gele5223 chapitre 1 : propagation d'ondes - umoncton...puissance moyenne sur la ligne : p avg= 1 2...
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GELE5223 Chapitre 1 :Propagation d’ondes
Gabriel Cormier, Ph.D., ing.
Université de Moncton
Automne 2010
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 1 / 66
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Introduction
Contenu
Contenu
Révision des concepts de base : ligne de transmission
Coefficient de réflexion
Abaque de Smith
Désadaptation à la source
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 2 / 66
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Lignes de transmission
Ligne de transmission
Structure pour guider des ondes électromagnétiques
Exemples :
Câble coaxialFil de cuivreLigne microruban
Une onde ÉM préfère se propager sur des centaines de km plutôt quetraverser quelques mm d’isolant.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 3 / 66
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Lignes de transmission Câble coaxial
Câble coaxial
Le type le plus commun.
conducteur
diélectrique
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 4 / 66
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Lignes de transmission Deux fils
Deux fils
De moins en moins utilisé.
conducteurs
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 5 / 66
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Lignes de transmission Plaques parallèles
Plaques parallèles
Peu utilisé, mais utile dans certains cas.
conducteurs
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 6 / 66
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Lignes de transmission Microruban
Microruban
Le type le plus commun pour les circuits intégrés.
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Lignes de transmission Coplanaire
Coplanaire
Le deuxième type le plus commun pour les circuits intégrés.
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Lignes de transmission Modélisation
Modélisation d’une ligne de transmission
+
−v(z, t)
i(z, t)
∆z z
On analyse une petite section
∆z de la ligne.
On utilise deséléments idéauxpour modéliser laligne.
− −
+
R∆z L∆z+
G∆z C∆zv(z, t) v(z + ∆z, t)
∆z
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 9 / 66
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Lignes de transmission Modélisation
Modélisation
Dans le modèle précédent,
R = résistance en série [Ω/m]. Représente les pertes du conducteur.
L = inductance en série [H/m].
G = conductance parallèle [S/m]. Représente les pertes dudiélectrique.
C = capacitance parallèle [F/m].
Dans une ligne sans pertes, R = G = 0.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 10 / 66
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Lignes de transmission Modélisation
Modélisation
On relie la tension et le courant à z et z + ∆z, et dans la limite où∆z → 0, on obtient :
dV (z)
dz= −(R+ jωL)I(z)
dI(z)
dz= −(G+ jωC)V (z)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 11 / 66
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Lignes de transmission Modélisation
Modélisation
On solutionne :
d2V (z)dz2
− γ2V (z) = 0
d2I(z)dz2
− γ2I(z) = 0
V (z) = V+0 e−γz + V −0 e
γz
I(z) = I+0 e−γz + I−0 e
γz
oùγ = α+ jβ =
√(R+ jωL)(G+ jωC)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 12 / 66
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Lignes de transmission Modélisation
Impédance caractéristique
Lien entre la tension et le courant :
Z0 =V +0I+0
=R+ jωL
γ=
√R+ jωL
G+ jωC
L’impédance caractéristique Z0 représente le rapport entre la tension et lecourant sur la ligne.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 13 / 66
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Lignes de transmission Modélisation
Longueur d’onde
Représente la distance parcourue par une sinusöıde pendant 1 période.
λ =2π
β
La longueur d’onde est réduite dans un diélectrique.
λg =λ0√�r
oùλ0 =
c
f
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 14 / 66
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Lignes de transmission Modélisation
Vitesse de phase
Représente la vitesse à laquelle se déplace un point de phaseconstante.
vp =ω
β= λgf
La vitesse de phase est réduite dans un diélectrique.
