fungsi fungsifungsi

8/19/2019 FUNGSI FUNGSIFUNGSI

1/25

KALKULUS II

MIRNA RAHMAH LUBIS


2/25

Tujuan Pembelajaran

Tujuan Pembelajaran Umum (TPU)

Mahasiswa mampu menggunaan!nsep"!nsep #asar Kalulus II pa#apermasalahan #i bi#ang bi#ang lain

se$ara %epa%&


3/25

Tujuan Pembelajaran Khusus (TPK)

Se%elah mengiu%i pembelajaran'mahasiswa mampu

& Menjelasan rumus *ungsi peubah sesuai#engan masalah +ang a#a,& Men+usun langah pen+elesaian s!al-& Men+ajian pen+elesaian s!al *ungsi

peubah.& Mengin%egrasian !nsep +ang %er%uang

#alam rumus e #alam pen+elesaians!al&


4/25

Buu Pus%aa

Wajib :

1. Gerald L. Bradley, Karl J.Smith 1995, Calculus , Prentice hallEnglewood Clif , !ew Jerey

".Krey#ic, 19$$ % & Advanced Engineering Mathematics’, 'th

ed, John (iley ) Son,

!ew *or+.

.S-iegel . /. 1990, Kalkulus lanjutan’ , edii ter2emahanPener3it Erlangga.

Pilihan :1. Leithol, L 1991 % ‘Kalkulus dan ilmu Ukur Analit’,

Erllangga

". P4rcell, E.J. ) ale 6ar3erg, 1999%& Kalkulus dan e!metri Analitik & , 2ilid " ed ter2emahan , Erlangga, Ja+arta.

Mirna Rahmah Lubis .


5/25

& /ungsi #ua perubah

0ie%ahui 0 #aerah #i #alam R , pa#a bi#ang123&

/ungsi 7 0 → ' #i#e4nisian 5 6 7 (7'+)

un%u se%iap (7'+)∈ 0 #isebu% *ungsi #ua

perubah (8ariabel)' #engan 7 #an + perubahbebas&

ℜ

Mirna Rahmah Lubis 9


6/25

Ilus%rasi :ra4s

f : D → ' (x,y)∈ D dan z = f (x,y) ∈ pada bidang S.

Mirna Rahmah Lubis ;

ℜ ℜ

X

Z

Y

(x,y)

Z=f (x,y)ℜS

a bc

d


7/25

• Fungsi f didefinisikan :

z = f (x,y) = .

• nilai fungsi f , di titik(2,1) adalah f (2,1) =

yang diperoleh dengan mensubtitusikan titik (2,1) ke fungsi yang didefinisikan

22 yxy2x

xy

++

Mirna Rahmah Lubis =

9

2


8/25

Dengan cara yang sama

untuk z = f (x,y) = x2 + y2

nilai ungsi z dititik (!,"!) adala# f (!,"!) = 2

Mirna Rahmah Lubis >


9/25

$uasan yang terbentuk untuk ungs% dengan

persamaan

z = f (x,y) = x2

+ y2

menya&ikan parab'l'ida dengan titik puncak (,,) adala# sbb:

Mirna Rahmah Lubis ?


10/25

ungsi:

Penyelesaian: – Agar (x, y) Є R, syaratnya adalah (x > 0 dan y >

0) atau (x < 0 dan y < 0). – adi daerah defnisi ungsi adalah ! " #(x, y) (x

> 0 dan y > 0) atau (x < 0 dan y < 0)

!aerah nilai ungsi adalah – R " $0, %&

( ) xy y x f =,


11/25

• 0!main #ari * a#alah himpunan semuapasangan (7' +) +ang memenuhi 7, @ +, @ ,9 #an 7 C &

• Sebab aan bernilai riil jia7, @ +, @ ,9

• 0!main * a#alah himpunan (7' +) +ang

bera#a #i luar #an pa#a lingaran 7, @ +,6

( ) x

y x y x f

2),

22

−+=

2)22

−+ y x


12/25

• 0!main #ari * a%au 0* a#alahhimpunan semua pasangan (7' +)+ang memenuhi ,9 D 7, D +,

