ganit (4) - दो चारि वाली रैखिक समीकरण

8/13/2019 Ganit (4) -

1/16

78 Xkf.kr

File Name : C:\Computer Station\Math-IX (Hindi)\Chapter\Chap-4\Chap-4.PM65

v;k;4

nkspjksaokys jSf[kd lehdj.k

The principal use of the Analytic Art is to bring Mathematical Problems to

Equations and to exhibit those Equations in the most simple terms that can be.

(oS'ysf"kd dyk dk eq[; iz;ksx xf.krh; leL;kvksadks lehdj.k esaykuk gSvkSj bulehdj.kksadks ;FkklaHko ljy inksa esaizLrqr djuk gS )A

Edmund Hall ey

4.1 Hkwfedk

fiNyh d{kkvksa esa] vki ,d pj okys jSf[kd lehdj.kksadk v;;u dj pqosQ gSaA D;kvki ,d pj okyk dksbZ jSf[kd lehdj.k fy[k ldrs gSa\ vki dg ldrsgSafdx+ 1 = 0,x+ 2 = 0 vkSj 2y+ 3 = 0,d pj okys jSf[kd lehdj.kksaosQ mnkgj.kgSaA vki ;g Hkh tkursgSafd ,slslehdj.kksa dk ,d vf}rh; (vFkkZr~ ,d vkSj osQoy,d) gy gksrk gSA vkidkslaHkor% ;g Hkh ;kn gksxk fd ,d la[;k js[kk ij gy dksfdlizdkj fu:fir fd;k tkrk gSA bl v;k; esa] ge ,d pj okys jSf[kd lehdj.kk sa ij iqu%fopkj djsaxs vkSj muls lacaf/r Kku dksnks pjksa okysjSf[kd lehdj.kksa ij ykxw djsaxsA;gk ge bl izdkj osQ iz'uksaij fopkj djsaxs% D;k nkspjksaokys jSf[kd lehdj.k dk ,dgy gksrk gS\ ;fn gk] rksD;k ;g vf}rh; gksrk gS\ dkrhZ; ry ij gy fdl izdkjfn[kkbZiM+rk gS\ bl izdkj osQ iz'uksa dk v;;u djus osQ fy,] ge v;k; 3 esacrkbZxbZ ladYiukvksadk Hkh iz;ksx djsaxsA

4.2jSf[kd lehdj.kvkb, igysge ;g ns[ksa fd vHkh rd vkius D;k&D;k v;;u fd;k gSA vkb, gefuEufyf[kr lehdj.k ysa %

2x+ 5 = 0
http://schools.aglasem.com/

8/13/2019 Ganit (4) -

2/16

nks pjksaokysjSf[kd lehdj.k 79


bldk gy] vFkkZr~ lehdj.k dk ewy 52

- gSA bls la[;k js[kk ij bl izdkj fu:fir

fd;k tk ldrk gS] tSlk fd uhpsdh vko`Qfr esa fn[kk;k x;k gS %

vko`Qfr 4.1

,d lehdj.k dksgy djrsle; fuEufyf[kr ckrksadks ;ku esa j[kuk gksrk gSA

,d jSf[kd lehdj.k ij rc dksbZizHkko ughaiM+rk tcfd%

(i) lehdj.k osQ nksuksa i{kksaesaleku la[;k tksM+h ;k ?kVkbZtkrh gSA

(ii) lehdj.k osQ nksuksa i{kksa dks leku 'kwU;srj la[;k lsxq.kk ;k Hkkx fn;k tkrk gSA

vkb, vc ge fuEufyf[kr fLFkfr ij fopkj djssa%

ukxiqj esa Hkkjr vkSj Jhyadk osQ chp [ksys x, ,d ,dfnolh; varjkZ"Vh; fosQVeSp esanks Hkkjrh; cYyscktksa us ,d lkFk feydj 176 ju cuk,A bl tkudkjh dks ,d

lehdj.k osQ :i esa O;Dr dhft,A;gk vki ;g ns[k ldrs gSafd nksuksa cYyscktksaesa ls fdlh Hkh cYysckt }kjk cuk,

x, ju Kkr ugha gSa] vFkkZr~;gknks vKkr jkf'k;kgSaA vkb, ge bu vKkr jkf'k;ksadksx vkSj ylsizdV djsaA bl rjg ,d cYysckt }kjk cuk, x, juksadh la[;kxgSvkSjnwljscYysckt }kjk cuk, x, juksadh la[;k ygSA ge tkursgSafd

