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Fundamentos de Mecânica – 4300151
Prof. Renato F. Jardim – 2020-2
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Resumo:
Posição, deslocamento e velocidade como vetores
• A posição 𝒓 de um ponto que tem
coordenada x é dada por
𝒓 = 𝒙 Ԧ𝒊
• O vetor deslocamento Δ de um
objeto se movendo ao longo do eixo
x é
𝒓 = 𝒓𝒇 - 𝒓𝒊 = (xf – xi) Ԧ𝒊
• A velocidade média (vetorial) de
um objeto se movendo ao longo do
eixo x é
𝒗m = 𝒓𝒕
= (𝒙𝒇 − 𝒙𝒊)
(𝒕𝒇 − 𝒕𝒊)Ԧ𝒊
• É possível descrever um movimento através de uma
equação ou função horária, genericamente falando, do
tipo:
xf(t) = xi + vxΔt
xf(t) = xi + vx(tf – ti) , ou ainda
x(t) = x0 + v t
Onde xf = x, xi = x0, ti = 0 e tf = t, com a velocidade do
objeto sendo uma constante !
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Conceitos: Propriedades adicionais de velocidade
• Quando a velocidade de um objeto é
constante, seu gráfico de posição versus tempo
é uma linha reta. O gráfico de velocidade versus
tempo é uma linha horizontal.
• A velocidade instantânea de um objeto é sua
velocidade em qualquer instante particular.
• A inclinação da curva x(t) de um objeto em um
determinado instante é numericamente igual a
componente x da velocidade vx do objeto
naquele instante.
• A área sob a curva υx(t) do objeto durante um
intervalo de tempo é a componente x do
deslocamento do objeto durante esse intervalo
de tempo.
tempo
x
t
v = x/t
tempo
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Diz-se que um objeto está em movimento
uniforme se ele percorrer distâncias iguais em
intervalos de tempo iguais, não importa quão
pequenos esses intervalos de tempo possam ser.
Ao desenharmos um gráfico de posição versus
tempo para um movimento uniforme, o resultado
é uma linha reta !
Mas o mundo não é assim tão Uniforme quanto
parece e para avançar nesse conceito de não
uniformidade é necessário introduzir uma outra
grandeza importante na descrição do
Movimento: a aceleração !!!
Resumo
x(t)
t(s)
Movimento
Uniforme
x(t)
t(s)
Movimento
Não Uniforme
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Ferramentas Quantitativas:
Propriedades Adicionais da Velocidade
• A componente x da velocidade instantânea de um objeto é a
derivada da coordenada x do objeto em relação ao tempo:
vx = lim𝑡0
𝑥/𝑡
vx = 𝑑𝑥
𝑑𝑡= ⅆ𝑥/ⅆ𝑡
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Conceitos: Propriedades adicionais de velocidade
• Quando a velocidade de um objeto é constante, seu gráfico
de posição versus tempo é uma linha reta; o gráfico de
velocidade versus tempo é uma linha horizontal.
• A velocidade instantânea de um objeto é sua velocidade em
qualquer instante particular.
• A inclinação da curva x(t) de um objeto em um determinado
instante é numericamente igual a componente x da velocidade
do objeto naquele instante.
• A área sob a curva υx(t) do objeto durante um intervalo de
tempo t é a componente x do deslocamento do objeto
durante esse intervalo de tempo.
Resumo
posição versus tempo
tempo (h)
velocidade vetorial versus tempo
velocidade escalar versus tempo
tempo (h)
tempo (h)
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O que depende da escolha da
origem?
• Velocidade média
• Posição
• Deslocamento
• Velocidade escalar
• Velocidade instantânea
O resto depende apenas das
diferenças de posição 𝒓
Resumo
As diferenças entre distância percorrida e
deslocamento podem ser resumidas como segue:
Distância Percorrida Deslocamento
Depende do caminho percorrido Independente do caminho
percorrido
Sempre positiva Pode ser positiva ou negativa
É uma grandeza ESCALAR É uma grandeza VETORIAL
Retornando aos Movimentos não Uniformes !
