fungsi turunan (derivatif)agus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/downloads... · contoh: •tentukan...
TRANSCRIPT
FUNGSI TURUNAN (DERIVATIF)
Definisi
Contoh:
Contoh :
Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat
Sifat-Sifat Turunan
Jika ksuatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsifungsi dalam x sehingga u = f(x) dan v =g(x) maka berlaku:
Contoh:
Contoh Diferensial Perkalian Fungsi
f(x) = (3x2
– 6x) (x + 2)
Cara 1:
Misal : U = 3x2
– 6x
U1
= 6x – 6
V = x + 2
V1
= 1
Sehingga:
f1(x) = (6x – 6)(x+2)+(3x
2+6x).1
f1(x) = 6x
2+12x – 6x – 12+3x
2 – 6x
f1(x) = 9x
2 – 12
Contoh :
Contoh Diferensial Pembagian Fungsi
4 V 1 -4x V
3 U 23x U
:Misal1-4x
23x f(x)
1
1
===
+=
+=
21
2
111
1)(4x
2)4(3x1)3(4x(x)f
V
UV -VU(x)f
:Maka
−
+−−=
=
18x16x
11(x)f
18x16x
812x312x(x)f
21
21
+−
−=
+−
−−−=
Diferensial Fungsi Komposit
Tentukan turunan dari fungsi f(x) = (5x2
– 1)2
Jawab :
f1(x) = 2(5x
2– 1) (10x)
f1(x) = 20x (5x
2– 1)
f1(x) = 100x
3– 20x
Turunan Fungsi Trigonometrik
• jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x
• jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x
• jika f(x) = tg x, maka f ’(x) = sec2 x
• jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec2 x
• jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x
• jika f(x) = cosec x, maka f ’(x) = – cosec x ctg x
Contoh:
• Tentukan turunan fungsi y = 5 cos (x2 – 1)
Jawab:
y’ = -5 sin u (2x) = -10 sin (x2 – 1)
Tentukan turunan fungsi y = sin ln x
Jawab:
y’ = (cos ln x) 1/x = 1/x cos ln x
Turunan Fungsi Siklometri• Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri
• Mencari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus)
Turunan Fungsi Logaritma
Jika y = alogx, makaaxdx
dy
ln
1=
5ln2
1
ln
1,2log
:
5 ===axdx
dyy
contoh
Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik
Jika y = alog u, dimana u = g(x), maka:
)6(
log5
)2)(3(
log5
)2(
5
2
3
log
log
)2(
5
)2(
)3()2(
)2(
)3(:misalkan
2
3log :contoh
log
22
22
−−=
+−=
+•
+
−=
•=
+=
+
−−+=
+
−=
+
−=
•=
xx
e
xx
e
x
x
x
e
dx
du
u
edx
dy
xx
xx
dx
du
x
xu
x
xy
dx
du
u
edx
dy
a
a
Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-berpangkat
Jika y = (alogu)n, dimana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka :
exxx
exx
xx
ex
dx
dy
xdx
duxu
xy
dx
du
u
e
du
dy
dx
dy a
log)5(log6
5
log)5(log30
)10(5
log)5(log3
105misalkan
)5(log :contoh
log
22
2
22
2
22
2
32
==
=
=→=
=
••=
Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier
Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x
Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5
Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier
)6(
5
)2(
5
)3(
)2(1
)2(
5
)2(
)3( :misalkan
2
3ln :contoh
1
22
2
−−=
+•
−
+=•=
+=
+
−=
+
−=
•=
xxxx
x
dx
du
udx
dy
xdx
du
x
xu
x
xy
dx
du
udx
dy
Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier-berpangkat
Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n : konstanta
Maka :
22
2
22
2
32
)5(ln6
)10(5
1)5(ln3
105misalkan
)5(ln :contoh
1
xx
xx
xdx
dy
xdx
duxu
xy
dx
du
udu
dy
dx
dy
=
=
=→=
=
••=
Turunan Fungsi Eksponensial
Contoh:
• Tentukan turunan fungsi dari y = 5x
• Jawab :
1ln sebab
juga, maka, hal Dalam
5ln5ln
=
==
==
e
edx
dyey
aadx
dy
xx
xx
Diferensasi fungsi komposit - eksponensial
• Jika y = au dimana u = g(x), maka :
dx
due
dx
dyey
xxdx
duaa
dx
dy
xdx
duxuy
dx
duaa
dx
dy
uu
xxu
x
u
==
===
=→−==
=
−−
−
maka, hal dalam : Khusus Kasus
9ln9)6()6)(9(ln9ln
643misalkan 9:Contoh
ln
4343
243
22
2
Diferensiasi fungsi kompleks
Jika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x)
Maka :
)4ln34(4
4ln1216
)3(4ln4)4(4)(
ln
3/
4/4 :misalkan ,4 :contoh
ln
23
33
33
3
22
213
1
23
1
xx
xxx
xxxxx
dx
dvuu
dx
duvu
dx
dy
xdxdvxv
dxduxuxy
dx
dvuu
dx
duvu
dx
dy
x
xx
xx
vv
x
vv
+=
+=
+=
••+•=
=→=
=→==
••+•=
+
++
−
−
−
Diferensiasi fungsi balikan
Jika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling berbalikan(inverse functions)
Maka :
3
3
1
)(3
1
3
1
/
1
,
:
/
1
3/2
3/223/12
3/13
−
=
====
==
=
y
dy
dx
yyxdxdydy
dx
yxinversnyaxy
contoh
dxdydy
dx
Soal:
... 3x4x f(x) 2) 2 =+=
...=−= 62 4x)(3x21f(x) 3)
243)()1 24 −+−= xxxxf
xxxf
4
2
1)()4
2+=
)2)(3()()5 12 −+−= xxxxf
42
44)()6
2
−
++=
x
xxxf
)32
2log()()7
−
+=
x
xxf
32 )7log()()8 −= xxf
)2
22ln()()9
−
+=
x
xxf
xxf
2sin)()10 =
Diferensiasi Implisit
• Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkindieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan mendiferensiasikansuku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari x
( )
14
2
28
42
4228
02248
tentukan ,024
:
22
2
2
22
+
−=
+
−=
−=+
=+−+
=+−
xy
yx
xy
yx
dx
dy
yxdx
dyxy
dx
dyxy
dx
dyxy
dx
dyyxxy
contoh
Diferensiasi Implisit
Contoh:
• Tentukan turunan implisit dari 2x – 2y + sin (xy) = 5
Contoh:
Contoh:
Contoh:
Contoh:
Contoh:
Contoh:
Turunan Tingkat Tinggi
Turunan Fungsi Parameter
• Apabila disajikan persamaan berbentuk:
x = f(t)
y = g(t)
• maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai berikut.
• Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi
y = g(t)
= g(h(x))
Contoh:
Contoh:
Soal:
• Tentukan turunan fungsi implisit dari 2x3 y – 7y – x2 + 1 = 0
• Tentukan turunan fungsi implisit dari
• Tentukan turunan kedua dari fungsi parameter :
• x = t + t3
• Y = 3t – 2t2