ganganalyse - modellering og estimation · introduktion ganganalyse er studiet af hvordan et...
TRANSCRIPT
![Page 1: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/1.jpg)
GanganalyseModellering og estimation
Klaus Kahler Holst
5. Januar 2006
![Page 2: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/2.jpg)
Oversigt
1 Introduktion
2 Model for ledvinkelsrotation
3 PCA
4 Perspektivering
![Page 3: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/3.jpg)
Introduktion
Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig.
Motivation:
• Medicinske anvendelser.• Hjælp til diagnostisering af visse sygdomme.• Har en behandling en effekt?• Forbedring af bevægelsesmønstre.
• Biometri: Identifikation og verifikation baseret pa gang.• En stor fordel i forhold til eksisterende biometriske metoder er,
at identifikationen kan ske pa lang afstand.
![Page 4: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/4.jpg)
Introduktion
Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig.
Motivation:
• Medicinske anvendelser.
• Hjælp til diagnostisering af visse sygdomme.• Har en behandling en effekt?• Forbedring af bevægelsesmønstre.
• Biometri: Identifikation og verifikation baseret pa gang.• En stor fordel i forhold til eksisterende biometriske metoder er,
at identifikationen kan ske pa lang afstand.
![Page 5: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/5.jpg)
Introduktion
Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig.
Motivation:
• Medicinske anvendelser.• Hjælp til diagnostisering af visse sygdomme.
• Har en behandling en effekt?• Forbedring af bevægelsesmønstre.
• Biometri: Identifikation og verifikation baseret pa gang.• En stor fordel i forhold til eksisterende biometriske metoder er,
at identifikationen kan ske pa lang afstand.
![Page 6: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/6.jpg)
Introduktion
Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig.
Motivation:
• Medicinske anvendelser.• Hjælp til diagnostisering af visse sygdomme.• Har en behandling en effekt?
• Forbedring af bevægelsesmønstre.
• Biometri: Identifikation og verifikation baseret pa gang.• En stor fordel i forhold til eksisterende biometriske metoder er,
at identifikationen kan ske pa lang afstand.
![Page 7: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/7.jpg)
Introduktion
Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig.
Motivation:
• Medicinske anvendelser.• Hjælp til diagnostisering af visse sygdomme.• Har en behandling en effekt?• Forbedring af bevægelsesmønstre.
• Biometri: Identifikation og verifikation baseret pa gang.• En stor fordel i forhold til eksisterende biometriske metoder er,
at identifikationen kan ske pa lang afstand.
![Page 8: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/8.jpg)
Introduktion
Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig.
Motivation:
• Medicinske anvendelser.• Hjælp til diagnostisering af visse sygdomme.• Har en behandling en effekt?• Forbedring af bevægelsesmønstre.
• Biometri: Identifikation og verifikation baseret pa gang.• En stor fordel i forhold til eksisterende biometriske metoder er,
at identifikationen kan ske pa lang afstand.
![Page 9: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/9.jpg)
Hvad er menneskelig gang?
Menneskelig gang kan ses som translationer og rotationer afforskellige led.
For at beskrive vinkelrotationerne benytter vi anatomiske vinkler:
![Page 10: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/10.jpg)
Hvad er menneskelig gang?
Menneskelig gang kan ses som translationer og rotationer afforskellige led.
For at beskrive vinkelrotationerne benytter vi anatomiske vinkler:
![Page 11: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/11.jpg)
Vi begrænser os til at betragte bevægelse i medianplanen af hofte,knæ og ankel.
For knæ- og hofteleddet taler vi om fleksion/ekstension og forankelledet dorsifleksion/plantarfleksion.
En gangcyklus er intervallet fra venstre hæl slipper kontakten medgulvet, og til hælen igen slipper kontakt. Standfasen er periodenhvor foden har kontakt med jorden (ca. 3/5 af cyklusen) ogsvingfasen.
![Page 12: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/12.jpg)
Vi begrænser os til at betragte bevægelse i medianplanen af hofte,knæ og ankel.
For knæ- og hofteleddet taler vi om fleksion/ekstension og forankelledet dorsifleksion/plantarfleksion.En gangcyklus er intervallet fra venstre hæl slipper kontakten medgulvet, og til hælen igen slipper kontakt. Standfasen er periodenhvor foden har kontakt med jorden (ca. 3/5 af cyklusen) ogsvingfasen.
![Page 13: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/13.jpg)
0 20 40 60 80 100
0.0
0.4
0.8
procent af gangcyklus
0 20 40 60 80 100
125
135
Hofte
procent af gangcyklus
vink
el
0 20 40 60 80 100
110
140
170
Knæ
procent af gangcyklus
vink
el
0 20 40 60 80 100
8595
110
Ankel
procent af gangcyklus
vink
el
![Page 14: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/14.jpg)
0 20 40 60 80 100
0.0
0.4
0.8
procent af gangcyklus
0 20 40 60 80 100
0.0
0.4
0.8
procent af gangcyklus
0 20 40 60 80 100
0.0
0.4
0.8
procent af gangcyklus
![Page 15: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/15.jpg)
0 20 40 60 80 100
120
140
160
180
procent af gangcyklus
vink
el
Rotationsvinkler for knæ
![Page 16: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/16.jpg)
Model for ledvinkel i en gangcyklus
Data fra en person for et led over en gangcyklus:
y = (y1, . . . , yd)
Malefejlen beskrives ved en additiv model
y = a + ε
hvor a er de “sande” værdier og ε er malefejlen.Bemærk at a naturligt kan opfattes som observationer fra enC2-funktion: f .Metoder til at separere de sande værdier fra støjen:
• Lineær filtrering
• Repræsentation vha ONB
• ...