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Uma abordagem baseada em dados
Uma abordagem baseada em dados
Observar a queda de um objeto Vamos medir a posição do
objeto versus tempo
• o que é possível descobrir ?
• (dados claramente não são
reais)
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Qual é o plano?
• ver o que é possível descobrir apenas com os
dados
• necessário um pouco de abstração - um modelo
de como a situação física se encaixa
• apresentar uma hipótese a partir dos dados
• o que o modelo pode prever?
• testá-lo
Uma abordagem baseada em dados
Qual é a hipótese?
• não temos grande intuição para o dia a dia
• a queda acontece muito rápido (tempo de espera ?)
• nenhum tempo tomado pode ser considerado muito preciso
• vamos tentar algo que parece plausível
A ideia é boa, mas equivocada !
Hipótese 1: para cada incremento de tempo Δt, o objeto “cai”
ou percorre a mesma distância Δx.
Se isso fosse verdade, o Δx deve ser o mesmo para intervalos
de tempo idênticos, ou Δx/Δt deve ser constante
(Sabemos agora que isso significa velocidade constante.)
Hipótese 1
• para cada incremento de tempo Δt, o objeto
“cai” ou percorre a mesma distância Δx.
• Como escrever isso matematicamente:
Δx ∝Δt ou Δx vs Δt é uma linha reta !
Vamos ver o que os dados nos informam
Acerca da Hipótese Possível 1 !!!
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A Hipótese 1 está equivocada. O objeto (irei dar um
nome !!!) “acelera” (tem sua x/t alterada, ou seja,
sua velocidade alterada) de maneira uniforme
enquanto experimenta a queda !
O que os dados nos informam ?
tempo distância taxa da distância alterada
Vamos olhar atentamente
• A taxa de mudança de posição aumenta
• Ou seja: a velocidade também aumenta
• Mas aumenta na mesma quantidade a
cada segundo!
• Sugere que sua taxa de variação é
constante (e de fato é !!!).
Uma abordagem baseada em dados
Vamos tentar uma
segunda hipótese !
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Hipótese 2: A taxa (v/t) na qual a
velocidade varia é uma constante.
• Encontrar uma constante de movimento é
muito importante para a descrição de
qualquer tipo de Movimento (esse é o
pressuposto básico das chamadas leis de
conservação)!
• O que eu quero dizer: não importa o que
aconteça, essa “coisa constante” não é
alterada através do Movimento. Deve ser
um grande negócio para construir uma
teoria ou modelo.
Uma abordagem baseada em dados
Vamos tentar
De fato! Embora a posição e a velocidade
aumentam continuamente, a taxa v/t de
mudança da velocidade é constante.
Isso é aceleração: 𝒗𝒕
= 𝒕
(𝒙𝒕
) = 𝟐𝒙
𝒕𝟐=
𝐝𝟐𝒙
𝐝𝐭𝟐
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Aceleração
O que acabamos de descobrir?
1. Que a taxa de variação da velocidade é (essencialmente) constante para um objeto
em queda livre !
2. Sendo (1) verdadeiro, a velocidade de um objeto em queda livre aumenta
linearmente com o tempo, ou seja, v(t) t, ou ainda, de maneira genérica, pode ser escrita
como v = a t, onde a é uma constante
3. Chamamos a taxa de variação da velocidade v/t ou dv/dt de aceleração
4. Como v = x/t = dx/dt, ou ainda dx = v dt , isso significa que x(t) aumenta
quadraticamente através do movimento !
5. Vamos então estudar essa tal “aceleração” (grandeza vetorial), ou a taxa de variação
da velocidade em um Movimento !
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Aceleração
O objetivo agora é então estender a descrição do
movimento em uma dimensão para incluir
mudanças, alterações na velocidade.