vp =c√�r
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 15 / 66
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Lignes de transmission Modélisation
Ligne sans pertes
R = G = 0
Les équation se simplifient :
Z0 =
√L
C(Z0 est réel)
γ = jβ = jω√LC
On obtient aussi :
β = ω√LC λ =
2π
ω√LC
vp =1√LC
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 16 / 66
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Lignes de transmission Modélisation
Paramètres des lignes de transmission
Ligne coaxiale 2 fils Plaques parallèles Unité
Lµ
2πln
(b
a
)µ
πcosh−1
(D
2a
)µd
wH/m
C2π�′
ln(b/a)
π�′
cosh−1(D/2a)
�′w
dF/m
RRs
2π
(1
a+
1
b
)Rs
πa
2Rs
wΩ/m
G2πω�′′
ln(b/a)
πω�′′
cosh−1(D/2a)
ω�′′w
dS/m
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 17 / 66
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Lignes de transmission Modélisation
Paramètres des lignes de transmission
La constante diélectrique d’un milieu peut être complexe :
� = �′ − j�′′ = �′(1− j tan δ)
où
tan δ est le facteur de pertes diélectriques,�′ = �r�0�′′ = �′ tan δ
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 18 / 66
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Lignes de transmission Modélisation
Résistance de surface
Rs est la résistance du conducteur en supposant que tout le courantcircule à une profondeur égale à la profondeur de pénétration δs.
Rs =1
σδs=
√ωµ
2σ
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 19 / 66
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Lignes de transmission Modélisation
Effet de peau
Plus la fréquence augmente, plus le courant circule près de la surfaced’un conducteur.
La densité de courant diminue en se rapprochant du centre duconducteur.
La profondeur à laquelle la densité atteint 37% (1/e) de sa valeur à lasurface est :
δs =1
α=
1√πfµσ
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 20 / 66
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Lignes de transmission Modélisation
Transport de puissance
Ligne sans pertes :
puissance transportée par les champs électriques et magnétiquesaucune puissance transportée dans les conducteurs.
Ligne avec pertes :
une partie de la puissance entre dans le conducteurdissipation sous forme de chaleur.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 21 / 66
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Théorie des lignes de transmission
Théorie des lignes de transmission
Comment intégrer une ligne de transmission dans un circuit ?
Quel est l’impact sur les composantes ?
L’effet principal est la réflexion d’onde.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 22 / 66
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Théorie des lignes de transmission
Ligne sans pertes terminée par une charge
On applique une onde V +0 e−jβz à la ligne, à z < 0.
V +0 e−jβz
−
+
VL
IL
ZL
z
0l
Z0, β
V (z), I(z)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 23 / 66
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Théorie des lignes de transmission
Ligne sans pertes terminée par une charge
On applique une onde V +0 e−jβz à la ligne, à z < 0.
V +0 e−jβz
−
+
VL
IL
ZL
z
0l
Z0, β
V (z), I(z)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 23 / 66
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Théorie des lignes de transmission
Ligne sans pertes terminée par une charge
Le rapport tension-courant sur la ligne est égal à Z0.
À la charge, si ZL 6= Z0, il faut que le rapport tension-courant soitégal à ZL. Que se passe-t’il ?
Une partie de l’onde est réfléchie sur la ligne pour que le rapporttension-courant à la charge soit ZL.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 24 / 66
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Théorie des lignes de transmission
Tension sur la ligne
L’onde réfléchie est : V −0 ejβz
L’onde totale sur la ligne :
V (z) = V +0 e−jβz + V −0 e
jβz
V +0 se propage vers la charge (onde incidente),V −0 se propage vers la source (onde réfléchie)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 25 / 66
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Théorie des lignes de transmission Coefficient de réflexion
Coefficient de réflexion
Le coefficient de réflexion est le rapport entre l’onde réfléchie et l’ondeincidente :
Γ =V −0V +0
=ZL − Z0ZL + Z0
et donc : −1 ≤ Γ ≤ 1.Coefficient de réflexion
Γ =ZL − Z0ZL + Z0
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 26 / 66
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Théorie des lignes de transmission Coefficient de réflexion
Coefficient de réflexion
La tension sur la ligne est :
V (z) = V +0
(e−jβz + Γejβz
)
Tension max sur la ligne : Vmax = |V +0 |(1 + |Γ|)Tension min sur la ligne : Vmin = |V +0 |(1− |Γ|)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 27 / 66
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Théorie des lignes de transmission Coefficient de réflexion
Rapport d’onde stationnaire
C’est le rapport entre Vmax et Vmin.
SWR =VmaxVmin
=1 + |Γ|1− |Γ|
1 ≤ SWR ≤ ∞SWR = Standing Wave Ratio
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 28 / 66
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Théorie des lignes de transmission Coefficient de réflexion
Puissance
Puissance moyenne sur la ligne :
Pavg =1
2
|V +0 |2
Z0
(1− |Γ|2
)La puissance moyenne est constante et indépendante de z.