x+y= 176

gS] tks fd vHkh"V lehdj.k gSA

;g nks pjksa okys,d jSf[kd lehdj.k dk ,d mnkgj.k gSA ;g ijaijk jgh gSfdbl izdkj osQ lehdj.kk sa osQ pjk sa dksxvkSj ylsizdV fd;k tkrk gS] ijarq vU; v{kjksadk Hkh iz;ksx fd;k tk ldrk gSA nks pjksa okys jSf[kd lehdj.kksaosQ oqQN mnkgj.k ;s gSa%

1.2s+ 3t= 5,p+ 4q= 7, pu+ 5v= 9 vkSj3 = 2x 7y

8/13/2019 Ganit (4) -

3/16

80 Xkf.kr


D;k vki oqQN vkSj mnkgj.k ns ldrs gSa\ ;ku nhft, fd vki bu lehdj.kksadkse'k% 1.2s+ 3t 5 = 0,p+ 4q 7 = 0, pu+ 5v 9 = 0 vkSj 2x 7y 3 = 0osQ :iesaO;Dr dj ldrsgSaA

vr% ml lehdj.k dks] ftls ax+ by+ c= 0osQ :i esa O;Dr fd;k tk ldrk gks]tgka, bvkSj cokLrfod la[;k, gSavkSj a vkSj bnksuksa'kwU; ugha gSa] nks pjksaokykjSf[kd lehdj.k (linear equation in two variables )dgk tkrk g SA

mnkgj.k1 :uhpsfn, x, lehdj.kksa dks ax+ by+ c= 0osQ :i e sa fyf[k, vk Sj izR; sdfLFkfr esa a, bvkSj cosQ eku crkb, %

(i) 2x+ 3y= 4.37 (ii)x 4 = 3y (iii) 4 = 5x 3y (iv) 2x=y

gy:(i) 2x+ 3y= 4.37 dks 2x+ 3y 4.37 = 0osQ :i esa fy[kk tk ldrk gSA ;gka= 2, b= 3 vkSj c= 4.37gSA

(ii) lehdj.kx 4 = 3ydksx 3y 4 = 0osQ :i esafy[kk tk ldrk gSA ;gka= 1, b= 3 vkSj c= 4gSA

(iii) lehdj.k 4 = 5x 3ydks5x 3y 4 = 0osQ :i esa fy[kk tk ldrk gSA ;gka = 5, b = 3 vkSj c= 4 gSAD;k vki bl ckr ls lger gSa fd bls

5x+ 3y+ 4 = 0osQ :i esaHkh fy[kk tk ldrk gS\ bl fLFkfr esa] a= 5, b= 3vkSj c= 4gSA

(iv) lehdj.k2x=ydks2x y+ 0 = 0osQ :i esa fy[kk tk ldrk gSA ;gk a= 2,b= 1 vkSj c= 0gSA

lehdj.kax+ b= 0 Hkh nks pjksa okys jSf[kd lehdj.kksadk gh ,d mnkgj.k gS] D;ksafdblsax+ 0.y+ b = 0ds :i esa fy[kk tk ldrk gSA

mnkgj.k osQ fy,] 4 3x= 0 dks3x+ 0.y+ 4 = 0osQ :i esa fy[kk tk ldrk gSA

mnkgj.k2 :fuEufyf[kr esa lsizR;sd dksnkspjksa okys lehdj.kksa osQ :i easO;Drdhft,%

(i)x= 5 (ii)y= 2 (iii) 2x= 3 (iv) 5y= 2

gy:(i)x= 5dks 1.x+ 0.y= 5,;k1.x+ 0.y+ 5 = 0osQ :i esa fy[kk tk ldrk g SA(ii)y= 2dks 0.x+ 1.y= 2,;k0.x+ 1.y 2 = 0osQ :i esafy[kk tk ldrk gSA(iii) 2x= 3 dks 2.x+ 0.y 3 = 0osQ :i esafy[kk tk ldrk gSA(iv) 5y= 2dks 0.x+ 5.y 2 = 0osQ :i esa fy[kk tk ldrk gSA

8/13/2019 Ganit (4) -

4/16



iz'ukoyh 4.1

1. ,d uksVcqd dh dher ,d dye dh dher ls nks xquh gSA bl dFku dksfu:fir djusosQ fy, nks pjksaokyk ,d jSf[kd lehdj.k fyf[k,A