![Page 17: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/17.jpg)
Model for ledvinkel i en gangcyklus
Data fra en person for et led over en gangcyklus:
y = (y1, . . . , yd)
Malefejlen beskrives ved en additiv model
y = a + ε
hvor a er de “sande” værdier og ε er malefejlen.Bemærk at a naturligt kan opfattes som observationer fra enC2-funktion: f .Metoder til at separere de sande værdier fra støjen:
• Lineær filtrering
• Repræsentation vha ONB
• ...
![Page 18: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/18.jpg)
Model for ledvinkel i en gangcyklus
Data fra en person for et led over en gangcyklus:
y = (y1, . . . , yd)
Malefejlen beskrives ved en additiv model
y = a + ε
hvor a er de “sande” værdier og ε er malefejlen.
Bemærk at a naturligt kan opfattes som observationer fra enC2-funktion: f .Metoder til at separere de sande værdier fra støjen:
• Lineær filtrering
• Repræsentation vha ONB
• ...
![Page 19: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/19.jpg)
Model for ledvinkel i en gangcyklus
Data fra en person for et led over en gangcyklus:
y = (y1, . . . , yd)
Malefejlen beskrives ved en additiv model
y = a + ε
hvor a er de “sande” værdier og ε er malefejlen.Bemærk at a naturligt kan opfattes som observationer fra enC2-funktion: f .
Metoder til at separere de sande værdier fra støjen:
• Lineær filtrering
• Repræsentation vha ONB
• ...
![Page 20: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/20.jpg)
Model for ledvinkel i en gangcyklus
Data fra en person for et led over en gangcyklus:
y = (y1, . . . , yd)
Malefejlen beskrives ved en additiv model
y = a + ε
hvor a er de “sande” værdier og ε er malefejlen.Bemærk at a naturligt kan opfattes som observationer fra enC2-funktion: f .Metoder til at separere de sande værdier fra støjen:
• Lineær filtrering
• Repræsentation vha ONB
• ...
![Page 21: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/21.jpg)
Model for ledvinkel i en gangcyklus
Data fra en person for et led over en gangcyklus:
y = (y1, . . . , yd)
Malefejlen beskrives ved en additiv model
y = a + ε
hvor a er de “sande” værdier og ε er malefejlen.Bemærk at a naturligt kan opfattes som observationer fra enC2-funktion: f .Metoder til at separere de sande værdier fra støjen:
• Lineær filtrering
• Repræsentation vha ONB
• ...
![Page 22: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/22.jpg)
Model for ledvinkel i en gangcyklus
Data fra en person for et led over en gangcyklus:
y = (y1, . . . , yd)
Malefejlen beskrives ved en additiv model
y = a + ε
hvor a er de “sande” værdier og ε er malefejlen.Bemærk at a naturligt kan opfattes som observationer fra enC2-funktion: f .Metoder til at separere de sande værdier fra støjen:
• Lineær filtrering
• Repræsentation vha ONB
• ...
![Page 23: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/23.jpg)
Finde ONB, (ϕi )∞i=1, sa
f (t) =K∑
k=1
βkϕk(t), t ∈ [0, 1].
Egenskaber for f
• Approksimativt periodisk.
• C2([0, 1]).
• Frekvenskomponenter i intervallet [0, 6].
Oplagt kandidat: Fourierrækker.Vi kigger altsa pa basisen
1, cos(2πx), sin(2πx), cos(2π2x), sin(2π2x), . . . .
![Page 24: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/24.jpg)
Finde ONB, (ϕi )∞i=1, sa
f (t) =K∑
k=1
βkϕk(t), t ∈ [0, 1].
Egenskaber for f
• Approksimativt periodisk.
• C2([0, 1]).
• Frekvenskomponenter i intervallet [0, 6].
Oplagt kandidat: Fourierrækker.Vi kigger altsa pa basisen
1, cos(2πx), sin(2πx), cos(2π2x), sin(2π2x), . . . .
![Page 25: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/25.jpg)
Finde ONB, (ϕi )∞i=1, sa
f (t) =K∑
k=1
βkϕk(t), t ∈ [0, 1].
Egenskaber for f
• Approksimativt periodisk.
• C2([0, 1]).
• Frekvenskomponenter i intervallet [0, 6].
Oplagt kandidat: Fourierrækker.Vi kigger altsa pa basisen
1, cos(2πx), sin(2πx), cos(2π2x), sin(2π2x), . . . .
![Page 26: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/26.jpg)
Vi definerer matricen
A =
1 cos(2πt1) sin(2πt1) · · · cos(2πNt1) sin(2πNt1)...
......
1 cos(2πtd) sin(2πtd) · · · cos(2πNtd) sin(2πNtd)
.
Antagelsen er at
a = Aλ
og λ kan estimeres ved OLS:
λ =(AtA
)−1Aty =
λ + diag( 1d , 2
d , . . . , 2d )Atε.
![Page 27: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/27.jpg)
Vi definerer matricen
A =
1 cos(2πt1) sin(2πt1) · · · cos(2πNt1) sin(2πNt1)...
......
1 cos(2πtd) sin(2πtd) · · · cos(2πNtd) sin(2πNtd)
.
Antagelsen er at
a = Aλ
og λ kan estimeres ved OLS:
λ =(AtA
)−1Aty = λ + diag( 1
d , 2d , . . . , 2
d )Atε.
![Page 28: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/28.jpg)
Flere individer
Nar vi observerer flere forskellige individer, har vi observationer
y1, . . . , yn
som hver antages at opfylde modellen
yi = Aλi + εi.
• λi’erne kan nu opfattes som stokastiske, og vi antager, atλi’erne er iid og uafhængige af malefejlene εi.Vi antager at
λi ∼ (µ,Σ), εi ∼ (0, σ2I).
