g-flujo de fluidos en fase liquida

Prof. Ing. Mahuli Gonzlez

UNIVERSIDADNACIONALEXPERIMENTALFRANCISCODEMIRANDA

PROGRAMADEINGENIERIAQUIMICAAPRENDIZAJEDIALGICOINTERACTIVO

OPERACIONESUNITARIASI

TEMA N 1 FLUJO DE FLUIDOS EN FASE LIQUIDA

FACILITADOR:Prof.Ing.MahuliA.GonzlezG.

Flujo en fase liquida


UNIDAD I

FLUJO DE FLUIDOS EN FASE LIQUIDA

1.1 Introduccin El flujo y el comportamiento de los fluidos reviste gran importancia en muchas de las

operaciones unitarias de ingeniera de procesos. Un fluido puede definirse como una

sustancia que no resiste, de manera permanente, la deformacin causada por una fuerza y,

por tanto, cambia de forma.

Los procesos industriales exigen necesariamente el flujo de fluidos a travs de tuberas,

conducciones y equipos, por lo que resulta necesario conocer los principios que gobiernan al

flujo de fluidos.

Si un fluido se ve poco afectado por los cambios de presin, se dice que es incompresible.

La mayora de los lquidos son incompresibles. Los gases se consideran como fluidos

compresibles. Sin embargo, si los gases se sujetan a porcentajes pequeos de cambios de

presin y temperatura, sus cambios de densidad sern poco considerables y se les puede

clasificar entonces como fluidos incompresibles. En esta Unidad, solo estudiaremos el flujo

de fluidos en fase liquida, en la Unidad II trataremos el flujo de fluidos en fase gaseosa.

De manera general, en esta unidad estudiaremos la Ecuacin de Bernoulli y su correccin

debido a los efectos de superficie solidas, ecuacin general para evaluar las prdidas de

carga por friccin en funcin del factor de friccin, Mediciones en el flujo de fluidos, Cada de

Presin Total en un sistema de tuberas (serie y paralelo).

Para abordar los tpicos mencionados anteriormente, es importante que conozcamos que el

comportamiento de un fluido depende mucho de que el fluido est o no bajo la influencia de

superficies slidas. En la regin donde la influencia de la pared es pequea el esfuerzo

cortante puede ser despreciable, y el comportamiento del fluido acercarse al de un fluido

ideal, es decir, no compresible y con viscosidad cero.

Un principio fundamental de la mecnica de fluidos, fue establecido inicialmente por Prandtl

en 1904, y establece que excepto para fluidos que circulan con bajas velocidades o poseen

viscosidades elevadas, el efecto de una superficie slida sobre el flujo se limita a una capa

de fluido inmediatamente adyacente a la pared. Esta capa recibe el nombre de capa lmite.

(Mc Cabe, 1998).



En la seccin 1.2 estudiaremos la capa limite y la formacin de la misma en un conducto

cerrado, seguidamente abordaremos un trmino conocido como flujo totalmente

desarrollado.

1.2 Capa limite Una capa lmite se define como una parte de un fluido en movimiento en la cual el flujo del

fluido est influenciado por la presencia de una superficie slida. Como un ejemplo

especfico de la formacin de una capa lmite, consideremos el flujo de un fluido paralelo a

una lmina delgada, tal como podemos observar en la Figura 1.

Figura 1. Capa lmite para un flujo que pasa por una placa plana. Fuente: Mc Cabe,

1998

La velocidad del fluido aguas arriba del borde de ataque de la lmina es uniforme a travs de

toda la corriente del fluido. En un instante, el fluido en movimiento entra en contacto con el

borde de la placa, la velocidad del fluido disminuye inmediatamente a cero. La velocidad

aumenta con la distancia desde la lamina, tal como mostramos en la Figura 1. Cada una de las curvas corresponde a un valor definido de x, la distancia desde el borde de ataque de la

lmina.

La lnea de trazos OL en la Figura 1 han sido trazadas de tal forma que las variaciones de velocidad quedan incluidas entre la pared y dicha lnea. La lnea OL representa una

superficie imaginaria que separa el fluido que est directamente afectado por la lmina del



resto en el que la velocidad local es constante e igual a la velocidad inicial del fluido. Dicha

lnea es lo que conocemos como CAPA LMITE. Fuera de la capa limite prevalece el flujo potencial. (El flujo de un tal fluido ideal recibe el nombre de flujo potencial)

El espesor de la capa limite es la distancia desde la pared hasta donde la velocidad del

fluido es igual al 99% de la velocidad de la corriente libre U. En la Figura 2 podemos ilustrar el espesor de la capa lmite.

Figura 2. Espesor de la capa lmite. Fuente: Shames, 1995

Dentro de la capa limite se ubican varias regiones: (Figura 3) 1. La regin laminar, empieza en el borde de ataque y aumenta su espesor

2. Luego se alcanza una regin de transicin laminar a turbulento donde el flujo cambia

de laminar a turbulento donde el flujo cambia de laminar a turbulento con

engrosamiento consiguiente de la capa limite.

3. Cuando la capa limite es turbulenta, existe una subcapa viscosa adyacente a la

placa.

Figura 3. Regiones de la capa limite. Fuente: Shames, 1995



1.2.1 Formacin de capa limite en tubos rectos Consideremos un tubo de pared delgada, en el que penetra un fluido con velocidad uniforme.

Tal como podemos observar en la Figura 4., comienza a formarse una capa limite en el entrada del tubo y a medida que el fluido circula a travs de la primera parte de la

conduccin, el espesor de la capa aumenta. A medida que la corriente avanza mas por el

tubo la capa limite ocupa una porcin creciente de la seccin transversal. Finalmente, la

capa para un punto suficientemente alejado aguas debajo de la entrada, toda la capa limite

llega al centro del tubo; el ncleo desaparece y la capa limite ocupa toda la seccin

transversal de la corriente. A partir de este punto, el perfil de velocidad no cambiar corriente

abajo, y decimos que el flujo se encuentra TOTALMENTE DESARROLLADO. (Mc Cabe, 1998)

Figura 4. Desarrollo del flujo de capa lmite en un tubo. Fuente: Mc Cabe, 1998

1.3 Flujo totalmente desarrollado Entendemos que el flujo est totalmente desarrollado, si en una tubera o conducto de rea

constante, el perfil de velocidad es el mismo en todas las secciones transversales.

Entre sus caractersticas se pueden nombrar las siguientes:

Es unidimensional (la velocidad varia con la distancia transversal de la tubera pero no a lo largo de ella)

Es unidireccional (nica direccin llamada de direccin del flujo, las componentes de velocidad perpendiculares a esta direccin son cero)

Las lneas de corrientes son rectas y paralelas El esfuerzo constante es el mismo en todos los puntos y factores de correccin de

cantidad de movimiento y energa cintica ( y ) son constantes.

La longitud aproximada de tubera recta que se necesita para alcanzar la distribucin final de

velocidad, viene expresada por:



0.00575

Cualquier perturbacin como un codo, vlvula o cambio de dimetro de la tubera ocasiona

que el flujo se salga de la condicin de totalmente desarrollado y vuelva a esa condicin a

varios dimetros corriente abajo.

1.4 ECUACION DE BERNOULLI En esta seccin estudiaremos la correccin de la Ecuacin de Bernoulli debida a los efectos

de superficies slidas y la ecuacin de Ecuacin General para evaluar las prdidas de carga

por friccin, en funcin del factor de friccin conocida como la Ecuacin de Darcy-Weisbach.

Para determinar las prdidas de energa en el flujo de fluidos en conducciones cerradas, se

aplica un balance de energa, el cual proviene de la primera ley de la termodinmica;

Y que establece la primera ley de la termodinmica?

Establece que el calor aadido a un sistema menos el trabajo hecho por el sistema, depende

nica y exclusivamente de los estados inicial y final. Si aplicamos dicha ley a un volumen de

control se reduce a una ecuacin llamada ECUACIN DE BERNOULLI bajo ciertas condiciones: Flujo continuo, incompresible, no viscoso, no hay transferencia de calor, no hay

cambio en la energa interna, estado estacionario e isotrmico. La ecuacin de Bernoulli sin

friccin podemos plantearla en la ecuacin 1.

(Ec 1)

Esta ecuacin involucra 3 formas de energa mecnica:

1. Energa de presin, que lleva el fluido como resultado de su introduccin al sistema.

2. Energa cintica, debido al movimiento del fluido

3. Energa potencial, debido a la posicin con respecto al plano de referencia.

Cada trmino representa un efecto sobre la energa mecnica basado sobre la unidad de

masa del fluido que circula. La ecuacin muestra tambin que, en ausencia de friccin

cuando se reduce la velocidad, la altura o la presin, o ambas tienen que aumentar. Si se



modifica la altura tiene que haber una compensacin mediante una variacin de la presin o

velocidad.

1.4.1 Correccin debida a los efectos de superficies solidas En la mayor parte de los problemas de flujo de fluidos, que se presentan en ingeniera,

intervienen corrientes que estn influenciadas por superficies slidas y que por tanto

contienen capas lmite. Esto ocurre especialmente en el flujo de fluidos a travs de tuberas y

otros aparatos, en los que toda la corriente puede poseer flujo de capa lmite.

Para aplicar la ecuacin de Bernoulli a estos casos prcticos, es preciso introducir dos

modificaciones. La primera, generalmente de menor importancia, es una correccin del

trmino energa cintica debida a la variacin de la velocidad local u con la posicin en la

capa lmite, y la segunda, que es de ms importancia, consiste en una correccin de la

ecuacin, debido a la existencia de friccin del fluido, que tiene lugar siempre que se forma

una capa limite.

