fungsi khusus bentuk integral -...
TRANSCRIPT
![Page 1: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/1.jpg)
FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS
DALAM BENTUK DALAM BENTUK DALAM BENTUK DALAM BENTUK DALAM BENTUK DALAM BENTUK DALAM BENTUK DALAM BENTUK
INTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRAL
![Page 2: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/2.jpg)
FUNGSI FAKTORIALFUNGSI FAKTORIAL
Definisi
∫∞
− =0
!ndxex xn
1!0 =Buktikan bahwa :
( ) 110!00
0 0
0 =−−=−===∞−
∞ ∞−−
∫ ∫xxx edxedxex
Terbukti
![Page 3: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/3.jpg)
FUNGSI GammaFUNGSI Gamma
Definisi
( ) 0;0
1 >=Γ ∫∞
−− pdxexp xp
Hubungan fungsi Gamma dengan fungsi Faktorial
( ) ( ) !10 0
11 pdxexdxexp xpxp ===+Γ ∫ ∫∞ ∞
−−+−
( ) !1 pp =+Γ
( ) ( ) ( ) dst2!23,1!12,1!01 ==Γ==Γ==Γ
![Page 4: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/4.jpg)
Nilai Fungsi Gamma ditabulasi Nilai Fungsi Gamma ditabulasi untuk Gamma 1 sampai untuk Gamma 1 sampai dengan Gamma 2dengan Gamma 2
![Page 5: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/5.jpg)
Hubungan Rekursif Fungsi GammaHubungan Rekursif Fungsi Gamma
( ) ∫∞
−=+Γ0
1 dxexp xp
dppxduxu pp 1−==xx evdxedv −− −==
Lakukan integrasi parsial, seperti berikut :
xx evdxedv −− −==
( ) ( )∫∞
−−∞− −−−=+Γ0
1
01 dxpxeexp pxxp
( ) ( )ppdxexpp xp Γ==+Γ ∫∞
−−
0
11
( ) ( )ppp Γ=+Γ 1
![Page 6: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/6.jpg)
Hubungan Rekursif Fungsi GammaHubungan Rekursif Fungsi Gamma
( ) ( )ppp Γ=+Γ 1
( ) ( ) ( ) ( ) 21222123 ==Γ=+Γ=Γ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 61622.312333134 ==Γ=+Γ=Γ=+Γ=Γ
dst
![Page 7: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/7.jpg)
Hubungan Rekursif Fungsi GammaHubungan Rekursif Fungsi Gamma
( ) ( )11 +Γ=Γ pp
p
( ) ( ) ( )6,16,0
116,0
6,0
16,0 Γ=+Γ=Γ
( ) ( ) ( )5,01
15,11
5,1 −Γ=+−Γ=−Γ
Tabel F. Gamma
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )5,15,0
1
5,0
1
5,1
1
5,05,0
1
5,1
1
15,05,0
1
5,1
1
5,05,1
115,1
5,1
15,1
Γ−−
=
Γ−−
=
+−−−
=
−Γ−
=+−Γ−
=−Γ
Tabel F. Gamma
![Page 8: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/8.jpg)
Nilai Nilai ΓΓΓΓΓΓΓΓ(0,5)(0,5)
( ) dtet
dtet tt −∞∞
−−∫∫ ==Γ00
15,0 15,0
Misalkan t = y2, maka dt = 2y dy
( ) ydyey
y2125,0 −
∞
∫=Γ( ) ydyey0
25,0 ∫=Γ
( ) xdxex
x2
0
125,0 −
∞
∫=Γ
( )[ ] ( )∫ ∫∞ ∞
+−=Γ0 0
2 22
45,0 dydxe yx
![Page 9: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/9.jpg)
( )[ ] ∫ ∫=
∞−∞
− =−
==Γ2/
0 00
2
22445,0
2
2π
θ
ππθr
r edrdre
( )[ ] π=Γ 5,0 2
Nilai Nilai ΓΓΓΓΓΓΓΓ(0,5)(0,5)
( )[ ]( ) π
π=Γ
=Γ
5,0
5,0
![Page 10: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh soalContoh soal
Hitunglah integral berikut dengan Fungsi Gamma :
∫∞
−
0
2 2
dxex x
∫∞
−2 2
dxex x
Jawab
Misal u = x2, maka du = 2x dx∫−
0
2 dxex x Misal u = x2, maka du = 2x dx
Untuk x = 0 maka u = 0
Untuk x = ∞ maka u = ∞
( ) ( )4
5,02
1
2
15,1
2
1
2
1
2 0
2/1
0
π=Γ=Γ== ∫∫∞
−∞
− dueuu
duue uu
40
2 2 π=∫∞
− dxex x
![Page 11: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/11.jpg)
Soal LatihanSoal Latihan
Hitunglah integral-integral berikut dengan Fungsi Gamma :
( )∫
∫
−∞
∞−
+2
0
3
2.2
.1
2
dyeyy
dtet
y
t
( )
( )∫
∫ +
1
0
3/1
0
ln.3
2.2
dxx
dyeyy
![Page 12: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/12.jpg)
( ) ( )p
ppπ
πsin
1 =−ΓΓ
Formula penting terkait Formula penting terkait Fungsi GammaFungsi Gamma
Untuk p = 0,5
π( ) ( )π
π5,0sin
5,015,0 =−ΓΓ
( ) ( )
( )[ ]( ) π
π
π
=Γ
=Γ
=ΓΓ
5,0
5,0
15,05,0
2
![Page 13: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/13.jpg)
( )z
zzz
ππ
sin!! =−
Contoh soalContoh soal
Bukti
( ) ( ) ( )zzzz −Γ+Γ=− 11!!
