fundamentos matematicos ma13101

Servicio de asesoría y resolución de ejercicios [email protected]

www.maestronline.com

Solicita una cotización a través de nuestros correos.

Maestros Online

Fundamentos

Matemáticos

Apoyo en

ejercicios

Servicio de asesorías y solución de ejercicios

[email protected]



Instrucciones:

Parte I.

1. Resuelvan el siguiente problema, sube tus respuestas en el foro de discusión. Lee al

menos una aportación de alguno de tus compañeros para comparar las respuestas y en

caso de alguna diferencia intercambiar el método de solución empleado para obtener la

respuesta correcta.

Al inicio de cada semestre en Tec Milenio se inscriben los alumnos en las diferentes carreras que ofrece esta institución, a 150 alumnos se les preguntó, ¿Qué actividades extracurriculares deseaba llevar para desarrollar sus habilidades deportivas, culturales y artísticas?, mencionaron que les gustaban el baile, el tenis y practicar yoga.

63 les gustaría llevar clases de baile.

66 les gustaría llevar clases de tenis.

65 les gustaría llevar clases de Yoga.

22 les gustaría llevar clases de baile y les gustaría llevar clases de tenis.

25 les gustaría llevar clases de tenis y llevar clases de Yoga.

23 les gustaría llevar clases de baile y llevar clases de Yoga.

10 les gustaría llevar clases de baile, clases de tenis y clases de Yoga.

2. Con esta información contesta las siguientes preguntas

Cuántos de estos alumnos:

a. Llevarán clases de baile, clases de tenis pero no llevarán clases de yoga.

b. Llevarán clases de baile, no llevarán clases de tenis y no llevarán clases de yoga.

c. No llevarán clases de baile, pero llevarán clases de tenis y llevarán clases de yoga.

d. No llevarán clase de baile, ni de tenis, ni de Yoga.

3. Sube tus respuestas en el foro de discusión para que un compañero te dé

retroalimentación. Lee al menos una aportación de alguno de tus compañeros y dale

retroalimentación.

Parte 2:

4. Para desarrollar su habilidad en la búsqueda de información, indaguen en fuentes

confiables (biblioteca digital), periódicos o revistas una gráfica que represente una

situación de la vida real.

5. Copien y peguen la gráfica en el siguiente espacio, incluye parte de la información que

representa la gráfica para que puedan dar respuesta a las siguientes preguntas:



6. Para esta gráfica contesten lo siguiente:

a. Describan brevemente la información que proporciona la gráfica, es decir, qué se está

analizando en esa situación (por ejemplo: la gráfica me da la población que hay en

Monterrey cada año, observamos que la población tiene periodos en los que crece o

que decrece, en el año 2000 fue donde hubo una mayor población, etc.). Escriban

toda la información que pueden observar en la gráfica.

b. Identifiquen qué representan sus variables (esto lo puedes observar en los ejes: eje

“x” y eje “y”)

“x” representa = ______________________________

“y” representa =______________________________

c. Con base en la gráfica escriban los valores que toma cada una de las variables.

Valores de “x” = ______________________________

Valores de “y”= ______________________________

d. Incluyan la fuente de donde obtuvieron la información.

__________________________________________________

Parte 3

12. Integren los datos obtenidos.

13. Elaboren un reporte donde incluyan lo siguiente:

e. La información que surgió del análisis de la gráfica.

f. Reflexión acerca de cómo se puede utilizar este conocimiento en la vida diaria.

g. Elaboren una frase donde expongan la importancia de las aportaciones que tienen los

conjuntos y la función en la vida cotidiana. Pueden utilizar Skype, Chat, Google Docs,

para compartir la información.

Nota para el alumno: Considera que tu actividad debe estar documentada (proceso) y

fundamentada.

Resuelve los siguientes ejercicios.

I. Si U = {Los meses del año} A = {Los meses del año que empiezan con M} B = {Los

meses del año que terminan con “o”}, C = {Meses del año que terminan en vocal}, Dibuja

un diagrama de Venn para los conjuntos y con esa información responde a las siguientes

preguntas.

a. A B= ________________________________________

b. A B = ________________________________________

c. A – B = ________________________________________



II. De 335 alumnos extranjeros que se inscribieron en el Tec Milenio se tienen los siguientes

datos: 215 hablan inglés, 190 hablan francés y 255 halan japonés, 70 hablan inglés y

francés, 110 hablan francés y japonés, 145 hablan inglés y japonés, y todos hablan al

menos uno de los tres idiomas.

Determina cuántos de estos 335 alumnos

a. Hablan tres idiomas

b. Hablan dos idiomas

c. Hablan solo un idioma

III. Coloca una V o F según sea verdadera o falsa la siguiente factorización, si es falsa

escribe la factorización correcta.

Nota para el alumno: Considera que tu ejercicio debe estar documentado (proceso) y

fundamentado.

Resuelve los siguientes ejercicios. Primero resuelve de manera individual.

En los ejercicios 1 y 2, determina si la relación entre las variables del enunciado es una

función. Si cumple con ser función dar el dominio, el rango y clasificar a las variables como

discreta y continua. Ejercicio 1. El costo de publicar un anuncio en un periódico depende del número de palabras que contiene el anuncio.

a. La relación entre las variables del enunciado, ¿es una función?

b. Si lo es, proporciona el dominio y el rango, y clasifica las variables como discretas o

continuas.

Solución

a. Identifica las variables y define la letra para representarla

Independiente = _______________________ = ____________



Dependiente = ________________________ = ____________

b. Utiliza diagramas para comprobar si una variable independiente se relaciona con una

única variable dependiente.

Conclusión: ¿es función?______________ ¿Por qué?___________

Si es función, contestar lo siguiente:

Dominio (valores de la variable independiente) ________________________

La variable es Discreta o Continua

Rango (valores de la variable dependiente) __________________________


¿Cómo se denota la función? __________________________ Ejercicio 2. La estatura de una persona depende de su edad, considera la edad medida en años desde que nace hasta 50 años.

a. La relación entre las variables del enunciado, ¿es una función?

b. Proporciona el dominio y el rango, y clasifica las variables como discretas o continuas.

Solución

a. Identifica las variables y define la letra para representarla

Independiente = _______________________ = ____________

Dependiente = ________________________ = ____________

b. Utiliza diagramas para comprobar si una variable independiente se relaciona con una

única variable dependiente

Conclusión: ¿es función?______________ ¿Por qué?___________

Si es función, contestar lo siguiente:



Dominio (valores de la variable independiente) ________________________


Rango (valores de la variable dependiente) __________________________


¿Cómo se denota la función? __________________________

Ejercicio 3. ¿Quién vive más, los hombres o las mujeres?

Las mujeres viven en promedio más años que los hombres, en 1930, la esperanza de vida

para las personas de sexo femenino era de 35 años y para el masculino de 33; para 2010 es

de 78 y 73 años, respectivamente y así se ha mantenido hasta 2012.

