gempa

Dosen pengampu matakuliah:Dosen pengampu matakuliah:

Mekanika Getaran dan Gempa

Himawan IndartoIlham Nurhuda

Mengapa perlu belajar matakuliah Mengapa perlu belajar matakuliah Mekanika Getaran dan Gempa?Mekanika Getaran dan Gempa?

Dasar-dasar mekanika getaranDasar-dasar mekanika getaran

IsiIsi Persamaan kesetimbangan dinamik untuk struktur berderajat Persamaan kesetimbangan dinamik untuk struktur berderajat

kebebasan tunggal (SDOF)kebebasan tunggal (SDOF)

• Getaran tak teredamGetaran tak teredam• Getaran dengan redamanGetaran dengan redaman

Respon terhadap beban berdurasi singkatRespon terhadap beban berdurasi singkat Dasar-dasar analisis dinamik struktur dengan banyak derajat Dasar-dasar analisis dinamik struktur dengan banyak derajat

kebebasan (MDOF)kebebasan (MDOF)

Tujuan pembelajaranTujuan pembelajaranPada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:

Memahami persamaan kesetimbangan dinamik Memahami persamaan kesetimbangan dinamik pada getaran bebas teredam dan tak teredampada getaran bebas teredam dan tak teredam

Mampu melakukan analisis perpindahan struktur Mampu melakukan analisis perpindahan struktur berderajat kebebasan tunggalberderajat kebebasan tunggal

Struktur berderajat kebebasan tunggalStruktur berderajat kebebasan tunggal

Persamaan kesetimbangan dinamikPersamaan kesetimbangan dinamik

Getaran tak teredam

mku

um

0=+ kuum Persamaan kesetimbangan dinamik :

Gaya elastis

Gaya inersia

upercepatan

Persamaan kesetimbangan dinamikPersamaan kesetimbangan dinamikGetaran tak teredam

0=+ kuum Penyelesaian dari persamaan dinamik

( )( )

( )( ) ( ) ( )φωωω

ω

ωω

ωω

−=+=⇒+=

⇒=

+⇒=+

⇒=+

==

=

−

tstDtC

eAeA

m

k

iis

k

eAk

eAsueAsu

A

tseAu

nnn

titi

n

nn

st

stst

st

nn

inA tuatau sincostu

tu

where

- and :akar 2 memiliki

0ms

0.ms

..;..

konstantasebuah adalah dan

tu,adalah wak iabel,adalah var dimana . ambil

21

2

2

2

Amplitude of vibration

Angular velocity

Phase angle

Free Undamped Vibration

-1.5

0

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

time (secs)

u(t

)

Getaran tak teredam

A

Tn = 1 sec ; ωn = 2π /Tn = 6.28 radian/sec

Tn = 1 sec

Angular velocity(frekwensi natural)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttsts nnn ωωφω cos Din Ctuatau inA tu +=−=

Angular velocity Phase angle

Persamaan kesetimbangan dinamikPersamaan kesetimbangan dinamik

ku

0=++ kuucum Persamaan kesetimbangan dinamik :

Getaran teredam

m

um

Gaya elastis

Gaya inersia

upercepatan

Gaya redam uc

Penyelesaian persamaan kesetimbangan dinamikPenyelesaian persamaan kesetimbangan dinamikGetaran teredam

0=++ kuucum Persamaan kesetimbangan :

( )

..2 sehingga

..2atau .4

:ini kondisi pada 0, D bila terjadikritis Kondisi

.4 D :atas dipersamaan Determinan

0s

0.ms

tuadalah wak dan iabeladalah var dimana . ambil

22

22

22

2

ncr

nn

n

n

st

st

mc

mcm

c

m

c

sm

c

eAkcs

tseAu

ω

ωω

ω

ω

=

==

=

−

=

⇒=

++

⇒=++

=

Koefisien damping CKoefisien damping C

Ketika C mencapai nilai kritis CCR = 2 m ωn

Struktur tidak ber-osilasi (karena teredam).

Pada struktur yang bergetar, nilai redaman biasanya dinyatakan dalam prosentase terhadap redaman kritisnya (C/CCR (atau ζ )).

