gekoppelte oszillatoren. inhalt gekoppelte pendel gekoppelte elektrische schwingkreise gekoppelte...
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„Gekoppelte Oszillatoren“
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Inhalt
• Gekoppelte Pendel
• Gekoppelte elektrische Schwingkreise
• Gekoppelte Schwingungen in den Bausteinen der Materie– Orbitale der Elektronen– Molekülschwingungen– Schwingungen in Festkörpern
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Feder und Massenpunkt
Einheit Bezeichnung
1 N Federkraft
1 N Trägheitskraft
1 NSchwingungs-gleichung
skF
smF d‘ Alembertsches Prinzip
smsk
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Erste Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren
Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht
Symmetrische Auslenkungen
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Zweite Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren
Höhere Frequenz: Kopplungsfeder wird stark beansprucht
Anti-Symmetrische Auslenkungen
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Versuch: Gekoppelte Pendel
• Verhalten eines einzelnen Schwingkreises• Kopplung über die Feder• Schwebungen durch Überlagerung von zwei
Schwingungen unterschiedlicher Frequenz• Suche nach den Eigenfrequenzen durch
spezielle Startbedingungen• Unterschiedliche Eigenschwingungen zeigen
unterschiedliche Symmetrie
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SchwingungartSymmetrie bei
SpiegelungMuster
Erste
EigenschwingungSymmetrisch
Zweite Eigenschwingung
„Anti“-symmetrisch
Beliebig, das ist eine Überlagerung beider
Eigenschwingungen
Unsymmetrisch
„Schlüsselexperiment“ Doppelpendel
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Effekt der Kopplung
• Ohne Kopplung: Beide Oszillatoren zeigen die gleiche Eigenfrequenz
• Mit Kopplung: – Zwei „Schwingungsmoden“ mit
unterschiedlichen Eigenfrequenzen– Die Symmetrie der Auslenkungen beider
Moden ist unterschiedlich
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Versuch: Gekoppelte elektrische Schwingkreise
• Verhalten eines einzelnen Schwingkreises• Kopplung über die Feldstärken• Schwebungen durch Überlagerung von
zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz
• Suche nach den Eigenfrequenzen mit Fourier-Analyse
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Kopplung von zwei elektrischen Schwingkreisen über das magnetische Feld
Kopplung ohne Materie gibt es nur in elektromagnetischen Feldern!
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Über das Magnetfeld gekoppelte Schwingkreise
• Schwebungen aufgrund des Austauschs der Energie zwischen den Schwingkreisen
• Grund: Überlagerung der beiden Eigenschwingungen mit– leicht unterschiedlichen Frequenzen– unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften
• Erste Eigenschwingung mit „gleichphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen
• Zweite Eigenschwingung mit „gegenphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen
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Gekoppelte Schwingungen in der Materie
• Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“
• Bei Teilchenzahl n wächst - im dreidimensionalen Raum - die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n
• Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen– Symmetrie-Eigenschaften– Energie-Werten
• An jeder Eigenschwingung sind immer alle Oszillatoren beteiligt
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Beispiele
• „Gekoppelte Pendel“
• Orbitale des Elektronensystems
• Molekülschwingungen
• Schwingungen im Festkörper, „Phononen“
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Orbitale
• Die Elektronen in einer „Schale“ n eines Atoms bilden ein System identischer, gekoppelter Oszillatoren– Hier verlässt man das Bohrsche Atommodell
• Die Eigenschwingungen dieses Systems werden mit den Quantenzahlen l, m bezeichnet– und zeigen unterschiedliche Symmetrie-Eigenschaften
• Orbitale zeigen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen– was bei Oszillatoren sinnvoll ist
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Drehung erlaubt? X-Achse Y-Achse Z-Achse
Ja Nein Nein
Nein Ja Nein
Nein Nein Ja
Symmetrie der drei p Orbitale einer Unterschale (l=1)
bei beliebiger Drehung um eine Achse
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Orbitale mit ihren Quantenzahlen
Symmetrie
0m 1m 1m
gt1
1l
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Haupt-quantenzahl
Drehimpuls- oder Nebenquantenzahl
Orientie-rungs-Quanten-zahl
Max. Zahl der Zustände
Form derOrbitale
N SchaleSchale, Orbital
TypSpin
1 K 0 s 0 2
2 L
0 s 0 2
1 p
-1
60
1
Beispiel: Orbitale im Neon
1N0 l lml
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Molekülschwingungen, Beispiel CO2, erste Streckschwingung, symmetrisch
z
x
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Beispiel CO2, zweite Streckschwingung antisymmetrisch
z
x
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Beispiel CO2, erste Deformationsschwingung
z
x
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Beispiel CO2, erste Deformationschwingungen, Ansicht von der Längs-Seite
z
y
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Beispiel CO2, zweite Deformationschwingung, Ansicht von der Längs-Seite
z
y
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1
ja ja ja ja
ja nein nein ja
ja nein ja nein
Symmetrieeigenschaften dieser Schwingungen bei der Einheitsoperation, Drehung und Spiegelung
Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation?
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Beispiel: Anregung der ersten Deformationsschwingung von CO2 im
Infrarot-Bereich
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Kristalline Festkörper
• Bei n Teilchen gibt es n „Schwingungsmoden“ mit Auslenkungsmuster unterschiedlicher Symmetrie
• Die n Eigenfrequenzen der Moden liegen zum Teil sehr dicht beisammen, es entstehen Energiebänder
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Modell für die Einheitszelle eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle mit Federn anstelle der Coulomb-Kräfte
Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle
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Translation Innere Schwingung
Beispiel für die Eigenschwingungen eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle
Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle
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Beispiel für eine Eigenschwingung
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Phononen
• Zu jedem Auslenkungsmuster gehört eine „Eigenfrequenz“
• Normalschwingungen der Teilchen in kristallinen Festkörpern werden „Phononen“ genannt
• Die Schwingungen der Teilchen, die Phononen, koppeln an die Anregung der Elektronen
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Wirkung der Kopplung: Vergleich der Spektren von
Gasen/Flüssigkeiten/Festkörpern
C6H6
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Beispiele für Emission und Absorption an freien Atomen und im Vergleich dazu – an heißen Festkörpern
Abbildung: Emissionsspektrum der Quecksilberdampflampe und Absorptionslinien im Sonnenspektrum. Quelle: Meyers Enzyklopädisches Lexikon
Absorptionslinien von Wasserstoff vor der „Weissen“ Strahlung der Sonne (an der Oberfläche ca. 6000 K)
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Zuammenfassung
• Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“
• Bei Teilchenzahl n wächst die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n
• Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen– Symmetrie-Eigenschaften– Energie-Werten
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Finis
Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht
Symmetrische Auslenkungen