Indicadores Sociodemográficos de México (1930-2000). Esperanza de vida según sexo, 1990

a 2012.

http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/esperanza.aspx?tema=P Recuperado 17 Abril de 2013

Contesta lo que se indica con respecto a la situación planteada.

1. ¿Qué representa la variable independiente?

___________________________________________________________________

2. ¿Qué representa la variable dependiente?

___________________________________________________________________

3. ¿Cómo es el comportamiento de la esperanza de vida de los hombres del año 2000 al año

2012?

___________________________________________________________________

4. ¿En qué año se presenta una mayor diferencia en la esperanza de vida entre hombres y

mujeres?

___________________________________________________________________

5. ¿Cuáles pueden ser los motivos por los que la esperanza de vida tuvo un aumento tan

grande del año 1930 al 2012?

___________________________________________________________________



Ejercicio 4. La relación entre las cantidades de la siguiente tabla, ¿es una función? Justifica tu

respuesta.

T – 2 – 1 0 1 2

S 4 1 0 1 4

Conclusión ¿Es función? _________________

¿Por qué?

___________________________________________________________________________

___________________________________

Ejercicio 5. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función? Justifica.

¿Es una función? ________________

¿Por qué?_______________________________________________

¿Cuál es el dominio de la función? ____________________________________________

¿Cuál es el rango de la función? ______________________________________________

¿Es una función? ____________

¿Por qué?_________________________________________

Instrucciones:

Parte 1.

1. Resuelve los siguientes ejercicios, primero de forma individual después compara

tus resultados con tus compañeros de equipo

a. Un vendedor de autos tiene un sueldo fijo de $4000 por quincena y recibe una

comisión de $500 por cada auto vendido.

Si “S” es el sueldo por quincena y “a” es la cantidad de autos vendidos escribe

una fórmula para representar el sueldo que recibirá en la quincena el vendedor de

autos.



b. Un jugador de basquetbol se encuentra a un metro del tablero, si lanza la pelota hacia

la canasta encestando sin tocar el aro dibuja la trayectoria del balón.

c. Según datos de investigadores de la UNAM la magnitud del terremoto ocurrido en el

DF en septiembre de 1985 estuvo oscilando entre 7.8 y 8.2 grados de la escala de

Richter, empezó en 7.8 grados llegó a su valor máximo y después regresó

nuevamente a 7.8, este movimiento tenía una duración de 2 segundos y se volvía

repetir y así se comportó durante un tiempo total de aproximadamente 2 minutos.

Dibuja una gráfica para este fenómeno natural en los primeros 10 segundos del

terremoto.

Fuente: http://secre.ssn.unam.mx/SSN/Doc/Sismo85/sismo85_inf.htm

Recuperado el 15 de Abril de 2013

d. La siguiente tabla muestra el crecimiento de una bacteria en el organismo de una

persona.

t 0 1 2 3 4

B 1 2 4 8 16

¿Identificas algún patrón de comportamiento para la población de bacterias?

Escribir la ecuación para las bacterias en función del tiempo:

_______________________________________________________



Dibuja los puntos de la tabla en la siguiente cuadrícula, une los puntos para conocer la forma

que tiene la gráfica de esta función:

¿Qué forma tiene la gráfica, curva o recta? _____________________

e. La demanda “q” para un cierto artículo depende del precio de venta “p” y se comporta

de acuerdo a la siguiente tabla de datos:

p 0.5 1 1.5 2 2.5 3

q 40 20 10 5 3 1

Dibuja la gráfica para la demanda “q” como función del precio “p”. Marca los puntos en la

cuadrícula y une los puntos para ver la forma de la gráfica.

f. La siguiente gráfica muestra el juego llamado “montaña rusa” en un parque de

diversiones.



g. Dibuja en plano x-y la trayectoria que sigues al subirte al juego, desde el inicio hasta el

final.

2. Responde a lo siguiente:

a. ¿Hay alguna altura máxima? ________________

b. En las curvas que suben y bajan durante el trayecto, ¿todas las curvas llegan a la

misma altura? Justifica tu respuesta:

_____________________________________________________________________

__________________

c. Supón que deseas construir una caja sin tapa a partir de un pedazo de cartón que

mide 90 cm por 40 cm, para ellos se recortará un cuadrado de cada esquina cuya

medida es “x” cm por cada lado.

Escribe la fórmula para el volumen de la caja.

______________________________________________________

Parte 2.

3. Responde a las siguientes preguntas:



a. Cuando sales con tus amigas(os) ¿cuál es la hora límite para llegar a tu

casa? _______________________

b. Cuando vas manejando ¿hay alguna velocidad límite que debes

respetar?___________ ¿cuál es?____________ y si pasas por una zona escolar,

¿cuál es la velocidad límite para no recibir una

infracción?__________________________________________

c. ¿Cuál es la máxima calificación final que puedes obtener en este curso de

matemáticas 1? __________________________

d. ¿Existe una estatura límite que vas a llegar a tener (dar un valor máximo aproximado)

o vas a crecer indefinidamente?

___________________________________________________

e. ¿Hay número límite de estudiantes en la clase de matemáticas 1 o puede haber

cualquier número de estudiantes en el salón, por ejemplo

1000?______________________________________________

f. Cuando vas a una fiesta o un antro, ¿hay un número máximo de bebidas que puedes

consumir o puedes tomar sin límite y no te pasa nada? Justifica:

___________________________________________________

g. La cantidad de materias que llevas en un período (mensual, tetramestral o semestral)

son las que tú quieras llevar (por ejemplo 10 materias) o ¿hay un límite en la cantidad

de materias a llevar? ___________________________________________

h. La cantidad de información que cabe en una memoria USB ¿es indefinida o existe un

valor límite? Justifica. ___________________________________________________

Parte 3.

4. Resuelve el siguiente ejercicio:

a. Supongamos que la temperatura T (en grados centígrados) de una lata de refresco

que se pone a enfriar en un refrigerador, está dada por la

función donde t (en horas) representa el tiempo transcurrido

desde que la lata fue colocada en el refrigerador. A medida que pasa el tiempo, ¿qué

ocurre con la temperatura de la lata.

b. Qué comprendes o cómo se puede interpretar la expresión “a medida que pasa el

tiempo” _______________________________________________________

c. ¿Cuál es la temperatura del refresco cuando se metió al

refrigerador?_____________________________________________

d. ¿qué ocurre con la temperatura de la lata?

_______________________________________________________

e. Realiza una tabla de valores para la temperatura de la lata de refresco , empezando

en t=0 que es cuando se dejó la lata en el refrigerador hasta las 24 hrs. que la

sacamos del refrigerador. Toma valores de “t” en intervalos de 2 hrs.



t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

T

f. Dibuja la gráfica de la función temperatura

g. ¿Puedes estimar cuál va a ser la temperatura de la lata de refresco a las 24 hrs. de

estar dentro del refrigerador? Justifica tu respuesta.