Si ZL 6= Z0, la puissance de la source ne se rend pas toute à lacharge. Ce sont les pertes par réflexion :
RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| [dB]
RL = Return Loss
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 29 / 66
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Théorie des lignes de transmission Coefficient de réflexion
Pertes de désadaptation
Représente combien de gain de plus on aurait si la charge était adaptée(ZL = Z0) :
ML = −10 log(1− |Γ|2
)[dB]
ML = Mismatch Loss
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 30 / 66
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Théorie des lignes de transmission Exemple
Exemple
Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.
|Γ| = SWR− 1SWR+ 1
= 0.2
RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dBML = 1− |Γ|2 = −10 log
(1− |Γ|2
)= 0.96 = 0.18 dB
Selon les chiffres, 4% de la puissance est réfléchie et 96% est absorbée parla charge. Si la charge était adaptée, on aurait 0.18dB de puissance deplus à la charge.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 31 / 66
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Théorie des lignes de transmission Exemple
Exemple
Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.
|Γ| = SWR− 1SWR+ 1
= 0.2
RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dBML = 1− |Γ|2 = −10 log
(1− |Γ|2
)= 0.96 = 0.18 dB
Selon les chiffres, 4% de la puissance est réfléchie et 96% est absorbée parla charge. Si la charge était adaptée, on aurait 0.18dB de puissance deplus à la charge.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 31 / 66
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Théorie des lignes de transmission Exemple
Exemple
Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.
|Γ| = SWR− 1SWR+ 1
= 0.2
RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dB
ML = 1− |Γ|2 = −10 log(1− |Γ|2
)= 0.96 = 0.18 dB
Selon les chiffres, 4% de la puissance est réfléchie et 96% est absorbée parla charge. Si la charge était adaptée, on aurait 0.18dB de puissance deplus à la charge.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 31 / 66
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Théorie des lignes de transmission Exemple
Exemple
Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.
|Γ| = SWR− 1SWR+ 1
= 0.2
RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dBML = 1− |Γ|2 = −10 log
(1− |Γ|2
)= 0.96 = 0.18 dB
Selon les chiffres, 4% de la puissance est réfléchie et 96% est absorbée parla charge. Si la charge était adaptée, on aurait 0.18dB de puissance deplus à la charge.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 31 / 66
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Théorie des lignes de transmission Exemple
Exemple
Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.
|Γ| = SWR− 1SWR+ 1
= 0.2
RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dBML = 1− |Γ|2 = −10 log
(1− |Γ|2
)= 0.96 = 0.18 dB
Selon les chiffres, 4% de la puissance est réfléchie et 96% est absorbée parla charge. Si la charge était adaptée, on aurait 0.18dB de puissance deplus à la charge.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 31 / 66
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Théorie des lignes de transmission Impédance d’une ligne
Impédance d’une ligne de transmission
L’impédance vue à l’entrée de la ligne de transmission :
Impédance de la ligne
Zin = Z(−l) = Z0ZL + jZ0 tan(βl)
Z0 + jZL tan(βl)
ZLZ0, β
Zinl
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 32 / 66
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Théorie des lignes de transmission Impédance d’une ligne
Impédance d’une ligne de transmission
Zin = Z0ZL + jZ0 tan(βl)
Z0 + jZL tan(βl)
Équation très importante : la ligne transforme l’impédance de lacharge.
Plusieurs cas spéciaux :
Charge : circuit ouvert, court-circuitLongueur : λ/4, λ/2, infinie
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 33 / 66
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Théorie des lignes de transmission Impédance d’une ligne
Exemple
Soit une ligne de transmission de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche unecharge de 75Ω sur la ligne. Quelle est l’impédance d’entrée ?
βl =
(2π
λ
)(0.3λ) = 0.6π
ZLZ0, β
Zin0.3λ
Zin = Z0ZL + jZ0 tan(βl)
Z0 + jZL tan(βl)
= 5075 + j50 tan(0.6π)
50 + j75 tan(0.6π)
= 35.2 + j8.6 Ω
L’impédance de la ligne est réelle, l’impédance de la charge est réelle, maisl’impédance d’entrée est complexe.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 34 / 66
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Théorie des lignes de transmission Impédance d’une ligne
Exemple
Soit une ligne de transmission de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche unecharge de 75Ω sur la ligne. Quelle est l’impédance d’entrée ?
