funktionalgleichungen im gebietekalkül und umformungsmöglichkeiten im relativkalkül

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Funktionalgleichungenim Gebietekalkül undUmformungsmöglichkeiten imRelativkalkülLeopold Löwenheim aa Berlin-LankwitzPublished online: 07 Nov 2007.

To cite this article: Leopold Löwenheim (2007) Funktionalgleichungen im Gebietekalkül undUmformungsmöglichkeiten im Relativkalkül, History and Philosophy of Logic, 28:4, 305-336, DOI:10.1080/01445340701546351

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Funktionalgleichungen im Gebietekalkul undUmformungsmoglichkeiten im Relativkalkul

LEOPOLD LOWENHEIM

Berlin-Lankwitz

Einleitung

Die vorliegende Arbeit benutzt anstatt der ublichen Peano-Russellschen Zeichendie Peirce-Schroderschen Zeichen. Ich bedaure es aus mehr als einem Grunde schwer,daß man von denselben abgewichen ist und Zeichen benutzt, in denen ausbestimmten, m. A. n. nicht stichhaltigen Grunden die sonst selbstverstandlicheHarmonie und Schonheit der Mathematik preisgegeben wurde, wodurch dieForschung ziemlich einseitig in eine bestimmte Richtung gedrangt wurde (in derfreilich Hochbedeutendes geleistet wurde), wahrend beim Peirce-SchroderschenKalkul auf Schonheit besonderer Wert gelegt und mit wunderbarer Instinkt-sicherheit gerade das mathematisch Bedeutsame und Fruchtbare getroffen wurde. Ichbin der Uberzeugung, daß in Wissenschaft und Technik das Zweckmaßige immerauch zugleich das Schone ist. Mit Russells Zeichen hatte ich manches nicht entdeckt,was ich gefunden habe, und besaße jedenfalls nicht meine große Kalkulfreudigkeit.Ungunstige Zeichen lahmen die Produktivitat. Der heutige Logikkalkul entbehrtdaher m. A. n. jeder Eleganz und Geschmeidigkeit. Daß dies ganz und gar nicht inder Natur der Sache liegt, soll diese Arbeit von neuem zeigen, nachdem meinefruheren Bemuhungen, bestimmte Teile des Kalkuls flussiger, geschmeidiger zuhandhaben, unbeachtet geblieben sind. Man wird hoffentlich bemerken, daß imPeano-Russellschen Kalkul manche Untersuchungen einen wesentlichen Teil ihresReizes verlieren wurden. In einer Beziehung schließe ich mich abweichend vonSchroder dem heute ublichen Kalkul an: Ich deute Relativkoeffizienten als Aussagenund schreibe sie daher mit großen Buchstaben. Dementsprechend setze ich wahreAussagen¼ _1, falsche¼ _0.

Die Arbeit zerfallt in zwei Teile. Im ersten Teil wird ein allgemeines Verfahren zurLosung von Funktionalgleichungen angegeben, das u. a. auch auf gewisse einfacheGleichungen des allgemeinen Matrizenkalkuls, speziell des Relativkalkuls,angewendet wird. Der zweite Teil ist gewissermaßen eine Fortsetzung meinerfruheren Abhandlung1 und bringt zunachst einige Satze des allgemeinenRelativkalkuls und dann den Nachweis, daß das im ersten Teil fur einfacheMatrizengleichungen (Relativgleichungen) geloste Problem sich fur die nachstkomplizierteren Gleichungen nicht losen laßt.

1 L. Lowenheim,

‘‘

Uber Moglichkeiten im Relativkalkul‘‘, Math. Ann. 76 (1915), S. 447–470, issue 4.

HISTORY AND PHILOSOPHY OF LOGIC, 28 (November 2007), 305 – 336

History and Philosophy of Logic ISSN 0144-5340 print/ISSN 1464-5149 online ª 2007 Taylor & Francishttp://www.tandf.co.uk/journals DOI: 10.1080/01445340701546351

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Teil I

1. Reproduktive Losungen.2 Gesucht seien z. B. 2 Funktionen f(x, y, z), g(x, y, z),welche der Funktionalgleichung

Fðf; gÞ ¼ 1 ð1Þ

genugen. Die Verallgemeinerung fur mehr Variable bietet keine Schwierigkeit. (Ichhalte es abweichend von Schroder fur zweckmaßig, die Gleichungen auf 1 und nicht,wie ich fruher getan habe, auf 0 zu bringen). f und g durfen in (1) mit beliebigenArgumenten auftreten, z.B. in den Formen f(y, z, x), f(x, x, x), f(a, x, y), f(a, b, c)usw., wo a, b, c Konstante sind; auch durfen x, y, z in F explizite vorkommen; z.B.darf F(f, g): x f(x, y, z), g(y, z, a) sein. Auch durfen f, g selbst wieder als Argumenteauftreten, z.B. darf Fðf; gÞ � f fðx; y; zÞ; gðy; 1; 0Þð Þ sein. Wir wollen annehmen, daß inF nur die 3 Argumente x, y, z als letzte Variable vorkommen (d. h. als solcheVariable, die nicht selbst wieder als Funktion anderer Variablen auftreten).

f0(x, y, z), g0(x, y, z) sei Partikularlosung von (1). j(x, y, z), c(x, y, z) seienwillkurliche Funktionen. Setzt man in F(j, c) fur die 3 letzten Argumente x¼ a,y¼ b, z¼ c ein, so moge der so entstehende Ausdruck mit Fabc(j, c) bezeichnetwerden. Setzt man noch zur Abkurzung

F ¼ F111ðj;cÞ þ F110ðj;cÞ þ F101ðj;cÞ þ . . .þ F000ðj;cÞ; ð2Þ

so lautet eine reproduktive Losung von (1):

fðx; y; zÞ ¼ f0ðx; y; zÞFþ jðx; y; zÞFgðx; y; zÞ ¼ g0ðx; y; zÞFþ cðx; y; zÞF:

�ð3Þ

Das laßt sich, da aus dem Verifikationssatz �F � Fðj;cÞ ¼ �F folgt, ebensobeweisen wie die Richtigkeit der von mir aufgestellten reproduktiven Losung einerbeliebigen gewohnlichen Gebietsgleichung, und ohne weiteres fur eine beliebigeAnzahl von Funktionen und Variablen verallgemeinern.

Besonders haufig ist der Fall, wo f0¼ 1, g0¼ 1 eine Partikularlosung von (1) ist.Dann vereinfacht sich (3) zu

fðx; y; zÞ ¼ jðx; y; zÞ þ Fgðx; y; zÞ ¼ cðx; y; zÞ þ F:

�ð4Þ

Ist dagegen z.B. f0¼ 1, g0¼ 0 eine Partikularlosung, so wird aus (3)

fðx; y; zÞ ¼ jðx; y; zÞ þ �Fgðx; y; zÞ ¼ cðx; y; zÞ �F:

�ð40Þ

Das Ergebnis uberrascht durch seine Einfachheit, da ja F eine Konstante ist, dieman durch (2) oder durch Einsetzen von (4) in (1) ermitteln kann.

2 Ich muß in Teil I die Kenntnis meiner Abhandlungen:

‘‘

Uber die Auflosung von Gleichungen im logischen

Gebietekalkul‘‘, Math. Ann. 68 (1910), S. 169–207, und

‘‘

Uber Transformationen im Gebietekalkul‘‘, Math. Ann. 73

(1913), S. 245–272, als bekannt voraussetzen. Ich nannte dort x¼j(u, v, . . .), y¼c(u, v, . . .), . . . eine ‘‘

reproduktive

Losung‘‘ von F(x, y, . . .)¼ 1, wenn sie 10 fur beliebige Werte der

‘‘

arbitraren‘‘ Parameter u, v, . . . eine Losung von

F¼ 1 ist, und wenn 20 fur jede Losung x0, y0, . . . von F¼ 1 x0¼j(x0,y0, . . .), y0¼c(x0, y0, . . .) ist.

306 Leopold Lowenheim

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Zur bequemen Berechnung von F wollen wir eine Bezeichnung einfuhren, die ichauch sonst nutzlich gefunden habe. Wir setzen:

a � bj j ¼ �aþ b ðlies: ,,Bereich von a � b‘‘Þa � b � cj j ¼ a � bj j b � cj j usw:a ¼ bj j ¼ abþ �a�ba ¼ b ¼ cj j ¼ a ¼ bj j b ¼ cj j usw:;

8>><>>: ð5Þ

sodaß

a ¼ 1j j ¼ aa � bð Þ ¼ ja � bj ¼ 1ð Þa ¼ b ¼ cj j ¼ abcþ �a�b�c; a ¼ b ¼ c ¼ dj j ¼ abcdþ �a�b�c�d; usw:

8<: ð6Þ

Fur manche Zwecke empfiehlt sich die fruher von mir benutzte Bezeichnung vonab (lies:

‘‘

a in b‘‘) fur abþ �a�b mehr als (5), und ich werde sie gelegentlich beibehalten,aber nur da, wo nicht disjunktive Gebiete durch obere Indizes gekennzeichnetwerden. Es ist dann a1 ¼ a; a0 ¼ �a.

Hat nun die vorgelegte Funktionalgleichung die Form

Gðf; gÞ ¼ Hðf; gÞ;

so ist in (1) fur F jG¼Hj einzusetzen, und es wird nach (2), da �a ¼ b�� ¼

a ¼ �b�� ¼ �a ¼ bj j ist,

F ¼��G111ðj;cÞ ¼ H111ðj;cÞ

��þ ��G110ðj;cÞ ¼ H110ðj;cÞ��

þ . . .þ��G000ðj;cÞ ¼ H000 j;cð Þ

��:2. Die Schroderschen Beispiele. Schroder lost in seiner Algebra der Logik Bd. II x

55 mehrere Funktionalgleichungen, indem er z.B. fur zwei zu berechnendeFunktionen f(x, y), g(x, y) ansetzt3:

fðx; yÞ ¼ ½p; q; r; s�xy; gðx; yÞ ¼ ½a; b; c; d�xy

und dann die vereinigte Gleichung aller derjenigen Beziehungen zwischen deneingefuhrten Koeffizienten p, q, r, s, a, b, c, d aufstellt, welche bestehen mussen, wennf und g der vorgelegten Funktionalgleichung genugen sollen. Diese vereinigteGleichung, auf 0 gebracht, nennt er die

‘‘

Charakteristik‘‘ der Funktionalgleichung.Wir werden nun zeigen:

Die linke Seite der Schroderschen Charakteristik stimmt formal mit der KonstantenF uberein, und da deren Berechnung die einzige auszufuhrende rechnerische Arbeitist, so ist alle Rechnung, die bei Schroder noch nach Aufstellung der Charakteristikfolgt, unnotig.