_____________________________________________________________________

_______________________________

Nota para el alumno: Considera que tu actividad debe estar documentada (proceso) y

fundamentada.

Entregable(s): Documento que integre los ejercicios contestados con base en los criterios de

evaluación.

Resuelve los siguientes ejercicios. Primero resuelve de manera individual posteriormente

compara tus respuestas con un compañero

Ejercicio

1. Determina si la función dada en la tabla es lineal. Si lo es, proporciona su ecuación.

x 1 6 11 16

y – 2. 38 –0. 88 0. 62 2.12

Solución

a. ¿Es una función lineal? _________ ¿Por

qué?_________________________________________________________________



b. La ecuación a obtener es de la forma

_______________________________________________________________________

c. ¿Qué datos necesitas para plantear la ecuación?

_______________________________________________________________

d. ¿Cuál es el cambio promedio (la pendiente) de la función?

_______________________________________________________

e. ¿Cómo obtienes b (el corte con el eje y)?

____________________________________________________________________

Encuentra el valor de b

Por último, la ecuación queda expresada como: _________________

Ejercicio 2

Determina si las siguientes funciones son función potencia. Para aquellas que sí lo sean,

completa la información que se indica en la siguiente tabla:

Ejercicio 3

Plantear la ecuación del polinomio dado en la gráfica y proporciona el valor del coeficiente

principal.



Solución

¿Cuántas vueltas tiene el polinomio? _______________.De acuerdo a esto, el grado del

polinomio es: _______________.

Completa la siguiente tabla para conocer la información que te permitirá plantear la ecuación:

Escribe la raíz Identifica qué tipo de

raíz es (sencilla, doble o

triple)

¿Cómo queda expresado

el factor para esa raíz?

La ecuación queda expresada como

__________________________________________

¿Cuál es el punto que vas a utilizar para obtener el valor del coeficiente principal, k?

_______________

Obtén k.

La ecuación ya con el coeficiente principal es:

__________________________________________

Nota para el alumno: Considera que tu ejercicio debe estar documentado (proceso) y

fundamentado.

Entregable(s): Documento digital que contenga las soluciones de las actividades con base en

los criterios de evaluación.


compara tus respuestas con un compañero.

Ejercicio 1

Plantear una posible fórmula para la función dada en la siguiente tabla. Contesta en la línea.

t - 2 - 1 0 1

Q 2.5 1.3 0.676 0.35152



a. ¿Es una función exponencial? _________ ¿Por qué?

________________________________________________________

b. ¿Qué ecuación vas a utilizar?

________________________________________________________________________

__

c. El factor de cambio es a = ______________ ¿Cómo lo obtuviste?

_____________________________________________

El valor inicial es: b = _____________

Al sustituir los datos, la ecuación es: ________________________________

Ejercicio 2

Plantear la ecuación para la función representada en la gráfica.

Solución

a. ¿Es una función lineal o exponencial? _____________

¿Por qué? _______________________________________

b. La ecuación que vas a utilizar es: __________________________

Nota: una estrategia para obtener la ecuación sería escribir la información dada en la

gráfica en una tabla de datos; dicha tabla de datos quedaría expresada como:

t

S

Para esta tabla tenemos que: a = _____________ y, como los valores de t aumentan en 3

unidades, la ecuación queda expresada como:

__________________________________

Observa que no tienes el valor de b (ya que éste es el valor cuando t = 0, o el punto de

intersección con el eje y). Para obtenerlo sustituimos cualquiera de los puntos en la ecuación y



despejamos b.

Obtener “b” Finalmente la ecuación es: __________________________________

Ejercicio 3

Una sustancia radiactiva se desintegra exponencialmente a razón continua de 3% cada mes.

Si la cantidad inicial de sustancia es de 100mg, ¿qué cantidad de sustancia habrá al final de

un año?

Solución Si C es la cantidad de sustancia y t es el tiempo la ecuación queda expresada como

________________________

En esa ecuación, ¿qué representa b? ___________, ¿lo conoces? ______ b =

____________

¿Qué representa r? ____________________, ¿lo conoces? ________ r = _________

La ecuación queda planteada como: __________________________

Utiliza la ecuación para contestar la pregunta:

¿Qué cantidad de sustancia habrá al final de un año? ____________

Ejercicio 4

Una población de bacterias disminuye exponencialmente a razón continua. Si en 3 días hay el

20% de las que originalmente había, ¿cuál es la vida media de esa población?

Solución

Primero deberás plantear la ecuación para la población de bacterias como una función del

tiempo.

La ecuación es: ________________________

Utiliza la ecuación anterior para plantear una ecuación necesaria para encontrar la vida media

de la población de bacterias ____________________________________

¡Reflexiona!

¿En dónde se encuentra la variable que se pide obtener?__________

¿Qué tienes que hacer para obtener la variable?_________________

¡Resuélvela!

Ejercicio 5

¿Cuánto tiempo tardará en triplicarse una inversión, si gana un interés del 9% compuesto

bimestralmente? Supón que se hizo un depósito inicial de $10,000.

Solución

¿Qué fórmula vas a utilizar? ______________________________



¿Qué variable te piden obtener? _______________

¿Cuál es el valor de las otras variables de la fórmula:

Depósito inicial P =_________ Tasa interés r =_____

Número de veces al año que se paga el interés n =________

Saldo S = _______________

Sustituye los datos en la fórmula y calcula el valor indicado.

¿Qué tienes que utilizar para obtener la variable indicada? _______

¡Resuélvelo!

Ejercicio 6:

Las fluctuaciones mensuales de las ventas de un almacén en periodos a corto plazo se

pueden modelar mediante la siguiente función, si las ventas se miden en miles de unidades y

el tiempo en meses.

Plantear la ecuación para la ventas mensuales en función del tiempo

¿Qué ecuación vas a utilizar? ___________________________ ¿por

qué?________________________

Identifica el valor de los parámetros y da la ecuación

Ecuación: ___________________________________________


compara tus respuestas con un compañero

Ejercicio 1:

Obtener el valor del límite indicado

Solución:

¿Se puede obtener directamente el valor del límite? Justifica tu

respuesta____________________________________________

¿Qué otras alternativas tienes para resolver el

límite?:______________________________________________

Resuélvelo utilizando las otras dos alternativas de solución.

TABLA DE DATOS:

x 3



y

GRÁFICA:

La respuesta final es: = _________________

Ejercicio 2

Obtener el valor de

Solución

¿Puedes evaluar directamente el límite?__________ ¿por

qué?_______________________________

Efectúa los pasos para utilizar el TEOREMA DEL LÍMITE AL INFINITO para funciones

racionales.

