fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib
TRANSCRIPT
![Page 1: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/1.jpg)
LOGO
Matematika-wajib Kelas XI MIA/ IIS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI
INVERS
Oleh: Any Herawati, M.Pd.
![Page 2: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/2.jpg)
3.2 Memahami konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pada fungsi
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
3.3 Menganalisis konsep dan sifat suatu fungsi dan melakukan manipulasi aljabar dalam menentukan invers fungsi dan fungsi invers.
MATERI
KOMPETENSI DASAR
![Page 3: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/3.jpg)
4.2 Mengolah data masalah nyata dengan menerapkan aturan operasi dua fungsi atau lebih dan menafsirkan nilai variabel yang digunakan untuk memecahkan masalah.
3.4 Memahami dan menganalisis sifat suatu fungsi sebagai hasil operasi dua atau lebih fungsi yang lain.
4.3 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata terkait fungsi invers dan invers fungsi.
KOMPETENSI DASAR
KOMPETENSI DASAR
3.5 Memahami konsep komposisi fungsi dengan menggunakan konteks sehari-hari dan menerapkannya.
4.4 Merancang dan mengajukan masalah dunia nyata yang berkaitan dengan komposisi fungsi dan menerapkan berbagai aturan dalam menyelesaikannya.
![Page 4: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/4.jpg)
MATERI YANG DIPELAJARI
Sifat-sifat fungsi
Aljabar fungsi
Macam-macam fungsi khusus
Fungsi komposisi
Fungsi invers
Fungsi invers dari fungsi komposisi
Pengertian Relasi dan Fungsi
![Page 5: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/5.jpg)
Jika A dan B masing-masing menyatakan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan dan , ditulis
Ax By
}dan ),{( ByAxyxBA
PRODUK CARTESIUS
![Page 6: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/6.jpg)
{1,2}Bdan },,{ cbaA
)},2(),,2(),,2(),,1(),,1(),,1{(
)}2,(),1,(),2,(),1,(),2,(),1,{(
cbacbaAB
ccbbaaBA
Misalkan maka:
![Page 7: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/7.jpg)
RELASI
RELASI
![Page 8: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/8.jpg)
Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari
A B.
Notasi: R (A B).
a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R
a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.
Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.
![Page 9: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/9.jpg)
FUNGSI
FUNGSI
![Page 10: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/10.jpg)
Fungsi Misalkan A dan B himpunan.
Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f : A B
yang artinya f memetakan A ke B.
A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A
dihubungkan dengan elemen b di dalam B.
![Page 11: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/11.jpg)
J ik a f(a ) = b , m ak a b d in am ak an b a y a n g a n ( im a g e ) d a ri a d an a d in am ak an p ra -b a y a n g a n (p re -im a g e ) d a ri b .
H im p u n an yan g b eris i sem u a n ila i p em etaan f d iseb u t je la ja h
(ra n g e ) d a ri f. P erh a tik an b ah w a je la jah d ari f ad a lah h im p u n an b ag ian (m u n g k in p ro p er su b se t) d a ri B .
a b
A B
f
![Page 12: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/12.jpg)
Fungsi adalah relasi yang khusus: 1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh
prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. 2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B”
berarti bahwa jika (a, b) f dan (a, c) f, maka b = c.
![Page 13: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/13.jpg)
Materi
Notasi FungsiSuatu fungsi atau pemetaan
umumnya dinotasikan denganhuruf kecil.
Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B
A disebut domainB disebut kodomain
![Page 14: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/14.jpg)
Materi
Range atau Daerah HasilJika f memetakan
x A ke y Bdikatakan y adalah peta dari x
ditulis f: x → y atau y = f(x).Himpunan y B
yang merupakan peta dari x Adisebut range atau daerah hasil
![Page 15: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/15.jpg)
Materi
contoh 1Perhatikan gambar pemetaan 1 f : A → B
a 2 domain adalah
b 3 A = {a, b, c, d}
c 4 kodomain adalah
d 5 B = {1, 2, 3, 4, 5}
A B range adalah
R = {2, 3, 4, 5}
![Page 16: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/16.jpg)
Vertical Line Test: Suatu relasi adalah fungsi jika suatu garis vertikal digambar melalui grafik tersebut berpotongan hanya di satu titik.
Contoh: manakah dari kedua grafik tersebut yang merupakan fungsi?