(laosQr % eku yhft,] uksVcqd dh dher x#gSvkSj dye dh dhery#gS)A

2. fuEufyf[kr jSf[kd lehdj.kksadks ax+ by+ c= 0osQ :i esa O;Dr dhft, vkSj izR;sdfLFkfr esa a, b vkSj cosQ eku crkb,%

(i) 2x+ 3y= 9 . 3 (ii) x5

y 10 = 0 (iii) 2x+ 3y= 6 (iv) x= 3y

(v) 2x= 5y (vi) 3x+ 2 = 0 (vii) y 2 = 0 (vi ii ) 5 = 2x

4.3 jSf[kd lehdj.k dk gy

vkiusns[kk gSfd ,d pj okysizR;sd jSf[kd lehdj.k dk ,d vf}rh; gy gksrk gSAnks pjksa okys jSf[kd lehdj.k osQ gy osQ ckjs esavki D;k dg ldrsgSa\ D;ksafdlehdj.k esa nkspj gSa] blfy, gy dk vFkZgksrk gSxrFkkyds mu ekuk sa dk ; qXe tksfn, gq, lehdj.k dkslarq"V djrsgSaA vkb,] ge lehdj.k 2x+ 3y= 12ysaA ;gkx= 3 vkSjy= 2,d gy gS] D;ksafd tc ge ij osQ lehdj.k esax= 3 vkSjy= 2izfrLFkkfir djrs gSarc gesa ;g izkIr gksrk gS%

2x+ 3y= (2 3) + (3 2) = 12

bl gy dks,d fer ;qXe (3, 2)osQ :i esafy[kk tkrk gS] ftlesa igys xdkvkSj mlosQ ckny dk eku fy[kk tkrk g SA blh izdkj] (0, 4) Hkh ij fn, x, lehdj.kdk ,d gy gSA

blo sQ foijhr] (1, 4)ij fn, x, lehdj.k dk ,d gy ugha g S] D;ksafdx= 1 vkSjy= 4izfrLFkkfir djusij gesa 2x+ 3y= 14izkIr gksrk gStks 12ugh agSA ;ku nhft,

fd (0, 4)rks,d gy gS ijarq(4, 0),d gy ughagSA bl rjg vkius 2x+ 3y= 12osQde ls de nks gy (3, 2)vkSj (0, 4)izkIr dj fy, gSaA

D;k vki dksbZvU; gy izkIr dj ldrs gSa\ D;k vki bl ckr ls lger gSafd

(6, 0),d vU; gy gS\ ;fn gk] rks vki blslR;kfir dhft,A oLrqr% fuEu fof/ lsge dbZgy izkIr dj ldrs gSa%

vki 2x+ 3y= 12esa viuh bPNkuqlkj xdk ,d eku (eku yhft, x = 2) ysldrs gSaA rc lehdj.k 4 + 3y= 12gks tkrk gS] tks fd ,d pj okyk jSf[kd lehdj.k

8/13/2019 Ganit (4) -

5/16

82 Xkf.kr


gSA bls gy djus ij gesa y=8

3izkIr gksrk gSA vr% 82 ,

3

, 2x+ 3y= 12dk ,d vU;

gy gSA blh izdkj] x= 5ysus ij ge ikrs gSafd lehdj.k 10 + 3y= 12gkstkrk

gSA blls y=2

3izkIr gksrk gSA vr% 2 25 ,

3

-

,2x+ 3y= 12dk ,d vU; gy gSA

blfy, nkspjksaokysjSf[kd lehdj.k osQ fofHkUu gyksa dk dksbZvar ughagSA dgus dkvFkZ gSfd nkspjksaokys jSf[kd lehdj.k osQ vifjfer :i lsvusd gy gksrs gSaA

mnkgj.k3 :lehdj.k x+ 2y= 6osQ pkj vyx&vyx gy Kkr dhft,A

gy:

ns[kus ijx= 2,y= 2,d gy gS] D;kasfd x= 2,y= 2ijx+ 2y= 2 + 4 = 6

gSA vkb,] vc ge x= 0ysaA xosQ bl eku ij fn;k gqvk lehdj.k 2y= 6gkstkrkgS] ftldk fd ,d vf}rh; gy y= 3 gksrk gSA vr% x= 0,y= 3 Hkh x+ 2y= 6dk,d gy gSA blh izdkj] y= 0ysusij fn;k gqvk lehdj.k x= 6gkstkrk gSA vr%x= 6,y= 0 Hkh x+ 2y= 6dk ,d gy gSA var esa] vkb, ge y= 1ysaA vc fn;k gqvklehdj.k x+ 2 = 6gkstkrk gS] ftldk gyx= 4gSA blfy,] (4, 1) Hkh fn, gq,lehdj.k dk ,d gy gSA vr%] fn, gq, lehdj.k osQ vifjfer :i lsvusd gyksaesapkj gy ;s gSa%

