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Fundamentos matemáticos
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural
Tema 2
Matrices y ecuaciones lineales
José Barrios García
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna
2017
J. Barrios Fundamentos matemáticos
Página 2 de 13 OCW-ULL 2017
Índice
Tema 2. Matrices y ecuaciones lineales .................................................................................................. 3
Matrices ............................................................................................................................................... 3
Determinantes ..................................................................................................................................... 4
Menores de una matriz ....................................................................................................................... 6
Rango de una matriz ........................................................................................................................... 7
Sistemas de ecuaciones lineales ......................................................................................................... 8
Resolución de sistemas ..................................................................................................................... 10
Teorema de Rouché-Frobenius ......................................................................................................... 11
Discusión de sistemas ........................................................................................................................ 12
Fundamentos matemáticos Matrices y ecuaciones lineales
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Tema 2. Matrices y ecuaciones lineales
Matrices
Una matriz 𝐴 de orden 𝑚 × 𝑛 es una tabla de 𝑚 × 𝑛 números reales dispuestos en 𝑚 filas y 𝑛
columnas.
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋯ ⋯ ⋯ ⋯𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
)
Suele representarse abreviadamente por 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛
, o simplemente 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗).
Los números 𝑎𝑖𝑗 son los elementos de la matriz. El elemento 𝑎𝑖𝑗 ocupa la fila 𝑖 y la columna 𝑗. Dos
matrices del mismo orden son iguales si tienen los mismos elementos en cada posición.
Ejemplos
𝐴 = (1 2 3 42 3 4 13 4 1 2
) B = (1 1 12 2 23 3 3
) C = (1 2 3 4) D = (
1234
) O = (0 0 00 0 00 0 0
)
Algunos tipos de matrices
Matriz fila: solo tiene una fila.
Matriz columna: solo tiene una columna.
Matriz cero o matriz nula: todos sus elementos son cero. Se representa por O.
Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos 𝑎11, 𝑎22 … , 𝑎𝑛𝑛 forman la diagonal de la matriz.
Los siguientes tipos de matrices cuadradas reciben una denominación especial.
Matriz triangular: Todos los elementos por debajo (o por encima) de la diagonal son cero.
Matriz diagonal: Todos los elementos que no están en la diagonal son cero.
Matriz unidad: Matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal son la unidad. Se suele denominar 𝐼 o 𝐼𝑛, para indicar que tiene orden 𝑛.
A = (1 2 30 1 20 0 1
) 𝐵 = (1 0 02 1 03 2 1
) 𝐶 = (1 0 00 2 00 0 3
) 𝐼3 = (1 0 00 1 00 0 1
)
Suma y producto por un escalar
La suma de dos matrices de la misma dimensión 𝐴 y 𝐵 se obtiene sumando los elementos que
ocupan la misma posición en las dos matrices.
𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗) + (𝑏𝑖𝑗) = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗)
(1 2 34 5 67 8 9
) + (9 8 76 5 43 2 1
) = (10 10 1010 10 1010 10 10
)
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El producto de una matriz 𝐴 por un número real 𝜆 ∈ ℝ se obtiene multiplicando cada elemento de la
matriz por dicho número.
𝜆 · 𝐴 = 𝜆 · (𝑎𝑖𝑗) = (𝜆𝑎𝑖𝑗)
5 · (1 1 11 1 11 1 1
) = (5 5 55 5 55 5 5
)
Producto de matrices
Dos matrices 𝐴 y 𝐵 son multiplicables, en este orden, si el número de columnas de 𝐴 coincide con el
número de filas de 𝐵.
Si 𝐴 y 𝐵 son multiplicables, su producto es la matriz 𝐶 = 𝐴 · 𝐵 dada por
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑝𝑏𝑝𝑗
Es decir, el elemento 𝑐𝑖𝑗 de la matriz 𝐶 es la suma de los productos, término a término, de la fila 𝑖 de
la matriz 𝐴 por la columna 𝑗 de la matriz 𝐵.
