fundamentos de la ingeniería eléctrica · en un circuito de corriente alterna, ωes la misma en...
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FUNDAMENTOS
DE INGENIERÍA
ELÉCTRICA
José Francisco Gómez
González
Benjamín González Díaz
María de la Peña Fabiani
Bendicho
Ernesto Pereda de Pablo
Tema 3:
Corriente
alterna
PUNTOS OBJETO DE ESTUDIO
Fundamentos.
Corriente alterna senoidal: caracterización e importancia.
Fasores.
Circuitos de ca básicos.
Impedancias y admitancias.
Circuitos de ca en general.
Potencia en ca: activa, reactiva y aparente.
Concepto de factor de potencia y su modificación.
Concepto de filtros. Características. Filtros pasabaja, pasaalta, pasabanda y de rechazo de banda.
3
Fundamentos
Corriente continua: no varía
frente al tiempo.
Corriente alterna (ca): su
sentido cambia con el
tiempo.
Corriente alterna periódica:
su valor se repite al cabo de
un cierto tiempo T (periodo).
Onda: expresión gráfica de
la variación periódica en
amplitud y tiempo.
4
Corriente alterna
senoidal (I)
Corriente continua
Vo
lta
je (
V)
Tiempo (s)
Corriente alterna
Vo
lta
je (
V)
Tiempo (s)
5
0( )v t V 0( ) cos( )v t V wt
Corriente alterna
senoidal (II)
Vm=Valor máximo= valor de pico=valor de cresta.
V(t)= Valor instantáneo.
T=Periodo: tiempo de un ciclo completo (s).
f= Frecuencia (lineal)= ciclos por segundo=1/T[Hz]
ω= Pulsación (frecuencia angular): ωT=2π=> ω= 2πf (rads-1).
ϕ=Ángulo de fase (rad) aunque se expresa en º
6
0( ) cos( )v t V wt
Análogamente para la intensidad
Corriente alterna senoidal (III)
Ventajas de una corriente alterna senoidal:
Función simple y bien definida.
Cualquier función periódica se puede expresar como una suma de
senos y cosenos de distintas frecuencias.
Fácil de producir y transformar.
7
Valor medio
8
Los valores medios no
dan información sobre
las corrientes alternas.
T
0
1
dtIT
I
T
0
1
dtVT
V
T
0
1
dtfT
f
2Tcon cosVV o tSi
T
0
/2
0 02
1t cos
2
tsenVdtVV oo
T
0
/2
0 02
1t cos
2
tsenIdtII oo
2ffef
2VVef
2IIef
Los voltímetros y amperímetros están diseñados para medir valores
eficaces de la corriente o la tensión.
T
0
2
02
/2
0
2222
2
2
2
1
22
12cos
2t cos
2
VVdt
tVdtVV ooo
2
oef
VV
T
0
2
02
/2
0
2222
2
2
2
1
22
12cos
2t cos
2
IIdt
tIdtII ooo
2
oef
II
Caracterización de las corrientes alternas
utilizando valores eficaces
9
Significado físico de valor eficaz
Si tenemos una resistencia R que es atravesada por una corriente
Entonces la energía disipada es
Por lo que, ¿cuánto vale la corriente continua que debe circular por R para disipar en un tiempo t la misma energía?
10
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑊 𝐴𝐶 =
0
𝑡
𝑅𝑖2 𝜏 𝑑𝜏
𝑊 𝐷𝐶 =
0
𝑡
𝑅𝐼2 𝑑𝜏 = 𝑅𝐼2𝑡; 𝑆𝑖 𝑊𝐷𝐶 =𝑊𝐴𝐶 ⇒ 𝑅𝐼2𝑡 =
0
𝑡
𝑅𝑖2 𝜏 𝑑𝜏
𝐼 =1
𝑇
0
𝑡
𝑅𝑖2 𝜏 𝑑𝜏 = 𝐼𝑒𝑓𝑓
Circuitos en alterna
Siendo v(t) conocido, se
quiere calcular i(t).
v(t)=vL+vC+vR
La ecuación resulta
11
L
div L
dt
0
1( )
t
C
t
v i dC
Rv Ri
0
1( ) ( )
t
t
div t L i d Ri
dt C
2
2
( ) 1dv t d i diL i R
dt dt C dt
Se resuelve mediante:
Respuesta transitoria
Respuesta permanente
Notación fasorial (I)
En un circuito de corriente alterna, ω es la misma en todos los puntos del circuito, tanto para las corrientes como para los voltajes.
El valor de cada magnitud en un instante viene determinado por su amplitud y su fase.
