fungsi bernilai vektor - rinim.files.wordpress.com · grafik fungsi bernilai vektor misalkan d f...
TRANSCRIPT
Fungsi Bernilai Vektor
1
)3(2: RRf
Definisi
Fungsi bernilai vektor adalah suatu aturan yang memadankan setiap dengan tepat satu vektor
Rt
)3(2)( RtF
Notasi :
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ), ( )t F t f t i f t j f t f t
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )t F t f t i f t j f t k
dengan 1 2 3( ), ( ), ( )f t f t f t fungsi bernilai real
2
3
1ˆ ˆ1. ( ) 2 ( 3)F t t i t j
ˆˆ ˆ( ) cos sin2. F t t i t j k
2 ˆ ˆ( ) ln 63. F t i t jt
Contoh :
Daerah Asal (DF )
1 2 3
| f f fFD t R t D D D
Daerah Hasil (RF )
3( ) |F F
R F t R t D
4
Contoh : Tentukan Domain dari
jtittF 1)3(2)(
Jawab :
1 1( ) 2 [2, )ff t t D
1
2 2( ) ( 3) {3}ff t t D R
1 2f fFD t R t D D
[2, ) 3t R t R
[2, ) 3 [2,3) (3, )t
Jadi
5
2 ˆ ˆ2. ( ) ln 6F t i t jt
1
2( ) lnf t
t
2( ) 6f t t
1(0, )fD
2( , 6]fD
1 2f fFD t R t D D
(0, ) ( ,6]t R t
(0,6]
Jawab:
6
Latihan Tentukan daerah asal dari fungsi vektor berikut
ˆ ˆ( ) ( 4)1. F t t i t j
2ˆ ˆ( ) 42. F t t i t j
1 ˆ ˆ( )( 4)
3. F t i t jt
21 ˆ ˆ( )4
4. F t i t jt
7
Persamaan Parameter
Persamaan kurva di ruang dalam bentuk parameter:
ˆˆ ˆ( ) cos sin1. F t t i t j t k
1 2 3( ) ; ( ) ; ( ) ,x f t y f t z f t t I
Contoh :
cos , sin ,x t y t z t
ˆ ˆ( ) ( 4)2. F t t i t j ( 4) ,x t y t
8
Garis
0w
w
v
P0=(x0,y0,z0)
P(x,y,z)
x
z
y
Garis adalah himpunan semua titik P sehingga 0P P t v
9
0P P t v
0w w t v
v =
0w w t v
Jika
zyxw ,,
0000 ,, zyxw
cbav ,,
atxx 0
btyy 0
ctzz 0
Maka persamaan garis dalam bentuk parameter:
(Persamaan garis dalam bentuk vektor)
vektor yang sejajar dengan garis
10
Contoh 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4,-5,2) dan sejajar vektor<-1,2,3>
Jawab: 3,2,12,5,4,, tzyx
tx 4
ty 25
tz 32
Persamaan parameter garis itu:
11
Contoh 2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3,-1) dan (5,-1,-4)
Jawab:
2 3 ; 3 2 ; 1 3x t y t z t
Sehingga Persamaan parameter garis tersebut:
Vektor yang sejajar dengan garis tersebut adalah
5 2, 1 3, 4 1 3,2, 3v
Pilih titik (2,-3,-1)
12
Latihan
1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui pasangan titik yang diberikan:
a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6)
b. (2, -1, 5), (7, -2, 3)
c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)
2. Tuliskan persamaan parameter garis yang melalui titik yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan
a. (4,-6,3), <-2,1,5>
b. (2,5,-3) , <,-1,4,2>
13
Grafik Fungsi Bernilai Vektor
Misalkan
Df=[a,b]
1 2ˆ ˆ( ) ( ) ( )F t f t i f t j
] [ atb
(b)f
(t)f(a)f
c
y
x
Jika t berubah sepanjang [a,b] ujung-ujung )t(fmenjelajahi lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu
disebut titik pangkal lengkungan C )(af
disebut titik ujung lengkungan C )(bf
kurva C disebut kurva tertutup )()( bfafJika
14
Grafik fungsi vektor
Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah tertentu
Cara menggambar grafik fungsi vektor :
1. Tentukan persamaan parameter dari kurva
2. Tentukan persamaan Cartesius kurva(eliminasi parameter t ) dan gambarkan
3. Tentukan arahnya
15
Contoh
Gambarkan grafik fungsi vektor
ˆ ˆ1. ( ) 3cos 2sin ; 0 2F t t i t j t
Persamaan parameternya:
x = 3 cos t
y = 2 sin t
x/3 = cos t
y/2 = sin t
cos2 t + sin2 t =1 2 2
13 2
x y
Arahnya
(ellips)
)0,3(ˆ3)0( iF
)2,0(ˆ2)2
( jF
)0,3(ˆ3)( iF
)2,0(ˆ2)2
3( jF
)0,3(ˆ3)2( iF
3 -3
2
-2
x
y
C
16
Persamaan parameternya:
2 4x y
Arahnya:
(parabola)
ˆ(0) 4 ( 4,0)F i
ˆ(4) 2 (0,2)F j
-4
2
x
y
C
ˆ ˆ( ) ( 4) ; 0 42. F t t i t j t
y t4y x
4 4x t t x
17
Latihan
2 ˆ ˆ2. ( ) 4 ; 2 2F t t i t j t
2ˆ ˆ( ) 4 ; 2 21. F t t i t j t
Gambarkan grafik fungsi vektor berikut:
2 ˆ ˆ4. ( ) 2 3 ; 2 3F t t t i t j t
ˆ ˆ( ) 4 1 2 ; 0 33. F t t i t j t
2 2ˆ ˆ( ) ;5. F t t i a t j a t a
18
Ekivalen
Fungsi ( ) ( )f t dan g t
menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan
arah yang sama pula.