3 Ich habe a. a. O. die Abkurzung eingefuhrt:

½a; b; c; d�xy ¼ axyþ bx�yþ c�xyþ d�x�y;

½a; b; c; d; e; f; g; h�xyz ¼ axyzþ bxy�zþ cx�yzþ dx�y�zþ e�xyzþ f�xy�zþ g�x�yzþ h�x�y�z:

Gebietekalkul und Relativkalkul 307

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(a) Wir wollen das an einem der Schroderschen Beispiele erlautern, namlich ander allgemeinsten Gebietefunktion f(x, y), welche dem assoziativen Gesetz genugt,d.h. fur die

f x; fðy; zÞð Þ ¼ f fðx; yÞ; zð Þ ð1Þ

ist. f¼ 1 ist Partikularlosung, also ist (4) anwendbar. Es ist zu setzen

FðfÞ ¼ fðx; fðy; zÞÞ ¼ fðfðx; yÞ; zÞj j: ð2Þ

Fur die willkurliche Funktion j setzen wir an

jðx; yÞ ¼ ½p; q; r; s�xy; ð3Þ

sodaß

FðjÞ ¼ ½p; q; r; s�x;½p;q;r;s�yz ¼ ½p; q; r; s�½p;q;r;s�xy;z�� : ð4Þ

p, q, r, s haben also hier eine andere Bedeutung als bei Schroder, (hier sind eswillkurliche, bei Schroder dagegen die gesuchten Gebiete), und doch haben wir hierdieselben Gleichungen aufzustellen wie Schroder. Wir haben ja zur Berechnung vonF zunachst

F111ðjÞ ¼ ½p; q; r; s�1;½p;q;r;s�11 ¼ ½p; q; r; s�½p;q;r;s�11;1�� ð5Þ

und dann F110ðjÞ;F101ðjÞ; . . . ;F000ðjÞ auszurechnen. Schroder dagegen hat aus derGleichung

½p; q; r; s�x;½p;q;r;s�yz ¼ ½p; q; r; s�½p;q;r;s�xy;z; ð6Þ

die fur beliebige x, y, z gelten soll, p, q, r, s auszurechnen und tut es, indem er linksund rechts nach x, y, z entwickelt, die gleichnamigen Koeffizienten gleichsetzt, dieentstehenden Gleichungen auf 0 bringt und p, q, r, s ausrechnet. Wir wollen zeigen,daß diese sehr langen Entwicklungen uberflussig sind.

Schroder findet z.B. durch Vergleichung der Koeffizienten von x, y, z dieGleichung pþ r¼ pþ q oder �pðq�rþ �qrÞ ¼ 0. Man kann diese Gleichung auch finden,indem man (6) auf 0 bringt und x¼ y¼ z¼ 1 setzt. Die linke Seite �pðq�rþ �qrÞ erhaltman aber auch, wenn man in dem Ausdruck (4) von F(j) x¼ y¼ 1 setzt und dasNegat bildet. Diese linke Seite ist also nichts anderes als F111ðjÞ. Die Werte vonF111ðjÞ;F110ðjÞ; . . . ;F000ðjÞ sind auszurechnen, indem man

½p; q; r; s�11 ¼ p; ½p; q; r; s�10 ¼ q; ½p; q; r; s�01 ¼ r; ½p; q; r; s�00 ¼ s

einfuhrt, z.B.

F111ðjÞ ¼ ½p; q; r; s�1p ¼ ½p; q; r; s�p1�� ¼ pþ r ¼ pþ qj j

¼ �pðq�rþ �qrÞ ¼ 0j j ¼ �pðq�rþ �qrÞ;


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was Schroder¼ 0 setzt. Ebenso kann man �F110ðjÞ ¼ �ps ausrechnen und bei Schroderdie Gleichung �ps ¼ 0 finden, usw. Durch Addition der gefundenen Ausdrucke ergibtsich nach (2) schließlich

F ¼ �psþ ð�pþ sÞðq�rþ �qrÞ;

wahrend bei Schroder dieser Ausdruck,¼ 0 gesetzt, die

‘‘

Charakteristik‘‘ ist, d. h. dieBedingungsgleichung fur p, q, r, s. Es ist nun nicht notig, die Gleichung F¼ 0 nach p,q, r, s aufzulosen, wie Schroder es tut, denn nach x 1, (4) ist

jðx; yÞ þ F ¼ ½p; q; r; s�xy þ �psþ ð�pþ sÞðq�rþ �qrÞ

die allgemeinste Gebietefunktion, welche das assoziative Gesetz erfullt.Sonderfall: xyþ qxþ ry; einfachste Falle ohne kommutatives Gesetz: xþ ry,x(yþ q).

(b) Distributiver Zusammenhang. Es soll sein

x � ðy y zÞ ¼ ðx � yÞ y ðx � zÞ:

Da x � y : 1, x { y : 1 eine Partikularlosung ist, kann man nach (4) ansetzen:

x � y ¼ jðx; yÞ þ F ¼ ½p; q; r; s�xy þ F;

x y y ¼ jðx; yÞ þ F ¼ ½a; b; c; d�xy þ F:

Schroder stellt die Charakteristik auf

�aðpqþ rsÞ þ ðadþ �a�dþ bcþ �b�cÞð�pqþ �rsÞ þ dð�p�qþ �r�sÞ ¼ 0;

getraut sich aber nicht, dieselbe nach p, q, r, s, a, b, c, d aufzulosen, wie es seineMethode verlangt. Wir haben es nicht notig, sondern konnen gleich die allgemeinstedistributive Knupfung hinschreiben:

x � y ¼ ½p; q; r; s�xy þ �aðpqþ rsÞ þ ðadþ �a�dþ bcþ �b�cÞð�pqþ �rsÞ þ dð�p�qþ �r�sÞ:x y y ¼ ½a; b; c; d�xy þ �aðpqþ rsÞ þ ðadþ �a�dþ bcþ �b�cÞð�pqþ �rsÞ þ dð�p�qþ �r�sÞ:

(c) Die Knupfung, welche dem Gesetz

ða � bÞ � ðb � cÞ ¼ a � c

genugt, erwahne ich noch, weil sich Schroders Charakteristik psþ �p�s ¼ qrþ �q�rauf eine elegante Form bringen laßt, namlich ps¼ qr, oder jps¼ qrj ¼ 1, oderðpsÞqr ¼ 0, oder pq

rs ¼ 0.Dies ist, was Schroder entgangen ist, symmetrisch in Bezug auf p, q, r, s, kann

also auch z.B. in der Form pqþ �p�q ¼ rsþ �r�s geschrieben werden. Die gesuchteKnupfung ist

x � y ¼ ½p; q; r; s�xy þ pqrs :


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Ich will endlich noch ohne Herleitung allgemeine Losungen einiger Funktional-gleichungen geben, wobei ich wie a. a. O.

aþc b ¼ abþ acþ bc ðlies: ,,plus in c‘‘Þ

setze, also insbesondere a þ1 b¼ aþ b, a þ0 b¼ ab. Durch die Bezeichnungen, ab,a þc b wird die starre Polaritat zwischen a, �a und zwischenþ und � aufgelockert unddie Gegensatze ineinander ubergefuhrt:

fðxþ yÞ ¼ fðxÞ þa fðyÞ: L€osung : fðxÞ ¼ aþ bxa

fðxyÞ ¼ fðxÞ þa fðyÞ L€osung : fðxÞ ¼ aþ b�xa

f ½a; b; c; d�xy� �

¼ fðxÞ þa fðyÞ: L€osung : 1Þ fðxÞ ¼ uvþ a�dðbacauxþ �ba�cav�xÞ

2Þ fðxÞ ¼ uxþ v�xþ ð�aþ �ba þ �ca þ dÞu�v

þ ð�aþ ba þ ca þ dÞ�uv:

3. Anwendung auf Transformationen. Um ein Beispiel fur die folgendenAuseinandersetzungen zu haben, suchen wir eine Transformation

u ¼ fðx; y; zÞ; v ¼ gðx; y; zÞ; w ¼ hðx; y; zÞ; ðSÞ

welche zweimal hintereinander angewendet sich reproduziert, so daß also SS¼S istoder

fðf; g; hÞ � f; gðf; g; hÞ � g; hðf; g; hÞ � h: ð1Þ

Wir konnten wie fruher verfahren, kommen aber mit weniger Rechnung zudurchsichtigeren Ergebnissen, wenn wir die zugehorige Disjunktivtransformationbenutzen. Diese bestehe aus den disjunktiven (zu f, g, h zugehorigen) Funktionen f 1,f 2, . . . , f 8.4

Den 3 Funktionalgleichungen (1) sind aquivalent

f nðf 1; f 2; . . . ; f 8Þ ¼ f n ðn ¼ 1; 2; . . . ; 8Þ: ð2Þ

Diese aber sind vollkommen ersetzbar durch

f nðf 1; f 2; . . . ; f 8Þ � f n ðn ¼ 1; 2; . . . ; 8Þ; ð3Þ

oder durch

f n � f nðf 1; f 2; . . . ; f 8Þ ðn ¼ 1; 2; . . . ; 8Þ: ð4Þ

4 Als die zu 2 Gebieten x, y

‘‘

zugeordneten‘‘ disjunktiven Gebiete betrachtete ich a. a. O.: x1 ¼ xy; x2 ¼ x�y; x3 ¼ �xy;

x4 ¼ �x�y; zu 3 Gebieten x, y, z sind

‘‘

zugeordnet‘‘: x1 ¼ xyz; x2 ¼ xy�z;x3 ¼ x�yz;x4 ¼ x�y�z; x5 ¼ �xyz; x6 ¼ �xy�z;

x7 ¼ �x�yz; x8 ¼ �x�y�z, usw.


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In der Tat, wenn (3) gilt, so folgt durch Addition dieser Gleichungen fur n¼ 2,3, . . . , 8 wegen f71¼ f 2þ f 3þ . . .þ f 8, daß auch

f 1ðf 1; f 2; . . . ; f 8Þ � f �1;

was kontraponiert (4) gibt, also mit (3) zusammen (2), wzbw. Ebenso folgt aus (4)allein (2). Allgemein:

In einem Gleichungssystem, in dem die linken sowie die rechten Seiten disjunktivsind, kann man die Gleichungen durch Subsumtionen ersetzen.

Dies ist ein wesentlicher Vorteil bei der Anwendung von Disjuntivtrans-formationen.

Da nun f 0¼ g0¼ h0¼ 1 Partikularlosung von (1) ist, so ist f 10 ¼ 1;f 20 ¼ f 30 ¼ . . . ¼ f 80 ¼ 0 Partikularlosung von (2), (3) und (4).

Zur Berechnung von F dient folgende allgemeine Bemerkung: Sei die zu losendeFunktionalgleichung

Fðf; g; hÞ ¼ 1

aquivalent der Gleichung

Gðf 1; f 2; . . . ; f 8Þ ¼ 1

und seien den Variablen x, y, z, die in F vorkommen, die disjunktivenVariablen x1, x2, . . . , x8 zugeordnet, welche in G vorkommen; seien fernerden arbitraren Funktionen j(x, y, z), c(x, y, z), w(x, y, z) zugeordnet j1(x1,x2, . . . , x8), j2(x1, x2, . . . , x8), . . . , j8(x1, x2, . . . , x8), und sei Gn(j) der Wert,welcher entsteht, indem man in G(j1, j2, . . . , j8) einsetzt xn¼ 1, also xm¼ 0 fur m 6¼ n.Dann ist

F111ðj;c; wÞ ¼ G1ðjÞ; F110ðj;c; wÞ ¼ G2ðjÞ; . . . ; F000ðj;c; wÞ ¼ G8ðjÞ;

also, nach x1,(2)

F ¼ G1ðjÞ þ G2ðjÞ þ . . .þ G8ðjÞ:

Denn die Aquivalenz von F und G bedeutet, daß

Fðj;c; wÞ ¼ Gðj1;j2; . . . ;j8Þ;

wenn man j1 ¼ jcw;j2 ¼ jc�w; . . . ;j8 ¼ �j�c�w setzt, und da fur x1¼ xyz,x2 ¼ xy�z, . . . die Aussage x¼ y¼ z¼ 1 identisch ist mit (x1¼ 1)(x2¼ x3¼ . . .¼ 0), sofolgt F111(j, c, w)¼G1 (j), usw.

