FUNGSI ELEMENTER

28. FUNGSI EKSPONENESIALSebelum mengetahui lebih lanjut ( bagian 13 ), disini kita definisikn fungsi eksponensial dapat ditulis ( 1 ) Dimana rumus sebslumnya ( lihat bagian 6 )( 2 )Dan gunakan untuk mendapatkan radians. Dari sini didapat definisi bahwa mengurangi ke fungsi eksponensial yang biasa dalam kalkulus dimana ; dan beberapa penjelasan di kalkulus, sering ditulis untuk .Catatan bahwa pada saat suku ke positif akar dari adalah untuk menentukan dimana , pernyataan ( 1 ) menceritakan bahwa fungsi eksponensial komplek adalah juga. dimana . Kecuali untuk penjelasan ( bagian 8 ) bahwa biasanya mengharuskan untuk menggantikan seperti kumpulan dari suku ke akar dari .Sesuai dengan definisi ( 1 ), ; dan titik titik keluar di bagian 13, definisi ini mengingatkan dari penyebab sifat adalah merupakan perluasan dari sifat di kalkulus,( 3 ) dan Maka Tetapi dan keduanya real, dan kita mengetahuinya dari bagian 7, bahwaDari sini ;Dan didapatThe right hand terakhir karena dari pernyataan . sifat ( 3 ) tidak dapat di tegakkan.Bagaimana melihat sifat ( 3 ) memungkinkan untuk menulis , atau( 4 ) Dari sini dinyatakan fakta bahwa , ini mengikuti bahwa .Ada suatu bilangan dari sifat sebelumnya bahwa yang diharapkan. Sesuai dengan contoh 1 bagian 21, untuk contoh,( 5 ) Masing masing dimana pada bidang . Catatan bahwa perbedaan dari untuk semua menceritakan bahwa adalah seluruhnya ( bagian 23 ). Itu benar juga bahwa ( 6 ) untuk sembarang bilangan komplek Ini jelas ditulis pada definisi ( 1 ) di bentuk dimana dan Yang mana menceritakan bahwa ( 7 ) dan Pernyataan ( 6 ) maka mengikuti pengamatan dari bagian adalah selalu positif.Sementara sifat dari ini, bagaimanapun, tidak diharapkan. Untuk contoh, dimisalkan danKita tentukan bahwa adalah berkala, dengan teory periode imajiner : ( 8 ) Menurut contoh illustrasi lainnya sifat dari bahwa tidak mempunyai . yaitu , saat tidak pernah negative, maka nilai dari ada.

Contoh. Nilai di ada, dari contoh, tunjukkan bahwa ( 9 ) Untuk menentukan , kita tulis persamaan ( 9 ) . Maka , pandanglah dari pernyataan dalam yang bercetak miring diawal bagian 8 mengenai persamaan dua bilangan komplek nonzero dalam bilangan eksponensial , dan Jadi , dan kita tentukan bahwa( 10 ) .

29. FUNGSI LOGARITMAAlasan untuk definisi dari fungsi logaritma adalah dasar memecahkan persamaan (1)Untuk , dimana adalah bilangan kompleks tidak nol, dengan ini dicatat dimana dapat ditulis dan , persamaan (1) menjadi :

Pada pernyataan Italy di bagian 8 memiliki persamaan pada dua bilangan kompleks yang tepat pada bentuk eksponen :

Dimana n adalah integer, dari persamaan adalah sama pada , itu mengikuti persamaan (1) adalah sesuai jika hanya jika w bernilai 1. Sehingga dapat ditulis (2)Memiliki hubungan sederhana, (3)Dengan alasan yang sesuai pada persamaan (2) pada definisi (multiple-value) fungsi logaritma dari bilangan kompleks tidak nol .Contoh 1.Jika oleh karena itu,

Jika diperjelas lebih lanjut hal itu adalah tidak benar pada ruas kanan dari persamaan (3) dengan urutan dari eksponen dan fungsi logaritma mereduksi , sangat jelas dipersamaan (2) bisa ditulis :

Dari bagian 28 Dimana diketahui bahwa Lalu, (4)Dengan nilai utama dari adalah nilai yang diperoleh dari persaman (2) saat ada dan ditandai dengan . Sehingga lalu,(5)Dengan catatan terdefinisi dengan baik dan single value (nilai tunggal) dimana dan kemudian, (6)Hal ini mengulang kembali sifat logaritma pada kalkulus dimana adalah bilangan real positif dapat dilihat ini satu satunya yang ditulis yang mana dari persamaan (5) menjadi , kemudian

Contoh 2.Dari pernyataan (2), ditemukan

Yng mana, Pada contoh terakhir ini mengingatkan kembali, walaupun tidak digunakan untuk menemukan logaritma bilangan real negative pada kalkulus, kita dapat menggunakannya saat ini.Contoh 3Diamati bahwa,

Dan

31. Beberapa Ciri-Ciri LogaritmaSeperti hubungan dari persamaan (3) dan (4) dari subbab 29, seperti pada Latihan 3, 4, dan 5 pada subbab 30, beberapa identitas dari logaritma pada kalkulus kepada analisis komplek dan beberapa lainnya yang bukan. Pada bab ini, akan kita turunkan beberapa diantaranya. Pada subbab 32 dapat mengacu kepada hasil yang dibutuhkan.