Por otra parte, la ecuacin de Bernoulli, resulta de mayor utilidad para que la resolucin de

problemas de flujo de fluidos incompresibles, si se incluye en la ecuacin el trabajo

comunicado al fluido mediante una bomba. (Mc Cabe, 1998)

Ec 2

Factor de correccin de la energa cintica

Considerando que dentro de la tubera existe un perfil de velocidades y no solo una. Es

necesario introducir un factor de correccin (). Este factor se denomina factor de correccin

de la energa cintica y se ha evaluado experimentalmente para diversos flujos y es para

flujo laminar =2, para aplicaciones prcticas usualmente es asumido =1 para flujo

turbulento y flujo altamente turbulento =1.06.

Correccin de la ecuacin de Bernoulli debido a la friccin del fluido La friccin se manifiesta por la desaparicin de energa mecnica. La friccin de un fluido se

podemos definirla, como la conversin de energa mecnica en calor que tiene lugar en el

flujo de una corriente.



Para fluidos incompresibles, la ecuacin de Bernoulli se corrige para tener en cuenta la

friccin.

El trmino representa toda la friccin que se produce por unidad de masa de fluido.

Donde:

Perdida de carga por friccin debida a la tubera

Perdida de carga por friccin debida a la presencia de accesorios.

En la seccin 1.5.1 y 1.5.3 respectivamente desarrollaremos las ecuaciones que permitirn

su determinacin.

Correccin de la ecuacin de Bernoulli debido a la presencia de bombas Si la corriente atraviesa una o varias maquinas que le suministran energa (bombas)

experimenta un incremento de energa que, expresada en forma de altura la llamaremos . Asimismo si la corriente atraviesa una o varias maquinas a las que cede energa (turbinas)

experimenta un decremento de energa, que expresada en forma de altura, la llamaremos

. En este curso, solo nos enfocaremos en la Unidad III a las bombas centrifugas. 1.4.2 Ecuacin de Bernoulli corregida en unidades de longitud, presin y energa En unidades de longitud:

2

2

Notemos que cada trmino de la Ec. 2 est dividido por el peso especifico , por ende cada

termino esta en dimensiones de longitud. El resultado es llamado Cabezal y cada trmino entonces representa la cantidad equivalente de energa potencial en una columna de lquido

de altura especificada. Por ejemplo, el trmino de presin se conoce como Cabezal de



presin, el trmino de energa potencial se conoce como Cabezal esttico, el trmino de

energa cintica como Cabezal de velocidad, el trmino de prdidas por friccin como

Cabezal de prdida y el trmino de trabajo es tpicamente llamado Cabezal de la bomba.

(Darby, 2001)

En unidades de presin:

(Multiplicamos la ecuacin Ec 2 por el peso especfico del fluido de proceso para expresar la

ecuacin de Bernoulli en unidades de presin)

2

2

..

..

En unidades de energa: (Multiplicamos la ecuacin Ec 2 por la gravedad para expresar la ecuacin de Bernoulli en

unidades de energa). Recordemos que el peso especifico

2

2

..

..

..

..

..

..

.

.

El gradiente total de presin en cualquier punto en una tubera, est compuesto por:

1. Los efectos de la aceleracin

2. Los efectos de la posicin

3. Los efectos debidos a la friccin

La Ecuacin de Bernoulli (Ec. 2) podemos escribirla como:

Ec.3



1.5 Ecuacin General para evaluar las prdidas de carga por friccin, en funcin del factor de friccin Las prdidas de carga en las tuberas son de dos clases: primarias y secundarias.

Las perdidas primarias son las prdidas de superficie en el contacto del fluido con la

tubera (capa limite), rozamiento de unas capas de fluido con otras (rgimen laminar) o de

las partculas de fluido entre s (rgimen turbulento). Tiene lugar en flujo uniforme, por tanto

principalmente en los tramos de tubera de seccin constante.

Las perdidas secundarias o tambin llamadas perdidas menores son las prdidas de

forma, que tiene lugar en transiciones (estrechamientos o expansiones de la corriente),

codos, vlvulas y en toda clase de accesorios de la tubera. A continuacin, estudiaremos la

ecuacin que gobierna las perdidas primarias o tambin llamadas perdidas mayores.

1.5.1 Ecuacin de Darcy -Weisbach El flujo de los fluidos en tuberas est siempre acompaado de rozamiento de las partculas

del fluido entre s y, consecuentemente, por la prdida de energa disponible; en otras

palabras, tiene que existir una prdida de presin en el sentido del flujo. Si se conectan dos

manmetros Bourdon a una tubera por la que pasa un fluido, segn indicamos en la Figura 5, el manmetro P1, indicara una presin esttica mayor que el manmetro P2.

Figura 5. Prdida por friccin debida la tubera. Fuente. Crane, 1976

La ecuacin general de la prdida de presin, conocida como la frmula de Darcy-Weisbach

y que se expresa en unidades de longitud es:

24

Esta ecuacin tambin podemos escribirla para obtener la prdida de presin sustituyendo

las unidades correspondientes de la manera siguiente:

. 2

. 5

Donde = Factor de friccin de Darcy

= Longitud de la tubera

= Dimetro de la tubera



= Velocidad del fluido

= gravedad

La ecuacin de Darcy es vlida tanto para flujo laminar como turbulento de cualquier lquido

en una tubera. Con las restricciones necesarias la ecuacin de Darcy podemos utilizarla con

gases y vapores, las cuales estudiaremos en la Unidad II. Flujo en fase gaseosa.

1.5.2 Factor de friccin Cuando un fluido circula por un tubo parte de su energa mecnica se disipa por friccin. La

razn de esta prdida friccional a la energa cintica del fluido circulante se define como el

factor de friccin (Levenspiel, 1993). El factor de friccin, refleja la resistencia ofrecida por las

paredes del tubo al movimiento del fluido. Puede ser determinado experimentalmente

mediante el Diagrama de Moody o mediantes formulas empricas.

El factor de friccin depende de la velocidad del flujo V, las propiedades del fluido, densidad

y viscosidad , el dimetro de la tubera D, y su rugosidad e, la cual, como observamos en

la Figura 6, puede expresarse en unidades de longitud. Dicha figura representa macroscpicamente la rugosidad de la tubera y con ello explicamos el significado del

parmetro e o k dependiendo de la bibliografa consultada. Este parmetro podemos

obtenerlo en la gua de tablas y grficos del Tema 1. Flujo en fase liquida

Figura 6. Rugosidad de una tubera. Fuente: Mataix, 1993

La rugosidad relativa (e/D) es el cociente entre la rugosidad absoluta e y el dimetro de la

tubera.



Nmero de Reynolds y regmenes de flujo El nmero de Reynolds Re mide la importancia de la disipacin de energa por efectos viscosos. As,

Sistema internacional Sistema ingls

. .

6 124. . .

7

; ; ; .

;

; ;

Cuando el flujo est representado por un nmero de Reynolds grande significa que los

efectos viscosos son relativamente poco importantes y contribuyen poco a la disipacin de

energa; un nmero de Reynolds pequeo significa que las fuerzas viscosas dominan y son

el mecanismo principal de disipacin de energa. (Levenspiel, 1993)

Regmenes de flujo Los newtonianos que circulan por tubos exhiben dos tipos distintos de flujo, laminar (o lneas

de corriente paralelas) cuando Re < 2100, y turbulento cuando Re > 4000. Entre Re = 2100 y

Re = 4000 observamos un rgimen de transicin con flujo incierto y algunas veces fluctuante.

Calculo del factor de friccin: Formulas empricas Para flujo laminar (Re < 2100) (tuberas lisas y rugosas), el factor de friccin y la

prdida friccional pueden encontrarse a partir de las siguientes expresiones tericas

sencillas deducidas por Poiseuille

16

8 64

9 32. . .

10

En rgimen laminar fD y ff no es funcin de la rugosidad

Actualmente utilizamos en la prctica dos factores de friccin diferentes: (i) ff, factor de friccin de Fanning



(ii) fD, factor de friccin de Darcy.

No debemos confundir estas dos definiciones; adems, es importante resaltar que el factor

de friccin de Darcy equivale a 4 veces el factor de friccin de Fanning

4 11

En rgimen turbulento (Re > 4000), el factor de friccin y las prdidas friccionales se encuentran mediante las expresiones experimentalmente comprobadas de Nikuradse,

Von Karma, Colebrook.

- Ecuacin de Nikuradse (Tubera lisa)

1

fD 2Log

Re. fD2.51

Ec12

- Ecuacin de Colebrook (Tubera rugosa)

1

fD 2Log

e/D3.7

2.51

RefD Ec13

- Ecuacin de von Karma (Tubera rugosa)

1

f 4.06Log

De 2.16Ec14

En todos los regmenes de flujo (Flujo laminar o turbulento)

- Ecuacin de Churchill

2 8

1

.

15

...

donde , ,

2.457 /../



Calculo del factor de friccin: Diagrama de Moody Figura 7. Factores de friccin para cualquier tipo de tubera comercial (Crane, 1976)

0.026



Figura 8. Factores de friccin par cualquier tipo de tubera comercial (Darby, 2001)



El Diagrama de Moody - Resuelve todos los problemas de prdida de carga primarias en tuberas con

cualquier dimetro, cualquier material de tubera y cualquier caudal.

