Μη Αβελιανές Θεωρίες Βαθµίδας – Μηχανισµός Higgs – Η

G.W.S θεωρία για τις ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις

Εργασία στα πλαίσια του µαθήµατος των στοιχειωδών

σωµατιδίων

Επιβλέπων καθηγήτρια: Στασινάκη

Παρασκευόπουλος Σωτήρης

2

Μη Αβελιανή αναλλοιώτητα Βαθµίδας

Για την περιγραφή της αναλλοιώτητας σε µετασχηµατισµούς βαθµίδας µελετάµε αρχικά την Lagrangian της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής:

( ) ( )2

. .

1

4Q E D

L i D m Fµ

µ µνγ= Ψ − Ψ −

όπου: ( )D ieA xµ µ µ≡ ∂ −

Η παραπάνω Lagrangian είναι αναλλοίωτη κάτω από τοπικούς µετασχηµατισµούς βαθµίδας:

( )( ) ( )ia xx e xΨ → Ψ

Με το πεδίο ( )A xµ να µετασχηµατίζεται σύµφωνα µε τον νόµο:

1( ) ( ) ( )A x A x a x

eµ µ µ→ − ∂

Ξεκινώντας λοιπών από το πεδίο µιγαδικό Dirac και απαιτούµε την αναλλοιώτητα σε µετασχηµατισµούς βαθµίδας ( )( ) ( )ia xx e xΨ → Ψ την

οποία έχουµε ανάγει πλέον σε µία αρχή.

3

Αυτός ο µετασχηµατισµός είναι ουσιαστικά µια στροφή κατά γωνία ( )a x . Το ερώτηµα που γεννάται είναι πως µπορούµε να γράψουµε µια

Lagrangian που να είναι αναλλοίωτη κάτω από αυτούς τους µετασχηµατισµούς.

Όσον αφορά όρους που δεν περιέχουν παραγώγους, κάτι τέτοιο δεν αποτελεί πρόβληµα, καθώς οι φάσεις εξουδετερώνονται. Για παράδειγµα

έστω ο όρος µάζας για τα φερµιόνια:

( ) ( )m x xΨ Ψ

είναι global αναλλοίωτος και η επιπλέον απαίτηση για τοπική αναλλοιώτητα δεν µας δίνει κάποιον επιπλέον περιορισµό.

Όµως η δυσκολία προκύπτει όταν προσπαθήσουµε να γράψουµε όρους στην Lagrangian που περιέχουν παράγώγους. Πράγµα αναγκαίο για να

εκφραστεί η κινητική ενέργεια των πεδίων.

Η παράγωγος του ( )xΨ στη διεύθυνση του ανύσµατος nµ ορίζεται µε την µέθοδο του ορίου ως:

[ ]0

1( ) lim ( ) ( )n x x n x

µµ ε

εε→

∂ Ψ = Ψ + −Ψ

Όµως αυτός ο ορισµός δεν είναι βολικός για µια θεωρία αναλλοίωτης σε τοπικούς µετασχηµατισµούς βαθµίδας, καθώς τα παιδία που

αφαιρούνται ( )x nεΨ + και ( )xΨ έχουν διαφορετικό νόµο µετασχηµατισµού. Με άλλα λόγια η ποσότητα ( )xµ∂ Ψ δεν έχει καλή γεωµετρική

ερµηνεία.

Έτσι για αυτό τον σκοπό εισάγουµε έναν παράγοντα που εξουδετερώνει τις αλλαγές µετασχηµατισµού φάσης που σηµειώνονται, από το ένα

σηµείο στο επόµενο. Και ο ποιο απλός τρόπος είναι να ορίσουµε µια βαθµωτή ποσότητα ( , )U y x και η οποία έχει νόµο µετασχηµατισµού:

( ) ( )( , ) ( , )ia x ia xU y x e U y x e→

4

και θέτουµε: ( , ) 1U y y =

µε αυτόν τον τρόπο τα αντικείµενα ( )xΨ και ( , ) ( )U y x xΨ έχουν τον ίδιο νόµο µετασχηµατισµού.

Έτσι µπορούµε να ορίσουµε µια παράγωγο µε καλύτερο εννοιολογικό περιεχόµενο, που ονοµάζεται συναλλοίωτη παράγωγος, ως εξής:

[ ]0

1( ) lim ( ) ( , ) ( )n D x x n U x n x x

µµ ε

ε εε→

Ψ = Ψ + − + Ψ

Για να κατανοήσουµε καλύτερα αυτόν τον ορισµό χρειαζόµαστε κάποια έκφραση για τον comparator ( , )U y x σε σηµεία απειροστά κοντά. Έτσι

το ανάπτυγµα γύρω από την απόσταση των σηµείων θα είναι:

2( , ) 1 ( ) ( )U x n x ie n A x O

µµε ε ε+ = − +

Η συναλλοίωτη παράγωγος θα έχει τότε την µορφή:

( ) ( ) ( ) ( )D x x ieA x xµ µ µΨ = ∂ Ψ + Ψ

Με βάση αυτή τη σχέση µπορούµε να βρούµε τον νόµο µετασχηµατισµού για το νέο πεδίο ( )A xµ :

5

1( ) ( ) ( )A x A x a x

eµ µ µ→ − ∂

Για να ελέγξουµε αυτές τις εκφράσεις µετασχηµατίζουµε το ( )D xµΨ και βρίσκουµε:

( )1( ) ( ) ( ) ( )ia x

D x ie A x a x e xe

µ µ µ µ

Ψ → ∂ + − ∂ Ψ =

( )( ) ( )( ) ( ) ( )ia x ia xe ieA x x e D xµ µ µ= ∂ + Ψ = Ψ

Έτσι η συναλλοίωτη παράγωγος ( )D xµΨ µετασχηµατίζεται µε τον ίδιο τρόπο που µετασχηµατίζεται και το πεδίο ( )xΨ .

Περισσότερο γενικά, η ανάλυση µας δίνει έναν τρόπο να κατασκευάσουµε όλες τις δυνατές lagrangians που είναι αναλλοίωτες κάτω από αυτή

τη συµµετρία.

Για να ολοκληρώσουµε την κατασκευή µιας τέτοιας lagrangian πρέπει να βρούµε έναν όρο κινητικής ενέργειας για το πεδίο ( )A xµ .

Για τον λόγο αυτό αναπτύσσουµε τον comparator ( , )U y x ως προς ε:

3( , ) exp ( ) ( )2

U x n x ie n A x n Oµ

µ

εε ε ε + = − + +

6

Κάνουµε απειροστές µεταθέσεις γύρο από ένα τετράγωνο στις διευθύνσεις 1$ και $2 , και βρίσκουµε την που είναι το αποτέλεσµα των

µετατοπίσεων γύρω από τις γωνίες του loop:

$ $ $ $( ) ( , 2) ( 2, 1 2) ( 1 2, 1) ( 1, )U x U x x U x x U x x U x xε ε ε ε ε ε ε ε≡ + + + + + + + +$ $ $ $

Στο όριο 0ε → , θα έχουµε µια τοπικά αναλλοίωτη συνάρτηση του Aµ . Έτσι αναπτύσσοντας έχουµε:

$ $ $ 3

2 1 2 1( ) exp 2 1 2 1 2 1 ( )

2 2 2 2 2U x i e A x A x A x A x O

ε ε ε ε εε ε ε

= − − + − + + + + + + + + $ $ $

Και αν αναπτύξουµε το εκθετικό σε όρους του ε, έχουµε:

[ ]2 3

1 2 2 1( ) 1 ( ) ( ) ( )U x i e A x A x Oε ε= − ∂ − ∂ +

Άρα η κατασκευή : F A Aµν µ ν ν µ= ∂ − ∂ είναι τοπικά αναλλοίωτη.

Ένα σχετικό µε το παραπάνω επιχείρηµα για την τοπική αναλλοιώτητα του Fµν µπορεί να βρει κανείς και µέσω της συναλλοίωτης παραγώγου.

Χρησιµοποιώντας τους νόµους µετασχηµατισµού του πεδίου ( )xΨ και της συναλλοίωτης παραγώγου πάνω σε αυτό ( )D xµΨ , που είναι ίδιοι,

συµπεραίνουµε και ότι ο µεταθέτης των συναλλοίωτων παραγώγων έχει ίδιο νόµο µετασχηµατισµού:

7

( ), ( ) , ( )ia xD D x e D D xµ ν µ ν Ψ → Ψ

Ο µεταθέτης δεν είναι µια απλή παράγωγος και δίνει:

( )( )

2, , , , ,D D ie A A e A A

ie A A

µ ν µ ν µ ν ν µ µ ν

µ ν ν µ

Ψ = ∂ ∂ Ψ + ∂ − ∂ Ψ − Ψ =

= ∂ − ∂ Ψ

διότι: , 0µ ν ∂ ∂ = και , 0A Aµ ν =

Άρα:

,D D ieFµ ν µν =

και σύµφωνα µε τον παραπάνω συλλογισµό ο πολλαπλασιαστικός παράγοντας Fµν πρέπει να είναι αναλλοίωτος κάτω από αυτούς τους

µετασχηµατισµούς.

8

Έχουµε λοιπόν τώρα συλλέξει όλα τα απαραίτητα στοιχεία για να γράψουµε την αναλλοίωτη σε τοπικούς µετασχηµατισµούς βαθµίδας

lagrangian για το φερµιονικό πεδίο Dirac:

( ) ( )2

4

1

4L i D F c F F m

µ αβµνµ µν αβ µνγ ε= Ψ Ψ − − − ΨΨ

Ο τρίτος όρος παραβιάζει τις διακριτές συµµετρίες P και T, έτσι πρέπει να τον εξαιρέσουµε, αν τις δεχόµαστε αξιωµατικά.

Αν τώρα χρησιµοποιήσουµε τελεστές στις 5 και 6 διαστάσεις η αναλλοίωτη Lagrangian έχει την µορφή:

( ) ( )2 25

6 1 2 3 ...L ic F c cµν

µνσ γ= Ψ Ψ + ΨΨ + Ψ Ψ +

Έχουµε φτάσει τώρα σε ένα αξιοσηµείωτο συµπέρασµα. Ξεκινήσαµε αξιώνοντας ότι το πεδίο του ηλεκτρονίου υπακούει στην τοπική

συµµετρία. Από αυτό το αξίωµα δείξαµε ότι πρέπει να υπάρχει ένα ηλεκτροδυναµική διανυσµατικό δυναµικό. Προχωρώντας η αρχή συµµετρίας

προϋποθέτει ότι η ποιο γενική Lagrangian στις 4 διαστάσεις είναι η γενική µορφή 4L . Αν επιµείνουµε ότι αυτή η L είναι επίσης αναλλοίωτη

κάτω από χρονική αντιστροφή ή οµοτιµία, οδηγούµαστε µε µοναδικό τρόπο στην Maxwell- Dirac Lagrangian, η οποία είναι η βάση της

κβαντικής ηλεκτροδυναµικής.

