo y el préstamo está concluido. Podemos observar cómo el capital al final de periodo
5 es cero. También vemos cómo la cuota es constante, los intereses son decrecientes y la
amortización creciente. El siguiente gráfico resume la operación.
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
63
El cuadro puede hacerse más sencillo si tenemos en cuenta que la cuota puede
calcularse simplemente sumando interese y amortización y que los intereses son la tasa de
interés aplicada al capital a inicio de periodo. Ello implica que la única función específica
necesaria es la de la amortización, PAGOPRIN. Veamos esta variante:
Mantenemos PAGOPRIN en el cálculo de la amortización y ponemos intereses y cuota
tal como ya hicimos en el italiano. Lo único que diferencia un préstamo italiano básico de un
francés básico es la forma de calcular la amortización. Esta será la variante que usaremos
nosotros en el resto de modelos.
Otra opción es hacer el cuadro de amortización apoyándonos sólo en la función PAGO.
Es decir, en vez de calcular la cuota sumando la amortización más los intereses, calculamos la
amortización restando de la cuota los intereses:
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
1 2 3 4 5
Euro
s
Periodo
Préstamo francés vencimiento prefijado
Amortización Intereses
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
64
3.2.2. Préstamo francés, vencimiento flexible
En el presente modelo vamos a generalizar el anterior flexibilizando el número de
periodos del préstamo que podrá establecerse en cualquier número entre 1 y 10. En el ejemplo
pondremos 9. El cuadro de amortización estará preparado para un máximo de 10 periodos. Con
formato condicional se “ocultarán” (color de fuente gris) las filas de los periodos que no se utilicen,
en nuestro caso la última. La formulación es la misma que en el ejemplo anterior, segunda
variante, copiada hasta el periodo diez, salvo en el caso de la amortización, que será donde
situemos una condicional para ajustarse a la flexibilidad del préstamo.
En D5 mostramos la fórmula introducida en la celda E8 y copiada hacia abajo. Dicha
fórmula comprueba si el periodo es inferior al periodo de vencimiento del préstamo, y de ser así
aplica la cuota de amortización, usando PAGOPRIN, en caso contrario pone un cero.
No es preciso retocar el resto de fórmulas pues cuando el capital final sea cero, al acabar
el periodo 9 en nuestro ejemplo, los intereses serán cero, la amortización también lo será al
actuar la condicional, y la cuota también. Todos los elementos del préstamo quedarán a cero a
partir de ese momento. Veamos el gráfico
0
500
1.000
1.500
2.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodo
Préstamo francés vencimiento flexible
Amortización Intereses
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
65
3.2.3. Préstamo francés, vencimiento flexible, interés variable
En los ejemplos anteriores el préstamo generaba intereses a la misma tasa a lo largo de
los diferentes periodos. En el presente modelo vamos a incorporar al caso anterior el hecho de
que las tasas de interés aplicables puedan ser diferentes en cada periodo. En el ejemplo
pondremos una determinada tasa los cuatro primeros periodos, luego otra los tres siguientes y
otra los tres últimos. Si se desea se puede poner una tasa diferente cada periodo, o la misma en
todos los periodos.
Respecto al modelo anterior, hemos situado las diferentes tasas de interés en la columna
H. Hay que realizar dos cambios en la formulación de la columna de intereses y en la columna
de la amortización. En la celda D8 establecemos los intereses cómo el capital inicial de ese
primer periodo multiplicado por la tasa de interés de ese primer periodo. Copiamos la fórmula
hacia abajo sin bloquear ningún elemento.
En cuanto a la amortización, el cambio es más complejo. El tipo de interés cambia, y la
cuota total, y también la amortización, debe ajustarse a la nueva situación. No basta con indicar
el nuevo tipo de interés. Es preciso reiniciar o resetear el préstamo, es decir, en cada periodo
supondremos que es la primera amortización de un nuevo préstamo de cuantía el capital inicial
de ese periodo, tasa de interés la del periodo y duración los periodos restantes o vivos. Por ello
en PAGOPRIN ponemos la tasa de interés del periodo, ponemos periodo 1, ponemos número
de periodos el total más 1 y menos el periodo en el que nos encontremos, y cuantía el capital al
inicio del periodo. Ponemos PAGOPRIN con signo menos, también podríamos ponerlo en
positivo y poner la cuantía del préstamo en negativo. Una vez realizados los bloqueos oportunos
copiamos hacia abajo. No es preciso realizar ningún otro cambio en el resto del cuadro de
amortización.
