Suber zositkov zakladneho kurzu fyziky

1 Vektory2 Kinematika3 Dynamika hmotneho bodu4 Dynamika sustavy hmotnych bodov a telesa5 Gravitacne pole, hydromechanika6 Kmitanie a vlnenie7 Tepelny pohyb, tennodynamika8 Elektrostaticke pole9 Elektricky prud10 Magneticke pole11 Elektromagneticke pole12 Optika13 Kvantove javy

ISBN 978-80-227-2668-9

Ivan Cerven

r

FYZlKA PO KAPITOLACH

Kmitanie a vlnenie

, . . . . STU

SLOVENSKA TECHNICKA UNIVERZITA

.,~""""""----

Ivan Cerveii

r

FYZII(A PO I(APITOLACH.

Kmitan ic a vlncnie

Slovcnsk a technicka univerzita v Bralislavc

2007

t&,') 00

6. J Kmitanlc

kdc A .i(~Ilajvii~~ia vy~:hylka - afllpiilti.i/a. Pre pri~Hll!1spricvodica do osi .f (6.1.1.1)plal(

UIll(.l(;nCIl!fll rovnic (6.1.1.1) a (6.1.1.2) na druhu a ich sCal.an',n dostaueuic:

., " 2"," + y' = A ,KI'u~ovc sl()v~k.llilavy pohyli, iJJrlllollil.:kY jlohyb, frekvencia, uhlov [rckvencia, doba kmitu,I'ohyhov:l rovuica h:lfllI(lnickchu oscil.irora, 3111pliluU3 kmitov, fa'()vy uhol, f~'I_l'Vt:posilnuti(.', energia Imrmonic;k.ciJo oscilatora, !In!l'ny hannonic:ky osciliitor, I'~riodicky[lohyb,. ap(~rilldjcky pohyh, kocficient rtmenia, logariun;l.:kY dckremcnt, vynutcnckruitanie, rCZOIlHII(;lil, rffl.ununcll{t Irckvencia, skladanie kmitov, r:\zv, Lissajonsovchiv~ -

COje rovnicu kruznicc.Dcrivaciou vzt'ahu (6.1.1.1) 1}I.)(irncaslI dustaneme y-ovu suradnicu rychlosli:

V)' '" II (l)CI)S I) r)(6.1. 1.3)

:1 druhou derivriciou xurudnicu "'rychle.nit!:-6.1. I Uvnd, kinernutlkn harmon iekcho pohyhu

fl, = ..ArJ sill ((/)1) = . ?OJ )' Klnitavy pohyh jc vyzlIany pripad, ked' kmitajuci objckt kmici l.lozdl7. jednc]pnall,ky. tvlat\anat.ickY opis takchoto kmitaveho poirybu S!t opicm o gOllil)lllclrick~fnnkcic sinus, rcxp. kostnas. Takyto jcdnoduchy krnitavy pohyb sa IH17.YVNJUlrllulllick_V p(lllyb. Kincmaticky si hu HI07.JlO Zo:i7.orllie ako priCtllcl' rUVll(llllt~rl1~h\)pohybu hod" po krll;.llic;i . rlo priamky lcziac!:':i v rovine kruznicc. N:i%UnlC je II) najilliivredy, ked' priamka prt~cl!adza strcrlom kru:l.nict'.

Na nasledujricom obrazku jc unkreslcna kruznica so sprievudicom bodu l~iknltiusc':k" so s{pko~v kntzllici), k(ol'cl,o konicc sa po lI!'!j pohybuj kOns(anlllOlJ uhlovour9chl().~('()11 (I). Uscc~a v grafe prl!,i.~I~vl~0prielnct sprit'vorlicll do 7.visll~ osi. Vcl'ko~f'toho(o flrjl~"JelU ~IIs c.1.~0," 1l1l;nitxllll'a fllnkl:ic sinus. Co viduo lin obrazkll.

(6.1.1.4)Poloha kruirujuccj l'aslicl!, .i~irychlost' a 'lry(:hk:llic su vcktorove vcticiny. Ak

caslic(1).HC)Upoloboll ~.clv(ljIHls()bila'! ..8ie.~cllie Prc rYclrl(lsl.' osci lalol'a plmi vzi'nh (ii.l. i.3), po(ll'a kt.orcbo "'y'" II (I)ens ( Ii) I) .I'd prcchotk rovn,)v:i'l.1l011 poll)hOll I11ltrnaxiln(iitlll rYl'lllnst', vIed y t:O$( 0) /) '-' j_ I. Aksa 1It:~ Ilito ryehk,,1.' zelvnjllusobil', IIlJJ~i sa :t.dvojn(isl.lhil.' hud' al1lp!il(Jclf1. aldlofrekvt'11Cill oscilatof:l, prlp"dtlC~ spnll)cne S,.1

(6. I.? .. ()

.~

alebo s vyuzilinl vzt'ahu (f,. 1.2.2):l\.on/rO/IIC olazkyI, NIII'("/e ako uivis! lI)'rhylka hanuonickeha osciiatoro od casu.2. Uved'te, l:1Jje (lllIpliftidll harmonirkeho poltybu.3. l~vjudrile ryc"to.~t' pri lutrmonickom poliyb ilJ;o funkciu casu.1. V ktorc] poloh tlosahuje harmonicky oscitdtor nujviii'siu r)'(:hlost; v ktore]

IIlIjl'ii,;,Ue ;,rjrl>lcnie?

a) h) )'7. '7. cos ((I) r) .(i. 1.2.6)

() spnivnosri Iyehl\.) ricscnt sa IlIo'tnO rrc.~vcct6l' ich dosadcnim do dilcrencialncjrovnicc. Vseobccnc ric.

zvuky Vy(!;iVlillC rli7.nyrni hudohnyrni nastrojmi). Proto Illa opix jcdnoduchehohannouickeho oscildtor principidlny vyznam.