- Puede emplearse con tuberas de seccin no circular sustituyendo el Dimetro

equivalente

- Se usa para determinar el factor de friccin ya sea de fanning o Darcy; la manera ms sencilla de saber cul se est utilizando en el grafico (cuando no lleva subndice) es

observar el grfico para el rgimen laminar (Figura 7 y 8 ). En este caso, si

16

64

En el Diagrama de Moody presentado en la Figura 7 y 8 podemos observar tres zonas: la zona laminar, la zona de transicin y la zona de turbulencia total. En la zona laminar

laminar, podemos observar que la determinacin del factor de friccin solo depende del

nmero de Reynolds (es independiente de la rugosidad relativa); en la zona de transicin depende de la rugosidad relativa y del numero de Reynolds (si el fluido alcanza esta zona

se dice que el flujo est parcialmente desarrollado) y en la zona de turbulencia total

podemos observar que solo depende de la rugosidad relativa, ya que es prcticamente una

lnea recta la cual est separada de una lnea punteada (sta separa la zona de transicin de

la zona de turbulencia total).

Por ejemplo, determinemos el factor de friccin para una tubera de acero fundido (e=0.127)

de 250mm de dimetro interno, para un numero de Reynolds= 30000. (Figura 7) La rugosidad relativa es (e/D=0.001), entonces el factor de friccin de Darcy es igual a 0.026

Dimetro equivalente Las formulas de Poiseuille y Colebrook o bien el Diagrama de Moody, estrictamente

hablando, solo sirven para calcular el factor de friccin y, mediante la ecuacin de Darcy-

Weisbach en conductos cerrados de seccin circular constante.

El concepto de radio hidrulico Rh, nos servir para poder utilizar aquellas formulas con

aproximacin al clculo de prdida de carga en conductos de seccin no circular constante.

Llamamos Radio hidrulico Rh al cociente del rea transversal ocupada por la corriente por

el permetro mojado de esta seccin. (Mataix, 1993)

4 16



Aplicando la formula deduciremos fcilmente, por ejemplo:

El radio hidrulico de una seccin cuadrada es /4

El radio hidrulico de una seccin rectangular es

donde a, b y c son lados

1.5.3 Perdidas de carga debida a los accesorios (perdidas secundarias)

La perdida de carga por friccin

solo es parte de la perdida de carga total que

debe superarse en las lneas de tuberas y en otros circuitos de flujo de fluidos. Otras pueden

ocurrir a causa de la presencia de vlvulas, codos y otros accesorios que producen un

cambio en la direccin del flujo o en el tamao del conducto del flujo. (Welty, 2001)

Cualquier obstculo en la tubera cambia la direccin de la corriente en forma total o parcial,

altera la configuracin caracterstica de flujo y ocasiona turbulencia, causando una prdida

de energa mayor de la que normalmente se produce en un flujo por una tubera recta. Ya

que las vlvulas y accesorios en una lnea de tuberas alteran la configuracin de flujo,

producen una prdida de presin adicional. La prdida de presin total producida por una

vlvula (o accesorio) consiste en:

- La prdida de presin dentro de la vlvula. - La prdida de presin en la tubera de entrada es mayor de la que se produce

normalmente si no existe vlvula en la lnea. Este efecto es pequeo.

- La prdida de presin en la tubera de salida es superior a la que se produce normalmente si no hubiera vlvula en la lnea. Este efecto puede ser muy grande.

Figura 8. Perdida de energa debida a la presencia de accesorios. Fuente: Crane, 1976



La Figura 8 nos muestra dos tramos de tubera del mismo dimetro y longitud. El tramo superior contiene una vlvula de globo. Si las prdidas de presin P1, y P2 se miden entre

los puntos indicados, se encuentra que P1, es mayor que P2. Para que P2 sea igual a

P1 se debe aumentar la longitud de la tubera.

Las perdidas secundarias podemos calcularla por dos mtodos:

- Primer mtodo: por una formula especial y un coeficiente de perdidas adimensional de perdidas secundarias.

- Segundo mtodo: por la misma frmula de las perdidas primarias (Ecuacin de Darcy-Weisbach), sustituyendo en dicha formula la longitud de la tubera L, por la

longitud equivalente Le.

Primer mtodo: Ecuacin fundamental de las perdidas secundarias Una primera aproximacin se ha encontrado que la perdida de carga en los accesorios

puede ser

217

Donde K es el coeficiente de resistencia para vlvulas y accesorios, este valor expresa los

cabezales de velocidad que se pierden debido a la friccin cuando un fluido fluye a travs de

uno de estos elementos. Este mtodo tambin es conocido como Mtodo CRANE.

Segn este mtodo, por ejemplo, para una vlvula de compuerta 8

Para un codo de 90 30

Donde ft es el factor de friccin para un rgimen de turbulencia total (completamente

desarrollado tal como se estudi en la primera parte de este tema)

Tericamente, el coeficiente de resistencia es independiente del factor de friccin o del

nmero de Reynolds, y se le puede tratar como una constante para cualquier obstruccin

dada en un sistema de tubera con cualquier rgimen de flujo.

Cuando las condiciones actuales existentes en la tubera no corresponden a flujo turbulento

completamente desarrollado, PDVSA en sus prcticas de diseo recomienda hacer la

correccin



18

Donde

Coeficiente de resistencia para las condiciones actuales de flujo

Coeficiente de resistencia para flujo turbulento completamente desarrollado (En el

Apndice A-24 del Crane encontramos los coeficientes de resistencia validos para vlvulas y

accesorios, los cuales son mostrados en la gua de tablas y grficos de la Unidad I. Flujo en

fase liquida)

Factor de friccin para las condiciones actuales de flujo (Podemos obtenerlo mediante

el Diagrama de Moody)

Factor de friccin para flujo completamente turbulento (Podemos obtenerlo mediante el

Diagrama de Moody en la zona de turbulencia total, grficos y tablas ilustrados en la gua de

tablas y grficos de la Unidad I. Flujo en fase liquida)

Segundo mtodo: Mtodo de la longitud equivalente Este segundo mtodo consiste en considerar las prdidas secundarias como longitudes

equivalentes, es decir longitudes en metros de un trozo de tubera del mismo dimetro que

producira las mismas perdidas de carga que los accesorios en cuestin. As en la ecuacin

de Darcy-Weisbach cada codo, vlvula se sustituirn por su longitud de tubera equivalente,

Le.

.

219

El coeficiente de resistencia o longitud equivalente de cada accesorio podemos obtenerlo en

la gua de tablas y grficos del Tema 1. Flujo en fase liquida.

Prdidas por friccin de forma en la ecuacin de Bernoulli. Las prdidas por friccin de forma se incorporan en el trmino , de la Ecuacin (2). Se

combinan con las prdidas por friccin de superficie de la tubera recta para dar lugar a la

prdida total de friccin. Consideremos, por ejemplo, el flujo de un fluido no compresible a

travs de dos cabezales ensanchados, del tubo que los une, y de la vlvula de asiento que

mostramos en la Figura 9.



Figura 9. Flujo de un fluido no compresible a travs de una instalacin tpica. Fuente: Mc Cabe, 1996

Sea V la velocidad media en el tubo, D el dimetro del tubo y L su longitud. La prdida por

friccin de forma en el tubo recto, de acuerdo con la Ecuacin de Darcy-Weisbach es

las prdidas de contraccin a la entrada del tubo son

; las prdidas de

expansin a la salida del tubo, son

; y la prdida por friccin en la vlvula de asiento,

viene dada por

. Consideremos tambin la friccin de superficie a la entrada y salida de

los cabezales, la friccin total es

2

2

Cuando un fluido pasa desde un depsito hacia una tubera, se generan prdidas que

dependen de la forma como se conecta la tubera al depsito (condiciones de entrada) y

viceversa. Las diferentes formas de entradas y salidas las observamos en la Figura 10.



Figura 10. Condiciones de flujo de entrada y salida.

b) Entrada a una tubera interna proyectada

a) Entrada aguda

d) Entrada ligeramente redondeada c) Entrada bien redondeada

a) Salida de tubera tipo proyeccin b) Salida aguda

d) Salida redondeada c) Salida bien redondeada



En la Figura 11 podemos observar la presencia de vlvulas y accesorios en una instalacin tpica, adems de la instalacin de medidores de flujo tal como lo es una placa orificio.

Considerando que para determinar las prdidas totales por friccin es necesario considerar

todos los accesorios incluidos en el sistema de tuberas, se debe incluir en dichas prdidas

las originadas por los medidores de flujo instalados en la lnea. En la seccin 1.6 abordaremos las mediciones en el flujo de fluidos en fase liquida, incluyendo la clasificacin

de los medidores, los tipos de medidores de flujo y especficamente estudiaremos los

medidores de flujo volumtrico por presin diferencial tales como placa orifico, tubo venturi y

tubo pitot.

Figura 11. Instalacin para medir prdidas de presin en vlvulas y accesorios en tuberas para agua o vapor de agua. Fuente: Crane, 1976



1.6 Mediciones en el flujo de fluidos en fase liquida

La medicin de flujo o caudal es un factor de suma importancia en la industria, ya que

representa el balance de los procesos: se mide lo que entra al proceso, lo que sale del

mismo y el desperdicio o merma, con la finalidad de obtener informacin exacta de los

costos de produccin, garantizando la eficiencia de la planta, la calidad de los productos y la

cantidad vendida a los clientes. Es igualmente importante en trabajos de prueba de planta,

para aumentar la produccin y para los efectos de obtencin de informacin para nuevos

diseos o para eliminar dificultades en la operacin del proceso.

