g. descriptiva 2015.pdf

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN

CRISTOBAL DE HUAMANGA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA

DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL

DE INGENIERIA CIVIL

SILABO

1. DATOS GENERALES

1.1 Nombre de la Asignatura :GEOMETRIA DESCRIPTIVA

1.2 Código :IC-142

1.3 Créditos :4

1.4 Tipo :Obligatorio

1.5 Requisito :

1.6 Plan de Estudios :2004

1.7 Semestre Académico :2015-II


1.8 Duración : 16 semanas

1.9 Período de inicio y término : 27/08/2015

16/12/2015

1.10 Docentes Responsables :

Ing° Luis Alfredo Vargas Moreno

1.11 N° horas de clases semanales

1.11.1 Teóricas : 3

1.11.2 Prácticas : 2


1.12 Lugar 1.12.1 Teoría :H-219 1.12.2 Práctica :H-219

1.13 Horario

1.13.1 Teoría :Lunes 17-19 hrs.

:Jueves 09-10hrs.

1.13.2 Práctica :Viernes:11-13hrs.


2. SUMILLA

Según el plan curricular, la sumilla es la siguiente: conceptos fundamentales, el punto, la recta, el plano, intersecciones, paralelismo y perpendicular, ángulos distancias y giros.

3. OBJETIVOS

3.1 General: Dar a los estudiantes los conocimientos de diferentes problemas que se puede presentar con los elementos geométricos.

3.2 Específicos: proporcionar los fundamentos y procedimientos básicos para proyectar puntos, rectas y planos situados en el espacio en un plano de representación (representacion bidimensional).


4. SISTEMA DE EVALUACIÓN

Se evaluara por medio de la rendición de dos exámenes, el promedio se obtendrá aplicando la siguiente relación matemática:

PF=2

Examen Parcial Examen Final


5. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

Geometría Descriptiva, Alejandro Miranda Castro.

Geometría Descriptiva, Colección Shaum.

Geometría Descriptiva, Jorge Días Mosto.

Geometría Descriptiva, Steve Mc. Slaby.


SEM FECHAS CONTENIDO RESP.

01 27/08/15 I.- INTRODUCCIÓN: Definición, Proyección, Tipos

de proyección: proyección cónica, proyección

cilíndrica, proyección ortogonal, planos de

proyección, línea de pliegue, planos auxiliares:

plano auxiliar de elevación, plano auxiliar de

inclinación, plano auxiliar sucesivo, plano auxiliar

sucesivo al plano H, plano auxiliar sucesivo a F,

proyección de un punto en los planos principales

de proyección: cota, alejamiento y apartamiento.

LAVM

02 Depurado, sólido, proyección isométrica del sólido,

proyecciones principales del sólido, proyección de

un punto en un plano auxiliar: con respecto a H,

con respecto a F, proyección auxiliar de un sólido,

proyecciones sucesivas: con respecto a H,

LAVM

6.0 Programa Analítico - Practico



03 Con respecto a F, problema, posición relativa de

dos puntos, ejemplo. II.- LA RECTA: punto

contenido en una recta, propiedades,

LAVM

04 Posiciones particulares de una recta: recta

horizontal, recta frontal, recta de perfil, recta

vertical, recta normal, recta orto perfil, recta de

posición general,

LAVM

05 Características de una recta de posición general:

orientación de una recta, verdadera magnitud de

una recta, pendiente de una recta, posiciones

relativas de dos rectas: rectas que se cortan,

rectas que se cruzan, rectas paralelas,

LAVM



06 Rectas perpendiculares. III.- EL PLANO:

formación del plano: por medio de tres puntos no

colineales,

LAVM

07 Por medio de una recta y un punto fuera de

ellas, por medio de dos rectas que se cortan, por

medio de dos rectas paralelas,

LAVM

08 Planos notables o particulares: plano horizontal,

plano frontal, plano de perfil, plano vertical, plano

normal, plano ortoperfil, plano de posición

general,

LAVM

09 EXAMEN PARCIAL

LAVM


SEM FECHAS CONTENIDO RES

10 Recta contenida en un plano, punto contenido en un

plano, rectas notables en un plano: recta horizontal,

recta frontal, recta de perfil

LAVM

11 plano de canto, verdadera magnitud de un plano,

orientación de un plano, pendiente de un plano,

recta de máxima pendiente,

12 IV.- INTERSECCIONES: intersección entre recta y

plano, métodos del plano de canto y plano cortante,

intersección entre dos planos, métodos del plano de

canto y planos cortantes

LAVM

13 V.- PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD:

paralelismo entre recta y plano, paralelismo entre

dos planos, perpendicularidad entre recta y plano,

perpendicularidad entre dos planos,

LAVM



14 VI.- DISTANCIAS: menor distancia de un punto

a una recta, menor distancia de un punto a un

plano, menor distancia entre dos rectas que se

cruzan,

LAVM

15 Menor distancia horizontal, menor distancia con

pendiente dada. VII.- ANGULOS: ángulo entre

recta y plano método del ángulo

complementario, ángulo entre dos planos,

método del ángulo suplementario.

LAVM

16 EXAMEN FINAL LAVM


CAPITULO 1

INTRODUCCION


DEFINICION

• La Geometría Descriptiva es una ciencia matemática de dibujo que permite, por un sistema de proyecciones, representar rigurosamente en un solo plano (hoja del dibujo) las formas del espacio de una, dos y tres dimensiones.

Nos permite estudiar, medir y definir los cuerpos del espacio en su exactitud absoluta.

Es el instrumento preciso y gráfico de la Geometría del Espacio.

Hay que tener presente como hecho fundamental que la Geometría Descriptiva es dibujo y que todo el valor matemático de sus aplicaciones depende de la precisión del dibujo que las exprese. No dibujar con ese sentido de rigor es contradecir el espíritu mismo de esta ciencia y restarle su verdadera utilidad.


Proyección

Si se tiene:

O= 0jo del observador

A= Objeto

P= plano de proyección

La intersección del rayo proyectante OA con el plano P, es la proyección del objeto en dicho plano, denominado Ap.

Tipos de Proyección


Proyección Cónica

Es aquella donde los rayos de proyección forman una superficie cónica partiendo estos del ojo del observador fijo.


Proyección Cilíndrica

Es aquel tipo de proyección donde el observador no se mantiene fijo, los rayos proyectantes son paralelos a una orientación predeterminada.


Proyección Ortogonal

Es la proyección cilíndrica con la particularidad que los rayos proyectantes son perpendiculares al plano de proyección

Nota.-El desarrollo de la geometría descriptiva, esta basado en el tipo de proyección ortogonal.


Planos de Proyección

El espacio puede ser dividido en cubículos por medio de dos planos perpendiculares entre si llamados planos principales horizontal (H) y frontal (F).

Así mismo se tiene un tercer plano principal perpendicular a los anteriores, denominado

plano principal de perfil (P).


En geometría descriptiva para la especialidad de ingeniería se trabaja en el tercer cubículo.

Planos Auxiliares.- son planos que son perpendiculares a los planos principales de proyección.

Línea de Pliegue.- Es la recta de intersección de dos planos de proyección.

En geometría descriptiva para la especialidad de arquitectura se trabaja en el primer cubículo.


F H

1

F H

1

Plano Auxiliar de Elevación

Es un plano perpendicular al plano principal H.

P1 ┴ PH


Plano Auxiliar de Inclinación

H F

1

H F

1

Es un plano perpendicular al plano principal F.

P1 ┴ PF


Planos Auxiliares Sucesivos.- son aquellos planos que son perpendiculares a los planos auxiliares. Plano Auxiliar sucesivo al plano H.-

2 F

H

1 2

F

H

1

P2 ┴ P1


Plano Auxiliar sucesivo al plano F.-

H F

1 2

H F

1 2

P2 ┴ P1


Proyección de un Punto en los planos principales de proyección.-

Cota.- Distancia del punto al plano H.

Alejamiento.- Distancia del punto al plano F.

Apartamiento.- Distancia del punto al plano P.

H F

P

A

A H

cota

A F

A P


Depurado.-

Si los planos de proyección del espacio se hace contener en un solo plano se llama depurado.

H

A F

A H

A

F

A H

H

A H

A F

H

F


A P

H

A F

A H

A

F

A H

H

A P

P

A F

H

F P

A H

A P A

lej.

Co

ta

Apart. Alej.


A F

H

F

P

A H

A P

F


SÓLIDO.- Un sólido es un objeto que esta compuesto por una serie de vértices y aristas.

Para poder dibujar un solidó en proyección isométrica esta se comienza trazando dos ejes perpendiculares, uno horizontal y otro vertical y además dos ejes que hagan 30° con el eje horizontal.