( ) ( ) ( )zzzzz −ΓΓ=− 1!!
Buktikan bahwa :
Ingat :
( ) !1 nn =+Γ
dan
( ) ( ) ( )zzzzz −ΓΓ=− 1!! ( ) ( )nnn Γ=+Γ 1
( ) ( ) ( )[ ]zzzzz −ΓΓ=− 1!!dan
( ) ( )n
nnπ
πsin
1 =−ΓΓ( )
=−
zzzz
ππ
sin!!
( )z
zzz
ππ
sin!! =−
![Page 14: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/14.jpg)
Fungsi BetaFungsi Beta
Definisi 1 :
( ) ( ) .0;0;1,1
0
11 >>−= ∫−− qpdxxxqpB qp
( ) ( )pqBqpB ,, =( ) ( )pqBqpB ,, =
Definisi 2 :
( ) ( )∫−−
−+ −=a
qpqp
dyyaya
qpB0
111
1,
![Page 15: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/15.jpg)
Fungsi BetaFungsi Beta
Definisi 3 :
( ) ( ) ( )∫−−=
2/
0
1212 cossin2,π
θθθ dqpB qp
Definisi 4 :
( ) ( )∫∞
+
−
+=
0
1
1,
qp
p
y
dyyqpB
![Page 16: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/16.jpg)
Hubungan Fungsi Beta Hubungan Fungsi Beta dan Fungsi Gammadan Fungsi Gamma
( ) ∫∞
−−=Γ0
1 dtetp tp
∞ ∞
Fungsi Gamma
Misal t = y2, maka
( ) ∫∞
−−=Γ0
12 2
2 dyeyp yp ( ) ∫∞
−−=Γ0
12 2
2 dxexq xq
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
+−−∞
−=ΓΓ0
12
0
12 22
4 dydxeyxqp yxpq
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞
−−−=ΓΓ0
122/
0
12 2
sincos4 θθθπ
rdrderrqp rpq
atau
Jika ΓΓΓΓ(p) dikalikan dengan ΓΓΓΓ(q) dikalikan maka :
![Page 17: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/17.jpg)
Hubungan Fungsi Beta Hubungan Fungsi Beta dan Fungsi Gammadan Fungsi Gamma
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞
−−−−+=ΓΓ0
122/
0
12122 sincos42
θθθπ
ddrerqp pqrqp
( )qp +Γ2
1 ( )qpB ,2
1
( ) ( ) ( ) ( )qpBqpqp ,2
1.
2
14 +Γ=ΓΓ
( ) ( ) ( )( )qp
qpqpB
+ΓΓΓ=,
![Page 18: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/18.jpg)
Hubungan Fungsi Beta Hubungan Fungsi Beta dan Fungsi Gammadan Fungsi Gamma
( ) ( ) ( )( )
( )( )2
112
1,113
21
==Γ
ΓΓ=ππ
B
contoh
( )22
12
3Γ π
![Page 19: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh soal 1Contoh soal 1
dxxx∫2/
0
3 cossinπ
Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta
Solusi dengan def. Fungsi Beta 3 ( ) ( ) ( )∫−−=
2/
0
1212 cossin2,π
θθθ dqpB qp
( ) ( ) ( )∫∫ =2/
0
2/12/32/
0
2/13 cossincossinππ
dxxxdxxx
45
2312 ==− pp 4
32
112 ==− qq
( ) ( ) ( )( ) ......22
1,
2
1cossin 4
34
5
43
45
2/
0
3 =Γ
ΓΓ==∫ Bdxxxπ
![Page 20: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/20.jpg)
Contoh soal 2Contoh soal 2
( )∫∞
+06
2
1 y
dyy
Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta
Solusi dengan def. Fungsi Beta 4 ( ) ( )∫∞
+
−
+=
0
1
1, qp
p
y
dyyqpB
321 ==− pp ( ) 36 ==+ qqp
0
( ) ( ) ( ) ( )( ) 120
4
6
333,3
106
2
=Γ
ΓΓ==+∫
∞
By
dyy
Jadi