Observemos como la cuota es la misma en aquellos periodos en los que la tasa de interés
no cambia. Cuando el tipo de interés cambia la cuota debe ajustarse para poder así garantizar
que al acabar la vida del préstamo éste haya sido totalmente amortizado, cosa que podemos
comprobar que ocurre en nuestro ejemplo.
En cuanto al gráfico:
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
66
3.2.4. Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización
Volvamos al caso de que la tasa de interés sea fija. En el presente modelo vamos a
incorporar la posibilidad de que la operación de préstamo tenga carencia en la amortización
durante un máximo de dos periodos. Dado que vamos a considerar que dicha carencia se suma
a la duración del préstamo y queremos seguir contando con diez periodos como máximo para la
amortización, necesitamos establecer un total de doce periodos, doce filas, en nuestro modelo.
En nuestro ejemplo la operación es a 8 años, con uno de carencia, es decir, un total de
9 años, en los cuales en el primero se pagan intereses, pero no se amortiza nada. En la fila 7 de
la figura mostramos la fórmula aplicada a la primera cuota de amortización, y que será copiada
hacia abajo, que es la única fórmula que requiere modificaciones respecto al ejemplo sin
carencia.
La condicional comprueba si el periodo es menor o igual a la carencia. De ser así la
amortización será cero. La segunda función SI comprueba si el periodo menos la carencia es
inferior o igual a los periodos del préstamo (en nuestro caso entre los periodos 2 y 9, ambos
incluidos), y de ser así aplica la cuota de amortización, en caso contrario la amortización será
0
500
1.000
1.500
2.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodo
Préstamo francés vencimiento flexible, interés variable
Amortización Intereses
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
67
cero. En la función PAGOPRIN el periodo de amortización será el periodo en el que nos
encontremos menos los periodos de carencia. En cuanto al gráfico:
3.2.5. Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización e
intereses
Incorporemos ahora a nuestro modelo previo el hecho de que durante los periodos de
carencia además de no amortizar principal tampoco se paguen intereses. Es decir, carencia total.
Siendo así el principal de la deuda aumentará en dichos periodos.
En nuestro ejemplo la operación es a 8 años, con dos de carencia, es decir, un total de
10 años, en los cuales en los dos primeros ni se pagan intereses ni se amortiza y el capital final
aumenta con los intereses devengados y no pagados.
En las filas 5, 6 y 7 de la figura mostramos las nuevas fórmulas aplicadas a la columna
de intereses capital final y amortización, respectivamente. Dichas fórmulas deben ser copiadas
hacia abajo desde el primer periodo.
En el cómputo de intereses se incluye una condicional que indica que serán cero cuando
el periodo sea inferior o igual al periodo de carencia.
-500
0
500
1.000
1.500
2.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Euro
s
Periodo
Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización
Amortización Intereses
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
68
En el capital final se incluye una condicional que implica que, si el periodo es menor o
igual a la carencia el capital inicial se incrementará con los intereses, multiplicando para ello el
capital inicial por 1 más la tasa de interés.
Por último, la amortización incorpora al modelo previo cambios en el establecimiento de
la cuota con PAGOPRIN. Dicha cuota debe amortizar no el capital inicial sino el capital
incrementado con los intereses generados en los periodos de carencia. Para ello multiplicamos
el capital inicial por 1 más la tasa de interés y elevado a la duración de la carencia. Además, el
periodo de amortización, como en el caso previo, será el periodo en el que nos encontremos
menos el periodo de carencia.