12
Notación fasorial (II)
Y=A√2 cos(t+d) ≡ Y= A∠d
13
Números imaginarios
14
r
a
b
Re
Im
Coordenadas
cartesianasjbaz
Coordenadas polares rz
Cambio de
coordenad
as
Cartesianas a
polares a
btgarc
bar
22
Polares a
cartesianas
senrb
ra
cos
Fórmula de Euler senjrrre j cos
Relación
Partimos de:
En notación fasorial
Multiplicamos por
Relación de Euler
Una función sinuidal es representado unívocamente por su fasor.
15
0( ) 2 cos( )v t V t
0 0
jv V V e
( )
0 0 0 (cos( ) sin( )j j t j tV e e V e V t j t
( )
0 02 Re( ) 2 cos( )j tV e V t
j te
Operaciones con fasores
1. http://www.youtube.com/watch?v=dBV4FLtA8ls
2. http://www.frro.utn.edu.ar/repositorio/catedras/electrica/2_an
io/electrotecnica1/trabajos_practicos/Ejercicos_fasores.pdf
3. http://www.uco.es/users/mr.ortega/fisica/archivos/guias/A01_
Numeros_complejos.pdf
16
Circuitos resistivos (I)
Sólo varía el módulo no la fase -> vR(t) e iR(t) están en fase.
Ley de Ohm en alterna con los valores de la amplitud
17
𝑣𝑅(𝑡)= V; ⇒ 𝑖𝑅 𝑡 =𝑣0 𝑡
R=𝑣0R𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
Circuitos resistivos (II)
Si escribimos el voltaje como
La transformación fasorial de este voltaje es
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imimim tVtRItIRRiv coscoscos
ij
m m iV RI e RI
IRV
Circuitos inductivos (I)
vL(t) e iL(t) desfasadas en π/2 radianes, con la corriente retrasada.
Relación I-V: reactancia inductiva (depende de la frecuencia)
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( ) 0; ( ) cos( ) ( )2
o oLo L
V VdiL V sen t i t t sen t
dt L L
LL
L
vX L
i
Circuitos inductivos (II)
20
o
imimim tLItsenLI
dt
tIdL
dt
diLv 90cos
cos
90 90o
oi i i
i
j j jj
m m m
j
m
V LI e LI e e LI e j
j LI e j LI
ILjV
o
imim
o LIILV 9090
Circuitos capacitivos (I)
vC(t) e iC(t) desfasadas en π/2 radianes, con la corriente adelantada
Relación I-V: reactancia capacitiva (depende de la frecuencia)
21
En el condensador q=Cv = C ( )
Como ( ) ( ) cos( ) ( )2
o
c c o
V sen t
dqi t i t C V t C Vsen t
dt
1CC
C
vX
i C
Circuitos capacitivos (II)
22
o
vmvmvm tCVtsenCV
dt
tVdC
dt
dvCi 90cos
cos
90 90o
ov v
v
j jj v j
m m m
j
m
I CV e CV e e CV e j
j CV e j CV
ICj
V
1
o
imim
o IC
IC
V 901
901
Impedancia (I)
En los tres casos anteriores tenemos que se puede establecer una relación entre la corriente fasorial y la corriente fasorial.
Impedancia: Cociente entre el fasor tensión y el fasor corriente
Por lo tanto se cumple la ley de Ohm.
Z es un número complejo, pero no un fasor, ya que no se corresponde con ninguna función sinusoidal en el dominio temporal.
23
V RI
V j LI
jV I
C
El fasor tensión puede expresarse como el
producto de una cantidad compleja por el
fasor corriente
V ZI
Impedancia y reactancia
24
Resistencia Bobina Condensador
RZ RLZ j L
C
jZ
C
[ ]Z R jX
Re(Z)= R: Resistencia [Ω]
Re(Z)= X: Reactancia [Ω]
0
10
L
L
X L
XC
Leyes de Kirchhoff en corriente
alterna
Las LK: conservación de la energía en una malla (LKM) y de la
carga en un nudo (LKN).
Estas leyes de conservación son principios físicos de validez
universal, y no dependen del tipo de corriente que se tenga.
Por tanto, las LK también se cumplen en el caso de la corriente
alterna.
25
Circuitos RLC en CA (general) (I)
Gráficamente, obtenemos Vo sumando los fasores.
- Si calculamos Vo analíticamente:
26
2 2 2 2 21( ) I ( )o R L C oV v v v R L
C
Circuitos RLC en CA (general) (II)
27
:
( ) ( ) 0º
( ) ( ) º
( ) 0 º ; ( )
( ) 0 º ;( )
m m
m m
m
m
El desfase semidede I con respecto aV
v t V sen t V V
i t I sen t I I
i t atrasa I I L
i t adelanta I I C
Para cualquier elemento en CA
28
1
(Ley de Ohm generalizada)
º [ ] es la impedancia
1º [ Siemens]es la admitancia
m
m
m
m
V Z I
VVZ
II
IY
VZ
;
Re( ) cos es la resistencia.