9

Η Lagrangian Yang-Mills

Για να προχωρήσουµε τη συζήτηση, παίρνουµε τη συµµετρία να είναι η 3-διαστατη οµάδα των στροφών O(3) ή SU(2), διότι σε αυτή την

περίπτωση η απαραίτη θεωρία οµάδων είναι οικεία.

Αρχίζουµε µε τη διπλέτα του Dirac:

1

2

( )( )

( )

xx

x

Ψ Ψ = Ψ

η οποία µετασχηµατίζεται σε µια άλλη, κάτω από µια αυθαίρετη τρισδιάστατη στροφή:

( ) exp ( )2

ii

x ia xσ

Ψ → Ψ

όπου iσ είναι οι πίνακες του Pauli, και υπονοείται άθροιση στους δείκτες i.

Τώρα προάγουµε τον παραπάνω µετασχηµατισµό σε τοπική συµµετρία, επιµένοντας η L να είναι αναλλοίωτη κάτω από αυτούς τους

µετασχηµατισµούς.

Γράφουµε τον µετασχηµατισµό ως:

10

( ) ( ) ( )x V x xΨ → Ψ

όπου: ( ) exp ( )2

ii

V x ia xσ

=

Οπότε τώρα πάµε να κατασκευάσουµε την L µε τις µεθόδους του προηγούµενου παραδείγµατος.

Τώρα όµως ο αντίστοιχος comparator θα είναι ένας 2x2 πίνακας, και ο νόµος µετασχηµατισµού του θα είναι:

†( , ) ( ) ( , ) ( )U y x V y U y x V x→

Το ανάπτυγµα αυτού του πίνακα στους ερµητιανούς γεννήτορες της SU(2) είναι:

2( , ) 1 ( )2

ii

U x n x ig n A Oµ

µ

σε ε ε+ = + +

και η αντίστοιχη συναλλοίωτη παράγωγος µέσω του ορισµού που δώσαµε παραπάνς, είναι:

2

ii

D igAµ µ µ

σ= ∂ −

11

διότι:

[ ]0

0

1( ) lim ( ) ( , ) ( )

1lim ( ) ( ) ( ) ( )

2

( ) ( ) ( )2 2

ii

i ii i

n D x x n U x n x x

x n x x ig n A x

n x ign A x n igA x

µµ ε

µ µµ µε

µ µ µµ µ µ µ

ε εε

σε ε

ε

σ σ

→

→

Ψ = Ψ + − + Ψ =

= Ψ + ∂ Ψ −Ψ − Ψ =

= ∂ Ψ − Ψ = ∂ − Ψ

Αυτή η συναλλοίωτη παράγωγος προϋποθέτει 3 διανυσµατικά πεδία, ένα για κάθε γεννήτορα της οµάδας µετασχηµατισµών.

Για να βρούµε τον νόµο µετασχηµατισµού των πεδίων iA µ µελετάµε την απειροστή µορφή του µετασχηµατισµού για τον comparator:

†1 ( ) 1 ( )2 2

i ii i

ig n A V x n ig n A V xµ µ

µ µ

σ σε ε ε

+ → + +

Η ανάπτυξη του ( )V x nε+ γίνεται ευκολότερα µέσω της ταυτότητας:

12

( )( ) ( )

† 2 †

† 2 † 2

( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )

V x n V x n O V x V x

n V x V x O n V x V x O

µµ

µ µµ µ

ε ε ε

ε ε ε ε

+ = + ∂ + =

= + ∂ + = + −∂ +

διότι ( ) †( ) ( ) ( )2

i

V x V x i a xµ µ

σ∂ = + ∂ και ( )†( ) ( ) ( )

2

i

V x V x i a xµ µ

σ∂ = − ∂

Έτσι για το πεδίο iA µ έχουµε τον νόµο µετασχήµατισµού:

†( ) ( )2 2

i ii i i

A V x A V xg

µ µ µ

σ σ → + ∂

Και για απειροστούς µετασχηµατισµούς µπορούµε να αναπτύξουµε το εκθετικό και να κρατήσουµε όρους πρώτης τάξης, και ο

µετασχηµατισµός γίνεται:

( )( ) ( ) ,2 2 2 2 2

i i i i ji i i i ji

A A a x i a x Ag

µ µ µ µ

σ σ σ σ σ → + ∂ +

διότι:

13

( )

( )

( )

† † †( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ,2 2 2 2

i i ii i i

i i j j i ii i j j i i

i i i ji i i j

i iA V x A V x V x A V x V x V x

g g

iA ia x A A i a x a x

g

iA a x i a x A

g

µ µ µ µ µ

µ µ µ µ

µ µ µ

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

→ + ∂ = + ∂ =

= + + − + ∂ =

= + ∂ +

Ο τελευταίος όρος είναι το καινούριο στοιχείο στον νόµο µετασχηµατισµού και προκύπτει από την µη µεταθετικότητα των γεννητόρων της

άλγεβρας.

Συνδυάζοντας αυτή την σχέση µε τον νόµο µετασχηµατισµού του φερµιονικού πεδίου:

( ) 1 ( ) ...2

ii

x ia xσ

Ψ → + Ψ +

µπορούµε να ελέγξουµε τον απειροστό µετασχηµατισµό της συναλλοίωτης παραγώγου:

14

( )

( ) ( )2

( ) ( ) , 1 ( )2 2 2 2 2

.... 1 ( )2

ii

i i i j ii i i j i

ii

D x igA x

igA i a x g a x A ia x

ia D x

µ µ µ

µ µ µ µ

µ

σ

σ σ σ σ σ

σ

Ψ = ∂ − Ψ →

∂ − − ∂ + + Ψ =

= = + Ψ

Επίσης δεν είναι δύσκολο να ελέγξουµε τον παραπάνω µετασχηµατισµό σε πεπερασµένη µορφή:

' ' †

† †

† †

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( ) (2

ii

ii

ii

ii

iD x D x igV x A V x V x x

g

igV x A V x V x V x V x x

igV x A V x V x V x V x x

V x V x igV x A V x

µ µ µ µ µ

µ µ µ

µ µ µ

µ µ µ µ

σ

σ

σ

σ

Ψ → Ψ = ∂ − + ∂ Ψ =

= ∂ − + ∂ Ψ =

= ∂ − − ∂ Ψ =

= ∂ + ∂ − −∂ Ψ

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

( ) ( )

i ii i

x

V x igV x A x V x igA x

V x D x

µ µ µ µ

µ

σ σ

=

= ∂ − Ψ = ∂ − Ψ =

= Ψ ⇒

15

( ) ( ) ( )D x V x D xµ µΨ → Ψ

Με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό µε τα προηγούµενα έχουµε λοιπόν για το µεταθέτη των συναλλοίωτων παραγώγων:

, ( ) ( ) , ( )D D x V x D D xµ ν µ ν Ψ → Ψ

όµως έχουµε ότι ο µεταθέτης ισούται µε:

,2

ii

D D igFµ ν µν

σ = −

όπου: ( ) ,2 2 2 2 2

i i i i ji i i i j

F A A ig A x Aµν µ ν ν µ µ ν

σ σ σ σ σ = ∂ −∂ −

Μπορούµε να απλοποιήσουµε την παραπάνω σχέση µε τη βοήθεια της σχέσης µετάθεσης των πινάκων του Pauli:

16

,2 2 2

i j kijk

iσ σ σ

ε

=

τότε: ( )i i i ijk i kF A A g A x Aµν µ ν ν µ µ νε= ∂ −∂ +

Τελικά ο νόµος µετασχηµατισµού για τον τανυστή του πεδίου είναι:

†( ) ( )2 2

i ii i

F V x F V xµν µν

σ σ →

Και η απειροστή του µορφή είναι:

†( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2

,2 2 2

i i i i j j ii i i i j j i

i i ji i j

F V x F V x F ia F F i a

F ia F

µν µν µν µν µν

µν µν

σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

→ = + + − =

= +

αφού : 2( ) 1 ( )2

ii

V x ia O aσ

= + +

17

Ο iF µν δεν είναι πλέον αναλλοίωτος σε µετασχηµατισµούς βαθµίδας, ωστόσο µπορούµε να φτιάξουµε gauge αναλλοίωτους συνδυασµούς από

το iF µν για να τους χρησιµοποιήσουµε στην Lagrangian µας. Για παράδειγµα:

( )2

21 1

2 2 4

ii i

L tr F Fµν µν

σ = − = −

είναι ο gauge αναλλοίωτος όρος της κινητικής ενέργειας για το iAµ .

Έτσι καταλήξαµε να κατασκευάσουµε την Yang-Mills Lagrangian µας, η οποία προκύπτει απλά, αν πάρουµε την Lagrangian του Dirac και

αντικαταστήσουµε την συναλλοίωτη παράγωγο µε την νέα.

( ) ( )21

4L i D F m

µµ µνγ= Ψ Ψ − − ΨΨ

Μεταβάλλοντας την L βρίσκουµε τις κλασικές εξισώσεις κίνησης της θεωρίας βαθµίδας. Αυτές είναι η εξίσωση Dirac για το φερµιονικό πεδίο:

( )0 0L

i D mµ

µ

δγ

δ= ⇒ − Ψ =

Ψ

και η εξίσωση για το διανυσµατικό πεδίο:

18

2

ii ijk j k

F g A F gµ µ ν

µν µν

σε γ∂ + = − Ψ Ψ

Ότι έχουµε κάνει µέχρι τώρα για την SU(2) γενικεύεται εύκολα για κάθε συνεχή οµάδα συµµετρίας. Έστω λοιπόν ότι έχουµε ένα πεδίο ( )xΨ

που είναι µια n-πλέτα, τότε σύµφωνα µε τα παραπάνω θα µετασχηµατίζεται ως:

( ) ( ) ( )x V x xΨ → Ψ

Αναπτύσσουµε το ( )V x στους γεννήτορες της συµµετρίας at και έχουµε:

2( ) 1 ( )a aV x ia t O a= = +

παίρνουµε όλη την παραπάνω ανάλυση και αντικαθιστούµε 2

ia

tσ

→ σε κάθε βήµα.

Οι σχέσεις µετάθεσης στην standard form είναι:

,a b abc ct t if t =

19

όπου abcf οι είναι οι σταθερές δοµής της άλγεβρας.

Η συναλλοίωτη παράγωγος γίνεται:

a a

D igA tµ µ µ= ∂ −

Οι νόµοι µετασχηµατισµού σε απειροστή µορφή για το ( )xΨ και τα aA µ είναι:

( )( ) 1 ( )a ax ia t xΨ → + Ψ

1a a a abc b cA A a f A ag

µ µ µ µ→ + ∂ +

Ο πεπερασµένος νόµος µετασχηµατισµού έχει τη µορφή:

†( ) ( )a a a a iA t V x A t V x

gµ µ µ

→ + ∂

Ο µεταθέτης των συναλλοίωτων παραγώγων θα είναι αντίστοιχα:

20

, a aD D igF tµ ν µν = −

όπου: a a a abc b i cF A A gf A Aµν µ ν ν µ µ ν= ∂ − ∂ +

Η αντίστοιχη κλασική εξίσωση κίνησης είναι:

a abc b c a

F gf A F gJµ µ

µν µν ν∂ + = −

όπου: a aJ t

νν γ= Ψ Ψ

είναι το καθολικά συµµετρικό ρεύµα για το φερµιονικό πεδίο.