• Indledende modelkontrol giver ikke anledning til at tro pa atyi’erne eller λi’erne følger normalfordelinger.
![Page 29: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/29.jpg)
Flere individer
Nar vi observerer flere forskellige individer, har vi observationer
y1, . . . , yn
som hver antages at opfylde modellen
yi = Aλi + εi.
• λi’erne kan nu opfattes som stokastiske, og vi antager, atλi’erne er iid og uafhængige af malefejlene εi.Vi antager at
λi ∼ (µ,Σ), εi ∼ (0, σ2I).
• Indledende modelkontrol giver ikke anledning til at tro pa atyi’erne eller λi’erne følger normalfordelinger.
![Page 30: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/30.jpg)
Flere individer
Nar vi observerer flere forskellige individer, har vi observationer
y1, . . . , yn
som hver antages at opfylde modellen
yi = Aλi + εi.
• λi’erne kan nu opfattes som stokastiske, og vi antager, atλi’erne er iid og uafhængige af malefejlene εi.
Vi antager at
λi ∼ (µ,Σ), εi ∼ (0, σ2I).
• Indledende modelkontrol giver ikke anledning til at tro pa atyi’erne eller λi’erne følger normalfordelinger.
![Page 31: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/31.jpg)
Flere individer
Nar vi observerer flere forskellige individer, har vi observationer
y1, . . . , yn
som hver antages at opfylde modellen
yi = Aλi + εi.
• λi’erne kan nu opfattes som stokastiske, og vi antager, atλi’erne er iid og uafhængige af malefejlene εi.Vi antager at
λi ∼ (µ,Σ), εi ∼ (0, σ2I).
• Indledende modelkontrol giver ikke anledning til at tro pa atyi’erne eller λi’erne følger normalfordelinger.
![Page 32: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/32.jpg)
Flere individer
Nar vi observerer flere forskellige individer, har vi observationer
y1, . . . , yn
som hver antages at opfylde modellen
yi = Aλi + εi.
• λi’erne kan nu opfattes som stokastiske, og vi antager, atλi’erne er iid og uafhængige af malefejlene εi.Vi antager at
λi ∼ (µ,Σ), εi ∼ (0, σ2I).
• Indledende modelkontrol giver ikke anledning til at tro pa atyi’erne eller λi’erne følger normalfordelinger.
![Page 33: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/33.jpg)
Pa mixed model form
yi = Aβ + Aui + εi
β: faste virkninger.ui: iid tilfældige virkninger.
ui ∼ (0,Σ), εi ∼ (0, σ2I). (3.1)
ui ⊥⊥ εi (3.2)
V = var(yi) = AΣAt + σ2I.
Estimation af de faste virkninger:
β =1
n
n∑i=1
(AtA
)−1Atyi
Assymptotisk har vi√
n(β − β)D−→ N (0,Σ + σ2(AtA)−1), n →∞.
![Page 34: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/34.jpg)
Pa mixed model form
yi = Aβ + Aui + εi
β: faste virkninger.ui: iid tilfældige virkninger.
ui ∼ (0,Σ), εi ∼ (0, σ2I). (3.1)
ui ⊥⊥ εi (3.2)
V = var(yi) = AΣAt + σ2I.
Estimation af de faste virkninger:
β =1
n
n∑i=1
(AtA
)−1Atyi
Assymptotisk har vi√
n(β − β)D−→ N (0,Σ + σ2(AtA)−1), n →∞.
![Page 35: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/35.jpg)
Pa mixed model form
yi = Aβ + Aui + εi
β: faste virkninger.ui: iid tilfældige virkninger.
ui ∼ (0,Σ), εi ∼ (0, σ2I). (3.1)
ui ⊥⊥ εi (3.2)
V = var(yi) = AΣAt + σ2I.
Estimation af de faste virkninger:
β =1
n
n∑i=1
(AtA
)−1Atyi
Assymptotisk har vi√
n(β − β)D−→ N (0,Σ + σ2(AtA)−1), n →∞.
![Page 36: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/36.jpg)
Pa mixed model form
yi = Aβ + Aui + εi
β: faste virkninger.ui: iid tilfældige virkninger.
ui ∼ (0,Σ), εi ∼ (0, σ2I). (3.1)
ui ⊥⊥ εi (3.2)
V = var(yi) = AΣAt + σ2I.
Estimation af de faste virkninger:
β =1
n
n∑i=1
(AtA
)−1Atyi
Assymptotisk har vi√
n(β − β)D−→ N (0,Σ + σ2(AtA)−1), n →∞.
![Page 37: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/37.jpg)
Pa mixed model form
yi = Aβ + Aui + εi
β: faste virkninger.ui: iid tilfældige virkninger.
ui ∼ (0,Σ), εi ∼ (0, σ2I). (3.1)
ui ⊥⊥ εi (3.2)
V = var(yi) = AΣAt + σ2I.
Estimation af de faste virkninger:
β =1
n
n∑i=1
(AtA
)−1Atyi
Assymptotisk har vi√
n(β − β)D−→ N (0,Σ + σ2(AtA)−1), n →∞.
![Page 38: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/38.jpg)
Estimation af varianskomponenterne
For at estimere σ2 beregnes
βi =(AtA
)−1Atyi
og
ei = yi − Aβi.
Vi definere estimatet
σ2(i) =
1
d − peti ei
σ2n =
1
n
n∑i=1
σ2(i)
![Page 39: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/39.jpg)
Estimation af varianskomponenterne
For at estimere σ2 beregnes
βi =(AtA
)−1Atyi
og
ei = yi − Aβi.