βl =
(2π
λ
)(0.3λ) = 0.6π
ZLZ0, β
Zin0.3λ
Zin = Z0ZL + jZ0 tan(βl)
Z0 + jZL tan(βl)
= 5075 + j50 tan(0.6π)
50 + j75 tan(0.6π)
= 35.2 + j8.6 Ω
L’impédance de la ligne est réelle, l’impédance de la charge est réelle, maisl’impédance d’entrée est complexe.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 34 / 66
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Théorie des lignes de transmission Impédance d’une ligne
Exemple : Implications
Selon l’exemple précédent, on peut faire l’équivalence suivante :
Vg
Zs
75Ω Z0 = 50Ω
source
Vg
Zs
source
Zin 35.2+j8.6Ω
Du point de vue de la source, rien n’a changé. L’équivalence est seulementvalide à la fréquence calculée.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 35 / 66
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Théorie des lignes de transmission Impédance d’une ligne
Exemple : à faible fréquence
On reprend l’exemple, mais à faible fréquence : f = 1kHz, et l = 5cm(longueur commune sur planchette).
Vg
Zs
75Ω Z0 = 50Ω
source
5cm
λ =c
f=
3× 108
1× 103= 3× 105
βl =2π
λl = 2π
5× 10−2
3× 105= 1.05× 10−6
Zin = 5075 + j50 tan(1.05× 10−6)50 + j75 tan(1.05× 10−6)
= 75− j0.0006 ΩLa longueur de la ligne n’a pas d’importance : Zin = ZL.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 36 / 66
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Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux
ZL = 0
Avec un court-circuit (ZL = 0),
Γ = −1SWR = ∞L’équation de la ligne est :
Zin = jZ0 tan(βl)
Si 0 ≤ l ≤ λ/4, l’impédance est inductiveSi λ/4 ≤ l ≤ λ/2, l’impédance est capacitive
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 37 / 66
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Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux
ZL = 0
Variation de l’impédance pour une ligne court-circuitée
− 54λ −λ −34λ −
λ2 −
λ4
0−5
0
5
z
XinZ0
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 38 / 66
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Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux
ZL =∞
Avec un circuit ouvert(ZL =∞),Γ = 1SWR = ∞L’équation de la ligne est :
Zin = −jZ0 cot(βl)
Si 0 ≤ l ≤ λ/4, l’impédance est capacitiveSi λ/4 ≤ l ≤ λ/2, l’impédance est inductive
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 39 / 66
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Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux
ZL =∞
Variation de l’impédance pour une ligne avec circuit ouvert
− 54λ −λ −34λ −
λ2 −
λ4
0−5
0
5
z
XinZ0
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 40 / 66
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Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux
l = λ/2
Si la ligne est de longueur λ/2,
L’équation de la ligne est :
Zin = ZL
Il n’y a pas de transformation d’impédance
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 41 / 66
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Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux
l = λ/4
Si la ligne est de longueur λ/4 + nλ/2,
L’équation de la ligne est :
Zin =Z20ZL
C’est un transformation de quart de longueur d’onde (quarter-wavetransformer).C’est un cas très important.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 42 / 66
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Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux
Transformateur λ/4
Zin =Z20ZL
Si ZL = 0,
Zin =∞Si ZL =∞,
Zin = 0
L’impédance de la ligne n’est pas importante.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 43 / 66
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Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux
Ligne branchée à une autre ligne
Z1Z0Ligne infinie (outerminée par Z1)
z0
Γ T
Réflexion :
Γ =Z1 − Z0Z1 + Z0
Transmission :
T = 1 + Γ =2Z1
Z1 + Z0
Pertes d’insertion :
IL = −20 log |T |
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 44 / 66
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Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux
Ligne branchée à une autre ligne
Z1Z0Ligne infinie (outerminée par Z1)
z0
Γ T
Réflexion :
Γ =Z1 − Z0Z1 + Z0
Transmission :
T = 1 + Γ =2Z1
Z1 + Z0
Pertes d’insertion :
IL = −20 log |T |
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 44 / 66
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Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux
Ligne branchée à une autre ligne
Z1Z0Ligne infinie (outerminée par Z1)
z0
Γ T
Réflexion :
Γ =Z1 − Z0Z1 + Z0
Transmission :
T = 1 + Γ =2Z1
Z1 + Z0
Pertes d’insertion :
IL = −20 log |T |
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 44 / 66
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Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux
Ligne branchée à une autre ligne
Z1Z0Ligne infinie (outerminée par Z1)
z0
Γ T
Réflexion :
Γ =Z1 − Z0Z1 + Z0
Transmission :
T = 1 + Γ =2Z1
Z1 + Z0
Pertes d’insertion :
IL = −20 log |T |
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 44 / 66
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Abaque de Smith
Abaque de Smith
Outil graphique très utile
Permet de visualiser le comportement des lignes de transmission etdes circuits micro-ondes.