• bernilai riil jia ,9 D 7,

D+, ' a%au 7, @ +, E ,9&• Fa#i 0* 6 G(7' +)7, @ +, E ,9

22

2) y x −−

22

2) y x −−


13/25

,& Limi% #an K!n%inui%as

a. 'iit : "e#nisi$ ungsi % e*unyai liit ' untuk (x,y) → (x0 ,y0), yang ditulis

+ika untuk setia* > 0 terda*at > 0.

ntuk setia* (x,y) yang eenuhi

aka - f (x,y) ' - <

Mirna Rahmah Lubis -

( ) ( )Ly x f

y x y x =

→

),(lim0,0,

( ) ( ) δ


14/25

Ten%uan nilai limi% f (7'+) 6 7, @ +, un%u (7'+) men#ea%i #i %i%i (,')

Fawab

Mirna Rahmah Lubis .

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )5),(lim

)(lim),(lim

1,2,

22

1,2,1,2,

=

+=

→

→→

y x f

y x y x f

y x

y x y x


15/25

Limi% #an K!n%inui%as/. 1ntinu :"e#nisi$ &'(.

ungsi % dikatakan k1ntinu di titik (x0 ,y0) , +ika

2. % (x0 ,y0) ada dan

3.

4.

a*a/ila salah satu siat tidak di*enuhi aka % dikatakan

tidak k1ntinu di titik (x0 ,y0)

Mirna Rahmah Lubis 9

( ) ( )aday x f

y x y x ),(lim

0,0, →

( ) ( )( )00

0,0,,),(lim y x f y x f

y x y x =

→


16/25

Selidiki apakah fungsi

f (x,y) " x2 5 y2 kontinu di titik (2,1)

a6a/ : 7ubtitusikan nilai x dan y untuk titik (2,1) ke sifat –sifat kontinu yaitu

1. f (2,1) = 5 ∞ ada

2. = 5

!. = 5

ka"ena ketiga sifat kontinu dipenuhi #aka fungsi f kontinu di titik(2,1)

Mirna Rahmah Lubis ;

)(lim),(lim 22)1,2(),()1,2(),(

y x y x y x y x

+=→→

f

)(lim),(lim 22)1,2(),()1,2(),(

y x y x y x y x

+=→→

f


17/25

0e4nisi

• Fia P(7' +) #an A (a' b) %i%i"%i%i #i#alam R,' maa jara an%ara P #an A#i%ulisan ( ) ( )22 by a x AP −+−=−


18/25

0e4nisi ,

• Misalan A (a' b) %i%i #i R, #an rbilangan p!si%i*' maa b!la bua B(A' r) #i#e4nisian sebagai %i%i P (7'+) #i R, #i mana P"AEr

• Fa#i ( ) ( ) ( ) ( ){ }222,, by a x Ry x r AB −+−∈=


19/25

0e4nisi -

• Misalan * (7' +) %er#e4nisi pa#a b!labua B (A' r) +ang memua% (7' +)'maa

• Fia se%iapε

$uup e$il' maa%er#apa% δ sehingga un%u se%iap(7' +) ∈ B #an

•

berlau * (7' +) DL Eε

( ) ( )

( ) Ly x f y x y x

=

→

,lim0,0,

( ) ( ) δ


20/25

• Fia (7' +) #i #alam b!la bua B (7' +' δ)'

maa L " ε E * (7' +) E L @ε&• * (7' +) #apa% #ibua% #ea% e L #engan

mengambil (7' +) +ang #ea% e (7' +)


21/25

• Bu%ian bahwaPen+elesaian

• Ambil ε ' #an $ari δ ' sehingga

,7 @ -+ D E ε un%u se%iap (7' +) +angmemenuhi• :unaan e%i#asamaan segi%iga' +ani

a @ b E a@b' maa #iper!leh• ,7 @ -+ D 6,7 D , @ -+ D ?E

,7D , @ -+ D ? 6 ,7 D @ - + " -

( ) ( ) ( ) 1132lim 3,1, =+→ y x y x

( ) ( ) δ


22/25

Karena

• Maa

• Karena

( ) ( ) ( ) ( )2222 313311 −+−


23/25

0engan memilih

• 0imana

• Fa#i %erbu%i bahwa

ε ε

ε δ

=


24/25

Soal PR:

Mirna Rahmah Lubis ,.

a. Fungsi Dua Perubah dan Menggambar Luasan


25/25

Terima Kasih Atas Perhatiannya

fungsi fungsifungsi

Documents