furijeovi redovi zadaci i deo
TRANSCRIPT
1
FURIJEOVI REDOVI – ZADACI ( I deo)
Primer 1.
Funkciju y x= razviti u Furijeov red na intervalu [ , ]π π−
Rešenje:
Najpre ćemo nacrtati sliku da se podsetimo kako izgleda ova funkcija...
1
-1 0 x
y
1
y=xy=-x
y= x
Očigledno je funkcija parna ( grafik je simetričan u odnosu na y osu), pa koristimo formule:
0
0
2( )a f x dx
π
π= ∫
0
2( )cosna f x nxdx
π
π= ∫ dok je 0nb =
0
1
1( ) cos
2n
n
f x a a nx∞
=
= +∑
2 2
0
0 0
2 2 2 2( ) ( ) / ( )
02 2
xa f x dx xdx
π π π ππ
π π π π= = = ⋅ = ⋅ =∫ ∫
Dalje tražimo:
2
0 0
2 2( )cos cosn na f x nxdx a x nxdx
π π
π π= = = =∫ ∫
Ovaj integral ćemo rešiti uz pomoć parcijalne integracije, izvučimo ga na stranu , bez granica:
2
cos1 1 sin 1
cos sin sin sin1sin
sin 1 1 sin 1cos cos
x u nxdx dvx nx
x nxdx x nx nxdx nxdxn n n ndx du nx v
n
x nx x nxnx nx
n n n n n
= =
= = ⋅ − = − == =
= + = +
∫ ∫ ∫
Sad mu stavimo granicu:
2 2 2 1
0
2 2 2
sin 1 sin 1 0 sin 0 1cos / cos cos 0
0
1 1 1cos (cos 1)
ovo je
ovo je
x nx n nnx n n
n n n n n n
n nn n n
π π ππ
π π
⋅ ⋅ + = + − + ⋅ =
= − = −
Onda je :
2 2
0
2 2 1 2( )cos (cos 1) (cos 1)na f x nxdx n n
n n
π
π ππ π π
= = ⋅ − = −∫
Naravno da n uzima vrednosti 1,2,3...
Izraz cosnπ neizmenično ima vrednosti :
za n=1 je cos =-1
za n=2 je cos =1
za n=3 je cos =-1
za n=4 je cos =1
itd.
π
π
π
π
Dakle , važi da je cos ( 1)nnπ = −
Onda je 2
2(( 1) 1)n
nanπ
= − −
Ako je n paran broj , imamo: 2
2 2
2(( 1) 1) 0n
nanπ
= − − =
Ako je n neparan broj , imamo: 2 1
2 1 2 2 2
2 2 4(( 1) 1) ( 2)
(2 1) (2 1) (2 1)
n
nan n nπ π π
−−
−= − − = ⋅ − =
− − −
3
Vratimo se sada u formulu za razvoj:
0 2 21 1 1
21
1 1 4 1 4 cos(2 1)( ) cos cos(2 1)
2 2 (2 1) 2 (2 1)
:
1 4 cos(2 1)( )
2 (2 1)
n
n n n
n
n xf x a a nx n x
n n
Dakle
n xf x x
n
π ππ π
ππ
∞ ∞ ∞
= = =
∞
=
− − −= + = + − = +
− −
−= = −
−
∑ ∑ ∑
∑
Primer 2.
Razviti u Furijeov red funkciju ( ) sgnf x x= u intervalu [ , ]π π−
Rešenje:
Najpre malo objašnjenje:
Funkcija sgnx se čita signum od x ili po naški znak od x .
Ona je ustvari:
1, 0
sgn 0, 0
1, 0
za x
x za x
za x
− <
= = + >
pogledajmo sliku:
Ako je 0x ≠ onda imamo sgnx
xx
=
Nama ova funkcija treba na intervalu [ , ]π π− :
1
-1
0 x
y
ππ-
1
-1
0x
y
4
Očigledno je data funkcija neparna, pa koristimo formule: 0
2( )sinnb f x nxdx
π
π= ∫
1
( ) sinn
n
f x b nx∞
=
=∑
0 0
2 2 2 cos 2 cos cos 0( )sin sin /
0
2 ( 1) 1 2(1 ( 1) )
n
nn
nx n nb f x nxdx nxdx
n n n
n n n
π π π π
π π π π
π π
⋅ = = = − = − + =
−= − + = − −
∫ ∫
Opet ćemo razlikovati parne i neparne članove:
2
2 1
Za n paran broj je b 0
2 4Za n neparan broj je b (1 1)
(2 1) (2 1)
n
nn nπ π−
=
= + =− −
Sada se vratimo u početnu formulu za razvoj i imamo:
1 1 1
1
4 4 sin(2 1)( ) sin sin(2 1)
(2 1) 2 1
4 sin(2 1)sgn
2 1
n
n n n
n
n xf x b nx n x
n n
n xx
n
π π
π
∞ ∞ ∞
= = =
∞
=
−= = − =
− −
−=
−
∑ ∑ ∑
∑
Primer 3.