Vi definere estimatet
σ2(i) =
1
d − peti ei
σ2n =
1
n
n∑i=1
σ2(i)
![Page 40: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/40.jpg)
Variansen af yi’erne estimeres ved:
Vn =1
n
n∑i=1
(yi − Aβ)(yi − Aβ)t
som er konsistent
VnP−→ AΣAt + σ2I, n →∞.
Endelig kan vi estimere variansen af ui’erne:
Σ =(AtA
)−1At(Vn − σ2
nI)A(AtA)−1
som ogsa er konsistent.Hvis Σ ikke positiv semi-definit, kan vi projicere ned pa dennærmeste symmetriske, positiv semidefinitte matrix.
![Page 41: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/41.jpg)
Variansen af yi’erne estimeres ved:
Vn =1
n
n∑i=1
(yi − Aβ)(yi − Aβ)t
som er konsistent
VnP−→ AΣAt + σ2I, n →∞.
Endelig kan vi estimere variansen af ui’erne:
Σ =(AtA
)−1At(Vn − σ2
nI)A(AtA)−1
som ogsa er konsistent.
Hvis Σ ikke positiv semi-definit, kan vi projicere ned pa dennærmeste symmetriske, positiv semidefinitte matrix.
![Page 42: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/42.jpg)
Variansen af yi’erne estimeres ved:
Vn =1
n
n∑i=1
(yi − Aβ)(yi − Aβ)t
som er konsistent
VnP−→ AΣAt + σ2I, n →∞.
Endelig kan vi estimere variansen af ui’erne:
Σ =(AtA
)−1At(Vn − σ2
nI)A(AtA)−1
som ogsa er konsistent.Hvis Σ ikke positiv semi-definit, kan vi projicere ned pa dennærmeste symmetriske, positiv semidefinitte matrix.
![Page 43: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/43.jpg)
Prediktion af de tilfældige virkninger
Best Predictor (BP):
u(BP)i = E(ui | yi)
Best Linear Unbiased Predictor (BLUP):
u(BLUP)i = ΣAtV−1(yi − Aβ)
Estimated Best Linear Unbiased Predictor (EBLUP):
ui = ΣAtV−1
(yi − Aβ)
En pragmatisk prediktor:
u0i =
(AtA
)−1At(yi − Aβ)
= ui +(AtA
)−1Atεi −
1
n
n∑j=1
(uj +(AtA
)−1Atεj)
![Page 44: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/44.jpg)
Prediktion af de tilfældige virkninger
Best Predictor (BP):
u(BP)i = E(ui | yi)
Best Linear Unbiased Predictor (BLUP):
u(BLUP)i = ΣAtV−1(yi − Aβ)
Estimated Best Linear Unbiased Predictor (EBLUP):
ui = ΣAtV−1
(yi − Aβ)
En pragmatisk prediktor:
u0i =
(AtA
)−1At(yi − Aβ)
= ui +(AtA
)−1Atεi −
1
n
n∑j=1
(uj +(AtA
)−1Atεj)
![Page 45: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/45.jpg)
Prediktion af de tilfældige virkninger
Best Predictor (BP):
u(BP)i = E(ui | yi)
Best Linear Unbiased Predictor (BLUP):
u(BLUP)i = ΣAtV−1(yi − Aβ)
Estimated Best Linear Unbiased Predictor (EBLUP):
ui = ΣAtV−1
(yi − Aβ)
En pragmatisk prediktor:
u0i =
(AtA
)−1At(yi − Aβ)
= ui +(AtA
)−1Atεi −
1
n
n∑j=1
(uj +(AtA
)−1Atεj)
![Page 46: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/46.jpg)
Prediktion af de tilfældige virkninger
Best Predictor (BP):
u(BP)i = E(ui | yi)
Best Linear Unbiased Predictor (BLUP):
u(BLUP)i = ΣAtV−1(yi − Aβ)
Estimated Best Linear Unbiased Predictor (EBLUP):
ui = ΣAtV−1
(yi − Aβ)
En pragmatisk prediktor:
u0i =
(AtA
)−1At(yi − Aβ)
= ui +(AtA
)−1Atεi −
1
n
n∑j=1
(uj +(AtA
)−1Atεj)
![Page 47: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/47.jpg)
Prediktion af de tilfældige virkninger
Best Predictor (BP):
u(BP)i = E(ui | yi)
Best Linear Unbiased Predictor (BLUP):
u(BLUP)i = ΣAtV−1(yi − Aβ)
Estimated Best Linear Unbiased Predictor (EBLUP):
ui = ΣAtV−1
(yi − Aβ)
En pragmatisk prediktor:
u0i =
(AtA
)−1At(yi − Aβ)
= ui +(AtA
)−1Atεi −
1
n
n∑j=1
(uj +(AtA
)−1Atεj)
![Page 48: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/48.jpg)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
120
130
140
150
160
170
180
tid
vink
el
u0eblupblupy
10th observation of 100
![Page 49: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/49.jpg)
Konklusion: De tilfældige virkninger kan med fordel predikteresved
u0i =
(AtA
)−1At(yi − Aβ)
og variansen estimeres ved
Σ =1
n − 1
n∑i=1
u0i u
0it
Modellen kan udvides til at tage højde for flere gangcykler for hvertindivid, ved at benytte en additiv model for de tilfældige virkninger:
uij = νi + γij.
![Page 50: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/50.jpg)
Konklusion: De tilfældige virkninger kan med fordel predikteresved
u0i =
(AtA
)−1At(yi − Aβ)
og variansen estimeres ved
Σ =1
n − 1
n∑i=1
u0i u
0it
Modellen kan udvides til at tage højde for flere gangcykler for hvertindivid, ved at benytte en additiv model for de tilfældige virkninger:
uij = νi + γij.
![Page 51: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/51.jpg)
Principalkomponentanalyse (PCA)
• Reducering i dimension.