(1)Jika dan merupakan sembarang nilai komplek yang tidak nol, secara tidak langsung menunjukkan bahwa

(2)Pernyataan ini meliputi sebuah fungsi perkalian nilai, dengan jalan yang sama dengan menggunakan pernyataan

Pada subbab. 7. Jika dua nilai pada tiga logaritma yang spesifik, maka ada nilai ke-tiga logaritma sedemikian sehingga persamaan (1) dapat dijadikan acuan.Pembuktian dari persamaan (1) dapat menjadi dasar persamaan (2). Karena dan karena moduli adalah semua nilai real positif, kita ketahui sebelumnya dengan logaritma pada nilai-nilai dalam kalkulus

(3)Persamaan diatas mengikuti dari persamaan (2), sehingga diperoleh

Akhirnya, karena dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (3) seperti persamaan (1).Contoh.Gambarkan persamaan (1), tulis dan catat bahwa jika nilai dan , persamaan (1) memenuhi ketika nilai .Amati bahwa, untuk nilai yang sama dan , dan Verifikasi persamaan

(4)Yang ditunjukkan pada persamaan (1).

(5)Meliputi dua kelengkapan lainnya untuk log z pada Subbab. 32. Jika z adalah nilai komplek tidak nol, maka

Untuk sembarang nilai . Ketika n=1, berkurang, tentu, hubungan (3), subbab. 29. Persamaan (5) dapat ditulis dan masing-masing sisi menjadi .

(6)Hal ini juga berlaku ketika

Dan nilai akar ke-n pada z. kita tulis dimana adalah nilai principal untuk arg z. maka

(7)Dimana maka

Karena diperoleh nilai berbeda ketika , pada persamaan (7) hanya nilai n. sebuah gambaran untuk akar ke-n pada z, dan dapat ditulis . Dibangunnya kelengkapan persamaan (6), benar-benar sah ketika n adalah negative integer juga.

32. Eksponen kompleksKetika dan eksponen c adalah beberapa bilangan kompleks, fungsi digambarkan dengan persamaan

Ketika log z dinotasikan hasil perkalian fungsi logaritma. Persamaan (1) melengkapi definisi yang bersesusaian dari di dalam pengertian bahwa hal ini telah diketahui menjadi benar. (lihat bagian 31) ketika dan definisi (1) ada, pada kenyataannya mengusulkan dengan keterangan pilihan cContoh 1 . kuasa z ada, secara umum,hasil kalil, sebagai ilustrasi dengan menulis

Dan

Ini menunjukkan bahwa

Perhatiakn bahwa hasil dari adalah semua bilangan real. Karena fungsi eksponensialnya mempunyai sifat, sekali lagi kita dapat memperlihatkan bahwa

Dan , dalm kenyataan ini bahwa berdasarkan persamaan (2) , kemudian

Jika dan adalah bilangan real, cabang

Dari fungsi logaritma adalah hasil satu-satunya dan analitik di daerah asal ditunjukkan (bagian 30). Ketika cabang itu digunakan, hal ini manunjukkan bahwa fungsi adalah satu-satunya hasil dan analitik di beberapa daerah asal yang sama. Turunan seperti cabang dari didirikan dengann terlebih dahulu menggunakan aturan rantai untuk menuliskan

Dan kemudian memanggil kembali (bagian 29) identitas. Hasil iut mengakibatkan

Atau

Hasil utama dari terjadi ketika diganti dengan pada definisi (1)

Persamaan (5) juga dapat mendefinisikan cabang utama dari funngsi di daerah asal .

Contoh 2. Hasil utama dari adalah

Itu adalah

Contoh 3. Cabang utama dari dapat ditulis

Lalu cos sin

Fungsi ini adalah analitik di daerah asal dapat dilihat secara langsung dari teorema di bagian 22.Berdasarkan definisi (1) fungsi eksponensial dengan pusat c, dimana c adalah bilangan bukan non konstanta kompleks, ditulis cos sinHarus diperhatikan bahwa meskipun ada, secara umum hasil kali berdasarkan definsi (8), penafsiran secara umum dari terjadi ketika hasil utama dari logaritma taken. Untuk hasil utama dari kesatuanKetiak hasil dari seluruh fungsi z pada kenyataannya

Dan ini menunjukan bahwa

33. Fungsi TrigonometriPersamaan (sec.6) menjelaskan bahwa

danPada setiap bilangan rill x, dan diikuti dari pertanyaan bahwa

danSehingga,

danOleh karena itu, secara alamiah untuk menetapkan sinus itu dan fugsi cosinus dari suatu variabel kompleks z seperti berikut :

(1) ,

Fungsi itu adalah keseluruhan saat menggabungkan garis-garis lurus (latihan 3, bagian.24) dari keseluruhan fungsi dan . Diketahui turunannya dari fugsi eksponensial itu, ditemukan dari pertanyaan (1) bahwa

(2)

Itu adalah mudah dengan melihat dari defenisi (1) bahwa

(3) dan Dan suatu variasi identitas yang lain dari trigonometri adalah benar pada variabel kompleks.