En cuanto al gráfico:
3.2.6. Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización e
intereses, interés variable
Incorporemos ahora a nuestro modelo previo, que incorpora carencia tanto de
amortización como de intereses, el hecho de que la tasa de interés sea variable. En nuestro
ejemplo el préstamo tiene dos periodos de carencia total, a partir de los cuales se amortiza en 8
periodos.
En las filas 4, 5 y 6 de la figura mostramos las nuevas fórmulas aplicadas a la columna
de intereses, capital final y amortización, respectivamente. Dichas fórmulas deben ser copiadas
hacia abajo desde el primer periodo.
-500
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Euro
s
Periodo
Préstamo francés vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses
Amortización Intereses
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
69
En el cómputo de intereses se incluye una condicional que indica que serán cero cuando
el periodo sea inferior o igual al periodo de carencia. En caso de haber superado el periodo de
carencia los interese se calculan como el capital inicial del periodo por la tasa de interés de dicho
periodo.
En cuanto a la amortización, con dos condicionales establecemos cuando procede
amortizar. La amortización en los periodos que procede amortizar la haremos como en el modelo
con tipos de interés variable y sin carencia, es decir, necesitamos reiniciar PAGOPRIN en cada
periodo (es decir considerar cada periodo como el periodo 1 de la operación). La cuantía a
amortizar será el capital vivo a inicio de cada periodo y los periodos de amortización en cada
caso serán la suma del periodo inicial de amortización más el periodo de carencia más 1 y menos
el periodo en el que nos encontremos. Una vez que bloqueamos adecuadamente los diferentes
elementos de la fórmula, la copiamos hacia abajo.
Por último, en el capital final se incluye una condicional que implica que, si el periodo es
menor o igual a la carencia el capital inicial se incrementará con los intereses, multiplicando para
ello el capital inicial por 1 más la tasa de interés del periodo en cuestión.
En el cuadro de amortización puede comprobar como la cuota es la misma en los
periodos en los que se mantiene el mismo tipo de interés.
En cuanto al gráfico:
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Euro
s
Periodo
Préstamo francés, vencimiento flexible, carencia de amortización e intereses, interés variable
Amortización Intereses
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70
3.3. Préstamo Americano
Denominamos préstamo americano a aquel en el cual durante su horizonte temporal sólo
paga interés, amortizando todo el principal al final, es como si tuviera carencia en la amortización
en n-1 periodos. Es un préstamo muy sencillo de establecer. Veámoslo.
3.3.1. Préstamo americano, vencimiento prefijado
En este primer ejemplo vamos a preparar el cuadro de amortización de un préstamo
italiano con un vencimiento de 5 periodos, input que estará prefijado. La cuantía de nuestro
ejemplo serán 10.000 y la tasa de interés periódicas el 10%. Como ya ha sido mencionado en
otros apartados, la tasa de interés tiene que ser coherente con el periodo utilizado, anual,
mensual, etc.
Comenzamos vinculando en C8 el capital inicial del préstamo, desde C3. Los intereses
a pagar en ese primer periodo serán la tasa de interés multiplicada por ese capital inicial.
Bloqueamos la tasa de interés y esta fórmula ya puede ser copiada hacia abajo. La amortización
sólo se producirá en el último periodo, por importe igual al capital inicial. La cuota es la suma de
intereses y amortización, que copiamos hacia bajo sin bloquear ningún elemento. El capital al
final del periodo es el capital al inicio del periodo menos la amortización del periodo. También
copiamos sin ningún tipo de bloqueo hacia abajo. Para concluir, el capital al inicio del periodo
dos debe vincularse con el de final del periodo uno. Copiamos sin bloqueos hacia abajo y el
préstamo está concluido. El siguiente gráfico resume la operación.