PROYECCIÓN ISOMETRICA DE UN SÓLIDO.-

En esta proyección al sólido se le aprecia como un objeto espacial teniendo a través de la vista la forma de dicho sólido.


El sólido se dibuja inscrito en el paralelepípedo formado por el eje vertical y los ejes inclinados

F

H

P

720,0

0

720,00

720,00


PROYECCIONES PRINCIPALES DE UN SÓLIDO.-

Para hallar las vistas principales de un sólido, se proyecta sobre los planos principales cada uno de los vértices del sólido en cada uno de los planos principales, para luego uniendo estos determinar las aristas del sólido. F

H

P

1

23

6

7

4

5

9

11

12

13

1410

8

1516

17

18


2,15 3,16 4,8 5,9

6 7

1 14

17,13 18,10

12 11

2 3

6,16 7,8

54

11,912,10

1817

14,131,15

5,4,3,2

6,7 8,16

17,18

13,10 9,1511,12,14,1

H

F

F P

F

H

P

1

23

6

7

4

5

9

11

12

13

1410

8

1516

17

18


33


34


Proyecciones de un punto en un plano Auxiliar

a) En un plano auxiliar de elevación

1 A 1

1

H F

A H

A F

A A 1

A H

A F

H

F

H 1 A 1

Co

ta


b) En un plano auxiliar de inclinación Depurado

A F

A H

H

F

H 1

A 1

Co

ta

A

H F

A F

A H

1 A 1

1 A 1


Depurado

A H

A F

H

F

F A 1 1

Ale

j.

Co

ta

A H

A F

H

F

F A 1 1

Ale

j. C

ota


Proyecciones auxiliares de un sólido

I,P A,H

L,M

D,E

B,C,F,GJ,K,N,O

J,I B,A

C,DK,L

N,M F,E

O,PG,H

F

H

H

1

H

F P

J

KN

O

M

I

A

B

C

D

E

FG

H

30° 3

0°


I,P A,H

L,M

D,E

B,C,F,GJ,K,N,O

J,I B,A

C,DK,L

N,M F,E

O,PG,H

F

H

H

1

O,PG,HJ

I

PA

H

G

ED

FCBL M

NKO

F

H

H

1

I,P A,H

L,M

D,E

B,C,F,GJ,K,N,O

J,I B,A

C,DK,L

N,M F,E


I,P A,H

L,M

D,E

B,C,F,GJ,K,N,O

J,I B,A

C,DK,L

N,M F,E

O,PG,HJ

I

PA

H

G

ED

FCBL M

NKO

F

H

H

1


Proyecciones Auxiliares Sucesivas.- a) Con respecto al Plano H.

A 2

2

A H

A F

A 1

A 2

H

F

H

1

1 2

A 1

F H 1

A

A H

A F


A H

A F

A 1

A 2

H

F

H

1

1 2


a) Con respecto al Plano F.

A 2

2 H

F

1

A

A 1

A F

A H

A H

H

A F

A 1

A 2

F

F 1

1 2

A H

H

A F

A 1

A 2

F

F 1

1 2


Problema-. Determinar las proyecciones 1, 2 y 3 que faltan del punto A.

A H

A F

H

F

1

H

1 2

2 3


A H

A F

H

F

1

H

1 2

2 3

A 1

A 2

A 3

Solución


Posición relativa de dos puntos.-

Se refiere a la posición de un punto con respecto a otro. Ejemplo.- Ubicar el punto A, con respecto al punto B.

H

F

AAAH

BH

AAAF

BF


H

F

AAAH

BH

AAAF

BF

N

E

Detras

Derecha

Encima

Derecha

Solución

-El punto A esta 3cm arriba o encima de B.

-El punto A esta 4cm a la izquierda u oeste de B. -El punto A esta 2cm atrás, detrás o al norte de B.


CAPITULO 2

LA RECTA


LA RECTA.- Una recta se obtiene por medio de la unión de dos puntos.

Las proyecciones de una recta, en una proyección determinada, se obtienen uniendo las proyecciones de dos puntos en dicha proyección.

A

B

A

B


AH

HF

BH

AF

BF

AH

HF

BH

AF

BF


Punto Contenido en una recta.- Si un punto se encuentra contenido en una recta, este se encontrara contenido en todas las proyecciones de la recta.

Problema.- Graficar la proyección frontal del punto M, si se sabe que pertenece a la recta AB.

A

B

M

AH

HF

BH

AF

BF

M H


Solución.- Propiedades.-

Si un punto esta contenido en una recta, este divide a la recta en cierta proporción; esta proporción se conserva en todas las proyecciones que tenga la recta.

Es decir:

FF

FF

HH

HH

BM

MA

BM

MA

BM

MA

AH

HF

BH

AF

BF

M H

M F


Problema.- Graficar las proyecciones del punto M, si se sabe que esta contenido en la recta AB y además se cumple que AM/MB=1/2

AH

HF

BH

AF

BF


Solución.-

AH

HF

BH

AF

BF

AH

HF

BH

AF

BF


AH

HF

BH

AF

BF

AH

HF

BH

AF

BF

M H


Posiciones Particulares de una recta.-

Son aquellas rectas que tienen características especiales, con respecto de los tres planos principales de proyección (H, F, P).

AH

HF

BH

AF

BF

M H

M F


Recta Horizontal.- Es aquella recta que es paralela al plano principal H, se proyecta en este en verdadera magnitud (VM)

AH BH

AF

BF

AB

VM

F

H

P

VM


Recta Frontal.- Es aquella recta que es paralela al plano principal F, se proyecta en este en verdadera magnitud (VM)

VM

AH

BH

AF

BF

A

B

VM

F

H

P


AP

BP

AF

BF

VM

HF

F P

H

BH

AF

BF

AP

BP

AH

BH

Recta De Perfil.- Es aquella recta que es paralela al plano principal P, se proyecta en este en verdadera magnitud (VM)

BP

AP

AFA

BV

MF

H

P

BH

AH

BF

VM


Recta Vertical.- Es aquella recta que es perpendicular al plano principal H, se proyecta en este como un punto y en F en verdadera magnitud (VM)

VM

VM

AH

BH

AF

BF

A

B

F

H

P

AF

BF

HF

AH

BH

VM


Recta Normal.- Es aquella recta que es perpendicular al plano principal F, se proyecta en este como un punto y en H en verdadera magnitud (VM)

AH

BH

AFBF

A

B

F

H

P

AH

BH

FH

AB

F

VM


Recta Ortoperfil.- Es aquella recta que es perpendicular al plano principal P, se proyecta en este como un punto y en H y F en verdadera magnitud (VM)

VM

AF

BF

VM

AH

BH

AP

BP

A

BVM

F

H

P

AH

HF

BH

AFBF

VM

F P

VM AP

BP


Recta De Posición General.-

AH BH

APBP

A

B

F

H

P

AF

BF

AH

HF

BH

AF

BF

AP

BPF P


Definición

Es aquella recta que no es paralela ni perpendicular a ninguno de los planos principales de proyección (H, F, P), razón por la que en ninguno de estos planos se proyecta en verdadera magnitud (VM)


AH

BF

AF

HF

BH

Características de una recta de posición general.-

Orientación.- La orientación de una recta, se mide por medio de un ángulo que hace la proyección horizontal de la recta con respecto al eje norte-sur y dirigido al este u oeste

Problema.- Hallar la orientación de la recta AB.



Solución.- ENOAB 53

OSOBA 53

Verdadera Magnitud.- Se consigue por medio de una vista auxiliar paralela a una de las proyecciones de la recta.

AH

BF

AF

HF

BH

N

E

S

O

53°

Problema.- Hallar la verdadera magnitud de la recta AB.

Solución.-

AH

BF

AF

HF

BH

AH

BF

AF

HF

BHA

B

H

1

VM


Nota.- En Geometría Descriptiva, para poder medir la pendiente de una recta, la recta tiene que encontrarse en verdadera magnitud en una vista auxiliar de elevación, porque en esta vista el plano horizontal se ve como una línea o de canto.

Pendiente de una recta.- Es la tangente del ángulo que hace la recta con respecto al plano horizontal.

ABmTg

H

A

B


Problema.- Hallar la pendiente de la recta AB.

Solución-

AH

BF

AF

HF

BH

AH

BF

AF

HF

BHA

B

H

1

VM


AH

BF

AF

HF

BHA

B

H

1

VM

AH

BF

AF

HF

BHA

B

H

1

VM

29TgmAB


1

55.029 TgmAB

%551001

10055.0

x

xmAB

%55ABm

AH

BF

AF

HF

BHA

B

H

1

VM

29º

Nota.- la pendiente de una recta se da siempre en porcentaje y ascendente ( )o descendente ( ).


