fundamentos matem aticos de la mec anica de fluidos

215

Upload: hoangliem

Post on 11-Dec-2016

218 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� � �� � ��� � ��� �� � � �� � � �

� � �� � ���� � � � ����

���

���� ���� � �������

� !��"�# �"� $ %�" # ��"�&�����' ���$�$ ��" ����#� $ %�$��$

()*+, %�$��$ - .�� /0

1 2334 1

Page 2: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS
Page 3: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

������� �����

�� ����� �������������� �� ��� � ���� ���� �� � ������� � ��! " � ����� �������� !

#$# %&'()*+& , *-&./)0 1 2)/ 0 )23& (&'+3'4& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ##$5 %&'632)-1(3 7&' 8 7963(1 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5#$: ;)6(-3* (3 7&' 01+)0 71+3(1 2)/ 0 &<30 3)'+& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ =#$= %3')0 71+3(1 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ >#$? @&-04/1(3 7&' /1A-1'A31'1 , )4/)-31'1 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ B#$> C-1,)(+&-316 D / 79')16 2) (&--3)'+) , /79')16 2) )0 363 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ E#$B F' -)*16& 2) ( 71/(4/& $ G1 2)-3<121 0 1+)-31/ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ###$H %&&-2)'1216 (4-<3/ 79')16 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #:#$E I* )-12&-)6 238)-)'(31/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #E

JKLKM N OPMPQRM ST

U �� ������ ��� �� �� �� ���� UV5 $# G1 /), 2) (&'6)-<1(3 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5B5 $5 W'(&0*-)63. 3/3212 , X&0&A)')3212 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5E5 $: F' -)64/+12& 2) ( 71/(4/& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :Y5 $= Z(41(3 7&' 2) (&'+3'43212 $ [)-63 7&' )4/)-31'1 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ::5 $? [)-63&')6 3'+)A-1/)6 , +)&-)0 1 2)/ +-1'6*&-+) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :=5 $> G), 0&23\(121 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :B

3

Page 4: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

33

5 $B Z/ +)&-)0 1 2) �1466 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :B5 $H C4.&6 2) �4� & $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :E5 $E %&&-2)'1216 (4-<3/ 79')16 $ G1 23<)-A)'(31 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ =Y

� ��� � �� �� ��� � ������ ��� �� �� �� �������� �� �� �� ����� ��: $# G1 (1'+3212 2) 0&<30 3)'+& , )/ +)'6&- 2) )684)-&6 $ G), 2) )� +&' *1-1

/&6 �432&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ==: $5 � -30 )-1 32)1 2) /&6 636+)0 16 (&0*/)+&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ =H: $: 30 )+- 791 2)/ +)'6&- 2) )684)-&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ =E: $= Z� )6 '& 3')-(31/)6 $ � ()/)-1(3 7&' 2) %&-3&/36 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ?Y

� �� ������ ��� �� �� �� ����� �� � " � ����� � �� ���� ������� ��= $# [1-31./)6 +)-0 &23' 710 3(16 $ %&'()*+& 2) )')-A 791 3'+)-'1 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ??= $5 G1 /), 2) (&'6)-<1(3 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ?B= $: C-1'6* &-+) 2) (1/&- )' 4' 0)23& )' -)* &6& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ > #

= $: $# Z(41(3 7&' 2)/ (1/&- '& /3')1/ �2) /&6 0 )23&6 *&-&6&6� $ $ $ $ $ $ $ $ $ >:= $= Z/ +)'6&- <)/& (3212 2) 2)8&-0 1(3 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ >== $? Z/ /1*/1(31'& )' (&&-2)'1216 (4-<3/ 79')16 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ >?

QJRMPNPQRQP O�� �K J�M NJ� P��M ��

� ��� ������ � �������� � " � ���� ����������� �� V!? $# � )23&6 (&'+3'4&6 , �432&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ B #? $5 � -&./)0 16 0 1+)0 71+3(10 )'+) .3)' *-&*4)6+&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ B5? $: @/432&6 * )-8)(+&6 $ Z(41(3 7&' 2) Z4/)- $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ B:? $= @/432&6 * )-8)(+&6 3'(&0*-)63./)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ B=? $? @/432&6 32)1/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ B>? $> � )64/+12&6 2) )� 36+)'(31 , 4'3(3212 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ BB? $B ;)6(&0*&63(3 7&' , 1' 71/3636 /& (1/ 2) /1 <)/& (3212 $ %&'()*+& 2) <&-+3(3212 $ BH? $H @/4� &6 3--&+1(3&'1/)6 , *&+)'(31/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ H #? $E @ 7&-04/16 2) �)-'&4//3 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ H5? $#Y � -&./)0 16 2) 8-&'+)-1 /3.-) $ C)'63 7&' 64*)-\(31/ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ H>? $## � /A4'&6 )� )0*/&6 (/ 7163(&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ HH? $#5 &/4(3&')6 *1-+3(4/1-)6 , +)&- 791 A)')-1/ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ E #

Page 5: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

333

� ��� ������ ������� ��> $# @/432&6 ')� +&'31'&6 $ Z(41(3 7&' 2) 1<3)-� +&�)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ E>> $5 W2)1 2) /1 2)0&6+-1(3 7&' 2)/ +)&-)0 1 > $#$# $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ EH> $: @/432&6 <36(&6&6 3'(&0*-)63. /)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ EE> $= Z6(1/16 D ( 71/(4/& 1230 )'63&'1/ , ' 740)-& 2) � ),'&/26 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #YY> $? %&0*&-+10 3)'+&6 / 790 3+) $ Z(41(3 7&' 2) +&�)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #Y:> $> Z� )0*/&6 (/ 7163(&6 2) %&4)++) , 2) �&36)43//) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #Y=> $B @/4� & 2) �&36)43//) D 3')6+1.3/3212 , +4-.4/)'(31 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #YB> $H [ 36(&63212 , 238463 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #YH> $E � -&./)0 16 (&' 630 )+- 791 * &/1- $ @ /4� & 2) %&4)++) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ##Y> $#Y % 71/(4/& 2) /1 *-)63 7&' )' �432&6 3'(&0*-)63. /)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ##:> $## @/432&6 3'0 36(3. /)6 $ � -&./)0 16 2) 8-&'+)-1 /3.-) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ##=> $#5 � -30 )- 1*4'+) 2) /1 +)&- 791 0 1+)0 71+3(1 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ##?> $#: [1-31(3 7&' 2) /1 )')-A 791 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ##>> $#= @/432&6 '& ')� +&'31'&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ##H

V ��� ������ � �������� ��������� ��� !U�B $# @/432&6 * )-8)(+&6 (&0*-)63. /)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #5=B $5 �16)6 32)1/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #5?B $: %&'()*+& 2) )'+-&* 791 $ @4'(3&')6 2) )6+12& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #5BB $= �16)6 -)1/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #5EB $? @/4� &6 36)'+- 7&*3(&6 D 36&+)-0&6 , .1-&+- 7&*3(&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #:YB $> I'216 2) *-)63 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #:5B $B Z/ � �636+)0 1 $ Z(41(3&')6 2) &'216 '& /3')1/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #:=B $H C)&-)0 1 2) � )-'&4//3 *1-1 �432&6 .1-&+- 7&*3(&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #:?B $E G),)6 2) (&'6)-<1(3 7&' $ I'216 2) (X&�4) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #:BB $#Y G1 )(41(3 7&' 2) �4-A)-6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #:BB $## &/4(3&')6 2) )'+-&* 791 *1-1 /),)6 2) (&'6)-<1(3 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #:EB $#5 %&0*/)0 )'+&6 6&.-) /1 +)-0 &23' 710 3(1 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #=YB $#: Z/ 0 &2)/& 0 716 630 */) 2) /1 (3' 7)+3(1 2) A16)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #=5

� ��� ������ ������� ��������� ��� !��H $# 36+)0 1 2) )(41(3&')6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #=EH $5 @/432&6 .1-&+- 7&*3(&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #?5

Page 6: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

3<

H $: �16)6 32)1/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #?:H $= G1 )(41(3 7&' 2) �4-A)-6 <36(&61 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #?:H $? 36+)0 16 2) /1 (&0.46+3 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #??H $> Z/ �4� & (&'<)(+3<& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #?H

� "�� ����� �� ������ !��E $# @/432&6 3'(&0*-)63./)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #>:E $5 @/432&6 '& X&0&A 7)')&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #>=E $: � -3'(3* 3& 2) � -�4 790 )2)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #>?E $= Z�43/3.-3& A-1< 3+1(3&'1/ 2) 4'1 )6+-)//1 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #>?E $? Z6+ 71+3(1 2) /&6 �432&6 <36(&6&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #>B

!� � �� ���� �� ������ ������� !��#Y $# W'+-&24((3 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #>E#Y $5 G), 2) ;1-(, $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #BY#Y $: Z/ )�*)-30 )'+& 2) ;1-(, $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #B ##Y $= � )<363 7&' 2) /16 0 1A'3+42)6 , )(41(3&')6 . 7163(16 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #B5#Y $? 3A'3\(12& 2) /1 * )-0 )1.3/3212 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #B=#Y $> @/4� & 3'(&0*-)63./) )' 4' 0)23& * &-&6& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #B>#Y $B @3/+-1(3 7&' )' 4' 23�4) $ � -&./)0 1 2) 8-&'+)-1 /3.-) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #B>#Y $H @3/+-1(3&')6 )' )/ 64)/& $ Z(41(3 7&' 2) �&4663')6� $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #BE#Y $E @/432& (&0*-)63./) )' 4' 0)23& *&-&6& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #H ##Y $#Y@3/+-1(3 7&' 2) 2&6 �432&6 3'0 36(3. /)6 $ Z(41(3&')6 4+3/31216 )' /1 )�+-1((3 7&'

2) *)+- 7&/)& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #H:#Y $## Z(41(3&')6 2)/ 0 )23& '& 61+4-12& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #H>#Y $#5 C-1'6*&-+) 2) (&'+10 3'1'+)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #HH#Y $#: 36+)0 16 (&' 3'+)-1((3 7&' �4� &�)')-A 791 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #HH#Y $#= G 790 3+)6 2) <1/32) 2) /1 /), 2) ;1-(, $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #HE

MK����R �R��K ��T

!! " �������� �� �� ������ ��������� !�V##$# Z6*1(3&6 84'(3&'1/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ #EB##$5 C)&-)0 1 2) G1� �� 3/A-10 $ � -3'(3*3& <1-31(3&'1/ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5Y=

Page 7: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

<

##$: � -&./)0 1 2) ; 3-3(X/)+ �&0&A 7)')& *1-1 /1 )(41(3 7&' 2) G1*/1()��&366&' $ $ 5Y?##$= � -&./)0 1 (&' (&'23(3&')6 2) ; 3-3(X/)+ '& '4/16 $ Z / 0 7)+&2& <1-31(3&'1/

23-)(+& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5YH##$? � )6&/4(3 7&' 2)/ *-&./)0 1 2) )401'' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5####$> Z6*1(3&6 6&/)'&321/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5#:##$B ;)6(&0*&63(3 7&' 2) (10*&6 <)(+&-31/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5#?##$H G1 *-&,)((3 7&' 6&/)'&321/ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5#H

NJ� P��M P�KRJKM SS�

!U � ��� �� ����������� UU�#5 $# @/4� &6 3--&+1(3&'1/)6 , *&+)'(31/)6 $ % 3-(4/1(3 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 55?#5 $5 % 71/(4/& 2)/ * &+)'(31/ , +)&-)0 1 2) )�43<1/)'(31 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 55B#5 $: � -&*3)212 2) 0 79'30 & *1-1 /1 )')-A 791 (3' 7)+3(1 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 55E#5 $= % 71/(4/& 2) /1 *-)63 7&' )' A)')-1/ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5:Y#5 $? Z� )0*/&6 (/ 7163(&6 2) (&--3)'+)6 *&+)'(31/)6 )' +-)6 230 )'63&')6 $ $ $ $ $ $ 5:Y#5 $> � -&./)0 16 2) 8-&'+)-1 /3.-) $ I'216 2) 64* )-\(3) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5:?#5 $B ;&0 3'3&6 0 74/+3* /)0 )'+) (&')�&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5:E#5 $H �&+)'(31/)6 , 8&-0 16 238)-)'(31/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5=Y

!� � ��� �� ����������� �� �� � ���� U��#: $# G&6 0 7)+&2&6 2) <1-31./) (&0*/)� 1 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5=:#: $5 Z� )0*/&6 (/ 7163(&6 2) �4� &6 *&+)'(31/)6 */1'&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5=B#: $: C 7)('3(16 )6* )(31/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5?5#: $= %&--3)'+)6 �4) )'(4)'+-1' 4' &.6+ 71(4/& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5??#: $? C)&- 791 2) /1 646+)'+1(3 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5>Y#: $> 3+41(3 7&' )' :; $ �1-12&� 1 2) ; �� /)0.)-+ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5>=

!� �� ��������� U�V#= $# G1 <&-+3(3212 $ %&'()*+&6 . 7163(&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5>B#= $5 � &<30 3)'+&6 (3-(4/1-)6 */1'&6 $ [ 7&-+3()6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5>E#= $: %&'6)-<1(3 7&' 2) /1 (3-(4/1(3 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5B:#= $= Z<&/4(3 7&' 2) /1 <&-+3(3212 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5B>#= $? � &<30 3)'+&6 (&' /), 2) <)/& (3212 /3')1/ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5BH

Page 8: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

<3

#= $> C-1'68&-0 1(3 7&' 2) 3'+)A-1/)6 2) 64*)-\(3) $ Z�43<1/)'(31 2) 8&-04/1(3&')6 $ 5HY#= $B Z/ 636+)0 1 2) <&-+3(3212�<)/& (3212 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5H ##= $H % 71/(4/& 2) /1 84'(3 7&' 2) (&--3)'+) )' 5; $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5H:#= $E %1'+3212)6 (&'6)-<1216 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5H=#= $#Y@/4� &6 1� 3630 7)+-3(&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5H>#= $## [&-+3(3212 2) �432&6 .1-&+- 7&*3(&6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5EY#= $#5 C)&-)0 1 2)/ +-1'6*&-+) *1-1 64* )-\(3)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5E ##= $#: [&-+3(3212 , <36(&63212 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5E5

K M��� P� �K � P�K� M�M NJ� P��M � PMQ�M�M S��

!� ���� �� ����� ����� �� ��� ������ ������� U�V#? $# Z� 36+)'(31 2) 6&/4(3&')6 *1-1 )/ *-&./)0 1 2) +&�)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5EB#? $5 Z� 36+)'(31 2) 6&/4(3&')6 *1-1 )/ *-&./)0 1 2) 1<3)-� +&�)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5EB#? $: �*-&� 30 1(3 7&' 2) G4.-3(1(3 7&' $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5EB#? $= � -&./)0 1 2) � )/)� X1� $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 5EB

!� � �� ���� ��� ��� � ���� ��� ��������� � " � �������� �� ���� � �� ��� �� !#> $# Z/ *-&./)0 1 2) /1 (1*1 /790 3+) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :Y5#> $5 Z/ 0 7)+&2& 2) : )+1*16 $ F' )� )0*/& 0 1+)0 71+3(& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :Y:#> $: G 790 3+) 2) 1<3)-� +&�)6 (&' 4' &.6+ 71(4/& */1'& $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :YE#> $= %1*1 /790 3+) )6+1(3&'1-31 $ &/4(3 7&' 2) � /16346 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ : ##

!V "������ � ���� ����� �� ��� "��������� ��� ����� �!V#B $# � -&A-10 1 2) )6+423& 2) /1 )(41(3 7&' 2)/ (1/&- $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ : #B#B $5 � -30 )-16 32)16 6&.-) /1 Z�� $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ : #E#B $: I'216 < 31� )-16 $ � -&*3)212 2) *-&*1A1(3 7&' \'3+1 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :5Y#B $= &/4(3&')6 14+&6)0 )� 1'+)6 $ &/4(3 7&' 84'210 )'+1/ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :5:#B $? %&'()*+& 2) 6&/4(3 7&' A)')-1/3121 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :5>#B $> G1 8-&'+)-1 /3.-) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :5B

R�K�� PQKM ���

� � ������ �������������� �� !

Page 9: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

<33

� � ������ �� � ������� ���� $# W2)'+3212)6 <)(+&-31/)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ :::� $5 %&&-2)'1216 (4-<3/ 79')16 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ::=� $: Z(41(3&')6 2) 1<3)-� +&�)6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ::H

� ���������� � �� �������� ������������� ���

� � ��� ��� � ��� ����� ���

���� �� � ��� ���

"� ����� ���

� �� ������ � �� ������� ��V

Page 10: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

<333

Page 11: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

3�

� � �� ���

Z/ *-)6)'+) +)�+& )6+ 71 .1612& )' /&6 (4-6&6 23(+12&6 * &- )/ 14+&- )' /1 F'3<)-63212�4+ 7&'&0 1 2) � 12-32 2)62) )/ 1 �'& #EE? 1 )6+4231'+)6 2) � 1+)0 71+3(16 D (&' )/ &.� )+3<&2) *-)6)'+1- 4'1 3'+-&24((3 7&' 1/ )6+423& 2) /&6 �432&6 �4) 6)1 0 1+)0 71+3(10 )'+) -3A4-&61, 1/ +3)0*& -)�)� ) /&6 16* )(+&6 )0* 79-3(&6 �4) 6&' 30*&-+1'+)6 )' /1 2)6(-3* (3 7&' 2) /&68)' 7&0 )'&6 '1+4-1/)6 $ � -)+)'2) 21- 1/ /)(+&- 4'1 6 7&/321 (&0*-)'63 7&' 2) /&6 (&'()*+&6 D+ 7)('3(16 , -)64/+12&6 . 7163(&6 �4) /) * &'A1 )' 236*&63(3 7&' 2) (&0*-)'2)- /16 0 74/+3* /)61*/3(1(3&')6 2) /1 � )( 71'3(1 2) @/432&6 )' /1 < 321 1(+41/ , /) * &63. 3/3+) -)1/31- )6+423&60 716 *-&84'2&6 D 6)1' )6+&6 2) &-3)'+1(3 7&' +) 7&-3(1 & 1*/3(121 $ �&- &+-1 *1-+) D )/ )6+423&/) * )-0 3+3- 71 2368-4+1- 2) /16 0 1+)0 71+3(16 64.,1()'+)6 D �4) +3)')' 4'1 )'&-0 ) <1-3)212 D*-&84'23212 , .)//)1 $ %&0& (&0*/)0 )'+& D )/ +)� +& &8-)() 4'1 6&0)-1 <363 7&' 2) /1 630 �.3&636 X 36+ 7&-3(1 2) /16 � 1+)0 71+3(16 , )6+1 -10 1 2) /1 @ 7963(1 , 646 8)(4'216 (&'6)(4)'(316*1-1 10.16 (3)'(316 $ Z' -)640 )' D /1 � )( 71'3(1 2) @/432&6 )6 4'1 (3)'(31 *-&84'210 )'+)0 1+)0 71+3(1 , )6 * &63./) , '1+4-1/ *-)6)'+1- 64 2)61--&//& (&'()*+41/ � ��� � ��� ���� D(&0 & 23- 791' /&6 1'+3A4&6 D 2)24(3)'2& -1(3&'1/ , -3A4-&610)'+) /16 )(41(3&')6 �4) -3A)'/&6 *-&()6&6 '1+4-1/)6 1 *1-+3- 2) /&6 *-3'(3* 3&6 84'210)'+1/)6 D 2)24((3 7&' �4) )6 &.-1 * &-(3)-+& 2) A-1'2)6 0 1+)0 71+3(&6 $��� ������ � Z/ &.� )+3<& 10*/3& 2) /1 &.-1 )6 )/ 2) 2)6(-3. 3- )/ (&0*&-+10 3)'+& 2) /16646+1'(316 //10 1216 � ��� D (4,&6 0 716 (/1-&6 -)*-)6)'+1'+)6 6&' )/ 1A41 , )/ 13-) $ G1*-30 )-1 )6 )/ 0&2)/& 2) /16 646+1'(316 �4) �4,)' 2) 8&-0 1 3'(&0*-)63. /) D 63' (10.31-2) <&/40)' D , (&' )//1 6) (/163\(1' /&6 � ��� ��� � )/ 6)A4'2& 2) 1�4)//16 �4) /& X1()' 2)8&-0 1 (&0*-)63. /) D , (&' 7)/ 6) )'A/&.1' /&6 ����� $ &6 3'+)-)61 )/ )6+12& 6 7&/32& )' (41'+&*&- 7)/ +-1'6(4--)' A16)6 , /79�432&6 )' /&6 � ���� � ������ D (&0& )/ 64)/& $ Z<32)'+)0 )'+) D3'+)-)61' /16 23<)-616 8&-0 16 )' �4) 1*1-)()' /&6 / 79�432&6 , A16)6 (&0 & /&6 *-&()6&6 2)��� � � ��� $ � +10.3 7)' )/ )6+12& 2) 1A-)A1(3 7&' 2) /1 0 1+)-31 //10 12& � ���� � D �4) (&'636+))' A16)6 3&'312&6 D , 6) 21 )' 8&-0 1 '1+4-1/ )' /16 )6+-)//16 , 64 )'+&-'& $ & '&6 3'+)-)61/1 (&0*&63(3 7&' 0 3(-&6( 7&*3(1 2) )6+16 646+1'(316 63'& �4) *-)+)'2)0&6 2)6(-3. 3- 646 8&-0 162) 0&<30 3)'+& D 16 79 (&0& /&6 )6+12&6 )6+1(3&'1-3&6 D * &- 0 )23& 2) /16 <1-31./)6 12)(41216 �<)/& (3212 D *-)63 7&' D 2)'63212 D +)0*)-1+4-1 D$$$ )'+-) /16 (41/)6 6) )6+1./)()' /16 /),)6 �4)-3A)' /1 )6+1.3/3212 & )/ (10.3& $ Z6+16 /),)6 6&' 0 1+)0 71+3(16 $

� ���� ������ � ������ � G16 � 1+)0 71+3(16 �4)A1' 4' *1* )/ 84'210 )'+1/ )' /1 %3)'(310&2)-'1 D (4,1 &+-1 .16) 84'210)'+1/ )6 D -)(&-2)0&6 D /1 &.6)-<1(3 7&' 2) /1 1+4-1/)1 ,/1 )�*)-30 )'+1(3 7&' $ @4) �1/3/)& ��� �� � �43)' 0 716 (/1-10 )'+) 6) �'1/ 7& 1 *-3'(3*3&6 2)/63A/& �[WW )6) -40.& *1-1 /16 '1(3)'+)6 (3)'(316 D , 1 7)/ 6) 2). ) /1 810&61 (3+1 2) 64 &.-1�Z/ Z'61,12&-� �#>5:� �4) -)*-&24(30 &6 *&- )� +)'6& � !� "����# ��� �� �� ���� � �� �������� ���� � � ��� � � �� �� �� ����� � �� ��� �$ �� % �� ���� % �� &�'����% � ��� � � �� � ���

Page 12: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� ����� � �� �� �� �� �� ����� � �� ����� �� ���� � % � ���� ��� ��� ��������� �� � � �� ������ � � � � �� ���� � �� ���� � � ��� �� �� � � � ��������� ��� � ���� ��� % � ��� � ��� � ����"� ��� � ��� ������ ����

%3)-+& �4) /16 0 1+)0 71+3(16 +3)')' +10.3 7)' 646 *-&*3&6 3'+)-)6)6 , X1' 1+-1<)612&0&0 )'+&6 2) A-1' )'630 360 10 3)'+& D 63' 2421 ')()61-3&6 , 8-4(+ 798)-&6 D 16)'+1'2& 64684'210 )'+&6 $ �)-& )6&6 0&0)'+&6 X1()' �4) /16 0 1+)0 71+3(16 6) * )-(3.1' 1 <)()6 (&0&1� )'16 1 /&6 *-&./)0 16 2) )6+) 04'2& $ ;4-1'+) /&6 74/+30 &6 2)()'3&6 X)0 &6 *-)6)'(312&4' -)+&-'& 2) /&6 0 1+)0 71+3(&6 1 /1 (&'632)-1(3 7&' 2) /&6 *-&./)0 16 2)/ 04'2& '1+4-1/ , 6)2)+)(+1 4' 61/421./) 3'+)- 7)6 *&- (&0*-)'2)- )/ *1* )/ 84'210 )'+1/ �4) /16 0 1+)0 71+3(16�4)A1' )' )/ 2)61--&//& 2) /16 (3)'(316 $

Z / )6+423& 2) /&6 0&2)/&6 0 1+)0 71+3(&6 2) /1 +)&- 791 2) /&6 �432&6 D �4) 3'(/4,) & 3'�+-&24() 1 /&6 *-&./)0 16 -)/1(3&'12&6 (&' 4' A-1' ' 740)-& 2) (3)'(316 D 1+-1) )' '4)6+-&*1 796 18&-+4'1210)'+) )/ 3'+)- 7)6 2) 4' ' 740 )-& (-)(3)'+) 2) 3'<)6+3A12&-)6 $ � / 0 360 &+3)0*& D )/ 2)61--&//& 2) /&6 0 7)+&2&6 2) ( 71/(4/& X1 //)<12& 1 4'1 0 716 )6+-)(X1 (&/1. &�-1(3 7&' 2) 01+)0 71+3(&6 D 8 7963(&6 ) 3'A)'3)-&6 )' )/ +-1+10 3)'+& 2) /&6 *-&./)0 16 �4) /16'4)<16 +)('&/&A 7916 *-&* &')' $ Z6 4' X)(X& '&+1./) �4) +1/)6 *-&./)0 16 64)/)' )� 3A 3- 4'+-1+10 3)'+& 0 1+)0 71+3(& *-&84'2& D 04, )' (&'+-1 2)/ &+-&-1 �� ����� � ��$ �� �� � ���� �� � � �� �� �� �� ����� �� � ��� � � ���� � '�� $ Z' -)1/3212 D /1 � )( 71'3(1 '4'(184) '121 +-3< 31/ 0 1+)0 71+3(10 )'+) � *&- *&')- 4' )� )0*/& X36+ 7&-3(& D 63 ���� ��# $ � 84)(1*1 2) (1/(4/1- /1 84)-1 2) 646+)'+1(3 7&' 2) 4' �432& )' )/ 63A/& WW W 1 $% $D /16 )(41(3&')6�4) -3A)' )/ 0&<30 3)'+& 2) /&6 �432&6 -)1/)6 )6(1*1-&' 1/ A)'3& 2) 0 "�� & ��� � ,6 7&/& 84)-&' )6(-3+16 * &- ."� � 1 0 3+12 2)/ 63A/& � W� D +-16 (163 2&6 63A/&6 2) )684)-&6(&'+3'412&6 2) /&6 0 )� &-)6 (3)'+ 79\(&6 D )'+-) /&6 �4) 6) (4)'+1' /&6 1'+)-3&-0 )'+) (3+12&6, /&6 � ������ � - ������� - ��&�� D $ $ $

[)10&6 4'1 /36+1 2) 30*&-+1'+)6 71-)16 2) 1*/3(1(3 7&' 1(+41/ 2) /1 +)&- 791 0 1+)0 71+3(1 2)/&6 �432&6 � /1 � )-&' 714+3(1 , /1 � )-&' 714+3(1 Z6*1(31/ �)' 646 <)-+3)'+)6 2) 1)-&23' 710 3(1, (&0.46+3 7&' � � /1 � )+)&-&/&A 791 , /1 %/30 1+&/&A 791 � /1 � /1(3&/&A 791 � /1 I()1'&A-18 791 � /1� )&8 7963(1 � /1 � 32-&/&A 791 +)--)6+-) & 64.+)-- 71')1 � /1 W'246+-31 �)+-&/798)-1 � /&6 *-& ()6&6 3'�246+-31/)6 1 1/+16 +)0*)-1+4-16 �1/+&6 X&-'&6� � /1 � 6+-&8 7963(1 $ Z' &+-16 71-)16 )/ 3'+)- 7)6 )6-)(3)'+) * )-& '& 0 )'&6 �46+3\(12& D (&0& /16 %3)'(316 �0.3)'+1/)6 , /1 Z(&/&A 791 � *-&./)�016 2) (&'+10 3'1(3 7&' , (&'+-&/ 2) -)(4-6&6 , -)6324&6 � /1 W'246+-31 �4+&0&<3/796+3(1 D *4)6)/ 0 7&<3/ 1<1'1 (&'+-1 /1 -)636+)'(31 2)/ 13-) D & /1 � 3&0 )23(3'1 D *4)6 /1 61'A-) )6 4' �432&<36(&6& �6) */1'+)1 )/ 30 *&-+1'+) *-&./)0 1 2) 3'+)-1((3 7&' �432&�)6+-4(+4-1� $

;12& )/ (1- 71(+)- 0 1+)0 71+3(10 )'+) 6&\6+3(12& 2) /16 1*/3(1(3&')6 )6 2) 640& 3'+)- 7)6�4) /&6 )6+4231'+)6 2) /16 (3)'(316 1*/3(1216 +)'A1' 1 64 1/(1'() 2)24((3&')6 , 1-A40)'+&60 1+)0 71+3(&6 -3A4-&6&6 D )6(-3+&6 )' )/ /)'A41� ) 0 1+)0 71+3(& 1(+41/ $ Z6* )-10&6 �4) )/*-)6)'+) +)�+& 6)1 2) 4+3/3212 +1'+& *1-1 /&6 3'<)6+3A12&-)6 0 1+)0 71+3(&6 �4) .46(1' 4'1-)8)-)'(31 . 7163(1 *1-1 646 (4-6&6 1<1'12&6 D (&0 & *1-1 /&6 )6+4231'+)6 2) /16 (3)'(3168 7963(16 , /1 3'A)'3)- 791 6)'63./)6 1/ )'(1'+& , /1 *&+)'(31 2) /1 0 1+)0 71+3(1 $

���� �� � ��� ���� ���� � ������� � ���������� � & X1 2) &/< 321-6) �4) /1 0 )( 71'3(1

Page 13: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� 3

)6 4'1 (3)'(31 .16121 )' /1 )<32)'(31 )�*)-30 )'+1/ , )6 )' )//1 84'210)'+1/ (&'+)0*/1-/1 3'+)-1((3 7&' )�*)-30 )'+&�+)&- 791 D 3'+)-1((3 7&' �4) )6 /1 .16) 2) /1 (3)'(31 0&2)-'1 $ G1+)&- 791 0 1+)0 71+3(1 2) /&6 �432&6 )6 D (&0& +&216 /16 +)&- 7916 D 4' 0&2)/& 32)1/312& 2) /1-)1/3212 , '& *-)+)'2) 646+3+4 3- 1 /1 -)1/3212 0 360 1 D 14'�4) 1 <)()6 /) //)A4) 04, ()-(1 $

F'1 *1-+) 30 *&-+1'+) 2) )6+) +)�+& )6+-3.1 )' *-)6)'+1- 4' )� )0*/& )�()/)'+) 2)/ 1-+)2) /1 ���������� �� 0 1+)0 71+3(1 $ � )0 &6 *-)+)'232& )' /& *&63. /) 6)- �46+&6 )' /1 <1/&-1�(3 7&' 2)/ 3'+)- 7)6 2) (121 0 7)+&2& , 2) /16 238)-)'(316 (&' /1 -)1/3212 $ �1() ,1 0 716 2) >Y1 �'&6 )/ A-1' (3)'+ 79\(& G42� 3A ����$"� )6(-3. 791 )' )/ *- 7&/&A& 2) 64 /3.-& � ���� �� ����# �� ���� ��� � ���� ������� �#E:= � � ��� � �� � � � � ���� � ��� ��� ���� � ��� ������ � ���� �� �� �� ���� % �� ��� � � ���� � � ��� �� ��� � % � � � ������� �� � � �� �� � ��� �� �������� �� ��� � � ��������� �� ��� ��� �� �� � ����� ��� �� �� ���� ����� ��� �� � ����

C1/ +)'2)'(31 X1 +)'32& '&+1./) 7)� 3+& )' /&6 1 �'&6 +-1'6(4--32&6 D *1-1 0 1,&- A/&-31 2)/16 0 1+)0 71+3(16 , 2) /16 1*/3(1(3&')6 D , 6) )'8-)'+1 )' )/ 0&0)'+& *-)6)'+) 1 '&+1./)6-)+&6 D (&0& )6 /1 *-)23((3 7&' 2) /&6 8)' 7&0)'&6 1+0&68 7)-3(&6 D * &- (3+1- 4' )� )0*/& �4)3'+)-)61 1/ A-1' * 74./3(& $ G1 (3)'(31 2) /&6 �432&6 6) .161 )' *-3'(3* 3&6 630*/)6 6&.-) /&6�4) 6) 2)61--&//1 4' )23\(3& 2) 4'1 )'&-0 ) (&0*/)� 3212 D -)�)� & 63' 2421 2) /1 (&0*/)� 32122)/ 04'2& �4) 2)6(-3. ) $

��������� � %&0& X)0&6 23(X& D /1 &.-1 *-)6)'+) )6+ 71 .16121 )' /1 32)1 2) �4) /&61(+41/)6 2)61--&//&6 2) /1 0 )( 71'3(1 2) �432&6 )� 3A)' 4'1 6 7&/321 (&0*-)'63 7&' 01+)0 71+3(1 D63' *-)(3&6360&6 , 63' /1A4'16 $ �&- )//& )/ 14+&- X1 +-1+12& 2) 21- )/ -)/3)<) 2).32& 1 /1(43212&61 2)-3<1(3 7&' 2) /16 )(41(3&')6 * )-+3')'+)6 , 1/ (&--)(+& */1'+)10 3)'+& 0 1+)0 71+3(&2) /&6 *-&./)0 16 $ �&- &+-1 *1-+) D 6) X1 -)1/312& 4'1 6)/)((3 7&' 2)/ 0 1+)-31/ �4) 6) 121*+) 1/(&'+)'32& *&63. /) 2) 4' (4-6& 3'+-&24(+&-3& D 0 716 /16 '1+4-1/)6 )�+)'63&')6 �4) (&0*/)+1'/1 )�*&63(3 7&' & *-)*1-1' 1 4/+)-3&-)6 /)(+4-16 $ Z' 64 -)(&--32& *&- /1 +)&- 791 . 7163(1 2)/&6 �432&6 D )/ (4-6& &8-)() 4'1 *-&A-)63 7&' A-1241/ 1 +-1< 7)6 2) 4'1 10*/31 04)6+-1 2)/16 )(41(3&')6 (/ 7163(16 2) /1 8 7963(1 0 1+)0 71+3(1 D 0 &6+-1'2& 1/ +3)0*& )' �4 7) 8&-0 1 /16)(41(3&')6 �-)1/)6�23\)-)' 2) /16 <)-63&')6 630*/3\(1216 0 716 1/ 46& D , )�10 3'1'2& (4 71/)6 )/ (&'+)�+& )' �4) 6) 1*/3(1' $ �&- 74/+30 & D )/ 14+&- )6* )-1 X1. )- 632& (1*1 2) 0&6+-1-( 7&0& /&6 �432&6 '&6 //)<1' 2) 4' 0&2& '1+4-1/ 1 2)6(4.-3- , 2)61--&//1- /16 23<)-616 -10 162) /16 0 1+)0 71+3(16 D 3'(/4 3216 1�4)//16 4641/0 )'+) (&'632)-1216 0 716 *4-16 � )(41(3&')6238)-)'(31/)6 D 1' 71/3636 (/ 7163(& , 1' 71/3636 84'(3&'1/ D 0 7)+&2&6 2) <1-31./) (&0*/)� 1 D 636+)0 1623' 710 3(&6 D A)&0 )+- 791 238)-)'(31/ D +&*&/&A 791 D$$$ +&2& )//& (&' 646 <)-+3)'+)6 '40 7)-3(16 DX1(3)'2& <)-212 )/ (&'& (32& /)0 1 2) �4) 6 7&/& X1, 4' +3*& 2) 01+)0 71+3(16 74+3/)6 D /16.4)'16 0 1+)0 71+3(16 $� ��������� � C-1+ 71'2&6) 2) 4'1 (3)'(31 2) A-1' 30*&-+1'(31 *- 71(+3(1 D &.-1 2) (3)'+ 79\(&63/46+-)6 D )� 36+)' )�()/)'+)6 +)�+&6 �4) 2)61--&//1' /1 0 )( 71'3(1 2) �432&6 (&' 23<)-616&-3)'+1(3&')6 , �4) )/ /)(+&- *4)2) <)- -)�)� 12&6 )' /1 .3./3&A-18 791 $ � '4)6+-& )'+)'2)- D 63')0.1-A& D 04(X&6 2) /&6 +)�+&6 0 716 )� )0*/1-)6 63A4)' 4'1 1*-&� 30 1(3 7&' 8)'&0 )'&/ 7&A3(1 D63' 2421 04, )8)(+3<1 *1-1 )/ 3'A)'3)-& D * )-& �4) *-3<1 1/ )6+4231'+) 2)/ */1()- , )/

Page 14: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� 33

. )')\(3& 2) /1 )�*&63(3 7&' 0 716 0 1+)0 71+3(1 D �4) )6 1 '4)6+-& )'+)'2)- 04, '1+4-1/ ,(&'<)'3)'+) , (4,&6 -)�4363+&6 6&' * )-8)(+10 )'+) (&0*1+3./)6 (&' )/ '3<)/ 2) /&6 (4-6&62) 0 1+)0 71+3(16 2) '4)6+-16 4'3<)-63212)6 $ Z6 2) 6) �'1/1- �4) /&6 2)61--&//&6 0 1+)0 71+3(&62) /&6 74/+30 &6 2)()'3&6 6&' 2) 4' A-1' 3'+)- 7)6 *- 71(+3(& , )6 *-)(36& �4) /&6 '4)<&6 +)�+&6/&6 +)'A1' )' (4)'+1 , 0&+3<)' 64 )6+423& $ Z' +&2& (16& D '121 646+3+4 3- 71 )' 4' )6+423&*-&84'2& 2) /1 0 1+)-31 1 /1 /)(+4-1 2) /&6 (/ 7163(&6 D )'+-) /&6 (41/)6 (3+1-)0&6 1*1-+)2)/ /3.-& 2) ����$"� ,1 0)'(3&'12& D /&6 +)�+&6 2) ��"&� ��� ��,��� � ���$�������� �"� �#E?E� $ G&6 /)(+&-)6 �4) .46�4)' )/ -3A&- 0 1+)0 71+3(& 2368-4+1- 71' (&' /1 /)(+4-12) /1 0&'&A-18 791 2) . ���� �#E?E� $ Z / 14+&- 2)6)1 +10.3 7)' )�*-)61- 64 2)421 (&' 1/A4'&6+)�+&6 0 716 -)(3)'+)6 (&0 & )/ 2) ����� , %���$ � ��,)* � , )/ 2) �&� ��� �#EEY� D(4,1 /)(+4-1 (&0*/)0 )'+1- 71 16* )(+&6 &/< 3212&6 & 0)'&6 +-1+12&6 )' )/ *-)6)'+) +)�+& $

G1 &.-1 *-)6)'+) +3)') &.� )+3<&6 /30 3+12&6 $ G1 0 )( 71'3(1 2) �432&6 )6 X&, 2 791 4' (10*&10*/79630 & �4) &8-)() 0 74/+3* /)6 * &63. 3/3212)6 2) 2)61--&//& 0 1+)0 71+3(& D �4) )6+) +)� +& )'64 .-)<)212 '& 16*3-1 1 (4.-3- , *1-1 )/ �4) )� 36+) 4'1 10*/31 /3+)-1+4-1 D 2) /1 �4) 210&64'1 2)+1//121 6)/)((3 7&' 1/ \'1/ 2) /1 &.-1 , (4,1 /)(+4-1 )6* )-10&6 -)64/+) 0 716 1(()63. /)A-1(316 1 )6+16 /)((3&')6 $ G&6 5 <&/ 740)')6 2) �$ G $ ����� �#EH>�HH� (&'6+3+4,)' 4'1)�()/)'+) &.-1 2) '3<)/ 1<1'12& )' /1 �4) )/ /)(+&- *4)2) 6)A43- /&6 -)(3)'+)6 *-&A-)6&62) /16 0 1+)0 71+3(16 2) /&6 �432&6 $��������� ������ � �1-1 (&'(/43- D )/ 14+&- 2)6)1 1A-12)()- )/ 1* &,& 2) +&2&6 /&6 (&/)A16, )6+4231'+)6 �4) /) X1' 1'30 12& )' /1 -)1/31(3 7&' 2) )6+) *-&,)(+& D �4) *4)2) *1-)()-)�+-1 �'& 1 74' X&, 2 791 )' '4)6+-& *1 796 )' 4' *-&8)6&- ) 3'<)6+3A12&- 0 1+)0 71+3(& D * &- 04(X&�4) +)'A1 64 *-30 )-1 8&-0 1(3 7&' )' /1 3'A)'3)- 791 $ Z6* )(31/ A-1+3+42 A41-2& 1 0 36 1/40'&62) /1 F $� $� $ �4) 0) X1' 0&6+-12& (&' 64 )� )0*/& �4) /1 /3()'(31+4-1 2) 0 1+)0 71+3(16)6 4' 01-(& 12)(412& *1-1 )/ 1(()6& 1/ 04'2& 2) /16 1*/3(1(3&')6 $ ;)6)& * &- 74/+30 &1A-12)()- 1 ; $ ��"� )/ -)A1/& 2)/ C)� D �4) X1 (10.312& /1 <321 2) +1'+&6 14+&-)6(3)'+ 79\(&6 $

� 12-32 D 0 1,& 2) #EEB � )')-& 2) 5YY:

Page 15: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� 333

��� �������� �� ���

��������� � Z/ *-)6)'+) +)�+& (&'+3)') 4'1 3'+-&24((3 7&' 1 /1 +)&- 791 0 1+)0 71+3(1 2) /&6�432&6 (&' )6* )(31/ 1+)'(3 7&' 1 /1 2)-3<1(3 7&' 636+)0 71+3(1 , -3A4-&61 2) /&6 636+)0 16 2))(41(3&')6 �4) -3A)' )/ 0&<30 3)'+& 2) /&6 236+3'+&6 +3* &6 2) �432&6 -)1/)6 $

%&0& *-)/30 3'1- 1 )6+) )6+423& )/ <&/40)' (&0 3)'1 (&' /1 *-)6)'+1(3 7&' 2)/ (&'()*+&2) 0 )23& (&'+3'4& , /1 3'+-&24((3 7&' 2) /&6 (&'()*+&6 (3')0 71+3(&6 74+3/)6 �(1* 79+4/& #� $ Z /)6+423& 636+)0 71+3(& (&'+3)') 4' *-30 )- ./&�4) +)0 71+3(& )' �4) 6) 2)-3<1' /16 )(41(3&')684'210 )'+1/)6 2) /&6 0 )23&6 (&'+3'4&6 (&0& /),)6 2) (&'6)-<1(3 7&' 2) /1 0 161 D /1 (1'+32122) 0&<30 3)'+& , /1 )')-A 791 $ Z6+) +-1.1� & &(4*1 /&6 (1* 79+4/&6 5 1 = , )' )//&6 6) 3'+-&24()'A-1241/0 )'+) /&6 74+3/)6 0 1+)0 71+3(&6 ')()61-3&6 $ � 16+1 1�4 79 /1 *-)6)'+1(3 7&' )6 < 71/321 *1-14' 0 )23& (&'+3'4& (41/�43)-1 D 2) 8&-0 1 �4) 6) 1*/3(1 +1'+& 1 /1 0 )( 71'3(1 2) �432&6 (&0&1 /1 )/16+3(3212 $ %&' )//& '& X1()0&6 63'& 6)A43- 4'1 +)'2)'(31 0&2)-'1 D X&, 2 791 .3)')6+1./)(321 D 2) X1()- �4) /1 *-)6)'+1(3 7&' -)61/+) /&6 *-3'(3* 3&6 A)')-1/)6 2) /1 0&2)/31(3 7&'01+)0 71+3(1 , *)-0 3+1 1/ /)(+&- 4'1 0 716 8 71(3/ 121*+1(3 7&' 1 D & (&0*1-1(3 7&' (&' /16 +)&- 79162) 23<)-616 71-)16 1\')6 �4) 6&' )6+4231216 *&- 64 3'+)- 7)6 (3)'+ 79\(& & +)('&/ 7&A3(& $

) //)A1 16 79 1/ &.� )+3<& ()'+-1/ 2)/ <&/40 )' D 1 61. )- D /1 (/163\(1(3 7&' 2) /&6 236+3'+&6+3* &6 2) �432&6 2) 0 1,&- 3'+)- 7)6 � 6) (&'+)0*/1' /16 2&6 A-1'2)6 23< 363&')6 D /1 *-30 )-1)' �432&6 * )-8)(+&6 & <36(&6&6 D /1 6)A4'21 )' �432&6 3'(&0*-)63. /)6 & (&0*-)63. /)6 $ )8&-04/1' -)6* )(+3<10)'+) /16 /),)6 23' 710 3(16 2) ��� � , 0�'� ��."� � D �4) 6&' /1(40.-) 2) )6+1 +)&- 791 $ Z' /&6 (1* 79+4/&6 ? 1 H 6) (40*/) )/ &.� )+3<& 2) *-)6)'+1- , -)1/31-4'1 236(463 7&' . 7163(1 2) /&6 636+)0 16 2) )(41(3&')6 )' 2)-3<1216 *1-(31/)6 �4) 6) &-3A3'1' D 6))6+4231' /&6 )� )0*/&6 2) �4� &6 0 716 (1-1(+)- 796+3(&6 , 6) 1.&-21 )/ *-&./)0 1 2) /1 -)6&/4(3 7&'01+)0 71+3(1 A)')-1/ $

� 1 2) +)')-6) )' (4)'+1 �4) +&2&6 /&6 +3* &6 2) �432&6 16 79 )6+42312&6 *4)2)' <)-6)(&0 & (16&6 *1-+3(4/1-)6 2) /&6 �432&6 (&0*-)63./)6 < 36(&6&6 D , 16 79 /& -)(&A) /1 8&-04/1(3 7&'01+)0 71+3(1 )' 8&-0 1 2) 636+)0 1 2) )(41(3&')6 )' 2)-3<1216 *1-(31/)6 (&' /&6 21+&6 123(3&�'1/)6 &*&-+4'&6 $ �X&-1 .3)' D 212& )/ )6+12& 1 74' )' 2)61--&//& 2) /1 +)&- 791 2) /&6 �432&6(&0*-)63. /)6 < 36(&6&6 D �4) 04)6+-1 4'1 )�+-1&-23'1-31 (&0*/)� 3212 D )/ )6+423& )' 2)+1//)2) /16 �630 */3\(1(3&')6�(&.-1 4' )'&-0 ) 3'+)- 7)6 D (&0 & 6) -)�)� 1 )' )/ /3.-& D �4) *-&()2)2) /& 0 716 630*/) 1 /& 0 716 (&0*/)� & $ 7&+)6) +10.3 7)' �4) &+-16 630 */3\(1(3&')6 +3)') /4A1-6)A 74' )/ +)�+& *-&()2) � �4� & )6+1(3&'1-3& D �4� & X&0&A 7)')& D �432& 32)1/ D �4� & 3--&+1(3&'1/ D�4� & *&+)'(31/ $ Z' -)640 )' D /16 �+)&- 7916 *1-(31/)6� 6&' 2) A-1' 3'+)- 7)6 0 1+)0 71+3(& D *4)6)6 4' X)(X& (&'6+1+12& 2) /1 0 1+)0 71+3(1 2)/ 63A/& �� �4) � ��� �� � � ���� ���� ��$ ���� � ��# ����� �� �� ��� ���� � � � �� �� � ����� ��� $

Z' )/ (1* 79+4/& E 6) -)<361' /16 )(41(3&')6 (&--)6*&'23)'+)6 1 /1 )6+ 71+3(1 2) �432&6 D �4)

Page 16: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� 3<

*4)2)' <)-6) (&0& 4' (16& *1-+3(4/1- 04, 630*/) 2) /1 8&-04/1(3 7&' 23' 710 3(1 D * )-& �4)+3)')' A-1' 3'+)- 7)6 )' 6 79 0 360 16 $

Z' )/ (1* 79+4/& #Y 6) +-1+1 2) /&6 �432&6 < 36(&6&6 �4) �4,)' 1 +-1< 7)6 2) /&6 0 )23&6*&-&6&6 D (4,& )6+423& '& )'+-1 )' )/ )6�4)01 1'+)-3&- , &.)2)()' 1 /1 /), 1/+)-'1+3<12) ���&� $ Z6+&6 �432&6 6) 1*/3(1' 1 4'1 10*/31 (/16) 2) *-&./)0 16 2) \/+-1(3 7&' )' )/64.64)/& , 1 /1 )� +-1((3 7&' *)+-&/798)-1 D (&' 646 (&'6)(4)'(316 10.3)'+1/)6 ) 3'246+-31/)6 $%&' )//& +)-0 3'1 /1 )�*&63(3 7&' A)')-1/ 2) '4)6+-& +)0 1 2) )6+423& $

G1 6)A4'21 *1-+) 2)/ +)�+& )6+ 71 2)23(121 1 )6+423&6 )6* )(31/312&6 $ %121 4'& 2) /&6(3'(& +3* &6 *-3'(3*1/)6 2) �432&6 *-)6)'+12&6 &8-)() 0 74/+3* /)6 * &63. 3/3212)6 2) 2)61--&//&*&6+)-3&- �4) (&'6+3+4,)' '1+4-1/0 )'+) )/ &.� )+& 2) (4-6&6 14+ 7&'&0&6 D 63)'2& '1+4-1/ �4))/ 14+&- , )/ /)(+&- 6) &-3)'+)' *&- 646 3'+)-)6)6 * )-6&'1/)6 $

� -)<310 )'+) 1 )6+&6 )6+423&6 2)23(10&6 4' (1* 79+4/& 1 /&6 )/)0 )'+&6 2) �' 71/3636 @4'�(3&'1/ ')()61-3&6 *1-1 /&6 )6+423&6 0 1+)0 71+3(&6 1<1'12&6 $ C1/)6 '&(3&')6 84'(3&'1/)66)- 71' 2)61--&//1216 )' (1* 79+4/&6 *&6+)-3&-)6 $

Z / *-30 )- ./&�4) +)0 71+3(& �4) 6) 1. &-21 )6+) <&/40 )' (&'+3)') /&6 +)0 16 (/ 7163(&6 2)/&6 �432&6 32)1/)6 D 2)61--&//12& )' : (1* 79+4/&6 � 4'& 2)23(12& 1 /&6 �4� &6 *&+)'(31/)6 �(1* $##� D &+-& 1 /&6 0 7)+&2&6 .3230 )'63&'1/)6 2) <1-31./) (&0*/)� 1 �(1* $ #5� , 4' +)-()-& 1 /1+)&- 791 2) /1 <&-+3(3212 �(1* #:� $

F' 6)A4'2& ./&�4) +)0 71+3(& 2)61--&//1 1/A4'&6 +)0 16 6)/)((3&'12&6 2) 3'+-&24((3 7&'1/ )6+423& 1<1'12& 2) /&6 �432&6 <36(&6&6 $ Z / (1* 79+4/& #= )6+ 71 2)23(12& 1 3/40 3'1- /1+-1'63(3 7&' <36(&6&�'& <36(&6& 0 )231'+) /1 +)&- 791 2) /1 (1*1 /790 3+) 2) ����$"� D 4'1 32)101+)0 71+3(1 2) A-1' &-3A3'1/3212 D . )//)1 , *-&84'23212 D (&' /1 �4) )0*) 7& )/ 63A/& �� ,�4) 84) 0 &+3<121 *&- )/ 2)6)& 2) (&0*-)'2)- )/ 84'210 )'+& 0 1+)0 71+3(& 2)/ <4)/& $

�&- 74/+30 & 2)23(10&6 4' (1* 79+4/& 1 /16 )(41(3&')6 2)/ (1/&- /3')1/)6 , '& /3')1/)6 $@4)-1 2)/ 0 1-(& 2)/ *-)6)'+) +)�+& �4)21' 1/A4'&6 A-1'2)6 +)0 16 2) /1 3'<)6+3A1�

(3 7&' 01+)0 71+3(1 1(+41/ �4) (&'6+3+4,)' 4'1 (&'+3'41(3 7&' '1+4-1/ 2)/ (4-6& � )/ )6+423&636+)0 71+3(& 2) /&6 �432&6 <36(&6&6 � )/ )6+423& 2) /&6 �432&6 (&0*-)63. /)6 D �4) 3'(/4,) )/ )6�+423& 0 1+)0 71+3(& 2) /16 &'216 2) -1-)81((3 7&' , 2) (X&�4) , +3)')' 1*/3(1(3&')6 0 74/+3*/)6 �1)-&' 714+3(1 D 1( 746+3(1 D )+( � 0 74/+3* /)6 +)0 16 0 716 )6* )( 79\(&6 D (&0& /1 +4-.4/)'(31 , /163')6+1.3/3212)6 D /&6 *-&()6&6 �4) 3'<&/4(-1' -)1((3&')6 �4 790 3(16 D (&0 & /1 (&0.46+3 7&' D /&6*-& ()6&6 2) (10.3& 2) 816) , /&6 *-&./)0 16 2) 8-&'+)-1 /3.-) D /1 0 1A')+&X32-&23' 710 3(1 D/&6 *-& ()6&6 2) +3*& (&'<)(+3<& D /&6 *-& ()6&6 236* )-63<&6 D )+( $ � &2)/&6 �432&6 6) 4+3/31'(&' 7)� 3+& )' /1 0&2)/31(3 7&' 2) &+-16 (3)'(316 D (&0 & 64()2) )' /&6 6)0 3(&'24(+&-)6 $ Z6+&6+)0 16 6&' )/ &.� )+& 2) 3'+)'6& )6+423& , 0)-)()' (4-6&6 *-&*3&6 $ �&- &+-1 *1-+) )/ (4-6&*-)6)'+) '& (&'+3)') /&6 2)61--&//&6 '40 7)-3(&6 �4) 6&' *1-+) 84'210)'+1/ 2) +&2& )6+423&0 716 1<1'12& $�������������� � Z/ (4-6& X1 632& 30*1-+32& 1 )6+4231'+)6 2) 74/+30 & 1 �'& 2) )6+423&6 2)/3()'(31+4-1 )' 01+)0 71+3(16 & *-30 )- (4-6& 2) /&6 )6+423&6 2) *&6A-12& $ � -)64* &') 6 7&/&/&6 (&'& (30 3)'+&6 . 7163(&6 �4) 6) 64*&')' 12�43-32&6 )' /&6 *-30 )-&6 1 �'&6 2) /&6 )6+423&62) 0 1+)0 71+3(16 D 8 7963(1 & 3'A)'3)- 791 $ G&6 *-)--)�4363+&6 30*-)6(3'23./)6 3'(/4,)' ( 71/(4/&

Page 17: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�<

238)-)'(31/ ) 3'+)A-1/ D , )' 0)'&- 0 )2321 71/A).-1 /3')1/ D A)&0)+- 791 238)-)'(31/ , )(41(3&')6238)-)'(31/)6 $ Z / (&'+)'32& 8 7963(& )6 84'210)'+1/ *1-1 /1 �46+1 (&0*-)'63 7&' 2)/ (4-6& D * )-&'& )6 4' &.� )+3<& )' 6 79 0 360& , /1 .16) ')()61-31 '& )�()2) 2) /& �4) )/ )6+4231'+) 61. ))' )/ '3<)/ 2) )6+423&6 0 )'(3&'12& $ Z' +&2& 0&0 )'+& 6) 21' -)8)-)'(316 *1-1 )/ )6+423& &-)*16& 2) /&6 +)0 16 . 7163(&6 $ � 6 79 0 360& D 6) 21' 3'23(1(3&')6 *1-1 /1 *-&84'231(3 7&' )' /&6+)0 16 0 716 1<1'12&6 2) 0 1+)0 71+3(16 & 8 7963(1 �4) 64-A)' D (4,& 2)61--&//& �4)21 1 (-3+)-3&2)/ *-&8)6&- $"� �������� � Z� )-(3+1- /& 1*-)'232& )6 *1-+) (-4(31/ 2)/ *-& ()6& 2) 1*-)'231� ) , A-1' *1-+)2) /&6 )� )-(3(3&6 )6+ 71' 2)6+3'12&6 1 0&+3<1- /1 *1-+3(3*1(3 7&' 2)/ /)(+&- $ � )0&6 6)A432& )/*/1' 2) 3'(/43- /1 0 1,&- *1-+) 2) /&6 )� )-(3(3&6 2)'+-& 2)/ +)�+& )' )/ *-)(36& /4A1- �4)/&6 0&+3<1 $ & +&2&6 /&6 )� )-(3(3&6 6&' 63' )0.1-A& ')()61-3&6 )' 4'1 *-30 )-1 /)(+4-1 $��4)//&6 �4) '&6 X1' *1-)(32& 30*&-+1'+)6 *1-1 /1 (&0*-)'63 7&' 2)/ +)�+& �4) /)6 63A4)<3)')' 01-(12&6 (&' 4' 16+)-36(& $ W'23(1(3&')6 *1-1 /1 -)6&/4(3 7&' 2) 4' (&'�4'+& 2))� )-(3(3&6 6)/)((3&'12& <3)')' -)(&A3216 1/ \'1/ 2)/ <&/40)' $������� �� �� ����� � Z/ (4-6& X1 632& 30*1-+32& )' /1 F�� )' 4' (41+-30 )6+-) D *1-1 /&(41/ )6 *-)(36& -)1/31- 4'1 6)/)((3 7&' 2) +)0 16 , )<3+1- /&6 0 74/+3* /)6 2)+1//)6 (&0*/)0 )'�+1-3&6 �4) \A4-1' )' /16 6)((3&')6 \'1/)6 2) /&6 (1* 79+4/&6 $ ) 64A3)-) (4.-3- /&6 ./&�4)6# �(1*6 $ 5 1 = � , 5 �(1*6 $ ? 1 E D (&' /1 *&63. /) )�()* (3 7&' 2)/ (1* $ H� , (&'+3'41- /4)A&(&' /&6 +)0 16 �4) 6) 2)6)) $ Z6 )' )6) 6)'+32& 74+3/ -)(&-21- �4) /&6 (1* 79+4/&6 2) �4� &6*&+)'(31/)6 �(1* $ #5� , <1-31./) (&0*/)� 1 �(1* $ #:� 6&' 04, 1(()63. /)6 1 /&6 1/40'&62) 0 1+)0 71+3(16 , 2) A-1' 3'+)- 7)6 +1'+& *&- 64 01+)0 71+3(1 (&0& *&- 64 1*/3(1(3 7&' 1)�-&' 714+3(1 $ G&6 (1* 79+4/&6 2) �432&6 <36(&6&6 6&' +)0 16 2) /& 0 716 (/ 7163(& )' )/ )6+423& 2)/&6 �432&6 $ Z / (1* 79+4/& 2) � 432&6 )' 0)23&6 * &-&6&6 3'+)-)61- 71 1/ * 74./3(& 0 &+3<12& *&-646 1*/3(1(3&')6 D (&0& )/ (&'+-&/ 2) -)(4-6&6 64.+)-- 71'&6 D /1 )�+-1((3 7&' * )+-&/ 798)-1 D & /1)(&/&A 791 $ Z' 4' (4-6& 1'41/ 6) *4)2)' (4.-3- +&2&6 /&6 +)0 16 , 1<1'1- 12)0 716 3'+-&24(3-+)0 16 (&0& /1 +4-.4/)'(31 D /1 (&0.46+3 7&' D /1 (&'<)((3 7&' & /16 &'216 2) (X&�4) D 1�4 79 6&/&0 )'(3&'12&6 6&0 )-10)'+) $

� 1.- 71 �43)' 2)6)) 21- *-)8)-)'(31 1/ )6+423& (&0*/)+& 2) /&6 �432&6 * )-8)(+&6 1'+)62) )0*)1- (&' /&6 �432&6 < 36(&6&6 $ Z6+1 6)/)((3 7&' D �4) )6 04, -1&'1./) , X1.3+41/ )' /1/3+)-1+4-1 D '& X1 632& 6)A4321 )' )/ *-)6)'+) (4-6& 3'+-&24(+&-3& * &- /1 A-1' 30*&-+1'(31�4) +3)')' /&6 �432&6 <36(&6&6 )' /1 3'<)6+3A1(3 7&' D )' )/ ( 71/(4/& (3)'+ 79\(& , )' /1 1*/3(1(3 7&'3'246+-31/ $ C10.3 7)' -)64/+1.1 (&'+-1-31 1/ 7)'81636 �4) X&, 2 791 6) 21 1 /&6 16* )(+&6 2)0&2)/31(3 7&' (&0*1-121 $

Page 18: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�<3

Page 19: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�<33

� ��� �� � ��� � � �� � �� �����

%&0& -)A/1 A)')-1/ D 4+3/310&6 )/ +3* & 2) /)+-1 3+ 71/3(1 D *&- )� )0*/& � D *1-1 2)'&+1-/16 0 1A'3+42)6 )6(1/1-)6 D /)+-1 ')A-3+1 D � D *1-1 /16 <)(+&-31/)6 , /)+-1 2)/ +3* & � *1-1 /160 1+-3()6 $

� ��� ����� <1-31./) )6*1(31/� +3)0*&� <1-31./) )6*1(31/ 2) -)8)-)'(31� <)/& (3212��� <&-+3(3212�� 1*/3(1(3 7&' 2) +-1'68&-0 1(3 7&' 2)/ �432&� � ��� 01+-3 2) /1 2)8&-0 1(3 7&'�� 01+-3 <)/& (3212 2) 2)8&-0 1(3 7&'� � �#�5� ��� � �� � � 01+-3 <)/& (3212 2) 2)8&-0 1(3 7&' 630 )+-3121� � �#�5� ��� � �� �� *1-+) 1'+3630 7)+-3(1 2) /1 0 1+-3 <)/& (3212 2) 2)8&-0 1(3 7&'

� � ����� +)'6&- 2) )684)-&6 *-)63 7&'! (&)\(3)'+) 2) <36(&63212 23' 710 3(1" � !�# (& )\(3)'+) 2) <36(&63212 (3')0 71+3(1$ 6)A4'2& (&)\(3)'+) 2) <36(&63212% (&)\(3)'+) 2) +)'63 7&' 64*)-\(31/

� &�'�() ����* 2)'63212 2) )')-A 791 3'+)-'1+ � #�5 ,� ,- � * 2)'63212 2) )')-A 791 +&+1/. +)0*)-1+4-1/0 3'+)-(10.3& 2) (1/&- )/)0 )'+1/

Page 20: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�<333

� )'+-&* 791 �)6* )( 79\(1�� )'+1/* 791 �)6* )( 79\(1�� D � � 2363*1(3 7&' <36(&61

� ���'��(�� � (��'�)('����� 2)-3<121 +)0*&-1/ 0 1+)-31/ � 2)-3<121 *1-(31/ +)0*&-1/ )4/)-31'1� � �� � *-&24(+& )6(1/1- 2) <)(+&-)6� � � *-&24(+& 2) (&'+-1((3 7&' 2) 0 1+-3()6,� ,- � � � 0 7&24/& (412-12& 2) 4' <)(+&-,� ,- � � � � 0 7&24/& (412-12& 2) 4'1 01+-3�� 01+-3 � 1(&.31'1 2) 4'1 +-1'68&-0 1(3 7&' �� &*)-12&- '1./1� � � ���� � A-123)'+) 2) 4' )6(1/1-�� � ���� � A-123)'+) 2) 4' <)(+&-� � � � �� � 23<)-A)'(31 2) 4' <)(+&-� � � � �� � 23<)-A)'(31 2) 4'1 0 1+-3� � � � ���� -&+1(3&'1/ 2) 4' <)(+&-/�� +)'6&- 2) � -&')(�)-��� � +)'6&- (&'+12&- 2) *1-3212 2) *)-04+1(3&')6� � *-&24(+& 23 7123(& 2) 2&6 <)(+&-)6

Page 21: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� 3�

Page 22: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

Y

Page 23: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� � ���� � �

� � ���� ���� ����

�� �� � � � � � �� � ��� ���� ��� ��� #� ���� �� � � ���� ��������� ��� ���� ���� ��� ���� �# � � ���� % �� �� � � ��

�# ���� ���� �� � � ��� �� � � � ������ � �# � � �� � � ������ �� �� �# � �� �� �� �� ��� ��� �# � � ���� ��

� � � � ��� ��� '��� � �� �� � �� �� �� ��� �� �� � ��� ���% � �� ��� ��� �

� � � ���Z' )6+) (1* 79+4/& 3' 3(31/ 6) 3'+-&24()' /&6 *-30 )-&6 (&'()*+&6 , /16 X3* 7&+)636 (3')0 71+3(16

-)/1+3<16 1/ 0&<30 3)'+& 2) 4' 0)23& (&'+3'4& $ ) 3'+-&24()' /16 '&+1(3&')6 * )-+3')'+)6, 6) 236(4+) /1 23(&+&0 791 84'210)'+1/ )'+-) /1 8&-04/1(3 7&' /1A-1'A31'1 , /1 )4/)-31'1 $ ) )6+4231' /16 (4-<16 3'+)A-1/)6 $ �&- 74/+30 & 6) -)<361' /&6 84'210 )'+&6 2)/ ( 71/(4/& )'(&&-2)'1216 (4-<3/79')16 $

� � �� ����� � � ��� ��� � ��� � �� �� ��������%&0)'1-)0 &6 '4)6+-1 1'2124-1 * &- )/ 04'2& 2) /&6 ������ (&' 4'16 (&'632)-1(3&')6*-)/30 3'1-)6 2) +3* & 3'+43+3<& �4) '&6 6)-<3- 71' *1-1 )'01-(1- )/ )6+423& , 6)'+1- 1/A4'1632)16 $ F' �432& )6 4' ����� �������� D )6 2)(3- 4' 1A-)A12& �4) 6) 04)<) �6) 2)8&-0 1� )'8&-0 1 (&'+3'41 �)' )/ +3)0*& D �� , 8&-0 1 4' +&2& (&'+3'4& �)' )/ )6*1(3& � � �� � � � - � � �� $�)'610 &6 )' +1/ 0 )23& (&0& (&0*4)6+& 2) *1-+ 79(4/16 *4'+41/)6 $ & X1, )' )//& '3'A4'1&.� )((3 7&' 2) +3*& 01+)0 71+3(& � )' /&6 74/+30 &6 63A/&6 /16 0 1+)0 71+3(16 6) X1' 3'(/3'12&8-)(4)'+)0 )'+) * &- /1 (&'632)-1(3 7&' 2) 01A'3+42)6 (&'+3'416 8-)'+) 1 /16 236(-)+16 D , )'+1/ X3* 7&+)636 6) .161' /1 A)&0)+- 791 238)-)'(31/ D /16 )(41(3&')6 238)-)'(31/)6 , 4'1 A-1'

#

Page 24: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

5 % $�� ��"����

*1-+) 2) /&6 *-&()6&6 )6+&( 716+3(&6 $ �4'�4) '& )/ ( 71/(4/& '40 7)-3(& D )< 32)'+)0 )'+) $�X&-1 .3)' D /1 0 )( 71'3(1 )6 4'1 (3)'(31 8 7963(1 �4) *-)+)'2) 2)6(-3. 3- )/ (&0*&-+10 3)'+&

2) /&6 (4)-* &6 �6 7&/32&6 D / 79�432&6 D A16)6 & */160 16� , 1*&,1 *&- +1'+& 64 8&-04/1(3 7&'01+)0 71+3(1 )' /1 ��� �������� , /1 ���� �� $ � )6+) -)6* )(+& D )/ (&'()*+& 84'210)'+1/ 2)0 )23& (&'+3'4& )6 4'1 1.6+-1((3 7&' �4) D )6+-3(+10 )'+) X1./1'2& D )6+ 71 )' (&'+-1 2) 4'1+)&- 791 3'(&'+)6+1./) , 10*/310 )'+) <)-3\(121 D /1 +)&- 791 1+ 7&0 3(1 D �4) 2)6(-3. ) /1 -)1/3212 1'3<)/)6 3'8)-3&-)6 1 /&6 '1'&0)+-&6 �#Y��0 � *&- )� )0*/& D )/ -123& 2)/ 71+&0 & 0 716 * )�4) �'& D)/ 2) X32- 7&A)'& D 0 32) 1/-)2)2&- 2) 0 )23& 1'A6+- �&0 D Y � ? � #Y� ��0 � $ F' 0 1+)0 71+3(& 1 /1461'1 (/ 7163(1 +3)') +)'2)'(31 1 -)6&/<)- +1/ 63+41(3 7&' -)(X11'2& 2) */1'& 1/ (1'2321+& �4)+-&*3)1 (&' 4'1 +1/ (&'+-123((3 7&' $ �4)6 .3)' D )6+) (4-6& 6) .161 *-)(3610 )'+) )' /1 32)1 2)�4) )' 1.6&/4+& X1-)0&6 +1/ (&61 $ Z //& 0 )-)() 4'1 )�*/3(1(3 7&' D �4) )6 (&0& 63A4) � '4)6+-1+1-)1 (&'636+) )' (&'6+-43- 4'1 +)&- 791 0 1+)0 71+3(1 �4) 63-<1 2) 0&2)/& 1 4'1 *1-()/1 2) /1� )1/3212 $ Z6+) 0 &2)/& X1 2) 6)- �4A12& 2)62) )/ *4'+& 2) <36+1 ���� �� �� D )' �4) 6)+3)') )' (4)'+1 /1 . )//)1 D )�+)'63 7&' , *-&84'23212 2) /16 0 1+)0 71+3(16 &-3A3'1216 � , 2)62))/ *4'+& 2) <36+1 # ����� D * &- 64 )\(1(31 )' -)�)� 1- , )' * )-0 3+3-'&6 ������� /1 -)1/321264.,1()'+) , ��� ����� 64 84'(3&'10 3)'+& &.6)-<12& , �������� 64 )<&/4(3 7&' 84+4-1 $ �&,2 791 D )' )/ * )- 79&2& 2&-12& 2) /1 (3)'(31 ������������� D 1 �'123- 7910&6 (&0& )6)'(31/ /1(1*1(3212 2) ����� ��� , ��������� )\(10)'+) )' .16) 1 )6+) 0 &2)/& $

Z' )6+&6 2&6 74/+30 &6 6)'+32&6 D 63 . 3)' /1 X3* 7&+)636 2)/ (&'+3'4& )6 -3A4-&610 )'+) 81/61 1'3<)/)6 0 3(-&6( 7&*3(&6 D 6) -)<)/1 (&0& )� +-1&-23'1-310 )'+) )\(1 , 1�46+121 �23- 7910&6)�1(+1� (41'2& )6+42310 &6 8)' 7&0)'&6 �4) & (4--)' 1 )6(1/16 //10 1216 ������ & � ������ ��� ��� D *1-1 \� 1- 32)16 /&'A3+42)6 0 1,&-)6 �4) #Y�� (0 $ � 6 79 *4)6 D X1-)0 &6 0 1�+)0 71+3(16 )�1(+16 *1-1 2)6(-3. 3- (&' A-1' 1*-&� 30 1(3 7&' 8)' 7&0)'&6 �4) 2) &+-& 0&2&)6(1*1' 1 /1 (1*1(3212 2) 2)6(-3* (3 7&' (41'+3+1+3<1 ) 3'(/46& (41/3+1+3<1 $ � )0&6 2) X1�()- '&+1- �4) /1 0 )( 71'3(1 2) �432&6 '& )6 /1 74'3(1 -10 1 2) /1 0 )( 71'3(1 .16121 )' )6+11.6+-1((3 7&' D +10.3 7)' /1 � ���������� , /1 � ���������� 6) .161' )' +1/ X3* 7&+)636 $ �&- &+-1*1-+) D )/ ����������������� )6 +10.3 7)' �, )' 4' 6)'+32& 0 716 -123(1/� 4'1 +)&- 791 2)/0 )23& (&'+3'4& D 2)61--&//121 01+)0 71+3(10 )'+) 4' 63A/& 0 716 +1-2) , (&' 6&-*-)'2)'+)6(&3'(32)'(316 )' 646 0 1+)0 71+3(16 (&' /1 0 )( 71'3(1 2) �432&6 $ G& (41/ )6 4'1 *-4).1 0 7162) /1 4'3<)-61/3212 2) /16 32)16 ()'+-1/)6 2) /16 0 1+)0 71+3(16 , 2)/ *&2)- 2)/ * )'610 3)'+&1.6+-1(+& $

�� � ���������� �� � � �����Z/ &.� )+3<& 2)/ (4-6& )6 0&6+-1- )6) * &2)- )' /1 ���� �� � ���� ����� �� ��� � �� ���� D�4) '& <3<) 136/121 63'& �4) 8&-0 1 (&' /1 � �� ����� �� � �� ���� "�� ���� ����� , /1� �� ����� �� � �� ���� ������������� )/ A-1' (4)-*& 2) /1 � )( 71'3(1 2) @/432&6 1(+41/ $

G1 1*-&� 30 1(3 7&' 2)/ 0 )23& (&'+3'4& -)64/+1 6)- +1' )8)(+3<1 �4) 6) &/< 321 (&' 8-)�(4)'(31 2) �4) 6) +-1+1 2) 4' ������ $ Z6 (&' +&2& 30*&-+1'+) +)')- )' (4)'+1 /16X3* 7&+)636 2) *1-+321 $ � 6 79 D /1 (&'632)-1(3 7&' 2)/ �432& (&0& 4' 0)23& (&'+3'4& 6) .161 )'

Page 25: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �( ����$ ��&� ��� � ����&� :

�4) 7)6+) (&'636+) )' 4' 1A-)A12& 2) *1-+ 79(4/16 )' 0&<30 3)'+& (1 7&+3(& , �4) /1 236+1'(31(1-1(+)- 796+3(1 2) )6+) 0&<30 3)'+& D �4) -)(3. ) )/ '&0.-) + 7)('3(& 2) �-)(&--32& /3.-) 0 )23&)'+-) (&/363&')6� D $ D )6 04(X& 0)'&- �4) /16 /&'A3+42)6 )�*)-30 )'+1/)6 D �4) +&0 10&6+ 79*3(10 )'+) (&0& 0 1,&-)6 2) #Y�� (0 D 2) 8&-0 1 �4) 6 7&/& * )-(3. 30&6 4' (3)-+& *-&0)23&2) /&6 *-& ()6&6 3'23< 3241/)6 )'+-) *1-+ 79(4/16 $ �X&-1 .3)' D )' & (163&')6 �*3 7)'6)6) )' /&6A16)6 )'-1-)(32&6 2) /1 0 1+)-31 3'+)-)6+)/1-� )/ -)(&--32& /3.-) 0 )23& *4)2) 6)- 04(X&01,&- D /1 X3* 7&+)636 2)/ (&'+3'4& ()61 2) 6)- < 71/321 , '& �4)21- 71 0 716 -)0 )23& �4) -)(4--3-1 +)&- 7916 �0 716 2)+1//1216��4) +)'A1' )' (4)'+1 /&6 0&<30 3)'+&6 0 &/)(4/1-)6 �(&0 & /1+)&- 791 (3' 7)+3(1 2) A16)6� $ � -)(3610 )'+) D 4'1 2) /16 /79')16 0 716 1(+3<16 2) /1 3'<)6+3A1(3 7&'01+)0 71+3(1 1(+41/ )6 /1 &.+)'(3 7&' 2) /16 /),)6 2)/ 0 )23& (&'+3'4& (&0& /790 3+) 2) /16+)&- 7916 (3' 7)+3(16 $

F'1 <) )6+1./)(32& �4) +-1.1� 10&6 )' )6(1/16 04, 64*)-3&-)6 1/ -)(&--32& /3.-) 0 )23&2) /16 *1-+ 79(4/16 *&2)0&6 &/< 321- )/ \'& 2)+1//) 2) 64 0&<30 3)'+& 3'23< 3241/ , <)- )'+&-'& 1 (121 *4'+& 2)/ )6*1(3& � , *1-1 (121 3'6+1'+) � 4' ������ ��������� ������������� � D /� D 2) +10 1 �'& � ����� ��� ��� D )6 2)(3- 04(X& 01,&- �4) $ , 04(X& 0)'&-�4) /16 /&'A3+42)6 0 1(-&6( 7&*3(16 )' /16 �4) 2)6)10 &6 +-1.1� 1- $ Z6+) <&/40 )' )/)0 )'+1/ D�4) 6) 2)'&0 3'1 +10.3 7)' ���� ��� �� ����� D )6 (&'632)-12& (&0& 4' 0 )23& (&'+3'4& ,X&0&A 7)')& � )' 7)/ 6) 2)\') 4'1 <)/& (3212 0 )231 2)/ 0&<30 3)'+& 2) )6) )/)0 )'+& D �4) 6)- 71*1-1 '&6&+-&6 /1 ��� ����� *4'+41/ )' )6+) *4'+& ) 3'6+1'+) D � �� � �� $ �1-1 2)(3-/& )'8&-0 1 0 716 0 1+)0 71+3(1 D 120 3+30&6 �4) )� 36+) 4' <1/&- / 790 3+) 2) /&6 *-&0 )23&6 (41'2&/� 6) X1() 04, *)�4) �'& )' /1 )6(1/1 3'+)-0 )231 D )6 2)(3- )6 04, *)�4) �'& *)-& 1 74' 04,*&- )'(30 1 2) /1 )6(1/1 1+ 7&0 3(1 $ ;)/ 0 360& 0&2& D 6) X1./1 2) /16 2)0 716 0 1A'3+42)60 1(-&6( 7&*3(16 D (&0& /1 �������� D �4) )6 /1 0 161 * &- 4'3212 2) <&/40)' )' )/ 6)'+32&2) / 790 3+) 1'+)23(X& D , /1 ����� �� D �4) )6 /1 84)-1 '&-0 1/ * &- 4'3212 2) 71-)1 )� )-(321*&- )/ �432& 6&.-) 4'1 64* )-\(3) 32)1/ 3'0 )-61 )' 7)/ & -&2) 71'2&/& $ Z6+1 0 1A'3+42 +3)')4'1 )<32)'+) )�*/3(1(3 7&' 8 7963(1 D *&- )� )0*/& )' 4' A16 )'()--12& )' 4' -)(3* 3)'+) D (&0&)/ )8)(+& ')+& 2) /16 (&/363&')6 2) /16 *1-+ 79(4/16 3'23< 3241/)6 -)1/)6 6&.-) /1 64*)-\(3) 2)/16 *1-)2)6 $ � )6+16 +-)6 0 1A'3+42)6 . 7163(16 6) 4'3- 71' &+-16 )' )/ (4-6& 2)/ )6+423& D (&0&���� ������� � ����� �� ������� � ������ �� � ��������� �$$$ , 1/A4'16 0 716 �4) '& 2).)'*-)&(4*1-'&6 * &- 1X&-1 $ G1 )� 36+)'(31 2) )6+&6 <1/&-)6 0 )23&6 *1-1 /16 0 1A'3+42)6 84'�210)'+1/)6 )' (121 *1-+ 79(4/1 �4321 )6 /& �4) (&'6+3+4,) /1 X3* 7&+)636 2) (&'+3'43212 2)/0 )23& $ ) �'1/)0 &6 *&- 74/+30 & �4) )' )/ +)�+& *-)6)'+) '& 6) +)'2- 71' )' (4)'+1 )8)(+&6-)/1+3< 36+16 D �4) 6&' 30*&-+1'+)6 )' (3-(4'6+1'(316 )6* )(31/)6 * )-& '& )' /&6 8)' 7&0)'&62)6(-3+&6 * &- /1 +)&- 791 (/ 7163(1 $

� )640 3)'2& /& 1'+)-3&- D 23-)0 &6 �4) /16 (&'632)-1(3&')6 (&' �*1-+ 79(4/16�)' 4' 0)23&(&'+3'4& 6&' (&'632)-1(3&')6 (&' � �� ��� ��� � � ���� ������ �4) *-&0 )231' /16 *-&�*3)212)6 2) (121 <&/40 )' )/)0 )'+1/ $ ;) 1(4)-2& (&' )//& D )/ +-1+10 3)'+& 0 1+)0 71+3(&(&'636+) )' &/< 321- /1 )� 36+)'(31 2) &+-1 -)1/3212 1 )6(1/16 3'8)-3&-)6 , -)1/31- )6+&6 *16&61/ /790 3+) (41'2& /� )6 4' '�� � �� �"� ��� �� )' )/ 6)'+32& 4641/ $ Z / +-1+10 3)'+& 2))6+1 �-)1/3212 32)1/�63A4) 4'16 /),)6 D /16 /),)6 2) /1 -10 1 2) 0)23&6 (&'+3'4&6 �4) )6+)�

���� ���� � � ��� � � �� � ���� �� � � ��� � ����� �� ����� � ����� ��� � � ���� ��� �

Page 26: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

= % $�� ��"����

0&6 )6+4231'2& D 1�4 79 /1 0 )( 71'3(1 2) �432&6 $ ;) 1�4 79 64-A) 4'1 � ����� �4) )6+ 71 )' /1.16) 2) /1 236(3* /3'1 D 241/3212 �4) )6 (&0 74' 1 +&216 /16 +)&- 7916 �4) 16*3-1' 1 2)6(-3. 3-0 1+)0 71+3(10 )'+) )/ 04'2& 87963(& $ �&- 4'1 /12& /1 0 )( 71'3(1 2) �432&6 )6 4'1 -10 1 2)/1 (3)'(31 '1+4-1/ , 646 /79')16 2) 3'<)6+3A1(3 7&' &.)2)()' 1 /1 ')()63212 2) 2)6(-3. 3- ,(&0*-)'2)- /1 '1+4-1/)1 , /&6 -)64/+12&6 &.+)'32&6 6) <1/321' )�*)-30 )'+1/0 )'+) $ �)-& D1/ 0 360& +3)0*& D )/ )6+423& +) 7&-3(& 6) 2)61--&//1 6)A 74' *14+16 )6+-3(+10 )'+) 0 1+)0 71+3(16 D2) 8&-0 1 14+& (&'636+)'+) D 21'2& /4A1- 1 4'1 +)&- 791 0 1+)0 71+3(1 * )-8)(+10 )'+) 3'2)* )'�23)'+) , 14+ 7&'&01 D �4) 6) -)/1(3&'1 (&0& <)-)0&6 (&' /16 )(41(3&')6 238)-)'(31/)6 D )/1' 71/3636 D /1 A)&0)+- 791 , /1 +&*&/&A 791 D (4,& 2)61--&//& X1 632& 0&+3<12& *&- )/ )6+423& 2)/&6 �432&6 )' 1/A4'16 2) 646 *1-+)6 0 716 84'210)'+1/)6 $

C&21 -10 1 2) /16 (3)'(316 16*3-1 1 /1 -1(3&'1/3212 , /1 4'3<)-61/3212 $ Z' )6) 6)'+32& D )/6)- (&'6(3)'+) 2) /1 )� 36+)'(31 2) 4'1 -)1/3212 0 716 (&0*/)� 1 D (&0& /1 )6+-4(+4-1 1+ 7&0 3(1 1)6(1/16 3'8)-3&-)6 D )6 84'210)'+1/ *1-1 )/ 3'<)6+3A12&- �4) *-)+)'2) &.+)')- /16 /),)6 32)1�/31216 �4) 2)6(-3. )' (&--)(+10 )'+) )/ 0&<30 3)'+& D &* )-1(3 7&' //10 121 ���������� �� ��4) )6 4'1 *1-+) 84'210)'+1/ 2) /1 (3)'(31 1*/3(121 $ Z' (&'(/463 7&' D 23-)0 &6 �4) 4'1(3)-+1 (&0*-)'63 7&' 2) /1 63+41(3 7&' 8 7963(1 D 14'�4) '& )6 30*-)6(3'23./) *1-1 )/ 0 1')� & 2)/16 )(41(3&')6 D )6 04, (&'<)'3)'+) *1-1 )/ )6+423& �4) *-&* &')0&6 ) 30*-)6(3'23./) *1-1(41/�43)- <1/&-1(3 7&' (- 79+3(1 $

�� ������� �� ��� � ���� ������ ��� � �� �� �����G1 2)6(-3* (3 7&' 0 1+)0 71+3(1 2)/ 0&<30 3)'+& )' 4' 0 )23& (&'+3'4& *4)2) 1.&-21-6) (&0&63A4) $ ) 21 4' 2&0 3'3& � � )' �� , 4'1 810 3/31 2) +-1'68&-0 1(3&')6 � � � � � � � � D2&'2) /&6 � � 6&' 2&0 3'3&6 2) �� D , � � � � �Y � . $ �� ������ �� ������������ �� � � � � � �Y � . � �� )6 238)-)'(31./) � D �� � # � 5 D 7& :�Z6(-3.30&6 � �� � �� � � � �� � $ �+)'(3 7&' *4)6 1 '& (&'84'23- 64. 79'23()6 (&' 2)-3<1216- $� - � �1-1 +&2& � D � � )6 4' 238)&0&-\60& �1*/3(1(3 7&' 4'&�4'& 238)-)'(31./) (&' 3'<)-61238)-)'(31./)� $� � � � )6 /1 32)'+3212 $

/�" �!� "�&� ��� � � � )6 /1 *&63(3 7&' 3'3(31/ 2)/ (4)-*& (&'+3'4& & � ��� ��� �� ��#����� �� D � � )6 )/ 2&0 3'3& &(4*12& *&- )/ (&'+3'4& )' )/ +3)0*& � , �� )6 /1 �� ���� �����#��� �� ��� $

;)'&+10&6 *&- � � �� � � � - � � � /1 *&63(3 7&' 2) 4'1 *1-+ 79(4/1 2) �432& )' )/ +3)0*& � ,*&- � � �� � � �- � � � /1 *&63(3 7&' 2) /1 0 360 1 )' )/ +3)0*& � � Y D �4) (&0& 23� 30 &6 63-<) 2)��#���� �� $ C)')0 &6 � � � � D � � � � ,

��� ����� ������������ ����� ����� � ��� � ���� ���� ��� � �������� �� �� ���� �� �� ����� � ��� � ���������� ������� ���� � � ��� �� ��������� � � �������� �� ��������� �

Page 27: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� � �&��!&� ��� $ � #�'�# � �"� ?