21

Το gauge αναλλοίωτο Wilson loop

Στα προηγούµενα κάναµε χρήση του comparator ο οποίος µετατρέπει τον νόµο µετασχηµατισµού βαθµίδας του φερµιονίου από το σηµείο χ στο

σηµείο y. Όµως η µελέτη έγινε για την περίπτωση που τα χ και y απέχουν απειροστά. Την περίπτωση που απέχουν αρκετά την µελετούµε εδώ.

Κατασκευάζουµε το ( ),PU z y όπου τώρα τα z, y δεν απέχουν απειροστά, αλλά πεπερασµένα, ακολουθώντας µία διαδροµή P . ∆εν είναι

δύσκολο να ελέγξουµε ότι το ( ),PU z y δίνεται από την έκφραση:

( ), exp ( )P

P

U z y ie dx A xµ

µ

= −

∫

Το αντικείµενο αυτό ονοµάζεται γραµµή Wilson.

Μια ιδιότητα της γραµµής Wilson είναι ότι εξαρτάται από την διαδροµή P. Αν το P είναι µια κλειστή διαδροµή, που γυρνάει στο y, τότε έχουµε

το Wilson loop:

( ), exp ( )P

P

U y y ie dx A xµ

µ

= −

∫�

Αν θέσουµε S την παράµετρο της διαδροµής P, ορίσουµε το path ordering { }P έτσι ώστε στο ανάπτυγµα του εκθετικού οι µεγαλύτερες τιµές

του S να µένουν στα αριστερά. Μπορούµε να γράψουµε την γραµµή Wilson ως:

22

( )1

0

, exp ( ( )) a

P

dxU z y P ig ds A x s t

ds

µ

µ

=

∫

Η παραπάνω έκφραση είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης:

( ) ( )( ), ( ( )) ( ),a

P P

d dxU x s y ig A x s t U x s y

ds ds

µ

µ

=

και αυτή η διαφορική εξίσωση µπορεί να γραφεί:

( ), 0P

dxD U x y

ds

µ

µ =

Θέλουµε τώρα να δείξουµε την εξάρτηση των συναρτήσεων βαθµίδας από τα πεδία βαθµίδας. ∆ηλαδή ότι:

( ) ( ) †, , ( ) , , ( )P P

U z y A V z U z y A V yν ν=

Στην απειροστή εκδοχή δείξαµε ότι:

23

( ) ( )( ) ( )D A V x V x D Aνµ µ=

Για να επιχειρηµατολογήσουµε για την απαίτηση µας, η παραπάνω ποσότητα να είναι εκ κατασκευής τοπικά αναλλοίωτη σε µετασχηµατισµούς

βαθµίδας, χρησιµοποιούµε το θεώρηµα Stokes για να ξαναγράψουµε το Wilson loop σαν:

( ), exp2

P

eU y y i d F

µνµνσ

Σ

= −

∫

Όπου βλέπουµε έναν γενικό τρόπο για να φτιάχνουµε gauge αναλλοίωτα από το Fµν .

Και το Wilson loop και η Wilson line, µπορούν να γενικευθούν στην µη αβελιανή περίπτωση, αποκτώντας επιπρόσθετες ιδιότητες εξαιτίας της

µη µεταθετικότητας των γεννητόρων.

Ας υπολογίσουµε αρχικά την Wilson line. Η Wilson line σχετίζετε µε µια κλειστή διαδροµή, που επιστέφοντας στο y µετασχηµατίζει µόνο την

παράµετρο βαθµίδας στο y, παρά ταύτα δεν είναι ένα αναλλοίωτο βαθµίδας:

( ) ( ) †, ( ) , ( )P PU y y V y U y y V y→

Αναπτύσσοντας σε δεύτερη τάξη µπορούµε να βρούµε:

24

( ) 2 3

12, 1 ( ) ( )a a

PU x x ig F x t Oε ε= + +

Για να µετατρέψουµε την Wilson line πάνω σε µια κλειστή διαδροµή, σε πραγµατικό αναλλοίωτο βαθµίδας, παίρνουµε το ίχνος για το οποίο

ισχύει:

( ) ( ), ,P PtrU x x trU x x→

Έτσι για την µη αβελιανή θεωρία βαθµίδας ορίζουµε το Wilson loop να είναι το ίχνος της Wilson line γύρω από µια κλειστή διαδροµή.

Ας υπολογίσουµε αναλυτικότερα το ( ),PtrU x x για την περίπτωση της SU(2) οµάδας βαθµίδας.

Αναπτύσσοντας τον comparator έχουµε:

( )

( ) ( )

2

2

( ) exp ...2

11 ... ... ...

2 2 2 2

ii i

i i ji i i j

U i

i

σε εβ ε γ

σ σ σεβ ε γ εβ εβ

= + + =

= + + + − + +

Και οι πίνακες του Pauli, επειδή είναι αιχνοι ικανοποιούν την σχέση:

, 2i j ijtr σ σ δ =

25

Άρα έχουµε:

( )22 4 51

( ) 2 ( )4

itrU g Oε ε β ε= − +

Εφαρµόζοντας αυτή την σχέση για το ( ),PtrU x x έχουµε:

( ) ( )22 4 5

12

1, 2 ( )

4

i

PtrU x x g F Oε ε= − +

Έτσι η αναλλοιώτητα βαθµίδας του ( )2iFµν µπορεί να παραχθεί από ένα γεωµετρικό επιχείρηµα, όπως και στην αβελιανή περίπτωση. Όπως θα

δειχθεί και από τα επόµενα το ίδιο επιχείρηµα ισχύει για κάθε οµάδα βαθµίδας.

26

Βασικά στοιχεία επάνω στις Άλγεβρες Lie.

Σε αυτό το κοµµάτι µελετάµε τα βασικά στοιχεία των συνεχών οµάδων, για να µπορούµε τα χρησιµοποιήσουµε αποδοτικότερα στις θεωρίες

βαθµίδας.

Το απειροστό στοιχείο της οµάδας g µπορεί να γραφεί:

2( ) 1 ( )a ag a ia T O a= + +

Οι aT είναι ερµητιανοί τελεστές και ονοµάζονται γεννήτορες της οµάδας συµµετρίας.

Οι µεταθετικές σχέσεις των γεννητόρων µπορούν να γραφούν:

,a b abc cT T if T =

Οι αριθµοί abcf ονοµάζονται σταθερές δοµής της οµάδας.

Ο διανυσµατικός χώρος που προκύπτει, ονοµάζεται άλγεβρα Lie.

Οι παραπάνω σχέσεις µετάθεσης και η ταυτότητα:

27

, , , , , , 0a b c b c a c a bT T T T T T T T T + + =

οδηγούν τις σταθερές δοµής να υπακούουν στη σχέση:

0adl bcd bdl cad cdl abdf f f f f f+ + =

που ονοµάζεται ταυτότητα Jacobi.

Ταξινόµηση στις άλγεβρες Lie.

Για την εφαρµογή στις θεωρίες βαθµίδας, η τοπική συµµετρία είναι κανονικά ένας µοναδιακός µετασχηµατισµός ενός συνόλου πεδίων. Έτσι

πρώτιστα ενδιαφερόµαστε για τις άλγεβρες Lie που έχουν πεπερασµένης διάστασης ερµητιανές αναπαραστάσεις οδηγώντας σε πεπερασµένης

διάστασης µοναδιακές αναπαραστάσεις για την αντίστοιχη οµάδα Lie. Υποθέτουµε επίσης ότι ο αριθµός των γεννητόρων είναι πεπερασµένος .

Τέτοιες άλγεβρες Lie ονοµάζονται συµπαγείς (compact), εξαιτίας αυτών των συνθηκών υποδηλώνεται ότι η οµάδα Lie είναι πεπερασµένης

διάστασης συµπαγής πολλαπλότητα (Manifold).

1. Μοναδιακοί µετασχηµατισµοί Ν-διάστατων ανυσµάτων.

Έστω ξ και η µιγαδικά Ν-ανύσµατα. Ένας γενικός µετασχηµατισµός θα έχει τότε τη µορφή:

28

a ab bn U n→

a ab bUξ ξ→

Λέµε ότι αυτός ο µετασχηµατισµός είναι µοναδιακός (unitary) αν διατηρεί το εσωτερικό γινόµενο *

a an ξ . Ο απλός µετασχηµατισµός φάσης:

ia

a aeξ ξ→

Από µια U(1) υποοµάδα που µετατίθεται µε όλους τους άλλους µετασχηµατισµούς, διαγράφουµε αυτή την υποοµάδα για να γράψουµε µια απλή

οµάδα Lie, την επονοµαζόµενη SU(N) που αποτελείται από όλους τους NxN µοναδιαίους µετασχηµατισµούς που ικανοποιούν την συνθήκη:

( )det 1U =

Οι γεννήτορες της SU(N) αναπαρίστανται από NxN ερµητιανούς πίνακες at , µαζί µε τη συνθήκη ότι είναι ορθογώνιοι στον γεννήτορα του

µετασχηµατισµού, έχουµε:

0atr t =

Υπάρχουν 2 1N − ανεξάρτητοι γεννήτορες που ικανοποιούν αυτές τις συνθήκες

2. Ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί Ν διάστατων ανυσµάτων.

Αυτή είναι η υποοµάδα των NxN µοναδιαίων µετασχηµατισµών που διατηρούν το συµµετρικό εσωτερικό γινόµενο:

a ab bn E ξ µε

ab abE δ=

29

Αυτό είναι το συνηθισµένο διανυσµατικό γινόµενο, και για αυτό η οµάδα αυτή είναι η οµάδα των στροφών στις Ν-διαστάσεις, SU(N).

(Προσθέτοντας και την ανάκλαση έχουµε την οµάδα O(N).) Υπάρχει µια ανεξάρτητη στροφή που σχετίζεται µε το κάθε επίπεδο στις Ν-

διαστάσεις, έτσι η SU(N) έχει ( 1) / 2N N − γεννήτορες.

3. Συµπλεκτικοί µετασχηµατισµοί Ν-διαστατων ανυσµάτων.

Αυτή είναι η υποοµάδα των NxN µοναδιαίων µετασχηµατισµών, για Ν αρτιο, που διατηρούν το αντισυµµετρικό εσωτερικό γινόµενο:

a ab bn E ξ µε

0 1

1 0ab

E

= −

Όπου τα στοιχεία του πίνακα είναι N/2 x N/2 blocs. Αυτή η οµάδα ονοµάζεται ( )p

S N και έχει ( 1) / 2N N + γεννήτωρες.

