Funzioni di piu variabli: dominio, limiti,continuita

Riccarda Rossi

Universita di Brescia

Analisi Matematica B

Domini

1. Funzioni (scalari) di due variabiliConsideriamo le seguenti funzioni di due variabili:

f1(x , y) = 3x2 + 2xy + 5

f2(x , y) =√

4− x2 − y2

f3(x , y) = log(y − x2)

Vogliamo determinare il dominio di queste funzioni, cioe il piugrande insieme ⊂ R2 in cui le variabili x , y possono variare inmodo tale che le espressioni analitiche per le funzioni f1, f2 e f3siano ben definite.

Quando considereremo le funzioni di due variabili, scriveremo,con un lieve abuso della notazione, (x , y) invece di (x1, x2).

La funzione f1(x , y) = 3x2 + 2xy + 5 e ben definita per tutti(x , y) ∈ R2, per cui

dom(f1) = R2.

La radice quadrata nella definizione della funzione

f2(x , y) =√

4− x2 − y2

puo essere calcolata solo quando 4− x2 − y2 ≥ 0, per cui si ha

dom(f2) = (x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4.

Quindi dom(f2) e un insieme chiuso.

Per quanto riguarda la funzione f3(x , y) = log(y − x2), notiamoche il logaritmo puo essere calcolato solo se y − x2 > 0. Quindi

dom(f3) = (x , y) ∈ R2 : y > x2,

ed e un insieme aperto

Se la funzione f e data nella forma della somma f = g + h,allora vale

dom(f ) = dom(g) ∩ dom(h)

Esempio

Consideriamo la funzione f (x , y) = g(x , y) + h(x , y), dove

g(x , y) =√x2 + y2 − 1, h(x , y) = log(x2 − y2).

2. Domini di funzioni (scalari) di tre variabili

Esempio

f (x , y , z) = sin(x − y2) + arctan

(z

y

)

Grafici

Grafici

Sia f : dom(f )→ R, dom(f ) ⊂ R2 . Il grafico di f

Graf(f ) := (x , y , z) ∈ R3 : z = f (x , y), (x , y) ∈ dom(f )

e una superficie in R3.

Per funzioni di tre variabili, il grafico e un sottoinsieme di R4.....

Campi scalari e campi vettoriali

Noi ci occuperemo di funzioni di tipo f : dom(f )→ Rm condom(f ) ⊂ Rn che spesso denoteremo con Ω.

Nel caso m = 1, in cui f : dom(f )→ R, diciamo che f e uncampo scalare

Nel caso m > 1 chiamiamo f campo vettoriale. Esempi......

Definizione (Insiemi di livello)

Sia Ω ⊆ Rn e sia f : Ω→ Rm una funzione. Sia c ∈ Rm.Chiamiamo l’insieme di livello della funzione f l’insieme

Ωc = x ∈ Ω : f (x) = c.

Interpretazione geometrica delle curve di livelloSia f : Ω→ R , Ω ⊂ R2 e quindi f = f (x , y). Sia c ∈ R Quindi

Ωc = (x , y) ∈ Ω : f (x , y) = c.

Consideriamo l’insieme

Ωc × c = (x , y , c) ∈ R3 : f (x , y) = c.

L’unione degli insiemi Ωc × c al variare di c ∈ R descriveGraf(f ).

Esempio

Sia f (x , y) = x2 − y . Allora dom(f ) = R2 e gli insiemi di livellosono le parabole date dall’equazione

y = x2 − c , al variare di c ∈ R.

Esempio

Sia f (x , y) = xy . Allora dom(f ) = R2 e gli insiemi di livello sonole iperboli date dall’equazione

y =c

x

per c 6= 0, e dall’equazione

xy = 0, cioe x = 0 o y = 0

per c = 0.

Funzioni continue

DefinizioneSiano Ω ⊆ Rn, x ∈ Ω e sia f : Ω→ Rm una funzione. Diciamo chef e continua in x se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che

∀y ∈ Bδ(x) ∩ Ω : ‖f (y)− f (x)‖ < ε.

Diciamo che f e continua su Ω se f e continua in ogni x ∈ Ω.

Proprieta delle funzioni continue

Teorema (Teorema di Weierstrass)

Sia Ω ⊆ Rn un insieme chiuso e limitato e sia f : Ω→ R. Se f econtinua in Ω, allora assume massimo e minimo in Ω.

In particolare, ogni funzione continua su un insieme chiuso elimitato e limitata.

Proprieta delle funzioni continue

Teorema (Continuita di somme e prodotti)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e siano f , g : Ω→ Rm. Se le funzioni f e gsono continue in Ω, allora vi sono continue anche la funzionesomma

f + g : Ω→ Rm, x 7→ f (x) + g(x)

e la funzione prodotto scalare

f · g : Ω→ R, x 7→ f (x) · g(x).

Dimostrazione

Teorema (Continuita della composizione)

Siano Ω ⊆ Rn,E ⊆ Rm e siano f : Ω→ Rm e g : E → Rk duefunzioni tali che f (Ω) ⊆ E . Sia inoltre x ∈ Ω tale che f e continuain x e g e continua in f (x). Allora la funzione composta

g f : Ω→ Rk , x 7→ g(f (x))

e continua in x .