Posiciones Relativas de dos rectas.-

Viene hacer la posición entre dos rectas, de las que tenemos: Rectas que se cortan.-

Son aquellas rectas que tienen un punto en común.

Si dos rectas se cortan estas determinan un plano

XA

B

C

D


Problema.- Hallar la proyección frontal de la recta CD, si se sabe que se corta con la recta AB.

Solución.-

AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

D

AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

D

1

DF

1


Rectas se Cruzan.-

Son aquellas rectas que no tienen un punto en común ni en su prolongación ilimitada.

Dos rectas se cruzan no determinan un plano.

Problema.- Determinar si las rectas AB y CD se cortan o se cruzan

A

B

X

C

D


AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

DH

DF

1

2

1

2

AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

DH

DF

Solución.-


AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

DH

DF

4

3

3

4


Rectas Paralelas.- Son aquellas rectas, que no se cortan ni se cruzan, dos rectas paralelas siempre forman plano.

Si dos rectas son paralelas, todas sus proyecciones se verán en forma paralela, excepto en una donde se proyectan como dos puntos.

A

D

B

C


Problema.- Determinar la proyección frontal del punto D, si se sabe que las rectas AB y CD son paralelas.

Solución.-

AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

DH AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

DH


AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

DH

DF


H

Rectas Perpendiculares.-

Dos rectas son perpendiculares cuando forman entre si el ángulo de 90°, estas rectas pueden cruzarse o se pueden cortar.


ab

H

ab

ah(VM) bh(VM)

H

Caso a)

a ┴ b

Si se tiene la proyección de dos rectas en verdadera magnitud y además forman 90º, estas rectas en el

espacio son perpendiculares entre si.


a

b

H

a

b

Hah(V

M)bh

Caso b)

a ┴ b

Si se tiene la proyección de una recta en verdadera magnitud y además la proyección de la otra forma 90º, estas rectas en el



a b

H


Caso c)

a b

Hah bh

α≠90º

Si se tiene la proyección de dos rectas que forman entre si un ángulo de 90º y ninguna de ellas se proyecta en verdadera magnitud, estas rectas en

el espacio no son perpendiculares entre si.

Conclusión.-

Para afirmar que dos rectas son perpendiculares entre si, como mínimo es condición que una de las rectas en una proyección cualesquiera debe estar en verdadera magnitud y la otra en esta misma proyección debe formar el ángulo de 90º.


CAPITULO 3

EL PLANO


EL PLANO.-

Un plano se puede determinar de las siguientes maneras:

1. Por medio de tres puntos no colineales.

A

B

C

A

B

C


AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF


2. Por medio de una recta y un punto fuera de Ella

A

B

C

A

B

C


AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF


3. Por medio de dos rectas que se cortan.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

DH

DF

A

B

C

D

Problema.- En el depurado mostrado verificar si las rectas AB y CD determinan un plano.


4. Por medio de dos paralelas.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

DH

DF

1

1

A

B

D

C



AH

HF

CH

AF

CF

DH

DF

BH

BH

AH

HF

CH

AF

CF

DH

DF

BH

BH

Planos Notables o Particulares.-

Son particulares porque o bien son paralelos a los planos principales de proyección o bien son perpendiculares a los mismos.


AH

HF

BH

CH

AFBF CF

VM

AH BH

AF

BF

A B

F

H

CF

C

CH

1.- Plano Horizontal

Es un plano Paralelo al plano principal horizontal, se proyecta en este plano en V.M.


VM

AH

BH

CF

AF

BF

CH

HF

2.- Plano Frontal

F

H

AF

BF

CF

AHBH

CH

A

B

C

Es un plano Paralelo al plano principal Frontal, se proyecta en este plano en V.M.


95

3.- Plano De Perfil

BP

AP

AFA

BF

H

P

BH

AH

BF

C

CH

c P

CF

Es un plano Paralelo al plano principal de Perfil, se proyecta en este plano en V.M.


F

H

AF

BF

CF

AH BHCH

A

B

C

96

4.- Plano Vertical

AH

CF

AF

BF

HF

CHBH

Es un plano Perpendicular al plano principal horizontal, se proyecta en este plano de canto o de filo.


97

5.- Plano Normal

AH

HF

BH

CH

AFBF

CF

AH BH

AF

A BF

H

CF

C

CH

BF

Es un plano Perpendicular al plano principal Frontal, se proyecta en este plano de canto o de filo.


98

6.- Plano OrtoPerfil

AH

CH

HF

BH

CF

AF

BF

CP

AP

BPF P

F

H

P

AF

BF

CF

AH

BH CH

CP

AP

BP

AC

B

Es un plano Perpendicular al plano principal de Perfil, se proyecta en este plano de canto o de filo.


99

Plano de Posición General

FH

P

AF

BF

CF

AH

BH CH

CP

AP

BP

AC

B

Es un plano que no es Paralelo ni Perpendicular a los planos principales de Proyección, por lo que en ninguno de ellos se proyecta en VM o bien de Canto.


100

Recta Contenida en un Plano

Si una recta se encuentra contenida en un plano, esta debe cortar como mínimo a dos rectas en puntos diferentes,

contenidas en dicho plano. Problema.- en el depurado mostrado en la figura, completar la proyección frontal de la recta DE si esta contenido en el

plano ABC.

1 2

C

A

B D

E


HF

BH

CH

AF

BF

CF

DH

EF

AH

1

2

101

HF

BH

CH

AF

BF

CF

DH

EF

AH

1

2

1

2

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

DH

EF

1

2

1

2


C

A

B

102

Punto Contenido en un Plano.-

Si un punto se encuentra contenido en un plano, este punto debe encontrase contenido en una recta contenida en dicho plano.

AH

HF

H

CH

AF

BF

DH

EF

CF

EF

DF

1

2

1

2

X

1

2


103

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

XH

A

B

C

X

Problema.- En el depurado mostrado en la figura completar la proyección frontal del punto X si esta contenido en el plano ABC.

1

2

1

2


104

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

XH

1

2

1

2

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

XH

1

2

1

2


105

Rectas Notables Contenidas en un Plano.-

Son aquellas rectas que se encuentran contenidas en un plano las mismas que tienen alguna característica en particular.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

XH

XF

1

2

1

2


106

1. Recta Horizontal.-

Problema.- Trazar por el punto A, una recta horizontal que este contenida en el plano ABC.

AH

HF

H

CH

AF

B

CF


107

AH

HF

H

CH

AF

CF

1

AH

HF

H

CH

AF

B

CF

1

1AH

HF

H

CH

AF

CF

1VM

1


108

2. Recta Frontal.-

Problema.- Trazar por el punto A, una recta frontal que este contenida en el plano ABC.

AH

HF

H

CH

AF

B

CF


109

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

VM1

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

1


110

3. Recta De Perfil.-

Problema.- Trazar por el punto B, una recta de perfil que este contenida en el plano ABC.

H

CH

HF

BH

CF

AF

B


111

AH

CH

HF

BH

CF

AF

BF

CP

AP

BPF P

AH

CH

HF

BH

CF

AF

BF

CP

AP

BPF P

1


112

AH

CH

HF

BH

CF

AF

BF

CP

AP

BPF P

1

1

AH

CH

HF

BH

CF

AF

BF

CP

AP

BPF P

1

1 1


113

AH

CH

HF

BH

CF

AF

BF

CP

AP

BPF P

1

1 1

VM

Plano de Canto.-

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF


114

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1


115

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

Plano en Verdadera Magnitud.-

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF


116

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

C

1

1

12

A1

AH

HF


117

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1B

A

C

1

1

1

B2

A2C2

VM

12


118

Orientación de un Plano.-

La orientación de un plano, la da una recta horizontal contenida en el plano; por medio de un ángulo (el menor) que haga esta recta con respecto a los ejes cardinales norte-sur y en dirección al este u oeste.

Problema.- Hallar la orientación del plano ABC.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF


119

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

N

S

O E


120

AH

HF

BH

CH

AF

B

CF

1VM

1

N

S

O E

79° ENOABC 79


121

Pendiente de un Plano.-

La pendiente de un plano, es la tangente del ángulo que hace el plano con respecto a un plano horizontal.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

La pendiente de un plano se mide en un plano auxiliar de elevación y cuando el plano se proyecta de canto.