6

(6.1.~.1 )

Prlklad n.1. 2.1 I\kY.it< pomcr frck vencif dvoch oxcikitorov (:tilvaiia VIS"'!;!:: narovnukych I)n'~inach), ktorych hmomosu su In, a In:>.;::: 2111, '?N.ie,vcnie Vyu7.ijelnc vzr'ah (6.1.2.2) ,tj. k =: 171aJ ,7. ktorcho vyptyva, iI_, (J :..:k /11' .,Proto (0..\ 1(0.)- -= (/1,,.1 nl,) '-' 2 111,1111, = 2. Poiner trckvcncif jc (~/olJ.) 'Co (2)'12 .

Pri vypoctc potenci.ilnej energie srue vyulili vzr'ahpo'enci,ilnej el1e(gic sa proto rovna vyr..l7:U

(6.1.3.2)k '" l"aJ. SUCcT kinetickej a

._-_ .... _---

,.,

KUlltrollle. ouizkI. like. vlastnusti 1I111.Ir mat' sila vyvoldvajuca hal'lno/licky pohyb '!2. l\lo,,':'le pohyh()v!1 rovnicu hannonickeho oscilatoru.3. Nap(.vlc najjednoduchsic riesenie diferencidlnej rovnic harmonickeho oscildtora.4. N(lpr.~/(:vieobecn ril.'.Y((l1iedifcrencidlne] rovuice harmonickeho oscilatoru.5. NClJli.vfe vzrah !l1I'lizi uhlovou [rekvenciou a tuhost'ou oscildtora,6. Co Zlullru~n4.t(l'l.()\leposunutie l' rovnici pre vychylkll harmonickeho oscildtorn ?7. Uvcd'te, aka .l'Iivixi(l7,(f(:ialo{I/(: podmicnkyso 1.reobecn.YIII rieicnim dij;:rl-:tll:i(llil(~i

ro VIIIC!!. 11(11'111(111ickeho (IS cil" tora .8. Zmeui .\'(1 [rekvcncia harmonickcho asci latora, uk zdvojnosohime jeho ampl] (lit//,! '!9. Zmeni safrekvencia hal'llloflil.kfho oscilutora, ak zdl'(~ill(isobbll(!.i(!h(J lunotnost?

co jc vzt'uh vyjadrujuci C(i1kovllencrgitt hannonickeho oscildtora:

/' 1 C' 1;=-"11'1 (l'.2

(i. I .3.1)(.:clkova cn(~rgill rncch ..nickeho hal'nlonick6ho (Iscibitora 1.avisl oil [Jrvc.i mocninyhmotnosti oscilatorn, druhe] mocniny Illl'lllihldy It druhej mocniny frekveaele.

Potcncitil na cncrgi n hllrllluni

Priklad 0.1.3.? VypO,:il,\jle pomer celkovych ~.ncr~ii dvoch osciiatorov s rovnakymituhost'ami, rovnakyilli amplittidami a hmotnost'ami In, a Ill? = 2 rill!Nil!iellic PI; ri(~~cn( vY1l1.ijc::mcvzt':J1t (6. 1.3.3) pre celkovu cuergiu I;'= ( 1/7.)111(J1\1a vzr'ah (6. 1.7..2) vyjadrujrici s,;yislos!' tuhosti oscilatora, uhlovcj trek vcncic nhmolnosli oscibilora k == "I(J. SpOjCIIIlI1 Iyehlo vzrahov dosranemc pre ~lIcr:.:iuoscilatnra F: == (112) kA2. Kcd'7.c oscilatory IlIajlllubost' k II arnplinidu A rovnakri,maju rovnakc aj energic.1'1I'l.1Zc1I1I,kaNemaji; I','f"k rovnakc [rekvencie, lebo pre drllhlJ mocniuu ich. pomerupod/il),zt'a/nl (6.1.2,2) pluti ((1.)11(t"IJ./ = (nlliin/) = 2.

-21; d),ell

,-(lnll'aju energiu, ich amplituda sa S casomzlllcnstlje. '1' Zha + (tl? = ().1', = -kly.

