gauss-jordan method) ندﺮﺟ سﻮﮔ شورresearch.iaun.ac.ir/pd/yaghoubi...
TRANSCRIPT
Advanced Numerical Methods 45
)Gauss-Jordan method(روش گوس جردن
Advanced Numerical Methods 46
روش گوس جردن
یریاضعملیاتتعداد
Advanced Numerical Methods 47
)TDMA(قطري روش حل مستقیم ماتریس سه
Advanced Numerical Methods 48
)TDMA(قطري روش حل مستقیم ماتریس سه
:داریمفوق،فرموالسیوناعمالبا
Advanced Numerical Methods 49
)TDMA(قطري روش حل مستقیم ماتریس سه
Advanced Numerical Methods 50
LULU Decomposition (Factorization)روش تجزیه
ماتریس پائین مثلثیماتریس باال مثلثی
Advanced Numerical Methods 51
LUایده اصلی روش تجزیه
[ ][ ][ ] [ ]BXUL =
[ ][ ] [ ]BXA =
[ ] [ ][ ]XUD ≡
[ ] [ ][ ]ULA =
[ ][ ] [ ]BL =D
[ ][ ] [ ]DU =X
[ ][ ] [ ]BDL =
[ ]D
ن و تجزیه ماتریس ضرائب به دو ماتریس پائی: 1گام باال مثلثی
با استفاده از جایگذاري رو به جلوDمحاسبه بردار : 2گام
با استفاده از جایگذاري رو به عقب Xمحاسبه بردار : 3گام
Advanced Numerical Methods 52
با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه
[ ] [ ][ ]ULA =
ضریبدراولردیفضربگوسحذفروشدراولگامf21ازآنماحصلتفریقو.می شودحذفa21درایهصورتایندر.استدومردیف
باالوپائینماتریسدوبهضرائبماتریسگوسحذفروشازاستفادهباروشایندر.می شودتجزیهمثلثی
[U]همان ماتریس باال مثلثی بعد از مرحله اول روش حذف گوس می باشد.[L]از ضرایب مورد استفاده در مرحله اول ساخته می شود.
ضریبدراولردیفسپسf31می شودکمسومردیفازآنماحصلوشدهضرب..می شودحذفa31درایهصورتایندر
Advanced Numerical Methods 53
با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه
ضریبدردومیافتهتغییرردیفنهاییگامدرf32ردیفازآنماحصلوشدهضرب.می شودحذفa32درایهصورتایندر.می شودکمسوم
Advanced Numerical Methods 54
با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه مثال
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 0.1 0.2 7.850.1 7 0.3 19.30.3 0.2 10 71.4
x x xx x xx x x
− − =+ − = −− + =
3 0.1 0.2 7.850.1 7 0.3 19.30.3 0.2 10 71.4
− − − − −
3 0.1 0.2 7.850 7.00333 0.293333 19.56170 0.190000 10.0200 70.6150
− − − − −
2nd row - 1st row×0.1/33rd row - 1st row ×0.3/3
Advanced Numerical Methods 55
با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه 3مثال 0.1 0.2 7.85
0 7.00333 0.293333 19.56170 0.190000 10.0200 70.6150
− − − − −
3rd row-2nd row ×-0.19/7.00333
3 0.1 0.2 7.850 7.00333 0.293333 19.56170 0 10.0120 70.0843
− − − −
Advanced Numerical Methods 56
با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه مثال
3 0.1 0.20.1 7 0.30.3 0.2 10
A− −
= − −
21
11
31 32
11 22
1 0 0 1 0 0 1 0 00.11 0 1 0 0.0333333 1 03
0.1 0.02713 10.3 0.19 11 3 7.00333
aLaa aa a
= = = − − ′ ′
3 0.1 0.20 7.00333 0.2933330 0 10.0120
U− −
= −
Advanced Numerical Methods 57
با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه مثال
1
2
3
1 0 0 7.850.1 1 0 19.33
71.40.3 0.19 13 7.00333
ddd
= − −
Bddd
L =
3
2
1
[ ][ ] [ ]BL =D
1
2
3
7.8519.3 0.0333333(7.85) 19.5617
71.4 0.1(7.85) 0.02713( 19.5617) 70.0843
ddd
== − − = −= − + − =
Advanced Numerical Methods 58
با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه مثال
1
2
3
7.8519.5617
70.0843
dD d
d
= = −
1
2
3
3 0.1 0.2 7.850 7.00333 0.293333 19.56170 0 10.0120 70.0843
xxx
− − − = −
1
2
3
32.5
7.0
xxx
= −
Dxxx
U =
3
2
1
[ ][ ] [ ]DU =X
Advanced Numerical Methods 59
Croutبا استفاده از روش تجزیه LUروش تجزیه ماتریسروشایندر[U]آناصلیقطردرایه هايکهاستمثلثیباالماتریسی
.می باشند1همگیماتریساولستوندرایه هايابتداروشایندر[L]می آیندبه دست:
ماتریساولسطردرایه هايسپس[U]می شوندمحاسبه.