(2, 2), (0, 3), (6, 0) vkSj(4, 1)fVIi.kh:;ku nhft, fd ,d gy izkIr djusdh ljy fof/ x= 0ysuk gS vkSj ydklaxr eku izkIr djuk gSA blh izdkj] ge y= 0ys ldrsgSa vkSj rcx dk laxr ekuizkIr dj ysrsgSaA

mnkgj.k4 :fuEufyf[kr lehdj.kksa esa lsizR;sd lehdj.k dsnksgy Kkr dhft,%(i) 4x+ 3y= 12

(ii) 2x+ 5y= 0

(iii) 3y+ 4 = 0

gy:(i)x = 0ysus ij] gesa 3y= 12, vFkkZr~y= 4izkIr gksrk g SA vr% (0, 4) Hkh fn, gq,lehdj.k dk ,d gy gSA blh izdkj] y= 0 ysusij gesa x= 3 izkIr gksrk g SA bl rjg](3, 0) Hkh ,d gy gSA(ii)x= 0ysus ij] gesa 5y= 0, vFkkZr~y= 0izkIr gksrk g SA blfy, (0, 0)fn, g q, lehdj.kdk ,d gy gSA

8/13/2019 Ganit (4) -

6/16



vc] ;fn ge y= 0 ysa] rksgesa ,d gy osQ :i esaiqu%(0, 0)izkIr gksrk g S_ tksfdogh gSftlsgeus igysizkIr fd;k FkkA ,d vU; gy izkIr djus osQ fy, x= 1yhft,A

rc vki n s[k ldrsgSa fd ydk l axr eku2

5- gSA vr% 21 ,

5

-

, 2x+ 5y= 0 dk

,d vU; gy gSA(iii)lehdj.k 3y+ 4 = 0 dks 0.x+ 3y+ 4 = 0osQ :i esa fy[kusij] xosQ fdlh Hkh

eku ij gesay =4

3

izkIr gksxkA vr% gesa nks gy 4 40 , 1 , 3 3

v k j S izkIr

gks ldrsgSaA

iz'ukoyh 4.2

1. fuEufyf[kr fodYiksa esa dkSu&lk fodYi lR; gS] vkSj D;ksa\

y= 3x+ 5dk

(i) ,d vf}rh; gy gS (ii)osQoy nksgy gSa (iii) vifjfer :i lsvusd gy gSa

2. fuEufyf[kr lehdj.kksaesals izR;sd lehdj.k osQ pkj gy fyf[k,%

(i) 2x+y= 7 (ii) px+y= 9 (iii) x= 4y

3. crkb, fd fuEufyf[kr gyksaesadkSu&dkSu lehdj.k x 2y= 4osQ gy g SavkSj dk Su&dkSugy ugha gSa %

(i) (0, 2) (ii) (2, 0) (iii) (4, 0) (iv) ( )2 , 4 (v) (1, 1)

4. kdk eku Kkr dhft, tcfd x= 2,y= 1lehdj.k 2x+ 3y= k dk ,d gy gksA

4.4nks pjksaokys jSf[kd lehdj.k dk vkys[k

vHkh rd vkius nks pjksa okys jSf[kd lehdj.k osQ gy chth; :i ls izkIr fd, gSaA vkb,vc ge blosQ T;kferh; fu:i.k dksns[ksaA vki tkursgSa fd izR;sd ,slh lehdj.k osQvifjfer :i ls vusd gy gksrsgSaA bUgsa ge funsZ'kkad ry esafdl izdkj n'kkZldrsgSa\gy dkseku&;qXeksa esa fy[kusij vkidksblosQ oqQN laosQr fey ldrs gSaA mnkgj.k 3osQ

jSf[kd lehdj.kx+ 2y= 6 (1)

osQ gy dksxosQ laxr ekuksaosQ uhpsyosQ eku fy[kdj ,d lkj.kh osQ :i esabl izdkjO;Dr fd;k tk ldrk gS%