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
1 2 3 4 5
Euro
s
Periodo
Préstamo americano, vencimiento prefijado
Amortización Intereses
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71
3.3.2. Préstamo americano, vencimiento flexible
En el presente modelo vamos a generalizar el anterior flexibilizando el número de
periodos del préstamo que podrá establecerse en cualquier número entre 1 y 10. En el ejemplo
pondremos 8. El cuadro de amortización estará preparado para un máximo de 10 periodos. Con
formato condicional se “ocultarán” (color de fuente gris) las filas de los periodos que no se utilicen,
en nuestro caso las dos últimas. La formulación es la misma que en el ejemplo anterior, copiada
hasta el periodo diez, salvo en el caso de la amortización, que será donde situemos una
condicional para ajustarse a la flexibilidad del préstamo.
En E5 mostramos la fórmula introducida en la celda E8 y copiada hacia abajo. Con dicha
fórmula comprobamos si el periodo es igual al periodo de vencimiento del préstamo, y de ser así
amortizamos la cuantía original de la operación, en caso contrario se pone un cero.
No es preciso retocar el resto de fórmulas pues cuando el capital final sea cero, al acabar
el periodo 8 en nuestro ejemplo, los intereses serán cero, la amortización también lo será al
actuar la condicional, y la cuota también. Todos los elementos del préstamo quedarán a cero a
partir de ese momento. Veamos el gráfico
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodo
Préstamo americano, vencimiento flexible
Amortización Intereses
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72
3.3.3. Préstamo americano, vencimiento flexible, interés variable
En los ejemplos anteriores el préstamo generaba intereses a la misma tasa a lo largo de
los diferentes periodos. En el presente modelo vamos a incorporar al caso anterior el hecho de
que las tasas de interés aplicables puedan ser diferentes en cada periodo. En el ejemplo
pondremos una determinada tasa los cuatro primeros periodos, luego otra los tres siguientes y
otra los tres últimos. Si se desea se puede poner una tasa diferente cada periodo, o la misma en
todos los periodos.
Respecto al modelo anterior, hemos situado las diferentes tasas de interés en la columna
H. El único cambio en la formulación es en la columna de intereses. En la celda D8 establecemos
los intereses cómo el capital inicial de ese primer periodo multiplicado por la tasa de interés de
ese primer periodo. Copiamos la fórmula hacia abajo sin bloquear ningún elemento. No es
preciso realizar ningún otro cambio en el resto del cuadro de amortización. En cuanto al gráfico:
3.3.4. Préstamo americano, vencimiento flexible, carencia de intereses
Volvamos al caso de que la tasa de interés sea fija. En el presente modelo vamos a
incorporar la posibilidad de que la operación de préstamo tenga carencia en los intereses durante
un máximo de dos periodos. De esta forma el capital vivo al final de los periodos de carencia
tendrá que irse incrementado con los intereses generados y no pagados. En el momento del
vencimiento se amortizará el capital acumulado. Dado que vamos a considerar que dicha
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euro
s
Periodo
Préstamo americano, vencimiento flexible, interés variable
Amortización Intereses
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73
carencia se suma a la duración del préstamo y queremos seguir contando con diez periodos
como máximo para la operación, una vez superada la carencia, necesitamos establecer un total
de doce periodos, doce filas, en nuestro modelo.
En nuestro ejemplo la operación es a 9 años, con uno de carencia, es decir, un total de
10 años, en los cuales en el primero no se pagan intereses. En las filas 5, 6 y 7 de la figura
mostramos las fórmulas aplicadas a la columna de intereses, amortización y capital vivo final.
En el cálculo de intereses, la condicional comprueba si el periodo es menor o igual a la
carencia. De ser así, los intereses serán cero y si no se aplicará la tasa de interés al capital vivo
al inicio del periodo.
En el cálculo de la amortización con una condicional le indicamos que cuando el periodo
en el que estamos menos la carencia coincida con el periodo de amortización proceda a
amortizar el capital inicial incrementado con los intereses de carencia. También se podría haber
puesto que amortice el capital al inicio del periodo en el que se produzca la amortización.
En el capital final una condicional le indica que mientras que el periodo sea igual o inferior
a la carencia el capital final será igual al capital inicial más los intereses de dicho periodo. En
cuanto al gráfico:
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Euro
s
Periodo
Préstamo americano, vencimiento flexible, carencia de intereses
Amortización Intereses
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74
3.3.5. Préstamo americano, vencimiento flexible, carencia de intereses, interés
variable
Incorporemos ahora a nuestro modelo previo el hecho de que los tipos de interés sean
variables.