![Page 21: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/21.jpg)
Soal LatihanSoal Latihan
( )∫ +
∞
0231
.1y
dyy
Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta yang sesuai
∫
∫ −
2/
0
2
0
2
sin.3
2.2
π
θθd
x
dxx
![Page 22: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/22.jpg)
Aplikasi dalam persoalan FisikaAplikasi dalam persoalan Fisika
Sket grafik 922 =+ yx
Gunakan fungsi Beta untuk menghitung :
a. Luas daerah pada kuadran pertama
b. Titik pusat massa dari daerah ini (anggap rapat massanya seragam)
Jawab
x
y
922 =+ yxa
∫∫ ∫ ∫∫−
===3
0
9
0
2y
dydxdydxdAA
dyyA ∫ −=3
0
29
![Page 23: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/23.jpg)
Aplikasi dalam persoalan FisikaAplikasi dalam persoalan Fisika
dyyA ∫ −=3
0
29 Misalkan : xy =2 dxdyy =2
Batas :
93
00
=→==→=
xy
xy
( )99 1dx Gunakan Fungsi ( )∫∫ −=−= −9
0
2/12/19
0
92
1
29 dxxx
x
dxxA Gunakan Fungsi
Beta kedua
( ) ( )∫−−
−+ −=a
qpqp
dyyaya
qpB0
111
1,
( ) ( )∫−+−− =−
aqpqp qpBadyyay
0
111 ,
![Page 24: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/24.jpg)
( ) ( )2/3,2/192
1 12/32/1 BA −+=
( ) ( ) ( )( )2
2/32/19
2
1
ΓΓΓ=A
( ) 92/19
1 πππ ==A ( )4
9
1
2/19
2
1 πππ ==A
Dengan rumus luas lingkaran :
( )4
93
4
1
4
1 22 πππ === rA Sama
![Page 25: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/25.jpg)
B. Titik pusat massa luasan tersebut dihitung dengan rumus :
∫∫
∫∫ ==
dA
xdA
dM
dMxxpm ρ
ρ
∫∫
∫∫ ==
dA
ydA
dM
dMyypm ρ
ρ
∫∫ dAdMpm ρ
Dst ........
![Page 26: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/26.jpg)
Fungsi Error dan PelengkapnyaFungsi Error dan Pelengkapnya
Definisi Fungsi Error
( ) ∫−=
xt dtexErf
0
22
π
Definisi Pelengkap Fungsi Error
( ) ∫∞
−=x
t dtexErfc22
π
![Page 27: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/27.jpg)
Fungsi ErrorFungsi Error
( )
( ) ( )12
2
0
2
==Γ=∞
=∞ ∫∞
−
ππ
dteErf t Selesaikan dengan Fungsi Gamma
( ) ( ) 12
122
1 ==Γ=∞ππ
πErf
![Page 28: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/28.jpg)
Fungsi Error dan PelengkapnyaFungsi Error dan Pelengkapnya
( ) ( )
+=+ ∫ ∫
∞−−
x
x
tt dtedtexErfcxErf0
222
π
( ) ( ) ∫∞
−=+22dtexErfcxErf t
π( ) ( ) ∫=+
0
dtexErfcxErfπ
( ) ( ) ( ) 1=∞=+ ErfxErfcxErf
( ) ( )xErfcxErf −= 1 ( ) ( )xErfxErfc −= 1
![Page 29: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/29.jpg)
Fungsi ErrorFungsi Error
( ) ∫∞
−+−=4
2 .....12
dtt
txErf
Dari deret pangkat tak hingga :
...!4!3!2
1432
+++++= ttttet ...
!4!3!21
86422
++−+−=− tttte t
( ) ∫
−+−=
0
2 .....!2
12
dtt
txErfπ
( )x
tttxErf
0
53
....!2.53
2
−+−=
π
( )
−+−= ....