Ejemplo
(1 2 34 0 21 2 5
) · (2 31 12 5
) = (1 · 2 + 2 · 1 + 3 · 2 1 · 3 + 2 · 1 + 3 · 54 · 2 + 0 · 1 + 2 · 2 4 · 3 + 0 · 1 + 2 · 51 · 2 + 2 · 1 + 5 · 2 1 · 3 + 2 · 1 + 5 · 5
) = (10 2012 2214 30
)
Nota
Si 𝐴 es de orden 𝑚 × 𝑝 y 𝐵 es de orden 𝑝 × 𝑛, entonces 𝐶 es de orden 𝑚 × 𝑛.
En general, 𝐴 · 𝐵 ≠ 𝐵 · 𝐴.
Determinantes
El determinante de una matriz cuadrada de orden 𝑛 es un número que refleja ciertas propiedades de
la matriz y se obtiene de la matriz siguiendo un procedimiento determinado.
Notación. El determinante de la matriz 𝐴 se escribe |𝐴| o det (𝐴).
El determinante de la matriz (
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋯ ⋯ ⋯𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
) se escribe |
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋯ ⋯ ⋯𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
|.
Determinante de una matriz de orden 2 o 3
El determinante de una matriz de orden 2 o 3 se calcula de la siguiente manera.
Matriz 2 × 2. |𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22| = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21.
Matriz 3 × 3. |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| = 𝑎11 |𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33| − 𝑎12 |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33| + 𝑎13 |
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32|.
Ejemplos
|1 23 4
| = 1 · 4 − 2 · 3 = −2.
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|1 2 34 1 22 3 1
| = 1 |1 23 1
| − 2 |4 52 1
| + 3 |4 16 3
| = −5 + 12 + 18 = 25.
Este proceso se generaliza para determinantes de orden 𝑛 de la siguiente manera.
Adjunto de un elemento
Sea 𝐴 un determinante de orden 𝑛, y sea 𝑎𝑖𝑗 un elemento de 𝐴.
Llamaremos menor complementario de 𝑎𝑖𝑗 al determinante de orden 𝑛 − 1 que resulta al eliminar la
fila y la columna de 𝑎𝑖𝑗. Lo denotaremos por 𝛼𝑖𝑗.
𝐴 = |2 −1 13 1 26 −1 4
| ⟹𝛼21 = |
−1 1−1 4
| = −3
𝛼33 = |2 −13 1
| = +5
Llamaremos adjunto de 𝑎𝑖𝑗 al menor complementario precedido de un signo positivo o negativo
según sea par o impar la suma 𝑖 + 𝑗. Lo denotaremos por 𝐴𝑖𝑗, con 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝛼𝑖𝑗.
𝐴 = |2 −1 13 1 26 −1 4
| ⟹ 𝐴21 = (−1)2+1 𝛼21 = − |
−1 1−1 4
| = +3
𝐴33 = (−1)3+3 𝛼33 = + |2 −13 1
| = +5
Nota. En la práctica, los signos del adjunto se alternan de la siguiente manera
|
+ − + −− + − ++ − + −− + − +
|
Determinante de una matriz de orden 𝒏
El determinante de una matriz cuadrada de orden 𝑛 se calcula sumando el producto de todos los
elementos de una fila (o columna) por sus respectivos adjuntos. Este valor no depende de la fila o
columna por la que se desarrolle.
Ejemplos. Calcular el siguiente determinante desarrollándolo por la primera fila.
|1 2 34 6 02 1 2
| = 1 |6 01 2
| − 2 |4 02 2
| + 3 |4 62 1
| = −28
Desarrollar el mismo determinante por la tercera columna.
|1 2 34 6 02 1 2
| = +3 |4 62 1
| − 0 |1 22 1
| + 2 |1 24 6
| = −28
Desarrollar el siguiente determinante por la tercera columna (aprovechando que tiene dos ceros).
|
1 0 3 21 6 0 12 1 2 00 1 0 3
| = +3 |1 6 12 1 00 1 3
| + 2 |1 0 21 6 10 1 3
| = [ejercicio]
Calcular el siguiente determinante.