Ist ubrigens f 10; f20; . . . ; f 80 Partikularlosung von G¼ 1 und sind j1, j2, . . . ,j8

willkurliche disjunktive Funktionen, so ist

f k ¼ f k0Fþ jk�F ðk ¼ 1; 2; . . . ; 8Þ

eine reproduktive Losung von G¼ 1.


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Ist also fk¼ 1, f l0 ¼ 0 fur l 6¼ k Partikularlosung von G¼ 1, so ist

f k ¼ jk þ F; f l ¼ jl �F

eine reproduktive Losung fur l 6¼ k.Das alles gilt naturlich auch fur beliebige Anzahlen der gesuchten Funktionen

und der gesuchten Variablen, und diese beiden Anzahlen brauchen auch nichtubereinzustimmen.

In unserem Beispiel ist

Fðf; g; hÞ � fðf; g; hÞ ¼ fj j gðf; g; hÞ ¼ gj j hðf; g; hÞ ¼ hjj

� Gðf1; f2; . . . ; f8Þ �Y8n¼1

fnðf1; f2; . . . ; f8Þ ¼ f n��

¼Y8n¼1

fn � fnðf1; f2; . . . f8Þ�� :

Wir setzen nun an

jnðx1; x2; . . . ; x8Þ ¼ an1x1 þ an2x

2 þ . . .þ an8x8 ðn ¼ 1; 2; . . . ; 8Þ:

Dann ist

Gðj1;j2; . . . ;j8Þ �Qnjan1x1 þ an2x

2 þ . . .þ an8x8

� an1ða11x1 þ a12x2 þ . . .þ a18x

8Þ þ an2ða12x1 þ a22x2 þ . . .þ a82x

8Þþ . . .þ an8ða81x1 þ a82x

2 þ . . .þ a88x8Þj;

F ¼Xm

GmðjÞ �Xnm

anm � an1a1m þ an2a

2m þ . . .þ an8a

8m

�� ¼Xmn

anm � anmðan1a1m þ an2a2m þ . . .þ an8a

8mÞ

�� ;also wegen anma

km ¼ 0 fur k 6¼ v:

F ¼Xmn

anm � annanm

�� ¼Xmn

anm�ann:

Man kann dafur auch schreiben

F ¼Xm 6¼n

�ammamn :

Ist nun

jðx; y; zÞ ¼ ½a1; b1; . . . ; h1�xyzcðx; y; zÞ ¼ ½a2; b2; . . . ; h2�xyzwðx; y; zÞ ¼ ½a3; b3; . . . ; h3�xyz;


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so ist

a11 ¼ a1a2a3; a21 ¼ a1a2�a3; . . . ; a81 ¼ �a1�a2�a3a12 ¼ b1b2b3; a22 ¼ b1b2 �b3; . . . , a82 ¼ �b1 �b2 �b3

. . . . . . . . . ; . . .

a18 ¼ h1h2h3; a28 ¼ h1h2 �h3; . . . ; a88 ¼ �h1 �h2 �h3:

F ¼ �a11ða12 þ a13 þ . . .þ a18Þ þ �a22ða21 þ a23 þ . . .þ a28Þþ . . .þ �a88ða81 þ a82 þ . . .þ a87Þ

¼ ð�a1 þ �a2 þ �a3Þðb1b2b3 þ c1c2c3 þ . . .þ h1h2h3Þþð�b1 þ �b2 þ �b3Þða1a2�a3 þ c1c2�c3 þ . . .þ h1h2 �h3Þþ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

þð�h1 þ �h2 þ �h3Þð�a1�a2�a3 þ �b1 �b2 �b3 þ . . .þ �g1�g2�g3Þ;

und damit ist nach x1,(4) die Aufgabe gelost.Besteht die Transformation S nur aus einer Funktion

fðxÞ � axþ b�x;

so ergibt die Bedingung SS¼S, daß f(f(x))¼ f(x) ist, d. h.

aðaxþ b�xÞ þ bð�axþ �b�xÞ ¼ axþ b�x;

also fur x¼ 1 und x¼ 0

aþ b ¼ a; ab ¼ b:

Beide Gleichungen ergeben dasselbe, namlich b \ a. Also ist jf(f(x))¼ f(x)j eineKonstante, namlich jb \ aj, und jede Funktion f(x) befriedigt die Funktionalglei-chung fur alle x oder fur kein x.

Nehmen wir jetzt noch ein Beispiel mit 2 Transformationen. Wir wollen dieallgemeinsten beiden Transformationen S, T suchen, welche vertauschbar sind,sodaß also ST¼TS. Den S, T seien S0, T0 zugeordnet, und diese seien:

y1 ¼ a11x1 þ a12x

2 þ . . .þ a1nxn

y2 ¼ a21x1 þ a22x

2 þ . . .þ a2nxn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .y8 ¼ a81x

1 þ a82x2 þ . . .þ a8nx

n;

8>><>>: ðS0Þ

y1 ¼ b11x1 þ b12x

2 þ . . .þ b1nxn

y2 ¼ b21x1 þ b22x

2 þ . . .þ b2nxn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .y8 ¼ b81x

1 þ b82x2 þ . . .þ b8nx

n:

8>><>>: ðT 0Þ

Die Vertauschbarkeit fordert

am1ðb11x1 þ b12x2 þ . . .þ b1nx

nÞ þ am2ðb21x1 þ b22x2 þ . . .þ b2nx

nÞþ . . .þ amnðbn1x1 þ bn2x

2 þ . . .þ bnnxnÞ

¼ bm1ða11x1 þ a12x2 þ . . .þ a1nx

nÞ þ bm2ða21x1 þ a22x2 þ . . .þ a2nx

nÞþ . . .þ bmnðan2x1 þ an2x

2 þ . . .þ annxnÞ ðm ¼ 1; 2; . . . ; nÞ:


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Nach dem Verifikationssatz gilt dies allgemein, wenn es fur xn¼ 1(n¼ 1, 2, . . . , n)gilt, wenn also

am1b1 þ am2b

2n þ . . .þ amnb

nn ¼ bm1a

1n þ bm2a

2n þ . . .þ bmna

nn ðm; n ¼ 1; 2; . . . ; nÞ:

Wieder kann¼ durch \ ersetzt werden. Die letzten Gleichungen geben dann, auf0 gebracht und vereinigt, zufolge des NegationstheoremsX

mn

ðam1b1n þ am2b

2n þ . . .þ amnb

nnÞð�b

m1a

1n þ �bm2a

2n þ . . .þ �bmna

nnÞ ¼ 0;

oder ausmultipliziert Xklmn

amkbkn

�bmlaln ¼ 0;

oder wegen �bml ¼P

R 6¼m bRl ¼

PR 00Rmb

RlX

klmnR

alnbRl00Rma

mkb

kn ¼ 0

(wo wie bei Schroder 00Rm ¼ 1 fur R¼ m, 00Rm ¼ 0 fur R 6¼ m, gesetzt ist). Dies ist dieSchrodersche Charakteristik; folglich ist

F ¼XklmnR

alnbRl00Rma

mkb

kn ;

wo jetzt die a und b willkurliche Parameter sind. Die Indizes bilden bei dieserSchreibweise eine in sich geschlossene Kette, und die Faktoren sind um den mittleren00Rm in symmetrischer Weise angeordnet.

Suchen wir nun zwei gewohnliche vertauschbare Transformationen, etwa mit 3Funktionen und 3 Variablen, und sind

an; bn; . . . ; hn ðn ¼ 1; 2; 3Þan; bn; . . . ; #n

48 willkurliche Parameter, so setzen wir zur Abkurzung:

a1a2a3 ¼ a11 ; a1a2�a3 ¼ a21 ; . . . ; �a1�a2�a3 ¼ a81;b1b2b3 ¼ a12 ; b1b2 �b3 ¼ a22 ; . . . ; �b1 �b2 �b3 ¼ a82;

. . . . . . . . . ; . . .h1h2h3 ¼ a18 ; h1h2 �h3 ¼ a28 ; . . . ; �h1 �h2 �h3 ¼ a88;a1a2a3 ¼ b11 ; a1a2�a3 ¼ b21 ; . . . ; �a1�a2�a3 ¼ b81;b1b2b3 ¼ b12 ; b1b2�b3 ¼ b22 ; . . . ; �b1�b2�b3 ¼ b82;

. . . . . . . . . ; . . .#1#2#3 ¼ b18 ; #1#2 �#3 ¼ b28 ; . . . ; �#1 �#2 �#3 ¼ b88

und

F ¼XklmnR

alnbRl00Rma

mkb

kn :


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Dann sind

u ¼ ½a1; b1; . . . ; h1�xyz þ Fv ¼ ½a2; b2; . . . ; h2�xyz þ Fw ¼ ½a3; b3; . . . ; h3�xyz þ F;

8<: ðSÞ

u¼ ½a1; b1; . . . ; #1�xyz þ Fv ¼ ½a2; b2; . . . ; #2�xyz þ Fw ¼ ½a3; b3; . . . ; #3�xyz þ F

8<: ðTÞ

die allgemeinsten vertauschbaren Transformationen mit 3 Funktionen und 3Variablen, wahrend ohne jene Abkurzung auf eine einfache Form von F nicht zuhoffen ist.

Bestehen S und T nur aus je einer Funktion

fðxÞ ¼ axþ b�x; gðxÞ ¼ cxþ d�x;

so ergibt sich die Vertauschbarkeit f(g(x))¼ g(f(x)):

aðcxþ d�xÞ þ bð�cxþ �d�xÞ ¼ cðaxþ b�xÞ þ dð�axþ �b�xÞ;

also fur x¼ 1 und x¼ 0:

acþ b�c ¼ acþ �ad; adþ b�d ¼ bcþ �bd:

Auch diesmal besagen auffallenderweise wieder beide Gleichungen genaudasselbe, namlich

b�c ¼ �ad;

wie leicht zu sehen. f(g(x))¼ g(f(x)) gilt also entweder fur alle Werte von x oderfur keinen Wert von x. Hier ist wohl noch eine versteckte Gesetzmaßigkeit zuvermuten.