Contoh. Tunjukkan bahwa

(4) Gunakan defenisi (1) dan baik dari fungsi ekspoesial, pertama ditulis

Kemudian dilakukan perkalian untuk menghilangkan di sebelah kanan

Atau

Dan identik (4) yang tidak bisa dipungkiri Idetik (4) dipelajari pada identitas (lihat latihan 3 dan 4)

(5)

(6) Dan dari persamaan diatas ditujukkan bahwa

(7)

(8)

(9) Ketika y adalah suatu bilangan rill, pertama dapat digiakan defenisi (1) dan fungsi hiperbola

dan Pada kalkulus dituliskan

(10) dan

Merupakan rill dan bagian imajiner dari sin z dan cos z kemudian diperlihatkan dengan mudah degan menulis dan pada identitas (5) dan (6):

(11)

(12)

Dimana Suatu bilangan dibutuhkan benar dari sin z dan cos z dengan mendekati dari ekspresi (11) dan (12).sifat berkala dari fungsi itu, sebagai contoh, adalah jelas :

(13)

(14) Juga (lihat latihan 9)

(15) (16)Karena tak terbatas, ini benar dari dua persamaan dan adalah tidak berbatas pada bidang kompleks, di mana nilai mutlak dari dan adalah kecil atau sama dengan semua nilai pada .(lihat definisi dari batas pada akhir bagian 17).Nilai nol pada sebuah fungsi merupakan nilai dari sedemikian sehingga .karen a merupakan fungsi sinus biasa dalam kalkulus di mana adalah real, diketahui bahwa nilai real semuaqnya bernilai nol pada . Untuk menunjukkan bahwa tidak ada nilai nol yang lain, diasumsikan bahwa dan caranya mengikuti dari persamaan (15) bahwa

Jadi,

Dengan jelas, dimana dan , sehingga(17) jika dan hanya jika Karena

Berdasarkan identitas (9) yang ke 2(18) jika dan hanya jika Jadi, ini merupakan keadaan yang sebenarnya dengan , nilai nol pada semuanya real.Empat fungsi trigonometri lainnya menegaskan hubungan dari fungsi sinus dan cosinus dengan hubungan-hubungan:(19) (20) Selidiki bahwa persamaan dan adalah analitik di mana-mana kecuali pada keistimewaan (bagian 23)

Di mana nilai nol pada . Demikian juga, dan mempunyai keistimewaan pada nol dari , yakni

Dengan menurunkan persamaan sebelah kanan (19) dan (20), didapatkan rumus turunan (21) (22) Kadangkala tiap fungsi trigonometri ditegaskan dengan persamaan (19) dan (20) ikut dijelaskan dari persamaan (13) dan (14). Untuk contoh:(23) Pemetaan properties dari transformasi adalah sangat penting untuk aplikasi selanjutnya. Saat belajar memilih properties cukup dengan membaca bagian 89 (chap 8), di mana pemetaan tersebut didiskusikan.

34. Fungsi HiperboliksFungsi hiperbolik sinus dan hiperbolik kosinus dari suatu variabel kompleks didifinisikan sebagai dengan suatu variabel riil ; yaitu(1)

Karena dan adalah fungsi lengkap, berdasarkan dari definisi ( 1) dan adalah fungsi lengkap. Sedemikian sehingga,

(2)

Karena cara yang digunakan oleh fungsi eksponensial ada pada definisi ( 1) dan dari definisi ( Bagian 33), maka

Dari dan , fungsi hiperbolik sinus dan fungsi kosinus saling berhubungan dengan fungsi trigonometri, sehingga(3)(4)

Beberapa dari persamaan yang sering digunakan yang selalu menyertakan fungsi hiperbolik sinus dan fungsi kosinus yaitu(5)

(6)

(7)

(8)

dan

(9)

(10)

(11)

(12)

dimana . Ketika persamaan ini mengikuti secara langsung dari definisi ( 1), dengan mudah diperoleh dari hubungan persamaan trigonometri, dengan bantuan dari persamaan (3) dan (4).contohUntuk menggambarkan cara dari pembuktian yang tepat, misalkan dengan menggunakan persamaan (11). Berdasarkan persamaan (4), . Yaitu(13)

Dimana . Dari persamaan (15), pada bagian 33, kita ketahui bahwa

dan ini memungkinkan kita untuk menuliskan persamaan (13) ke dalam bentuk persamaan (11).Maksud dari dan mengikuti hubungan persamaan (4) bahwa dan adalah periodik dengan periode . Persamaan (4) juga menyatakan bahwa(14) jika dan hanya jika

dan(15) jika dan hanya jika

Fungsi hiperbolik tangen dari didefinisikan oleh persamaan(16)

dan analitik di setiap daerah di mana . Fungsi dan adalah kebalikan dari dan . Secara langsung mengikuti rumus turunan, yang mana sama dengan yang ditetapkan pada Kalkulus dari fungsi yang bersesuaian dengan variabel riil :(17)

(18)