Paso 1: ¿Cuál es la variable de mayor potencia en el DENOMINADOR? ___________

Paso 2: Divide cada término del numerador y del denominador por la variable de mayor

potencia

Paso 3: Simplifica cada término

Paso 4: Evaluar directamente para determinar si los términos tienen la forma constante / ¥ y

aplicar el teorema LA RESPUESTA ES:

= _______________________

nvestiga en algún periódico, institución bancaria o en Internet el valor de las UDIS durante 6 o

7 días consecutivos, deberán ser datos actuales.

1. Escribe en la siguiente tabla el valor de las UDIS en función del día.



Fecha t

(días)

V valor de los UDIS

(en pesos)

0

1

2

3

4

5

6

7

Tomando los datos de la tabla anterior (con todos los decimales de las UDIS) contesta lo

indicado en la siguiente tabla.

t

(días)

¿Cuál es el cambio promedio en el

valor de las UDIS en el intervalo

indicado?

¿Cuál es el factor de cambio para el

valor de las UDIS en el intervalo

indicado

0- 1

1- 2

2 - 3

3 - 4

4- 5

5 - 6

6 - 7

De acuerdo a los resultados obtenidos en la tabla anterior, contesta a la siguiente pregunta:

¿A qué tipo de función se ajusta más la función del valor de las UDIS?, justifica tu respuesta.

3. Escribe la fórmula para el valor V de las UDIS como función del tiempo t

____________________________________

4. Dibuja la gráfica de la función encontrada.



Tomando en cuenta lo que aprendiste, analiza la siguiente situación y contesta lo que se

pregunta, para ello toma los resultados obtenidos en la parte II de tu actividad.

José desea comprar una casa y le ofrecen la opción de manejar su crédito hipotecario en

UDI´S. Para tomar la decisión necesita saber cuál es el valor de la UDI en este momento y

cuál va a ser el valor al final del plazo. Si José estará pagando 650 UDIS por mes.

¿Cuál va a ser su pago (en pesos) al inicio? Toma el primer valor de la tabla de la parte II

como el valor de la UDI al inicio del contrato (t = 0)

_____________________ Normalmente un crédito hipotecario tiene un plazo de 20 o 30 años; si el plazo que eligió José para pagar fue de 20 años ¿Cuál va a ser su pago (en pesos) al final del plazo?

_____________________

¿Le conviene a José tener una deuda en UDIS o es mejor manejarla en pesos?

Tomando como base el resumen de tu investigación, la actividad realizada y los conceptos vistos hasta el momento, reflexiona sobre lo siguiente: ¿Piensas que el manejar una deuda hipotecaria en UDIS resulte benéfico para el deudor? Tu respuesta debe ir acompañada de una opinión personal sustentada en los resultados de tu investigación, la actividad y lo que aprendiste en clase. Nota: tu aportación no deberá exceder de 10 renglones.

Parte I

1. Reúnete en equipos de 3 personas, pero realizarán el punto 1 y 2 de manera individual.

Puedes utilizar chat, Skype o crear un Google Docs.

2. Respondan lo siguiente:

Supón que hoy tienes 20 años, mides 1.70 m y pesas 65 kg, y que hace 5 años medías

1.50 m y tu peso era de 55 kg.

a. ¿Cuánto cambió tu estatura en estos 5 años?_______

b. ¿Cuánto cambió tu peso en estos 5 años?_________



c. Si quieres saber cuánto cambiará tu peso a los 23 años

¿Cómo le harías para obtenerlo?

______________________________________________________________

Calcula el valor: __________________

d. Si quieres saber cuánto cambiará tu estatura a los 22 años

¿Cómo le harías para obtenerlo?

______________________________________________________________

Calcula el valor: __________________

e. ¿Existe una fórmula que te permita calcular el cambio en un instante en

particular?_____________

La siguiente tabla muestra tu peso y estatura en los 5 años de los 15 a los 20 años.

t 15 16 17 18 19 20

p 55 58 59 61 63 65

t 15 16 17 18 19 20

e 1.50 1.55 1.58 1.62 1.65 1.70

3. Respondan a las preguntas de los incisos c y d con los resultados de la tabla.

a. ¿Cuánto cambió tu peso a los 23 años? _______________

b. ¿Cuánto cambió tu estatura a los 22 años?_____________

c. Los resultados obtenidos con los datos de la tabla, ¿coinciden con los resultados

obtenidos en los incisos c y d?

d. Si no coinciden, ¿a qué crees que se deba?

4. Respondan a las siguientes preguntas:

a. ¿Cómo se le llama a la recta que pasa por 2

puntos?_____________________________

b. ¿Puedes obtener la pendiente de esa recta?_________

¿Cómo? _______________________________________

c. ¿Cómo se le llama la recta que toca a la gráfica de una función en un punto?

_________________________

d. Y si conoces solo un punto, ¿puedes obtener la pendiente de esa recta?

_______________________

e. ¿Conoces alguna forma para obtener la pendiente de esa recta con un solo punto?

______

Si la respuesta es sí, describe cómo la

obtienes______________________________________________________________

Parte II



5. Utilicen la definición de derivada para obtener la derivada de la función en el punto

indicado, primero calcula la derivada en el punto indicado y con los resultados identifica la

fórmula general para obtener la derivada de la función para cualquier valor "x".

6. Cada uno de los integrantes del equipo resuelve un inciso, una vez que lo termine va y

compara sus resultados con el compañero de otro equipo que haya resuelto el mismo

inciso. Una vez que esté seguro que su respuesta es correcta, compartan sus resultados

con el resto de su equipo explicando cómo lo resolvieron.

7. Cada integrante del equipo va a explicar el inciso que le tocó resolver

a. Obtener la derivada de en los puntos indicados

Punto Procedimiento Resultado

de

x=1

x=2

x=3

En general

para

cualquier

"x"

b. Obtener la derivada de en los puntos indicados

Punto procedimiento

Resultado

(escrito

como

fracción)

de

x=2

x=3

x=4

En general

para

cualquier

"x"



c. Obtener la derivada de en los puntos indicados

Punto procedimiento Resultado

de

Cuál es el valor

de:

x=1

x=2

x=3

En

general

para

cualquier

"x"

Parte III

8. Elaboren una presentación que dé respuesta a la parte I de la actividad. Debe incluir la

respuesta a la pregunta ¿Cómo se calcula la razón de cambio de una función en un punto

en particular?, ¿en dónde se utiliza este concepto en la vida real? En matemáticas ¿Cómo

se le llama a la razón de cambio instantánea?