Sucht man dagegen drei Funktionen:

fðxÞ ¼ axþ b�x; gðxÞ ¼ a0xþ b�x; hðxÞ ¼ a00xþ b00�x;

fur die f(g(x))¼ h(x), also

aða0xþ b0�xÞ þ bð�a0xþ �b0�xÞ ¼ a00xþ b00�x

ist, so erhalt man fur x¼ 0 und x¼ 1 zwei vollig verschiedene Gleichungen

aa0 þ b�a0 ¼ a00; ab0 þ b�b0 ¼ b00:

4. Das Eliminationsergebnis. Die Funktionalgleichung F¼ 1 ist dann und nurdann losbar, wenn die Schrodersche Charakteristik F¼ 0 losbar ist, die keineVariablen mehr enthalt, sondern nur noch Konstanten, die z. T. unbekannt sind. DasEliminationsergebnis von F¼ 0 nach diesen Unbekannten ist zugleich dasEliminationsergebnis von F¼ 1.


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Nehmen wir ein einfaches Beispiel. Gesucht sei eine Funktion f, fur die

f fðxÞð Þ ¼ gðxÞ;

wo gðxÞ � axþ b�x eine gegebene Funktion ist. Wir setzen an fðxÞ ¼ axþ b�x undfinden durch Einsetzen in die Funktionalgleichung

ðaþ bÞxþ ab�x ¼ axþ b�x:

Die Schrodersche Charakteristik ist

ðaþ b ¼ aÞðab ¼ bÞ;

und das Eliminationsergebnis von a und b aus diesem Gleichungssystem, namlich

b � a

ist zugleich das Eliminationsergebnis der Funktionalgleichung. Ist sie erfullt, so istf(x)¼ bþ axu eine allgemeine Losung.

Wir wollen jetzt eine Funktion suchen, welche das denkbar allgemeinsteAdditionstheorem

½a; b; c; d; e; f; g; h�jðxþyÞ;jðxÞ;jðyÞ ¼ 1 ð1Þ

besitzt. Hier findet man das Eliminationsergebnis leicht ohne die obigeTheorie. Die Gleichung reduziert sich namlich fur x¼ y auf ajðxÞ þ hjðxÞ ¼1 oder

�h � jðxÞ � a: ð2Þ

Notwendige Bedingung fur die Losbarkeit ist also

�h � a oder aþ h ¼ 1: ð3Þ

Die Bedingung ist aber auch hinreichend; denn ist sie erfullt, so gibt es diePartikularlosung

j0ðxÞ ¼ �hþ at; ð4Þ

wo t eine beliebige Konstante ist; z. B. sind dann j0ðxÞ ¼ �h und j0(x)¼ aPartikularlosungen. Wegen (2) kann man fur j(x) auch setzen

jðxÞ ¼ �hþ acðxÞ: ð5Þ

Nun ist leicht zu sehen, etwa mit dem Verifikationssatz, daß man das allgemeinstec(x), das (5) zu einer Losung von (1) macht, findet, indem man in (1) a¼ h¼ 1 setztund c statt j schreibt. Es ist also die Gleichung zu losen

½1; b; c; d; e; f; g; 1�cðxþyÞ;cðxÞ;cðyÞ ¼ 1: ð6Þ


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Eine Partikularlosung ist c¼ 1, also eine allgemeine Losung

cðxÞ ¼ axþ b�xþ F ½erg€anzt: ,,¼ wðxÞ þ F‘‘; �

wo [gestrichen:

‘‘

wegen c(1)¼ a, c(0)¼ b‘‘ und erganzt:

‘‘wx ¼ axþ b�x und nach x1,(4) wegen w(1)¼ [. . .]‘‘]

F ¼ ½0; �b; �c; �d; �e; �f; �g; 0�aaa þ ½0; �b; �c; �d; �e; �f; �g; 0�aabþ ½0; �b; �c; �d; �e; �f; �g; 0�aba½0; �b; �c; �d; �e; �f; �g; 0�bbb:

Hier ist das 1. und 4. Glied¼ 0, und es kommt

F ¼ ð�bþ �cÞa�bþ ð�fþ �gÞ�ab;

also

jðxÞ ¼ �hþ a axþ b�xþ ð�bþ �cÞa�bþ ð�fþ �gÞ�ab� �

:

Eine Funktion, welche das allgemeinste Multiplikationstheorem

½a; b; c; d; e; f; g; h�jðxyÞ;jðxÞ;jðyÞ ¼ 1

besitzt, hat, wenn das Eliminationsergebnis aþ h¼ 1 erfullt ist, die Form

jðxÞ ¼ �hþ a axþ b�xþ ð�bþ �cÞ�abþ ð�fþ �gÞa�b� �

:

Demnach hat die Funktionalgleichung

½a; b; c; d; e; f; g�jðxþuyÞ;jðxÞ;jðyÞ ¼ 1

das Eliminationsergebnis aþ h¼ 1 und die allgemeine Losung

jðxÞ ¼ �hþ a axþ b�xþ ð�bþ �cÞja ¼ �b ¼ uj þ ð�fþ �gÞj�a ¼ b ¼ uj� �

:

Entsprechend hat die Funktionalgleichung

½a1; a2; . . . ; a16�jðxþyÞ;jðxyÞ;jðxÞ;jðyÞ ¼ 1

das Eliminationsergebnis a1þ a16¼ 1 und die allgemeine Losung

jðxÞ ¼ �a16 þ a1 axþ b�xþ ð�a6 þ �a7Þa�bþ ð�a10 þ �a11Þ�ab� �

:

Wir betrachten jetzt die Funktionalgleichung

j ½a; b; c; d; e; f; g; h�xyz� �

¼ ½a; b; g; d; E; z; Z; #�jðxÞ;jðyÞ;jðzÞ

und setzen an

jðxÞ ¼ uxþ v�x:


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Die Gleichung F¼ 0 oder �F ¼ 1 lautet

jðaÞ ¼ ½a; b; . . . ; #�uuu�� jðbÞ ¼ ½a; b; . . . ; #�uuv

�� . . . jðhÞ ¼ ½a; b; . . . ; #�vvv�� ¼ 1;

wo jðaÞ ¼ uaþ v�a;jðbÞ ¼ ubþ v�b , . . . zu setzen ist. Wir bilden das Eliminationser-gebnis nach u und v. Die linke Seite wird fur u¼ v¼ 1 gleich a, indem jeder einzelneFaktor gleich j1¼ aj wird (weil jðaÞ ¼ aþ �a ¼ 1 wird; ebenso j(b)¼ 1, usw.). Furu¼ v¼ 0 wird die linke Seite gleich �#; fur u¼ 1, v¼ 0 wird sie gleichja ¼ ajjb ¼ bj . . . jh ¼ #j; fur u¼ 0, v¼ 1 wird sie gleich j�a ¼ #jj�b ¼ Zj . . . j�h ¼ aj.

Das Eliminationsergebnis ist also

1 ¼ aþ ja ¼ ajjb ¼ bj . . . jh ¼ #j þ j�a ¼ #jj�b ¼ Zj . . . j�h ¼ aj þ �#

oder

1 ¼ aþ �abbcg . . . gZhþ �a�bZ�cz . . . �gbhþ �#;

1 ¼ aþ �#þ �ahðbbcg . . . gZ þ �bZ�cz . . . �gbÞ:

Fur mehr als 3 Variable ist das Ergebnis ganz entsprechend. Die Aufstellung derLosung ist muhsam, doch ist sie fur einen Sonderfall bereits gegeben.

5. Transformationsgleichungen. Gegeben seien zwei Transformationen A, B. Wirsuchen die Bedingung dafur, daß A Vorfaktor von B ist, d. h. daß es eineTransformation X gibt, fur die AX¼B. A und B mussen dann gleich vieleFunktionen enthalten, und das gesuchte X muß soviel Funktionen enthalten, wie AVariable hat, und ebensoviel Variable wie B.

Wir wollen von jetzt ab Variable stets mit griechischen Buchstaben bezeichnenund die Transformationskoeffizienten mit lateinischen.

Die Transformationen A, B, X seien z. B. folgende:

ðAÞX ¼ ½a11; a12; a13; a14�xZH ¼ ½a21; a22; a23; a24�xZZ ¼ ½a31; a32; a33; a34�xZ

8><>: ðBÞ

X ¼ ½b11; b12; b13; b14�xZH ¼ ½b21; b22; b23; b24�xZZ ¼ ½b31; b32; b33; b34�xZ

8><>:

ðXÞX ¼ ½x11; x12; x13; x14�xZH ¼ ½x31; x32; x33; x34�xZ:

(

Zur Aufstellung derartiger Bedingungen, wie der gesuchten, wollen wirverschiedene Verfahren besprechen. An unserem Beispiel erlautern wir das

1. Verfahren: Die Forderung AX¼B liefert

½ak1; ak2; ak3; ak4�½x11;x12;x13;x14�xZ½x21;x22;x23;x24�xZ¼ ½bk1; bk2; bk3; bk4�xZ ðk ¼ 1; 2; 3Þ;

ð1Þ

oder wenn man fur x, Z auf alle moglichen Arten 0 und 1 einsetzt:

½ak1; ak2; ak2; ak4�x1lx2l ¼ bkl ðk ¼ 1; 2; 3; l ¼ 1; 2; 3; 4Þ: ð2Þ


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Diesen Gleichungen mussen die x genugen. x1l und x2l genugen also denGleichungen Y

x¼1;2;3½ak1; ak2; ak3; ak4�x1lx2l ¼ bkl

� �;

deren Eliminationsergebnis istYk

jak1 ¼ bklj þYk

jak2 ¼ bklj þYk

jak3 ¼ bklj þYk

jak4 ¼ bklj ¼ 1

oder

ab1l11 ab2l21 a

b3l31 þ ab1l12 a

b2l22 a

b3l32 þ ab1l13 a

b2l23 a

b3l33 þ ab1l14 a

b2l24 a

b3l34 ¼ 1:

Das gesamte Eliminationsergebnis ist alsoYl

ab1l11 ab2l21 a

b3l31 þ ab1l12 a

b2l22 a

b3l32 þ ab1l13 a

b2l23 a

b3l33 þ ab1l14 a

b2l24 a

b3l34 ¼ 1: ð3Þ

Dies stimmt uberein mit der vereinigten Aussage vonXl

b1lb2lb3l �Xl

a1la2la3lXl

b1lb2l �b3l �Xl

a1la2l�a3l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Xl

�b1l �b2l �b3l �Xl

�a1l�a2l�a3l

8>>>>>><>>>>>>:

ð4Þ

auf Grund einer Formel, die in andrer Bezeichnungsweise lautet:

Qnl¼1ðabl1 a

bl1 a

bl1 þ abl2 a

bl2 a

bl2 þ . . .þ ablm ablm a

blm Þ

¼��Xnl¼1

blblbl �Xml¼1

alalal

��Xnl¼1

blbl�bl �Xml¼1

alal�al

��. . .

��Xnl¼1

�bl�bl�bl �Xml¼1

�al�al�al

��;ð5Þ

worin z.B. gesetzt werden kann:��Xl

blblbl �Xl

alalal

�� ¼Xl

alalal þYl

ð�bl þ �bl þ �blÞ:

Beweis von (5): Aus [a, b, . . . , h]xyz¼ 1 folgt ½�a; �b; . . . ; �h�xyz ¼ 0, alsoð�axyz ¼ 0Þð�bxy�z ¼ 0Þ . . . ð�h�x�y�z ¼ 0Þ oder ðxyz � aÞðxy�z � bÞ . . . ð�x�y�z � hÞ, und um-gekehrt, so daß also

½a; b; . . . ; h�xyz � jxyz � aj jxy�z � bj . . . j�x�y�z � hj;


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folglich

Xk

ablk ablk a

blk ¼

�Xk

akakak;Xk

akak�ak; . . . ;Xk

�ak�ak�ak

blblbl

¼��blblbl �X

k

akakak

��blbl�bl �

Xk

akak�ak

�� . . .