En nuestro ejemplo la operación es a 7 años, con dos de carencia, es decir, un total de
9 años, en los cuales en los dos primeros no se pagan intereses y el capital final aumenta con
los intereses devengados y no pagados.
En las filas 4, 5 y 6 de la figura mostramos las nuevas fórmulas aplicadas a la columna
de intereses, amortización y capital final. Dichas fórmulas deben ser copiadas hacia abajo desde
el primer periodo.
En el cómputo de intereses se incluye una condicional que indica que serán cero cuando
el periodo sea inferior o igual al periodo de carencia, y en caso contrario serán el producto de la
tasa de interés del periodo por el capital al inicio del periodo.
En la amortización una condicional indica que cuando el periodo menos la carencia sea
igual al vencimiento del préstamo, debe procederse a su amortización. La amortización será el
capital al inicio del periodo en el que se lleve a cabo.
Por último, en el capital final se incluye una condicional que implica que, si el periodo es
menor o igual a la carencia, el capital inicial se incrementará con los intereses, multiplicando para
ello el capital inicial por 1 más la tasa de interés del periodo.
En cuanto al gráfico:
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
16.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Euro
s
Periodo
Préstamo americano, vencimiento flexible, carencia de intereses, interés variable
Amortización Intereses
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75
3.4. Modelos de Préstamo
En este último bloque dedicado a los préstamos mostramos tres modelos genéricos con
una gran flexibilidad. El primero de ellos se refiere a un préstamo a interés fijo, el segundo permite
que el préstamo tenga tasa de interés variable, y el tercero vuelve a ser un préstamo a interés
fijo, pero en el cual el modelo ha sido realizado usando la técnica de “nombres” de Excel.
3.4.1. Préstamo francés o italiano, vencimiento flexible y carencia
Este primer modelo permite escoger el tipo de amortización (sistema francés o italiano),
el número de pagos al año (1, anual, 2, semestral, 3, cuatrimestral, 4, trimestral, 6, bimensual y
12, mensual), y la existencia de carencia, pudiendo elegir si dicha carencia es parcial (sólo
amortización) o total (amortización e intereses) o ninguna y el número de años de carencia.
Comencemos mostrando la zona de entrada de datos:
Debemos indicar la cuantía (en nuestro ejemplo 100.000), el tipo de interés anual (en el
ejemplo 7%), el número de años de la operación (3 en el ejemplo), el número de pagos anuales
(2, en el ejemplo, semestral), la fecha en la que se produce la operación (en enero del 19 en el
ejemplo), el sistema de amortización (francés en el ejemplo), la existencia o no de carencia y su
tipo (Total en el ejemplo) y los años de carencia (1 en el ejemplo).
En G2 se nos muestra un chequeo que comprueba que los años de carencia son
inferiores a la duración del préstamo al menos en 1. Este chequeo está reforzado con la
validación de la celda F9, que impide que se introduzca una carencia igual o superior a los años
del préstamo.
Las celdas inputs están validadas de forma que se informe al usuario del tipo de
información que se requiere. Donde ha sido posible la validación es tipo lista, para que aparezca
un desplegable con las opciones.
A continuación, tenemos una sección de cálculos intermedios:
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
76
Se trata de realizar una serie de cálculos de apoyo que facilitarán posteriormente la
formulación a lo largo del modelo dentro de las diversas condicionales que serán necesarias.
En primer lugar, la tasa periódica se calcula dividiendo el tipo de interés (que se supone
es nominal) entre el número de pagos anuales.
Los periodos totales de la operación son el número de años por el número de pagos
anuales.
Los periodos de carencia de intereses se producirán sólo cuando la carencia sea total, y
se calcularán en tal caso multiplicando los años de carencia por el número de pagos anuales.
Los periodos de carencia de amortización se producirán siempre que haya carencia, y
se calcularán en tal caso multiplicando los años de carencia por el número de pagos anuales.