Berpotongan hanya di satu titik
Berpotongan di dua titik
Grafik tersebut adalah fungsi
Grafik tersebut bukan fungsi
![Page 17: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/17.jpg)
Dari Grafik dibawah ini, manakah yang merupakan fungsi?
x 2 + y 2 = 1 y = x 2
Bukan Fungsi Fungsi
y 2 = x
a) b) c)
Bukan Fungsi
![Page 18: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/18.jpg)
d)e)
x = | y – 2|
Bukan Fungsi FungsiBukan Fungsi
f)x=1
y=1
![Page 19: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/19.jpg)
Apakah diagram berikut merupakan fungsi atau bukan?
Gambar 1
1234
abcd
A B
1234
abcd
A B
Gambar 2
Gambar 1 bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak memiliki pasangan di B
Gambar 2 adalah fungsi karena setiap anggota A memiliki pasangan tepat satu di B
![Page 20: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/20.jpg)
LANJUTAN
Gambar 3
1234
abcd
A B
Gambar 4
1234
abc
d
A B
Gambar 3 bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak memiliki pasangan di B dan ada anggota A memiliki pasangan lebih dari satu
Gambar 4 bukan fungsi ada anggota A memiliki pasangan lebih dari satu di B
![Page 21: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/21.jpg)
LANJUTAN
Gambar 5
1234
abcd
A B
Gambar 6
1234
abcd
A B
Gambar 5 bukan fungsi, karena ada anggota A memiliki pasangan lebih dari satu di B
Gambar 6 adalah fungsi karena setiap anggota A memiliki pasangan tepat satu di B
![Page 22: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/22.jpg)
SIFAT-SIFAT
FUNGSI
SIFAT-SIFAT
FUNGSI
![Page 23: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/23.jpg)
SIFAT – SIFAT FUNGSI ITU
APA SAJA YA ??
![Page 24: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/24.jpg)
a. Fungsi Injektif (Fungsi satu-satu)adalah fungsi yang setiap elemen yang berbeda pada daerah asal dipetakan dengan elemen yang berbeda pada daerah kawan atau didefinisikan “untuk setiap a1, a2 ε A dan a1≠ a2 berlaku f(a1) ≠ f(a2)
Contoh DiagramFungsi Injektif
Sifat-sifat Fungsi
![Page 25: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/25.jpg)
Terminology
F adalah fungsi satu-satu (atau Injektif) jika dan hanya jika x1,x2 X , F(x1) = F(x2) x1=x2
atau x1,x2 X x1≠x2 F(x1) ≠ F(x2)
F bukan fungsi satu-satu jika dan hanya jika
x1,x2X, (F(x1) = F(x2)) (x1 ≠ x2)
![Page 26: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/26.jpg)
Teorema: Horizontal Line TestJika garis horizontal memotong grafik fungsi f hanya di satu titik, maka f adalah fungsi satu-satu (injektif).
![Page 27: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/27.jpg)
Gunakan sketsa grafik untuk menentukan apakah fungsiadalah fungsi satu-satu (injektif)
Bukan fungsi injektif
![Page 28: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/28.jpg)
Gunakan sketsa grafik untuk menunjukkan fungsi adalah fungsi injektif.
Fungsi injektif
![Page 29: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/29.jpg)
b. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto atau Fungsi Kepada)adalah fungsi yang daerah hasilnya sama dengan daerah kawan. Jika suatu fungsi dengan daerah hasil merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B, maka disebut fungsi into atau fungsi kedalam.
Af
B
d
bc
1
23
d4
a
e
Af
B
d
ab
123
c4
Contoh DiagramFungsi Into
Contoh DiagramFungsi Onto
![Page 30: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/30.jpg)
Terminology
F adalah fungsi Onto (atau Surjektif) jika dan hanya jika
y Y xX, F(x) = y
F adalah fungsi Into jika dan hanya jika
yY x X, F(x) y
![Page 31: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/31.jpg)
c. Fungsi Bijektifadalah fungsi yang bersifat injektif sekaligus bersifat surjektif, biasa dinamakan korespondensi satu-satu
Contoh DiagramFungsi Bijektif
Af
B
d
a
b1
2
3 c
![Page 32: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/32.jpg)
RANGKUMAN SIFAT FUNGSI
Surjektif(kepada)
Into(ke dalam)
Injektif(satu-satu)
Bijektif(pasangan)
Tiap elemen di Bpunya
pasangan di A
Ada elemen di Byg tidak punya pasangan di A
Tiap elemen di Bpunya pasangan
tepat satu di A
Tiap elemen di Bberpasangan
satu-satu dgn A
A B
abc
ef
abc
efg
abc
efgi
abc
efg
![Page 33: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/33.jpg)
LATIHAN
Diketahui himpunan A = {a, b, c, d, e}, B = {0, 2, 4, 6} yang didefinisikan oleh f : A → B.