��bl�bl�bl �Xk

�ak�ak�ak

��:Bildet man links und rechts das

Ql, so folgt (5), da z.B.

Yl

��blblbl �Xk

akakak

�� X

l

blblbl �Xk

akakak

��:

Soll eine einzelne Funktion f(x, Z)¼ [a, b, c, d]xZ Vorfaktor von g(x, Z) sein, somuß, weil immer abcd \ f(x, Z) \ aþ bþ cþ d, g die Form haben

gðx; ZÞ ¼ abcdþ ðaþ bþ cþ dÞjðx; ZÞ;

was sich als notwendige und hinreichende Bedingung leicht aus (4) herleiten laßt. Inder Tat fuhrt dann z.B. die Substitution

X ¼ ðaþ bÞjðx; ZÞ þ ð�aþ �bÞjðx; ZÞ; H ¼ ðaþ �bcÞjðx; ZÞ þ ð�aþ b�cÞjðx; ZÞ

f in g uber.Die Transformation X ¼ axþ b�x;H ¼ cxþ d�x ist Vorfaktor der Transformation

X ¼ pxþ q�x;H ¼ rxþ s�x, wenn

apcr þ bpdn ¼ 1; aqcs þ bqds ¼ 1:

2. Verfahren. Wir wollen die Bedingung dafur aufstellen, daß es eineTransformation X gibt, fur die

AX ¼ B; CX ¼ D

ist. Das 1. Verfahren bote keine Schwierigkeit; wir wollen aber diesmal dieDisjunktivtransformationen anwenden, die meistens am leichtesten zum Zielefuhren. Die zu A, B, C, D, X gehorenden Disjunktivtransformationen seien:

Zk ¼Xm

akmxm; Zk ¼

Xm

bkmxm; Zk ¼

Xm

ckmxm; Zk ¼

Xm

dkmxm; Zk ¼

Xm

xkmxm:

Die Matrizen der Koeffizienten sind Disjunktive und mogen a, b, c, d, x heißen.Die Forderungen AX¼B, CX¼D liefern

a; x ¼ b; c; x ¼ d

oder Xl

aklxlm ¼ bkm;

Xl

cklxlm ¼ dkm


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oder, da wir hier wie fruher¼ durch � ersetzen konnen:

�bkm þXl

aklxlm ¼ 1; �dkm þ

Xl

cklxlm ¼ 1

oder Xl

ð�bmk þ aklÞxlm ¼ 1;

Xl

ð�dkm þ cklÞxlm ¼ 1:

Unter diesen Gleichungen geben diejenigen, fur die m einen bestimmten Wert hat,vereinigt (nach dem Multiplikationstheorem):X

l

Yk

ð�bkm þ aklÞð�dkm þ cklÞxlm ¼ 1

oder, wenn man �bkm ¼P

n 6¼k bnm;

�dkm ¼P

n 6¼k dnm einsetzt:

Xl

ða1l þ b2m þ b3m þ . . .Þðb1m þ a2l þ b3m þ . . .Þðb1m þ b2m þ a3l þ . . .Þ

. . . ðc1l þ d2m þ d3m þ . . .Þðd1m þ c2l þ d3m þ . . .Þðd1m þ d2m þ c3l þ . . .Þ . . . xlm ¼ 1

oder, wenn man die erste Halfte der Klammern ausmultipliziert und ebenso diezweite Halfte, wegen aRla

sl ¼ bRmb

sm ¼ . . . ¼ 0 fur R 6¼ s:X

l

ða1lb1m þ a2lb2m þ . . .Þðc1ld1m þ c2ld

2m þ . . .Þxlm ¼ 1

oder X�kl

a�lb�mc

kld

kmx

lm ¼ 1:

Das Eliminationsergebnis nach den x istXl

Yk

ðakl þ �bkmÞðckl þ �dkmÞ ¼ 1

oder X�kl

a�lb�mc

kld

km ¼ 1:

Nun sind zwar die x1m; x2m . . . nicht voneinander unabhangig, (da die Summe

disjunktiver Gebiete¼ 1 sein muß), wohl aber sind x1m; x2m, . . . von den x1n ; x

2n , . . .

unabhangig fur m 6¼ n. Man erhalt also das gesamte Eliminationsergebnis, indem mandas obige Ergebnis fur samtliche Werte von m aufstellt und die vereinigte Gleichungbildet: Y

m

Xl

Yk

ðakl þ �bkmÞðckl þ �dkmÞ ¼ 1 oderYm

X�kl

a�lb�mc

kld

km ¼ 1


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oder kondensiert

1; ð�a; bÞð�c; dÞ y 0 ¼ 1:

Entsprechend ist das Ergebnis, wenn mehr als 2 Transformationsgleichungengegeben sind. Der Sonderfall fur eine einzige solche Gleichung AX¼B liefert dasErgebnis

Qm

Pkl a

klb

km ¼ 1, was genau mit dem beim 1. Verfahren gefundenen

Ergebnis ubereinstimmt, wenn man

a1k ¼ a1ka2ka3k; a2k ¼ a1ka2k�a3k; . . . ; a8 ¼ �a1k�a2k�a3k

setzt, und entsprechend fur b.Die Aufstellung einer Partikularlosung (und damit auch der allgemeinen Losung)

macht auf Grund meiner Abhandlung uber Transformationen5 keine Schwierigkeit,wenn das Eliminationsergebnis als erfullt vorausgesetzt wird, bietet aber wenigInteresse, da sich Losung nicht in symmetrischer Form geben laßt.

3. Verfahren. Wir wollen die Bedingung fur die Losbarkeit der Transformations-gleichungen

XA ¼ B; XC ¼ D; XE ¼ F

aufstellen. Zu A, B, C, D, X mogen wieder dieselben Disjunktivtransformationengehoren wie fruher, zu E und F dagegen:

Zk ¼Xm

ekmxm; Zk ¼

Xm

f kmxm:

Die gegebenen Gleichungen liefern dannXl

almxkl ¼ bkm;

Xl

clmxkl ¼ dkm;

Xl

ekmxkl ¼ f km

oder, wenn man wieder¼ durch � ersetzt und vereinigt: II

Ykm

Xl

ðalm þ �bkmÞðclm þ �dkmÞðelm þ �f kmÞxkl ¼ 1:

Die x werden eliminiert, indem man links auf alle moglichen Arten fur die x dieWerte 0 und 1 einsetzt (aber naturlich stets so, daß die x1l; x

2l; . . . disjunktiv sind, d. h.

daß unter diesen eines¼ 1 wird, die ubrigen¼ 0, und zuletzt die Summe der soerhaltenen Ergebnisse¼ 1 setzt.

Doch durfte es nicht ganz leicht sein, auf diesem Wege zu einer ubersichtlichenForm des Ergebnisses zu gelangen. Wohl aber gelingt dies mit Hilfe eines Verfahrens,das ich in der Abhandlung uber Transformationen auseinandergesetzt habe, und mirscheint sogar die Gewinnung des Eliminationsergebnisses ein glanzendes Beispiel furdie Leistungsfahigkeit jenes Verfahrens zu sein.

Wir wenden das Verifikationstheorem an, beschranken also alle Gebiete auf dieWerte 0, 1. Dann entspricht jeder Disjunktivtransformation als Matrix einElementar, das man (vgl. a.a.O., S. 248) durch eine Zahlenreihe darstellen kann,wenn die Transformationsvariablen sich in eine Reihe ordnen lassen. Ist dies nicht

5 auf S. 02 [original proof sheets] unter 2 zitiert.


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der Fall (hat z.B. die Menge der Variablen die Machtigkeit des Kontinuums), sowerden wir statt einer Zahlenreihe allgemeiner eine Zahlenmenge zu betrachtenhaben; das andert aber im wesentlichen nichts. Ich werde im folgenden stets derbequemen Ausdrucksweise halber eine abgezahlte Reihe von Veranderlichenvoraussetzen, um von der ersten, zweiten usw. Variablen sprechen zu konnen; dieVerallgemeinerung bietet keine Schwierigkeit.

Der Zusammensetzung PQ zweier Transformationen entspricht eine Disjunktiv-transformation, deren Matrix des relative Produkt ist von den Matrizen der zu P undQ gehorenden Disjunktivtransformationen, und man erhalt das relative Produkt[klm. . .]; [k0l0m0. . .] zweier Elementare, indem man der Reihe nach die k0te, l0te, m0te

Zahl der ersten Klammer hinschreibt.Unsere gegebenen Gleichungen liefern:

x; a ¼ b; x; c ¼ d; x; e ¼ f:

Nach der genannten Multiplikationsvorschrift ist notwendige und hinreichendeBedingung fur das Vorhandensein eines solchen x, daß, wo immer in den a, c, egleiche Zahlen vorkommen, auch an den entsprechenden Stellen in b, d, f gleicheZahlen vorkommen, d.h. stimmt z.B. die kte Stelle von a mit der lten von c uberein,so muß auch die kte von b mit der lten von d ubereinstimmen, entsprechend fur aund e sowie fur c und e. Das Entsprechende gilt auch, wenn z. B. in a gleicheZahlen vorkommen. Ist diese Bedingung erfullt, so werden wir unten ein x finden,das die Gleichungen befriedigt. Nun stimmt die kte Stelle von a mit der lten von cgerade dann uberein, wenn

Pm a

mkc

ml ¼ 1; dann muß also auch

Pm b

mkd

ml ¼ 1 sein, d.h.

Ykl

Xm

amkcml �

Xm

bmkdml

!oder �a; c � �b; d

entsprechend

Ykl

Xm

amkeml �

Xm

bmkfml

!oder �a; e � �b; f;

Ykl

Xm

cmkeml �

Xm

dmkfml

!oder �c; e � �d; f;

Ykl

Xm

amkaml �

Xm

bmkbml

!oder �a; a � �b; b;

Ykl

Xm

cmkcml �

Xm

dmkdml

!oder �c; c � �d; d;

Ykl

Xm

emkeml �

Xm

f mk fml

!oder �e; e � �f; f:

Die vereinigte Gleichung aller dieser Aussagen ist das Eliminationsergebnis, undzwar nach dem Verifikationssatz auch dann, wenn wir die vorkommenden Gebietenicht auf 0, 1 beschranken.