Πέρα από αυτές τις 3 οικογένειες, υπάρχουν ακόµη 5 άλγεβρες Lie, που ορίστηκαν στο σύστηµα Cartan σαν 2 4 6 7 8, , , ,G F E E E . Από αυτές, οι 6E

και 8E βρίσκουν εφαρµογή σαν οµάδες τοπικής συµµετρίας σε ενδιαφέροντα ενοποιηµένα πρότυπα των θεµελιωδών αλληλεπιδράσεων. Τέλος

πάντων, δεν θα µελετήσουµε αυτές τις ειδικές οµάδες περισσότερο σε αυτή την εργασία. Στην πραγµατικότητα, τα περισσότερα παραδείγµατα

εµπλέκουν µόνο SU(N) οµάδες.

30

Αναπαραστάσεις

Καθώς έχουµε καθορίσει την οµάδα τοπικής συµµετρίας, τα πεδία που εµφανίζονται στην Lagrangian µετασχηµατίζονται περισσότερο

φυσικά σύµφωνα µε µια πεπερασµένης διάστασης µοναδιαία αναπαράσταση αυτής της οµάδας. Έτσι στα επόµενα αναζητούµε συστηµατικά

όλες αυτές τις αναπαραστάσεις των αλγεβρών Lie. Ενθυµούµενοι ότι για την SU(2) οµάδα, οι αναπαραστάσεις µπορούν να κατασκευαστούν

απευθείας από τις σχέσεις µετάθεσης, χρησιµοποιώντας τελεστές ανάβασης και κατάβασης J+ και J− αντίστοιχα. Αυτή η κατασκευή µπορεί

να γενικευθεί για την εύρεση πεπερασµένης διάστασης αναπαραστάσεων κάθε συµπαγούς άλγεβρας Lie. Σε αυτή την εργασία τέλος πάντων, θα

ασχοληθούµε µε σχετικά απλές αναπαραστάσεις των οποίων την δοµή µπορούµε να εξάγουµε µε λιγότερο φορµαλιστικές µεθόδους.

Πριν συζητήσουµε για τις αναπαραστάσεις των αλγεβρών Lie, θα πρέπει να κάνουµε µια ανασκόπηση µερικών γενικών όψεων των

αναπαραστάσεων οµάδας. Για δοσµένη οµάδα συµµετρίας G, µια πεπερασµένης διάστασης αναπαράσταση των οµάδων µε άλγεβρα Lie είναι

ένα σύνολο από d x d ερµητιανούς πίνακες at που ικανοποιούν τις αντίστοιχες σχέσεις µετάθεσης. Το µέγεθος d είναι η διάσταση της

αναπαράστασης. Μια αυθαίρετη αναπαράσταση µπορεί γενικά να αναλυθεί, βρίσκοντας µια βάση στην οποία όλες οι αναπαραστάσεις είναι

ταυτόχρονα block-diagonal. Μέσω αυτής της αλλαγής βάσης, µπορούµε να γράψουµε την αναπαράσταση σαν το ευθύ άθροισµα από µη-

αναγώγιµες (irreducible) αναπαραστάσεις. Ορίζουµε τους πίνακες αναπαράστασης στην µη-αναγώγιµη αναπαράσταση r µε a

rt .

Είναι καθιερωµένη πρακτική να προσαρµόζουµε µια συνθήκη κανονικοποίησης για τους πίνακες a

rt , η οποία να βασίζεται στα ίχνη των

γινοµένων τους. Αν η άλγεβρα Lie είναι ηµι-απλή, οι πίνακες a

rt είναι traceless. Σκεφτόµενοι τέλος πάντων, το ίχνος του γινοµένου δύο

πινάκων γράφουµε:

31

,a b ab

r rtr t t D ≡

Καθώς οι πίνακες των γεννητόρων είναι ερµητιανοί, ο πίνακας abD είναι σίγουρα θετικός. Ας διαλέξουµε µια βάση για τους γεννήτορες έτσι

ώστε αυτός ο πίνακας να είναι ανάλογος της µονάδας. Μπορεί να δειχθεί ότι, αν αυτό ισχύει για µια µη αναγώγιµη αναπαράσταση, τότε είναι

αλήθεια για όλες τις µη αναγώγιµες αναπαραστάσεις. Έτσι σε αυτή τη βάση:

, ( )a b ab

r rtr t t C r δ =

όπου ( )C r είναι µια σταθερά για κάθε αναπαράσταση r. Η παραπάνω εξίσωση µαζί µε τις σχέσεις µετάθεσης οδηγούν στια ακόλουθες

αναπαραστάσεις µε σταθερές δοµής:

{ },( )

abc a b c

r r r

if tr t t t

C r = −

Αυτή η εξίσωση υποδηλώνει ότι το είναι τελείως αντισυµµετρικό.

Για κάθε µη αναγώγιµη αναπαράσταση r της G, υπάρχει µια αντίστοιχη συζυγής αναπαράσταση r . Η αναπαράσταση r οδηγεί σε

απειροστό µετασχηµατισµό:

( )1 a a

ria tΦ→ + Φ

32

Το µιγαδικό συζυγές αυτού του µετασχηµατισµού είναι:

( )* * *1 ( )a a

ria tΦ → − Φ

πρέπει επίσης να είναι το απειροστό στοιχείο µιας αναπαράστασης της G. Έστι η συζυγής αναπαράσταση της r έχει πίνακες αναπαράστασης:

( ) ( )* Ta a a

r rrt t t= − = −

Επειδή *ΦΦ είναι αναλλοίωτο σε µοναδιακούς µετασχηµατισµούς, είναι πιθανό ο συνδυασµός πεδίων µετασχηµατιζοµένων στις

αναπαραστάσεις r και r να αποτελεί µια αναλλοίωτη οµάδα.

Είναι πιθανό η αναπαράσταση r να µπορεί να είναι ισοδύναµη µε την r , αν υπάρχει ένας µοναδιακός µετασχηµατισµός U, τέτοιος ώστε:

†a a

rrt Ut U=

Υπό την προϋπόθεση ότι η αναπαράσταση r είναι πραγµατική. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει ένας πίνακας τέτοιος ώστε, αν η και ξ

ανήκουν στην αναπαράσταση r, ο συνδυασµός:

ab a bG n ξ

33

να είναι ένα αναλλοίωτο. Είναι χρήσιµο µερικές φορές να ξεχωρίσουµε την περίπτωση στην οποία ab

G είναι συµµετρικός από αυτή στην

οποία ab

G είναι αντισυµµετρικός . Στην πρώτη περίπτωση η αναπαράσταση είναι αυστηρά πραγµατική, στην τελευταία είναι ψευτοπραγµατική

(pseudoreal). Και οι δύο περιπτώσεις συναντώνται ήδη στην SU(2). Ο αναλλοίωτος συνδυασµός δύο ανυσµάτων είναι a a

u w , έτσι το άνυσµα

είαν πραγµατική αναπαράσταση. Ο αναλλοίωτος συνδυασµός δύο spinors είναι ab

a bnε ξ , έτσι ο spinor είναι µια pseudoeal αναπαράσταση.

Με αυτή την γλώσσα µπορούµε να συζητήσουµε τις απλούστερες αναπαραστάσεις των κλασικών οµάδων. Στην SU(N), η βασική µη αναγώγιµη

αναπαράσταση (που συχνά ονοµάζεται θεµελιώδης αναπαράσταση) είναι το Ν-διαστατο µιγαδικό άνυσµα. Για Ν>2 αυτή η αναπαράσταση είναι

µιγαδική, έτσι ώστε υπάρχει µια δεύτερη ισοδύναµη, αναπαράσταση N . (Στην SU(2) αυτή η αναπαράσταση είναι η pseudoreal spinor

αναπαράσταση.) Στην SO(N) , το βασικό Ν-διάστατο άνυσµα είναι µια αυστηρά πραγµατική αναπαράσταση. Στην ( )p

S N , το βασικό Ν-

διάστατο άνυσµα είναι µια pseudoreal αναπαράσταση.

Μια άλλη µη αναγώγιµη αναπαράσταση, που εµφανίζεται για κάθε απλή άλγεβρα Lie, είναι αυτή στην οποία ανήκουν οι γεννήτορες της

άλγεβρας. Αυτή η αναπαράσταση ονοµάζεται Adjoint representation και υποδηλώνεται από το r =G . Οι πίνακες της αναπαράστασης δίνονται

από τις σταθερές δοµής:

( )b abc

G act if=

Με αυτό τον ορισµό, η δήλωση ότι ικανοποιεί την άλγεβρα Lie

34

( ) ( ),b c bcd d

G G G alalt t if t =

είναι απλά µια άλλη µορφή της ταυτότητας Jacobi.

Επειδή οι σταθερές δοµής είναι πραγµατικές και αντισυµµετρικές, ( )*a a

G Gt t= −

έτσι η adjoint αναπαράσταση είναι πάντα µια πραγµατική αναπαράσταση. Από τις περιγραφές των οµάδων Lie που δόθηκαν παραπάνω, η

διάσταση της adjoint αναπαράστασης ( )d G δίνεται, για τις κλασικές οµάδες, από:

( )

2 1 ( )

( 1) / 2 ( )

( 1) / 2 ( )p

N for SU N

d G N N for SO N

N N for S N

−

= − +

Η ταυτοποίηση των abcf σαν πίνακες αναπαράστασης µας δίνει την δυνατότητα να δούµε διορατικότερα κάποιες από τις ποσότητες που

εισήχθησαν στα προηγούµενα. Η συναλλοίωτη παράγωγος που δρα σε πεδίο, στην adjoint αναπαράσταση είναι:

( )b b abc b

a a G c a cacD igA t gf Aµ µ µ µ µΦ = ∂ Φ − Φ = ∂ Φ + Φ

Έτσι µπορούµε να αναγνωρίσουµε την απειροστή µορφή του µετασχηµατισµού βαθµίδας ενός ανυσµατικού πεδίου ως:

35

( )1 aa aA A D a

gµ µ µ→ +

Η εξίσωση κίνησης του πεδίου βαθµίδας µπορεί να ξαναγραφεί σαν:

( )aaD F gJµ µν ν= −

Και στις δύο αυτές εκφράσεις, οι όροι που φαίνονται αυθαίρετοι και περιλαµβάνουν τις abcf προκύπτουν φυσικά σαν κοµµάτι της

συναλλοίωτης παραγώγου. Μια επιπρόσθετη ταυτότητα που εξάγεται από την αντισυµµετρικότητα του διπλού µεταθέτη των συναλλοίωτων

παραγώγων είναι:

[ ], ,D D Dµνλσν λ σε

Αυτή η ποσότητα µηδενίζεται από την ολική της αντισυµµετρία, όµοια µε τα προηγούµενα. Αυτό το αποτέλεσµα µπορεί να συµπτυχθεί στην

ταυτότητα:

( ) 0a

D Fµνλσ

ν λσε =

36

Αυτή η εξίσωση, που ονοµάζεται ταυτότητα Bianchi µιας Αβελιανής θεωρίας βαθµίδας, είναι ένα ανάλογο των οµογενών εξισώσεων Maxwell

της ηλεκτροδυναµικής.