� � � �� � �� ��#$#�Z' (&&-2)'1216 � � � � � ��� � �� $ �&- 1.46& 2) '&+1(3 7&' )6(-3. 30 &6 +10.3 7)' � � � �� � �� � Z/���� ����� �� � <3)') 2)\'32& (&0&

� �� � �� � � � � � � �� � �� � � ��#$5�7Z6+1 )6 4'1 <1-31./) 84'210)'+1/ (3')0 71+3(1 )' 04(X&6 )6+423&6 2) 0 )23&6 (&'+3'4&6 $ 3A43)'2& /1 +)'2)'(31 0 716 4641/ )' )/ )6+423& 2) /&6 �432&6 D )/ *-)6)'+) +)�+& 461- 71 (&0&<1-31./) 84'210 )'+1/ /1 <)/& (3212 $ �1-1 � \� & *&2)0&6 X1//1- /1 0 1+-3 � 1(&.31'1

� � � �� � � - � �� �� � �- � � � � �� � � ��#$:�

� )6+& 6) /) //10 1 ���� �� �� ��#��� �� ��� �3'\'3+)630 1/� $ %&' /16 X3* 7&+)636 2) -)A4�/1-3212 1'+)-3&-)6 �� � �� � �� )6 238)-)'(31./) �� � $ �&- /1 -)A/1 2) /1 (12)'1 61. )0&6�4)

� ��� �� � � � �� � � � ���#$= ��� � )6 /1 0 1+-3 32)'+3212 D )/ ( 79-(4/& � 3'23(1 (&0*&63(3 7&' 2) &* )-12&-)6� $ ) 63A4) �4)/1 +-1'68&-0 1(3 7&' 3'<)-61 �4) *161 2) +3)0*& � 1 +3)0*& Y +3)') 0 1+-3

�� � � � �� � �- � �� �� � � - � � � � ��� �� � ��#$?�

G1 X3* 7&+)636 � - � 23() �4) /1 0 1+-3 �� � )6 '& 63'A4/1- D * &- +1'+& D � �� � �� � 2)+ ��� � � �Y $ �2)0 716 *1-1 � � Y 6) +3)') 2)+ ��� � � � #$ ) 2)24() �4) /1 0 1+-3 )6 63)0*-)� �� '� D )' &+-16 *1/1.-16 /1 &-3)'+1(3 7&' 6) (&'6)-<1 *&- /16 +-1'68&-0 1(3&')6 $�� �'�&��� � � ! � Z' 04(X&6 (16&6 )6 *&63. /) *-)6(3'23- 2) 4'1 & 2&6 2) /16 <1-31./)6)6*1(31/)6 , (&'632)-1- �4) /&6 *-&./)0 16 6) */1'+)1' *1-1 � � �� - 7& � � �� $ ) +-1+163)0*-) 2) (16&6 32)1/)6 � 4' +4.& 04, �3'\'3+10 )'+)� 2)/A12& D 4' �432& 6&.-) 4' */1'&3'\'3+10 )'+) *-&84'2& D$$$$ G1 630*/3\(1(3 7&' 2) ( 71/(4/& �4) )//& )'+-1 �'1 *)-0 3+) 12�43-3-4'&6 -)64/+12&6 , 4'1 3'+43(3 7&' �4) (&0*)'61' )' A)')-1/ /1 2)8&-0 1(3 7&' 2) /1 -)1/3212 $Z' &+-&6 (16&6 /1 -)24((3 7&' 2) <1-31./)6 6) -)1/31 4'1 <) 8&-04/12& )/ *-&./)0 1 )'(&&-2)'1216 (4-<3/79')16 D * &- )� )0*/& /&6 *-&./)0 16 (&' 630 )+- 791 -1231/ & )68 7)-3(1 D (8 $6)((3 7&' #$H $U � � )64/+1 //10 1+3<& (&'6+1+1- D 1/ (&'64/+1- /1 /3+)-1+4-1 D /1 81/+1 2) 1(4)-2& 6&.-) (4)6�+3&')6 2) '&+1(3 7&' D *&- )� )0*/& )' ( 7&0& 2)63A'1- /1 -)8)-)'(31 3'3(31/ $ Z6 (&--3)'+) 461-/16 '&+1(3&')6 � 7& � � 7& 7& � D )' <) 2) � $ Z6+) (1&6 D +1' 0&/)6+& *1-1 /&6 0 1+)0 71+3(&6 D*1-)() '& *-)&(4*1- 1 /&6 14+&-)6 , )6+423&6&6 8 7963(&6 ) 3'A)'3)-&6 $

�� ��� ������� ���� � � ���� �������� �� �� ����� �� �� � � ����� ��� � � �� � � � �

Page 28: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

> % $�� ��"����

���"� $ ' ��"� � <)- /1 <1-31./) 2) -)8)-)'(31 � )' /1 8 7&-04/1 �#$#� (&0 & 4'1 )+3�4)+1& 0 1-(1� �4) 3'23< 3241/31 /1 *1-+ 79(4/1 $ ��' �&��� � ���� ��"�&� ��� � Z' A)')-1/ 461-)0&6 /)+-16 ')A-3+16 *1-1 2)63A'1-<)(+&-)6 , (4-63<16 *1-1 /&6 )6(1/1-)6 D � � �� � �� - , � �� $ Z' )/ (16& 2) /1 *&63(3 7&'2). )0&6 *4)6 461- '&+1(3 7&' <)(+&-31/ D � � �� D 63 . 3)' )/ /)(+&- X1//1- 71 (&' 8-)(4)'(31 )'/1 /3+)-1+4-1 /1 '&+1(3 7&' )6(1/1- * &- 6)'(3//) �212& �4) 61/) +1'+& � , (&' /1 )� (461 2) �4)� 2)63A'1 1 4' *4'+& , '& 1 4' <)(+&- �)6 2)(3- D /1 64+3/ 32)1 2) 236+3'A43- )/ )6*1(3& 18 79'2)/ <)(+&-31/� $ �1-1 X1()- 0 716 8 71(3/ /1 32)'+3\(1(3 7&' 2) /16 0 1+-3()6 /16 2)63A'10&6 (&'/)+-16 0 1, 746(4/16 , 236+3'+& +3* & 2) /)+-1 D *&- )� )0*/& � � �� �� � 7& � � �� �� � $

�1-1 )<3+1- (&'8463&')6 -)'4'(31-)0&6 (&0& -)A/1 A)')-1/ 1 /1 (&'<)'(3 7&' 4641/ 2)4+3/31- 64. 79'23()6 *1-1 2)'&+1- /16 2)-3<1216 *1-(31/)6 $ � 6 79 D )6(-3. 3-)0 &6 ���� � )' <) 2)� � $ � 1'+)'2-)0 &6 )' (10.3& /1 '&+1(3 7&' � � *1-1 /16 2)-3<1216 2) 84'(3&')6 2) 4'1 <1-31./)�4'+& 1 �� ��� D 14'�4) *4)21 (&'84'23-6) /1 2)-3<1(3 7&' (&' /&6 64*)- 79'23()6 D 4+3/312&6 (&'8-)(4)'(31 )' )/ +)� +& )' /&6 (10.3&6 2) )6(1/1 $

�� � ���� ������G1 32)1 0 716 6)'(3//1 �4) 1 4' 01+)0 71+3(& 6) /) &(4--) )6 * )'61- )' /16 *1-+ 79(4/16 3'23< 3�241/)6 , )6+4231- 646 ��� ������ �+-16 /1 X4)//1 2) /���& 0 "�� � $ �1-1 )//& \� 10&6� � � � , )6+42310&6 /1 (4-<1 � �� � �� � � ��� � � �� � �� $ Z / <)(+&- ��� ����� 6) X1//10 )231'+) /1 8 7&-04/1

���� � �

� �� �� � �� � ��

� ������

� )6 2)(3- D (&' � \� &�#$>�

�(8 $ 4' +)�+& 2) ( 71/(4/& & A)&0 )+- 791 238)-)'(31/� $ � 1, <1-316 '&+1(3&')6 4641/)6 )' /1/3+)-1+4-1 *1-1 )6+) <)(+&- D (&0 & � �� � �� D �� � �� , � �� � �� $ � -)8)-30 &6 /1 *-30 )-1 � /1<)/& (3212 6)- 71 *4)6 � )' /& �4) 63A4) $ C10.3 7)' 6) +3)') �4) � � ����� $ Z / <)(+&-��������� �� 2) /1 *1-+ 79(4/1 <3)') 212& *&-

� � �-���- � �-�

��-�����

�#$B�

� )(&-2)0 &6 1X&-1 /&6 (&'()*+&6 (3')0 71+3(&�A)&0 7)+-3(&6 2) '���� ��� �� � � ���� �� $Z6(-3.30&6

� � �� � � ��#$H�2&'2) 6) 2)\') )/ <)(+&- 4'3+1-3& � � �� �� �D //10 12& <)(+&- ��� �� � 1 /1 +-1,)(+&-31 $G1 2)\'3(3 7&' )6 < 71/321 6 7&/& 63 � � � �*4'+& '& 63'A4/1- $ �1-1 2)\'3- )/ <)(+&- '&-0 1/2)-3<10&6 � 2) '4)<& )' �

� � ���� � � �� �

�� � � �� ����� ��#$E� �� ��� ��� � � �

Page 29: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ���#���&��� � B

Z'+&'()6� � � � � � ��� ��#$#Y�

2&'2) � � � � �� ���� )6 /1 �������� ��� ��� �� ��� D 0 3)'+-16 �4) �� )6 /1 1()/)-1(3 7&' '&-0 1/, � )/ <)(+&- 4'3+1-3& '&-0 1/ $ [)10&6 )/ 74/+30 & + 7)-0 3'& 6)A 74' /1 A)&0)+- 791 238)-)'(31/ �212& �4) � � � #D 2)-3<1'2& +)')0&6

5� ���� � Y ��#$##�

)6 2)(3- � � ���� $ G1 23-)((3 7&' 2) ��

�� )6 � $ Z' (41'+& 1/ 0 7&24/& 6) +3)')���� � � � � /4)A& ��

�� � ���� ��

�� � � �� �� ��#$#5�2&'2) � )6 )/ 1-(& D 2)\'32& *&- 3'+)A-1(3 7&' 2) 64 )/)0 )'+& D �� � �� ��� $ � 6 79 *4)6 D

�� � � �� �- � �� �-� ��#$#:�

63)'2& � � #�� )/ -123& 2) (4-<1+4-1 $ Z6+1 )6 /1 8 7&-04/1 .3)' (&'& (321 *1-1 /1 1()/)�-1(3 7&' ()'+- 7984A1 �& ()'+- 79* )+1� $ C&2& )//& *1-)() 4' .4)' (&0 3)'& *)-& <1 6)- 0 )'&630*&-+1'+) )' )/ 2)61--&//& 0 1+)0 71+3(& 2) /1 +)&- 791 2) /&6 �432&6 2) /& �4) *-&0)+) $

�� ���� � ���� ��� ����� ���� � �� �������G1 2)6(-3* (3 7&' 2)/ 0&<30 3)'+& 2)/ �432& )6 (&0*/)+1 63 (1/(4/10 &6 /1 84'(3 7&' � �� � �� $ Z6+1)6 /1 32)1 //10 121 ���������� D )' X&'&- 2) &6)*X�G&436 ������� $ C10.3 7)' 6) //10 18&-04/1(3 7&' ������ & 2) � �� ��� ��� $ Z6 04, <3641/ , A)&0 7)+-3(1 D * )-& '& )6 63)0*-) 74+3/+-1.1� 1- )' )6+) 0 1-(& $ G16 <1-31./)6 3'2)* )'23)'+)6 6&' � �/1 * &63(3 7&' 3'3(31/� , � �)/+3)0*&� $

F'1 32)1 1/+)-'1+3<1 �4) )6 04, 8-4(+ 798)-1 <1 16&(3121 1/ '&0.-) 2) G)&'X1-2 ��� �, (&'636+) )' *&')- )' )/ *4'+& ()'+-1/ 2) /1 0 )( 71'3(1 2) �432&6 /1 84'(3 7&'

� � � �� D +��#$#=�Z' -)1/3212 '& )6 4'1 �84'(3 7&'� D 63'& 4' (10*& 2) <)(+&-)6 � � �� � � �� � +1/ �4)

� � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� ��#$#?�;)+)'A 710&'&6 4' 6)A4'2& 1 )�10 3'1- )6+) )'8&�4) 2)62) 4' *4'+& 2) <36+1 )�* )-3�

0)'+1/ $ �1-+3)'2& 2) /1 ���� (&0& (&'()*+& *-30 1-3& 6) 2)+)-0 3'1 /1 <)/& (3212 2) 4'�432& � )' 4' *4'+& 2)/ �432& � , )' 4' 3'6+1'+) � (&0 & 63A4) � 6) +&0 1 4' ���� �� �

Page 30: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

H % $�� ��"����

�� � � ��" �� � D )6 2)(3- 4'1 *)�4) �'1 *1-+) 2) /1 8-&'+)-1 2) 4'& 2) /&6 <&/ 740 )')6 )/)�0)'+1/)6 0 )'(3&'12&6 )' /1 6)((3 7&' #$5 D (&' '&-0 1/ � D , 6) (1/(4/1 /1 (1'+3212 2) 0 161�4) 1+-1< 3)61 � *&- 4'3212 2) 64* )-\(3) , 4'3212 2) +3)0*& D 63)0*-) .1� & /1 X3* 7&+)6362) �4) )� 36+) 4' /790 3+) � �� � (41'2& )/ <&/40)' )/)0 )'+1/ 6) (&'+-1) X1(31 )/ *4'+& � $Z6+1 (1'+3212 2)* )'2)- 71 &.< 310 )'+) 2) /1 23-)((3 7&' � D 12)0 716 2) � , � $ Z'+&'()6 6)2)+)-0 3'1 � 1 +-1< 7)6 2) /1 -)/1(3 7&'

� �� � � #� � ��#$#>�2&'2) # )6 /1 2)'63212 D /1 6)A4'21 0 1A'3+42 84'210)'+1/ D �4) 6) 0 32) (&0& )/ / 790 3+)2) /1 -)/1(3 7&' 0 161 � 4'3212 2) <&/40 )' )' 4' <&/40 )' )/)0 )'+1/ )' +&-'& 1 � $ Z/ <)(+&-� � #� 6) //10 1 ��� � �� ���� , )6 84'(3 7&' 2)/ *4'+& � , 2)/ 3'6+1'+) � $ %&0& <)0&6 D64.,1() 4'1 (3)-+1 X3* 7&+)636 D 1 61. )- /1 )� 36+)'(31 2) 4' <)(+&- � +1/ �4) � �� � � � � $;)� 10&6 *1-1 )/ (1* 79+4/& 63A43)'+) 4' )6+423& 1 8&'2& 2)/ �4� & 2) 0161 , /1 (&0*/)+1)�*/3(1(3 7&' 2) )6+16 32)16 $

[&/<10&6 1X&-1 1/ *-&./)0 1 (3')0 71+3(& $ 3 6) (&'&() /1 )�*-)63 7&' 2) � (&0& 84'(3 7&'2) � , � D )6 +-3< 31/ X1//1- /16 ��� ������ D ,1 �4) 6) -)24() 1 �3'+)A-1-� D )6 2)(3- 1 -)6&/<)-

� ���� � � �� � � � �� �� � � � �

�#$#B�

�4) )6 )/ *-&./)0 1 2) <1/&-)6 3' 3(31/)6 *1-1 4'1 )(41(3 7&' 238)-)'(31/ &-23'1-31 D �4) 6))6+4231 )' /&6 (4-6&6 )/)0 )'+1/)6 2) Z(41(3&')6 ; 38)-)'(31/)6 I-23'1-316 $ C10.3 7)' 1*1-)()-)* )+3210)'+) )' /&6 (4-6&6 2) � )&0 )+- 791 ; 38)-)'(31/ (&0& �4� & 2) 4' (10*& 2) <)(+&-)6 �)/ /)(+&- -)< 361- 71 /1 /3+)-1+4-1 , )'4'(31- 71 )/ +)&-)0 1 2) )� 36+)'(31 , 4'3(3212 2) 4' �4� &/&(1/ , 64 2)* )'2)'(31 (&'+3'41 -)6* )(+& 1 21+&6 3'(31/)6 , *1- 710)+-&6 � 63 � )6 2) (/16) � 6) &.+3)') 4'1 74'3(1 6&/4(3 7&' � � � �� � �� � �� ��� D 2)\'321 *1-1 4' (3)-+& 3'+)-<1/&2) +3)0*& D )6 2)(3- 4'1 6&/4(3 7&' �� ��� )' )/ +3)0*& $ � )(&-2)0 &6 4'1 <) 0 716 �4) � )64' *1- 710)+-& �4) 6) �'1/1 2) �4 7) +-1,)(+&-31 6) +-1+1 $� � �&�&�� ! �!� � �1� %1/(4/1- /16 +-1,)(+&-316 2)/ 0&<30 3)'+& )' #; �4'1 230 )'63 7&')6*1(31/� 212& *&- )/ (10*& 2) <)/& (3212)6 )6+1(3&'1-3& � � � - $ ;)0&6+-1- �4) 1 *1-+3-2) /1 *&63(3 7&' 3'3(31/ � �Y� � � 6) //)A1 1

� ��� � �# � � � ��#$#H�

�. � %1/(4/1- /1 +-1'68&-0 1(3 7&' � � )' )/ )� )-(3(3& 1'+)-3&- *1-1 Y � � � #$ ;)6(-3.3- (&'*-)(363 7&' )/ 2&0 3'3& 2) 2)\'3(3 7&' ) 30 1A)' *1-1 (121 � , -)*-)6)'+1- /1 (&--)6*&'2)'(31� �� � � � � �� � $

�(� %1/(4/1- /1 0 1+-3 2) /1 2)8&-0 1(3 7&' *1-1 � � # , /1 1()/)-1(3 7&' 2)/ 0&<30 3)'+&)' 84'(3 7&' 2) � D � �<363 7&' /1A-1'A31'1� , 2) � D � �<363 7&' )4/)-31'1� $ �# �"����� $ �#� Z/ )� )0*/& 04)6+-1 4' 8)' 7&0)'& *-)& (4*1'+) 2) )�*/&63 7&' 2) /1+-1,)(+&-31 D �4) 6) <1 1 3'\'3+& )' )/ +3)0*& � � #�� 63 � � Y $ � �&2)0&6 )<3+1- +1/

Page 31: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ���� &"����� � ���� �� E

8)' 7&0 )'&� 79 D 1 (10.3& 2) X1()- 4'1 X3* 7&+)636 64*/)0 )'+1-31 6&.-) )/ (10*& � �� � �� � 637)6+) )6+ 71 212& *&- 4'1 84'(3 7&' A/&.1/0 )'+) G3*6(X3+ 31'1 X1, *-&/&'A1.3/3212 *1-1 +&2&� � �� $�5� G1 3'+)A-1(3 7&' 2) (10*&6 2) <)/& (3212)6 &.+)'32&6 )' /1 +)&- 791 6)- 71 4'& 2) /&6 +)0 1614� 3/31-)6 *-)6)'+)6 1 /& /1-A& 2)/ (4-6& $ Z' )/ (1* 79+4/& ? D 6)((3 7&' ? $B D 6) )6+4231- 71 )'2)+1//) )/ 1' 71/3636 /& (1/ 2) 4' (10*& 2) <)/& (3212)6 , 64 2)6(&0*&63(3 7&' )' /16 (&0*&�')'+)6 3'6+1'+ 71')16 2) +3*& +-16/1(3&'1/ D -&+1(3&'1/ , 2) 2)8&-0 1(3 7&' D (&--)6* &'23)'+)6 13'+)A-1- (10*&6 2) <)/& (3212)6 2) +3*& /3')1/ �

� �� � �� � � � � � � �2&'2) � )6 4'1 01+-3 $� ������ � �������� �� � G1 32)1 2) ��� � 2) (&'632)-1- )/ *4'+& 2) < 36+1 �#$#= � &#��� ��� ��� � ������ -)64/+ 7& 6)- 4'1 32)1 04, *-&84'21 $ � )'(3&')0 &6 �4) )/ +)&-)0 12) )� 36+)'(31 2) Z;I6 6) //10 1 C)&-)0 1 2) Z4/)-�%14(X,��)1'& D )/ 0 7)+&2& 2) /16 * &/3�A&'1/)6 D .16) 2)/ ( 71/(4/& '40 7)-3(& D )6 +10.3 7)' 2) ��� � $ G16 <1-31./)6 3'2)* )'23)'+)6)' /1 8&-04/1(3 7&' )4/)-31'1 6&' � , � $ �&2)0&6 2)(3- �4) /1 < 363 7&' )4/)-31'1 *-)6(3'2) 2)/1 X3* &+ 7)+3(1 *1-+ 79(4/1 , 6) (&'()'+-1 )' /& �4) 64()2) )' 4' *4'+& � D 6)1 �43)' 6)1 �43)'& /& �4) *16) *&- 1// 79 $ W0 1A 79')6) /1 0 )23(3 7&' 2) /1 <)/& (3212 D *-)63 7&' & +)0*)-1+4-1 )'4' (1'1/ & )' /1 1+0 7&68)-1 �1 )8)(+&6 2) *-)23((3 7&' 0 )+)&-&/ 7&A3(1 & *1-1 46& 1)-&' 714+3(& � $� )640 3)'2& D * &- ��� � +)')0&6 /16 2)-3<1216 *1-(31/)6

����

� ��� �

��#$#E�

(&' � � � �� � �� D 0 3)'+-16 �4) *&- �������

����

� ��� �

��#$5Y�

(&' � � � �� � �� $ �I.6 7)-<)6) �4) ���� � 63A'3\(1 (&616 236+3'+16 )' 10.16 /79')16 � � &6+-1�-)0 &6 /1 8&-0 1 2) )< 3+1- )6+1 * )/3A-&61 10.3A �4)212 )' /1 6)((3 7&' #$B $

�� ������������ � � ����� �� ��������� � � ����� �� �� ���� ���

� )0 &6 2)\'32& 1'+)-3&-0 )'+) /16 ������������ 2)/ 0&<30 3)'+& (&0& /16 /79')16 3'+)A-1/)62) /1 )(41(3 7&' 238)-)'(31/ � � ��� � � �� � �� D )6 2)(3- �4) )' (&&-2)'1216 6) +3)')���

� ��� � �

� � �� ��#$5 #�

Page 32: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

#Y % $�� ��"����

Z6+16 /79')16 +10.3 7)' -)(3. )' )/ '&0.-) 2) � ����� ������� ��� $ Z' A)')-1/ /&6 <1/&-)6 2)� � �� � � �� � <1- 791' (&' )/ +3)0*& D (&' /& �4) )' +3)0*&6 236+3'+&6 )/ (10*& 2) 23-)((3&')61*4'+1 )' 23-)((3&')6 236+3'+16 $ Z6 1 <)()6 &* &-+4'& <3641/31- /16 / 79')16 �4) 6) &.+3)')'2) 3'+)A-1- )/ (10*& � (&' <1/&- �(&'A)/12&�)' 4' (3)-+& 3'6+1'+) � � �� D )6 2)(3- X1//1-/16 6&/4(3&')6 2) /1 )(41(3 7&'

���� � � �� � �� � ��#$55�

� / (&'+-1-3& �4) 1'+)6 D )6+) )6 4' 636+)0 1 14+ 7&'&0& D �4) -)�)� 1 /1 23' 710 3(1 )� 36+)'+))' )/ +3)0*& � � �� $ ) //10 1' � ����� �� ���������� $ Z' 4' /)'A41� ) *3'+&-)6(& 4+3/3�12& (&' 8-)(4)'(31 6) 23() �4) /16 / 79')16 2) (&--3)'+) -)*-)6)'+1' 4' 0&<30 3)'+& 32)1/(&--)6*&'23)'+) 1 4'16 (&'23(3&')6 23' 710 3(16 �(&'A)/1216�)' � � �� $

F'1 +)-()-1 &* (3 7&' 6&' /16 //10 1216 � ����� �� �� ��� �� � D �4) 6&' *&- )� )0*/& /16(&/40'16 2) X40& �4) 61/)' 2) 4'1 (X30 )')1 & .3)' /1 + 79*3(1 /79')1 2) (&/&- �4) 6)&-3A3'1 (41'2& 6) 3',)(+1 4' (&/&-1'+) ��������� )' 4' *4'+& 2)+)-0 3'12& 2) 4' �432&*1-1 &.6)-<1- 64 0&<30 3)'+& $ ) +-1+1 2) /16 /79')16 8&-0 1216 * &- +&2&6 /&6 *4'+&6 �4)(&--)6*&'2)' 1 *1-+ 79(4/16 �4) )' 4' 0&0)'+& 1'+)-3&- *161-&' *&- 4' 0 360& *4'+& � ��I.6)-<1(3 7&' � )' /&6 )� )0*/&6 *- 71(+3(&6 1'+)-3&-)6 6) +-1+1 )' -)1/3212 2) 04(X16 /79')16 �6 7&/& <36+&6 2) /)� &6 *&2-)0&6 64*&')- �46+3\(1210)'+) �4) /1 (X30 )')1 & )/ +3'+)-& )0 3+)'4'1 6&/1 /79')1� $ G16 /79')16 <3)')' 21216 *&-

�� �� � � �� � �� � � � � �� �� �� � � � Y � � � �� ��#$5:��� ��� � � � ��� �� �� � �� )6 /1 +-1,)(+&-31 �4) *16 7& )' )/ 0&0)'+& � *&- � � �� $� ����� �� � F' �432& 6) //10 1 ������������ D 63 /1 )�*-)63 7&' )4/)-31'1 2) � )6 3'2)* )'�23)'+) 2) � D � � � �� � $

I.6 7)-<)6) �4) /1 2)'&0 3'1(3 7&' 2) �432& )6+1(3&'1-3& '& �43)-) 2)(3- )' 1.6&/4+& � �-)* &6& � � 0&<30 3)'+& 4'38&-0 ) $ 3A'3\(1 �4) )/ (10*& 2) <)/& (3212)6 )6 3'<1-31'+) (&')/ +3)0*& D (&0& 4' -79& (4,16 1A416 �4,)' 63)0*-) 3A41/ $

�1-1 4' �432& )6+1(3&'1-3& 6) 21 4'1 A-1' 630*/3\(1(3 7&' � )'+&'()6 � � � �� �� � � ���, /&6 +-)6 +3* &6 2) / 79')16 0 )'(3&'12&6 (&3'(32)' $ Z' &+-16 *1/1.-16 6) )6(-3. )��� � � � � � � � � � �� � � � � � � Y �

�4) )6 /1 *-&*3)212 (1-1(+)- 796+3(1 2) /&6 6)0 3A-4*&6 �2) +-1'68&-0 1(3&')6� (&'04+1+3<&6 $� ��� � G1 10*/31(3 7&' 2) /&6 (&'()*+&6 , 74+3/)6 *- 71(+3(&6 2) +3*& A)&0 7)+-3(& , (3')0 71+3(&/3A12&6 1 /&6 (10*&6 2) <)/& (3212)6 , 646 +-1,)(+&-316 6)- 71 -)1/3121 2) 01')-1 A-1241/6)A 74' )/ (4-6& *-&()21 $ �1-1 )0*)1- D )' /&6 %&0*/)0 )'+&6 � 1+)0 71+3(&6 2) )6+) (1* 79+4/&6) -)*161- 71' /&6 (&'()*+&6 , 8 7&-04/16 /3A12&6 1 /16 (&&-2)'1216 (4-<3/ 79')16 , 1 /&6 )� )6 '&3')-(31/)6 $

� �� �� �� � �� ��� ��� �� � �� �� �� � �� ��� ��� �� ��� � �� ��������� ���� �� �� ���� ���� �� ��� ��� � �� � �� � �� � ������� � ��� � � �� � �� �

Page 33: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� � ��'�$� #�" ���� ## �� � � ������ �� � ����� �� � �� �������� � ������ �! �V �� � Z/ 46& 6304/+ 71')& 2) /16 2&6 8&-04/1(3&')6 & *4'+&6 2) < 36+1 D )4/)-31'& , /1A-1'A31�'& D )6 1.6&/4+10)'+) ')()61-3& *1-1 (&0*-)'2)- /&6 8)' 7&0)'&6 2) /&6 �432&6 $ ;12& �4))' (121 4'1 6) +3)') 4' (&'�4'+& 2) <1-31./)6 3'2)* )'23)'+)6 236+3'+& D )6 *-)(36& *-)6+1-/1 0 1,&- 1+)'(3 7&' 1 '& ���# ��� ��� ��� '���� � ������� D +)'3)'2& .3)' *-)6)'+) )/ (10.3&2) <1-31./)6 )'+-) /16 (&&-2)'1216 212& *&- /1 +-1'68&-0 1(3 7&' � � � �� � �� D

� �� � �� � � �� �� � �� � �� �� � �� � ���#$5=�G1 '&+1(3 7&' 4641/ 6)- 71 )4/)-31'1 $ � 6 79 )6(-3. 3-)0&6 *1-1 4'1 84'(3 7&' � � � �� � ��

� �� �

� � �� �

����� ��#$5?�

� ��� � � � �

�� ������ ��� �� � �� � � � � � � � � A-123)'+) )6*1(31/ D�#$5>�

)6 2)(3- /1 '&+1(3 7&' )6+ 71'21- $ � 3)'+-16 +1'+& D *1-1 /16 2)-3<1216 /1A-1'A31'16 .46(10&64'1 '&+1(3 7&' 1/+)-'1+3<1 �4) '&6 )<3+) (&'8463&')6 $ G1 2)-3<121 +)0*&-1/ )6 /1 0 716* )/3A-&61 $ ) +3)')

��� �

������ � �

� ������ � ��

� ��� � � � � � � � �

� �� ����������� !"#$ !$ %& ! �! ' ()*+ ,-. ',/0.+ 1/ 2.- 3!4! 3!$!4 5� 67!$ 8##45�7!5!$ ! #94!$

: � � � � ; � < ����=�>?$�4@�"#$ A6�

� �$ �! ��!" !5! 9!$! 5� @!4B!8B %#7 9�"3#4!� ! �$3!8B# CD # E����F�" B�794!$ A6�

: � �$ �! ��!" !5! 9!$! 5� @!4B!8B %#7 9�"3#4!� ! 3!49 %&86�! CD ! ����GH�IJK JLL J MN OP��QNON RNSP��N � J T � 6$# 5� �! 5#?�� 7#9!8B %#7 U : 3!4! 67! " B$" !8!79B5!5 $� %67 �� 3679# 5� @B$9! E �$ 5�8B4 $� %67 $� @�! 8#"# V678B %#7 5� W # 8#"# V678B %#78#"36�$9! 5� X E �$ 8#7@�7B�79� �7 "!9�" %!9B8!$ 3 �4# 5�$!8#7$�D !?�� �7 V%&$B8! E 5#75� �!$��94!$ $� 6$!7 �7 V678B %#7 5� �#$ 8#78�39#$ A6� 5�7#" B7!7 � Y!4! �@B9!4 �! 8#7V6$B %#7 �7 �!$5�4B@!5!$ 9�"3#4!��$ $� B794#568� �! $B 6B�79� 7#9!8B %#7 3!4! �! 5�4B@!5! 5� �! 4!7 � Z

[[� Z� : � \���G ��

Page 34: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� ����� ��������T$ 5�8B4 E 3!4! V678B#7�$ A6� 5�3 �75�7 5� �!$ 8##45�7!5!$ �$3!8B!��$ U 5�� 9B�"3# [[� �$�! 5�4B@!8B %#7 3!48B!� 8#7 4�$3 �89# ! � 3!4! X 8#7$9!79� � 6!75# E 8#"# �$ �!49# �!?B96!� E$� 5�4B@� 9�"3#4!�" �79� 67! V678B %#7 5� W U � $� 5�C7� �� #3 �4!5#4 [[� " �5B!79� �! 4� �!5� �! 8!5�7! 8#"# [[� Z� � � ; � < ����G��T$9! 5�4B@!5! 9�"3#4!� $� $6��� ��!" !4 OP��QNON RNSP��N � E 9!"?B %�7 ! @�8�$ 01* �.0.2)2.- U ! %67 01* �.0. �,� 2./ � .- � � !?4 %&! 67 7#"?4� "�D #4 E �5�4B@!5! 3!49B86�!4� ��$ 5�8B4 E$B 6B�75# ! �!$ 3!49 %&86�!$� E $B 7# V6�4! 3#4A6� �$9! 3!�!?4! 7# $B 7BC8! �7 �� ��7 6!D � 8#�44B�79� �# A6� 7#$#94#$ A6�4�"#$ ��34�$!4 �5�V�89# 8#" %67 ! �#$ 5�" %!$ B5 B#" !$ 34 %#� B" #$� �T7 �$� $�79B5# $� 5�$B 7! ! @�8�$ 8#"# 01* �.0. � � , 1/0) 1- � , 0) � Y!4! B75B8!4 " %!$8�!4!" �79� �$9� 8#78�39# �$3 �8B!� $� 6$! �7 !� 67#$ 9��9#$ 5� " �8 %!7B8! 67! 7#9!8B %#7 !�9�4�7!9B@! 9!"?B %�7 8 %#"#5! E � � � E �7 @�� 5� [[� � T � ��89#4 5�? � 34�$9!4 3!49B86�!4 !9�78B %#7! �! V %#4"6�! ���G�� U 9�7�4 34�$�79� A6� -. 01* �.0. + . 21* .- 1� ,/) 01 -)� (,2 -1� ' ,/0.�+ 1/2.-1� 01- �,*�) U 9!"?B %�7 A6� �$ ,/. 01* �.0. � .*� .- E 8#794! �# A6� 36�5! $6 �4B4 �!7#9!8B %#7 �

� �86�45� �� ��89#4 A6� �! 7#9!8B %#7 [[� !3!4�8�4 %! 9!"?B %�7 �7 �� 9��9# 8#7 $6 6$#�!?B96!� 3!4! 5�$B 7!4 �! 5�4B@!5! #45B7!4B! 5� 67! V678B %#7 5� 67! @!4B!?�� ��� � T ��#7# 5�?�4 %&! �794! �7!4 5BC86�9!5 !� 67! 36�$ !"?#$ 6$#$ $#7 8#"3!9B?��$ � T7 9#5# 8!$# E�! 8#44�89! 8#"34�7$B %#7 5�� $B 7BC8!5# 5� [[� �$ 5� V675!"�79!� B"3#49!78B! �7 �#$5�$!44#��#$ " !9�" %!9B8#$ 5� �$9� 864$# �

� �8#45�"#$ !� ��89#4 A6� �! 5�4B@!5! " !9�4B!� #�! 5� 9#5!$ �!$ 34#3B�5!5�$ 6$6!��$5� 67! 5�4B@!5! Z !$ %& 9�7�"#$ �!$ ��U�$[[�� � �

� � [[� �[�[� �

[[�� \�

� ��[[� � [

�[� �!$ %& 8#"# �! 4� �! 5� �! 8!5�7![ �

� �[� � ��! � \

[[� \Y�4# �$ 34�8B$# 9�7�4 �7 86�79! A6� �� B$9�7 !� 67!$ 34#3B�5!5�$ " �7#$ �$9 %!75!4 E @�4�D �48B8B# �����IJK JLLL J " P�R �#� $�#QP$S �Q� J T � $6" !75# ; �< �

5� �! 5�4B@!5! "!9�4B!� �$ "6U B"3#4�9!79� �7 �#$ 34# 8�$#$ �7 A6� �$ �$�78B!� 9�7�4 �7 86�79! �� " #@B" B�79# 5� �!$ 3!49 %&86�!$ �%� �� $6��� 5�7#" B7!4 2 (1*+ /) �)/�1� 2 �) � T7 8##45�7!5!$ �4�$3 �89# ! 67#$ �D �$ 4�89!7� 6�!4�$ B7�48B!��$� $� 9B�7�; � < � � �

��� �� \

���GG�%� 94!9! �7 $6"! 5� �! 5�4B@!5! 5B4�88B#7!� 5� ! �# �!4 # 5�� @�89#4 ;

� #7 7#9!8B#7�$6$6!��$ �#U 5 %&! �7 "!9�" %!9B8!$ $� �$84B? B4 %&! 8#" #< � ; %# �& \

���G'�

Page 35: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ����������� ���� �� ���� �GIJK JL� J ��4" B7�"#$ �$9� !3!49!5# 8#7 �! 4��!8B %#7 �794� �!$ 5�4B@!5!$ �$3!8B!��$ � T$9� �$67 8 %!�86�# B79�4�$!79� E 3 �4# 5� "�7#4 6$# � 9B�B�!75# �! 4� �! 5� �! 8!5�7! $� 9B�7� 3!4!�� 4!5B�79� �! 4!7 B!7# E A6� 3 #54%&!"#$ �$84B? B4 �8#7 !?6$# 5� 7#9!8B %#7� <� Z

<� : � �: � � � � � � ���� � �� � ��

� � � � � < � � �� � � < � � � \���G��5#75� <� : U < � $#7 @�89#4�$ C �! U �! ��34�$B %#7 ! �! 5�4�8�! �$ 67 34#5689# @�89#4�"!94B� �

�������� !�" �#!�� $#!%&�"'() *++,-./0-01 23,4 56 78/.01IJ9 JIJ :��� � ;������ � < �# �!4 # 5�� 9��9# �! 3 #$B8B %#7 5� 67! 3!49 %&86�! =6B5! W � %#X � $� 4�C�4� 34�V�4�79�" �79� ! 67 $B$9�" ! 5� 8##45�7!5!$ 8!49�$B!7!$ 5#9!5# 5� @�89#4�$67B9!4B#$ E #49# #7!��$ � B7@!4B!79�$ �7 �� 9B�"3# E P� � �>�? �? E @ � A � �

���G � <A6 %& >�? � H86!75# @ B� A E >�� � � �9�7$#4 5� C�����D�� � � T$84B? B"#$

W � �� � � � E � � � � � �� �� P F \���GG�

T� B$9�7 $B7 �"?!4 # "6�9B965 5� 8!$#$ 34 %!89B8#$ �7 A6� �! �#" �94 %&! 5�� 34#?��" ! �$6$B" �94 %&!� !8#7$�D ! �� 6$# 5� 8##45�7!5!$ 864@B� %&7�!$ !34#3B!5!$ � �!$ " %!$ V4�86�79�$ 5��$9!$ 8##45�7!5!$ $#7 �!$ � - (H/0* �.� U �!$ 1�' (1* �.� � T7 �� 3�!7# �!$ 8##45�7!5!$ 8B� %&754B8!$$� $B"3�BC8!7 �7 �!$ � )-.*1� � <67A6� �� 8 %!�86�# �7 �$9!$ 8##45�7!5!$ $� !34�75� �7 �#$864$#$ 5� �#" �94 %&! 5BV�4�78B!� E 7# �$9!4 %! 5� " %!$ 4�8# �4 �7 �$9� 3679# �#$ 34B78B3!��$��8�#$ $#?4� 9!��$ 8##45�7!5!$ E A6� 69B�B�!4�" #$ �6� # �7 �� �$965B# 5� �!$ �86!8B#7�$ 5��#$ =6B5#$ � 7 $B$9�" ! 5� 8##45�7!5!$ 864@B�%&7�!$ @B�7� 5!5# 3#4 67 5BV�#" #4C$"#I Z �� !� � J� �� � ����G���794� !?B�49#$ K ! U K 5� LM � E ��!" !5# � .*.+ 12* N.� ()/ -) �.- E A6� 3 �4" B9� 5�$84B?B4 8!5!3679# W 5�� �$3!8B# V %&$B8# K "�5B!79� $6$ 76�@!$ 8##45�7!5!$ E �� !� \� !E � � !� � � < �$9� 76�@#$B$9�" ! 5� 4�V�4�78B! $� !$# 8B!7 864@!$ 8##45�7!5!$ O !� 5!5!$ 3 #4O !� Z PI ��Q

�H�H�� Z �Q

�H�H� R K ! S

� \ \ \ ����G=�

Page 36: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�' � ���� ��������8#7 @�89#4�$ 9!7 �79�$ �7 67 3679# 5� �76�@!$� 8##45�7!5!$ �� !� � 5!5#$ 3 #4

S� � W� !�� �? �?� !�

P?���GF��8#7 5�4B@!5!$ 8!�86�!5!$ �7 �� !� �� � >?$�4@� �� ��89#4 A6� 9!79# �#$ �D �$ O !� 8#"# �#$@�89#4�$ S� $#7 ���" �79#$ 5�� �$3!8B# V %&$B8# � �#$ @�89#4�$ S� E 67! @�� 7#4" !�B�!5#$ Z

P ! � ���� S � � �� � ��S F ��

����'H�8#7$9B96U�7 67! ?!$� 7#4" !�B�!5! 5�� �$3!8B# �# E $B $� A6B�4� $�4 34�8B$# E 5�� �$3!8B#9!7 �79� �7 W � � �#$ V!89#4�$ �� $� ��!" !7 -)/� 2,01� �.*.� 21* (H� 2 �.� # '.� 2)*1� + (12* �)� �T7 8##45�7!5!$ $� 9B�7�

P ! � � �? � �? P? � � �? � ��?�� � ��? � �?� !� \���' ��#7 �$9# E �� ���" �79# 5� �#7 B965 E [W � � � P�[� � $� ��34�$! 9!"?B %�7 8#"#

[W � ��

W� !�[� !� � �

���P ! � [� !� \

���'��� �8#45!75# A6� P? � W �? E U 5�4B@!75# W 8#"# V678B %#7 5� �? ! 94!@ %�$ 5� �!$ @!4B!?��$� !� E $� 9B�7� A6�

P? � ��

��? P ! � � ��? � �� � !� �? ����'G�T7 �! 34 %!89B8! $� 69B�B�!7 $B$9�" !$ 5� 8##45�7!5!$ 864@B� %&7�!$ 3!4! �#$ A6� �$9! ?!$��$ $B�"34� #49# #7!� E ���SPRN� OP $���OP#NON� ��S���#N �P� � ��7�"#$ 36�$ A6� �!" !94B� � � �� �? � �$ 9!� A6� � � � � �5#75� � 5�7#9! �! " !94B� 94!$36�$9! 5� � � E 3 #4 �#A6�

� �? � ��? � �� � !� �? �A6� 8#"3��" �79! �! V %#4"6�! � �? � ��? �� � T � ���" �79# 5� !48# �$ �79#78�$[QE � �

��[�� �E � �

��E� �[� !� �E���''�

U �� ���" �79# 5� @#�6"�7 $� 94!7$V#4" ! 8#"#[� �[� E[� � � �� �E �� [� !�[� !E[� !� \���'��

Y#5�"#$ 34�$8B75B4 3#4 �� " #" �79# 5� �! 94!7$V#4" !8B %#7 5�� ���" �79# �#4B�79!5#� 5�$63 �4C8B� E A6� �$ !� # " %!$ 8#"3�B8!5! � Y#4 %6�9B" # E �$ 34�8B$# $� �7!�!4 A6� �#$ �8!"3#$ 5�

Page 37: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ����������� ���� �� ���� ��@�89#4�$� P ! � @!4 %&!7 �7 �� �$3!8B# U $6 @!4B!8B %#7 �$ 67 B"3#49!79� V!89#4 5� 8#"3�B8!8B %#7 5��!$ V %#4"6�!$ �7 8##45�7!5!$ 864@B� %&7�!$ � � B7!�" �79� E $� �7!��"#$ A6� $B �#$ 76�@#$ �D �$ 7#$#7 #49# #7!��$ E �!$ V %#4"6�!$ �!8�7 B79�4@�7B4 �� 34B" �4 9�7$#4 " %�94B8#

� �? U $6$ @!4B!79�$ ��#$#94#$ 5�$!44#��!4�"#$ ! 8#79B76!8B %#7 9#5!$ �$9!$ B5�!$ �7 �#$ 8!$#$ 3!49B86�!4�$ 5�B79�4 %�$ U 4�V�4B"#$ !� ��89#4 ! 67 864$# 5� �#" �94 %&! 5BV�4�78B!� # 4B�" !77B!7! 3!4! " %!$5�9!���$ �

����� �� �� IJ�� J �#5# 8!"3# @�89#4B!� E 3 #4 �D �"3�# �! @��# 8B5!5 ; � � � � �P� E $� 36�5���34�$!4 �7 �!$ 76�@!$ 8##45�7!5!$ �7 �! V#4" !

; � ��

� !�P ! � ����'G�8#7 �!$ 4��!8B#7�$ �? � � � � �? � !� U � !� � � ? � �? �? E A6� $� $B 6�7 5� ���' ��� ���'G� � Y4#?!4A6� �7 �� 8!$# 5� �! @��# 8B5!5 $� 9B�7� �5� �! 5�C7B8B %#7�

� !� � �� [� !� ���[� ����'��$B�75# � !� ��� �! ��34�$B %#7 5� �! �! 94!U�89#4B! �7 V678B %#7 5�� 9B�"3# ��$ 5�8B4 E �!$ 8#"3#�7�79�$ 5� �! @��# 8B5!5 $#7 5�4B@!5!$ " !9�4B!��$� ������ �� �� IJ�� J � �"#$94!4 A6� �� @�89#4 4!5B�79� 5� 67! V678B %#7 ��$8!�!4� 5BV�4�78B!?�� E< � � � � �� � P F � 9#" ! �7 8##45�7!5!$ 864@B� %&7�!$ #49# #7!��$ �! V#4" !

< � � ���� � !�

P ! � \���'=�

IJ9 J� J ����������� � �� ��� ���� � <3!4�8�7 5� V#4" ! 7!964!� �7 34#?��" !$ 8#7$B" �94 %&! !�4�5�5#4 5� 67 �D � � T$9 %!7 5!5!$ 3#4 �!$ V %#4"6�!$� � � 8#$

� � � � $�7� � �

���'F�A6� 5�C7�7 �! 94!7$V#4" !8B %#7 I E 8#7 B7@�4$!

� � �� E � � E � � !489 �� � � � � \����H�I �$9 %! ?B�7 5�C7B5! �7 �� 8#7D 679# P ��

��

� Z � � H� R H

��� �

� R LM S 8#7 67!$B7 6�!4B5!5 �7 � � H ��$ 5�8B4 W � �H

�H�

�� U �! #?@B! 5BC86�9!5 5� �! 3 �4B#5B8B5!5 �7 �T � ��89#4 5�"#$94!4 %! V %!8B�" �79� A6� �! " !94B� � I �$�� � � �� �� � �� �� � �� �

�� �

��

8#$ $�7 H�� $�7 � 8#$ HH H �

�� \

������

Page 38: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�G ����� ���������!$ �#7 B965�$ 8!4!89�4 %&$9B8!$ $#7 �� � �� � �E �� � � E U �#$ @�89#4�$ 67B9!4B#$

�����������

P � � W � � �8#$ �$�7

�H� � �

� �� � � � H� �P � � W� � ��$�7�8#$

�H� � �

� ��� � � � H� �P � � W � �H�H���

������A6� V#4" !7 67 $B$9�" ! " %#@B� 5� @�89#4�$ 5� ?!$� #49# #7!��$ �7 �� �$3!8B# � � %!$ 34�8B�$!" �79� E �7 8!5! 3679# 5�� �$3!8B# E $!�@# �� �D � � E $B$9�" ! �P� � P � � P �

� V#4" ! 67! ?!$�#49# #7!� 5�� �$3!8B# 9!7 �79� �7 �$� 3679# A6� @!4 %&! 8#7 �� 3679# � #?$�4@!"#$ �!$ $B� 6B�79�$ 5�4B@!5!$ 5B4�88B#7!��$ 5� �$9#$ @�89#4�$ 5� ?!$� P� � P � � P � � �P�

�����G�$B�75# 9#5!$ �!$ 5�" %!$ 5�4B@!5!$ 5� �! $�4B� P ! �� !? E @ � A � �

��

E 76�!$ ������ �� �� IJ�� J T7 �� $B$9�" ! 5� 8##45�7!5!$ 8B�%&754B8!$ �! @��# 8B5!5 $� ��34�$! 8#"#

; � � �P� �� �P � �

� �P � �����'�5#75� � � � ; � P� � [� ���[� �

� � � ; � P � � � [ ���[� �� � � ; � P � � [ ���[� \

������T$84B?B4 �!$ 8#"3#7�79�$ � � �

� � �� � �7 V678B %#7 5� �� �

��� � � T$84B? B4 �� 8!"?B# B7@�4$# �

����� �� �� IJ� J �!��!4 �! V %#4"6�! 3!4! �� 4!5B�79� 5� 67! V678B %#7 �$8!�!4 �7 8##45��7!5!$ 8B� %&754B8!$ Z< � � P� � � P � � P � \

����G�IJ9 J� J ����������� ������� � %� 94!9! $#�!" �79� 5� ��B" B7!4 �! 8##45�7!5! U4�$94B7 B4$� ! 67 "#@B" B�79# �7 �� 3�!7# O � 8#7 8##45�7!5!$ ��

� � � �!$ V %#4"6�!$ $�5�568�7 B7" �5B!9!" �79� 5� �# !79�4B#4 � T � ��89#4 8#"34#?!4 %! 3 #4 �D �"3�# A6�

� � � �� 8#$ �� $�7

�� � � ��� $�7 �

� 8#$ �

������V %#4"6�! A6� �$ %69B� 5�568B4 5B4�89!" �79� 5� �! 4�34�$�79!8B %#7 4 %!C8! � T$84 %&?!$� �� 8!"?B#B7@�4$# �IJ9 J� J ����������� �� �� ���� � T$9 %!7 5!5!$ 3#4 �!$ V %#4"6�!$

���

� � � 8#$ � $�7�� � � $�7� $�7� � � 8#$

�����=�

Page 39: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ����������� ���� �� ���� ��A6� 5�C7�7 �! 94!7$V#4" !8B %#7 I �7 �� 8#7D 679# P ��

��� � Z � � H

�� R H

��� �

� R H

�� �S8#7 $B7 6�!4B5!5�$ �7 �� �D � � 5#75� � $�7 � H U �! #?@B! 5BC86�9!5 5� �! 3 �4B#5B8B5!5 �7� U � �!$ �#7 B965�$ 8!4!89�4 %&$9B8!$ $#7 �� � �E �� � � U �� � � $�7 � T � 8!"?B# 5� ?!$�@B�7� 5!5# 3#4 ������

�����

P� � W � � �8#$ � $�7�$�7�$�7

�8#$ �

�P� � �� $�7 W� � ��Q���

�8#$ �

�H�

�P � � W� � �8#$ � 8#$ �$�7� 8#$

� �$�7 � \

����F�T$ %69B� @ B$6!�B�!4 �#" %�94B8!" �79� �#$ @�89#4�$ 5� ?!$� U �!$ 76�@!$ �%&7�!$ 8##45�7!5!$ EA6� $#7 4!5B#$ E " �4B5 B!7#$ U 3!4!���#$ ������ �� �� IJ� J �!��!4 �!$ V %#4"6�!$ 3!4! �� @�89#4 @��# 8B5!5 U �� 4!5B�79� 5� �$9!$8##45�7!5!$ �IJ9 J J ���� � �� ���� � ���� �� ����� ����� � T7 34B78B3 B# �7 �� �B?4# $� $63#754 %!8#"# �7 �#$ �D �"3�#$ !79�4B#4�$ A6� �! 3 #$B8B %#7 4��!9B@! 5� �#$ �D �$ 8##45�7!5#$ �$ CD !�7 �� 9B�"3# � � !5! B"3B5� $B7 �"?!4 # 8#7$B5�4!4 $B$9�" !$ 5� �D �$ " %#@B��$ E 9!��$ A6��! 94!7$V#4" !8B %#7 I U 8#7 ���! �! " !94B� � � �� �? � 5�3 �75�7 5�� 9B�"3# � T7 �$� 8!$#�!$ �86!8B#7�$ 5� �! " �8 %!7B8! 36�5�7 9�7�4 # 7# �! " B$" ! V#4" ! �7 5B@�4$#$ �D �$ ����# $���!" ! B75BV�4�78B! !� 8!"?B# 5� �D �$� � � T7 3!49B86�!4 E 9�754 %!7 �! " B$" ! V#4" ! $B �#$ �D �$$� "6�@�7 8#7 @��# 8B5!5 4��!9B@! 8#7$9!79� E 1� 1� / 1*� .-1� � T � ��89#4 36�5� 3�7$!4 A6� �#$$B$9�" !$ 5� 8##45�7!5!$ 7# B7�48B!��$ $#7 67 �#44#4 �@B9!?�� E 3 �4# 7# �$ !$ %& Z �! � B�44! 7#$� "6�@� �7 �� �$3!8B# 8#7 "#@B" B�79# 67BV#4" � E 5� " #5# A6� �! 8#7$B5�4!8B %#7 5� �D �$7# B7�48B!��$ �$ V675!"�79!� �7 � �9�#4#�# %&! E >8�!7# 4!V %&! U 5B$8B3 �B7!$ !C7�$ �

#7$B5�4�"#$ 36�$ 67 8!"?B# 5� 8##45�7!5!$ #49# #7!� " %#@B� 7# 7�8�$!4B!" �79� B7�4�8B!� E 5!5# 3#4 �!$ �86!8B#7�$� � � O � �� !� � � � � � � ! � �� \���GH�

�! @��# 8B5!5 4��!9B@! 5�� 76�@# 4�9 %&86�# 8##45�7!5# " %#@B� �$ �79#78�$ � �W ! � �

� � O � � � �� � � �� \

���G ����!"#$ �!$ 4� �!$ 5� 8 %!�86�# �7 �#$ 76�@#$ �D �$ � T$ 8�!4# A6� �! 5�4B@!5! "!9�4B!� 5� 67!V678B %#7 �$8!�!4 �W

� �� 7# 8!"?B! 8#7 �! 94!7$V#4" !8B %#7 E 36�$ 9B�7� B5 %�79B8# $B 7BC8!5# �< $ %& E $B 5�C7B"#$ ! �W ! � �

� � �W� �� E �79#78�$

[ ![� � ! � �� � ��

� � �� � ��

� [[� \���G��

� ���� � �� ��� ���� ���� ���� ���

Page 40: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�= ����� ������������� �� �� IJK J � �" #$94!4 A6� �7 67 8!"?B# 5� 8##45�7!5!$ 5!5# 3#4 �!$ �86!8B#7�$���GH� E �! 5�4B@!5! 3!48B!� 9�"3#4!� 8!"?B! 5� !86�45# 8#7 �! V %#4"6�!

! � � � � Q � < � ����GG�5#75� Q �$ �! @��# 8B5!5 4��!9B@! 5�C7B5! �7 ���G �� E Q � � � P� �

��!"#$ !�#4! �! V %#4"6�! 5� 94!7$V#4" !8B %#7 5� �D �$ � Y!4! � CD # 3#5�"#$ 69B�B�!4 �!$V %#4"6�!$ U 7#9!8B#7�$ 34�8�5�79�$ E ���' ��� ���'G� E U �$84B? B4P� � �? �? �P !? � P !� � �? � �? P? � � �? � �

�� �?� !� ��$ 5�8B4 � �? �$ �! " !94B� 5� 8!"?B# 5� �D �$ 7#4" !�B�!5! 5�C7B5! 3!4! � CD # � #7$B5�4!" #$! 8#79B76!8B %#7 �! 94!7$V#4" !8B %#7 5� @��# 8B5!5�$ � Y!49B" #$ 5� A6� �� @�89#4 5� 3#$B8B %#7A6� 67� 67 3679# !� #4B �7 E W � �� � � � � � � � � E $� 4�34�$�79! �7 �#$ 76�@#$ �D �$ 3#4 �� 3679#W ! � �� !� � � � � � � ! � � #7 �� $B 7BC8!5# �!?B96!� 5� 67! 5�4B@!5! " !9�4B!� $� 9B�7� �79#78�$A6� [��[� � O � � �

�? O � � !? [� !?[� � � ��? �? � [� !?[� �

���G'��6� # �!$ 8#"3#7�79�$ 8!49�$B!7!$ 5� �! @��# 8B5!5 �� �$9 %!7 4��!8B#7!5!$ 8#7 �!$ 8#"3#�7�79�$ � !? 5� �! @��# 8B5!5 4��!9B@! ! �#$ �D �$ " %#@B��$ E 5!5!$ 3#4

� !? � �? [� !? ���[����G���@�4 TD �48B8B# ���� E " �5B!79� �! V %#4"6�!

�� � � ��? � !? �? � \���GG�

� !5# A6� �� %6�9B" # 9 %�4" B7# �$ 34�8B$!" �79� �! ��34�$B %#7 5�� @�89#4 ; ! �7 �!$ 76�@!$8##45�7!5!$ �7 �� 8!$# �$9!8B#7!4B# E �! 5BV�4�78B! B794#568B5! 3 #4 �#$ �D �$ " %#@B��$ 4�$B5��7 �� 9 %�4" B7# 5� @��# 8B5!5 4��!9B@! � Y#7B�75# 36�$ ; ! ��� ? � !? �? � �� E $� �$84B? � �7 4�$6"�7

; � Q � ;!�

[W[� � [ !W ![� � Q ����G��5#75� [ ! [� B75B8! 5�4B@!8B %#7 �7 9B�"3# �7 �!$ 76�@!$ 8##45�7!5!$ U 3 #$9�4B#4 94!7$V#4�"!8B %#7 "�5B!79� �� 8!"?B# 5� 8##45�7!5!$ � T$9! V %#4"6�! $� �7�4!�B�! �7 �! 4� �! 3!4!5�4B@!8B %#7 "!9�4B!� 5� @�89#4�$ �9!7 �79�$�

[[� � [ ![� � Q \���G=�

Page 41: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ���������� �� ����� ����� �F�� PR� �� IJI T� �D �"3�# 9 %&3B8# 5� 67 8!"?B# 5� �D �$ 7# B7�48B!� �$ �� 5!5# 3#4

W � � �� �W !�

���GF��7 A6� �! " !94B� � ��� 4�34�$�79! 67 B4# 5� �D �$ � %63#7 !"#$ A6� �� �D � 5� B4# @ B�7� 5!5#3#4 �� @�89#4 K ��� U �! @��# 8B5!5 !7 6�!4 3#4 $6 " %#56�# E �K ��� �� 9!� B4# $� 4�34�$�79! 3 #4�! V %#4"6�! �[[��� ���W ! � K ��� � �� ���W ! � �5#75� � 5�7#9! 34#5689# @�89#4B!� � �! @��# 8B5!5 4��!9B@! �$ �79#78�$

Q � K � W \����H�T7 �$9� 8!$# $� 9B�7�

[W[� � [ !W ![� � K ��� � W�

[[� � [ ![� � K ��� � \���� �� 7 "#@B" B�79# B7�48B!� " %!$ 8#"3�B8!5# $� 3�!79�! 86!75# $� 4�!�B�! ! �! @�� 67! 94!$�!8B %#75�� #4B �7 5� @�89#4 N ��� U 67 B4# 5� �#$ �D �$ 5� " !94B� � ��� EW � N ��� � � �� �W ! \�������! @��# 8B5!5 4��!9B@! �$ �79#78�$

Q � N ! ��� � K � �W � N� \����G�

T$9!$ V %#4"6�!$ $�4 %!7 4�9#" !5!$ !� �$84B? B4 �!$ �86!8B#7�$ 5B7 %!" B8!$ �7 �D �$ 4#9!9#4B#$ E$�88B %#7 G �' E 86U! !3�B8!8B %#7 $� �786�794! 3#4 �D �"3�# �7 �! 5�$84B3 8B %#7 5� �! 5B7 %!" B8!$#?4� �! $63�4C8B� 9�44�$94� �

'(� �.,0-+,.1 -5.,./250 6.1�#5# 864$# 5� V%&$B8! 5�� 8#79B76# �! 5� 94!9!4 8#7 8!"3#$ @�89#4B!��$ 5BV�4�78B!?��$ E �# A6�#4B B7! 67! "6�9B965 5� ��34�$B#7�$ 5BV�4�78B!��$ � < � 67!$ 5� ���!$ $#7 5� 67! 4!7 B"3#4�9!78B! 3!4! �� !7 %!�B$B$ U $� �$965B!7 �7 �#$ 864$#$ 5� 8 %!�86�# � �#$ �D �"3�#$ B75B$3 �7$!?��$$#7 �#$ 86!94# #3 �4!5#4�$ 8� %!$B8#$ Z 4!5B�79� E 5B@�4 �78B! E 4#9!8B#7!� U �!3�!8B!7# E A6��$9 %!7 4��!8B#7!5#$ 8#7 9�#4�" !$ V675!"�79!��$ 5�� 8 %!�86�# B79� 4!� �9�#4�" !$ 5� � 4��7 E%9#��$ U �!6$$�>$94# 4!5$� B� � �#5#$ ���#$ $#7 #3�4!5#4�$ �7 �!$ @!4B!?��$ �$3!8B!��$ �

! ��" #$ @B$9# �� 4!5B�79� 5� 67 �$8!�!4 E !$ %& 8#" # $6 ��34�$B %#7 �7 5B@�4$!$ 8##45��7!5!$ � �!"?B %�7 ��"#$ #?$�4@!5# A6� !3!4�8� �� 4!5B�79� 5� 67 8!"3# @�89#4B!� E A6�8#B78B5� 8#7 �� 8#78�39# 5� " !94B� D !8#?B!7! E ���� ; � � ; E �$84B9! �!?B96!�" �79� �7"�8 %!7B8! 5� =6B5#$ 8#"# <; E �7 8##45�7!5!$�<;

��? � ���? \����'�

Page 42: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�H ����� ���������! 5B@�4 �78B! #3 �4! $#?4� 67 @�89#4 ;

�W� �� 3!4! 5!4 67 �$8!�!4 � T7 8##45�7!5!$ 8!49��$B!7!$ $� ��34�$! 5� �! V#4" !

� �� �;� � �

�� � ���� � ����� �<;

��

������5#75� E 8#"# !8!?!"#$ 5� 5�8B4 E <; 5�$B 7! �! " !94B� D !8#?B!7! 5� ; 4�$3 �89# ! W �D !8#�?B!7! �$3!8B!�� � T7 �� 8!3 %&96�# � B794#568B4�"#$ �! 5B@�4 �78B! 5� 67! "!94B� E 8V � ��#4�" !� �� �� 4��!8B#7 %!75#�! 8#7 �� 9�#4�" ! 5� � !6$$ � T � 8#78�39# 5� 5B@�4 �78B! U $6 ��34�$B %#7�7 8##45�7!5!$ 864@B�%&7�!$ $� �$965B!7 �7 �! $�88B %#7 � �F �

T � #3 �4!5#4 �!3�!8B!7# 94!7$V#4" ! 67 8!"3# �$8!�!4 �W � �7 #94# � %6 ��34�$B %#7 �78##45�7!5!$ 8!49�$B!7!$ �$� � � �� ����� � � �

� E � E� \����G�

T$9� #3 �4!5#4 $� !3�B8!4 %! 9!"?B %�7 ! @�89#4�$ E �# A6� $� �!8� 8#"3#7�79� ! 8#"3#7�79��7 8##45�7!5!$ 8!49�$B!7!$ � �! ��34�$B %#7 5�� �!3�!8B!7# �7 8##45�7!5!$ 864@B� %&7�!$ $�!?#45! �7 �! $�88B %#7 ' �� �T � 4#9!8B#7!� #3 �4! $#?4� 67 @�89#4 ;

�W� �� � ��

� ��� 3!4! 5!4 67 @�89#4 � T7 8##45��7!5!$ 8!49�$B!7!$ 9#" ! �! V#4" !

��� �;� �

� � �

� �� �

������T$ ! @�8�$ 8 %#"#5# �$84B?B4 �� 4#9!8B#7!� ! 3!49B4 5� �! V %#4"6�! $6" !9#4B! 5�� 34#5689#@�89#4B!� Z N � � � �

�? �? P��? � �����=�5#75� �? �� 9�7$#4 86U!$ 8#"3#7�79�$ @!��7 H $B !� %67 %&75B8� $� 4�3B9� E � $B �! 3 �4"69!8B %#7@A � �$ 3!4 E U �� $B �$ B"3!4 �$� 36�5� @�4 �? 8#"# 67 8#79!5#4� � T79#78�$

��� �;� � �

�? �? P� � �? \����F�T$ 5� #?$�4@!4 A6� 9!79# �� 4!5B�79� 8#" # �! 5B@�4 �78B! U �� �!3�!8B!7# $� �7�4!�B�!7B7" �5B!9!" �79� ! 5B" �7$B %#7 86!�A6B�4! E 7# !$ %& �� 4#9!8B#7!� � �! ��34�$B %#7 5�� 4#9!8B#7!��7 8##45�7!5!$ 864@B�%&7�!$ $� 3#$3#7� !� 8!3 %&96�# �' E 8V � V %#4"6�! ��' �� �� E 8#7 #8!$B %#7 5���$965B# 5� �! @#49B8B5!5 5� �#$ =6B5#$ 3 �4V�89#$ ��#$ �B?4#$ 5� V %&$B8! � B7 �7B�4 %&! !5#4!7 �! 7#9!8B %#7 8#7 7!?�! E < E 3!4! �#$ #3 �4!5#4�$5BV�4�78B!��$ 8� %!$B8#$ �A6� �$ 4�!�" �79� �$9 %�9B8!� � < $ %& E �� 4!5B�79� $� �$84B? � 8#" # !88B %#75�� �@�89#4 7!?�!�$#?4� 67 �$8!�!4

���� � � � < ����=H�

Page 43: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ���������� �� ����� ����� ���! 5B@�4 �78B! $� �$84B? � 8#" # 67 34#5689# �$8!�!4 $B"? %#�B8# Z

< � ; � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � �

�����

���= ��

U �� 4#9!8B#7!� 8#"# 67 34#5689# @�89#4B!� $B"? %#�B8# Z��� �

;� � <

�; \

���=��� B7!�" �79� $� 9B�7� � � < � <

�34#5689# �$8!�!4 $B"? %#�B8#� ��#5#$ �$9#$ #3 �4!5#4�$ 9B�7�7 67 $B 7BC8!5# B794 %&7$�8# E B75�3 �75B�79� 5� �#$ �D �$ 8##4�5�7!5#$ �7 A6� @B�7�7 ��34�$!5#$ E 9!� 8#"# ��3�B8!7 �#$ 864$#$ 5� �#"�94 %&! � < $ %& E �� 4!5B�79� �$ 67 @�89#4 86U! 5B4�88B %#7 $� �7!�! �! " %!� B" ! @!4B!8B %#7 5� �! V678B %#7 U 86U#" %#56�# �$ 34�8B$!" �79� �! 9!$! 5� @!4B!8B %#7 E 5� V#4" ! A6��B"���

�W � � � � �W ��� �

� < � � \���=G�� %!$ 5�9!���$ $#?4� �#$ #3 �4!5#4�$ 5BV�4�78B!��$ $� @�4 %!7 $� %67 !3!4��8!7 � 7! �B$9! 5�B5�79B5!5�$ 6$6!��$ $� 4�8# � �7 �� <3 %�75B8� � � �! 69B�B�!8B %#7 5� 67! 7#9!8B %#7 " !9�" %!9B8!$#C$9B8!5! �$ 67 %69B� 5� 67! 3#9�78B! 7#9!?�� 3 �4# 36�5� ���@!4 !� ��89#4 7# !8#$96"?4!5#! 8#7V6$B %#7 $#?4� A6 %� A6B�4�7 4�!�" �79� 5�8B4 �!$ �!4 !$ V %#4"6�!$ A6� !3!4�8�7 !79� $6$#D #$ � 7 4�864$# 8!$B B7V!�B? �� �$ �$84B? B4 �# A6� $�! �7 9#5# 5�9!��� �7 8##45�7!5!$ � Y!4!���# �$ 8#7@�7B�79� " !7�D !4 ?B�7 �#$ $6"!9#4B#$ U $6$ 8#7@�7B#$ �

��,+1 .� .,2525+1 -.6 20 78�36+����� �� �� IJ9 � !�86�!4 �!$ 94!U�89#4B!$ 8#44�$3#75B�79�$ ! �#$ 8!"3#$ 5� @��# 8B5!5�$��

� ��� 9!� A6�

� � �� � � ��� � � � H�

���='� � � ��� � � �� � � � H\

���=��T�3�B8!4 �� 4�$6�9!5# 4 %!C8!"�79� � � !8�4 9!"?B %�7 �#$ 8 %!�86�#$ �7 8##45�7!5!$ 3 #�!4�$ �!�86�!4 �� @!�#4 5� �

; � <�; �7 !"?#$ 8!$#$ �

����� �� �� IJ� � �4!�!4 94!U�89#4B!$ E � %&7�!$ 5� 8#44B�79� U �%&7�!$ 5� �" B$B %#7 3!4! �� 8!"3#5� @��# 8B5!5�$ 3�!7# 7# �$9!8B#7!4B# ��� �

� � � � � �� \���=G�

Page 44: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� ����� ������������� �� �� IJI� J � !5# �� 8!"3# 5� @��# 8B5!5�$ !79�4B#4 8!�86�!4 �!$ 5�4B@!5!$ � U[ [� 3!4! �!$ $B 6B�79�$ V678B#7�$

�� � � � � � E � � � E� � � EE � �� � � � � � E � � G� ��E � �� E \���=��

����� �� �� IJIIJ T$ ?B�7 $!?B5# A6� 3!4! V678B#7�$ 4� 6�!4�$ �!$ 5�4B@!5!$ 3!48B!��$6$6!��$ 8#7"69!7 E �7 3!49B86�!4 � �� � �� � \

���==�T��# 7# �$ 8B�49# 3!4! [[� U �� � Y4#?!4 A6� �� 8#7"69!5#4 E A6� !89 %6! $#?4� 67!V678B %#7 �B$! 8#"# � [[� � �� � � [[� � �� � � �� �[[� � ����=F�$!9B$V!8� � [[� � �� � � � ;�� � < � \���FH�

T$9� �D �48B8B# �$ B"3#49!79� 3!4! �@B9!4 67# 5� �#$ �44#4�$ " %!$ V4�86�79�$ 5� 8 %!�86�# E�� '.-�) 21)*1+ . 01 -.� 01* �.0.� �* ,N.0.� ������ �� �� IJI� J � �" #$94!4 A6� $B � � ��� �$ �! " !94B� 5� �! 5�V#4" !8B %#7 E �79#78�$

[�[� � �<;

� � �67 34#5689# 5� " !94B8�$ ������ �� �� IJI� J #"34#?!4 A6� �7 67 $B$9�" ! 5� 8##45�7!5!$ 864@B� %&7�!$ �7# 7�8�$!�4B!" �79� B7�48B!�� U 8#7 �!$ 7#9!8B#7�$ U 5�C7B8B#7�$ !79�4B#4�$ E $B � �� � � �

� � ! �� !� � ���$ 67! "! 7B965 �$8!�!4 $� 9B�7�

[[� � ! � ���

� !� !�� � !� \

����� �� �� IJI� J #"34#?!4 A6� $B � ��� �$ �! " !94B� 5� 67 B4# !�4�5�5#4 5�� #4B �7 5�8##45�7!5!$ 8#7 �D � # U @��# 8B5!5 !7 6�!4 K ��� E �79#78�$[[��� W � � �# � ��W �

\���F ��

Page 45: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�G� 6�3/01 ,. .,./2501 73� 56.1

� ����� ��� ���������� ����� � � � �C � ��������� �<7 �794#5689B#7 9# � �6 B5 �U7!" B8$� E !"?4B5 � 7B@ � Y4�$$ E�FG� � �� � �� � ����� � �� � � �� ��� �� �8 %!7B8! 5� � �6 B5#$� E � �@�49 %� E �!48��#7! E �FF ��� ����� ��� ����� ����� �� ����� ����� � � � � � ������;��� � � �� ����� ����#4U #V >45B7!4U � B��4�79B!� TA6!9B#7$� E� 8� 4!� �� B�� E �F�� � �%� � �� � � ����� � � ����� �T86!8B#7�$ 5BV�4�78B!��$ #45B7!4B!$ E $B$9�" !$ 5B7 %!" B8#$U %!� �?4! �B7�!�� E < �B!7�! T5 �E � !54B5 E �F=G � % B� � �� � � �� ���� �T86!8B#7�$ 5BV�4�78B!��$ 8#7 !3�B8!8B#7�$ U 7#9!$ � B$9 %#4B8!$� E � 8� 4!� �� B�� E � !54B5 E �FFG �� ����� �� ;������ � �� ����� ��� 5 �� � � �� ����� E �� B��4�79B!� � �#"�94U #V 64@�$ !75 %64V!8�$� E Y4�79B8��� !�� ET7 ���##5 �B� $ E � �� ��4$�UE �F�G � %9� � � �����D E ���8964�$ #7 �!$$B8!� � B��4�79B!� � �#" �94U� E <55B$#7���$��U Y6? �# �E � �!5B7 E � !$$ �E �F�� �� ����� ��� ���������� �� ����� ����� � �� � ������ �� ��� ��� ��� ������ �� � � �� � � ������ �� � :����� E � %!�86�# @�89#4B!�� E <55B$#7���$��U �? �4#!" �4B�8!7! E < 4 �79B7! E �FF ��

Page 46: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�' ���� � �����

Page 47: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��

����� � $������

T7 �#$ 94�$ 8!3 %&96�#$ A6� $B 6�7 $� 5�4B@!7 �!$ ��U�$ 5� 8#7$�4@!8B %#7 A6� V#4" !7 ���$A6���9# 5�� �$965B# " !9�" %!9B8# 5� �#$ " �5B#$ 8#79B76#$ Z 8#7$�4@!8B %#7 5� �! " !$! E 5� �!8!79B5!5 5� "#@B" B�79# U 5� �! �7�4 %&! � %� B794#568�7 �� 8#78�39# 5� B78#"34�$B? B�B5!5 E�� 9�7$#4 5� �$V6�4�#$ U �! �7�4 %&! B79�47! � < 3!49B4 5� �$9!$ ��U�$ $� #?9�754 %!7 5�$36 %�$�!$ �86!8B#7�$ 5�� " #@B" B�79# �

Page 48: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�G ���� � �����

Page 49: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�#� $�!� �� �

�# &� "���#&% $� �� �# �#"#�� )� � )* �,� ,1� 2) �,1 -. + . 21* . 1� /.- 21*.-1 1� 01� * � 1+� *1-. + �+. 1� 1� 01/ 21 �,1 01 1--. � ,101/ 010,� *�1 01+ )� 2*.� )/ 1�/) + 1/)� �,1 01 -.� � ,*.� 01+ )� 2*.� )/1� +.21+ (. 2 �.� �

� ������� E �#7$B5�4!8B#7�$ ��� $#?4� 5#$ 76�@!$ 8B�78B!$�

� (' �0 6.� -. 2+/1.,4025 7+/T$9! 34B" �4! ��U V675!" �79!� 5� �! � �8 %!7B8! 5� � �5B#$ #79B76#$ ��34�$! �� $B 6B�79�34B78B3 B# ? %!$B8# Z �-. + . 21* . /) �1 �*1. / �1 01� 2* ,� 1�� � �" #$ 5� ��!" B7!4 �� $B 7BC8!5#5� �! V4!$� U 5� �#$ 8#78�39#$ 69B�B�!5#$ Z 3#4 " !9�4B! �79�75�"#$ �! $6$9!78B! 5� A6� $�8#"3#7� �� =6B5# E �! !C4" !8B %#7 @B�7� ! 5�8B4 A6� �$ 3#$B? �� " �5B4 �! 8!79B5!5 5� "!9�4B!8#79�7B5! 5� 67! 8B�49! 4� B %#7 5�� �$3!8B# �7 67 "#"�79# 5!5# U 8#78�6B4 A6� 7# @!4 %&!8#7 �� =6D # �

T�34�$!5! �7 67 ��7 6!D � " !9�" %!9B8# "#5�47# E �$9! ��U $� 94!568� �7 �! � B3 %#9�$B$5� A6� �� B$9� 67! V!" B�B! 5� " �5B5!$ �� � H �7 K � � �� �K � � �" �5B5!$ �7 �� $�79B5# 5��#4��� 9!��$ A6� 3!4! 9#5# � � � K � "�5B?�� U � � � �� �� � � $� 9B�7�

�� �� � � � � � �� � � \�� ���� �7#" B7!4�"#$ ! �$9! @�4$B %#7 �� �� � TA6B@!�� ! �$84B? B4 ��7 7#9!8B %#7 V678B#7!� "#5�4�7!� A6� ��

�� � � � � T $9! ��U $� ��!" ! �PX OP $�#�P�QN$ � �# OP RN�N E 36�$ �� �� � ���34�$! �! " !$! 8#79�7B5! �7 � � �7 �� 9B�"3# � ��# �!U 7B7 67! #?D �8B %#7 5� 34B78B3 B# ! �$9!?��8�4 67! 21)* (H. + . 21+ (. 2 �. ?!$!5! �7�$9! 6 #94! ��U� Y�4# �! @!�B5�� 5� 67! 9!� 9�#4 %&! �7 �! 5�$84B3 8B %#7 5� �#$ =6B5#$ �$8#7$�86�78B! 5� �! 1� 01/ � . 1�� 1* + 1/2.- E A6� 8#7C4" ! � B$9 %#4B8!" �79� �! @!�B5�� 5� �!��U 34�$�79� �7 8#75B8B#7�$ "6U �7�4!��$ �

��

Page 50: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�= ��������� ��� �� ������!"#$ 8 %#"# 34�$�79!4 �$9! ��U �7 V#4" ! " %!$ " !7�D !?�� 3!4! �� !7 %!�B$B$ U �� 8 %!�86�# �� !4�"#$ 3!4! ���# 67! � �� �SP��� �O �$ ��#N � >3#4967! E ! $!? �4 E �! �� B$9�78B! 5� V678B %#7��!" !5! OP#��ONO �5� "!$!� 9!� A6� $� 86"3�� �! 8#75B8B %#7 ��� � Z

[�� � � �W� �� [� �[� E[� � \�� ���

T7 �� <7 %!�B$B$ � !9�" %!9B8# $� 5B8� �79#78�$ A6� �� �$ .�)-,2.+ 1/ 21 �)/ 2 /,. *1�� 1�2) .-. + 10 0. 01 � 11�� ,1 U � �$ �� + ,-2 � - �.0)* 01 � .0)/ �� �)0 (�+ � %� 9B�7� A6�� ��� �� R � � �K � � \Y6�$9#$ ! 3 �5B4 8#75B8B#7�$ ! 4!5!?��$ 5� 94!?!D # E $63#754�"#$ �7 �7�4!� A6� � �W

� �� �$8#79B76! U 5BV�4�78B!?�� � %T$9! E A6� $� 3#54 %&! ��!" !4 �� B3 %#9�$B$ 5� 4� 6�!4B5!5 V6�49�� E �$67! � B3 %#9�$B$ ��8�! �7 9#5#$ �#$ 94!9!5#$ 8� %!$B8#$ �7 �#$ A6� 9#5# �# " %!$ $� !5" B9�7 �$B7 6��!4B5!5�$��7 8B�49#$ 3679#$ E 864@!$ # $63�4C8B�$ !B$�!5!$ �3!4! 9�7�4 �7 86�79! V�7 %#"�7#$B"3#49!79�$ $B7 �#$ A6� �! 9�#4 %&! 36�5� 9B4!4$� 3 #4 �! @�79!7! ! �V�89#$ 34 %!89B8#$� � T776�$94# $B �# E 67! @�� 5�$!44#��!5! �! 9�#4 %&! 5� �! B79� 4!8B %#7 U 5� �! " �5B5! E �! � �8 %!7B8!5� � �6 B5#$ 4�?!D ! �!$ � B3 %#9�$B$ �7 V#4" ! 5� 8#75B8B#7�$ 5� B79� 4!?B�B5!5 � Y�4# 9#5#���# 5�3 �75� 5�� 34#?��" ! U �$ !8#7$�D !?�� 67! 8B�49! 8!69��! E 7# $�! A6� �! ��8�$B@!