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Ist nur die Gleichung AX¼B gegeben, so lautet das Eliminationsergebnis

Ykl

Xm

amkaml �

Xm

bmkbml

!oder �a; a � �b; b;

oder

Ykl

Ym

�amk þ �aml �

þXm

bmkbml

" #¼ 1:

Demnach ist eine Funktion ½a1; a2; . . . ; a2n �x1x2...xnNachfaktor von ½b1; b2; . . . ;

b2n �x1x2...xnwenn (da a1k ¼ ak; a

2k ¼ �ak, ebenso fur b):

Ykl

ð�ak þ �alÞðak þ alÞ þ bkbl þ �bk �bl� �

¼ 1;

oder Ykl

jak ¼ alj þ jbk ¼ bljð Þ ¼ 1;

oder zerlegt Ykl

ak þ al þ bk þ �bl �

�ak þ �al þ bk þ �bl �

¼ 1:

Das 1. Verfahren liefert in diesem einfachsten Falle die bessere Form

b1 ¼ b2 ¼ . . . ¼ b2nj j þ ba11 ¼ ba22 ¼ . . . ¼ ba2n

2n

�� ¼ 1;

durfte aber im allgemeinen Falle kaum brauchbar sein.Wir konnen von unserem Gleichungssystem, falls das Eliminationsergebnis

erfullt ist, auch eine Losung in symmetrischer Form angeben. Kehren wir zu derAnnahme zuruck, daß alle Gebiete 0, 1 sind, so mussen wir, falls a bezw. c bezw. ean der kten Stelle ein l, und b bezw. d bezw. f an der kten Stelle ein m enthalt, an dielte Stelle von x ein m setzen. Die gegebenen Gleichungen fordern dies und nichtmehr, und diese Forderungen sind auch im Einklang miteinander, wenn wirklichdie Bedingungen erfullt sind, aus denen wir das Eliminationsergebnis gewonnenhaben. An diejenigen Stellen von x, welche durch obige Forderungen nicht beruhrtsind, konnen wir beliebige Zahlen setzen, und werden am einfachsten an die kte

Stelle, wenn sie zu diesen gehort, k setzen. Das ist die einzige Moglichkeit, dieLosung symmetrisch zu gestalten. Demnach wird xlk ¼ 1 genau dann, wennentweder a bezw. c bezw. e an irgendeiner Stelle, z.B. der mten, ein k enthalt, und bbezw. d bezw. f derselben Stelle ein l, oder wenn k¼ l und a, c, e an keiner Stelle eink enthalten, d. h. wenn

entwederXm

akmblm þ ckmd

lm þ ekmf

lm

� �¼ 1 oder 10kl

Ym

�akm�ckm�ekm ¼ 1;


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wo 1kl¼ 1 oder 0, je nachdem k¼ l oder k 6¼ l. Daraus folgt die gesuchte Losung

xlk ¼Xm

akmblm þ ckmd

lm þ ekmf

lm

� �þ 10kl

Ym

�akm�ckm�ekm;

oder

x ¼ a; �bþ c; �dþ e; �fþ 10ð�a y 0Þð�c y 0Þð�e y 0Þ:

Die Losung gilt nach dem Verifikationssatz nicht nur im Zweigebietekalkul. Diex1k; x

2k; . . . mussen disjunktiv sein ihrer Entstehungsweise nach.Wir betrachten jetzt die Transformationsgleichung AXB¼C. Sie fuhrt auf die

Gleichung

a; x; b ¼ c

zwischen den entsprechenden Disjunktiven. Sie fordert zunachst, daß dieGleichungen

UB ¼ C; AV ¼ C

durch gewisse U, V losbar sind, und diese beiden Bedingungen sind auchhinreichend. Sind sie namlich erfullt, ist also u; b¼ c und a; v¼ c losbar, so mußdie Losung u (nach den Erorterungen bei der Gleichung a; x¼ b) an gewissenStellen gewisse Zahlen von c enthalten, wahrend man an die ubrigen Stellenbeliebige Zahlen setzen darf. Man darf diese letzteren also auch so wahlen, daß unur Zahlen von c enthalt. Da nach Voraussetzung a; v¼ c losbar ist, enthalt c unddaher auch u nur Zahlen von a. Daher kann man ein x finden, fur das a; x¼ u,also a; x; b¼ u; b¼ c. Dieses x lost also die gegebene Gleichung.

4. Verfahren. Fur das Transformationsgleichungssystem

AXB ¼ C; DXE ¼ F

ließe sich zwar auch nach dem 3. Verfahren das Eliminationsergebnis finden, dochfuhrt diesmal das folgende Verfahren am schnellsten zum Ziel. Die entsprechendenDisjunktivgleichungen

a; x; b ¼ c; d; x; e ¼ f

sind, da a, b, c, d, e, f, x Disjunktive sind, identisch mit

a; x; b � c; d; x; e � f;

und dies ist nach dem 1. Inversionstheorem, d.h. nach

ða; b � cÞ ¼ ð��c; a � ��bÞ ¼ ða � c y ��bÞ ¼ ðb � ��a y cÞ6

6 Vgl. Schroder, a. a. O., Bd. III, S. 243.


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identisch mit

x � ��a y c y ��b; x � ��d y f y��e

oder

x � ��a y c y ��bÞð��d y f y��eÞ:

Die Gleichungen sind also genau dann losbar, wenn

ð��a y c y ��bÞð��d y f y��eÞ

ein Disjunktiv x umfaßt. Eine Matrix t umfaßt aber ein Disjunktiv, wenn dieElemente in jeder Spalte die Summe 1 haben, d.h. wenn

QjðP

i tij ¼ 1Þ oder1; t { 0¼ 1. Das gesuchte Eliminationsergebnis ist also

1; ð��a y c y ��bÞð��d y f y��eÞ y 0 ¼ 1

oder auch Yk

Xl

Ymn

�aml þ �bkn þ cmn �

�d ml þ �ekn þ f mn

�¼ 1:

Ist sie erfullt, so ist jedes in ð��a y c y ��bÞð��d y f y ��eÞ enthaltene Disjunktiv eine Losungdes Disjunktivgleichungssystems

ða; x; b ¼ cÞðd; x; e ¼ fÞ:

Im weiteren Sinne konnte man die Subsumption

x � ð��a y c y ��bÞð��d y f y��eÞ

als die allgemeine Losung jenes Systems bezeichnen.Eine ahnliche Art allgemeiner Losung laßt sich bei der Gleichung

AX ¼ BX

finden. Die Disjunktivgleichung a; x¼ b; x fuhrt auf

Ykl

Xm

akmxml �

Xm

bkmxml

!;

Yklm

akmxml � bkmx

ml

� �;

Yklm

xml � jakm � bkmj

� �;

Ylm

xml �Yk

jakm � bkmj !

:


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Wenn man hierin akm � bkm

�� ¼ �akm þ bkm ¼P

n 6¼k anm þ bkm einsetzt und das

Qk

ausmultipliziert, so ergibt sich

Ylm

xml �Xk

akmbkm

!;

x � �a�b; 1:

Das Eliminationsergebnis besteht also darin, daß �a�b; 1 ein Disjunktiv enthalt; eslautet also 1; �a�b; 1 y 0 ¼ 1 oder X

kl

aklbkl ¼ 1:

Besteht z.B. A aus den Funktionen

X ¼ ½a1; a2; . . . ; a8�xZ; H ¼ a01; a02; . . . ; a08

� �xZ;

und B aus den Funktionen

X ¼ ½b1; b2; . . . ; b8�xZ; H ¼ b01; b02; . . . ; b08

� �xZ;

so ist das Eliminationsergebnis

X8k¼1

aka0kbkb

0k þ ak�a0kbk

�b0k þ �aka0k

�bkb0k þ �ak�a0k

�bk �b0k �

¼ 1:

Haben wir nun z.B. das System

AXB ¼ C; DX ¼ EX; FX ¼ GX;

das auf die Disjunktivgleichungen

a; x; b ¼ c; d; x ¼ e; x; f; x ¼ g; x

fuhrt, so liefert dies System

x � ð��a y b y��cÞð�d�e; 1Þð�f�g; 1Þ

mit dem Eliminationsergebnis

1; ð��a y b y ��cÞð�d�e; 1Þð�f�g; 1Þ y 0 ¼ 1:

Das Gleichungssystem

XA ¼ XB; XC ¼ XD

ist durch jede Transformation losbar, deren Funktionen samtlich Konstanten sind.Einer solchen entspricht ein Disjunktiv x, in dessen samtlichen Zeilen alle Elementeeinander gleich sind, (d.h. fur das x;1¼ 1, also x ein

‘‘

System‘‘ im SchroderschenSinne ist).


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Im Gleichungssystem

XA ¼ XB; XC ¼ XD; EX ¼ FX; GX ¼ HX

fuhren die beiden letzten Gleichungen auf

x � ð�e�f; 1Þð�g�h; 1Þ:

Die rechte Seite ist ein Schrodersches System; umfaßt sie also uberhaupt einDisjunktiv, so umfaßt sie auch ein solches Disjunktiv x, welches System ist und daherauch die beiden ersten Gleichungen befriedigt. Das vollstandige Eliminationsergebnisist also bereits

ð�e�f; 1Þð�g�h; 1Þ ¼ 1:

Die allgemeine Losung laßt sich nicht in einer geschlossenen Form geben.Wir haben fur die einfachsten Transformationsgleichungssysteme die Elimina-

tionsergebnisse aufgestellt. Bei den nachst verwickelteren ist das nicht mehr ingeschlossener Form moglich. Wir haben zwar in x 4 von X ; X¼A fur den Sonderfalleiner einzigen Funktion das Eliminationsergebnis berechnet, aber schon fur zweiFunktionen wird die Rechnung außerst umstandlich, und im allgemeinen Falle gibtes keine symmetrische Form des Ergebnisses.

6. Multiplikationsgleichungen. Jede Aufgabe im Transformationskalkul fuhrte unsin x 5 auf eine Aufgabe im Matrizenkalkul, wo aber die Matrizen Disjunktive seinmußten. So fuhrte AX¼B auf a; x¼ b. Wir konnen nun aber auch eine solcheGleichung betrachten ohne die Beschrankung, daß a, b, x Disjunktive sein sollen.Ich will eine solche Matrizengleichung, in der keine andere Verknupfung vorkommtals ; , eine

‘‘

Multiplikationsgleichung‘‘ nennen. \ darf in ihr nicht vorkommen. Auchdie vereinigte Gleichung mehrerer Multiplikationsgleichungen konnte man imweiteren Sinne als Multiplikationsgleichung bezeichnen.

Wir hatten das System AXB¼C, DXE¼F behandelt und wollen nun das Systemder Multiplikationsgleichungen

a; x; b ¼ c; d; x; e ¼ f ð1Þ

losen, ohne Disjunktive vorauszusetzen, und zwar ebenso wie Schroder7 einenSonderfall des 3. Inversionsproblems behandelt. Aus den Gleichungen folgt nachdem 1. Inversionstheorem

x � ��a y c y ��b; x � ��d y f y��e;

oder, wenn wir

t ¼ ð��a y c y ��bÞð��d y f y ��eÞ ð2Þ

setzen, x \ t, also

c ¼ a; x; b � a; t; b:

7 Schroder, a. a. O., Bd. III, S. 256, 257.


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Anderseits ist nach Definition von t identisch t � ��a y c y ��b oder nach dem 1.Inversionstheorem

a; t; b � c;

folglich

a; t; b ¼ c; ð3Þ

ebenso

d; t; e ¼ f: ð3aÞ

Diese beiden Bedingungen sind aber auch hinreichend, denn wenn sie erfullt sind,lost x¼ t die Gleichung (1). Das Eliminationsergebnis lautet also

a; ð��a y c y ��bÞð��d y f y ��eÞ; b ¼ ch i

d; ð��a y c y ��bÞð��d y f y��eÞ; e ¼ fh i

: ð4Þ

Ist es erfullt, so gibt es in x ¼ ð��a y c y ��bÞð��d y f y �eÞ eine in Bezug auf alle Elemente desDenkbereichs symmetrische Losung, wahrend es bei den entsprechenden Gleichungenzwischen Disjunktiven keine solche Losung gab, nicht einmal in dem Sonderfall a;x¼ b.