8/13/2019 Ganit (4) -

7/16

84 Xkf.kr


lkj.kh1

x 0 2 4 6 . . .

y 3 2 1 0 . . .

fiNys v;k; esa vkius ;gns[kk gS fd ,d vkys[k dkxt

(graph paper)ij fcanqvksa dksfdl

izdkj vky sf[kr fd;k tkrk gSA vkb,ge vkys[k dkxt ij fcanqvksa(0, 3), (2, 2), (4, 1) vkSj (6, 0)dksvkysf[kr djsaA vc fdUghanks fcanqvksa

dks feykdj ,d js[kk izkIr dhft,Aeku yhft, ;g js[kk AB gS(nsf[k, vko`Qfr 4-2)A

D;k vki ns[krs gSa fd vU; nksfcanqHkh js[kk ABij fLFkr gSa\ vc] bl js[kk ij,d vU; fcanq] eku yhft, (8, 1),yhft,A D;k ;g ,d gy gS\ oLrqr%

8 + 2(1) = 6gSA vr% (8, 1),d gy gSA bl js[kk ABij ,d vU; fc anqyhft, vkSjtkp dhft, fd blo sQ funsZ'kkad lehdj.k dkslarq"V djrsgSa;k ughaA vc ,d ,slk fcan qyhft, tksjs[kk ABij fLFkr ughagksA eku yhft, ;g fcanq (2, 0)gSA D;k blosQ fun sZ'kkadlehdj.k dkslarq"V djrsgSa\ tkp djus ij vki ;g ns[ksaxs fd ;s funsZ'kkad lehdj.kdkslarq"V ughadjrsA

bl rjg] ge ;g ns[krs gSafd

1. izR; sd fcanq ftlosQ funsZ'kkad lehdj.k (1) dkslarq"V djrsgSa_ js[kkABij fLFkrgksrk g SA

2. js[kk ABij fLFkr izR;sd fcanq(a, b)ls lehdj.k (1) dk ,d gyx= a,y= bizkIr gkstkrk gSA

3. dksbZHkh fcanq] tksjs[kk ABij fLFkr ughagS] lehdj.k (1) dk gy ugha gksxkA

vko`Qfr 4.2

8/13/2019 Ganit (4) -

8/16



vr% vki ;g fu"d"kZfudky ldrsgSafd js[kk ij fLFkr izR;sd fcanq js[kk osQlehdj.k dkslarq"V djrk gS vkSj lehdj.k dk izR;sd gy js[kk ij fLFkr ,d fcanqgksrkgSA oLrqr% nkspjksa okys ,d jSf[kd lehdj.k T;kferh; :i ls,d ,slh js[kk ls fu:firfd;k tkrk gSftlds lHkh fcanq lehdj.k ds gy gksrs gSaA blsjSf[kd lehdj.k dk vkys[kdgk tkrk gSA vr% nkspjksa okysjSf[kd lehdj.k dk vkys[k izkIr djus osQ fy, nks gyksadslaxr nksfcanqvkysf[kr djuk vkSj mUgsa ,d js[kk lsfeyk nsuk i;kZIr gksrk gSA fiQjHkh] mke rks ;g gksxk fd bl izdkj osQ nksls vf/d fcanq vkysf[kr fd, tk,ftllsfd vki vkys[k dh 'kqrk dh tkp rqjar dj losaQA

fVIi.kh:,d ?kkr okyscgqin lehdj.k ax+ by+ c= 0dks jSf[kd lehdj.k blfy,dgk tkrk gS] D;ksafd bldk T;kferh; fu:i.k ,d ljy js[kk gksrh gSA

mnkgj.k5 :;fn fcanq (1, 2)fn;k gqvk gks] rks D;k vki ml js[kk dk lehdj.k ns ldrsgSa ftl ij og fcanqfLFkr gS\ bl izdkj osQ fdruslehdj.k gksldrs gSa\

gy:(1, 2)ml jSf[kd lehdj.k dk ,d gy gSftlsvki

8/13/2019 Ganit (4) -

9/16

86 Xkf.kr


vko`Qfr 4.3

mnkgj.k7 :vki tkursgSa fd ,d iM ijyxk;k x;k cy iM esamRiUu Roj.k osQvuqekuqikrh gksrk gSA bl fLFkfr dksO;Dr