9. Completen la tabla que resume las fórmulas para derivar los diferentes tipos de funciones

que aprendieron en el módulo anterior, alguna de estas fórmulas surgen de la parte II de

la actividad, las restantes búsquenlas en Internet. No olviden incluir la fuente consultada:

Nombre de la

función

Ecuación Fórmula para

derivar la función

Constante donde "C" es

una constante

Potencia

Logaritmo natural

Exponencial

base "e"

Exponencial

base "a"

Trigonométrica

seno



Trigonométrica

coseno

10. Sube tus respuestas en el foro de discusión. Lee al menos una aportación de alguno de

tus compañeros para comparar las respuestas, y en caso de alguna diferencia

intercambiar opiniones para obtener la respuesta correcta.

Resuelve los siguientes ejercicios

1. Obtener la derivada de las siguientes funciones aplicando la definición de derivada,

tomando Δx = 0.0001.

a.

b.

c.

2. Obtener la pendiente de la recta tangente a las siguientes funciones, tomando Δx =

0.0001.

a.

b.

c.

3. En los siguientes ejercicios realiza lo que se te pide:

a. El costo total de producción, en miles de pesos, de una empresa, está dado por la

función: , donde x se mide se miles de unidades. ¿Cuál es la

razón con que cambia el costo total cuando se fabrican 5 000 unidades?

b. Un globo con aire caliente se eleva verticalmente desde el suelo, de modo que su

altura después de t segundos es . Estime la

velocidad del globo a los 40 segundos.

Resuelve los siguientes ejercicios

1. Para obtener la derivada de las siguientes funciones identifica la fórmula que se utilizaría y

aplícala.



Función Fórmula de la

derivada

Solución

2. Utiliza las fórmulas para obtener la derivada de las siguientes funciones

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

n.

o.



Etapa 1

1. De manera individual responde a las preguntas planteadas:

a. ¿Cómo se define la función compuesta ? _________________________

2. Explica el significado de una función compuesta:

a. ¿Cuántas funciones se relacionan en una función compuesta? ________________

b. ¿Cómo se relacionan?, ¿mediante una suma, resta o qué operación?

___________________________________

c. ¿Cómo es una función básica?____________________

3. Si es una función básica y es una función compuesta, ¿cuál es

la diferencia entre ellas? ______________________________________________

4. En la siguiente tabla escribe una función compuesta para la función básica dada:

Función básica Función compuesta

5. Contesta a las preguntas para construir la fórmula para derivar la función

compuesta

6. Realiza lo que se indica en los siguientes incisos, para encontrar la derivada de la

función .

a. Escribe la función dada como un producto de

funciones. ________________________

b. Utiliza la regla de la derivada de un producto para obtener la derivada de la

función ____________________________________

c. Escribe de forma simplificada la derivada

obtenida _________________________________________

7. Realiza lo que se indica en los siguientes incisos, para encontrar la derivada de la

función .

a. ¿Es válido escribir la función dada como ? _____________

b. Utiliza la regla de la derivada de un producto y la respuesta del problema anterior,

para obtener la derivada de la

función _________________________________________

c. Escribe de forma simplificada la derivada que

obtuviste _________________________________________



Parte II

8. Completa la siguiente tabla, con los resultados obtenidos anteriormente.

Función Derivada

9. Intercambia con tus compañeros los resultados anteriores, para establecer una fórmula

para derivar funciones compuestas elevadas a una potencia. Pueden utilizar Google

Docs., Skype o chat.

Si entonces _________________________

10. Observa la diferencia entre derivar la función potencia básica y la función potencia

compuesta

¿En qué son diferentes?_______________________________

11. Tomando como base la observación anterior construyan las fórmulas para derivar las

siguientes funciones compuestas:

Función compuesta Fórmula para derivarla

12. Responde a las siguientes preguntas. Una vez que tengan todas las respuestas comparen

sus resultados con las de otro equipo para ver si coinciden o son diferentes. Si hay mucha

diferencia comparen con otro equipo más y si tienen que cambiar o hacer algún ajuste en

sus respuestas corríjanlo.

a. Si una función representa una población P, ¿qué representa la derivada?

_______________________

b. Si una función representa la temperatura T de un refresco que se pone a enfriar, ¿qué

representa la derivada? ___________________________________



c. Si una función representa el valor V de un auto, ¿qué representa la derivada?

_______________________

d. Si una función representa el costo de producción C de un cierto artículo, ¿qué

representa la derivada? ___________________________________________

e. Si una función representa los ingresos I obtenidos por la venta de cierta cantidad de

artículos, ¿qué representa la derivada? ___________________________________

13. Busquen información sobre las siguientes definiciones:

a. Costo Marginal =________________________________

¿identificas alguna relación de esta definición con el concepto de derivada? Justifica:

___________________________________________

b. Ingreso Marginal = ______________________________

¿Identificas alguna relación de esta definición con el concepto de derivada? Justifica:

___________________________________________

c. Busquen información sobre el concepto de análisis marginal, escribe lo que

comprendieron y si encuentran alguna relación con el concepto de derivada

_____________________________________________________________________

______________________________

_____________________________________________________________________

______________________________

Parte III

14. Resuelve de manera individual el siguiente problema, después en equipo respondan a las

preguntas:

a. Cada integrante del equipo tiene una hoja de máquina tamaño carta, recorta un

cuadrado de cada lado y construye una caja sin tapa doblando los lados hacia arriba,

tú decides las medidas del cuadrado a recortar. Una vez que tengas la caja, utiliza una

regla para que midas las dimensiones de la caja y obtengas el volumen que se

encierra. Escribe tus respuestas:

Largo = ________________

Ancho=________________

Altura=_________________

Volumen=_______________

15. Compara con tus compañeros los resultados obtenidos y respondan a las siguientes

preguntas:

a. ¿El resultado del volumen coincide para todos los integrantes del equipo?

______________

b. Si la respuesta es no, ¿a qué creen que se deba? _______________

c. Escriban los resultados obtenidos para cada integrante del equipo:

Nombre del alumno Resultado del

volumen de la caja



d. Un representante de cada equipo pase al pizarrón y escriba el resultado de la tabla

anterior.

e. ¿Qué observan? ¿Cuántos resultados coinciden?

________________________________________

¿Cuál es el mayor volumen obtenido en el grupo?

________________________________________

¿Por qué hay resultado diferentes si el tamaño de la hoja es el mismo?

________________________________________

17. Busquen información sobre el concepto de optimización.

d. ¿Qué significa optimizar en un contexto matemático?

___________________________________________

e. ¿Qué pueden concluir comparando la actividad de construcción de la caja con el

significado de optimización?

Resulve los siguientes ejercicios:

Utiliza las fórmulas para obtener la derivada de la función

a.

Solución: Forma general: ____________

¿Qué fórmula vas a utilizar? __________

¿Cuál es f(x)? f(x) = ________________

Obtén f ´(x) = ______________________

Al utilizar la fórmula la derivada queda expresada como

Y´= ______________________________

b.

Solución: forma general: _______

¿Qué fórmula vas a utilizar? _____

¿Cuál es f(x)? f(x) = ___________

Obtén f ´(x) = _________________




Y´= ________________________

c.