122

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

41ABCm Tg


123

1

86.0 TgmABC

%861001

10086.0

x

xmABC

%86ABCm

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

αº


124

Recta de Máxima Pendiente (RMP).- De las infinitas rectas que tiene un plano, se tiene una recta entre todas, forma el mayor ángulo con el plano horizontal, a esta recta se le llama Recta de máxima pendiente del plano.

H

h

RMP

Una RMP, es una recta perpendicular a una recta horizontal del plano.

Nota.-La pendiente de la RMP, nos da la pendiente del plano.

α= ángulo de pendiente


125

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

Problema.- Trazar por el punto B, una RMP del plano.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

2

2


126

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

2

RM

P

2

RM

PNota.- La pendiente de un plano se da con la orientación hacia donde baja el plano.

Como la pendiente de un plano esta dada por la RMP del plano, entonces se analizara con que orientación desciende

la RMP.


127

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

Problema.- Hallar la pendiente del plano ABC.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1


128

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

1

86.0 TgmABC

%861001

10086.0

x

xmABC

%86ABCm

N

S

E O

86%ABCm NO


129

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

2

RM

P

2

RM

P

F

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

2

2

AH

H


130

AH

HF

BH

CH

AF

BF

C

1VM

1

2

2

N

E

S

O

NOmABC %86


CAPITULO 4

INTERSECCIONES


132

INTERSECCIONES

1.- Intersección entre recta y plano.-

El lugar geométrico común entre una recta y un plano, es un punto; siempre y cuando la recta no sea paralela al plano ó la recta no este contenida en el plano.

Existen dos métodos:

a) Método del Plano de Canto.

b) Método del Plano Cortante.


b) Método del Plano Cortante

12PQ " "O

PQ PCI

12 PCI

" " " "O PQ y O ABC

" "ABC PQ es O

ABC

PCI

1

2

P

Q

O


134


135

Problema.- Hallar la intersección entre la recta PQ y el plano ABC.

AH

BH

C H

CF

BF

AF

PH

QH

PF

QF

AH

BH

CH

CF

BF

AF

PH

QH

PF

QF

1

2

PCI


136

AH

BH

C H

C F

BF

AF

PH

QH

PF

QF

1

2

1

2

PCI

AH

BH

CH

CF

BF

AF

PH

QH

PF

QF

1

2

1

2

O

PCI

O

X

X


137

2.- Intersección entre dos planos.-

El lugar geométrico común entre dos planos, es una recta.




AH

BH

CH

CF

BF

A F

PH

QH

PF

QF

1

2

1

2

PCI

X

X


138

1 2L L " "P

1 1L ABC y PCN

" " " "P ABC y P LMN

2 1L LMN y PCN

" " int secP esun puntode er cionde ABC y LMN

1L 2L

P



139

Problema.- Hallar la recta de intersección entre los planos ABC y LMN.

AH

CH

AF

CF

LH

MH

BF

NH

MF

BH LF

NF


140

AH

CH

AF

CF

LH

MH

BF

NH

MF

BH LF

NF

PCNI

PCNII

PH

QH

PF

QF


CAPITULO 5

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD


142


1.- Paralelismo entre recta y plano.-

Para que una recta sea paralela a un plano debe ser paralela como mínimo a una recta contenida en el plano

Tip.- si en una proyección el plano se ve de canto, la recta se proyecta en forma paralela al plano de canto.


143

A

B

C

P

Q


144

Problema.- completar la proyección frontal del punto Q, si se sabe que la recta PQ es paralelo al plano ABC.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

PF

QH

PH AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

PF

QH

PH

1


145

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

PF

QH

PH

1

1

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

PF

QH

QF

PH

1

1


146

2.- Paralelismo entre dos planos.-

Para que dos planos sean paralelos entre si, dos rectas de uno de ellos, deben ser paralelos a dos rectas que se corten del otro plano.

Tip.- si uno de los planos se proyecta de canto, el segundo plano también se proyecta de canto y ambos se visualizan como dos rectas paralelas.

B

C

L

M

N

A


147

Problema.- completar la proyección frontal del plano LMN, si es

paralelo al plano ABC.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

MH

LHNH

MF

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

MH

LHNH

1

1

MF

LF


148

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

MH

LHNH

1

1

MF

LF

2

2

NF

3.- Perpendicularidad entre recta y plano.-

Para que una recta sea perpendicular a un plano, esta debe ser como mínimo perpendicular a dos rectas que se cortan del plano.


149

A

B

C

P

Q


150

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

PH

PF

AH

HF

BH

CH

AF

CF

PH

PF


151

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

PH

2

2

PF

VM

VM

Tips.-

Si un plano se proyecta de canto, la recta se proyecta en VM y formando el ángulo recto.

Si el plano se proyecta en VM, la recta se proyecta de punta.


152

3.- Perpendicularidad entre dos planos.-

Para que dos planos sean perpendiculares entre si, una recta contenida en uno de ellos, debe ser perpendicular al otro plano.

A

B

C

P

R

Q


153

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

PH

PF

QH

QF

Problema.- trazar por la recta PQ, un plano perpendicular al plano ABC.

A

B

C

P

R

Q


154

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

PH

2

2

PF

VM

VM

QH

QF


155

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

PH

2

2

PF

VM

VM

QH

QF

R

R


CAPITULO 6

DISTANCIAS


157

DISTANCIAS

1.- Distancia de un punto a una recta.-

La distancia de un punto a una recta, esta dada por la perpendicular bajada del punto a la recta.

P

Q

A


158

Problema.- Hallar la distancia del punto A a la recta PQ.

AH

PH

HF

QH

PF

QF

AF

P

Q

A

d


159

O

O

H1

PH

HF

QH

AH

PF

QF

AF

P

Q

A

VM

O

PH

HF

QH

AH

PF

QF

AF

P

Q

A

VM

O

O

O

H1

O

A

d=VM

1

2


160

2.- Distancia de un punto a un plano.-

La menor distancia de un punto a un plano, es la perpendicular bajada del punto al plano.

A

B

C

P


161

Problema.- Hallar la menor distancia del punto P al plano ABC.

A

B

C

P

O

d


162

F

BF

CF

PH

PF

AH

HF

BH

CH

A

P

C

B

H 1

d=VM

O

AH

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

VM

PH

PF


163

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

PH

PF

P

C

B

H 1

d=VM

OO

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

PH

PF

P

C

B

H 1

d=VM

OO

O


164

3.- Distancia entre dos rectas que se cruzan.-

La menor distancia entre dos rectas que se cruzan, es una recta perpendicular a ambas.

A

B

C

D

d


165

QF

PF

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PHPF

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

1

1

Problema.- Hallar la menor distancia entre las rectas AB y PQ.


166

AH

HF

BH

AF

BF

PF

QH

PH

QF

1

1

Q 1

P

B

H 1

Avm


167

AH

HF

BH

AF

BF

PF

QH

PH

QF

1

1

Q 1

P

B

H 1

A

vm=d


168

AH

HF

BH

AF

BF

PF

QH

PH

QF

1

1

Q 1

P

B

H 1

Avm

=d

12

Q

AB

P

x

y

x,y


169

AH

HF

BH

AF

BF

PF

QH

QF

1

1

Q 1

P

B

H 1

A

vm=d

12

Q

AB

P

x

y

x,y

PHy

x

x

y


170

4.- Menor Distancia Horizontal Problema.- Hallar la menor distancia horizontal entre las rectas AB y PQ.

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

P

Q

A

BH

1vm

vm


171

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

x

y

P

Q

A

BH

1

B A

Q

P

x,y

x

y

yx

12

vm

vm


172

5.- Menor Distancia con Pendiente dada

Problema.- Hallar la menor distancia entre las rectas AB y PQ, que tenga un ángulo de pendiente descendente AB hacia CD de 30° de.

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF


173

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

P

Q

A

B

H

1

vm

30°

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

P

Q

A

B

H

1

vm

vm


174

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

P

Q

A

B

H

1

vm

vm

30°

1 2

P

Q

B

A

x,y

x

y


175

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

P

Q

A

B

H

1

vm

vm

30°

1 2

P

Q

B

A

x,y

x

y

x

y

x

y


CAPITULO 7

ANGULOS


177

ANGULOS

Angulo entre una recta y un plano (Método del ángulo complementario)

LMN

A

B


178

90

Problema.- Hallar el ángulo entre la recta PQ y el plano ABC.

LMN

A

B

ß

Z


179

LMN

A

B

ß

Z

P

Q

1

ABC


180


181

90 38

52


182

Angulo entre dos planos


180 183

Problema.- Hallar el ángulo entre los planos ABC y PQR.