Existen muchos mtodos confiables y precisos para medir flujos, algunos aplicables

solamente a lquidos, otros a gases y vapores o ambos, el fluido puede ser limpio o sucio,

seco, hmedo, corrosivo o erosivo. Todos estos factores afectan la medicin y deben ser

tomados en cuenta a la hora o en el momento de seleccionar un medidor de flujo. Para

seleccionar un medidor en una determinada aplicacin, es necesario que conozcamos el

principio de operacin caractersticos de funcionamiento de los medidores de flujo

disponibles.

1.6.1 Medidor de flujo Entendemos que es un dispositivo colocado en una lnea de proceso que proporciona una

lectura continua de la cantidad de fluido que atraviesa la misma, por unidad de tiempo.

Los factores que mayormente afectan el flujo de un fluido a travs de una tubera son:

La velocidad: El fluido en una tubera se puede mover de acuerdo a un patrn de flujo determinado,

dependiendo en alto grado, de su velocidad. Estos patrones de flujo se conocen como

laminar y turbulento.

El flujo laminar es referido algunas veces como un flujo viscoso, se distingue por el hecho de

que las molculas del fluido siguen trayectorias paralelas cuando el fluido se mueve a travs

de la tubera.

El flujo turbulento, por otra parte, se caracteriza por patrones errticos debido a que la

turbulencia crea remolinos que mueven las molculas del fluido a lo largo de trayectorias

irregulares.



El trmino de velocidad, cuando se aplica al flujo de fluido en tuberas se refiere a la

velocidad promedio del fluido. Debemos utilizar la velocidad promedio ya que la velocidad del

fluido vara a travs de la seccin transversal de la tubera.

Friccin del fluido en contacto con la tubera: La friccin de la tubera reduce la velocidad del fluido, por lo tanto, se considera un factor

negativo. Debido a esta friccin, la velocidad del fluido es menor cerca de la pared que en el

centro de la tubera. Mientras ms lisa es una tubera, menor es el efecto de la friccin sobre

la velocidad del fluido.

La viscosidad: La viscosidad es una medida cuantitativa de la tendencia del fluido a resistir la deformacin.

Los fluidos que fluyen libremente tienen viscosidades bajas; los fluidos que parecen resistir a

fluir libremente tienen viscosidades altas.

Algunos medidores de flujo se calibran para un valor de la viscosidad del fluido que pasa por

el medidor. Si la viscosidad cambia, tambin lo hace el factor de calibracin, afectando la

exactitud de la medicin.

Otros medidores de flujo, como los medidores que utilizan el principio de diferencial de

presin, tienen limitaciones de viscosidad. Esto se debe a que por encima de ciertos valores

de viscosidad, los factores de flujo que intervienen en la ecuacin del medidor, ya no pueden

ser considerados constantes.

La viscosidad de un lquido depende principalmente de su temperatura y en menor grado de

su presin. La viscosidad de los lquidos generalmente disminuye al aumentar la temperatura

y la viscosidad de los gases normalmente aumenta al aumentar la temperatura. La presin

tiene un poco efecto sobre la viscosidad de los lquidos. Su efecto sobre la viscosidad de

gases solamente es significativo a altas presiones.

La densidad: La densidad de una sustancia se define como su peso por unidad de volumen. La densidad

de los lquidos cambia considerablemente con la temperatura, mientras que los cambios por

variaciones en la presin son despreciables. La densidad de los gases y vapores es

mayormente afectada por los cambios en la presin y la temperatura.

La temperatura y presin



1.6.2 Clasificacin general de los medidores de flujo

Medidores de flujo volumtrico Dispositivo que mide la cantidad de volumen que pasa por una seccin transversal de la

tubera en una unidad de tiempo (es un medidor de caudal). Dentro de esta categora se

encuentran el Tubo Venturi, Placa orificio, Tubo Pitot, Tobera de Flujo, Rotmetro.

Clasificacin de los medidores de flujo volumtrico

Presin diferencial: Estos medidores miden el flujo de un fluido indirectamente, creando y midiendo una presin

diferencial por medio de una obstruccin al flujo. El principio de operacin se basa en medir

la cada de presin que se produce a travs de una restriccin que se coloca en la lnea de

un fluido en movimiento. Esta cada de presin est relacionada al flujo, siendo este

proporcional a la raz cuadrada del diferencial de presin.

NOTA: La presin y la velocidad de un fluido que circula por la tubera es casi la misma en

cualquier punto del tubo. Cuando en la tubera se coloca una restriccin se observa

claramente que hay una cada de presin a travs de dicha restriccin y un aumento en la

velocidad del fluido. Esto es conocido como el teorema de Bernoulli.

Los medidores de flujo de tipo diferencial generalmente estn constituidos por dos

componentes:

Elemento primario: Es el dispositivo que se coloca en la tubera para obstruir el flujo y generar una cada de presin

Elemento secundario: Mide la cada de presin y proporciona una indicacin o seal de transmisin a un sistema de indicacin o control.

Medidores de flujo

Medidores de flujo volumtrico

Presin diferencial De velocidad

rea variable Desplazamiento positivo

Medidores de Flujo msico

Medidor trmico Medidor de coriolis



El elemento primario se calcula y se selecciona de acuerdo al fluido y las caractersticas del

proceso. Se han desarrollado ecuaciones que toman en cuenta casi todos los factores que

afectan la medicin de flujo a travs de una restriccin, la ecuacin bsica a partir de la cual

fueron desarrolladas estas ecuaciones, es la ecuacin de Bernoulli.

Dentro de este grupo se ubican la Placa Orificio, el Tubo Pitot, Tubo venturi, Tobera y el

medidor de Impacto (Target). Figura 12

a) b) c) Figura 12. Medidores de flujo por presin diferencial a) Placa orificio b) Tubo Venturi c) Tubo Pitot

rea variable Son medidores de flujo volumtrico en los que vara el rea, para mantener una cada de

presin relativamente constante. De estos medidores el ms conocido es el Rotmetro.

Un rotmetro est constituido por un tubo vertical de rea interna variable, a travs del cual

se mueve el flujo en sentido ascendente y un flotado, bien sea esfrico o cnico que tiene

una densidad mayor que la del fluido. El flotador crea una abertura anular entre su mxima

circunferencia y el interior del tubo. A medida que el flujo varia, el flotador sube o baja para

variar el rea de flujo. La cada de presin permanece constante, y la posicin del flotador

indica la tasa de flujo. (Figura 13)



Figura 13. Rotmetro

De desplazamiento positivo Son dispositivos que separan la corriente de flujo en segmentos volumtricos individuales.

Un volumen conocido de fluido se asla mecnicamente en el elemento del medidor, y es

transportado desde la entrada de ste hasta su salida, llenando y vaciando alternadamente

los compartimientos o cmara del medidor. Las partes mecnicas del medidor se mueven

aprovechando la energa del fluido. El volumen total del fluido que pasa a travs del medidor

en un periodo de tiempo dado es el producto del volumen de la muestra por el nmero de

muestras.

Los medidores de desplazamiento positivo se adaptan excelentemente a aplicaciones de

procesos discontinuos y a aquellos que requieren una totalizacin del volumen que pasa a

travs del medidor.

Los usos comunes de los medidores de desplazamiento positivo son la distribucin de

agua de los sistemas municipales a los hogares o negocios, el gas natural que se entrega a

los consumidores y la gasolina que se vende en las estaciones de servicio.

Este medidor encuentra su mayor aplicacin en agua y en servicios donde la precisin no es

de mayor importancia.

Los medidores de desplazamiento positivo pueden clasificarse, de acuerdo al movimiento del

elemento de medicin en: Disco oscilante, pistn oscilante, tipo rotacin, pistn reciprocante.



De velocidad Es un medidor en el cual la seal del elemento primario es proporcional a la velocidad del

fluido. La seal generada es lineal con respecto al flujo volumtrico segn

Q= A*V

Son medidores menos sensibles a las variaciones del perfil de velocidad del fluido cuando se

les compara con los medidores de flujo tipo diferencial, es decir no existe una relacin de

raz cuadrada si no lineal, lo cual explica su mayor relacin de flujo mximo a flujo mnimo,

tienen una amplia aplicacin industrial.

Ejemplo: Tipo Turbina, Tipo Electromagntico, Ultrasnico de flujo, (onda ultrasnico mide

Tiempo de viaje de la onda) y tipo Doppler y Tipo Torbellino Vortex.

Tipo Turbina: Es adecuado para medir flujos de lquidos, gases y vapores y es

especialmente til en sistemas de mezclas en la industria del petrleo. Es uno de los

medidores ms exactos para servicio de lquidos.

Electromagntico: Es capaz de medir los fluidos mas erosivos. Son muy adecuados para

medir qumicos, lodos, slidos en suspensin y otros fluidos extremadamente difciles de

medir. La nica limitacin que tienen es que el fluido debe ser elctricamente conductor y no

magntico. El principio de operacin de un medidor de flujo magntico est basado en la ley

de Faraday.

Ultrasnico de flujo: Se utiliza principalmente en fluidos limpios ya que es recordable que el

fluido est libre de partculas que pueden producir la dispersin de las ondas del sonido.

Tipo Doppler: Normalmente no se utilizan en fluidos limpios, ya que se requiere que una

mnima cantidad de partculas o burbujas de gas estn presentes en la corriente del fluido.

Medidor de flujo msico Dispositivo que mide la cantidad de masa que pasa por una seccin transversal de la tubera

en una unidad de tiempo. Se ubican dentro de esta clasificacin el Medidor Trmico y el

Medidor de Coriolis.

Clasificacin de los medidores de flujo msico

Medidor trmico: Los hay de dos tipos, uno mide la velocidad de prdida de flujo de calor de un cuerpo

caliente debido al paso de una corriente de fluido a travs de l; el otro mide el incremento



de temperatura. Para estos casos el flujo de masa se determina por las propiedades del

fluido (conductividad y calor especfico), que hasta ciertos lmites son independientes de la

Presin y la Temperatura.