!2.53
2 53 xxxxErf
π1<<x
![Page 30: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/30.jpg)
Pelengkap Fungsi ErrorPelengkap Fungsi Error
Definisi pelengkap fungsi error
Kita tuliskan :
dan lakukan integrasi by part sbb :
![Page 31: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/31.jpg)
Pelengkap Fungsi ErrorPelengkap Fungsi Error
Sekarang tuliskan lagi :
−
= −− 22
2
11132
tt edt
d
te
t
kemudian lakukan integral by part lagi sbb :
![Page 32: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/32.jpg)
Pelengkap Fungsi ErrorPelengkap Fungsi Error
Jika proses ini terus dilanjutkan, maka akan didapat ungkapan deret untuk pelengkap fungsi error, sbb :
1>>x
![Page 33: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/33.jpg)
Contoh soalContoh soal
∫−
2
0
2
.1 dxe x
∫−
1022
.2 due u
∫−
5
2.2 due u
π
∫∞
−
1
2/22.3 dte t
π
![Page 34: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/34.jpg)
Formula StirlingFormula Stirling
Formula Stirling adalah formula pendekatan untuk fungsi Faktorial dan Fungsi Gamma, sbb :
Bukti
Substitusi variabel baru y sehingga
![Page 35: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/35.jpg)
Formula StirlingFormula Stirling
persamaan di atas menjadi :
untuk p besar, logaritma dapat diekspansi dalam deret pangkat berikut :
sehingga
![Page 36: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/36.jpg)
Formula StirlingFormula Stirling
π2 0 Untuk p besar
![Page 37: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/37.jpg)
Bandingkan Bandingkan nilai eksaknilai eksak n! dengan formula n! dengan formula
pendekatan Stirlingpendekatan Stirling
n n! eksak n! Formula Stirling
Persen selisih
5 120
20 2,43 X 1018
50 3,04 X 1064
![Page 38: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/38.jpg)
1. Dalam mekanika statistik sering digunakan persamaan :
NNNN −= ln!ln
disini N berorde bilangan Avogadro, N = 1026
Buktikan dari Formula Stirling !
Soal
2. Hitunglah :
( )( )22 !2
!2lim
n
nnnn ∞→
3. Hitunglah : ( )5,55Γ
![Page 39: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/39.jpg)
Integral EliptikIntegral Eliptik
Bentuk Legendre
disebut juga integral eliptik tak lengkap jenis ke satu dan ke dua
k disebut modulus dan φ disebut amplitudo integral eliptik. Integral iniditabulasi untuk nilai θ = arc sin k dan φ antara 0 dan π/2.
k2 dapat dilihat dari bentuk integral, dengan mengetahui k maka θ dapatditentukan, sedangkan φ dapat dilihat pada batas integral, denganmengetahui θ dan φ, maka nilai integral eliptik dapat dilihat pada tabelintegral eliptik F(k,φ) dan E(k,φ).
![Page 40: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/40.jpg)
Integral EliptikIntegral Eliptik
Integral eliptik lengkap
Integral eliptik lengkap jenis pertama dan kedua adalah nilai-nilai K dan E (sebagai fungsi k) untuk φ = π/2
Sama seperti sebelumnya, k2 dapat dilihat dari bentuk integral, denganmengetahui k maka θ dapat ditentukan, dengan mengetahui θ, maka nilaiintegral eliptik lengkap dapat dilihat pada tabel integral eliptik lengkap Kdan E
![Page 41: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/41.jpg)
Contoh soal
∫ −
4/
02sin25,01
.1π
φφd
![Page 42: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/42.jpg)
Bagaimana menghitung integral eliptik untuk φ > π/2 ???
Tinjau fungsi sin2x [f(sin2x)] yang merupakan integran dari integral eliptik
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ +=+=+=4/
0
2/
0
4/
0
4/9
0
2
0
2
0
.......4...................π π ππ π π
Aluas
![Page 43: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/43.jpg)
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ −=−=−=4/
0
2/
0
4/
0
4/7
0
2
0
2
0
.......4...................π π ππ π π
Aluas
catat
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ +=+=+≠4/
0
2/
0
4/
0
4/7
0
2/3
0
2/3
0
.......3...................π π ππ π π
Aluas
![Page 44: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/44.jpg)
Contoh soal
∫ −4/5
0
2sin037,01π
φφ d
![Page 45: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/45.jpg)
Jika batas bawah integral tidak nol, maka :
dan jika salah satu batas integral adalah negatif, maka :dan jika salah satu batas integral adalah negatif, maka :
Karena F(k,φ) dan E(k,φ) merupakan fungsi ganjil
![Page 46: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/46.jpg)
Contoh soal
∫−
−4/11
8/7
2sin64,01π
π
φφ d
![Page 47: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/47.jpg)
Bentuk Jacobi
Jika kita ambil x = sin φ, pada bentuk Legendre, maka akandidapat integral eliptik bentuk Jacobi jenis pertama dan kedua,sbb :
![Page 48: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/48.jpg)
dan
![Page 49: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/49.jpg)
Contoh soal
( )( )∫ −−
8,0
022 16,011 xx
dx
![Page 50: Fungsi Khusus Bentuk Integral - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · Aplikasi dalam persoalan Fisika ... persamaan di atas menjadi :](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050707/5a7828a97f8b9a4b538e8078/html5/thumbnails/50.jpg)
Contoh soal
∫ −4/5
0
2sin037,01.1π
φφ d∫
−
−4/11
8/7
2sin64,01.3π
π
φφ d
∫ −−5,0
02
2
1
100.2 dx
x
x ( )( )∫− −−
5,0
5,022 341
.4xx
dx