f(x)=0 根或 f(x) 零点，当 f(x) 复杂时，很难求（找近似有效简单方法）。

先我们看一看以下的具体例题

第七章 求方程根的近似方法

引 言引 言

一、提出问题

能否求解下列方程

能否解出上述方程的近似解？（精确到 0.1 ）

（ 2 ） x2-2x-1=0 ，

（ 3 ） x3+3x-1=0 .

（ 1 ） lgx=3-x ，

的一个正的近似解 . （精确到 0.1 ）

二、方法探究x2-2x-1=0

- +

2 3f(2)<0 ， f(3)>0 2<x1<3

- +

2 2.5 3f(2)<0 ， f(2.5)>0 2<x1<2.5

- +

2 2.25 2.5 3f(2.25)<0 ， f(2.5)>0 2.25<x1<2.5

- +

2 2.375 2.5 3f(2.375)<0 ， f(2.5)>0 2.375<x1<2.5

- +

2 2.375 2.475 3

f(2.375)<0 ， f(2.4375)>0 2.375<x1<2.4375

(1) 不解方程，如何求方程

（ 2 ）能否简述上述求方程近似解的过程 ?

（ 3 ）二分法（ bisection method ）：象上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。

三、自行探究

利用计算器，求方程 lgx=3 - x 的近似解 . （精确到 0.1 ）

解：画出 y=lg x 及 y=3 -x 的图象，观察图象得，方程 lgx=3 - x 有唯一解，记为 x ，且这个解在区间（ 2 ， 3 ）内。

设 f (x)=lgx+x -3

因为 2.5625 ， 2.625 精确到 0.1 的近似值都为 2.6 ，所以原方程的

近似解为 x1≈2.6 .

根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号

（ 2 ， 3 ） f(2)<0 ， f(3)>0 2.5 f(2.5)<0

（ 2.5 ， 3 ） f(2.5)<0 ， f(3)>0 2.75 f(2.75)>0

（ 2.5 ， 2.75 ） f(2.5)<0 ， f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0

（ 2.5 ， 2.625 ） f(2.5)<0 ， f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)<0

（ 2.5625 ， 2.625 ）f(2.5625)<0 ， f(2.625)>0

四、归纳总结

用二分法求方程 f(x)=0 （或 g(x)=h(x) ）近似解的基本步骤 :

1 、寻找解所在区间

（ 1 ）图象法先画出 y= f(x) 图象，观察图象与 x 轴的交点横坐标所处的范围；或画出 y=g(x) 和 y=h(x) 的图象，观察两图象的交点横坐标所处的范围。

（ 2 ）函数性态法

把方程均转换为 f(x)=0 的形式，再利用函数 y=f(x) 的有关性质（如单调性），来判断解所在的区间。

2 、不断二分解所在的区间

若 0)(,0)(),,(1 bfafbax 不妨设

（ 3 ）若 ，0)2

( ba

f

对 (1) 、 (2) 两种情形再继续二分解所在的区间 .

（ 1 ）若 ，0)2

( ba

f

（ 2 ）若　 ，0)2

( ba

f

0)( af由　　　　， )2

,(1

baax

则

0)( bf由　　　　， ),2

(1 bba

x

则

21

bax

则

3 、根据精确度得出近似解

),(1 nmx 当 ，且 m, n 根据精确度得到的近似值均为同

一个值 P 时，则 x1≈P ，即求得了近似解。

课堂小结

对某一类问题（不是个别问题）都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到惟一的结果，

如果一种计算方法

我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法。

算法：

算法特点：　　　　算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，　　　　　　　　但它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果。　　　　　　　　　　　　　　　　更大的优点是它可以让计算机来实现。

设连续函数 设连续函数 ff((xx) ) 在在 [[aa,,bb]] 内仅有一根 内仅有一根 , , ff((aa))

ff((bb)<0 , )<0 , 可取其中点为近似根 可取其中点为近似根 , , 记为 记为 xx0 0 , , 其其误误

差为 差为 ((bb--aa)/2)/2 。。

§7.1 区间二分法

x

y

0a

b

f(x)

x

若误差符合要求 , x0 便可接受 . 否则取 a, b 中函数值与 x0 的函数值异号者跟 x0 构成新的求根区间 , 记为 [a1,b1].