Medidor de Coriolis: Depende de la aceleracin de Coriolis. El fluido se acelera radialmente hacia fuera entre las

volutas de un impulsor. El impulsor tiene tendencia a retrasase con respecto a la cubierta

que gira con l y este retraso proporciona un momento de torsin medible que es, que es

indicativo de la proporcin del flujo de masa.

1.6.3 Placa orificio Descripcin:

La placa orificio est constituida por una placa delgada perforada la cual se instala entre

bridas en la tubera. Cada una de las cuales estn unida a la parte correspondiente de la

tubera, entre placas y la brida se usa empacaduras para sellar los escapes de fluido. Se

hace generalmente de acero inoxidable, material que resiste satisfactoriamente la accin

qumica de los fluidos bajo medicin, salvo algunos fluidos corrosivos que requieren una

aleacin especial como monel o nquel, etc.

Estos medidores constan de dos componentes, el elemento primario, es el dispositivo que se

coloca en la tubera para obstruir el flujo y generar una cada de presin y un elemento

secundario que mide la cada de presin

.

Las tomas para medir la cada de presin se colocan antes y despus de la placa, en

cualquiera de las siguientes posiciones (Figura 14): Tomas en las bridas: cuando se instalan las conexiones a 1pulg de cada cara de

la placa, es el tipo de conexin ms utilizado y no hay que perforar la tubera.

Tomas en la vena contracta: la toma de alta presin se coloca en un punto que dista un dimetro nominal de la tubera, mientras que la toma de baja presin,

depende de la relacin entre el dimetro del orificio y el de la tubera ( = d / D), (las graficas que se utilizan estn a D/2 de la placa). Hay que perforar la tubera, no

se recomienda para dimetros de 2 pulg debido a que la vena contracta puede



estar a menos de 1 pulg de la placa orificio y se usa cuando se desea la mxima

presin diferencial para un mismo flujo.

Tomas en la tubera: estn localizadas a una distancia de 2 D nominales aguas arriba y 8D nominales aguas debajo de la placa. Miden la perdida de presin

permanente a travs de un orificio, requiere mayor cantidad de tramos rectos de

tubera, hay que perforar la tubera, se usa en la medicin de gases y es la que

permite mayor estabilidad en la presin diferencial.

Figura 14. Diferentes tomas de presin de una placa orificio

El orificio de la placa puede ser de tres tipos (Figura 15):

Figura 15. Tipos de orificios



Tipo concntrica: Para aplicaciones de lquidos limpios, de baja viscosidad para la mayora

de los gases y vapor a baja velocidad.

Tipo excntrico y segmental: se utilizan principalmente en aplicaciones de fluidos que

contienen materiales en suspensin o condensado de vapor.

El orificio los hay de dos formas: de bordes cuadrados y de bordes biselados, siendo este el

ms comn por ser la ms barata y ms fcil de cambiar. Su popularidad se debe a su

simplicidad y al bajo mantenimiento pero desafortunadamente no es el mtodo de medicin

ms preciso estando la incertidumbre en la medida entre el 0.5% y el 3% dependiendo del

fluido, la configuracin de la tubera aguas arriba y si las correcciones por diversos efectos

se hicieron o no en la frmula del flujo volumtrico

Definicin y principio de funcionamiento: Son dispositivos que consisten en una reduccin en la seccin de flujo de una tubera, de

modo que se produzca una cada de presin, a consecuencia del aumento de velocidad.

Consiste en una placa perforada instalada en la tubera.

Figura 16. Medidor de orificio. Fuente: Mc Cabe, 1998

En la Figura 16 podemos apreciar cmo cambia la seccin transversal de la vena fluida en movimiento. Principalmente, el dimetro de la vena fluida se reduce hasta igualar el dimetro

P

Presin recuperada



del orificio. Despus que el fluido ha pasado a travs de la placa, el dimetro sigue

disminuyendo hasta alcanzar un valor mnimo para luego aumentar inmediatamente en

forma gradual, hasta tomar de nuevo el valor que tenia originalmente. El punto, donde el

dimetro sufre la mxima reduccin, se conoce como vena contracta.

Mientras mayor sea la reduccin del dimetro, mayor ser la velocidad del fluido y

mayor la presin diferencial.

Inmediatamente despus del orificio, la presin se reduce de manera apreciable y todava

hay una ligera reduccin adicional al llegar a la vena contracta. A partir de all, la presin

aumenta gradualmente hasta estabilizarse en cierto valor indicado por las columnas de

arriba y a la derecha en donde, es inferior al valor que la presin tena en las columnas a la

izquierda del orificio, debido a la perdida de energa ocasionada por las turbulencias. (Mc

Cabe, 1998)

De esta manera, podemos considerar dos clases de cadas o prdidas sufridas por la presin

esttica; una cada temporal, que ocurre solo mientras subsiste la reduccin del dimetro de

la vena fluida, y una cada permanente, la cual es causa por las perdidas por friccin debido

a los remolinos que se generan en la expansin del chorro una vez sobrepasada la vena

contracta

El dimetro del orificio no guarda una relacin fija con el dimetro de la tubera. Sin embargo,

la relacin entre ellos (

) debe conservarse dentro de ciertos lmites, que dependen

del dimetro de la tubera y de los puntos en que se hagan las tomas de presin. En ningn

caso el valor de debe ser menor que 0.1 mayor que 0.8.

Recuperacin de presin: A causa de las elevadas prdidas por friccin, debido a los remolinos que se generan en la

reexpansin del chorro, una vez sobrepasada la vena contracta, la recuperacin de presin

en un medidor de orificio es muy deficiente. La prdida de potencia que se origina es una de

las desventajas del medidor de orificio. La fraccin de la presin diferencial que se pierde

permanentemente depende del valor de . Para un valor de de 0.5 la perdida de carga es

aproximadamente un 73 por 100 de la presin diferencial.

Cuando la toma de presin posterior est situada a ocho dimetros de la tubera aguas

abajo del orificio, la diferencia de presin que se mide entre las tomas es en realidad

una medida de la perdida permanente, en vez de la presin diferencial en el orificio.

(Mc Cabe, 1998)



Ventajas y desventajas. VENTAJAS DESVENTAJAS

- Costo ms bajo entre los distintos elementos primarios.

- Excelente servicio en muchas aplicaciones.

- Maneja la mayora de los fluidos limpios.

- No est limitado para aplicacin a temperaturas altas.

- Gran simplicidad y fcil aplicacin. - Fcil instalacin y reemplazo. - No requiere mantenimiento excesivo. - Puede variarse la relacin entre el

dimetro del estrechamiento y el de la

tubera, permitiendo acomodarse a

nuevas velocidades de flujo.

- Debido a la formacin de la vena contracta se produce la ms alta prdida de presin

permanente.

- Su exactitud no es muy elevada ( 1 a 2%). - Sufre permanente desgaste debido a la

erosin del fluido.

- Baja capacidad. - Difcil ubicacin (idnea) de las tomas de

presin.

- La dificultad para predecir el rea de la vena contracta y la velocidad en ese punto.

- Instalacin entre bridas. - Requiere longitudes extensas de tuberas

aguas arriba y aguas abajo.

- Precisin limitada por el uso y la densidad. - No se mide directamente el caudal. - El mnimo flujo est limitado por encima de

30% y el mximo flujo por encima de 95%

1.6.4 Tubo Venturi Descripcin

Consiste en un conjunto de bridas y tuberas, el cual tiene un cono de entrada convergente,

que gua el fluido hacia el estrechamiento central y un cono divergente de salida que gua el

fluido hacia la continuacin de la tubera. La unin de los conos se denomina garganta, o

sea, la parte ms contrada del tubo. A la primera seccin, o cono de entrada, se conecta la

toma de alta presin. La toma de baja presin se coloca en la garganta del tubo. El cono de

salida es llamado, de recuperacin, ya que recupera hasta cierto punto un gran porcentaje

de la perdida de presin provocada por esta restriccin. (Figura 17)



Figura 17. Tubo Venturi. Fuente: Mc Cabe, 1998

En el tubo venturi, la velocidad aumenta en el cono anterior y la presin disminuye,

utilizndose la cada de presin. Pasado el estrechamiento, la velocidad disminuye y se

recupera en gran parte la presin original en el cono posterior. Con el fin de que la

recuperacin de presin sea grande, el ngulo del cono posterior o de salida, es pequeo, de

forma que se evita la separacin de la capa limite y la friccin es mnima.

Las principales limitaciones de los tubos venturi son su elevado coste y la longitud necesaria

para su instalacin, sobre todo para grandes tamaos de tubera. Sin embargo, debido a su

baja prdida de carga, son justificados en casos donde tienen que bombearse grandes

cantidades de lquido de forma continua. En un aparato bien diseado la perdida permanente es el 10% de la diferencia de presin temporal (P1-P2) de forma que se recupera el 90% de esta diferencia. Cuando la prdida de carga no es importante, suele prescindirse del tubo Venturi y

sustituirse por una placa de orificio debido a su menor costo y mayor facilidad de instalacin

y mantenimiento.

La principal aplicacin es para fluidos de gas y en donde se requiera desplazar grandes

volmenes. El tubo venturi al guiar el fluido evita turbulencias, es por esta razn que el

venturi da lecturas ms precisas que la placa de orificio.