Contoh: struktur beton bertulang ζ = 0.05 atau 5 %

Persamaan kesetimbangan dinamik pada struktur teredamPersamaan kesetimbangan dinamik pada struktur teredam

02

:menjadi kembalidisusun dapat Persamaan

02

2 2dan c

: diketahui

0

2

cr

=++

=++

=⇒==

=++

uuu

kuumum

m cmcc

kuucum

nn

n

nncr

ωξω

ωξ

ωξωξ

Persamaan kesetimbangan dinamik pada getaran teredamPersamaan kesetimbangan dinamik pada getaran teredam

02 2 =++ uuu nn ωξω

( )( )

( ) { } ( )kecil bila 1 dimana

Asinatau sincostu

1-dan 1- :akar 2 memiliki

02s

02s

tuadalah wak dan iabeladalah var dimana ambil

2

22

22

22

ξωξωω

φωωω

ξξωξξω

ωξω

ωξω

ξωξω

nnD

Dt

DDt

nn

nn

stnn

st

tetDtCe

iis

s

Aes

tsAeu

nn

≈−=

−+=

⇒

−−

−+

⇒=++

⇒=++

=

−−

Damped Vibration (cont’d)

For Tn = 1 sec ; ωn = 2π /Tn = 6.28 radian/sec

( ) ( ) ( ) ( )[ ] cos Din Cor inA tu ttsetse DDt

Dt nn ωωφω ξωξω +−= −−

Damped angular velocity -1 2ξωω nD =

ξ Dω0.050.100.200.501.00

6.286.256.165.440

Example

Solution of equation :

Example :

Difference betweenωn and ωD may beignored for ζ < 0.2

Bagaimana menghitung respon Bagaimana menghitung respon struktur berderajat kebebasan tunggalstruktur berderajat kebebasan tunggal

m

kc=2.m.ωn.ξ

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

C 0u0u

0D C0 0u

0sin D0cos D

0cos C0in C 0u

sin Dcos D

cos Cin C tu

D 0u

0.cos D0.in C 0u

(0)u u

u(0) u

0 pada

cos Din C tu

00

00

0.

=+−−+=−−

+−=

−−

+−=

=+=

==

=+=

−−

−−

−−

−−

−

−

D

n

nD

DDDn

DDDn

DDt

Dt

n

DDt

Dt

n

DD

DDt

nn

nn

nn

nn

n

n

ee

ese

tette

tetse

se

t

ttse

ωξω

ξωωωωωξω

ωωωξω

ωωωξω

ωωωξω

ωω

ωω

ξωξω

ξωξω

ξωξω

ξωξω

ξω

ξω

Bagaimana menghitung respon Bagaimana menghitung respon struktur berderajat kebebasan tunggalstruktur berderajat kebebasan tunggal

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos u(0) in 0u0u

tu

++= − ttse DD

D

ntn ωωωξωξω

det/28.68

5.315rad

m

kn ===ω

rad/det 6.28 -1 2 == ξωω nD

m=8 Tk=316 kN/mξ=0.05

U(0)=1 m

( ) ( ) ( )[ ] 28.6cos 28.6in 0.05 tu )28.6(05.0 ttse t += −

Viscously damped vibrationViscously damped vibration

Viscously damped vibration

-1.5

0

1.5

0 1 2 3 4time (secs)

u(t)

e tnenvelope ξω−±=

detik 1 2

T ; ; 05.0n

nnD ==≈=ω

πωωξ

( ) ( ) ( )[ ] 28.6cos 28.6in 0.05 tu )28.6(05.0 ttse t += −

Viscously damped vibration (light damping)Viscously damped vibration (light damping)

ζ = 5%

ζ = 10%

ζ = 20%

ζ = 50%


-1.5

0

1.5


u(t

)Viscously damped vibration

-1.5

0

1.5


u(t

)


-1.5

0

1.5


u(t

)


-1.5

0

1.5


u(t

)

ζ = 100%


-1.5

0

1.5


u(t)

Damping kritis

( ) tu

2

1.0When

t

ncr

ne

mCCω

ωξ

−=

===

Tidak ada osilasi

Akhir kuliah pertamaAkhir kuliah pertama

gempa

Education