Método Del Angulo Suplementario


184


185


186

180º 110º

70º


A

B

C

D

E

A

B

C

X

198

ABC

A

1

2

M

LMN

PCI

P


SILABO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN

CRISTOBAL DE HUAMANGA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA

DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL

DE INGENIERIA CIVIL

SILABO

1. DATOS GENERALES

1.1 Nombre de la Asignatura : GEOMETRIA DESCRIPTIVA

1.2 Código : IC-142

1.3 Créditos : 4

1.4 Tipo : Obligatorio

1.5 Requisito :

1.6 Plan de Estudios : 2004

1.7 Semestre Académico : 2012-II

1.8 Duración : 17 semanas

1.9 Período de inicio y término : 01/04/2013

13/07/2013

1.10 Docentes Responsables :

Ing° Luis Alfredo Vargas Moreno

1.11 N° horas de clases semanales

1.11.1 Teóricas : 3

1.11.2 Prácticas : 2

1.12 Lugar 1.12.1 Teoría :H-219 1.12.2 Práctica :H-219

1.13 Horario

1.13.1 Teoría :Martes: 18-20 hrs. 1.13.2 Práctica :Miercoles: 07-09hrs.

2. SUMILLA

Según el plan curricular, la sumilla es la siguiente: conceptos fundamentales, el punto, la recta, el plano, intersecciones, paralelismo y perpendicular, ángulos distancias y giros.

3. OBJETIVOS

3.1 General: Dar a los estudiantes los conocimientos de diferentes problemas que se puede presentar con los elementos geométricos.

3.2 Específicos: proporcionar los fundamentos y procedimientos básicos para proyectar puntos, rectas y planos situados en el espacio en un plano de representación (representacion bidimensional).

4. SISTEMA DE EVALUACIÓN

Se evaluara por medio de la rendición de tres practicas calificadas parciales de las que se eliminara la nota mas baja y el promedio se obtendrá aplicando la siguiente relación matemática:

PF=2

Examen Parcial Examen Final

5. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

Geometría Descriptiva, Alejandro Miranda Castro.

Geometría Descriptiva, Colección Shaum.

Geometría Descriptiva, Jorge Días Mosto.

Geometría Descriptiva, Steve Mc. Slaby.


01 01/04/13 I.- INTRODUCCIÓN: Definición, Proyección, Tipos

de proyección: proyección cónica, proyección

cilíndrica, proyección ortogonal, planos de

proyección, línea de pliegue, planos auxiliares:

plano auxiliar de elevación, plano auxiliar de

inclinación, plano auxiliar sucesivo, plano auxiliar

sucesivo al plano H, plano auxiliar sucesivo a F,

proyección de un punto en los planos principales

de proyección: cota, alejamiento y apartamiento.

LAVM

02 Depurado, sólido, proyección isométrica del sólido,

proyecciones principales del sólido, proyección de

un punto en un plano auxiliar: con respecto a H,

con respecto a F, proyección auxiliar de un sólido,

proyecciones sucesivas: con respecto a H,

LAVM

6.0 Programa Analítico - Practico


03 Con respecto a F, problema, posición relativa de

dos puntos, ejemplo. II.- LA RECTA: punto

contenido en una recta, propiedades,

LAVM

04 Posiciones particulares de una recta: recta

horizontal, recta frontal, recta de perfil, recta

vertical, recta normal, recta orto perfil, recta de

posición general,

LAVM

05 Características de una recta de posición general:

orientación de una recta, verdadera magnitud de

una recta, pendiente de una recta, posiciones

relativas de dos rectas: rectas que se cortan,

rectas que se cruzan, rectas paralelas,

LAVM

06 PRIMER EXAMEN LAVM


07 Rectas perpendiculares. III.- EL PLANO:

formación del plano: por medio de tres puntos no

colineales,

LAVM

08 Por medio de una recta y un punto fuera de

ellas, por medio de dos rectas que se cortan, por

medio de dos rectas paralelas,

LAVM

09 Planos notables o particulares: plano horizontal,

plano frontal, plano de perfil, plano vertical, plano

normal, plano ortoperfil, plano de posición

general,

LAVM

10 Recta contenida en un plano, punto contenido en

un plano, rectas notables en un plano: recta

horizontal, recta frontal, recta de perfil

LAVM

SEM FECHAS CONTENIDO RESP

.

11 plano de canto, verdadera magnitud de un plano,

orientación de un plano, pendiente de un plano,

recta de máxima pendiente,

LAVM

12 SEGUNDO EXAMEN

13 IV.- INTERSECCIONES: intersección entre recta y

plano, métodos del plano de canto y plano cortante,

intersección entre dos planos, métodos del plano de

canto y planos cortantes

LAVM

14 V.- PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD:

paralelismo entre recta y plano, paralelismo entre

dos planos, perpendicularidad entre recta y plano,

perpendicularidad entre dos planos,

LAVM


15 VI.- DISTANCIAS: menor distancia de un punto

a una recta, menor distancia de un punto a un

plano, menor distancia entre dos rectas que se

cruzan,

LAVM

16 Menor distancia horizontal, menor distancia con

pendiente dada. VII.- ANGULOS: ángulo entre

recta y plano método del ángulo

complementario, ángulo entre dos planos,

método del ángulo suplementario.

LAVM

17 TERCER EXAMEN LAVM

CAPITULO 1

INTRODUCCION

DEFINICION

• La Geometría Descriptiva es una ciencia matemática de dibujo que permite, por un sistema de proyecciones, representar rigurosamente en un solo plano (hoja del dibujo) las formas del espacio de una, dos y tres dimensiones.

Nos permite estudiar, medir y definir los cuerpos del espacio en su exactitud absoluta.

Es el instrumento preciso y gráfico de la Geometría del Espacio.

Hay que tener presente como hecho fundamental que la Geometría Descriptiva es dibujo y que todo el valor matemático de sus aplicaciones depende de la precisión del dibujo que las exprese. No dibujar con ese sentido de rigor es contradecir el espíritu mismo de esta ciencia y restarle su verdadera utilidad.

Proyección

Si se tiene:

O= 0jo del observador

A= Objeto

P= plano de proyección

La intersección del rayo proyectante OA con el plano P, es la proyección del objeto en dicho plano, denominado Ap.

Tipos de Proyección

Proyección Cónica

Es aquella donde los rayos de proyección forman una superficie cónica partiendo estos del ojo del observador fijo.

Proyección Cilíndrica

Es aquel tipo de proyección donde el observador no se mantiene fijo, los rayos proyectantes son paralelos a una orientación predeterminada.

Proyección Ortogonal

Es la proyección cilíndrica con la particularidad que los rayos proyectantes son perpendiculares al plano de proyección

Nota.-El desarrollo de la geometría descriptiva, esta basado en el tipo de proyección ortogonal.

Planos de Proyección

El espacio puede ser dividido en cubículos por medio de dos planos perpendiculares entre si llamados planos principales horizontal (H) y frontal (F).

Así mismo se tiene un tercer plano principal perpendicular a los anteriores, denominado

plano principal de perfil (P).

En geometría descriptiva para la especialidad de ingeniería se trabaja en el tercer cubículo.

Planos Auxiliares.- son planos que son perpendiculares a los planos principales de proyección.

Línea de Pliegue.- Es la recta de intersección de dos planos de proyección.

En geometría descriptiva para la especialidad de arquitectura se trabaja en el primer cubículo.

F H

1

F H

1

Plano Auxiliar de Elevación

Es un plano perpendicular al plano principal H.

P1 ┴ PH

Plano Auxiliar de Inclinación

H F

1

H F

1

Es un plano perpendicular al plano principal F.

P1 ┴ PF

Planos Auxiliares Sucesivos.- son aquellos planos que son perpendiculares a los planos auxiliares.

Plano Auxiliar sucesivo al plano H.-

2 F

H

1 2

F

H

1

P2 ┴ P1

Plano Auxiliar sucesivo al plano F.-

H F

1 2

H F

1 2

P2 ┴ P1

Proyección de un Punto en los planos principales de proyección.-

Cota.- Distancia del punto al plano H.

Alejamiento.- Distancia del punto al plano F.

Apartamiento.- Distancia del punto al plano P.

H F

P

A

A H

cota

A F

A P

Depurado.-

Si los planos de proyección del espacio se hace contener en un solo plano se llama depurado.

H

A F

A H

A

F

A H

H

A H

A F

H

F

A P

H

A F

A H

A

F

A H

H

A P

P

A F

H

F P

A H

A P A

lej.

Co

ta

Apart. Alej.

A F

H

F

P

A H

A P

F

SÓLIDO.- Un sólido es un objeto que esta compuesto por una serie de vértices y aristas.