1Im( ) es la reactancia; X=L -
- Si X>0 L Reactancia inductiva. - Si X<0 C Reactancia capacitiva.
Z R jX
R Z Z
X Z Z senC
La relación entre ambas magnitudes:
-En forma binómica:
Teoremas de circuitos en ca
Teorema de superposición
Válido con las fuentes de alterna
Teoremas de Thevenin y de Norton
Válidos sustituyendo R por Z
Los parámetros se hayan de la misma manera
Vth: voltaje en abierto entre los terminales
IN: intensidad de cortocircuito, ICC.
Rth=RN= Vth/ICC.
Máxima transferencia de potencia
ZL=Z*th (complejo conjugado de la Zth equivalente entre los
terminales)
29
Potencia en Corriente Alterna
En cualquier elemento, P=VI
A través de las reglas trigonométricas
Obtenemos que la potencia instantánea es:
30
tIi
tVv
m
ivm
cos
cos
ttIVp
tItVvip
ivmm
mivm
coscos
cos*cos
cos2
1cos
2
1coscos sensen coscoscos
cos cos
cos cos cos 2 22 2 2
cos cos cos 2 2
m m v i
m m m m m mv i v i v i
f f v i f f v i f f v i
p V I t t
V I V I V It ses sen t
V I V I t V I sen sen t
Potencia instantánea
La potencia instantánea pasa a través de dos ciclos completos
por cada ciclo ya sea de voltaje o la corriente. La potencia
instantánea puede ser negativa durante una porción de cada
ciclo.
En una red completamente pasiva, la potencia negativa
implica que la energía almacenada en los inductores o
capacitores se está extrayendo.
El hecho de que la potencia instantánea varíe con el tiempo en
la operación de estado permanente senoidal de un circuito
explica por qué algunos aparatos accionados por motor (tales
como los refrigeradores) experimente vibraciones y requieran
montajes flexibles del motor para evitar la vibración excesiva
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Potencia activa (promedio) y
reactiva
es la potencia activa o promedio,
unidades en vatios (W).
es la potencia reactiva, unidades en
voltio-amperio reactivos (VAR).
Se puede ver que P es la potencia
promedio de la potencia instantánea
donde T es el periodo de una onda
senoidal.
32
cos cos cos 2 2
cos 2 2
f f v i f f v i f f v ip V I V I t V I ses sen t
P P t Qsen t
cosf f v iP V I
ivff senIVQ
Tt
t
o
o
pdtT
P1
Para una resistencia (R)
En este caso la corriente y el
voltaje están en fase, lo que
significa que
Y la potencia real
instantánea es
Nunca será negativa, por lo
que la potencia no puede
extraerse de una red
puramente resistiva, sino que
toda la energía se disipa en
la forma de energía térmica
(efecto Joule).
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0 iv ff IVP 0Q
tPPp 2cos
Potencias en circuitos
puramente inductivos
En este caso el voltaje adelanta a la corriente en 90º,
En este caso la potencia promedio (activa es cero), por lo que no se produce un trabajo efectivo, es decir, no ocurre ninguna transformación de energía de la forma eléctrica a la no eléctrica.
La potencia reactiva es el producto de la tensión por la intensidad
Y la potencia real instantánea es
La potencia instantánea en los terminales del circuito continuamente se está intercambiando entre el circuito y la fuente que activa a este mismo, a una frecuencia 2ω. Cuando es positiva, la energía se está almacenando en los campos magnéticos asociados a las inductancias, y cuando es negativa, se está extrayendo de los campos magnéticos.
34
0P
ff IVQ
tsenQp 2
o
iv 90
Potencias en circuitos
puramente capacitivos
En este caso el voltaje retrasa respecto a la corriente en 90º,
La potencia activa o promedio es:
La potencia reactiva es
Y la potencia real instantánea es
En este caso la potencia promedio (activa es cero), por lo que no se produce un trabajo efectivo, es decir, no ocurre ninguna transformación de energía de la forma eléctrica a la no eléctrica.
La potencia se intercambia continuamente entre la fuente que excita el circuito y el campo eléctrico asociado con los elementos capacitativos.