Kvadraticka rovuica IlloJfly", korcnc(6.1.4.7)

(6.(,4.1)Nn.iiclinodnchSI, a priiom vel'mi R~llny je predpoklnd, zc sila, klOfll tim! pnhyl>

oscilatora, jc prinruoumcrna ok/lnl'l.itcj vcl'kosti rychlosri oscilatora it smcrujc proti nej: J, ,(~ -, ..b 1: ". - (1)-1,1 IIVscobecnc. ri"\';cnil' dif(~refll:iaIJlcj rovnicc [itncllch harmonickeho oscilatora 111(,potom rvar:(6, J .

j.I.4.4)k(le o.{. j~\lh(()v~ f'rekvcncia 7.o(lpoveuajuca pripadu, ked' koeficifiJl( tl'l1cniu b jcpraklick y 11\1 lovy:

Poslcdnu Z iroch 1l1()7.nc'lstiposk ytujc ricscnic

... Ncpcriodickii ~.iivjsl()SI'vjchytky od caSH.prfpady h). c) ()hr.o.1 /1. I

eelSCO nic jc lIerioliicky pohyb, ale prcdsiaveje pOS{IIPIlY, pomaly ndvrat oscilritoru 'l,.IIli1xilniilno.:j vychylky do ro vlloy;i'i;nej polohy. Ani drnha IIlO;;.1I0Sl' neprcdsravuic~Ieliodicky pohyh. II()(to(llle nko v prfpadc c) ide 0 vychylkll S .) fli dc'" ~cxpf '2b/) .

y = exp(-/'I) ( e" .~ill rp eos (,If + (~" cos rp sill (ilt) , Dcri v.iciou Ioh (0 vyrazu pod l'a casu ~.(skame v~.r;llo vyj :odrll.jlJci rychlost', klorOLl sarllCT1) cclkova cncrgia osci I!lIn!':!:

y ....,C~ exp( bl) sin (fi>t + ((I) = C(t) sill ul +

flo rovnicc dosudzujcrnc lri slly:Ii;i.

Priklad 1,\.1.4.1 A'llpliluda l.llll(,n,{ho hariuouickeho oscilaror poklcsla 11:0 polovicupo 12 krnitoch. VYP()C'lajh' logariunicky dckrement oscilritora!I'nl 'l.,i vi s losl i lkri vacioll Ill1lpJi[ully podi'a vllllcujiicej frckvell.~i,,:

F, = F" sill(iJ I) ,"dc. .() .il! Uh IlIvlt I'n;k vcou:i" ll~jt() s i(y, k (orej hnvorl'llC "IUlCU';llCO silll (aj budiru:iI"i/o). :\; lIil() ~illl, popri ~il;lch P, 11 i':z (Ilvedenych v 0lanku (i. 1.2) dos:lIliu'l' do(llIhyh()vcj r(lvnice jll't: (.I1(:iJalor.

(6.1 . .'5.4)N:lohr{J/.ku 6.1.5. I je lnliL()rIlCn::ll.avisi()~t' alllpiihidy A or! rrekv~lI"i

Obr. (i.I.S.1

Riesenie Ampliuidu vynuieneho kinitania V rczonancii vypocftame, ked' 010 vzi'ahu(6.1.5.3) dosadimc n::zulIHncnu Irekvcnciu (i.I.5.4). VYf)OCI.OIII!ll)s!Hn"IT1 kmitanie 0.)'il:'Jo;'ju(.;c p07.dI7. jl~ilncj prialilky (rov'H>bt.lll'l.it' slrraonicc vckto.'Ov vYI':loylick

p,.(klad (i,1.5.2 VY[ll.l(:fllljle ,unplitiidu vy,"itellel,o klnilania V r':z()lI11l'l(:ii iI \I\'t~d'tc,al;_o 1,lto a'llplit'Jd" p'.lklt\~nt~, ked' sa k

Vysledok C:sine (lJ( + 0:) hoi ~.isli.anYsubstiruciami:(6.1.6.2)

Z\'i~gtfly pnpad nastanc, ali. so (rek vcncic h'iIlOv navzajor vcl'mi 1113it)odlisuju.Pre jcdnorluchust' vyjadrlllll\ (akc(t) xkladanic v prfpadc, ked' ~(J amplinidy dvochkmitavych pohybov rovnakc, pric:om ich fa~.ov'\ j)OSIIIlUlip.ua zaci;llkll jl' nulove:

Pri skladanf dvoch kmitavych pohybov

"I '" II ~in(I)/) liZ:':' II sin( (0 1+ f/J) ,

tcdn k'lli{"vych pohybov S rovnakou uhlovou frekvenciou iii, anlpliflldulni II a 71 ,ni7.o\'o lI11vzajolll pnsIIll(llych 0 rp pial!:

11(1) -r A sil1(i~I) + A sil1(I~.f) = 2A silll((I~ -I- (v,) (/21 cos 1(U>j _ (I)]) t121.(6.1.6.4)

Ak je rozdiel frckvencif ((q - ((/,) 111319,clen x kosill(lSl)ln sa In6~.l! priradif kamplitude, a 5itu:iciu chapa]' ink, fu ampliuida sa s ':OSOll1 pomaly periodicky rncni.pricom vl:i'sint: kmitunie InH Irckvcnciu ({(),+O),) I /. (obr. 6. I ,6,2). Takcro kmilaniedostalo I1~ZOV rcll.'y '

II (I) "" A Sill(O~I) + [J sin(i)1 + rp) ::::;\ sin(I)() + I> sin(J}I) (;OS

co jc rovnica pri.unky prcchtidzajriccj Cl~L zaciatok sriradnicovcj SIIS(~/.p~(:II.jt: '.'I

,I ..

.... -----_ ... - ..