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|
1 2 3 40 2 3 40 0 3 40 0 0 4
| = 1 · |2 3 40 3 40 0 4
| = 1 · 2 · |3 40 4
| = 1 · 2 · 3 · 4
Propiedades de los determinantes
1. |𝐼𝑛| = 1.
2. Si 𝐴 es una matriz triangular de orden 𝑛, entonces |𝐴| = 𝑎11 𝑎22 ⋯ 𝑎𝑛𝑛.
3. Si intercambiamos dos filas entre sí, el determinante cambia de signo.
4. Si multiplicamos una fila por un número 𝜆, el determinante queda multiplicado por 𝜆.
5. Si a una fila le sumamos una combinación lineal de las demás, el determinante no varía.
Determinante nulo
6. Si 𝐴 tiene una fila de ceros, entonces |𝐴| = 0.
7. Si 𝐴 tiene dos filas iguales o proporcionales, entonces |𝐴| = 0.
8. En general, si una fila es combinación lineal de otras filas, entonces |𝐴| = 0.
Nota. Si 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑛 son filas de un determinante, una combinación lineal de 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑛 es una
expresión del tipo 𝜆1𝐹1 + 𝜆2 𝐹2 + ⋯ + 𝜆𝑛𝐹𝑛, con 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 números reales, denominados
coeficientes de la combinación.
Nota: todo lo dicho para filas es válido también para columnas.
Cálculo práctico de determinantes
En la práctica para calcular un determinante utilizamos las propiedades para transformar en ceros el
mayor número posible de elementos de una fila o una columna, y después desarrollamos el
determinante por esa fila o esa columna.
|
2 1 2 55 2 1 13 1 1 13 2 1 1
| = |
2 1 2 35 2 1 03 1 1 03 2 1 0
| = −3 |5 2 13 1 13 2 1
| = −3 |2 0 03 1 13 2 1
| = −3 · 2 · |1 12 1
| = 6.
Método de Gauss
Utiliza las propiedades de los determinantes para reducirlo a un determinante triangular superior.
|
1 1 2 01 0 3 −11 1 0 11 −1 2 2
| = |
1 1 2 00 −1 1 −10 0 −2 10 −2 0 2
| = |
1 1 2 00 −1 1 −10 0 −2 10 0 −2 4
| = |
1 1 2 00 −1 1 −10 0 −2 10 0 0 3
| = (−1) · (−2) · 3 = 6.
Menores de una matriz
Llamaremos menor de orden 𝑛 de una matriz 𝐴, al determinante formado por la intersección de 𝑛
filas y 𝑛 columnas de la matriz 𝐴.
Ejemplo. La matriz 𝐴 = (1 2 3 42 0 2 33 0 0 2
) tiene 4 menores de orden 3 que son
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𝑀1 = |1 2 32 0 23 0 0
| 𝑀2 = |1 2 42 0 33 0 2
| 𝑀3 = |1 3 42 2 33 0 2
| 𝑀4 = |2 3 40 2 30 0 2
|
Algunos menores de orden dos son
𝑁1 = |1 22 0
| 𝑁2 = |1 32 2
| 𝑁3 = |2 30 2
|
Los menores de orden 1 están formados por los propios elementos de la matriz.
Rango de una matriz
Las filas (o las columnas) de una matriz se dicen linealmente independientes, si ninguna de ellas
puede escribirse como combinación lineal de las demás. En caso contrario, las filas (o las columnas)
se dicen linealmente dependientes.
Teorema 1. En una matriz, el número de filas linealmente independientes es igual al número de columnas linealmente independientes.
Este número se denomina rango de la matriz, y será muy importante a lo largo del tema. El siguiente
teorema nos proporciona un método para calcular el rango utilizando los menores de la matriz.
Teorema 2. El rango de una matriz coincide con el orden máximo de sus menores no nulos. En particular, si 𝐴 es una matriz cuadrada de orden 𝑛, entonces 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 = 𝑛 ⇔ |𝐴| ≠ 0.
Ejemplos
La matriz unitaria 𝐼𝑛 tiene rango 𝑛 (su determinante es distinto de cero).