Développé en 1939 par P. Smith
C’est un graphe polaire de Γ
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 45 / 66
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Abaque de Smith
Abaque de Smith
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 46 / 66
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Abaque de Smith
Abaque de Smith
Développement de l’abaque de Smith : On commence avec l’équation de
Γ :
Γ =ZL − Z0ZL + Z0
On normalise zL = ZL/Z0 :
Γ =zL − 1zL + 1
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 47 / 66
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Abaque de Smith
Abaque de Smith
On isole pour zL :
zL =1 + |Γ|ejθ
1− |Γ|ejθ
puis on sépare en parties réelles et imaginaires (Γ = Γr + jΓi).
zL = rL + jxL =(1 + Γr) + jΓi(1 + Γr)− jΓi
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 48 / 66
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Abaque de Smith
Abaque de Smith
On sépare les composantes réelles et imaginaire en deux équations :(Γr −
rL1 + rL
)2+ Γ2i =
(1
1 + rL
)2(Γr − 1)2 +
(Γi −
1
xL
)2=
(1
xL
)2Ce sont deux équations de cercles. Rappel :
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 49 / 66
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Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de résistance
-1
1
1
-1
0
r = 0 r = 0.33 r = 1 r = 3
Si rL = 0 : Γ2r + Γ
2i = 1
→ Centre : (0,0), rayon = 1
Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2i = (0.75)2→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75
Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2i = (0.5)2→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5
Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2i = (0.25)2→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 50 / 66
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Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de résistance
-1
1
1
-1
0
r = 0
r = 0.33 r = 1 r = 3
Si rL = 0 : Γ2r + Γ
2i = 1
→ Centre : (0,0), rayon = 1
Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2i = (0.75)2→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75
Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2i = (0.5)2→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5
Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2i = (0.25)2→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 50 / 66
-
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de résistance
-1
1
1
-1
0
r = 0 r = 0.33
r = 1 r = 3
Si rL = 0 : Γ2r + Γ
2i = 1
→ Centre : (0,0), rayon = 1
Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2i = (0.75)2→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75
Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2i = (0.5)2→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5
Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2i = (0.25)2→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 50 / 66
-
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de résistance
-1
1
1
-1
0
r = 0 r = 0.33 r = 1
r = 3
Si rL = 0 : Γ2r + Γ
2i = 1
→ Centre : (0,0), rayon = 1
Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2i = (0.75)2→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75
Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2i = (0.5)2→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5
Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2i = (0.25)2→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 50 / 66
-
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de résistance
-1
1
1
-1
0
r = 0 r = 0.33 r = 1 r = 3
Si rL = 0 : Γ2r + Γ
2i = 1
→ Centre : (0,0), rayon = 1
Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2i = (0.75)2→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75
Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2i = (0.5)2→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5
Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2i = (0.25)2→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 50 / 66
-
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de réactance
-1
1
1
-1
0
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