..._--

1Pozndmka I/Jclky doposia!' uvrden I':!(ahy Ulfltl'ilj,!jU IOY{}(J("itlll"reilylklt fI(X, I) VIubovolnom mieste 11(/ osi X (I II Iulmvolnom. l(J.IoVOIII okamihu f. /'l'iIOIlI ampliuutnvlny A je konstanma, nenivisi od miesta ani od r.asu. Takylo opis vlnenia jeidealiaiciou. UP-lUIIP vlny postupnc slraclljli energiu. ktoni riskat) oil zdroja vlncnia,ich amptiuida S(I S /'aStlICOIl vrdialcnost'ou od uiro] zmeniuje, tlZ villa ~lIJ1iJ((i.Ak iutroj vlnenia bodovv a vlttenie .\'(1 .~irido ccteho priestoru, vtnoplocliy llilljl' Ku/(/I'.Y11'01' (1 I''ychylkll jf' [unkciou vsel!cY,h.trocli {Jl'i".I{orfJvYf:h siiradnic II {asu: uix.y.r.t]. Vrjf'dnud/I.rellonl jednonnmcruom pripad, ked' /l1I(Jtujelllt'. 0 vlne postupujuce] I' smercosi x , ale uV((;I(i,: .1'11 IIj .)' pokleson: amplitfidy. l.llYI:-ltjlll' sa .i(,; I)(/kle.\, vyjarln/jeexponencidlnoa ?(iJlis/os(ol( II(.() = II" xpt-ax), kde a je koeficient Ii/{IIIII.Nasledujaci text sa l':rakbude I}~kat'len idetltneho pripadu, I' ktorom sa l'lny vvjadrujvrt'ahmi (6.2.1.1) (J}. (6.2.1.4), I((i/II jednorosmcrnym l'ril'flll()JII .~ire,.,i(1 1'/1/'!J1iab:s traty en I'g ie.

SIner sirenia vi IlCnia

1j

priccnc "InenieObr. (;.2.1.)

Ciel'om ct'l)I~~j ';:l~li tcxtu jc matematicky opis vlnenia postupujucchoprostrcdfm. N~J.ijr;c.Jllodll('hsiJll prfp:l(l(lclI je smusovc (harmonickc) vlncnic, pri ktoromsa prostredun ~(ri kmiranle, ktoreho casov~\ zavislost' vychylky sa opisujc tunkciousinus, rcsp, kosfllllS. Pre jcdnoduchost' op{:;erne sfnusovu V)lIl1 siriacu sa v klarlmunsmcrc osi x kartczianskcj sllrmlllicovej sustavy. Nech sa v ~.aciatk\l sriruduicovcj$1'1~\"vy (v micxtc .X = O) 1I1l(:hiidz,\ zdroj vlnenia - klJJil;Ijlica casric, od ktorej sa totokmitanie ~ir; rct'azcom v7.;ijOlllll'~ viazanych castle nacluidzajucicl: sa "" osi x.Vyehylku U(I) i'.drojov~i cl'1slic.;c,ako funkciu casu. opiscmc vzt'ahom

11(/) r-- A sin(o)lj ~ II slu(27!t I) ,

Vyrnv v hranatej lV;:ui;lJenos\' (x~ .1I) ~ A. Illc:.dl.i h\)llrlli JIll osi x , I< lory III V .icdnoHI c:ls(1vorf)okarnihn prishlcha rt)i'.cJir.l fiil.()vYdl uhl()v A'/) ~ 2n. jc vlll/)I'(i dltko. 7. lejlo ,Ietililcir!

v,j'ah (1fJi~lIje vlrlullll'itJ(:ll ~a ()XIL:nym SflICrOII1.

20 1.1

(C>.2.I.Ci)

[ ] r ).

A . T 0.1 . T 0,1- - ASIII 2 ..(- - ) .~ Sill 2K( ..... -2 4T A cr A ,

-> 21f(.!. _ 0,1 ) _ n:2 'I?. 6

vyplyva, :I.e vlnovii dizku 11107.110zavicst', ak jc prfslusIIl' vlna harmonickn. ('hi 'titkhttkdctillf(;i.: pht(f rOVIH)s":

. -')x,).-Ul' ,odkial' dostancmc vysledok A. '" 0,6 In .

I' :::.f A. .

Kontrolne ou/zkyI. (~rnl sa odtiiu] loli!,is "in pO.\'lu/llljlil:il:h " opaCn'Ycj, smerocli I/(I as; x ?2. Ako sa l;yja~ln!j(!.IiIZ()vf uhol harmonickej 1'/.fI),'1J. Ako sa definu] vlnova "if);,,, harmonickcj "Iny?1. (:0 je IIII/upe VI/lO"I: (":'/(1 a aka sa "yjlldruje I'O/IIO(:IJII vlnove] diz.ky?S. 11koje (h~tillav(1I1li.li;z(}v(i. ,)'c/'/"s( vlny?6. Pri ktorych ho(inOr(lc/I./ii'(.(/lIeho uhla tlosahu] t'fchylka maxinuitnu hodnotu ~

odkial' d'alej v)'plyva:271 2Jr IIA_",(x, -x,)=-I' - ,,=..;.

.. 0) 2;,< .f .r vCI7.C

(6.2. 'J.5)'1'010 .i(: vcl'mi dllIC7-;ty vzt'ah rncdzi (,izol'on rychlost'ou vlny, jej lrckvcnciou avlnovou dl:1.koll.