Solución: forma general: ________

¿Qué fórmula vas a utilizar? ______

¿Cuál es f(x)? f(x) = ____________

Obtén f ´(x) = __________________


Y´= __________________________

d.

Solución: forma general: _________

¿Qué fórmula vas a utilizar? _______

¿Cuál es f(x)? f(x) = _____________

Obtén f ´(x) = ___________________


Y´= ___________________________

e.

Solución: forma general: __________

¿Qué fórmula vas a utilizar? ________

¿Cuál es f(x)? f(x) = ______________

Obtén f ´(x) = ____________________


Y´= ____________________________

f.

Solución: forma general: ___________

¿Qué fórmula vas a utilizar? _________

¿Cuál es f(x)? f(x) = _______________

Obtén f ´(x) = _____________________


Y´= _____________________________

g.



Solución: forma general: ____________

¿Qué fórmula vas a utilizar? __________

¿Cuál es f(x)? f(x) = ________________

Obtén f ´(x) = ______________________


Y´= ______________________________

h.

Solución: forma general: _____________

¿Qué fórmula vas a utilizar? ___________

¿Cuál es f(x)? f(x) = _________________

Obtén f ´(x) = _______________________


Y´= _______________________________

i.

Solución: forma general: ______________

¿Qué fórmula vas a utilizar? ____________

¿Cuál es f(x)? f(x) = __________________

Obtén f ´(x) = ________________________


Y´= ________________________________

j.

Solución: forma general: _______________

¿Qué fórmula vas a utilizar? _____________

¿Cuál es f(x)? f(x) = ___________________

Obtén f ´(x) = _________________________


Y´= _________________________________

Resuelve los siguientes problemas:

Obtén los puntos críticos de la función y utiliza el criterio de la primera derivada para

determinar si son máximos, mínimos o ninguno. Indica los intervalos en los quef(x) es

creciente y en los que es decreciente. Utiliza un software graficador para comprobar los

resultados obtenidos.



EJERCICIO 1

¿Cuál es el dominio de la función?, es decir

¿Hay algún valor de x en el que la función no exista? _________________________

Solución

1. Obtenemos puntos críticos

¿Qué necesitamos hacer para obtener los puntos críticos?

________________________________________________

Obtenemos

Plantea y resuelve la ecuación para determinar los valores de x en los que la primera derivada

vale cero.


no existe.

Los valores de x obtenidos, ¿pertenecen al dominio de la función? ____________.

Entonces, los puntos críticos son:

___________________________________________________.

2. Aplicamos el criterio de la primera derivada

Dibujamos los puntos críticos en la recta numérica:

Escribimos la información en la tabla

Intervalo Número

seleccionado

Sustituir el

número

seleccionado

en la primera

derivada

Signo de

la

primera

derivada

Conclusión

acerca de

la función:

Es

creciente o

decreciente

3. Con base a los resultados obtenidos y en lo que indica el criterio de la primera

derivada, concluimos que la función tiene:



Máximo en: ___________________. Mínimo en: ____________________.

Crece en: ____________________ Decrece en: _____________________.

Dibuja la gráfica de la función original para que compruebes tus resultados:

EJERCICIO 2

¿Cuál es el dominio de la función?, es decir ¿Hay algún valor de x en el que la función no

exista? ___________________________________________________________

Solución

1. Obtenemos puntos críticos

¿Qué necesitamos hacer para obtener los puntos críticos?

________________________________________________

Obtenemos


vale cero.


no existe

Los valores de x obtenidos, ¿pertenecen al dominio de la función? ___________.

Entonces, los puntos críticos son:

___________________________________________________.

2. Aplicamos el criterio de la primera derivada

Dibujamos los puntos críticos en la recta numérica:

Escribimos la información en la tabla

Intervalo Número

seleccionado

Sustituir el

número

Signo de

la

Conclusión

acerca de



seleccionado

en la primera

derivada

primera

derivada

la función:

es

creciente o

decreciente

3. Con base a los resultados obtenidos y en lo que indica el criterio de la primera derivada,

concluimos que la función tiene:

Máximo en: ___________________. Mínimo en: ____________________.

Crece en: ____________________ Decrece en: _____________________.

Dibuja la gráfica de la función original para que compruebes tus resultados:

EJERCICIO 3

Aplicación de máximos y mínimos.

El precio de venta, para el producto de un fabricante, está dada por ,

donde q es la cantidad vendida, medida en cientos de unidades.

¿Con qué valor de q se tiene un ingreso máximo?

Solución

1. ¿Qué función debes plantear?

Ingreso = ___________________________________________________.

2. Obtenemos puntos críticos:

¿Cuántos puntos críticos existen? __________________________________.



¿Cualquiera de los puntos críticos obtenidos puede ser la solución a la pregunta? Justifica tu

respuesta.

__________________________________________________________________

3. Utilizamos el criterio de la primera derivada para obtener el máximo:

Respuesta: ___________________________________________

Resuelve los siguientes problemas:

EJERCICIO 1

Utiliza la segunda derivada para determinar los puntos de inflexión de la función, y los

intervalos en los que la función es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo.

Solución

1. Determina los posibles valores de x en donde podrían existir puntos de inflexión.

Encuentra

Encuentra

Plantea y resuelve la ecuación para determinar los valores de x en los que la segunda

derivada vale cero.


derivada no existe.

¿Los valores de x obtenidos pertenecen al dominio de la función? ______

2. Determina el signo de la segunda derivada por la izquierda y por la derecha de cada

valor de x en donde podrían existir puntos de inflexión.

Dibuja en la recta numérica los posibles valores de x en donde podrían existir puntos de

inflexión.

Completa la información de la tabla.

Intervalo Número

seleccionado

Sustituir el

número

seleccionado

en la segunda

derivada

Signo de

la

segunda

derivada

Conclusión acerca

de la Concavidad

de F(x)



3. Analiza los signos de la segunda derivada

Respuesta:

Punto(s) de inflexión: ________________________________________

Cóncava hacia arriba en: ___________________________________

Cóncava hacia abajo en: ____________________________________

Dibuja la gráfica de la función original y comprueba tus resultados

EJERCICIO 2

Utiliza la segunda derivada para determinar los puntos de inflexión de la función, y los

intervalos en los que la función es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo.

Solución

1. Determina los posibles valores de x en donde podrían existir puntos de inflexión.

Encuentra

Encuentra


derivada vale cero.


derivada no existe.

¿Los valores de x obtenidos pertenecen al dominio de la función? ______



2. Determina el signo de la segunda derivada por la izquierda y por la derecha de cada

valor de x en donde podrían existir puntos de inflexión.

Dibuja en la recta numérica los posibles valores de x en donde podrían existir puntos de

inflexión.

Completa la información de la tabla.