• Fortolkning af variationen i data.
• Ukorrelerede koordinater.
• Tegn pa at gang kan fungere som biometrisk mal.
![Page 52: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/52.jpg)
Principalkomponentanalyse (PCA)
• Reducering i dimension.
• Fortolkning af variationen i data.
• Ukorrelerede koordinater.
• Tegn pa at gang kan fungere som biometrisk mal.
![Page 53: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/53.jpg)
Principalkomponentanalyse (PCA)
• Reducering i dimension.
• Fortolkning af variationen i data.
• Ukorrelerede koordinater.
• Tegn pa at gang kan fungere som biometrisk mal.
![Page 54: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/54.jpg)
Principalkomponentanalyse (PCA)
• Reducering i dimension.
• Fortolkning af variationen i data.
• Ukorrelerede koordinater.
• Tegn pa at gang kan fungere som biometrisk mal.
![Page 55: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/55.jpg)
Principalkomponentanalyse (PCA)
• Reducering i dimension.
• Fortolkning af variationen i data.
• Ukorrelerede koordinater.
• Tegn pa at gang kan fungere som biometrisk mal.
![Page 56: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/56.jpg)
Klassisk PCA
Lad X = (X1, . . . ,Xn) være stokastisk variable med værdier i Rn
og middelværdi 0 og kovariansmatrix
var(X) = ΣX
= PXσ(ΣX)PtX,
hvor PX =(e1 · · · en
)og σ(ΣX) = diag(λ1, . . . , λn) og
egenværdierne antages at være sorterede: λ1 ≥ · · · ≥ λn ≥ 0.
Definition
Principalkomponenterne hørende til X er de stokastiske variable
Y =(Y1 · · · Yn
)t= Pt
XX
![Page 57: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/57.jpg)
Klassisk PCA
Lad X = (X1, . . . ,Xn) være stokastisk variable med værdier i Rn
og middelværdi 0 og kovariansmatrix
var(X) = ΣX = PXσ(ΣX)PtX,
hvor PX =(e1 · · · en
)og σ(ΣX) = diag(λ1, . . . , λn) og
egenværdierne antages at være sorterede: λ1 ≥ · · · ≥ λn ≥ 0.
Definition
Principalkomponenterne hørende til X er de stokastiske variable
Y =(Y1 · · · Yn
)t= Pt
XX
![Page 58: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/58.jpg)
Klassisk PCA
Lad X = (X1, . . . ,Xn) være stokastisk variable med værdier i Rn
og middelværdi 0 og kovariansmatrix
var(X) = ΣX = PXσ(ΣX)PtX,
hvor PX =(e1 · · · en
)og σ(ΣX) = diag(λ1, . . . , λn) og
egenværdierne antages at være sorterede: λ1 ≥ · · · ≥ λn ≥ 0.
Definition
Principalkomponenterne hørende til X er de stokastiske variable
Y =(Y1 · · · Yn
)t= Pt
XX
![Page 59: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/59.jpg)
Klassisk PCA
Lad X = (X1, . . . ,Xn) være stokastisk variable med værdier i Rn
og middelværdi 0 og kovariansmatrix
var(X) = ΣX = PXσ(ΣX)PtX,
hvor PX =(e1 · · · en
)og σ(ΣX) = diag(λ1, . . . , λn) og
egenværdierne antages at være sorterede: λ1 ≥ · · · ≥ λn ≥ 0.
Definition
Principalkomponenterne hørende til X er de stokastiske variable
Y =(Y1 · · · Yn
)t= Pt
XX
![Page 60: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/60.jpg)
X ∼ N (0,ΣX)
PX =1√2
(1 11 −1
),
σ(ΣX) =
(4 00 1
).
Dvs. at
ΣX =
(52
32
32
52
).
−4 −2 0 2 4 6
−4
−2
02
46
x[,1]
x[,2
]
teoretiske principalakserempiriske principalakserteoretiske principalakserempiriske principalakser
![Page 61: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/61.jpg)
X ∼ N (0,ΣX)
PX =1√2
(1 11 −1
),
σ(ΣX) =
(4 00 1
).
Dvs. at
ΣX =
(52
32
32
52
).
−4 −2 0 2 4 6
−4
−2
02
46
x[,1]
x[,2
]
teoretiske principalakserempiriske principalakserteoretiske principalakserempiriske principalakser
![Page 62: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/62.jpg)
Sætning (Karhunen-Loeve - diskret version)
For principalkomponenterne, Y = PtXX, gælder at
• var(Y) = σ(ΣX).
• tr[var(Y)] = tr[var(X)] = tr(ΣX).
• X = PXY.
![Page 63: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/63.jpg)
Vi kan rekonstruere X vha. de første k < n egenvektorer. Vi sætter
PkX =
(e1 · · · ek 0 · · · 0,
)og lader Yk = Pk
XtX. Approksimationen er sa
Xk = PkXYk
Sætning (Approksimation vha. PCA)
Forholdet mellem den totale variation af Xk og X er
pk =tr[var(Xk)]
tr[var(X)]=
∑ki=1 λi∑ni=1 λi
og middel-kvadratfejlen er givet ved
ε(PX) = E[(X− Xk)t(X− Xk)] =
n∑i=k+1
λi .
Dette er den bedste approksimation: ε(Φ) ≥∑n
i=k+1 λi for alleONB, Φ.
![Page 64: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/64.jpg)
Vi kan rekonstruere X vha. de første k < n egenvektorer. Vi sætter
PkX =
(e1 · · · ek 0 · · · 0,
)og lader Yk = Pk
XtX. Approksimationen er sa
Xk = PkXYk
Sætning (Approksimation vha. PCA)
Forholdet mellem den totale variation af Xk og X er
pk =tr[var(Xk)]
tr[var(X)]=
∑ki=1 λi∑ni=1 λi
og middel-kvadratfejlen er givet ved
ε(PX) = E[(X− Xk)t(X− Xk)] =
n∑i=k+1
λi .