Manakah yang merupakan fungsi surjektif?
a. {(a,0), (b,0), (c,2), (d,4), (e,6)}
b. {(a,0), (b,0), (c,0), (d,2), (e,4)}
c. {(a,0), (b,2), (c,4), (d,6), (e,6)}
d. {(a,2), (b,2), (c,2), (d,4), (e,6)}
![Page 34: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/34.jpg)
PENYELESAIAN
a. b.
Surjektif Into
c. d.
Surjektif Into
abcde
0246
abcde
0246
abcde
0246
abcde
0246
![Page 35: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/35.jpg)
Manakah yang merupakan fungsi, fungsi injektif, surjektif atau pun bijektif ?
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
– 2
– 2
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
– 2
– 2
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
– 2
– 2
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
![Page 36: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/36.jpg)
DOMAIN ASAL ALAMI
DOMAIN ASAL ALAMI
![Page 37: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/37.jpg)
NO BENTUK SYARAT TERDEFINISI
1
2
3
MENENTUKAN DOMAIN ALAMI
)(xfy
)(
1
xfy
)(
1
xfy
0)( xf
0)( xf
0)( xf
Selain 3 bentuk di atas, }R|{D xxf
![Page 38: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/38.jpg)
CONTOH 1
Tentukan DOMAIN ALAMI dari
5.1 xy7
1.2
xy
Syarat terdefinisi :
05 x
5x
Jadi, Domain Alami :
}5|{DA xx
Syarat terdefinisi :
07 x
7x
Jadi, Domain Alami :
}7|{DA xx
![Page 39: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/39.jpg)
CONTOH 2: TENTUKAN DOMAIN ALAMI
9.3 2 xy6
1.4
2
xxy
Syarat terdefinisi :
092 x0)3)(3( xx
Jadi, Domain Alami :
}3atau 3|{DA xxx
Syarat terdefinisi :
0)3)(2( xx
Jadi, Domain Alami :
-3 3
+ - +
062 xx
+ - +
-2 3
}3atau 2|{DA xxx
![Page 40: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/40.jpg)
LATIHAN
Tentukan DOMAIN ALAMI dari masing-masing fungsi berikut:
2.1 xy
12.2 xy
3
1.3
xy
62
1.4
xy
4.5 2 xy
xy 3.6
xy 24.7
xy
2
1.8
43
1.9
xy
23.10 2 xxy
![Page 41: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/41.jpg)
ALJABAR FUNGSIALJABAR FUNGSI
![Page 42: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/42.jpg)
ALJABAR FUNGSI
Definisi:
Misalkan fungsi f(x) dan fungsi g(x) masing-masing dengan daerah asal D dan D maka:
jumlah fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal D = D D ,
selisih fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f g)(x) = f(x) g(x) dengan daerah asal D = D D ,
perkalian fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f g)(x) = f(x) g(x) dengan daerah asal D = D D ,
pembagian fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah dengan daerah asal D - = D D dan g(x) 0.
