INTEGRALES MLTIPLES

INTEGRAL DOBLE

Prof. Isidoro Ruiz Arango

LOGROS DE

APRENDIZAJE

1. Evaluar una integral iterada y

encontrar el rea de una regin

plana.

2.Usar una integral doble para

encontrar el volumen de una

regin slida.

3.Escribir y evaluar integrales

dobles en coordenadas polares

4.Resolver problemas de

aplicacin de integrales dobles.

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

La integral definida bidimensional es conocida como

integral doble de una funcin de dos variables.

Por medio de una retcula

de lneas verticales y

horizontales paralelas a

los ejes coordenados,

forme una particin P de R

en subregiones

rectangulares Rk de reas

Ak= xkyk

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

1

( , ).n

n k k k

k

S f x y A

Formamos la sumatoria

Cuando existe el lmite la funcin es integrable y se

conoce como la integral doble

1

lim ( , ). ( , )

0

n

n k k kn

k R

k

S f x y A f x y dA

A cuando n

Si f(x,y) es continua es integrable

Calculamos el lmite cuando n

aumenta ya que los rectngulos

son cada vez ms pequeos 1( , ).

n

n n k k k

k

lm S f x y A

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

Cuando n crece, las sumas de Riemman

se aproximan al volumen del slido

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

El lmite o integral

doble es el volumen

del slido sobre la

base R.

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

PROPIEDADES Sean f y g funciones de dos variables que son integrables

sobre una regin R del xy, entonces:

El proceso de las integrales iteradas con cualquier

orden de integracin dan el volumen y es igual a la

integral doble. Sin embargo, como se incluyen dos

variables, se debe integrar (x; y) manteniendo una variable fija e integrando respecto a la otra. Esto es:

INTEGRALES ITERADAS P

rof.

Isid

oro

Ru

iz A

ran

go

TEOREMA DE FUBINI:

Si f(x,y) es continua en la regin rectangular

R,entonces:

( , ) ( , ) ( , )d b b d

c a a cR

f x y dA f x y dxdy f x y dydx

22

2 2 2

11

1

2 xxy dx x y

23

2y

Por ejemplo, para calcular , se integra

respecto de x, utilizando el teorema fundamental del

clculo y manteniendo y constante.

22

1xy dx

INTEGRO

RESPECTO DE X

CONSTANTE!

1

02y xdx

1

02 xydx

Solucin:

Resolver la siguiente integral iterada: Ejemplo (1):

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

12

0yx

2

22

xy

2 21 0y y

y

En general, integrar parcialmente una funcin

(x, y) respecto de x en a, b genera una funcin

que depende slo de y, y que puede integrarse en

c, d como una funcin de una sola variable,

produciendo as lo que se llama una integral

iterada

( ( , ) )d b

c af x y dx dy

Ejemplo:

1 2 21 1 xy dx dy

INTEGRO

RESPECTO DE X

CONSTANTE!

INTEGRO

RESPECTO DE Y

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

13

1

11

2

y

yy

12

1

3

2y dy

De manera semejante, la integral iterada

se obtiene integrando primero respecto de y en

c, d, manteniendo x constante, y luego integrando

respecto de x en a, b.

( ( , ) )b d

a cf x y dy dx

2 1 21 1xy dy dx

INTEGRO

RESPECTO DE Y

CONSTANTE!

INTEGRO

RESPECTO DE X

Ejemplo:

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

22

1

11

3

x

xx

2

1

2

3xdx

1 2

0 0dydx

1 2

0 0dxdy

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

Ejemplo (2):

Calcular la siguiente integral iterada:

1 2

0 0dydx

Solucin:

1 2

0 0dx dy

1 2

0 0x y 1 0 2 0 1 2 2

Ejemplo (3):

Resolver la siguiente integral iterada:

1 2

0 0dxdy

Solucin:

1 2

0 0dy dx

1 2

0 0y x 1 0 2 0

1 2 2

1 3

0

y

ydxdy

12

0

22

y

Ejemplo (4):

Resolver la siguiente integral iterada:

1 3

0

y

ydxdy

Solucin:

Ejemplo (5):

Resolver la siguiente integral iterada: 2

1

0

x

xdydx

Solucin:

2

1

0

x

xdydx

12 3

02 3

x x

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

1 3

0

y

ydy dx

1 3

0

y

ydy x

1

03y y dy

1

02ydy

1

02 ydy

12

0 y

2 21 0 1

2 2

1 1

0 0

xx

x xdx dy dx y

12

0x x dx

1 12

0 0xdx x dx

2 3 2 31 1 0 0

2 3 2 3

1 1 3 2 1

2 3 6 6

2 3

1

y

yx y dxdy

32

2

1 2

y

y

xyx dy

Ejemplo (6):

Resolver la siguiente integral iterada: 2 3

1

y

yx y dxdy

Solucin:

2 22

2 2

1

93

2 2

y yy y dy

2

2 2

14 2 y y dy

3 3

2 2 2 1 2 8 2 1 16 2 14

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

2 3

1

y

ydy x y dx

2 3 3

1

y y

y ydy xdx y dx

2 22 2 21

33

2 2

y yy y dy

228 2

2

yy dy

22

16 y dy

22

16 y dy

3 2 3 2

1 1

62

3 y y

x

y

a b

d

c

Integral doble sobre una regin rectangular:

La integral doble de f sobre la regin rectangular

es: R : a x b, c y d

( , ) R

f x y dA

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

( ( , ) ) b d

a cf x y dy dx ( ( , ) )

d b

c af x y dx dy

( , ) 1Como f x y

( , ) b d

a cR

f x y dA dydx b d

cay dx ( )

b

ad c dx

b

a= (d-c)x

= (b -a)(d-c)

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

INTEGRAL DOBLE SOBRE UNA REGIN PLANA

Consideremos la regin plana R acotada por ax b y g1(x) y g2(x).

( )A R

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

Consideremos la regin plana R acotada por cy d y h1(y) x h2(y).

( )A R

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

Ejemplo (7): Evale la integral iterada de f(x,y)=2xy sobre la regin que se muestra en el siguiente grfico.

Solucin:

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

Ejemplo (8):

Solucin:

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

Ejemplo (9): Halle el rea de la regin R que se

encuentra bajo la parbola y=4x-x2; sobre el eje X,

y sobre la recta y=-3x+6.

Solucin:

Primero, dividimos la regin en

R1 y R2.

dx: constante dy: variable 1y x yx

Punto de interseccin en x:

3

1

1

1

1

xx

x x

x

x

1 2

: 1

x

Dy x

x

2

11

ln lnx

D

x

y xdA y xdydx

Planteamos la Integral:

2;;1: xxyxyDD

xdAy ln

Ejemplo(10): Calcular la integral doble donde la

regin D esta formada por las curvas:

Solucin:

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

Se calcula la Integral:

2

11

lnx

x

y xdydx

2 2

11

ln2

x

x

yx dx

2

2

1

1 lnln

2

xx x dx

x

1

2

2 2

2

1 1

1 lnln .........(

21)

I

I

xx x dx dx

x

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

2

11

lnx

x

x ydydx 22

2

1

1 1ln

2x x dx

x

2 2 2 2

ln ln2 2 2 4

x x dx x xx x

x

1 lnI x xdx 2

u = lnx dv = xdx

dx xdu = v =

x 2

Por partes

uv vdu

2 2

ln xI dx

x 2ln . x x dx -2

Otra vez por partes :

u = lnx dv = x dx

dx 1du = v = -

x x

2ln ln 1 x x

x dxx x x

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

22 2

1

1 ln 1ln

2 2 4

x x xx

x x

1 ln2 1 12ln2 1 0 0 1

2 2 2 4

1 ln2 52ln2

2 2 4

0,241

1

2

2 2

2

1 1

1 lnln

2 II

xx x dx dx

x

2 2

1 ln2 4

x xI x

2

ln 1xI

x x

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

MUCHAS GRACIAS POR TU ATENCIN.