Generalizzazione Teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora recita:

“Il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”

Dove ovviamente “uguale” fa riferimento alla superficie. Il teorema di Pitagora si può generalizzare

costruendo sui cateti poligoni regolari diversi dal quadrato. Ad esempio, vale:

“Il pentagono regolare costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei pentagoni regolari costruiti sui

cateti”.

Vediamo come dimostrare questa generalizzazione. Per fare questo è necessario richiamare il calcolo della

superficie di un poligono regolare.

Si ricava facilmente che l’apotema di un poligono regolare di lato l con n lati è data:

� = �2 cotan �180

� �

Come noto l’area è data:

� = ��2 = ���

2 = �� �4 cotan �180

� � = � ��

4 cotan �180� �

Dove p è il perimetro del poligono regolare.

Supponiamo adesso di avere un triangolo rettangolo con cateti b e c, quindi l’ipotenusa:

�� = �� + ��

Calcoliamo le superfici dei poligoni regolari costruiti sui cateti:

�� = � ��

4 cotan �180� �

�� = � ��

4 cotan �180� �

�� = � ��

4 cotan �180� �

Dalle precedenti risulta immediato:

�� = �� + ��

Il teorema può essere generalizzato ulteriormente ipotizzando che i poligoni (con n lati) non siano regolari

ma simili.