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Niels Lategahn
SeminarFunktionale Datenanalyse
(WS 2014/15 )
10.11.2014
Funktionen mit NebenbedingungenFunktionen mit Nebenbedingungen
Niels Lategahn TU Dortmund
1. Fallstudie und Motivation
2. Nebenbedingungen
- positive Funktionen
- monotone Funktionen
- Wahrscheinlichkeitsfunktionen
- Dichtefunktionen
3. Aufgaben
4. Literatur
InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis
Niels Lategahn TU Dortmund
Daten der Wachstumsstudie:
- Länge des Schienbeins eines Babys
- 40 Tage, tägliche Messung
- Problem: kleine Fehler in der Messung
führen zu nicht monotoner Funktion
Fallstudie und MotivationFallstudie und Motivation
Niels Lategahn TU Dortmund
Fallstudie und MotivationFallstudie und Motivation
Niels Lategahn TU Dortmund
Fallstudie und MotivationFallstudie und Motivation
Niels Lategahn TU Dortmund
Welche Nebenbedingungen kann man an eine Funktion stellen?
Wie können diese bei der Anpassung berücksichtigt werden?
NebenbedingungenNebenbedingungen
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Mögliche Nebenbedingungen:
- Positive Funktion
- Monotone Funktion (Fallbeispiel)
- Wahrscheinlichkeitsfunktionen
- Dichtefunktionen
NebenbedingungenNebenbedingungen
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Positive Funktionen:
Nebenbedingung: x(t) ≥ 0
Beispiel: Wetterdaten
Positive FunktionenPositive Funktionen
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Transformation:
x(t) ist positiv, da Exponentialfunkt. positiv ist.
W(t) wird durch Linearkombination der
Basisfunktionen angepasst,
um den Term
zu optimieren (minimieren).
Positive FunktionenPositive Funktionen
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Transformation:
x(t) ist positiv, da Exponentialfunkt. positiv ist.
W(t) wird durch Linearkombination der
Basisfunktionen angepasst,
um den Term mit Korrelationsstruktur K
zu optimieren (minimieren).
Positive FunktionenPositive Funktionen
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Positive FunktionPositive Funktion
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Positive FunktionPositive Funktion
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Positive FunktionenPositive Funktionen
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Exkurs: Was sind Differentialgleichung?
1. Ordnung:
wird gelöst durch
4. Ordnung:
wird gelöst durch
Positive FunktionenPositive Funktionen
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Herangehensweise durch Differentialgleichung:
Erfüllt durch:
Definiere W(t) so, dass
Monotone Funktionen:
Nebenbedingung: Dx(t) ≥ 0
Beispiel: Wachstumsdaten
Monotone FunktionenMonotone Funktionen
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Monotone FunktionenMonotone Funktionen
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Transformation der Differentialgleichung:
Dx(t) ist positiv und dadurch x(t) monoton steigend
W(u) wird durch Linearkombination der
Basisfunktionen angepasst.
Monotone FunktionenMonotone Funktionen
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Monotone FunktionenMonotone Funktionen
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Differentialgleichung 2. Ordnung:
und
so ergibt sich folgendes W(u)
Ist w(t) = 0:
w(t) ≠ 0, const w:
Monotone FunktionenMonotone Funktionen
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Quelle: Ramsey, J.O., Silverman, B.W.(2005)
Wahrscheinlichkeitsfunktionen:
Nebenbedingung: p(t) > 0 und p(t) < 1
Beispiel: Wahrscheinlichkeit des Lösens einer
Aufgabe (z.B. Raschmodell)
WahrscheinlichkeitsfunktionenWahrscheinlichkeitsfunktionen
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WahrscheinlichkeitsfunktionenWahrscheinlichkeitsfunktionen
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Nun:
mit
wird gelöst durch:
Definiere W(t) als
und erhalte:
WahrscheinlichkeitsfunktionenWahrscheinlichkeitsfunktionen
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Dichtefunktionen:
Nebenbedingung: p(t) > 0 und ∫p(t)dt = 1
Beispiel: Dichteschätzung
DichtefunktionenDichtefunktionen
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DichtefunktionenDichtefunktionen
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Transformation:
mit
sodass
DichtefunktionenDichtefunktionen
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Maximieren der Log-Likelihood-Funktion
mit Strafterm
DichtefunktionenDichtefunktionen
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DichtefunktionenDichtefunktionen
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AufgabenAufgaben
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Aufgabe:
1. Simuliere 50 Daten der mon. steigenden Funktion
y(t) = t + sin(t) + e mit e ~ N(0,4) auf
dem Intervall [0,10] mit homogenem Abstand.
Plotte die Werte und passe eine Funktion
mit und ohne Nebenbedingung (Monotonie) an.
Benutze dazu die R-Funktion smooth.monotone
AufgabenAufgaben
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Aufgabe:
2. Ziehe zufällig 60 Werte aus einer
- N(0,1) – Verteilung
- Exp(2) – Verteilung
Passe eine Dichtefunktion zu den Werten an
und variere den Parameter λ des
Starfterms (3. Ordn.). R-Funktion: density.fd
LiteraturLiteratur
Niels Lategahn TU Dortmund
Ramsey, J. O., Silverman, B. W. (2005),
Functional Data Analysis, 2. Auflage,Springer, New York.
Ramsay, J.O., Silverman, B. W. (1997),
Funktional Data Analysis, Springer, New York.
Ramsay, J., Hooker, G., Graves, S. (2009)
Functional Data Analysis with R and Matlab, Springer.