34�#863!8B %#7 3#4 �� !7 %!�B$B$ 7#$ B"3B5! @�4 �#$ =6B5#$ � ( � 21 / ) 1� ,/ �,*�) 01 / (.- � �� . 21+ (. 2 �) �>?$�4@!"#$ !�#4! A6� �7 "68�#$ 4!�#7!" B�79#$ ! �# �!4 # 5�� 9��9# 9#" !4�" #$ 675#" B7B# �# 8#7D 679# "�5B?��� � � K � U 8#7$B5�4!4�" #$ �! V!" B�B! P� � � �� �� � �S� E A6�$� 5�7#" B7! �7 �! �B9�4!964! 67 �)-,+ 1/ + . 21* .- E � � 21+ . + . 21* .- # �)-,+ 1/ �,1 �101�� -.N. �)/ 1- � , 0) U 8#44�$3 #75� !� 3679# 5� @B$9! �! 4!7 B!7# E A6� @� �� 34#8�$# 8#"#67! "!9�4B! # $B$9�" ! 5� 3!49 %&86�!$ A6� $� "6�@� � < $ %& E 9!� 3679# 5� @B$9! �$ %69B� !� 5�4B@!4�!$ �86!8B#7�$ �7 �$9� 8!3 %&96�# � % B7 �"?!4 # E 4�8#45!"#$ A6� �$ 8 %#"#5# U 6$6!� 4�V�4B4��3�4B" �79#$ U 8#78�6$B#7�$ ! �# A6� $68�5� �7 67 0)+ / ) � ) ��7 �� 9B�"3#� E $B 6B�75#�� " #5# �6��4B!7# �Y!$!"#$ U! ! 5�4B@!4 5B@�4$!$ V#4" !$ 5� �! �86!8B %#7 5� 8#79B76B5!5 E 36�$ ���# 7#$ 3 �4�"B9B4 %! B794#568B4 # 4�3!$!4 8#78�39#$ U 8 %!�86�#$ 5� 4!7 B79�4 %�$ �7 �! 9�#4 %&! � T"3�8�"#$

�!8B�75# 7#9!4 A6� �7 9 %�4" B7#$ 5� � �! ��U $� �$84B? � Z��� � �W� �� [W � ��� � �X

�H� [X \

�� �G�<�#4! ?B�7 ��� � �W� �� [W � ��� � �� �X

� ��� ��\� \[X �8#7 � �X

� �� � 5�9 ���� � � 5�9 � ��� � � 6!�!75# $� 9B�7� A6� 3!4! 9#5# � � � K ���� � ��� �X �

� ��� �X

� ��[X � ��� � �X

�H�[X \

�� �' �

Page 51: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ����������� �� ���� � ����;������� �F#"# �� 5#" B7B# !� A6� $� !3�B8! �# !79�4B#4 �$ !4?B94!4B# E $� 5�568� �! @�4$B %#7 �� �� Z

� ��� �X �� ��� �X

� �� � � �X

�H�

\�� ���T$9! �$ �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� " !$! $� %67 �;���;� � �!"?B %�7 $� 36�5� �$84B?B4 �7V#4" ! 5BV�4�78B!� 8#"# [[�

��� � �W� �� [W � H

\�� �G�A6� ���@! ! �! @�4$B %#7 �� � �� Z [[�

�� � � � H\

�� ���T$9! %6�9B" ! V %#4"6�! !5" B9� 67! B79�434�9!8B %#7 8�!4! Z $� %67 �! 8#7#8B5! V %#4"6�! 5�� 8!" �?B# 5� @!4B!?��$ E �� V!89#4 � �$ 34�8B$!" �79� �! " �5B5! 5� �! 1�� ./� ()/ 01 �)-,+ 1/ ! �#�!4 # 5� 67! 94!U�89#4B! � #"# �! " !$! $� 8#7$�4@! E �� � �� $B"3��" �79� 5B8� A6� 5�7�$B5!5 � @#�6"�7 � 8#7$9!79� � �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� " !$! 4�8B? � V4�86�79�" �79� �7�! �B9�4!964! �� 7#"?4� 5� P$;N$ � �# OP $�#S �#; �ONO

� 7! #?$�4@!8B %#7 $#?4� �! 7#9!8B %#7 Z 5!5# A6� � � �$ 67! V678B %#7 5� �!$ @!4B!?��$ � �X E �! 5�4B@!5! 9#9!� [[� 9B�7� �� $�79B5# ��3�B8!5# �7 �! $�88B %#7 ��� 5� 5�4B@!5! " !9�4B!�# �! 4!7 B!7! E A6� 8#B78B5� 8#7 �! 5�4B@!5! 3!48B!� 4�$3 �89# ! � 3!4! X CD # � Y#54 %&!" #$�!?�4 �$84B9# 36�$ �� � � � E 3 �4# ���# 36�5� 84�!4 8#7V6$B %#7 36�$ ��" #$ 8#7@�7B5# A6��!$ 5�4B@!5!$ 3!48B!��$ 9�"3#4!��$ $� B79�434�9!7 3#4 5�V�89# 8#"# 5�4B@!5!$ 3!4! W CD # �

� (� �/2+� ,.15� 565-0- � �+� +�./.5-0-��!" #$ !�#4! 67! 8�!$� �$3 �8B!� 5� " #@B" B�79#$ # =6D #$ A6� 3#4 $6 $�78B���� U 34#3B�5!5�$" !9�" %!9B8!$ !3!4�8�7 8#7 4!7 V4�86�78B! �� P�# �$ � �# � J� JI / + )� + 1/ 2) 1/ ,/ + 10 ) �)/ 2 /,) �1 --.+ . �#$�R��P��� �P $B �!94!7$V#4" !8B %#7 �� 8#7$�4@! �#$ @#� %6" �7�$ ��$ 5�8B4 �! " �5B5! 5� ��? �$ 6�� 3!4! 9#5#9B�"3# � � �

� !5# �79#78�$ 67 @#�6"�7 !4?B94!4B# � � R K � $� 9B�7��#� �� � � � ��� [W

��#� �� � � � ��� [W \�! B78#"34�$B? B�B5!5 $B 7BC8! A6� �#� �� � � � �#��� � � � � �?B5# ! �! V %#4"6�! 5�� 8!"?B# 5�@!4B!?��$ �$9# �$ �A6B@!��79� ! 5�8B4 A6�

� �X� �� � � X R K � � � � H�� �=�

�� ��� ���� �� ���� ��� � ��� ������ �� �� �� ��� � ��� �� �� �� � � ���� ��� ����� ��� ��� ���� � � � ! "��� ! "�## !�## $� %

Page 52: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

GH ��������� ��� �� ����� �8#45�" #$ A6� $B�"34� $� 9B�7� � �X

�H� � �� �! 8#75B8B %#7 5� B78#"34�$B? B�B5!5 $� 36�5��$84B? B4 9!"?B %�7 �7 �! V#4" ! 5BV�4�78B!� [�[� � H

\Y#4 #94! 3!49� $� 5�568� 5� !A6 %& U 5� �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� " !$! �� �� A6� �!B78#"34�$B? B�B5!5 �$ �A6B@!��79� ! A6� �! 5�7$B5!5 $� 8#7$�4@� ! �# �!4 # 5� �!$ 94!U�89#4B!$W � �� �X� �� � � �W

� �� � � �X

�H�

��� �F�# ?B�7 A6� [�[� � H

\�� ��H�

%#7 =6B5#$ B78#"34�$B? ��$ 9 %&3 B8!" �79� �#$ � %&A6B5#$ U 8#"34�$B? ��$ �#$ !$�$ � �! 5B$�9B78B %#7 �$ 5� 4!7 B"3#49!78B! 36�$ E 8#"# 9�754�" #$ # 8!$B %#7 5� @�4 E �! 9�#4 %&! 5� �#$=6B5#$ 8#"34�$B?��$ �$ "68�# " %!$ $�78B��! A6� �! 9�#4 %&! �7�4!� � Y#4 ���# �$ B79�4�$!79�$� �7!�!4 A6� �7 "68�!$ 8#7$B5�4!8B#7�$ B78�6$# �#$ !$�$ $� 8#"3#49!7 !34#� B" !5!"�79�8#" # =6B5#$ B78#"34�$B?��$ � < $ %& E �7 �#$ �$965B#$ !�4#7 %!69B8!$ # 5�� 8�B" ! $� $63 #7� B7�8#"34�$B? �� �� !B4� �7 $B96!8B#7�$ A6� B"3�B8!7 @��# 8B5!5�$ 5� �!$9! H E' � !8� �� � !8���! @��# 8B5!5 5�� $#7B5#� � Y#4 �� 8#794!4B# E !� !8�48!4$� ! �! @��# 8B5!5 5�� $#7B5# 9#5!�! 8#"3�B8!8B %#7 5� �! 5B7 %!" B8! 8#"34�$B? �� !3!4�8� E �7 3!49B86�!4 �!$ V!"#$!$ )/0.� 01�� )�,1E A6� �$965B!4�" #$ �7 �� 8!3 %&96�# � �

>94! 4�$94B88B %#7 $#?4� �� " #@B" B�79# 5� �#$ =6B5#$ A6� �$ 5� 4!7 69B�B5!5 34 %!89B8! �$�! �#"# �7�B5!5 � 7 =6B5# ��R �� P#P� �$ !A6�� �7 A6� �! 5�7$B5!5 � �$ 8#7$9!79� �7�� �$3!8B# � T7 V %#4"6�!$ E< �

� � H %# � �W� �� � � �W � � �� %# [�[� � � � \�� ����

����� �� �� � JI� J �!� � #$94!4 A6� 67 =6B5# B78#"34�$B? �� A6� �$ B7 B8B!�" �79� �#"# %�7�#�# �$ 3!4! 9#5# 9B�"3# E 36�$ � �W � �� � � �X

�H� � �?� � #$94!4 A6� 3!4! 67 =6B5# �#"# %�7�#$�4 B78#"34�$B?�� �$ �A6B@!��79� ! 9�7�4 5�7$B5!5 8#7$9!79� 9!"?B %�7 �7 �� 9B�"3# �5�7$B�5!5 �$9!8B#7!4B!� E � � � H �

�! B78#"34�$B? B�B5!5 U �! �#"# �7�B5!5 $#7 8#75B8B#7�$ A6� 4�$94B7 �7 �! �7�4!�B5!55� �#$ "#@B" B�79#$ 3 �4" B9B5#$ !� =6B5# � < $ %& E 67 =6B5# 5� 7!964!���! 8#"34�$B? �� �$$6$8�39B? �� 5� 4�!�B�!4 " #@B" B�79#$ 8#"34�$B? ��$ # 7# E 5�3 �75B�75# 5� �!$ 8B4867$9!78B!$!5B8B#7!��$ �8#75B8B#7�$ B7 B8B!��$ U 5� 8#79#47#� E " B�794!$ A6� 67 =6B5# 5� 7!964!���!B78#"34�$B? �� $!9B$V!4 %! $B�"34� �� �F� E �� ��H� � Y#4 #94! 3!49� E $� �7!�!" #$ A6� 67 =6B5#B78#"34�$B? �� �$ 7#4" !�" �79� �#"# %�7�# ��$ 5�8B4 E �# �$ V4�86�79�" �79�� �

� (� �/ ,.136�0-+ -. 2 706236+� �8�$B9!"#$ �@!�6!4 �! 5�4B@!5! 9�"3#4!� 5�� 5�9�4" B7!79� D !8#?B!7# � 3!4! 69B�B�!4 �!��34�$B %#7 �� � �� 5� �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� "!$! # ?B�7 3!4! B7@�$9B !4 �! V#4" ! �� ���

Page 53: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ��������� �� � ������ G �5� �! B78#"34�$B? B�B5!5 � T$9� 94!?!D # $� �# 5�? �"#$ ! � ����� E ���H �MPRN � J� JI [�[� � � \�� �� ;

��� ����� 1+ )� 2*.� ()/ � %� 9B�7� A6�

� �

� � � � � E � � � � � �� � �E � E �E � � �E� � �� � E �� � � �� \

7 5�9�4" B7!79� $� 36�5� 5�4B@!4 3 #4 8#�6"7!$ Z

[�[� �

[[� ��

� � � E � � � � � �[[� ��

�E � E �E � � �E[[� ��

�� � E �� � � �� � � � � �

5#75� ��"#$ �$84B9# �! 5�4B@!5! 5� �! �! 8#�6"7! U �� B$9� #94# $6" !75# 8#7 �! 5�4B@!5!5� �! $� 675! 8#�6"7! U #94# 8#7 �! 5�4B@!5! 5� �! 9�48�4! � %� 6B" #$ 8!�86�!75#

� � [� �[� � � � �E [� �[� � � � �� [� �[� � � �

� � � � �

� � � � � � � � � �E � � � � � �� � � �

� � � �

<�#4! #?$�4@!"#$ A6�� � � � � � �� � \ � � � � � � �� E \ � E � � � � �� � \ � � � � \#7 �$9# �� 34B" �4 $6"!75# A6� ��"#$ �$84B9# 5� �! 5�4B@!5! 5� � $� 94!7$V#4" ! ! $6 @���7 94�$ $6" !75#$ Z

� �� �

� � � � � � �� � �E � � �� � �� � � �

� � �� E

� E � � � � �� E �E � � �� E �� � � �

� � � � � � �

Page 54: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

G� ��������� ��� �� ����3�4# �#$ 5�9�4" B7!79�$ 5� 9#5#$ �#$ $6" !75#$ " �7#$ �� 34B" �4# $#7 8�4# 3 #4 9�7�4 5#$8#�6"7!$ B 6!��$ � �#$ A6�5! 36�$ �$9� 34B" �4 9 %�4" B7# A6� 5!

� �� � � \ 7 4!�#7!" B�79# !7 %!�# # $� !3�B8! ! �#$ #94#$ 5#$ $6"!75#$ 5� �! 5�4B@!5! 5� � ��� 8 %!�86�#�! 5� $�4 $B" %�94B8# �7 �#$ %&75B8�$ @� � #78�6B"#$ A6�

[�[� � �� �� � � � E� E � � �� � � � �8#" # A6�4 %&!" #$ 5�"#$94!4 ������ � �� T$9� 8 %!�86�# $� �7�4!�B�! $B7 " %!$ ! � 5B" �7$B#7�$ � �! V#4" ! 67 9!79# 465! 5��8 %!�86�# !79�4B#4 5B$ 6$9!4 %! $B7 565! ! !� 67#$ ��89#4�$ � � � !A6 %& 67! @�4$B %#7 3!4! ���89#4�$V#4" !�" �79� �� B �79�$� Z �7 @B4965 5� �! 9�#4 %&! 5� 5�9�4" B7!79�$ $� 36�5� �$84B? B4

� � 5�9 ��� �� � � �� �� �� � �� �V %#4"6�! 5� 5�$!44#��# 3#4 8#�6"7!$ A6� �$ @ %!�B5! 3!4! 9#5# @ � � �� 5�7#9! �� 8#V!89#4 5��� �� � <3�B8!75# �! 4� �! 5� 5�4B@!8B %#7 5� 5�9�4" B7!79�$ 3 #4 8#�6"7!$ $� 9B�7�

[�[� � ��

�� [[� ��� �� � � �� � ���� �� �[��[� � � �� � �

��� �� �� � �� �� �

��� �? �� �? �? �� � �� � ���? ���? >�? � � �

����� � ��# A6� 9�4" B7! �! 5�"#$94!8B %#7 � < � C7!� ��" #$ 69B�B�!5# �! V %#4"6�! 5� 5�$!44#��# 5� 67!8#�6"7! 3#4 �#$ 8#V!89#4�$ 5� #94! Z

�� �� �� � ? � � >�? � �$B�75# >�? � H 86!75# @ B� A E >�� � � �" !94B� 67B5!5 # 9�7$#4 5� C�����D�� � �

�� �! ��8�# $6 !3!4B8B %#7 67 #3�4!5#4 5BV�4�78B!� 8� %!$B8# E �! O �QP��P#$ �N E A6� #3�4!$#?4� 67 @�89#4 ;�W

� �� 5� �! V#4" !

� �� �;� � �

�� � ���� � ����� �<;

�\

#7 �$9# 3 #5�"#$ 5�4B@!4 �� 34B" �4 " B�"?4# 5� �� �G� E �� �' � �

Page 55: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ����� � �� �� ����������� GG�����N� �� � J� J� �1 2 1/ 1

[[���� � �W

� �� [W � ��� �[�[� �W � �

�� � �W

� �� � �� ;

�W� ��� [W \

�� ��G�T$9!" #$ !�#4! �7 8#75B8B#7�$ 5� 8!4!89�4B�!4 �! B78#"34�$B? B�B5!5 �7 9 %�4" B7#$ 5��8!"3# 5� @��# 8B5!5�$ �9 %�4" B7#$ �6��4B!7#$� � 9B�B�!75# �� �G� E �� ��H� U �� ��G� $� 9B�7� ��$B 6B�79� 4�$6�9!5# �

"P��PRN � J� J� / � , 0) 1� / �)+� *1� -1 � � � ()-) � � �� �

;� � H

\�� ��'�

�#$ 8!"3#$ 8#7 5B@�4 �78B! 76�! $� ��!" !7 #C8B!�" �79� �)-1/ ) 0.-1� E 9�4" B7#�# %&!��4�5!5! 5�� ���894#" ! 7�9B$" # � T7 ��7 6! B7 ��$! E $B�"34� 9!7 5B4�89! E $� ��!" !7 $B" �3��" �79� 0 �1*� 1/ �1�'* 11 �

� (� �23025 7+/ -. 2+/� 5/35-0- ( �.,15 7+/ .36.,50/0T7 67 !49 %&86�# V675!"�79!� 9B96 �!5# �Y4B78B3 �$ %�7 %�4!6� 56 "#6@�" �79 5�$ =6B5�$�U36?�B8!5# �7 ���� �7 �! 4�@B$9! 5� �! <�!5�" B� 5� � �4�B7 E 5#7 ��#7!45# ����� 94!56D # �!��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� " !$! �� �� E # $�! �� �G� E ! �! V#4"6�!8B %#7 A6� ��!" !"#$ �6��4B!7! �T7 @B4965 5�� ��" ! � �G ��E 5� �! �86!8B %#7 �! 4!7 B!7! $� 5�568� A6�

[[���� � � [�[� � � �� �

< � ;� � H

\�� ����#"# � B� H $� 9B�7� �3!4! � B� H� �! @�4$B %#7 �� G�

�� [�[� � < � ; � H\

�� ��G�<5�" %!$ E 8#"# [[� � � � ; � < �$� ��� ! ! � � � ; � <� � � �< � ;

� � H�A6� C7!�" �79� 5! #94! V#4" ! 5� �! " B$" ! ��UE �� G ��

� � � < ���;� � H

��� ����

Page 56: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

G' ��������� ��� �� ������U 5� 8#7$�4@!8B %#7 �6��4B!7! � T$ 67! �86!8B %#7 �7 5�4B@!5!$ 3!48B!��$ 5� ��4 #45�7 8#7@!4B!?��$ B75�3 �75B�79�$ �� � � � � �� � B78 %# 7B9!$ �

� ;� ��7�"#$ 36�$ 3#4 �� "#" �79# ��86!8B %#7 8#7 ' ��7 �7�4!� �

��� B78 %# 7B9!$ � %� @� A6� 7#$ �78!" B7!"#$ ! 67 3�!79�!�"B�79# 8#7$B$9�79� �7 #?9�7�4 67 ���SPRN OP P$;N$ ��#P� P# OP� �QNON� �N�$ �N �P� E !�" �7#$ �

�� �86!8B#7�$ 3!4! �

�� B78 %# 7B9!$ � �6B�7 8#7#�8! �� 8#79�7B5# 5� �#$ �$965B#$#C8B!��$ 5� � !9�" %!9B8!$ 8#B78B5B4 %! 8#7 7#$#94#$ �7 A6� 9!� 5B4�88B %#7 B"3�B8! 67 7B@��" !9�" %!9B8# "6U !@!7�!5# � Y!4! !8!?!4 5� 8#"3�B8!4�# E �! ��U �$ 7# �B7�!� E !67A6� $�!�B7�!� 3#4 $�3!4!5# �7 � U ;

� ��!"#$ A6 %� !$3 �89# 9B�7� �7 8##45�7!5!$ Z $�!7; � � � � � � ��

�W � �� � � � � \�! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 �6��4B!7! $� �$84B? � �79#78�$ 8#"#

� � � ����� � � �� � �

��� � � H�� ��=������ �� �� � J�� J #"34#?!4 �! B5�79B5!5 Z

< ���;� � �

<� � � ; � � �<;� � ���� � � ; � � �� �� ;

�\����� �� �� � J�� J � �" #$94!4 A6� 3!4! 9#5! " ! 7B965 �$8!�!4 5BV�4�78B!?�� $� 9B�7� �!B5�79B5!5 � [[� � �

�� � � < ��� ; � �

�� ��F�8#" # 8#7$�86�78B! 5� �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� "!$! �

� (� �.,15+/.1 5/�.�,06.1 � �.+,.� 0 -.6 �,0/1+,�.� J JL J "P��PRN OP � S�N#����SP OP � PX#��O� J � �"#$ 5�568B5# �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7�7 �!$ @�4$B#7�$ �6��4B!7! U �! 4!7 B!7! � T$ B" 3#49!79� 7# 3 �45�4 5� @B$9! �� ��8�# 5�A6� �! ��U 34#@B�7� 5� 67 8 %!�86�# 8#7 B79� 4!��$ � T7 �V�89# E �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� " !$!$� 4�568 %&! ! 34#?!4 A6� [[�

��� � �W� �� [W � H

\T7 �# A6� $B 6� !3!4�8�4 %!7 5B@�4$!$ 5�4B@!5!$ �7 �� 9B�"3# 5� ��34�$B#7�$ B79� 4!��$ � Y!4!" !7B36�!4 9!��$ ��34�$B#7�$ 7�8�$B9!"#$ !� 67#$ 8#"3��" �79#$ 5� 8 %!�86�# 5BV�4�78B!� U3!4! ���# 4�8644B"#$ !� " !9�" %!9B8# B7 � %�$ � � �������� �"P��PRN � J JI �)/� 01*1+ )� ,/ � , 0) 01 01/� 0.0 � � � 1. � � ,/ �)-,+ 1/ + . 21* .- �/ 2)/ �1� �1 2 1/ 1 �,1 � .*. 2)0. ',/ � ()/ 0 '1*1/ � .-1 : �W

� ��

[[���� � : [W � ��� � [:[� [W \

�� ��H�: � ,101 �1* 1��.-.* ) �1�2)* � � 1� �1�2)* -. 1�� *1� ()/ �1 2)+ . �)+� )/ 1/ 21 . �)+� )/1/ 21 �

Page 57: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� :������ ��� ���������� G�� �������� � �� � � �86 %�45�$� A6� �! ��34�$B %#7 [: [� �7 �� B79� 4!75# 5�� $� 675# " B�" �?4# �$ �! 5�4B@!5! 9�"3#4!� " !9�4B!� # �! 4!7 B!7! E �$ 5�8B4 �! 5�4B@!5! 8#7 4�$3 �89# ! �3!4! X CD # � %�! L �! B79� 4!� L � � � ��� � : [W \Y#4 �� 8!"?B# 5� @!4B!?��$ 5!5# 3#4 W � �� �X � $� 9B�7� A6�L � � � ��� �: � [� �[�E[�� \T$9!" #$ �7 67 5#" B7B# CD # �6� #

[L[� � � � ��� ���: � � [X � � � ��� : � �� [X

�� � ��� : �

��� �[X � � � ��� � [:[� [W \6!75# �� $� 675# " B�"?4# �$9 %! ��34�$!5# �7 V678B %#7 5� � � X E �!$ 5�4B@!5!$ 3!48B!��$ � $#7 5�4B@!5!$ 9�"3#4!��$ ! X CD # �A6� 9!"?B %�7 $#��"#$ �$84B? B4 [[�� � � �" #$ 6$!5#�! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� "!$! �7 �! V#4" ! �� � ��E ����� ������ ��� � %!?�"#$ A6� � [W � [� �$ B7@!4B!79� �7 � Z[[�

� � ��� : [� � � � ��� [:[� [������ �� �� � J� � � �"#$94!4 �� 9�#4�" ! 5� � �U7#�5$ �7 �! @�4$B %#7 $B 6B�79� Z

[[���� : [W � ��� [:[� [W �

��� : �< � ;

� [W \�� �� ��>?9�7�4 5� !A6 %& �! ��U �� ��G� � � �"#$94!4 9!"?B %�7 A6�

[[���� : [W � ��� : � [W �

��� � �� �: ;� [W � ��� : � [W �

��

�� : ; � # [� \�� �����! %6�9B" ! B 6!�5!5 34#@B�7� 5�� 9�#4�" ! 5� �!6$$�>$94# 4!5$� BB �� J JL L J �P��� �# P# ;# O�R �# �� �� � � T7 �#$ 8 %!�86�#$ !79�4B#4�$ ��" #$ 8#7$B5�4!5#67 5#" B7B# " !9�4B!� � � A6� �$� "6�@� 8#7 �� =6B5#� E �$ 5�8B4 A6� �$ @!4B!?�� 8#7 � U� � � �� �� � � � T$ 9!"?B %�7 B7$94689B@# 4�!�B�!4 �� 8 %!�86�# !79�4B#4 8#7$B5�4!75# �! B79� 4!�$#?4� 67 $6?5#" B7B# CD # � �7 A6� �� =6D # �$9 %! 5�C7B5# 3#4 67 8B�49# B79�4@!�# 5� 9B�"3#U A6� 9B�7� 8#" # V4#79�4! 67! $63�4C8B� CD ! � �

�� ������ ��� �� �� � �� � �� �� ������ ��� �� ��� � ��� ����� �� ��� ����� ��� �� ��� ������ �� � ��� ���� � ���� ������� �� ��� ������ �� ��� �� �� ���

Page 58: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

GG ��������� ��� �� ����"P��PRN � J J� � 1. � ,/ 0)+ / ) 1�� .� .- 01 '*)/ 21*. � *1� ,-.* 1/ �,1 1- � ,� ) 1� 2 (.01 / 0) � )* ,/ � 1* 2) / 21*�.-) 01 2 1+� ) L � � 1. : ,/. ',/ � ()/ 0 '1*1/ � .-1 1/ � � L �/ 2)/ �1� [[�

�� �: [W � �� � [:[� [W ���

�: �; � #

� [��

�� ��G�0)/01 # 1� 1- �1� 2)* / )*+ .- 1� 21* )* . � �

T7 8#"3!4!8B %#7 8#7 �� ��H� $� 5�$86?4� A6� �! 5�4B@!5! 8#79B�7� 67 9 %�4" B7# �� 94! 5�=6D # ! 94!@ %�$ 5�� ? #45� � T$9� V�7 %#"�7# $� 4�3 �9B4 %! �7 $68�$B@#$ 8 %!�86�#$ ! 5#" B7B# CD # �Y!4! �! 5�" #$94!8B %#7 �� ��89#4 #?$�4@!4 %! A6�[[��� �: [W � �� � : � [W �

�� � � : [WU 69B�B�!4 %! �� G �� 3!4! �@!�6!4 � � � %� ��� ! !

[[��� �: [W � �� � [:[� [W �

��< �

��: ;� [W \ 9B�B�!"#$ !�#4! �� 9�#4�" ! 5� �!6$$�>$94# 4!5$� BB 3!4! 94!7$V#4" !4 �! %6�9B" ! B79�� 4!� �7 67! B79� 4!� $#?4� �! $63�4C8� � � T7 3!49B86�!4 E 3!4! : � � 9�7�" #$ �! @�4$B %#7�� ' � [[�

�� � [W � ���

� �; � #�[� \

�� ��'�T � $� 675# " B�"?4# 5� �$9! ��34�$B %#7 $� 5�7#" B7! �;� � OP RN�N �N ��P#SP ! 94!@ %�$5� �! $63 �4C8B� � � T$ 67! V678B %#7 5� � U � � �! 8!79B5!5 �

� ; � # �$ �! @��# 8B5!57#4" !� ! �! $63�4C8B� � � �! 8!79B5!5 �� �$ 36�$ �! 5�7$B5!5 5� " !$! $!�B�79� 3 #48" E U 3#4 $� 675# � #"# 5BD B" #$ �7 �! $�88B %#7 ��� E �7 �! @B$B %#7 �6��4B!7! $� 8#7$B5�4!�$9� =6D # 8#"# 67! 8!79B5!5 ? %!$B8! E A6� 36�5� $�4 5B4�89!" �79� " �5B5! �7 34B78B3 B# E U3#4 ���# �#$ �B?4#$ 5� V %&$B8! V675!7 �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� " !$! $#?4� �! V#4"6�!8B %#7�� ' � � % B7 �"?!4 # E �� 8!" B7# $� 6B5# 7#$ �! 3!4�8B5# " %!$ !5�86!5# 3!4! 8#"34�75�4�#$ V675!"�79#$ " !9�" %!9B8#$ � T7 9#5# 8!$# E 86!75# $� V#4"6�! �7 �$9#$ 9 %�4" B7#$ �! ��U5� 8#7$�4@!8B %#7 5� "!$! $� �7678B! 8#"# $B 6� Z �-. �.* .� ()/ 01 -. + .�. �)/ 21/ 0. 1/ ,/0)+ / ) � ) � )* ,/ 0.0 01 2 1+� ) 1� � *1� �.+ 1/ 21 1- � ,� ) �.- 1/ 21 01 + .�. . 2*.� (1� 01 -.'*)/ 21*. 01 1�1 0)+ / ) ������� �� �� � J J Y4#?!4 A6� �7 67 5#" B7B# CD # $� 9B�7�

[[��� : [W � �� : � [W � �� �[:[� � ; � <: � [W

��� �����7 @�� 5� �� �� �� �

Page 59: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� :������ �� ����� G�� (� �.� � +-5�20-0<67A6� �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� "!$! �$ 67 34B78B3 B# "6U �7�4!� 5� �! V %&$B8! E �� B$9�78B4867$9!78B!$ A6� �! B7@!�B5!7 E 8#" # �#$ 34# 8�$#$ �7 A6� $� 5!7 4�!88B#7�$ A6 %&" B8!$ #768��!4�$ � T7 �$#$ 8!$#$ �! ��U ? %!$B8! !5" B9� ��7 V#4"6�!8B %#7 �6��4B!7!� �! @!4B!79�

� � � < ��� ;

� � ��

�� ��G�A6� 9B�7� �7 86�79! �! �� B$9�78B! 5� V6�79�$ # $6" B5�4#$ 5� =6B5# 5B$94B?6B5#$ 5� B79�7$B5!5� � � �W

� �� E A6� $� 36�5� "�5B4 �7 4!"#$ 3#4 8" � U 3#4 $� 675# ��������� !�" �#!�� $#!%&�"

� �5B8!"#$ �� 4�$9# 5�� 8!3 %&96�# ! 5B@�4$#$ 9�" !$ " !9�" %!9B8#$ 8#"3��" �79!4B#$ A6�7#$ $�4 %!7 5� 4!7 69B�B5!5 �7 !5��!79� �� (� � 6 �.+,.� 0 -. �0311Y!$!"#$ !�#4! ! 4�@B$!4 67 4�$6�9!5# ? %!$B8# 5� 8 %!�86�# A6� 69B�B�!4�"#$ 4�3 �9B5!" �79� �"P��PRN � JK JI �"P��PRN OP �N;���� �S����NO�� �� � .� ) � � ()21� � )� )* 2,/.� 01 *1�� ,-.* 0.0 �)*1 1- 0)+ / ) � 01 '*)/ 21*. � � -. ',/ � ()/ �1 2 1/ 1 �,1� �

� � #�[� � � � �� �

< � � [W

��� ����0)/01 # �W � 1� 1- �1� 2)* / )*+ .- 1� 21* )* . � 1/ W R � �

�! V %#4"6�! �� ���� 3 �4" B9� 5!4 67! 5�C7B8B %#7 B794 %&7$�8! 5� 5B@�4 �78B! E B75�3 �75B�79�5� �!$ 8##45�7!5!$ Z �� @!�#4 5� < � � �� � � �7 67 3679# W �$ �� =6D # 5� 3#4 67B5!5 5�@#�6"�7 E 9#" !75# 67 3 �A6� �7# @#�6" �7 � �7 9#47# ! W U �� =6D # ! 94!@ %�$ 5� �! $63�4C8B�V4#79�4! 5� � � Y 4�8B$!" �79� E� �� � �B"

� ������ �

� ��

� � #�[� \

6!75# �$ 8#79B76! E 9!� !C4" !8B %#7 $� 86"3�� 3!4! 9#5# 3679# E 86!75# �$ $ %#�# B79�� 4!?�� $� 86"3�� 8!$B 3!4! 9#5# 3679# �9�#4�" ! 5� 5BV�4�78B!8B %#7 5� B79� 4!��$ E 5�?B5# !����;��� �

� �8�$B9!4�" #$ 67! ��9�7$B %#7 5�� 4�$6�9!5# 8� %!$B8# 4�8B %�7 �7678B!5# � T7 %�� �$ �7 34B7�8B3 B# 67! V678B %#7 @�89#4B!� � T7 �� 34 %#� B" # 8!3 %&96�# !3!4�8� �! " B$" ! $B96!8B %#7 !3�B8!5!

Page 60: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

G= ��������� ��� �� ����7# ! 67 8!"3# @�89#4B!� $B7# ! 67 8!"3# " !94B8B!� � T7 �$� 8!$# $6$9B96 B" #$ �7 �� ���� � # 3#4 � � # E 7#9!8B %#7 A6� B75B8! �! !896!8B %#7 5� �! " !94B� � � �I �? � $#?4� �� @�89#4 # �� �8#45!"#$ A6� �7 V%&$B8! $� $6��� 5�7#" B7!4 SP#��� ! �! !3�B8!8B %#7 �B7�!� 4�34�$�79!5!3#4 67! "!94B� �7 67! ?!$� ��$ 5�8B4 !� #?D �9# B7@!4B!79� A6� �!U 5�94 %!$ 5� �! " !94B�� �"P��PRN � JK J� �P��� �# RNS� �$ �N � J .� ) -.� � � ()21� � )� )* 2,/.� ./ 21* )*1� � � � �I �? �1� ,/ 21/�)* 0 '1*1/ � .-1 �1 2 1/ 1� �

�� � #� [� � � � �� �

< � �� [W

��� ��=�0)/01 -. 0 �1*� 1/ � . 01 � 1� ,/ �1�2)* �,1 �P OP�#P 1/ �)+� )/ 1/ 21� �)+ ) �0 �1*� 1/ � .� )* -.� ��

�< � �

�� � �? I �?�? \�� ��F�

� �������� � �� � �#5!$ �$9!$ @�4$B#7�$ $#7 8#7$�86�78B! 5� �! @�4$B %#7 " %!$ ���" �79!� 5��9�#4�" ! A6� $� �$84B? � !$ %& Z % B �$ 67! V678B %#7 5BV�4�78B!?�� U # � �� � � � E � � � � �79#78�$�� �� [W � �� � � [� \

�� �GH������ �� �� � J�� J � �"#$94!4 �� $B 6B�79� 9�#4�" ! Z $B �$ 67! V678B %#7 �$8!�!4 5BV�4�78B!?���

� # [� � �� ���� [W \

�� �G ������� �� �� � JK J < �! �#4! 5� !3�B8!4 �� 9�#4�" ! 5� �!6$$ 7#$ 3 #5�"#$ �78#794!4 8#7 �!5B@�4 �78B! 5� 67 @�89#4 5� �! V#4" ! � � ;

�@�4 8!3 %&96�# ' � � � �568B4 �! $B 6B�79� B5�79B5!5@�89#4B!� A6� ��34�$! �! 5B@�4 �78B! 5�� 34#5689# " !94B��@�89#4< �

�� � ;� � �

< � ��� ; � � Z <; �

�� �G��5#75� < � B75B8! 5B@�4 �78B! E � �$ �� 94!7$36�$9# 5� �! " !94B� � U �� %6�9B" # $6"!75# �$�� ��!" !5# �34#5689# 5�� $�#S�N$$ � �# 5� 5#$ " !94B8�$

� Z � � ��? � �?� �? \�� �GG�

�?� � �"#$94!4 A6� �� 34#5689# 5� 8#794!88B %#7 �$ 67 34#5689# B79�47# �7 �� 8#7D 679# 5��!$ " !94B8�$ G � G � %# � � � � A6� 5�C7� 67! 7#4" !�� �E � � Z � \

�� �G'�<9�78B %#7 ! 7# 8#7V675B4 � Z � E 67 �$8!�!4 E 8#7 �E � � � � E 34#5689# 6$6!� 5� " !94B8�$ �

Page 61: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� :���� �� �� �� GF�� ���� � ������ �� � ��; �� ����� � $!" #$ �7 �$3! �7#� �! 3!�!?4! � ,� ) �7 5#$ !8�3 8B#�7�$ 5BV�4�79�$ E 67! 3!4! 5�$B 7!4 �� " #@B" B�79# �� �6$# �$9 %!75!4 �7 �#" �94 %&! !� 4�V�4B4$�!� =6D # �7�4!5# 3#4 67 8!"3# 5� @�89#4�$ E !A6 %& ;

� U �7 67 $�79B5# 9#9!�" �79� 5BV�4�79�3!4! 5�$B 7!4 �� =6D # 5� 67 8!"3# 5� @�89#4�$ $#?4� 67! 3#48B %#7 5� $63 �4C8B� #4B�79!5!�8#"# �7 �� 9�#4�" ! 5� ������ � #44�$3 #75� �7 B7 � %�$ ! 5#$ 3!�!?4!$ 5B$9B79!$ E � )� U� ,� 4�$3 �89B@!"�79� � %� 36�5� �@B9!4 �! 8#7V6$B %#7 ��!" !75# !� =#� + )� + 1/ 2) # �)** 1/ �21E �# A6� �!4�" #$ 8#7 V4�86�78B! E 3 �4# �� ��89#4 �! 5� $�4 8#7$8B�79� 5� A6� �! 3!�!?4!=6D # �$ 5� 6$# �!?B96!� �7 !"?!$ !8�3 8B#7�$ �

� () �3�+1 -. �3�+T� 9�#4�" ! 5� �!6$$ $� $6��� !3�B8!4 ! =6B5#$ P�SN$ ��#N� ��� E �7 A6� � U ; 7# $#7 V678B %#7��3�%&8B9!" �79� 5�� 9B�"3# 5� "#5# A6� �!$ 94!U�89#4B!$ 7# 8!"?B!7 8#7 �� 9B�"3# � %� 9#" !8#"# 5#" B7B# 67 S;

�� OP �;� � E A6� �$ 67! C 64! V#4" !5! 3#4 67 �!� 5� 94!U�89#4B!$A6� $� !3 #U!7 �7 67! 864@! 8�44!5! � U V#4" !7 67! �$3 �8B� 5� 96?# � A6� $� 8#"3��9!" �5B!79� 5#$ ?!$�$ # 9!3!$ 94!7$@�4$!��$ !� 96? # � � U �E � �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� "!$! EA6� !�#4! $� 4�568� ! < ��� ;

� � H E B"3�B8! �79#78�$ A6��� �� ; � # [� � �

��� ; � # [�

��� �G��5!5# A6� 7# �� B$9� =6D # 5� " !$! ! 94!@ %�$ 5� �! 3!4�5 �!9�4!� � � #"346 %�? �$� �

� � !A6 %& 67! "!7�4! 5� !3�B8!4 �� 9�#4�" ! 5� �!6$$ ! =6B5#$ 7# 7�8�$!4B!" �79� �$�9!8B#7!4B#$ �7 G�

� @!4B!?��$ � %� 9#" ! 67 5#" B7B# 5� 4�V�4�78B! � � LM � 8#7 V4#79�4!4� 6�!4 �7 �� A6� �� "#@B" B�79# �� �$9 %! 5�C7B5# 3!4! � � H U 3!4! � � � � � �E $� 8#7$B5�4!�� 5#" B7B# P �W� �� Z � � � � � �E � W R � � S \�� �GG�

9!� 8#7D 679# $� ��!" ! 67 96?# 5� =6D # E � �#$ 8#7D 679#$ � � � � P� � S U � �� � P�E S $� ��!" !7.�1� U � P �W

� �� Z W R � � S �$ �! '*)/ 21*. -. 21*.- ��! 34#3B�5!5 B79�4�$!79� 5� 67 96?# 5� =6D # �$ A6� �� @�89#4 �

; ��� �$ 9!7 �79� ! �!V4#79�4! �!9�4!� � T ��# �!8� A6� $B 9#" !"#$ �� 8!"3# �7 G

�� 5B" �7$B#7�$ � � ��; �

� � �B79� 4!" #$ �7 $� 9�7 ! A6� � � \�# [ �� � � � �� ��� [W[� ��� �G��5#75� �� 34B" �4 " B�"?4# �$9 %! B79� 4!5# �7 A6� �$ �! 67B %#7 5� U �!$ 5#$ ?!$�$U �!$ 9B�5�$ $� 6$!7 3!4! 5�$B 7!4 #3 �4!5#4�$ # ���" �79#$ �7 LM � � �! ��U �� G� 5B8���!89!"�79� A6� �� �� � � H E U �� 34B" �4 " B�"?4# 5!���

��[W �

�����[W �

��� � �# [ �� \

�� �G=�

Page 62: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

'H ��������� ��� �� ����Y6�$9# A6� � �$ 3!4!���# ! E $� $B 6� �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� " !$! B79� 4!����

��[W � ���

��[W \

�� �GF�>?$ %�4@�$� A6� �! B5�! 5�� 8 %!�86�# $� 36�5� !3�B8!4 �7 34B78B3B# ! 86!�A6B�4 8�!$� 5�96? # E �7 3!49B86�!4 67 96?# 8#7 5#" B7B# �$3!8B!� CD # � � � � � � �E � U $� #?9B�7� �!@�4$B %#7 B79� 4!� !� C7!� 5�� !3!49!5# � �� �

� (� *++,-./0-01 23,4 56 78/.01 ( �0 -54.,�./250#79B76!75# 8#7 �! 9�#4 %&! 34�$�79!5! �7 �! $�88B %#7 ��= E 5�$�!" #$ �$84B? B4 �� #3 �4!5#45B@�4 �78B! B794#568B5# �7 �� ���� �7 67 $B$9�" ! 5� 8##45�7!5!$ 864@B�%&7�!$ #49# #7!��$�� !� � � Y#5�"#$ B79�79!4 67 8!"?B# 5� 8##45�7!5!$ 6$!75# �! ',1*N. * ,2. E �# A6� 4�$6�9!4 %!$B7 565! �7 #44#$# U 5�8�3 8B#7!79� 3!4! �� ��89#4 � �! B5�! 8#44�89! �$ " %!$ ?B�7 69B�B�!48#" # 5�C7B8B %#7 5� 5B@�4 �78B! �� 9�#4�" ! 5� �!6$$ U �$84B?B4 A6�

�� < � $B� � ��

�[W � � �

� � #�[� \

�� �'H��#" !"#$ !�#4! 67 5#" B7B# 8#7@�7B�79� E A6� $�4 %! �� 94!7$V#4" !5# 3#4 �� 8!"?B# 5� 8##4�5�7!5!$ I 5� 67 86?# � � P �� !� � Z �� !� � � �S � �! 34B" �4! B79� 4!� 5� �� �'H� 5!� � ���� I � ���E �� [� !�[� !E[� !� ��� �' ��

5#75�� I B75B8! V678B %#7 5� V678B %#7 E �$ 5�8B4

��I �W !�� � T7 86!79# ! �! B79� 4!� 5�$63 �4C8B� 9B�7� G $6" !75#$ 8#44�$3#75B�79�$ ! �!$ G 8!4!$ � � � !86�45# 8#7 �! 9�#4 %&! 5�B79� 4!��$ 5� $63�4C8B� �!$ 5#$ 8!4!$ #4B�79!5!$ 3 �43 �75B86�!4" �79� !� �D � � !� 8#794B?6U�7� � �

I � � �E �� ��P !E � P !� � [� !E[� !� � � � �E �� � I � �

��P ! �� [� !E[� !� \�� �'��T�34�$!75# �� B79� 4!75# 3!4! � !E � � !� CD # 8#" # B79� 4!� �7 � !� 5� $6 5�4B@!5! E �!8B�75# �#" B$"# 8#7 �!$ B79� 4!��$ �7 [� !�[� !E U [� !�[� !� E $6" !75# � B 6!�!75# ! �� �' �� $� 9B�7�

� �� ��

�� �E ���

� !� ��E �� !�� � � !E ��� �� !E � � � !� ��� �E !� �� ��� �'G�5#75� �$84B? B"#$ � � � !� P ! � E �6� # !� � � P ! �

������ �� �� � J9 J � !��!4 �!$ ��34�$B#7�$ 5� �! 5B@�4 �78B! �7 8##45�7!5!$ 8B� %&754B8!$ U�$V %�4B8!$ � T$84B? B4 �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� "!$! �

Page 63: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ����������� ���� �� ���� ' ������ � �� � %� 9B�7�

� �� ��� �

��� � ��� � � � �

�� �''�� �� � �

� E ��� E� � �

�� $�7

�� $�7 � ��

� $�7 ��� �

��� �'���7 8B�%&754B8!$ U �$V %�4B8!$ 4�$3 �89B@!"�79� � #7 ���# �! ��U �� ��=� A6�5! �7 8##45�7!5!$8B� %&754B8!$

� � ��� �

���� � � � ��

��� � � � ��� � � � H

��� �'G�U �7 8##45�7!5!$ �$V %�4B8!$

� � ��� E �

�� E�� � � � �� $�7

��� � $�7 � � �� $�7 �

���� � � H\

�� �'��

����� �� �� � J�� J T$84B? B4 �! 8#75B8B %#7 5� B78#"34�$B?B�B5!5 3!4! 67 =6B5# 3�!7# A6� �!�=6U� �7 5B4�88B %#7 4!5B!� E �? � B4! �7 9#47# !� #4B �7 ���RP#SN� �� NQN#�NO� J �! �86!8B %#7 5� 8#79B76B5!5 �$ '*.+ 1 /0 � 1*1/ 2E �$ 5�8B4 B7�@!4B!79� !79� �� 8!"?B# 5� 8##45�7!5!$ � � � ��8�# �! @�4$B %#7 �! 4!7 B!7! �$ ��!89!" �7�9� �! @�4$B %#7 �6��4B!7! 4�V�4B5! ! 67#$ �D �$ A6� $� "6�@�7 �3!4!���!" �79�� 8#7 �� =6D #�8#"34 %6�? ��# �� ��89#4� �

��4�"#$ �7 �! ��88B %#7 $B 6B�79� A6� �! �86!8B %#7 5� 8#7$�4@!8B %#7 5�� B" 36�$# 7# 9B��7� �$9! 34#3B�5!5 E !3!4�8B�75# 76�@#$ 9 %�4" B7#$ 86!75# $� ��34�$! �7 8##45�7!5!$ 7#B7�48B!��$ �

Page 64: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

'�

�.13� ./� �!4B!?��$ B794#568B5!$ Z

5�7$B5!5 5� "!$! Z � E " �5B5! �7��

�� � # �

�� � �@��# 8B5!5 Z ; � ��

� ��� E " �5B5! �7

�� Q

�# � Q

��

� 6!54# 5� V#4" !$ A6� 4�@B$9� �! ��U 5� 8#7$�4@!8B %#7 5� "!$! Z�� �� � � � � � �� � � �

��� � �W� �� [W � ��� � �X

�H� [X

�� ��� �X �� ��� �X

� �� � � �X

�H�

�[[�

�� � � � H�[�[� � � �< � ;

� � H�

� � � < ���;� � H

[[��� � [W � �

��

� �; � #� [� \Y!4! =6B5#$ �$9!8B#7!4B#$ �7 67 96?# 5� =6D #�

� �� ; � # [� � �

��� ; � # [� \

� #75B8B %#7 5� B78#"34�$B? B�B5!5 Z

� �X� �� � �

�[�[� � H

�� �W

� �� � � �X

�H�

�[�[� � H

\� #75B8B %#7 5� �#"# �7�B5!5 Z

� �W� �� � � �W � � �� � < �

� � H\

� T� =6D # 5� " !$! $!�B�79� 3 #4 67B5!5 5� $63 �4C8B� ! 94!@ %�$ 5� 67! $63 �4C8B� 5� 7#4" !���9�4B#4 # �$ � ; � # \

Page 65: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�#� $�!� �� �

��� � % $#� %&# � �� "���#&% $� �� �#&# !%�#� �� ��� %� %� !���'*1N�) 1� 2. )*. �)+ ) � * / � � )� +.21+ (. 2 �)� 01 -. -)�)' (H. /. 2,*.-

� ,1� 2)0. -. 0 �,- 2.0 01 -. -)�)' (H. � .*1�1 �)/� � 2 * 1/ � .�.*01- + )� + 1/ 2) . -. /�1� 2 �.� ()/ 01 -.� ' ,1*N.� 01 -. � . 2,*.-1N. � - ,1� ) 01+ )� 2*.* -)� )2*)� '1/ ()+ 1/)� . � .* 2 * 01 1�.� ' ,1*N.� ��� ���� � �Y4B78B3 B!� E 34�V!8B#

Y!4! 86"3�B4 �� #?D �9B@# 5� V#4"6�!4 �� 34#?��" ! 5� 5�$84B? B4 �� "#@B" B�79# 5� �#$=6B5#$ E # " %!$ �7 �7�4!� 5� �#$ " �5B#$ 8#79B76#$ E " �5B!79� 67 $B$9�" ! 5� �86!8B#7�$ �75�4B@!5!$ 3!48B!��$ E �� $B 6B�79� 3!$# 8#7$B$9� �7 �!��!4 �!$ �86!8B#7�$ ! A6� #?�5�8� �!@��# 8B5!5 � � T � 34B78B3 B# V %&$B8# 5�� A6� $� 5�4B@!7 �$ �! 8#7$�4@!8B %#7 5� �! 8!79B5!5 5�"#@B" B�79# �# B"36�$#� � < ���# $� ! �7!5� �! 8#7$�4@!8B %#7 5�� "#" �79# 5� �! 8!79B5!5 5�"#@B" B�79# E A6� 9B�7� 8#7$�86�78B!$ !5B8B#7!��$ 4��!9B@!"�79� " �7#4�$ � �#$ �$3 �4! 36�$#94# 94# 8B9# 5� V %&$B8! E 9#5! ���! "6U !88�$B? �� 3#4 $6�49� � #"# 3! # ! 76�$94# 94!?!D #��� !4�"#$ !� 8#78�39# 5� SP#��� OP P�;P���� E 3B�!4 V675!" �79!� 5� �! " �8 %!7B8! 5�"�5B#$ 8#79B76#$ �

����� ������� ���� ��� ��� � � ������ � �� ���������� �� ��� �� ���� �� ��� ��� ������� ��� ������ ���� ��������� �� ���� ��� �� �� �� ��� �� �� ��������

'G

Page 66: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

'' �� � �� �� ���� (' �0 20/� 5-0- -. � +45� 5./�+ � .6 �./1+, -. .13.,�

�+1 ( �.� -. �.� �+/ 0,0 6+1 �35-+1T$ D 6$9# �"3��!4 �! B7@�$9B !8B %#7 5� �! O �# NR �$N 5� �#$ " �5B#$ 8#79B76#$ 8#7 �! V!"#$!�1� ,/0. -1� 01 � 1� 2)/ E A6� 5B8� A6�

� � � N � [[���;

��

�G ����7 $6 @�4$B %#7 3!4! 67! 3!49 %&86�! E 8V � �Y4B78B3 B!� E �G=�E � T7 �� 8!$# 5� 67 8#79B76#�$84B? B" #$ 8#7 ����� ������ 67! ��U �#?!� �7 9 %�4" B7#$ 5� L �� � � E �� B"36�$# 8#79�7B5#�7 67 94#�# 5� =6B5# A6� # 863! �� @#�6"�7 � � �7 �� 9B�"3# � E U 5� �! $6" ! 5� �!$ V6�4�!$!3�B8!5!$ �7 � � E A6� $#7 5� 5#$ 9B3 #$ E ��9�47!$ U $63�4C8B!��$ � ��7�"#$

[[� L �� � � � :9#9!� �� � � � :��9 �� � � � :$63 �� � � \�G ���� �" #$ 5� 6$!4 !�#4! 76�$9#$ 8#7# 8B" B�79#$ V %&$B8#$ 3!4! ��34�$!4 �7 8#784�9# �$9!$ 8!79B�5!5�$ �#?!��$ � � � !86�45# 8#7 �! 5�C7B8B %#7 5� B"36�$# E $� 9B�7� �7 �� 8!$# 8#79B76#L �� � � � ���

; [�� � ���;� [W \

�G �G�Y#4 #94! 3!49� E �!$ ',1*N.� 1� 21*/.� $� $63#7�7 !$# 8B!5!$ ! 67! 5�7$B5!5 5� V6�4�! 3#467B5!5 5� @#�6"�7 5� "#5# A6�

:��9 �� � � � ��� �W � �

� [W \�G �' ��!"?B %�7 $� 5�7#" B7!7 ',1*N.� 01 �)-,+ 1/ � T$ ! @�8�$ " %!$ 7!964!� �$84B? B4�!$ �7 �! V#4" ! � � � E 5#75� � �$ �! 01/� 0.0 01 ',1*N. � )* ,/ 0.0 01 + .�. E �$ 5�8B4 E 67! !8���4!8B %#7 �%63#7�"#$ �7 �$9� 9�� 9# A6� �$9!$ V6�4�!$ $#7 8#7# 8B5!$� � �! " %!$ 6$6!� �$ �! 4!@�5!5 E � �� �

� � Y6�5�7 9!"?B %�7 34#@�7B4 5� �V�89#$ 5� V4B88B %#7 E ���894#" ! 7 %�9B8#$ E 768��!4�$ EA6 %&" B8#$ E �98 ��!$ V6�4�!$ �;� P��$ �N �P� # OP $�#SN$S� $#7 67! 5� �!$ " %!$ B" 3#49!79�$ 8!4!8�9�4 %&$9B8!$ 5� �#$ =6B5#$ �# " �5B#$ 8#79B76#$ �7 �7�4!�� U ��3�B8!7 �! B7=6�78B! 4��!9B@!5� 8!3!$ 5� =6B5# 8#79B 6!$ � %� 5B$9B7 6�7 5� �!$ !79�4B#4�$ �7 A6� $#7 V6�4�!$ 5� �)* 2).-�./ �1 � ��#$ 5B$9B79#$ 9B3 #$ 5� �$9!$ V6�4�!$ �$ �# A6� $�3!4! 67!$ 8�!$�$ 5� =6B5#$ 5�#94!$ E 8#"# @�4�"#$ ! 3!49B4 5�� 8!3 %&96�# � � Y!4! �"3��!4 E U $B 6B�75# ! < 6$9 %&7 �6B$������ ��=���� 76�$94! " #5��B�!8B %#7 5� �! 4�!�B5!5 V %&$B8! $63#7� A6� �� B$9� 67! OP#���ONO �;� P��$ �N � OP ;P��N E E 5� "#5# A6� $B � � � � � �$ �! V4#79�4! ��$3!8B!�� 5� � � E� �� ������ ��� � ����� ��� � ���� �� �� � �� �� �� ���� � ��� � � ������ � ���� �� ���������� � �� � ��� �� �� �

� ���� ��� ���� �� �� � ��� ��� ��� � ����� �� � � ������ �� � � ��� �� � ���� ����� ���� ��������� �� � ������ �� ���� ��� � � ���� ��� ��� �� ��� � ��� ���� ��� �� ��� ����� �� �� ��� �� ���� � ���� ���� ����� ����

Page 67: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� :����� �� �� ������ ��� � �� ��� ��� �� ������ �� � � � � �� � �� � � �� � ����� �� �������� � � �����

� �� �� � � ��

� �! " # �� $�% &'

(� �)���� ����� ���������� � �� ������� �� *��� ��� ����� �! " # �� � � ��� ���+� *���� �� ������� *�� , �� �� ���� �� � �� �� ������ � � �� � �� ����� & -��� �� �������� �������� �� �)������ .�/ 0.12 345 25 6.7089 :. 98 ;451.0 <8;2 345 :. 98 ;85 62:8: :. = 4<2= 2.5 64 �> �? @

��#

� � ��� �A �! � � � ��� �! B � �

� �� $�% &C

D *�� �� E��� ���� ����� � � �� F��� � ����)��� � ��� � ���� )������ � �� ��������+�� & G��D)� � *H� I�� ���+ *� �� �)������ )��� ������ � �� ?JKL @MNOPNQR S TUTU V�RAW�X Y �8 :.512:8: :. Z[.0\8 1 [/ .0 ;289 �8 :. 1.0 [58 Z[5 ;2 345925 .89 :.9 <.;640 5 40= 89 , � 1 :.;20 .� 21 6. [5 6.5140 ] �! " # 689 �[.

�! " # " , � ] ^ , $�% &L

� N�,_W_O, S TUTU ] 1. 998= 8 aN,bOP cN NbANP�Obd & (� ���������� � �� �e��� � *�� ] ^ ,������ �� �������� � ��� �� ��� �����f ��� �� g����� ������� &� �h��i�jkl m�� � n��� � ���� ���� �� ���� ���� g����� �������� , � �o p " oq " or ������ ��

�! " # " , � o p �! " # " N p B oq �! " # " Nq B or �! " # " Nr $I� E�� *��� � ���� ���� �� ������ �� �� ������������ � F���f� �e����� �� ������� � �� � �������� �� ! &

�s >��� ���� �� �� � ��� ������ � �� g������ ������ ��� � ���� F��� ��� ��� ����������� �� g *������ � � � � t � � � ��� �� �� g����� �� ���g� �� ������� *�� N p � ��������)���� u p � �t �� ������� *�� �� Nq � ���)���� uq � �� �� ������� *�� �� Nr � ���)���� ur &( � ��������� ����� ������ ���� � �� ����� ������� � p � �t � � � q � ��� � � r � ��t� ����� ���� � � �t � � ��� ���� ��� �� � ����g� vN p � vNq � vNr � , � �o p " oq " or ������ �� ow � �� � w �� �� �� ��� ��������� � ���� ��������� � ?xuw & -����� ow y z���� ���� { & I� *���� � � *�� ����������� � �� |� w | � |� | o w � |� | �� � w ������� � �� ���������� *�� �� *���� & D�������� �� ��������� �� ��� �� F���f� �>s? � ������

�, �� B �� �

�vN p �� B �� �

�vNq �� B �� }

�vNr �� � v�~� � B ���# "

����� E��� ��g ����� ��� �� ��� ���� �� ��� �������� �� �� ! � # & � � �� � *��� ����� ������� � ���� �� � ���+�� �� �>s? & ( � �)���� � ���+�� �� ��� ��� F *������ � �����

�� ������ �� �������� � �� ���� � �� ���� ��� # ���## ��� #�� �

Page 68: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

C ��� � l� mjh lkj

������ ��� � �� �� B ��R �� � ����� � � �� g������ ��� ��������� & I� ���� � �� � � *����� ��� �� �� ������� �� � �� �������� �� ��������� & G �g������� �� F *������ � �� |� | ������

����?|� |

��

�, �� B op ?|� p |

�� �

�vN p �� B oq ?|� q |

�� �

�vNq ��

Bor ?|� r |

�� }

�vNr �� ���� ��|� | �� �� B ��R �� $

D ���������� *�� ��� ������� � �� � *������ ���� �� ��������� E���� *����� � � ���� � y z ��������� ��� ���� �uw � g�� *���� �� � �r� � *���� �������� |� �w | � �q |� w |& (� �� � *H� ���� � z �+ ��g��� �� �� �)���� � ���+�� �� ����� � �� � ������ �� ��)�� �� ����g��� *���� ��� ����)���

�����?

|� � |� �

� �! " # " , �� � �� " # " , "

� F *������ �� ����� �� �� ���� ���� & �� ����� � *H �� �� " # " , B o p �� " # " vN p B oq �� " # " vNq B or �� " # " vNr � z $�% &J

� �� � �+������ � �� ������ *�� ���� , � �o p " oq " or ��� ow y z & I� � � � � �)������ ������+�� �� �)�� �� ��) *�� ow � �+����� ���+����� �� ��������� *�� ��� ��������� & (� �� ��� �� ��) *�� ow � ����� +� �� ��� ��� ���� �� ��f���� ����� ��� )���� �� � � ����+� *�� ������ ��� �� ��� �)��� �� ��������� *H� ��� �� g�f ��� ��������� & >�� ���� �������� � ���% &J � ������ ���� ���� g����� �������� , & (� ��f���� ����� �������� ����� �� �� �� � � *H @���� �� �� ����� ���)� �� �� F���f� �� �������� � �� �� �e����� � .� 21 6. .�[292024 94 ;89:. 981 Z[.0\81 :. ;45 68;64 � ���� ��� �� �% &J &

�ss (� �� �)���� �� � ��� ������� �� �F���� ��� ���+�� �� ��������� *�� �� �� g��������� �� & -����� ��� +��� � �� ����� � ������ ! � ��g�� *��� �� � ������� �� ������� ���� �� N p �� �� �� �� F��� � p � � q ��� �������� �e������� � p � � q � �� � �� �� ������ ����� ��� *�� � �� �� �� �� F��� � ��������� ��� ���� �� �e������ N p �� � p �vN p �� � q & ��f������ ���� ���� � � ���)� �� �

� ��� B � �

� ��� � � ��r "� �

� ��� B � �

�! " # " N p �� � � ��r "� �� �

�� B � ��

�! " # " vN p �� � � �� r "

����� ��������� � �� ��� �� ��� ��g��� *�� �������� � � � � � p � � � q �� � ����g������ &� � ����� � ��g ������ ��� �q � E������� � � z � �����

�! " # " N p B �! " # " vN p � z $�% &�

Page 69: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ������ �� ��������� L

I� � � � � �)������ � �+����� �� �������� ���� ������� *�� & ( �� �� � � ����� �� �� ����� � �� 27 [89:8: :. 981 Z[.0\81 :. 8;;2 345 � 0.8;;2 345 &

D ������ �� �% &J � �% &� � �+����� �� �)������ �� ���� ���� , � �o p " oq " or &(� ��� +� � ������ ����� ] g���� �� ����� ��� ��� �����f � � �� w� � �� F��� � �� �

� � p " q " r " , � �o p " oq " or "� ������� � w � �� � w� o� $

� N,_W_O, S TUT � 41 .1Z[.0\41 5 40= 89.1 � ww �;4925 .89.1 ;45 , 1. :.5 4= 2585 .1Z[.0\41:. 6.512 345 12 � ww y z � :. ;4=/ 0.12 345 12 � ww � z � � 41 .1Z[.0\41 5 4 :287 4589.1 � ;4= 4 � pq � 1.:.5 4= 2585 .1Z[.0\41 ;40 685 6.1 4 :. ;2\8998:[08� �� *��� � �� ���� ��� �� �� ���������� � ��� F���f� ��� ������ �� �������� @ � *H � � pq� ��� �� F���f� �������� �� � � N p �������� �� ��� �������� �� *���� ������ � ���� �� Nq &� ���l m�� �l�����klj� � G� ���� ���)�� � ��� g�� � *�� �� �� ��� �>s? �� ����)���� & �������� E�� � �� ���� F��� �� �� ����)��� �� �� ������ �� ����)��� �� g���� �� � ���+� *�� E��� �� ����g�� +� � �� �)�� �� ����)���� *�� & I� �� ������ �� �� ����� *�� �������� �� ���g����+� ���+��� � & D *H � � ������ �� �>s? � �� ������ � �� >���E� � ����� @

��# ��� �A �! � ��� � �A

�# �! � ��� �� B � �� ] �! " � � ! " $�% &?z

G�+��� � �� ��+���������� �� � �������� � �� g�� � *�� �>sK � �� �e��� � �� �����+��� ��F���f� � ��g�� ������� @

� �A�# � � B � �� ] &�% &??

(� ���� �� � ���+�� � �� 6 3.0= 25 4 :. 25 .0;28 � � � � ��� ��������� *�� & (� �)���� � �� #������� �� �� ������ � ��� �� �� Z[.0\81 .$ 6.0581 � �� � ��� *�� ��� �� � �� *������� *� ��� � � �� ���� �� �� Z[.0\81 :. ;45 68;64 � �� ���������f� �� ��� *�� ��� ��� � ���� �������������� & ( �� ��� F���������� �� �� ���+ � �� ��� *�� ��� ��� ����� � � �� )��� ��������g� ����f�� �� ������ *�� �% &?? ���� .9 .%[292&024 :. Z[.0\81 %[. 8;6 3[85 14&0. [58 / 80 6 3';[98( [2:8 2:.89 &

(� ��� *H���� ��� �g� � �� ��� ��� �� *� �� F��� � �� *� ��� �� (���� � � �g���#���)� ������ ����g��� �e��� ���� �������� ���� �� ��� �� ] �� ���)�� �� ������ �� ���#������� ��� ��� � �� ����� �� ����� � �� ���+ �� �� ���� �� � & (��g������� ���� �� ���+ � �>sK * ���� @ +

A+# B �A ^ , A � ?� � B ?� � �� ] $�% &?K - ./ �0� . ���.. �� ���� ��� �

Page 70: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

J ��� � l� mjh lkj

������jkl m�� � (� �� ������ ����� � ���� *����� � ����� � ��� ��� )��� ������ *�� �� �)��� #���� ��� � *��� ��� ���g����g� �A ^ , A � �� ���g���� �� �� ��)�� �� ����g��� *�� � ������� ��# � ��� � �� � *��� ��� �� ������ & (� ���������� �)�����

��A ^ , A w � �� �� +� w+�� $

� ������� � �� �� ������ *�� � ��� E�� � *H� �� �� � ���� *����� � �� ��� � �� �������� �� ���+ �� *H� ���� ����g��� ����������� � �A ^ , A � � �A � � � *�� ����

�,A ^ A � �� A ^ A "�������� �� �� � ����f ���+���� �� A ��� �� g����� A & (� �)�� �� �������� ^ ����� � ����f� g����� � �� ������ &����klkl� S TUT G������ �� F��� � ��� �� ������ A ^ , �� ���������� ���*H������ �� F *����� @

A ^ , � ��++ B �

++� B ��

++ "�% &?%

A ^ , � ��++ B �

++� B ��

���

++� $�% &?

� �� ���� ��� ���� �� ��� �������� ���������

n���� �E��� ��)��� �� � �� �������� *�� �� �� ���� �+������ &S T TUT >����f��� ��� A,R c_QN,b_O, cN Nb RW_O & (������ ] � �� � ����� � �������� ������� ] � v! �! " # �� � *������ �� )���������� & ( �� � �� �� � ��� ������ �� ��������� ���� ��������� ��� �� � ����� ��� �� ���� �� �� � �� �)�� �� �� ����������� & ( �� +��� � ����� ���� ����f�� &����klkl� S T T �� ( ���+ �� �� � ��� � �>" # �>s �� ��� ��� �� � *�� � ������ &

�+ ������� ���� *� �� �� ��� ���� � ��� ����� � �� F���f� ���� & � ����� �� ����� *��)������ &

�� (� �� �� � �������� ���������� �� ����� *�� *����� � ������� ���������� �������� ����� � �� �������� ���� ! & #��� �� ������� ��)��� �� ������ *��$ (������� ����� �� ���� �������� � � � ���+ �� �� ������� �� F *������ �� � � ! &

�� #%� *� ����� ������ � �� � ��� �����$ #& �� *���� �� F���f� � �� �� �� )��g���� � ����� � �� ���������� g�������$

G� ���������� � � �� � ����� ��� � *� ������� �� �� ��� *H���� ' � � ����� ' &' &

Page 71: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �lh�i� m�j ��� i���� �� ������� '�S T T T ���� �� �E��� � ��� �� �� QA �a_c_QN,b_O,R �Nb T ��� �������� �� ��� �H �� ��� ������ ��� ��������� � ��� �A_cOb NP�NWaOb � ��� ��� ������� �� ��� ] �� ��� ����f�� ������� � �� ������ ��� �����

] � v! � ! "# $ %&������� �� ����� � �� ] � v,' � ���(�+

A+" B �A ^ , #A � ?� � v ?� ,! %�) *?+#

&���� ������ F����� ������������ ��� &���� �� ?L++ � ��E� ����� ���� ��� �� ������� ��>���E,* &� ����� ��� ������ �� ��� ������ � ��F����� �������� �F����� �� ����� ��� �-./ [0 - � � ��� �� ��� ��������� � �� 12213 42- *����klkl S TS5 T ��# &����6 �� �� ����� � �� ��,�� �>" ## �>s# �� ����������� �� ������ �������� * 7����f�� ��� ���������� ������� � �� ! 8 ! # � A � �� ! 9 ! : # *�6# &����6 �� �� ����� � �� ��� ������ � ��F����� �� �� ���� ���� �����6 �� *

&�������� �� ��� ������� ���� � �������� ��� � �� ������ �� ��F����� ���� �����6 ��� � ����� �� ������ �� �� ����� ����� �� ��� ��H������# �� �� ��� �H���� + * I�� (���� � ��� ����������� ���� �� �����6 ��� � ������ ��� � ��F����� * I� ���� �H� �� ��� (���� �� �����6 ���� ��F����� �� ���������� �� �� ��� �H���� L *��# ����� �� E �� ������� ��������� �,� ����� ����� ��� &���� �� � ����� �� �� -;13 4<=<>1>>-; ( [<>?# �� ��� ! �� ��� F���� ��� ��������� �������� �� � � ��� �� �� ������ ��������� �, �����6 �� �� ?G �� ����� � �� ��� (���� �� �����6 ��� �� �H���� ��� � � ��� �� �� �� �������# *

n��� �� ���� ����� � ��� ������� �� �� ��� �H���� L � g�� ����� ��� L *C *& � ������� �� ��� ������ � ��F����� � ����� ���� �����6 ��� �� � �� �����6 ��� � E� ���� ��

�6 ��� ���F������ �� �� � ������� �� ��� �� ������ , E� ���g��� �, � ��������� ����������� ��� ������� � ����6�� ���� �� �� ������� � g����6�� �� ��� � � (�� ��� �H� , ��� ���( �H� * ������ ��(���� ��� ����� �� �������� �� ����� ��� �� ������� ��� �� �������� �� �, ��6�� � �� ����,� F�� �6���g��� ��� ��� ����� �H@��� ��� ��(�� Ansss , ���g �� �� 6 �������� �� ������ �����@�������� � 6 �������� ��� � ��� �� �� ��(�� A sA , ��� �� �� ������� � ��� �������� *

� �� B�� ��� CD� ��� ��E��� �� ��FG��H��

���� ��� ��� ������� �� ��, �) *K# �� ��@������ ���� ������6 �� �� ��� �� ��� * ���� �������� �e����� � ������ �� �� ��, �� ������g��� ��� ��� � ����� � �������� �� �g � ����� ,��e� ����� � �� ����� ��� ��, ��������� �� ������g��� ��� ��� � ���� ��(���� �� � ���� ������ �������� �� �g � �����# * n��� �� ��� �� ������ ���� � �� �� � ��, �������� � ��� ��������������� ��������� � ��� �� ������ �� ��F���f�� E� �� ��� �� ������� * ���� �� ����������� ���� �� �� � ��(�� @ �� ������� ������� ��� �� ��, �� ������g��� ��� ��� � ���� �� �����6 �

II" � � ��� � J �A # I � � � ��� � J � # I B � �K � � J L# I� !�) *?C#

Page 72: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

+z ��� � l� mjh lkj

����� R J � ������ �������� g�������� �� ��� g������� � ��� �� ����� �� 6� ��� ������6 ���� � R J � � �

w� � � w� �Nwu� �� !������ � w� � �� ������ ��,�� �� �������� g���� z �� ��( ��� �H����� �� ������ � ? �� �� � �� ����� ���{� � �� ��� � , #? �� �� � ��� �g�� ����� ��� ? *�# * ���� ��

� � ��� � J � II"A v ?� � # I � � �K � J �] ^ � #I� %�) *?L#

� � �� �� �g����� �� ����� � F����� * 7����f���� �� ���g���� ��� �� �� ��� ��� �� �H��������� ������ �� ����� ���� ���� {

� �K � � J ] ^ � #wI� � � �K � � w� ��� � � �o � I� � � � ��� � w� �++� � ��� � � �#I �

� � � ��� � w� ��� ++� � �� � �#I B � � ��� � w� � �� �� � �I �

� � � ��� � J � �� ]#w I B � � ��� � w��� � � I %��w� � �� { � � � z �� ���� ��������� # * s������������ ���� �� �) *L# , �������� �� �������� ��, � sK *# ��� ����� ��� ���� ���� �� ���� � �

w �� ��Nw � � ��� � w��� � �I � z %

�������� �� ������ �� ��(��@���� �� � w�� �� ������ ��� �� ����(����� ��� ��� �� �� ���� � ��� � N p �� � rq v � qr � ��� E� �� ��� ���� * &� (������ �� ������ ��� � � � v � �� � z���� ���� � , � *� _PNWW_O�Nb P_�W_ R �Nb

G �6��� � �� ��������� �� �� ��� �H� � �� ������ �� ��F���f�� ��� �� ������������ ��� ��� ����f �� ������� ��� ���� ���� � ��������� ����� � �� � �� ����(������ * ��� �����(������ ��e ���� ��� 6��� ��� ������� ���� ���� � �� ���� �� ������ ��� �� ������������ ��� ��� ����f���(���� * �� ���� ���� � ���� � �� �� �e ����� ���� ��F���f�� ���(�������� * I�� ������������� ���� � �� �� ��� �� ><2-==<?� -3 / 2<� =</ 1;-3 >- -3Z [-2\?3 * �6� ���g��� ��� ������ g������� ����� � ����� *

� �� �� �� E� �E�������� � � �������� C�E �� ��������

�� ������ ��� ��� � ����� � ? �� ����������� �� �� 6�� �� � �� ���������� * &������ ���� ���� �� �� �� ���������� � �� �e����� ��� �� �� ��, �� 6�� ���� ����� �� ���g�� � ��� ���� � ��� �� g ������#f�� �� � Z [-2\13 � =4<=<13 * &��� �� �� �� � 6��� ���� ���� �� �� �� ������ �� ������ * n�� ��

Page 73: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �k����jkl m� �� �� l� l� +

�� � ������� �� �� ���� �� � �� ���������� ��� �� ��g�� ��( ��� �� �� 6�� �� ���������������������� �� �� ��6����� ��� *� *+ �

� � �"# � � �� # !�) *�#��� �IxI"#� � " �"# J � � � � �� (��� �a # , g��� ����� ��(���� | �a # |* ���(� �� ���� �����������f � � � * � � �� g ���� ��� �� g��� ����� ���� ���� � ���� � �� @ �� �� �� ������� ������� ���� �������� �� �

� � � � " J !�) *�#����� � �� �� g��� ����� ��� �� � �� � ����6 � �� �6���g���� ��� �� ��g� ��� ��� � ������������ * �������� � �) *�# �� ��(��

II" � I

I" � " �"# J!

�6���� �� ���� �� ��������� ��� I�xI" � Iq xI"q �������� � ��� � �� @ �� �� ����� ������ ���Iq I"q � Iq

I"q � �" �"# J I I" �

I"I" J � " J �" J # %�) *�z#

n� �� ��� �� ��������� ��� ��� �� � �� g� �� ��� � �� ��g ���� g ���� ��� �� ���� �� ����� ��� ���� * ������� ������ �� ��(���� �� 6�� ���� �� �����6 �� �� ������ ��� ��� �� ���� �I�xI"# � v,! � � ���� ���� � ��� � �� ��g ���� � �� ����� �� ����� ��� �� , " � �� �� ��� �

� Iq I"q � v, ��! � � � � � !�) *�#

����� � �� �� g����� �� ����f� �e ����� � �e������� �� ��� ���g�� � �� ������� �� �� 6���� ����������� ����� � , �� ����f� @������ ��� �� ���� ���� � � v�� " J � v � " J �" J # v � I"

I" J %�) *��#

& � ��� �� � ��� ��� �� �� �� ��� Z [-2\1 >- �?2<?;<3 �� ��� �� � ��� ��������� � � , " * & �� ��� ��� � " J �" J # �� �� Z [-2\1 =-� 42 �'/ -41 * & � ����� � � ��� ��� �� ����� �� �� 6������� , ���������� ������ �� ������ ��� �� ������ � * 7�� g�f �������� ���� � ��� � �� ��g ���� ���� �� ����� �� ��� ��� �� �� ��� � ��� ���� * �� ����������� ��� �� ����� ����f�� � ������������ �� ����f� �� ������� � �� ����� ����� �� �� ������� �� ��� ��� �� ���� �� ��� ���������������� � � �� @ �� ��6�� �� � ����� * &� ������ � �� ��� ���� " �� ������ ��������� � ����������� ��� ����� ������ �� �� � �������� , �� ��������� ��� Iq� �"#xI"q �� �� � ����� ���� ����� ��� ��������� �� ���� *����klkl � �� ��# � � ������ �� � ��� ��� �� ��� ������������� �) *�# ������ ����������� *

�� � � ���� ��� ��� !��� ��� " � #�!�� ��� $ %&'() %*+, $ -� �� .!�� �!� �� ���-/ ��! �� ��0-����� /� �� !����� ���/� �� 1 ��!!� ��2!� ��� ��-�� ����� /�� � �3 �� ����� ���! ���� !��.���� � �4 �� 54� � ��2!� �� � ��� � �� %*,6 �

Page 74: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

+� ��� � l� mjh lkj

�6 # � � ������ ��� �� ���� �� �� � ��� ��� �� �������� ��� ��� ���(�� � �"# �� ����f� @����������� �� � ��� ��� ����� ������� v� Iq� �"#xI"q * �&��� �� ���������� �� � �� ����f� ����������� �� ����� ��� �� �g � ����� ������������ ��������� �� ��� � �� ��g ���� *

����� �� �������� ��� ��� CD�G ��

����klkl � ��5 � &����6 �� �� ��, �� ������g��� ��� � s�# �� �� ��� � ����g������ � s)# �++" ��� # � , � ��� � # � � � � �� � !�) *�)#

����� �� � � � � �� �� ����f / 2?>�=4? >< �1><=? * �� ��@�� � � � � � �uw� # ��� uw� � � w9� *������� ��� �� �� �� ���� @ �

II" �� � � I � �� � I � ��� � � I� v ��� � � �� � � # I� %�) *�'#

��� ��� ����� �� � ��� ���� �� �����6 �� �� ������������� ��� � w� o� I� v �� ��� � � w�� o� I� %

Page 75: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

������ +)���G��E

� ������ �����6��� �

����� ��� � ! � ! "# � ��� �������� � �� &12<1� ������ q� � �� / 13=1;� ��� ����� q� z6����� * ���� ��� �������� ������ �� ��� �����( ��� ��� ��� * � *

������ �� ��������� � � � �� w� # � �� �� �������� *� � � ��� �� �� ������ �� ��� �� ��� ��� ���� �� ��, �� ���������� ��� �� �� �������� �� �� � ����� I

I" � � ��� �� I � � � ��� � I � � �K � � � � I� !� I�I" � � � � �� � !