Fur c¼ f¼ 0 ist x¼ 0 Losung von (1); das Eliminationsergebnis (4) liefert also dieIdentitat

a; ð��a y 0 y ��bÞð��d y 0 y��eÞ; b ¼ 0

und andere Formeln. Man kann z.B. auch c¼ a; b und f¼ d; e annehmen. DieElimination ist ja eine Quelle neuer Formeln.

Werden in obigen Gleichungen a, b, c, d, e, f als Disjunktive vorausgesetzt, soliefert zwar die letzte Formel bei erfulltem Eliminationsergebnis eine symmetrischeLosung x, aber diese ist im allgemeinen kein Disjunktiv.

Das Gleichungssystem

a; x ¼ b; x; c; x ¼ d; x; x; e ¼ x; f

hat stets die Losung x¼ 0, also kein Eliminationsergebnis, wahrend schon allein a;x¼ b; x, als Disjunktivgleichung aufgefaßt, eins hat!

Das Eliminationsergebnis einer beliebigen Matrizengleichung F(x,y)¼ 1 isteinfach

Puv Fðu; vÞ ¼ 1ð Þ oder

Puv 0 y Fðu; vÞ y 0ð Þ ¼ 1,8 also das Eliminationsergeb-

nis von x; x¼ a z. B.P

uð0 y jx;x ¼ aj y 0Þ ¼ 1. Aber selbstredend befriedigt dasErgebnis in dieser Form nicht, sondern es kommt darauf an, ob man das S auswertenkann. Dies ist nun aber, wie ich in Teil II beweisen werde, nicht moglich, undebensowenig laßt sich das S in

Pxyðx; a; y ¼ bÞ auswerten.

Teil II

1. Allgemeines uber Umformungen im Gebietekalkul. Es erscheint mir zweck-maßig, fur ein S und P, erstreckt uber Relative, ein etwas anderes Zeichen

8 Dabei braucht F nicht einmal kondensierte Form zu haben, sondern kann irgendeine Funktion der Matrizenelemente

sein.


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einzufuhren als fur ein S und P, erstreckt uber die Elemente des Denkbereichs. Wirwollen S0, P0 schreiben bei Erstreckung uber uninare Relative, S00, P00 beiErstreckung uber binare Relative, allgemein S(n), P(n) bei Erstreckung uber n-nareRelative.

Unter einem reinen S oder P verstehe ich ein solches, welches nicht unterirgendeinem Negationsstrich steht.

Es istP

i Ai ¼Qi

�Ai, wo das P naturlich kein reines ist. Dagegen gilt der Satz:Pi Ai laßt sich nicht in einen Ausdruck umformen, der kein S und nur reine P

enthalt.Beweis. Angenommen, F sei ein Ausdruck ohne S und ohne unreines P. Zu

beweisen ist, daß F nichtP

i Ai ist. Wir konnen bekanntlich alle P-Zeichen nachvorn bringen als

‘‘

Prafix‘‘. Den Ausdruck hinter dem Prafix wollen wir ausaddiertdenken nach der Formel (PþQRS . . .)¼ (PþQ)(PþR)(PþS) . . . , so daß wirzuletzt ein Produkt haben, dessen Faktoren einfache Relativkoeffizienten oderSummen von solchen sind.

Der Denkbereich sei der Einfachheit halber endlich, enthalte aber mehrIndividuen, als Indizes in F vorkommen.

Wenn in F die Koeffizienten eines Relativs B vorkommen, uber das nichtproduktiert wird, (sodaß also im Prafix nicht

QðnÞB vorkommt), so setzen wir fur die

Koeffizienten von B die Werte 1 (oder auch andere Spezialwerte). Wenn dadurch dieFunktion F sich andert, so ware schon bewiesen, daß sie nicht mit

Pi Ai

ubereinstimmt. F moge sich also durch die Einsetzung nicht andern.Da der Denkbereich endlich ist, kann man die durch die P und P(k) angedeuteten

Produktbildungen ausfuhren und samtliche dabei auftretenden Faktoren hinschrei-ben, so daß zuletzt kein P oder II(k) mehr vorkommt. Die Koeffizienten der Relative,uber die produktiert wird (das Relativ A gehort nicht zu ihnen), erhalten dabei injedem Faktor den Wert 0 oder 1. Auch die Koeffizienten von 00 und 10 werden in deneinzelnen Faktoren 0 oder 1. Die An sind die einzigen Relativkoeffizienten, welchestehen bleiben.

Werden bei dieser Auswertung der P und P(k) alle Faktoren¼ 1, so ist identischF¼ 1, stimmt also nicht mit

Pi Ai uberein. Kommt dabei ein Faktor vor, der¼ 0 ist,

so ist F¼ 0, stimmt also auch nicht mitP

i Ai uberein. Andernfalls gibt es einenFaktor F, der nicht identisch 0 oder 1 ist. F kann nur die Form haben

F � Aa þ Ab þ . . .þ �Ac þ �Ad þ . . . ;

wo auch die Am oder die Am wegfallen konnen; es kann auch F einfach gleich Aa oderAm sein.

Setzt man nun Aa¼Ab¼ . . .¼ 0, Ac¼Ad¼ . . .¼ 1, so ist F¼ 0, also auch F¼ 0;dagegen

Pi Ai ist, selbst wenn die �Am garnicht in F vorkommen,¼ 1, wenn man fur

ein nicht unter den Aa, Ab, . . . vorkommendes An den Wert 1 setzt, und das kannman, weil es ja mehr An gibt, als F Indizes enthalt. F stimmt also nicht identisch mitP

i Ai uberein, wzbw.Ist A ein binares Relativ, so wollen wir unter dem Kreis eines Elementes i in

Bezug auf A die Summe derA-Kette von i und der �A-Kette von i verstehen. Fur denFallternarer oder hoherer Relative konnen wir diesen Begriff folgendermaßen erweitern:Unter dem Kreis eines Elementes i in Bezug auf die Relative A, B, . . . verstehen wirdas Produkt (Durchschnitt) der Mengen M von folgenden Eigenschaften:


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(1) i gehort zu M.(2) Gehort m zu M und kommen m und n beide als Indizes in irgendeinem

Relativkoeffizienten von A, B, . . . vor, der¼ 1 ist, so gehort n zu M.

Entsprechend kann man ubrigens auch den Kreis einer Menge in Bezug aufgewisse Relative definieren.

Wir wollen sagen, ein Relativ A habe die Spezies n, wenn die umfangreichstenKreise, die es in Bezug auf A gibt, n Elemente haben.

Satz 4 meiner9 Abhandlung laßt sich folgendermaßen verallgemeinern:Zwischen den Koeffizienten von Relativen mit endlicher Gesamtspezies gibt es keine

Fluchtaussagen.10

Der Beweis laßt sich wie a. a. O. durch Herstellung einer Normalform fuhren; nurist das viel muhsamer als a. a. O.

Satz 5 der erwahnten Abhandlung laßt sich folgendermaßen verallgemeinern:Ein S0 oder P0 laßt sich immer auswerten, wenn die Gesamtspezies der

vorkommenden Relative, uber die nicht summiert oder produktiert wird, endlich ist.Der Beweis ergibt sich aus der Normalform des vorherigen Satzes entsprechend

wie a. a. O. Wir werden diese Satze spater anwenden.Ich habe (a. a. O. Satz 3) gezeigt, daß sich ein

P00U, erstreckt uber alle binaren

Relative U, nicht immer auswerten laßt, wenn man unter

‘‘

Auswertung‘‘ eine solcheUmformung versteht, bei der das S00 wegfallt und hochstens S und P, erstreckt uberdie Individuen des Denkbereichs, ubrigbleiben. Ich wahlte als Gegenbeispiel dieAussage, daß der Denkbereich endlich oder abzahlbar sei. Man kann mit Hilfe vonSatz 5 der Abhandlung leicht einsehen, daß sich die Aussage auch nicht auf einesolche zuruckfuhren laßt, welche außer den S und P noch S0 und P0 enthalten darf.

Ich kann aber ein Gegenbeispiel von viel großerer Einfachheit und Tragweiteangeben als das genannte:

Die Aussage:

‘‘

A laßt sich eindeutig auf B abbilden‘‘,

oder11 XZ

00ð10 y �Z ¼ ZÞðB � Z;AÞðA � Z;BÞ ð1Þ

laßt sich nicht so umformen, daß nur S, P, S0, P0 im Prafix vorkommen.A und B sind hier Mengen, d. h. uninare Relative, und es ist

ðZ;AÞi ¼Xh

ZihAh:

Man kann die Aussage auch in der Form schreiben

XZ

00Yij

Yh

ð10ih þ �Zhj ¼ ZihÞðBi �Xh

ZihAhÞðAi �Xh

ZhiBhÞ: ð1aÞ

9 auf S. 02 unter 1 zitierten [sc. as footnote 1 of page 2 of the original proof sheets].10 a. a. O. steht weniger zweckmaßig

‘‘

Fluchtgleichungen‘‘.11 Schroder, Algebra der Logik, Bd. III, S. 587, 17).


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B sei der ganze Denkbereich, A der Denkbereich mit Ausnahme eines Elementest, so daß also Al ¼ 00lt, Bl¼ 1. Daß A auf B eindeutig abbildbar ist, besagtdann einfach, daß der Denkbereich unendlich ist. Daran andert sich nichts, wennman

Qt vor die Aussage setzt, d.h. wenn man ausdruckt, daß man ein beliebiges

Element t aus dem Denkbereich tilgen kann und der Rest sich auf den Denkbereichabbilden laßt.

Das Negat der so entstehenden Aussage, also

Yt

XZ

00Yij

Yh

ð10ih þ �Zhj ¼ ZihÞXh

Zih00htð00it �

Xh

ZhiÞ ð2Þ

ist im endlichen, aber nicht im unendlichen Denkbereich erfullt.Wenn sich nun (2) nicht in eine Aussage mit bloßen S, P, S0, P0 umformen laßt,

so ist das mit (1) erst recht nicht ausfuhrbar, und damit ware dann die Behauptungbewiesen. Daß aber solche Umformung fur (2) nicht moglich ist, ergibt sich ausfolgendem allgemeinen Satz:

Eine Aussage, in welcher kein konstantes Relativ vorkommt und welche wohl furjeden endlichen, aber nicht fur jeden unendlichen Denkbereich gilt, enthalt stetswenigstens ein P(n) oder S(n), wo n¼>2; d.h. sie laßt sich nicht so umformen, daß nur S,P, S0, P0 vorkommt.

Beweis. Die Aussage sei O. Sie ist eine Fluchtaussage; in ihr mussen also außer 00

und 10 noch andere Relative vorkommen.12 Konstante Relative sind außer 00 und 10

nicht vorhanden. Daher mussen nach allen moglichen Umformungen von O immernoch Relative ubrig bleiben, uber die summiert oder produktiert wird, d.h. er mussenS(n) oder P(n) ubrigbleiben.