Intervalo Número

seleccionado

Sustituir el

número

seleccionado

en la segunda

derivada

Signo de

la

segunda

derivada

Conclusión acerca

de la Concavidad

de f(x)

3. Analiza los signos de la segunda derivada

Respuesta:

Punto(s) de inflexión: ________________________________________

Cóncava hacia arriba en: ___________________________________

Cóncava hacia abajo en: ____________________________________

Dibuja la gráfica de la función original y comprueba tus resultados

Búsqueda de información del tema "Análisis Marginal"

1. Lee con atención la siguiente información:



Según los expertos para la toma de decisiones solo se debe tomar en cuenta los costos e

ingresos que se verán alterados por la producción y venta de una unidad más de su producto

(costo marginal e ingreso marginal).

Imagina que deseas iniciar un negocio propio de venta de cupcakes y que tienes un pedido

inicial de 25 cupcakes para una fiesta infantil, tomando como base este pedido realizarás el

análisis marginal para responder a las preguntas y definir las condiciones en un pedido para

obtener ganancias y continuar con el negocio. El precio de venta que le das a tu cliente es de

$12 por cada pastelito. Como no tienes nada de material, deberás investigar los costos que te

generará la elaboración de los pastelitos que te permita cumplir con el pedido y realizar el

análisis. Considera gastos fijos (gas, luz, agua) de $80 para cubrir un pedido de 25 pastelitos

(considerando que en cada molde caben 12 pastelitos)

1. Responde a las siguientes preguntas

a. ¿Qué es el Análisis Marginal?

b. ¿Para qué se utiliza el Análisis Marginal?

2. Realizar una búsqueda de información acerca de los materiales que necesitas en la

fabricación del producto. Ve a alguna tienda departamental o consulta en Internet y busca

la información necesaria de los costos para iniciar tu negocio (capital que debes invertir en

materiales y costo de producir el pedido).

Costo de moldes para cupcakes =

Costo de material para decoración =

Costo de papel para cupcakes=

Costo de plato o caja para colocar

los cupcakes =

Costo de una caja de harina para

pastel (con una caja se elaboran 24

pastelitos) =

Costo de los ingredientes que

necesitas para preparar la harina de

la caja =

Costo de mantequilla para repostería

para el betún =

Costo de azúcar glass para el

betún=

Costo de una barra de queso crema

para el betún =

Costo de bote de vainilla para el



betún =

Aplicación de los conocimientos matemáticos

4. Considera que el capital invertido en materiales no se toma en cuenta en los costos de

producción, esos son gastos que se recuperan con el tiempo (conforme vayas teniendo

más pedidos).

5. Con base a lo anterior responde lo siguiente:

a. ¿Cuáles son tus costos fijos (no dependen de la producción)?_____________

b. ¿Cuáles son tus costos variables (costos que dependen de la producción, se toma

costo unitario, es decir costo por producir cada pastelito)?___________

c. ¿Cuál es el precio de venta de cada pastelito? ____________________

6. Aplica tus conocimientos: si "q" es la cantidad de pastelitos fabricados y vendidos, escribe

las funciones primero en general, en función de "q"

a. Si Costo Total = Costo fijo + Costo variable

Entonces las función de costo total es: ___________________________

b. Si Ingreso = precio de venta * cantidad vendida

Entonces tus ingresos serán de: ______________________

A estos resultados se les llama costos e ingresos promedio.

c. Si Utilidad = Ingreso – Costo total

¿Cómo queda planteada la función de utilidad? ________________________

7. Dibuja las gráficas de la funciones Costo Total e Ingreso.

8. ¿En qué punto se cruzan las dos gráficas?____________________

9. Recuerda que a este se le llama punto de equilibrio. ¿Recuerdas su significado? Escríbelo



Reflexión

10. Observa que los pastelitos se deben vender en múltiplos de 12, que es la cantidad que

puedes producir por molde.

11. ¿Cuál es el costo total de producir 24 pastelitos? ___________________

12. Pero como el pedido es de 25 pastelitos, deberás hacer un análisis marginal para conocer

cuánto te cuesta producir ese pastelito más y responder a la pregunta.

a. ¿Cuál es el costo de producir ese pastelito adicional?____________________

b. ¿Te conviene elaborar ese pastelito adicional? ___________________

c. ¿Cuál es el precio mínimo que se debe cobrar por una unidad adicional del producto

para tener ganancias? _______________________

d. El precio de venta que manejaste para cada pastelito, ¿te permitió cubrir tus costos de

producción? ______________

e. ¿Cuántas unidades del producto se deben vender para que convenga continuar con

un negocio? ________________________

f. ¿Qué condiciones deberás establecer en los pedidos de pastelitos para maximizar tus

ganancias?

Reúnete con tu equipo para dar respuesta las preguntas planteadas, pueden utilizar Skype,

Google docs o chat.

Parte I

En la siguiente tabla, se dan las derivadas de una función, obtén la función original:

Derivada

Función original, piensa en

lo siguiente:

¿Qué función al derivarla

da como resultado la

función indicada?

Comparación

Parte II

Relaciona la función con su derivada, y contesta las preguntas de reflexión que aparecen al

final.

Función original Función derivada



REFLEXIÓN:

a. ¿Con cuántas funciones quedó relacionada la función ? ___________

b. ¿Cuál es la diferencia en esas funciones?__________________

c. ¿Cómo podrías expresar una función que incluya todas esas funciones?

_______________

d. ¿Sucede lo mismo con las funciones y ?____________

Entonces, ¿cómo quedaría expresada una función que incluya todas las funciones con las que

se relacionaron?

e. Para ,

f. Para ,

Parte III

1. Escriban un resumen como conclusión del tema que dé respuesta a la parte I y II de la

actividad. Debe incluir la respuesta a las preguntas: ¿cómo se obtiene la función original si

se conoce la derivada de la función?, ¿cuántas opciones de función original existen para

una derivada?, ¿cuál es la diferencia en todas las funciones originales de una derivada?,

¿cómo se escribe para incluir todas las funciones originales de una derivada?

2. Completen la tabla que resume las fórmulas para obtener la función original, para los

diferentes tipos de funciones; algunas de estas fórmulas surgen de la parte I de la

actividad, las restantes búsquenlas en Internet. No olviden incluir la fuente consultada:



Nombre de la

función Derivada

Fórmula para

obtener la

función

original

Potencia

Con

Potencia

Con

Exponencial

base “e”

Exponencial

base “a”

Trigonométrica

seno

Trigonométrica

coseno

Reúnete con un compañero y resuelve los siguientes ejercicios:

Ejercicio I. Utiliza las fórmulas básicas para resolver las siguientes integrales indefinidas:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

En las siguientes integrales, primero transforma la función del integrando para que quede

como una función potencia xn y después integra.

7.

8.



9.