Podiel k = (I)1 I' sa c:)Slo pouzlva pri 7.apise vln a nazyva sa ulil()ve v{I/.OVC{:(.v/o. Po uprnvc s Vyu':1ilill'l vzr'ahu (6.2.1.5) uadobudnc ill

(6.2.2.1 )

P

Priklad (j.2.2. ( Prt:svcdCk' sa, ze kOIlII'Iktorou Zniclt sa Inuit: vlnenie .~rri(l'ii';,~(l1I rychloslr)u (

6.2.::\ Intertercncia yin.'!I'.)."~I,.,, .:1 .

lnterfercnciu, i::i~sk lartanic vln vznika, ked' do jcdneho miesta v priestorepril,;hiidz'till viacere vlny s rovnakjmi frckvcnciami. Vyznamnou podrnicnkou Ill!pozorovanie imcrfcrencnych javov je ca~o\'asuilosr' vzajonlllych ffi7.ovych I)OSUllul;oscihicif vyvohlvon}'ch v ditllOnl lnit~e inlcrfcoljllcill,i vlnal11i. N'~ijcthl(\dw.;hsl'npripaoolll, kror)' bu(k~ v d'alsolll opfsany, je illferferencia dvoch vln pri\:hucl.7JljucichpntkricJ.:y '1. jt'.dncho SlllerLl, [l~d::t V .iedlloro/.:nK~nlolll prfpade - po jecl.nej pri'llllkt:.I'rich(lti'(ljlic!; vlny vyehyl'ujll caslic0 pros[r0dia 7. l'ovnov;tzllych pol()h, pric'olHvy.~ledllii vychylk;l caslicl' je. VCklofovynl $\1(';1.(1111vychylick vyvolanycb jcdnol.livY'llivln;1mi. Ak navy"!; prcdl'oklnfl~n\e, I.t: '.I,cihk:ie vyvolanc ly",ilo "Inalll; pr(';bidl;UII V.ieoncj pri>ll1lke (Sll nav1"ijonl rovllohcI.lIe), 1.10(0111vyskdnti I'Yc:.hylkll .~ll I'C)VIHjalgchrick(:'tlu ~IIC(lI vychylick. Ncch rovlIic

(6.2.:t6)Tcnto clcII lIt:z:lvisf od ca!>u, ovplyvnllj'" ..,_,. ._-,...

rp = 2n11:.

I .._._.._._ ...,I

vychadzajucich z dvochI'eproollklorov: rozdiclv:tt1i;llcTI()sti ,\"I - .\'~ a,"Inova ,jl~k

x ~ -(211" l)," 4

a Jlr~ vy,di:lltll1(lSt' sU$cdllych lI:dov:

A.211 . I , " -2

(6.2.".5)

v~.,.Iiak~no$t'lllCdl'i slIscclnyrlli lIzl;]n Ii srnj:u.:\bo vlnenia sa rovn:l polov i(:i v In()vl~.idfzky ~~Iadajli(:ich sa yin. V7.liilll,!nosi' sllseullycll krlliLllfje lakft islii.

)()

....._--_ ....._- ___ _._ M.'. , . .... ..._. ,.. ......_ .._-------:

,,.,

11701 krllil[l!1 ..(, i~~-~-~Z---x::_~I"- I ,_~___ _ ____

"-._-- I I,:..., )...',, .412 Ohr. (i.2.'1.I

I

I ..,._...._.__ ._--_. -- .._. _.. ... .... ..-Na vypoccl poJflh a vt.;~j()1nl1cj vzdiulenosti uzlov xtojatcho vln~~lja rl![r~.ell1~

pouzie aj v~t:ol>('.cn(':jsi(~ vzt'ahy (Ci.2A.I). 1'11i:OVCposunuue tp vyS1UpIJ!l~(;e V tychtovzt'ahoch JnOZC-lne nahradif posuuutfm rlruhcho zdroja vln0111". Zatial .,:0 l).I'(\,OII1zdroji prcdpoklud.ime, Ie sa nachddzu v zacia(ku sriradnicovej ~Iisf:lvy, t.j. v, J~11~'s.Lesosuradnicou x ~ 0, drlliry zdroj ncch sa Il

Inil ~itllaci)1 I1n~(all(!,ak 1l1liplilCidy vln poslupujucicb proti scbe nie su rovnake.VtcrIy vr.nik,; kOllll1il1;1Ci)1 SlojlllClou vlncniu :1POS(lIpujucej vlny_ priCl)llI (lIto sa ~fri vsmcre vlny ~ yUi:soll IIlllplillidOIJ. Pn:dpoklacl,tjllle, 7.1': proti scbe fJOSlupuju vluy

u, c-, A sill( (til -. kx], II,=Bsiul fill +/.;x) ,

priCOl1l aUlplituda prvej vlny A = 11+ A. SliCe! tak}irhto "in poskytnu vyslcclok:

I! If = 1f,'I'IIJ r- Rsin(d!-kx) "/?sin(tl/+kx)'1 "~il1(tll-kx)

I1 I

U -:: 2IJsin(f~lf)c;) + li~in(a)( .kr) .