f + g
gf
f g
f gf g
f gf g
fg
=fg
f(x)g(x)
(x)
fg
![Page 43: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/43.jpg)
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan domain alaminya.a.(f + g) (x)b.(f – g) (x)c.(f x g) (x) d.(f/g)(x)e.f3 (x)
CONTOH
1x2 xg
![Page 44: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/44.jpg)
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan a.(f + g) (x) =
Domain asal alami Df+g = {x|x ≥ ½, x ε R}
PEMBAHASAN
1x2 xg
1x2102 x
![Page 45: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/45.jpg)
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan b. (f – g) (x) =
Domain asal alami Df-g = {x|x ≥ ½, x ε R}
PEMBAHASAN
1x2 xg
1x2102 x
![Page 46: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/46.jpg)
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan c. (f x g) (x) =
Domain asal alami Dfxg = {x|x ≥ ½, x ε R}
PEMBAHASAN
1x2 xg
1x2102 x
![Page 47: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/47.jpg)
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan d. (f/g) (x) =
Domain asal alami Df/g = {x|x > ½, x ε R}
PEMBAHASAN
1x2 xg
1x2
102
x
![Page 48: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/48.jpg)
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan e. f3 (x) =
Domain asal alami Df³ = {x|x ε R}
PEMBAHASAN
1x2 xg
10008001608102 233 xxxx
![Page 49: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/49.jpg)
MACAM-MACAM FUNGSI KHUSUS
MACAM-MACAM FUNGSI KHUSUS
![Page 50: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/50.jpg)
Notasinya : f(x) = k Apabila terdapat fungsi f : AB, Fungsi f disebut
fungsi konstan jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota B yang sama
Misalkan : f(x) = 2 dan x bil real Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar
sumbu x
FUNGSI KONSTAN
![Page 51: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/51.jpg)
FUNGSI IDENTITAS
F(x) = xContoh f(x) = 1
![Page 52: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/52.jpg)
FUNGSI LINIER Notasinya : f(x) = mx+n Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan
gradien m dan melalui titik (0,n)
![Page 53: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/53.jpg)
GRAFIK FUNGSI LINEARDiketahui :
f(x) = x+1 dimana domain dan kodomain berupa bil realMenuliskan fungsi dalam tabel
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius
![Page 54: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/54.jpg)
GRAFIK FUNGSI LINEAR
Diketahui :f(x) = 2x dimana domain dan kodomain berupa bil riilMenuliskan fungsi dalam tabel
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius
![Page 55: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/55.jpg)
LATIHAN SOALDiketahui :
1. f(x) = 2x-12. f(x) = -2x - 2 dimana domain { x | -3 ≤ x ≤ 3, x R }
Ditanya : 1. Tuliskan fungsi dalam bentuk tabel2. Tuliskan fungsi dalam grafik kartesius
![Page 56: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/56.jpg)
FUNGSI KUADRAT
![Page 57: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/57.jpg)
GRAFIK FUNGSI KUADRAT
Diketahui :f(x) = 2x² dimana domain dan kodomain berupa bil riil
Menuliskan fungsi dalam tabel
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius :
x -2 -1 0 1 2
f(x) 8 2 0 2 8
![Page 58: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/58.jpg)
FUNGSI KUBIKFungsi kubik: .
0,)( 3012
23
3 aaxaxaxaxf
![Page 59: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/59.jpg)
FUNGSI PECAH
![Page 60: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/60.jpg)
FUNGSI IRASIONAL
![Page 61: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/61.jpg)
1. y = 2x
x -2 -1 0 1 2
y 1/4 1/2 1 2 4
2. y = 2x–1 + 4
Nilai dari 2x tidak mungkin nol atau negatif. Artinya 2x > 0.
Grafik y = 2x–1 bisa di gambar dulu lalu sumbu x di geser vertikal ke bawah 4 satuan untuk mendapatkan grafik y = 2x–1 + 4
½ 4,5
x -2 -1 0 1 2
2x–1 1/8 1/4 1/2 1 2
FUNGSI EKSPONEN
![Page 62: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/62.jpg)
1. Fungsi floor (floor = lantai) : f(x) = x
x = menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari x
2. Fungsi ceiling (ceiling = langit-langit) : f(x) = x x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x
x
x
x
x
FUNGSI FLOOR DAN FUNGSI CEILING
![Page 63: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/63.jpg)
Fungsi Genap dan Ganjil
Fungsi, y = f(x) dikatakan:Genap, jika f(-x)=f(x)Ganjil, jika f(-x) = - f(x)
Contoh:Fungsi Genap
Grafik fungsi genap y = f(x) simetris terhadap sumbu y
![Page 64: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/64.jpg)
Fungsi Genap dan Ganjil
Fungsi GanjilGrafik fungsi ganjil y = f(x) simetris
terhadap titik asal.
![Page 65: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/65.jpg)
INVERS SUATU
FUNGSI
INVERS SUATU
FUNGSI
![Page 66: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/66.jpg)
Fungsi Invers dan Invers Fungsi
a b
f
g
Jika ada fungsi g sedemikian hingga a = g(b) maka fungsi f mempunyai fungsi invers. f -1(x) = g(x).
Invers suatu fungsi hasilnya tidak selalu merupakan fungsi. Jika merupakan fungsi maka invers fungsi tersebut disebut FUNGSI INVERS.
![Page 67: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/67.jpg)
FUNGSI INVERS
Suatu fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f-1 : B → A,jika dan hanya jika merupakan fungsi bijektif ( berkorespondensi satu-satu)
a.b.c.d.
.1
.2
.3
.4
.a
.b
.c
.d
1.2.3.4.