Para poder dibujar un solidó en proyección isométrica esta se comienza trazando dos ejes perpendiculares, uno horizontal y otro vertical y además dos ejes que hagan 30° con el eje horizontal.

PROYECCIÓN ISOMETRICA DE UN SÓLIDO.-

En esta proyección al sólido se le aprecia como un objeto espacial teniendo a través de la vista la forma de dicho sólido.

El sólido se dibuja inscrito en el paralelepípedo formado por el eje vertical y los ejes inclinados

F

H

P

720,0

0

720,00

720,00

PROYECCIONES PRINCIPALES DE UN SÓLIDO.-

Para hallar las vistas principales de un sólido, se proyecta sobre los planos principales cada uno de los vértices del sólido en cada uno de los planos principales, para luego uniendo estos determinar las aristas del sólido. F

H

P

1

23

6

7

4

5

9

11

12

13

1410

8

1516

17

18

2,15 3,16 4,8 5,9

6 7

1 14

17,13 18,10

12 11

2 3

6,16 7,8

54

11,912,10

1817

14,131,15

5,4,3,2

6,7 8,16

17,18

13,10 9,1511,12,14,1

H

F

F P

F

H

P

1

23

6

7

4

5

9

11

12

13

1410

8

1516

17

18

Proyecciones de un punto en un plano Auxiliar

a) En un plano auxiliar de elevación

1 A 1

1

H F

A H

A F

A A 1

A H

A F

H

F

H 1 A 1

Co

ta

b) En un plano auxiliar de inclinación Depurado

A F

A H

H

F

H 1

A 1

Co

ta

A

H F

A F

A H

1 A 1

1 A 1

Depurado

A H

A F

H

F

F A 1 1

Ale

j.

Co

ta

A H

A F

H

F

F A 1 1

Ale

j. C

ota

Proyecciones auxiliares de un sólido

I,P A,H

L,M

D,E

B,C,F,GJ,K,N,O

J,I B,A

C,DK,L

N,M F,E

O,PG,H

F

H

H

1

H

F P

J

KN

O

M

I

A

B

C

D

E

FG

H

30° 3

0°

I,P A,H

L,M

D,E

B,C,F,GJ,K,N,O

J,I B,A

C,DK,L

N,M F,E

O,PG,H

F

H

H

1

O,PG,HJ

I

PA

H

G

ED

FCBL M

NKO

F

H

H

1

I,P A,H

L,M

D,E

B,C,F,GJ,K,N,O

J,I B,A

C,DK,L

N,M F,E

I,P A,H

L,M

D,E

B,C,F,GJ,K,N,O

J,I B,A

C,DK,L

N,M F,E

O,PG,HJ

I

PA

H

G

ED

FCBL M

NKO

F

H

H

1

Proyecciones Auxiliares Sucesivas.-

a) Con respecto al Plano H.

A 2

2

A H

A F

A 1

A 2

H

F

H

1

1 2

A 1

F H 1

A

A H

A F

A H

A F

A 1

A 2

H

F

H

1

1 2

a) Con respecto al Plano F.

A 2

2 H

F

1

A

A 1

A F

A H

A H

H

A F

A 1

A 2

F

F 1

1 2

A H

H

A F

A 1

A 2

F

F 1

1 2

Problema-. Determinar las proyecciones 1, 2 y 3 que faltan del punto A.

A H

A F

H

F

1

H

1 2

2 3

A H

A F

H

F

1

H

1 2

2 3

A 1

A 2

A 3

Solución

Posición relativa de dos puntos.- Se refiere a la posición de un punto con respecto a otro. Ejemplo.- Ubicar el punto A, con respecto al punto B.

H

F

AAAH

BH

AAAF

BF

H

F

AAAH

BH

AAAF

BF

N

E

Detras

Derecha

Encima

Derecha

Solución

-El punto A esta 3cm arriba o encima de B.

-El punto A esta 4cm a la izquierda u oeste de B. -El punto A esta 2cm atrás, detrás o al norte de B.

CAPITULO 2

LA RECTA

LA RECTA.- Una recta se obtiene por medio de la unión de dos puntos.

Las proyecciones de una recta, en una proyección determinada, se obtienen uniendo las proyecciones de dos puntos en dicha proyección.

A

B

A

B

AH

HF

BH

AF

BF

AH

HF

BH

AF

BF

Punto Contenido en una recta.- Si un punto se encuentra contenido en una recta, este se encontrara contenido en todas las proyecciones de la recta.

Problema.- Graficar la proyección frontal del punto M, si se sabe que pertenece a la recta AB.

A

B

M

AH

HF

BH

AF

BF

M H

Solución.- Propiedades.-

Si un punto esta contenido en una recta, este divide a la recta en cierta proporción; esta proporción se conserva en todas las proyecciones que tenga la recta.

Es decir:

FF

FF

HH

HH

BM

MA

BM

MA

BM

MA

AH

HF

BH

AF

BF

M H

M F

Problema.- Graficar las proyecciones del punto M, si se sabe que esta contenido en la recta AB y además se cumple que AM/MB=1/2

AH

HF

BH

AF

BF

Solución.-

AH

HF

BH

AF

BF

AH

HF

BH

AF

BF

AH

HF

BH

AF

BF

AH

HF

BH

AF

BF

M H

Posiciones Particulares de una recta.-

Son aquellas rectas que tienen características especiales, con respecto de los tres planos principales de proyección (H, F, P).

AH

HF

BH

AF

BF

M H

M F

Recta Horizontal.- Es aquella recta que es paralela al plano principal H, se proyecta en este en verdadera magnitud (VM)

AH BH

AF

BF

AB

VM

F

H

P

VM

Recta Frontal.- Es aquella recta que es paralela al plano principal F, se proyecta en este en verdadera magnitud (VM)

VM

AH

BH

AF

BF

A

B

VM

F

H

P

AP

BP

AF

BF

VM

HF

F P

H

BH

AF

BF

AP

BP

AH

BH

Recta De Perfil.- Es aquella recta que es paralela al plano principal P, se proyecta en este en verdadera magnitud (VM)

BP

AP

AFA

BV

MF

H

P

BH

AH

BF

VM

Recta Vertical.- Es aquella recta que es perpendicular al plano principal H, se proyecta en este como un punto y en F en verdadera magnitud (VM)

VM

VM

AH

BH

AF

BF

A

B

F

H

P

AF

BF

HF

AH

BH

VM

Recta Normal.- Es aquella recta que es perpendicular al plano principal F, se proyecta en este como un punto y en H en verdadera magnitud (VM)

AH

BH

AFBF

A

B

F

H

P

AH

BH

FH

AB

F

VM

Recta Ortoperfil.- Es aquella recta que es perpendicular al plano principal P, se proyecta en este como un punto y en H y F en verdadera magnitud (VM)

VM

AF

BF

VM

AH

BH

AP

BP

A

BVM

F

H

P

AH

HF

BH

AFBF

VM

F P

VM AP

BP

Recta De Posición General.-

AH BH

APBP

A

B

F

H

P

AF

BF

AH

HF

BH

AF

BF

AP

BPF P

Definición

Es aquella recta que no es paralela ni perpendicular a ninguno de los planos principales de proyección (H, F, P), razón por la que en ninguno de estos planos se proyecta en verdadera magnitud (VM)

AH

BF

AF

HF

BH

Características de una recta de posición general.-

Orientación.- La orientación de una recta, se mide por medio de un ángulo que hace la proyección horizontal de la recta con respecto al eje norte-sur y dirigido al este u oeste

Problema.- Hallar la orientación de la recta AB.

Solución.-

ENOAB 53

OSOBA 53

Verdadera Magnitud.- Se consigue por medio de una vista auxiliar paralela a una de las proyecciones de la recta.

AH

BF

AF

HF

BH

N

E

S

O

53°

Problema.- Hallar la verdadera magnitud de la recta AB.

Solución.-

AH

BF

AF

HF

BH

AH

BF

AF

HF

BHA

B

H

1

VM

Nota.- En Geometría Descriptiva, para poder medir la pendiente de una recta, la recta tiene que encontrarse en verdadera magnitud en una vista auxiliar de elevación, porque en esta vista el plano horizontal se ve como una línea o de canto.

Pendiente de una recta.- Es la tangente del ángulo que hace la recta con respecto al plano horizontal.

ABmTg

H

A

B

Problema.- Hallar la pendiente de la recta AB.

Solución-

AH

BF

AF

HF

BH

AH

BF

AF

HF

BHA

B

H

1

VM

AH

BF

AF

HF

BHA

B

H

1

VM

AH

BF

AF

HF

BHA

B

H

1

VM

29TgmAB

1

55.029 TgmAB

%551001

10055.0

x

xmAB

%55ABm

AH

BF

AF

HF

BHA

B

H

1

VM

29º

Nota.- la pendiente de una recta se da siempre en porcentaje y ascendente ( )o descendente ( ).