disebut ekivalen jika
Contoh ˆ ˆ( ) cos sin , 0f t a t i a t j t
2 2ˆ ˆ( ) ,g t t i a t j a t a
Norm
1 2 3ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )f t f t i f t j f t k
2 2 2
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t
Misalkan maka norm dari ( )f t
( ) ( )f t dan g t
19
Sifat fungsi vektor
ktfjtfitftf ˆ)(ˆ)(ˆ)()( 321
Misalkan ktgjtgitgtg ˆ)(ˆ)(ˆ)()( 321
dan
cos)()()()()()()()()().( 332211 tgtftgtftgtftgtftgtf
1.
ktgtg
tftfj
tgtg
tftfi
tgtg
tftf
tgtgtg
tftftf
kji
tgxtf ˆ)()(
)()(ˆ
)()(
)()(ˆ
)()(
)()(
)()()(
)()()(
ˆˆˆ
)()(21
21
31
31
32
32
321
321
2.
ktgtfcjtgtfcitgtfctgtfc ˆ)()(ˆ)()(ˆ)()()()( 332211
3.
c =konstanta
adalah sudut antara dua vektor tersebut
20
Limit Definisi
lim ( ) 0 0 0 ( )t a
f t L t a f t L
Ilustrasi
) ( a
L
(t)f
L -(t)f
y
x
. a+ a-
ε
21
Teorema
1 2ˆ ˆ( ) ( ) ( )f t f t i f t j Misalkan ( )f t, maka mempunyai limit di a
f1(t) dan f2(t) mempunyai limit di a, dan
1 2ˆ ˆlim ( ) lim ( ) lim ( )
t a t a t af t f t i f t j
Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):
j
t
tti
t
tt
ˆ9
6ˆ3
9lim.1
2
22
3
je
ti
t
tt
t
ˆˆsinlim.2
0
tttt
ln),ln(lim.3 2
0
22
Jawab
j
t
tti
t
tt
ˆ9
6ˆ3
9lim.1
2
22
3j
t
tti
t
ttt
ˆ9
6limˆ
3
9lim
2
2
3
2
3
jtt
tti
t
tttt
ˆ33
23limˆ
3
33lim
33
jt
tit
tt
ˆ3
2limˆ3lim
33
ji ˆ6
5ˆ6
j
e
ti
t
ttt
ˆˆsinlim.2
0j
e
ti
t
tttt
ˆlimˆsinlim
00
iji ˆˆ0ˆ
23
tttt
ln),ln(lim.3 2
0
ttttt
lnlim),ln(lim0
2
0
)ln(lim 2
0t
tkarena (tidak ada)
Maka tidak ada tttt
ln),ln(lim 2
0
24
Latihan
Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):
j
t
tti
t
tt
ˆ2
6ˆ4
2lim.1
2
22
jtt
ti
t
t
t
ˆ32
1ˆsinlim.2
2
2
te t
t
1,lim.3 /1
0
25
Turunan
1 2 3ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )f t f t i f t j f t k Definisi: Misalkan
1 2 3 1 2 3
0
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim
h
f t h i f t h j f t h k f t i f t j f t kf t
h
3 31 1 2 2
0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆlimh
f t h f tf t h f t f t h f ti j k
h h h
3 31 1 2 2
0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆlim lim limh h h
f t h f tf t h f t f t h f ti j k
h h h
1 2 3ˆˆ ˆ'( ) '( ) '( )f t i f t j f t k
1 2 3ˆˆ ˆ'( ) '( ) '( ) '( )f t f t i f t j f t k Jadi
26
Contoh 2 2ˆ ˆ( ) (2 3) tf t t i e j . Tentukan 1. Diketahui '(0) ''(0)f dan f
Jawab
2ˆ ˆ"( ) 8 4 tf t i e j
2ˆ ˆ'( ) 2 2 3 2 2 tf t t i e j 2ˆ ˆ8 12 2 tt i e j
ˆ ˆ'(0) 12 2f i j
ˆ ˆ''(0) 8 4f i j
i.