(6.2.1.:nTakyt{l prfpiJd naSI,!V!! nnprfklad I' r,idiolok(l(Ol"oc)i (lri CiaSI()CIIOlll odraze(,Jcklrl)lllagll(,tickcj vlny ll,~ konci vlnovodu, kloryrTl sa vlna priv,jdz>l k vysielace]alll':nc.

- ._ .-. - ._. -- _. - _. - - _. - -)'riklad 6,2.4,1 p()"dI7,osi x sa proti sebc .~Iria dvc hanlloni('kc vlny,"I"" II sill(Ct)( - /0:) ,u~ '" II sin] tot + k(..\ 1.)1. VYl10cflajtc s(lradnice uzlov II zi.~litl!, i;iv~,dial~no,~l' 1l1td7,isu;;~dllynli II;ciallli ~.iivjSIod yzdiaicnosti L !HiI:J'llIie P\)()'IOC(l1l .c:(jctnvcho vzorca yypocil.1Jlnc yyslednii v.Ychylku:u = 2/\ ~j"r)/ - kl, 12) l'oli.rllu:rne Iflny nel/llljli rOI'llflk,i t/.rIlf1lill;d.U~

(;.2.5 ~-1'odlJl~ici(1vin

V pr(,do,~1geh clnnkodl .~'neIlclIvazovali S nlo:lno,~('on, ;i,I~by sa .1rnpJitudil viII)'Inenila,p\1vn~()"l\li ,~rncjll 7.l\ ko".~talltrl1i. V leehuickei praxi su cast\~ pJ'lpady, ktll.l' ,~HallJjllilutia vlllY z6rllt~rne IlIelll, ll'ljC.)lt CO$[(l

iI: ;.

n~):n~ v,ll1o sfri ir.IO~ 1'~t:h~OSt'Ollako pnsrranm; vlny, pncom vyxle.lkorn j,: 1\11?1I~i(\~ydlIOSI prenosu inforrrulc ..~ v porovnanf 'i fil7.I)VOU rycltlosl'o" nosllcj vlny. Aj 1(:11(0JIlV Ino~."t) dolozi( IIl:.Il:kocnYlll vypoeltHll. Rovnicu (6.?.2..5) Lapi~l:I~C V tvare:.ohl';;II~lilljllcl)ll1zavi~lost' rychlOSli od frekvcncio tak, Z,cuhlovc vlnove cfslo k, kroreJC I'VdlCI()lrlllhII)Vlti (rekvencie (I) a ryehlo~li sirenia vlny, t.j. k = (o)ly), I)ZnaCIllIC pripostranuych "llIlteh I'rlsJlI];nynli indexmi:

Kontrolne otllr.ky1. Ak.Yflis{lo.l'(}bo/ll 1'Z7rik(1 madulaciu vlny?2. M()?l~ hy!' J110dll/.acIII'/r('kvI'II

bod ~l:vny._~ ktororn vychylka ItJus{ bye vzliy nulov.i. Za ieruo hod, pre jt:dnoclu(:ilost'.7.volil'llc ~.lJ(:iatok .~uradltitovcj sustavy, lak7.c prvri okrajova pnrhnicnka In,l rvar

UC\~I) -) 11(0, I} '-'0.

priC0r111:110Jlo~hnieltka pial; v l'uhovol'1l0lli case I. Jcj dosadcufmdosl:1J1cmc vYslcdok.

14(0,/)= J([ .. 0) + g(I+()=O ,

(6.2.(,.2)do rovniee (6.2.6.1)

:i I.'

odkial' pre lunkcic Jag vyplyva podmicnka g{l) = -j(l) . 'l'o znumeua, 7.ericscniezoh 1'~ldiiu.i(J,:e okl';)juvu podmicnku u(O, t) :...0 budc mar' [val'

U{X.I )./(I-,~) I( ('1 ;;).. (6.2.6.3)

Ak h;d'~sfnl hurmonickyrnIrek veucuim sfoj;llr:ho vlncnia zodpovcdajii zlomky tcjto vlnovej tll/.ky - A.. = A.J/n .

Vypoel}' vplyvu okrajovych podmicnok na riescnie vlnovej rovnicc vdvojrozmernom prfpadc (vlny v b,r/.f.Tle. TlT~lnhriina buhna), ci trojrozmcrnom prfpade(zvuk v uzavrctcj sicni) ~(t7.IOl.il(.'j~ic, ale li,~Z InO~1lkliisL' nhTII('..d:t~jjT1ecpodmicnky naIrckvencie vluenia.