Posiciones Relativas de dos rectas.-

Viene hacer la posición entre dos rectas, de las que tenemos: Rectas que se cortan.-

Son aquellas rectas que tienen un punto en común.

Si dos rectas se cortan estas determinan un plano

XA

B

C

D

Problema.- Hallar la proyección frontal de la recta CD, si se sabe que se corta con la recta AB.

Solución.-

AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

D

AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

D

1

DF

1

Rectas se Cruzan.-

Son aquellas rectas que no tienen un punto en común ni en su prolongación ilimitada.

Dos rectas se cruzan no determinan un plano.

Problema.- Determinar si las rectas AB y CD se cortan o se cruzan

A

B

X

C

D

AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

DH

DF

1

2

1

2

AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

DH

DF

Solución.-

AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

DH

DF

4

3

3

4

Rectas Paralelas.- Son aquellas rectas, que no se cortan ni se cruzan, dos rectas paralelas siempre forman plano.

Si dos rectas son paralelas, todas sus proyecciones se verán en forma paralela, excepto en una donde se proyectan como dos puntos.

A

D

B

C

Problema.- Determinar la proyección frontal del punto D, si se sabe que las rectas AB y CD son paralelas.

Solución.-

AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

DH AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

DH

AH

BF

AF

HF

BHCH

CF

DH

DF

H

Rectas Perpendiculares.-

Dos rectas son perpendiculares cuando forman entre si el ángulo de 90°, estas rectas pueden cruzarse o se pueden cortar.

ab

H

ab

ah(VM) bh(VM)

H

Caso a)

a ┴ b

Si se tiene la proyección de dos rectas en verdadera magnitud y además forman 90º, estas rectas en el


a

b

H

a

b

Hah(V

M)bh

Caso b)

a ┴ b

Si se tiene la proyección de una recta en verdadera magnitud y además la proyección de la otra forma 90º, estas rectas en el


Caso c)

a b

H

a b

Hah bh

α≠90º

Si se tiene la proyección de dos rectas que forman entre si un ángulo de 90º y ninguna de ellas se proyecta en verdadera magnitud, estas rectas en

el espacio no son perpendiculares entre si.

Conclusión.-

Para afirmar que dos rectas son perpendiculares entre si, como mínimo es condición que una de las rectas en una proyección cualesquiera debe estar en verdadera magnitud y la otra en esta misma proyección debe formar el ángulo de 90º.

CAPITULO 3

EL PLANO

EL PLANO.-

Un plano se puede determinar de las siguientes maneras:

1. Por medio de tres puntos no colineales.

A

B

C

A

B

C

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

2. Por medio de una recta y un punto fuera de Ella

A

B

C

A

B

C

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

3. Por medio de dos rectas que se cortan.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

DH

DF

A

B

C

D


4. Por medio de dos paralelas.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

DH

DF

1

1

A

B

D

C


AH

HF

CH

AF

CF

DH

DF

BH

BH

AH

HF

CH

AF

CF

DH

DF

BH

BH

Planos Notables o Particulares.-

Son particulares porque o bien son paralelos a los planos principales de proyección o bien son perpendiculares a los mismos.

AH

HF

BH

CH

AFBF CF

VM

AH BH

AF

BF

A B

F

H

CF

C

CH

1.- Plano Horizontal

Es un plano Paralelo al plano principal horizontal, se proyecta en este plano en V.M.

VM

AH

BH

CF

AF

BF

CH

HF

2.- Plano Frontal

F

H

AF

BF

CF

AHBH

CH

A

B

C

Es un plano Paralelo al plano principal Frontal, se proyecta en este plano en V.M.

507

3.- Plano De Perfil

BP

AP

AFA

BF

H

P

BH

AH

BF

C

CH

c P

CF

Es un plano Paralelo al plano principal de Perfil, se proyecta en este plano en V.M.

508

4.- Plano Vertical

AH

CF

AF

BF

HF

CHBH

F

H

AF

BF

CF

AH BHCH

A

B

C

Es un plano Perpendicular al plano principal horizontal, se proyecta en este plano de canto o de filo.

509

5.- Plano Normal

AH

HF

BH

CH

AFBF

CF

AH BH

AF

A BF

H

CF

C

CH

BF

Es un plano Perpendicular al plano principal Frontal, se proyecta en este plano de canto o de filo.

510

6.- Plano OrtoPerfil

AH

CH

HF

BH

CF

AF

BF

CP

AP

BPF P

F

H

P

AF

BF

CF

AH

BH CH

CP

AP

BP

AC

B

Es un plano Perpendicular al plano principal de Perfil, se proyecta en este plano de canto o de filo.

511

Plano de Posición General

FH

P

AF

BF

CF

AH

BH CH

CP

AP

BP

AC

B

Es un plano que no es Paralelo ni Perpendicular a los planos principales de Proyección, por lo que en ninguno de ellos se proyecta en VM o bien de Canto.

512

Recta Contenida en un Plano

Si una recta se encuentra contenida en un plano, esta debe cortar como mínimo a dos rectas en puntos diferentes,

contenidas en dicho plano. Problema.- en el depurado mostrado en la figura, completar la proyección frontal de la recta DE si esta contenido en el

plano ABC.

1 2

C

A

B D

E

HF

BH

CH

AF

BF

CF

DH

EF

AH

1

2

513

HF

BH

CH

AF

BF

CF

DH

EF

AH

1

2

1

2

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

DH

EF

1

2

1

2

C

A

B

514

Punto Contenido en un Plano.-

Si un punto se encuentra contenido en un plano, este punto debe encontrase contenido en una recta contenida en dicho plano.

AH

HF

H

CH

AF

BF

DH

EF

CF

EF

DF

1

2

1

2

X

1

2

515

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

XH

A

B

C

X

Problema.- En el depurado mostrado en la figura completar la proyección frontal del punto X si esta contenido en el plano ABC.

1

2

1

2

516

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

XH

1

2

1

2

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

XH

1

2

1

2

517

Rectas Notables Contenidas en un Plano.-

Son aquellas rectas que se encuentran contenidas en un plano las mismas que tienen alguna característica en particular.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

XH

XF

1

2

1

2

518

1. Recta Horizontal.-

Problema.- Trazar por el punto A, una recta horizontal que este contenida en el plano ABC.

AH

HF

H

CH

AF

B

CF

519

AH

HF

H

CH

AF

CF

1

AH

HF

H

CH

AF

B

CF

1

1AH

HF

H

CH

AF

CF

1VM

1

520

2. Recta Frontal.-

Problema.- Trazar por el punto A, una recta frontal que este contenida en el plano ABC.

AH

HF

H

CH

AF

B

CF

521

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

VM1

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

522

3. Recta De Perfil.-

Problema.- Trazar por el punto B, una recta de perfil que este contenida en el plano ABC.

H

CH

HF

BH

CF

AF

B

523

AH

CH

HF

BH

CF

AF

BF

CP

AP

BPF P

AH

CH

HF

BH

CF

AF

BF

CP

AP

BPF P

1

524

AH

CH

HF

BH

CF

AF

BF

CP

AP

BPF P

1

1

AH

CH

HF

BH

CF

AF

BF

CP

AP

BPF P

1

1 1

525

AH

CH

HF

BH

CF

AF

BF

CP

AP

BPF P

1

1 1

VM

Plano de Canto.-

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

526

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

527

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

Plano en Verdadera Magnitud.-

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

528

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

C

1

1

12

A1

AH

HF

529

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1B

A

C

1

1

1

B2

A2C2

VM

12

530

Orientación de un Plano.-

La orientación de un plano, la da una recta horizontal contenida en el plano; por medio de un ángulo (el menor) que haga esta recta con respecto a los ejes cardinales norte-sur y en dirección al este u oeste.

Problema.- Hallar la orientación del plano ABC.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

531

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

N

S

O E

532

AH

HF

BH

CH

AF

B

CF

1VM

1

N

S

O E

79° ENOABC 79

533

Pendiente de un Plano.-

La pendiente de un plano, es la tangente del ángulo que hace el plano con respecto a un plano horizontal.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

La pendiente de un plano se mide en un plano auxiliar de elevación y cuando el plano se proyecta de canto.

534

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

41ABCm Tg

535

1

86.0 TgmABC

%861001

10086.0

x

xmABC

%86ABCm

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

αº

536

Recta de Máxima Pendiente (RMP).-

De las infinitas rectas que tiene un plano, se tiene una recta entre todas, forma el mayor ángulo con el plano horizontal, a esta recta se le llama Recta de máxima pendiente del plano.