Los periodos de amortización serán los periodos totales menos los periodos de carencia
en la amortización. A diferencia de lo visto en los apartados anteriores, en este caso
supondremos que cuando decimos que la operación es a seis años con dos de carencia estamos
indicando que de los seis años los primeros dos son de carencia. Recordar que en los modelos
anteriores seis años con dos de carencia implicaba un total de seis más dos, igual a ocho,
periodos totales. Es simplemente una cuestión de criterio de cómo nos referimos a la duración
del préstamo y a su carencia.
Por último, el capital total a devolver será el capital inicial si la carencia no es total, y el
capital inicial incrementado con los intereses de carencia si la carencia es total.
A partir de aquí montamos el cuadro de amortización del préstamo, que hemos hecho
en este caso en horizontal para un máximo de 120 periodos (10 años y 12 pagos anuales).
En C17 vinculamos la fecha de la operación. A partir de ahí, a la derecha le añadimos
con la función FIN.MES el número de meses del siguiente periodo, y copiamos hacia la derecha.
Observar como en nuestro ejemplo tenemos un periodo de préstamo cada seis meses pues el
préstamo es semestral.
En la fila 19 tendremos el capital pendiente, será el capital pendiente a final de cada
periodo, por eso empezamos una columna a la izquierda en esta variable respecto al resto de
variables del cuadro. En C19 vinculamos el capital inicial. En D19 establecemos la fórmula que
hemos de copiar para el resto de la fila del capital pendiente. Le indicamos con una condicional
que cuando el periodo (fila 18) sea mayor al número de periodos de carencia en los intereses,
calcule el capital pendiente como el previo menos la amortización del periodo, y en caso contrario
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
77
(en los periodos en los que la carencia de intereses sea efectiva) que multiplique el capital previo
por 1 más la tasa de interés periódica (del cuadro auxiliar).
En cuanto a la fila de la amortización, es la fórmula más compleja. En primer lugar, con
una condicional apoyada en una función O, le indicamos que cuando el periodo sea inferior a los
periodos de carencia en la amortización o superior al número de periodos totales, la amortización
será cero. De esta forma ya gestionamos los periodos previos y posteriores a la amortización.
Una vez que se ha superado esa condicional, significa que estamos en periodo de amortización.
En tal caso una condicional nos permite dilucidar si se aplica el sistema francés de amortización
(con PAGOPRIN) o el italiano. En el sistema francés, a PAGOPRIN le indicamos que la tasa de
interés es la periódica (del cuadro auxiliar), que el periodo es el actual menos los periodos de
carencia en la amortización (del cuadro auxiliar), que el número de periodos de amortización son
los determinados en el cuadro auxiliar, y que la cuantía es la cuantía total a devolver (también
del cuadro auxiliar). En caso de que el sistema de amortización sea el italiano simplemente
dividimos la cuantía total a devolver (del cuadro auxiliar) entre el número de periodos de
amortización (del cuadro auxiliar).
El cálculo de intereses simplemente con una condicional comprueba que el periodo sea
superior al periodo de carencia de intereses para determinar la cuantía de los mismos
multiplicando la tasa de interés periódica por el capital pendiente (de la columna previa).
La cuota es la simple suma de amortización e intereses.
Además, hemos calculado los intereses que se devengan en el periodo de carencia,
aunque no se paguen. Usamos una función MAX. Si el capital pendiente baja dicha función nos
reportará un cero, no se acumulan intereses de carencia, mientras que si el capital sube dicha
función nos dará la cuantía de los intereses acumulados.
Todas las fórmulas de la columna D, con los bloqueos tal como se muestran en la figura,
deben copiarse hacia la derecha a lo largo de las 120 columnas.