A B AB
![Page 68: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/68.jpg)
INVERS FUNGSI Misalkan f : A →B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang
mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana
f -1 : B → A. dengan kata lain,y = f(x) ↔x = f -1 (y)
Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.
A B
b=f(a)
f(a)
f -1(b)
f -1(b)=a
![Page 69: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/69.jpg)
a.b.c.
CONTOH
Diketahui fungsi ƒ sebagai berikut: A B
Ditanyakan:1. Apakah ƒ-1 ada? Mengapa?2. Carilah (ƒ-1○ƒ)(a), dan (ƒ-1○ƒ)(b)3. Apakah ƒ-1○ƒ = I?Mengapa?
.1
.2
.3
![Page 70: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/70.jpg)
1. CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibeldengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.
2. CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel.PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektifmaka ia tidak invertibel. Jadi inversnya tidak ada.
![Page 71: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/71.jpg)
Contoh
Jawab
Selidiki apakah g(x) = merupakan fungsi invers bagi f(x) = .
2x +1 x
1x 2
(g f)(x) = g(f(x)) = g = 1
x 2 1
x 2
1
x 22 + 1
=2 + x 1
x 2
1
x 2
= x = I(x)
(f g)(x) = f (g(x)) = g = 2x +1 x
1
2x +1
x
21=
2x +1 2 x
x
= x = I(x)
(g f)(x) = (f g)(x) = x = I(x), maka g(x) = 2x +1
xadalah fungsi invers dari
f(x) = 1
x 2
![Page 72: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/72.jpg)
Menentukan Rumus Fungsi Invers
1. Ubahlah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y.
2. Bentuk x sebagai fungsi y pada langkah 1 dinamai dengan f-1(y).
3. Gantilah y pada f-1(y) dengan x untuk mendapatkan f-
1(x)
f-1(x) adalah rumus fungsi invers dari fungsi f(x).
![Page 73: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/73.jpg)
ContohTentukan fungsi invers dari f(x) = 3x + 6
1
3 f 1(x) = g(x) = (x 6).
y = f(x) = 3x + 6, maka x= (y 6) 1
3
x = f 1(y) = g(y) = (y 6) 1
3
y = f 1(x) = g(x) = (y 6) 1
3
Catatan:
Untuk memeriksa kebanaran bahwa f 1(x) yang diperoleh adalah fungsi invers dari f(x), maka cukup ditunjukkan bahwa (f f)(x) = (f f 1)(x) = x = I(x).
Jawab
![Page 74: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/74.jpg)
GRAFIK FUNGSI INVERS
GRAFIK FUNGSI INVERS
![Page 75: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/75.jpg)
Grafik fungsi invers
Tidak semua fungsi memiliki invers. Ada juga fungsi yang dapat memiliki invers jika terpenuhi syarat tertentu. Grafik fungsi invers dapat digambarkan dengan cara :a.dengan menentukan fungsi inversnya
terlebih dahulu,b.melalui pencerminan terhadap fungsi
identitas I(x) = x, cara ini didasarkan pada sifat fungsi identitas yang memiliki invers tetap.
![Page 76: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/76.jpg)
Contoh Gambarlah grafik fungsi 1)( 2 xxf
Untuk semua nilai x, fungsi ini tidak memiliki invers, maka diberikan syarat dengan domain yang terbatas :
Pembahasan
RxxxD f ,0
1 2
2
4
![Page 77: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/77.jpg)
1)(
:
1
1
1
2
xxf
berarti
yx
xy
Fungsi invers untuk domain ini memenuhi :
1 2
2
4
4
12 xy
1 xy
![Page 78: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/78.jpg)
FUNGSI KOMPOSI
SI
FUNGSI KOMPOSI
SI
![Page 79: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/79.jpg)
Pengertian Fungsi Komposisi
Fungsi g memetakan x menjadi g(x), kemudian fungsi f mengolah g(x) menjadi f(g(x)). Fungsi f(g(x)) ini adalah komposisi fungsi g dan fungsi f disebut sebagai fungsi komposisi yang dilambangkan oleh (f g)(x) dengan (f g)(x) = f(g(x)).
mesin l mesin ll x g(x) f(g(x))
FUNGSI KOMPOSISI
![Page 80: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/80.jpg)
Definisi:
Misalkan diketahui fungsi-fungsi:g : A B ditentukan dengan rumus g(x)f : B C ditentukan dengan rumus f(x)maka komposisi dari fungsi g dan fungsi f ditentukan oleh rumus fungsi komposisi
(f g)(x) = f(g(x))Catatan:
Fungsi komposisi atau fungsi majemuk (f g)(x) = f(g(x)) seringkali juga disebut sebagai “fungsi bersusun” atau “fungsi dari fungsi”.