Ventajas y desventajas: VENTAJAS DESVENTAJAS

- Alta exactitud ( 0,75%). - Menor prdida de presin permanente. - Mnimo mantenimiento. - Maneja entre el 25% y 50% de flujo mayor a

la placa orificio, para dimetros de tuberas y

prdidas de presin comparables.

- Medicin de grandes flujos. - Manejo de fluidos sucios, con slidos en

suspensin o viscosos.

- Se instala directamente en la tubera. - No requiere grandes longitudes de tuberas

aguas arriba, ni aguas abajo.

- Ubicacin exacta de las tomas de presin. - rea de la garganta conocida.

- Alto costo (20 veces > al de la placa orificio para el mismo flujo).

- Aplicabilidad limitada. - Instalacin complicada. - Ocupa considerable espacio. - Si el intervalo de velocidades cambia

considerablemente, se obtienen

diferenciales de presin poco precisa.

- Usado para altos nmeros de Reynolds. - No son medidores directos de caudal. - El mnimo flujo est limitado por encima

de 30% y el mximo flujo por encima de

95%

Comparacin entre la placa orifico y el tubo Venturi

Una placa orificio puede sustituirse fcilmente para ajustarse a diferentes ratas de flujo, el dimetro del Venturi es fijo entonces el rango de medicin est limitado por la cada

de presin causada por el Venturi.

La placa orificio genera una gran prdida permanente de presin debido a la presencia de remolinos aguas abajo del orificio, la forma del Venturi previene la formacin de

remolinos lo cual reduce enormemente la prdida permanente de presin.

El orificio es econmico y fcil de instalar, el Venturi es costoso y debe ser cuidadosamente diseado. Una placa orificio se puede reemplazar fcilmente mientras

que un Venturi est diseado para instalaciones permanentes.



1.6.5 Tubo Pitot

Definicin Es un tubo hueco que se posiciona de modo que el extremo abierto apunta directamente a la

corriente de fluido. La presin en la entrada hace que se soporte a una columna de fluido.

Entonces, el fluido en o justo dentro de la punta esta estacionario o estancado, y esto se

conoce como punto de estancamiento. (Figura 18)

Principio de funcionamiento El Tubo Pitot mide dos presiones simultneamente, presin de impacto (medida por el tubo

de impacto interior a) y presin esttica (medida por el tubo esttico b exterior). El principio del mismo se indica en la Figura 18. La abertura del tubo de impacto a es perpendicular a la direccin de flujo. La abertura del tubo esttico b es en cambio paralela a

la direccin de flujo. Los dos tubos estn conectados a las ramas de un manmetro u otro

sistema equivalente de medida de pequeas diferencias de presin. El tubo esttico mide la

presin esttica Ps, puesto que no existe componente de la velocidad perpendicular a la

abertura. La abertura de impacto contiene un punto de estancamiento B. La lnea de

corriente AB termina en el punto de estancamiento B. Dentro del Tubo Pitot no existe un movimiento del fluido, el fluido queda a la entrada del tubo

interior, y este tubo transmite una presin de impacto equivalente a la energa cintica del

fluido. La diferencia de presin medida, representa la elevacin de presin asociada con la

desaceleracin del fluido.

Figura 18. Fundamento del Tubo Pitot. Fuente: Mc Cabe, 1998



Si el fluido es incompresible se utiliza la ecuacin de Bernoulli para obtener el diferencial de

presin resultando ser proporcional al cuadrado de la velocidad del flujo, para gases se

puede utilizar para velocidades moderadas y con cambios de presin cerca del 10% o menos

de la presin total. En la seccin 1.6.6 se deduce la ecuacin para el tubo Pitot

Cuando un fluido en movimiento se detiene porque encuentra un objeto estacionario, se crea

una presin mayor que la de la corriente de fluido. La magnitud de esta presin

incrementada se relaciona con la velocidad del fluido en movimiento. Es preciso tener en cuenta que, as como los medidores de orificio y el tubo de Venturi

miden la velocidad media de toda la corriente de fluido, el tubo de Pitot mide

solamente la velocidad en un punto.

Ventajas y Desventajas: VENTAJAS DESVENTAJAS

- Bajo costo. - Bajas prdidas de presin. - Utilizacin en ductos irregulares. - Bueno para mediciones de velocidad

puntual.

- Para una amplia gama de Nmeros de Reynolds, el error en la medicin es de

1%.

- Aplicabilidad limitada. - Precisin afectada por la densidad del fluido. - Bajas cadas de presin. - No miden directamente la velocidad

promedio.

- No son medidores directos de caudal. - Cambios significativos en la velocidad puede

ocasionar errores significativos.

- Limitada aplicacin industrial, por su fcil obstruccin



1.6.6 Ecuacin general de medidores de flujo

Suposiciones:

Flujo estacionario Flujo incompresible Flujo a lo largo de una lnea de corriente Ausencia de rozamiento Velocidad uniforme en las secciones 1 y 2 Ausencia de curvatura en la lnea de corriente de modo que la presin sea uniforme

en ellas.

Z1 aproximadamente igual a Z2 No hay transferencia de calor ni trabajo de eje

Fluidos incompresibles Fluidos compresibles

21

222111

21

....QQ

AvAvmm

==

=

222111

21

.... AvAvmm

==

Deduccin de la ecuacin para el tubo Venturi

La ecuacin de la energa y la ecuacin de continuidad pueden utilizarse para derivar la

relacin a travs de la cual se puede calcular la velocidad del fluido.

1 2



Utilizando las secciones 1 y 2 como puntos de referencia podemos escribir las siguientes

ecuaciones:

Ecuacin de Bernoulli: g

vzPhg

vzP L 22

22

22

21

11 ++=++ Ec 20

Como el caudal viene dado por: oAvAv .. 211 =

Estas ecuaciones son validas solamente para fluidos incompresibles (lquidos). Para el flujo

de gases, debemos dar especial atencin a la variacin del peso especfico con la presin.

De la ecuacin de Bernoulli se lleva a cabo dos simplificaciones:

La diferencia de elevacin z es pequea, aun cuando el medidor se encuentre instalado en forma vertical.

Lh es la perdida de energa del fluido conforme este corre de la seccin 1 a la 2

gvv

gPP

.2.

21

2221 = Ec 21

al despejar la velocidad terica, 1v de la ecuacin de continuidad se tiene:

21

22

22

1 AAvv o= Ec 22

2

1 21

22

2

21

= AA

vPP

o

Ec 23

=2

1

221

2

1

/)(2

AAPPvo

El caudal terico esta dado por 222 .AvQ =

=2

1

221

1

/)(2

AAPPAQo

oideal

Ec 24

Esta ecuacin puede ser reescrita de la siguiente forma:



22

2

2

1

4.4

.

=

==Dd

D

d

AA o

o

o Ec 25

Donde es la relacin entre el dimetro del orificio o garganta (para el caso del Tubo Venturi) y el dimetro de la tubera

Ec 26

La ecuacin 26 es aplicable solamente al flujo sin friccin de fluidos no compresibles. Para

tener en cuenta la pequea perdida por friccin entre los puntos 1 y 2, es preciso corregir la

ecuacin 26 introduciendo un factor emprico Cd. De este modo, la formula anterior se

corrige con un coeficiente adicional, 1dC , llamado coeficiente de descarga, que tiene en cuenta las prdidas de carga en el tramo 1-2.

Dicho coeficiente de descarga (Cd) se define como la relacin entre el caudal real y el caudal terico de un flujo de agua que pasa por un determinado orificio.

( )

21

4

.2

1

PPACdQ o

= Ec 27

Simplificando la ecuacin anterior

21 PPPtemporal = Ec 28

temporal

o

PACdQ

= .21 4

Ec 29

El coeficiente de descarga venturi se determina experimentalmente. El efecto de la velocidad

de aproximacin se tiene en cuenta en el trmino 41

1 .

Cuando el ( od ) es menor que 4D

, la velocidad de aproximacin y el termino pueden despreciarse, puesto que el error que se comete es menor del 0.2 por 100.

).(2

121

4

PPAQ oideal

=



Para tubos venturi bien diseados: 98.0Cd para tuberas de 2 a 8 pulgadas 99.0Cd para dimetros mayores

El valor del coeficiente depende del nmero de Reynolds y de la geometra real del medidor y se determina mediante la grafica correspondiente al coeficiente para tubo venturi (Figura 19). En la mayora de los casos se suele utilizar los coeficientes de descarga antes mencionado.

Figura 19. Coeficiente de descarga del Tubo Venturi

= 0.25

= 0.5

=0.75



Deduccin de la ecuacin para la placa orificio

En la placa de orificio, para calcular el flujo volumtrico real se deben considerar el

coeficiente de contraccin y velocidad.

El coeficiente de velocidad (Cv) es la relacin entre la velocidad media real en la seccin recta del chorro y la velocidad media lineal que se tendra sin efectos de rozamiento.

ideal

real

vvCv

2

2= Ec 30

idealreal vCvv 22 .= Ec 31

El coeficiente de contraccin (Cc) es la relacin entre el rea de la seccin recta contrada de un chorro y el rea del orificio por el cual pasa el fluido.

oA

ACc 2= Ec 32

oACcA .2 = Ec 33

El caudal real est dado por 222 .AvQ realreal = oidealreal ACcCvvQ ...2=

P

Presin recuperada



El coeficiente de descarga

de la placa orificio es,

CcCvCd .=

temporal

o

PACdQ

= .21 4

Ec 34

La ecuacin 10.6 es til con fines de diseo porque Cdo es prcticamente constante e

independiente de cuando el Reynolds, es mayor que 20000. En estas condiciones, Cdo puede tomarse igual a 0.61. No es recomendado cuando el Reynolds es menor de 20000 ya

que el coeficiente de descarga cambia mucho con el Reynolds y por consiguiente con el

flujo.