Si xL = 0.33 :(Γr − 1)2 + (Γi − 3)2 = (3)2→ Centre : (1,3), rayon = 3
Si xL = 1 :(Γr − 1)2 + (Γi − 1)2 = (1)2→ Centre : (1,1), rayon = 1
Si xL = 3 :(Γr − 1)2 + (Γi − 0.33)2 = (0.33)2→ Centre : (1,0.33), rayon = 0.33
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 51 / 66
-
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de réactance
-1
1
1
-1
0
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
Si xL = 0.33 :(Γr − 1)2 + (Γi − 3)2 = (3)2→ Centre : (1,3), rayon = 3
Si xL = 1 :(Γr − 1)2 + (Γi − 1)2 = (1)2→ Centre : (1,1), rayon = 1
Si xL = 3 :(Γr − 1)2 + (Γi − 0.33)2 = (0.33)2→ Centre : (1,0.33), rayon = 0.33
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 51 / 66
-
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de réactance
-1
1
1
-1
0
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
Si xL = 0.33 :(Γr − 1)2 + (Γi − 3)2 = (3)2→ Centre : (1,3), rayon = 3
Si xL = 1 :(Γr − 1)2 + (Γi − 1)2 = (1)2→ Centre : (1,1), rayon = 1
Si xL = 3 :(Γr − 1)2 + (Γi − 0.33)2 = (0.33)2→ Centre : (1,0.33), rayon = 0.33
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 51 / 66
-
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles de réactance
-1
1
1
-1
0
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
Si xL = 0.33 :(Γr − 1)2 + (Γi − 3)2 = (3)2→ Centre : (1,3), rayon = 3
Si xL = 1 :(Γr − 1)2 + (Γi − 1)2 = (1)2→ Centre : (1,1), rayon = 1
Si xL = 3 :(Γr − 1)2 + (Γi − 0.33)2 = (0.33)2→ Centre : (1,0.33), rayon = 0.33
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 51 / 66
-
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles combinés
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
On combine les cercles de résistanceet d’admittance.
Les cercles de résistance et deréactance sont orthogonaux.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 52 / 66
-
Abaque de Smith
Abaque de Smith : cercles combinés
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
On combine les cercles de résistanceet d’admittance.
Les cercles de résistance et deréactance sont orthogonaux.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 52 / 66
-
Abaque de Smith Ligne de transmission
Effet d’une ligne de transmission
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
Équation d’une ligne en fonction deΓ :
Zin = Z01 + Γe−j2βl
1− Γe−j2βl
qu’on normalise :
ZinZ0
=1 + |Γ|ej(θ−2βl)
1− |Γ|ej(θ−2βl)
La différence est le facteur e−j2βl.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 53 / 66
-
Abaque de Smith Ligne de transmission
Effet d’une ligne de transmission
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
Le facteur e−j2βl représente unerotation de 2βl dans le sens horaireautour du centre de l’abaque.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 54 / 66
-
Abaque de Smith Ligne de transmission
Exemple
Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ωsur la ligne. Quelle est l’impédance d’entrée ?
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
On normalise :
zL =ZLZ0
=75
50= 1.5 + j0
La rotation est :
θ =0.3
0.25· 180̊ = 216̊
Le nouveau point est≈ 0.7 + j0.18, ou 35 + j9 Ω
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 55 / 66
-
Abaque de Smith Ligne de transmission
Exemple
Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ωsur la ligne. Quelle est l’impédance d’entrée ?
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
On normalise :
zL =ZLZ0
=75
50= 1.5 + j0
La rotation est :
θ =0.3
0.25· 180̊ = 216̊
Le nouveau point est≈ 0.7 + j0.18, ou 35 + j9 Ω
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 55 / 66
-
Abaque de Smith Ligne de transmission
Exemple
Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ωsur la ligne. Quelle est l’impédance d’entrée ?
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
On normalise :
zL =ZLZ0
=75
50= 1.5 + j0
La rotation est :
θ =0.3
0.25· 180̊ = 216̊
Le nouveau point est≈ 0.7 + j0.18, ou 35 + j9 Ω
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 55 / 66
-
Abaque de Smith Ligne de transmission
Exemple
Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ωsur la ligne. Quelle est l’impédance d’entrée ?