La matriz 𝐴 = (1 2 30 1 20 0 1
) tiene rango 3 (su determinante es distinto de cero).
Matrices equivalentes
Diremos que dos matrices son equivalentes, y lo escribiremos 𝐴~𝐵, si tienen el mismo rango. Las
siguientes transformaciones proporcionan matrices equivalentes.
1. Cambiar el orden de las filas.
2. Multiplicar una fila por un número distinto de cero
3. Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número.
4. Suprimir una fila que sea combinación lineal de las demás.
Estas propiedades son igualmente válidas sustituyendo filas por columnas.
Cálculo del rango de una matriz
Para calcular el rango de una matriz podemos utilizar varios métodos. En este curso veremos el
método de Gauss-Jordan y el método de los menores no nulos. Cada uno tiene sus ventajas e
inconvenientes, así que la elección dependerá de cada caso particular.
Método de Gauss-Jordan
El método de Gauss-Jordan utiliza las propiedades del rango para transformar la matriz en una matriz
equivalente a una matriz unidad 𝐼𝑛. El rango de la matriz unidad es el rango buscado.
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Ejemplo. Determinar el rango de 𝐴.
𝐴 = (
1 0 1 12 1 0 31 −1 3 24 1 2 5
) ~ (
1 0 1 10 1 −2 10 −1 2 10 1 −2 1
) ~ (
1 0 0 00 1 −2 10 −1 2 10 1 −2 1
) ~ (
1 0 0 00 1 −2 10 0 0 20 0 0 0
)
~ (
1 0 0 00 1 0 00 0 0 20 0 0 0
) ~ (
1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 0 0
) ~ (1 0 00 1 00 0 1
) ⇒ rango 𝐴 = 3.
Método de los menores no nulos
Según el teorema anterior, el rango de una matriz es el orden máximo de sus menores no nulos. Para
calcularlo, inspeccionamos la matriz tratando de descubrir un menor no nulo de orden máximo.
Ejemplo. Determinar el rango de la matriz 𝐴 = (1 2 3 40 1 2 30 0 1 2
).
La matriz tiene 3 filas y cuatro columnas, por tanto, su rango es ≤ 3.
Inspeccionando la matriz vemos que tiene un menor no nulo de orden 3.
|1 2 30 1 20 0 1
| ≠ 0
Por tanto, rango 𝐴 = 3.
A menudo es más fácil calcular el rango si utilizamos sus propiedades para anular los elementos que
están bajo la diagonal.
Ejemplo. Determinar el rango de la matriz 𝐴 = (1 −1 −2 −12 −3 4 45 −1 3 16
).
La matriz tiene 3 filas y cuatro columnas, por tanto, su rango es ≤ 3.
Utilizamos las propiedades del rango para anular los elementos bajo la diagonal.
𝐴 = (1 −1 −2 −12 −3 4 45 −1 3 16
) ~ (1 −1 −2 −10 −1 8 60 4 13 21
) ~ (1 −1 −2 −10 −1 8 60 0 45 45
)
La última matriz tiene un menor no nulo de orden tres: |1 −1 −20 −1 80 0 45
| ≠ 0.
Por tanto, rango 𝐴 = 3.
Ejercicio. Demostrar que la matriz 𝐴 = (1 −1 3 42 −1 −1 63 −2 2 10
) tiene rango 2.
Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal con 𝑛 incógnitas 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 es una ecuación de la forma
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + … + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
Donde 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, 𝑏 son números reales.
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Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (en adelante, un sistema lineal) es una
colección de ecuaciones lineales de la forma
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + … + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋯ = ⋯𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
}
Si 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑚 = 0, el sistema se dice homogéneo.
Expresión matricial
Un sistema lineal puede escribirse en forma matricial como
(
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎12 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
) (
𝑥1
𝑥2
⋮𝑥𝑛
) = (
𝑏1
𝑏2
⋮𝑏𝑛
)
O de forma reducida, como
𝐴 · 𝑋 = 𝐵
Donde 𝐴 es la matriz de los coeficientes, 𝑋 es la matriz de las incógnitas, y 𝐵 es la matriz de los
términos independientes. El sistema es homogéneo cuando 𝐵 = 0.