Nun besagt aber Satz 5 der genannten Abhandlung, daß die S0, P0 sich immerentfernen lassen, wenn nur S, P, S0, P0 vorkommen und außer den Koeffizienten von00 , 10 nur uninare Relativkoeffizienten. Es bleiben dann also gar keine S(n), P(n) mehrubrig. Da das bei O nicht eintreten kann, so kann auch nicht durch Umformungenvon O erreicht werden, daß die Voraussetzung von Satz 5 erfullt ist, daß also nurnoch S, P, S0, P0 vorkommen, wzbw.

Die Aussage O kann nun aus Spezialisierungen einer einfacheren Aussage Fzusammengesetzt sein ohne Verwendung von S(n), P(n) (F selbst enthalt naturlichwelche). Dann ist F ein besseres Beispiel einer Aussage, aus der sich S(n), P(n) (n¼>2)nicht entfernen laßt, als O.

Ein Beispiel fur viele:Die Aussage, daß die Anzahl der Menge A durch 3 teilbar sei, laßt sich nicht in eine

Aussage ohne S(n), P(n) (n¼>2) umformen.13

Beweis. Die Aussage sei F(A). Sie besagt: Es gibt eine eineindeutige Abbildung Z,welche erstens A auf sich selbst abbildet, sodaß also14

ð10 y �Z ¼ ZÞðA ¼ Z;AÞ;

12 L. Lowenheim, a. a. O., Seite 462.13 Anstatt 3 kann man auch eine andere ganze Zahl nehmen.14 Schroder, a. a. O.


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und bei der zweitens, wenn innerhalb A

(1) das Z-Bild von i h ist,(2) das Z-Bild von h k ist,(3) das Z-Bild von k j ist,

i mit j ubereinstimmt, wahrend i, h, k alle voneinander verschieden sind:Yijhk

ðAiAjAhAkZihZhkZkj � 10ij00ihkÞ:

15

Die aus beiden vereinigte Aussage ist, wenn nochP

Z davor gesetzt wird, F(A).00m sei die Menge der von m verschiedenen Elemente.Im endlichen Denkbereich ist nun entweder die Anzahl des Denkbereichs 11 nicht

durch 3 teilbar; dann gilt Fð11Þ. Oder aber nach Wegnahme eines beliebigenElementes m ist die Anzahl der ubrigen nicht durch 3 teilbar; dann gilt

Pm Fð0

0Þm . Setzt

man also

O � Fð11Þ þXm

Fð00Þ

m ;

so ist O in jedem endlichen, aber nicht in jedem unendlichen Denkbereich erfullt; alsolassen sich die S(n), P(n) (n¼>2) nicht aus O entfernen, also erst recht nicht aus F(A)wzbw.

2. Multiplikationsaussagen. Dieser x setzt die Kenntnis von x 1 meinerAbhandlung

‘‘

Uber Transformationen im Gebietekalkul‘‘16 voraus.Wir haben von den einfachsten Multiplikationsaussagen das Eliminationsergeb-

nis angegeben. Wir wollen nun zeigen, daß sich von den nachst verwickelteren keinEliminationsergebnis bilden laßt:P00

x

P00yðX;A;Y ¼ BÞ laßt sich nicht auswerten, d. h. nicht so umformen, daß kein

S(n), P(n) vorkommt.X oder Y allein kann man leicht herausschaffen; es ist z. B.X

X

00XY

00ðX;A;Y ¼ BÞ ¼XX

00X;A; ð��A y ��X y BÞ ¼ Bh i

:

Aber letzteresP00

X laßt sich eben nicht auswerten. Speziell laßt sichXX

00XY

00ðX;A;Y ¼ 10Þ ð1Þ

nicht auswerten.Beweis. Es gelte

00mn; ð2Þ

15 00ihk ¼ 00ih00hk00kj. Vgl. L. Lowenheim, a. a. O., S. 447.

16 L. Lowenheim, Math. Ann. 73 (1913), S. 245–272.


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d.h. m und n seien zwei verschiedene Elemente. Das Disjunktiv A sei definiert durch

Aij ¼ 10ij00jm þ 10in1jm; ð3Þ

also bei der Zahlenschreibweise

A½1; 2; 3; . . . ;m� 1; n;mþ 1;mþ 2; . . .�:

Bei dieser Wahl von A ist die Aussage X; A; Y¼ 10 bei endlichem 11 falsch, da beiendlichem 11 die Faktoren des Grunddisjunktivs 10 immer wieder Grunddisjunktivesein mussen, und A ist keins. Ist also O die aus (1), (2), (3) vereinigte Aussage mitvorgesetztem

Qmnij, so ist im endlichen Denkbereich O falsch, aber nicht im

unendlichen, denn in diesem wird die Gleichung X; A; B¼ unter der Voraussetzung(2), (3) gelost durch

X ¼ ½1; 2; . . . ;m� 1; a;m;mþ 1;mþ 2; . . .�;Y ¼ ½1; 2; . . . ;m� 1;mþ 1;mþ 2; . . .�;

wo a ein beliebiges Element ist. Daraus folgt die Behauptung.Das Eliminationsergebnis der Transformationsgleichung XAY¼B laßt sich nicht

auswerten.Beweis. Diese Gleichung fuhrt, wie im 1. Teil gezeigt ist, auf

P00X

P00Y

ðX;A;Y ¼ BÞ, wo A, B, X, Y Disjunktive sein sollen. Daß A ein Disjunktiv ist,wird ausgedruckt durch 10 { A¼A17. Nehmen wir diese Bedingung fur A, B, X, Y indie Aussage mit auf, so lautet sie

XX

00XY

00ð1 y �A ¼ AÞð1 y �B ¼ BÞð1 y �X ¼ XÞð1 y �Y ¼ YÞðX;A;Y ¼ BÞ:

Daß sich dies nicht auswerten laßt, zeigt dasselbe Beispiel wie im vorigen Beweis.Wir kommen jetzt zu der einfachsten nicht linearen Multiplikationsgleichung,

namlich zu X; X¼A.P0XðX;X ¼ AÞ laßt sich nicht auswerten, ebensowenig

P0XðX;X;X ¼ AÞ usw.

Wir beweisen z.B. das letztere. Fur A nehmen wir ein Grundelementar (d.h.eineindeutige Abbildung), das in Zyklen zerlegt lauter 3-gliedrige Zyklen ergibt, wiez.B. [231564897. . .] oder in Zyklen zerlegt (123) (456) (789). . . Es gelte also:

�A y 10 ¼ A ¼ 10 y �A ðA ist eineindeutige AbbildungÞ18 ð1ÞA � 00 ðA hat keine eingliedrigen ZyklenÞ ð2ÞA;A;A � 10 ðA hat nur ein- oder dreigliedrige ZyklenÞ ð3ÞX00X

ðX;X;X ¼ AÞ: ð4Þ

17 Schroder, a. a. O., S. 587. Schroders Formeln gelten namlich nicht nur fur Relative sondern fur beliebige quadratische

Gebietsmatrizen.18 Schroder, a. a. O., S. 587, 22.


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Im endlichen Denkbereich muß A unter der Voraussetzung (1), (2), (3) einGrunddisjunktiv sein, und zwar, da die Relativkoeffizienten auf die Werte _0; _1beschrankt sind, ein Grundelementar. Eine Losung X von (4) muß auchGrundelementar sein.

Ist z.B.

A ¼ ð123Þð456Þð789Þð102030Þð405060Þð708090Þso ist

X ¼ ð147258369Þð104070205080306090Þ

eine von den Losungen von X; X; X¼A, und man sieht leicht, daß X stets aus lauter9-gliedrigen Zyklen bestehen muß, wenn A aus 3-gliedrigen besteht. Die Elemente-zahl muß also durch 9 teilbar sein.

A0 moge aus A entstehen, indem man einen Zyklus (lmn) streicht, so daß also A0

die Elemente l, m, n in sich selbst uberfuhrt. Z. B. entsteht so aus

A ¼ ð123Þð456Þð789Þ . . . ¼ ½231564897 . . .�

durch Streichung des Zyklus (123)

A0 ¼ ð1Þð2Þð3Þð456Þð789Þ . . . ¼ ½123564897 . . .�:

Daß (lmn) Zyklus ist, wird ausgedruckt durch

AlmAmnAnl: ð5Þ

Fur das A0, das durch Streichung dieses Zyklus entsteht, ist

A0ij ¼ Aij00ilmn0

0jlmn þ 10il1

0jl þ 10im1

0jm þ 10in1

0jn: ð6Þ

Die vereinigte Aussage von (1), (2), (3), (5) heiße B. Wenn B gilt, ist im endlichenDenkbereich entweder (4) falsch oder, wenn (4) richtig ist, ist die Elementezahl durch9 teilbar; dann ist aber die AussageX

X

00ðX;X;X ¼ A0Þ ð7Þ

oder XX

00Yij

Xhk

ðXihXhkXkj ¼ A0ijÞ ð70Þ

falsch, wenn fur A0ij der Ausdruck (6) eingesetzt wird, weil die Anzahl der an derZyklenbildung von A0 beteiligten Elemente nicht durch 9 teilbar ist.

Sind nun F und C die Aussagen (4) und (7), so ist im endlichen Denkbereich

B � �Fþ �C; ð8Þaber nicht im unendlichen Denkbereich.


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Denn ist z.B.

A ¼ ð123Þð456Þð789Þ . . . in inf:

A0 ¼ ð1Þð2Þð3Þð456Þð789Þ . . . in inf:;

so kann man nicht nur X; X; X¼A, sondern auch X; X; X¼A0 losen, indem man ausden ersten drei 3-gliedrigen Zyklen in der oben gezeigten Art einen 9-gliedrigenbildet, ebenso aus den folgenden drei usw.

(8) ist also eine Fluchtaussage nach Einsetzung der Werte. Die einzigen in (8)vorkommenden Relative sind dann A und X. A hat die endliche Spezies 3, da A aus3-gliedrigen Zyklen besteht, und da (8) Fluchtaussage ist, muß bei allenUmformungen von (4) außer A noch ein anderes Relativ bleiben, also ein S(n) oderP(n). Ein bloßes S0 oder P0 wurde nicht genugen, denn ein solches ließe sichauswerten, da A eine endliche Spezies hat.

Herr Ackermann hat gezeigt, daß sogar eine Aussage, welche außer S und P nurein S0 oderP0 enthalt, sich nicht immer auswerten laßt.19 Ich habe spatestens 1920 angenau demselben (naheliegenden) Beispiel wie Ackermann den weitergehenden bisherunveroffentlichten Satz bewiesen, daß eine Aussage mit S, P und einem P0 sich nichtimmer umwandeln laßt in eine Aussage mit S, P und unnegierten S(n). Mein Beweis istaber sehr umstandlich.

19 W. Ackermann,

‘‘

Untersuchungen uber das Eliminationsproblem der mathematischen Logik‘‘, Math. Ann. 110

(1935), S. 390–413.


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funktionalgleichungen im gebietekalkül und umformungsmöglichkeiten im relativkalkül

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