Ο Τελεστής Casimir

Στην SU(2) χαρακτηρίσαµε τις αναπαραστάσεις από την ιδιοτιµή του συνολικού του συνολικού spin 2J . Στην πραγµατικότητα, για κάθε απλή

άλγεβρα Lie, ο τελεστής 2 a aT T T= µετατίθεται µε όλους τους γεννήτορες της οµάδας:

( ) ( ) { }, ,b a a bac c a a bac c bac c aT T T if T T T if T f T T = + =

η οποία µηδενίζεται από την αντισυµµετρία των abcf .

Με άλλα λόγια, το 2T είναι ένα αναλλοίωτο της άλγεβρας. Αυτό υποδηλώνει ότι το 2T παίρνει µια σταθερή τιµή σε κάθε µη αναγώγιµη

αναπαράσταση. Έτσι ο πίνακας αναπαράστασης του 2T είναι ανάλογος του µοναδιαίου πίνακα:

2 ( )a a

r rt t C r I=

όπου Ι είναι ο ( ) ( )d r d r× µοναδιαίος πίνακας, και 2 ( )C r µια σταθερά που ονοµάζεται δευτεροβάθµιος τελεστής Casimir, για κάθε

αναπαράσταση. Για την adjoint αναπαράσταση, η παραπάνω σχέση είναι βολικό να γραφεί σαν:

37

2 ( )acd bcd abf f C G δ=

Τελεστές Casimir εµφανίζονται πολύ συχνά στους υπολογισµούς επάνω στις µη Αβελιανές θεωρίες βαθµίδας. Επιπροσθέτως, το

αντίστοιχο αναλλοίωτο ( )C r σχετίζεται απλά µε τον τελεστή Casimir. Κατά αντιπαραβολή των παραπάνω σχέσεων βρίσκουµε:

2( ) ( ) ( ) ( )d r C r d G C r=

Έτσι θα ήταν χρήσιµο να υπολογίσουµε το 2 ( )C r για τις απλούστερες SU(N) αναπαραστάσεις.

Για την SU(2), η θεµελιώδης 2-διαστατη αναπαράσταση είναι η spinor αναπαράσταση η οποία δίνετε σε όρους πινάκων του Pauli από τις:

22

aa

tσ

=

Αυτές ικανοποιούν την σχέση:

2 2

1,

2

a b abtr t t δ =

Θα διαλέξουµε τους γεννήτορες της SU(N) έτσι ώστε 3 από αυτούς να είναι οι αντίστοιχοι του Pauli, δηλαδή αυτοί που θα δρουν στις δυο

πρώτες συνιστώσες του Ν ανύσµατος ξ. Μετά για κάθε πίνακα της θεµελιώδους αναπαράστασης έχουµε:

38

1,

2

a b ab

N Ntr t t δ =

Αυτή η σύµβαση καθορίζει τις τιµές των ( )C r και 2 ( )C r για όλες τις µη αγώγιµες αναπαραστάσεις της SU(N). Για τις θεµελιώδεις

αναπαραστάσεις Ν και N , η ( )C N και η 2 ( )C N είναι:

1( )

2C N = ,

2

2

1( )

2

NC N

N

−=

Για να υπολογίσουµε τον τελεστή Casimir για την adjoint αναπαράσταση, κτίζουµε αυτή την αναπαράσταση από το γινόµενο των Ν και

N . Ας συζητήσουµε πρώτα το γινόµενο από µη αναγώγιµες αναπαραστάσεις περισσότερο γενικά. Το ευθύ γινόµενο δύο αναπαραστάσεων r1

και r2 είναι µια αναπαράσταση διάστασης 1 2( ) ( )d r d r . Ένα αντικείµενο που µετατίθεται σύµφωνα µε αυτή την αναπαράσταση µπορεί να γραφεί

σαν ένας τανυστής pq

Ξ , στο οποίο ο πρώτος δείκτης µετατίθεται σύµφωνα µε την r1 και ο δεύτερος σύµφωνα µε την r2 . Γενικά τέτοια γινόµενα

µπορούν να αναλυθούν σε ένα ευθύ άθροισµα από µη αναγώγιµες αναπαραστάσεις. Συµβολικά, γράφουµε:

1 2 i

i

r r r× =∑

Οι πίνακες αναπαράστασης στην αναπαράσταση 1 2r r× είναι:

1 2 1 21 1a a a

r r r rt t t× = ⊗ + ⊗

39

όπου ο πρώτος πίνακα του κάθε γινοµένου δρα στον πρώτο δείκτη του pq

Ξ και ο δεύτερος πίνακας δρα πάνω στον δεύτερο δείκτη.

Ο τελεστής Casimir στην αναπαράσταση του γινοµένου είναι:

( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2

2 2 2

1 2 1a a a a a

r r r r r rt t t t t× = ⊗ + ⊗ + ⊗

Παίρνουµε το ίχνος, µιας και οι 1

a

rt είναι traceless, το ίχνος του δεύτερου όρου είναι µηδέν. Τότε:

( ) ( )1 2

2

2 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a

r rtr t C r C r d r d r× = +

από την άλλη µεριά έχουµε ότι:

( )1 2

2

2 ( ) ( )a

r r i i

i

tr t C r d r× =∑

Από τις δύο τελευταίες βρίσκουµε µια χρήσιµη ταυτότητα για το 2 ( )C r .

Τώρα εφαρµόζουµε αυτή την ταυτότητα για το γινόµενο των αναπαραστάσεων Ν και N της SU(N). Σε αυτή την περίπτωση, ο τανυστής

pqΞ µπορεί να περιέχει έναν όρο αντίστοιχο του αναλλοίωτου pqδ . Οι εναποµένουσες ( )2 1N − ανεξάρτητες συνιστώσες

pqΞ

40

µετασχηµατίζονται σαν γενικοί traceless ΝxN τανυστές. Οι πίνακες που έχουν αυτούς τους µετασχηµατισµούς συγκροτούν την adjoint

αναπαράσταση της SU(N) . Σε αυτή την περίπτωση έχουµε:

( )21 1N N N× = + −

Για αυτή την ‘αποσύνθεση’ µε βάση τις παραπάνω σχέσεις οδηγούµαστε στην ταυτότητα:

( )2

2 2

2

12 0 ( ) 1

2

NN C G N

N

−= + −

Έτσι για την SU(N):

2 ( ) ( )C G C G N= =

Τα παραδείγµατα που συζητήσαµε σε αυτή την παράγραφο, συνδυαζόµενα µε βασικές οµαδοθεωρητικές έννοιες που περιγράψαµε, εµπεριέχουν

ήδη αρκετή πληροφορία έτσι ώστε να ανταπεξέλθουµε στους σηµαντικούς υπολογισµούς φυσικού ενδιαφέροντος στις µη Αβελιανές θεωρίες

βαθµίδας.

41

Θεωρίες Βαθµίδας µε Αυθόρµητη Ρήξη Συµµετρίας (S.S.B)

Σε αυτή την εργασία έχουµε συζητήσει τρία διαφορετικά είδη στα οποία οι συµµετρίες µπορούν να πραγµατωθούν σε µια κβαντική

θεωρία πεδίου. Η απλούστερη περίπτωση είναι η καθολική συµµετρία η οποία είναι προφανής, οδηγώντας σε πολλαπλέτες σωµατιδίων µε

καθορισµένες αλληλεπιδράσεις. Μια δεύτερη πιθανότητα είναι µια καθολική συµµετρία που σπάει αυθόρµητα. Μετά τα ρεύµατα συµµετρίας

δεν σέβονται τη συµµετρία και τα σωµατίδια δεν συνθέτουν προφανείς συµµετρικές πολλαπλέτες. Αντ’ αυτού, µια τέτοια θεωρία περιέχει

άµαζα σωµατίδια, τα µποζόνια Goldstone, ένα για κάθε γεννήτορα της αυθόρµητα σπασµένης συµµετρίας. Η Τρίτη περίπτωση είναι αυτής της

τοπικής συµµετρίας ή συµµετρίας βαθµίδας. Όπως είδαµε και στο πρώτο κεφάλαιο, µια τέτοια συµµετρία απαιτεί την ύπαρξη ενός άµαζου

διανυσµατικού πεδίου για κάθε γεννήτορα της συµµετρίας, και οι αλληλεπιδράσεις ανάµεσα σε αυτά τα πεδία είναι ισχυρά καθορισµένες.

Έχει γίνει τώρα φυσικό να αναρωτηθούµε για ένα τέταρτο ενδεχόµενο: Τι συµβαίνει, αν εισάγουµε και την τοπική αναλλοιώτητα

βαθµίδας και την αυθόρµητη ρήξη συµµετρίας στην ίδια θεωρία? Σε αυτό το κεφάλαιο, θα βρούµε ότι αυτός ο συνδυασµός από συστατικά

οδηγεί σε νέες δυνατότητες στην κατασκευή προτύπων κβαντικών θεωριών πεδίου. Θα δούµε ότι το φαινόµενο του αυθόρµητου σπασίµατος

συµµετρίας προϋποθέτει διανυσµατικά µποζόνια βαθµίδας που αποκτούν µάζα. Τέλος πάντων, οι αλληλεπιδράσεις αυτών των µποζονίων µε

µάζα είναι ακόµη δεσµευµένες από την παραπάνω συµµετρία βαθµίδας, και αυτές οι συσχετίσεις µπορούν να έχουν παρατηρήσιµες συνέπειες.

Στη φυσική των στοιχειωδών σωµατιδίων, η εφαρµογή της αρχής της αυθόρµητης ρήξης τοπικής συµµετρίας είναι το τρέχον αποδεκτό

πρότυπο των ασθενών αλληλεπιδράσεων. Αυτό το πρότυπο που οφείλεται στους Glashow, Weinberg, και Salam εισάγεται στα επόµενα . Εκεί

θα δούµε ότι το πρότυπο αυτό δίνει ένα σύνολο από ακριβείς και επιτυχείς προβλέψεις για τα φαινόµενα που απαντώνται στις ασθενείς

αλληλεπιδράσεις. Είναι αξιοσηµείωτο, ότι το πρότυπο αυτό επίσης ενοποιεί τις ασθενείς αλληλεπιδράσεις µε τον ηλεκτροµαγνητισµό σε µια

απλή µεγαλύτερη θεωρία βαθµίδας.

42

Ο Μηχανισµός Higgs.

Σε αυτό το σηµείο αναλύουµε µερικά απλά παραδείγµατα θεωριών βαθµίδας µε αυθόρµητη ρήξη συµµετρίας. Αρχίζουµε µε µια Αβελιανή

θεωρία βαθµίδας και µετά µελετώνται διάφορα παραδείγµατα από µη Αβελιανά πρότυπα.