djus okyk ,d lehdj.k fyf[k, vkSj lehdj.kdksvkysf[kr dhft,Agy:;gk pj] cy vkSj Roj.k gSaA eku yhft,yxk;k x;k cy yek=kd gS vkSj mRiUu Roj.kxek=kd gSA vuqikr vkSj lekuqikr l svki blrF; dks bl izdkj O;Dr dj ldrsgSa%

y= kx

tgk k,d vpj gSA (foKku osQ v;;u lsvki ;g tkursgSafd okLro esa kiM dk

nzO;eku gksrk g S)Avc D;ksafd ge ;g ughatkurs fd kD;k g S] blfy, ge y= kxdk ifj'k q vkys[kugha [kahap ldrsA fiQj Hkh] ;fn ge kdks ,d eku ns nsa] rc ge vkys[k [khap ldrsgSaA vkb, ge k= 3ysaA rc ge y= 3xdks fu:fir djus okyh js[kk [khap ldrsgSaA

vkfr 4-4

8/13/2019 Ganit (4) -

10/16



blosQ fy,] bl lehdj.k ds ge nksgy Kkr djrs gSaA eku yhft, ;sgy(0, 0) vkSj(2, 6)gSa(nsf[k, vkfr 4.4)A

bl vkys[k lsvki ;g ns[k ldrs gSa fd tc yxk;k x;k cy 3 ek=kd gksrk gS] rcmRiUu Roj.k 1 ek=kd gksrk gSA vki ;gk ;g Hkh ns[krs gSa fd fcanq(0] 0) vkys[k ijfLFkr gS] ftldk vFkZ;g gS fd tc yxk;k x;k cy 0ek=kd gksrk gS rks mRiUu Roj.k

0ek=kd gksrk gSA

fVIi.kh:y= kx osQ :i oQh lehdj.k dk vkys[k ,d js[kk gksrh gStkslnk ewyfcanq lsgksdj tkrh g SA

mnkgj.k8 :vko`Qfr 4-5 esafn, x, izR;sd vkys[k dks ;ku lsnsf[k, vkSj uhps osQizR;sd vkys[k osQ fodYiksalsvkys[k esa fn, x, lehdj.k dk p;u dhft,%

(a) vko`Qfr4.5 (i)osQ fy,]

(i) x+y= 0 (ii) y= 2x (iii) y=x (iv) y= 2x+ 1

(b) vko`Qfr4.5 (ii)osQ fy,]

(i) x+y= 0 (ii) y= 2x (iii) y= 2x+ 4 (iv) y=x 4

(c) vko`Qfr4.5 (iii)osQ fy,]

(i) x+y= 0 (ii) y= 2x (iii) y= 2x+ 1 (iv) y= 2x 4

(i)

8/13/2019 Ganit (4) -

11/16

88 Xkf.kr


vko`Qfr 4.5

gy:(a) vko`Qfr4.5 (i)esajs[kk ij fcanq(1, 2), (0, 0), (1, 2)gSaA ns[kusij] bl vkys[kdk laxr lehdj.k y= 2xgSA vki ;gka;g ns[k ldrs gSa fd izR;sd fLFkfr esay-funsZ'kkad]x-funsZ'kkad oQk nksxquk gSA

(b) vko`Qfr4.5 (ii)esa js[kk ij fcan q (2, 0), (0, 4), (1, 6)gSaA vki tkursgSafd vkys[k osQfcanqvksaosQ funsZ'kkad lehdj.ky= 2x+ 4dks larq"V djrs gSaA vr%] y= 2x+ 4 vko`Qfr

4.5 (ii)osQ vkys[k dk laxr lehdj.k gSA(c) vko`Qfr4.5 (iii)esa] js[kk ij fcanq (1,6), (0,4), (1,2), (2, 0)gSaA ns[kdj vki ;gdg ldrsgSa fd y= 2x 4fn, gq, vkys[k dk laxr lehdj.k gSA

iz'ukoyh4.3

1. nkspjksa okys fuEufyf[kr jSf[kd lehdj.kksa esa lsizR;sd dk vkys[k [khafp,%

(i) x+y= 4 (ii) xy= 2 (iii) y= 3x (iv) 3 = 2x+y

2. fcanq(2] 14) lsgksdj tkusokyh nksjs[kkvksa osQ lehdj.k fyf[k,A bl izdkj dh vkSj

fdruh js[kk,gks ldrh gSa] vkSj D;kas\3. ;fn fcanq(3] 4) lehdj.k 3y= ax + 7osQ vkys[k ij fLFkr gS] rks a dk eku Kkr

dhft,A

4. ,d uxj esa VSDlh dk fdjk;k fuEufyf[kr gS% igys fdyksehVj dk fdjk;k 8 # gSvkSj

(iii)(ii)