Ejercicio II. Utiliza las propiedades y fórmulas básicas para resolver las siguientes integrales:

10.

11.

12.

13.

Ejercicio III. Resuelve las siguientes integrales compuestas:

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Ejercicio 1. Resuelve la integral

Primero debes determinar la fórmula o método que vas utilizar; para ello, observa el

integrando y contesta a la siguiente pregunta:

¿Cumple con alguno de los casos para aplicar la técnica de integración por partes? ____

¿Con cuál?______________

Si la integral se resuelve por medio de integración por partes, entonces utiliza las siglas LATE

para seleccionar u y dv.



u = _____________ dv = _____________

deriva u Integra dv

du = ____________ v = _____________

Por último, utiliza la fórmula para integrar por partes.




¿Cumple con alguno de los casos para aplicar la técnica de integración por partes? _____

¿Con cuál?______________



u = _____________ dv = _____________

deriva u Integra dv

du = ____________ v = _____________






¿Con cuál? _________________



u = _____________ dv = _____________

deriva u Integra dv

du = ____________ v = _____________






¿Con cuál? _________________



u = _____________ dv = _____________

deriva u Integra dv

du = ____________ v = _____________




Parte I

1. Reúnanse en equipos por medio de Skype, chat o Google docs y respondan a las

siguientes preguntas planteadas con respecto a la integral dada:

a. La integral ¿se puede resolver con fórmulas compuestas?_________

2. Justifica tu respuesta, intenta resolverla; si la respuesta es no, escribe por qué no se

puede.

___________________________________________________

___________________________________________________

a. La integral ¿se puede resolver con integración por partes?_________

b. Justifica tu respuesta, intenta resolverla; si la respuesta es no, escribe por qué no se

puede.

Reflexión

3. Busca información en Internet sobre el método de integración llamado Sustitución

trigonométrica, contesta las siguientes preguntas:

a. ¿Cuándo se utiliza este método?

b. ¿Encuentras alguna relación con la información que encontraste y la integral de las

preguntas anteriores?

Parte II

Respondan a las preguntas planteadas con respecto a la integral dada:

4. La integral ¿se puede resolver con fórmulas compuestas?________

Justifica tu respuesta, intenta resolverla; si la respuesta es no, escribe por qué no se puede

5. La integral ¿se puede resolver con integración por partes?________

Justifica tu respuesta, intenta resolverla; si la respuesta es no, escribe por qué no se puede

Reflexión:

6. Busca información en Internet del método de integración llamado Fracciones parciales,

contesta las siguientes preguntas: ¿cuándo se utiliza este método?, ¿encuentras alguna

relación con la información que encontraste y la integral de las preguntas anteriores?

Escribe tu respuesta

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________



Parte III

Escriban un resumen como conclusión del tema que dé respuesta a la parte I y II de la

actividad. Debe incluir la respuesta a las siguientes preguntas: ¿identificaste la necesidad de

conocer más fórmulas o métodos de integración?, ¿por qué?, ¿en qué casos o tipos de

funciones no se puede resolver la integral con las fórmulas anteriores?

Utiliza sustitución trigonométrica para resolver la integral

1.

Dibuja el triángulo que vas a utilizar:

Encuentra las sustituciones:

x= _____________________

dx=_____________________

= _____________________________

Utiliza las sustituciones para cambiar la integral a una integral con funciones trigonométricas:

¿Cómo queda expresada la integral? ______________________________

Resuélvela con las fórmulas anteriores:

F( x ) = _____________________________________________

2.



x= _____________________

dx=_____________________

= _____________________________




F( x ) = _____________________________________________

3.





x= _____________________

dx=_____________________

= _____________________________




F( x ) = _____________________________________________

4.



x= _____________________

dx=_____________________

= _____________________________




F( x ) = _____________________________________________

5.



x= _____________________

dx=_____________________

= _____________________________




F( x ) = _____________________________________________

Utilizar método de fracciones parciales para resolver las siguientes integrales:

1.



1º Factoriza el denominador para identificar qué tipo de factores son:___________________

2º Escribe la función como la suma de fracciones parciales.

3º Encuentra el valor de las constantes A, B, C, D, etc., y resuelve la integral.

2. NOTA: si el grado de los polinomios P y Q son iguales o se cumple que grado P > grado

Q, entonces debe efectuar la división de polinomio y después utilizar fracciones parciales;

por ejemplo:

1º Efectúa la división de polinomio


3º Escribe la función como la suma de fracciones parciales


3.


2º Escribe la función como la suma de fracciones parciales


Evalúe la integral definida usando el teorema fundamental del cálculo:

1.

¿Se puede obtener la antiderivada con las fórmulas anteriores (básica, compuesta o por

partes)? _______

¿Con qué fórmula se resuelve la integral? ______________

Aplicar la fórmula y obtener F(x)

Por último, utilizar el teorema fundamental para obtener el valor de la integral definida.

2.


partes)? _____

¿Con qué fórmula se resuelve la integral? _____________





3.


partes)? _____




4.


partes)? _____




5.


partes)? _____




6.


partes)? _____




7.




partes)? _____




Evidencia: Propuesta de solución a una problemática que presente el

crecimiento logístico de una población. %

Saber

hacer:

Instrucción para el alumno:

Búsqueda de información sobre modelo logístico

Parte 1

Suponiendo que la población mundial sigue un modelo logístico,

busca información de la ecuación diferencial que representa la razón

de cambio de esta población, y responde a las preguntas.

Utiliza biblioteca digital para asegurar que son fuentes confiables.

Incluye las fuentes consultadas.

1. ¿Para qué se utiliza el modelo logístico?

______________________________________________

2. Escribe la ecuación logística e indica lo que representan sus

variables:

Ecuación:________________________________

Variables:

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

Parte 2

Busca información y responde las siguientes preguntas, utiliza la

biblioteca digital para asegurar que son fuentes confiables. Incluye

las fuentes consultadas.

a. Busca información en Internet para profundizar más en las

investigaciones de Frank Fenner, y escribe un resumen de tu

lectura.

b. _________________________________________________

_________________________________________________

_________________________________________________

_________________________________________________

c. ¿Cuál es la máxima población que la tierra puede alimentar con



una agricultura de alta tecnología? ____________________

d. ¿Cuál es la población mundial en el año 2000?

__________________

e. ¿Cuál es la población mundial en el año 2010?

__________________

Parte 3

Para determinar la veracidad de la afirmación de Frank Fenner,

toma en cuenta los resultados anteriores, parte 1 y 2. Resuelve el

siguiente problema:

Si la población mundial sigue un modelo logístico, plantear y

resolver la ecuación que la representa y utilizarla para determinar

dentro de cuántos años la población mundial será de 29,000

millones de personas.

Reflexión:

¿Por qué crees que se pide obtener dentro de cuántos años la

población será de 29,000 millones de personas?

fundamentos matematicos ma13101

Education