![Page 81: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/81.jpg)
x
Mesin f
f(x)
Mesin g
g(f(x))
misal :mesin fungsi f adalah f : x 2x – 4 mesin fungsi g adalah g : x x2 + 1Jika nilai x = 3 maka : mesin f akan memproses 3 sebagai f : 3 2(3) – 4 = 2 mesin g akan memproses 2 sebagai g : 2 22 + 1 = 5
Proses 2 mesin dapat diringkas menjadi proses satu mesin sebagai berikut :(g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(2x–4) = (2x–4)2+1 = 4x2–16x+17, maka (g ○ f)(2) = g(f(3)) = 4.(3)2 – 16(3) + 17 = 5
Hal yang sama berlaku untuk lebih dari dua mesin.Perhatikan bahwa urutan proses mesin diperhatikan, artinya tidak komutatif.
f ○ g ≠ g ○ f
lebih jelasnya…..
![Page 82: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/82.jpg)
Definisi:
Misalkan diketahui fungsi-fungsi:f : A B ditentukan dengan rumus f(x)g : B C ditentukan dengan rumus g(x)maka komposisi dari fungsi g dan fungsi f ditentukan oleh rumus fungsi komposisi
(g f)(x) = g(f(x))Catatan:1. Nilai fungsi komposisi (f g)(x) dan (g f)(x) untuk x = a
ditentukan dengan aturan• (f g)(a) = f(g(a))• (g f)(a) = g(f(a))
2. Fungsi komposisi (f g)(x) dan (g f)(x) disebut fungsi komposisi diri, yaitu fungsi komposisi yang disusun dari dua buah fungsi yang sama.
![Page 83: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/83.jpg)
KOMPOSISI FUNGSI Misalkan g: A B dan f: B C. Komposisi
fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A C dengan (f ◦ g)(x) = f(g(x)).
Bila f: A B dan g: D E maka fungsi komposisi f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.
A B C
⊂
g f
f◦g
![Page 84: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/84.jpg)
x A dipetakan oleh f ke y Bditulis f : x → y atau y = f(x)
y B dipetakan oleh g ke z Cditulis g : y → z atau z = g(y)
atau z = g(f(x))
A
x
C
z
B
yf g
KOMPOSISI FUNGSI
![Page 85: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/85.jpg)
A B C
x zyf g
g o f
maka fungsi yang memetakanx A ke z C
adalah komposisi fungsi f dan gditulis (g o f)(x) = g(f(x))
KOMPOSISI FUNGSI
![Page 86: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/86.jpg)
contoh 1
Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x + p dan
g(x) = 3x + 120
maka nilai p = … .
![Page 87: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/87.jpg)
Jawab:f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120
g(f(x)) = f(g(x))
g(2x+ p) = f(3x + 120)
3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p
3p – p = 240 – 120
2p = 120 p = 60
![Page 88: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/88.jpg)
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Tidak komutatif
Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif f : A→ B dan g : B→ C, maka fog ≠ gof
![Page 89: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/89.jpg)
CONTOH SOAL
Diketahui: ƒ(x)=2x + 1 dan g(x)=x2-3. Periksalah apakah (g○ƒ)(x)=(ƒ○g)(x)
Jawab:
(g○ƒ)(x) =g(ƒ(x) =g(2x+1) =(2x+1)2-3 =4x2 +4x –
2
(ƒ○g) (x) = ƒ(g(x)) = ƒ (x2-3) =2(x2-3) +
1 = 2x2 – 6 +
1 = 2x2 – 5
Dari contoh di atas ditunjukkan bahwa (g○ƒ) ≠ (ƒ○g) (x)
![Page 90: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/90.jpg)
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Assosiatif
Komposisi Fungsi bersifat asosiatif,yaitu
jika f : A → B dan g : B → C, dan h :C → D, maka h ○(g○f)=(h○g)○f
![Page 91: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/91.jpg)
CONTOHFungsi ƒ,g,dan h didefinisikan sebagai
berikut : ƒ (x) =x + 2, g (x) =3x, dan h (x)=x. Tentukan :h○(g○ƒ) dan (h○g)○ƒ (x)
![Page 92: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/92.jpg)
PENYELESAIAN
(g○ƒ) (x) =g(ƒ(x)) =g(x + 2) =3(x +2) =3x + 6 h ○(g○ƒ) (x) =h(3x + 6) =(3x + 6)2
=9x2 + 36x +36 ….1)
![Page 93: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/93.jpg)
LANJUTAN …
(h ○ g) (x) = h(g(x))
= h(3x) =(3x)2
=9x2
(h○g)○ƒ (x) =(h ○ g)(ƒ(x)) =(h ○ g)(x +2) =9(x + 2)2
=9(x2 +4x+4) =9x2 +36x +36 ….2)
Dari persamaan 1) dan 2) disimpulkan bahwa: h○(g○ƒ) (x) = ((h○g)○ƒ) (x)
![Page 94: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/94.jpg)
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Sifat IdentitasJika I (x)=x, dan f (x) adalah suatu
fungsi, maka I ○f = f○I = f
Contoh : Diketahui :I(x) = x dan f(x) = x2
+ 1. Carilah:a.(I ○f)(x)b.(f○I) (x)c.Kesimpulan apakah yang dapat
kamu kemukakan?