Ένα Αβελιανό παράδειγµα

Σαν πρώτο παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα µιγαδικό βαθµωτό πεδίο που συζευγνύται και µε τον εαυτό του και µε το

ηλεκτροµαγνητικό πεδίο. Για ένα τέτοιο πεδίο έχουµε την Lagragian:

( ) ( ) ( )2 21

4L F D Vµν µ= − + Φ − Φ

µε

D ieAµ µ µ= ∂ +

Αυτή η Lagrangian είναι αναλλοίωτη κάτω από τοπικούς U(1) µετασχηµατισµούς:

( )( ) ( )ia xx e xΦ → Φ

43

1( )A A a x

eµ µ µ→ − ∂

Αν διαλέξουµε το δυναµικό στη L να έχει την µορφή:

( ) ( )22 * *

2V

λµΦ = − ΦΦ + ΦΦ

µε 2µ >0, το πεδίο Φ θα αποκτήσει αναµενόµενη τιµή στο κενό και η U(1) καθολική συµµετρία θα σπάσει αυθόρµητα. Το ελάχιστο αυτού του

δυναµικού συντελείται στο:

1/ 2

2

0

µλ

Φ = Φ =

η σε κάθε άλλη τιµή που σχετίζεται µε την U(1) συµµετρία.

Ας αναπτύξουµε την Lagrangian γύρω από την κατάσταση του κενού.

Αναλύουµε το µιγαδικό πεδίο ως:

( )0 1 2

1( ) ( ) ( )

2x x i xΦ = Φ + Φ + Φ

44

Το δυναµικό ξαναγράφεται :

( ) 4 2 2 3

1

1 12 ( )

2 2i

V Oµ µλ

Φ = − + Φ + Φ

έτσι ώστε το πεδίο 1( )xΦ να αποκτά µάζα: 2m µ= και το πεδίο 2 ( )xΦ να είναι το µποζόνιο Goldstone.

Αλλά τώρα ας αναρωτηθούµε πως ο όρος της κινητικής ενέργειας του Φ µετασχηµατίζεται. Μπορούµε να γράψουµε τον όρο της

κινητικής ενέργειας του Φ ως:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

1 2 0 2 0

1 12 ...

2 2D e A e A A

µ µµ µ µ µ µΦ = ∂ Φ + ∂ Φ + Φ ∂ Φ + Φ +

όπου έχουµε παραλείψει όρους κυβικούς και τέταρτης τάξης των πεδίων Aµ και i

Φ . Ο τελευταίος όρος που εµφανίζεται στην L είναι ο όρος

µάζας για το φωτόνιο:

21

2A

L m A Aµ

µ∆ =

όπου η µάζα: 2 2 2

02A

m e= Φ

45

Πρέπει να σηµειωθεί ότι το πρόσηµο αυτού του όρου είναι το σωστό, οι φυσικές χωρικές συντεταγµένες του Aµ εµφανίζονται ως:

( )21

2

i

AL m A∆ = −

µε το σωστό τρόπο για έναν όρο δυναµικές ενέργειας.

Όπως έχουµε δει για την µη Αβελιανή περίπτωση, χρησιµοποιούµε το επιχείρηµα ότι ένα µποζόνιο βαθµίδας δεν µπορεί να αποκτήσει

µάζα, εκτός αν αυτός ο όρος σχετίζεται µε κάποιον πόλο στο πλάτος σκέδασης του κενού.

Ένα πρότυπο µε µια συνεχή συµµετρία που σπάει αυθόρµητα πρέπει να έχει άµαζα Goldstone µποζόνια. Αυτά τα βαθµωτά σωµατίδια

έχουν τους κβαντικούς αριθµούς των ρευµάτων της συµµετρίας και για αυτό έχουν ακριβώς τους σωστούς κβαντικούς αριθµούς για να

εµφανίζονται σαν ενδιάµεσες καταστάσεις στην πόλωση του κενού. Στο πρότυπο που τώρα συζητούµε, µπορούµε να δούµε τους πόλους που

προκύπτουν µε σαφήνεια µε τον παρακάτω τρόπο: ο όρος κορυφής που συζευγνει το µποζόνιο βαθµίδας µε το µποζόνιο Goldstone είναι:

( )02A

i e ik m kµ µΦ − =

Αν αντιµετωπίσουµε τον όρο µάζας σαν µια κορυφή στη θεωρία διαταραχών, τότε ο κυρίαρχος όρος που συνεισφέρει στο πλάτος πόλωσης του

κενού δίνει την έκφραση:

( ) ( )2 2

2 2A A A A

i k kim g m k m k im g

k k

µ νµν µ ν µν + − = −

46

Παρόλο το γεγονός ότι το Goldstone παίζει σηµαντικό ρόλο στην θεωρία, δεν εκφράζει κάποιο φυσικό σωµατίδιο και µπορούµε να το

αποµακρύνουµε µε κατάλληλη επιλογή της βαθµίδας, δηλαδή να διαλέξουµε το ( )a x µε τέτοιο τρόπο ώστε το Φ να παίρνει πραγµατικές τιµές.

Με αυτή την επιλογή η Lagrangian γίνεται:

( ) ( ) ( )2 2 2 21

4L F e A A V

µµν µ µ= − − ∂ Φ + Φ − Φ

Αλγόριθµος του Μηχανισµού Higgs.

Ο µηχανισµός Higgs επεκτείνεται αυτόµατα και σε συστήµατα µε µη Αβελιανές συµµετρίες βαθµίδας. ∆εν είναι δύσκολο να παράγουµε την

γενική σχέση από την οποία ένα σύνολο από αναµενόµενες τιµές στο κενό βαθµωτών πεδίων, οδηγεί στην εµφάνιση µάζας για τα µποζόνια

βαθµίδας. Ας εξάγουµε αυτή τη σχέση και µετά ας την εφαρµόσουµε σε µερικά παραδείγµατα.

Έστω λοιπόν ότι έχουµε ένα σύνολο από βαθµωτά πεδία i

Φ , και µια L αναλλοίωτη σε µια συνεχή οµάδα συµµετρίας G, η οποία αναπαρίσταται

από τον µετασχηµατισµό:

( )1 a a

i jij

ia tΦ → + Φ

47

Για τους γεννήτορες της οµάδας γράφουµε:

a a

ij ijt iT=

Αν προάγουµε την οµάδα συµµετρίας σε µια τοπική συµµετρία βαθµίδας, τότε η συναλλοίωτη παράγωγος των i

Φ θα είναι:

( ) ( )a a a aD igA t gA Tµ µ µ µ µΦ = ∂ − Φ = ∂ + Φ

Άρα ο όρος κινητικής ενέργειας θα είναι:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1

2 2

a a a b a b

i i i ij j i iD gA T g A A T T

µµ µ µ µ µΦ = ∂ Φ + ∂ Φ Φ + Φ Φ

Ας αφήσουµε τώρα τα i

Φ να αποκτήσουν αναµενόµενες τιµές στο κενό, τότε ο τελευταίο όρος έχει δοµή όρου µάζας και µας δίνει:

21

2

a b

abL m A A

µµ∆ =

48

µε τον πίνακα µάζας να είναι:

( ) ( )2 2

0 0

a b

ab i im g T T= Φ Φ

κάθε διαγώνιο στοιχείο του πίνακα έχει τη µορφή:

( )22 2

0 0a

aam g T= Φ ≥

Έτσι, γενικεύοντας, όλα τα µποζόνια βαθµίδας θα αποκτήσουν θετικές µάζες. Όµως µπορεί µερικοί συγκεκριµένοι γεννήτορες aT της G να

αφήνουν αναλλοίωτο το κενό:

0 0aT Φ =

Σε αυτή την περίπτωση, οι γεννήτορες aT δεν συνεισφέρουν στην προηγούµενη εξίσωση και το αντίστοιχο µε αυτούς µποζόνιο βαθµίδας

παραµένει άµαζο.

Εισάγουµε λοιπόν την αναµενόµενη τιµή στο κενό στον δεύτερο όρο της L και έχουµε για τον όρο αλληλεπίδρασης:

( )2

0

a a

i iL g A Tµ µ∆ = ∂ Φ Φ

49

Μη Αβελιανά Παραδείγµατα.

Ας εφαρµόσουµε τώρα τον γενικό φορµαλισµό σε συγκεκριµένα παραδείγµατα. Έστω ότι έχουµε σαν οµάδα συµµετρίας την SU(2). Η

συναλλοίωτη παράγωγος που δρα στο Φ είναι:

( )a aD igAµ µ µ τΦ = ∂ − Φ

όπου: 2

aa σ

τ =

Το τετράγωνο αυτής της έκφρασης δίνει τον όρο της κινητικής ενέργειας για το πεδίο Φ.

Αν το Φ αποκτά µια αναµενόµενη τιµή στο κενό, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ελευθερία της SU(2) στις στροφές για να γράψουµε αυτή

την αναµενόµενη τιµή ως:

01

2 υ

Φ =

Μετά το µποζόνιο βαθµίδας παίρνει µάζα από τον όρο:

50

( )2 2

010 ...

2

a b a bD g A A

µµ µυ τ τ

υ

Φ = +

µε τη βοήθεια των σχέσεων: { } 1,

2

a b abτ τ δ=

ο όρος µάζας γίνεται:

2 2

8

a bgL A A

µµ

υ∆ =

άρα όλα τα µποζόνια βαθµίδας παίρνουν µάζα:

2A

gm

υ=

∆ηλαδή και οι τρεις γεννήτορες της SU(2) σπάνε µε τον ίδιο τρόπο.

51

Τι συµβαίνει όµως αν πάρουµε το Φ να µετασχηµατίζεται σύµφωνα µε την διανυσµατική αναπαράσταση της SU(2). Τότε πρέπει να εισάγουµε

την συναλλοίωτη παράγωγο:

b a

a a abc cD g Aµ µ µε τΦ = ∂ Φ + Φ

Παίρνοντας το τετράγωνο αυτού του όροι έχουµε τον όρο της κινητικές ενέργειας και από εκεί έχουµε για τον όρο µάζας:

( )( )2

22

0

1...

2 2

b

abc c

gL D Aµ µε∆ = Φ = Φ +

Αν ένα διάνυσµα της SU(2) αποκτά µια αναµενόµενη τιµή στο κενό 0Φ , και διαλέξουµε τις συντεταγµένες µας έτσι ώστε στην διεύθυνση 3 να

παραµένει αναλλοίωτο, έχουµε:

( )0 3c ccVδΦ = Φ =

και από εδώ βρίσκουµε για τον όρο µάζας:

( ) ( ) ( )( )2 2

2 2 22 2 1 1

32 2

b

ab

g gL V A V A Aµ µ µε∆ = = +

52

Έτσι τα µποζόνια που σχετίζονται µε τους γεννήτορες 1 και 2 αποκτούν µάζες:

1 2m m gV= =

ενώ το µποζόνιο που αντιστοιχεί στον γεννήτορα 3 παραµένει άµαζο. Και είναι δελεαστικό να ερµηνεύσουµε αυτό το πρότυπο σαν ένα πρότυπο

που περιγράφει το φωτόνιο, όµως η φύση έχει διαλέξει έναν διαφορετικό από αυτόν τρόπο.