-1
1
1
-1
0
r = 0.33 r = 3r = 1
j0.33
−j0.33
j1
−j1
j3
−j3
r = 0
r =∞
On normalise :
zL =ZLZ0
=75
50= 1.5 + j0
La rotation est :
θ =0.3
0.25· 180̊ = 216̊
Le nouveau point est≈ 0.7 + j0.18, ou 35 + j9 Ω
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 55 / 66
-
Abaque de Smith Admittances
Cercles d’admittance
-1
1
1
-1
0
g = 3 g = 0.33g = 1
j3
−j3
j1
−j1
j0.33
−j0.33
g =∞
g = 0
Pour des admittance y = g + jb, onpeut aussi tracer des cercles.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 56 / 66
-
Désadaptation à la source
Désadaptation à la source
Qu’arrive-t-il si la source n’est pas adaptée à la ligne (Z0 6= Zg) ?
Zg
Vg−+
−
+
Vin
−
+
VL
IL
ZL
z
0l
Z0
Zin
ΓLΓ
Il y a réflexion à l’entrée de la ligne.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 57 / 66
-
Désadaptation à la source
Désadaptation à la source
Zg
Vg−+
−
+
Vin
−
+
VL
IL
ZL
z
0l
Z0
Zin
ΓLΓVin =
ZinZin + Zg
Vg
La puissance à la charge est :
P =1
2Re{VinI∗in} =
1
2|Vin|2Re
{1
Zin
}=
1
2|Vg|2
∣∣∣∣ ZinZin + Zg∣∣∣∣2Re{ 1Zin
}
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 58 / 66
-
Désadaptation à la source
Désadaptation à la source
On substitue Zin = Rin + jXin et Zg = RG + jXg,
P =1
2|Vg|2
Rin(Rin +Rg)2 + (Xin +Xg)2
On analyse deux cas. Cependant, Zg est fixe.1 Charge adaptée (ZL = Z0)2 Source adaptée (Zin = Zg)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 59 / 66
-
Désadaptation à la source
Cas 1 : charge adaptée
ZL = Z0 ⇒ ΓL = 0Zin = Z0,
P =1
2|Vg|2
Z0(Z0 +Rg)2 +X2g
Pour P max, il faut que Zg soit faible.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 60 / 66
-
Désadaptation à la source
Cas 2 : source adaptée
Zin = Zg ⇒ Γ = 0
P =1
2|Vg|2
Rg4(R2g +X
2g )
Même si Γ = 0, il peut quand même y avoir des ondes stationnairessur la ligne.
La puissance à la charge n’est pas nécessairement plus grande que lecas 1.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 61 / 66
-
Désadaptation à la source
Cas 2 : source adaptée
Pour maximiser la puissance :
∂P
∂Rin= 0 et
∂P
∂Xin= 0
Ce qui donne, pour un transfert maximum de puissance,
Zin = Z∗g
La puissance est alors :
P =1
2|Vg|2
1
4Rg
Γ et ΓL ne sont pas nécessairement 0.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 62 / 66
-
Ligne avec pertes
Ligne avec pertes
Dans le cas d’une ligne avec des faibles pertes, α 6= 0, et doncl’équation de la ligne est :
Zin = Z0ZL + Z0 tanh(γl)
Z0 + ZL tanh(γl)
oùγ = α+ jβ
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 63 / 66
-
Ligne avec pertes
Ligne avec pertes
Le coefficient de réflexion est :
Γ(l) = ΓLe−2γl
La puissance à l’entrée de la ligne (z = −l) est :
Pin =|V +0 |2Z0
(1− |Γ(l)|2
)e2αl
La puissance fournie à la charge est :
Pin =|V +0 |2Z0
(1− |ΓL|2
)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 64 / 66
-
Conclusion
Conclusion
Ce chapitre forme la base du cours. Il est essentiel de bien comprendretous les éléments, en particulier :
Ligne de transmission : coefficient de réflexion, puissance.
Abaque de Smith : utilisation.
Cas spéciaux de ligne de transmission.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 65 / 66
-
Problèmes suggérés
Problèmes suggérés
Dans le manuel de Pozar :
2.2, 2.6 à 2.15, 2.17 à 2.25, 2.30
Et aussi les exemples du PDF.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 66 / 66
IntroductionLignes de transmissionCâble coaxialDeux filsPlaques parallèlesMicrorubanCoplanaireModélisation
Théorie des lignes de transmissionCoefficient de réflexionExempleImpédance d'une ligneCas spéciaux
Abaque de SmithLigne de transmissionAdmittances
Désadaptation à la sourceLigne avec pertesConclusionProblèmes suggérés