ii.
27
Contoh ˆ ˆ( ) cos2 tf t t i e j Tentukan 2. Diketahui
. '( ) ''( )a f t dan f t
. '(0) ''(0)b sudut antara f dan f
Jawab
a. ˆ ˆ'( ) 2sin 2 ,tf t t i e j ˆ ˆ''( ) 4cos2 tf t t i e j
b. ˆ'(0) ;f j ˆ ˆ"(0) 4f i j
'(0). "(0)cos
'(0) "(0)
f f
f f
1
17
1 1cos
17
28
Latihan 1 2 2 ˆˆ ˆ( ) tan ln 1tf t t i t e j t k
Tentukan
1. Diketahui
'(0)f dan ''(0)f
2 3ˆ ˆ( ) ln( )tr t e i t j
Tentukan
2. Diketahui
[ ( ). '( )]tD r t r t
3. Tentukan '( )r t dan "( )r t
a.
b.
2
ˆ ˆ( ) t t tr t e e i e j
5/3ˆ ˆ( ) tan 2r t t i t j
29
Arti Geometris
Df=[a,b]
] [ a t b
h)(tf
(t)f
(t)f-h)(tf
c
z
y x
O
P
Vektor ( ) ( )
, 0f t h f t
hh
searah dengan vektor ( ) - ( )f t h f t
Jika h 0, maka
merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada
saat
0
( ) ( )lim '( )h
f t h f tf t
h
fDt
Arti Geometris : Vektor Singgung '( )f t
30
Garis Singgung
Df=[a,b]
] [ atb
)(tf 0
)(t'f 0
c
z
y x
O
P
Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah
0 0( ) ( ) '( )x t f t t f t
atau
1 0 2 0 3 0 1 0 2 3 0, , ( ), ( ), ( ) '( ), '( 0), '( )x y z f t f t f t t f t f t f t
31
Contoh ˆˆ ˆ( ) cos sinf t t i t j t k
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–1, 0, ).
Diketahui
ˆˆ ˆ'( ) sin cosf t t i t j k
Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t0 =
ˆˆ ˆ'( ) 0 ( 1)f i j k
ˆˆ ˆ( ) ( 1) 0f i j k
0, 1, 1
1,0,
Persamaan parameter garis singgung di titik P (–1, 0, ) adalah x = –1, y = – t , z = + t
32
Latihan
ˆ ˆ( ) 3sin 4cosf t t i t j
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4).
1. Diketahui
2 ˆˆ ˆ( ) sin cos 1t tf t e t i e t j t k
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).
2. Diketahui
2ˆ ˆ( ) 2 2 3 2f t t i t j
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–2, –2).
3. Diketahui
Gerak Sepanjang Kurva
Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter
x = f(t); y = g(t). maka
33
menyatakan vektor posisi dari titik P.
jtgitftr ˆ)(ˆ)()(
Jika t berubah ujung vektor bergerak sepanjang )t(r
lintasan titik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva (Gerak Curvilinear)
Definisi 1. Kecepatan
34
2. Percepatan
j)t('gi)t('f)t('r)t(v
titik P adalah )t(v
di sebut laju titik P )t(v
j)t(''gi)t(''f)t(''r)t(a
titik P )t(a
di sebut besar percepatan )t(a
pada saat t
1. Gerak Linear
q)t(hp)t(r
2. Gerak pada Lingkaran
realfungsi)t(h;tetapvektorq,p
3. Gerak pada ellips
0a,jtsinaitcosa)t(r
0b,a,jtsinbitcosa)t(r
4. Gerak pada heliks
Lingkaran
ktbjtsinaitcosa)t(r
Contoh
Contoh Gerak Sepanjang Kurva
Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah
x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu)
a. Gambarkan grafik lintasan P.