Dette er den bedste approksimation: ε(Φ) ≥∑n
i=k+1 λi for alleONB, Φ.
![Page 65: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/65.jpg)
Funktional PCA
Lad (Xt)t∈[0,1] være stokastisk proces pa baggrundsrummet(Ω,F ,P), med t 7→ Xt(ω) ∈ L2([0, 1]). Desuden antages
µt = EXt =
∫Ω
Xt dP < ∞,
V (s, t) = cov(Xt ,Xs) =
∫Ω(Xt − µt)(Xs − µs) dP < ∞, s, t ∈ [0, 1]
og at V er kontinuert.
Autokovariansfunktionen sættes til
AV f (t) =
∫If (u)V (u, t) du, f ∈ L2(I ). (4.1)
Spørgsmalet er nu om vi kan opstille resultater analogt tilresultaterne vedr. PCA i det endeligt dimensionale tilfælde. KanAV diagonaliseres? Ja, da AV er en kompakt normal operator.
![Page 66: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/66.jpg)
Funktional PCA
Lad (Xt)t∈[0,1] være stokastisk proces pa baggrundsrummet(Ω,F ,P), med t 7→ Xt(ω) ∈ L2([0, 1]). Desuden antages
µt = EXt =
∫Ω
Xt dP < ∞,
V (s, t) = cov(Xt ,Xs) =
∫Ω(Xt − µt)(Xs − µs) dP < ∞, s, t ∈ [0, 1]
og at V er kontinuert. Autokovariansfunktionen sættes til
AV f (t) =
∫If (u)V (u, t) du, f ∈ L2(I ). (4.1)
Spørgsmalet er nu om vi kan opstille resultater analogt tilresultaterne vedr. PCA i det endeligt dimensionale tilfælde. KanAV diagonaliseres? Ja, da AV er en kompakt normal operator.
![Page 67: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/67.jpg)
Funktional PCA
Lad (Xt)t∈[0,1] være stokastisk proces pa baggrundsrummet(Ω,F ,P), med t 7→ Xt(ω) ∈ L2([0, 1]). Desuden antages
µt = EXt =
∫Ω
Xt dP < ∞,
V (s, t) = cov(Xt ,Xs) =
∫Ω(Xt − µt)(Xs − µs) dP < ∞, s, t ∈ [0, 1]
og at V er kontinuert. Autokovariansfunktionen sættes til
AV f (t) =
∫If (u)V (u, t) du, f ∈ L2(I ). (4.1)
Spørgsmalet er nu om vi kan opstille resultater analogt tilresultaterne vedr. PCA i det endeligt dimensionale tilfælde. KanAV diagonaliseres?
Ja, da AV er en kompakt normal operator.
![Page 68: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/68.jpg)
Funktional PCA
Lad (Xt)t∈[0,1] være stokastisk proces pa baggrundsrummet(Ω,F ,P), med t 7→ Xt(ω) ∈ L2([0, 1]). Desuden antages
µt = EXt =
∫Ω
Xt dP < ∞,
V (s, t) = cov(Xt ,Xs) =
∫Ω(Xt − µt)(Xs − µs) dP < ∞, s, t ∈ [0, 1]
og at V er kontinuert. Autokovariansfunktionen sættes til
AV f (t) =
∫If (u)V (u, t) du, f ∈ L2(I ). (4.1)
Spørgsmalet er nu om vi kan opstille resultater analogt tilresultaterne vedr. PCA i det endeligt dimensionale tilfælde. KanAV diagonaliseres? Ja, da AV er en kompakt normal operator.
![Page 69: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/69.jpg)
AV har tælleligt spektrum, der netop er lig egenværdierne.Egenværdierne er ikke-negative og egenfunktionerne er kontinuerte.Lad λ1, λ2, . . . være de positive egenværdier og e1, e2, . . . detilhørende egenfunktioner, da er
V (s, t) =∞∑i=1
λiei (s)ei (t) = ϕ(t)Λϕ(s)t
Sætning (Karhunen-Loeve)
(Xt)t∈[0,1] har dekompositionen
XtL2
= µt +∞∑i=1
Ziei
med
Zi =
∫I(Xt − µt)ei (t) dt.
som er parvist uafhængige.
![Page 70: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/70.jpg)
AV har tælleligt spektrum, der netop er lig egenværdierne.Egenværdierne er ikke-negative og egenfunktionerne er kontinuerte.Lad λ1, λ2, . . . være de positive egenværdier og e1, e2, . . . detilhørende egenfunktioner, da er
V (s, t) =∞∑i=1
λiei (s)ei (t) = ϕ(t)Λϕ(s)t
Sætning (Karhunen-Loeve)
(Xt)t∈[0,1] har dekompositionen
XtL2
= µt +∞∑i=1
Ziei
med
Zi =
∫I(Xt − µt)ei (t) dt.
som er parvist uafhængige.
![Page 71: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/71.jpg)
Udglatning
Lad xi (t) ∈ L2([0, 1]), i = 1, . . . , n, være realisationer af(Xt)t∈[0,1], med empirisk kovariansfunktion
V (s, t) =1
n
n∑i=1
[xi (s)− µ(t)][xi (t)− µ(t)]
hvor µ(t) = xi (t). Under antagelse at xi ’erne savel somegenfunktionerne hørende til V har en endelig fourierekspansion,da findes egenfunktionerne og egenværdierne for AV ved at findeegenvektorer og egenværdier for den empiriske kovariansmatrix forfourierkoefficienterne.