8/13/2019 Ganit (4) -

12/16



mlosQ ckn dh nwjh osQ fy, izfr fdyksehVj dk fdjk;k 5 # gSA ;fn r; dh xbZnwjhxfdyksehVj gks] vkSj oqQy fdjk;k y# gks] rks bldk ,d jSf[kd lehdj.k fyf[k, vkSjmldk vkys[k [khafp,A

5. fuEufyf[kr vkys[kksaesa lsizR;sd vkys[k osQ fy, fn, x, fodYiksals lgh lehdj.k dkp;u dhft,%

vko`Qfr 4.6osQ fy, vko`Qfr 4.7osQ fy,

(i) y=x (i) y=x+ 2

(ii) x+y= 0 (ii) y=x 2

(iii) y= 2x (iii) y= x+ 2

(iv) 2 + 3y= 7x (iv) x+ 2y= 6

vkfr 4-6 vkfr 4-7

6. ,d vpj cy yxkus ij ,d iM }kjk fd;k x;k dk;Z iM }kjk r; dh xbZnwjh osQvuqekuqikrh gksrk gSA bl dFku dks nkspjksaokys,d lehdj.k osQ :i esaO;Dr dhft,vkSj vpj cy 5 ek=kd ysdj bldk vkys[k [khafp,A ;fn iM }kjk r; dh xbZnwjh

(i) 2ek=kd (ii) 0ek=kd

gks] rks vkys[k ls fd;k gqvk dk;ZKkr dhft,A

7. ,d fo|ky; dh d{kk IXdh Nk=kk,a ;kfeuh vkSj iQkfrek us feydj HkwoaQi ihfM+rO;fDr;ksa dh lgk;rk osQ fy, iz/kuea=kh jkgr dks"k esa100 # va'knku fn;kA ,d jSf[kdlehdj.k fyf[k, tksbu vkadM+ksa dkslarq"V djrh gksA (vki mudk va'knkux# vkSjy#eku ldrs gSa)Abl lehdj.k dk vkys[k [khafp,A

8/13/2019 Ganit (4) -

13/16

90 Xkf.kr


8. vejhdk vkSj dukMk tSlsns'kksaesarkieku iQkjsugkbV esaekik tkrk gS] tcfd Hkkjr tSlsns'kksaesarkieku lsfYl;l esaekik tkrk gSA ;gk iQkjsugkbV dks lsfYl;l esa:ikarfjr djusokyk ,d jSf[kd lehdj.k fn;k x;k gS%

F =9

C + 35

(i) lsfYl;l dks x-v{k vkSj iQkjsugkbV dks y- v{k ekudj ij fn, x, jSf[kdlehdj.k dk vkys[k [khafp,A

(ii) ;fn rkieku 30C gS] rksiQkjsugkbV esa rkieku D;k gksxk\

(iii);fn rkieku 95FgS] rkslsfYl;l esa rkieku D;k gksxk\(iv);fn rkieku 0CgS] rksiQkjsugkbV esarkieku D;k gksxk\ vkSj ;fn rkieku 0FgS] rks

lsfYl;l esa rkieku D;k gksxk\

(v) D;k ,slk Hkh dksbZ rkieku gStks iQkjsugkbV vkSj lsfYl;l nksuksa osQ fy, la[;kRedr%leku gS\ ;fn gk] rks mlsKkr dhft,A