重复以上做法，得新近似根 x1, …

这样不断将区间分半 , 得到一系列区间 [an,bn], 和近似根

( 区间中点 ) xn , n=0,1,2,3…, xn 误差为 (b-a)/2n+1, 区间

[an,bn] 长的一半 , xn→ξ.

根分离：画草图，试算 . 多项式方程根的模

的上下界。

理 论 : f(x) ∈ C[a,b],单调， f(a)f(b)<0

f(x)=0 在 (a,b) 有唯一根。

例 2.1 用二分法求 在 (1,2) 内的根，要求绝对误差不超过 解： f(1)=-5<0 有根区间 中点 f(2)=14>0 -(1,2)+

f(1.25)<0 (1.25,1.5) f(1.375)>0 (1.25,1.375) f(1.313)<0 (1.313,1.375) f(1.344)<0 (1.344,1.375) f(1.360)<0 (1.360,1.375) f(1.368)>0 (1.360,1.368)

0104 23 xx210

2

1

f(1.5)>0 (1,1.5)

nx 1.51 x

364.1

368.1

360.1

344.1

313.1

375.1

25.1

8

7

6

5

4

3

2

x

x

x

x

x

x

x

364.18* xx若取近似根

2* 102

1004.0)360.1368.1(

2

1|| xx

优点：条件简单 .缺点：收敛慢 . 不易求偶数重根 . 如图

，则

（事后估计）

x

y

1. : ( ) 0

( ) (

f x

x x f

建立 改写等价方程

， ， 连续）

0

1

,...)2,1,0( )(

x

nxx nn

取定初值

一 . 迭代法的建立与收敛性

§7.2 迭代法

1 2 1 , ,..., , ...,

n nx x x x

则产生数列

若该数列收敛，设极限为 ，则

1lim lim ( ) n nn nx x

( )

1

( ) 0

, n

f x

n x

即 是 之根，

故当 充分大时 可作为近似值

( )x问题： 形式不唯一?

3 1 0x x 例 1 求方程 在 x=1.25附近的一个根。

左表记录了各步迭代的结果。如果仅取 6位数字，那么，由表可知， x7

与 x8完全相同。 这时可认为 x8

实际上已满足方程。

从而得到所求根为 x*=1.32472

2.收敛定理（定理 2.2 ）

],[)( baCx 设

为常数）LLxbax (1|)('|],,[)2(

01

10

1||3

(],,[2

],[)(1

xxL

Lx

xxbax

baxx

n

n

nn

）（

）收敛到）（；有唯一根在）方程则：（

;)(1 bxabxa 时，）当（

.

)(,0)('1)('

,0)(

],,[

,0)()(,0)()(

),()((1)

唯一故根递增，又

使故至少有

则设证：

xgxxg

g

ba

bbbgaaag

xxxg

(2)

1nx ，故收敛。 )(

001

12

时当

n

xLxL nn

中值定理

n

nnnn

xL

xxx ))((')()(1

( ＊ )1

－－

）式（由（＊）

（＊） －

式）由（＊）

（＊） 中值定理

011

2

1

111

11

11

11

2

31

1

)1(

1 (

)()(

2))(('

)()(

xxL

Lxx

L

L

xxL

x

xLxLx

xxxxxx

xxLxx

xxxx

n

nn

nnn

nnn

nnnnnn

nnnnn

nnnn

(3)

注： L 越小，收敛越快。

3．编程停机判断

)(1 nn xx （取定初值0x ）计算，当

nn xx 1 时，由（＊） 3 式知

L1

1

－nx

比较小，此时停机， 1nx

二、迭代加速公式（略）

由

原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 /* Taylor’s expansion */

取 x0 x* ，将 f (x) 在 x0 做一阶 Taylor 展开 :