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
78
3.4.2. Préstamo francés o italiano, vencimiento flexible, carencia e interés variable
Este segundo modelo permite escoger el tipo de amortización (sistema francés o
italiano), el número de pagos al año (1, anual, 2, semestral, 3, cuatrimestral, 4, trimestral, 6,
bimensual y 12, mensual), y la existencia de carencia, pudiendo elegir si dicha carencia es parcial
(sólo amortización) o total (amortización e intereses) o ninguna y el número de años de carencia,
como en el caso anterior, pero además permite escoger si el préstamo tendrá tasa de interés fija
o variable.
Comencemos mostrando la zona de entrada de datos y cuadro auxiliar:
Debemos indicar la cuantía (en nuestro ejemplo 100.000), el tipo de interés anual, en
caso de ser fijo, (en el ejemplo 7%), el número de años de la operación (3 en el ejemplo), el
número de pagos anuales (4, en el ejemplo, trimestral), la fecha en la que se produce la operación
(en enero del 19 en el ejemplo, el 14 de enero concretamente), el sistema de amortización
(francés en el ejemplo), la existencia o no de carencia y su tipo (Total en el ejemplo) y los años
de carencia (1 en el ejemplo). Además, en la columna I situamos diez posibles tasas de interés,
para el caso de que la tasa sea variable. Esas tasas de interés se aplicarán durante un año, de
enero del 19 a enero del 20, etc. Si la operación se realiza en marzo, por ejemplo, el tipo de
interés de cada año se aplicaría de marzo a marzo. Dividiendo entre el número de periodos por
año tendremos la tasa periódica variable. En D10 debemos escoger si la tasa de interés a aplicar
es la fija o la variable.
En G2 se nos muestra un chequeo que comprueba que los años de carencia son
inferiores a la duración del préstamo al menos en 1. Este chequeo está reforzado con la
validación de la celda F9, que impide que se introduzca una carencia igual o superior a los años
del préstamo.
Las celdas inputs están validadas de forma que se informe al usuario del tipo de
información que se requiere. Donde ha sido posible la validación es tipo lista, para que aparezca
un desplegable con las opciones.
En la sección de cálculos intermedios se realizan los mismos cálculos que en el modelo
anterior. La tasa de interés periódica es la que tendrá el préstamo si el tipo de interés elegido es
el fijo.
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
79
Llamamos la atención sobre la determinación del capital total a devolver, que en caso de
carencia total debe acumular unos intereses a tipo variable, y que resolvemos con una función
de búsqueda (DESERFE) sobre la fila dedicada al capital pendiente.
A partir de aquí montamos el cuadro de amortización del préstamo, que hemos hecho
en este caso en horizontal para un máximo de 120 periodos (10 años y 12 pagos anuales).
En C18 vinculamos la fecha de la operación. A partir de ahí, a la derecha le añadimos
con la función FECHA.MES el número de meses del siguiente periodo, y copiamos hacia la
derecha. Observar como en nuestro ejemplo tenemos un periodo de préstamo cada tres meses
pues el préstamo es trimestral.
En la fila 20, con una condicional seleccionamos el tipo de interés fijo o variable a utilizar
en cada periodo. Si el seleccionado es el variable debemos usar la función BUSCARV en el
cuadro de tipos de interés variables para determinar el que se aplica en cada caso. Observar
como en nuestro ejemplo el tipo de interés cambia cada cuatro periodos (recordar que el
préstamo es trimestral).
En la fila 21 tendremos el capital pendiente, será el capital pendiente a final de cada
periodo, por eso empezamos una columna a la izquierda en esta variable respecto al resto de
variables del cuadro. En C21 vinculamos el capital inicial. En D21 establecemos la fórmula que
hemos de copiar para el resto de la fila del capital pendiente. Le indicamos con una condicional
que cuando el periodo (fila 19) sea mayor al número de periodos de carencia en los intereses,
calcule el capital pendiente como el previo menos la amortización del periodo, y en caso contrario
(en los periodos en los que la carencia de intereses sea efectiva) que multiplique el capital previo
por 1 más la tasa de interés del periodo, de la fila 20.
En cuanto a la fila de la amortización, es la fórmula más compleja. En primer lugar, con
una condicional apoyada en una función O, le indicamos que cuando el periodo sea inferior a los
periodos de carencia en la amortización o superior al número de periodos totales, la amortización
será cero. De esta forma ya gestionamos los periodos previos y posteriores a la amortización.