Προχωράµε σε ένα ποιο πολύπλοκο παράδειγµα. Ας υποθέσουµε µια SU(3) θεωρία βαθµίδας µε ένα βαθµωτό πεδίο στην adjoint

αναπαράσταση. Η συναλλοίωτη παράγωγος του πεδίου Φ παίρνει την µορφή:

abc b

a a cD gf Aµ µ µΦ = ∂ Φ + Φ

και έτσι η µάζα του πεδίου βαθµίδας προκύπτει από τον όρο:

( )2

2

2

abc b

c

gL f Aµ∆ = Φ

µπορούµε να γράψουµε το παραπάνω περισσότερο καθαρά, ορίζοντας την ποσότητα:

c

ctΦ = Φ

53

όπου ct είναι οι 3x3 traceless ερµητιανοί πίνακες που αναπαριστούν τους γεννήτορες της SU(3).

Μπορούµε να γράψουµε λοιπόν για τον όρο µάζας:

, ,a b a bL gtr t t A A

µµ

∆ = − Φ Φ

διότι:

2

, ,

,

, ,

a a c acb b

c c

b bca a

c

a b acb bca a b

c

t t t i f t

t i f t

t t f f t t

Φ = Φ = Φ

Φ = Φ

Φ Φ = − Φ

2 1, ,

2

a b acb bca ab

ctr t t f f δ Φ Φ = −Φ

Άρα:

54

( )2

22 21

2 2

acb bca a b ab b

c abc c

gL g f f A A f A

µµ µδ∆ = − Φ = Φ

Ας βάλουµε τώρα το Φ να αποκτά µια αναµενόµενη τιµή στο κενό :

0Φ =Φ

Ξέρουµε ότι το 0Φ είναι traceless και διαλέγουµε τον προσανατολισµό:

0

1

1

2

0

0

Φ = Φ −

Αυτός ο πίνακας µετατίθεται µε τους 4 γεννήτορες της SU(3):

55

0

0 0

a

at

τ =

, 8

11

12 3

2

0

0

t

= −

Έτσι η αναµενόµενη τιµή στο κενό, σπάει την SU(3) σε SU(2)xU(1) και αφήνει τα µποζόνια που αντιστοιχούν σε αυτούς τους 4 γεννήτορες

άµαζα.

Οι εναποµείναντες γεννήτορες της SU(3) :

4

0 0 11

0 0 02

1 0 0

t

=

5

0 01

0 0 02

0 0

i

t

i

− =

6

0 0 01

0 0 12

0 1 0

t

=

7

0 0 01

0 02

0 0

t i

i

= −

56

αποκτούν µάζα ( )22 3m g= Φ

Ας ελέγξουµε το παραπάνω για έναν από αυτούς, έχουµε:

4

0

0 0 1 1 1 0 0 1

, 0 0 0 1 1 0 0 02

1 0 0 1 0 02 2

0 0

0 0

t

Φ Φ = − ⇒ − −

4

0

0 0 2 0 0 1 0 0 3

, 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2

1 0 0 2 0 0 3 0 0

t

− − Φ Φ Φ = − =

−

57

2

4 4

0 0

9 0 0

, , 0 0 04

0 0 9

t t

− Φ Φ Φ =

−

( )2

22 4 4 2 2

0 0

1, , 18 9

4 2g tr t t g g

Φ − Φ Φ = − − = Φ

Άρα: ( )22 3m g= Φ

Μια άλλη πιθανή έκφραση για το 0Φ είναι:

0

1

1

0

0

0

Φ = Φ −

Σε αυτή την περίπτωση µόνο οι 3t και 8

t µετατίθενται µε το 0Φ , έτσι η αρχική SU(3) σπάει σε U(1)xU(1) . Με αντικατάσταση, µπορούµε να

προσδιορίσουµε ότι τα µποζόνια βαθµίδας που αντιστοιχούν στους εναποµείναντες γεννήτορες της SU(3) αποκτούν µάζες:

58

( )21 2 2, : 2t t m g= Φ

( )24 5 6 7 2, , , :t t t t m g= Φ

Ακόµη µεγαλύτερες οµάδες συµµετρίας προσφέρουν µια ευρύτερη ποικιλία από πρότυπα σπασίµατος συµµετρίας, και ποιο πολύπλοκους

πίνακες µάζας.

Τυπική Περιγραφή του Μηχανισµού Higgs

Από το σηµείο αυτό, η µελέτη µας για τον Μηχανισµό Higgs έχει βασιστεί στην ανάλυση της Lagrangian βαθµωτού πεδίου που

συζεύγνυται µε τα πεδία βαθµίδας. Θεωρίες βαθµωτών πεδίων παρέχουν τα απλούστερα παραδείγµατα συστηµάτων µε αυθόρµητη ρήξη

συµµετρίας, και οι ακριβείς υπολογισµοί που αφήνουν είναι χρήσιµοι για νοητικές συλλήψεις.

Για να αντεπεξέλθουµε σε αυτή την ανάλυση, θα χρειαστεί να εισάγουµε διάφορες ιδέες από την παραπάνω συζήτηση. Αρχικά θα

συζητήσουµε σε γενικούς όρους τις σχέσεις ανάµεσα στα µποζόνια βαθµίδας και τα Goldstone bosons, και τα καθολικά ρεύµατα. Μετά θα

χρησιµοποιήσουµε αυτή την πληροφορία για να κατασκευάσουµε τον πίνακα µάζας για τα gauge bosons χωρίς να κάνουµε απευθείας χρήση της

Lagrangian.

Έστω ότι αρχικά έχουµε µια τυχαία θεωρία πεδίου 0L µε µια καθολική συµµετρία G. Μπορούµε να παράγουµε το ρεύµα Noether που

σχετίζεται µε την συµµετρία G µεταβάλλοντας την Lagrangian µέσω ενός τοπικού µετασχηµατισµού βαθµίδας µε απειροστή παράµετρο ( )a x .

Η ποιο γενική µεταβολή της 0L πρέπει να παίρνει τη µορφή:

59

( )0

aL a J µµδ = − ∂

για κάποια σύνολα ανυσµατικών τελεστών aJ

µ που κτίζονται από τα πεδία της 0L .

Η αρχή των µεταβολών µας λέει:

0aJ

µµ∂ =

µπορούµε να ορίσουµε τα aJ

µ σαν τα ρεύµατα Noether της καθολικής συµµετρίας βαθµίδας.

Προάγουµε τώρα τη θεωρία µας από global σε local. Η Lagrangian σε όρους τάξης g παίρνει την µορφή:

2

0 ( )a aL L gA J O A

µµ= + +

προσθέσαµε αυτόν τον όρο για να αντισταθµίζεται η µεταβολή εξαιτίας του µετασχηµατισµού του aAµ .

Αν η global συµµετρία για την 0L είναι spontaneously broken τότε αυτή η θεωρία περιέχει Goldstone bosons. Και εδώ ο aJ

µ είναι τελεστής

δηµιουργίας η καταστροφής Goldstone bosons από το κενό 0

60

Έστω η κατάσταση του Goldstone boson να είναι η kπ το aJ

µ όπως είπαµε µπορεί να δηµιουργεί ή να καταστρέφει Goldstone bosons, και το

αντίστοιχο στοιχείο πίνακα είναι:

0 ( ) ( )a a ipx

k kJ x p ip F e

µ µπ −= −

όπου a

kF είναι ένας πίνακας από σταθερές.

Τα στοιχεία του a

kF µηδενίζονται όταν τα α υποδηλώνουν έναν γεννήτορα που αντιστοιχεί σε µη σπασµένη συµµετρία.

Τα στοιχεία του a

kF που δεν µηδενίζονται συνδέουν τα ρεύµατα της συµµετρίας που σπάει αυθόρµητα µε τα αντίστοιχα Goldstone bosons.

Επειδή τα ρεύµατα διατηρούνται έχουµε:

20 0 ( ) ( )a a ipx

k kJ x p p F e

µµ π −= ∂ = −

δηλαδή τα στοιχεία του πίνακα που δεν µηδενίζονται ικανοποιούν τη σχέση 2 0p = , κάτι που συνεπάγεται ότι είναι massless, και αυτή είναι

άλλη µια απόδειξη του θεωρήµατος Goldstone.

Για τη βαθµωτή θεωρία:

a a

i ij jJ Tµ

µ= ∂ Φ Φ

εισάγοντας την αναµενόµενη τιµή στο κενό έχουµε:

61

( )0

a a

i iJ T

µµ= ∂ Φ Φ

και οδηγούµαστε στα στοιχεία πίνακα:

( )00 ( ) ( )a a ipx

i iJ x p ip T e

µ µ −Φ = − Φ

και από αυτή τη σχέση µπορούµε να ορίσουµε:

0

a

i jF = Φ

για τον µηχανισµό Higgs στην ασθενή σύζευξη βαθµωτού πεδίου. Ο δείκτης i τρέχει τις συνιστώσες του πεδίου.

Αν πάρουµε ξανά την περίπτωση της SU(2) και διαλέξουµε την κατεύθυνση 3, έτσι ώστε να αφήνει το κενό αναλλοίωτο, τότε οι γεννήτορες 1T

και 2T είναι spontaneously broken και οι συνιστώσες του πεδίου 1Φ και 2Φ σχετίζονται µε τα Goldstone bosons, και χρησιµοποιώντας ότι:

( )a abc

bcT ε=

βρίσκουµε ότι: ( ) 0 3

0

a ba

abcbT Vε εΦ = Φ =

και το αντίστοιχο πλάτος πόλωσης του κενού θα είναι:

62

( )2 2

2( )ab

k ki g m O k

k

µ νµν

− +

Το πλάτος µετατροπής ενός µποζονίου βαθµίδας σε Goldstone boson είναι:

a

jgk Fµ−

Η συνεισφορά του πόλου κ = 0 στην πόλωση του κενού είναι:

( ) ( )2

a b

j j

igk F gk F

k

µ ν−

Συνδυάζοντας την παραπάνω µε το αντίστοιχο αποτέλεσµα που είχαµε βρει

2

2ab

k kim g

k

µ νµν

−

βρίσκουµε :

2 2 a b

ab j jm g F F=

Έτσι στην περίπτωση που η συµµετρία σπάει από το βαθµωτό πεδίο, αυτό το αποτέλεσµα γίνεται:

( ) ( )2 2

0 0

a b

ab i im g T T= Φ Φ

63

Η θεωρία των Glashow – Weinberg – Salam για τις ασθενείς

αλληλεπιδράσεις

Τώρα πλέον, µετά την απαραίτητη εισαγωγή στις έννοιες των τοπικών συµµετριών, και της αυθόρµητης ρήξης αυτών, είµαστε έτοιµοι

να γράψουµε την spontaneously broken θεωρία βαθµίδας που δίνει τη σωστή πειραµατική περιγραφή των ασθενών αλληλεπιδράσεων. Ένα

πρότυπο το οποίο εισήχθη από τους Glashow, Weinberg και Salam. Όπως το προηγούµενο πρότυπο της SU(2) που είδαµε, αυτό το πρότυπο µας δίνει µια

ενοποιηµένη περιγραφή των ασθενών µε τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις, στις οποίες το άµαζο φωτόνιο αντιστοιχεί σε έναν συνδυασµό των

γεννητόρων της συµµετρίας που δεν έχουν σπάσει.