![Page 72: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/72.jpg)
PCA for gang-data
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
100
120
140
160
180
tid
vink
el
1. principalkomponent (63.5%)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
110
120
130
140
150
160
170
tid
vink
el
3. principalkomponent (7.5%)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
110
120
130
140
150
160
170
180
tid
vink
el
2. principalkomponent (22.8%)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
120
140
160
180
tid
vink
el
4. principalkomponent (2.4%)
![Page 73: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/73.jpg)
PCA for gang-data
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
100
120
140
160
180
tid
vink
el
1. principalkomponent (63.5%)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
110
120
130
140
150
160
170
tid
vink
el
3. principalkomponent (7.5%)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
110
120
130
140
150
160
170
180
tid
vink
el
2. principalkomponent (22.8%)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
120
140
160
180
tid
vink
el
4. principalkomponent (2.4%)
![Page 74: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/74.jpg)
k pk λk
1 0.635 33.4132 0.862 11.9623 0.937 3.9224 0.961 1.2395 0.977 0.8716 0.985 0.4127 0.992 0.3418 0.995 0.1799 0.997 0.110 0.998 0.0711 0.999 0.0412 0.999 0.01813 1 0.01
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
110
120
130
140
150
160
170
180
t
vink
el
fit med pca basisalm. olsopr. data
![Page 75: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/75.jpg)
k pk λk
1 0.635 33.4132 0.862 11.9623 0.937 3.9224 0.961 1.2395 0.977 0.8716 0.985 0.4127 0.992 0.3418 0.995 0.1799 0.997 0.110 0.998 0.0711 0.999 0.0412 0.999 0.01813 1 0.01
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.011
012
013
014
015
016
017
018
0
t
vink
el
fit med pca basisalm. olsopr. data
![Page 76: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/76.jpg)
Flere samtidige led-observationer
Observationer fra knæ, hofte og ankel:
y =
yk
yh
ya
=
Ack
Ach
Aca
+
εk
εh
εa
.
Sættes pa en formel
y = A3c + ε
hvor A3 = A⊕ A⊕ A.Koefficienterne predikteres ved
c =(At
3A3
)−1At
3y,
og de udglattede værdier er sa givet ved A3c.Funktional PCA foretages nu ved almindelig flerdimensional PCApa c’erne. Dækningsgraden pk ≥ 97% opnas med k = 10.
![Page 77: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/77.jpg)
Flere samtidige led-observationer
Observationer fra knæ, hofte og ankel:
y =
yk
yh
ya
=
Ack
Ach
Aca
+
εk
εh
εa
.
Sættes pa en formel
y = A3c + ε
hvor A3 = A⊕ A⊕ A.
Koefficienterne predikteres ved
c =(At
3A3
)−1At
3y,
og de udglattede værdier er sa givet ved A3c.Funktional PCA foretages nu ved almindelig flerdimensional PCApa c’erne. Dækningsgraden pk ≥ 97% opnas med k = 10.
![Page 78: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/78.jpg)
Flere samtidige led-observationer
Observationer fra knæ, hofte og ankel:
y =
yk
yh
ya
=
Ack
Ach
Aca
+
εk
εh
εa
.
Sættes pa en formel
y = A3c + ε
hvor A3 = A⊕ A⊕ A.Koefficienterne predikteres ved
c =(At
3A3
)−1At
3y,
og de udglattede værdier er sa givet ved A3c.
Funktional PCA foretages nu ved almindelig flerdimensional PCApa c’erne. Dækningsgraden pk ≥ 97% opnas med k = 10.
![Page 79: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/79.jpg)
Flere samtidige led-observationer
Observationer fra knæ, hofte og ankel:
y =
yk
yh
ya
=
Ack
Ach
Aca
+
εk
εh
εa
.
Sættes pa en formel
y = A3c + ε
hvor A3 = A⊕ A⊕ A.Koefficienterne predikteres ved
c =(At
3A3
)−1At
3y,
og de udglattede værdier er sa givet ved A3c.Funktional PCA foretages nu ved almindelig flerdimensional PCApa c’erne. Dækningsgraden pk ≥ 97% opnas med k = 10.
![Page 80: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/80.jpg)
100 120 140 160 180
90
100
110
120
130
140
105
110
115
120
125
130
135
Knæ
Hof
te
Ank
el
![Page 81: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/81.jpg)
Gang som mulig biometrisk mal?
−15 −10 −5 0 5 10
−5
05
10
1. principalkomponent
2. p
rinci
palk
ompo
nent
Knæ.
![Page 82: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/82.jpg)
Gang som mulig biometrisk mal?
−15 −10 −5 0 5 10
−5
05
10
1. principalkomponent
2. p
rinci
palk
ompo
nent
Knæ.
![Page 83: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/83.jpg)
Gang som mulig biometrisk mal?
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15
−15
−10
−5
05
10
1. principalkomponent (41.3%)
2. p
rinci
palk
ompo
nent
(28
%)
Principalscores for knæ,hofte,ankel−vinkler
Knæ, hofte, ankel.
![Page 84: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/84.jpg)
Perspektivering
• Opstillet model for ledvinkels-rotationer med mulighed for atarbejde med flere forskellige gangcykler og observerede led. Enikke-parametriske metode til estimation afvarianskomponenterne er foreslaet.
• Der er eftervist en pæn sammenhæng mellem flerdimensionaleog funktional PCA. Via PCA er der opnaet en stordimensionsreduktion af data.
• Vha. PCA ser vi at gang har potentiale som biometrisk mal.
Bud pa fremtidige arbejdsomrader:
• Ikke-balancerede data. Mere generelle modeller for malefejlen.
• Transformation af data. REML. NPMLE.
• Opstille en decideret teststørrelse for at afgøre om toobservationer stammer fra samme individ.