Una vez que se ha superado esa condicional, significa que estamos en periodo de amortización.
En tal caso una condicional nos permite dilucidad si se aplica el sistema francés de amortización
(con PAGOPRIN) o el italiano. En el sistema francés, al tener el tipo variable debe reiniciarse o
resetearse la operación en cada periodo. A PAGOPRIN le indicamos que la tasa de interés es la
periódica (de la fila 20), que el periodo es el primero, que el número de periodos de amortización
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
80
son los periodos totales del préstamo, del cuadro auxiliar, más 1 y menos el periodo en el que
nos encontremos, y que la cuantía es la cuantía pendiente del periodo previo.
El cálculo de intereses simplemente con una condicional comprueba que el periodo sea
superior al periodo de carencia de intereses para determinar la cuantía de los mismos
multiplicando la tasa de interés correspondiente al periodo en curso por el capital pendiente (de
la columna previa).
La cuota es la simple suma de amortización e intereses.
Además, hemos calculado los intereses que se devengan en el periodo de carencia,
aunque no se paguen. Usamos una función MAX. Si el capital pendiente baja dicha función nos
reportará un cero, no se acumulan intereses de carencia, mientras que si el capital sube dicha
función nos dará la cuantía de los intereses acumulados.
Todas las fórmulas de la columna D, con los bloqueos tal como se muestran en la figura,
deben copiarse hacia la derecha a lo largo de las 120 columnas.
3.4.3. Préstamo francés o italiano, vencimiento flexible y carencia, formulación
con nombres
En este último modelo del bloque de préstamos hemos reelaborado el modelo del
apartado 3.4.1 pero usando la técnica de nombres. Dicha técnica consiste, básicamente, en
definir nombres para sustituir las referencias a celdas o rangos. De esta forma, en las fórmulas
y funciones, en vez de aparecer las referencias a las celdas aparecen sus nombres. Aunque
puede ser una modelización menos transparente, y que exige un mayor dominio del programa
de hoja de cálculo, la ventaja es que es más fácil de seguir la formulación en tanto que el lenguaje
es más “textual”.
Mostramos a continuación los nombres que hemos definido en nuestro modelo:
Como vemos, en algunos casos se refieren a celdas concretas y en otros casos a rangos
de celdas. En algunos casos, también se han definido nombres con bloqueo parcial (como
CapPrevio) para facilitar su uso en el modelo.
Comencemos mostrando la zona de inputs y cálculos intermedios:
Nombres usados
Amortizacion ='P I & P F 3'!$D$20:$DS$20
Años ='P I & P F 3'!$D$8
AñosCarenc ='P I & P F 3'!$F$9
CapPendiente ='P I & P F 3'!$C$19:$DS$19
CapPrevio ='P I & P F 3'!B$19
Carencia ='P I & P F 3'!$F$8
Cuantia ='P I & P F 3'!$D$6
CuantiaTotal ='P I & P F 3'!$D$13
Intereses ='P I & P F 3'!$D$21:$DS$21
PagosAnuales ='P I & P F 3'!$D$9
PerCarAmort ='P I & P F 3'!$F$14
PerCarInt ='P I & P F 3'!$F$13
Periodo ='P I & P F 3'!$D$18:$DS$18
PeriodosAmort ='P I & P F 3'!$F$15
PerTotales ='P I & P F 3'!$F$12
Tasa ='P I & P F 3'!$D$7
TasaIntPer ='P I & P F 3'!$D$12
Tipo ='P I & P F 3'!$F$7
Fundamentos de Cálculo Financiero con Excel
81
Y veamos ahora como queda la zona del cuadro de amortización del préstamo:
Aunque con dificultad, por el tamaño de letra necesario para poder desarrollar las
fórmulas completas, se puede comprobar que la interpretación de la formulación es relativamente
más sencilla. Le invitamos a que lo compruebe directamente en el fichero xls vinculado a este
documento.