60

Def . : Sei ( r,

-2, µ ) ein Mapraum .

° For eine mep bare Funk lion fir - stop ] unit Flt ) µ ( deer I first ) )

heifbt

If d , fufu pride ) !°

FH dt

Lebesgue - Integral d f Lebesgue integrin bar falls If dir too.

^ n

~I I

,l l

y.i ' .

! I I I

, l I I

l,

I II

,' I

! ,I I

: . . y I I I Iy

Riemann - Integral i

Lebesgue - Integral : Unter tei lungUuterteilung im Def . bereich

im Wertebereich

° 1st firs Cl mepbw,

dann ist das Lebesgue- Integral definiert als

{ f din : : §I Ret )+ dir - § I Ref )

. din i i µIm f)+ din - i ! ( Imf )

. din

wobei ( . - . It und L . . .)

.

den pos .

btw.

hey .

Ankit

bezeichnen and jewels

nicht bei de • sein diirfen .

•fir - s a heipt iutegrierbar L . - absolut Lebesgue integrin bar )

,

wenn I Ifl din -- a

.

• 1st A er mepbw ,damn defier en wir ! fdr ! Yale ) feel plan ,

Zak f ! ' " A

D

Bem : ° Feistiest wegen Mepbwkeit und das Riemann - Integral ! Flt ) It E Ruta ) wegen

Monotonic von F.

• 1st f --

g fast irberak,

dawn gilt If din .

- Jgdirr r

• Andre gebroiuchliche Sch - eibweiseu fir /fdp sindir

If oder / fun dirt -4

r r

61

• 1st f : R"

→ 6 ( uueig . ) absolut Riemann integrierbw ,dann gilt :

Riemann- Integral = Lebesgue -

Integral

unit R : IR"

,I :B

, p= Lebesgue - Map .In Folgenden meint daher

/ fcxldx is¥ fix ) pldx ) stets does Lebesgue - Integral .

oo

1, xe Q

• 1st flx ) : fo , son ,+ ,

dann gilt Flt ) = 0 and somit ) flxsdx = 0.

0

Das Riemann . Integral existiutdagcgennieht.

• Fur Lebesgue-

Integrate gelteu die inbliden Rechenregeln / Eignsohaften ,wie

Linear ' tat oder µfdµ / ± f. lfl dµ .

Dwiberhinans gilt do

Transformation ssatz and :

Satz : Sei ( R,

Z, µ ) ein beliebigw Mapraum .

Dann gilt :

( i ) ( Satz non der honotouen kouvergenz )

Sind Oe f. If ,e.

. . mepbwe Funkkonen fn : R → [ 0

, a ],

dann ist

KY.

frfndr :

ftp.fndrcxi( ii ) ( Satz von der Majorisivteu konvergeuz )

Sind { fu : R→ e)new

mepbw and so,

class hniszfn bzgl . In fast iberak

existent and es line integrierbwe Fkt. g.

R → [ o, a ] gibt , so dass th :

lfuig ,dann gilt Lee ) ebeufalls .

62

Satz ( Fubini ) .

1st f : Bmx IR"

- s e integrierbar ,

dann gilt :

( i ) IR"

ox, us flea , ez ) ist fir fast alle rye IR

"

integriesbw .

( ii ) x,

t s fam fkn . x

,) de

, ist integrin bar

( iii )

# µ

flair ) dune .) = ↳ I ↳ final de

. ) dr Let

Bem. i Natur Lich gilt all dies auch far x

,

⇒ x,

• Far weep bare Funktioueu f : Rmx IR"

→ to , a ] gilt e- ) eben falls.

G-gfs . sind damn bride Sei ten a .

• Beispiele auf 112×112,

fur die die Vutomschbwkeit der Integrations reihenfolge nicht gilt :

Y

n

at• 7

O •

•

- n

y- 2

-

y-2

- 7+7- 7 t 7

'-

ot 7

o -

0I I > x I > Xo . O 7

D) ( fley ) dx ) dy = 1 !"

( do

"

Hey ) dx ) dy :O aberO

aber )! ( )! fley ) dy ) dx .

_ O !"

( fley ) dy ) dx : login

• Der Sate von Tonelli besagt ,dass fir L * ) ansreicht

,dass

eines der itvivten Integrate fir If I existent und end.

ist.

63

Def . : Sci ( R,

-2, µ ) ein Mapraum .

. LP ( R ) :=f

fir→ ¢ mepbw / ) Ifk

)lPp(dx

)e a } fir ptk ,

a )

r

o Lo ( r ) :-. T

fir→ Clmepbw / Teen : lflxslec fast iberall ]

° H

ftp:///fwlPplu)%ferpeLn.oo

)r

° HfH•i= int 4 a- R / Ifkllec fast iberall }

Bem . : o

LPCR)

,pettoo ] ist ein E- Vektorraum

°

Yoga Hfllp = HFH .V.

ps

q wenn fe Lol R ) nL9( r )

o 1st dasvuweudete Mapp does Zoihlmap ,so signalisivt man dies in

der Notation und schreibt LPLR) stout LPLR ).

1st dwibuhinans

R = NV und E = PCN ),schrcibt man LP

.

• H . up ist eine Halbnorm auf LP ( R ) fir pE[ 1. oo ].

D.h . fer alle f.ge LP ( R ) und xtc gilt :

( i ) Hxfllp = 14 Hfllp , , Homogenitint"

1 ii ) Hftg Hp e Hfllptllgllp , .

A - Ungl .

"

Zur Norm fehlt :

( iii ) Hfllp = 0 ⇒ f=O

Denn

stattf=ogilt dies uur fast inbvall

, wie does folgendeLemma zigt .