4.5 x-v{k vkSj y-v{k ds lekarj js[kkvksaosQ lehdj.k

vki ;g i

8/13/2019 Ganit (4) -

14/16



vc lehdj.kx 2 = 0yhft,A ;fn bls ge osQoy ,d pjx okyk ,d lehdj.keku ysa] rksbldk ,d vf}rh; gy x= 2gksrk gS] tks la[;k js[kk ij fLFkr ,d fcanqgSA lkFk gh] blsnkspjksa okyk lehdj.k eku ysu sij blsx+ 0.y 2 = 0 osQ :i esaO;Drfd;k tk ldrk gSA blosQ vifjfer :i ls vusd gy gSa] tks (2, r)ds :i dsgSa] tgk

r,d okLrfod l a[;k gSA lkFk gh vki ;g tkp ldrsgSafd (2, r)osQ :i dk i zR;sdfcanq bl lehdj.k dk ,d gy gSA vr% nks pjksa okys lehdj.k dh Hkkafr]x 2 = 0 osQ vkys[k dks vkoQfr 4-8 esajs[kk ABls fu:fir fd;k tkrk gSA

mnkgj.k9 :lehdj.k 2x+ 1 =x 3dks gy dhft, vkSj gy dks (i)la[;k js[kk

(ii)dkrhZ; ry ij fu:fir dhft,Agy: 2x+ 1 = x 3dks gy djus ij ;g izkIr gksrk gS%

2xx= 3 1

vFkkZr~ x= 4

(i)la[;k js[kk ij gy osQ fu:i.k dksvko`Qfr 4-9 esa fn[kk;k x;k gS] tgkx= 4 dks,d pj okyk lehdj.k ekuk x;k gSA

vko`Qfr 4.9

(ii)ge tkurs gSa fd pj x vkSj yokys jSf[kd lehdj.k osQ :i esagex= 4 dksx+ 0.y= 4osQ :i esafy[k ldrs gSaA bls,d js[kk ls fu:fir fd;k tkrk gSA vcyosQ lHkh eku ekU; gksrs gSa] D;ksafd 0.ylnk gh 'kwU; gksrk gSA fiQj Hkh xdks l aca/x= 4dks vo'; larq"V djuk pkfg,A vr% fn, gq, lehdj.k osQ nksgyx= 4,y= 0 vkSjx= 4,y= 2gSaA

;ku nhft, fd vkys[k AB,y-v{k osQ lekarj ,d js[kk gS tksbldsck;ha vksj4 ,dd dh nwjh ij gS(nsf[k, vko`Qfr 4-10)A

8/13/2019 Ganit (4) -

15/16

92 Xkf.kr


vko`Qfr 4.10

blh i zdkj] y= 3 ;k 0.x+ 1.y= 3osQ izdkj osQ lehdj.kk saosQ laxr] ge x-v{k osQlekarj ,d js[kk izkIr dj ldrs gSaA

iz'ukoyh 4.4

1. (i) ,d pj okys (ii)nkspj okys

lehdj.k osQ :i esay = 3dk T;kferh; fu:i.k dhft,A

2. (i) ,d pj okys (ii)nkspj okys

lehdj.k osQ :i esa2x + 9 = 0dk T;kferh; fu:i.k dhft,A

4.6 lkjka'k

bl v;k; esa] vkiusfuEufyf[kr fcanqvksa dk v;;u fd;k gS%

1. ax+ by+ c= 0osQ :i osQ lehdj.k dks tgk, a, b vkSj cokLrfod la[;k, gSa vkSjavkSjbnksuksa 'kwU; ugha gSa] nks pjksa okyk jSf[kd lehdj.k dgk tkrk gSA

2. nkspjksa okys jSf[kd lehdj.k osQ vifjfer :i lsvusd gy gksrs gSaA

3. nkspjksa okysizR;sd jSf[kd lehdj.k dk vkys[k ,d ljy js[kk gksrk gSA

8/13/2019 Ganit (4) -

16/16



4. x= 0, y-v{k dk lehdj.k gS vkSj y= 0, x-v{k dk lehdj.k gSA5. x= adk vkys[k y-v{k osQ lekarj ,d ljy js[kk gksrk gSA

6. y= adk vkys[k x-v{k osQ lekarj ,d ljy js[kk gksrk gSA

7. y= mxosQ izdkj dk lehdj.k ewyfcanq lsgksdj tkus okyh ,d js[kk dksfu:firdjrk gSA

8. nkspjksaokys jSf[kd lehdj.k osQ vkys[k ij fLFkr izR;sd fcanq jSf[kd lehdj.k dk ,dgy gksrk gSA lkFk gh] jSf[kd lehdj.k dk izR;sd gy jSf[kd lehdj.k osQ vkys[k ijfLFkr ,d fcanq gksrk gSA

ganit (4) - दो चारि वाली रैखिक समीकरण

Documents