Ejemplo
2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 33𝑥 − 4𝑦 + 5𝑧 = 24𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 3
} ⇒ (2 3 −43 −4 54 5 6
) (𝑥𝑦𝑧
) = (323
)
Clasificación de los sistemas
Diremos que 𝑛 números reales ordenados (𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛) son una solución del sistema si satisfacen
todas las ecuaciones del sistema. Resolver un sistema es determinar todas sus soluciones.
Un sistema de ecuaciones lineales puede no tener solución (sistema incompatible), tener una única
solución (sistema compatible determinado) o tener infinitas soluciones (sistema compatible
indeterminado)
Los sistemas homogéneos admiten siempre la solución trivial (0, 0, … , 0), por tanto, son siempre
sistemas compatibles (determinados o indeterminados).
Ejemplos
Sistema compatible determinado 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑦 − 𝑧 = 1𝑧 = 1
} ⇒ solución única (3, 2, 1).
Sistema compatible indeterminado 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑦 + 𝑧 = 00 · 𝑧 = 0
} ⇒ infinitas soluciones (2𝑧, −𝑧, 𝑧), 𝑧 ∈ ℝ.
Sistema incompatible 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑦 − 𝑧 = 00 · 𝑧 = 3
} ⇒ no tiene solución.
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Resolución de sistemas
El método general consiste en transformar el sistema en otro más sencillo que conserve las mismas
soluciones. Uno de los métodos más efectivos es el método de Gauss-Jordan, y es el que
estudiaremos en este curso.
Sistemas equivalentes
Dos sistemas son equivalentes si admiten las mismas soluciones, es decir, si toda solución del
primero es solución del segundo y viceversa. Las siguientes transformaciones proporcionan sistemas
equivalentes.
1. Cambiar el orden las ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero.
3. Sumarle a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número.
4. Suprimir una ecuación del sistema que sea combinación lineal de las demás.
Matriz escalonada reducida
Las transformaciones que proporcionan sistemas equivalentes pueden hacerse más cómodamente
utilizando la matriz ampliada 𝐴∗.
𝐴∗ = (
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
|
𝑏1
𝑏2
⋮𝑏𝑚
)
En la matriz ampliada, llamaremos diagonal del sistema a la línea 𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, … que une los
coeficientes con subíndices iguales. Llamaremos pivote de una fila, al primer elemento no nulo de la
fila. La matriz ampliada está en forma escalonada reducida cuando:
a) Todas las filas nulas se encuentran por debajo de las filas no nulas. b) El pivote de cada fila no nula es igual a 1. c) El pivote de cada fila no nula se encuentra a la derecha del pivote de la fila anterior. d) Si una columna contiene un pivote, entonces todos los demás elementos son nulos.
Ejemplos
𝐴 = (1 0 00 1 00 0 1
) 𝐵 = (1 3 0 20 0 1 −30 0 0 0
)
Método de Gauss-Jordan
Consiste en transformar el sistema en otro equivalente cuya matriz ampliada sea una matriz
escalonada reducida. De esta forma se obtiene un sistema equivalente al original, en su forma más
simple posible. Se pueden presentar tres casos principales.
Sistema determinado
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −12𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 45𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 16
} ⇒ 𝐴∗ = (1 −1 −2 −12 −3 4 45 −1 3 16
) ~ (1 −1 −2 −10 −1 8 60 4 13 21
) ~ (1 −1 −2 −10 1 −8 −60 4 13 21
)
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~ (1 0 −10 −70 1 −8 −60 0 45 45
) ~ (1 0 −10 −70 1 −8 −60 0 1 1
) ~ (1 0 0 30 1 0 20 0 1 1
) ⇒𝑥 = 3𝑦 = 2𝑧 = 1
} ⇒ solución (3, 2, 1).