Funkciju , 0
( ) {, 0
xf x
x x
π π
π
− ≤ <=
≤ ≤ razviti u trigonometrijski red.
Rešenje:
Najpre uočimo da je zadati interval [ , ]π π− . Znači da ćemo koristiti formule:
0
1( )a f x dx
π
ππ−
= ∫ 1
( )cosna f x nxdx
π
ππ−
= ∫ 1
( )sinnb f x nxdx
π
ππ−
= ∫
Pazite na jednu stvar: pošto je funkcija zadata na ovaj način moramo raditi 2 integrala, gde ćemo kad su granice od
π− do 0 uzimati vrednost f(x) = π , a kad granice idu od 0 do π uzimamo f(x) = x
0 2
0
0
01 1 1 1 1 3( ) / /
02 2 2
xa f x dx dx xdx x
π π
π π
π π ππ π π
ππ π π π π− −
= = + = ⋅ + = + =−∫ ∫ ∫
5
1 1( )cosna f x nxdx
π
ππ π−
= =∫ π0
0
0
0
1cos cos
1 cos cos
nxdx x nxdx
nxdx x nxdx
π
π
π
π
π
π
−
−
+
= +
∫ ∫
∫ ∫
Ovde imamo integral sa parcijalnom integracijom, pa ćemo njegovu vrednost ( bez granica naći “na stranu”)
2
cos1 1 sin 1
cos sin sin sin1sin
sin 1 1 sin 1cos cos
x u nxdx dvx nx
x nxdx x nx nxdx nxdxn n n ndx du nx v
n
x nx x nxnx nx
n n n n n
= =
= = ⋅ − = − == =
= + = +
∫ ∫ ∫
Sad se vratimo u na :
0
2
0
2 2
0 0 0
2 2
01 1 1 sin 1cos cos sin / cos /
0
1 1 1 sin 1 0sin 0 1[ sin 0 sin ( )] [ cos cos 0 ]
1 1 1 1( cos )
n
ovo je sve ovo je ovo je
x nxa nxdx x nxdx nx nx
n n n
n nn n n n
n n n n n n
nn n n
π
π
π
ππ π
π ππ π
π
ππ π
−
= + = + + −
⋅ = ⋅ − − + + − + ⋅
= − =
∫ ∫
2 2
2
2
1(cos 1) (( 1) 1)
:
2 , 2 1, 0,1,2,3...1
(2 1)(( 1) 1) {
0, 2 , 0,1, 2,3...
n
n
n
nn
Dakle
n k kka
nn k k
ππ
ππ
− = − −
−= + =
+= − − =
= =
Još da nadjemo :
0
0
0
0
1 1 1( )sin sin sin
1 sin sin
nb f x nxdx nxdx x nxdx
nxdx x nxdx
π π
π π
π
π
ππ π π
π
− −
−
= = +
= +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
I ovde ćemo najpre odraditi parcijalnu integraciju:
2
sin1 1 cos 1
sin cos cos cos1cos
cos 1 1 cos 1sin sin
x u nxdx dvx nx
x nxdx x nx nxdx nxdxn n n ndx du nx v
n
x nx x nxnx nx
n n n n n
= =
= = − ⋅ + = − + == − =
= − + = − +
∫ ∫ ∫
6
Sada imamo:
0
0
2
2 2
1sin sin
01 1 cos 1cos / sin /
0
1 1 1 cos 1 0 cos( 0) 1{ cos 0 cos ( ) } { sin sin( 0) }
1 1 1 coscos ( )
n
n
b nxdx x nxdx
x nxnx nx
n n n
n nn n n n
n n n n n n
nn
n n n
b
π
π π
π
π π
π ππ π
π
π ππ
π
−
= +
= − + − + −
⋅ ⋅ = − ⋅ − − − + − + − − + ⋅
= − + + −
= −
∫ ∫
1 cos cos
1n
n n
n n n
bn
π π+ −
= −
Sada možemo zapisati i ceo razvoj:
0
1
20 1
1( ) ( cos sin )
2
3 2 cos((2 1) ) sin( )
4 (2 1)
n n
n
k n
f x a a nx b nx
k nxf x
k n
π π
π
∞
=
∞ ∞
= =
= + +
+= − −
+
∑
∑ ∑
Ovaj red konvergira ka funkciji S koja se, po Dirihleovoj teoremi poklapa sa funkcijom f na intervalu:
[ ,0) (0, ]π π− ∪ a kako f(x) ima prekid za x = 0 to je (0 0) (0 0) 0
(0)2 2 2
f fS
π π− + + += = =
grafik pogledajte na slici:
0x
y
π
π-
2π
2π-
π
www.matematiranje.com