Esse tipo de movimento é chamado de acelerado
e já não é denominado de Uniforme !
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• O movimento não uniforme de um objeto pode
ser descrito pelo conceito de aceleração. São
essencialmente três (03) situações, como ilustra a
Figura ao lado !
• O objetivo é então descrever a aceleração na
forma gráfica e matematicamente.
• Importante relembrar que a aceleração é o
resultado de uma taxa de variação da velocidade
em relação ao tempo diferente de Zero, ou seja,
𝑣𝑡
ou d𝑣
d𝑡 Zero
Aceleração
carro acelera na direção positiva de x
carro desacelera na direção positiva de x
carro desacelera na direção negativa de x
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Aceleração
Olhando para a Frente: Aceleração devido à gravidade
• Um objeto acelerando ao cair:
• A gravidade g é um grande negócio
• Perto da superfície da terra, o problema é
relativamente simples uma vez que g pode ser
assumida constante (~ 9,8 m/s2)
• Você aprenderá como explicar a influência da
gravidade em objetos que se movem nas vizinhanças
da superfície da Terra.
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Aceleração
• Generalização da “sequência de quadros”, que já
vimos !!!
• Aprendendo como exibir e interpretar o movimento
através da utilização, ou uso, de dados
• Como determinar a posição, deslocamento, velocidade
escalar, velocidade e aceleração de objetos ?
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Aceleração
• analisar o movimento observando os quadros
individuais de um clipe de filme gravado em
tempos igualmente espaçados (já vimos isso
antes, certo ?).
• A abordagem é viável, mas discreta, e portanto
limitada
• se apenas tivéssemos alguma matemática para
isso.....é possível avançar !
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Representações do Movimento
Examinando diferentes formas gráficas e
matemáticas de representar o movimento.
curva x(t)
x em unidades
de metros
t em unidades
de segundos
xf(t) = xi + vx(tf – ti)
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Aceleração
Um bom teste para verificar nossa
familiaridade com graficos
Qual figura ao lado poderia representar
o gráfico de velocidade versus tempo de
uma motocicleta cuja velocidade está
aumentando continuamente?
A magnitude de v (ou 𝒗 ) deve
aumentar (o sinal não é importante)
(a) (b)
(d)(c)
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Aceleração
Conceitos de Interesse
Mudanças na velocidade
Objetivos
• Definir a aceleração a partir da velocidade
• Identificar se um objeto está acelerando a
partir de várias representações gráficas
diferentes de movimento.
• Compreender as relações vetoriais entre
velocidade e aceleração.
Mudanças na velocidade
• Se a velocidade de um objeto está sendo
alterada, o objeto está acelerando.
• A componente x da aceleração média, Ԧ𝑎xm,
de um objeto é a mudança na componente x da
velocidade, Ԧ𝑣xm, dividida pelo intervalo de
tempo durante o qual essa mudança ocorreu.
• A unidade SI de aceleração é m/s2.
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Aceleração
Mudanças na velocidade
• Sempre que o vetor velocidade Ԧ𝑣 e o
vetor aceleração Ԧ𝑎 de um objeto apontam
na mesma direção, o objeto acelera.
• Se o vetor velocidade Ԧ𝑣 e o vetor
aceleração Ԧ𝑎 apontarem em direcoes
opostas, o objeto fica mais lento, é
desacelerado !
carro acelera na direção positiva de x
carro desacelera na direção positiva de x
carro desacelera na direção negativa de x
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Mudanças na velocidade
• Para objetos em aceleração, a curva x(t)
não é uma linha reta.
• As figuras mostram curvas x(t) para dois
objetos em aceleração:
• Para cada objeto, considere os
deslocamentos Δx1 e Δx2 durante dois
intervalos de tempo iguais (Δt) mas em
intervalos de tempo diferentes.