Sistema indeterminado
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 42𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 6
3𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 10} ⇒ 𝐴∗ = (
1 −1 3 42 −1 −1 63 −2 2 10
) ~ (1 −1 3 40 1 −7 −20 1 −7 −2
) ~ (1 0 −4 20 1 −7 −20 0 0 0
) ⇒
𝑥 − 4𝑧 = 2𝑦 − 7𝑧 = −2
0 · 𝑧 = 0} ⇒
𝑥 = 4𝑧 + 2𝑦 = 7𝑧 − 2𝑧 ∈ ℝ
} ⇒ solución (4𝑧 + 2, 7𝑧 − 2, 𝑧), 𝑧 ∈ ℝ.
Sistema incompatible
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 64𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 9
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3} ⇒ 𝐴∗ = (
2 −1 3 64 −2 6 91 −1 1 3
) ~ (1 −1 1 32 −1 3 64 −2 6 9
) ~ (1 −1 1 30 1 1 00 2 2 −3
)
~ (1 0 2 30 1 1 00 0 0 −3
) ⇒𝑥 + 2𝑧 = 3
𝑦 + 𝑧 = 00 · 𝑧 = −3
} ⇒ no tiene solución.
Teorema de Rouché-Frobenius
Si queremos saber de qué tipo es un sistema sin necesidad de resolverlo, el teorema de Rouché-
Frobenius proporciona un método eficaz para clasificar los sistemas utilizando los rangos de la matriz
𝐴 y la matriz ampliada 𝐴∗.
Teorema 3. Sea 𝑆 un sistema de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas, entonces
S es compatible determinado ⟺ rango 𝐴 = rango 𝐴∗ = 𝑛.
S es compatible indeterminado ⟺ rango 𝐴 = rango 𝐴∗ < 𝑛.
S es incompatible ⟺ rango 𝐴 ≠ rango 𝐴∗.
En el caso particular de los sistemas homogéneos se tiene que
Todos los sistemas homogéneos son compatibles (rango 𝐴 = rango 𝐴∗).
Si rango 𝐴 = 𝑛, el sistema está determinado (solo admite la solución trivial 𝑋 = 0).
Si rango 𝐴 < 𝑛, el sistema está indeterminado (admite infinitas soluciones).
Ejemplo. Clasificar los siguientes sistemas.
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 11𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = −15
4𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 30} . En este caso, rango 𝐴 = rango 𝐴∗ = 3 ⇒ SCD.
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 02𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0
4𝑥 + 𝑦 = 0} . En este caso, rango 𝐴 = rango 𝐴∗ = 2 < 3 ⇒ SCI.
2𝑥 − 𝑦 = −1𝑥 + 2𝑦 = 23𝑥 + 𝑦 = 0
} . En este caso, rango 𝐴 = 2 < rango 𝐴∗ = 3 ⇒ SI.
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Discusión de sistemas
Dado un sistema con parámetros en los coeficientes, discutir el sistema consiste en clasificar el
sistema según los valores de los parámetros.
Ejemplo. Discutir el siguiente sistema en función del parámetro 𝑘, utilizando el teorema de R-F.
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 3𝑘𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 = 1
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1}
En este caso calcularemos conjuntamente los rangos de 𝐴 y 𝐴∗ utilizando el método de Gauss-Jordan.
Por comodidad en los cálculos, primero reordenamos con cuidado las filas y columnas del sistema,
para que el parámetro intervenga en el menor número de cálculos posible.
𝐴∗ = (1 −1 2𝑘 5 −43 2 −1
|311
) ~ (1 −1 23 2 −1𝑘 5 −4
|311
) ~ (−1 2 1
2 −1 35 −4 𝑘
|311
)
A continuación aplicamos el método de Gauss-Jordan.
𝐴∗~ (−1 2 1
2 −1 35 −4 𝑘
|311
) ~ (1 −2 −12 −1 35 −4 𝑘
|−3
11
) (1 −2 −10 3 50 6 𝑘 + 5
|−3
716
) ~ (1 0 00 3 50 6 𝑘 + 5
|07
16)
~ (1 0 00 1 50 2 𝑘 + 5
|07
16) ~ (
1 0 00 1 50 0 𝑘 − 5
|072
) ~ (1 0 00 1 00 0 𝑘 − 5
|002
).