20000 )(

!2

)())(()()( xx

fxxxfxfxf

， 在 x0 和 x

之间。将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：

)*)(()(*)(0 000 xxxfxfxf )(

)(*

0

00 xf

xfxx

线性 /* linear */

x

y

x*x0

)(

)(1

k

kkk xf

xfxx

只要 f C1 ，每一步迭代都有 f ’( xk ) 0 ， 而且 ，则 x* 就是 f 的根。

*lim xxkk

§7.3 　 Newton 迭代法

定理 （收敛的充分条件）设 f C2[a, b] ，若

(1) f (a) f (b) < 0 ； (2) 在整个 [a, b] 上 f ” 不变号且 f ’(x) 0 ；

(3) 选取 x0 [a, b] 使得 f (x0) f ”(x0) > 0 ；

则 Newton’s Method 产生的序列 { xk } 收敛到 f (x) 在 [a, b] 的唯一根。有根 根唯一 产生的序列单调有

界，保证收敛。定理 （局部收敛性）设 f C2[a, b] ，若 x* 为 f (x) 在 [a, b] 上的根，且 f ’(x*) 0 ，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 ， Newton’s Method 产生的序列 { xk } 收敛到 x* ，且满足

*)(xB

*)(0 xBx

*)(2

*)(

)*(

*lim

21

xf

xf

xx

xx

k

k

k

证明： Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代 其中 ，则

)(

)()(

xf

xfxxg

10

*)(

*)(*)(*)(

2 xf

xfxfxg 收敛

由 Taylor 展开：2)*(

!2

)()*)(()(*)(0 k

kkkk xx

fxxxfxfxf

2)*()(!2

)(

)(

)(* k

k

k

k

kk xx

xf

f

xf

xfxx

1kx

)(2

)(

)*(

*2

1

k

k

k

k

xf

f

xx

xx

只要 f ’(x*) 0 ，则令 可得结论。

k

在单根 /*simple root *

/ 附近收敛快

注：注： Newton’s Method 收敛性依赖于 x0 的选取。注：注： Newton’s Method 收敛性依赖于 x0 的选取。

x*x0x0

x0

改进与推广 /* improvement and generalization */ 重根 /* multiple root */ 加速收敛法：

Q1: 若　　　 ， Newton’s Method 是否仍收敛？0*)( xf

设 x* 是 f 的 n 重根，则： 且 。

)(*)()( xqxxxf n 0*)( xq

因为 Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代，

其中 ，则)(

)()(

xf

xfxxg

2

2

*)(

*)(*)(*)(1|*)(|

xf

xfxfxfxg 1

11

n

A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。Q2: 如何加速重根的收敛？A2: 将求 f 的重根转化为求另一函数的单根。

令　　　　　，则 f 的重根 = 的单根。)(

)()(

xf

xfx

正割法 /* Secant Method */ ：Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ’ ，相当于 2 个函数值，比较费时。现用 f 的值近似 f ’ ，可少算一个函数值。

x0x1

切线 /* tangent line */

割线 /* secant line */

切线斜率　　割线斜率1

1 )()()(

kk

kkk xx

xfxfxf

)()(

))((

1

11

kk

kkkkk xfxf

xxxfxx 需要 2 个初值 x0 和

x1 。

收敛比 Newton’s Method 慢，且对初值要求同样高。

下山法 /* Descent Method */ ——Newton’s Method 局部微调：

原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 ，使得 。1kx )()( 1 kk xfxf

xk xk+1

,)1(1 kk xx ]1,0[)(

)(

)1(])(

)([1

k

kk

kk

kkk

xf

xfx

xxf

xfxx

注：注： = 1 时就是 Newton’s Method 公式。

当 = 1 代入效果不好时，将 减半计算。注：注： = 1 时就是 Newton’s Method 公式。

当 = 1 代入效果不好时，将 减半计算。

过 ))(,( nn xfx 切线

)()(')( nnn xxxfxfy

与 0y 求交点，解出

1n

xx , 则

)('