+�+" � �� � , #� � � � � � � �� � !++

" ��� # � , � ���� # � � � � �� � %

� ���� ������ � �������� � �� � � v,! %� &� �� � �� � ����� �������� � ���� ��� �� ��� ��� ��@��� �� ��� �� ������� � ��

� � �� � � # v � �

��� ������ �� �����@��� *

Page 76: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

+'

Page 77: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ���� ��

� �� � ������ �� � �� �� ����� ��� � � ������ � �� ��� � �������

�� ��������� �� ���� ��� ������ �� ����� � �� ��� ��,�� �� ���������� ��� 6 ������� � ��� �@�# � �� ���������� ��� �� �� ����( ��� ����� * �� ��������� �� ����( ��� ������� � �� ������ �������� �� ������ ��� �� ���������� ��� �� � �� ��� , �� ������� �� � ��� ��� �� ��������� ��� � �#������ �� ���#��� ���� �� ��� * �� ������ � ���������� ��� �� ������ ��� ��� ����� 6�� � ��������������� *

� �� ������ ��� �������E C�� ���� � ��E����� �� �E��� CD��E���E�

�� ��, �� ���������� ��� �� ��� �" )# , �� ��, �� ���������� ��� �� �� �������� �� �#� � ����� � s�# ��������,�� ��� �� ������� ���� � ��������# �� ����� � �� ' ���������������������� )� � � ��� ��(����� ��������� � � ��6 �� � � � � � , � * �� ��(�� �� ���� ��� � �� ��������� ��� ��� (������ � �� ������� �� ��� ��� �� � ����� �� �� ���� �������� � �(� ��������,�� * �&���� ��� �� ��� ��� �� * ��� �� ���� � ��� ����� ��, (������ ��� ��� � �� ��� ��������# ���� � ����� � �� ;- >- =?�3-2!1=< �?� >- ;1 -� -2" �'1 � ��� ��� �� ����� �� �� ������ �� ��,���� ���������� ��� # ��� ���� � ��,�� ��� �� ��@��� �� ��� $����� ��� ���� ;- -3 =?�3 4< 4�4<!13 � ���� ��� ������ �� ��� ��� ������� ��(������� , ��� ������� �� �� ��� � ����� �� ������ � *

& � ������� �� �� ����( ��� � �� ����� , �� �� �������� �� ������� �� �� " �� ������ �� % �������� � ����� �� �� % ������ � ���� �� 6��� ��6��� ��� �� ����� , �� �� �������� ���(�� �� ��� ���� �� �� ����� ����� �� ����� $����� � ��� �� � ��� �� �� �� ������� * �� ���� ��� ���������6�� �� ����� �� �� ��������� �� ����� ������� ��� ��(�� A sA ������ �� ���� ������� �� ������ =1; �?2<=? , �� �� ������ �� ��� �� ����� �� ��� ��� � �� ����( ��� * �� ��� ��� ��� ����� ����� �� ������� �� (������ �� ��6 � �� ������ ��� ��� & * ' * ()*�� � ��� �� �'� ������ �� ���

++

Page 78: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

+� ������)�� �� �� �) ����� ��)� ��� ���� � ��� ��(��# �� ��, �� ��������� ��� ���� �� &���( ��� ����� �� �� ����� � * ������6�� �� �� & * ��� � , � * ������ ����6�������� �� ������������ �����#���6�� � , ������� �� ��� ;?3 =1. &<?3 >- -� -2" �'1 >- �� 3<3 4-. 1 . 1 4-2<1; -%�<!1;-� 1 ;1 =1� 4<>1> >-=1;?2 3�. <� <3 421>1 1; 3<3 4-. 1 . �13 -; 421&10 ? 2-1;<�1>? / ?2 ;13 ��-2�13 -$ 4-2<?2-3 3?&2--; 3<3 4-. 1 * � �� �� ���� � �� ����� ����� �� �� �� �������� ��� ��� * �� ����( �������� ���� �������� ���� �� �� ��� � �� ������ � �� ����� ��@�� � ������������ �� �� ����( ���������� � , � �������� *���� �� ������� ��������� ���� �� ������� ��� �� ���� ����( ��� �� �� ������� �� ��� $������� �� �� ��(����� � �� ��������� ��� * ��( ��� �� �� ����� �� �� ��� ������ � �� �������� ���� $���� ������� �� � �(��� ���������� ��� �� ���� �������� ��� ��� ��� ����� �������$������ �� ���� �� �, ����� �� � � ������� �� ��� ���� ����� ���� � , ��� ���� � * � ������6 �� �� ������� ��� �� ����� ���� ������� �6����� �� ��� ��� ��� �� ����� ����� �� �� � ����� * ��( ��� �� " �� ������ �� ������ �6 ������ � ��� ������ ��� ��� �� ��� � ����� �� �� ����� �� �� ��� ������ ���������� � , ��,� ���������� �� ������� � ��� �� �� ����� ����� �� �������� *���� ��������� �6����� �� ��� ��� ���� ������� ������ ��� ����( ��� ��� ������ �� ������#�� ��� �� ����� ���#�� q � ����� ���� �� � �� ������ ���� ��������� * ���� ���� ����� �� ��� � �� 6� ��� ����� ��� ��� ����( ��� �� ������ ��� � ������� ��� ����( ��� �� � �6���� ��� *����� ��������� �� ��������� ���� �� �� ����� ���� ������� � � ������ ������ ������ � ���������� �� ����( ���� ��� ���(�� � ��� �(����� (��6�� � �� -� -2" �'1 <� 4-2�1 � ��� �� � ����6 ������ ����� ���� �� � =1;?2 , ��,� ���������� �� ���(�� �� �������� �� 4-./ -21 4�21 *�� " �� ������ &���� ������� ������ �������� ���� � �� � ����� �(������� ������ ������� �����(���� � ������ �� ��� ����( ���� ����� ������� �� ��� �� ������� � ��� ��� ��� �� �������������� ��� � ����� 6�� � �� ������� ����� �� ��� $����� � �� ����( ��� ������� , �� �� ������#�� ��� ���������� ������ ������� ��� ����������� �� ��� ���� ����� ������� �� ��� �� ���� ������ ������� � �� � ��� ���������� , � �6�������� ���������� , ��� � ���������� ����� �#��������� * ��������� ���� � �� ���������� �� ��� ���� ��� �� ��� $����� �� �������� �� ��������� ��������� �� ����� ��� �� ���� ����� �������� *

& � ������� ����� ������ �� ��� ������� 6��� �� ����( ��� � ����� ������ ������ � , �� ������ ������ �� ����� , �� ���6�� � �� �� �6� ��� �� �� �������� ��� ��� * �� ����� �� ��� ������� �������� ��� �� �� ��� �������� ��6���� �� �� �� � ���� ��� �������� ��� ��� ��� ���������� ,��� ��� �������� ���� ������6 ��� * ����� �� ������� �� �� ���� �� � �������� �� ��� ������� �(������� ��� ���� !12<1&;-3 >- -3 41>? ���� ���� �� ����# ��� ������6 �� �� �����������( ������# ��� ����� � �� �� � ���� ���� ��� ����� ��� �������� � �� � ������� ������ *7�� �� ����� �� �� �������� � �� �� ������� � �� �� ����� �� �� ���� 9 # * &� ���� � ������������ �� �������� �� � �������� �� ��� ����� �(����� ������� � � ��� ��� ����� ����� ���� �� �� ���� q � ��� ����� � �� ����( ��� ��� ������ � �� �������� ���#� q � ��������,���� ����( ��� ����� � �� �������� ! * �� ��� � �� ����( ��� ������� ��� �� ����� � ���� �����������

"#$ %- &�$�! #' 4 - '(� #% -$� -$(/�/ /# �!�2�4� )* #%.#� +,5�� -- (#!# /#�(! .�! -$(/�/ /# � �%� ) �$ '�% '(2!� % /# 1#!� �/ ($ +�� (�� %# /#%(.$� '� #$#!. +,�($�#!$� .�! / $ '� --# $� &��#� �% �-- +, .�! �#� �! � '� ��$ - %( +�$ ��$ '� 3#'� � (/�/ )

Page 79: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ��* �� ������)�� �� +�

��� ���� �����6�� ��� ���� �� ��� � �� �� ��� ��� � ��� �� �� �(����� ��� �� ��� ��������� �� �� � ��� �� ������� *

&� �� �,�� (���������� ��� �����6��� ��� �� ���� � �� � �� ���� ����� � , ��� ��� ���� ��#����� ���� ��� ���������� � ����� ��(���� ��� ��,�� ��� ��� ���������� ����� � �� � �� �������� ����� �� �� ���������� ������������� ��������� * ���� �� ����� ����������� � �� ����� �3- >-31=?/ ;1 , � ��� �� �������� �� ��� �� ��� ��� ����� ��� ������������ �� ��� ��������� ��� ���� , �� ��� ��� * & � ��������� ����� �� �� ��� �� ��� � ����� �� ��� �������� ���� ���#��6 ��� ��� �������� �� ��� ��� ������� + , � � � �� �� ��� �� ��� �� ���������� �� ����� ��������������� �� ��� ��� ��� ������� �� ���� ��� ������ *

� �� �� ��� �� ��E������� C�E

�� � ������ ��� ��, �� ���������� ��� ���� �� ����( ��� ����� �� �� ����� � ��������� �� ������ �� ��� �� � �

� �� # � ��� �! � ! "# I ! ! � � � q � � !�' *#

�� ������� ��� �� � �� �� � �������� � �� ���� �� ���� ������� ��� �� 6��� �� ����( ��� � ������ ��6 �� � �� �������� �� ����� �� ��������� �� ����� � ��� �� ���6�� � ��������� ������ ������� ��������� * &� �������� �� �������� ��� ��� ������ �� ��� � ��� �� �� ������� ���� ���� ��� ����� � � � �� ���6�� � ��������� ��� �� ����� � � ����� ������6������� ��� �����(������ * & ��� �� ������� �� �� ������ ��� (������ ���� �� ������ �� ����� �� ��� �� ��, ������������ ��� �� �� �������� �� �� � �����# �

II"

� �� # � � �� # � ��� �� # � � �� # v � �� # !�' *�#

����� � ������ �� ���6�� � ��� ������ �� ��� �� � �� ����� � �� �������� ��������� ��� ���������� ��������� �

� �� # � ��� � � � I !��� �� �� � ������� �� ��� ������� ��� ��@������ �

��� �� # � �K � L � � I� !� ����(�� �� ������ � � ������� �� ����� �������� � �� ������ �� ����� ������6�����# ��� ����������� �� � � ����������� �� ������� �� ������ ��� �� �� ��� � ������� ��� � �����r �

� �� # � ��� � I !� %# � (/# #$ �� '�! +,�% .�! �� � � %#.-$/� )

Page 80: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

+� ������)�� �� �� �) ����� ��), @��� ���� � � �� �� $�� � �� ����( ��� ����� ��@�� �������� � ���� ��� �� � � ��6��� � ��� �� ������ �������� ��� , ������� ��� * 7���� ���� �� ����� �� �������� ��� �� ����� �� �� ��� � ���#����� * ���� �� �� 6� ��� �� � �� ������� �� ��� � �� ��� ��� �������� � �

� �� # � �K � � � � I� %�� ���� ���� �6���� �� �� �������� �� ��(������ ����� ��� �� �� ��, �

��� � II"

�� � q � �� I � ��� �� � � � � # I � �K � �L � � v � � � # I� %�' *)#

��� �������� ����� ������ �� ��� �� �� ������� ��� �� �� ����( ��� ������� � ���� ��� ,����� �� �� �� ��, �� ������� ��� �� � * &� ������ � � ������ �� ��� ��������� ��������������� �� �������� �� ������� ��� �� �� ����( ��� ��� ������

II"

���� �� # � II" ��� �� � q I �

� ��� � II" � q I � ��� ��

I�I" I %�' *' #

� � ������� ��� �� ��, �� ���������� ��� ��� � ����� ���� �� ��������II"

���� �� # � ��� � � � I � ��� � � � �� � I %�' *+#

��� ���� ����� � �� � ������� �� ��� ������� �� �������� �� ��� ��� �� ��� �� �������� ��������� �� ����� � �� � ���� *���� � � �� � - 4<-� - ;1 3<" �<-� 4- >-3=?./ ?3<=< �?� �

�K � L � � I� � ��� � � � �� � I � ��� � � � I %�' *�#>?�>- � -3 ;1 / 12 4- 3<. �-42<=1 >-; 4-�3?2 , � �

� w � ��+

� w+� �

+�+� w � !�' *�#

>-� ?. <�1>1 . 1 42<� >- ;13 !-;? =<>1>-3 >- >-�?2. 1=< �?� �21 4- ?� 3 421<� �� ��(� ���# * ����)�� �� � �������� ���� �� ����������� , ��������� ����� �� �����

�K � �L � � # I� � �w � �K � � w� w � I� � ��� � � � �� � I � �

w � ���+� w+� � w I %�' *�#

�(���� �������� �������� ��� �������� ���� � ������� �� ��� � ��� ���� ������ * � � ��� �� �� ��� � ��� ����(����� �� �� ������ ��� � �� ��������� �� �� ! � �� � �� �� ! � ���� ��� � �� �� ������� *

Page 81: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ��* �� ������)�� �� +�

� ����� �� ��� �! �� �������� ������� ���� �,�� � ���6 ������ * � � ������� ��� �� �� �������� *� �� ����� ��� � �� �� � � # � � �� � � � � � � , � %� ��� ��� � �� ��� ����� �� ������� � �� � ����� ��� ��� �� ����� ������� �� �� �� ������ �������� � , � ��� , � � � � 6��� ��� �� ����� �� ������� � � �q �, � � , � �# �

�w � � w +

� w+� � �

w � � w� w � � � � !�' *�#

� � ��� � �� �� �� ��� ������ � � �� ����� ������� ��� ����� ������� ��������� � ��# � ��� ������ ����� ��� � ������� �� ������� ������� �� � ��� ���

� � � � �w � w� w � ����� �� � � # %�' *#

�� ��������� ��� �� ��� (����������� ��� ��� �������� ������� �� �������� � ������� ��� � #������ �� (������ � �������� �� ����� ��� �����# * ' ������ �� ��� �� �� ��6 � ��� ������ ����������� ��� �� ��� ������� ��� �� �������� ����� �� �������� �� �� ������ ���# *

� ��������� �� ������ ��� �' *�# �� �� ��, �� ���������� ��� �' *)# �� �� ��� �� ��� �������(��� �� �' *�# �� �6���6��� � �� �� ������� ��� �� �� ����( ��� ��� ������ �' *+# � ������� ��� ����(���� �

� ��� � � � I �' *#������6�,� � �� ������� ��� �� �� ����( ��� ������� * &��� � ��� ��� ��$�� � �� 421&10 ? ������������ ������ �� ��� �� ��� ����� � ��� �������� ������������# ��� �� $���� �� ����� ���� * 7������� �� ���� �������� �� ��������6�� � � ��� ���� �� ������ ���� ����6�� ���� �� ��� � ������� ���� ���� ���������6 ��# � �� � ���� �� �� �������� ��� $����� � ������� * ���� �� ���� �

II"

���� �� # � ��� � � � I � �K � �L � � # I� v ��� �� � � # I %�' *�#

� ���������� �� �� � ��� ��� �' *)# �� ����� �� �� ������� ��� �� �� ����( ��� ��� ������ � �' *�# � ���6����� �� ��, �� �� ����( ��� ������� �& # �

II"

� ��� �� # � ��� � I�I" I � ��� �� � � � � v � �� � # I !�' *)#

��� �� �� � ��� ��� ������� �&�# �

� I�I" � � � � � � v � �� � %�' *'#&��� ������ ��� �� ����6���� � * ���)�� �, �� 6� ��� � � ����� , ()�� ���# *' �������� ��� ����� ����� �� ����( ��� ������� ���� �� �� 6��# � �� ���6�� � ��� ������ ��

Page 82: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� ������)�� �� �� �) ����� ��)��� �� �� � � # , �� �� ���� �� ����� �� v � �� � # * &��� �� ���� ��� ������ ��� �������� ����� ��� � 2<. -2 � 2<� =</ <? >- ;1 �-2. ?><� �1. <=1 ����� ������� *

& � � ��� ��� � � � �� �� � ��� ��� �� ������ ����� ����� ��� ���������� ��� �� � ���������������� � ������� �� ����# , �� ������ ��� ����( ������ *���������

# �� �������� ��� ��� �� �� ������� ��� �� � ���� �� ��� �������� ������� �� ����� �����6�� � �� ������ , � �������� * ��� ���6�� �� �� ��� � �)�� , ()*�� ����� ��' ,�'� � �� ������� ��������� ��� �� ����� �� ��� ��� � �� ����( ��� , ����6����� ��� ��,�� ���������� ��� ��� �� ��� ��� �& �# �� ������ ��� * ��� � ������ �� ��� ��( ��� ������� �� �������� , ��� �����( ��� ��� ���� �� ���� �� �� ������� �� ��� $����� �� �����6��� � �� ������ � *

�# � � �� �������� �� �� ���,���� �� �6����� �� ����� � �� ����� �� ���������� ������ �� �� ������� ��� �� ��� $����� ������� ��� ����� ������ ��� �� ���������� ��� � ��� �� ���� � ����� � ��� �" )# , � s�# * ��� � 6��(� ���� �� �� ����� � ����� �� ������������� ����� �� ������ ��� ��(����� � � � � , � � ��� �� ��� ��� ������� ������� �� �� �� ������ * & � ���� ���� � � ��� �� �� ��������� ��� �(����� � �������� � �� �� ���������6������ * & � ������ �� ���(����� �� � �� � ����� ��� � 6����� * ���� 6��� � � ������ �� ��� �������� �� ���(� ��� ��� ���� ;- -3 =?�3 4< 4�4<!13 � ��� � �� ���� ���������� ����� �(��������������� ���������� ��� ����������� �������� ��������� ��� ������� ����������� * �� ���� �� ����� ������� �� ����� ���� (������ � ��� ��� �������� � , ���� ��� � �� ���� �� ������ � � ��� ���� *

)# &� ������� �� ����� ��� ��� ����� �������6�� �� �� �� ������ �� $����� �� ��� �� ����� �� ��, �� ���������� ��� �� �� ����( ��� �&�# � ���� ����� �� ���������� ����� ���� �� ������( ��� ������� ����� ���� �����6 ��# � � ����� � �� ������� ��� ���������� ������� ���� ! , ��� �� ���� �� �����6 �� �(���� 6����� �������# * ���� ���� �� ��� �� ��� ������� �� ��� �� �� � ����� ������� *�������� � �� * � � �� �� ������� �� �� ����( ��� ������ �� ��� � ������ �� �� ��������������������� � ��� ������� ���� �� � � v� ,� � # � ���� �� ���

� � v ��� �� � ,� I � v ��� � II" � � # I � v I

I" ��� � � � # I !

���� ��� I� �I" � � � ,� � , �� ��, �� ���������� ��� �� �� ����( ��� �� ����������� �

� II"

�� �� #

q � � � � � � � �� �� � � # � � v � �� � %�' *+#

�&��� �� ��� ��, �� ���������� ��� ���� �� �� � �� ��� ) ���������� �� ����( ��� � ��� ������ �������� , ��������� * ����� �� ������ �� �� (������� �� ����� � � v� � � , � � � ���� � �� ! 8 ! ## * ' ������ �� ��� � ����� �� �� �� ������� ������� �� ������������� � �� � ����� ������ ��� � ��� �������� �������� ��� ���������6 �� �� ����( ��� *

Page 83: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ��)����� �� �)�� � �������� � � � ��# � � ������ ��� ���� ��� $����� � �������� �� ��� � � v! � # "# � � ��� ��� ��� �� ���6�� � �� ����� ��� ��� � �' *# � �� � �� ��� �

� � � � v! �, � � # � !� I�I" %�' *�#������� �� �� ������ ��� � ���� ����� ��������� ��� �� �� $���� �������� �I��I" � # , �� ������ ����( ��� ������� * &��� �� � �� ������ �� �� ������� �� �� �� ������ � �� �������� ��� $������ �������� �� �����6 ��� *

�6 # � � ������ ��� �� � ��� ��� � �� �� � � # ��� ������� �� �' *+# �� � �� ��� �� �� �� � � # � v,! � � v ! �, � � # � +!+" v � I

I"�!� � %�' *�#

�������� � �� � ��# � � ������ ��� ������ �� �� � �� ���� �� @� � � �� �� $���� ��� ��� ��� �� ������� ��� �� �� ����( ��� ��

II"

���� �� # � �� � � � I � �K �L � � # I� v �� �� � � # I v �K � � �� #q �� � � # I� %�' *�#

� ����� ��� �� � ��� ��� ���� �� �� ���� ������� * & � ����� � ��� ��� ��� ������� �� ���� ���� @� � �� ���� ��� ( �0 ? >- -� -2" �'1 =<� �-4<=1 1 421! �-3 >- � � +

� *�6 # &����6 �� �� � ��� ��� ��������������� ���� �� ����( ��� ����� *

� �� ���E������ �� ����� �E GE ����� �E ������

���� �� ��������� �� ��� ������ ��� ������� � �������� ��� ��� �������� ��� �� ������ �� �� ��,�&�# * &� � ������ ��� �� �����(� ��� (��� ���� � ��� ��� ��� � � t � ������ �� �� ���� ��� ���� �� � , t ��� ��������� �������� � �������� ������� ��� ������ � ��� ��� �� �������� �� ��@�� * �� ��� �� ��� ��� �� ��, �� ���������� ��� ����� �� �� ��� �

� � v�, !���, ��� ������ ���� ��� �������� ��� � ����� � �� ��� ��������� ��� ��� ��������� ����� ��� ��� # �� ��������� �� �� ���� ��� ������� ���# * &���� ��� �� � ���� �� ���������� ��������#����� * ��� �� �� �� ������ ��� �� ��, �&�# 6�� � ����� � �� ������� �� �� ���� � �� ��� �� ��������� �� ��� �� $���� ��� �� �� ��� ��� � � � * &������� � �� ! "# � � �� # , I�I" � +

�+"

��� �� ��� ��� ����� �+�+" � � v � �� � %

�� ��� � �� ������� ���������� , ���������� � ���� �� ���(� �� �� �

t �+ +" � � � � !�' *�#

Page 84: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� ������)�� �� �� �) ����� ��)��� �� �� ������ ��� �� � �� ��� �� ������ � �� �� ��� �&�# �� ��� (����������� ��� ��� � �� ���������6 �� ������� 6��� �� ����( ��� �� ����� ��� ���� � ����������� �������� �� ������ �������� �� � ������� �� ��� *

&� ����������� ������������� �+ �

+" � # �� �6����� � ������ �� �' *+# �� ������ ��� ��

�)��)���� ���� � � � !�' *�#

����� � � v� �� * &��� ������ ��� � ��� ���������� �� �� ����� �� ��� $����� ����������� ��� ��� �� ��� ������ ��� ������� ��� ��� ��$������ �� ������ �� �� ���������� �� ��� ��� ������� �� ��� ��� ����� �� ��(��� * ��� ��� ������� , ����� ��� ��������� � ��������� *

�6� ������� ��� �� ������ ��� �' *�# �� �������� ��� ������� ������������� � ��� ���� �� �� ���� �� ��� �� �� ������ *�������� � ��5 � ������ ��� ��� �������� ��� � ��# ����(�� �� � ��� ��� �' *�# ���� ���������6� �� �����(��� ��� ��� ��� ����� �� �� ���� �� �� � ����� ������ � � � � � ���� ����� �� � � � , �� ��, ������ ����� ��� �� � ������� �� ���# * �6����� �� � ��� ���

t � "

� � � � # � � � � %�' *�#

�6# � � ������ ��� ���� ������ ��� �� ������ � �' *�# ������� �� �� 6�� � v � " *

Page 85: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ��)����� �� �)�� �)����)�) �� ��� � �� �) ��)�� �� ��� �)��

� � ��� �� ��� ����������� ������ �� �� ������� ��� ������ �� �� ������ ��� ��� ����� * * & ����� ��� ��� ���6�� � ����������� � ��� � �� �� ���� �������� � �� ������� � �� ������� ������� � �� �� �������� �***# � �� ����� �� �������� �� ����� ��� � � �� ��� � ���� # �� �( ������� ��# � �� ����� �� ������� * ���� �� � ���� �� � ���6�� ���@���� ��� �� �� ������ ��� ���� ����� �����@������� �����6��� � � ��� ���� �� �������� ��� � � ��� ���� ������ ��� ������� �***� * ���� ��� �� � �������� , �������� * ���� ��� �� ��(�������� * &��� �� �� ����� ��� �6���������� ������� ��� ����� ������ ��� � ������� %�������� *) * ��������� ��� �� ���������� ��� ������� * � �������� �� ���������� (�������� � ������ �� ������ ������� * &��� ����� �� �� � �� �� � ��� 6��� ���� �� �������� , ��� �� ����� �� ������������� �� �� ������� �� ������� * � ����� �� �� ������� ' *� *' * ������� �� ������ * &� ���� ����6 �� � ��� �� ������ � �� ���������� ��� �� ��� ���� ��� ��� �������� * & � � ������� �� ������� ��� �� ����� � ���� ��(��� � �� ��� �������� �������� �� ������������� ���� ���� � ��� ����� , � �� ������ ��� �� ����6������ � �� � ��������� ����� ������� ��� ������������ *+ * � ���������� ������������ � �� ��� ����� �� ����� ����� ����� ������ ������ 6��� " � 6 ��� �� ������� � ��@���� * � ���������� ����� ������� *� * " ������ �� �������� ��� * � ��6�� �� �� � ������� �������� * � ��6�� �� �� ������� * � ��6�� ���������� *

& � ������ ��6� �� ������ ����� ��� �� ���������� (��� ����� �� ���� ���(�� � �� ��� �������� &�� � , ������� �� ������ * &� � �������� ��� �� ���� � ���� ����(�� ����� ������� ������ �� �� ���� ��� � ���� ��� ������� �� ��� $����� , �� ��� ���� �� ��� ��� ������ ��� ������ ���� ���� �����# *

� �� �� �� ��� � � � �� �� ���� � � � ��� �� �� ��������� �������� ��� �������� �� ��� ��� ��(��� ���@���� ��� ������ �� ������� ���� � ��� ��� ��� ������ �� �� �������� � � � � � # * �� ������ �� ��� ���� �� ��,

t "

� � � # !�' *��#

����� � �� �� ����� ��� ��@���� ��� � � # � � �� � ��#I� ���� ��� �������� ��� ��� �� � ����� # *� � �� ������ � � ���� �,�� ��������� * & � ���� ��������� �� ��� � � # � � � � � � �������� �� ������� �� ���� �� ��� * ����� �����) ��� ����# * �� ����� �����6�� �� ��, ���� ��� �

"

� � !�! *�)#

Page 86: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�! ������)�� �� �� �) ����� ��)����� � � � � % ������� �� � ��������� ���� ������ ��� �� ��6��� �� (���� �� ������������ � ��� ������ *�) � ��)� � � ��� �� � ��������� �� �� ������ ��� ��� ����� , ��� ��������� �� �� ������� ����� $����� ������ �� �� �� ������ � � ��������� ��� ����������� ���������� ��� ������� �������6 ����� �� ���������� �� ������ ��� �! *�)# � ��� �� ���� �������� � ��� ��� ���������������������� ��� � ��������� , ��� �������� ����������� *

� � � � ��� ����

� �� � � ��E��� ���� ��� �� �� F�� � C�E

���� ����� �� ������ ��� ��� �� �� ����� �� ������� �� ������� ��� �������� �� ���� �������� �� �� �� � � ��� �� �������� � �� ��� �� �� �� ��� ������ ����� �� ����������� ��!���������� ����� � �� ����� "� � # � � # � � # � v # � � $ % # � # � v # � � $ � % �� ��������� ������� ��� ��� �������� ������� �� ����� ������ ����� ��� �� ������ � �� ������ ���� � ������� �� � ������� �������� �� ��� �� ������ ����� ��"������� ���� � $ � &# % $ � &# � '���������� ��� �� �� ���� ( ) *+,-). � �� ����� �� ������ �� ��� ������� �� ����� �������� �������� ���� ���� ������� � � �� �� � ��� �� ���� ����� �� /+�0,( )1- �02 -2�2- *+3-( ). � ��4����� ��5 � �� �� �+2 +( 03

&&6 7&# � &# 8 � 9w : �; w &� w&� <7! ��!8

��=>?)�� �=@ � � ��� �� ��� ���� ���� �� ������ 6 � �� �� ���� � &A � B &C � D ����������� ��� ��� � E ������� �� ������ ���� �� �� ������ 6 � "� �&# � � E

C &C � 9w �wE

C &C � w <F���� �� ���� �� � �� ������ 6 � ���������� &A "� � � �� ������� ��� ������� ���

&&6 7&# 8 � 9 &

&6 � E C &C � 9 �

C &C � 9w : �� w

� w C &C �

� B w �� w &� w � 9w : G w

� &� � w <

Page 87: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �)��)��)@= �@ ��?� �� ��@�)> ��F��!�� ���� ��� � ���� ���� ��� �� �� ������� ���� ���� �� ���������� &A �� ����� ��

&&6 7&# � &# 8 � &

&6 &# � &# � &# � &&6 &# �

� B w : G w� &� &� w � 9w : G w

� &� &� w D�� ����� 7! ��! 8 ��� ����� �������� �� ��������� ��������� � ��4����� ��5 � �� �� �) 102/-1- �02 2+1+3),-) 3�� 1-+2 *+ � ),) ��+ �2) ,+" - �02 ; E ��+ 3+( �+!+ 102 +. �-/0 2 0 3��,) /+�0,( )1- �02 +2 �2 -2 *+,!).0 /+ *-+(� 0 6 � 6 6q +3 ��+� � � � ),) *0/0 # � ;E 6 � 6 6q �

��� ��� ��� ���!�� � � ��� �� ��������� �� ��������� ��������� � ��� ������� � ��4����� ��5 � �� �� �) 102/-1- �02 2 +1+3),-) 3�� 1-+2 *+ � ),) ��+ �2) ,+" - �02 102 +�) ; E2 0 3��,) /+�0,( )1- �02 +2 +. -2 *+,!).0 *+(� 0,). 6 � 6 6q +3 ��+ +. 1)(� 0 /+ !+.0 1-/)/+33+ � �+/) +31,-�-, /+ .) �0,( )

� 7� D 68 � � 768 � � 768 � # D # � ;E D7! ���8+3 /+1-, 10( 0 10( �-2)1- �02 /+ �2) *,)3.)1- �02 �2 " -,0 +2 1)/) -23 *)2 *+ �

�� ���������� ��� ����� ����� �� ��)� ��� � � ����������� �� ��� �� ������� �� �������������� ��� ��� ������ � �� �� ����� ��� � �� � ����� ���������� �� �� �����"���� �� ������� ������� ������� �� �� �� � ! � ��" ���#� �# �����#���� $�� �%&#���'� �� ������� �� ��� ���!��� �� �� ����'������ �� ������ �� ��������� �� �� �� ��������� ������� �� �� �(����� ��� ��� �� ������ ���������� �� ����������� ���' �� �)���� � �� ����� �� * ��������� �� ������� �� ��� �(��������� �� �� ��'�������� 7����� ��� � ��8 % �� ��������� 7����� ���+ �,8 � '� �*���� � ��� ��� ���������� �� �� ����� ��� + �, �� �����

� � � - �� � . /0 1��. * � � 2� �+3� 32 345 � 6�

�32 343� � 6� � �

� 62�3� 3432

� 62 � � � 6�

�3� 3234 � 64 �7 D

Page 88: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �=@>�?�)�� �=@ �� �) �@�?� ��) �� �� ����������� ����)������� ��

� �+� �

�� � �

� � +� 2 2 � � 2 � 2 �

� 2 D% �� ��* �������

� �+� 2

��� 2 �

�� � +

� 2 ���� �

����� � �

� � +� 2 ��� 2 � 2 ��2 <

Page 89: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��>���@ �����$ �#

� ���'�� '����!��� % ���"������� ��������� �� ����� �)� ������� � � 7# D 68 � � ����� �� ����� �)�� � ������ � �� ������ �� '���� ���������� �� ����� �)� ����� � ! 7# D 68 � �2 �2 � � D����������� � 7# D 68 � � ����� �� ������$�� � �� ����� �)� � ���' ��� �� ��� ��� ��"��� � ��������� �� *������ �� ����� � ������ ��� �� �)"�� � ���������' ���� � ���� ��� � �

� %��� �� �� �� ������'��� ��� �� �� ����� �)� � &!

&6 � 7� � � � 8 � ./0 7� � v � 8 D &! w�&6 � � - � � � - . /0 � D &�&6 � � � � � � v . /0 � <

� '����� ��� ��� ����� ���� �� $���� � ��*���� �� ��%�� � � � � � � � � � ��� � D ����������� �� &

&6 � &&6 � � � � <

� '� $�� � �������� �� ����� �)� ����� 7��� ������ �� �����"���8 �� ! �� D 5 v �� � D 5 � � 5 ��� �� ����� �)� ��� ������ �� 7+��8 �2 �� D 5 v �� � D 5 ��� �� ����� �)� ������� � �� D 5 � � 5 <

Page 90: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�, �=@>�?�)�� �=@ �� �) �@�?� ��)�� ����#�� "��� �� �" %&�$ ��

� �� ������ ��� ��� ����� ' ���� �������� �� � ������ ��� ��*�������� ����� ��'����� ������ ��' ���� � �� ������� �������� �� ����� ���� �� �� � � ����? � �F�� ���� � ������� � � ����� �� � ���� � � �� ���� � +��� �� �� ��*������� �� ������ ���� ��� ����������� �� ����� �� ��� ���������� �� ��� '�� � ����������� ���� � � � �=�?)@ � � ����? � �������� �* ������ ������ ��%����� � � ���%� � �� ���� �+�,� 7���� ��� �� �� +��8 �� ��� �������� ��!�� �� ������ �� ��*��� ��� ��� ������ ����������� �� ���� � � � ��)� � �� ������ �� ��� � �����( ��������� � ����� � ����� � +�� �� ��� ���������� ��� ����� �� �������� 7! ���8 � 7! ��8 ' ����� ��������� �� �� � ���� �� ���*�� ��� ���� � ������� ��� ���� � ����� ������������ �� �� ��(����� � �) � � �����=� ��� � � � � � � �) ��? � ���%���� �* ��� �� ��'�� ��� � ����F���������� �%����%��� �� ������ ���� � � '��� �� � ����� �� � ���� � � �� ���� � +��� �

Page 91: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��

����������� ���

��� ���� ��

�� � ��� �)���� ��� ����� �� ��� � �) ������� �� � ������ ��� ����� � '� ���� � �������������� ����� ������ �� �� ���� �������� ��� �� *�� � ��� �� � �� ��� �� �� � *����� �!� ���������� � �) �� �������� �� ����� � ��*���� % �� ����� ' � �� �"��� ������� # % �*�� ���� �� � ����'� ���� �� ��%� ��� �� ��� �� $�%&? ' ()* +&?,-.=/&> # ��� ��0��� �� � �� ���� �)� � �� ��' � � ��� � ��*����"' � �� � � *���� ����� �� �� � ����� �� �� ����� � 1���� ��� �� �� ����� ��� �� ��� �� ��"���� ��� �� �� � ������� � �) �� ��� �2���� ����� �� ����� �� 345 6�7 894 8:� 45 � �75:645 ; � <9=<6 845 :> 64?@ 9<5:�3<5 @ <9=<6 845 64?@ 9<5:�3<5 A:564545 :> 64?@ 9<5:�3<5 B A:564545 64?@ 9<5:�3<5 � !�C�� � � �� � ����� �� ��� �)���� �� ������� �� D������ � ������ # ��� *�� ��� � �������� ������'� �� �� � �� ����C�� �� �� E�� �������� ����� ��� F �:G45 A:564545 H�< 7 897A:<57> ? <G:45 @ 494545 *�� �� �� �� ������� �(��� �� ����� ������ �������� # ��� � �� ���� �� ��� �2��� � � �� �� ��� �� �� ��' �� I)JKL # ��� �� ��� � ����� �� ��� � ���� � ������ �� C����� �� �� ����� ����� ���� �� ���� ��M � �

N� ���� �� �� � � ������2��� �� ��������� *���� ������ ' � *�� ���� �� ���"��� � �� �� ��� �� *�� � �� � �� � �� ��������� �� ����'��� �������� �� ������� ����������� ���������� �� ������ ' �� �������� � N �� ����� ��� ���� ���������� ������"���� �� �� ��� � ��������� ������� �� �� ������� �������� � �� 0��� �� ����� ���� ���� ����� ����� �*����'� ��� ����� �

Page 92: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �%)�+� +K)K+ ��� �& %�� �%� +���

Page 93: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� � �� ��� � � � � � � � �� ��� � � � �� ��� �� � � � �� ��

� ������ � �� �� ��� ��� �� �� ��� ������ ��������� �� ���� ��� �� �� ����� � ������� ' ��� ��� � �� � �� � �� ��������� ������������ � ��� ������� �� � ����� �� �� �� ��� �� ����� �������� ���� ��� �� �� � !� ���������� �� �������� �� ����� 0� �C ����� #����� # ������������ ' ��������� � !� ��������� �� �������� �� ���������� ' � ������� ���� �� �� ��� ��� �� �� �� �� �� ���� ������ �� � ����� ����� ��� ' � ����� ���������� �!� ����� ����� � �M � ��� ' � ���� ��C�� �� � ��� ��� �� �&J���%%+ ' � ��� �������� �� �� � �� !" #!$% $&!" ' (& �!") � �� �� ����� �� � � �� ��� ������ *���������+ �� ���� �������� �� �� ��� � ���� �� �������� �� �� �� �� ���� ������ , ' ��� ����� ��� �� ��� ���� - ��� ��� ���� �� ����� ��� �� .' / �� �� �� ���� �������� 01 � N �� � �������� *2 3 4 �� C������ � � ���� � � 56 7 ��568 + � � ��� �M ��� �� �C������ � �� � �� N)� �� ������9:;:<

=-= / 3 > ? *-,+ @ � A- B=,= / 3 , ? >,C @ D 3 EFG H I

J� � '� 0� � ���0� # � �� � �� � �� � � �� ���� ����� ����� *�� � � �� 6<997G4 # �� �����C��M � � ���+ ������ ���� � �� ��� ��C���� ��� ��������� � K��������� �� ������ ����� �� ����C ��� �� ���� �� ����� ���� �� ������ � # ������ ��� ���� � ���������� ����� �������� # �� � L # M # N ' O �

N � �C������ �� � �� �� ��������� ��� ��� ������ ��� � �� �� ���������� ����� ��"������� # ��� ��� PQRQS TUVSWXW,WXYZS � PQRQS [Q TU\]U^WZ\ XQVWU _ ��� � �� ����

�4

Page 94: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �%� +��� �&J�&K.��

������� �� � �� � �� ����� ��������� �� � ��� ��C���� � � � ��������� ��� �� ��'� ����� ������ ��� # �� ��'� �� �� ����� ����� �� �� ��� �� ���� �� ������� �� � �� ��� �� ��D �� ��� # ��� ��� � ������� �� ��� � �� 7G � 46 ��� ����� � ������ ����� ��� ����M ���� �������� � �" � ���� � ������ �� �� ������ � ��� �������� ��� �������� ��� � �������� ��� E�� ������ N ��� �� ���� ' �� �� ��� � ��� �������� � ��� E�� ������ �� D����� � ���������� ������ ����� �

!�� �� ����������� ��� ���� �� �������� �� ����� ������ ' ���� ������� � N���� �� ��� ��� � ������� �� ���� ����� *�������� ���� ������+ # �� ��� ���� ' �� �� ��������*�������� ��� ���� �� ��� + � �� ������ ��� ��� ���� ��� ��� � �� ����� # �� � ���� � ���� ��� ������ ��� �C��� � �� ��������� ��� �������� ��� � ��� �� ����� �� �� �� �� �������� �� ����� ��� �� �� ����� ������ ������� ��������� ������� # �� ������������ �

N � ��� �� �� � �� � �� ������� ��� ��� � �� �� �������� ��� ����� � ��� ���� H # ���������� ��� ��� ��' 9<43 4 :67 ��� ������� *��� C���C� # 9� <�@ ����+ � � ���� �� �� �� � ���������� H � ���������� �� �� ������� ����� ��� ������ �� �������� �� ���� ��� � �� ���� �"������� �� ���������� �������� ��� ��� ����'�� �� �,X[U ' �� ������ �� ���� ��� � �� ���� �������� � N� �� ����� # H ����� �������� �� �� �������� � �� ��� , ' - 'O # ��� �� �������������� ��� �� ��� �������� �� � ���� �� , � ������� �� � ����� ��� ���C�������� #>, # � �� ����� � ���� �� �� ����� �� A<34 6:G7G G< G<=49? 76: 4> � �N �� � �� 0��0� ����� ����� ��� ����M � �� ���� ��� ��� [QDU^\Z� XPX[Z[ �� �� ����� ���� �� ��������� # �� �� ���� ��� �� ������ �� �� ���� # �� ��������� ��� �)� �& # H ��� ������ �� ����� �� �� ����� ��� ��� � @ � � 1 # ��2���� �� �� ���� ��� 4 �� � N ����� # �� �� ������ �� � ������ � ��������� ��� �� C�������� �� �� ����� ������ � �� ������ � ����� ���� ������ � ������ ��� �� � ���� � �� ���2C����� ��� �� ���������� # ������ ��� �� ������� ���� ������ ���� �� ���� ����� �� ������� ��� �� � � C�������� # � ��� �� �� C�������� � � �

� ������ �� ��� �� # �� � ��� ����� � ������ �� �� ��� �� ��������� ��� �� �� ��� � �� ������ ���� �� �� �� � �������� �� � ���� �� H �� �� � �!� ��� �" � �%�� ��% #�� �$%� � �$ � �!�&�"%!"�� � � � �� ���� �� �� ��� ������ ��� ��� �� ��� � ����� ������ �� ��'� ���� ��C��� ���� �� ����� � J� ������ � � �� ��'� ��� �� ��'� �� ��� ������ ��� ' ��������� ��'� ��� �������� *�� ��'� ��� ���� �� ��� + ���� ������� � �� � ������� �� ��������� ���������� �������� ��� M ���� ��� �������� ���� �������� ' �� �������� �������� ��� ����� ��� ���� ����� ����� # �� ���� ������� ��� ����'�� �� ]^U� PQ\Z � XQV ]^U],QSWU �N �� � �� �������� ����� ����� �� �� ��� ������ �� � ������� �������� # ' � �������������� � �� ��� � �� ��� ������ ����� �� 1 � �)�)�)J� # �C ��� �� ���� �� ������ � � � ������ ������ �� � �� �� <� :5 8<> 6:7 !>:6:G7G G<@ <>G<> 6:7 64> 8:>!7 # �� ��� ���������� ��� ������������ ��� ����� ���� ��� ��� ������ � E �� ����� � ���� # �� ������ � ���������� �� �������� ��� �� �� �� ��������� � ��������� ' ��� �� �� �� ���� � ���C�� ��

Page 95: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� $K�)K+ ��� �& $�%&J ��

�� ���M ���� �������� � # ��� � �� � ����� ������� � �� ��� ����� ��C��� � � �� � � � � � ���2�� �� ��� � �� ����� ��� � ������� �� �� � ����� � � N � ������ � ���� ������ ��� �� ��� 0����� ���� ���� ���M ���� �� ���� � � � �� ��� ���� ������ � � � ��� � ��������� �� � ����� ��� ��� ������ � # ' ��� �� � ������� �������� ���� �� � �� �� ��� ���C ��� �� � ������ � ) � �� �� ����� �� � � �� �� ������ # �� ����� �� �� ��� ������ �� �� ����� ��� � �� �� ��� ���� ������ � �� � ����� ���������� �������� ' �� � ���� ���� � ��� ���� ������ �� � ����� ���� �� ��� ��� ������� �� �������� ��� �� �� ���������� ������ ����� �

N� � �� �������� �� ������� ��� �� 543!6:4> <5 @ 79 8:6!379<5 �� M ��C� �� ��� �� � ������ #��� �� ������ � �� ������ ����� �� ���� �� ���M ���� �� �������� ' �� ���� �� �� ������� ��� � ��� ��� � �� ����� ������ ��� ���������� # �� ���� # ���� �� �� ���M ���� �� �� ���� ��� # � ������� �� ��� ' �� �� ��C�� � N� �� �� ������� �� � ���C� # �� �������� ����������� ����� ��� ���������� ���� M ��C�� �� ��� �� �� C��� � ��������� ��� � �� ���� �������� �� ������� �� ��� �� ��� ��� � �� ��� �� � ������ �� C������ ' ���� ����� � ��� �������� �� � �& �!" � ����#%!" � �#&�# �!$ �� �& ���

!� ���� ���� ����� � ������� ������� ��� ������ �� ��� �� �� � ������ �� �� ��� � �� � ��� # �� ��� � �����'�� �� <5=!<9 45 649 87> 8<5 � ���� �� �� ��2��� �� ������� ��� ���� ��� ���� �����C�� �� ����� ���� �������� � ������ � ��� ���������� � �� �� ��2��� #�� ��� �����'� ����� ���� �� ������ ��� ' �� ���� ��� ���� � N� � ����� ��� ����� � ���)�K�L *����� � � �4 �4+ # �� �� ����� �� � ������ �������� � ������� �� �� �� � �������� ��� ����� ���C���� H @ v� *� A � A � A /+ � A*� �4+��� ��� � ���� 3<B G< 37 @ 9<5: 4> :5 4894@ 7 � N� ������ # �� ����� ��� � ����� � � ��� ���]^QSX �UV �XVWQ^VZ � ' � ���� �������� � ������ �� �� �� ������ �� ����� ��� � � ������ - ' , � ) � 0��0� # �� � ��������� ��� �������� �� ��� � ��� '� ��� ���������� �� �� �� ����� �� �� ���� ��� �� ����� �� �� � ����� �� �� 0���� � ������ *��� �� �� � ��� 0� � ������� �� ��� ������ �+ # � ��� ��� 1 � �&J���%%+ �� � �B G97!3:67 ����� ��� ��� 0��� �� � ������ ��� �������� �� �� � ����� �� �� ����� �� �� � ����� � ���� �� ����� �������� �������� ��� �� ��� ������ ��� ��� � ��� � ����� ���

- B=,= / 3 , ? >,C @ v>� 3 D #*� ��+��� � �� �� � � QT,ZTX �UV [Q �,PQ^ *� � $�%&J # 4���+ # ��� �� �� ��������� �� � �������� �� �� �� ������ �� ����� �

N ������ ���� 0������� # �� �� � ���� ��� ������ ��� ���������� ��� �� ������ ��� �� � �� '����� ��� �������� �� �� �� ������ � �0��� ���� # �� ��0� ��������� �� ������� �� ����"� � ��� ��� ��� ����� ���� � �2������ '# ���� �� ��2������ ��� ������ �� �� ������ �

Page 96: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �%� +��� �&J�&K.��

�� ����� # � � �������� �������� � ��� C��� ����� � ���� �� ���� ��������� ��� � "�������� ������� ��� ���� �� @ 797G4� 75 ��� 0���� ���� ���� �� �� � ����� �� ����� �� � �������� �� �� ���M � �$ �&JK+K+� � ���� ) ������ �� ��� � ��� �� �� ������ ��� �� N���� �� ���������� ��� �������� �9:::::;:::::<

== / � � 3 *, ? > +� � v 4� � @ v 4- =�= � 3 4- �� A== / � 3 *, ? > +� 3 4� � �� @ v 4-� =�= � 3 4- � A== / � � 3 *, ? > +� � @ v 4- =�= � 3 4- �� I

*� ��+ ������ � �� ������ ��� , @ � �Q�3, Q ' �� �� ������ , ?> ��� ��������� �� �� NM ������� � �4 �!� ���� ����� 0���� �� � ������� ������� ���� �� ���������� ����������� � ) �� � � ������ ���� �� �'�� �� ������� ��� �� �� ��������� �� � �� ���������� � ��� � �� � ��� ���, ? >, # ��� ��� � ���C���� ������ � ��� ��� � # ������ � �� �������� � ������� �� �� ������� �� �� � � N � ������ �������� �� ��� �� �� � �� ��� �� ��� ���� ���� ���� �� � �� ��� ��� �� ������� ��M � �� �� ��C���� ��������� �����������' � �� ���� �� ��J+�.���&%� # ����� �� ��� �� ���0� �� �� ���� ��� 4 �� � N� ��� ��� � ��� � � � � ����� � ��� ��� ������������ *� ������ + 2������ �$ �&JK+K+� � �� � N ���� �� �� ������ ��� ��� �� ���� ������ ��� ����� � �� � ����� ����� ��������� �� �� ��� � , @ � *� A � A /+ Q A*� �� +� ����� �� ��� � ��� � � @ � � @ � � N� ���������� # � ���� D @ v- � � � ) � ������ ������ ���� �� �� �� ��� ��� �� �� ��������� ��� �� �� �� � ����� �������� �� � �� ������� ���C������ ' ����� ��� ��� # �� � ���� ��� 4 �� �� �� �& �!" � ����#%!" $#!� � ��" � ��"N� � ����� �� �� ����� � ������� � ��� ��� �� �� C����� ��� � # � �� �� ����� ]Q^DQTWUSXVTU\]^QSX� PQS # ���� �� ��� �� ��' �� ��� ������ ��� �� � � �� � �� ��� �

> ? , @ � ' � � 4 �� �-�/ @ � A*� ��+

��������� ��� � ��� ����� �� ��� �� ��� � �� �� ��M � # ' �� ����� ]Q^DQTWUS TU\]^Q�SX� PQS # ���� �� ����� �� ��' �� ��� ������ ��� �� � � �� � �� ��� � C������= -= / 3 , ? >- 3 - *> ? ,+ @ � I*� ��+� �� ��� # �� �� ��� �� ��� � �� ����� ���� � � ��������� # �� ��������� *� ��+ ' �� � ������ E FG *,+ @ � ' �-��/ @ � # ��� � �� ���� �� ��������� �������� �� � ��� ��C���� # , # - ' � �

Page 97: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �%� +��� �&J�&K.�� +�K���J&�+�%&� ��

N ������� �� �� ����� ���� ��� �� �� 0���� �� 0�� ���� � ��������� �� ��� �� [QVSX[Z[SQZ TUVSWZVWQ # ��� ����� � � ��� ����� �� - @ 4 � ��� �� �� ������� 2��� � �� ���� ���� �� � N� � � �� � ���� � ������ ��������� 0������� �� ��� � �� ������ ��� ��������� ����� ������ ��� �� �� �������� �� �� � ����� *� ��+ ' �� � ����� �� ���� ��� �� ������ *� ��+ #��� ��� �� �� � �� � =,= / 3 *, ? > +, @ v 4- >� 3 4- D A> ? , @ � I*� ��+��� �� ��� �� ��� ���� ����� ���� �� ��M � # � ����� # �� �� �� �� ���� ������ ' �� ��� � ���*������ ��� ��C���� + � J� � � ������� �� �� N)� # �� ����� ����� ��� �� ��� ����� ������������� �� �C� ���� ��� [ZWUS Z[XTXUVZPQS � ���� �� ������ ���� - ' , # � �� �� � ���� �� �������� ���� , # ��� �� �� � ��� ���� �� ��� �

, ? V @ � �� =0 I*� ��+N �� ���� ����M � ��� ��� ���� �� �� � ������ �� ��� ����� � ��� ����� � N� �� �� � �������� � �� ����� ���� � � ����� �� ��M � � ���� �� �� �

, ? V @ � *� + �� =0 I*� ��+N� � �� �� � # �� ���� ��� ������� �� �C� ��� � � @ =0 ������� �� � *� + �� @ � A� ����� ��� ��C� ����� ����� �� � ����� � �K�� �� � �� *� ��+ ' �� ����� � �� ��� � �� � �� �������� ����� � 4� �� �4 � ��� �� �� ������ � �� ���� ��� �� ����� =0 � � ��� ������ ��� � ���� ��� ���� ����� ��� �� �8 @ � *�� ���� ��������+ ��Z QVQ^� � Z � N� �� ����� � ������� ���� ��� �� �� �� � ����� � ������ �� �� ��� ���"���� ��� �� �� ����C ��� � N� ������ # � ����� ��� � ����� ���� ��� �� � ��� ��� �� ������ ����� #������� �� *� �4�+ ' *JN�+ # ���� H � @ v� *> ? ,+ *�� � NM ������� � ��+ ' ��� ����� � ����� �N� � ����� �� �� � ��� ��� *� �4�+ �� ����C ��� ��� ������ ���� �� ��� � �� ������ �� �� ������ ��������� ' �� ���������� �� �������� � !���� �� �� ���������� �� �������� *� ��+ # ��� ��� ��� � ? , @ v� , ? V � ����� ���� �� � ���� =0 ' �������

��/� ��� *0 + @ �� , ? D �. I

E �� � ��� # � �� ���������� ��� � ���� � D @ � # ' �� �� ��� � �� �� �� � ��� �������� #D @ v>� # ��� ��� ����C���� ��� ��� ����� � � �� ��� # ��M � � �� ���������� 37 <> <9 �76:> <8:67 5< 64>5<9 A7 �� �� �� ���� ����� 0 �

Page 98: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �%� +��� �&J�&K.��� �� �& �!" �����"N� �� � ����� �� �� ����� � ������� ���� ��� ���� � � ��� ��� ������ �� 0�� ���� � ���"������ �� � 4? 4 <> <:G7G # ����������� �� �� ��� ������ � # ���� ��� � �� #

> �- @ � I*� �4�+� Q�VXTX �UV � �> F !:G4 @ <9=<684 � :> 64?@ 9<5:�3< B � 4? 4 <> <4 5< 337? 7 �,X[U X[QZP �

N � ����� ����� ����� ���� �� ����� ���������� �� � ��� ��� �� ����� ����� �� ���������� *�� � 1�0��� �&J���%%+# ��'��������� # ) ����� �&J���%%+# ��'����'�� ���� + ������� � ���� �� ����� ����� � ��� # � �� C��� �������� ' ������� � ������ � �� �� ��� ��� �� ���� � ��� ������ # � ������� � ������ �� �� ���� �� �� �&J���%%+ ' $�%&J ���� �C�� �� K KK � �� ��������� �� �� ����� ����� ��� �� �� � �� � *� ��+ ��� - ��� ����� �1���� ��� �������� ���������� �� ������ ' �� �������� ����� � �� ���� �������� �� �� ���� ���� ������ , ' �� ��� � ��� � �� �� �� ���� � �����"�� ����� 0 � � ���� � ��� � ���� 0� �C������� ��� ���� � ��� � � ���� �� ���4- >� @ > *�- + I*� �44+��JJ&KK+ ��� �& %) �J&�+ ��� )�.& �� K)��� K���&J*).+*� � ��� � ��C��� ��� �"��������� � ���2������ ���������� � N� ��0� �� � � ������ �� ������� �� ������ ��������� # D @ � � N� ���� �� � �� ������ �������� � TUVSQ^YZWXYZ # � ����� ���� ���� ���� ]UWQVTXZP D @ v- >� I*� �4�+��� � �� �� � �� �� ������ C��� �������� D @ v- �� # ��� ���� ���� ��� � �������� C��� ��������� @ � � � ���� � ������� ��C����� �� ��������� �� �� � ��� ��� �� ��� � ��� ' � ���� �� �� �C���� �� ��� �� *� ��+ �� �� ��� �

v> B�- C A*� �4�+����� � @ � 3 -� � �� ��� ��� ]^QSX �UV VU X[^USW �ZWXTZ # ���� ����� ��� ��� ���� ���� ���� �������� ��� � �� �������� ��M � �� ���� ��� �� �� C������� ����� � � �� ����� �� �� ��� � ������ �� � ��� � � �� C������� # �� � ��� ������ � � J����� � @ � � ������� ��������� ������ � ��C�� �� ��������

�-� @ �-� 3 A*� �4�+��� ��� 73 8!97 @ :< 4? <89:67 � N� ��0� ��������� �� �� � �� �������� �� ������� # ��� � ��� ��� �� �� �� ���� �� ������� ��� �M � ��� � ������� � ���� � �� ���� ��� ������� � �� � �������� # ���� ��� � �� �

N� �� � �� # � ��� � ����� ��� �� ��� ����� �� �� ��������� C��� �������� � ��������� ��� C��� �'����� �� ������ � �� ����� ������ �� ��� ���2���� ��� �� �� ��� � ���

Page 99: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� &� +�.&�K+) L �� +K +�)� ��

�� ������� � �� ����� ����� ��� ��� �� �� �� ���� ������ � �� �� � �� ��� � �� �� � ������ �� �� ������ � �� �������� ����� # �� � ���� ��� � �4� �I &��+�)� �� K���.)�.& � �%���� � K�JJ+&�.&� &�.J).+� +K)��� � N �� ����������� �� � ��� ��M � ���� ��� �� �� �� 0� �C ����� # �� � �� F !� 45 <5 897 8:� 67G45 # �� ����� �� �� �����C������ � � �� � � ��� �M � ���, *� A � A � + @ *� A � A �+ A > ? , @ � A - @ - *� + I*� �4�+N� ���� ����� � @ ��� ����� � ��� � ��� *� A � + �� ���� �� ������ ��� �� N���� *� �� ��� ���"!���� � �� � � �� � # �� � J�� � �+ � !� ��� �� �� ����� � ������������ ��������� �� �C���� �� ��� �� �� ������ ��� *� ��+ 0� �� �� ���� � (�.) � !� ����� �� �� �M � ��� ������� ��C��� ���� �� ��� ���� ��� �������� � �� � ����� �� ���� �� ��� � ���� ���" �� �� � N� C������ � � � �� ������� ���� ��� �� �� ��� �� ������� ��� �� ������� �� ����������� 0� �C������� �$ �&JK+K+� � �� � J�� ����� �� �M � ��� � �����2���� �� �) ��� ���� 0���������� �(�.) � N � �������� ��� � �� ��� ���� �� �� �������� �������� � # � �� 0������ �� ���� ����� �C��2���� ��� C�������� >� �� �� �� �� �) � �) �� �� ��"& �%��!" �� � "%�$# � ' &$ # ��� � �J��%&�) �& &*�%�K+ ��� &� �� ��� +� +� )K�.)�� � N� � �� � �� N���� ���� "��� �� �� ����� ��� ���� �������� ' �� �������� 0� ��� �' ���� � ������� �� �� �� � ����� � N � ��� �� �� ������ �� �� � ������ ���� �� ������ ��� �� N���� ��������� �� ���� ������� � � � �������� # ��� # �� 4��� � �� �� �).� ���� �� �� 4��� �� � �� �C������ �����" � �� �� � ������ ' �������� �� ����� ��� C����� �� �� ��� � C����� ������ ����� ��� �� � �� �������� / � # �� �� ��� ��� ���� �� �������� ��� �������� �� �� ��������� �� �������� �������� ' �� ��������� � ��� ����� �� ���� ����� ��QU^Q\Z � �� �� � <7 0 !> G4? :>:4 76487G4 G<3 @ 37> 4 64> =94> 8<97 � 64?@ !<5 87 G< � 3 46!9 A75 6<997G75 5:?@ 3<5 9< !379<5 �� � � � A ? ? ? A �� � G< 375 H!< �� 94G<7 7 84G75 375 G<? 75B <5 875 > 4 5< 64> 8:<> <> !>75 7 4 8975 � � <> 48<? 45 @ 49 �� <3 6:3:> G94 <5@ 76:4 8<?@ 49730 � �� A O � O � � � <7 D *. A /+ !> 67?@ 4 G< =!<9 75 G< 37 6375< G< � �43G<9 � ��� ��

�1 *�� + �@ 797 !> � ! " ! 4� B 5<7 , � *. + !> G7 84 G< A<34 6:G7G :>:6:73 <> 37 6375< � ��� *0 + � H!< <57G<? 75 543<> 4:G73 � > ? , � @ � �

#> 84> 6<5 <� :5 8<> !> @ 79 G< =!> 6:4> <5 � , *. A /+ A � *. A /+ � H!< 57 8:5=76<> <3 5:5 8<? 7 *� ��+<> <3 5<> 8:G4 63 75:64 � 5:<>G4 64> 8:>!75 <> �� � 637!5!97 G< �� � 87> 84 <3375 64? 4 84G75 5!5G<9: A7G75 H!< 7@ 79<6<> <> 375 <6!76:4> <5 � $ G<? 75 � , 57 8:5=76< 37 64>G:6: 4> G< 64> 849>4, ? V @ � �� � A*� �4�+

Page 100: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �%� +��� �&J�&K.��

75 � 64? 4 37 64>G:6: 4> :>:6:73, *. A �+ @ � � *. + ���� . � 0 I*� �4�+�49 !3 8:? 4 � , <5 !>:67 B � <5 !>:67 573A4 7G:6: 4> G< !>7 =!> 6: 4> 79�: 8979:7 G<3 8:<?@ 4 � � �.J�� �J��%&�)� �& &*�%�K+ ��� � �� ����� � � �M ���� �� � �� �� ���� �� ����� #0 @ 56 # ��� �������� ���������� �� ������� ����� ������ �. � � � � ��� �� ��������� #�� ���� ��� �� ��� �� �� ���� � � ������� ���� �� �������� ' �� �� � �� �� ����� � ���� � ������ C����� �� �� ��� � � �J��%&�) &�.)K+��)J+� � ������ � ��� ��� �� ��� @ 94�<? 7 G< <A43!6: 4> �������� �� @ 94�3<? 7 <5 876:4>79:4 � �� �,X[U QSWZTXUVZ^XU � ��� ��� ��� �� � ��� � ������������ �� �� ��� ��� �� ��� �� �- @ - *. + A , @ , *. + I*� �4�+N� �� ������ � � ���������� � ���� �� ��� � �� � *� ��+ �� �������� �� ������ ' ���� ���� �� ���������� �� ������ � ���� � �� ���M � # NM ������� � �� # ��� �� ������ �� ���������� �� ��� �� C������ �������� ������ �� �� ����� � ��� � ����� ���� � �� � � ���� �� ����� � ���������� � �� ��� � ��� ��"C���C���� # ���� �������� ��� � �� ����� �� ������������ ��� ���� # ��� ������ ��� 0���� �� � ��� � � ��C� � � �� � �� �� � ��� ��� QSW �ZWXTZ �� ����� # ��M ��� �� �� ��� ��� ���� ��C������ # ����� �� ��� � ��� M ��C� �� ����� �� ������ # �� � ��� ������ � �� � �J��%&�) +�*&J�� � �� ������ � � ��� �� ���� �� ����� � �� �� �������������� �� �� ���������� ��� ������ �� �� �� �� �� ���� ������ �� �� ����� ������������ ��� �� �� � !� ����� �� �� � ��� ������ �� �� �� � �� �� �� ���� � ���� ��� �� ��' � �� � �� ��� ����� ��� ��� � ��� � *. A /+ ��� ��� �� ��� *, A� + ��� ���� �� ������ ��� *� ��+ � ����2������ ��� � �� �� ��� �� ��� � ��� ������� �� � �� ��������� ���� �� ����� � ���

� @ - *,� 3 , >,+ v D A*� �4�+���C� � �� �� �� 0� �� ��� �������� � ) � �� � ��� �� ��� � ��� � ��� �� ��2���� ���� �������� ��� ���������� �� / � N� ���� ������ � � �� � ��� ������� - ��� ����� ' D @ � �������� � ���� � �� ������ � �� �� �M ������� ��� 2��� ��� ��� ������ # ��� ��� 0�'� � �� �������� �� ����� �� �� ���������� �� �� ��"#!� � !" # �!$ ' �$ ��� " " �!#� � �� �� � �!# ��� �

!$#��%! �� !�% # ���N� � ����� �� �� ����� ������ � ����� �� ����� �� � �� � �� ��������� �� �������� �������� �� ������� � ���� � ���2��� �� ����� � ����� �� �� �� ����� � ��� ��� � ��

Page 101: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� )� �)%+�+� %�K)% �& %) *&%�K+�)� ��

�� �� ��� �� ��� � ��� �� �� ���� ����� # ��� � �� � �� � �������� ����� ����� � �� �C������� � �� �� ������2��� �� �� ���� ����� �� �� ������� �� ������ ��� # �� ��� �� ��C�� � �������� ��� � � ��� �� �� ��M � �� �� ����� ������ �C ��� � C���� �� �� ���M ���� �� �� �� � N� �������� # �� �� �� ���� � �� �� ����� ������ ����� ���������� � ��������� ����� ������� ��� �� �� YU^WXTX[Z[ # ���� ��� �� � ��� ���

v�� @ ��� , A*� ���+�� ��� �� ������ ��� ��� ����� �������� �

v�� w @ 7�� � � �

w� =�=�� A � @ 4A � A � I

�� ���������� � ��� ����� �� �� ������� ��� �� ������� ����� ��� �� �� � ����� � ���� �M ���� ������� �� ����� ��� ������ ���������� � ����������� ��� �������� �� � ����� �� ���� �� �� ��� ��� ��� ��� �� >, �� ��� ����� � ������� ' ��� ���� � ������� #>, @ 3 I*� ��4+N �� �� �� �� ��� ��� � �� 0��0� C������ � N� ������ # �� �� ��2���

@ 4�*>, 3 *>,+� + A @ 4

�*>, v *>,+� + I*� ���+

� � � � � �� ��� �� ����� � ������� M ��C� �� ����� �� �� � ����� �� �� ����C ��� *�� � ������� � �� ' � �� + � �� �� ��� ���� � ��� � �� ����� ��������� �� �� �� ���� �� ��� �� �� ������ � � �� � � �� 0��0� ��� ����� �� ���C���� �� ��� ��� ���� �� �C��2���� �� � N������� # � � ���� � �

@ 4�

��

� v� 7 � � 7 � v� �v� � � �

�� A

�� ���� � ��� ���� ���� ������ ? @ �� � A*� ���+

�� �������� ��������� �� � ��� ��� �� �� ���������� �� �� �� � ��� � �0��� �� �C��2���� �� � �� �� �� �� ��� ��� �� � ��� ��� ��� �� � ����� �K �C��� � ���� � ����� ��� �� �� �� �� ���� ������ � ��� ����� # , @ , � � N������ �� ����C���� ��� �� �� ������ ���

�. */+�/ @ , *. A /+ @ , � A

�� ����������� ��� �� ���� �� ���'������� ����� # . @ R 3 , � / � ��� � � ���������� ����� �� ����� ��� �� �� �� �� ���� ������ , ��� ��� ���� ������ ���� �� . # � ����� ���

Page 102: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �%� +��� �&J�&K.��

>, ��� ����� � !� ���� ����� ����� ���� � ������� # >, @ # , @ ? . # �� �������� � ����� ����C���� ��� ��� ��M �

�. */+�/ @ ? . */+ @ 4

�v�� � . */+ A

��� ������� �� C��� ��������� ��� �M � �� ������� ��� � ��� ���� ����� ��C���� *4��+ �� �# �� ��� �M � ��� 4 �4 ' �� � �� �� ���M � � N ��� �� �� � ����� � ��C��� # �� �� ��� �� ���� ���� ����� ��� ��� ���� ���� ����� # �� �� �� � �� ��� �� C�������� ��� ����� � � ������� # >, @ # � �� ����� ����� �� ���C��������� ��� �� �� ��� �� �M � ����C���� � �

� @ � �� � @ ���C�� � A � A �7 � IN� ��M � ����� ��������� . */+

�/ @ ? . */+ A� ��� ��� �������� ��� *��������� ��� � � w ! �+ �� ������ L�� 1 � ���C� �� ���� �M � Lw # �����"����� ��� �������� ��� �� ���� �� �����4

� ���/ @ � � 3 � 3 �7 @ �� * + A

�� ��� �� � ��� �� ��' �� �� ��� �� ���� �� *� ��� ��� �� N���� # *� ��++ # ��� �� ����� �� � ������ ���� E FG , �� �� �� � � � � ��������� ��� ������� �� ���������� ��� �� �� ��� ��� � �� �� �� ' 0� � �� �������� ��� ��� ���� ������� ��� ����� ��� ��� ���� ��� ���� � ��� � �0��� �������� ���M ���� �� �� �� �� �� ���� ������ �������� � !����C� � � �� �������� �� ������ ���������� � N� �� ������� �� �� ����� . � � ���� � � � �� ��'��� *��� @ . v . � +

, *. + @ , *. � + 3 ? 3 ? 3 � * + A ? @ 4�� � A

��� ' �� ����� � ������� ' ���� � ������� �� >, *. � + � N � ��M � �� , ����� ��� ������� � ��� ���� ����� ��� ����� ���� �� . ' �� ��� �� ��� �� �� �� ��� ��� �� ���8975376: 4> 9 � :G7 *������ �� � ��� ��� �� ���� ����� ��� ����� , *. � ++ # �� �� G<=49? 76: 4>������ ��� # �� �� 94876: 4> ������ � ��� �M � ��2���� � �� �� ������� ��� �� v�� �J� � � ���� ����� # �� ��M � �� �� �� �� ������� ������� � �������� ��������� ��� ��� � ��� ������ �� �� ? 7 89: <�@ 4> <>6:73 � �0��� ���� # �� ������������ �� ������ �� ��� ���� �� C������ # �� ��� � ��� ��� � ��� ��� �� �� �� ��� ��� �� ��� �� ���� ������ ��� �� �� ��� ������ �� � ����� ���� � ������ ���� ��� �� ��2���� � ��� *����M � ��� # � ����� �� �� ��C���� � �� ������ + � �(�.) � �� �� �� ��� ��� �� ��M � �� �� �� ��� �� ��� ���� � � ����� �� C�� ��� ��� ����������� � �� �� ��� ������ ���� �� ��C�� ������0��� �� � �� # ��� �������� �� ���� ���� ������� ��� ���C���� �� � �� �� �� �� ���������� �

Page 103: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �%���� +JJ�.)K+��)%&� L ��.&�K+)%&� � 4� �� �&� !" ��!%�# !$���" ' � !%�$# � ��"!�� �� C��� ����� �� ��� � � �������� �� ��M � �� ��� �� ���������� � ���� # ��� ��� �,� US � TU^^XQVWQS X^^UWZTXUVZPQS � N� ��������� �� � �� � �� �������= ,= / 3 *, ? > +, @ v 4- >� 3 4- D A> ? , @ �

��� *, + @ � A� ��������� ����� ' ��� ����� ���� ��� �� ���� ������� # � ��� '� �)�J)��& �� ��� ����� �� ����� ����� ��'� ���������� � ���� �� ����� ���� � ��� ���� ������������ ���� ������� �� / � � �� �� �� �� ������ ������� � ��� �������� � �&%���%.� ������ ��4��� �� �C������ � ��� ��� ���� �� ������� ��� �� �� ���������� ��Q\Z � �� �� � : <3 67?@ 4 G< =!<9 75 <5 64>5<9 A7 8: A4 37 A49 8:6:G7G <A43!6:4>7 G< 76!<9G464> 37 <6!76: 4>

��/ v�� @ *v�� ? > +, �*� ���+

) � � ����� � � �� �� ������ �� �� ��� ������ 4� ������ ��� � ����� �� �� ���������� *� �� � ��� �M ������� �� � ������� ����������� ���������+ � !�C������ ��� ��� ��� ��C� ���� #���� ��� �� ������ ��� *� ��� + � ������ �� v�� � �� ������ ��� � ���� �� ������ ���� ����� "����� ��� ����� ��� ���� * � �����M � � �� ���� �� � ����� � � �� ���� �� �������� ���������� + �

�� ��M � ������������� � � ��� ����� � ���� ����������� ��� �� �������� �� C��� � "��������� # �� ]UWQVTXZP [Q YQPU TX[Z[QS # �������� ��� ����� ��� $�%&J � N��� � ��� �"������� �� �� �� ������ �� �� ��� ��� �� ���� � ��Q\Z � �� �� � : !> 67?@ 4 A<6849:73 , � � � *0 + <5 8 7 G<�>:G4 <> !> 7�:<9 84 5:?@ 3<? <> 8<64> <� 4 G< 56 7 <> 84> 6<5 <5 :994 876:4>73 5: B 5 434 5: 7G? : 8< !>7 � 873 H!<>� @ , I*� ���+�>A<957? <> 8< � 5: !> 67?@ 4 � � 7G? : 8< !>7 =!> 6: 4> @ 48<> 6:73 <5 :994 876:4>73 �� Q�VXTX �UV � !� �� � �� �� ��������� �� �� � ����� ����� � �� �� ��� �� �,� U ]UWQVTXZP �!� , @ *� A � A� + � �����

� @ � A � @ � A � � @ � I*� ���+� ����� � �� ������ � �� �� �C�� � ������ � �� �� ��� �� ��� �� ��� ��� �� ������ ������� �� �� ��������� �� ��� � �� ��� �� �C�� # �� �� ��� ���� �� � � � � �� ���������� ����� # >� @ , � �

�� �� �� � ������ �� ���� �� � ���� ��� �� ���� ���� ����������� � � �� ������ � �� ���� ��� � ��� ���!������ ���!����� ���� ������ "

Page 104: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �%� +��� �&J�&K.��

� ^U]USXTX �UV � �� �� �7 64>G:6: 4> G< :> 64?@ 9<5:�:3:G7G 5< 897>5=49? 7 <> !> F !:G4 @ 48<> 6:73 <> 37 <6!76: 4> G< �)�%)K&

�� @ � A*� ���+<5 G<6:9 <3 @ 4 8<> 6:73 <5 !>7 =!>6: 4> 79? 4>:67 �<> 375 A79:7�3<5 <5@ 76:73<5� �

N� � ����� �� �� �������� �� ������ � ��� �� �� �� � �� �� �� ��� �� �� �"�� ������ �� � �� �C�� � � � ��� ������ �� ���� ������ �� ������� ��� �� ���� � ��� ������' ����� �� �� ������� ����������� � � ���� � ��� �� �������� �� ��������� � �� ����� � �� �� � ������ �� � ������� �� �� ���� ������ ��� �� �� ��� ���� ����&�.)J+�� .���% ��� +K�� � ������ � ��� �� ��� �� ������� � ��� � � ��� ���������� � ����� �� ��������� �� ��� ���� ����� ������� � 0� ������ *� ����� # ����� �"��� ��� ����������� + � �� ����� � �� ������� ������� # � �� �� C������ �� ������� � �������� # �� �� � ����������� �� ���M ���� � ��� ���� ������ �� 568 � ���� �� ����� �������� # �. � � ! �. � ! 6 � # ��� � � ��� ���� ������ �� 56 7 # � �� � �� 56 � N � ��"��� � �������� �������� � �������� �� � � ��� ���� ������ �� 56 7 � �� ���� �� � �� 8494*�� ��� � ��� ���C0���+ � N� �� �� ���� �� � ��� ���� ������ �� �������� �� ����"�������� ' ��������� �� ��������� # ����� ��C�� � �� �� ���� � �� C��� ����� �� * ��� ������' ��� ��� + # ��� ��� ���� � ��C��� ������� �� �� ��� ������ 4� # 4� ��&�&J)K+ ��� �& *�J.+K+�)� � �� ��������� �� ���������������� � �������� � ������ ��� � �� ����� �� ��� �� �� � ��� �� � ������� �� C������ �� �� �� �� �� �� �� ����� � � �� � # ����� �� C������� ��� �� ���������� �� �� �� � ����� �� ��C�� � ��� �� ��� �"�� ������ �' ������ ���� � N ��� ����� � ���� � ��� �� ��� ��� � �� ����� �� �� �������� ���� 0�� ���� � �� ���������������� � ����� ��� ���� ������ ��� �� ������ ��� �� �� ���������� �

� �� �!�� & ��" �� ���$!& �� �� � � ������� ��� � �������� ������ ��� ���� �� ����� ������ ������ � ) � �&J���%%+#��� � ��� � � ���� �� ����C��� ��� ��� ��� �� � ����� � � � � �� ������ ��� �� �������������� � ��� �������� # � ����� ���� ���� �� �� ��������� � � ���������� ��� ���� ��� � ��� � ��� ��� �� � ������� ��������� ��Q\Z � � �� #> 2 @ � 5< 8:<> <*, ? > +, @ *> � ,+ � , 3 > *,

� + @ v�� � , 3 > *, � + I*� ���+

I&���.J)K+ ��� � J������ � ��� �� ������� � !�� , @ *� A � A� + � N������ *> � ,+ � , @ *� *� � v � + v � *� v � + A � *� v � + v � *� v �� + A � *� v �� + v � *� � v � ++ A> *, + @ > *� 3 � 3 � + @ *�� 3 �� 3 �� A �� 3 � � 3 �� A �� � 3 ��� 3 �� � + I

Page 105: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� � ��J��%)� �& �&J���%%+ ��

!� ���� �*> � ,+ � , 3 > *,

� + @ *� � � 3 �� 3 �� A �� 3 � � 3 � �� A �� 3 �� 3 �� � + @@ *, ? >� A , ? > � A , ? >� + @ *, ? > +, A�� ��� �� �� ��� �� �C������ ������ � �� � ������� ��������� � J�� �� �������� �� ������ ��� �� N���� # � ��� ��� *� ��+ #����� �� �� ��� � �

=,= / 3 v�� � , @ v>� A � @ , � 3 �- 3 � �*� ���+

�� =!> 6: 4> G< � <9> 4!33: � ��� ������� �� �� �C���� �� ��� � �� ��������� �� ��� ���� �� � ��� ��� �� ����C ��� ��� ������ # ��� �� ����C ��� �� ��� � ��� ' ���� �� ����C ��� ��������� �� � ��� ��� � � ���� �� ����C ��� ����� � J� � ���� � ��� �� ����C ��� ����� ��� NM ������� � �4 ����&�.)J+� � J� � �� � ��� � ��� �� ����C ��� ��������� �� C��� �������� # � @ � � # � ��������� � �� �� ��� �� � �� ��������4� � @ ,

�� 3 �� - 3 � A*� ���+��� � ���������� �� � ��� � � �� ������� � ������ �� ���� ����� # ������ �� ��� � ��� '������ 0���� � ������ *�� � ��� � �+ ���� � �0��� ��C��� ��� �������� �� � �� � ��� ��� ��M � 0�� ���� � ���� ������� ����� �� � ��� ��� �� ��������� ���� ��� � � ��� ���� �� �� ������ ������ � N ����� ��� ����������� ��������� �� ^X\ Q^Z SXW,ZTX �UV ]Z^WXT,PZ^

�� � ��� ��� ��������� �� �� �� ������ �������� ���� �� �,X[US X^^UWZTXUVZPQS # � ����� ������� �� ��� �� ���������� v�� @ ��� *, + � ���� � N������ �� ������ ��� �� N��������� �� �� ��� � =,= / 3 >� @ � A � @ ,

� 3 �- 3 � A*� �� 4+����� 0� � ���� �� ��� �� � �� �� ��������� �� ������ � !� ��� �� �� ��M � � � �����"����� # =, �= / @ � A � ����� �� �C������ �� ������ ��QU^Q\Z � � �� ��QR [Q �Q^VU,PPX� #> !> F !:G4 :G<73 � <5 876:4>79:4 < :994 876:4>73 37<> <9 �7 84 873 � <5 64>5 87> 8< <> 67G7 64?@ 4><> 8< 64> <�7 G<3 G4? :>:4 G< G<�>:6: 4> G<3F !� 4 � 4

� , 3 �- 3 � @ /L I*� ���+

Page 106: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �%� +��� �&J�&K.��

N� � ��� ��� �� ������ ������ � � C��� �������� � ���� � ���� ��, �� 3 �-� 3 � @ /L I*� ���+

�� Q\]PU � �� �� �M � ��� � ������ �� �������� ��� ����� ������ ��� ����� � �� ��M � ����������������� �� �� �������� ��� �� ���� �� ���� ��� �������� ��� ����� � ���� ���� ���� ��� ��� 0��������� � !��� � � ' � �� ����� �� �� ���� ��� �� �� ����� �� ����� ��� ����' ��� � � ' � �� ���� ������ �� � ������ # ��� �� ��� � ����� ���� ��� ����� � ) �������� ��� �� ��' �� ��� ������ ��� �� � � � ����� ���� �� � @ �� I

��������� �� ��' �������� � ����� ��� ��

� � v � @ � *� v � �+- I�� ��� �� �� ��� �� ��� �������� ��� ���� �� ��� � ��� ��� �� ���� ��� � N ������ � ����� �������� � N� ���������� � �� ��� � ��� � ���C�� � ����� ��� � ��� ���� �� �� ���� ��� � � ����0� ' ��� �� ���� ����� ��� � � � � �� �� ����� � � ��C��� �� ��� ��� �� ��� � ��� ����������� �� ��� �� ��� �� 67A: 876: 4> �

�� Q\]PU � �� �� �C���� �M � ��� ����� �� �� ���� ����� ��� ��� �� �������� ��� � �� �����2��� *����� ��� + ������ �� �� ����� ������� �� ��� �� �M � �������� �� ���� � � ��M ��� ���������� ��������� *��� ��� ��� � ��� ���� ���� ��������� � �� � �������� ��� + ������ ��� �� �� �� ��2��� ��� � ������� # ��� ����� � � ������ � # � ����� � @ � � *��� � ����� � � ������+ ' ���� ����� *�� �+ � # ������ ��� �� �� ���2��� # � �� ������ �� ���M � # ������ � @ � � ' ���� ����� � � ��� ��������� � ���C� ������� �

� @ �� A*� ���+� ��� ��� ��� ��� ����� � �� ��JJ+K&%%+ ' �������� ��� ������ ���� ��� �&J���%%+�N ��� � ��� ��� ����������� ��� ����� ������ ���� �� � ��� ��� �� �� ���� ����� �� �������� �� �� ��� ��� �(�.) � ���� �� ������ ����� �������� � �� � �� �� ������� ��� ��� � ��� ��� v�� �, � N� � ����� �� �� ���� ������ �� ���� ���� ���� ������������� ���� �� ��� � �� �������� � ���� # �� ��� ��� �� �� �� �&%.J)� + � ���� ���� �� ����� � � �� �� � ������ ��Q�,V[Z SXW,ZTX �UV � � P,� US ^UWZTXUVZPQS �

����� � �� � ���� ��� ��' �� ��� ������ ��� ��� ��� � ��������� �� ������ ��� ������������ � ����� � !������� � ��� �� ������ ��������� ���� ����� �� �� ���������

Page 107: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� � ��J��%)� �& �&J���%%+ ��

� ���������� � � N� � � �� � '� �� �� �� � ��� ��� ������ ��� C����� ��� ��� ������� � �� ������� ��� �� � � �� ���C� �� ��� ���'������� � !� �����

���/ @ =�= / 3 *, ? > +� I

��� �� ��2���� ��� �� � =�= / @ , =,= / 3 4- =�= / I��� �� # ����� ������� *� ���+ ��� , � �C�� ���

, =,= / 3 *, ? > +� @ v, ? *v�� � ,+ � � I) ����� � � �� �� �C������ �� �������QU^Q\Z � � �� #> !> F !:G4 :G<73 64> @ 48<> 6:73 G< =!<9 75 <5 876:4>79:4 37 <> <9 �7 84 873A79 �7 7 34 379 4 G< 67G7 897B<6849:7 G< 76!<9G4 64> 37 = 49? !37

���/ @ 4- =�= / I*� ���+

� : <3 F !� 4 8:<> < !>7 @ 9<5: 4> <5 876:4>79:7 5< 64> 63!B< H!< 37 <> <9 �7 84 873 <5 64>5 87> 8< 7 34379 4 G< 67G7 897B<6849:7 � �� ��/ @ � �

�� ����� � �2� ��� ��� � ������ �� � ��� � C������ �� �� ��' �� ��� ������ ��� �� � ��"������ � N �� �� ������ ��� ������� ��� ) ����� �&J���%%+ �� 4��� � � ���� � ��� � � ��� ������C ��� �� ��� ���� ������ �� ��� ��� �� � ���'������� ������ 0�'� ������� ���� # ���'������� �� ����� ������ ����� �� ����� ����C ��� � N � �C������ �M � ��� � �' ��� ������� ��� Q\]PU � �� !����C� � �� ����� ����� ������� ��� ���� ����� ��C���� ��� ����� ����"����� ��� �M � �������� # �� ��� ��� , @ *v0� A 0� A �+ ' ����C� � ��� ��� ��� �� �������� �� C������� � ����� � 0����� �� �� ��2��� �� ��� � ��� ��� ����� � N� ���������� ��"�������� � � �� �� �� ��2��� ����� �� ��� ���� � ���� �� �C�� �� ������ ��� # ��� � ��� � ���� �� �� � � ������ �

!� � � � � ������� ���� �� � ��� ��� �� � �������� �� � �� �� � ���� �������� ��� � � ��� ��� ����� � ������ # � ����� �� �� � ������ ��� ���� �� �� ��2���

� @ ��� ����� v 0 �� *� 3 � + A*� ���+

��� ��� � �� ����� ������ ���� ���M � # �� ���� ���������� �� �� ������� ��� ��� � �N �� � �������� �� �� � �� ��� � � ��� ��� ����� �� ����� �� ���� ���'������� �

Page 108: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �%� +��� �&J�&K.��

$ �&JK+K+� � ���� N ������ �� ��������� �� N���� � ����C����� ���� ������� �� ��� ��������� �� �� ����2��� # ��� �

� @ ��� ����� 3 0 �� *� 3 � + I*� ���+

(�.) � �N �� � �� �M � ��� �� @ 94�3<? 7 G< =94> 8<97 3:�9< # �� ���� �� ������ � ��� ������ � ����� ����� �� �

� ��� � �!� ��� �" �� ��!$%��� � � �� � ��$" �!$ "&� ��� �# ��

���� �� �� ��� ���� �� �� � ������ �� ��������� ��� ����� � � ������� �� �� ������ � �������� ���� ������ �� �� ��������� �� �� � �� �� ���� �� ��� �������� ����� �� ��� ���� ���� � ��� ��� � �� �� � � � ��� ��� � ���� �� �������� �� �� ���� �� �� ���� � ��� ����� � ���� �� ������� ������ �� � ��� ��� ��������� �� �� �� �� ������ � �� � �� ��� �� ���� �� �� ���� �������� ��� ������ �� �� ��� �� �� � ������ � ����� �� �� �� �� � �� ��� ��� � ) � ����� ���� ����� �� � �� ����� �� ���� � ��� ��� � �� ��� ���� �� ���� �� � �� [U\ XVXU YZ^XZ� PQ ������� ���� ������ � ��� � ����� � �� ��� � �� � � �� ��� ��� �� � ) �� ��� ������� ��� �� �� �� ��� ���� ���� ������� �� ��� � ���� ������ ����� � � � �� �� ������ ��������� �� ������ �� �� �� ������ ���� � � � ����� ���� �� � �� ��� � � � ��D^UVWQ^Z \ �UY XP � D^UVWQ^Z PX�^Q � � �� �� �� ������� ��� ��� ����� �� �� ��� �� ����� ��� ������ �� *� � ����������� �� + ��� ���� �� ��� ���� �� � �������� �� ���� ���� ��� �� �� ���� � ���� � ��� ����� �� �� ������� � ������ �� ������ ������� ��� ������ � �� ��� ���� ������� ��� ��� � � � � ��� � �� � � � !"#� !# $" %&'!$'( �

������ �� ��� ���� �� ��� ������ � ������� ���� ������ �� �� ����� �� ��� ��� ����� � ��� ��� � � 0 ����� � ����� � �� ���� �� 5 @ �) * / * O � � � �� � �� ���/ � 5 �� ���� � ������ �� �� 0 � ��� ������ ���� � 0 � � 0 � � ������ ���� ������ ������ �� ������ 4 � � � � � ��� ��� 0 w �� ������� � ������ *� �++ �� � �� *, w A� w + �� @ 4A � � � �� ���� �� ������ �������� �� 0 �� ������� ��� � ����� ������ � ��������� �� ������ �� ��� � � ��������� � � ����� ������ � � ���������� �� ��� � ���� �� ���� � ������ ������� � ��� � � ������� �� � �������� �� */+ @ =0 � , =0 � �� � � �� ������� ��� ��� � �������� �� � ���� ���� �� ��������� ��� ��� �� � ��� � ������� �� ������ � �� �������� ���������� � ����� �� �� ���������� ���� ����� ������ �� ��� ���� ��� � ������ ���� ��-.-/ �- 01234031 � � ���� �� ��� ��� �� �� ��� �� �������� �� �� � � ��� ������ ������ � ������ �� TXVQ\ �ZWXTZ � ������ ���� � �� � ������ �� ���� ���� � ������� � �� ���� � ����� � �� ���� ��� �� � ���� �� ����� � � ����� �� ����� � �� ��� ����� ��� ������� �� �� � ���� ��� �� ��� ��

Page 109: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� ��� ��1��-�4/ �- ��123-�4 ����- �+

� */+ � �� ��� ��� �� ��� �� ��� �� �� � ��������� ���� � �� �� / � 5 �� ��������� V � ��� �� ����� ���� �� ��� �� �� � ���� ��� � � � �� � �� ��� � �� ���

, � @ , A , w ? V � @ � � ����� � */+ I*� ���+�� ��� � �� �������� � �� ������ ���� � ��� ������� ��� � ���� �� � *. A /+ @ ) � �� ��� ������ �� ������ �� ������ �

� 1 3 > �� ? , w @ ) A � @ 4A � A ����� � */+ I*� ���+� �������� � ���� ������� �������� �� �� �� �� �� � �� ��� �� ������ � TUV�[XTXUVQS [XV �Z\ XTZS � ������ ���� � ����� ���� ��� � ������ ���� �� ������������ �� ��������� ��� �� �

� � ? V � @ � ? V � I*� ��)+ �������� ��� ������ �� �� ������ �� J���� ����� � ��� ��� �� ��� � ������ ��� � �� �� � � ������ ���� �� ������ � � ��� ��� ��� � � �� ���� ������� ��������� ������ �������� �� ����� ����� � ������� �� ��� ������ �� � ��� �� �� ������ � �������� ��� �������� �� ������ ( � !"# $�#!��'� �

&��"# � �� � @ � ����� � */+ I*� �� 4+

��� �� ��� � ������� ����� ��� �� ��� � �� ���� � ������ ���� ������ ���������� � � �� ����� ����� �� ���� � ��� ���� �� WQVSX �UV S,]Q^�TXZ P � ���� ���� �� ���� �� ���� ������� ���������� �� ��� ��������� � ���� ��� � ������� �� ����� ������� � ��� �� ��������� �� ������ � ��� �� �� ���� � ������ � ��� ���� �� � ��� ���� ���� ��� � �� ���� � � ���� �� �� �������� �������� ��� �� ���� � 1� @ �� V A*� ���+���� � ) �� � ������ � � ��������� �� ���� �� �������� � � �� �������� ��� �� ��� ������ � �� ���

� @ 46 �3 46

A*� ���+���� 6 � � 6 �� �� ����� �� ������� ������ �� � � �� �� ���� ����� �� ����

� � v � @ � � I*� ���+� ���� �� � ���� �� �� ���� �� �������� �� � ��� ����� �� �� � ��� ��� � ����� � ��� ��� � ����� ��������� � �� ��� � ����� � �� �'!�' ( �! �"#& � � �� ���� ��� �� ������� ���� �� � �� � ������� � �� �� ������ ���� � ������ � �� �� ��������� ��� ���� �� � ��� ���� * � �� �� ���� �� ���� �� �� �������� � �������� � � �� � �� ������ + �

Page 110: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� ��� ��1/ �-��-031/

�1234031 � ���� ��1��4�1� � � ��� � �� ��� � � �� ������ ���� �� ������ � � ��������� ������ ������������ � � � ��� �� ��� � ��������� � ������ ������� ���� ����� �� ���� � ��������� � � ������� � ����� � ��� � ���� �� ����� � ���� � ���� � ����� ��� � ��� ����� �� ������ ������ *�� ��� ��������� �+ � � ������� ��� � ������ ������ � �� ���� ��� ������ ���� � ��� �� ��� � ����� � @ � *� A � + � �� ��������� � � �� ����� �� ������ ����9;< � @ ��

�/ @ =�= / 3 =�=� � 3 =�= � �� *� A � A � *� A � ++ @ � � 3 �� I

����� � A � � � � ��� ������ �� �� � ���� �� ������� ��� � �� ��� �� ���� � */+ @ � *� A � A � + � � @ � *� A � +� � ���� ��� � � �� �� �� ������ ���� �� ���� ������� ���� X[QZP � TP �ZSXTZ � �� ���� ��� � ���� �� �� ��� � �������� ������� ������� � � �� � ��������� �� ������ ��� �� � ������ �������� � ��134 � � ��� ������ ������ ��� � �� ������� �� ���� �� ��� ����� �� �� �� ���������� � � ���� ���� �� �� ��� �� ���������� �

� ��� � ��&$!" �� �� � �!" # � ��" #!"�� Q\]PU � �� ����1 �4� �24� 21 � �/01/1 � *+ ��� �� ���� ��� ��� ��� � 4) � �������� �� �� ������ ��� �� *- @ 4+ �� ������ � � � ���� �� �� � ����� @ � *� A /+ � � ����� �� � *� A /+ � �� ���

� 1 @ v= � *� A /+ 3 � A � @ ) I ��� ������� ��� ���� �� �� � � �� �� ������ � �� �� ������ ��� � �� � �� � ���� ���� / � � �� � �� ���� *� ���� �� �� /+ � ���� �� � �� � �� � ��� ��� � �� �� ��� � ���� ���� � * �� �� � ��� �� ����� �� �� + � �� ������ ��� � ���� �� ���� �� ��� �� ����� @ � */+ ��� ��������� ���� �� ����� � � � *)+ @ � � �� ������ ����� � � � �� � �� � � �

� *) A /+ @ � � */+ A � * A /+ @ ) IJ� � @ ) ����

� */+ @ 3 4

� 1�� � *�+ �� A � *� A /+ @ � � */+ *4 v �

+ I*� ���+� �� ��� � ��� � ������ �� �� �� / � �� � ������ � �� ���� ��� � �� � � � �� �� ����� �� � */+ @ � *) A /+ v � * A /+ �� �� ������ � � ���� ��� ������� *� ���+ �� ���� ���� ������ ������� ��� � ������� ������ �� ����� �� ������ � � ����� � ���� � ������ ��� ������� �� � ���� �� � � @ 3 � � / � ��� ��� ���� � �� � �� �� ����� ��� � �� ������ � �� � ���� ������ � � � �� ��� � �� ������ ��� ��� ������ � ��� �� ���� � ���� ������ �� �

Page 111: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� ��� � �-���1/ 0� �4/�01/ ��*� + � � ��� � � �� � � �������� � �� � ��� � �� ����� � � � *�)+ � ����*�)+ ��� � ������� �� ����� �� �� ������ � ����� � ������� ������� � ��� ��

� ��� � � ��� �) � ��� ������ �� ������ ('� �#'&� � �� ����� � �� �� � ������ �� ���� , @ *� *� A � A /+ A )+ � �� �������� �� � �� ������ ���� @ ) A � 1 @ v� A � @ ) IJ� � � ���� �� � �� ��� � ��� ���� �� �� �� � �� �� �������� ������� �� /

� ��� � � � �� � ��� ��� �� / ��� ��� ���� �� ����� ������� �������� ��� �� ���� � ������� � � ���� ���� � 1 � �� � ��� ��� �� / ����� �� ��� � ��� ���� , *� A � A )+ @ * *� + A )+ �� ������� � �� �� ��� ��� ��� ���� �� � ���� ��������� ��� �� ������� ������� �� ���� � ������ � � �� ��� �� �� ��(� '� �# $"����� � ������ � ���� ����� � ���� �� � ��� ������� � ��� �� ��� � �� ���� � � �������� �� � � � �� ������� ����������� �� ������� �� � �������� � �� ��� �� ��� �� �� �� ���� � � �

� � �� � � � ������ ��������� � ������� �� ����� � ��� �� � ���� � �� � � �� � � � � ���� � ) ! � ! 4 � �� ��� �� � ������ � @ � � �� ) ! � ! 4��� � *� + @ � �� 4�� ! � ! 4 � � �� ����� �� ������ ��� � ������ �� �� ���� � ( �# ' � ���!"# $�#!��'� ��� ��� � �� �� $!&�!(# !�' *���� � ��� � "& $�!� � ������������ �� � � �� ���� � 4� + �J�� ��� �� ��� � � �� � � ������ � �� ��� � ��� ������ ��� � � ��� � �� ������ �� ��� �� ���� �� � �� � ��� �� ��� ��� ���� � � �������� � ����� ��� � �������� ���� ��� � �� ������ � �������� �� �� ��� � ������ ���� � ���� �� � ������� ������ �� � ���� �� ��� ��� �� ����� � ��� �������� � ��� ����� ��� � ��� ��� �� � � �� � ���� �� � � ��� ����� �

��� �� ��� ���� � �� � �� � ������ �� �� ��� ������� �� ��� �� ����� �� ��� ������ �� � �������� �� �� �� ���� ������ �� � �� �� ���� � � ����� ��� ����� �� ��� � ��� ��� � �� �� ������ , @ Z �� � �� �� �� ���� � �� ����� �� � @ � */+ �

�� Q\]PU � �� � -�10 ��4� ��2-4� ���1340 �124� � J�� � �������� ��� �������� ���� ��� �� �� ��� �� � � � ���� � �� . @ ) � ��� �� �� � �� � ���� �� ���� , @ . A*� ���+���� �� � � ���� ��� ������ � � � � � ��� ����� � �� ����� �������� �� ����� �� ����� �� ��� �� ���� ������ � ����� � � ���� ��� $#' $&' ' #!(' � ��� ��������� ���� �������� � ���� ����� �� �� �� �� �� �>� @ v- *, ? > +, @ v- , @ v- . A��� ����� �� � ������ � �� ��� ��� � ��� � ����� �� � ���� � ��� �� ��� � �����

� *. A /+ @ v -� � . A . � @ v -

� � . � @ v -� �, � A*� ��++

Page 112: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�) ��� ��1/ �-��-031/

� �� � ��� �� �������� ��� ������ � �� � �� ���� �� � ) ����� �� � �������� ��� ���� � �� �?A ?� �� � ��� � ���� � J�� ����� ��� � ������ �� �� � ������ *��� ����� � ��� ��� �� ����� �� + � ��� ��� ���

� @ 4� � . A . � I*� ���+

������ � ���� ���� ���� � ����� � ����� �� �������� ������ �������� �� � ���������� �

�� Q\]PU � �� �1340 � �12 ��2-4� � � ���� ��� � �� �� �� � �� �� ��������� � ����� �� � �+ �� �� ���� , @ 4

�v�� � . @ . A*� ���+

���� �� � � ���� ����� ������ � ) �� ����� ��� ������� ��� � �� ��� �� �� ����� �� �� �� �� �� ����� ��

� @ v -� � . A . � 3 � */+ @ -

� � . � 3 � */+ @ -� �, � 3 � */+ I*� ��)+

) ������ �� � ���������� ��� ����� ��� v�� @ *) A ) A � + � ��� �������� � � ���� ��� ��� ���� ������ �� �� � ������ �

� � ������� �������� ��� �� � �� ��� �� �� VU ,VXTX[Z[ �� ������ ���������� �� �-�0 �0 �1 � ���� �1340 � �12 �-2-�4� � *+ � ���� ������ �� �� ���� ������ � ��� � ������� � �� � ��� ��� ��� � �� � �� ��������� � ��� ����� ��� , ��� ����

, @ � *� +Q I*� ��4+*� + ) �� ����� ��� ���� ���� �� ������ ������� �� ��� �� � �� ���� � ��� ��� ��� ��� ��� � �� � � ������� ������ � � ��� ��� D @ ) �� � ��� ��� ����� �*�+ � � � ������ � � � �� �� ���� ����� � ������ � � J �� � �� ��������� �*� + ) �� ����� ��� � ����� �� � �� �� �������� ��� �� �������� ���� �� � �����

� *� + @ �� I*� ���+

*�+ ) ������ �������� � ����� �� � �� � ����� �� � ��� ��� �� � ���� , �� � @ - , �� I*� ���+

�1�-234��1 /1��- �4 21 �2 �0 ��4� � �� ��� �� � ���� ��� � ���� �� �� ��� ��� ������� ������ � � �� �� �� �� ������� � �� �� �� ������ �� � ��������� � � ���� ��� ���� � ������ � � �� � �� ��� �� �� � ������ �

Page 113: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� ��� �1��0 �12-/ . 3-1� ��4 � 4� ��� �! �&# !$�" � � �% #& �� ��" ' %�!� ��� ��$��� �

J�� � ��� �� �� � �� ��� ���� �� �� ���� � � � �� ��� �� ��� � �� ���� �� � ��� ������ ������ �� ������� �� � ��� ����� ���� �� �� ��� �� �� ������ �� �� ���� �� � ������������� ��� �� ����� ��� � ��������� �� ������� �� ���� �� � ���� ��� �� ���� � ���� �� ��� �� ����� ��� � �� ��� � � ��� � ����� �� �� ��� ��� � ������ �� � � ���� �� �� ������ ������ ��� ������ �� � �� ���� �� �� ���� � � ��� �� ���� �� ���� ���� � � ���� �� ���� � � ��� � ��� ���� �� ������ �� �� �� �� ������ �� ���� �� � � ��� �� ������� � �� ���� �� ��� ����� ���� �� ������ ������ ��� ��� ���� �� ���� � � ������ ��� ������� ��� � ����������������� � ��� �������� �� � �� ���� �� ����������� � �� ��� ���� � ���� ���� ������ �� ������� ��� �� ������ ��������� �� ������������ � ������� � �� � �������� ��� � �� ������� �� ������� � � ������� � �� ����� ��� �� � �� ������ �������� �� ����� �� ��� ��������� � � #�# !�' !"# $�#!' � ��� ����� ��� ����� �� ���������� �� ���� � ��� � ��� ����� ���� �� �� ��� �� � � �������� � ��� ��� ���������� ��� � � ���� ��� �� �� � $'��(��'� � ('� �"(!!�"# � � � ���� ��� �� � � ��� � �� ��� �� ������ � �� � ����� �� �� ����� ���� �� �� �� ��� ����� � ��� � ����� ��� � � � ����� ������������ ��� � � ������� � �� ������ ������ ����������� ��� �� ������� ��� � � �� ��� ��� � ������ �� � ���� ��� ���������� � �� � �� �� �� ������ ��� � ��� ������� �� � ���� ����� � � � � �� ��� ������ � � �� ��� � � ����� � ����� � ����� � � �� � �� �� ������ ������ ��� ������ �� �� ���� ����� ���� �

� � � ���� ��� ��� ��� � ������ �"(!!�"# � � $'!�"#'&�'� �� �������� ��� �� ���� ������ � �� ��� � �� ���� ���� �� ������ �� � ����� ��� ������ �� ��� � ��������� ��� ������� ��������� ���� �� � � ������� ��� ����� ����� ��� � $' ' $&'#�� $"&�'��� � ����� ���� � � ��� �� � ��� �� ������� � � ���� �������� � ��� �������� � ��� ������ ��������� ��� � �� ���� �� �� � ���� �� �� ��� ��� �� ���� ��������� ��� � J�� � ����� �� �� �� ���� � � �� ������ ��������� ������ � � ������������ �� ������ �� ���� ���� ����� � ������ �� ������� �� � ��� � �� ������� �� �� ���� � + �

� � ���� �� ���� �� �� ���� ��� ���� �� �� ����� �� ��� ����� ����� ��� ��� �� ��� � � ����� � �� ���� ��� � �� ���� �� � �� � �� ��� �� �������� ������� � ��� � ���� �� ��� � � ���� � ��� ����� � � � ���� ��� �� � ���� ������ ��� � ������� �������� ��� ����� � ������ �� �� ��� ������ �� ����� � ���� � �� ����� � ����� &"�(� '� ' &"� �� '�"� � ��� (�� !'�"� � �� �� ��� �� ��� ����� ���� � � ���������� �� ����� �� ���� �� ����� � ��� ������ � ���� � ������� �� � $'��(��'� � $&!!$!&'( � �� ����� �� � ����������� � �� �� ���� ��� �� ���� �� � � ��� �� � � �� ����� ��� �� � �� ��� �� �� � ����������� � �� �� �� ���� � �� ���� ���� � ���� �� ����� �� ���� � �� ���� ��� $'( �"(!!� "# #" �% ���!' � �� ��� ��� �� � ���� ���� � �� ���� ��� �� � ��� ��� ����� �� ������ ��� ����� ��� �� �� ������ ��������� � � ��� �� ���� � ������� ���� �� ��� � ��������

Page 114: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� ��� ��1/ �-��-031/

���� ����� � ���� � ��� � �� � ������ �� �� ����� ������� �� � � ������ �� �� � � �� �� �� ������� � J�� ������ �������� � ����� � ���� ��� ��� �� ��� � � "$���&� $&�!$��'� � � �� � �� � � ��� ����� �� �� ��� � �� � �� ������ � ��� � �������� ��� � � ��� � ��� �� ����� � ���� �� ���� � ���� ��� ���� � � ��� ����� ��� ����� � ��� �� ���� � � �� �� ���� ��� ����� �� � � ��� ������ � ���� �� � �� � � ���� ������ ��� � ���� � ���� �� �� �������� �� �� ���� � ������� � ��� ���� � �� �������� � � ������ � ���� ���� � ������� � ��� � ������ �� � �������� �� �� �� � �� � �� ��� ��� � ���� ��� � ��� ��� �� ��� �� ����� �� �� � ��� �� �������� ��� � � ���� ��� ��� ������� � ��� � �������� � � ���� �� �� ��� ��� ������ �� ���� �� � �� ����� ��� �� � � ��� �� � ��������� � ��� �� ������ �� ������� �� � ������������ � ����� �� �� � ��� � �� ��������� � ����� ���������� ������� � ��� � ��������� �� ������ ��� � � ������� ��� �� �� ���� �� ��� � ���� � �� � �� �� � ������� ��� ��� ���� �� ��������� �� �� � ��� ������� � ��� � �������� ������ �

Page 115: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��

�"%&� ! � !"%�� !� �� �!" (& �!" ��� ��"��� �� �� � ����� �� �� � � �� ������ �� �� �� � �� ��� � �� � � �� ����� �� ���� ��� �������� � �� ��� �� � �� � �� �� �� �� ������ �� � � �� ��� ����� � � �� ��� ��

������ ����� �� ���� ��� �� �-�21���� � ���-� � ��� ���� �������� � ������ �� � ����� ��� ����� � � � � �������� �� �� �� ���� �� 4� � 4� � J�� � � ���� �� ����� �� ��� ������ �� ������ � �� � �� �� �� �� ���� �� � ��� ���� �� ��� � � � ������� �� �� �� �� ��� �� ������ �� ��� ��� �� � ���������� �� ��������� �� �� ��� � �� �� ���� � 4� �

�"�&�� � �� � #�� ��%& �!

� � ����

9::::;::::<���������

9::;::<K��� ������ ��

9;< K�� �� � K������� �� � ������ �� ����� ��

�� ��� �� �����J�� ������ �� ������������ ������� �����������

��"&� �$� ����� � ������� �

����� �� � ������� ���� ��

@ � 3 -� ���������� � ��� @ ��� , �� ����� � >� @ , ��� ������� �� ���� �� ��� ����� � � �

� ����� �� �� �� �� �� � ����� � ������� �

- B=,= / 3 , ? >,C @ �>� 3 D I� � ����� �� ����� � �� � �� � �������� �

� @ , �

3 �- 3 � @ ������ I

Page 116: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��

�� ����$# �" � ��� � � #�� ��%& �!��� � � ���-� � � &�# !� � # &'!� �! � "!�� # $ �� � !��� � � ��� � � �� � ��� � � �� ��� *4+��+ � �+��� 4� ��� � � �431 � �# !('���!'( �"(!$�"#� "% $� $�" ��� #��"#'( # "# � $' $�"#'& # !(& �!' $�"# � � ������ ��� � ���� � � ������ � �� *4��++ � �� � �����)� ���� � �� � � 4 ��4 � � �� � �-�31�� � � ���������� � ���� ������� � ��� �J������� ������ ��� ��� � ���� ���� � �� � J������� ��������� � ���� � J������� � �))� ���� � 1���2-� � �# $� "& � �!& ( �� �� $# ! �! � "!�� # $ � �!# � !�� '&%'� $�� "� " # � �# !"� &����( � #�'# $ !# $� � �#�# �� # $ ("# � � �� � � � �� *4���+ � ����+�� �

Page 117: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ���� ��

� � � � �� � � ��� �� �

�� �������� � ���� �� ���� � � ������� �� � �������� � ��� �������� � ��� ����� �� � � ��� ���� �� �� �� ������ �� �� � �� ����� ����� �� �� �� ���������� �� �� ���� �� ���� �� � ��� ���� �� �� ������ � �� ��� �������� ���� ������ � ���� ������ � � �� � � �� �������� � ��� � ����� ������ � � �� ������� ����������� �� � ��� ��� ������ �� �� � �������� � �������� ��� � ��������� ����� �������������� � � ��� ���� �� � ��������� � �� � ������� �� ��� � ��� �� ���� �� ���� ���� � ��� ����� �

�� �������� �� � � ���������� �� ��� ���� �� ������� �� � � �� �� ���� �� �������� ��� �� � ��� � � �� � � ��� � � ����� � � �� ��� � � � � ��� � � ����� �������� ������ � ��� � ��� ����� � � ������ �� �� � ���� �� �� ���� � ����� �� ������� �� �� �� �� � ����� � ������ ��� ���� ���� �� ���� � � � � ��� ����� ������ ����� � ���� ��� � �� � �31�-/ � ) !�� � �� ���� �� ����� �� �� ��� � � ���-��� ����� �� ��� ���� �� �� �� �� �� ������ ��� �� � � "��� ��� �� #$%& '%( %) ���-* 312 + � ������� � ��� ����� �� � �������� �� � � ���������� �� �� �� ����� ��� � �� � � ������ ��� ������ �� ��, ��� � ���� � ������� ��� � � ����� �� �� !��-) . �� ��� � �� ����� ������� ���� �� �� ���� �� � � ��� ������ � ������ �

� � �� ���� � �� ���� �� ��� � ������ �� �� ������� �� �� ������ � ����������� ������ �� �� ����� � ������������� �� � ��� ��� � ����� � �� � ��� � �� ���� � �� ��� �� ������ ��� �, ������ �� �� ������ � ������� � �� ����� � ���� ���� ��� � ��������� �� ��� �

Page 118: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� ��� ��1/ � �/01/1/

� �� ����� ���� � �� � ����� �� � �������������� ���� ��� � !"�� # �$� %&$'!��$� ( & '�� ''$# $"�� ) &%�&*��� + !��%�" *!"�� &� &' *$) ��� '�$��&%!�% + ) &� $"# !�&� '$ $**! ��� �$�,&�*!$' &��%& *$)$� *���!, $� ''$# $"$ -./01/.232 +�&� ��# &�� ( & $ �( & )%&�&��$ # $4�% "!5* '�$" # $�&# �$�!*$ &� � �$*!' "& �6�&%�$% &,) &7%!# &��$'# &��& 4 "&6 & �&% �&�!"� &� * &��$ ) �% '� �$��� &� '$ *!&�*!$ $)'!*$"$ 8 �$%$ � � !"� &��$*!��$%!� � &� #�� !# !&��� �!��%# & �& �!&�& &' # !�#� �&���% "& &�� &%9�� +: ; �< =+ ) &%� &��$ &��% *� %$ *$#6!$ $��& &' # �� !# !&��� %&'$�!�� "& '$� *$)$� "& � !"�*���!, $� 8 > ' ) ��� � �"$#&��$' "& '$ #�"&'!9$*! ��� &� '$ � )��!*! ��� "& ( & '$� � &%9$� "&*���$*�� "&) &�"&� "&' &��$"� "& #�� !# !&��� "&' � !"� � ��'� $ �%$� �&� "& '�� ,%$"!&��&� "&�&'� *!"$" + �$' *�#� �& &,)%&�$ &� &' �!, !&��& )��� '$"� "&6!"� $' ,%$� ����!*�7# $�&# �$�!*�!�,' �&� � &�%,& � $6%!&' ?@A�BC D

EF G H IAC@JKL�A �B ?@A�BC M NO PQRSTU VQ QSWXQUYTS : QS WXR Z[ \TR VQ ] ^ PU^_ \QS VQO^ ` ^ PU[Y VQU[ _^V^ a] QR QO ` [S` T [RS P^R PQ b c XR PT Md$*&#�� ) &� '$ e!) ���&�!� "& UQSc XQS P^ [RS P^R P \R Q^ b OT Z^O 8 � �&��& �& $ !�$"& � )��7� '$"� "& *���&�!&�*!$ # $�&# �$�!*$ ( & %&� '�$ f ��� &� '$ )% �$*�!*$ DEF g H IAC@JKL�A �B KhiBLKh�L� M j^ VQc QRVQR Z[^ VQ k UQSc QZPT ^ a] QS O[R Q^O l` \Sc UQZ[S^` QR PQm ^W \nRo M��� � !"�� ( & �6&"&*&� $ &���� "�� )��� '$"�� �& ''$# $� pqrs1p.3p1/ + ��� '�� � !"��# �$� ��%# $'&� 8 >� � ��%# $ # �$� &'&# &��$' + '$ "&) &�"&�*!$ "&' )��� '$"� �dt � 4$ e$6 ��$�!"� "&�*%!�$ ) �% uB*@Ai + "& $e �� &' ��#6%& "$"� $ '�� � !"�� + �&% '$ *!�$ &� '$ %&�& !�$e!�� ��%!*$ 8 �$ "&)&�"&�*!$ '!�&$' $) ��$"$ !#)'!*$ ( & � �*!��&� �'$� *�#)��&��&� v wx "&'�&���% "& &�� &%9��� �& &,)%&�$� '!�&$'# &��& *�# � � �*! ��� "& �$%!$6'&� + '$� *�#)��&��&�"& a] D

v wx ; y< zwx { | wx } | wx ; ~�� �wx � � � �

��� � �

�� 8���$ )$%�& < �� } �� "&' �&���% "& &�� &%9�� �& ''$# $ c ^U PQ [S \T PUTc ^ 4 �& !"&��!5*$ *�� '$�$%!$6'& )%&�! ��� � $' �&� "&*!% '$ �$%!$6'& �&%# �"!� �$# !*$ + *� 8 *$) ��� '� �� 8 �$ )$%�& | wx'$ )$%�& VQS _[^ PTU[^ � VQS _[^Z[TR^O � 8 >��$ )$%�& *���!&�& &� )%!�*!) !� "� � *� &5*!&��&� $"&�&%# !�$% + �e�%$ 6!&� + �&#�� !�#&"!$�$# &��& ( & v wx &� �!# �&�%!*� '� ( & %&" *& '$� !�* ��,�!�$� 5�$'&� $ � 4 '$ * &��$ �& ) ��& &� �t 8 �&$'# &��& + '�� *�&5*!&��&� !�"&) &�"!&��&���� # *e�� # &��� + *�#� �&%&# �� &� � #�# &��� 8 "��� #�"&'�� # $�&# �$�!*�� �� "&6&��&% # �$� *�#)'&f �� "& '� �&*&�$%!� 4 '$� # $�&# �$�!*$� $4 "$� $ &''� +

�$%$ %&$'!9$% �$ '�&%!�% %&" **! ��� + ( & �&% �$ "% �$��!*$ + e&# �� "& � )��&% ( & &' # &"!�&� [S \TPUTc T 4 �T` T� \QR QT+ "& ��%# $ ( & '$� )%�)!&"$"&� "& '$ "&) &�"&�*!$ &�� "!$"$ �&$�!��$%!$��&� $��& ��"� *$#6!� "& *��%"&�$"$� "$"� )�% �$ �%$����%# $*! ��� �%��,��$' + &�"&*!% ( & �� &, !��&� �! &� &' # &"!� �! &� &' � !"� "!%&**!��&� )%!� !'&,!$"$� + 4 ( & '$ '&4"& "&) &�"&�*!$ �� "&)&�"& "&' ' ,$% � �!&#)� *���!"&%$"�� 8 >��& e&*e� �& %&� #& &� '$� ����� ����� � ����� �� ���� ��� �

Page 119: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �KJh�AC iB*@AihLiAC �e!) ���&�!� D

EF � H j^ VQc QRVQR Z[^ | ; | �a] � QS [R VQc QRV[QR PQ VQO c XR PT �� } �� Q [R_^U[^R PQ ^R PQO^S S[` QPU \n^S b PU^RSWTU` ^Z[TR QS TU PT� TR^OQS VQO QSc ^Z[Tm QS VQZ[U| �� � a] � �� �� ; � � | �a] � � �� �

c ^U^ PTV^ ` ^ PU[Y TU PT� TR^O b PTV^ S[` QPU \n^ � M�>� �$ # $�%!9 �%��,��$' �� � ; �� + "��"& �� &� '$ �%$��) &��$ "& �� 8 >� &��$� *��"!*!��&��& "&# &��%$ # $�&# �$�!*$# &��& ( & &, !��&� &� %&$'!"$" � ��'� 21/ *����$��&� "!��!��$� '!6%&�&� '$ "&) &�"&�*!$ "& | %&�) &*�� $ a] 8�q1q 3 � � � � ^� T O^S �[c \T PQS[S �dt � m �d �� b �d�� Q� [S PQ XR^ WXR Z[ \TR < �� } �� b ZTQ��Z[QR PQS � b � P^OQS �XQ

: ; y< = { � �a � ] �= { ��� } � ; �� �a] { �a] ��� ��� 8����#� "!f !# �� &� '$� �&**!��&� t 8� 4 t 8t '$ # $�%!9 � ; � �a] � &� '$ )$%�& �!# �&�%!*$"& a] 4 �& '$ ''$# $ ` ^ PU[Y VQ O^ _QOT Z[V^V VQ VQWTU` ^Z[ \TR � 8 �$ )$%�& $��!�!# �&�%!*$ "&a] �� !��&%� !&�& &� : 8 ��� *�&5*!&��&� � 4 � �& ''$# $� c U[` QU 4 SQ� XRVT ZT Q� Z[QR PQ VQ_[SZTS[V^V� 8 ��%%&�) ��"&� $ '�� *�&5*!&��&� "& �L� B "& '$ &'$��!*!"$" 8 !& � &'& � )��&%( & ��� *����$��&� + $ �( & ) &"&� "&)&�"&% "& '$ )%&�! ��� 4 '$ �&#)&%$� %$ &� ,&�&%$' + �&%���$ $' 5�$' "& '$ �&**! ��� 8 "6� �&%�&�& ( & y< = &� &' �$'�% "& : &� $ �&�*!$ "& ,%$"!&��&�"& �&'� *!"$" 8d&#�� $'*$�9$"� &' ) ��� * '# !�$��& "& '$ # �"&'!9$*! ��� #$�&# �$�!*$ "& '�� � !"�� 8�$ !��%�" **! ��� "& '$ � !�*��!"$" &� &' &�� "!� "& '�� � !"�� #%&$'&�$�& "&6 & $��& ��"�

$' !�,&�!&%� 4 #$�&# �$�!*� uL% hB& ����� + ) 6'!*$"� &� ����� + ( & $)'!* �� !"&$� "&%!�$"$�"& � � &�� "!�� "& '$ &'$��!*!"$" . &��$� !"&$� *$%&* ��$� "& '$ � ��'!"$ 6$�& %$*!��$' ( & &��$7#�� &,)��!&�"� 4 �& $)'!*$6$� � ��'� $' *$�� !�*�#)%&�!6 '& 8 ! �%$6$f � � & )%���$# &��&%&*��� *!"� &� � f ��� �$'�% 4 # ��!� �� � )%� *&�� &� &' ( & ) �"&#�� #&�*!��$% '$� $)�%7�$*!��&� "& 'LJ()* + ���� + IAhCCAi + ��� 4 ?@ + BiLi@ + ��t- + * '# !�$�"� 5�$'# &��&*�� ?@A�BC + ��t� + "& �$ #$�&%$ &'&,$��& 4 %$*!��$' + $' �� $*� $' 8 ", �# &���� &��&'$%&�"& '$ *!&�*!$ 4 "& '$ * '� %$ +! ��'� ��� ( &"$ *$'* '$% '$ "!�&%,&�*!$ "& : )$%$ )�"&% &�*%!6 !% '$ &* $*! ��� *�#)'&�$ "&'$ �&'� *!"$" 8 >� � !%� " "& '$� "&5�!*!��&� $"�)�$"$� + �& "&%!�$� "& �- 8��� '$� &* $*!��&�"& *���&%�$*! ��� "&' !# ) '�� D

- .�w.� ; y �<��w {

~� �

���/� /��w

��� { �����w 00 { �

��w 1� ~� ���

��� 2 { 3w�� 8-�4�5 65� 78�9 �: 65� �; < ;=:�> 9� 9�75:< ;6� �5� 9� �; ?5��6 � �5� @ A ��66� �5� B �C �D�� ���� ��� �� �<? ��;� �5 � = ��:< ��5� �E ��� ������� �F ���G ���H � ?;:; I J KLMN ������� �F ���G ���H � ?;:; O �

Page 120: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �KJh�AC + hC(ACAC*�� � ; � } � } - 8 �>��$� ��� '$� �$#��$� q0]30.1pq/ 2q �3-.q�ks1�q/ &� � ��%# $,&�&%$' + 6$��$��& !#)��&��& 8 ��#� "!f !# �� '�� *� &5*!&��&� � 4 � ) &"&� "&)&�"&% "& �4 - + ) &%� &� # *e�� *$��� �& ) &"&� � )��&% *����$��&� 8 > ''� &� � $'!� !� + ) &� )$%$ � 4� *����$��&� �& �6�!&�& �$ ��%# $ # �$� # $�&f $6'& 4 # *e� # �$� �!'!9$"$ + ( & &� ��%# $�&*��%!$' " !*& - .].� ; ya< { ��] { �� { � �a �a � ] � { � ��� 8t ����& &' '&*��% ( & &' �&%*&% � �&%# !�� "&' �&, �"� # !&#6%� &� � ,%$"!&��& "& "!�&%,&�*!$ +( & � !&�& "$"� &� *��%"&�$"$� $� �� D

�a �a � ] ��w ; ~x � ��x

��w ��x �> ' '$)'$*!$�� "& ] �& ��# $ *�#)��&��& $ *�#)��&��& �&� *��%"&�$"$� *$%�&�!$�$�� 8 � &7*�%"&# �� )�% � '�!# � ( & )$%$ � ; � ; �& �6�!&�&� "& � &�� '$� '&4&� "& '�� � !"��) &%�&*��� + ''$# $"�� �$#6! �&� )�% &�$ %$9 ��� p1 -./01/1/ + � �$#6! �&� .p- �/0.21/ 8uA@L � �$ �&�% ��$ *!� �&�!*$ !�"!*$ ( & '�� *� &5*!&��&� � 4 � "&) &�"&� ��'$# &��& "& '$�&#)&%$� %$ 4 �� "& '$ )%&�! ��� + '� * $' �!&�& � *��5%# $*! ��� &� '$ &,) &%!&�*!$ 8 >� '��,$�&� $ #&��$� *�� '$ �&#)&%$� %$ . &� '�� ' ��( !"�� "!�# !� 4&� + $ �( & '$ �$%!$*! ��� &�# &��� !# )�%�$��& 8� �� �� � �� �� ������ �� �� ������ � � ���� � >� � )%!# &% )$�� �& �&)$%$ '$ # $�%!9 a] &� � )$%�& �!# �&�%!*$ 4 � )$%�& $��!�!# �&�%!*$ +

a] ; � { � }�� 8��4 �& *�#)% &6$ ( & '$ )$%�& $��!�!# �&�%!*$ %&)%&�&��$ �'� *$'# &��&� �$ %��$*! ��� % ��,!"$$'%&"&"�% "& � *!&%�� &f & + ) �% '� ( & � �� %&�&f $ �!�, �$ "&��%# $*! ��� "&' ��' #&� � !"� 8>� # *e�� '!6%�� �& # �"!5*$ �dt � )$%$ &�) &*!5*$% ( & )�% &''� : "&) &�"& &� %&$'!"$""& a] � ��'� $ �%$� �&� "& � 8 �e�%$ 6!&� + �$' e !) ���&�!� � )'&# &��$%!$ &� # $�&# �$�!*$# &��&� ) &%� $ + ) &��� ( & '$ !�"&) &�"&�*!$ "& : %&�) &*�� $ � �& ) &"& "&" *!% "& �d�� 4 "&'e&*e� ( & : &� � �&���% �!# �&�%!*� 8� � � $"� ( & � &� �!# �&�%!*$ + &, !��&� &f &� &�) &*!$'&� &� ( & �& ) &"& "!$,��$'!9$% 8 , &"!$��&'$ !��$%!$�*!$ ) �% �%$����%# $*!��&� �%��,��$'&� ��"� �& %&" *& $ �&% * �$' &� '$ ��%# $ "&: * $�"� � &� "!$,��$' 8� � !&$ � ;"!$,�. � } .� } .� � 8 �$ !���%�) ��$ !#)'!*$ ( & &����*&� | �� � �$#6! �&� e$ "& �&%"!$,��$' + | ;"!$,�| � } |� } |� � 8 �$� |w ��� � �*!��&� '!�&$'&� "& '$� . w 4 '$ "&) &�"&�*!$ &��!# �&�%!*$ &� � 8 !& "&" *& &����*&� � �$*!'# &��& ( & '$ � �!*$ ) ��!6!'!"$" &�

|w ; �. w { � �. � { .� { .� � }�� 8��

Page 121: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �KJh�AC % hC(ACAC hi(A��&BCh�KBC *�� � 4 � *����$��&� ���"!*$*! ��� D ��"�� '�� *�&5*!&��&� "& |w %&�) &*�� $ . w ��� !, $'&� .��"�� '�� "& |w %&�) &*�� $ .x + � �; � �$#6! �&� !, $'&�� 8� � !& �6�&%�$ ( & . � { .� { .� ;%$9$ �� � &� � !��$%!$��& "& � 8 ��� &''� �& ''&,$ $ �� 8��)��!&�"� � ; �� 4 � ; � 8�sqp/. 1p � !& "&# &��%$ &� '�� * %��� "& �$',&6%$ �&���%!$' ( & ��"$ $)'!*$*! ��� [S \T PUTc ^� D � � � � � � � � � � � + : ; � �� � + �& ) &"& &�*%!6 !% &� '$ ��%# $

: ; �� = { � �� { ���� }�� 8��"��"& '�� &�*$'$%&� � w "&) &�"&� "& '�� !��$%!$��&� �!# �&�%!*�� � w �� � + � ; � } � } - + "&' �&���%� 8 ! ! � &� '!�&$' &' �&%*&% � �&%# !�� "&�$)$%&*& 4 �&�&#�� &' �&�%&# $ � 8� 8� 8� �� ����� � ������ �������� ���� ' !, $' ( & &� '�� � !"�� ) &%�&*��� + &' &�� "!� "& '�� � !"�� � !�*���� *���&#)'$ "��,%$�"&� *$) ��� '�� + �&, � � �&$� !�*�#)%&�!6 '&� � *�#)%&�!6 '&� 8 > ' )%!# &% �!) � �& �!'!9$ ��� ��'� )$%$ "&�*%!6 !% '�� � !"�� &,$*�$#&��& !�*�#)%&�!6 '&� + �!�� �$#6! �&� $( �&''�� *�# � &'$, $ � &' $!%& $ 6$f $ �&'� *!"$" &� ( & '$� �$%!$*!��&� "& "&��!"$" ) &"&� �&% !,��%$"$� 8�$%$ � !"�� !�*�#)%&�!6 '&� '$� &* $*!��&� "& � $� !&%7!���&� $"( !&%&� �$ ��%# $ # �$��!# )'& + ( & &� '$ # �$� *���*!"$ 8 >� &�&*�� + &����*&� a � ] ; 4 &' �&���% "& &�� &%9��� !&�& "$"� )�%

: ; y< = { ��� ��� 8��! ! *�# � &� � $' &� &��& *$�� � )��&#�� ( & � &� �$ *����$��& *��� *!"$ �"'� ( & &'!# !�$ �$ )��!6 '& !�* ��,�!�$ "&' )%�6'&# $ +� &' �!��&# $ "& '$� &* $*!��&� "& � � !"� e�#�, �&�&� +!�*�#)%&�!6 '& 4 � !�*��� ( &"$ &� '$ ��%# $�]� � { �] � a �] ; y - a� { ��] { - � }a � ] ; }�� 8 �

"��"& e&#�� &�*%!�� '$ &* $*! ��� "& �! &� � �&%# !��� *!�&# �$�!*�� �&� "&*!% "& '$ $*&'&%$*! ��� � 8> ' *�&5*!&��& � ; ��- &� &' ''$# $"� ZTQ� Z[QR PQ VQ _[SZTS[V^V Z[R Q` \P[ZT �# !&��%$� ( & �&� &' " !� �$# !*� � 8 G > ' *�&5*!&��& !#)�%�$��& &� '$ "&�*%!) *! ��� "&' #�� !# !&��� �&� "&*!% + &�'$ *!� �&�!*$� &� *�� �%&* &�*!$ � 4 �� � 8 > ��$ &� �$ )%!# &%$ �6�&%�$*! ��� ��6%& &' )%�6'&# $"& *�#� # &"!% '�� �$'�%&� "& '�� )$% �$# &�%�� + ( & &� "& ,%$� !#)�%�$�*!$ &� &' &�� "!� "&'�� � !"�� � !�*���� 8

���� !"# $%&"# '( )%*&+*"# , -; 8��9;9 9� . �� �� �=5/�� A B � ��N�� 0 B 6< 4 1��� A < ���=:;� 28� I ��< �9� �� ?5 ���� A B 3 ����0 B 9 ��;4���16< 4 � 5 � 68: �5�5 56 ��:7;: 28� < ���=:;� �� ;�8; = ���� 8� 65�86���=�9 �� �;< �65 9� 7 ��65��9;9 <8695 < ;J5: 28� �� ; �:� A 65<5 ?;:�6� �7 �9��=� A ��� �<6;:�5 �8 65�86 ���=� 6 ��:�< �;= �65 �� < ��5: 9�6 �95 ; �; �:;� 9 �7�:��6 �; 9� 9����9;9�� � ; B<=> �� = ���� ?;:; �� ; �:� ? .@ 0 B AB< 4 BCD�65�=:; .E 0 B AB 4 BCD� FG 4 HIJK ?;:; �� ;�8; �

Page 122: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �KJh�AC + hC(ACAC��% ��%$ )$%�& + &� � $' � ) ��&% ( & &' � !"� &� !� !*!$'# &��& e�#�, �&�&� + - �� } � � ;*����$��& + 4 &��$ )%�)!&"$" �& # $��!&�& &� &' �!&#)� ) &� - �� } �� ; - �� } � � + *� 8 �&**!��&�� 8� 4 � 8� + $� �� ( & - %&� '�$ &����*&� *����$��& &� � 4 � 8> ' )%�6'&# $ �& e$ "& %&��'�&% *�� $"&* $"$� *��"!*!��&� !� !*!$'&� 4 "& *����%�� 8 �$�*��"!*!��&� �$� %$'&� "& *����%�� )$%$ '$ �&'� *!"$" ��� "&' �!) � p1 2q/�.�3 .qps1 +g

] ; ��6%& �� }�� 8��'� * $' &� �$ ���$6'& "!�&%&�*!$ *�� '$� *��"!*!��&� "& "&%!�$"$ ��%# $' �� 8�� + �� 8 � "&'� !"� )&%�&*�� 8 > ' $f ��& "& '$ �&'� *!"$" &� &' 6�%"& &� �$ '$� *���%!6 *!��&� %&$'!��$�# �$� �6� !$� "& '$ !��%�" **! ��� "&' � �&%# !�� "& � !�*��!"$" 8 , $�&# �$�!*$# &��& �& &,)'!*$)�% '$ )%&�&�*!$ "& � �) &%$"�% "!�&%&�*!$' &�)$*!$' "& �&, �"� �%"&� + # !&��%$� ( & '$�&* $*!��&� "& > '&% *���!&�&� "&%!�$"$� &�)$*!$'&� "& )%!# &% �%"&� 8, �$� &� ,&�&%$' + �& "$� &f &#)'�� "& !��&% �&� &� ( & � 6!&� &' 6 �%"& &� ) &%# &$6'& � 6!&�&� !#)&%# &$6'& 4 �& "&�)'$9$ *�� �$ �&'� *!"$" - "$"$ 8 >����*&� �& !# )��& '$ *��"!*! ���

] ; - ��6%& �� ��� 8�������!"&%$%&#�� *�� # �$� "&�$''& '$ )%&�! ��� &� '$ �&**! ��� � 8� 8 $#6! �&� �& ) &"&� ��# $%"�# !�!�� &� ��%# $ "& )$%$'&'&) ��)&"� *�� *��"!*!��&� "& *����%�� ) &%! ��"!*$� ��6%& ] 4 < 8>���� *$��� �!&�&� !��&% �&� &� &�� "!�� $�$'���!*�� 4 � # �&%!*�� "$"� ( & '$ �&�% ��$ �& �!#)'!5*$&� � !%� " "& '$ ) &%!�"!*!"$" + ( & ) &%# !�& $%, # &���� "& !��$%!$�*!$ )�% "&�)'$9$# !&��� &� � ��' # &� 5�!�� 8 >� '�� *$��� *�� *��"!*!��&� "& 6�%"& #%&$'&�$"& '�� �!) �� $��&%!�%&�$)$%&*&� *�#)'!*$*!��&� � )'&# &��$%!$� &� &' 6�%"& ( & �& &� !�$� $� �� &� �$ )%!# &%$$)%�, !# $*! ��� $' )%�6'&# $ 8�$� &* $*!��&� "& '$ &�&%, ��$ �� ��� �&*&�$%!$� )$%$ %&��'�&% &' )%�6'&# $ e!"%�"!� �$# !*� +

$ �( & '$ *���!"&%$*! ��� "& '$ &�&%, ��$ !��&%� !&�& &� &' &�� "!� "& '$ &��$6!'!"$" "& '$���' *!��&� �6�&�!"$� 8 d$6'$%&# �� "& '$ &�&%, ��$ &� '$ �&**! ��� � 8�� 8��B&( h( hA � � � >�*%!6 !% &' �!��&# $ �� 8 � &� *��%"&�$"$� *!' ���"%!*$� 4 &�� �&%!*$� 8� �� ������� � � ������� �� � �� �� ��� ��� � ��

������&� "& $6�%"$% '$ "!�* �! ��� "& $', ��� "& '�� &f &#)'�� # �$� *$%$*�&% ����!*�� "& � f �� � !�7*���� &� !��&%&�$��& %&$'!9$% �$ %&�&, ! ��� "& �!)� )% �$*�!*� 8 !& �%$�$ "& *$'!6%$% '$ !�� &�*!$"& '�� )$% �$#&�%�� 4 "!# &��!��&� ( & $)$%&*&� &� '$� &* $*!��&� "& � $� !&%7!���&� 4 # �$�&� ,&�&%$' &� '$ # &* �$�!*$ "& � !"�� 8 >� � e&*e� *�%%!&��& + $ �( & "&�$��%� �$"� + ( &'�� &�� "!$��&� "& # $�&# �$�!*$� �& �* ) &� � ��'� "& '$� *���!"&%$*!��&� * $'!�$�!�$� � * $�7�!�$�!�$� &� ��%# $ ���$'# &��& $6��%$*�$ + "&�$�&�"!&�"� '�� $�) &*��� ''$# $"�� #)% �$*�!*��$ 8

�H� �M�3 �� ���� ���

Page 123: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� u J�B&A �B �B*iAK�C � �>��$ �&�"&�*!$ )%!�$ $ '�� &�� "!���� "& � �!)� "& *���*!# !&��� $ %$� "& �!&%%$ ( & &�� &��& "& !�� !*!��&� �$� �&*&�$%!$� *�#� �% *� ���&%$� )$%$ '$ !��&��!,$*! ��� + 4 ( & ) �% � 7) &��� '�� ,%$�"&� # $&��%�� "&' )$�$"� ( & $)$%&*&� &� &��$� ) �$,!�$� �� "&�* !"$6$� +)! �&��&�& &� �LKhKBA � uB*@Ai )%&�* ) �$�"��& "&' ) '!"� "& '$� '&��&� + � &� &' )% ���*!) &"& '$ ##$�&# �$�!*$ ) %$$�LJCC *�� � � �%$6$f �� "& ,&�"&�!$ ( & # ��!�$%�� � � &�� "!����6%& '$ �&�% ��$ "& � )&%5*!&� �%&$'!9 �� '$ �%!$�, '$*! ��� "&' %&!�� "& d$����&% ) �% &�*$%,�"&' ,�6!&%�� � + � � � !� �$�!,$6'&� * �$'* '�� *�� � � # &%�� &��&%��� 8

� &� 6!&� + '$ &* $*! ��� "& �! �!&�& �$%!�� �!) �� "& � �&%# !��� + ��"�� &''�� *�� "!# &��!��&�"& � &%9$ )�% �!"$" "& ��' #&� + $ �$6 &% D�!� '�� � �&%# !��� "& - .]�.� ( & %&)%&�&��$� '$ .pq0.3 . &' �&, �"� � #$�"� + - �] �a �]�& � &'& ''$# $% s q .p1 01p-q0s.-1 � 2q s3p/�1sq +�!!� � � �&%# !�� "& �q/. 1p + ya< 8�!!!� � � �&%# !�� "& �]q�3/ q�sq .1q/ + � +�!� � � � �&%# !�� "& q�q0s1/ - ./01/1/ + ''$# $"� �$#6! �&� � �&%# !�� "& 2.�]/. 1p � 2./.�

�30. 1p + � �] 8 >' ��#6%& "& #"!�!)$*! ���$�!&�& � f ��!5*$*! ��� &� &' &�� "!� "& '$ &�&%, ��$ +�&% �&**! ��� � 8�� 8�$ * &��! ��� ( & ��� �* )$ $( �� &� &' e&*e� "& ( & �$��� '$ �&�% ��$ *�#� '$ $)'!*$*! ����& �&� "!5* '�$"$� ) �%( & * $�%� � �&%# !��� ��� # *e�� � �&%# !��� )$%$ *&��%$% '$ $�&�*! ���&� ��"�� $ '$ �&9 + 4 &� '� � $' ( & �� ��"�� �&�,$� &' # !�#� �%"&� "& # $,�!� " + 4 ) �%�$��� "& !#)�%�$�*!$ 8 >� $', ��� *$��� $', � � � �&%# !�� &� � '� + &� # *e�� *$��� $', �� "&

'�� � �&%# !��� &� "&�)%&*!$6'& 8 !& !# )��& )�% &''� � #�"� "& #&"!% &�$ ` ^�R[ PXV UQO^ P[ _^ 8�ih�L�BC * %L& hL�KBC L BC(LKL � �$ !#)�%�$�*!$ %&'$�!�$ "&)&�"& "& '$� # $,�!� "&�"& '�� "$��� � "&' "�# !�!� 8 �&*�%"&#�� ( & &� #&* �$�!*$ &, !��&� �%&� # $,�!� "&� !�"&7) &�"!&��&� D &�)$*!� + �!&#)� 4 #$�$ 8 > ''� "&�&%# !�$ � �!��&# $ "& �!"$"&� �)�% &f &#)'�&' ��! D *&�� ��#&�%�7,%$#�7�&, �"� + � &' ,�! #&�%�7� !'�7�&, �"� � &� ( & �& # !"&� ��"$�'$� "&# �$� # $,�!� "&� + *�#� '$ �&'� *!"$" �*# ��, &� �!��&# $ ��!� + '$ "&��!"$" �,%�*# � �� '$ )%&�! ��� �,%� �*# � �,� � 8 ! )��,$#�� ( & �&�&#�� � )%�6'&# $ &� ( & '$� '��,!� "&�( & !��&%� !&�&� ��� "&' �%"&� "& � *# + '�� �!&#)�� "& � �&, �"�� 4 '$� # $�$� "& � ,% 8>��$� *$��!"$"&� ��� '$� ''$# $"$� # $,�!� "&� *$%$*�&% ����!*$� � �"$#&��$'&� 8 �"$� '$�"&# �$� # $,�!� "&� # &* �$�!*$� �& ) &"&� #&"!% *�� %&�) &*�� $ &��& )$�% ��� D '$ �&'� *!"$")$�% ��� �&% �$ ; �� � � + '$ "&��!"$" -� ; � ��� + '$ )%&�! ��� ; � �� �� �� 4 '$"&��!"$" "& � &%9$ � ; � ���� �� 8 ���%�" *!#�� $e�%$ '$� -3 .3� �q/ 32. qp/.1p3 �q/

� ; �� } � ; �

� } ] ; ]} - ; --� } < ; <

} � ; �� ��� 8���

>� � �&%# !��� "& '$� � &�$� �$%!$6'&� &' �!��&# $ "& � $� !&%7!���&� �� 8 � ( &"$�] � � { �] � a �� � ] ; y �- a ��< { �

� � ��] { �- � }a �� � ] ; }�� 8�-��28� 95J 9 ��; ?;:; �8��=:; 75:=8�; ?59�<5� ?:5�:;< ;: �� 8� 5:9��;95:

Page 124: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �KJh�AC + hC(ACAC"��"& %&*�%"$#�� ( & '�� ,%$"!&��&� �& ��# $� %&�) &*�� $ '$ � &�$ �$%!$6'& "& &�)$*!� � 8"6�&%�$#�� ( & &' �!��&# $ %&� '�$ !��$%!$��& �$'�� '$ $)$%!*! ��� "& �$ � &�$ *����$��&&� ' ,$% "&' *�&5*!&��& "& � !�*��!"$" *!�&# �$�!*� + ( & &( !�$'& &� !"&��&# &��& $ e$*&%'�$"!# &��!��$' *�� %&�) &*�� $ '$� # $,�!� "&� *$%$*�&% ����!*$� &'&,!"$� D

�� ; ��

� � ��� 8�t�, !&��%$� � �!&�& "!# &��!��&� "& *# ���&, + � &� $"!# &��!��$' 8 �$ �%$����%# $*! ��� $��&%!�%�& ''$# $ s3p/�1 30. 1p 2q /. .�3 .232 � /q q� 3p�3 4 �$#6! �&� 03� .1 2q q/03��3 8 , &"!$��& �$' *$#6!� )%�6'&# $� ( & "!5&%&� &� &' �$# $ !�� "& � � "$��� ) &"&� �&%%&" *!"�� $' # !�#� * �$'* '� S[Q`c UQ �XQ QO c ^U \ Q PUT UQS P^R PQ QR O^ QZX^Z[ \TR m ��� m S Q^ QO` [S` T8 �#$,!�& &' '&*��% � &,) &%!# &��� "& *�%%!&��&� &� ��%�� $ � $'$ "& $� ! ��� %&" *!7"� $ � &,)&%!# &��� �&# &f $��& *�� �$# $ !��� "& '$6 �%$��%!� . '$� *��*' �!��&� "&' �&, �"��& $)'!*$� $' )%!# &%� 8 ��% &''� &' )$% �$# &�%� � �!&�& � )$) &' � �"$# &��$' &� #&* �$�!*$"& � !"�� + 4 �& '& *���*& *�#� p ] q1 2q � q�p1 �2/ + � ; �& 8 ��� &��$ ���$*! ��� '$&* $*! ��� "& � 7! ( &"$ &� �$%!$6'&� %&7&�*$'$"$�

� ] � � { �] � a � �] ; y - a ��� {

�� � ��] { - � ��� 8�����$ �&9 "&*!" !"� &' )$�� $ '$� � &�$� �$%!$6'&� �& &'!# !�$� '$� )%!# $� + �!&#)%& �&�!&�"�&� * &��$ &' � &�� �!,�!5*$"� $"!# &��!��$' "& '$� �$%!$6'&� 8� L�ih@J�BC �LCB Bi KL BC(LKL � d&#�� ��# $"� *�#� '��,!� "&� *$%$*�&% ����!*$�� �"# &��$'&� � }� 4 � 4 *�#� "&%!�$"$� '$� "&# �$� 8 �&%� '$ "!��!�*! ��� &��%& � �"$#&��$'4 "&%!�$"$ &� � �$��� $%�!5*!$' 8 � � �� + &� '$ )% �$*�!*$ "& '�� � !"�� &� # �$� ��%# $' ( &�& "&� '�� �$'�%&� "& �$ '��,!� " � + �$ �&'� *!"$" 4 �$ �� '$� "&��!"$" -� *�#�� �"$# &��$'&� 8 >����*&� � ; �� 4 &' � � # &%� "& �B*iAK�C �$'&

�� ; ��

�� 8���"6� �&%�&�& ( & &����*&� ; � -� 4 � ; -� ��� � 8 > ' )%� *&"!# !&��� "& *$#6!� "& &�*$'$$( �� "&�*%!�� &� �$"� *�� ,%$� �%&* &�*!$ &� #$�&# �$�!*$� *�� &' ��#6%& "& p1 3��.�30. 1p 8 >� &�& '&�, $f & &' � � #&%� "& �&4��'"� �� &� # �$� ( & &' !��&%�� "& '$ � !�*��!"$"%&��%# $'!9$"$ 8�1p0q�s1 2q /q q� 3p�3 � .212.p 3 .03! )��,$#�� ( & �&�&#�� � )%�6'&# $ + ) �% &f &#)'� '$ "&�&%# !�$*! ��� "&' % �&,!# &� &��$7*!��$%!� "& � � !"� � !�*��� ( & ''&�$ &' &�)$*!� 4 &�*!&%%$ � �6�� �$* '� &�� �&%!*� "& %$"!�� � 8 ! )��,$#�� *���*!"$ '$ �&'� *!"$" � "&' � !"� #&� &' !�5�!��$4 &' *�&5*!&��& � � + 4��# &#�� '$� � &%9$� &, �&%�$� *�# � � '$� 8 �� &��%$� # �$� "$��� &� &' )%�6'&# $ 8 ����!"&7%$# �� $e�%$ ��%� # �"&'� �&# &f $��& $ &�*$'$ "& '$6�%$��%!� *�� �&'� *!"$" � + � !�*��!"$" ��

Page 125: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �(JL( h Ai �B ?@A�BC �-4 �6�� �$* '� "& %$"!� � � 8 > ' )%�6'&# $ $"!# &��!��$' )$%$ $#6$� *�%%!&��&� �&% �$ &' # !�# ��! 4 � ��'� �!

�� ; �� �� � ; �� �

�� }�� 8���&� * 4� *$�� �& ) &"& *$'* '$% &' % �&,!# &� "& �&'� *!"$"&� ] � �� } �� "&' � !"� � $ )$%�!% "&'� !"� � #&"!$��& '$ � ��%# '$ ] �

� ; ] �� ; ] ��� 8���

� �� ��������� � ��� � ��� �� � ����� �� � �������$� )%�)!&"$"&� "& '�� � !"�� � !�*���� "&) &�"&� &��%# &#&��& "&' � � # &%� "& �&47��'"� + �� + ( & &� � )$% �$# &�%� !��% ����&*� + &� "&*!% �� &'!# !�$6'& ) �% %&��%# $'!9$*! ��� 8>� "& ,%$� !��&% �&� *���!"&%$% &' *�#)�%�$# !&��� "& '$ &* $*! ��� "& �! * $�"� &')$% �$#&�%� !��% ����&*� �� &� # 4 ,%$�"& � # 4 )&( & !�� 8 >� &' '��# !�& �� � � �6�&7�&# �� ��%# $'# &��& '�� � !"�� �� � !�*���� � ) &%�&*��� 8 $' ' ��#!�& &� �!� &#6$%,� *$ �$"& ���$6'&� "!5* '�$"&� # $�&# �$�!*$� + ) &� &' � �&%# !�� ( & �& &'!# !�$ ��%# $'# &��& "& '$�&* $*!��&� + ������ �] + &� &' "& "&%!�$"$ # �$� $'�$ 4 �& )!&%"& &' �!) � "& '$ &* $*! ��� "!7�&%&�*!$' ��&� ��#&�� ''$# $"� &� # $�&# �$�!*$� c QU PXU�^Z[ \TR S[R� XO^U� 8 >� )�*$� )$'$6%$� +&' � �&%# !�� &� "!�* �! ��� ) &"& �� �&% "&�)%&*!$6'& �! ��] � � � * $�"� ��� � 8 > ''��& �%$" *& &� "!5* '�$"&� ����!*$� D $� �� + )$%$ $'��� �$'�%&� "& �� �& "$� &�) ��� �$�&$# &��&�&� ��# &��� "& � %6 '&�*!$ ( & ��� $ � � e�4 " ��$ #$' *��� *!"�� 8 ��% ��%$ )$%�& + )$%$ &���

$'��� �$'�%&� �& �%!,!�$� "!�*���!� !"$"&� *&%*$ "& '$� )$%&"&� *��� *!"$� *�#� )%�6'&# $�"& 03�3 �� .sq ( & &�� "!$%&#�� &� &' �$) ��� '� �� 8>� &' ��%� &,�%&#� �&�&# �� '�� � !"�� # 4 � !�*���� *�� # 4 )&( & !�� � � #&%� "&

�&4��'"� 8 �$%$ &''�� '�� � �&%# !��� "& !�&%*!$ ��� "&�)%&*!$6'&� %&�) &*�� $ '�� � !�*���� 8� '&,$#�� $� �� $ '$ q0]30. 1p 2q ks1�q/ &��$*!��$%!$y �- a< { �

���] { �- � ; ��� 8� �! ! ��'$# &��& "&�)%&*!$#�� &' � �&%# !�� *���&*�!�� ��� ( &"$ '$ &* $*! ��� "& !���&� "&&��' *! ��� ( & f ��� $ '$ &* $*! ��� "& !�*�#)%&�!6 !'!"$" "$ &' /./sq 3 2q ks1�q/

] � { �- a< ; ���

�] { �- � }a � ] ; ��� 8���$ &* $*! ��� "& !���&� �!&�& ��6%& '$ >* $*! ��� "& �$� !&%7!���&� '$ &��%# & �&��$f $ # $7�&# �$�!*$"& �&% '!�&$' 8 > ' &�� "!� "& '$ &* $*! ��� "& !���&� � &'& �&% &' )%�'&, ��#&�� !"&$')$%$ !��%�" *!% &' $)$%$�� � �*!��$' ( & ' &,� �& �$ &� '$ &* $*! ��� "& � $� !&%7!���&� 8

Page 126: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�t �KJh�AC + hC(ACAC� �� �� ��� ��� �� ������ � ������� � ��������>�� "!$# �� $ *���!� $*! ��� $', ��� "& '�� &f &#)'�� # �$� *$%$*�&% ����!*�� "& � !"�� � !�*���� 8>� "& �& !�$'$% ( & '$ �6�&�*! ��� "& ��' *!��&� &,)'��*!�$� �& "&6 & $' e&*e� $��%� �$"� "& ( &�& $� '&� �$%!�� "& '�� � �&%# !��� ( & !��&%� !&�&� &� '$ &* $*! ��� *�#)'&�$ "& �$� !&%7!���&� 8�>��& &� � e&*e� ���$6'& ��6%& &' ( & ''$# $#�� '$ $�&�*! ��� "&' '&*��% 4 ( & �&% �$ "!�* �!"�&� # �$� "&�$''& $' 5�$' "& '$ �&**! ��� 8� q� �1 � � 'A&& hBi@B �B Ji �KJh�A % hC(ACA Bi Ji (LiLK � 'A&& hBi@B �B'AJB@@B KhiBLK � 8 � &�&$# �� &#)&9$% ) �% '$ # �$, !# $ �!#)'!*!"$" 8 >� !� � �!' ) &��$% &� � #�"&'� �� + ) &� �$' #�"&'� �� ��%&*& �!�, �$ ���&"$" %&�) &*�� $' *$�� �� � !�*�����)�% ( �&�� 8 > ' &f &#)'� # �$� �!#)'& �� �%!� !$' "& � !"� � !�*��� &� &' ( & "&�*%!6 & &' % �&,!# &�&��$*!��$%!� "& � � !"� !�*�#)%&�!6 '& e�#�, �&�&� �)�% &f &#)'� + $, $� ( & � 4& &� �*$�$' e�%!9���$' "& )$%&"&� )$%$'&'$� �&)$%$"$� )�% �$ "!��$�*!$ . + �$ "& '$� * $'&�) &%# $�&*& 5f $ # !&��%$� '$ ��%$ �& "&�'!9$ *�� #�� !# !&��� �!��%# & + &� "&*!% �&'� *!"$"*����$��& 8 ��#� � )��!*! ��� %$9��$6'& "& )$%�!"$ ��# $#�� �$ �&'� *!"$" #)$%$'&'$$"&'$ ��%# $ ] ; �� } � 8 �e�%$ &�*%!6 !#�� '$ &* $*! ��� "& *���!� !"$" *�#� �� ; *�� '� ( &� &� � ��'� � �*! ��� "& � 8 �$ &* $*! ��� "!� �$# !*$ �� 8 � ( &"$���� ; < � } < � ; ��� 8���!& "&" *& "& '$ � '�!# $ !, $'"$" ( & < &� � �*! ��� "& � 4 "& '$ )%!# &%$ ��!, !&�"� '$*��� *!"$ � �&*�!*$ "& �&)$%$*! ��� "& �$%!$6'&�� ( & < � 4 ��� ��� *����$��&� 8 &�&#�� ) &�

< �� � ; y� � y }�� 8���"��"& '$ *����$��& � #!"& &' ,%$"!&��& "& )%&�! ��� + � ; ya< D; �< �� y < �� ��� + 4 '$*����$��& &� !%%&'&�$��& 8 >� � )%!# &% &�� "!� 4 )$%$ # �$� �&�*!''&9 � )��&#�� ( & �� �&e$ &��$6'&*!"� � ,%$"!&��& "& )%&�!��&� &� '�� &,�%&#�� "&' *$�$' + *�� '� ( & < �� } � } �� ;*����$��& 8 �$%$ "&�&%# !�$% � %&*�%"$#�� '$� *��"!*!��&� "& *����%��

� �� } � ; } � �� } .� ; ��$ ��' *! ��� &� ) &�� �� } � � ;

�. }�� 8�-�&f &#)'� � ��)!*� "&' S� Q^U T� 8 "6� �&%�&�& '$ ��%# $ $"!# &��!��$' "&' %&� '�$"� + �� ;� �. + &� "&*!% � ; � &� '$ ���$*! ��� "& '$ �&**! ��� � 8t 8 >��& #�� !# !&��� �� "&) &�"&$)$%&��&# &��& "& � 4 &, !��& �$#6! �&� )$%$ '�� � !"�� �� � !�*���� 8 �$ "!�&%&�*!$ &��%!6$&� &' &�� &%9� ( & �& �&*&�!�$ )$%$ !#) '�$% &' � !"� 8 �$ # $�%!9 � 4 &' �&���% "& &�� &%9����� � ; / � ��.� � ��. � 0 } : ; / y< � �.� �. y< 0 }�� 8�t�

� ��;< ;95 �E ��� �� A �5<6:;95 �� 95�5: 9� � , � , � , �" �&&� � ����� ���� A < �;� 65�5 6�95 ?5: ���� �<? �5 9� �8�5 6�� ���9:�65 �

Page 127: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� 'AJB@@B * IAhCBJhKKB ��#$�%!*&� *����$��&� 8 �( �� �& ) &"& �6�&%�$% '$ )%�) �%*!��$'!"$" "& v �� %&�) &*�� $ �� +v �� ; ��� + "$�"� %$9 ��� $ uB*@Ai� 8� q� �1 � �� 'A&& hBi@B �B Ji �KJh�A % hC(ACA Bi Ji (LiLK �B �L&B�BC � h�LC �'LCA �L&L� AKh(A (Ai (L ��L �B �&BCh Ai �� 8 >� � *���&,�� �!# !'$% $' &f &#)'� $��&%!�%�& !#)��& � ,%$"!&��& "& )%&�! ��� 4 '$� )$%&"&� &�� �$� !�# ��� !'&� 8 !& *���!"&%$ )%!# &%� � � !"� *�#)%&�"!"� &� '$ %&,! ��� y� � � � � } y

�� � �

�� � *$�$'� 8 ���&��$%&#��

e$''$% '$ *�%%!&��& '$# !�$% &��$*!��$%!$ + &� "&*!% *�� �&'� *!"$"] ; �� } � }4 � �� "&)&�"& "& � 8 � %� *&"!&�"� *�#� $��&� '$� &* $*!��&� �& %&" *&� $

�� ; } < � ; ���� } < � ; }$e�%$ *�� *��"!*!��&� "& *����%��

� �� } y�� ; � �� } �

� ; ��$ ��' *! ��� &� ) &�< �� � ; y� � y } � ; ��� �

�� y � � � ��� 8���

>' ,%$"!&��& "& )%&�! ��� + � ; �a< � e$ "& �&% �� � '� 8 �$ *����$��& &� !%%&'&�$��& 8"6� �&%�&�& ( & &��$ ��' *! ��� &��$*!��$%!$ �& )!&%"& * $�"� � � 8�6 � ��#)$%$% *�� &' *$�� �� � !�*��� + >f &#)'� � 8t 8�*� � !�$'# &��& + *$'* '$% &' &�� &%9� *�%�$��& + v �� ; ��� + 4 "&#���%$% ( & &� # �$, !# ���6%& '$ )$%&" & !�"&) &�"!&��& "& � 8�$#�� $ $)'!*$% '$� !"&$� "& *$#6!� "& &�*$'$ )$%$ ��%# $'!9$% &' )%�6'&# $ 8 �# $#��*�#� )$% �$#&�%�� "&' *$#6!� '$ '��,!� " . ; �� 4 '$ �&'� *!"$" # �$, !# $ 8 d $*!&�"�

� ; � + � ; .� + < ; - �< 4 � ; - .��}

�&�&#�� ��"� %&" *!"� $ �$# $ !�� �!"$" . '$ &* $*! ��� &�&*�!�$ ��# $ '$ ��%# $�< ��

; ��� � ��

� � � } y �� � � � �� }4 '$ ��' *! ��� ��%# $'!9$"$ &�

� �� � ; �� y t� � � } < ; y ��� � �

�28� 9 ��5 ? ��E � ����� ��H �� �����H ��� �E � ��H � � MLK�� �� �F �H �E � 3 �� �� � � L�� �� � ��E �� �E �H � K��H� L� M � 3 ��3 �� ���H�M �� �E � ��M� �� �F �� �E �E � �E �E � 3 �� �� � �E � L�� ��� ��3 ��� ��� ��� �H � �H� �E �� �� ��:���� ��; � ��= �5:�6; �

�5 �=89 �;9; ?5: �� �������:5 ; ��< �;� � , �%��! A B�C� A J �� < ��9 �65:7 ����65 7:;�6 ��� � , �"+#� +��� A B��C �

Page 128: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �KJh�AC + hC(ACAC��B&( h( hA � ��� � � %�6'&# $ �%!" !# &��!��$' 8 ����!" �&%&�& '$ *�%%!&��& "& ��!�& !''& &� � � 6� "& �&**! ��� � + � $6!&%�� $*��$"� "& �� � 8 �#$�"� "& � &�� �$ �&'� *!"$"&��$*!��$%!$ "!%!,!"$ $ '� '$%,� "&' &f & "&' � 6 � + ( & �& e$*& *�!�*!" !% *�� &' &f & � + ] ;�� } } � + �& �!&�& ( & '$ �&'� *!"$" �$�!��$*&

� ��� � � { � ��

� � � ; y �� &� � }�� 8���"��"& � ; �a< � &� *����$��& 8 !& �!&�&� $"&# �$� *��"!*!��&� "& *����%��

� ; ��6%& �� �>� � �*!&�& &' �&�%&# $ "& &, !��&�*!$ 4 �!*!"$" "& ��' *! ��� )$%$ &��& )%�6'&# $ &� �$"&* $"� &�)$*!� � �*!��$' 8

�$� � &# ���%$% ( & &� &' *$�� "& �&**! ��� *!%* '$% "& %$"!� � �& �6�!&�&< �� � ; y� � y } � �� � ; �

t� �� � y � � y � � � ��� 8���>�*%!6!% '$ ��%# $ ��%# $'!9$"$ 8 ��#)$%$% *�� &' *$�� "& "!# &��! ��� �{ � + *� 8 �� 8��� 8� &�&%$'!9$% &' )%�6'&# $ $ "!# &��! ��� �{� )�% $�$'�, ��$ 4 &,)'!*$% * �$' &� '$ "!�&%&�*!$ &�'$ ��%# $ "& '$ ��' *! ��� 8

�6 � �$'* '$% &' " �&6!�� �*$��!"$" "& $, $ ( & $�%$� !&�$ '$ �&**! ��� )�% �!"$" "& �!&#)� �4 e$''$% '$ ''$# $"$ OQb VQ O^ c TPQR Z[^ ZX^U P^ "& d$,&�7��!�& !''& +

� ; ��G�<��� +�� 8���

"��"& *�� '$ ���$*! ��� � $' �< ; � � &� '$ *$ ��"$ "& )%&�! ��� &� �$ '��,!� " � �&� "&*!% +� �& !�$'$ � !�*%&# &��� 4 �� &' '$)'$*!$��� 8

�*� � &#���%$% ( & &' &�� &%9� ���$' *�%�$��& %&$'!9$"� &� '$ )$%&" &� )%�)�%*!��$' $'�$%&$ "& � �� �$'!"� )$%$ ,&�#&�% ��$� ,&�&%$'&�� 8 � ! ,&%&�*!$ D &�*%!6 !% &' &�� &%9� ��6%& '$)$%&" "& '$ ��%# $� ; : � p ; y< p { ���

���q� �

���&,%$% &� &' 6 �%"& 4 �!'!9$% &' �&�%&# $ "& � $ �� 4 '$ &* $*! ��� �� 8���� 8��B&( h( hA � �� � �KJ�A (A�� hiL�A �B 'AJB@@B�IAhCBJ hKKB � �$� � &# ���%$% ( &* $�"� &� � *$�$' "& $�*e %$ �� �& !#)��&� � ,%$"!&��& "& )%&�! ��� *����$��& 4 �$)$%&" � ) &%!�% # ��� !' *�� �&'� *!"$" �& �6�!&�& '$ ��' *! ���

� ; �� �� { �

�� { /� y � �

�� 0 } *�� ; /y .<.� 0 �

��� ��� 8� �

Page 129: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �KJ�A �B IAhCBJhKKB * @J&�JKBi( hL ���6 � � &#���%$% ( & )$%$ ; y ��t &' &�� &%9� *�%�$��& � ���� � &� *&%� &� '$ )$%&"!��&%!�% 4 ( & )$%$ � y ��t &, !��& � � f � !��&%�� ��^Z�T�� &� '$ )$%�& !� �&%!�% "&'*��" *�� 8 >��& �&� ��#&�� &� !�&��$6'& 8��B&( h( hA � ��� � ?AKJ( hAiBC iA % hC(ACLC * CAKJ( hAiBC KhiBLKBC �B u? � � &7#���%$% ( & '�� &f &#)'�� '!�&$'&� "&' *$) ��� '� $��&%!�% + &f &#)'�� � 8� 4 � 8� + ��� $ '$ �&9��' *!��&� "& '$� &* $*!��&� "& � $� !&%7!���&� + ) &� &' � �&%# !�� "& � !�*��!"$" �& $� '$ 8 !&'$� ''$# $ ��' *!��&� p1 - ./01/3/ 8

� &' # !�# � #�"� �& e$6'$ "& ��' *!��&� �.pq3 �q/ � p1 01p-q0s.-3/ "& �! * $�"� &'� �&%# !�� ] � a] �& $� '$ 8 d$''$% '$� ��' *!��&� '!�&$'&� &��%& '�� &f &#)'�� � !���� 8��% � '�!# � �$'�%& &' '&*��% '$ !�� &�*!$ "& '$ � !�*��!"$" &� '$� ��' *!��&� "& �� &��&

4 ��!�& !''& %&*! �&� � !��$� 8

� �� ����� � �������� � ����� �� ������� ��>' � f � "& ��!�& !''& "$ �$ %&�) &��$ # $�&# �$�!*$ $' )%�6'&# $ "& &�*���%$% �$ '&4"& �&'� *!"$"&� &��$*!��$%!$ )$%$ "&�*%!6 !% &' � f � "& � '��( !"� &� � � 6� %&*�� ) �%&f &#)'� 8 >� �$ *!&�*!$ $)'!*$"$ *�#� '$ # &* �$�!*$ '$ �&�% ��$ "&6 & $*�%"$%�& *�� '$ %&$'!"$"�6�&%�$"$ 8 � & e&*e� + �&$� �� !� , $%!& IAhCBJhKKB &�� "!$6$ '$ *!%* '$*! ��� "& '$ �$�,%&&� '$� �&�$� 4 $%�&%!$� 4 � � !��&��!,$*!��&� '& ''&�$%�� $ ��%# '$% '$� '&4&� "& *!%* '$*! ���'$# !�$% "& '�� � !"�� � !�*���� &� � 6�� *!'���"%!*�� �%$� �$ �&%!& "& &,)&%!# &��$*!��&�&�) &*!$'# &��& )%&*!�$� + &� )$%�!* '$% $ �&' �& "&6 & '$ '&4 "& '$ ) ��&�*!$ * $%�$ ���tt � 8�e�%$ 6!&� + &,)&%!# &���� *�� � !"�� %&$'&� &� � 6�� "&# &��%$� ( & &' � f � '$# !�$%&��$*!��$%!� "& �!)� ��!�& !''& �& �6�&%�$ )$%$ 6$f �� � � # &%�� "& �&4��'"� + # !&��%$� ( &)$%$ $'��� � � #&%�� '$ �!� $*! ��� �6�&%�$6'& &,)&%!# &��$'# &��& � !&�& "&�*%!�$ ) �% � �]� 1s]�] �qps1 + ''&�� "& ��%6 &''!��� � � ��%�!*&� + *�%%!&��&� "& &��% *� %$ # 4 *�#)'&f $ * 4��&f &#)'�� # �$� �!#)'&� &�� "!$%&# �� &� &' *$) ��� '� �t 8 >� � !%� " "& '$ �&�% ��$ "& �&# &f $�9$&,)'!*$"$ + '$ �%$��!*! ��� "& � % �&,!# &� $ ��%� � ��'� "&) &�"&% �$ "&' )$% �$# &�%� $"!# &��!��$'( & ( &"$ $' %&" *!% '$ &* $*! ��� + &� "&*!% "&' � � #&%� "& �&4��'"� �& + 4 �� "& '$ �&'� *!"$" +$�*e %$ "&' � 6� � � !�*��!"$" ��# $"�� �&)$%$"$#&��& 8 >� &' $, $ �$' �%$��!*! ��� �& "$e$*!$ �&; � ���# $�"� *�#� '��,!� " *$%$*�&% ����!*$ &' " ! �$# &�%� "&' � 6 �� 8 &�!&�"�&� * &��$ '$ � ��%# '$ "& �& 4 '$ � !�*��!"$" "&' $, $ )$%$ � � 6� "& �*# '$ �%$��!*! ����!&�& ' ,$% )$%$ � �� # ��&, 8 %$�& "& �6�&%�$% &' '&*��% &' )$�� $ � f � � %6 '&��� &� � ,%!�� "�# �&��!*� 8 �$ �%$��!*! ��� $' % �&,!# &� �� '$# !�$% &� �$#6! �&� "& ,%$� !#)�%�$�*!$)$%$ &' � f � �$�, ���&� 8

>��& �&� ��# &�� "& *$#6!� "& *�#)�%�$# !&��� + ( & �& "$ &� �!� $*!��&� # 4 "!�&%�$�4 �� � ��'� )$%$ &' � f � "& ��!�& !''& + �& "&�*%!6 & &� � �&%# !��� # $�&# �$�!*�� *�#� �!, & D &'� f � "& �!) � '$# !�$% �&� &��& *$�� &' � f � "& ��!�& !''&� &, !��& �$#6! �&� $ $'��� � � #&%��"& �&4��'"� + 4 &� !�*' �� '$ ��' *! ��� � �!*$ )$%$ "$��� 5f $"�� + ) &%� �� &� q/s3� �q $��& '$�# �$� # ���!# $� ) &%� %6$*!��&� + 4 )�% '� �$��� �� �!&�& %&$'!"$" ����!*$ 8 ��% &' *���%$%!� + )$%$

Page 130: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �KJh�AC + hC(ACAC�� #�"&%$"�� &' � f � '$# !�$% &� &��$6'& + � + "!*e� "& ��%� # �"� + ����!*� 8 �$ �%$��!*! ��� "& � #�"� "& &��$6!'!"$" $ ��%� �& "&��# !�$ � .�]030. 1p 4 &� �$ �&# $ "& &��%# & !��&% �&�&� '$ # $�&# �$�!*$ $*� $' 8 > ' � f � %&$' $ $'��� � � #&%�� "& �&4��'"� &� "& �!) � � %6 '&��� +" !���*!' "& "&�*%!6 !% # $�&# �$�!*$# &��& + 4 &� ��"� *$�� # 4 *�#)'&f � 8� �� � ����� ��� �� >�� "!$# �� $ *���!� $*! ��� &' #�"� &� ( & &��' *!��$� '�� � !"�� � !�*���� 8 � & � &��)$%�!# �� "& &f &#)'�� &� ( & �& $"# !�& '$ e!) ���&�!� "& O^` [R^U[V^V 8 , �$� )%&*!�$# &��& +�$#�� $ � )��&% ( & + &�*�,!"�� *���&�!&��&# &��& '�� &f &� *��%"&�$"�� + '$ �&'� *!"$" �&�%!&��$ $ '� '$%,� "&' &f & � + &� "&*!%

] ; �� } } � ��� 8-�� >� &�& *$�� �! *���!"&%$#�� � � !"� _[SZTST [R ZT`c UQS[�OQ 4 &� $ �&�*!$ "& � &%9$�&,�&%!�%&� �& �6�!&�& �$ *���!"&%$6'& �!#)'!5*$*! ��� "& '$� &* $*!��&� "&' # �� !# !&��� ( &)��& "& %&'!&�& &' Z^U \Z PQU V[WXS[ _T "&' # !�# � 8 � � �� + '$� &* $*!��&� "& �! &� '$� "!%&**!��&�� 4 � �& %&" *&� $ '$� &,)%&�!��&�

�<� �

; } �<� �

; }�� 8- ��( & !#)'!*$� ( & < &� � � �*! ��� "& � 4 � 8 ��% ��%$ )$%�& '$ &* $*! ��� )$%$ '$ *�#)��&��&� "$

��� � { � ��

��; y �- �<

�� { ��� }�� 8-��#!&��%$� ( & '$ '&4 "& *���&%�$*! ��� �& %&" *& $

����

; }�� 8--�( & ��� "!*& ( & � �� "&)&�"& "& � + � ; � �� } � } �� 8 >�*%!6!#�� $e�%$ �� 8-�� &� '$ ��%# $

��� �

y �/� ��� � � { � ��

� � � 0 ; y �- �<�� ��� 8-t�

� $"� ( & &' )%!# &% # !&#6%� �� "&) &�"& "& � 4 &' �&, �"� �� "&) &�"& "& � �! � *��*' !# ��( & $#6�� ��� � �!*$#&��& � �*! ��� "& � 8 >� %&� # &� �&�&#�� �$ � �*! ��� � �� } � } �� ( &�$�!��$*& '$ �!, !&��& &* $*! ��� "&' *$'�% D� �� �

y �/� ��� � � { � ��

� � � 0 ; ��� +�� 8-��4 �$ )%&�! ��� < �� } �� "$"$ )�% �- �<

��; y ��� ��� 8-��

Page 131: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� + hC(ACh�L� * �h�JCh Ai � >' �&, �"� # !&#6%� ^ZTc O^ $#6$� &* $*!��&� 8 �$ �&, �"$ &� � �$*!'# &��& !��&,%$6'& 4 "$

< �� } �� ; y ���- � { . ��� ��� 8-��� ! ! &, !��& �$ � &%9$ &,�&%!�% *����$��& � ; �3 � } 3� } 3� � &' %&� '�$"� &� �!# !'$% 8 �e�%$ '$�&* $*!��&� "& �! &� � 4 � "$� �$ "&)&�"&�*!$ &� $#6$� �$%!$6'&�

�<� �

; -3� } �<� �

; -3� }�� 8-��"& �!)� e!"%��� �$�!*� + *� 8 *$) ��� '� 8 �$ &* $*! ��� �� 8--� ( &"$ !��$*�$ �' &,� � ; � �� } � } ���4 ''&,$# �� $ '$ &* $*! ���

��� �

y �/� ��� � � { � ��

� � � 0 ; y �- �<�� { 3 � }

"& '$ ( & �& "&" *& ( &��� �

y �/� ��� � � { � ��

� � � 0 ; ��� }�� 8- �4

< ; - �3 �� { 3�� { 3�� { ���� � { . ��� }�� 8t�*�# � $��&� 8 �$� *��"!*!��&� "& *����%�� 5f $� � $'# &��& '�� �$'�%&� "& 4 . 8 >� # *e��*$��� �& �!&�& !�*' �� ( & ��� ; *�# � �$#�� $ �&% 8 ���"!*!��&� !� !*!$'&� 4 "& *����%��5f $� � 8� q� �1 � �� � A% h� hBi@A �KLiA �L&LKBKA (Ai �A&�B �A% h�A h��JKCh%L�Bi@B�I&A�KB�L �B �L*KBh�) � ����!"&%$# �� �$ �!� $*! ��� � �$��� &�( &# �$�!*$ + � � !"�� !�*��� !�*�#)%&�!6 '& e�#�, �&�&� 6!"!# &��!��$' &� � *$�$' e�%!9���$' "& 6$�& &' &f & �4 "& $'� %$ $ '� '$%,� "&' &f & � !�5�!�$ 8 >� &�& *$�� �& ) &"& � )��&% ( & )$%$ ,%$�"&�$'� %$� �� � � � '$ )%&�! ��� &� *����$��& + ' &,� ��� ; 8 >� &' # �# &��� !�!*!$' &' � !"�&�� �$ &� %&)��� ] ; 4 )$%$ � � &� $%%$��%$"� "&6!"� $ � #�� !# !&��� �!��%# & "&'� &'� &� "!%&**! ��� "&' &f & � � *�� �&'� *!"$" 8 &�&# �� ) &� ( & %&��'�&% '$ &* $*! ��� "&'*$'�% )$%$ � D ��

� �; � � ��� � ��� 8t ��

*�� *��"!*!��&� !� !*!$'&� "& %&)���� �� } � ; )$%$ � � }�� 8t��

4 *��"!*! ��� "& *����%�� !#) '�!�$� � } �� ; }�� 8t-�

$� �� *�#� '$ *��"!*! ��� �$� %$'� �{� } �� ; ��� 8tt�

Page 132: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �KJh�AC + hC(ACAC��B&( h( hA � �� � �$� � %�6$% �$ ��' *! ��� "&' �!) � ^XPTSQ` Q� ^R PQ

� �� } �� ; 3 �� ��� � � }�� 8t��4 e$''$% 3 *�#� ��' *! ��� "& �$ "�> 8 ���*' !% ( &

� ; �� y �� � � �� ���� �G. } � ; � � �� ����� ��� 8t��

�6 � � &# ���%$% '$ �!*!"$" "& '$ ��' *! ��� �6�&�!"$ 8�*� �$'* '$% '$ ��%�!*!"$" )$%$ � ; 4 )$%$ � � 8 ���&%)%&�$% * ��#� �& "!� �"& $ '�'$%,� "&' &f & � 8