Caso 𝑘 ≠ 5.
𝐴∗~ (1 0 00 1 00 0 1
|002
) ~ (1 0 00 1 00 0 1
|000
) ⟹rango 𝐴 = 3rango 𝐴∗ = 3
} ⟹ 𝑆𝐶𝐷.
Caso 𝑘 = 5.
𝐴∗~ (1 0 00 1 00 0 0
|002
) ~ (1 0 00 1 00 0 0
|001
) ⟹rango 𝐴 = 2rango 𝐴∗ = 3
} ⟹ SI.
Ejemplo. Discutir el siguiente sistema y resolverlo cuando sea posible.
𝑥 + 𝑦 − 6𝑧 = 0𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 0
3𝑥 − 𝑦 + 𝑚𝑧 = 0}
Como nos piden las soluciones, resolveremos directamente el sistema utilizando el método de Gauss-
Jordan.
(1 1 −6 01 −2 6 03 −1 𝑚 0
) ~ (1 1 −6 00 −3 12 00 −4 𝑚 + 18 0
) ~ (1 1 −6 00 1 −4 00 −4 𝑚 + 18 0
)
~ (1 0 −2 00 1 −4 00 0 𝑚 + 2 0
) ~𝑚≠−2
(1 0 −2 00 1 −4 00 0 1 0
) ~ (1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
).
Caso 𝑚 ≠ −2. El sistema queda
𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0 ⇒ solución (0, 0, 0) ⇒ SCD.
Fundamentos matemáticos Matrices y ecuaciones lineales
OCW-ULL 2017 Página 13 de 13
Caso 𝑚 = −2. El sistema queda
(1 0 −2 00 1 −4 00 0 0 0
) ⇒𝑥 − 2𝑧 = 0𝑦 − 4𝑧 = 0
0 · 𝑧 = 0} ⇒
𝑥 = 2𝑧𝑦 = 4𝑧𝑧 ∈ ℝ
} ⇒ solución (2𝑧, 4𝑧, 𝑧), 𝑧 ∈ ℝ ⇒ SCI.
Ejemplo. Discutir el siguiente sistema y resolverlo cuando sea posible.
𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 1𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 1𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
}
Como nos piden las soluciones, resolveremos directamente el sistema utilizando el método de Gauss-
Jordan.
𝐴∗ = (1 1 𝑎1 𝑎 1𝑎 1 1
|111
) ~ (1 1 𝑎0 𝑎 − 1 1 − 𝑎0 1 − 𝑎 1 − 𝑎2
|10
1 − 𝑎) ~
𝑎≠1(
1 1 𝑎0 1 −10 1 1 + 𝑎
|101
)
~ (1 0 𝑎 + 10 1 −10 0 𝑎 + 2
|101
) ~𝑎≠−2
(1 0 𝑎 + 10 1 −10 0 1
|10
1 (𝑎 + 2)⁄) ~ (
1 0 00 1 00 0 1
|1 (𝑎 + 2)⁄
1 (𝑎 + 2)⁄
1 (𝑎 + 2)⁄)
Caso 𝑎 ≠ 1 y 𝑎 ≠ −2. El sistema queda
(1 0 00 1 00 0 1
|1 (𝑎 + 2)⁄
1 (𝑎 + 2)⁄
1 (𝑎 + 2)⁄) ⇒
𝑥 = 1 (𝑎 + 2)⁄
𝑦 = 1 (𝑎 + 2)⁄
𝑧 = 1 (𝑎 + 2)⁄⇒ SCD.
Caso 𝑎 = 1. El sistema queda
(1 1 10 0 00 0 0
|100
) ⇒𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
0 · 𝑦 = 00 · 𝑧 = 0
} ⇒𝑥 = −𝑦 − 𝑧 + 1𝑦 ∈ ℝ𝑧 ∈ ℝ
} ⇒ SCI.
Caso 𝑎 = −2. El sistema queda
(1 0 −10 1 −10 0 0
|101
) ⇒𝑥 − 𝑧 = 1𝑦 − 𝑧 = 0
0 · 𝑧 = 1} ⇒ SI.