35
0P
tsenQp 2
o
iv 90
ff IVQ
Caso general
36
2
( ) ( ); ( ) ( );
( ) ( ) ( )
( ( ) cos ( )cos( ) )
cos
m m
m m
m m
med ef ef
V t V sen t I t I sen t
P t V sen t I sen t
V I sen t sen t t sen
P V I
El valor medio depende del desfase entre V e I
El factor de potencia
El ángulo se conoce como ángulo del factor de
potencia, y se denomina factor de potencia (FP, fdp) a
Como vemos el FP es positivo tanto en circuito puramente
capacitativos como inductivos por lo que para describir
complemente este ángulo, utilizaremos frases descriptivas
como: factor de potencia retrasado (o inductivo) y factor de
potencia adelantado (o capacitativo).
37
iv
ivFP cos
Potencia aparente o compleja
Tomando para V e I valores eficaces, definimos:
entonces su módulo es la potencia aparente, S:
La parte real es la potencia activa, P:
La parte imaginaria es la potencia reactiva, Q:
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* 2(cos ) ºef ef ef ef efS V I V I jsen I Z V I
2 [ ]ef ef efS S V I I Z VA
2 2Re cos cos [ ]ef ef ef efS V I I Z I R W
2 2Im [ ]ef ef ef efS V I sen I Z sen I X VAr
Triángulo de potencia
39
**
2
1ff IVIVjQPS
2 2
cos
sin
S P Q
P S
Q S
S
P
Q
j
¿Cómo sería un triángulo de potencia en un circuito capacitivo?
Corrección del factor de potencia (I)
S es la potencia total entregada a la impedancia
P es la potencia consumida en las resistencias
Componente de I en fase con V (P(t)med)
Es la potencia que se aprovecha -->A maximizar
Q es la potencia intercambiada con L y C
Componente de I desfasada de V en 90º (π/2 rad)
Necesaria para que L y C “funcionen”
Factor de potencia (FP, FP): cos j (entre 0 y 1)
Indica la potencia aprovechable.
En atraso: Z=R+jXL (bobina).
En adelanto: Z=R-jXC (condensador).
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Corrección del factor de potencia (II)
Un FP bajo:
Aumenta la corriente consumida
Aumentan las pérdidas en las líneas
Disminuye el rendimiento
Aumenta la caída de tensión en las líneas
Aumenta la potencia aparente consumida
Es conveniente trabajar con factores de potencia próximos a la unidad
Algunas cargas pueden necesitar para su funcionamiento potencia reactiva (generalmente son de tipo inductivo= alimentación de motores)
Es necesario compensar el consumo de potencia reactiva mediante baterías de condensadores
41
Corrección del factor de potencia (III)
Normalmente FP en atraso (motores, inducción)
Debe corregirse (j-> 0) con C en paralelo.
en la que
P es la potencia activa.
Q es la potencia reactiva inductiva de la carga.
Qc es la potencia reactiva capacitiva de los condensadores.
ϕm es el valor del ángulo que fija en nuevo factor de potencia.
42
PQm
jm
j0
Q0
S0
Sm
QC(tan tan )C o mQ P
Filtros
Los circuitos analizados han sido con fuentes senoidales de
frecuencia constante.
¿Qué pasa cuando se varía la frecuencia?
Modificación de la impedancia de capacitores e inductores, ya
que la impedancia de estos elementos es una función de la
frecuencia.
43
1
L
C
X L
XC
Filtro pasa-baja
44
L1 0.1H
R16.38 ohm
AC
Sweep
ac
Vi Vo
max21 AA 21log20
L
Rc
Filtro pasa-alta
45
RCc
1
Filtro pasabanda
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Este filtro deja pasar voltajes dentro de una
banda de frecuencias. Los filtros de paso
banda ideales tienen dos frecuencias de
corte, las cuales identifican a la banda de
paso.
En a) tenemos el circuito equivalente
cuando la frecuencia es cero, en este caso
el condensador tiene una impedancia muy
elevada y no circula corriente y la caída en
la resistencia es cero. Cuando la frecuencia
es infinita caso b) la impedancia de la
bobina es muy elevado y tampoco circula
corriente. Por lo que vemos que para
frecuencias altas y bajas no hay salida, es
decir, hay un ancho de banda de
frecuencia intermedias entre las que si
tenemos una salida.
Filtro rechazo de banda
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Este filtro deja pasar voltajes fuera
de la banda entre dos frecuencias
de corte.
Para frecuencias altas tenemos el
circuito equivalente a) en donde la
bobina tiene una impedancia muy
elevada, por lo que el voltaje de la
entrada pasa a la salida. Para
frecuencias bajas, el condensador
tiene una impedancia muy alta y
otra vez el voltaje de la entrada
pasa a la salida. En cambio, para
frecuencias intermedias la
impedancia de la bobina y el
condensador son bajas y el voltaje a
la salida es pequeño.