� q� �1 � �� * ��B&( h( hA � �� � � &�*%!6 !% � #�� !# !&��� �!# !'$% $e�%$ *��5�$"� &��%&"�� )$%&"&� � ; & � ; � + *�� '$ )$%&" � ) &%!�% !�# ��� !' 8� ! ,&%&�*!$ D �&)$%$% '$ )$%�& &��$*!��$%!$ + � ; �� y �� �� �� + 4 ' &,� �!'!9$% �&)$%$*! ���"& �$%!$6'&� 8�� q� �1 � �� !& *���!"&%$ &' #�� !# !&��� "& � � !"� � !�*��� !�*�#)%&�!6 '& e�#�, �&�&�6!"!# &��!��$' '$# !�$% ��6%& � )'$�� !�*'!�$"� *�� �$�, '� "& !�*'!�$*! ��� %&�) &*�� $ '$e�%!9���$' 4 � &%9$ &,�&%!�% ,%$� !�$��%!$ � + $*� $�"� &� &' �&��!"� �&%�!*$' �&,$�!�� 8 >�$e�%$ *���&�!&��& ��# $% &' &f & � $ '� '$%,� "&' )'$�� !�*'!�$"� 4 &' � ) &%) &�"!* '$% $ �&'"& #�"� ( &

� ; �� �!� } y� *�� � ��� 8t����B&( h( hA � �� � >�*%!6 !% '$� &* $*!��&� )$%$ � 4 < &� &' &f &#)'� $��&%!�% & !��&,%$%'$� 8��B&( h( hA � �� � >�*%!6 !% '$� &* $*!��&� "&' � f � "& ��!�& !''& �� �� &��$*!��$%!� + %&��'�&%)�% �&)$%$*! ��� "& �$%!$6'&� *�� ,%$"!&��& "& )%&�! ��� *����$��& 4 "&#���%$% ( & )$%$� � � �& *���&%,& $ '$ ��' *! ��� &��$*!��$%!$ 8 ����$ D �6�&%�$% ( & &' �!&#)� &��%$ &� '$��%# $ � ���

� � 8 �>��$ &� '$ &�*$'$ "& �!&#)�� !��% ����&*$ $' )%�6'&# $ 8 >' )%�6'&# $ "& '$�&�*$'$� � "!# &��!��&� &� � �"$#&��$' &� '$� $)'!*$*!��&� 8� �� � ��� ��� �� �� �� ��� ��� ����� � ����� � ��������&��# $#�� &' &�� "!� "& '$� &* $*!��&� "& '�� � !"�� &� *��%"&�$"$� ) �'$%&� !�!*!$"� &�&' �$) ��� '� � + $)'!*$"� $e�%$ $ '�� � !"�� � !�*���� 8 �"&# �$� "& '� $��&� � !��� �&*&�!�$#��'$ &,)%&�! ��� "&' �) &%$"�% '$)'$*!$�� &� &��$� *��%"&�$"$� ( & %&� '�$ �&%

� ; �� �� �

/� �� � 0 { �� � � �

� � � +�� 8t��

Page 133: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �KJ�A �B 'AJB@@B ���* 4$ "&#���%$*! ��� "&f $# �� *�#� &f &%*!*!� $' '&*��% ��6� �&%�&�& ( & � ; a � a � 8 ��� &''�&� � �$*!' &�*%!6!% '$� &* $*!��&� "& � $� !&%7!���&� !�*�#)%&�!6 '&� + ( & )$%$ � &%9$ � ; ( &"$�

�������

�� �� � { �] � a �� � y � ��� ; y �- �<

� � { �/�� � y � �� � y �� � �� �� � 0 }

� � �� � { �] � a �� � { � �� �� ; y �-� �<

� � { �/�� � y � �� � { �� � �� �� � 0 }�� 8t �

"��"& %&*�%"$#�� '$ ���$*! ��� ] ; � �q � { ] �q � 4 &' �) &%$"�% ] � a � & *$'* '$"� &� &'>f &%*!*!� - 8� 8 d&#�� "& $ !�$"!% '$ '&4 "& *���&%�$*! ��� "& #$�$�- .-.� { �� �

� � ��� � � { �� �� �� � ; ��� 8��

��B&( h( hA � �� � %$����%# $% '$� &* $*!��&� "& �! "& '$ ��%# $ �� 8t � $ '$ ��%# $ �� 8t � 8� &6 & �& !�$'$%�& ( & '$ *�#)'!*$*! ��� $"!*!��$' "& '$� &* $*!��&� &� "&6!"$ $ '$ ��%# $ ( &��# $ &' � �&%# !�� "& � !�*��!"$" + ��] . &� &�&*�� + &' '$)'$*!$�� "& � *$#)� �&*��%!$' �!&�& �$ &,)%&�! ��� # 4 �&�*!''$ � ��'� &� *��%"&�$"$� *$%�&�!$�$� 8 ��#) �$%&��& '$� � ��%# '$��� 8-� 4 �� 8t � )$%$ � !"�� �� � !�*���� 4 � !�*���� %&�) &*�!�$# &��& 8� q� �1 � �� �KJh�A ( hK �i�& h(A �B 'AJB@@B 8 ��#� )%!�*!)$' &f &#)'� "& $)'!*$*! ����&$#�� &' # �� !# !&��� "& � � !"� !�*�#)%&�!6'& � !�*��� ( & �& e$''$ �!� $"� &� &' &�)$*!�&��%& "�� *!'!�"%�� *��* �&��%!*�� "& %$"!�� � � 4 �� + � � � � �� 8 > ' *!'!�"%� !��&%!�% &�� �$ &�%&) ��� # !&��%$� ( & &' &, �&%!�% �& # &�& *�� �$ �&'� *!"$" $�, '$% � 4 $%%$��%$ $' � !"�)�% � !�*��!"$" 8 ! !� $#�� ��� &f &� "& *��%"&�$"$� *�� &' &f & � $ '� '$%,� "&' &f & *�# � �"& '�� *!'!�"%�� 8 � $"$ '$ �!# &�% ��$ "&' )%�6'&# $ 6 �*$#�� � #�� !# !&��� *�� �&'� *!"$" ]�$' ( &

� � ; � ; } � � �; }4 )�% '$ # !�# $ %$9 ��� � )��&#�� ( & �! � � �! < "&) &�"&� "& � + '� ( & ��� %&" *& $ �#�� !# !&��� )'$�� &� *��%"&�$"$� )�'$%&� 8 �$ '&4 "& *���&%�$*! ��� "& # $�$ �!�*�#)%&�!76 !'!"$" � "$

�� �� � ; }�� 8���

'� ( & ( !&%& "&*!% ( & � � ; � � �� } �� 8 ��� &''� '$� &* $*!��&� "& �! �& %&" *&� $�����

�<� � ; -� � �� }� � �� � { �- � �<� � ; �� � �

� �/��� �

� � 0 y � �� }�� 8���*�� *��"!*!��&� "& *����%��

� � �� �� ; } � � ��� � ; ��� ��� 8�-�

Page 134: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� �KJh�AC + hC(ACAC�&#�� "& '$ �&, �"$ &* $*! ��� "& �� 8��� ( & �< �� � &� � �*! ��� "& � + '� ( & !#)'!*$ ( &< �� } �� e$ "& �&% "& '$ ��%# $

< ; < � �� �� { < � �� � ��� 8�t�� &6!"� $ '$ �!# &�% ��$ *!'���"%!*$ e&#�� "& %&�) &�$% '$ �� )&%!�"!*!"$" &� � )�% '� ( & < � �� �e$ "& �&% *&%� 4 *��*' !#�� ( & < &� � �*! ��� � ��'� "& � 8 � � �� ''&,$#�� $ �$ &* $*! ��� � ��'�)$%$ � � D

� � �� �

; �/� �� �� � � { �� �� �

� � y � �� � 0 ��� 8����&$# �� $e�%$ &' &��$"� &��$*!��$%!� 8 �>��& �& %!,& )�% '$ &* $*! ���

� � � �� �� � � { � �� �

� � y � � ; }�� 8���*�� '$� *��"!*!��&� "& *����%�� �� 8�-� 8 !& �!&�& '$ ��' *! ��� ,&�&%$'

� � ; � � { �� ��� 8����$� *��"!*!��&� "& *����%�� !#)'!*$� ( &

� ; �� ��� �� y � �� } � ; y �� ��� ��� �� y � �� ��� 8��� pq/s3� .�.232 2q �1]qssq��3� �1�� # �$� ���$6'& # $�&# �$�!*$# &��& "& &��& &f &#)'� "& #�� !# !&��� &� ( & )$%$ � ,%$�"&)!&%"& � &��$6!'!"$" �&� "&*!% '$ ��' *! ��� $��&%!�% &, !��& ) &%� �� &� &��$6'& $��& ) &7( & !�$� ) &%� %6$*!��&� "& '�� "$��� !�!*!$'&� � "& *����%�� + )�% '� ( & )!&%"& ��"� � �$'�% )% �$*�!*� � 4 &� � ' ,$% $)$%&*&� ��� e&%#���� _ \TU P[ZQS VQ �^b OTU ��L*KA& + � �-� +( & ��� #�� !# !&���� %&, '$%&� 4 $, !�!# �&�%!*�� ( & %�#)&� '$ �!��%# !"$" &� '$ �$%!$6'&� � �!��%# !"$" ( & �����%�� e$6 ��$#�� 6 &�$#&��& � ) &��� 4 ( & �& �6�&%�$ )$%$ �)&( & !��� 8 >���� � ��%�!*&� %&)%&�&��$� � !��&%&�$�� ���!# � *$�� "& �[W XUZ^Z[ \TR # $�&# �$�!*$4 *$#6!� "& &��$6!'!"$" + �� "& '�� #�#&���� "& �&'!9 *��f �*! ��� "& '$ ����!*$ 4 '$� # $7�&# �$�!*$� 8 �$ �&�% ��$ #$�&# �$�!*$ &�� �$ &,) &��$ &� '$ %&*!&��& # ���,%$���$ "& ')ACCL@ 4�AACC + �� �� 8��B&( h( hA � � � � �$� � &#���%$% ( & '$ ��' *! ��� "& �� &��& )$%$ "$��� � � ; � �� � &�� ; � � 4 � � ; � ��� &� � ; �� � !&�& "$"$ )�% �� 8��� *��

� ; � �� �� y � �� ��� �� y � �� } � ; �� � y � � �� ��� ��� �� y � �� ��� 8� ��6 � �$'* '$% '$ )%&�! ��� *�%%&�) ��"!&��& 8

Page 135: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� ��� ' LK(JKA �B KL �&BCh Ai ��-�*� �$'* '$% &' '��#!�& � � � �*�� �� � 5f � � & !"&��!5*$% &' �!) � "& � f � �6�&�!"� +*�� �%���$�"� *�� &' &f &%*!*!� � 8� 8�" � d$''$% &' '��#!�& "&' � f � "& �� &��& &��%& *!'!�"%�� * $�"� �� � � *�� � � ; �� � )$%$� � + � � 4 � � 5f �� 8 ���&% � � ; 4 �6�&�&%

� � ;� �� ��� }�� 8��

( & &� � #�� !# !&��� *!%* '$% !%%��$*!��$' + ( & �& �6� �� &� &' &f &%*!*!� � 8� *�# � � � f ��� � !�*��� + '� * $' ) &"& )$%&*&% ��%)%&�"&��& 8 >��& � f � &� "& ,%$� !��&% �&� �& ��%!*� 4�& &�� "!$% �$ &� "&�$''& &� &' *$) ��� '� �t "&"!*$"� $' '$ ��%�!*!"$" 8 ���&��!, & &' '&*��%'$ %$9 ��� )�% '$ ( & $)$%&*& '$ # !�# $ ��' *! ��� &� � !"�� � !�*���� 4 �� � !�*���� 8 �>�)��!6 '& %&'$*!��$%'� *�� &' e&*e� "& ( & &' �) &%$"�% "&' �&, �"� # !&#6%� "& �� 8��� �&$)%&*!�$# &��& ..� /�� ..� ��� �0 } �$ * %!��$ �$%!$��& "& '$ &* $*! ��� "& �$)'$*&��&� d$*&% �� ; � � { � 4 *�#)$%$% &' '��#!�& � � � � *�� &' >f &#)'� � 8- "& '$ �&**! ��� � 8� 8

� ��� � ������� � �� ���� �� � ���� �������� ���>� '�� � !"�� !�*�#)%&�!6'&� + �$��� ) &%�&*��� *�#� � !�*���� + &' ,%$"!&��& "& '$ )%&�! ��� �&) &"& &,)%&�$% $ )$%�!% "& '$ &* $*! ��� *�#� � �*! ��� "& '$ �&'� *!"$" 8 � & e&*e� + *���*!"$'$ �&'� *!"$" + &' * �$'* '� "& '$ )%&�! ��� �& %&" *& $ e$''$% �$ � �*! ��� )��&�*!$' 8 > ''� ) �% �$ )$%�& �!# )'!5*$ &' )%�6'&# $ + 4 ) �% ��%$ %&�&f $ � e&*e� # �$� � �"$#&��$' ��6%& &'( & &� )%&*!�� !��!��!% + *�# � e$%&#�� &� ��� ) �$%%$��� 8! )��!&�"� + *�#� e&#�� �&�!"� e$*!&�"� + ( & '$ "&��!"$" !�!*!$' &� *����$��& + '$"&��!"$" )$�$ $ %&)%&�&��$% � )$% �$#&�%� + *����$��& &� '$ &��' *! ��� 8 ��� ( &"$� ) &�'$� � { � &* $*!��&� "&' �!��&# $ "& > '&% �� 8�� �*$�� ) &%�&*��� � "&' �!��&# $ "& �! �� 8 ��*$�� � !�*��� � )$%$ ] 4 < 8 ��$ # $�&%$ &�&*�!�$ "& *$'* '$% '$ )%&�! ��� < &� � �*! ��� "& '$�&'� *!"$" *���!��& &� $)'!*$% &' �) &%$"�% "!�&%,&�*!$ &� '$ &* $*! ��� "& > '&% "& �� 8�� � &� '$&* $*! ��� "& �! "& �� 8 � 8 � $"� ( & a �] ; + �$#6! �&� �& $� '$� a � ��]�� �� ; a ��] ; +' &,�

�< ; y- a � �] � a] � }�� 8� ��d&#�� � ) &��� � ; )�% �&�*!''&9 + ) &%� '$ � ��%# '$ ( &"$ !, $' �! � &� � %��$*!��$' 8��� *$#6!�� )$%$ � ,&�&%$' ��� !�#&"!$��� 4 �� $'�&%$� '$ !"&$ "& '� ( & �!, & 8 ��$ �&9&�&*� $"� &' * �$'* '� "&' �&, �"� # !&#6%� �& �6�!&�& '$ &* $*! ��� "& '$ )%&�! ���

y�< ; - ~w �x � �w

��x��x��w

; - �a] � D �a] �� ; ���� ��a] �� � ��� 8���

Page 136: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��t �KJh�AC + hC(ACAC>��$ B(JL( h Ai �B IAhCCAi "&�&%# !�$ '$ )%&�! ��� �$'�� �$ � �*! ��� $%# ���!*$ 8 �$%$e$''$% �$ ��' *! ��� � �!*$ ��$'�� �$ *����$��& + *�#� &� �$� %$' &� '$ )%&�! ��� � �& %&� &'�&*�� $)%�)!$"$� *��"!*!��&� "& *����%�� &� &' 6�%"& "&' "�# !�!� 6$f � *���!"&%$*! ��� + �� 8! ! ��# $#�� '$ *��"!*! ��� &�� �$�"$% ] � p ; � }�� 8�-�&����*&� "& '$ &* $*! ��� "& > '&% �& "&" *& ( & ��6%& �� �& �!&�&

y �<�p

; ya< � p ; - p � �] � a] � ��� 8�t�>� &' *$�� "& � )&%5*!&� )'$�$� �&� ( & p &� *����$��&� &��$ � ��%# '$ �& �!#)'!5*$ &� '$ � $' *��"!*! ��� e�#�, �&�&$ "& � & # $�� + ) &� &����*&�

�- �<�p

; y ��] � a �] � � p ; y �] � a ��� ; y���� ; &� �� ��� 8�������*!"$ ] + &' )%�6'&# $ "& � & # $�� �� 8���7 �� 8�t � )&%# !�& &,)%&�$% < *�# � � � �*!��$'�� '� *$' "& '$ *��5, %$*! ��� "& �&'� *!"$"&� &� &' # !�# � !���$��& # &"!$��& '$ � �*! ��� "&� %&&� *�%%&�)��"!&��& 8 > ' �&, �"� # !&#6%� �� #� �&%# !�� � &��&$ � &� �� 8��� &� � �*! ���"&' ,%$"!&��& "& �&'� *!"$"&� 8 >� ��%# $ # �$� '!�&%$%!$ ) &%� # 4 "&�*%!)�!�$ )�"&#�� "&*!%( & '$� �$%!$*!��&� "& �&'� *!"$" �& *�#6!�$� *�� '$ *��"!*! ��� "& !�*�#)%&�!6 !'!"$" )$%$�6'!,$% $ '$� )$%� ��* '$� $ &#) f $%�& �$� $ ��%$� �; e$*&%�& )%&�! ��� � #6 �*$�"� &�)$*!�$ 8>��& &�&*�� &� !���$�� �$�&� &� � &��%� #�"&'� �'$ &* $*! ��� ( & "$ < &� � �*! ��� "& '��,%$"!&��&� "& ] &� &'��)�!*$ + �� !�*' 4& "&%!�$"$� �&#)�%$'&�� 8 !& !�� 4& $� �� ( & &� '��� !"�� !�*�#)%&�!6 '&� '$ �$%!$6'& � �"$#&��$' &� %&$'# &��& '$ �&'� *!"$" 4 '$ )%&�! ��� &� �$ &�) &*!& "& �$%!$6'& $ , !'!$% !# ) &��$ ) �% '$ &��% *� %$ "& '$� &* $*!��&� 8

>� &' *$�� "& �! + '$� *��"!*!��&� "& *����%�� "& �� "&�'!9$# !&���] ; ��6%& �� }

f ��� *�� '$ &* $*! ��� �*�� � ; � "$� )$%$ � 6�%"& )'$���<�p

; - � p � �] ��6%& �� ��� 8���$#6! �&� �& ) &"&� ��# $% "�# !�!�� &� ��%# $ "& )$%$'&'&) ��) &"� *�� *��"!*!��&� "&*����%�� )&%! ��"!*$� ��6%& ] 4 < 8

��B&( h( hA � � 8 �$� ��#)%�6$% &' # �&��"� "& * �$'* '� "& '$ )%&�! ��� $ )$%�!% "& '$ �&'�7*!"$" &� '�� &f &#)'�� "&' *$) ��� '� )%&*&"&��& 8 �6 � ��"&# &� '�� &f &#)'�� "& '$� �&**!��&�)%&*&"&��&� 8 "6�&%�$% )$%$ &#)&9$% ( & < &� �$ � �*! ��� $%# ���!*$ 8� ��� ����� � ��� ��� � � ��� ��� �� � ��� ���� ����d&#�� "!�* �!"� &� &' *$) ��� '� � &' )%�6'&# $ )'$��&$"� )�% '$ *�&, !��&�*!$ "& "�� � !"��!�# !�*!6 '&� &� � # !�#� ��' # &� 8 ��� '$� ���$*!��&� &#)'&$"$� $'' �� �& �!&�& ��6%& '$

Page 137: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� ��� �BA& �L �L@B� L@h(L ����%���&%$ '!6%& � ��� !" �&��!*$ '&4 *!�&# �$�!*$

] � ; ] � } ]w � p� ; � � ��6%& � ��� }�� 8���)&%� $e�%$ &�� �$ � )'&# &��$"$ )�% '$ !, $'"$" "& '$� �&'� *!"$"&� �$�,&�*!$'&� �RT SO[cZTRV[ P[TR � �] � y ] � � ��$�, ; ��6%& � ��� ��� 8���( & )%�� !&�& "& '$� *��"!*!��&� "!� �$# !*$� 8 �>��$� ��# $� '$ ��%# $ "& *���!� !"$" "&&�� &%9�� ��%# $'&� ��6%& � ��� D

� � � p� y � � � p� ; � �� p� }�� 8� �( & �& �%$" *& &� '$ &* $*! ��� "& *���!� !"$" �!, !&��& D

< � y < � y �� �� � y �� � p� ; � � ��� 8��� !�$'# &��& + &� )%&*!�� $ !�$"!% '$ !, $'"$" "& �&#)&%$� %$� $ �%$� �&� "& '$ �%���&%$ '!6%& +$ �( & �&��$� �� f &, &� � )$)&' !#)�%�$��& &� '�� � !"�� !�*�#)%&�!6 '&� 8

���� ��� � ���

� ��� � �� �� ��� �� � �� ���� ��� � ���� �������� )%�6'&# $� # $�&# �$�!*�� 6 �$�!*�� )$%$ &' �!��&# $ "& �$� !&%7!���&� *�� $"&* $"$� *��7"!*!��&� !� !*!$'&� 4 "& *����%�� ��%# $� �� "& '�� �&# $� "& !��&��!,$*! ��� # �$� $*�!��� "&')%&�&��& �!,'� + �%$� '$ �6%$ � �"$#&��$' "& �BLi �B&L* 8 �>��& )%�6 �� &� ��& �� �� --� ( &&' )%�6'&# $ "& &��' *! ��� *�� $"&* $"�� "$��� !� !*!$'&� %&, '$%&� �!&�& �$ ��' *! ��� � �!*$&� &' �&��!"� *' �$�!*� " %$��& � "&�&%# !�$"� �!&#)� + � � � � + "��"& � "&)&�"& "&'�� "$��� �&' �!) � "& %&� '�$"� %&* &%"$ $' �&�%&# $ "& &, !��&�*!$ "& >�� � "& 'LJ()*4 �A%LK B% C�L*L � 8 �$ * &��! ��� "& �! &��$ ��' *! ��� �& ) &"& � �� *���!� $% &� &' �!&# 7)� )$%$ � � � � + &� "&*!% �! &� ,'�6$' + &� �� "& '�� ,%$�"&� )%�6'&# $� $6!&%��� "&'$� # $�&# �$�!*$� �� UT�OQ` ^ VQ c UTOTR�^�[O[V^V VQ STOXZ[TR QS ZO \S[Z^S VQ O^ QZX^Z[ \TR VQ� ^_[QU�� PT�QS� 8��� �%���$"� *�� &��$ "!5* '�$" �B&L* !��%�" f � &� ��&-� + � -t + &' *��*&)�� "& /1��]0. 1p 2 q� .� &� '�� &�)$*!�� "& &�&%, ��$ ( & e�4 ''$# $#�� "& ? A�AKB% 8 �$ �&�% ��$ e$�!"� &'$6�%$"$ )�% # $�&# �$�!*�� *�#� � � A�� �d� � + " 8 � 8 �L�*)BiC�L*L ��L � � �?B&& hi �?�� � � � � � hAiC 4 � � I&A�h ��I � + � � �L@A ��L � 4 ��%�� # *e�� 8

�&� '�$"�� �$�!��$*��%!�� &, !��&� )$%$ &' )%�6'&# $ "& &��' *! ��� &� 21/ 2. qp/.1pq/&�)$*!$'&� 8 >� &�&*�� + "$"�� "$��� $"&* $"�� Q� [S PQ XR^ \XR[Z^ /1 �]0. 1p 2 q� .� �XQ QS

Page 138: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� �KJh�AC + hC(ACAC�OT�^O QR QO P[Q`c T b P[QR Q XR^ Z[QU P^ UQ� XO^U[V^V )�% '� ( & �& "&��# !�$ /1 �]0. 1p�]qsq 8 ��� "$��� %&, '$%&� '$ ��' *! ��� &� *' �$�!*$ 8

��% &' *���%$%!� + &� 2. qp/. 1p sq/ 4 6$f � '$� # !�# $� e!) ���&�!� �& "&# &��%$ ( &Q� [S PQ XR^ STOXZ[ \TR V \Q�[O M NS P^ STOXZ[ \TR QS WXQU PQ S \TOT OT Z^O` QR PQ QR QO P[Q`c T M � [QR PU^SQ� [S PQ O^ STOXZ[ \TR WXQU PQ QS \XR[Z^ m c QUT SQ VQSZTR TZQ S[ O^ STOXZ[ \TR V \Q�[O QS \XR[Z^ M � QVQSZTR T ZQ QR c ^U P[ZXO^U S[ SQ � QR QU^R V[SZTR P[RX[V^VQS QR P[Q`c T �R[ PT 8 >� � �� � 8� 8 'L��L&BKKh � � �A)i 4 � � uh&Bi�B&� "&' �� %$�� ����!� �& "& � &�$ ��%� +"&# ���%$%�� ( & &' *��f ��� "& �!�, '$%!"$"&� &� &� ��"� *$�� ) &( & !�� + ���� � 8 , �$�*��*%&�$# &��& "&# ���%$%�� ( & O^ ` QV[V^ XR[V[` QRS[TR^O m QR QO SQR P[VT VQ LJC�A&�� mVQO ZTR� XR PT VQ c TS[�OQS S[R� XO^U[V^VQS QS ZQUT + '� ( & !#)'!*$ ( & �$' *��f ��� �! &, !��&�� ) &"& *���&�&% �!�, �$ '���&$ 8"6�&%�&# �� ( & '$ )%&�&�*!$ "& &��$� �!�, '$%!"$"&� � & *��f &� %$"$ )�% �B&L* *�#�)��!6 '& &,)'!*$*! ��� "&' �&� ��# &�� "& '$ s]�] �qp0.3 8 !&, � � &��$ e!) ���&�!� + !�*' �� )$%$"$��� %&, '$%&� '$� ��' *!��&� &� �%&� "!# &��!��&� ) &"&� "&�$%%�''$% &� � �!&#)� 5�!���!�, '$%!"$"&� &� '$ ��%# $ "& ) ���� "��"& '$ ��%�!*!"$" y�� ; ��� �] � �& e$*& !�5�!�$ 8> ' )%�6'&# $ &��$*!��$%!� �� �!&�& �&*&�$%!$# &��& ��' *! ��� � �!*$ 8 �� )%�6'&# $ "& ,%$�!��&% �&� )% �$*�!*� &� &����*&� &' "& "&�&%# !�$% ( �& ��' *!��&� &��$*!��$%!$� ��� q/s3� �q/$��& ) &%� %6$*!��&� "& '�� "$��� 8 �� )%�6'&# $ %&'$*!��$"� + "& ,%$� !��&% �&� 4 $*� $'!"$" +&� &' "& e$''$% 01p� ]ps1/ 3s30s1q/ "& ��' *!��&� + &� "&*!% �$'&� ( & '$ ��' *! ��� "&')%�6'&# $ "& &��' *! ��� *�� *!&%�� �!) � "& "$��� *���&%f $ e$*!$ &�& *��f ��� + ��%# $"� &�&' # &f �% "& '�� *$��� )�% �$ � �$%!$� ��' *!��&� &��$*!��$%!$� 8 >� &' ) &�% "& '�� *$���&��& *��f ��� &��$% �$ *���&�!"� &� � �$%!&"$" "& "!# &��! ��� 5�!�$ 8�$ !� ��%# $*! ��� $��&%!�% &�� �$ ��# $"$ &� � # $4�% )$%�& "& � 8 �B�L� �& �� 8 �$%$ �&�� "!� $�$�9$"� �&% �$#6! �&� '�� '!6%�� "& �B�L� �&�� 4 'AiC@Li@hi��AhLC ���� � 8

�� &�� "!� # $�&# �$�!*� $*� $'!9$"� �& e$''$ &� &' '!6%� "& I � � � � hAiC ���� � 8

� ��� ����� �� � �� � ��� ���>�� "!&# �� *�� $', � � "&�$''& '$ �$%!$*! ��� "& '$ &�&%, ��$ )$%$ � � !"� � !�*��� !�*�# 7)%&�!6 '& + !��&��!,$*! ��� ( & *�#� e&#�� � !��� �� &� �&*&�$%!$ )$%$ )'$��&$% &' )%�6'&# $e!"%�"!� �$# !*� + ) &%� ) &"& �&% � !#)�%�$��& � �!' # $�&# �$�!*� $ '$ e�%$ "& %&��'�&%'� 8 �$�$%!$*! ��� "& &�&%, ��$ !��&%�$ $* # '$"$ &� � "�# !�!� # $�&%!$' � � � !&�& "$"$ )�%

..� � w� � ; �� .� { �� �� y �� � � 2� ��$'* '&#�� '$ )��&�*!$ "& $*�)'$# !&��� ��&**! ��� t 8�� 8 !& �!&�&

; : D � ; y< � �� ] � { � � �� ] �� { �� �� D � � }

Page 139: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� ��� +L& hL( h Ai �B KL BiB&� �L ���( & &� � !%� " "& '$ !�*�#)%&�!6 !'!"$" ( &"$

; �� ~w �x �� wx �� ; �� � D � ; �� �� �� ��� 8�����#� &��$ *$��!"$" %&)%&�&��$ '$ "!�!)$*! ��� "&6!"$ $ &�&*��� "& �%!**! ��� + �& "&" *& ( &&' *�&5*!&��& � e$ "& �&% �� �&,$�!�� 8 � & e&*e� &��$ � ��%# '$ ) &"& �&%� !% "& "&5�!*! ���"& � 8 >� &' *$�� !�*�#)%&�!6 '& '$ � �*! ��� � &'& ''$# $%�& WXR Z[ \TR VQ V[S[c ^Z[ \TR 8 , !"&) &� �$ &�&%, ��$ )&%"!"$ !%%&�&%�!6 '&# &��& )�% &' �!��&# $ 8

� &�&*��� "& *�#)'&�!� " �6�&%�$#�� ( & '$ �$%!$*! ��� "& &�&%, ��$ ���$' � !&�& "$"$ )�%..� � ��� ; �� �� } ] { � y �� � � .� { ��� � } ] .v }�� 8���

*� 8 �t 8�� 8 > ' � '�!# � � �&%# !�� �& "&�*�#)��& &� '�� � !"�� � !�*���� &� �%&� � �&%# !��� "&&�&%, ��$ &� &' 6�%"&

� } ] ; y< p } ] { �� � p } ] ; y< p } ] { � �a] � p } ] { �a] � ] } p }� �!'!9$�"� '$ !�*�#)%&�!6 !'!"$" &' )%!# &%� "& &���� � �&%# !��� "$ !��&,%$' y � a< } ] .� 8$#6! �&� �6�&%�$#�� ( & '$ &�&%, ��$ *!� �&�!*$ �$% ��$ "& $* &%"� *�� '$ � ��%# '$ ��&% �t 8t ��..� � �w� ; �� � } ] .� y � a< } ] .� { �� �� �� � } ] .� �� �!'!9$�"� '$ !�*�#)%&�!6 !'!"$" &' � '�!# � � �&%# !�� "$� �� �] } ] .� ; � ��� �a] � p } ] .v y � �� �a] �� .� �� & &��$� � ��%# '$� �& "&" *& ( &

�� �a] �� .� ; � �� �� �� .� y ��� �a] � ] } p .v ��� 8���

��B&( h( hA � � � � � $% �$ "&#���%$*! ��� "!%&*�$ "& &��$ � ��%# '$ 8 � &#���%$% ( & )$%$*��"!*!��&� "& *����%�� � '$� �& �!&�&

�� �a] �� .� ; � �� �� �� .� ; � �� �� �� .� }�� 8�t�( & &� �$ � ��%# '$ "& &( !)$%�!*! ��� "& &�&%, ��$ &��%& '$ )$%�& "!'$�$*!��$' 4 '$ %��$*!��$' 8�>��$ � '�!# $ + '$ )��&�*!$ "& %��$*! ��� + �� �& �%$����%# $ &� &�&%, ��$ !��&%�$ 8

Page 140: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� �KJh�AC + hC(ACAC� ��� ����� � � ���������� �� �5������� �� � ��������� �� �� ����� ���������� �� ��5��� ���� ��� ���5����������������� �� �� � !"��� #�� ������ ��� �����" �� �����"9�� : ���� ����� #�� �� �� � ��"�9 a] 8>� !�"������" $ �� �� �5������ ��� #�� ��� � �� �� � ���� ��� ���5������ �� !"�! �"�������������"� : 4 � 8 �� !"�!�"���������� �� � ���5���� �� ��� � #�"����� ��"������ �� ��� ���57%�"������� �� #������ $ ���� ��� ��� ��""������ �� ������� & '��������� $ �� (�� ! �"� ��� ��� ����� #�� � ! �"�� ����� 8 >� �� ���� #����� � �� ��& �� �� !������� ���"�� �� 8��� �������� ��!"�! �"���������� �� � "��! ���� � �< ��� �����" �� G � ��� � 8 > ��� !"�!�"���������� e� �����6��"���� � ! �"�� ������ ���� �� ��""������ ��� ���"�� !�"� ��� %"�� ��"����� �� �#�(������"����"��� �� 6�f � ! ��� ��������" & !�"� �� ��!��� "��%� �� ���� ������� 8 � � � ��� �����!� �� e����� ����"����� "����� (�� �� �6 ������ � ���� ���!�"��� ����� !"���"��� $ ��7�� !����"�� & ! ��#���"�� ����"��� 8 ���� ������ $ �� (�� �� ���������� ] � : �� �� ���!�� $�� ����� ���� %�� #�"���� ���� p) pqrs)p *+p), 8

"���"���� !�" ��� !������� �� ������ �����!"���6 ��� 8 ��� ��"� � ���!�� �� ��" �� ������������ �� � �"�� #�� �� �� ��""����� ��� ���" �� ������� 8 >� ��� ���� �� ��-�� � ��� � ��"����� #�� � ; | ��. }�� /�0������ �. ; . �� �� %"������� �� ���� ������� / �� ����� �� ���������� ��" #� �(� #�� !�"��� (�� � ��� ����� #�� �� . $ � ; � �. � ��� /���d �& ��� ��! �� !"����!���� �� ������ �� ����������� �1��"����� / ��� 2*�+s+psq, $ !�"� ��������� .�.. � }�� /���& ��� ,q]2)� � +,s *3), $ (�� ��"�-��� .�.. � ��� /���! � !"�! ������ ��� ��& �� ��! � !�������� $ � �. � 4 5 . � $ �������� | �� 4 5 . �� � & �� ������� ���������� �� � 4 $ ��������� �� � � & �����!� #������ �� y � � � � / 6��"� ��� � �7��"����� "����� ��� ���������� ��� ���! �������� �������"���� �� � #������ & �����!� #������� ���!��#���"�� / �� ���� � #�� ��� �� !������ ��� ��� ���� ���� �] *2), E �8*2), 9 *,3)� � +,s *3),H2q :*p8�+ �� ��� (�� �� ��! �������� . � | �� �� �� ��"� �| �� �. � 4 ; � �. { < �� . � }�� ����"���� � } < � �� . 4 ��� /�=�

6� ����� ���-������ < �� ���� � X` �U^O VQ c O^S P[Z[V^V / ������ !��� ��� ����� #�� �������7����� / ��"� ��� ���� ��""��!���� � ��� �" !������� � { � 4 �� ��� ������ �����!� #������� /��� ���" #�� %���"�� �������� �� ������ ����� e��e�� � !�"�� ������� �� ��1 � � �> hi>&& � h%Khi $ (�� �������� ��� ����������� (�� e� �� ��"�-��" ��� ��& !�"� ��" ���!���1��

Page 141: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� ��� �KJh��� i� i>���ihLi�� ��=��� �� %��� ��" #�� ����1��� �� �f ��� & ���%�� � �� �������� #�� �� (�� �� �����" ���� ��� #�"����� ��� ����� #�� !���1 ��� ���� �� ������ �� � $

| 4 � �� � ��� /��������� ������ ���� ��� e��e�� �� �� ����� #�� � /� ������ � ��� ��!�������� �� �� ��"� �

� �� � 4 � � �� �� } � � �� �� { � � �� �� } � � �� ��� ��� /� ������� �� ����%�� !�" �� $ � �� � � � �� ��� ����"������ ��� #��"���� ��� �����" � / ��� ���������� � & � � ��� W XR Z[TR QS ` ^ PQU[^OQS $ �� �� ������� �� (�� ������-��� �� ����� �� � ����"7� �� ��� ��! �� #�-�� ��� (�� �� �"��� / ��� ������ ����������� �����!"���1��� ������ � � 4 ��& � � 4 / !� ���� �� ������ pqrs)p *+p), 8qpq+ �*�+2), �(������ �� (�� �� ��& ��� � ����"� �

| 4 �� �� �� }�� /��������� � �� ����"������ 4 yt � �� 4 � �� ��� � 4 � � � � ��� /���

� � ���� ���� �� �� ����� ������ �� ������� � �������� ��� . � / "1������� �� #� �� ��%�" ���� /=� �� ������ #�� �� � �� ��"7!����� ��� 2*�,* )p p) �*pq+ �

- /�� � { � � �0 4 �� � �� �� �� � � �� � � ��� /������ ��� ��& ��!� ! ������� $ � �� � 4 5 �

�$ ���������� �(������ � � 4 $ � �������� � � � & �����!� #������ � � � / � ��"��� ���� ��� ��& !�������� �� �� ��!����� ����� & !���� ��"

� #����� �� �� !" #������ � #��� �� �� "��%� ����"� ����� �� � / '�"� ��� ������ �� � ��%��� ���� � �� ��"� � ; � 4 ��� �< � ����� �� � � � 4 � � � � � < � �� � 4 ��� /�0�

�1� #�"���� (�� �� %���"�� �� ����� #�� �� ����!��� #�� ��� � �� ��"� �� � � 4 � � � 4 �� �� �� � � 4 � �� ����� /���

6� ����"������ ����" (�� �� ����� #�� �� ����!��� #�� �� �� ����� �� � ��%��� �� �� �������7����� $� � � 4 < � ��� � ���� /���

�!>"�#$%�� & ��� ����� !"��������� ��%��� 1 #������ ���� �� �� �� '�() ����� �� �����"!���� ������"�" � #�� �� ��"� ��� #�� / '�"� ��� ������ �� � ��%��� ��" '*� ) $ (�� � !����� #��� ����� !"�1��� �� ��� ��������� ������������� �� "�������� �������� �� ���" #�� ������%�������� ��"���������� /

Page 142: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� %��� � %��������� !"�������� #�� ����"������ �� �� ���"������ #�� �� �� � ��������� �� ������ !���� ���7�����"�� �� �� �� �� �� � & �#��� >"�#�# '� ) $ (�� !"�!��� ���������� ��� � #�"� ��� ��

� ��������� �� "����!������ !�"��

���� � � � � ��� /���

��� ��������� � � ��� ��! � � � 4 �� � �� ��� ��� � �� ���� / ���! #�"��� ��� �� ��! � ����"��" /6 ����� ��"�� ��! �� �� ������ �� ����������� ��� � �(� #����� (�� �����&�� ������� ������"�� ������� ��� ����"�� ����������� $ � ���� �� #�������� / '�"� � #�� �� ��"� ��� #�� "���"�7��� �� �����" � �� ����"���"� /���� � �� �� �� � ��� �����

� >$� %� %� ! "#$ / %�& 6� � #�1��� �� ��� ��""����� ��� ���" �� �� ��1� ��� #'��"��� �� ����� #��( $ �� ��� ���� ������� ��� !���� %�� )"����"� "�%���" � �� � ���� "�%���" � �"����& $ ��!���� �������" ��� ��� ) #�"���� ��� ���" � �� �� *�%��7'��������� $ + /�, $ ! �"� ��� ���"����! �������� �� �� )�"� � ��� ���� $ - 4 - %(& / 6 !������" ��� ��! �������� /%1 & * �-����� �� �-����� � ��" #������ �� ��� ����� #�� ( ���� �� ��������

. %( & 4 - %(&- %/ & ������ / �� �� � ���� ��� �� � ��� � #�"�� (�� ( / �������" . !�"� �� ����"��� & �� "��� #��%����� ����� 0 & 1 /

%�& '"�1��� � �� �!��� ����� #�� � �� �-����� #�!��� � �� �1����� �� & ���� �� ( �� �� ����� �� � . � 2 �� ( �� �� �� ����� / '3������� #�� � ���� �� ��� �� ��� !"�1��� �� ���� ����� ! �"��� � ���� #������ ���� !"�1��� �� ���! �"�� #��"���� /)� >$� %� %� ! "#4 " �������" �� ! �"- � �� 5��� ������� �� �� ��""����� ��� ���" �� ������� !�"��� ����� �� ���������� ��� ��! �

� %. & 4 5 �. �6��. � 7 84 2 �* ���" �� � ���� �9 �"����� �� �� ��1� /

Page 143: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�>��!>" 2�2� ��� �

� ���5�� 5�"��1��� & ���-������� ����-������ �� 5 ��������� ��� #�� ��� � � � ������ ��� � 2 !����4�������%������� � /�� �-������ �� 5 ��������� ����� #����� � 4 � � ������ ��� � 2 ������4 2 �� ����% /��%���� ���-������ �� 5 ��������� %�� �) / �� 5 ��������� 5���� #��"���& � . /

� � � �� ��� ���� ��� ���� � ��� %��� � %������ ">���"%#"��'��) � & � & �#� ���>"�#�# � ���� � ����� ������ ����"& �) � ������ 3����!"����1 �� ��� � $��"��� ��� � "���� $ 2=+= /''�� ) � & � & � %�"� $ �( ����� ������ ��!��� �� ����� ( � �!"� # / �$��%� 2 & 3" $%'(�##�1 ��( $���#� ) �* )$(� +"�5 & ,(�## ) �* )$(� ) 2==+ &',!) � &� & �#���" ) �3" $%'(�##�- �� ��$.� ) � & / ���0 1 #$"# ) � �. 2$(� ) 2=,� &� 345$ 6# !#74! #7 %�# �4 8#� %4$9:754;'�<�) � & � & #==#$4�� % � � & >5�" � � & 8 %$4"?4$@ ) ABC DEBF C GH IFBCE DJ KL M IE DB NFG OGB�MKFIDEKPM KL DQ G RBSEGCTU DK�GM GVIB DEKPM ) �$%% & ,�(� W''���� ( !X�# &) $Y %2Z,�& ) '' &��2[,\ 2 &'�3) �5;;#7 � ]55;; � ���� �$��XX�[�!0 �$( ,($-��%� ) �'(�"^�( ) W( � #_` ) a &'�$� ) � & 5";7#"7 %" � & �5 %# ; ) �b!5 ��( �X$c�# de�!X�$"#� ) �� � !^$ f� X�(�# �" % !X[��% !X� # ) +"�5 & $ ) �� � !^$ '(�## ) �� � !^$ ) 2Z,, &'� ) ) � & �4==4$!#" ) gh ijklm nl omp jq rrksm ljj rt ks l u ovilwxy krz lj l{|okirm& ,(�[#�"X! � }$" '!(! �$# �( ����""��% ,(�~� ,($-��% #���� � �!0 ( !X��% !X� # 3"#X�X�X� ) ���� &���� ������ ��������� ����� � ������ ��� �� ��� ���� ��� ����� ���������� ����� ��� �� &'�!) � & �#�� % ) �W" �"X($�� X�$" X$ X�� % !X��% !X� !� X��$(0 $) X�� b!5 ��([�X$c�# �e�![X�$"� ) 5$�# 3 ) 3 3 ) �'(�"^�( ��(�!^ ) 2ZZ� &'<!) 3 & >#75 ) U DCKPH �  MKFIDEKPM KL DQ G RBSEGCTU DK�GM GVIB DEKPM EP ¡¢ 6 OEDQ B££ FE¤B DEKPMDK OGB� MKFIDEKPM ) ( !X� & ¥ & #¦§ %2Z,�& ) '' & ��2[�,� &

Page 144: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

2��'<f ) � & � & >$4 %;; � � & �5$4"� ) �3"�X�!�[�$�"�!(0 �!��� ,($-��% # !"� X�� b!5 ��([�X$c�#de�!X�$"#� ) W !��% � ,(�## ) �$#X$" ) 2Z,Z &'f" ) � & � & � %" ) � P GO £ CKKL KL DQ G �B�BCGFFET� KQPTR ECGPNGCH DQ GKCG� ) �$%% & ,�(�W''� & % !X� & �# ) %2ZZ,& ) �� 2[��� &'f�) � & � & � %5"; � � & �$5� % ) P DQ GKCG �G� G � G� EM DGP ¤G GD IPE¤E D G �BPM FGM GVIB DEKPM �GRBSEGCTU DK�GM GP �E� GPMEKP � ) � & � & W !� & � � & ,!(�# `4¦ %2Z�Z& ) '' & \�2Z[\��2 &'��) � & :4$$%" ) �Q G EPE DEBF SBFIG £ CKNFG� LKC DQ G RBSEGCTU DK�GM GVIB DEKP ) �" �b$"��"�!(,($-��% #� ) � & d & f!"^�( ) �� & +"�5 & / �# $"#�" ,(�## ) ( !��#$" ) 2Z+\ ) '' & +Z[Z, &'��2) � & 34!#! ) �b!5 ��([�X$c�# de�!X�$"#� ) b$(X�[*$��!"� ) b�. 2$(c ) 2Z�Z &'���) � & 34!#! ) �b!5 ��([�X$c�# de�!X�$"# !"� b$"��"�!( ��" X�$"!� W"!�0#�#� ) �3W( ),� ��!���'� �! ) 2Z,\ &

� ��� %�5; "5 "4�75"%#"5;'W() � & �;7#$%7# � � & � #$$��� % � �,(�" �'��# $) b$"[b�.X$"�!" ����� % � �!"� #� )( �(!.[* ��� ) ( !���"��!� ) +< ) 2Z�� &'*f ) � & ���#�7 � � &� & � %5"; � �f�# �" }�e�!X�$"# �" % }� !"�e�� �X �" '�0#�e��� ) *�"$� ),!(�# ) 2Z�� &'�c ) � &� &� & :4��#"� � �b$"["�.X$"�!" ��$. !"� * �!X �(!"#)�(� ) / ���0) b�. 2$(c )2Z+� &� � %;7 5$%�5;'*$ ) � & �5�= � UKNCG FKM £ CKNFG� BM �G SBFKCGM EP E¤EBFGM £ BCB FBM G¤IB¤EKP GM LIP�B� GP DBFGM�G FB QE�CK�EP B� E¤B �GNGC �EG � ILHBPHMOGC DB ILHB NG L �IC �EG QJ �CK�JPB� EM¤Q GP �C IP�TH FGE¤QIPH GP� � ( !X� & b ! �(� �X�" 4 %2Z�2& ) '' & �2\[�\ 2 &'f� 2) � & �4$#� ) � DI�G �G �E SGCMGM GVIB DEKPM P KP FEP GBECGM GD �G VIGFVIGM £ CKNF �G� GM VIG£ KMG F QJ �CK�JPB� EVIG) �$�( & ( !X� & ,�(�# W''� & #` %2Z\\& ) '' & 2�,�'f� �) � & �4$#� ) � MMBE M IC FGM � KISG� GP DM £ FBPM � IP FEVIE�G SEMVIGI� VIG FE� E DGP D �GM£ BCKEM ) �$�( & ( !X� & ,�(�# W''� & #$ %2Z\�& ) '' & \\ 2�� 2, &'f� \) � & �4$#� ) � MMBE M IC FG � KISG� GP D � IP FEVIE�G G�£ FEMMBP D F GM£ B¤G) W X! ( !X� &!$ %2Z\� & ) '' & 2Z\� ��, &'b!) & � & � & � & 8#� %4$ ) � G� KECG M IC FGM FKEM �I � KISG� GP D �GM IE�GM � ( }�% & W !� &� � & 3"#X & �(!" � ! %2,��& ) \,����� &'�X) � & � & :754; ) !P DQ G DQ GKCEGM KL EP DGCPBF LCE¤ DEKP KL IE�M EP � KDEKP ) �(!"# & �!%[-(��^� ,� ��$# & �$ & ¦ %2,��& &

Page 145: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ������

�� �� ��� ��������� ������� � ���

�� '�!"X�!" �" �#X� !' }'X��$ �$# $" �'X$# ) #�#X�% !# �� � �! �$"�# � ���!# % !X�% }!X� !#)�"�!% �"X!��# �" �� �#X���$ �� �$# ����$# ' �()� X$# $%'(�#�- ��# ) �#X���$ e�� �*X��"�� ���� �$# ����$# ' �()� X$# �" $%'(�#�- ��# �� �$ �" �� !' }'X��$ � &d" �! '(�% �(! #� � }$" #� '�!"X�!" �!# � �! �$"�# ��)�(�" �!��# e�� ��^!" �! ��"#��!� )5��$ ��!� ) '(�#� }$" 0 �"�(^ }'! �"X�("! �" 5 �(X�� �� �!# ��0�# �� $"#�(5! � }$" ) ���^ }!"�$#� !�#�#X�% ! ^�"�(!� �� �$# ����$# $%'(�#�- ��# ) %� &,& &d#X� #�#X�% ! X��"� �$# �" $"5�"��"X�# e�� "$# $-��^!" ! X(!-!9 !( % }!# & ,$( �"! '!(X� �#! }�" %�0 ^�"�(!� ) #��"�$ $"5�"��"X� ��# �X�( � }!��# #$" �!# ��0�# �� �#X!�$ e�� ' �(% �X�" �((!( �� #�#X�% ! �" �$# !#$# '( }! X� $# ) �" �#' � �!� �!"�$ #� $"#���(!" �$# ^!#�# ��!% !�$#���!��# & d" #�^�"�$ ��^!( ) �# '(� �#$ %$X�5!( � �"X($�� �( �"! "��5! 5!(�!-�� e�� �#)�"�!% �"X!� �" �! ��" �! !'�� !�! ) �! GP DCK£ �B ) 0 $" ���! �$# $" �'X$# �� ��9 $ EMK DGC� K �B�EB N B DE¤K � EM GP DC K£ E¤K 0 NBCK DC K£ E¤K &�(!# �#X$# �#X���$# 5$�5�%$# !� #�#X�% ! �� � �! �$"�# �� �$# ^!#�# ' �()� X$# $%'(�#�[- ��# e�� (��# (�- �%$# �" �!# #� �$"�# � &� [ � &� �" �!# )$(% !# �� #�#X�% !# � �' �(- }$�� $# ��� �! �$"�# �" ��(�5!�!# '!( �!��# 0 � �! �$"�# �� $"�!# e�� #$" � }!#� !# �" �! ��X�(!X�(! &��(% �"!�! �! '!(X� �� % $����~! � }$" #� '(�#X! !X�" � }$" ! �!# ��� ��X!��# % !X�% }!X� !# )e�� X��"�" $%$ '(�" �'!� �*'$"�"X� �! !'!(� � }$" �� #$�� �$"�# ��# $"X�"�!# $" $"�!# �� �$e�� & d ��^�%$# $%$ %$���$ % !X�% }!X� $ ���% �"X!� �! � �! � }$" �# !�!( �� ���@4�; 0 $% �"X!%$# -(�5�% �"X� �! % $��("! X�$( }'! �� f�0�# �� �$"#�(5! � }$" e�� #�(5� �� % !( $X� }$(� $ '!(! �� �#X���$ �� �#X$# )�" }$% �"$# &d" (�#�% �" }�#X� �# �" !' }'X��$ e�� �"X($�� � X�% !# �� ^(!" �%'$(X!" �! ) ! X�!���!�0 $%'��9 ��!� %!X�% }!X� ! &

2�\

Page 146: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

2�� ��� ��5; �4�=4�75; �5���4;�?�4;� �� � � ���� ������ ��� ����� �

�� �� ����$ ' �()� X$ �# � ������� �� ) �! � �! � }$" �� d���( %� &�&��� � � � � �� � � 2

�� �� �%� &2&

�# (�X! X!%-� }�" �" �! )$(% !� % � &

� � � � % � � & � �� � � �%� &�&#� ��- � ! $%'! !"!( '$( �! ��0 �� $"#�(5! � }$" �� %!#! ^�"�(!�

�� � � � � %� & � " #%� &\&d" �#� !#$ "� �#�X!% $# #�'��% �"X!( %� &2& ) %� &\& $" �" )$(% ! � }$" #$-(� �! �"�(^ }'! 0 �!'(�#� }$" 0 #� (��! � }$" & $ !�$ e�� �� ����$ �# ' �()� X$ % � �� %& � �& ' ) �� X }�(% �"$ �� X(!-!9 $�� ��)$(% ! � }$" e���! %5�( !' }'X��$ � &

% ( ) � �� %� � � & � �**� �%� &� &

$" �$ e�� �! $"#�(5! � }$" �� �! �"�(^ }'! #� �# (�- �*+*� �

�,**� � -. � - . � 2

%- � / �� 0 & �%� &�&e�� �# �"! )$(% ! ��� ,(�% �( ,(�" �' �$ �� �! ��(%$��" }!% � ! e�� (��! �$"! 5!(�! � }$" ���! �"�(^ }'! �"X�("! ) X(!-!9 $ 0 !�$( ) - . & ,!(! $%'��X!( �� #�#X�% ! �� � �! �$"�# )!�X! �"!(��! � }$" & $ � "��5$ ��%$# �� (� �((�( ! �! ��" �! �� �! ��(%$��" }!% � ! '!(! �!��!( �"!��0) ��!% !�! ���1�� 2 � 3� ��413 ) e�� �# '!(X� ��!( �� !�! % !X�(�! 0 X$% ! �! )$(% !

� � 5 % � +& #%� &+&�$" ���$ X�"�% $# �" \$ �" ���4��1 3� ! ���1�� ��� ( %� &2& ) %� &\& ) %� &�& 0 %� &+& ) $" +�" }$^"�X!# ( � � � � � + ) e�� ' �(% �X� �" '(�" �' �$ (�#$�5�( �$# '($-��% !# �� ����$# ' �()� X$# $%'(�#�- ��# ) -!9 $ �! � �' }$X�#�# ' $( #�'��#X$ �� e�� X�"�%$# �*'(�#�$"�# !�� �!�!# [ �#�� �( ) ��0�# $"#X�X�X�5!# [ '!(! - 0 0 & $ !�$ e�� �" �#X! X�$( }'! "$ #� X��"�" �" ��"X!�)� X$# �� 5 �# $#��!� �" �! � �! � }$" %� &2& ) �# �� �( �! )(� � }$" �"X(� �!# '!(X }' ��!# ) #� #�^��e�� �" %� �$# !#$# '$��%$# $"#���(!( "��$ �� X }�(% �"$ �� �"X�( !%-�$ �� !�$( ) / �� 0 )�" �! � �! � }$" �"�(^ }�X� ! $" �$ e�� �! � �! � }$" %� &�& e���!

*+*� �

�,**� � - � �� *6*� � -. �%� &�&

Page 147: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ��;4; ��4��4; 2���$"�� 6 � 2� �# �� SKFI� GP GM£ G¤ �� ¤K ) �"5�(#$ �� �! ��"#��!� & �$" !�� �!�!# $"�� �$"�#�"� �!��# 0 �� $"X$("$ e���! !# }' '�!"X�!�$ �� '($-��% ! �� �$# ����$# ' �()� X$# �" X$�!#� ^�"�(!���!� &� 4���5 � ��� � ��1�� ��� 3� �1 3�� 21� ��1 3� �1��� " �$%!"�$ � � - � 0 � _ ) ��#�#X�% ! !"X�(�$( X$% ! �! )$(% ! X }''� !% �"X� �!��!�! �" �$# ��-($# e�� X(!X!" �! ��" }!% � !�� ^!#�# '!(! �" ^!# $%'(�#�- �� 0 "$ 5 �# $#$ ) �$"�� �!# 5!(�!-��# #$" � � ) � 0 �! GP GCH �BGM£ G¤ �� ¤B DK DBF ) � + � �� �,�� (

� � � ��� � .

���� %�� & � " �

�� � %� & �

�� � .

���� %� �� � � � & � " � � � 2 � � � \ �

�� � % & �

�� � .

���� %% � � &�� & � " �

� � 5 % � +& #

%� &,&

$ !�$ e�� }�#X� �# �" #�#X�% ! %�0 �%'$(X!"X� �� �� X$( ��- �( }! $-X�"�( �!# � �! �$"�#!"X�(�$(�# (�!��~!"�$ �$# }!� ��$# ' �(X�"�"X�# & d# �%'$(X!"X� (�#� !"!( e�� �! ��� � }$" ���!# 5!(�!-��# ) � 0 ' �(% �X� �# (�- �( �!# ��(�5!�!# �#'! �!��# �" )$(% ! �� ��5�(^�" �! )�$ e�� X��"� ^(!" �%'$(X!" �! % !X�% }!X� ! & f!# � �! �$"�# !# }' �# (�X!# #� ��"$% �"!" �����3� � �����1�� 2 � & d#X!# � �! �$"�# #� '����" �*'(�#!( �" "$X! � }$" 5� X$(�!� �" �! )$(% ! $%'! X! ��

� � � � � � %� & � " �%� &Z&�$"�� � �# �� 5� X$( � � %� . � �, � � � �� � �� & � % � � . � � , � � � & � 0 � �# �"! )�" � }$"( ¡¢ � � � �� %¡¢ & ) �$"�� �� }��X�% $ # }'%-$�$ ��#�^"! �� $"9�"X$ �� �!# % !X(� �# (�!��# �� �" $ � �!# 0 X(�# $��%"!# &� 4�� �� �5 § "#� & %!& $ ��� �( �� #�#X�% ! %� &,& & %- & d# (�- �( �" ��X!��� �! )�" � }$" � e���"X�(5 ��"� �" %� &Z& �" �"! 0 X(�# ��% �"#�$"�# �#'! �!��# & d# (�- �( �!# � �! �$"�# &

� �� ���� ��� �

d� #�#X�% ! �� �$# ^!#�# $%'(�#�- ��# �# )$(% ��!-�� 0 �! X�$( }'! % !X�% }!X� ! ) e�� $"X }$ �" #�# $% ��"~$# $" �!# !' $(X! �$"�# �� % !X�% }!X� $# �� �! X!��! �� � � � �4���� ) �# �� �"! ^(!"

Page 148: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

2�+ ��� ��5; �4�=4�75; �5���4;�?�4;��� ��X!� 0 �#X }! ! }�" �" '��"$ ��#!(($��$ �" �! (�5 �#X!# �� �"5�#X�^! � }$" & W )$(X�"!�!%�"X� )�" �!# #�X�! �$"�# $((��"X�# !�% �X� !�^�"! #�%'��� ! � }$" & W# }' #� ��� �" �! X�$( }'! �� �$#HBMGM E�GBFGM ) % $���$ �#X }!"�!( �� ����$ "$ 5 �# $#$ $%'(�#�-�� & � ��" �# 5�(�!� e�� '!(!�%'�~!( #� �"X($�� � �"! "��5! 5!(�!-�� ) �! X�%'�(!X�(! !-#$��X! � . &d* �#X�" �$# (��! �$"�# $ ��0�# �� �#X!�$ )�"�!%�"X!��# � �! '(�% �(! �# �#�!�% �"X��# (�X! �" �! )$(% ! � � � � ¢ �� �%� &2"&�$"�� !'!(X� �� �! '(�#� }$" � 0 �! X�%'�(!X�(! � �"X�(5 ��"�" �! ��!% !�! $"#X!"X� �"�5�(#!��� �$# ^!#�# ) ¢ � &, $ !�$ e�� � � � �� ) �$"�� � �# �� ' �#$ % $�� ��!( ��� ^!# ) ' $��% $#�# (�- �( �! ��0 �" �! )$(% ! % }!# }$%$�! '!(! "$#$X($#

� � ¢ �� � � ¢ � #%� &22&

d#X! ��0 )�"�!%�"X!� �# ��!% !�! FGJ �G FKM HBMGM £ GCLG¤DKM & f! ��0 )�� �"5�#X�^!�! 0! �"#�^�$ �� 33 '$( �$# '�$"�($# ) �5��4 0 � �� �5774 � e�� ��# �-(��($" e�� � � � $"#X!"X� )0 ���5! ��5�(#$# "$%-(�# �" �! ��X�(!X�(! ( ��� 9��;;�� � ����; ��;9����4��5� %e��)$(%��!($" �� !#$ ^�"�(!�& & �f! #�^�"�! (��! � }$" �" �" ^!# ���!� �*'(�#! e�� �! �"�(^ }'! �"X�("! �# )�" � }$" # }$�$ ���! X�%'�(!X�(! ) + � + %� & & }!# ! }�" ) #���� #� ���( e�� #� 5�(��e�� �! '($'$( �$"!���!� )

+ � � �%� &2�&%#� �� � e�� �� ^!# �# £ KFE DC K£ E¤K& 0 �! $"#X!"X� � #� ��!% ! ¤BFKC GM£ G¤ �� ¤K �B SKFI� GP¤KPM DBP DG� & d#X$ ��((! �� #�#X�% ! �� � �! �$"�# �� �! ��" }!% � ! �� ^!#�# ���!��# ) '��# "$#'($' $( �$"! �"! (��! � }$" ��� X�' $ %� &+& �" �! )$(% !

� � %� � 2& + )%� &2\&�$"�� ��% $# �# (�X$ �! $"#X!"X� �� '($'$( �$"!���!� !� % $�$ �#�!� $% $ � � 2 ) $" �$e��

� � ¢� � 2 #%� &2�&

f! $"#X!"X� � #� ��"$% �"! G�£ KP GP DG B�EB N B DE¤K '$( �!# (!~$"�# e�� 5�(�%$# �" �"%$% �"X$ 0 �# !(! X�( }'#X� ! ��� ^!# �" ��#X� }$" & d� !�(� ! X�%'�(!X�(!# %$��(!�!# #�'���� $"#���(!( �" ����$ ���!� 0 �� �*'$"�"X� � 5!�� 2 #�"� & d#X$# 5!�$(�# #$" �%' }'(� $# &,�($ �* �#X�" X!%-� }�" ���� �$"�# (! �$"!��# ( �! � }!"� ! d#X!� }'#X� ! '(��� � �" 5!�$( ����\ '!(! �" ^!# %$"$!X }$% � $ 0 �� ��� '!(! �" ^!# ��!X }$% � $ &

� ������� �� � �� �� �������� � ����� ��� !��" � � #$%$ & �� � �� �� ������ !��" � � '( ) �*� "��� �+,- . #( ! /

0 �� "���� �� $ . - #% 1 #'2 3�� � 4��� /����� /56���� 7�� � ��� ���8� � ���� � ���� ��� ��������� ������ � 7�� �� �� � ��� ���� *�� "�� ��� �� ��������

�� 9� �� ���8���� � �� ��� � �� " ����� � ���� �� �� �� � 7:���� ��� ��� 7:���� /;� 7������ �� ������ *�� �� ��< �� 7�� �� �� 8������ �� 8���� ���=�� � ���� �� "���� �� > � < ������������� ��� "��� 7�� ������� � ���� ��� ���� ��� ? � "���� �� ��� �� 7:@ �� A /

Page 149: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ��7�5� �6� 2��� �� ������ � ���� ��� � ���� ���� � ����

+" !#'� X$ �%'$(X!"X� �" �! X�$( }'! �� �$# ^!#�# ���!��# �# �! ' $#�- ����!� �� �"X�^(!() }! ��% �"X� �! � �! � }$" �� �! �"�(^ }'! %� &�& ) %� &�& '!(! $-X�"�( �"! ) }$(%��! �((!�! ) $ !�% �"$# �"! )$(% ! ��)�(�" �!� ) }! ��% �"X� �"X�^(!-�� ) �$ e�� �%'�� ! �"X($�� �( �" �%'$(X!"X� $" �'X$ 0 $" ���$ �"! "��5! 5!(�!-�� & W�"e�� '!(�~ ! %�"X�(! ) ���$ (���"�! �" �"!#�% '��� ! � }$" ��� #�#X�% ! X$X!� 0) #$-(� X$�$ ) �" �"! % }!# !�� �!�! $%'(�"#� }$" ���%$���$ 0 #�# � }'% �X�# & W ���$ ���� !(�%$# �#X! #� � }$" &����� 2�1 � �1� � � 4�1�1� ,(�5 �!% �"X� ) �# $"5�"��"X� $%�"X!( e�� �$# ��-($# �� )}'#� ! #����" �# (�- �( �� �� ��4��� ��� �� �5 �4 �� 74��5� �� ������ ) ,,� ) $%$

*-*� � *+

*� �**� �%� &2�&

�$"�� �! ) }$(%��! *- � -. *� '�(% �X� ���"�( �! % !^"�X�� - ) ¤BFKC B£ KC DB�K '$( )��"X�#�*X�("!# $ '$( �!# '!(X }' ��!# !�0! �"X�# '$( �"��!� �� X��%'$ 0 �"��!� �� %!#! � X�"�%$#!��% }!# e��

* � � *6 � �� *,%� &2+&�# �� �" (�% �"X$ �� DCB NB K CGBFE�B�K '$( �� ����$ '$( �"��!� �� % !#! ) $" 6 � 2� & d�,,� X��"� �"X$" �# �"! ) }! �� �� X�(! �" ��"^�!9 � $�$e��!� ( FB SBCEB¤E KP �G ¤BFKC B£ KC DB�KB IP MEM DG� B IE�K �ICBP DG IP £ CK¤GMK MG DCB�I¤G GP BI� GP DK �G FB GP GCH �B EP DGCPB J� KGP DCB NB K CGBFE�B�K & -#�(5!%$# e�� �#X! ) }$(%��! �* �^� �" '(�" �'�$ $"$ �( �! 5!(�! � }$"��X!��!�! �� - ) 0 � ! �$ �!(^$ �� �! X(!0� X$(�! '!(! $-X�"�( - 0 X(!# �"! �"X�^(! � }$"! �$ �!(^$ �� }�#X! ) e�� "� �#�X!% $# �!��!( '(�5 �!% �"X�� & d#X$ "$# ���5! ! �" �%'$(X!"X� $" �'X$ % !X�% }!X� $ &� ��������1 � �&1�41d� �" $"5�"��"X� �� �! �"X�^(! � }$" ! �$ �!(^$ �� X(!0� X$(�!# ��X�(% �"!�!# #� �5 �X! % ���!"X��" �� �$ %�0 "$X!-�� ( �!�$ e�� '!(! �" ^!# ���!� �! �*'(�#� }$" %� &2�& #� '���� �# (�- �(�� �! )$(% ! *-

*� � �*�*� � ¢ �

**� �%� &2�&

#� � �5 �� �%$# �! � �! � }$" '$( � �� #�^�"�$ % ��%-($ (�#��X! #�( �"! �ELGC GP ¤EBF G�B¤DB �")�" � }$" �� �!# 5!(�!-��# � 0 )

*� � ��*� � ¢

* �%� &2,&� ���������� *�� ���� �� �� �� ��� "��� ����� �� � ������� ��� � �� ��� � � �� ����� �� ��� ���<����� ��

�� ��� ����� 7:����� 9� ���� /

Page 150: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

2�, ��� ��5; �4�=4�75; �5���4;�?�4;e�� �"X�^(!�! �! �! )�" � }$" � %� � &

� � � �$^ � �� � . � � � �$^ � �¢� � #%� &2Z&

f! "��5! 5!(�!-�� � #� ��"$% �"! ��4� � 2�1 %�"X($' }'! �#' � }'� ! ) '!(! #�( % }!# '(� �#$#& 0#� ���"� �" X }�(% �"$# ��)�(�" �!��# % ���!"X�

*�*� � 2

�*-*� � - .

�)%� &�"&

$" �$ e�� �! � �! � }$" �� �! �"�(^ }'! #� (��� � ! �! ) }$(%��! �((!�! %� &2Z& & f! �"X($' }'!� ) ���"��! '$( �"X�^(! � }$" �� �! )$(% ! ��)�(�" �!� �*! X! ) �# '��# �"! )�" � }$" '$X�" �!�0 $%$ X$�!# �!# )�" �$"�# '$X�" �!��# "$ ��'�"�� ��� !% �"$ �� �"X�^(! � }$" ) �# �� �( #�5!�$( �" �" '�"X$ 0 �" �" X��%'$ "$ ��'�"�� �� �! X(!0� X$(�! '!(X� ��!( #�^���! ' $( ��^!# '!(! !�e��(�( #� �#X!�$ ) #�"$ #$�!% �"X� ��� �#X!�$ $" (�X$ !�e��(��$ ) ���"��$ '$( �0 % }$ � 0 & & f! �"X($' }'! �# �"! 5!(�!-�� �% '$(X!"X� �" �$# '($ �#$# X }�(% � $# 0 �# �"!%����! ��� �"X�( !%-�$ �� !�$( ) ' �($ #� �"X�('(�X! � }$" '(� �#! "$ �# ) }! �� �� ��# (�- �( & ��1��1� ��� 3� ��413 f!# 5!(�!-��# e�� ��# (�- �" �� �#X!�$ �"�(^ }�X� $ �� �" ����$ #� ��!% !" SBCEB NFGM DGC� KT�EP B� E¤BM ) �"X(� �!# e�� #� �" ��"X(!" ) � ) � 0 + & -#�(5�%$# e�� # }$�$ 3 � �� �#X!#% !^"�X���# #$" �"��' �"���"X�# 0 ��# (�- �" �$ e�� #� ��!% ! �" GM DB�K DGC� K�EP B� E¤K & ��# '��# �"! %"��5!& )�" � }$" X�(% $��" }!% � ! �� �#X!�$ ) $ % }!# -(�5�% �"X� LIP ¤E KP �G GMTDB�K ) e�� #� �*'(�#! �" )�" � }$" �� �!# �$# e�� X$%�%$# $%$ - }!#� !# ) ' $( �9 �%'�$ %� � &}$ %� � � & � $X(!# $%-�"! �$"�# &

�($##$ % $�$ ) �!# 5!(�!-��# X�(% $��" }!% � !# #�(5�" '!(! !(! X�(�~!( �� �#X!�$ �"�(^ }�X� $�� �" ^!# �"��' �"���"X�% �"X� �� �! �5$�� � }$" ��" }!% � ! e�� �#X }! X�"��"�$ ��^!( � �" $X(!#'!�!-(!# ) #� X(!X! �� 5!(�!-��# e�� # }$�$ ��' �"��" ��� �#X!�$ !� !"~!�$ ) (�'(�#�"X!�$ '$(�!# 5!(�!-��# - }!#� !# ) 0 "$ �� }$%$ #� �! ���^!�$ ! }�� �"X�^(!"�$ �!# � �! �$"�# & �$"���$ #� $"#�^�� %�� % ��!^($ ��& ��#! $'�!( �! '!(X� � ��($��" }!% � ! %e�� �! � �"X�(5�"�( ��%$5 �% ��"X$ & �� �! �"�(^ }�X� ! %$ X�(%$��" }!% � ! ) e�� (!~$"! $" �#X!�$#& &f! '($)�#� }$" �� 5!(�!-��# X�(%$��" }!% � !# ��# $" ��(X! ! '(�% �(! 5 �#X! ) ' �($ "$ $)(� ���� ��X!� %!X�% }!X� ! �"X( }'"#� ! �"! 5�~ #� �! �"X�"���$ �!� �# #� �#�" �! 0 #� % }�(�X$ &f!# ��#X�"X!# 5!(�!-��# #$" }�X���# �" �!# ��5�(#!# !'�� ! �$"�# ) �" '!(X� ��!( �" �! �" }�X� !e� }'%� ! &�1� � � 4�1�1� �$�5 ��"�$ !� '�"X$ �� '!(X��! ) �# %�0 �%'$(X!"X� #� !"!�!( e�� �! �*'(�#� }$" '!(! �! ��)�[(�" �!� �� !�$( ) - .*� ) "$ $((�#'$"�� ! �"! ��)�(�" �!� �*! X! �� �"! )�" � }$" �� �#X!�$ )��� �� 7�� �� � ���� 7:�� �� � *�� �� �� ���� 7:� 8 7:� �� *�� ��� 7� ���=����� ��� 9� ��� � �� ������ 7:� � �� ���� ����� �� �� ������� � �������� �� ���� 7:����� / �� �� � � �� �� �� �9���� � �� ������ �� �� ��� ����������� ���� ��� ��� �� �� �� ���� ��� �� �� ���� ��� ��� � ���� �� �=�� �� ) / ������� � #�%$ /

Page 151: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ��;4; �4��4; 2�Z� �' $X }�X� !% �"X� ���"��! '$( *- � *+ � � *6 & d# �� �( ) !�"e�� #� '���� !� ��!( �"!)�" � }$" - ) % ����! ��� �"X�( !%-�$ �� !�$( �" �� %$5 �% ��"X$ ) �"X�^(!"�$ �! )$(% ! ��)�[(�" �!� ! �$ �!(^$ �� �! X(!0� X$(�! $((�#'$"���"X� ) �� (�#��X!�$ ��' �"��( }! ��� %$5 �% ��"X$�" '!(X� ��!( 0 "$ # }$�$ ��� �#X!�$ X�(% $��" }!% � $ !� !"~!�$ ) �# �� �( �$# 5!�$(�# �� � ) +0 & ,$( ���$ "$ X�"�%$# ��(� �$ ! ���% �"!( �$# ��"$% �"!�$(�# *� �" �! �*'(�#� }$" �� �!��0) '��# X$�$ ��' �"�� ��� �#X!�$ �� �! X(!0� X$(�! �" X��%'$ � & f! "$X! � }$" ��)�(�" �!�*- #�" ��"$% �"!�$(�# #� (�#�(5! '!(! �!# ��)�(�" �!��# �*! X!# & f! !"!�$^ }'! 0 �� !) }!" ��-(�5��!� ���5!" ! �# (�- �( �! )$(% ! ��)�(�" �!� "$ �*! X! $%$

*+ � � *6 � - ��$"�� �! #� �#! '!(! #�^"�� !( �!(!% �"X� e�� "$ �* �#X� �"! - e�� �# LIP ¤E KP �G GM DB�K&f$ % �#%$ �� #� ��� !� X(!-!9 $ ) '!(! �� e�� �# (�- �(�% $# �" )$(% ! ��)�(�" �!� �" 5�~ ��* & d � �� �$ �� e�� - 0 ��'�"��" ��� !% �"$ ) ' �($ � "$ ) '���� '!(� �( �"! #�X���~!% !X�% }!X� ! ) ' �($ "$ �$ �# � X��"� �%'$(X!"X�# (�' �( �#�$"�# )}'#� !# 0 �# �"$ �� �$# X�% !# � }!#� $# �� �!# % }!e��"!# X }�(% � !# % � �$ �� ����57 & &

� �� ���� �� �

f$ !"X�(�$( #� '���� !'�� !( ! ^!#�# ' �()� X$# %�# �� �( ) "$ 5 �# $#$#& "$ ���!��# & f!# X�$( }'!# $((�#'$"���"X�# !�% �X�" ����� 3� ��413 �� �! )$(% !� � � %� � & � + � + %� � & �%� &�2&

�# �� �( ��' �"��" �!# �� + 0 � (�#' � X$ ! � 0 % }!# ^�"�(!��# e�� �!# ��0�# %� &22& ) %� &2�& &�!(�!"X�# �� �#X!# ��0�# ( ! 5� �# #� �# (�- �" �" )$(% ! �%'�}' �X! ) $%$ 5 %� � � � & � " ) $ #�#�#X�X�0� �! #�^�"�! '$( #� �*'(�#� }$" ��)�(�" �!� � � 5 %� � & & d" X$�$# �$# !#$# ) GM IP£ CEP ¤E£ EK LIP�B� GP DBF VIG FB LKC� B �ELGCGP ¤EBF

*� � *+

� ��

�*6%� &��&

�GNG MGC IPB �ELGCGP ¤EBF G� B¤DB �� �"! )�" � }$" �� �$# 5!(�!-��# ) �# �� �( #� '���� ���"�(�"! �"X($' }'! � $%$ )�" � }$" �� �#X!�$ e�� �#X }! (��! �$"!�! $" �� �"X�( !%-�$ �� !�$('$( �! ) }$(%��! %� &�"& & ,$��%$# �!( �" '!#$ % }!# 0 '�"#!( �" � 0 6 $% $ 5!(�!-��#X�(%$��" }!% � !# �"��' �"���"X�# ) �" )�" � }$" �� �!# �!��# #� �*'(�#!" � ) � ) 0 + & d"X$" �#�! � �! � }$" �� �! �"�(^ }'! ) $ ,,� ) #� 5� $%$

*+ � � *� � � *6 )%� &�\&)$(% ! %�0 $"5�"��"X� �" �$ e�� #�^�� &� 4�� �� �5 § "`� " d" �$# ^!#�# (�!��# % }!# �#�!��# #� #�'$"� e�� + � + %� & ' �($ �! ��' �"[��" �! "$ �# ��"�!� ) 0 #� ���"� �� !�$( �#' � }'� $ $%$

� %� & � *+*�

#%� &��&

Page 152: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

2\" ��� ��5; �4�=4�75; �5���4;�?�4;

$ �%$#X(!( e�� #� + � + %� & ) �! � �! � }$" �� �#X!�$ �� �! '(�#� }$" ��- � X$% !( �! )$(% !� � 5 % & � & +" �9 �%'�$ �# �! ��0 '($'��#X! '$( ��� �4� ����; ) %2,�\&� � ¢� �� � � 1 �%� &��&

$" 1 � " $"#X!"X� & �$%'($-!( e�� X��"� �! )$(% ! '(��� �! &

� �� � ���� ���� ��� ���� � ����� �� � ����� ��� ����

+" !#$ �*X(�% !�!%�"X� $"5�"��"X� #� ��� �" �$# ��!% !�$# '($ �#$# 13�1� 214�� � �"e�� P K G� EM DG EP DGC¤B� NEK �G ¤BFKC ) - � 0 � " ) '��# �"X$" �# � GM ¤KPM DBP DG B FK FBCH K �GFBM DCBJG¤DKCEBM ) *�

*� � " #%� &�+&$ �� �$ �� $X($ % $�$ � %& � �& � � %� � "& '!(! & � � %� � �& ) �$ �!� �# ��(X$ % ��"X(!# #� X(!X��� �"! #$�� � }$" �" �� #�"X��$ � }!#� $ & ����!" �"X$" �# '!(! �$# ^!#�# ���!��# �!# ) }$(%��!#

� � � � � � � � � . � + � � � . �%� &��&�$"�� � ) ) #$" # }$�$ )�" � }$" �� �! �"X($' }'! ) 0 ' $( X!"X$ �� �! X(!0� X$(�! ) ) & %� &2Z& & }!# ! }�" ) #� �! �"X($' }'! �"� �!� �# $"#X!"X� �"X$" �# � ) 0 #$" $"#X!"X�# �" X$�$�� �#'! �$ 0 X��%'$ & �� �� � e�� �� ��9 $ �# ����4� 2 � �� & ,$��%$# �"X$" �# (�#$�5�( �!#� �! �$"�# ��" }!% � !# %� &2& ) %� &\& ! !"!���"�$ �! ��' �"��" �! �� �! '(�#� }$" (�#' � X$ ! �!��"#��!� %� &��& 0 ���% �"!"�$ �! � �! � }$" �� �! �"�(^ }'! & �!� #�X�! � }$" #� '���� ^�"�(!��~!(! �"! ��' �"��" �! ��� X�' $

� � 5 % & �%� &�,&�" e�� � �# �"! )�" � }$" ��X�(% �"!�! �� �! ��"#��!� ) �"��' �"���"X� �� �!# ��% }!# 5!(�![-��# ��" }!% � !# $ �� �#X!�$ & �!��# ��9 $# (� �- �" �" �! ��X�(!X�(! �� "$%-(� ^�"�(!� ���1� 4� 2 ��� � 0 X!%-� }�" GF BM DE¤KM %�! ���! '!(� � #�( ��-��! ! d���( 0 )��($" X(!X!�$#�*X�"#!% �"X� ' $( �4���5�7�& & �� �! ��' �"��" �! �# �� X�' $ '$X�" �!�

� � �� �%� &�Z& #� ��"$% �"! �*'$"�"X� -!($X( }$'� $ & f$# ��9 $# �#�"X( }$'� $# #$" �� !#$ % }!# �% '$(X!"[X� �� ��9 $# -!($X( }$'� $# & X($ !#$ �%'$(X!"X� #$" �$# ��9 $# �� 4��� � �" e�� � �# $"#X!"X� 0 �! ��0 �� �#X!�$ #� (��� � !

� � � #%� &\"&d" %� �!# $"#���(! �$"�# �� �! % �X�$($�$^ }'! ) �! !�($" }!�X� ! 0 $X(!# (!% !# ) �! #�'$#� � }$"�� X�%'�(!X�(! $"#X!"X� �# !�% �#�- �� $%$ '(�% �(! !'($* �% ! � }$" & ,$( }��X�% $ ) #� '���� $"#���(!( e�� �$# ��9 $# �" $%'(�#�-��# #$" �" !#$ �}'%�X� �� ��9 $# �" ( }�^�% �" -!($X( }$'� $

Page 153: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ��� 5; �;4�7� �5� ��5; 2\ 2 $" �*'$"�"X� � � %-!#X! $" �"5�(X�( �! (��! � }$" %� &�Z& 0 5�( ! $%$ )�" � }$" �� � & &d" X$�$# �#X$# !#$# �! �"X�^(! � }$" ��� ��9 $ '���� '(�# �"��( �� �! � �! � }$" �� �! �"�(^ }'! &���4��1 3� � � ��� � 13�1� 214�� � 3� �1��� �3�1���d" 5 �(X�� �� �$ !"X�(�$( ' $��%$# �# (�- �( �� #�#X�% ! �� � �! �$"�# '!(! �#X$# ��9 $# !'!(X�( ��� #�#X�% ! $(�^�"!� %� &,& $%$

2**� � � � � � " �*�*� � 2

�� � " �*�*� � " �� � � % � � & #

%� &\ 2&

$ � �!# ��0�# �� �$# ^!#�# ' �()� X$# %� &22& ) %� &2�& #� #�^�� e�� �! �*'(�#� }$" �� � $%$)�" � }$" �� 0 � 5 ��"� �!�! '$( %� &2Z& ) �# �� �( )

� � � %� &� � � %� & � ¢ +���� #%� &\�&��� ��313 3�� � � �3 d#X� #�#X�% ! X��"� �"! ^(!" (�e��~! 0 �"! ^(!" ��� ��X!� % !X�% }!X� ! & d" �� �#X���$ 9��^!�" '!'�� �% '$(X!"X� �! !"X��!� � ���"��! �" ^�"�(!� '$(

�, � � % � � & �%� &\\&

�# �� �( ��(�5!�! '!(! �"X($' }'! $"#X!"X� & f! % !^"�X�� � X��"� ��% �"#�$"�# �� 5��$ ��!�0 #� ��!% ! SGFK ¤E�B� �GF MKPE�K ��� ��9 $ �" ��#X� }$" & ,!(! �" ^!# ���!� -!($X( }$'� $ �� ��0'$X�" �!� 5!��

�, � � � #%� &\�&

�� �# �" ^!# ���!� �� ��0 � � ¢ �� � "$# e���! �! $"$ ��! ) }$(%��!�, � � ¢ � �

� #%� &\�&+" ��9 $ #� ��!% ! MINM KPE¤K #� � � � 0 MI£ GCM KPE¤K #� � � � & $ �5 �� ��"�$ � '$( � #�

$-X��"� �" " }�% �($ !��% �"#�$"!� �� �

� �%� &\+&��!% !�$ P I� GCK �G � B¤Q ) �� )$(% ! e�� �� �}'%�X� #�-# }$"� $[#�' �(# }$"� $ %-!((�(! ���#$"��$& #� ��� ! � B¤Q� 2 &

2 �� ����� ��� 8 7:� �� ����� ��� � ����� ��� � �#$-$�#� #�� /

Page 154: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

2\� ��� ��5; �4�=4�75; �5���4;�?�4;f! !�X�("!X�5! #�-# }$"� $[#�' �(# }$"� $ �# �"! �� �!# '(�" �'!��# !(! X�( }'#X� !# �� �#X$##�#X�% !# 0 �" !#$ "$X!-�� �� $"9�" � }$" �*'�(�% �"X$[X�$( }'! ( '$( �"! '!(X� �$# )�" }$%�"$#)}'#� $# e�� #� $-#�(5!" 0 �� �$# e�� �!-�!(�%$# ! $"X�"�! � }$" #$" %�0 ��)�(�"X�# � ' $(

$X(! '!(X� ) �! �*'�� ! � }$" % !X�% }!X� ! �# %�0 �!(! ) #� X(!X! �� e�� �� #�#X�% ! !%-�!�� X�'$ ) �� ��}''X� $ ! � �' �(- }$�� $ & f! X�$( }'! %!X�% }!X� ! �� �$# ��9 $# #�'�(# }$"� $# �# $"#���(!-��% �"X� % }!# ��)}' �� e�� �! �� �$# #�-# }$"� $# &

� �� ����� � ���� ���

d� #�#X�% ! !"X�(�$( �� �! ��" }!% � ! �� ^!#�# % $���! ��" }$%�"$# �� ^(!" �"X�( }�# '( }! X� $ ) $% $ �! '($'!^! � }$" �� $"�!# �" �� !�(� (�#'$"#!-��# ��� MKPE�K & W � $"X(!(�$ e�� �"�!# $"�!# % !(�"!# ) �" }�#X!# �� ��" }$%�"$ � �-(!X$(�$ #� ��- � ! �!# �!(�! �$"�# �� '(�#� }$" 0��"#��!� & d# �}� �X$ #�' $"�( ��"X($ �� �$# � }�%�X�# �� !'($* �% ! � }$" (!~$"!-�� e�� #� X(!X!�� �" ����$ $%'(�#�- �� ��� X�' $ ^!# ���!� �" �" '($ �#$ �#�"X( }$'� $ ) $ % }!# �" ^�"�(!�-!($X( }$'� $ & ��!%$# �$# ��#!(($��$# �"X($�� X$(�$# ! �#X! X�$( }�! ) e�� "$# ' �(% �X�" '�!"X�!('($-��% !# % !X�% }!X� $# �� ^(!" �"X�( }�# &�� ���� § � $ !�! �! $%'�� ��!� �� �! ��" }!% � ! �� ^!#�# �# '(���"X� !"!��~!( '(�% �(![% �"X� �$# '($-��% !# �" �"! ��% �"#� }$" �#'! �!� & �(!X�%$# '��# �� MEM DG� B �G FB �EP B� E¤B�G HBMGM EM GP DC K£ E¤KM �NBCKDC K£ E¤KM� GP ¤KKC�GPB�BM GIFGCEBPBM �" �$ & d # �" #�#X�% ! ����$�� � }$" �� �! �$(% !