._---_.__ .......Pozndmku Vl/flh (6.'2.(,.6) IIr.1tiv(~ilhi ;',Ilk/adrlft a d,ti.!fie dovolene [rekvenci

IIU)~ellre doplnit' l'ysiedkoln. (6.?'.2.8) ~'yj(l""lIj/,il:;'1l I'j(:h".s( ktorou. sa ,'/II(!J!ie .fi,.i,strUT/UU lIaliahllU/O(l si/oll F, (lI'ilolll s/rllllf'l //lti dltkovt'i 1111.)'/0(11S.-

"- p.V .,:S()I~il!lI(1I1t:ycluo v'(.t'ahov dOslallel/l~: \'/s/~.'i1(1k

1 J J.".f" -11-. - t? T, .V

{(i.2.6.7)z k((Jf'('ho VYI,fY"lIjfl (JIIIIIlI' df)s/edky. upl(/tiu.(i/~c(( sa I.ln slrU110l'.\',:h hud(J/71T),(:f,/ulslr(tjo(.'/t. 7.dkl(lt./n,1 jif.'kvt:l1t:ia jf.' ut:l,riulIlIlIll/Jl!r'Ut

I'r(k((l,(i t;,2,o, ( Vypo';f!ajlc. okou silou F rnusf hyl.' napfnan;i srrun s l'Iizkovonh')'Olll')St'OIl ,\' '"' 2,10,3 kg/rll ak prj dizke L ~ 70 em lUi. byt' jt:i 7.ikladna li'ckvl:ncia1.~ 450 H'I..!R.ic,f/ulie POlllijP.lllC vzt'ah (6,2,0,7), :r. ktorehn vyj;lJrinll.' silu :1uosadlllll: 7.:.(lallehOlloty o,~I:lllly(;hvelie;n: F:o. ,1.1i1r} s = 794 N, '._ - - - - - - __ . -- - - - -Kolltr()lrl(/lJtrizky

I, Ako I'y~crli I:v(!ohtt:lle ,-ie,rellif! je

,I

!I!I :I .II

Ak hy S~I pozorovatcl' vzrl'i1I'OVII! 1).sju frrkvl:ncill:

f' ~ (.. /.

e + /(..,

A k I)\:h II'~I' 7.drojll dosi;J hne rych lost' zvuku, vnnnan.i Ire k vcncia htide ))0/ovicnn,

'I) Akjc (.lOZOl'OVII(UI'v pokoji a zdroj sa k IICJIlIJ prjhlizllj~ (u :> 0), pozorovarc]' vnfmavys~ill I'rckvc.nciu:

I' = c -.((' - it

K,.ili,,:klj sif.uaciil 11)\.'\laI1C.",,- Sil ;!(Jrnj prihlizHjt: k po7.r>ruv:.1Il'OV:lIl,I' _it: V I'llkoji. VIIII1I:Jl1a fr,:kvt':l1l:ill I'drrihli:!'ovan{ l\lkolliOI/VY jc .Ii =./:, /:/(c - II) := 8.)0 Ifz. Prj \':(d'uf'l.Iva"i lokonl(.llfvY.it:vn 111Inll.1 fl'~kvcl'ld

Z bodovcho zl1n~ia vlncnia sa ~'ria vlny ktorc mnjii r,lIl'ovy rvar, ale v dostarocnc]vzrlialcnosti ('" zdruja IH{\~lne prcdpoktudat', 'l.t, Illalii C,l~L' povrchu gul'ove] vluyprpv

r,.. ,

, ,:..---..~': 11/\/. : Obr. (',/',8.1

cclkova energia harmonickchooscilatora

",_...17.

rovnica I'V~llIJ)lI.illcej vlny

vzt'ah mcdz! rychlosl'Ou vtny, jcj[fell.Vel1CiUlIII vlnovou dl:l.kuu

uhlovc vlnove ersk, k

podmicnka vzniku inll~ff(~reIlCIl6h()maxnna

podrnienka vzniku inlcrl(:r~'llcllchominima

f;,lzuvii rycliloSI' a grupovn rychlosi'

7.akllldn:\ u vy.'isic loartl10nickcIrckvcncie slrull Y s di~.k()n L,,dl;:f,kovolf hU~IUI()Us, krora jc11;lpfn:JfIOI.si IVII V

~o7.ne vlll(,1v~ l1iiky lIa strune s

i:)~11 t)~u J~II I a!u._. +_. '1- ,,- ... _.'J ~ 'J' :l' 7.."( x (y - u r: 1" (J t : hnrliaca sila pozri vnurujiicn sil

rozdiel l'iiz 1\ rp = 2nn,dni(,uvy rozdicl lJ.1' :..: 2n(A/2)

dr.Slru"Hvlla interfereucia ... iutcrferencia, pri ktorcj intcnzitu vyslcdne] vlny .it:mensia ako sneer j IlI.l~lr/.flxk I(Idaj I1ckh S;I v In ' v Iny S;) V II) ie~1 11,:11tlt:~lrll k (Ivnejintcrfcrcncic IIl1v'I.;'io,,, zoxlabujri,

rozdie I f:17. iJ.'1' '" (211+ I)n ,dl'lihovy rozdiel /),s :... (211+1 )(A.l2) dtfercnctatna rovnica hnrmouickeho I)sCilatorll . upravena pohybova rovnica

harrnonickcho oscilatora: v I'ohybov~.i rovnici vystupujc siln umcrna vycliylkcoscilaroru, smcrujiica do r(lvlI(,lvii~lIt\i polohy a hmotnost' oscilntora.

11(.1,(.) - U,(.I,I) I'll,(.r,l), ?tlsintI(.)c()~Ik):)

rloba krnitu - casovy interval, kl()ry pri kmitunf oscil;'ilnra uplynic rucdv.i dvumipo scbc n:Jslt:!luilicillli maxirruiluymi vychylk11111j IItl IIi i811' sutmu.