![Page 95: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/95.jpg)
PENYELESAIAN
a. (I○f)(x) =I(f(x) =I(x2 + 1) = x2 + 1b. (f○I)(x) =f(I(x)) =f(x) =x2 + 1c. I○f = f○I = f untuk setiap f
![Page 96: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/96.jpg)
xg(x)
x g(x)f(g(x))
g f
f(g)
Domain dari g
Domain dari f
Range dari g Range dari f
Range dari f(g)
Perhatikan diagram berikut:
![Page 97: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/97.jpg)
Syarat fungsi f dan g dapat dikomposisikan
untuk fog
Rg Df ≠ { }
D(fog) Dg
R(fog) Rf
![Page 98: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/98.jpg)
Next …
untuk gof
Rf Dg ≠ { }
D(gof) Df
R(gof) Rg
![Page 99: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/99.jpg)
Contoh
Misalkan fungsi f: R R dan g : R R di tentukan dengan aturan: f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x,Tentukan : a. (fog)(x) b. (gof)(x)
![Page 100: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/100.jpg)
.
a. Jika di tentukan f(x) = dan g(x) = 2x ,Maka dengan rumus (fog)(x) = f(g(x)) didapat
3x – 1 2x
(fog)(x) = f(g(x))=f( )=f ( )2x
= .3 - 1
(fog)(x) = 6x - 1
Penyelesaian
![Page 101: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/101.jpg)
Jawab:
Jika di tentukan f(x) = dan g(x) = 2x ,Maka dengan rumus (gof)(x) = g(f(x)) didapat
a. (gof)(x) = g(f(x))
3x – 1
=g3x – 1
)(=g (
2x
2 =
.(gof)(x) = 6x - 2
b. 3x – 1
)
.
3x – 1
( )
![Page 102: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/102.jpg)
MENENTUKAN FUNGSI
JIKA FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI
LAIN DIKETAHUI
MENENTUKAN FUNGSI
JIKA FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI
LAIN DIKETAHUI
![Page 103: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/103.jpg)
Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
f(x) dan g(x)(f g)(x) atau(g f)(x)
f (x) dan (f g)(x) f (x) dan (g f)(x) g (x) dan (f g)(x) g(x) dan (g f)(x)
g (x)
g (x)
f (x)
f (x)
DIKETAHUI DAPAT DITENTUKAN
DIKETAHUI DAPAT DITENTUKAN
ContohFungsi komposisi (f g)(x) = 2x +3 dan fungsi f(x) = 4x – 1. Jawab
f (g(x) = (f g)(x) 4 g(x) – 1 = 2x + 3 sebab f(x) = 4x – 1
4 g(x) = 2x + 4
g(x) = 2x + 44
= 12
x + 1
![Page 104: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/104.jpg)
Contoh
Misalkan fungsi Komposisi (fog)(x)= 4x - 5dan f(x) = 2x + 1,Carilah fungsi g(x)
![Page 105: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/105.jpg)
PENYELESAIANFungsi komposisi (fog)(x) = dan f(x) = 2x + 1,Maka dengan rumus (fog)(x) = f(g(x)) didapat
(fog)(x) = 4x - 5f(g(x))
= 4x - 5
f(g(x)) = 4x - 5
2 + 1 = 4x - 5
2 g(x) + 1 = 4x – 5 -
2 = 4x - 6
g(x) = 4x - 6
g(x) = 2x - 3
2 g(x)
![Page 106: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/106.jpg)
Misalkan fungsi Komposisi (fog)(x)= 4 - 2x
dan g(x) = 6x + 1,
Carilah fungsi f(x)
Contoh soal:
![Page 107: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/107.jpg)
PENYELESAIAN(f o g)(x) = 4 – 2x dan g(x) = 6x + 1
(f o g)(x) = 4 – 2x
↔ f(g(x)) = -2x + 4
↔ f(6x + 1) = -2x + 4
↔ f(6x + 1) = (-⅓(6x + 1) + ⅓) + 4