Es importante que antes y despus del orificio exista suficiente longitud de tubera recta con

el fin de que el tipo de flujo sea normal y no est distorsionado por vlvulas, accesorios u

otros aparatos, si no ocurre as la distribucin de velocidad es anormal y el coeficiente de

descarga del orificio no se puede predecir.

El valor de C es mucho ms bajo que el del tubo venturi puesto que el fluido se fuerza a

realizar una contraccin repentina seguida de una expansin repentina. Asimismo, debido a

que las mediciones estn basadas en el dimetro del orificio, la disminucin en el dimetro

de la corriente de flujo en la vena contracta tiende a reducir el valor de C.

De manera general, la ecuacin del medidor puede simplificarse de la siguiente manera:

41 =CdC donde C= Coeficiente de flujo

temporal

o

PACQ

= .2 Ec 35

..2 temporalo PACm = Ec 36

El valor del coeficiente de flujo depende del nmero de Reynolds y de la geometra real del medidor y se determina mediante la grafica correspondiente al coeficiente de flujo

).(2

1. 21

4

PPAoCcCvQreal

=



0.998

para orificios (Figura 20). En la gua Tablas y grficos de la unidad I Flujo en fase liquida se encuentran disponibles. Es importante resaltar que la seleccin del grafico depende de

las tomas de presin estudiadas en las secciones anteriores. Por ejemplo, se debe

especificar si las tomas estn en bridas o en vena contracta, y en funcin de ello se

selecciona el grafico.

Por ejemplo, si una placa de orificio de bordes biselados de 12 in se instala en una lnea de

24 in de dimetro interno para transportar agua a 90 pie3/s. Las dos variables que se

necesitan para leer el coeficiente de flujo, es el nmero de Reynolds y la relacin de los

dimetros ().

1224

0.5

Para conocer el Nmero de Reynolds es necesario conocer las propiedades del fluido,

suponga para el ejemplo 2.10. El Coeficiente de flujo es 0.998

Figura 20. Coeficiente de flujo para orificios. Fuente: Crane, 1976



Deduccin de la ecuacin para el tubo pitot

Podemos utilizar la ecuacin de la energa para relacionar la presin en el punto de

estancamiento con la velocidad del fluido. Si el punto 1 est en la corriente quieta adelante

del tubo y el punto s esta en el punto de estancamiento, entonces,

gvzPh

gvzP sssL 22

221

11 ++=+ Ec 37

Observe que 0=sv , 21 zz = o casi iguales, y 0=Lh . Por consiguiente tenemos que,

sP

gvP =+2

211 Ec 38

La cabeza de presin total es igual a la suma de la cabeza de presin esttica y la cabeza de

presin de velocidad.

PCpv = 21 Ec 39

El coeficiente adimensional Cp del tubo pitot varia entre 0.98 y 1 para pitot bien diseados,

este corrige las desviaciones por cambio de energa cintica ya que los cambios de presin

son pequeos.

Para obtener la velocidad media verdadera para toda la seccin transversal, se utiliza uno de

los dos procedimientos siguientes. Puede situarse el tubo, exactamente centrado en el eje de



la tubera y calcular la velocidad media a partir de la velocidad mxima mediante la figura

(Figura 21). Si se utiliza este procedimiento, es preciso tomar la precaucin de instalar el tubo pitot por lo menos 100 dimetros aguas debajo de cualquier perturbacin del flujo, de

forma que la distribucin de velocidad sea normal. Si se sita el tubo Pitot en el centro de

la tubera, mide la velocidad mxima

Figura 21. Relacin velocidad mxima y velocidad promedio de una tubera

En la Figura 21 nos muestra la relacin de la velocidad mxima y la velocidad promedio en funcin del nmero de Reynolds mximo y el Reynolds promedio. En el eje x inferior se ubica

el Reynolds mximo, ste se obtiene sustituyendo en la ecuacin del Reynolds la velocidad

mxima obtenida mediante la Ec 39 y con este valor de Re se corta con la curva B tal como

lo indica la flecha y se lee el valor correspondiente a la relacin / y ese valor se

despeja el que corresponda. La curva A se corta cuando se lea en el eje inferior el Reynolds

a la velocidad promedio.



El otro procedimiento consiste en efectuar medidas en un cierto nmero de localizaciones

conocidas de la seccin transversal de la tubera y calcular la velocidad media para toda la

seccin mediante integracin grafica. Este ltimo mtodo se utiliza principalmente para medir

flujos de gases, ya que en este caso los cambios de velocidad no representan un

inconveniente serio.

)..(..

2

2

rvddQrvQ

=

=

= drrVQ ....2 Ec 40

Tabla 1. Mediciones de cada de presin a diferentes posiciones de la tubera

r P V V.r r1 P 1 V1 v.r1 r2 P 2 V2 v.r2

En la Tabla 1 se puede observar las mediciones del radio a diferentes posiciones del tubo pitot en la tubera y para cada uno de ellos su respectiva cada de presin. Con estos datos

se determina la velocidad del fluido mediante la Ec 39, sustituyendo en la misma la cada de

presin correspondiente a cada posicin. Una vez que se tiene ese valor, se necesita para

resolver la integracin grficamente el resultado de V.r para cada posicin (1, 2, 3, etc). Luego se procede a graficar tal como nos muestra la Figura 22. La aplicacin del Mtodo

es contenido de Matemtica V, no es competencia de Operaciones Unitarias I.

Con el P calculo PCpv = 21

Figura 22. rea bajo la curva para la integracin del mtodo de Simpson

V.r

r



rea bajo la curva

Mtodo de Simpson

+++= = =5,3,1 4,2

)()(.2)(.4)(.3 j k

XnfXkfXjfXofhI

1.6.7 Procedimiento general para determinar flujo msico y volumtrico, dimetro del medidor, cada de presin temporal y permanente, potencia no recuperada Caso 1: Flujo msico y volumtrico Datos conocidos: 11 ,),/(,,, DddDPP =

gcPAoCQ ..2** =

gcPAoCm ...2** =

1. Asumimos 6.0=C 2. Calculamos el flujo msico )(m

3. Calculamos el caudal mQ = , para determinar la velocidad

AQv =

4. Calculamos el numero de Reynolds, DV ..Re =

5. Con el valor del Reynolds y relacin de dimetros ( ) leemos el coeficiente de flujo C mediante la grafica correspondiente.

6. Cuando el valor de C supuesto en el paso 1 no concuerda debemos ajustarlo hasta

alcanzar la concordancia razonable, repitiendo los pasos 1 al 5.



gcPC

Qdo.2..

4=

Caso 2: Dimetro del medidor Datos conocidos: 11 ,,,,, mDPP

1. Asumimos 6.0= 2. Leemos Coeficiente de flujo (C) en funcin del Re,

DV ..Re = y 3. Calculamos el dimetro del orificio

4. Calculamos 5. Comparamos calculadoasumido = 6. Cuando el valor de asumido en el paso 1 no concuerda debemos ajustarlo hasta

alcanzar la concordancia razonable, repitiendo los pasos 1 a 5.

Caso 3: Cada de presin temporal y permanente 21 PPPtemporal =

)(*31 rPPPP temporalpermanente == donde P1= Presin corriente arriba

P2= Presin en vena contracta o en garganta

P3= Presin corriente abajo

Factor de recuperacin (Se determina grficamente (Figura 23) o mediante la frmula)

r= Factor de recuperacin= (1-2) Ec 41

Esta frmula solo aplica a la placa orificio, para el caso del Tubo Venturi se considera el 10% segn la teora o se determina mediante el siguiente grafico Para leer el factor de recuperacin es necesario conocer la relacin de los dimetros () y el

tipo de medidor (placa orificio o venturi).

Potencia no recuperada o prdida de potencia: Es la potencia necesaria para operar el medidor de flujo con todo su flujo y viene dado por:

Ec 42



Figura 23. Factor de recuperacin para orificios, venturi y boquillas. Fuente: Darby, 2001



1.7 CAIDA DE PRESION TOTAL Los sistemas reales de flujo de fluidos con frecuencia contienen varias perdidas secundarias

as como perdidas de energa debido a la friccin conforme el fluido es entregado de un

punto a otro. Puede utilizarse ms de un tamao de tubera.

Si un sistema de lnea de tubera se dispone de tal forma que el fluido corra en una lnea

continua sin ramificaciones se le lama Sistema en serie. Por el contrario, si el sistema

provoca que el fluido se ramifique en dos o ms lneas, se le llama Sistema en

paralelo. (Mott, 2006)

Esta seccin presenta los mtodos de anlisis para sistemas de lneas de tuberas reales en

los cuales el fluido fluye a travs de una trayectoria continua nica y cuando se ramifica en

dos o ms lneas.

1.7.1 CLASIFICACIONES DE SISTEMAS La mayora de los sistemas de flujo de tubera involucran grandes prdidas de energa de

friccin y perdidas menores.

Sistema en Serie Si el sistema es arreglado de tal forma que el fluido fluye a travs de una lnea continua sin

ramificaciones, este se conoce con el nombre de Sistema en Serie (Mott, 2006). En la .Figura 24 nos muestra un sistema en serie

Figura 24. Sistema en serie. Fuente: White, 2001

Ec 43

. .

. Ec 44

Ec 45



El caudal que circula por los tramos 1, 2 y 3 de dimetro D1, D2 y D3 es el mismo. (Ec 43)

La prdida total es la suma de las perdidas parciales. (Ec 45) Y se cumple la ecuacin de continuidad. (Ec 44)

Procedimiento de solucin para determinar la velocidad del flujo volumtrico con dos tuberas.

