Sluajni brojevi, generisanje sluajnih promenljive 1/15

Milorad Vidovi Objektno orijentisana simulacija logistikih sistema

Generisanje sluajnih brojeva

Kljuni element, neophodan za sprovodjenje simulacije jesu sluajni brojevi. Mada je generisanje brojeva koji su zaista sluajni u principu mogue, zahvaljujui fizikim fenomenima u makro (bacanje kocke, rulet,...) i mikro svetu (beli um, kvantni fenomeni,...), za praktino korienje u simulaciji i primenu metode Monte Karlo koriste se pseudo sluajni brojevi.

Pseudo sluajni brojevi po svojoj sutini, odnosno nainu nastanka, nisu sluajni, ve su posledica primene odgovarajueg algoritma, ali poseduju osobine koje u potrebnoj meri odgovaraju nizu sluajnih brojeva. Te osobine podrazumevaju pre svega nezavisnost, saglasnost sa odgovarajuim raspodelama verovatnoa koja se dokazuje statistikim testovima, kao i zadovoljenje testa autokorelativnosti.

Prvi od pristupa generisanju pseudosluajnih brojeva predloio je Don fon Nojman 1946, za potrebe korienja metoda Monte Karlo na raunaru ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer). To je bio jednostavan algoritam zasnovan na metodu sredine kvadrata.

Ovaj metod podrazumeva da se za generisanje niza pseudosluajnih izabere jedan poetni (semeni), te da se nakon kvadriranja tog broja, sledei dobija kao niz sredinjih cifara dobijenog kvadrata, nakon ega se postupak ponavlja.

Sluajni brojevi, generisanje sluajnih promenljive 2/15

Milorad Vidovi Objektno orijentisana simulacija logistikih sistema

Ako je izabrani semeni broj 6457, njegov kvadrat iznosi 41692849, te je prvi sluajni broj predstavljen sa etiri sredinje cifre 6928. Kvadriranjem ovog broja i ponavljanjem procesa dobija se niz ija su prva etiri lana: 6928, 9971, 4208 i 7072.

Medjutim, kod ovog algoritma, period do ponavljanja za n-to cifrene brojeve ne moe biti dui od 10n, te je primena ovog pristupa ograniena.

Pored ovoga razvijen je i niz drugih algoritama kao to su: linearni kongruentni generator, ili inverzni kongruentni generator, odnosno savremeniji, kao to su BlumBlumShub-ov generator (Blum L., et al. 1986) ili Mersenne twister (Matsumoto M., Nishimura T., 1998).

Linearni kongruentni generator predstavlja jedan od najstarijih i najpoznatijih algoritama Ovaj algoritam, predloen pre vie od pola veka (Lehmer, 1951) baziran je na primeni sledeeg rekurzivnog izraza:

Xj+1=(aXj+b) mod m

gde su:

jX pseudo sluajni brojevi (X0, semeni broj ija se vrednost zadaje) a,b,m celobrojne konstante, a>0, b>0,m>0 mod operator modulnog deljenja (oznaava ostatak pri deljenju dva broja, to znai da u mod v oznaava ostatak pri deljenju u brojem v)

Sluajni brojevi, generisanje sluajnih promenljive 3/15

Milorad Vidovi Objektno orijentisana simulacija logistikih sistema

Period linearnog kongruentnog generatora iznosi najvie m, ali je esto manji, te primena ovog generatora u mnogome zavisi od izbora vrednosti za a,b i m. S obzirom da se u simulaciji koriste sluajni brojevi u intervalu (0,1), najee se koristi

trensformacija mX

X j)1,0(j = .

U tabeli je dat primer sekvence pseudo sluajnih brojeva dobijenih primenom linearnog kongruentnog generatora, za m=11123, a=1341, c=2977 i X0=8543.

Primer korienja linearnog kongruentnog generatora

REDNI BROJ

maX j + jX m

XX j)1,0(j =

1 11459140 2450 0.22026

2 3288427 7142 0.64209 3 9580399 3496 0.31430 4 4691113 8330 0.74890 5 11173507 6015 0.54077 6 8069092 4917 0.44206 7 6596674 735 0.06608

Sluajni brojevi, generisanje sluajnih promenljive 4/15

Milorad Vidovi Objektno orijentisana simulacija logistikih sistema

Statistike metode i teorija verovatnoe u simulaciji

Simulaciono modeliranje povezano je i sa primenom metoda matematike statistike i teorije verovatnoe te podrazumeva znanja iz ovih oblasti. To se se pre svega odnosi na poznavanje osnovnih postavki teorije verovatnoe, pojma sluajne promenljive, osobina gustine i funkcije raspodele sluajnih promenljivih, parametara koji karakteriu sluajne promenljive najpre matematikog oekivanja i disperzije, kao i statistikih metoda na bazi kojih se ove veliine ocenjuju na uzorku, odnosno na empirijskim ili simulacijom dobijenim podacima.

Metode matematike statistike i teorije verovatnoe podjednako su vane za:

generisanje sluajnih vrednosti promenljive sa poznatim teorijskim ili empirijskim zakonom raspodele

analizu ulaznih podataka koji se koriste u simulacionom modelu

analizu rezultata simulacije

Sluajni brojevi, generisanje sluajnih promenljive 5/15

Milorad Vidovi Objektno orijentisana simulacija logistikih sistema

Generisanje sluajnih promenljivih iz kontinualnih raspodela

Kada je re o kontinualnim vrednostima, najee se koriste ravnomerna, ekspone-ncijalna, normalna, odnosno neka empirijska raspodela verovatnoa

RAVNOMERNA RASPODELA neprekidne sluajne promenljive X, na intervalu (a,b), kako je poznato, definie se gustinom raspodele verovatnoa

>

=

=

===

Funkcija raspodele definie se kao suma prethodnih verovatnoa, a matematiko oekivanje i disperzija dati su u nastavku.

x,...,2,1,0i,!i

e)xX(P)x(F

x

0i

i

=

=

Sluajni brojevi, generisanje sluajnih promenljive 14/15

Milorad Vidovi Objektno orijentisana simulacija logistikih sistema

Ukoliko se iskoristi relacija za generisanje eksponencijalno rasporedjene sluajne promenljive, tada se prethodni izraz moe napisati na drugi nain:

+

==

>1x

1i

i

x

1i

i

1x

1i

i

x

1i

i elnln

Na bazi prethodnog izraza mogue je konstruisati jednostavan algoritam (Banks et al. 2005) za generisanje vrednosti sluajne promenljive sa Puasonovom raspodelom

Korak 1. Postaviti x=0 i P=1

Korak 2. Generisati sluajan broj x+1 i zameniti P=P x+1

Korak 3. Ako je P

Sluajni brojevi, generisanje sluajnih promenljive 15/15

Milorad Vidovi Objektno orijentisana simulacija logistikih sistema

Primena algoritma prikazana je u tabeli, za Puasonovu raspodelu sa parametrom 0.1, korienjem pet sluajnih brojeva.

X P REZULTAT KORAKA 3 SIMULIRANA VREDNOST

0 0.6780 0.6780 0.6780