Ilk

, I'.II '-' ') ,

..I,Ir. ~,n -

. 2 '-

Dopplcrov jav zmcna vnfmuncj frckvcncie zvuk u, alebo clcktromagnctickchovlncnia, V porovnani ~ lrek vcnciou vlncnia vysiclallcllO zrlrojom, vyvolamiV7A'ijOt1ll1yII I pohybom zdroja a pozorovarel'a .

V.{" :...II -

2/.:F

II ij ,

. .:~s drahovc posunulic (intcrfcrujucich) ",in rozdicl vzdialcnosu zdrojov

jednotlivych yin od hodu V priesror ..~ v 1..101'0111 dochadza k ieh uucrtercncii.I, ~ ,? I

'/\',. .... #

11(:ncrg.ill harmonickeho oscihl.t.ora -- stitt... kincuckcj ' cncrgic a pOIl':"ciiill1

frckvClll:ia - Ill)\:~[ krnirov '''CJ'I~I()'''>Z' .,.). I' .,'. ,. n a za SC"lHHu; pr prcnose Cller!(lt' kruitania

~hlt'~l{I".';~ Ir,,\(vcll.c:a zachov.iva, lak7.e frckvencia vlny sa zhoduje S [fer-vencio"klore:ltokol vek ()S(:llalorll, klory prcnos cncrgie vluenia sproslfcctkujc.

1{1.u~)(I,v;i.,:rchlosl' - ,!~hl

uhlove vlnov(: ~iSlo (k) - vlnove eosIn vYllusobcne CISIOlli ?n; I.:. z; 2w:l.,ui.ouv

uzol - pri jcdnoroZllll!TnOHI stojatorn vlncnf jedcn Z IIIl)ohych bodov priestore, Vklorycll sloj>llc vlllcnie Ill"lrv~1c .1I.10v(l vychylku; v,dialt"noxC rncdzr ,

&. Hanuonicky oscilalor k'nila uhlovou Irckvcnciou a" a nlVI'.\!,'t!ok; 'l' ,'"O.;j x Tlmeny harmonicky oscilator, vynritcnc kmitanic, rezonancia

II. Vych~lka Il-~t'Otr111= 0,01 kg knrila haflllorJi,:ky, prii::onl lI11lplilucla I;.nJitllnial\ = 0, I ITl. II cl.!lk(wu (~"crgia I:; = 0,01 J . VYPoCI\ajle r10bll krnilll :r i(lhlOosr.;il,jlora. Ak v c!J~(~ I,,"'" 0 hola vychylkll ()scilaIOr'i1 nulnvi(, ll;ijdilc n'uhli~!i(ca~l'vyokal11ilt Ir, v klo('oln cas\ic

21. Anlplilliua II llnlcn~.ho hannonickeho oscitatora sa zI11el1.;;ila na AI2 pn?() kmlroch.Ak\j mptiuidu f1 musf Ill'll' 1('111.0uscibiror ua /aCialku. aby po 5 krniroch poklcslna'III)lil(,(la na hodnotu i\ ?

l :(sh(/(J}.: /)'.:;; I .1') !\ .Vlncnic

24. TI,"cny harnl\)uicky ost:ihitor 111:-1 dohH kmiru T:..: 0, Is. jlric:onl jeho all11'1ilUda ,5"'l.'lle{l.~{na polovicu po 5 kmitoch. Vypocilajlc jeho vlastnri nhlovu frekvcnciu a) IIrCZOllflll\;nUuhlovrl frekvcnciu .00y 'IIHp Iillioa pok lexhI 11

:18.P()7.I~f,()VMtcl'vnuua ~.~lIk prich;;d'l.:aj(lci '1. dvoch reprodukrorov Ilap;ijall);dl jl'Y IlOZQrov;rtci'v'"'nalWn 0 llk,;ivII vy~si'} Ryehl(~~I' zvuku c::: 340 rn/s.

" : .(, ' '.. . . .,'(I' .0~.\.\ II/J'~. 'I - ,>-i lll/". I', -: II ",f,;.Zbicrky prikhrdo,'Sacharov I). I., KOSlIlinl.:ov I.S.: S\x)rJlik 7.1tduc flO ficike, Ucpcdf?_iz, Mosk va 1952Ihyko V. H 1:01.: Jiyzika \' priklaeJoch, 4. vyd,,"ie, :\L(lA, Bnlli~lava 1971Lindncr II.: Rit

OBSAH

TEX1'Y

6.1 Kmitanic,6.1.1 If vod, kinematika harmonickcho pohybu 26.1.2 Dilcrcncialna rovnica harmouickcho oscilatora 46.1.3 Encrgia harmonickcho oscilatora 66.1.4 Tlmcny harmonicky oscilator 86.1.5 Vynuteue krnitanie, rezonancia 126.1.6 Skladanic kmitavych pohybov 15

6.2 Mcchanicke vlnenie(i.2.1 I.,{:lkladnepojmy 196.2.2 VInova rovnica 23().2,) lntcrfcrencia vln(i,2.4 Stojate vlnenie6.2.5 M(;dulacia vin6.2.6 Vlncnic V obraniccnom pricsiore6.2.7 Dopplcrov jay(i,?R Energia vlnenia

263032353R41

S(}tIJ~N VZ!"t\.!lOY 43,

SI~r),VNIK 45

ULe)! 1Y 49

"1van C