1. Escribimos la ecuacin de energa del sistema.

2. Evaluamos las cantidades conocidas tales como las cabezas de presin y las

cabezas de elevacin.

3. Expresamos las prdidas de energa en trminos de dos velocidades desconocidas

y los dos factores de friccin .

4. Utilizando la ecuacin de continuidad, expresamos la velocidad en la tubera ms

pequea en trminos de los de la tubera ms grande.

. .

.

5. Sustituimos la expresin del paso 4 en la ecuacin de energa, por ende, eliminando

una velocidad desconocida.

6. Despejamos la velocidad que queda en trminos de los dos factores de friccin.

7. Expresamos el nmero de Reynolds de cada tubera en trminos de la velocidad de

esa tubera.

8. Calculamos la rugosidad relativa / para cada tubera.

9. Seleccionamos valores de prueba para en cada tubera, utilizando los valores

conocidos de / como una gua. En general, los dos factores de friccin no sern

iguales.

10. Calculamos la velocidad en la tubera ms grande, utilizando la ecuacin del paso 6.

11. Calculamos los dos nmeros de Reynolds.

12. Determinamos el nuevo valor del factor de friccin en cada tubera.

13. Comparamos los nuevos valores de con los asumidos en el paso 9 y repitimos los

pasos 9-14 hasta que no se detecten cambios significativos. Las velocidades que se

encontraron en los pasos 10 y 11 son correctas entonces. (Mott, 2006)



Calculo de dimetro de tubera.

Los requerimientos del sistema se especifican en trminos de una cada de presin permitida

o perdida de energa, una velocidad de flujo volumtrico deseado, las propiedades del fluido

y el tipo de tubera que se utilizar. Despus, se determina el tamao de tubera adecuado

que cumpla estos requerimientos.

Se requiere de iteracin para resolver problemas de determinacin de dimetro debido a que

existen tantas incgnitas para permitir una solucin directa. La velocidad de flujo, el nmero

de Reynolds y la rugosidad relativa / son todas ellas dependientes del dimetro de la

tubera. Por lo tanto, el factor de friccin no puede determinarse en forma directa.

Procedimiento de solucin para determinar el dimetro de la tubera. 1. Escribimos la ecuacin de la energa del sistema.

2. Despejamos la perdida de energa total y evaluamos las cabezas de presin y

elevaciones conocidas.

3. Expresamos la perdida de energa en trminos de velocidad, utilizando la ecuacin de

Darcy-Weisbach:

2

4. Expresamos la velocidad en trminos de la velocidad de flujo en volumen y el

dimetro de la tubera:

4.

5. Sustituimos la expresin de V en la ecuacin de Darcy

16

2

8

.

6. Despejamos el dimetro:

8

. .

/

7. Expresamos el numero de Reynolds en trminos del dimetro:

pero 4.

4. .



8. Asumimos un valor de prueba inicial para . Puesto que tanto como / son

incgnitas, no existen procedimientos especficos para seleccionar el valor inicial. Al

menos que existan condiciones especficas o que la experiencia dicte otra cosa,

asuma 0.02.

9. Calculamos el dimetro D del paso 6.

10. Calculamos el nmero de Reynolds Re del paso 7.

11. Calculamos la rugosidad relativa /.

12. Determinamos el nuevo valor para el factor de friccin del diagrama de Moody.

13. Comparamos el nuevo valor de con el que se asumi en el paso 8 y repetimos los

pasos 8 al 12 hasta que no se pueda detectar un cambio significativo en . El

dimetro calculado en el paso 9 es entonces correcto. (Mott, 2006)

Sistema en paralelo. Cuando dos o ms tuberas partiendo de un mismo punto A vuelven a reunirse en otro punto

B, se dice que el sistema constituye una conduccin en paralelo (Ocon, 1978). En la Figura 25 se muestra la distribucin de un sistema en paralelo

Figura 25. Sistema en paralelo. Fuente: White, 2001

Ec 46

Ec 47

El caudal total Q se reparte en todas las tuberas (Ec 46) Las prdidas de energa por unidad de fluido entre los puntos A y B es igual a las

prdidas de energa por unidad de fluido en cada rama del sistema h1, h2 y h3. (Ec 47)



La resolucin prctica de este problema se efecta por tanteo cuando se conoce el caudal

total y las caractersticas del fluido y las de la tubera correspondientes a cada una de las

ramas.

Mtodo de solucin para sistemas con dos ramas, cuando se conocen el flujo volumtrico total y la descripcin de las ramas

1. Igualamos el flujo volumtrico total con la suma de los flujos volumtricos en las dos

ramas, como se enuncia en la ecuacin 46. Despus, expresamos los flujos en las

ramas como el producto del rea de flujo y la velocidad promedio; es decir,

. .

2. Expresamos la perdida de carga en cada rama en trminos de la velocidad de flujo en

ella y del factor de friccin. Debemos incluir todas las prdidas significativas debido a

la friccin, as como las perdidas menores.

3. Para cada una de las ramas, calculamos la rugosidad relativa /, estimamos el

valor del factor de friccin y terminamos el clculo de la perdida de carga en trminos

de las velocidades desconocidas.

4. Igualamos la expresin para las prdidas de carga en las dos ramas una con otra,

como lo plantea la ecuacin 47.

5. Resolvemos para una velocidad en trminos de la otra, a partir de la ecuacin del

paso 4.

6. Sustituimos el resultado del paso 5 en la ecuacin del flujo volumtrico que se

desarrollo en el paso 1, y despejar cada una de las velocidades desconocidas.

7. Despejamos la segunda velocidad desconocida de la relacin que se obtuvo en el

paso 5.



8. Si hubiera duda sobre la exactitud del valor del factor de friccin que empleamos en

el paso 2, calculamos el nmero de Reynolds para cada rama y reevaluamos el factor

de friccin a partir del diagrama de Moody, o calculamos los valores para el factor de

friccin por medio de las ecuaciones empricas, vistas en la seccin 1.5.2.

9. Si los valores del factor de friccin cambian en forma significativa, repetimos los

pasos 3 a 8, con el empleo de los valores nuevos del valor de friccin.

10. Si logramos precisin satisfactoria, utilizamos en cada rama la velocidad que ahora

ya se conoce para calcular el flujo volumtrico en ellas. Comprobamos la suma de los

flujos volumtricos para asegurarnos de que es igual al flujo volumtrico total en el

sistema.

11. Utilizamos la velocidad en cualquier rama para calcular la perdida de carga a travs

de ella, con el empleo de la relacin apropiada del paso 3. Esta prdida de carga

tambin es igual a la de todo el sistema ramificado. Si se desea, podemos calcular la

cada de presin a travs del sistema, por medio de la relacin . (Mott,

2006)

Mtodo de solucin para sistemas con dos ramas cuando se conoce la cada de presin a travs del sistema, y ha de calcularse el flujo volumtrico en cada rama y el flujo total

1. Calculamos la perdida de carga total a travs del sistema, con el empleo de la cada

de presin conocida en la relacin .

2. Escribimos expresiones para la perdida de carga en cada rama, en trminos de la

velocidad y el factor de friccin en cada una.

3. Calculamos la rugosidad relativa / para cada rama, suponemos una estimacin

razonable para el factor de friccin, y completamos el clculo para la perdida de carga

en trminos de la velocidad en cada rama.

4. Al igualar la magnitud de la perdida de carga en cada rama con la perdida de carga

total, segn encontramos en el paso 1, despejamos para la velocidad en la rama por

medio de la expresin que hallamos en el paso 3.

5. Si hubiera alguna duda sobre la exactitud del valor del factor de friccin utilizando en

el paso 3, calculamos el numero de Reynolds para cada rama y volvemos a



determinar el factor de friccin con el diagrama de Moody o calculamos mediante las

formulas empricas, vistas en la seccin 1.5.2.

6. Si los valores de factor de friccin cambian de manera significativa, repetimos los

pasos 3 y 4, con el empleo de los valores nuevos de aquel.

7. Una vez lograda la precisin satisfactoria, utilizamos la velocidad que ahora ya se

conoce en cada rama, para calcular el flujo volumtrico en cada una de estas.

Despus, calculamos la suma de los flujos volumtricos, que es igual al flujo

volumtrico total en el sistema. (Mott, 2006)



REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

DARBY R. (2001). Chemical Engineering Fluid Mechanics. 2da Edition. Marcel Dekker Inc, New York, Chapter 7 y 10

MATAIX C. (1993). Mecnica de fluidos y maquinas hidrulicas. Ediciones del Castillo, Madrid, capitulo 6 y 9

Mc Cabe W. (1998). Operaciones Unitarias en Ingeniera Qumica. 4ta Edicin. Mc Graw Hill, Madrid, seccin 2.

Geankoplis C. (1998). Procesos de transporte y Operaciones Unitarias 3era Edicin. Editorial Continental, Mxico, Capitulo 3.

Crane (1976). Flujo de fluidos en vlvulas, accesorios y tuberas . Mc Graw Hill Shames I. (1995). Mecnica de fluidos 3era Edicin. Mc Graw hill, Bogot,

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Levenspiel O. (1993). Flujo de fluidos e intercambio de calor Editorial Reverte. Espaa, Capitulo 2.

Mott R. (2006). Mecnica de fluidos. 6ta Edicin. Editorial Person Educacin, Mxico, Capitulo 11 y 12.

White, F. (2001). Fluid Mechanics 4ta Edition Editorial Mc Graw Hill

g-flujo de fluidos en fase liquida

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