H

h

RMP

Una RMP, es una recta perpendicular a una recta horizontal del plano.

Nota.-La pendiente de la RMP, nos da la pendiente del plano.

α= ángulo de pendiente

537

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

Problema.- Trazar por el punto B, una RMP del plano.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

2

2

538

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

2

RM

P

2

RM

PNota.- La pendiente de un plano se da con la orientación hacia donde baja el plano.

Como la pendiente de un plano esta dada por la RMP del plano, entonces se analizara con que orientación desciende

la RMP.

539

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

Problema.- Hallar la pendiente del plano ABC.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

540

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

H 1

B

A

C

1

1

1

1

86.0 TgmABC

%861001

10086.0

x

xmABC

%86ABCm

N

S

E O

86%ABCm NO

541

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

2

RM

P

2

RM

P

F

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

2

2

AH

H

542

AH

HF

BH

CH

AF

BF

C

1VM

1

2

2

N

E

S

O

NOmABC %86

CAPITULO 4

INTERSECCIONES

544

INTERSECCIONES

1.- Intersección entre recta y plano.-

El lugar geométrico común entre una recta y un plano, es un punto; siempre y cuando la recta no sea paralela al plano ó la recta no este contenida en el plano.





12PQ " "O

PQ PCI

12 PCI

" " " "O PQ y O ABC

" "ABC PQ es O

ABC

PCI

1

2

P

Q

O

547

Problema.- Hallar la intersección entre la recta PQ y el plano ABC.

AH

BH

C H

CF

BF

AF

PH

QH

PF

QF

AH

BH

CH

CF

BF

AF

PH

QH

PF

QF

1

2

PCI

548

AH

BH

C H

C F

BF

AF

PH

QH

PF

QF

1

2

1

2

PCI

AH

BH

CH

CF

BF

AF

PH

QH

PF

QF

1

2

1

2

O

PCI

O

X

X

549

2.- Intersección entre dos planos.-

El lugar geométrico común entre dos planos, es una recta.




AH

BH

CH

CF

BF

A F

PH

QH

PF

QF

1

2

1

2

PCI

X

X

550

1 2L L " "P

1 1L ABC y PCN

" " " "P ABC y P LMN

2 1L LMN y PCN

" " int secP esun puntode er cionde ABC y LMN

1L 2L

P


551

Problema.- Hallar la recta de intersección entre los planos ABC y LMN.

AH

CH

AF

CF

LH

MH

BF

NH

MF

BH LF

NF

552

AH

CH

AF

CF

LH

MH

BF

NH

MF

BH LF

NF

PCNI

PCNII

PH

QH

PF

QF

CAPITULO 5


554


1.- Paralelismo entre recta y plano.-

Para que una recta sea paralela a un plano debe ser paralela como mínimo a una recta contenida en el plano

Tip.- si en una proyección el plano se ve de canto, la recta se proyecta en forma paralela al plano de canto.

555

A

B

C

P

Q

556

Problema.- completar la proyección frontal del punto Q, si se sabe que la recta PQ es paralelo al plano ABC.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

PF

QH

PH AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

PF

QH

PH

1

557

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

PF

QH

PH

1

1

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

PF

QH

QF

PH

1

1

558

2.- Paralelismo entre dos planos.-

Para que dos planos sean paralelos entre si, dos rectas de uno de ellos, deben ser paralelos a dos rectas que se corten del otro plano.

Tip.- si uno de los planos se proyecta de canto, el segundo plano también se proyecta de canto y ambos se visualizan como dos rectas paralelas.

B

C

L

M

N

A

559

Problema.- completar la proyección frontal del plano LMN, si es

paralelo al plano ABC.

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

MH

LHNH

MF

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

MH

LHNH

1

1

MF

LF

560

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

MH

LHNH

1

1

MF

LF

2

2

NF

3.- Perpendicularidad entre recta y plano.-

Para que una recta sea perpendicular a un plano, esta debe ser como mínimo perpendicular a dos rectas que se cortan del plano.

561

A

B

C

P

Q

562

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1VM

1

PH

PF

AH

HF

BH

CH

AF

CF

PH

PF

563

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

PH

2

2

PF

VM

VM

Tips.-

Si un plano se proyecta de canto, la recta se proyecta en VM y formando el ángulo recto.

Si el plano se proyecta en VM, la recta se proyecta de punta.

564

3.- Perpendicularidad entre dos planos.-

Para que dos planos sean perpendiculares entre si, una recta contenida en uno de ellos, debe ser perpendicular al otro plano.

A

B

C

P

R

Q

565

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

PH

PF

QH

QF

Problema.- trazar por la recta PQ, un plano perpendicular al plano ABC.

A

B

C

P

R

Q

566

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

PH

2

2

PF

VM

VM

QH

QF

567

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

PH

2

2

PF

VM

VM

QH

QF

R

R

CAPITULO 6

DISTANCIAS

569

DISTANCIAS

1.- Distancia de un punto a una recta.-

La distancia de un punto a una recta, esta dada por la perpendicular bajada del punto a la recta.

P

Q

A

570

Problema.- Hallar la distancia del punto A a la recta PQ.

AH

PH

HF

QH

PF

QF

AF

P

Q

A

d

571

O

O

H1

PH

HF

QH

AH

PF

QF

AF

P

Q

A

VM

O

PH

HF

QH

AH

PF

QF

AF

P

Q

A

VM

O

O

O

H1

O

A

d=VM

1

2

572

2.- Distancia de un punto a un plano.-

La menor distancia de un punto a un plano, es la perpendicular bajada del punto al plano.

A

B

C

P

573

Problema.- Hallar la menor distancia del punto P al plano ABC.

A

B

C

P

O

d

574

F

BF

CF

PH

PF

AH

HF

BH

CH

A

P

C

B

H 1

d=VM

O

AH

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

VM

PH

PF

575

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

PH

PF

P

C

B

H 1

d=VM

OO

AH

HF

BH

CH

AF

BF

CF

1

1

PH

PF

P

C

B

H 1

d=VM

OO

O

576

3.- Distancia entre dos rectas que se cruzan.-

La menor distancia entre dos rectas que se cruzan, es una recta perpendicular a ambas.

A

B

C

D

d

577

QF

PF

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PHPF

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

1

1

Problema.- Hallar la menor distancia entre las rectas AB y PQ.

578

AH

HF

BH

AF

BF

PF

QH

PH

QF

1

1

Q 1

P

B

H 1

Avm

579

AH

HF

BH

AF

BF

PF

QH

PH

QF

1

1

Q 1

P

B

H 1

A

vm=d

580

AH

HF

BH

AF

BF

PF

QH

PH

QF

1

1

Q 1

P

B

H 1

Avm

=d

12

Q

AB

P

x

y

x,y

581

AH

HF

BH

AF

BF

PF

QH

QF

1

1

Q 1

P

B

H 1

A

vm=d

12

Q

AB

P

x

y

x,y

PHy

x

x

y

582

4.- Menor Distancia Horizontal Problema.- Hallar la menor distancia horizontal entre las rectas AB y PQ.

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

P

Q

A

BH

1vm

vm

583

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

x

y

P

Q

A

BH

1

B A

Q

P

x,y

x

y

yx

12

vm

vm

584

5.- Menor Distancia con Pendiente dada

Problema.- Hallar la menor distancia entre las rectas AB y PQ, que tenga un ángulo de pendiente descendente AB hacia CD de 30° de.

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

585

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

P

Q

A

B

H

1

vm

30°

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

P

Q

A

B

H

1

vm

vm

586

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

P

Q

A

B

H

1

vm

vm

30°

1 2

P

Q

B

A

x,y

x

y

587

AH

HF

BH

AF

BF

QH

PH

QF

PF

P

Q

A

B

H

1

vm

vm

30°

1 2

P

Q

B

A

x,y

x

y

x

y

x

y

CAPITULO 7

ANGULOS

589

ANGULOS

Angulo entre una recta y un plano (Método del ángulo complementario)

LMN

A

B

590

90

Problema.- Hallar el ángulo entre la recta PQ y el plano ABC.

LMN

A

B

ß

Z

591

LMN

A

B

ß

Z

P

Q

1

ABC

593

90 38

52

594

Angulo entre dos planos

180 595

Problema.- Hallar el ángulo entre los planos ABC y PQR.

Metodo Del Angulo Suplementario

598

180º 110º

70º

A

B

C

D

E

A

B

C

X

619

ABC

A

1

2

M

LMN

PCI

P

g. descriptiva 2015.pdf

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