ماتریسستون هايمیاندریکبه صورتوترتیبهمینبه[L]ماتریسردیف هايو[U]می آیندبه دست:
Advanced Numerical Methods 60
LUروش تجزیه تجزیهبراينیازموردزمان[A]بامتناسبn3/3می باشد.دستگاهدوازیکهرحلبرايالزمزمان[L][D]=[B]و[U][X]=[D]
.استn2/2بامتناسبروشدرLU،بردارتجزیه[A]بردارازمستقل[B]می باشد.
Advanced Numerical Methods 61
LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه
11 12 1
21 22 21
1 2
n
n
n n nn
x x xx x x
A X
x x x
−
= =
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
11
1
n n
n n
n n nn n n nn
a a a x x xa a a x x x
AX
a a a x x x
= =
مجهوالتxها می باشند
Advanced Numerical Methods 62
LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
11
1
n n
n n
n n nn n n nn
a a a x x xa a a x x x
AX
a a a x x x
= =
11
21
1
11 12 1
21 22 2
1 2
10
0
n
n n
n
n n n
xx
x
a a aa a a
a a a
=
Advanced Numerical Methods 63
LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
11
1
n n
n n
n n nn n n nn
a a a x x xa a a x x x
AX
a a a x x x
= =
12
22
2
11 12 1
21 22 2
1 2
01
0
n
n n
n
n n n
xx
x
a a aa a a
a a a
=
Advanced Numerical Methods 64
LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
11
1
n n
n n
n n nn n n nn
a a a x x xa a a x x x
AX
a a a x x x
= =
1
2
11 12 1
21 22 2
1 2
00
1
n
n
nn
n
n
n n nn
a a aa a a
a a a
xx
x
=
Advanced Numerical Methods 65
LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه
مثال
3 0.1 0.20.1 7 0.30.3 0.2 10
A− −
= − −
1 ?A− =
11 12 131
21 22 23
31 32 33
x x xA X x x x
x x x
−
= =
Advanced Numerical Methods 66
LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه
مثال11
21
31
3 0.1 0.2 10.1 7 0.3 00.3 0.2 10 0
xxx
− − − = −
12
22
32
3 0.1 0.2 00.1 7 0.3 10.3 0.2 10 0
xxx
− − − = −
13
23
33
3 0.1 0.2 00.1 7 0.3 00.3 0.2 10 1
xxx
− − − = −
Advanced Numerical Methods 67
LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه
3مثال 0.1 0.20.1 7 0.30.3 0.2 10
A− −
= − −
21
11
31 32
11 22
1 0 0
1 0
1
aLaa aa a
= ′ ′
3 0.1 0.20 7.00333 0.2933330 0 10.0120
U− −
= −
1 0 00.1 1 03
0.3 0.19 13 7.00333
= −
Advanced Numerical Methods 68
LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه
مثالAX LUX B= =
11
21
31
1 0 0 10.0333333 1 0 0
0.1 0.02713 1 0
ddd
= −
11
21
31
3 0.1 0.2 10 7.00333 0.293333 0.033330 0 10.0120 0.1009
xxx
− − − = − −
11
21
31
10.033330.1009
ddd
= − −
11
21
31
0.332490.005180.01008
xxx
= − −
LD B=
UX D=
11
21
31
3 0.1 0.2 10.1 7 0.3 00.3 0.2 10 0
xxx
− − − = −
Advanced Numerical Methods 69
LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه
مثالAX LUX B= =
LD B=
UX D=
12
22
32
1 0 0 00.0333333 1 0 1