� � � �� � � �� � " �

� ��, ���� �� � � �� � " #

�� &\��

�� '���� '��# ��# !(X!( �! �"X($' }�! ) e�� # }$�$ �"X�(� ��"� $% $ �"! $"#X!"X� �" �, �� �� �� �� � . & d" ^�"�(!� �" �� $ !��!- }!X� $ �# $%'!X�-�� $" �!�$(�# ��#X�"X$# ��� $ ��"X�� �� '!(! ��#X�"X!# '!(X }� ��!# 0 �� #�#X�% ! $((�#'$"���"X� ��' �"�� �� � &d � #$"��$ '���� �"X�('(�X!(#� $% $ �"! '�(X�(-! � }$" ��� �#X!�$ �� �e����-(�$ �� �" ^!#!"X� ' �e�� !"!# �!(�! �$"�# �� '(�#� }$" �0 '$( X!"X$ ' �e�� !"!# �!(�! �$"�# �� ��"#��!� � & ��'����" �"X$" �# $-X�"�( � �! �$"�# '!(! �#X!# ' �(X�(-! �$"�# '$( FEP GBFE�B¤E KP �� �� &\��!�(����$( �� �! '$#� � }$" �� � �� � �" � �� � & ,$"��"�$ � � ��� 0 � � �� � ��� 0 ��#'(� �!"�$�$# X }�(% �"$# �!�( }!X� $# �" � #� ���^! !

�� � �� ��� � " � ���� � ��,��� � $" �, � �,� !� ��!�! �" � � �� & d ��% �"!"�$ �� "$# e���! �! � �! � }$" �� $"�!# '!(! ��

,�� �,

� �, ,��� ,#�� &\��

Page 155: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ����; �4 ��4;� �5� �\\+"! � �! � }$" #�% ��!( �# � }!���! '!(! �� 0 '!(! � � & $ � !� }� �� "$%-(� �� $"�!# �� '(�#� }$" &��^ }�" �! X�$( }�! �� �! � �! � }$" �� $"�!# ) �! ���$ ��!� �� '($'!^! � }$" �� �#X!# ' �e�� !"!#' �(X�(-! �$"�# �# '(� �#!% �"X� � ) e�� �# $"#X!"X� #� �! ��"#��!� -!#� ��� % ���$ �� �# $"#X!"X� &��4�� �� �5 § �� � �!� d# (�- �( �� #�#X�% ! �� �$# ^!#�# �#�"X( }$'� $# �" X }�(% �"$# �� �!# �!(�![-��# � 0 � ) ���% �"!"�$ � &�- � �!� ��!( �! ���$ ��!� ��� #$"��$ �� �" �� $ �#$X�(% $ & d# (�- �( �!# � �! �$"�# &�� ���� § �` �$%$ � �%'�$ �� �! $%'�� ��!� �" �!(�!# �!(�!-��# �#'! �!��# ) ��# (�- �(�[%$# !�$(! �!# � �! �$"�# ! e�� #� (��� � �� #�#X�% ! $%'(�#�- �� �� �$# HBMGM NBCK DC K£ E¤KMGP ¤KP�E¤EKP GM GM DB¤EKPBCEBM G ECCK DB¤EKPBFGM & ��"�%$# �"! � �! � }$" �� $"X�"���!� e��'$��%$# �# (�- �( $%$ � � �� � � � " ) �# �� �(

�� � � � � �� � � � � " #

,$( $X($ �!�$ ) �! � �! � }$" ��" }!% � ! �#�� � � �� � ��� �� � " #

d" X�( �( ��^!( !�% �X�%$# e�� � � � ��� ) �� �$(% ! e�� �� � � � �� ��� � �, �� # ��#X�X�[0�"�$ �#X! �*'(�#� }$" �" �! � �! � }$" ��" }!% � ! #� X��"��, ��

�� � �� � � �� �

$" �$ e�� �! ��0 �� $"#�(�! � }$" �� %!#! e���! �" �! �$(% !�, �� � � � � ��� � � �� � � � � " #

,!(! $-X�"�( �! � �! � }$" ��#�!�! # }$�$ "$# �!�X! �#!( �! � �' }$X�#�# �� �(($X! �$"!���!� '!(!�# (�- �( � � �� ) $" �$ e�� #� ���^! !

�,� �

��� � . ���� ,�

� ���� " #�� &\Z�

}d#X! �# �! �*'(�#� }$" -�# !�! & $ !�$ e�� � � � �� � #� X(!X! �� �"! � �! � }$" �!#���"�!��� #�^�"�$ $(��" '!(! �! }�"� ! �!(�!-�� � & d#X! � �! � }$" �# �� %$���$ % }!# $"$ ��$ �"� }�#� ! !X�% }!X� ! �� � �! � }$" �� X�'$ �!(�!-�� & d � X�' $ �� �! � �! � }$" �$ ��X�(% �"! �!% !X(�~ �� $ �� ��"X�# �� �!# #�^�"�!# ��(��!�!# )� �� � � ��, �� � � ��� � � �, � � � � �

� & ���� ) �/�� & f! % !X(�~ �# ���"��! '$#�X��! #� 0 # }$�$ #� � � �� �) �# �� �( #�� � �

�( }�^�% �" #�-# }$"� $ � & �� �� � �"X$" �# e�� �! � �! � }$" �# GF �£ DE¤B ) #�% ��!( ! �! � �! � }$"

Page 156: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�\� ��� ��5; �4�=4�75; �5���4;�?�4;�� f!' �!�� ) ! �! e�� #� (����� �" �� �}�% �X�

�� " ��$" �$ e�� #� �$ �"���� �$" �� �!#$

�"�$%'(�#�- �� �(($X!��$"! �� & d" �� �!#$ #�' �(# }$" ��$ �" e���

� � ) � � �� �) �! ���!�� }$" �#�� DE£ K QE£ GC N KFE¤K ��"! ���!�� }$" �� $"�!# "$ ��"�!�� &d# ! }�" % }!# � }!��� �� � �#�! ��~!( �� (�#��X!�$ �" �! #�X�!�� }$" X }�' ��! �" �! X�$( }�! ��� #$" ��$�" e�� �! ���$ ���!� �# !'($* �%!�!% �"X� �$"#X!"X� ) ' $( � �%' �$ � �� � " � "� ) 0 ! ���! #�#�' �('$"�" �!# ' �e�� !"!# $#���!��$"�# �� �! � �-(!�� }$" !� }�#X��! �$" '$X�"��! � � & d"X$"��#'$��%$# FEP GBFE�BC �! ���!�� }$" �� &\Z� �" �! �$(% !

�� ��, � ,�� , �

,� , �

,� � ,

� " ��� &�"���

�� � � � -X� ��� �� � �X� ���� � � �� ����� � �� �������� }� � $ � ���� �� �-X�� � � 0

� ��� ��� ��0�� �� �� ������� }� � �� }�� ��� � ����� �� � }�� ��� � e�� � �� ����� ������ ����X �� �� �� ��� �� � �� ����� � ����� }� ����X� }����� �

� �� � � � ����� � � ��������� � ����� �� ���� ��

����� � ������� ��� ����� � ������� ���� ������� �� � ����� �� }� ��� ���� � !�� ��"�� � }����� � �$ � ������ ���� ��!�� !�� �� � � �� � �� #�� �� ���� � ������ �� � ���"�� �� �� �� ������ }� �� � ��� � $� ��� �� �� ������� %� �� � ��� ����� ������ ���� ����& � � � �� � � ���� %� ���� �6 � ��� (

*6*� � � �

�,*�*� �

����

� ���

� #�� �' ��

$ �� � ���� ���� �� � %������ ���� �� ���� � ��*�*� � � �

���

� � ���

� #�� �'��

( ������� �� ����� �� ������ ��� �� ���� � � ) * �� � �* �+ ������ �� �� � ��� %� ����������� � ���� � � � ��������� �� � ���!�� �� �� ���� %� � � ��� �� �� ������ %� ���� � %������ � , �6 � � �� ���!� �� ��� �� �

6 �

� � �

� " �� � �

, �6 � �

� " �

�� �'-�

� ��� �� � �� .$/� � �� ��� �� ���� �� ���� � ����� �� �� � ���� � %�� � . � �� �� ���� ���� ��� ������ %� �� �� � ���� � � �!������ �� ��������� ���0����� �1 �� � � � �� �� %� 2�� � ����34 � 4 �� � �� �� #��

4 �

� � � 4 �

� 6 #�� �''�5�� ������� �8�� �� �� ������� 7�� �� �� 8������ /

Page 157: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ������� �� �������� � �-�. � ��� �� ��!� �� ������ %� �� �� �'-� �� �#������ � �

,4 �,

� � �

�, �4 �

�� ��� �'��� � ����� �� � �� �� � � �� ��� � ��� � ���� � � %�� ���%���� �� �������� #�� �� �� %������ � �� %������ #�� ���� � !�� ����� ����� %� ��� � ��� ���� �� �� � � � ��� ��� �� � � � � ����� ����� , �6 � � � �6 �� � . � � ������ %� �� � ��� � �� ��� ������� ���� %� � �� ��� %�� ���� ���� ������ �

� �� ���� � � �������� ���� � ����� ����� ��� ����

.� ����� ��� �� � �� ����� ����� ���� � �� ��� %� ��� � �� � %����� ���� ������ ��������� ������ �� � ���� ��� ���� � %����� ��� � ����� %� � ��� � ��� #�� � ��� %�� � ��� �1 �� � � � ������ %� � �� � � � �� �� ���� � � � � ��� %� � � � �� � � . ��� ���� ������� ��� �� � � ������ �� %� ����� � �� � %������ ������ ����

* � *��#�� �'��

. �� ���� ��� � %����� �� ������� � � �� �� �� %� �� �� ��� ���� ��� ��41�� 2�1 � � ��� ����� ��� %� �� ���� ������ � � �� � � � ��� ���� � � � ����� ��� � ���� �� � %������ #�� ����� ��� � %������ �� ���� � ��� ��� �� ��

� � �� �, � � � ��� �'���� �� � (

� � � ���� 2 � § �� � ���� �� � � � � �� �� !� " #��� !� �� ��$ � � �� � � � �� �� �'�� ��!�� �� � � % & � � �' � #�� �'��

.� ����� � � ���� � #�� ��� ����� �� � �� �� � � �� �- �� � %������ ( �!� !� ( �!�� � �)� ���1 § �� �* +� �� � � � �� !�������$ ��(� ���#�� � ��� !������ � �� � � � � �� ��!�#��� !� �� �� ��� ����� �, !���� -�� �� .� � �� � �!�� ��� �� �� ��/ �� !�!�� � �� ���� !�� !��� �� � ��(� �� �� !� ��� �,� �� �( �� � ���� �� �� � � �$

�� �, �0 12

� 3 4 5 678 9�: �'��

Page 158: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�-� ������� ��������� ����������)� ���� § �� �� +� �� � �� � ��(� ��� #�� � �� � � � � �� �� !� #��� !� �� �� ��� � �!�� ��� � ������ �� !������� �� �� ��/ �� !� !�� .�� �� � �� ���/ � � �� � !��"��!��� � ����� � ����� ��( ��� 1�

17 5���2� 7 9�: ����� �� � �� � !�� � ��� � ��� �� �� !������� �� ��� ���" � -�� �� �� ��/ �� !� !�� �� ���� !�� !� � �����/ � � �� � !��"��!��� $ 1� �17 5 � ��������� �� #�� ���� �� �� � ����� %� ��� �� � !�� ����� �� �� � ��� � %������� �

2 5 ��� � 6� 5 2� � � 5 8 5 2

� ! ��� 5 6�� ! �� ��� ���� � #�� � �� ������ � ��� �

� 5�� "� 3 6� ! � 3 4 9#�� �����$� �� %��&����� ' �$ ���$�� (�& �� �$ �&��) (*$ + � �� �� ��������

��� ����� �� �� �� ���,��� %� �� - �� ����� ���� ��� ������ � ��.�� �� � ��������� ��� � ������� � %������ ��� � � %� ��� ����� � � /��� � ���� #�� �� .� �� %� � ������� � � � � ��! %/� ������ ��� �� � �� %�� ������� �� �� ����� ���� �� �� ��� �� �� ���,��� %� �� �� � ��! %/� � #������ .���0�� �� ���,� �,�� �� �� � ���� �� ���� ���� , �� � ���� ��� �� ������ %� 0' �1�2 �

3 117

41� 0"2� 3 8 3 4 5 5 6 78 09 : "2 3 ; ! 6 78 < 90: ��12

=��� ������ ���� %�� #�� ; 5 < 5 � 0�� ����� � � �1 �� � .�� �� � �� ����� %� �������2 � > ������ �� #�� ���� � ����� ���.�� � 9 : " 5 !2 " � �� �� � ��� � � �� �? �������' �� 6 78 0@ : "2 5 !'2 : " ! 2 0' : " 2 5 !'2 : " 3

23 1317 5 !3 117

423 5 3�2� 7 90: ���2

. .� �� %� �� �� � ��� %/� � � 5 8 3 2 �3 #���� �� . %������ !� ����117

41� 0" 2� 3 � 3 4 5 5

13 �2� 7�0: ��-2

#�� ����� �� � ��� ���� . %������ �� - �� ����� � 0� �-�2 � > ��������� #�� �� � ��0� �� �� ��� ������ �, ��� �� � � � ��� ������ � ��������� ��� � #�� ������� � � �� 8 5 �� � � � �� 5 2 �3 3 6 � � �� ��� #�� � ��� ��� � %������ �� �� � 1A 5 � � 1� 5 12 �3 � 18 5 2 13�3� �

BCDEF GG H IFJD KLC M CEFM KCENOC

Page 159: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� +� #�'�� �� ��&����$�� (�& 1-:� �� ��� �� � ������� � � � ���� �� �� ���$� �������� %�� �� ��� ��� ���� �� ���������� �� ����,���� ������ ��� �� ���� �� ����� ���� ����� �� �� ��� %�� ��� �� !���� �� ��� �� ��� !������ �� �� �� ��� � � �� %� ���� �������� ���� �� �� " ��$&& ��� � �� � �� �� � �� �� � � .� �.�� � � ��� ��� ���� 0: �#2 � 0: �- 12��� � �� �� !����� � ���������� �� %������ � %��� �� �� �� �� � �� �� ����� � !���� %������ �� �����$�� � ������ ��������� ���, � �%��� � �������� &'�( '� )* +"� � ����� ��� ����� ��,/� ������ ���0�� - ��� ���������� 0.�������� �� �� ��� 2 �� ����� ������ ����� � �. � ./01 � 2�� ��� ,/��� �� ,� ��� %����� �� �� �������� ,�� �� ��� ��� ���� �� �� ��� ��� �� ,����� �� ,� ���� �%������ �� �� ,�� �� .� �� ����� $�� � �

3 ��� 4�� �� � �� ,����� �� ������ �� ��� ������� �� ������ � �� � ��� �� ���� ,�� ��� �? �� ���� �� �� ��%�� 4� ,� ������ �1� ���� �� � �� �� � - %����� ���!� �� � ����� �� ����� ����� � �� ,� ���� 4�� ��������� � �� � �� .��� ��� ,�� � /��� %��� � � � � ��,���� ��� ���� �����4�� �� �%���,�� �� �� �� ,�� ��� ������ ��������� �� �� �� ��� ,/� � - ���� ,�� ������� ����� ��� ������� � � /�� � ��? �� �� ���� �� ������� �% �� ��� ��� ��� ,/� � � �� ,� ��� �� ,��������� �� ���%���� .�������� �� ��� ,��� ���� �4� ,/ ������ �� � /��� �1� ����� .,/����� �� ��� �� ������ ��������� �� ������� ����� �� ��,���� ��� ,��� ���� �� �������� ,�� �� �� ��� -�� , ��������� � ������������ �� �� ���,/� ���� � � � ��� � �1����� �� �� �� ���� ��� ����� ,�� �

5� ���,/� �� �� �� ��� ������ ��� �� ,������ �� ,����� � ���� 6� ,�� � ������ ��� ���������� ��7 ��.���� ��� ���������� ��.������� ��� �� ��� ������ �����8 . � �� ,������ .�������� - �� ��� ,/� ������������ �� �� ��� ��� �� ��� ��%������� � ������ � �� ��� � � �� ,� ���� ��� ��! �� 99 � �1 7� ����� ��� ���,�� ������ �� �� ������ ,�� � ��� ���� - ��� ��!��� ��� ���,� � ,������ � 3 ���� ������ ����� ��� �1�� ���� �� �? ��� �� � ,�� ���� �� � � �� %��)��� �:;������� <=> ? .����%�� �� ��� ��� 0: �-:2 �� �� .��� � ���������� �

@ A 3 B : @C 5 �0: ��D2��� @ 5 03 � E 2F � G��� �$��� �� �� ��H B 5 B 03 � E 2 - ��� �� ��� 4�� ���� ��� � �� �,� �����

IJ 5 E 3 6 � I� 5 E ! 6 90: ���2K � � � ,� ��� �� �� .����� �� �� �� �� �� ���� ��� ��� ��� 0: �L:2 ��� � ��� ��� � �� ��% ,����� ������������ �� ����,���� ������ ��� �

� �MN �� ������ � � �� � ��O��3 ��� 4�� �� �� ���� �� ��� ��� ���� �P���� �� �� ������ �� � ���� ��$��� ���� � � �� ,� �����, ���� �� �� ��%� ��� ���� ��� �� ������� ,�� �� ���!���������� �� ��� ���������� �� �� � ����� ��� ���� ��� � 0: �#2 � 0: ��D2 ��� �� ������ ,��

EA 3 EEC 5 � �0: ���2

Page 160: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

1L# ������� ��������� ����������������� � ��� �� �� �� ,� ��� ������ ,�� � + � + %��)��� � .-�1 � 4�� �� �� � ,�� ���� �� ��"�� ���� .�� � �� 4�� �������� ������ ��������� �� ���� � $�� � 0���4���2 � �%� ,��,���4�� 0: ���2 �� ���� ��� �� � �� ������ ,�� �� ������,��� ,�� �� �� ��� ���� �� � �, �� ��� � ����� ,����%�� �������� ��� ���������� �� ,��� ��� �� ����� ,�� 0- �� , ��������� 2 � K � ������H���%�� ��� ���� 4�� �� ���%��� ,� ��� ��!� �� ����� ������ ,�� ��� ��� ��� ���� �� ���!���� ������� �� � ,�� ����%� � =� ���� �� �� �� ���� ���

E 0� � �2 5 � 0� 2 �0: ��:24�� ����� �� ������� ���� � ,�� ��� ������ ���� �,�� - � J 0��� �? ��� �� ��� ��� !�������� 2 �:;������� <=�? 0�2 3�� �� ��� � ����� � �� ,������ �� ����� ��,/� ���� 4�� ��� ������������ ,������ �� �� ������ ,�� �� -��!��� �� �� ��� �� �� � 5 � 0� � 72 � � � �� � 7 � �� �� �% ������ ����� � �� . ,������ ��� � ,/�� �

E 0� � 72 5 � 0� ! E 0� � 7272 90: ��#20% 2 3�� �� ��� � ����� � �� ������ �� �� .���� ,�� ��� � ,/�� � 4�� �� . ,������ 0: ��#2 ������7����� ��� ������ ,�� � J �� 0: ���27 0: ��:2 ����� � �� ����� � ,�P �� �

� 5 � ��C 1� � 0� 2 90: ���2

0�2 /������� �� ������ � �� ����� � ,�P �� � �� �P �� ����� �� ������ ,�� �� ,����� ���� �� ���7%���� ��� �� �E 0� � �2 5

11 3 � � 90: ���23�%�? �� ��� ����� ��,/� ���� �� � ��� � 0� ���� 0� � 722 - ,�� � ,�� � �� ���H�� �� �� ���� ��������� � 0)* +"�(2 - �� ������� �� �� ��!���� 0 &'� '� ���� �)) ! " & 2 �

5� ���,/� �� ����� �� !����� ��H� ��� ��$��� �� � ���������� �� �� .��� �

EA 3 � 0E 2C 5 � �0: �� 12������ � �� �� ��� �� �� � ���,�P� � � �� 0E 2 � � � KP�� �� ���#�� ����� ���� ���� .���������� ���,�P�� �� �� ���� ���� ��� � 5� ��� ,/� ,�� ���� � �� ��� ����� �� ��,�� �!��� ,�� �@& $� %&��� (�� ! '� �& "� &!(!(K � ��- ����� �� � �%���,�� 4�� � � ��� �� ��� ���� � �� 4�� ��� ����� �� ,/� ���� ��� ��7H�� � � �� ���� ���� ��%�� � ��� � �� � ,� ��� !��� ,� ���� ������� ���������� E 5 E 0� � 72��� �,������� 0,����� ,� ����� �� E ���� �� � ��� � ��� � 0� � 722 � /����� �� �������%��� � .�� ,�� ��� ��%�� ��� ��� ���� ��� ��� �� ��� !���� � �� �%���,� 4�� � ��� '����������( & ����� ���! ,�� ��� ��� .,/���� - ��� �� � �������� �� ������ ,�� �� �� ����� ����� � 5��!�7� �� ��,/ �� ��� � ���� ���� � �� �� .,/���� �� �� ,� ��� � ������ � �� ���,/� �� ��)� ��* � �+�� ����� � �� , )�� � -��� �� �� � �� �� � �� 4� ,� ������ � � ���� �����,�� �� ���!��

Page 161: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� +�� �������&�� �� �&��� (*$ 1L��� ����� #�� �� �� �������� 4�� ��� !���� ���� ��� ��� �� �,/� � � �� !���� , ������� � �� ������� 4�� ������ ������ �P �� � � �4�� ��� , ��������� - ����� � � � ,/� � � � 5� ��!�����H��� ,�� ����� ���������� �� �� ������ ,�� �� -��!��� �� ��� ��H� � ��������� �� ,��� ��� �� , ��������� ���� .��� �

EA 3 EEC 5 � ECC �0: ���2���

� �� 0� ��,� �� �� � � �� ��� ��� ���� ,�2 � -���� �� �� �� �� ,�P �� � ��� ,/ ��� � �!����

���� ������� �� �� �� ���������� - �� �� ������ �� ��� � ������� �

� � 5� �P� ������ ,�� ��4�� �� � � ,� ��� �� ������ �������� �� � ��� !��� ,� ���� �� 4�� �� �� � �� �� � ��� �#�4���� ����� ����,���� ��$�� �� �� �� .���� ,�� ���� � - �� ,��� ���

� ECC �� �� �� �%���� ����������%�� �� �� ������ ,�� ����P ����� � �� ���#� 4�� � �

� � � �4� ,/ �� �? ��� �� ��� ,�� � �� .,/���� ��� �%��!� � ��� ����� ���� �� ��� ��%��� ������ �� �� � ��!���� � ��!���� �� ���4������� � � ��� � � ������� �� � � ���!����� �

� �MM ���� �� �� ���� ��� ��� ��� �� � �������� � �

���� �� �� � �!���� ����� ��%�� �� ����� 4�� ���� ��� � � �� ,� ���� ���� �� ������ ,�� ��%��)��� - � ��� ��-�� �� ������,��� ,�� � =� � ��� �� �� ���%���� �� ��� ������ ,�� �� ������������� ����� ,�� �� �� ������� ,�� �� ��� ���!�������� � � � ,�� �� !����� � � �� �P �� ������� ���������� ��� �� �� ������ ��� �� ��- ��!������ � K � � ���%���� .�� �%������ � �� - �" ��$&& �� �� ��%�? � .����� �� � � � 1#�� � ����� �� ����? � ��� .�� ���� ��+ � ,�� ��� �� � � ���� �, � �� ��� ���%����� �� ��!�������� �� ��� ���������� - ��� ���� �� ������.������� � !����� � � ��� �� ���� � �� �� ����? � �� ������ � �� ���������� !����� ��H���� ����������� �� �� ��� ��� �� ��� � � ,+ �)� �� 0= � 5 � � (������ � 1�L#2 � ���� %��� � �� �������� #�- �� ,����� & �� ��$���� � �� ��� ���������� �� ��� !���� ��������% ��� � ���� � ������������� !�������H���� �� ��� ,������ � K � ������� ���� �� ������ � �� ������ ,�� ��������0� ����� �� ���������� ��� ���% ���2 � � ,�� ��� ��� 4�� �� ������ � �� ������ ,�� �� ,����� � ��� � ,����� ��� �,� 4�� �� �� ������ ,�� !����� ��H��� � - +"� ��&�� (�&� !' "�(!) � - ���%�� ���!�4�� �� ���%���� �� ,� ����� �� ���� ��� - �� ��� ���� �� ,� %��� ������� � �� ��� ����� � �,�����.����� �� � ��� �� �� ��� ,/� �� �� ,� ��� �� '5�-�� �� ������,��� ,�� - ����� �� �#�4��(��#�� ��� ��H��� �� �� ��!���� � � �� �� �� � ��!�� - �� ��% �� � ��� �& �� � �������� � #$� ���� - � ��� ���#�� �� ���� � =� �� � �� ��� �� ��� ���� � ,�� �� �,�� �� ��,�� �!��� ,���� �� ,� ��� �� �� � �

K� ��� ������ � �� ���� ����� ,�� - �� ��������� ,�� �� ��� ���������� ��� ���% ��� � ����������)� �� �� � ,+� ��� � �P �!� �� ������� � �4�� ���� �.�� �� �� , ��������� - �������� ,�� 4�����!� �� ����� � � � ,/� � � � ��� ��? �� �� ������ � �� .��� � �� ����������� �� �������� ���� � �� ��� � ��� � � �� ,� ���� ��� ���� � ��� ����� ���H��� ,�� �� �� ,� ��� �� �,/����� ����� '%����� ����������( � �� 4�� �� �����!�� �� ���#�� ����� %�? � �� .��� � �� �� � ���� � ,+� ��� � K� �� ���� �� �� ������ ,�� �� -��!��� � �� ������� ,�� ��� ��� �� ���� � 4������� ���H� �� %���� ������ ,�� �� �� ��� ,/� �� �� ���� ��� ���������� ��� ��%������ ��� � .��

Page 162: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

1D� ������� ��������� ����������.�������� ��� � + ��� �& �� ��� � ��� ����!������ �

EA � �7 9

���� � ��� ����������� ���� ��� �� �P �� �� �� ���%����� �� ,����� ��� �������� � �� ����7������ ,�� ���� ��� � 2� �� ,/���� .����� �� � � �� �� �� ���� �� ��� ���������� �� �� ��� ,/��� .� �1 � 1�:� � 2�� �� ������ ,�� �������� � � �� ���� �� �� ,� ��� �� ��� ����� �� �#�4�� ����� �? ��� �� �� �P � �� /#���� - � ������ ./� 1 � -�� � ��� ��.�������� �� �� %�%���!��.,/�� � $�� � ��� ��� ,/ ��� �

BCDEF GGG H � J M � �FM F �EJ �

� �M� �� ��� ��� �� ��� ��� �� ���K � 4��H ,� ���,����� � ����� �� ��� ����� �,��H���� ��%�� �� ���� ���� ,�� ��� - �P������ �!���� � ��� � 5� ���� ���� ,�� ��� �� �� ������� 4�� �� ���� ��� �� �����%��� �� �� ��� - ��%�? � �� ��� � ����� � ������ ,�� ���� � =� .����� �� ��� ,�� ������� � �� ����� %����� ��� ��,/� � � �� ��� ���,/�� � ������ ,�� ���� 0� �� ,����� �� �� ,/� ��� � ��� ,� ��� �� !����2 ������ ��� ,�� ��� �� ��� ,/����� ����� � ��$�� � � 5�� # �� ,� ���� #�%� �� ��� ��� ���� 4�� �� �� ���� ��� ��%� ����� ,����� �� �� ���� �� ��� �� �!��!��� ,�� 0��� ���� .���2 � � ��� �� ��� ,/�!����� � �� �P ����� � � �H���� - �� ���� ����. ,������ - �� .����� �� � � �� �� �� ���� �� ������������� 4� ,/� ���� � ���%� ,�� ������� ��� �� ���� ,�� �� ��) � �+ 0 ��� ���� ,�� ��� �� ��� ����� ��� � ,�� ��������2 � � � � � ���� �� '�����7�4����%���( � ������ �� 4�� �� ����� �� �� ��� �P �� - 4�� ���� ��� ��� � ���� �� � � ��� 4�� �� ��� ,�� , ,������ �� ��� !���� ��- ������������� �� ��� �������� ��� ���%��� ,��� ���� ��- %������ � ����!������ � ��� ,�� �� � � �� ���� ��� ��� 4�� �� ���� ���� ,�� ��� �� ,����� ��������� � ����� #�� �! ,����� ��������� �� � � ����4�� �� #���� �� �� �� � �� ,����� �� 0������ � 4�� � �� �� � !����� ��H� �� ���,/� �� ,����� � ��� ������� �� ��� �������� ������� � ��� ���� �� ��� ,����%��� ��� ���� ,�� ���� �=�! ,�� �� ������� ��� ���� ,�� ��� � �� �� ���� ,�� �� �� � ���� #�� �! ,���� �� ,� � ��.�� �7� �� � �� ��� ����� ������ �� ��� ��� �� ��� ,����%��� ��� ���� ,�� ���� � � ���!�� �� �� ���� � ,� ��� �� ,����%��� � �� ��� � ����� �� ���� ����H ,�� �� ������� ��� � � ��� ����� �� ������� ,�� ���� �� � �� �������� 3 0- �� ��,���� � �� ,���� �� ��� �� ,/$�� � � 5 1�32 � �� ����� ,�� 2 � ������! ,/� �� ���� 8 � �� ��� ��� ��� �%���� � � � �� � ,+� ��� ��� �� ,/$�� � A � �� ��� ��� ������� ������ � � ����� �� ,� � ����� ����� ������ �� �� ��� �� ,�� ��� ��� 2 - 3 � ,� � - 2 � ,� A -3 � 5� �� ��� ,/� � 4�� ��,������ �� ������ � ��.,/��� � �� ��- �� ���� � ����� �� ��� ����������� ,�%� ���� � ����� ,����%��� �� ��, ���� �� �� ,�� ��� � 4�� ��% �� �� �!����� �� �� ,���� ������ ���� ��� ��� ��� ��%��� ,�� !��%� � � ��� � 3 � 8 - A � � ,�� ��� � ��� � 2 - � � 4�� ������������ �� �� ,� ��� ��� �� � ��� �� ���� �� �� ��� ��H� �

� ������� ������ ����� �� ���� ���� �� �� ���� � � � �� ���� ��� � !""# $%&'

Page 163: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� +�� ����� �& ($ ��$ 1D 1K� �� ���,/� ���� � �� �� ����� �� ���� � �� �� , ��������� �� �� ������ �, ���� ,��� ����� ��� ���, �������� ��� �4����%��� ��� ���� ,�� ��� �K � �� #��#� ��� � ��� 4�� ���� ���� ����� �� �� ���� �P �� � ��� ������ ,�� �� �� ��

����� ,�� 2 � �� ��� ��� ��� 0�%���� �2 � - �� �������� 3 �� 02 � � � 3 2 5 � �0: ��L2

4�� �� ����� &�� '� �(��' � K� $� !��� $� !&) !$ ! �� �� ,� ����H !����� � � - ���� ��� �#�� �� , �� � 4��

�� 5 18 3 2 1� �0: ��D2����� � �� �� ��� .���� ,�� �� �� ��� � � ��� A � ��$���� � ����� � �� 5 � 1A � � ,/ #� ������� �

� ���� �� ��� �� ��- 4�� ��������� 8 ��� � - ����% ��� �� � ��� 2 � 8 5 8 0� �2 2 � - ��� ������ ��� � � ���� ��� ��� ����� ��� �4����� �� ���������� �� ��� ��������� : �� � : �L � ����� �� ������� �� ��� ������ ,�� ��.������� � - ��� ��-�� �� �� ��� �����$� �$��$���� �� ���$�� + ,K � �� �������� �� ��,����� �� �������� ���� ��� � � �� ��� ����! ,/� �� ���� � 5� � ,�� ������� �� �� �&�� &$ "�� � � � � ��� ��%� ,�� �������� �� �&��� "��&!%�� � �)� � �� ,+���� �� � ��� � ,� � � - �� $ ��&) !� & ���� ' !& "�� !) '� � !%% ( � ��%� ,�� ���� ��� � �+* ��� � �+� �� � ��� � � =�� . ,������� ��� %��� ������ ��

� 5 8 3 2 � � 5 8 ! � A � 5 � ! � A �0: ���2=�� ��.������� ��� ���1� 5 � 1A 3 � 12 � 1 5 !A 1� ! 2 1� � 1 5 !A 1� 3 �12 90: ���2

K� ��� ������ � �� �� � �� ,/� �� ��� �� �� � �� ��� � ,� ��� ��� �� 4�� �� ����� ,�� � %��� �� ���� �� �� %��� ,��,/� �� �� � ���� �� ����� 1� � 1� � 5�� ����.��� ������� � ����� ,�� ���� �� � �������� ���+�� � � ��� ��� ��� ���� �� � � ,�+� �� � � ,���� �� ���� �� � � �+�� � ���� �� ��� � � �� ��� ����.��� ��� ,�� � ������� ����% ,� ��� �� ���� 4�� 1� 5 � � ���!�1� 5 � 12 5

123 �0: ��:24�� �� �������� �� � �� ,��� ��� 4�� �� �� �� �� ��!���� � ���%�� �� �� ������ ,�� �� K���� ��� ��� � ���� �� �� ���,�������� �� ���� �� �� ��� ,/� � K� �� !�� � ��� � ,�� ��� �� ����

� 5 20 ! 12 3 90: ��#2����� ��� � �!�� ���� ��� ���� ,�� ���� � �� �,� 3 � �� ��,���� � � - � � �� ,�� �� ��� ����� ��$7����� ���,� ��� ���� �� � ��� �,� � �� 4�� �� � ��� ��� ��� ,���������� �9��"&' $� !&) !$ ! '� &� ���� ' !& "�� !)�

Page 164: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

1D� ������� ��������� ����������=� ������� �� !����� � ��� � ��!�� ���� �� � ���� ��� ���� � �� ��� ��� �� �P �� ����� ����� ,����%�� �� �� ��� A 5 A 0� � 72 � �� �� ��� ,/� ��� �� ,/$�� � � � 4�� ���� ��� ��� ����3 1A

17� ;� ! � : 0 <� 2 90: ���2

����� ; - < ��� ��� .��� �� �� �� ��� ��� ��%����� - �� ��? � �� ����� ��$����� �� �� ��� ,/ ���D � - � �� �� ��� ��� ��� �%���� � � K� ��� �� �����% �� ,� . ,����� �� � �� �P����� ,�� �� �!�� � ���� ,���� �� �� ���� � � 5�� ��� ����� �� 4�� �� ,���$�� �� ����!�� ���� ��� ����,����% ��� � ��#�- �!�� ���� ��,����% ��� �� "�+" !' ( $ �� �)� (

5� ���� ���� ,�� ��� �� �� �� ���� � ,��� � ��� !���� ��� � -� #�� �� , �� � � ���� ��%� ,��� ��� � ,/4����� � �� ��� �� �� � � ���� 4�� �� ����� ���H� � �� �� .�������� ���� ���� � ����� ����� ����� � �� �������� ,�� � =� ������ �,/4����� � ��.�� �� �4������ �� 4�� �� ���������� �%���� �� �� � ���� �� � � � ��� ��� �� �� �������� �� �������� ��� ���� � ,�� � � ������!���� �� � �� �� ��� ��� ��� � �. � 0# �D#2 � 3 ��� 4�� �� �� ��� ,/� #� �� ��� ��� .���� ,���� �� ��� � �� ���� ���� ,�� ��� ���� 4�� �� ��� � ,/4����� � ��.�� �� 8 5 8 0� 2 � �� .��� � 4�� ������� ��� �� ,/$�� 6 5 � 8��� � �� � ,��� .���� ,�� �� � �

� �M� � � �� � �� � �� �� �� ��� ��� ��� �� O�� � �4� ,/ ��� ����,��� ,�� ������� � ��- ���� �� �� �� ��- �� -�-��7� ���� � � 2 � 5 6 � ��%���� �� ��&�) 01#��2 - ��$����� 01#�:2 � 4�� ��� ,� � � ��� �� ��� ���� ��� ��� �� ��� � ,� ������ �� ��� ,� ��� �� !���� %����� �� �� � �� ,����� K � �� ,/� ��� �=� ��������� �� ��%� �� ���� � - ,���� �� � 5 � ��� ������� �� �� �� ��� �������� �� � � �� ,������ �� �� !�� ��� ���� � � =� ����� �������� �� ����� ,�� �? ������ ��%����� ����� ��� ��%� 4�� , ���� ���� � ��

2 5.���H������� �� ��� ��$��� 5

��� ���� �� � �, �� ��� �,���� � ���� � 90: �:�2

���� ��� ����� �� ������� #���� ��� # �� ,� ���� ��%�� �� ��� ��%��� ,�� �� ��� � �� ,������ ��� !�� ����� �����!��� �� � ,�P ��� ��������H ������� �� 4�� �� *�� �� ��� � �� ���� ) �+� ���)� �� � )��� � ��� � ��� �� ,� ,� 6 � ���� )� �� �� �� � �� , �� � �+����� � ����+ � ,�� ��� �)� � K� ����� ���� �� 4�� �� �� ����� � 7 ��� ��� ����1

� 6 � 7� 0: �:12�� � �� ,������ !��� ��� ��� ���� ��� ��%� � 3 ��� 4�� ���� ��� ����� � ��� ��� ���� ��� �, �� ��� � �!�� � � �� 6 � �� ����� ,�� ����� � ���

2 51� 6� 7� �� 6�� � 7 5

�L

41� � 6�5 �� 90: �:�2

Page 165: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

:;�������� 1DL� �,/ ���� �

2 � 5�L � �0: �:L2

����� � 5 01��2 � 6� �� �� ����! ,/� ��� ,� ��� � � � ��� !�� � ����� ���� ���%��� �� ��- ��������� � 2 � �� ����������� ��� ��� �� �

��� ������ � � �� ��� �� �%? � �� ,� �� ��� ,�� �� ����� �� ���� �� ���� �� # �� ,� ���� ��7 �� ,/� ��� � ���� ���� ����� ,�� � $�� ��� 01#��2 �� ����? � ��� ��� ��%������� � ,�� ��� ���7 � �J� ��� �� 4�� ����? � �� ���,� �� ��- �� -�-�� � 0�� %����$&& 01#:�2 4���� �������� ,���� ��%������� !����� ��� - �������� �� �,����� ,�� � 4�� �� ���,���� � �� .�� ��� ������ ,�� ���� ���%�� �

K� ��� �� �� ������� �� ��� .����H�� �� �� � ��� ����� ������ �� ��� ��.�������� .�� �� 1 �

��� �� ������ :;������� <=�?= �$����� ���� (*����� + =����!�� �� 4�� ���� �� �� ���%�� ����! ,�7 ��� ��!��� � �� �� ��- ��� 0: �1�2 � =� ���� � ���+ ��� �� ��� � � �� ������ ,��

6 5���� 90: �:D2= ����� ��� ����,��� ������� � 6 ��� ����� ,� �� �� ,�� �� �� � �� ,����%�� ��� ���� ,�� ��� 4��

�� ��� ���� ���� �� � � � ����,�� � � �,/ � �� ��!�� �� 6 ��$���� �� 0: ��D2 �� �P�� �� �� ��� ���+ ��� �� ��� � � ��)� � �� ,� ,� ��! ,�� �� � ��$���� ,�� � ��� � ������%�� ,� �� ��� �� �

3�� �� ��� 4�� �� ���+ ��� �� ��� � � � +�� � �� ,� ,� �� ,� ���� � ��

6� 5� ��� �����

�0: �:�24�� �� �� !�� ���� � ,� �� 6 3 � � �% ���� �� �������� ������ ,��

5 6� �6 90: �:�26/� ,� � �� �� �� ��� ��� �� ,/$�� � �� ��� ,/� ���� �� �8:;������� <=< � K� �� �� ���� �� ����� �� ������ � ��� �& ������� �� ������ ,�� �� ����% ,� ���1� 5 I1� ��� �� 4�� 0��� 2 4����

I1� 5 6 1� 3 2 1� 90: �::2 � ��� ���� ��� ��� �� ��� ��� ��� ������ � ���� ��� � ���������� �� ���� � �������� � �

Page 166: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

1DD ������� ��������� �����������% ���� ��� ��- ���� � � �,� ��� �� � 0: ��:2 ���

� 5�

6 ! I 3 1 90: �:#2/� ��� ��� �� �� ��� ,/� �:;������� <=� = :��$���&�� �� �&�$� � �2 � ��� �� �� 0: �D�2 �% ���� ���� � �� ������ ,��� ��� 7� 5 ! � �� 0� 2� � � 90: �:�2���� E �� �% ���� �� ������ ,�� � �E� 7� 5 ! �� � 4

� � 0� 2 �E� � 5 �0: �#�2��� �� �� �$���� � ��� ������ � �� � � � ���� ��%� ,�� ��� ������ ,�� ���� 3 �0% 2 3������ � �� ��������� ,�� ��� �� ������ ,�� ����� � �� ����� 0EA 5 6�ECC 2 4�� ��,��� ����� �� �����!��� ,�� 6 , ���� ���� �� ����������� 0� � 72 � �� �� . ,������

�6� 5 !� � 0� 2 �0: �# 126/ ,�� � �� ���������� �� � ��� �� ,��� ����� ��� ������ ��$���� �� 0: �LL280�2 6�� ,� �� � �� ������ ,�� �� �% ����,/� �� ������ ,���� �� � � 0� 2 � �8:;������� <=� = =�� �� �,/4���� � ��.�� � �� 4�� �� � ,��� �� �������� �� ���� �� � ���� ��%� ,�� �� �� ��� ��� �� ,/$�� � � ���� ��� ���������� �� �� ��� .�������� �� �� ��� �:;������� <=�� = K� ��� ��� ����� ��-� ����! ,/� �� ���� , ���� ���� ��� ��� ��- 8 5 8 0� � 3 2�� �� ��� ,/� ���� �� . ,������

1A 51�

� 8�� 1� 31�

4� 8�3 ! 23� 5 13 90: �#�23�� �� ��� 4�� �� � �P����� ,�� �� ��� ��.������� � �P�� � 0�� ��� .���� ,�� �� � - 32 �� - � ,����� �P �� � ��� .���� ,�� � 5 � 0� � 3 2 � � 4��

8 5 !� � ���4�

� 5 � 2 5 3� ��� 3 �0: �#L2- �� ����� A 5 ! ���� 90: �#D2> ������� �� 4�� �� � ����,��� �� ��� ��H� ���� 3 ���� �� � � 3������ $���� �� � 4�� � ����7���� ��� �� .���� ,�� ��%�? � �� ���#�� H � .G������� ,�� � ���� ��� � ,����%��� ����� ������ ��� 5 1�� - � 5 1�3 � K� ����� 1A 5 � 018 3 2 1� 2 � 8 5 0� � 1 � 2 5 !� - A 5 !� �� 91

Page 167: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

"����& 1D�

��� ��

� 5�� � �� ,����%��� ��� ���� ,�� ���� ��������� 032 � ����� ,�� 02 2 � ����! ,/� �� ���� 082 � ��� ��� ��� �%���� � 0� 2 � ,���� �� ��� �� ,/$�� 0� 2 ��� ��� ,/� 0�2 � �� ��� ,/� 0A 2 � ����! ,/� ��%�� �� �� #�� H 0 2 �����! ,/� ��%�� �� � �%%� 0 2 �

� 5�-�� �� �� ��� �2 5 2 0� � 3 2 � 8 5 8 0� � 3 2 9

� > ��������� % ,������ �� 5 1�3 � � 5 8 3 2 � � 5 8 ! � A � 5 � ! � A �

� > ��������� ��.������� ��� �18 5 � 1A ! 2 1� � 1� 5 � 1A 3 � 12 �1 5 !A 1� ! 2 1� � 1 5 !A 1� 3 �12 �

� � ���� ���� ��� �2 5 � 3 � � 8 5 6 � � 2 5 0 ! 123 8 5 01 ! 1 2 3 � 9

� 0��? �� ����% ,� ���� �1A 5 � � 18 5 !2 1� 5

23� 13 � 1� 5123 �

� 0��? � ����% ,� ��� �� �� !�� ���� � �2 5 �3� � 6� 5 23 � � 5 8 5 20 ! 123 5 6�0 ! 12 � 8 5

20 ! 123 5� �

Page 168: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

1D� ������� ��������� ������������ �������� ��� � � �� ���� �

� ��&�$�&��� � (*�����.�01 � + � ��&�� � : + � + � �&& � '0 ,/����( � �������7�����- G% ������������ � 1��� �.0�1 : + ��� � � '�#��� ��-��� ���( � 3�,�� � � �� ���� � 1�L: �.0�1 " + � + ��'&$& � " + % + #� �)���& � � + �$&�� � '�#� 0�-���� 5�� ���� �� �#-����( �,�� � � � �������7�����-� > �����! � � ��� �� 1��D �.�� 1 � + � + ��$��� � � + � + �$�� � '= � �� ���� � ��#�����( � �P .��� 2��,���� - � ���� ����1 �.� 1 � + � + �����& � '� � #��� ��� � = � �� ��� � � ��#�����( � � ����� �� 2��, � � ���� �� ����� �� � � � � 1�:� �

� #�'�� �� ��&����$�� (�& ' �&�$� �� ������./� 1 � +� + �����& � � +: + � $����& � '� � � #��� ���� G� ����� ��� � 0���� � ��#�����( �=����!��7-����! � 1�#�./01 " + ����$&� � � +� + ���������� � '=�� ������� ��� ��� �#��� ��,��( � =����!��7-����! � � �� ���� � 1�:: �.�> 1 ������ �� � � � +� + "$� �$�� � '-� ��%���� �- � ��� �. ������,� ��� ��� �( � =�� G> � K������� � 1�� 1 �.� �1 � + � + �������� � � +� ,�+��+ �)�� � ��+ ��)� , � ����+�� ��� ��� , ��+ ����� �� � � =%����� � �� 01�:�2 � �� � ��#7��� 0�� ���� 2 � � � # � 2==> 7=% � �� 01�:�2 � �� � �1:7�DL0 ������� ,�� ��!����2 �.5P1 � + #$� � '-� ��%���� �-� ��� �. ������,� ��� ��� � ��� #� �� #��� ��� � #���- �.�#� �� ��,��( � /-� =7�=0 ��!���� � /��.������ =����� � =G�� � �# �������# �� � 1�:L �.5- 1 " + � + #� ���� � '��� ������ � � #��� .�� ������,� ��� ��� �( � - ���# ������ � -���� �1��� �.�? 1 � + �$ ;�$ � '/��������% �� ���� ��� ��� �-� ��� �. ������,� ��� ��� � �� ��,��� �,����%���( � ��� � � � � # � =�� � � =����!��7-����! � � �� ���� � 1�#D �

� � �� ($&��$ ���$� (*����$.� 1 � + ��$&) � '= � �� ��� � � ��#�����( � � ���-� � �� � ���� � 1�#: �

� :��$���&�� �& �����$�$� $���$���

Page 169: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

1D:./ 1 " + ����$&� � � + � ������ � '� � #��� �. � � #��� ��� � �#-����( � � ���-� � �� ���� �1�#� 0���� ��� �� �� 1�L:2 �.��1 � + � � �&���)�� � 'G� ������� ,�� � ��� ���������� �� ����,���� ���������( � > �,�� ,� �-�������� � 1�33 �

� � ��� (����� + :��$�� (�& �� %��)���.-�1 � + � + %��)��� � � � � , �� � , ��� � ��� �� )� ,+� , * , � , �+� � ,)+�)�� �� � ��, ���� � � � ��# �� � 01�D#2 � �� � 1:171�� �.-� 11 � + � + %��)��� � '�#� ��������� �������� �4�� ���( � > ����� � 3������# � 1�:D �.> �1 #��� "$'�� �)� � � + � + ������ � '�#� #���- �. �����( � � ��� ��� ��%������ ,�� ��1#::7 1#:# � 3�,�� � � ,�� ,�� ���� � � �� ���� � 1�:� �.> �1 % + " ��$&& � '2�% �� ��� 0�� ����H��! �% ���� 5� . ������ ,��� ������#�� =�#� ��7!��!( � .'=�%�� �� �����!��� ,�� �� ����� � ����� �� �� � ��� ��� ��� �� �� $�� �(1 �%# � � �� ���� � ��� � H� � �� ��!�� � � � #7�#- � � � ����� � � DL 01#��2 �

Page 170: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

1D#

Page 171: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� C� KLE� �J ��J � �� N�J � � N�OJ �J � OJ M � DF�N� �F�

=� � ��� ��� �� �� � ��� ,/ ��� ��� ������ �� � ��� ���� �� ���������� � ����� � � �� ,� ����.����� �� � ��� �� �� �� ���� �� ��� ������ , ������� ��������% ��� � �� ���� ��� ����� �� ���� ���� �� ��� ������ ��� ������� � K� ��� ���� ��� �� �� �� �� �� ��� ���� ��� �� ,/$�������� �� �� � ��� ������ ,�� �� -��!��� , ������ ��� �� �P� ������ ,�� �� �� .��� ��� ,�� �� �� ������ �#�4�� �� -��!��� � �� ��� ��� ��� �7��.���,� �� �� ���%�� � ,�� - ��� � ������ % ,�������� ������ ��� ���,���� ,�� �

� �M ��� � �� ������ ��K� ��� ��� �� ���������� 4�� �� ��� ��� �� �� ��� ��� ����� ��� ���� ��� ,����%��� �� ,������������� 3 � ,��� ����� " - ����� ,�� 2 � � �!��� �� ��� � ��� ,����%��� ��� ���� ,�� ���� � ��� ��� ����! ,/� �� ���� 8 ,� �� ��� ��� ��� � � ���� ,�� �� ��� �� �$���� �� �� , ��������� � - I -�� ������ �, ���� ,��� ��� � � 5�� ���������� 4�� � ��� � �� �� ��� ���� �� �� ,����%��� ����� ��-�� �� ������,��� ,�� - ��� ��-�� �� �� ��� � -� ,�� ����� �� �� ���� � ����� ��� 5� ��- �� ������,��� ,�� �� ���� !����� � �� 3� 7 3 � : 03" 2 5 � 90# �12� 5�� ���������� �� ��, ���7= ���� �� �� .��� � !����� � 0� 5 1� � � L2 �

3 1E 17 5 ! �2�� 3 �� ��� � 4� 4�E �� � 3�E��� 55 3

��� �I �� �E��� � � 3 � 90# ��2� 5� ������ ,�� �� �� ����! ,/� 0/K�2 � ��� ,/ ��� D �

3 1817 5 @ � � 3 ; ! 6 78 < �0# �L21D�

Page 172: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

1�� ������� ������� ��������������� @ - � �� ,�� ����� ���� �� ����� ��� ������ ���

@ 5 !2 � 3 I 0� : " 2� 3 ��� � � 51� �

�" 3 0�"2� � �0# �D 2�� .��� � 4�� @ � � 5 !2 0� : " 2 3 �

J � �J 5 �� � � � 3 I 0� : " 2� 90# ��2

K� ,��� ����

J �� �� "&) ! " & '� ' !(!$�) ! " & '� � �� &� !�* 4�� �������� � �� ' !(!$�) ! " &� !() (� � 2� ������� �� �� �� ������� .,/���� � �� .�� ��� =�!���� � ������ �� �� �� ���� �7��� ,�� ��� � ���� 4�� ��%� ��� � ��� �,� 0-� 4�� �� ����,����% ��2 � �%���,�� �� 4�� �

J ������� �����% �� ��� � ��� .��� � ����� ,� ��� �� ��� ���$���� �� �� � 5 01 � 2 �

�J 5 �� 0� 1� 2 3 I 0� 1 2� 3 D� 0� �� 1� � 2 90# ��2

�� �� , �� � 4�� � ��� �� ��!� �,� � ��� �� ��� ����� I ����� ��� ��!� �,� � ��,/ � �� ��� ,/��� ��� !���� � ���� ,�� ���� ��� ���� 4�� I �� ,� ����������� ��� � � ����� � �� . ,������I 5 !��L� �0# �:2

4�� �� �� ������� � �,�� � �� � ,�� � �%� ,��,��� 4�� ���� �4��,� �� � �%���%�� ��� �� ��H� �� @ �� �� ��� � !2 � � > ������� �� 4�� �� , �� �� �� �� ��- �� ������,��� ,�� �� ��������� �� �����% �� � 0382� 7 3 � : 03 " 82 5 3 1817

��� .��� � 4�� �� ������,��� ,�� �� �� ����! ,/� �� �����% � ��%� ,�� ��� ��� 7

0382 3 � : 03 " 82 523 1317 3 �

J 3 ; ! 6 78 < 90# �#2 � ��� 5�-�� �� K � ���

8 5 8 0� � 3 2 � 2 5 2 0� � 3 2 �0# ��2��� ����� �� �� �� �� ���� ,�� ��� ��� ���� �� ������� ,�� �� �4����%��� ,��� ��� �� �� � � K� ������ � ,�� ��� ,�� �� ��� 8 5 8 0� 2 - �� �����% � 18 5 6 1� � 2 ����� �� �� ���� ��� ����- �� ��� !���� � ��.�� �� �� .��� � 4�� ��%� ,�� 1� 5 6� 1� � ��� 6� 5 6 3 � � ����� ���� ������� �4� ,/ � ��� �� ��� ,����%��� ��� ���� ,�� ���� ����� ���� �� �� ��� ,/ ��� �� �����4�� ���� ���,����� �� � � �,/ � �� 4����� �� .������� �� ������ ,�� ����! ,� ��� �� ,��� ���� ���� �� ��� ,/� �� ��� �� . ,������

1A 51� 18 ! 23� � 13 5

1� 1� ! 13 � 12 90# �1�2

Page 173: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� +� �����$ �� ���$���&�� 1�1=� ���� �� ����� �� ,�H �� 0# �L2 �

3 � 1A17 5 ; ! 6 78 � � �

J0# �1124�� ���� �� �� ���� ������� 4�� �� �% ���� ������ ��� � ,����%�� ����! ,� ��� �� �� ��� ,/� � � 5�� ��-�� ���� � � �,�� 4�� � ��� � �� �� ��� ���� ��� ���������� �� ��� ��� ,�� .��������- ��� ,�� � ��� � � ; < � � � I � � �4� ,/ �� ���?�� � �� # �� ,� ���� ���� ��� ��%�� �� � ���?�� ��� ,����%��� �

5�� ��� ���� ���� �� ��� ���� ����� ��� � .�������� �� � - 7 � ���� �%���,�� �� 4�� ����� �������� �� ���%�� � ,�� ; �� .���� ,�� �� �� ��� ,�!�� � � - �� � ��� ,����%��� ����� �� ��? � �� �� ��� < ��� ���� �� 4�� �� ���� ��� �� �� � )� � + ��)�� � - ��

� )� � + +�� �� � � < 5 < � � < �0# �1�25� ��- �� ������� ������% � �� ��? � �� �� ��� ��� �������� ,��

< � 5 !� �� 90# �1L25� ������ �, ���� ,��� ��� � � � �� ������ ��� ��� ���� ���� ��� ���� �� � �� �� ���� � ,������ �� 0����� � � #�� �! ,���� � �� ,� ���� 2 � ���� �� ��%� ,�� ������� � ���� � 5 � 0� 2 � ���7��� �, ���� ��� ������ � �� �� ��� ��� ��� � K� ��� ���� �� ,�� �� � ,��� ��� � �������� ������ �����!��� ,�� ,��� ��� � �� �� ������ ,�� �� �� ����! ,/� 4����: : : � � : 0��� 2 90# �1D2=� ��, ���� �4� ��� ��� �.�� �� �� ������� ,�� � 0��� �� �� � � �� ��� ��� 4�� �� � � ��� � I��� ����� �� ��� ,����%��� �� ���� ,�� ���� � ��� �? ��� �� � - � � K� ������ � � � ,��� ����� ����� ����� ����� �� ��� �������� �� �� ��� ��� ��� �� 5 � 0� 2 � I 5 I 0� 2 �0# �1�2� ������� �� ���#�� �� ���������� �� ��� ��� ��� � ���� �� �� � � =� �� � ������ ����������� �� ���� ��� ���� 3 � " - � � ��,/ ��� � ����������� �� ��� ����4�� ��� ��� �? ��� �� " 5 � � � 5 �� �0# �1�2����� �� �� �� �� � �� ��� ��� ��� ��%�� ��� ����� � ,/!��� �� ��������� � ���%� ,�� � ���7� ��� ������� ����������� ����% ,� ���� � �� ��� ��� �������

�0# �1:20����,��� ���� � � ���� � �� ����� � )� 2 � �� �� ���!��� ��,/ � �� .�������� ,�� ���� �� � ������%���� !����� � �� �� � �� ,����� �� ������ � 4�� ��� �� .��� � � � �� ,� ��� �� �� ��� ���

Page 174: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

1�� ������� ������� ������������ ���������� �� ����,���� ��������� �� ����� � � K� ��� ��� �� �� ��� ������ �� �� �� �����% ,����� � �� �������� �� �� ,��� ��� �� ��.��� ,�� �� �� ������ ,�� �� ��� ������� �� ��� ������ ���� �� �� �� � ����% ,����� �

0�������� �� �� �� ,��� ���� �� ���%���� �� �� ��� ���� ������ ,�� �� �� ,� ��� ��-!����� � ���� ������% �� ���� �� �� ,� ����� � 3 ��� �� !��� ����� ����� �� ,�� ��� �� ��� �� ����7������ ����� ��� ��� �� ��� ,�� �� �� � ���� � �� #� ��� ��H��� �� ����� � ��%�? � �� ��� ��� ,����� ��. � ./D1 �:;������� � =� = K ����%�� �� ������ ,�� ����! ,� ��� 0# �L2 �� .���� ,�� �� �� �� ��� ,/� - �� ������� ,�� � ����� < � ;

� - ��� ���� � ���� �� � - �� ��- �� �� ��� �� ��� !���� � ��.�� ���� �P����� � �

:;������� � =� = 0�2 3�� �� ��� 4�� �� .��� � ����� ,� ��� �J �� 0# ��2 �� �� ��!� �,� 0��L3 2 �� - � ,��� �� � � � - I � !��L� � G��� � ��� �� ��� 4��

� �L � 0� �� 0� ! �� � 2� 2 � D� 0� �� �� � 2 � 0I �

�L � 2 0� � 2� �0# �1#2

0% 2 ���� ��� � ,� ��� ��� �� ��� �������� � 6/� ,� � �� �� ����� �� ,� ��� ��,/ ��� �� I8

� �� � ���� ��� �� � �� � ����� ���� �� � ��� �P�� ���� � ,�� � �� ���� ��$�� �� ��� ��� �� � �!���� ����� � ,�� ���� ���4�� �������� �� �� �� ,�� ��� � � � ��� � #�� �� ,����� #������� � -��� �� �� ���� �� �� � ) ���+ ,+ �� � ��� ��� ��- �� �� ��� �� �� .��� �

� 032 �0# �1�2�� ��� ���� �� ���� ,�� 4�� � - I ��� ����� �� �� �������� � �� ��� ��� 0# �12 � 0# ��2 � 0# �1�2 ��������� - � ��� � � �������� 3 � " - � � 5�� ���������� 0# ��2 �� ���� ��$��� ��� � �� �� ��������������% �� � K� 13 �� �% ���� �� ��� ���

�3� � ���� 03 E 2 � �� 03 E 2� � �

� 03 E � � � 2�� ��� 00�� � I2 �E�� 2 �0# ���2

��� � � � - I .�������� ����� �� 3 �

Page 175: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� +� �$��� ���$��� 1�L� �� ��� ���� ������ !���� ���� ��� ��� ��� �� �� �� 0# �12 � 0# ��2 ��� ��� ���������� ���� � � �,��

� �0� � 123 � �

�3 � � � � �0# ��12

/�� ���� - � ���H���� �� ��- �� 0������ < � �� � �� ���!� �

3 ����

� � 0� : � 2 � �0 �� 2 � ; � �

J � 6 78 < � �0# ���2,K � � �� �� .��� � !������ �� �� ������ ,�� ��� �� ��� � ��-� �������� ,�� �������� - ��������� ,��.,/���� ��� ��� �� ��� �%? � ���� ��� ����� � K� �� ���� ����� � ���� �� � � < � - ; -�� ���� 3� �A

�� 3 ����

� �3 �3�� �� � �

J ��# ��L�K� �� � � ,������ �� ���� �$��� ������ �� � ��� ��� ,��� ���� 4�� #���� ������ �� �� ��� ,�� ��� ���!� �� ��� ��-�� ���� �

� J M � �FM F �EJ �

� �� �� ������ � � �� ���O�� � �� �/�� � ��� �� �� �� �� ��� ,� ��� � � �� ��!�����H��� ,�� �� ��� ���������� �� �� ������ ,�� �� ���!����� ��� ��H� � ��������� �� ,��� ��� �� � ��������� �� �� ���� �

EA � EEC � ECC ��# ��D�

���� � � � ��,� �� �� � ��� ��� ��� ���� ,� � ���� � � �� � ������ ,�� ����� ����� �!���� ������ ,������ � �� ������ ,�� ��� �� ��� �� ��� ����� � � ����� � �� ���%��

� �C E �� � �� �� ��# ����

�% ���� �� � �� �� �!���� ,�� �� �# ��D� �� ������ ,��� A

��CC � �� ��C �� ��# ���� ������� �#��� �� ���%��

� ��� �� ����# ����

Page 176: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��D ��� ���� ������� �������������� ���!� � �� ������ ,�� ��� �� ��� ���� � �

�A

�CC�

�# ��#�K � �� ��� ����� ���� � �-�� �� ���� ��� �������� ��� ,�� �� �������� � ���� �

������ �� ���������� � � ���� �� ����� � ����� � �� ���%��

E � �� � �� E J ��� �

� ��# �����&'�( � !�� ���( = -��� �� �� �� ��� �� ��- ���� �� ��� ��� ���� �� �� ��� � �� ��� ����7������ ��� � ��������� � �� �� � �� ��� ���������� �� �� ���� �

E �� � �� � �� � �� ��# �L �4�� �� ���� �� ����� � ��� ���� ���4�� �� $!��� �� ���� ��H� ��� �� ���� � �� ���� � ���� ������� ���� ����� �#���� �� �����#� �� � � � K � ����� 4�� �� � ��$� � ��%� �� ������� �������� ,��

� � � � � � � � ���# �L ����

� � � ��� �� �� � � 2�� ���� ��� �� �!���� ,�� - �� ������� ,�� �� 4�� � - � � ��-�� ����� ������ � � � � � � ��� ����� � � �

������ � � � � G� �!���� ��� �� �

� � ����� ��# �L��:;��� �� �� � = = ��� /�� ���%�� ���� ��� �$ �� ������� �� ������� ��% � -���$��� 4�� �� � ��$� � �� ��� ����� ,�� ��������� � 4�� ��� �� � ���� � ��� �

� ���

�� ����� � ��� � ���� �� ����� �� ���%�� �# ���� ���� �����%�� �� �P����� ,�� �� �� ����� ,�� � �� ������

� � �-�� 4�� �� �� �,�� � � � � �� ���� �� � ��$� �� �� � � ���� � � � �� �� � ���� � � �K� ,��� ���� �� �� � �� �% ���� ��

E � �� � �� � � �� � � � � �� � � � �,K � � �� �������� �� � ��� �&'� '� )*�+�� � �� ��� �$��� ���� �� �� �� �� � �� ��� ���� ����#��#�� �� �� ����� ,�� � �� ��� � /�� ���%�� 4�� �� ���� �� �#�4�� ���� ��� � �� � �� ���� � ��� ����� ,�� ���� � ,�� � K ��� ���� ��� $��%&��� '� � !���&& ���� �� ������ ,�� �# ��D � � 3�%�� �� ��� ����� ��,�� ����- ��� � ,�� � �� ��� �� �� �#�4�� � ,�� � �� ��� ���� ����� ����� �� � ���� ����� ���H�� ����#�4��� 4�� ��� �,������ �� � ��� ���% ��� �:;��� �� �� � => = ��� K ����% �� �� ���!��� � �� ����������� $�� �� ���� �� �!��� �� ������ ,���� ���!��� � ������ ��% � %������ �� ���� ��� ,�� �� �� � ���!�� � ���� �� �#�4�� ��!�����H��� ������

� � ��� �������� �� �� �� ���� ��� �� ����� � ������ � � ���� ���� 4� ,� #��� �� �#�4�� ���� �

!����� �

Page 177: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �������� �� �� ������� � ��� ���� �� ��� � �� �� � ��� � � �5� ��$��� �� �� �� ������� �� ,�� �� �� ������� ,�� �� �� ����� ��������%�� �� ���%��� ����� ���%��� �� �� ���%�� � ,�� ��� �� ��� ,�� �� ���� ��� �� �� � �H��� ����� - �� ��� ,�� ���P� ,��� ��� �� ��� ���������� 4� ,�� ���� 4�� �� ������������ � 4�� �� ���� ,�� � � �� �� ������%�� ��� �� �� � ��� ��� � ��� � �� ��� � � �� �� � �� � �H���� �� ������ - �� �� ����� ��� �� � ������� � K��� �� ��!�� � �� ���,�� �� ��� ���� ��� ���� � ,�� � �-�� � � ��� ����� !��� ��� �� ����� ���� ,�$�� � ����� ���� �

-��� �� �� �� �� � �� �� � ��� ���%��� �� �� �� ������� �� ,�� �� �� �����!��� ,�� �� ������� � � +�� ������� � K� ���%��� � �� �����!��� ,�� ����� ��� ����� � �� ��� !����� �������� � �� ��� �� � �� K3� � ��� �� � �� ����� ���� ��� �����%��� � �������� � � � ���� ������ ���� � � ����� ,�� - � �� � ��� ��� � ���� ����� �� ���� ��� � � �!�� ���� ���� ���� �� ��� �H��� � ����� �� ���� ,�� 4�� �� ������� ��� �����%��� � � ���������� �� � ��� �� ��� ����7��� �� ���� ���� �� - ������ �� ���%�� �% ��� � � �� � � �� - ��� ���������� �� ���������� ,��������������� �� � ���� ����� ��� ����� ���� � �� ��� ���������� ���� � � ���� ���������� � %� ��� �� � � �� 4� ,�� ��� �� ��� ��� � ������ � ��� ���%��� � - #�- ���� �� �� � ���#�� �������� ���� �� �� ���������� ��� ������� �� �� ��� ���� � �� 4�� �� ��� �� ��� �� �� � #�� ,��������% �� �� �� ,� ����� � � ��� ������ �� � � � � ��� � ������ ,�� �� �� ��������� �� �� �� ������� �� � ��� - �� ���� �� ��� � �� #�%� �� � �� ��� �P �� �� ���� ��� � �� �� �� ���� ���%��7 �% �� - �� ���� �P ���� � 4�� ��� ��!�� � �� ������ � �� ������� ��� �� ������ ,�� 4� ,�� ������������% ��

� � �� � � �� � � � � � �� � ��# �LL������ ��� � ��� � �� �P ,�!��� �� ������ ��� ��� ������ �� � ��� ��� ���%�� �%�� ������� � � � �������� �� ������ �� � � ,�� �� ����! ,�� ,��� ��� � � K� ��� �� � �� �� ����� ��� ���!�� � � ��� ��� ���� �� ��� ���������� # ������� ,�� ����

�� � � � � �� � ��# �LD�

�� � �� � � � � ��� � ��� � � � � � ��# �L��

����� #�� �� ����������� �� ���� � �� �� !������� - � � � �� ����� �� ������H�� � ������ ��� ,� ���� ��� �� ��- �� � �� ���7� ���� � /����� � ,�� ������� �� ��� ���� �� �� ����*+�� � ���� ������ ���� �� ���,�� �� �� �� ����� ,�� � 3� ������� ��� �� �� +� � �� � �� ��+ �� ����� �� �� � ���� ��� �� �� ������� �� ,�� �� ����!�������� ��� �� � ��� ����������� �� ����� ,�������� ��� ������������ �� ��� �� �� ������ ,�� �� �� ���������� ,�� ��� �� ����� �# �L�� � K���� ������ � ��� ������������� �� ,��� ���� �� ��%�� � ������ ��� ������������ �� �� ������ ,���� �� ����! ,�� � 4�� � ����� � ���� �� �� � ��� ��� ��� ,�� �� �� ���� � ���� �H����� � 4���� ���� ���� � �

� � ��� � � � � ���� � � � ��� � � �� � ��# �L��

���� ,�� � �����% �� �� �� � � ����� � � �� �� � �)� � ��� , ��+� �� � ��� ,�� �� � � ���� ��

���� ���������� �� ���������� ,�� �� � ��� �� ��� ��� ����� �� ����� �� �� ,��� ���� �� ���

Page 178: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� ���� ������� ���������������������� � ,������ �

�� � �� � � � � ��� � � � ����� � � �

��

�# �L��K � �� ��-�� ��� �� �� � ��� ���� ��� � ���� #�� �� ���� �� ���� � �� ������ ,�� � ,����� - ���������� ,�� 4� ,�� ��� �

� � 5� ������ ,�� � ,����� �� �� ���� � ������ � ��%��� � � #��#� �� 4����� ���� ���� �� �� �� ������ � �� ���� ����� � ���� � �� ,��� ��� �� ������ ,�� 4�� � ���H�� ������ ���� �� �� ���� ��� ��- �� � ��� - �� ��� ���� � �� ������ ,�� ,��� ��� �� �� ��- �� ���� ��� �� �� �� ��-�� ���������� ��� � ������ �� �� %��� ��%��� ��- �� �� ����

�� ���

�# �L#�2�� ����� ��,�� ��� ��� ����� �� �� ���,�� �� �� ���%�� � ,�� � ���� ����� ��� �� �� ��-4�� !�%����� �� �������� ,�� 4� ,�� ��� � 4�� �� �� ��- �� ������ ���

� � � �� �� ��� ��� � � �

�� � ��# �L��

����� � - � ��� ��� ���� ���� ,������� �� ������ ,�� � K� ��� � ,������� �# �L��7 �# �L�� ���� �!�� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � - � ��� �� ������� �� ��������� �� � � - � � ��� � ���� �������� �� �� ��� �� �� � �� ���#�� ����� - �� � � ����� ��� ����� �� �� � �����H��� ,�� �� �'� &� �����' ! �(!��KP�� �� � ��� � �� �� ���� �� �� ������� �� ������ � � ���� �� ������� �� ��$��� �� ��� ��� �� �� ��� ���� ��� ���!����� �� ,��%� � �� �� ������ ,�� � ��� � ����� �� �� ��� ������ ��� �� �� ���,�� �� �,� � �� �� ���� � �� ����!���� ,�� ���� �H����� �� 4�� �� ���� ��� � �H��� #�� �! ,���� �����%�� �%�� - �P ,�!��� � ��� �� ����� ���������� �� �� ���� ,�� �� ��� ���� ��� ���� ���� ����� �P���� �� �P ,�!��� � �� ����� � ���� � � � � K� ����� � ,��� �� ��� ���� �� ���%�� �% ���

��� �� � �� ��� ���������� � ��- �� �� ��� ���� ��$�� ���� � ����� �� �� ����� �����% ���� ��� �� � ���� �� �� � ��� ��� - �� ������ ,�� ��� ���%�� �% �� �� �� ���� �

� �� A � � � �� � � � � �� � �� � � ��� ��� � � A � � � � � � � � ��� � �

�� � ��� ����

�# �D ��4� ,� �� �� � K� �� � ��� �� � �� # ������� ,�� ��� ������� � ��� ,�� �� ��� ��������� -� � ����� �� ���������� �� �� ��������� �� ������� �� 4�� � �� ���� ���� �� � �� ���� � 4���� ��- �� �� ��� �# �L#� � ��� � � ���� �� �� �� ����� ,�� �� � � ��� � �� ��� � ��� ����������# ������� ,�� ���� ������ ��� ������ �� ����� ������ �� �� � ����� � �� ����� ,�� �� � � � �� � ������� �� #� ����� �� ���� ����� � �P�� � � ����P �� ���� �� � � ��� �� � � � �� � ,� ��� �� %��� �� ���������� �� �� ,��� ��� ������ ��� � �� ��� �� � �# �D � � ��� � � %�� � ����� ���������������� �� ���� ��� - �� ��� ���� #� ���� � � � �����%��� ������ �� ���� ��� ����������%�� ��� � K� �� ��� �� � #�� �� �%�������� ���� ���� ��� ���������� �� �� � # ����7��� ,�� ��� � ��� ���� �� ���� � �� � ����� ��� �7�������� �� ���� �� � K � �� �� � �� !���

Page 179: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �������� �� �� ������� � ��� ����� �� ����� �� �� ����� �!��� ,�� � � �� ,� ��� � ��� � # �� ,� ���� ��� � ��$������� � ��� � ��� ���7������� �� ���� � �� � � ��� ���� � � � - �� ���� �� �� � - !����� ��H���� ��� ��������� �������� ,�� �� ������ �� �� �� �� ��� ��� �� �� ���� �

� � A � � � ��

� � �� �� � � A � �� � �� � �� �� � �

�# �D ������� �� #�� ���� ��� ��� ���� �� �� �� ���� � �%� �� � ,K � � �� �� (!(���� �����' ! �(!��4�� #� ���� �� ����� �� � �� ������ ��� ��� ����� �!������ � � �� ,� ���� �� ��� ,�� �� ��� ,������ ��+� !' ! �(! "�&5� ���,�� ��� ��� �� � ��� ��������� ��� ���� �� ���� � �������� �� �� ��� ,�� � �� ���� ��7����� � ��� ��� �� � � �� ������ � �� ��� ������� ������

�� � ��� ��# �D��

���� ��� �)� �+ �� � �� � � -�� �� � ������� �� �� � ��� ��� � �� # � ����� ������� ����) � �)� � � �� ���� ����� �� � � ��� �� ��� � �� �� ���� � �������� �� �� �D � �������� �� �� ��� �� �� ���� �� ��

� � ��

��� ��L��� ���� �� � �������� �� ���� ��

��� � � � �� � � � � ���� � ��� ����

����� � � � �� � ������ ���� �� ���� �� ������ � � � �� � � �� ������ �� ������ �� �� � �� � �� ��������� � � �� � � � � � ������� �� �� ���

� �� � �� � ��� �������� ���� � � � � K ��� � ��� �� �� � ����� �������� ���� �� ������� � ��� � ��� �� ���� �� �� �� ��� �� �� � �

�� �� � � � �

��� ������� �� �� ��������� �� �� �� � ������ �� � �� ���� ��

�� � � � � �� � � � � �� � �� �

� �� � � � �� � � �� � � � �� ��� ���

��� ���� K ��� �� � ������� �P �� � ��� #�� �� �������� �� ���� �� ��� ���� � � ���� � �������� ��� �������� � � � �� � �� � � ������ �� ���������� �� ��� �� �� ����� �� ��������� � ����� �

��� � �� � �� � �� � � ��� �� ��� � �� � ��� �� ���� ����� ���� � ��� �� � ��� �� ������� ���� � ���� �� � �� ��� � ���� �� � ���� ���� � � ���� �� �� ������� � �� ���� ��

� ���� ���� ��� � � � � ��� ������������ �

Page 180: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� ���� ������� ������������� &�� ����� "�� �� ��� !��� ! "���� ��� ���� ��� �� ���� �� ���� � ��� �� ����� � �� �� ���� �� �� ����� ���� �� � �� ���������� � ���� ��� � �+* ��� �� ��, ��� � �� �� ����� �� � � � #���� � �� � ����� �� ����� ���������� �� �� � ��� �� ������� � � �� ��� ���� ����� �� �� ���� ��� ��� �� ������ ��� ��� ,� �� �� ,� � �+* ��� �� ��, ��� � � �� ����� �� �� #��#� �� �� �� ������ �� � ��#��� ���� ����� �� � �� ����� �� �� ��� � ������ � �� �� ����� � �� ����� �� �������� � ��������� �� � ������#� ������ ��� � � ����� �� ��� � ������ �� ���� � �� �� �� �� � �� ����� � ������ � � ������� � �� ������ � �� � � � �� � ��� ��� � ���� ����� � �� ������������ � � � � �� �� �� ���� ����� �� �� ������ �� �� �������� � �� ���� �� ��� � ������������� � �� ���� � � #� ��� ����� �������� �� ������ �� �� ������ �� � #��������� ������������ �� ������ �� �� � �� � � � ��� � �� � ��� � � ��� �� ��� ��� �� � ������ �� #����� ����� ������� � ���� ����� � ��������� �

�� ���� �� ������� �� ���� ���� �� ���� ��� ��� ���� �� ��� ������ �� ����� � ��� � ��� � � ��� � � ���� �� ���� �� � ���� ���� ���� �� ���� � ��� ������ �� �� � � �- � �� �� � � ���� ������� ���

��������� �� � ������� #�������� �� ��� ��� ���� � �� ������ ���� ��� ����� � � � ����� � �� ������ �� � ��� �� �� ��� �� � �� ����� �� � ����� � �� ��� � � � ���� � ����� � ���� ������ ���� ���� �� �� �������� � � ���� �� �������� � �� ������ �� ����� ������ � �� ������ #��� ����� � ��� � �� � ������ #��� ���� � � �� ���� � �� �������� ���������� � ��� �� � �� � ������ �� �� ���� � ������� ! "�� � � ���� � �� � ������� ��� ������� � ����� �������� �� ���� ������� � ��� � ���� �� �� ��� �� ��� �� � ������ � ������� �

��� ��� ���� ��� ��� ����� ���� ��� ������ �� ����� �� �� �� ���������� � ��� �� ����� ���� �� ��� �� � � � � ������ �� �� � ���� �� ��� �� ��� #�� �� ��� ������� � ��� � ������� � � �������� � !�� ��� ��������� �� ����� �� �������� �� ���� ������� � �� ������� �� � ��� �� �� ���� �� � ���#� � ��� � �� ���� � ��� ��� ���������� ��������� ��� " #$%)%&' �� ������ �� ������ � � ��� ���� ���� ������ �� � ������ � �� ���#������� � � �� � � ���� ������ ��� � � ��� �� � ������� ��� �� ��� �� �(+� &") #(* +$ � (+$%('���� ������ , �� �� ����� ���� �� ���� !���- . �$��� !��� ! "�� �� /��--!��-0��� �������� �� ��������� �� ��� �� ��� ��� �� ����� � �� �������� �� ��� ����� ������ �������� ��� ������� � �� ����� � ���� ���� �� ���� ����� � ���� �� ������� � ��� ��� � �� �������� �� ���� #���� ���������� ������� �� �� � � ��������� ���� � �������� �� �� ��� � ������ �� �� ������ �� �� ��� � ����� �� �� � ������� � �� ��� �������� �� ����� � �� ��� ���� �� �� ���� � ���� �

� �� � � �� � � � �� ��� ���� 1 2 33456 7859 2 3:86 � �� ��� � ;��

Page 181: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ���� ������ �� �������� � � � � ��� �� ������� � ���� ������ �� ��������� � � �� �� ��������� �� ����� ������ ����� �

��� � �� � � ����� �� �� � �� � ��� ��� � ���������� ��� � ��������� ����� ���� ��� ��� ������ � �� ����� �� �� �� ������� �� �� ����� � �� �������� �� ��� �� �������� ���� � � �� �� �� � ��� �� �� �� �� � ������ � �� ����� ���� ������ � � � � � �� ��� ����������� �� �� � ��� ���� �� �� ���� � ���� ����� ��

� � � ��� ������ ��� �� ��������� �� ��� ����� ���� �� �� ���� �

� ���� � � �� �� ���� � ��� � � �� � � � ��� �� �� �� ��� �� ��������� �� �� �� ����� �� ��� � �� ���� � � �� �� � �� �

��� � � �� �� ���� � �� ��� ����

����� ��� �� ������ � � ���������� � � �� �� �� ���� ��� ������� ������� �� ����� � ��� �������� �� ����� �� ���� ���� �� �� ����� � � ���� �� �� &� (� )� &") #(*+$ � (�'')* $'� �

�� ��� �� ���� �� ���������� �� ���� ����� � � �������� �� �� ���� �� �� ������� �� ��� �� � ����� �� �� ���� �� ���� ���

�� �� �� � �� � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � �� �� � ������� � � � ������ � � �� �� �������� �� ���� ������ ������� �� �� �� ��� ���� ��� ��� ����� �� ��� � � � � ��� � �� �� ��� ��� � � �� � ���� � �� ���� ������ ��� �� ���� �� ���� ����� ��������� �������� � � ��������� ����� ��� �� � �������� ����- . ��-���������� ����� ��������� �� � ��� ���� � ����������� �� ���� ���� �� � ���� � ����� � ��

�� � � � � � �� � � � �

� � � � �

� � ��������� �� � ��� ��� ��� �������� ���� ��� �� ���� ����� � ������ �� � ��� ��������� ���������� !!!!!!"!!!!!!#

$ ������ ��

� � � �� �� �� �� %� � �&'( ) � �� �� �� �

� '� � � �) � �%' �

�� ����

Page 182: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �� ���� � ������� ������������� ��� ����� � �� �������� �� �� ���� �� � ��������� �� ���� ����� � � � �� ���� �� �� ���������� ���������� �� ������� �������� � � �� ������� ���� ������ �� ��� ��� � � � � %� � � �� ����� � � ����� �

!!!!!!!"!!!!!!!#

� �� �

% �%� � �� �� �

%� � �& �� � '� � �

� � '� � � � '

� � �% � � �� �

�� ������ ��� ������ ������ � � �� �� � ��� � ���� ���� � ��� �� ��� ������ � �� �� ���� ����

����� �� ��� � ��� �� ����� ��� ������ ���������� ����� �� �������� �� ��� � ������������ �� ������ ��� ���� ���� � ��� ����� ��� ������� � � ���� � ��� � �� ������ ������� �� ������ � ��� � ������� ��� ������ ��� ��������� �� �� ��� ���� � � ���� �� �� �� �� �� ��� ��� �� ����� ���� � � �� �� �� ���� � ��� ������ �� �� � � ��� ��� ������ �� �������� ��

�&�� � ��� ����

����� � �� �� ��� ������ ��� ������� ��� � � ��� �� �� ������� * #�� $ ( +$ � &� %$)�� ��� �������� �� ����� �� �� ������������ �� ��� ��� ����� ���������� � ��� ��� ��� ��� ������� � �������� � �� �� � �� ������� �� � ���� ��������� ��� � � ���� ���� ������� �� � � ������ � ��� � ���� � ����� ���� ����� �� ���� ����� � � �� ������ � �� ���)* $' �&�)%)+&+$' � )+ (+)* #&� )"&' �

Page 183: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�������� ��� �� ��� ��������� ���� � � ��� ��� ��

���� ��� ����� ��� �� �� ��� ��� ��� ������� �������� � � � � � � ��� � �� ����� ���� � ��� �� � � �� � �������� � � ���� ������ ���������� � ��� � � � ���� � � ������� ��� ��� ������ � � � � �������� � ����������� � � �� � �������� � � � � ��� � �� � � �� ���� ����� ���� � � � ������ � � � � !���� � � � � "�������� � � � � � ��� � ��� ������ � ������� �� ����� ��� � ������� ����� � ���������� � ��� ��� � ��������#����� � � �� ���� ����� ��� � $ � � ������� � �� ������� ��� ���� ���� ��� ��� ��� ����� � � ����� � ���� � ���� � %���� ��� �� ������ ������� ��� �� ������& � � ' � � � ( � ���� � ������ ��� �������� &�)��� � & ��������������� � ���� � ��������� �� ������� ������� � �������� � � � %���� � �� ����� ���� � � ������� *��� �������� ������� ���� � � � ��� � �� �� +, � ��������#����� � � �� ���� � ���� ��� �� � ! � �������- � � � ����������� � �� ����� ���� � � ������� �* � ����� ��� ������������ � � �� �� . ������� ����� � � ����� ���� � ����� �� � ������ � ���/ ���� � �� � ���-������ ��� ' �0 �0 � ������� � ������� �* ��� ��� � ��� ��� � ��� ������ !�)����� � ���� � �������� � ���� ���� � � � � ��� � 1� $ ' � �" �� $ (2 +)3 �')(* 4&� $' 5 � �� � � ����� �� � ��� ���� �* ��� ������ ������� � � � �� *� ��� � � ���� ��� �� � �� �� . ������� ����� � � ��� � �����66, � ����� �� �� � ����� �� ��� � ��# � � � � ��78��7 � 1� $ 2 $$ �(�*+& � � (�%$� 2( �� $ � $& � $9�& �)(* �) �� :; $+ � &+)$* �"(*+) �)(* � ����� � ������ �������� � ������ ��� ��� �������� � � �� �� . ������� ������ � ����� ���� ����� ,<, � � � � ������� ��� �� ��������� ��� �� ����� �� � =��� ��& � � � � ( �� �� � � ��������� ������� � ��� � �� �� > ��? �� �@������� � � �������� � �� � =��� �

Page 184: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

=����� � � � � � ����� �� � ' �� � ���������� � � �� � � ��� �� � ' �� � � �-� ���7� ����� � ����� ���� � ������ � * �������� ��� ��� ������� � ���������� >��� � =��� � ������ ��� � ������ � ������ � 0 � ���������-��� � ����������� � ��� ������ ������ ���������� � ��)�� � � ������ � =�� = �

Page 185: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� ���� ��

�� ���� � �� � � ����

���� ���� �� �� ���� ��� ������ �� � �� ������ �� � ������ � � �� ��� ��� ������ � � ��� ������� �������� ��� � ������ ������ � ����� �� �� � �� ������ �� � �� ���� �� �� �� ������ �� �� !������� �� �� ��� ��� � � �� �� �� �� � ��� � �� �� ����� �� )��� ������� �� ���� � " �� ��)����#��� � ��#�� �� �� ��������� " ���������� $ %�� ���������� �� ��#��� �� ������� ���&� ��� �� �) �� ������ ���*��� �� '��� )��� ����� ���������( � �� ������ �� ����� *��� �� ����������� ������ ��� �� ���&�� �� ����������� �������� $%� ������� � ���� ������ �� �� � �� ������ ������ ����� )���� ��� � �� ���� ���������� �������� ��� �������� ��� ��� ���� �� ��� ������� ����������� $ � ��� �� � �"�� ����������� �� ��)����� �� �� � ������ ������ ��"� ���� �� ���� ��� ��� � ��� ����� �� ��� !����� �������������� ��*��� ���� " ������� ������ ��#��� �� ������ $ � ���� � �������� �� ��������� � ��� �����)����� �&������ �� �� ����# +���� �� ������ � �� ������ � �� � � ��� ���� $ � ������ �� �� �������� �� ��� � �� ����� ��� �� � ������� ��� � �� � ����&��� #��) ��������� �� ��� �������� $, -. / �0123� 14536��7�18 �7��� ���� � ��� ��� ��� ����������� � ��� !����� � ��*����� ����������& ��� " ��� �# ������ $��� ���� 9 ��������� � �� ������ ��� �� ����� �� ������ �

:; < ='> $=(

� �� �� �� ������� ���� �� ����� ����������� �� �� *���?� �� @ABCD EF �G EF � �� ����� ������)� �� �� ��������� H �� *��� � ��< I9:H ='> $�(

��� �� �� ���� �� �� *���?� #��) �������� < I9JK ��� ��������� #��) �������� H J L $�������� �� ������ ��� '> $=( �� ;

9 M H NOP ='> $Q(

=�Q

Page 186: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

=�� %�� ��� �� �� ��� ���� ������ � ��� ��� �� �� ����� ��� ������ �� �� ��� ���� �� ������ �� ����� ��� C � D�: @GD�G��D '�� �������� ��� �� ����( �� ������� �� � ������ ���� $ � � � IL � / �� �����*������� �� �� ����� ��� � �� ���� �� ����� �������� ��

;

; � M 9J � ; � I 9J L �'> $� (

����� ; � �� �� ����� ��� ��� ��* ������ $�&���)�� �� �� �� �� ������� ��� �� � ����&��� �� ����� ��� �� �� ��� ��������� �� ���

��� ��*���� � ������������� ��� ��� �� �� *���?�� ������� $ � � �� ��� �� �� � " �� ������� ����� ������ ��� �� �� ������)��� ��� ��� ������� 'Q $�( � �� �� �����?����� �� � ����&��� ��� ��� ��� "��� � ���� ���� ����O ��&����� �� �����)���� $���� ����� �� ����� �� ��� �� � %� ����� ��� ��� ��* ������ � ��)��� �� � ��� �� ���������� �� � ������� �� ���� $ � � ������� ��� �� * ������� '> $�( " ������ �� �������� ���� ������� =Q �� J � �N ! " J

> � " � @�## � �� �&����� �� )���� �� $ F �% &AC2D�F = �/ =Q'=/(��������= �/QQ ��@�� # $ �� � ��������# ��� ���&� ��� �� ����� �� % G�G�F� =/! &����� =//�������� $

, -) / �0123� 43 *36 3+ �7473��� �� ���� ��� ������ �� ��������������� �� ��� �����& �� �� ��!�? � �� �� �� �������� �� )�)���&�� � ���� �) ������� ���� �� ������ �� ������� ��� �� ����� �����& ������ � �� ���#� �� ������"�������� � �9��O / � "� �� , -. '� (

/ $ /��������� �� �� ���� ��� ���� ��� ��* ������ $� � ������� ��� �� ��" �� ��� #���� �� ����� ��

;

�90 �'> $1(�� � ��� �� �� ����������� ������� �� �� ����� ��� �� ������������ � �� �������� $ /��&�)����� ���� ��� '> $=( " ���������� �� < I9JK �� ���#� � �� ��" �� �������� ����� ����������� ��� �� ������ ;

; �P234 � N

J�0 �'> $�(

����� � �� �� ������ ��&�� �� ��)�� �� ��*������� '�� �����( " ; � �� �� ����� ��� � ��� ��)�� $% ��� � � 5 67 $ '�( � �� ������ �� * ������� '> $�( $'&( � ����� �� * ������� ��������������� � �� 8 )#�� �� ��" ;

N99 � �� �� �� �� *��� �; :

; :� I ;� � / < � < �=>? �'> $�(

��� & '8 I =(�8 $ � �� ��� * ������� ���� �=>? $'�( @/� ��� �� �� ��������� ��*������� ���������)�A � ���� ��� #� ��*�� ���������)� �� ���

*�������� ; ; '�( $ ����������� �� � ���� ���� ��� ��* ������� �� �� �������� �� ��� �=>? $

Page 187: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� �� �� � � �� ��8� ������� =�1� ���� �� � � �� � ����� �� � 6 %�� * �������� �� �� ����� ��� �� � ���� ���� �� �� ������ ���� ������������� � '> $� ( " '> $�( � ��� �� �������� � ��� �� !����� �� �� ��� ��� �� ������ ������ ����� ���������� �� ����� ��� � ���� ���� ���������� � 9 ����O � �� ������ ����)����� ��� ���������� ��� � ���� ���� :; " < $ � ��� ����� �� ��� ��� ����� �����?���� �� �� ������� ��� )������� �� �� ��� ��� �� #��)���� $ ������� �� ���� �� �� ��� ������� )������� �� �� )��� ����� �����������&�� � � � / � ��� �� �� �� ��� ������� L �� �� ��" ��� ��� ��� ���� �� ���� �������� �� ��� ��� �;� L I9J �'> $"(�� ����� ����#����� ��� ���� ;

; � '� � � ( I 9J L " ���� ���� �� �� ��� �������� �� L $%�� ����� ��� ����������� ��� ��� � ��� ���� ���������� �� ����� $ � � � ��� � ��?���� ���������� ��������� � ��� !����� ) ������� �� ��� ���)�� � ���� ���� �� ) ��������� ��� ������)�� �������������&��� $ #���� �� ��� �������� ��� �� �� ����� �� ��� ��� � ������ ������ �� �� ������� ����� !����� �� � ����� ������� � ��� ������ =/ $

, -� � � 1451� 13 27 � ��0 ��6 727��&����� �� ����� �� ��������� ��� ���� � ��� �� ������ �� �� ���� ��� �� ��� !����� � �� *�� ���� ������ �� �� ��8� ������� $������ � 5 6, 67 �B @ D�� A C % D�� G�A DB B � &�9 G�A C 2�D B D%� D �F@GF F��G�F D9 G!EF�DB �D F� � DCA �D� � &�9 G�A 9 D �DCF�A F "� �������� ��� � �����#�� �� �� �� ������ � ���� �� )���� �� # ��� *������� $ ��������� !���� $ %� *���?� �� �����*��� �? ������ ��&�� �� ������ ��

% I & &' ;� �(

I & & &) :; ��

& & &) 9JK ��

J '& & &) 9�� ( K = *%� ������� ������������ �� ���� ����� ����� ���) ��� �� ��� ������� ��� �� ���� ���������

*����� ����� � �� � � � ��� ���� �������&� ���� + ,�AC C &A�G�AC % DB AC � DCF�AC 9 D B 4 G�A �9 D CD GB ��A� @DB DB &D� CAB D%� F�AC �F@GF F��G�F @AB BF 2 D�-F G� F� F �F �D� � DCA DB9 D B EA� % DB �D� 4 G�A G� F� F� �D� C &A�G�A C � D�F F� � DCA �D &DC �D & � �G% A .$, -/ 0 �01�18�13 +��1 1�5134�� 27 04� 7��7 ���� ����� ���� � �������� �� �� ���*#����� ��� �� ��� �������� �� ������ �� �8� � �� ���2 ��� ���� � �� ����� �� ���*#����� ��� ������������ �� ��� � ��� �� #�� ��� �����

Page 188: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

=�� %�� ��� �� �� ��� ���� �� ��������� ��� #��) �������� $ �� ��� �� �� ��� � & ������ �� �� �������� ��� � ������ $ %������ ���� ���&�? �� �� ��& �� � ���� ������ � � ���� ������ " ���� � ��2 � '=""�( $%� ������� ��� �� ��" �������� + ��� ���� �� �� ���� ���*#����� ��� �� ������� ���� ��� �������" � ���� �� )���� �� � + � < � � $ %� *���?� ������� ��&��� � �� ������� ��� #��) �������� �� ��� ��� ��&�� ��� ���� ������ ������� � ��������� � < � ��� ������ �� � ��# ��� ��� ��"���� � �� ��� � � ��)������ � �� ������� ��� �? ������ � �� �� � ��� � '� ( ��������� �� �� &����� ����� � ����������� ��� � ��� � ��� ������� ������� �� �� ���#�� � ��� ��!������ ������#��� �� �� � ��� ������� � ���������� � �"���� �� � $ �� �����

% '� ( I� � '� (9� #

�� �'> $>(���� ��� � �� '� (

�� �� 9� # �'> $=/(����� � �� �� ��������� #��) �������� $ /�� ���� ���� / < � < � �����& �� �� �� ������ ���'> $=( �� �� *��� ����� I� � '� (

� # ���� ;

� '� ( $ � � �� ���#�� �� � �� ������ ���

=� #���

�� #9���� � I���9 ='> $==(

�� ��& ����� � ��� ���� �������� � " 9 �� ������� �� ��� ������ ��� ����� ����� $ ��# ��� ���2 � ���� ������ ��� �� ��� ��� � &����� ������ ��� ����������� ���������; N9: �'> $=�(

������ � � = �� ��� ������ ����& ������ � ��� �������� ��� ������ ������ ��� � ��� � ')�� �/� � ����� $ Q " � � �* $ �? ������� � $�( $ ��������� �� � ��� �

�� I = ��� �&����� �� ������ ��� ���� � +

=� #���

�� # ���� � I��= �'> $=Q(

�� �� �������� ��� � ��� �� �� ����� � ��� $ � �� ��� ��������� ������)� "

=� '� I =( $ �&� ���)��� �� �� ���� �� � ���&�� �� �������� ���� �� ���������� ����*�������� �������� �� ���� ��� �������� � �� *��� � �� �� ������ ��� �� �����& � �� *��� �#������ ��� �

I!� ��= �'> $=�("#$%# #$ &' (#$&)%*+, ', %(-. -*) / 0 -#' 1,',1-+, #' 2#1 ;*'-1* 3

Page 189: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

� �� %�� ��� �� �� ��� ��� 2 ������ =��

�� �� �� � ����� �� D@ F@G &AB D� &�� �G@F CD% G�GB DF� $ � ��� ��� � �� ���������� ��#��� �� ������� �� � ��� �� ��� ��)����#������ � ���� ������� �� ��# �� ����� ��� $% ��� � � 5 66 6 /������� ��� ������ ��� ���������� �� '> $=�( �� �� *��� �

� '� ( � N � 2�'> $=1(�� ��� ���� ��� �������� Q $ � �� ������ �� �� ���� ��� ������ ��� �� � � Q " �� �� ��� ������ ��� ���������� ���� �� ' I =( $% ��� � � 5 6, 6 '�( /������� �� ������ ��� ��������������� �� ���� ������� � � � � = � "�&�����

I!� � � P� �'> $=�(��� � � ��# � '������ ��� �� � ��*���)>����&����( $ � ��� ������ ��� �� ���������� �� ��������� �� �� ���&���� ��� $'&( �&����� ��� ������ ��� ���������� �� �� *��� �

� � IN ��# '� ( ='> $=�(% ��� � � 5 6� � ��&�� �� �* �� ��� ��� ��&�� �� ������� ��� #��) �������� ����� �� ��� ���?� ���� ��� ������� ��� $ ' �� ��� �� �� �? ������� ���� �� ������ ���������� �� �� � �� ������ �� ������( $

, - 0 � � � 15 27 �3 �0123 1 1533

� �� �� ) ���� �� �� �� ������ �� ��*���?�� �� ��� !����� ) ������� ����� � ���� ���� �����)� �������� � ���� ����� ��� ����� �� ��� ����)���� �� �� )��� ����� $ ��� ���� ��� * ��������� ������ ������� �� ���� ����� ��� �� ������� ���&� ��� � ����� !����� $

Page 190: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

=�" ��� ��� ��� �� ��� �����36 74� �13 * 1� �3�153

���� ������� �� ������� ����&���� �� ��� ���������� �������� �� � ����&��� �� ��� ����)� �� !������� �� �� ��# �� � �� � $/ $ � ��� #� ��� ���� " �� ���� �� ���&�� �� ������� � ��� �������� ������ ���� �� � ��� ��� �� ��*�� �� ��� ��������� ���������� �� ���� �� �� ���� ����� � ��� ���� ��� ��#���� �� �#�� $ � ���� �� ������ ����� �� � ����� �� ����� � ��� �� ����������� ��� ��� �*���� � �� ������� $ � � ���� �� ������� � ������ �� � ������ ������ �� ��& � �� �� �� ��2 �� '�1">( � ���� ������ �� �� ����� �� �� �� ����� ��� �� ������ ��� �� !���� ��&���� ����� �� �� ����� ����� �� ����������� ��� ������� �� ������������ � �� ������ ������� ���!���� " �� � �� �������� �� !���� �������� '�������� � � ������ ������� ( $ ������� �� ��# ������ �� �����?� �� ����� ��� " ��� ����������� � �� ������ �� ������ ��� �� ��� #���� � �������� "�� �������"�� ��&�� ��������� " &��&�� �� �� ��� $ ��� �� �������� �� � ���� �����& � ����&�� �� ���&������� ����� �1�� � �� �������� ������� �� ��� ���������� �� �� ��� ��� ��������?� �� �� ��#�� ����� $

�706 74

� ����� �� ��� ��� � ������ ������ + ; � ; � M 9 J � =� � ���� ��� ���� !����� &����� ������� + ; � ; � P234 =� ������ ��� �� %���)����� + I!� � ��= =� ������ ��� �� � ������)�����&���� + I!� � � P� =

�7 7�7451 ! � 7 � 5 ! �"�0 �3�/� � � #$�������%$�� � ��� ������������ �� ��� ����" �� ������� ���������� � ���� �/� ���#� � �>Q> � �>�> $

Page 191: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ���� �� ��

� �� ���� �� � �� ��� ������

�� ���������� ��� !�� �� � ��� ��� �� � ����� ������� $ �� �������"� �� ��" ��� ��� ��� ����� � ����� ��" �� ���#�� ������� ����� � ���� ��� ��" �� � ���"� �� ����� �� ������ �� ��������� ������ �� � ���� � ��� ��� ��� ���� !�"� �� !���� $ �� �������� ������� ������������ � �� ��)����� ��� � ������ ��������� " �� �������� ��� ���������������� ���&��� �� � ���� ��������������� $ � �� �� ����������� ����� ����� �� ������ ������ �� ��� ���&��� �� �� ����������� � �"�� ���������� �� �� ���������� �������� " �� �� ������#��� ��� $ �� ������ �� �� ������ ����������� �� ��� ���� ��� ������� ��� � ������ � ��� �� �� #���� � ��? �� ��� ���� ���� � ����� ����������� ���� � ��� ��� ���� $. -. �4��320551 �34%� ������ ��� �� � � ���)��� �� �� �� ��" ������ ����� �� ������& � �� ��� ��� ��� �� ��� !����� ������� ��� �������� " ����� ��� ��� ��"�� �� ��������� ��� �� � ��� '" �� ��������� ����� �� ����# ��� " �� ������ �� �� !���� �� ��������&��( � ��� ��� ������& �� �� � � �� ������ ������ �� ���� ����������� �� ������� " �� �������� ������ ������ $ � ��� ��" �� ������ ���� ����� � ������� �� ����������� �� �������� �� !����� ������ $ � �� ��&��#� � �� �� ���������� ��� ��� ������ ���� ������& �� �� ��� ��� ��� �� ��� !����� �� ��������� � ��� ��� ��� ����� ������� � ���� �� !���� ���?� ��� ��� ������ �� ��� � �� ���������� '� � ����?(� ������ " �� ������� ����� �� ������ �� ����������� �������� ��� ����� $%�� !����� �� � ����� ������� ��� �� #��� ����������� �� ������� ���&��� �� �� ����� ������������� � ������ � ��� � ��� �� �������� ��� �� � ��� ����� � #�� � �� ������&��� ��� " � ���� � ����� �#��� ��&���� ������ � �� � ��� ������� �� ��� �� ��� � ��� ���&��� �� �� ������ ����� ��� ��� ������ ����� �� �������� " �� ���������� ��� �� * ����� �� ������� ���� $ � ��� �� #�������#�������� �� � ����� �� � ����? � ������ �� ������ �� ��� �� ������ ���������� � �� �� ���������� !�� � ��# ��� ��� ��"�� �� ������� �� ��� !����� ������ ������� ��� �� ��������� ��� !����)���������� ������� ����������&�� " � ��� ������ $

�� ������� �� �� ��� ���� ���&��� ������ ������ �� �� � �� ������ �� !����� � � ��&�� ��������>

Page 192: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� ���� �� � �� ��� �������

�� ��� ����� ����� ���������� �� � ��� ��� ������& �� �� ���� � �*��? ����� !�� �� $ %� ���)���� �� ��� ��� !�� � �� �� � ���� � ����� � �� ��� � ��� �� ����� �� ��" ���������� � �������������� � ��� ����� '���#�� �� � ������� ��� ����� �� ��2(�� ���� *� �� �����( � �� ������ ��� � ����� ������ �� ���������� ������� #������ ��� ���� ���� �� ��� � ��� �� ��� ����� � ������ �� �� ��� ��� ��� �� ���� ���� $ ��� ���� ����� ����� !�� �� � � * ���������� � ������� � ����� �� ���� ��� ������� �� ��� � ���� ���� �� ������� ��� ���������&��� �� ��������� ��� ������ �� ����� ��� " ������� $ %� ����?� ������� �� ������ ���� �� #������ " �� ����� �� ������������ �� !���� �� �� ��� ���� " �� � � �� ����� �� �� ����?����� $� � ��#������ ����� ��� � $ ����� '�"�Q) �"1"( � �� ���&�� �&� ���� �� ��������� �� �#����� �� ������ �������� �� � �� �� � ������� �� �� �"1� ��� ��" ��� ���� ����� �� ������& � ���)������ ���� �� ��� ��� ��� ��� !�� � �� �� !���� ����� �����& �� �� �� � ���� � ����� " ������" �� ���� �������� ���������� ���� ���� ��&��� ��� ������� ����������� �� �������� ���� ������� �� �� *������ ��� $

. -) �7� 27 � �5������#�� �� �� �� !���� ����������& �� � ��� �� ����� �� �#�� � !�"� ��� �� � ���� ������ $%� ��" ��������� ��� ����� ��������� �� ���� � ������ ��� ��� � �#������� ������ ���������� !�� � � �� ��� ����� � � � � '� � O( � " �� �� ���� �� ����� ��� � ; '� � O( � ��# ��� �� � �������

� � I ;� : '; M 9J L ( �'�� $�(��" � ��� ���� ��� � �� ��� $ � � �� � � '� � � � L ( �� �� ������ ��� � L �� �� ����������������� � : �� �� �� ������ #�������� �������� � J �� �� ��������� ��� �� �� #������ � 9 �� ���������� � � � �� �������� ��������� � � �� �� EGC@ACG�F� �GB &F% G@F � ��� � �#����� �� ��� ��� ��� �� ���� !���� ������ $ ���� ����� ��� � �#������� ��� ������ �� �� ������� �� ���!����� ������� $ ��� �� ��������� � ; �� �� ���� ��� ��� ���� ������� � � ��� ��� ��� � ���� ������ ����� ��� @AD� @GDB �D �D � D�% DF�G�G�F� ��� � ���� � ��� �� ����� �� ����� � �� *���� ����*���� $%�� �� �*������� � " ; ������ ��� �� ������� �� ����&��� � � ��� �� �� ������ ����� ����)��&�� ������� �� � ���� ��� �# ����� " �������� ��&�� ��� ���������� � �� �� ������ ����������� ������ ���� " ��������� ���� �� � ���� ������ ��� �� �� ���� �� ��#������ $ � ������� �� � ����� ��� �������� �� J � �N ' �J � ; ����� ��� �������� �� ����� � �� � ��� �� N # $ � ���#��*���� ������� �� ; �� �� ���� ���������� � �� ��� ������� �� ����� ������� ��� � ��� � �������� ���� ���� ����&�� ��� �� � ���� " �� ������ ����� ��� �� ��� �� ��� ��� �� �� ��&����� �� ������� �� ������� �� ��� !����� �� � ����� ������� $ ���� ��������� ����� ������������ ������� �� ������ ��� � ��� � � �� �� � ��� � � ��� � � ��� � $

������ ������ ��� ��������� ��"�� ������� �������� " ����������� �� ������� " �� ���)����� � �� ��" �� � ���" ���� ��� �������� ��� ����������� ���&��� �� �� * ������ ��� �� ������ ����� �� �� ��#�������� ����� � ���������� � �� ���� � �� ������ �� �������� �� ������������ �������� ��������� �� �������� $ �� ������ � �� �������� ��� �� ������� �� ���� � ����� �

Page 193: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �� ����������� �� ����� ���

��� �������� � ������� ������� ����� � ��� ��� �* �� �� �� �� ��" �� � ���" �������"� � ���� � � ���)��� �� �� ��� � ����� ������� ��� �� � ���� �� �������������� ��������� $ ������������ � �� ������ � !�� �� ��� &�� � � ��� ��� �� �"����� � �� �� ��� ������� �� ���������� ���������&��� ������ � ��� ������� $ /�� � �� &��� ��&��� �� � �� ������ �� !����� � �� $��� ������ � � �� � ��� ��� �� �"����� � �� � �� �� � ��� ��� ���� �������� �� ���������� ������ ���� �� ������ �� �� ��������� ���� ���?��� ��� �� �������� " �� ��� ����� " ���#����� ������� ��� � ���� � �� � H � 9�� =. -� 0 � 7�!7�16 74�3 27 � �5��� � ����� � ������� ����� �������� �� ��� ������� ������� �� ����� ��� � " ���#���� �������� �� �� � ���� ������ '�����( ��� �� �� �� ���� ����� �#�� $ �� � ��� �� ���� ���� �#�� � �� ���� ���� �� ����� �� ��� ������ �� ������ " ��� ������� ���?�� ��������� ������ ��� �� � �� ��� ���� �� ��� ������ �� �� �� ������� � � " �# $ � � ��� ��� ����������� ����� �� ������� �� �� ���� �

� � � � '� I �# (� ='�� $�(�� ����� �� �������� �� �� � ������� �� �� � �� ��� ��������� � ���� ��� @AB� @ �G EG�F� G�� &F �G@F $ %� ������ ���?�� ������� �� ��� � ����� �� �� ���� ��� ����� ��� �� � ������ ������ �

� '� � O( � ; '� � O( M 9 J L ����� ���?��� ���� �� ���#� ��� ���� ��� �� ���#���� � � � � � '9 J ( = ����?���� ����� ��*��)������ ����� �� ��������� �� '�� $�( � �� ���� � '�� $�( ����

� I �# � !�9 J '! � ������ ����( ='�� $Q(�� ������ �� �� ������ ���� ����� ������� ���� � ��� �� �� �� �F�GDB �D G�� &F �G@A

� � � I �#�'�� $�(�� ������*�� ��� :� �9 J $ ��� ���� ����� � � �� � � �� �� ���� ��� �DC@F�F DC� D@ &�� @F � ���� ��� ���� � �� � ���� �� ��� ����� � ���� ��� !���� $ �� ���#� ���� � '�� $�( ���

� � ; 9 J� ='�� $1(� � ����� � ��� ���� �� �����?� �� ��� ����� �� ��������� � �� $ ���� � ��� � $ � � ������ ������)&�� �� �� � �� � ��� �� �������� �� ��J �� N ��J $ /�� � ��� �� �� � ; �� � ��� �� N # ���� ������ � � $# $� $ "#' ,',( *) �(*' -'�#'-#(, �(*'1 ;#$ #' -'�#'-#( ;�* -+( ;*&)-1* $# &%-)-�* 1,2, &'-+*+ #) ������ � ��� ���� !" # 3

Page 194: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� ���� �� � �� ��� �������. -/ �71 11 �34 27 � 6 +41�027 � 750 51347 8 � 15

/�� � �� &��� ��&��� � �� � �� ������ �� !����� �� &��� �� �� � �� ������� ��� �������� �������)��� ����� " ��� � �#������� & ������� + �������� � ��� ����� � ����� ��� � ���� ������� � ��� $� ��� �����*����� ��� � ���� ����� ������?���� ��� ��������� ����� ��� !���� �� �� ���� �� ���)� ����� ������������� ��� !���� � �� $ �� �� ������� �� ��� !�� �� �� � ����� ������� �������� ��� �� ������� ��� ������ *�� � �� � ��� �� �� �������"�� ����� ���� ����� ������ ���� ����� �� �� EA� % DB D�D% DB �F� �D� �DCDB �F �G EA �D� % D�GA � A�ACA � �� �� � �� �������� ����� � �"�� " �&���� �� � ��� ��� ��*������ �� ����� ���� �� ���#� ������� ������ ���� ���� $���� �� ��?�� � �� ��������� ��� ���� � �#����� � ���� �� ��� � �� � A�ACG�F� � ���� ��*�� ��� � �� �������� ��� ���� �� ������� ��� ��� ����� �� '� ���� �� �� ���( � ���� ���� �� ����� � �� �� �� �� ��� ��� �� ����� � �� ����� � $ � � ����� � �� �������� ��� ��� ���� �� �� � ������ ��� �� � ����? � ������ " �������&�� ���� �� ���� ��� !���� $� ��� ���� �� �� ���������� ��� � �� ���� ��� ������ �� �� �� # '� ( �� �� �� ��� ��������� ����� �� � �#����� �� ����#�� �� $ � ��� ���� � ��� ��*���� ��� � � � � " ��� ������� ����� � � '� ( $ �� �� � ���� � ����� ��������& �� ��� ���� ���&� ��� �� O $ ������ ��� ����� �� ��� ��� ����� �� ������� �� �� � �������� �� ��������� � �� �� ������*������&��� ���� ��� � ���� ������� � ���� ���� � �� ������� �� �� �������� �� ������ ����� ���� �� ��� ������ ��� ����� ���� ������# ������ $�� ������ � ��� � �#������� ��� �������� � �� �������� ��� !���� �� �� � ���� ������ ����*�� ��� � �� �������� ����� �� � ��� �� !���� � � ��������� �� �� ������� �� ��� #� '� ( ���� �� �� ��� �������� �� ���� �� �� �� ��� ������� �

9 '� ( � � ���

��)� �� � 9 � '� � � O( �� ��)� �� �

�� ��'�� $�(

����� ������� �� ��� 9 � �� � �#����� �������� ��� ��� � �� ��*���� " �����?��� �� ��� �� ������ �� !����� ��� ������ '� �� ���� �� ������ � ��� *�� � ����( $ � � ���� �� ������ �� �� �������� ��� ��#���� � ���&�� ����� �� ���� ��� ������ # '� ( �� �� �� �� � � �� ����� ����� � � $ �� ������ � �� ��� ����� � ����� �� �� ���� ���� �� �� ���� �� �� ����� ����*��� � ������� �� !�� � �� � ��� � ��� ��� �� ��� �����*��� ( $ �� ����� ��� �� ��� ���������� �� ����� ����� �� �� �����*��� � " �������� �� ��*�� �� ED�A @G�F� �D � � ��F@G &AB ��DC@F�F DC� D@ &�� @F # � ������� �� � �������

� � �9 '� ( �

&�9 '� � ( � � '� � ( � '� � ( �( '� �( �'�� $�(

����� � �� �� ���� �� � �� �����*��� $ � � ���� �� ���� �� ������� ���������� ��*������� ���� �� ������ �� ������ $ � � ����� �� �� �� ���� �� �������� ����� ��� �� � " O �� ��������� �� � ��� ��� ���� ( �� �� ��� �� �� ������ �� ��� �� �� �� ��� � �� ������� �� �� ���� ���

# � � �� ��� � �� �� �� � �� ��� � �������� (#$� 3 #' -'� ) ;#$ 3

Page 195: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �� � ��� ������ � ���������� ��Q������?��� � ��"� �����?� �� �� ��� ������&��� ������� ������ ���� $ ��&� ��� �� �����?� ����� ����� ���� ������� � �� ��� �� �������� �� ����� �� ������� ��� ��� ����� �

� � � �9 '� ( ��

&�9 '� � ( � '� � ( � '� � (�( '� � ( ='�� $"(

������� �� �� ��&�� ��� ��������� � ����� " �� ����������� �� ��� ����� �� ���#������� ������ � '������� �� �� ������� �� ���� ������ !���� ��&����� �� � �� ������ �� !�����( $ �������&�� ��� ������� �� ����� �� ������ ��� � � �'�� $>(

���� �� ��������� �� �� ������ ��� �� ������ �� �� � ��� � �� �� ������ ��� �� �� ��� ���� $ ����� �������� �� *������ ��� �� � ��� ���������� �����?�� � �� ���� �� �� �#�� �� ���� ������� ������ ��� ��*��� ����� ��� ������ �� ������ � " �� � ���� ���� �� �� �����& � �� ��"�� � ���"$ ��� ���� ����� � � �� ���������� ���� �������� �� � � �� ����� �� ��� �����������&��� " ����� ��� ��� ���� �� �� ������ �� ��� � � � �� ����� �� ����� �������� $ �� �������� � ���� ��������� ��������� �� ���������� �� � ���� ������� ���� ���������� � ���� �� ������ ����� �� �������� �� ����������� ����&��� �� ������ ��� �� ��� ������ � �� ����� �� ���������& ������ $ � � � ����� ��� ���� � �� ����� ��� �� ��*�� ��� �; '� � O( � �

�� '� (&)

� �� �; � '� � � O( �� � �'�� $��(

" ��� � ��� � � ��� �� ����������� $/�� ����� ��*�������� �� ��������� ��� �� �� � ��� �� ������ �� �� ���� � ��&����� �� ��

� �� ������ �� !����� '�� �����������( " �� ���#� � �� � ���������O ' 9( M : '9 ( � � �'�� $��(

��� �� ������ �� �� $ � ��� ��" & ������ ��� ��� ��� ������� �� ����� ��� �� ������� �������� ����� ������� � ��� ������ �� !���� ������&����� � �� ���������� � � � '� � O( $ ����������O ' 9( M : '9 ( � � ='�� $��(

� �� ��" �� ��������� ��� �� � ��� �� � ����� �� ��" ��� ��� ��� �� � ���"$ � ��� � ���# ����� ������������� ���� � G�AC GB @A%� �DCG��DC � �� ���� ��������� � ��� !����� ��������& ��� �� ������ �

� I ;� ':; M 9 J :L (='�� $�Q(�� ��� �� �� ���� � ����� ��� ��� �� �� ����?�� #�� �������� $ �&� ������ �� �� ��� 9 ����&���� ������ � ��� ���� ��� � ��� ���� � �� ����� �������� �� �� ��������� �� '�� $�( $ %�� ��"��

Page 196: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� ���� �� � �� ��� �������

���������� �� �����& �� ���������� �� �� � ���� �� ��� �# ����� � ���� ������� � �������� �&�� �� �� ������� �� #��� �������� � �� ���� �� ��� ���*��� �� ���&��� � � ���� ������ � ��� �� ��������� �� ������� � �� �������� $ %� ����� �� ��� �#������� �� ��!�� � � ������� �� ��� ��)������ �� ; �� "9 ���� ���� � � $ %� ����� �� ������� ��� �� ����� �� ������ �� �� ���� � � ���#������ �� �� ��" �� � ���"

� I �� :� �'�� $�� (����� �� � ��� ��&������ �� ����� �� ������ � " � �� �� � A �DB @GF� G�� &F �G@A � �� �� ��*����� ����#���� ��� �� :� � :; M < ���� < �� ����� �� ����?�� �������� $ � ����� ���� � �� ������ �&������ ���� � ���&��� �� ������ � !����)���������� �� #��� �� ��������� � �� ������� �� ���#� �� ���� ����� $�� ������ � ��� � �#������� ���� ���� ��� ���� � ���������� ���� ������ �� ������ � �� ����)������ �� ��� !����� ��� �����& ��� � ��� �� �� �&����� �� ��� ������ � ����� �� ���������� ��"�� �������� ��������� ���� � �� ��� �� �������� � ���� �� ��� !����������� �� ���)�� ��� " ��� �������� ���� ���� � ��� ������ � ����� ���� �� �� ���� �� ���� ���� ���� �� � ������ ��������� �� �� �� �� ��#�� � � ��� ����� ������� � �� �����? �� ��� ��?���� �������� ����������� � ��� ��� $

. - �1+41�5 23 27 � !7�6 7 81�12 2%�� ������#������ ��� �����&����� ������� � �������� �� ���������� �� � ��� ��&������ ;��� �� #��� ��� ��� �� �� � ����? � ������ $ � �� � � ������ �� 6 � � �������� ���� � ����� �������� ; �� �� ���� '���� ����� ���� ��� )� ��*���� � ���� � ��� �� �� ���������� " �������� �� ��� ��� ���( �� �� �� � ���� ������ �������� ���� ��� ��� ��&���� ����?������� ������� �� �������� �� ��� ���� ��� � �� Q $ � � !�� ���� ���� ��������������� �� �� ���� ��� � A �D �AGCD G��D ��������� �� �� ��� ������ � � �� $�� �� ��� � $� $ ���� �� �� ������� �� � ������� �� �� �� �� ����� ����?����� $ �� �� �� � ��&��" ��� � � �� �� � � ��� ���� �� ���� ��&� $ ��� � �� � �� ������� �� �� ���&������� �� ������ ������ ����� ��� ���� ��� ��� �

� � '� � �( ='�� $�1(%� ����� �����& ������ ������� �� �? � � � ���#� � � � '� ( $ ��������� �� ��" �� �� ���)��� �� �� �� ��� ������� � �� �&����� ; � � � �� ����� �� ����� ��� �� �� ����� �� ���� �; � ; '� ( $ ��&�� ��� ��� ������������ ���� ��� ���

; ? � �� � IN � ��������� $'�� $��(�������� � �� � �� �� ���#���� ��� ��& � " �� �� ������� +

; ? � IN � ; � IN� M N " N � ; � I ;� � I:; ='�� $��(

Page 197: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �� ������� ������ ��1

/�� ����� �� �������� � ���� � �� � � �� ���� � � IN�� � � '�( � � 'I� ( � � � �� ������ �� � N�� '�# I � # ( ='�� $�"(

�� �&����� �������� � N�#�� � ���� � � �'�� $�>(

� ������� �� �� ��� ����� � ���� '� ��� ��� �� ����� ��� ��& �� � �� �� ��� � �� ������( ��� � �

��& � '� (�� � ��� & >

2>

N�� '�# I � # (��� N��� & >� '�# I � # (�� � N�#Q� � �

Q ���� =/�� ���� ����� �� �����& ��

� � �#Q� N � I �#��� :; �'�� $��(

�� �� �� ��" �� � ���" ��� � ��� ��&������

; ��#Q � �#

�� ='�� $��(� ��� �� ��� � ������� ����&�� $ %� � ������� " ��� �� �*������� �������� �� ����� ����������� ��� !����� ������� $� ������� 7� 676 /����� ������ �� ���&��� � �� Q� � ��� ���� ��&�� ���� �� ���������� ������� ��� ����������� � �������� $ � ����� ��� � �������� �� ������� ���������������� �� �� � ��� ��)&������ $� ��� 76 �� ��� �� �� ���� ���������� ��� #��� ������ ������ �� � ��� ��&������ �� ����� ������ ����� �� �� ����� ��� ���� ����� � � ��� $ ���� �� #��� ��� ���� ��� �� ������ �� �&���� ���� � ��� ��&������ ���� ���"� ��� �� �A� � ACG�F� � �������� ����� �� ��� ���"�������� ���������� ��� ��� !���� � �� �� �� ��� ��� ���� � ����� �� ������ $� ��� 6 � ��� �� #������ � �� ������� �� �� A% A DB DG-F@G &AB ���� ��� �&����� ��"�� ��� ���" ���� � ����� ��� ���������� ���� ������ � ������� �� � ��� ��� ������ �� ��� � ��� �� ���� ������ ���� ������������ � ���� '" ��� ���� �� � ��� ��� �� � ���� ��� � ��*����( $ � ��� �� ���������� �� �� ������� �� � ����� ����*������ � ��� � ��� *����� � �� ������ ��� ����������������&��� ���� � ��� ������ $ �� ��� � ����� ��������� � ��� ��� ������&��� ��� &������� �� �������� ��� � ���� � ���� � " ��������� ��� �� ��� ����� � �� �� ������� ����� ������� ��� � ���� �� ���������" �� ���� ��� ��������������� �� ��" �������� " ��� �� ����������� ���� �� �� ���?��� $ � �#��� ����������� �� �� ����������� ��� �� ��� �C �FC � �� ��� ����������� ��� ���#����� ��!�� � $ � ���� ������� ���� � ���� �� ������� �� �� ���������� ��� �� % &D�A�AC DC �A@ &FC �G@AC " ���������� � �������� �� ��� �#����?��� ��� $

Page 198: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� ���� �� � �� ��� �������. -� / �0�3 14536 !�718 �7 74 04 6 7213 !3�33�� ���� ���� �� ������ ��� ���������� '��� � ��� ��� �� �� ������� �� (

: � � � � � � I ;� :� �'�� $��(����� � � ; M 9J L �� �� ���� ��� ����� ��� �� � ������ ������ '� ����� ��� �����#���( $ ���� ��� ���������� ��� � ��� ��#����� '�� ����� �� �� Q� � � M � ���������� � ��� ��#����� �� ���� �������� �� �������( $ �� ����� �������� ��

: �I ;� :�� � � ='�� $�Q(

�����#�� �� �� ; " � ��� ���������� $ % ��#�� �� � �� ������ ���!� � � ='�� $�� (� ��� ���� �� ������ ��� ���� �� ����� ��� �� �� !���� ����� �����& �� �� �� � ���� ������ ���� ������ ��� �� ������� $ �� �� ���� �� �� �� � ���� �� �� ��� �# ����� �� � ���� ��

;�� � � '� ( ���� ��

��� � �� �� � ���� � � � � ���� ��1��� � � ��� � ������ ��� �� ���� ��� �� �����?� �� ����� � � ������ � ��� ����� � �� � ���� � � � ���� � ��?�� � � ��� � � �� � �� � � � � ����� ���� ��� ��� � � ���� � ������� � � � �� � O� ����� � � �� ����� � � ��� �����

���� � �� �� � ���� � � � � =��� ����

� � ��� ���� ��� ��� � � ������� � ������ � ���� ����� � � ���� � �� ��� � �� ����� ��������� � �� � � ��� ������ � ����� � � � �� � � � ������ � �� �� /1��� 51 �34 74 04 21�07 � � �38 �76 27 �34�7�

�18�7�� � ��� � ��� � ����� � �������� � �� � �� ����� ���� ���� ������ � ������� �� � �� �� � � ������ � �� ���� � � ����� � ��� �� � �� ���� �� ���� �� � ����� � � ����� ���� � � � ��� � � ������ � � � ���� �� � ����� � �� ������ ��� �� � � � �� � � � �� �� � � � ���� � ��� �����? � � ��� � �� � � �� ������ �������� � � ����� ���������� � � ��� � � � �� ��� � ����� �� �� ��������������� �� � L � � � ���� �� ��� � �� ������ �� ��� �� ���� �� ��� � � ��

Page 199: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �� � ������� ��� �� �� � ���� ���

���� �� ����� ������ � � � � � ������ � � � � � � �� �� ������ � ��? ���� �� ��������� �� ���� � � � �� � �� �� �� ������ � � � � ���� � �� ����� � ���� � � � � � � � �� ���� �� ���� � �� �� ������ � � � �� ���� �� ���� ��� ����� � ��� �� �� ����� � ��� � � ��� ��� � ��� � ��� � ����� ���� ��? ��� ������ L � � � �� � ���� �� �� ������ � � � � � � ������ ��������� � � ������ �� � ���� ����� ��� �

�� ������� � � � ���� �� ��� � �� ��� � � ��� ��� ��� � � ��� � �������� ���� � ��� � �� ���� � � �� �� �� ������� � � ��� �� �� ���� � ��� ��� � � �� ���� � �� �� ������� � ���� �� ���� � � ��� � �� ������ � ����� ���� � � � ��� �������� �� ���� � � ����

L � � �� � � � � L � � �� � � � ���� ����� � � � � � � � � � / ����� � �� ���� � � ���� � � �� � � ����� � ���� �� ������

; �� � L � M 9J L � 9J� M ; > ���� � � � � � < L < � ���� ��"� ; �� � L � M 9J L � 9J � M ; > ���� � � � � � < L < � =��� ��>�� �� � ��� � �� �� ���� � ��� �� ����� ; > � � ���� ����� ��������� � �� ������?�� � ��� � � ���� � � ���� �� � ���� � �� �� � ������ �� �� ������� � �� ��� � ��� ��� � � � ��� � ���� � � � � � � � � L � � � � � ����?�� �� ����� ������ ���� �� ��� ���� ������ � + � ��� � � ��� �� ��� �� � � � ��� � � �� � � � ��� � � �� ��� � ������ � � � ���� ��D G &AB % A F�F� � �� � � ������������ ��� �� �� � � � ��� ����� � � �� � �� ' �� � � � �� �� ����� ������ � # � � ��� ��� � CD@F � � � ��� ��� � � ��� � �� ��� � ��? ��� �� ��� �� ���� � ��� �� ����� � ; � ; > � � ��� � �� ���� � ��� �� � � � � � �� � ����� ��� �� ����������� ��� � �� ������ �� � �� ��� �� ��� � # � �� ������ � � ������ �� � ; M 9J L � �� � � �� � ��� �� ���� � ���� � �� � ��������� �� ����� � !� � � =��� �Q��

� ����� � �� � � ��� � �� ����� � � ������ � �� � �� � � � � � � � ��� ���� � � � � � ������� � ��� � ������ � � � � ��� ; � � � �� �� �� � �� ��� � # ��� �� ������� � �� � �� �# � �� � L � � � + L < � �� �� =��� �Q��

�� ���� L � � �� � � ��AB �D�F �G��D �� �� ��� � � � �� �� � ���� �� �� ��� � � � � ��� �� � � � ; � � � � � � ���� � ��� � � �� ��� � � � � � � ������ � � � ������ ��� � � � ��� ����� � � ��AB �D�F �G��D �� � ���� � �� �� �� ��� � ��� � ���� � � � � � �� ���� � � �� ��� �� � � � � � �� ? � � �� ��� �� � �� ��� � � �� � �� � ����� ��� � � � ���� �

Page 200: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��" ��� ���� �� � �� ��� �������

�� ��� � ����� �� � �� � � � ��� �� � �� ������� � � � � � �� � �������� � �� �� �� ������� � �� ���� � � � ��� � �� ���� ������ �?������ � $ � � � � � � < L < � � ���� ��� � �� � ������� � �� ���� � � ��� �� �� ����� � � �� � � �� ��������� � �� � L � � 9J� ���� � < L < � =��� �Q��� �� ����� � � ��� �� � ��� � � � � �� ���� �?������ � $ # � � � � � � < L < � � ����� � � � � ��? �� �� � ��� �

� �� � L � � 9J � ���� � < L < � =��� �QQ�� � ��� ���� �� � � ���� �� � ��� ������ ��� � ������� � ������ � �� � �� � �� � � ���� �� ���� �� ���� � ���� ���� � � ��� � � �� ���� � $!� � � � � � <L < � ���� � �� ���� � ; � �� � � � �� � ��

� �� � L � � 9J L �� � < L < � ��� =��� �Q� �� � � � + $ � � � < � < � � L � �� � ��� ��� � � ���� � � ��� ����?�� � ������ � � � � � � � �� � � �� �� � � ���� ��� ���� L � � �� � < � < � � L � � =��� �Q1�� ���� � � ��� ��� � �� �� ��� ���� $ � �� � � �� ��� � � �� �� �� ���� � � � ��� �� �� �� � � � �� � �� � ���� � � ������� � �� ���� �

� � 9J� �� � ���� �Q��#��� �� � ��� ����� �� �� �������� ����� � � � � � ������ ���� � � ��� ��� ���� � � ���� � � � � � �� � �� �� �������� � CG $ DC @AB A @G�F � �� ��� ���� ����� �� $ � ��� ���� � � ������ � ��� � � ��� � �� ���� � $ � �� �� � � �� � �� � �� � � �� @AB�G@G &AB �D @AB �A�BA D� ��F � �� $ � �� �� ��� � �� � ���� � � ��� ������� + � �� � ���� ���� � �� ���� L � � �� � � ���� � ��������

�� � ���� �Q��

� � � � �� �� �� � $ � ���� �������� I�?� � �� � M � � � � � �� ��� � � ������ �� ��� � � �� ? ��� � � � ����� �� � � �� � �� �� � ������ ��� � �� ���� � ���� � � �� ��� ������� � �� � ��� � ���� � � � � # �� ��� ����������� �� � �� � � � � � � �� ������ � ����� �� 6 �� � ���� ����� �� ������� �� � �� ��� � ��� �Q��� ��� �Q�� �� �� �� �� ���� � � ��� � ��� � ���� � � ����� �����?�� � � � ����� ��� �DCG F��F�DC EF�GF@GABF!�DC ��� ������� � � � � �������$�� � � � � � �� � �� � ���� � �� � ���� � �� ����� �>�� � � / � �� ����$�� ���� � � � ��������� ������� � � ��� ����� � ��� � �������

Page 201: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� �� ������ ��� �� ���������� ��> �� � ���� � � ����� ����� � � ������� � � ������ ����� � ���� � �� ��� �� ���� � ��� ������� � � ���� � ��� � � #������� � �� � �/�� �� � �� �� �� ����� � � �� 6 �� ����� �� �� ��� � ���� � ������� � � � � ���� � �� � ��� ������ �������� � � � ��� �� ���� � ���?��� � � ��� ������ ��������� � � ������ � � ������ � � ��� � ���������� ��� ������ � ���� � ���� � �� � ������? ���� � �� ��� �� �� ������ � � � � ������� � ��� ����� � � �� � �� ��� �� � ���� � ��� � �� ����� � � � �� � � �� � ��� � � �� �� � ��� � � � � ������� � � ��� � � � �������� � � ��� ������ � �� ��� � � ������� � � � ����� �� � � ����� ����� �� ������� � � � � ������� � ���� � � �� ������� � �� ������� � �� ����?� � ��� ��� � �� ��� � ��� �� � �� �� ���� � � � � ������� � ��������� �� � �� �� � � ���� �� ������ � � ��� ����� � � �� ��� � � ���������� � �� ��? � ��� � ����� � ������ � � � ���� � ����� � � � �� �� ����� �� � � �� � � �� �� � ���� � � � �� �� ������ � ��� �� � ������������ �� D�F�� &�F �D % A�D�AC � ����� � � ��� ���� �

��� � � � � � ������� � �� ������� �� ��� ������ � � ���� �� �� ��� �� ��� � � � ������� ������ � � �� � � �� � �� ��� �� � ��� ������ �������� + �� �� � � ����� � � ��� � ���� ��� �� � ��� ����� � ����� ��� ����� � �� � �� ����� � � ��� � � �� � �� ����� ��� ����� � ���� ������ � � ������ � � ������ � � � � �� �� �� � � � � �� ���� � �� � �� � ���� � � �� �� ������ ���� � � �� �������� � �� ���� �� ������� 7� 6 6 ���� � ������ � ��� � �� � ���� ��� ������� ��� ����?���� �� � ����?��� � ���� � � ��� ��� ��� � ������� ��� �������� � � � ��� ������� �� �� ����� 5 ��� � � �� � 0� �� ��� � �������� ��� ��� � ���� �� � �� �� �� � ���� � �� � ������ � � � ������� � � ��� � ����� � ����� � ��� �� � � ����� � � � � ���� ����� ��� � � � �� � ���� � � �� � ���� ���������� ��� � � ��� � +

�� � ����� � � ������ � � � ����� � �� � ��� ��� �� ��� � ��� ��� �� ��� �� � � � � � ��� �� ��� � �� ������ �������� � � ��� �� � ��� � ���� �� � � ���� ���� �� ��� � �� ���

# � �� � � � � � + � � � �� � ��� ���� ������ �� � � � �� � ���� � � � �� � � ������ � � � �� � �� � � � �� �� ������� � � ����� � �� �� � ���� �� �� ��� � � � ���� � ���� � ����� � � �� � �

����� � � � ����� � � �� � ����� � � � ! � � � � � ������ � �������� �� � ������ " ����� � ���� �� � ����� � � �� � ��� � � ���� �� ������ � � ��� ���

Page 202: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� ���� �� � �� ��� �������� � ����� � � ���� ���� �� � ����� � �� ������ � � � � � � �� ��� � ���� ���� � ������� � � � � � �

�� � ������ �� ������ � ���� � ��� ����� ���� ��� ��� �������� � �� � �������� � �� ������� � ���� �� ��� ����� � �� �� �� �� � � �� �� �� ������� ��� � � ������� � � �� � �� � �� � � ������� � � �� � ������ �� � ��� �� � ������ ���� � ��� ��� � � �� � �� � � � �� � �� �� � �� � ������ � ��� ����� ��� ������ � ��� ��� � � ��

�� � � �!� � � �� �

� ������� � � ��� � ������ �� ���� � � ���� � ������ � � �� ���� ����� � �� ��� � ! � �� � � � ���� � �������� � ��� � ���� �� ��� ���� ����� � � �� � �� �� ! � � ���� ���

! � �� �� � � � ���� ����� ���� �������� � �� ���� � � ���� �� � � �� �� ��� �� ��� ��� ���� � �� ���� � � ������� ������ � ���� � ������ ���� �� ��� � �� ��� � � �� ��� � �� ��� �� �� ��� �� � � ���� � ��� �� ��� � � �� ���� �� � ��� ���� �� �� ��� � �� ��� � � � ��� �� � ���� � � �� � �� � �������� �� ������ � �� � �� � �� � ���� �� �� � � ���������� ����� � ����� ����� � ������ � ������� � � �� �������� �������� � ������� � �� �� � �� � ������� � �

������� � �� �� �� �� � � ����� � � � ��� � � �� � �� ���� � � � �� � � ��� �� � ! � � � �� " �� �# $%&$ # '( ���� � � #)

�� � � � ���� �*��

� � " � �� � � ����� �� � �� � ������ � � ��� ���� ��� ���� � ��� �� ���� �� � � �� � ����� ���� � � �� �� � � ����� � � +� � �! � �� � � ���� �* ��

� �� ������� ������ ����� � � , �� � �� �� � �� � � �� � � �+-� �! $ � � ����� ���������� �� �� � . ������� �� � � ����� ���� ! � �������� � � ��" � �� � � �� +� ���

# '( ��� � �� ���� �*��/��� � ���� �� ����� ��� � 0 ���� �

� 1 � 2 ��3 �$$��� �*��� �� � ���� 2 � �� +-�"� � � ��� ����� � ����� ��� � ����� �� ���� � ����������� ���� �� �� ����� � � 4 5 ���������� ���� � � � �� ����� ���� � ��

Page 203: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� 5� ����� ����������� �� �

����� � �� ��� � � � � � ������� �� �� �� � ��� ������� � �� ��� � � ����� � ����� � � ����� � ������ � � � � � ������ ���� �� � �� ����� � �� ���� �� �� �� ��� ���� � � ������ � � �������� � �� ���� � ! � ���� ��� ���� ���� �� � ����� � � ���� �� �� � � ������� ����� � � � ������ � ������� � ����� ��� �� � � ����� � �

� 1 � 2 � ��3 � ���� �** �� � � ��� �� � ������ � � �� �� � �� ���� � ���� � �� � ��� �� ���� ��� � ��� ��� �� �� � �� � ���� � ��� �� ��� � � ���� �� � � � ���� � ��� � ����� ������ � ���� �� � ������ � ������ ���������� ������� �� � � �� � � ������� � � � � �� � �� �

� 1 � 2 � ��3 � � ���� �*�� � �� ���� � �� � � � �� ��� � �� � ��� � � ��� � ����� �� � ������� � � �� ������ ������ �� �� � �� � � � � � � � � � ��� �������� � �� � ��� � ��� �������� � � �� �� ����� � � ���� � � ���� � � �� � ������ ��������� � ��� ������ �� ��� � �� �� � �� � ���� � � �� �� ������� � � � �� � ������ � � ����� � ��� � ����������� �� ���� � � � ��������� �� ��� ���� ���� �� ���� �� � ��� � � � � �� � ��� �������� �� ��� � ���� ���� ������ � ������� � � �� � �� ��� ���� � � ���� ��� ������� � ���� �� � �� �� ��� �� ��� ��� � � �� �� � � � ����� ����� ��� � ����� � � � ��� � � ����� ������ ���� � ��� � ����� � ������ � � ��� ��������� ������� �� � � �� � ���� � ��� � �� �� � � ���� � �� ��� � � ������� � ����� � � � ��� ��� � ����� � �� ��� � ���� �� � ���� � � ����� ��� ��� � � ����� ��� ������� � �� � ��� ����� * � � � ��� � ���� � ������ � � � �� � � � ���� ��� � �� � �� � ���� � � ������ � � ����� � � ����� � � � ����� �� � .� ����� � ��� � �� ���������� � � � � �� � � ��� ����� � �� �������� �� �� � � ������� � ����� � � ���� � ����� � � �� � ������ � � ����� � ��� ��� � ��� � ���� � ����� ��� �� �������� �� �� � � ����� �� ����� � ��� �** � � � � � �� � � � �� ���� � � ����� ������ � ��� ��� ���� �� �� �� �� �� � ���� ���!��� � � � � ��� !����

���� ���� � ��� � . ������� � ��� ��� � � � � �� � � � � � ���� ������ �� � ��� � ���� � � �� � � � �������� �� ������ � � �� ��� ����� ��� �!�� � �" � � � � �� � � � � �� � � +" �! ���� �*#�

Page 204: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� ���� �� � �� ��� ��������� �� � � ����� � � �� ����� ��� � � ����� � � ���� �� � �� � ���� ��� ��� ��� ��� � �� � ��� � ��� ��� �� � �� � � �� ���� � ��� "

! � ��� � � � � ���� �*�� � ��� � �� � � � ���� �� �� � �� ��� � � � � � ���� �� �� � ����� ����� � � � � ����� � �� � �������� � � ��� � � ������ � � " � + � " � ����� ���� "

" ��� � � �� �� � � � + �" � ����� � ���� �*����� � � �+�"" �� � ��� ���% �� ���� �*��

��� � ����� ���� �� �� � �� � ������� �������� � � ����� � ����� ��� ������� � � � �� ����� � � ��� � � � ��� � ���� ���� �� " � � � � � � � � � ��� �� ��� � � � � � � �� " � � � �� � �� ���� �� ����� � � � ������ � � � ��� ����� ����� �� � � , � � * � � � ��" , � � * � � �� � �� � � � �� � ��� � ���� � ��� ����� ��� �� �� �� �� � � �� � " ��������� � �� � �� � ������� �� ������ � � ������ ���� �� � � " � � � " � � � " � �� � � ���� ��� ����� � � " � � ���� � ���� ����� ��� � �� � ��� � ���� ���� � ��� � �� � �� ���� � ��� ��������� � �� � �� ���� ��� ����� ��� � � � ����� ���

� 1 � �� �� � ���� ���� � � � �� ���� � ��� � ���� � ����� � �� ���� �� �� ����� � � ����������� � ��� ����� � ��� ����� �� � � �� � � � � � ���� ����� ���� � � �� � �������� � ������ ����� ��� �� ���� �������� � ���� � � �� ���� �� ��� ���� ���� � ��� ����� � ��� �� �� � � �� � � � � � � ��� �� �� ����� � � � � ���� � ���� ������ �� �������� �� � � � ����� �� ����� � � � ������ � �� ��� ��� ��� � � � ��� � ����� ���� ���� �� ������ � ���� � " �� � ������� � � ��� � � ������ ��� � ��� �� � ��� �� � �� ��� �� � ���� ���� � ! � ! �� � � � �� � ��� �� "� ���� � � � ����� ��� � � � ��� ����� �� � �� �� �� � � ��������� ������� � � ������� �������� ��� ������� � ��� ����� � ��� ����� � � ��� ��� " � � � �� ����� � � � ������ � ������ � ����� �

Page 205: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� 5�� ���� ����� ���

� �� �������� ��� � ��� ����� ��� ����� �� � ��������� � ������ � � �� � ������ ��� � !�� �� ��

� � �� ��� �� � �� � � � � � �� �� ��� ������ � �������� � � �� ����� ����� � ��� � � �� ��� �� � ��� ����� � � ��� � � � ������ � � � �� �������� ���� �� �� ���� ��� � � ���� � � ��� � ���� � ���� � � ���� � � ��� ����� � �� ��� ���� � � � �� � ������ �� ��� � � ����� � � � ���� � �� ����� �� � � ��� � � � �� �� � � ��� �� � � � �� � � � ����� ���� � ��� � �� ������� � � ��� ������ �� � � � �� �� ��� � � ��� � � ���� ��� ���� � � � 5 � ��%�� � � 5 # 5 �������� � � � � � ��� � �� � ���� ��� ��� �������� ������� "

��� �� �� � � ����� � � � ��� ���� ��� � � ���� � �� � ����� �1 �" � � � �� � � �� �� � � �� � � � �1 �" �3 �3 � � � �� ��3 � � � � � ���� ���

� � � � ������ � � � � ���� � ��� ����� � �� ���� � �� ���� � �� �� �������� � �� � ������ ��� � �� ��� � � � � � � � � �� � �� � � � ��� ����� ����� � � ���� ��� ��� �� ��� � � � � � � � � �� ��� ��

� � � �3 � � ���� ���� � � �� � �� � � � �� � � � � � � �� � ���� � ��� � �� �3 � � � � � ��� � �� ��� �������� ��� ������ � � " � �� � � ����� � ��� ��� �� ��� � � � � ���� ���� � �� ���� � �� � ����� �� � �� � ������ ��� ������� � � � �3 � ��� ����� � ��� ���� ���� ���� " � ���� "

" �1 � � � �� �� �� � � � " �1 �� � �� � � �� �� � � � � ���� �* ����� .� �� � � ���� ���������

� � � � �" � � ��! � � � � � � � � � �� � � �" 3 3 ��! 3 � �3 � � � � ���� ��

� � " � � �� �� ������ ��� ��� ��� � ! � �� � �� ��� � � �� � �� �������� ������� �� � �� � � � � � �� � �� �������� ��� ���� ������ �� ����� � � ��� �������� �� ��� ���� �! 3 � ! � � ! � � ! � � � �"

�� � ! ( � ���� �#�

� � � � �� ��� ��� �� �������� � � � �� � �� ��� ��� ���� ���� �� �� � �� ������������ � � � ��� ���� �� � ���� � � � ���� � � �� � � � � � �� �� ��� �� ������ �� ������� � �

Page 206: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��* ��� ���� �� � �� ��� ���������� � � �� � � �� � � � � � � �� � � � � � ��� ��� �� � � � ����� �� � � �� �� ����� � � ����� � �������� � ���� � �� ����� � � � � ���� � � � ��� �� ���� ��� � � �������� � � ���� �� � ��� � �� ������ � �� �������� �

� ���� � � � � � �� �� � � � ��� � �� � � � " � � � ��� � 3 � 3 ��� � � � � ��� ���� ���

��� ��� � �������� ��� � �� �� �������� � ����� ����� � � ������� � � ��� �� � ��� �� � ���� �� ������ ���� ��� � � � � ������ � � ����� ���� � �� ������ � � �� � � ��� ���� ��� �� � ������� � �� � �� � ����� ������ �� ���� ��� � ���� � �� ��� ��� ��� � �� ��� � �� �� ��� � � ��� �������� �� � ������ ���� � � �� ������ � ����� �� ��� ��� � �� ��� ��� � ����������� � �������� � � �� ��� � ��� � ��� � ������ ��� � ����� �� ��������� �� � �� � � ���� � �.� �� � ����� ���� ��� � � � ����� � � ����� � ���� ����� � ��� �� ������ � ������ ��� �� ������ � ���� � � �������� � � � � ������ ������ � ���� ���� � ������� � � � � � � � ��� � ��� �� � ���� � ������ ���� �� �������� � �� ����� � � �� � �( � ���� ���

�� � � ���� � � � � � ���� �� �������� � � �� � ��� ���� � � �� �� �� ��� � ��� �� ������ � � ������ � ����� ��� �� � ��� � ���� ������ � ���� ���� � ���� � ���� ��� ������� � � � ������ ��������� � � � �� � � ������� � � ��� ����� � ��� �* �� ��� �#� � ��� ������ � � ����� � ���� � � ���� � ������ � ��� �� � ��� � �� ������ � � � � �� ���� ����� ���� � � ��� � ����� � �

� � ! �� ��� � ! 3 �� � � ���� � # �

! � ���� � ��� �� ���� �#��

� � ��� � � ��� � ��� � "3 ��� � " � " �" 3 ���� �#��

�� � �� ���� � � ��� ������ � �! � ! � � � ! 3 �� � �� � �� ����� � ��� �#�� � � ���������� ������ �� �� ���� � � ��� ���� � ����� � � ������ � �� ��� �� ��� � � �� ����������� � ��� �� �� �� � �������������� � � � ��� � ��� � � � � ��������� �� � ������ � � � �� � � � �� � �� �� � �� ��

! � � � � # �

! � ���� � ��� �� � ! � ��� �� � � ���� �

! 3 � � � # �

! � ���� � ��� �� � ! � ���� ��� �

Page 207: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� 5�� ���� ����� ������� � ���� � ��� ����� � ���� ��� �������� � ���� � � ��� �* � � ���� �� � ��� ������ � � � � � ���� �#��� ��� �� � ��� �#� � ��� �#�� � ����� �� ��� � ��� � � �����

� � �� � ��� �� � � ��� � �" � � 3" 3 ���� �#��� �� � � ��� �� �� � � ���� � ���� �� �������� � �� � � � �� �� �

�1 �" �� � � �� �� ���� � � � ! (" 3 �� ��� ���� �#* �

�� �� � ����� � �� ��� � ���� � � ��� ������� � �� ����� � � ������� � � � ���� � � � � �� ��������� ��� � � # ( � �� �3 �� �� � �� � ����� �#�

� �� ��� � � � � � ������ � �� ������ � ����� � �� ���� � � � � �� � ���� � ������ �� �������� ���� � � �� � � � �� � � �� ����� � � �� � ��� ��� ��� � � ������ � � ��� �#�� � ��� �#�� � ���� ��� �� �� � ����� � � � ���� �##�

� � ��� ���� � � ��� �#�� � ��� �#* � � �� ���1 �" �� � � �� �� �" � �� � � � ! (

" 3 �� ��� ���� �#������ ��� ������ � �� ��� � � �� ��� � ����� � ��� �##� � ��� �#�� ���� � � � � � �� ��� � �� � � ������ ��� �� �� ��� � �� � ���� ����� � � ��� � ������ � ����� � ��� ������� ������� � ��� ��� ��� � � �� ������ �� ��� � � � ����� � �������� ���� �� ��� � �� � ��

��� � � ���� ��� � � � � �

� � � � � � � �

���� �#�������� � � ����� � ��� �#�� � ��� �#* � � �� �� �

" � �� � � � �� ��� � �� ��� ���� �#��� �� � � � ���� ����

Page 208: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��# ��� ���� �� � �� ��� �������� � � � ���� �� � � � � ������ � � ��� �������� ���� �� ��� � � ��� ��� �� ���� �� �� � �� �� ���� ��� � �

� � � ! (" 3 3 � ��� � ���� ����

��� ���� ��� � ������ �� � � � ��� ��� �� ��� � � �� �� ����� � ����� � ��� �� �� � ��� �� � � �� ���� � � ���� �� � � � �� ����� � � �� �� � ���� � ���� � �� �� ��� " � �� � � � � �� ��� � � ���� ����� � ��� � ������ �� �� ����� � ���� � � ��� �� � �� ��� �##� � � ������������� � � � ��� ����� ��� � �� �� �� � ���� � ���� �� �� � � ������������ ������� � ��� ��� � ���� �� ����� � ��� � ��� � � � � � �� � �� �� �� � � � ���� �� �� ��� ���� ��� �� �� ����� � ��� �#�� ���� �� �� �

�1 �" �� � � ! (" 3 �� ��� ���� ����

�� � ��� �� � � �� ����� ��� � � � ����� ��� �������� �� ���� � ���� � ������� ��� � ��� � �4� � �� �� � ���� 5�� ��� �������� � � � ��� �� �������

���� � �� �� ������� � ��� � �� �� ����� �� � �� � ��� ������� ����� �� � ����� �� � ��� ����� � ���� �� �� ���� � � �� ���� �� � � � � � � �� � �� ����� � � �� ��� � �� � ����� ����� �� �� � ����� ������ ���� � ���� � � �� � ������ � � ����� � � �� ������� � �� �� � ���� � � ��� �� � � ���� ���������� � � � �� �� ������� � �� � �� � ���� ��� ���� � ������ �� �� �� � � � �� �� � � ����� � ����� � � � ���� � � ���� ������ �� � � �� � ����� � � �� ��� �� � ���� ��� �� ���� �� � ������ �� � � ��� � ��� � � ���� ��� ��� ������ � � �� � � � ��� ��� ������ ���� ��� ������ ��������� � ��� ������� � � � ����� � � �� ��� �� � � �� � � ��� � � ��� ��� �� ���� �� � ��� ����� ����� � ��� � � ��� ������ �� �� ������� � ����� ���� � ������ �� ����� � �� ������ � � � ������� � � � � ����� �� � �� ���� � ���� � � �� ������ �� ������� � �� � � ������ � ����� ��� �� ����� � � � � � �� ���� ����� � ��� ��� ��� �� ��� � � �� � � �� ���� � ������� � � � � �� � � � ���� � � ��� �

! &��� � ! &��& � ! ���� ��* �

Page 209: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� 5�� � �� �� �� �������� ���� ! � � � �� � � ��� ���������� �� � ��� �� �� � � ���� � �� �� �� ���� � ���������� � � � �� �� ��� � ����� � � �� � �� � �������� � � �� � ��� ����� ������� � � � ��� � ���� �� � �� � �� � � ��� � � ��� � ���� ����� ��� �� ��� ���������

� � � ��� � ���� � �����

� ��� � ��� �� �������� ���� � ����� � � �� �������� � � ���� � � �� � �����

� � � � ��� � ��

��� ��#�� � � ��� � ��� ��� �� � �� ������� � �� ��� ��� �������� � ��������� � �� �� � � ��� ����� � �� �� ���� � ����� � �� ���� � � � � �� ������� � � � � � � � ����� � ��� � �� � ���� ���� ���� �� � �� � ��� � �������� � ��� ���� � � �� � �� �* � ��� � � ����� � �� � � �� ��� � � ��������� � � � � �� ������� � � �� �� �� � � �������� �� � � � � � � � ���� ����� � � � � � ���� � ��� � � �� ��� ��� � �� � ��� ��� �� �� � � ����

� � �� �� ��� � � � �� � � ���� ����� � � �� � � �� ������ ������� � ��� ������� � � � � � � �� ���� �� ��� � �� � ��� � ��� � �� ���� ��� ���� � ���� ��� �� � �� � � �� ���� ����� �������� � ���� � � � �� ��� ������ � � � � �� ���� ��� � � � �� ��� ����� � � �� �� ��� �

� � � �� � ���� ����� ������ � ������ � � ���� ���� � �� �� ���� � ������ � � �� ���� ��� ��� ��#�� �� �� � ������� � � � � � ��� � �� � ����� � ��� �� � ������

� � �� �� � � � � �� �� �� �� �� � � �� � �� �� �� �� � � ���� ����

�� � ��� � � ������� ��� � � ����� ��� � ������ ��� ��� ��� � � ��� � � �� � ������ � � ��� ��� � � �� ��� ���� ����� � ���� ��� � � � �� ��� � �� � ���� �� �� � � ���� ���� � " � �� � � � � �� �� � �� �� �� � � � �! �� �� � �� � �� �� � ���� ������� ! �� � � � �� �� " �� � � � " �� � � ! �� � � ��� � �� ��� � ������ � ��� � �� �� �� � ��������� � �� #�� ��� � � � ��� ��� �� � � �� � � ����� ��� � � ������� �� � � �� ��� ��� ��� �� ������ ����� � �� �� ��� �� �� � �� �� ��� �������� ���� �� � ����� � ! � � � �

���� ��� � ��� ���� ������ ���� � ���� �� ��������� � ����������� ��� $��%���&'�� � ������ �� ������ � � ���� � (� � ����� ��� � � �� ���� ���� ��� � ��� � � ��� ���� � ��� ���� ������ � � ���� �������� � � � � 5 ��'���� � ��� � � ��� � ���� � �� ���� � � � ������� � ������� ��� � �� � � �� � � ��� � �

Page 210: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� ���� �� � �� ��� ��������� ��� ��������� � ������ ������� �� �� ���� � �� ���� �� ���� � � ��� � �� � ���� ��������� � �� ������ ����� ���� �� � ���� �� ��� � ���� � � � �� � ��� � ����� � �� �� � � � ��� � �������� �� ��������� � ������������ � � � �� �� ������� � � ���� ����� ��� � � ��� � � � �������� �� � � ����

� � �� � � � � � � � � �" ��! � � � � � � ���� �������� �� �������� � ��� ��� � � � ����� � �� � � �� � � ��� � ��� � �� � ��� �� �� � ����� � ��������� � ������ ����� ���� �� � ���� �� �� �� ����� ��� ��� ����� ���� �� ��� ��� �� ���� �� �� � � � �� ���� � � ����� � � ���� ������ ��� � ������ ����� "

� �� ��� � � � � �� � �� � � � �� � � �� � � � � ��� ���� ������� �� � � " � ��� " � � �������� � � � � ���� � ���� ��� ��� � � � � � ����� � � ���� ���� � �� � � �� ��� � �� ���� �� �� � ���� � � � � �� � � ����� ��� ��������� � �� ���� �� � �������� �� ������ ����� � ��� � �� � � � �� �� � ��� � � � ��� � � ���� � � ����� ������ � �� � � ����� ��� � ����� �� ���� � � �� ������� ��� �� ������ � � ��� ��������� ��� ��� ������� ������ � � � ����� � � � � ������ � ������ ����� �� � � �� ������� � ��� ��� ���� ���� � � �������� ��� �� � � � �� ���� ��� ���� ���� � � � � �� ���� � � ���� �� � �������� � �� � ���� � �� �� �� ������ � ������� ��� � � �� ������� � �� ���� � �������� # ��� ��� ��� ����� ��� �� � ��� ��� ��� ��������� � � ��� � � � �� ��� �� ��� �� �� � ���������� ��� �� � �� � �� � ���� �� ��� ����� ��� � ��� �� �� � � � ���� ����� ��� � � ��� ���� �� � �" � � � � � �� � � � � ���� ��* �� � � � � ���� � � � +" �� ���� ���� � � ������ �� � � � ���� ����� ��� � � � �� ���

�� !� � ��� � � � � � � � � � ��� � ���� ��#����� �� � �� � ����� � � �� ������� � !� � ���� �� � ����� � �� �� ��� �������� �� � � ��������� ���� � � �� ��� � �� �� �� � � � � ������ � � � � ���� �� � ���� � �

Page 211: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

�� 5�� � ��� ���� �� ������� ���� �� ��� � ����� � � � �����

� � � � ���� �������� � � � �������� � �� ��� � � �� � �� � � � ������� � � ��������� � ���� ������� ������ ���� � ���� �� �� � ��� �� �� ��� ����� � ���� � ���� � �� � ��� ��������� ���� � �� �������� ��� � � ��� �������� ��� � � ����� � �� � �� � � ��� ������� �� ��� �� ��� � ��� ����� ������� � ��� �� � � �� � �� � ��� � � � �� �� ��� � ��� �� � � �

# ��� � ���� ��� � � �� �� ����� �� �� � � �� � � � ���� ����� ��� ��� ��* � � ���� � �� � � � ������ � ��� ��� � ����� ��� � � � �� ��� � � � � � ���� ��� � � ���� � � � � � � �� ���� � �� ��� ��� ���� � �� ���� �� " � � �� ��� � � � �� ������ ��� ����� ��� ��� � ��� � ���� ������

" � � � � �� ��! � �� � � � �� � ���� �������� �� � � ��� �� � � �� ��� � � � ����� ��� � � � � � ���� �������� � ����� ������� �� � ���� � �

�� ��� ��� ���� � �� ��� � �� ��� � ����(� � � � ���� � ��� � #� ��� ��� � �� � ����� ��� ������� ��� � � � � �� ��� ��� � ���� ���������� ��� � � � ��� ��� ��������� � �������� � ������ �� �� ��������� � �������� � �� ���� � ��� ��� ��� �� � � ���� � � � � ��� � �� � � � �� � �� ���� �� ������ � � � � ����� � � � ��������� � ��� � ��� � ��� � �� ������ � �������� � �� � ��� ���� ���� ��� �� � ��� �� � � ����� �������� � �� � � �� �������� ������ �� � ��� � ������

�� � ���" ���� ������ ��� � ��� � ��� � ��� � �� ������ � � � �� �� � � �# ��* � � � � � ���� ����� � � �� �� �� ������ � � �� ��� � � � � �� ���� �� � � � � �� ��� � �� ���� ���� � � �� � �� ��� � �� ��� � �� � �� � #����� ��� � ������� ��� � �� � � ��� � ��� � ��� � � �������� ��� ����� � ������� � ��� �

�� � � "+ ��� �" � ���� ���� � �� � � ���� ��� � � � ����� � � ���� �� � � � � ����� ������ � �� ���� � ���� � .� � �� � � �� ��� � � ����''� ����

� +" �! � � � + ��3 �" � � ���� ����� � ��� � �� ���� ����� ��� ��� ���� �� � ��� � � �� � �� ��� � ���� � �������� ��� ��� �� � �� ���� � ��� � ��� � ��� ��������� � ���� �� � ��� � �� � �

Page 212: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� ���� �� � �� ��� ��������� ���� � �� � ���� � ������� �� ��� ���� � � � � � ���� � ���� � � ���� �� ��� � � ��� ����� � � � #�� � � �� ���� � ����� � � ��� ��� � � ����� � ���� �� � � ��� � � � �� � ����� ���� ����� � ��� � � �� ����� �� � ��� ������ � ����� � ��� � � �� ��� �� � � �� �������� �� ��� � (� ���� ����� ���� � �� �� �� � � ��� � � ��� �������������� � ���� � � � � ������� ��� � ��� � � �� � ���� ������� ��� ������� ���� ��� � �� � ��� �������� � ��� � �� � ������ � � ���� �� � ���� � ��� � ������ ��� �� �� � � ����� � ������� � �� �������� ���� ������ �� ��� � � �������� � �� � ��� �� ����� � � �� � �� � ������� � � ���� � ��� � �� ��� � ��� ��� �� � � � � � ����� �� �� ��� � �� � � � � ������ � ������ ��� � �� �� ���� �� ��������� ������� ��� � ������� ��� ��������� � � ������ � ��� ���� ��� �� � �� � �� � ������� ����� � �� �� ������� � � � � ���� � � �� ������ �������� � � ����� ��� � ���� �� ��� ���� �� � ��� ���� � �� ������ ���� ��� ���� � ���� ��� � �� � �� � �� � ����� ��(� � �

Page 213: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

������ ��� �� ����������� � ���� � � ��� ���� ������� ��� �� ���� �� ��� ��� �������

��� � � 5� 5 $��������� � � 5� 5 ����� � � 5� 5 ��' �� � �� �� � ����� ������� ������������ � � �� � � ��� � �� �� � ������ ��� � 4 5 $��� � ������ ��� � � � ��� �� ������ � ���� � ��� � � � � ��� � ���� ���� � 4 5 $��� � 5 � ���� ��� � � ��� ��� ���������� � ��� ��� �������� � � � � �� �� � �� �� ����� ��� � ���� ����� � 5 �'����� � 4 5 4��� � ����� � ����� � �� � ��� ���� � ��� �� � � �������������� � � ��� ���� � �������� ��� ������� ��� �� ��� � ������� ������ � ���� ������ � �� ���� ������� ���� � ����� ��� ��� ��� � �� � ������ ���� �� � �� �� ���# ��� �� 5 �� ��& � ��� � ��� � ����� � � � ����� ���������� � ������ �� �� ���� � ����� � ����� � ���� � �� ��� �� �� � ���� ��� �� 5 �� ��& � ���� ��� ������ � ��� � �� �������� � ��� ��� ���� ���� � � ���� ���������� ��� �� �� �� ��� � ������ � � �/ � � ���� �� � � � �� �� ���� � � � ���� � �� ������ ����� � � 5 ��&���� � � 5 � ������%���� � ����� � � ��� � � ����� � � � �� � � ����� � ��� � � ���� � �� ��� � � ����� � � � ������ � � � � � ��� � ���# ���� � � 5 � ����� � ��� ��� � ��� �� � ��� ����� ������� ������ � ���� � ��� ���� � � � � ��� � ���� ���� � � 5 �� 5 ������������%���' ��� � ��� ��� � � ����� ��� � ��� � ��� � � ���� ���� .��� � � � �� � � ���� ��� � ��#� �

����� �� �������� ��� � ������ � � 5 $� ����' � � �� �� � ����� � � ���� ���� ����� ��� � � �� ����� �� ���� ����� � ��� �� �� � ���� ��� �� �� ������ � �� � ���� ��� ����� 4 5 �������� � �� �� ���������� �� � 0 ������� ! ����� " � ����� �� �� ��� ������ � ���� � ������ � � �� � �� �� � � #��$�� �� �� ������� .��� � ������ �� ����# ��� � 5 �������� � ����������� � ������ � ��� �� �������� � �� � �� � � � � ��� ����� �� � � � ��� � ���� �

Page 214: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

��� ��� ���� �� � �� ��� ��������� �� � 5 � �������'�� � � � ��������' �� � ��� ������������ �� ���������� �� ������ ���� �� �� ������������ � � ��� � �� � � �� � � � ��� � ���� �

����� �� ���� ��� �� ����� �������� � � 5 � �����& � � 5� 5 ���� ��&�� � ������ ������ � �� � ���� �������� � � ����/ �� �� � ������ ��� ��� � � � ��� � ���� �

������ ��� ' ��� ��������� �� � 5 ����� � �( � ������ � �� ��� � � � � � � � � ��� � � � � �� ��� � ����� � ��# ��� � ���*� � ��� � � 5 ��'���� � ��� ������ ���������� �� ������ �� � ���� � ��� " ������� � ���� �� � �� �� ������ �

Page 215: FUNDAMENTOS MATEM ATICOS DE LA MEC ANICA DE FLUIDOS

������ �������� ��

� �� ��� ����� � � ���� ���� "���� � � ��� � �� � ������� � � ��� ������ " ������ �� � ����� " + � � � � � �� � �"3 ����� � � � �� ��� � � ����� � � ��� ���� �"3 �� �������� " " � � � " � � �� ������ �� � ����� " � ��������� ��� " � � � � � � � �� �� ���� � ��� ������ " � �

� ������� � "( � � � ���� � � �� " � � � +" ��! � � � � � � � � � � �" �� ������ ��� � ������� �� " � 1 � 2 � ��3 � � � 1 � 2 � ��3 � � ������ ��� � �� � ���� ������� " ��� � � ��� � ������ ��� � � ����� ��� ��� � � �� �� �� �

����� ��� � � ������� � � �� �� � � � �� �� �� �� �� � � �� � �� �� �� �� � � �

� ��� � � �������� ������ �� ��� ��� ��!�1 �" �� � � �� �� �" � �� � � � � (

" 3 �� ��� �

� �� �� ����� � � � �