Ξεκινάµε ξανά µε µια SU(2) θεωρία βαθµίδας. Για να σπάσει αυτή η συµµετρία αυθόρµητα εισάγουµε ένα βαθµωτό πεδίο στην spinor

αναπαράσταση της SU(2). Όµως ξέρουµε ότι η θεωρία αυτή οδηγεί σε άµαζα µποζόνια. Για το λόγω αυτό εισάγουµε και µια U(1) συµµετρία βαθµίδας. Και

κάτω από αυτή τη συµµετρία προσθέτουµε στο βαθµωτό πεδίο φορτίο +1/2. Έτσι ο συνολικός µετασχηµατισµός βαθµίδας είναι:

/ 2a a

ia ie e

τ βΦ→ Φ

Αν το βαθµωτό πεδίο αποκτά µια αναµενόµενη τιµή στο κενό της µορφής:

01

2 υ

Φ =

τότε ο µετασχηµατισµός βαθµίδας µε 1 2 0a a= = και 3a β= αφήνει το Φ αναλλοίωτο. Η θεωρία θα περιέχει ένα άµαζο µποζόνιο βαθµίδας,

που αντιστοιχεί σε αυτό το συνδιασµό γεννητόρων. Τα εναποµείναντα µποζόνια βαθµίδας θα αποκτήσουν µάζες µέσω του µηχανισµού Higgs.

64

Μάζες των µποζονίων Βαθµίδας.

Σύµφωνα µε τα προηγούµενα η συναλλοίωτη παράγωγος για την (2) (1)SU U× είναι:

'1

2

a aD igA i g Bµ µ µ µτ Φ = ∂ − − Φ

διότι οι παράγοντες των οµάδων βαθµίδας (2)SU και (1)U µετατίθενται µεταξύ τους, και έχουν διαφορετικές σταθερές σύζευξης.

Οπότε για τους όρους µάζας έχουµε:

( ) ' '01 1 1

02 2 2

a a b bL gA g B gA g B

µ µµ µυ τ τ

υ ∆ = + +

και βάζοντας 2

aa σ

τ = βρίσκουµε:

65

( ) ( ) ( )2

2 2 22 1 2 2 3 '1

2 4L g A g A gA g B

µµ µ µ

υ ∆ = + + − +

και ορίζοντας συνδυασµούς πεδίων, αντιστοιχούµε τους συντελεστές που προκύπτουν στις µάζες:

( )1 21

2W A iAµ µ µ

± = m µε µάζα 2

Wm g

υ=

( )0 3 '

2 '2

1Z gA g B

g g

µµ µ= −

+ µε µάζα 2 '2

2Z

m g gυ

= +

( )3 '

2 '2

1A gA g B

g g

µµ µ= +

+ µε µάζα 0

Am =

Αν θέλουµε να αντιστοιχίσουµε το Aµ µε το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο θα πρέπει να το αντιστοιχίσουµε µε το αντίστοιχο φορτίο της U(1) το Υ.

Και η συναλλοίωτη παράγωγος θα γίνει:

66

'a a

D igA ig YBµ µ µ µτ= ∂ − −

µε τα Wµ± και Zµ , Aµ και τους αντίστοιχους γεννήτορες έχουµε:

( ) ( ) ( )'

2 3 '2 3

2 '2 2 '2

1

2

g ggD i W T W T i Z g T g Y i A T Y

g g g gµ µ µ µ µ µ

+ + − −= ∂ − + − − − ++ +

όπου ( )1 2T T T± = ±

Από την παραπάνω συναλλοίωτη παράγωγο φαίνεται ότι το Aµ συζεύγνυται µε το ( )3T Y+ που µας δίνει το φορτίο.

Για να ταυτίσουµε τα παραπάνω µε τον ηλεκτροµαγνητισµό θέτουµε το φορτίο του ηλεκτρονίου ως:

'

2 '2

gge

g g=

+

το οποίο έχει πλέον κβαντικό αριθµό : 3Q T Y= +

και αν ορίσουµε µια γωνία µίξης W

θ θα έχουµε:

67

0 3cos sin

sin cos

W W

W W

Z A

A B

θ θ

θ θ

− =

όπου 2 '2

cosW

g

g gθ =

+ και

'

2 '2sin

W

g

g gθ =

+

και ο όρος σύζευξης για το 0Z γίνεται:

( )2 3 '2 2 '2 3 '2g T g Y g g T g Q− = + −

Με βάση τα παραπάνω µπορούµε να ξαναγράψουµε την συναλλοίωτη παράγωγο ως:

( ) ( ) ( )3 2 3sincos2

W

W

g gD i W T W T i Z T Q ieA T Yµ µ µ µ µ µθ

θ+ + − −= ∂ − + − − − +

όπου sin

W

eg

θ=

68

και οι µάζες των W, Z συνδέονται ως εξής:

cosW W Z

m mθ=

Σύζευξη µε τα φερµιόνια.

Η τελευταία συναλλοίωτη παράγωγος καθορίζει την ζεύξη των W, Z µε τα φερµιόνια. Τα W µποζόνια κάνουν ζεύξη µόνο µε αριστερόστροφης

ελικότητας quarks και leptons.

Γράφουµε για την κινητική ενέργεια των φερµιονίων:

iΨ ∂ LiΨ = Ψ ∂ RLiΨ +Ψ ∂

RΨ

Έχουµε διαφορετικό υπερφορτίο για τις αριστερόστροφες και δεξιόστροφες συνιστώσες των quarks και leptons. Για τα δεξιόστροφα 3 0T =

άρα Q Y= . Έτσι για το R

u έχουµε 2 / 3Y = + και για το R

e 1Y = − .

Για τα αριστερόστροφα πεδία έχουµε:

e

L

L

vE

e−

=

L

L

uQ

d

=

69

µε 1/ 2Y = − και 1/ 6Y = + αντίστοιχα, και 3 1

2T = ± ανάλογα µε την θέση τους.

Για τις µάζες των φερµιονίων δεν µπορούµε να γράψουµε όρους της µορφής:

( )e L L R RL m e e e e∆ = − +

γιατί δεν είναι gauge αναλλοίωτος, και αυτό συµβαίνει επειδή τα αριστερόστροφα και δεξιόστροφα (π.χ. ηλεκτρόνια) ανήκουν σε διαφορετικές

αναπαραστάσεις της SU(2) και έχουν διαφορετικά U(1) φορτία.

Αν αγνοήσουµε τις µάζες των φερµιονίων, η Lagrangian για τις ασθενείς αλληλεπιδράσεις θα έχει για τους όρους κινητικής ενέργειας τη µορφή:

LL E i D= ( ) L R

E e i D+ ( ) R Le Q i D+ ( ) L R

Q u i D+ ( ) R Ru d i D+ ( ) R

d

όπου για παράδειγµα:

LQ i D( ) '1

6

a a

L L LQ Q i igA i g B Qµ

µ µ µγ τ = ∂ − −

Αν αντικαταστήσουµε τις συναλλοίωτες παραγώγους έχουµε:

LL E i= ∂( ) L RE e i+ ∂( ) R Le Q i+ ∂( ) L RQ u i+ ∂( ) R Ru d i+ ∂( )( )0

.

R

Z E M

d

g W J W J Z J eA Jµ µ µ µ

µ µ µ µ+ + − −

+

+ + + +

70

όπου:

( )1

2L L L L

J v e u dµ µ µγ γ+ = +

( )1

2L L L L

J e v d uµ µ µγ γ− = +

( )2 2

2 2

2 2

1 1 1[ sin sin

cos 2 2

1 2 2sin sin

2 3 3

1 1 1sin sin ]

2 3 3

Z L L L W L R W R

W

L W L R W R

L W L R W R

J v v e e e e

u u u u

d d d d

µ µ µ µ

µ µ

µ µ

γ γ θ γ θθ

γ θ γ θ

γ θ γ θ

= + − + +

+ − + −

+ − + +

( ).

2 11

3 3E MJ e e u u d d

µ µ µ µγ γ γ = − + + −

71

Όροι µάζας των Φερµιονίων.

Γυρίζουµε τώρα στο πρόβληµα ανεύρεσης όρων µάζας για τα φερµιόνια.

Με τους γνωστούς κβαντικούς αριθµούς, ο αναλλοίωτος βαθµωτός όρος που µπορούµε να γράψουµε είναι:

.e e L R

L E u h cλ∆ = − Φ +

Αντικαθιστούµε το Φ µε την αναµενόµενη τιµή του στο κενό :

0

01

2 υ

Φ =

και έχουµε:

1.

2e e L R

L e e h cλ υ∆ = − +

από όπου βλέπουµε ότι: 1

2e e

m λ υ=

Για τα quarks έχουµε:

.ab

q d L R u L b RaL Q d Q u h cλ λ ε∆ = − Φ − Φ +

72

αντικαθιστώντας την αναµενόµενη τιµή στο κενό οδηγούµαστε στο:

1 1.

2 2q d L R u L R

L d d u u h cλ υ λ υ∆ = − − +

Άρα οι µάζες θα είναι: 1

2d d

m λ υ= και 1

2u u

m λ υ=

Το Μποζόνιο Higgs.

Όπως είδαµε σε όλα τα προηγούµενα το βαθµωτό πεδίο ήταν αυτό που προκαλούσε την αυθόρµητη ρήξη της συµµετρίας βαθµίδας και αποτελεί

συµαντικό συστατικό στην δοµή της G.W.S θεωρίας.

Ας παραµετροποιήσουµε το βαθµωτό πεδίο γράφοντας :

( ) ( ) ( )01

2x U x

h xυ

Φ = +

που είναι γραµµένο γύρο από το κενό σαν µία διαταραχή, και ( )U x είναι ο µετασχηµατισµός βαθµίδας.

Μπορούµε να κάνουµε έναν µετασχηµατισµό βαθµίδα για να διώξουµε το ( )U x από την Lagrangian. Αυτό θα µειώσει τους φυσικούς βαθµούς

ελευθερίας του Φ σε έναν.

73

Γράφουµε λοιπόν την lagrangian:

( )222 † †L Dµ µ λ= Φ + Φ Φ− Φ Φ

µε το ελάχιστο στο

1/ 22µ

υλ

=

Στην µοναδιαία βαθµίδα ο όρος δυναµικής ενέργειας παίρνει την µορφή:

2 2 3 4 2 2 3 41 1 1

4 2 2 4V h hL h h h m h m h h

λµ λυ λ λ= − − − = − − −

Το ( )h x είναι ένα βαθµωτό σωµάτιο µε µάζα : 22

hmλ

µ υ= =

Αυτό το σωµατίδιο είναι γνωστό ως µποζόνιο Higgs.

Ο όρος κινητικής ενέργειας είναι:

( )22 21 1

12 2

k W Z

hL h m W W m Z Z

µµ µ µ µ υ

+ − = ∂ + + +

Τέλος οι όροι ζεύξης των φερµιονίων µε το Higgs, που προκύπτουν από τους αντίστοιχους όρους µάζας των φερµιονίων, είναι:

1k f

hL m f f

υ = − +

όπου f οποιοδήποτε φερµιόνιο.