)(1

n

nnn xf

xfxx

2.Newton迭代法的几何意义

3.Newton 迭代法收敛定理（定理 7.1 ）

0)( xf 在 ba, 有根 α，且 )(xf 在 ba,

（ 1 ） )("),(' xfxf 连续，且分别不变号；

bax ,0 , 使

则 Newton 迭代法（ 2.1 ）产生的数列 1nx

的收敛到根 α。

（ 2 ） 取初值

设

0)(")( 00 xfxf

0)(,0)(",0)('0

xfxfxf

为例证明（其它情况类似）

证： 以

2"( )( ) ( ) '( )( ) ( ) 0

2!n

n n n n

ff f x f x x x

将 在)(f nx 处 Taylor 展开

2

21 1

( ) "( )( )

'( ) 2 '( )

"( )( )

2 '( )

n nn n

n n

nn n n

n

f x fx x

f x f x

fx x x

f x

说明数列 1nx 有下界 α

又 n

n

nnn x

xf

xfxx )('

)(1 故 1nx 单调递减。

1 nx 收敛。设 xxnn 1lim

则由（ 2.1 ）， xxfxf

xfxx ,0)(,

)('

)(

，

例 2.2

解：设 ,0, 2 cxcx 则

取 cxxf 2)( ，则由（ 2.1 ）

)(2

1

2

2

1

n

n

n

nnn x

cx

x

cxxx

)0( cc用 Newton 迭代法求

§7.4 弦截法

牛顿法的突出优点：收敛速度快。

缺点：需要计算导数 。若计算 较困难，则用牛顿法不方便。

)(xf )(xf

为避免计算 ，可用差商 近似代替 ，于是得

)(xf 0

0 )()(

xx

xfxf

k

k

)( kxf

弦截法的迭代格式：

)()()(

)(0

01 xx

xfxf

xfxx k

k

kkk

上式有明显的几何意义：

设曲线 y=f(x) 上横坐标为 x0 和 xk 的点分别为

P0 和 Pk ，则差商

0

0 )()(

xx

xfxf

k

k

表示弦 的斜

率 ,弦 的方程为kPP0

)()()(

)(0

0k

k

kk xx

xx

xfxfxfy

kPP0

Ox*

xk+1

xk

Pk

P0

x0

x

yy=f(x)

可见，前述迭代格式求得的 xk+1 实际上是弦

与 x 轴交点的横坐标（令 y=0 解出 x即可）

kPP0

因而此法可形象地称为弦截法。

弦截法的收敛速度比牛顿法慢得多。为了

加快收敛速度，我们改用差商 来

代替牛顿迭代格式中的 。于是得到1

1)()(

kk

kk

xx

xfxf

)( kxf

快速弦截法

迭代格式：)(

)()(

)(1

11

kk

kk

kkk xx

xfxf

xfxx

快速弦截法也是迭代法。不过，前面讨

论的迭代法在计算 xk+1 时只用到上一步的结

果 xk （一步迭代）。而快速弦截法则是一种

多步迭代（两步迭代：在计算 xk+1 时要用到

前两步的结果 xk 和 xk-1 ，因此在使用快速弦截

法时，必须给出两个初始近似根 x0 和 x1 ）。

例 用快速弦截法求方程

的根。设方程的两个初始近似根为 x0=0.5 , x1=0.6

01 xxe

表 2—5

k xk xk-xk-1

0 0.5

1 0.6 0.1

2 0.56532 -0.03468

3 0.56709 0.00177

4 0.56714 0.00005

与例 1 （ P285 ）中牛顿法的计算结果相比较，可以看出快速弦截法的收敛速度也是相当快的，迭代到第 4步就得到精度 的结果。

410

基本要求

1.熟悉区间＝分法；2.熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理；3.熟悉Newton迭代法及其几何意义和收敛条件。

作业： 作业集 第七章习题

1 、 2 、 3 、 4、 6