0.1 0.02713 1 0
ddd
= −
12
22
32
3 0.1 0.2 00 7.00333 0.293333 10 0 10.0120 0.2713
xxx
− − − =
12
22
32
01
0.2713
ddd
=
12
22
32
0.0049440.1429030.00271
xxx
=
12
22
32
3 0.1 0.2 00.1 7 0.3 10.3 0.2 10 0
xxx
− − − = −
Advanced Numerical Methods 70
LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه
مثالAX LUX B= =
LD B=
UX D=
13
23
33
1 0 0 00.0333333 1 0 0
0.1 0.02713 1 1
ddd
= −
13
23
33
3 0.1 0.2 00 7.00333 0.293333 00 0 10.0120 1
xxx
− − − =
13
23
33
001
ddd
=
13
23
33
0.0067980.0041830.09988
xxx
=
13
23
33
3 0.1 0.2 00.1 7 0.3 00.3 0.2 10 1
xxx
− − − = −
Advanced Numerical Methods 71
LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه
مثال
11
21
31
0.332490.005180.01008
xxx
= − −
12
22
32
0.0049440.1429030.00271
xxx
=
13
23
33
0.0067980.0041830.09988
xxx
=
1
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0.33249 0.004944 0.0067980.00518 0.142903 0.0041830.01008 0.00271 0.09988
A Xx x xx x xx x x
− = =
= − −
Advanced Numerical Methods 72
بررسی بد رفتاري سیستم
ضرایبماتریس[A]،1عددبرابرردیفهردردرایهبزرگترینبه طوري کهکردهترازرا1-[A]ماتریسازدرایه هاییاگرکنید،معکوسراشدهترازماتریسحالتایندر.باشد
-Ill(بدرفتارسیستمباشند،بزرگتر1ازمرتبهچندینکهباشندداشتهوجودcondition(است.
ضرایبماتریس[A]ماتریسدررا[A]-1واحدماتریسبارانتیجهوکردهضرب[I].استتاررفبدماتریسباشد،داشتهاختالفواحدماتریسبانتیجهاگر.کنیدمقایسه
معکوسماتریس[A]-1ماتریسباراآنوکنیدمعکوسدوبارهرا[A]کنیدمقایسه..استرفتاربدسیستمشد،مشاهدهاختالفیاگر
Advanced Numerical Methods 73
)Vector and Matrix Norms(نرم بردار و ماتریس
:بگیریدنظردرزیربه صورتبعديسهفضايدرراFبردار
:شودمیتعریفزیربه صورتFبرداراندازهول نرم اقلیدسی بیانگر ط
بردار
Advanced Numerical Methods 74
نرم بردار و ماتریس:بگیریدنظردرزیربه صورتاستبعدnدارايکهرا[X]بردار
نرم اقلیدسی بردار
:نوشتزیربه صورتتوانمیرا[A]ماتریسنرم
Frobenius Norm:
Uniform Vector Norm:
Uniform Matrix Norm:
یک مقدار را به عنوان بر [A]اندازه ماتریس
.می گرداند
Vector P Norn
Advanced Numerical Methods 75
نرم بردار و ماتریس
Matrix Condition Number:
هامجهولنرمنسبیخطايکهدادنشانتوانمی[X]،ضرایب،نرمنسبیخطايبا[A]داردرازیررابطه:
حالتعددکههنگامی)Condition Number(اررفتبدسیستمباشد،یکازبیشتر)Ill-Condition(است.
سیستمبدرفتاريبررسیبراينظام مندروش:
ضرایبماتریساگر[A]دقتتاt10مرتبهازکردنگردخطاي(باشدمعلومرقم−t(Condحالتعددو [A] = 10c،بردارحل[X]دقتتاتنهاt-cاستمعتبررقم.
Advanced Numerical Methods 76
مثال
ماتریسHilbert
حالتعدداستمطلوب)Condition Number(هیلبرت3⨯3ماتریسبراي.
ماتریس را تراز کرده تا 1بیشینه درایه هر ردیف
.شود
Advanced Numerical Methods 77
مثال
:اینبنابردارد،راضرایبمقداربیشترینسومردیف
:شدهتراز[A]معکوسماتریس