• Se o deslocamento aumenta com a
evolução do tempo (Δx2 > Δx1), a
velocidade está aumentando.
• Se o deslocamento diminui com a
evolução do tempo (Δx2 < Δx1), a
velocidade está diminuindo.
Aceleração
vx = lim𝑡0
𝑥/𝑡
𝒕
𝒕
𝒕
𝒕
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Aceleração
t
t
v1 = 𝑥
1
𝑡
v2 = 𝑥
2
𝑡
x(t) com curvatura para cima ! x(t) com curvatura para baixo !
v2 = 𝑥
2
𝑡
v1 = 𝑥
1
𝑡
v2 > v1v2 < v1
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Aceleração
Mudanças na velocidade
• A curvatura da curva (ou trajetoria) x(t) é uma
medida da componente x da aceleração (ax).
• Uma curvatura para cima corresponde a um
valor positivo de ax:
• A curva encontra-se acima da reta
tangente; mais rápido do que um
comportamento linear
• Uma curvatura para baixo corresponde a um
valor negativo de ax:
• A curva encontra-se abaixo da reta
tangente; mais lento que um comportamento
linear
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Aceleração devido à gravidade
• Identificar a gravidade como a causa da
aceleração vertical de um objeto que se
move próximo à superfície da Terra.
• Exibir os efeitos da gravidade de um
objeto usando diagramas de movimento.
• Modelar o caso idealizado de
movimento vertical na ausência de
outras influências, como a resistência do
ar, usando o conceito de queda livre.
• Um objeto caindo em linha reta em direção à
superfície da Terra: movimento acelerado.
• Uma bola caindo registrada em intervalos de
tempo iguais de 0,05 s.
• Os deslocamentos crescentes indicam que a
velocidade da bola aumenta à medida que ela “cai”:
a bola, então, acelera durante o movimento.
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Aceleração devido à gravidade
Questão de Interesse
• A aceleração de um objeto ao cair
depende das características físicas do
objeto?
• Segure um livro e uma folha de
papel, cortados no mesmo tamanho do
livro, lado a lado 1 m acima do chão.
Segure o papel paralelo ao chão e o livro
com as capas paralelas ao chão e solte-os
no mesmo instante. Qual atinge o chão
primeiro? Agora coloque o papel em cima
do livro e repita a experiência. O que você
percebe?
• Fazer esse experimento em casa
• Observar o comportamento
• Descrever o comportamento observado
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• Qual é a magnitude da aceleração da gravidade
quando um objeto “cai”?
• pena versus pedra
• no vácuo, sem resistência do ar.
• a aceleração devido à gravidade não
depende das características físicas do objeto
• O movimento de um objeto sob
a influência apenas da gravidade
é chamado de queda livre.
• quais propriedades são mais fundamentais?
• quais são circunstanciais?
Aceleração devido à gravidade
vácuo ar
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Aceleração devido à gravidade
https://youtu.be/frZ9dN_ATew
Recomendo que assistam ao filme para observar a queda de objetos no vácuo !
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• Qual é a magnitude da aceleração da
gravidade quando um objeto cai?
• como da última vez, a posição x
tempo é alterada mais rapidamente
que linearmente
• o deslocamento entre tempos
adjacentes é linear
• portanto, a velocidade aumenta a
uma taxa constante durante o
movimento.
Aceleração devido à gravidade
Procedimento dos “quadros” – já conhecido !
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• Qual é a magnitude da aceleração da
gravidade quando um objeto “cai”?
• sem resistência do ar, a magnitude
da aceleração de todos os objetos
em queda livre é de ~ 9,8 m/s2.
• O que isso significa? O tempo que
leva para cair de uma certa altura é o
mesmo para todos os objetos em
queda livre.
Aceleração devido à gravidade
É possível avançar e
olhar para um outro
tipo de Movimento em
uma dimensão com
Aceleração constante !
Movimento de projétil
em uma dimensão