b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan
percepatan
c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan
pada saat mana nilai itu dicapai
35
Jawab
36
a. Persamaan parameter
x = 3 cos t
y = 2 sin t
x/3 = cos t
y/2 = sin t
cos2 t + sin2 t =1
123
22
yx(ellips)
3 -3
2
-2
x
y
. P
(t)a
(t)v
b. jtittr ˆsin2ˆcos3)(
jtittvtr ˆcos2ˆsin3)()('
)(ˆsin2ˆcos3)()(" trjtittatr
37
tttv 22 cos4sin9)(
tttttt 222222 cossin4sin5cos4sin4sin5
4sin5 2 t
b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ±1, atau t = /2, 3/2
yaitu pada titik (0, ±2)
Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0,
yaitu pada titik (±3, 0)
Latihan Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak
pada bidang adalah
x = 4 cos t dan y = 3 sin t (t = waktu)
a. Gambarkan grafik lintasan P. b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai
38
Kelengkungan
Andaikan atb,
39
vektor posisi titik P. jtgitftr ˆ)(ˆ)()(
Panjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah
Laju titik yang bergerak itu adalah
b
a
t
a
22du)u('rdu)u('g)u('fs
)()(' tvtrdt
ds
)(
1
tvds
dt
Definisi. Vektor Singgung Satuan di P,
40
Notasi didefinisikan sbb )(tT
Apabila P bergerak
)(
)(
)('
)(')(
tv
tv
tr
trtT
berubah arah )(tT x o
y
disebut vektor kelengkungan di P ds
Td
Kelengkungan di P; (kappa).
41
Dengan aturan rantai diperoleh
Jadi
)(
)('
)(
1)('
tv
tT
tvtT
ds
dt
dt
Td
ds
Td
dan
ds
Td
disebut jari-jari kelengkungan
)(
)('
tv
tT
ds
Td
1R
42
12,ˆsin8ˆcos8)(.1 33 tpadaPtitikdijtittr
Tentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari
Jawab:
jttitttvtr ˆcossin24ˆsincos24)()(' 22
tttttv 2424 cossinsincos24)(
jtittv
tvtT ˆsinˆcos
)(
)()(
tttttt sincos24)sin(cossincos24 2222
jtittT ˆcosˆsin)('
ttttt
tt
tv
tTt
2sin12
1
sincos24
1
sincos24
cossin
)(
)(')(
22
Contoh:
43
6
1
2
1.12
1
6sin12
1
122sin12
1)
12(
61
R (Jari-jari kelengkungan)
Jadi kelengkungan () kurva diatas di t= /12 adalah 1/6,
Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 6
Latihan Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan
dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan
44
2padatitikdi,ˆcosˆsin)(.1 tPjteitetr tt
1padatitikdi,ˆ1ˆ2)(.2 2 tPjtittr
21padatitikdi,ˆ4ˆ4)(.3 2 tPjtittr
9padatitikdi,ˆˆ3cosˆ3sin)(.5 tPktjtittr
6
padatitikdi,ˆ4ˆcos8ˆsin8)(.4 tPktjtittr
Teorema Andaikan x = f (t) dan y = g (t) adalah persamaan parameter
kurva yang mulus. Maka
45
23
22''
"'"'
yx
xyyx
Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x), berlaku
23
2'1
"
y
y
Contoh 1. Tentukan kelengkungan elips
46
x = 2 cos t, y = 3 sin t
pada titik t = 0 dan t = /2
Jawab:
x’ = –2 sin t
x” = –2 cos t
y’ = 3 cos t
y” = –3 sin t
Kita peroleh
23
22''
"'"'
yx
xyyx
2322
22
cos3sin2
cos6sin6
tt
tt
23
22 cos9sin4
6
tt
Sehingga
23
22 0cos90sin4
6)0(
9
2
9
6
23
23
22
2cos9
2sin4
6)
2(
4
3
2. Tentukan kelengkungan kurva y = x2 di P(1, 1)
47
Jawab:
y’ = 2x y” = 2
Kita peroleh
23
2'1
"
y
y
2
3221
2
x
Sehingga
25
52
5
22/3
232
1.21
21
Latihan
Tentukan kelengkungan kurva berikut di titik P
1. y = x2 – x, di P(1,0)
2. r(t)=(t+t3) i + (t+t2) j , di P(2,2)
3. r(t)=2t2 i + (4t+2) j , di P(2,-2)
4. r(t)=4(1 – sint) i + 4(t+cos t) j , di P(8,6)
48