↔ f(6x + 1) = - ⅓(6x + 1) + 4⅓
karena f(6x + 1) = - ⅓(6x + 1) + 4⅓ maka
f(x) = - ⅓x + 4⅓
Jadi, fungsi f(x) =- ⅓x + 4⅓
![Page 108: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/108.jpg)
CONTOH
Diketahui fungsi (f o g)(x) = x2 – 6x + 3 dan g(x) = x - 1. Tentukan fungsi f(x)
![Page 109: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/109.jpg)
PENYELESAIAN
(f o g)(x) = x2 – 6x + 3 dan f(x) = x – 1
(f o g)(x) = x2 – 6x + 3 ↔ f(x - 1) = x2 – 6x + 3 Untuk menentukan fungsi f(x)
ada dua cara
![Page 110: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/110.jpg)
Cara 1Dari relasi f(x - 1) = x2 – 6x + 3 Ruas kiri dapat diubah menjadi
f(x - 1) = {(x – 1)2 – 2x - 1} – 6x + 3↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – 4x + 2↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – {4(x – 1) + 4} + 2↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) – 2Karena f(x - 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) – 2 maka f(x) = x2 – 4x - 2 Sehingga, f(x) = x2 – 4x - 2
![Page 111: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/111.jpg)
Cara 2
Dari relasi (x - 1) = x2 – 6x + 3 Misalkan p = x – 1 → x = p + 1Ruas kanan kita ganti variabel x dengan x = p + 1, diperoleh:f(p) = (p + 1)2 – 6(p + 1) + 3 ↔ f(p) = p2 + 2p + 1– 6p – 6 + 3↔ f(p) = p2 – 4p - 2 Jadi, f(x) = x2 – 4x - 2
![Page 112: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/112.jpg)
FUNGSI INVERS
DARI FUNGSI
KOMPOSISI
FUNGSI INVERS
DARI FUNGSI
KOMPOSISI
![Page 113: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/113.jpg)
(f g) 1Berdasarkan gambar maka dapat dinyatakan sebagai komposisi dari f 1(x) (bertindak sebagai pemetaan pertama) dan g 1(x) (bertindak sebagai pemetaan kedua).
Dengan demikian, diperoleh hubungan:
Fungsi invers dari fungsi komposisi ditentukan oleh
(f g)1(x) = (g1 f 1(x)
(g f)1(x) = (f1 g 1(x)
x y z
g f
(f g)
x y z
g 1
(f g) 1
f 1
FUNGSI INVERS DARI FUNGSI KOMPOSISI
![Page 114: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/114.jpg)
Invers dari Fungsi Komposisi
(g○ƒ)-1 (x)= (ƒ-1○ g-1)(x)
(ƒ○ g)-1 (x)= (g-1○ ƒ-1)(x)
![Page 115: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/115.jpg)
Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa fungsi invers dari komposisi fungsinya yaituDapat pula diperoleh dengan cara menentukan fungsi komposisi dan sehingga berlaku hubungan :
)()( 1 xfg
)(1 xg )(1 xf
Contoh 1,
1
1)(
x
xxfDiketahui dan 2)( xxg
)()( 1 xfg Tentukan .
)()( 1111 gffgh
![Page 116: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/116.jpg)
Pembahasan
))(()( xfgxh
1,1
32
21
1
1
1
xx
x
x
xg
2
3
3)2(
321
32
y
yx
yyx
xyyxx
xy
)()()( 1 xfgxh
![Page 117: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/117.jpg)
2,2
3)(1
xx
xxhberarti
Jika ditentukan terlebih dahulu masing – masing dan didapatkan :
)(1 xf
)(1 xg
x
xxf
y
yx
yyxx
y
xxf
1)(
1
11
11
1)(
1
2)(
2
2
2)(
1
xxg
yx
xy
xxg
![Page 118: Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102400/55c94dbabb61eb49378b45c3/html5/thumbnails/118.jpg)
LOGO
Don’t forget to review today’s topic at home …