La condizione che entrambe le funzioni f e g siano continue esufficiente ma NON necessaria. Infatti, la composizione g f puoessere continua anche se una delle funzioni f , g non lo e :consideriamo le funzioni f , g : R→ R definite da

g(y) = y2, f (x) =

x + 1 x ≤ 0

x − 1 x > 0

In questo caso la funzione composta g f : R→ R data da

(g f )(x) = g(f (x)) =

(x + 1)2 x ≤ 0

(x − 1)2 x > 0

e continua su tutto R nonostante la funzione f abbia unadiscontinuita di tipo salto nel punto x = 0.

Limiti

DefinizioneSia Ω ⊆ Rn e sia f : Ω→ Rm una funzione. Sia in oltre x0 ∈ Rn

un punto di accumulazione per Ω. Diciamo che L ∈ Rm e illimite di f per x tendente a x0 e scriviamo

limx→x0

f (x) = L,

se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che

∀ x ∈ Bδ(x0) ∩ (Ω \ x0) : ‖f (x)− L‖ < ε.

A differenza della continuita, il limite puo essere definito anchenei punti in cui la funzione non e definita, ad esempio:

limx→0

sin x

x= 1.

Teorema (Unicita del limite)

Siano Ω ⊆ Rn, f : Ω→ Rm una funzione e x0 ∈ Rn un punto diaccumulazione per Ω. Se esistono L1, L2 ∈ Rm tali che

limx→x0

f (x) = L1 e limx→x0

f (x) = L2,

allora L1 = L2.

Dimostrazione

Direttamente dalla definizione della continuita e del limite discendeil seguente teorema:

Teorema (Limiti e continuita)

Siano Ω ⊆ Rn, f : Ω→ Rm una funzione e x0 ∈ Ω. Se x0 e unpunto di accumulazione per Ω, allora f e continua in x0 se e solo se

limx→x0

f (x) = f (x0).

Teorema (Teorema della limitatezza locale)

Siano Ω ⊆ Rn, f : Ω→ Rm una funzione e x0 ∈ Rn un punto diaccumulazione per Ω. Se

limx→x0

f (x) = L ∈ Rm

allora esiste un intorno U ⊆ Rn di x0 tale che f ristretta a U ∩ Ω elimitata.

Dimostrazione:

Algebra dei limiti

Teorema (Limiti di somme e prodotti)

Sia Ω ⊆ Rn e siano f , g : Ω→ Rm due funzioni. Sia inoltrex0 ∈ Rn un punto di accumulazione per Ω. Se f e g ammettonolimite finito in x0, allora anche le funzioni somma f + g e lafunzione prodotto scalare f · g ammettono limite in x0 e vale

limx→x0

(f (x) + g(x)) = limx→x0

f (x) + limx→x0

g(x) (1)

limx→x0

f (x) · g(x) = limx→x0

f (x) · limx→x0

g(x) (2)

Nella definizione di limite viene chiesto che la distanza tra f (x) eL tenda a 0 quando x tende a x0 indipendentemente da come xsi avvicina a x0. Questo rende il calcolo dei limiti di funzioni di piuvariabili in generale piu complicato rispetto al caso n = m = 1.

D’altra parte, per dimostrare che una funzione non ammette limitein un punto assegnato, basta trovare due curve lungo le quali lafunzione f tende a due valori diversi:

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x , y) =x2

x2 + y2, dom(f ) = R2 \ (0, 0).

Vediamo che f NON AMMETTE limite per (x , y)→ (0, 0).

Teorema (Teorema della permanenza del segno)

Siano Ω ⊆ Rn, f : Ω→ R un campo scalare e sia x0 ∈ Rn un puntodi accumulazione per Ω. Se esiste limx→x0 f (x) = L ∈ R, L 6= 0,allora esiste un intorno U ⊆ Rn di x0 tale che f ristretta aU ∩ (Ω \ x0) ha lo stesso segno di L.

Teorema (Confronto dei limiti)

Sia Ω ⊆ Rn e siano f , g : Ω→ R due campi scalari. Sia inoltrex0 ∈ Rn un punto di accumulazione per Ω. Se f , g ammettonolimite per x → x0 e se f (x) ≤ g(x) vale per ogni x ∈ Ω, allora si ha

limx→x0

f (x) ≤ limx→x0

g(x).

Teorema (Teorema dei due carabinieri)

Sia Ω ⊆ Rn e siano f , g , h : Ω→ R tre campi scalari. Sia x0 ∈ Rn

un punto di accumulazione per Ω. Supponiamo che per ogni x ∈ Ω

h(x) ≤ f (x) ≤ g(x). (3)

Selimx→x0

h(x) = limx→x0

g(x) = L

allora f ammette limite per x → x0 e vale

limx→x0

f (x) = L.

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x , y) =|x y |√x2 + y2

dom(f ) = R2 \ (0, 0).

Dimostriamo chelim

(x ,y)→(0,0)f (x , y) = 0 (4)

Campi scalari in R2: coordinate polariQualunque punto (x , y) ∈ R2 puo essere rappresentato nel modoseguente:

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ,

dove ρ ≥ 0 e θ ∈ [0, 2π). I numeri (ρ, θ) si dicono coordinatepolari del punto (x , y). Geometricamente ρ rappresenta la distanzatra (x , y) e l’origine:

ρ =√

x2 + y2,

e θ e l’angolo fra i vettori (1, 0) e (x , y).

Esempio

Calcoliamo il limite

lim(x ,y)→(0,0)

f (x , y), f (x , y) =x2 y

x2 + y2

Esempio

Consideriamo il limite

lim(x ,y)→(0,0)

f (x , y), f (x , y) =x y

x2 + y2