• Diskriminantanalyse.
![Page 85: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/85.jpg)
Perspektivering
• Opstillet model for ledvinkels-rotationer med mulighed for atarbejde med flere forskellige gangcykler og observerede led. Enikke-parametriske metode til estimation afvarianskomponenterne er foreslaet.
• Der er eftervist en pæn sammenhæng mellem flerdimensionaleog funktional PCA. Via PCA er der opnaet en stordimensionsreduktion af data.
• Vha. PCA ser vi at gang har potentiale som biometrisk mal.
Bud pa fremtidige arbejdsomrader:
• Ikke-balancerede data. Mere generelle modeller for malefejlen.
• Transformation af data. REML. NPMLE.
• Opstille en decideret teststørrelse for at afgøre om toobservationer stammer fra samme individ.
• Diskriminantanalyse.
![Page 86: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/86.jpg)
Perspektivering
• Opstillet model for ledvinkels-rotationer med mulighed for atarbejde med flere forskellige gangcykler og observerede led. Enikke-parametriske metode til estimation afvarianskomponenterne er foreslaet.
• Der er eftervist en pæn sammenhæng mellem flerdimensionaleog funktional PCA. Via PCA er der opnaet en stordimensionsreduktion af data.
• Vha. PCA ser vi at gang har potentiale som biometrisk mal.
Bud pa fremtidige arbejdsomrader:
• Ikke-balancerede data. Mere generelle modeller for malefejlen.
• Transformation af data. REML. NPMLE.
• Opstille en decideret teststørrelse for at afgøre om toobservationer stammer fra samme individ.
• Diskriminantanalyse.
![Page 87: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/87.jpg)
Perspektivering
• Opstillet model for ledvinkels-rotationer med mulighed for atarbejde med flere forskellige gangcykler og observerede led. Enikke-parametriske metode til estimation afvarianskomponenterne er foreslaet.
• Der er eftervist en pæn sammenhæng mellem flerdimensionaleog funktional PCA. Via PCA er der opnaet en stordimensionsreduktion af data.
• Vha. PCA ser vi at gang har potentiale som biometrisk mal.
Bud pa fremtidige arbejdsomrader:
• Ikke-balancerede data. Mere generelle modeller for malefejlen.
• Transformation af data. REML. NPMLE.
• Opstille en decideret teststørrelse for at afgøre om toobservationer stammer fra samme individ.
• Diskriminantanalyse.
![Page 88: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/88.jpg)
Perspektivering
• Opstillet model for ledvinkels-rotationer med mulighed for atarbejde med flere forskellige gangcykler og observerede led. Enikke-parametriske metode til estimation afvarianskomponenterne er foreslaet.
• Der er eftervist en pæn sammenhæng mellem flerdimensionaleog funktional PCA. Via PCA er der opnaet en stordimensionsreduktion af data.
• Vha. PCA ser vi at gang har potentiale som biometrisk mal.
Bud pa fremtidige arbejdsomrader:
• Ikke-balancerede data. Mere generelle modeller for malefejlen.
• Transformation af data. REML. NPMLE.
• Opstille en decideret teststørrelse for at afgøre om toobservationer stammer fra samme individ.
• Diskriminantanalyse.
![Page 89: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/89.jpg)
Perspektivering
• Opstillet model for ledvinkels-rotationer med mulighed for atarbejde med flere forskellige gangcykler og observerede led. Enikke-parametriske metode til estimation afvarianskomponenterne er foreslaet.
• Der er eftervist en pæn sammenhæng mellem flerdimensionaleog funktional PCA. Via PCA er der opnaet en stordimensionsreduktion af data.
• Vha. PCA ser vi at gang har potentiale som biometrisk mal.
Bud pa fremtidige arbejdsomrader:
• Ikke-balancerede data. Mere generelle modeller for malefejlen.
• Transformation af data. REML. NPMLE.
• Opstille en decideret teststørrelse for at afgøre om toobservationer stammer fra samme individ.
• Diskriminantanalyse.
![Page 90: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/90.jpg)
Perspektivering
• Opstillet model for ledvinkels-rotationer med mulighed for atarbejde med flere forskellige gangcykler og observerede led. Enikke-parametriske metode til estimation afvarianskomponenterne er foreslaet.
• Der er eftervist en pæn sammenhæng mellem flerdimensionaleog funktional PCA. Via PCA er der opnaet en stordimensionsreduktion af data.
• Vha. PCA ser vi at gang har potentiale som biometrisk mal.
Bud pa fremtidige arbejdsomrader:
• Ikke-balancerede data. Mere generelle modeller for malefejlen.
• Transformation af data. REML. NPMLE.
• Opstille en decideret teststørrelse for at afgøre om toobservationer stammer fra samme individ.
• Diskriminantanalyse.
![Page 92: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/92.jpg)
p.36 (prediktion):
ui0 =
(AtA
)−1At(yi − Aβ)
= ui +(AtA
)−1Atεi −
1
n
n∑j=1
(uj +(AtA
)−1Atεj)
![Page 93: Ganganalyse - Modellering og estimation · Introduktion Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger sig. Motivation: • Medicinske anvendelser. • Hjælp til diagnostisering](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022614/5ba05b1809d3f2fb538c7c69/html5/thumbnails/93.jpg)
p.77 (prediktion):
yi − Aβ = Bνi + εi − A(AtA
)−1At 1
n
n∑j=1
Bvj
− A(AtA
)−1At 1
n
n∑j=1
εj
νi − νi =(BtB
)−1Btεi −
(BtB
)−1BtA
(AtA
)−1At 1
n
n∑j=1
Bvj
−(BtB
)−1BtA
(AtA
)−1At 1
n
n∑j=1
εj