geodesia para dummies 1_geometria del elipsoide_040410_v2

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE

TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA

GEODESIA PARA DUMMIES

Preparado por: * Edilberto Niño N. [email protected]

Hoja 1 de 11

Capítulo I

LA ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los puntos

que cumplen la siguiente relación: PF+PF=2a;

donde P es cualquier punto de la elipse, F y F´

son los llamados focos de la elipse ver, figura

1.

Elementos de la Elipse

F, F´: Focos

AA´: Eje mayor = 2a.

OA: Semieje mayor = a.

BB´: Eje menor = 2b.

OB: Semieje menor = b.

e: Excentricidad.

f: Aplanamiento.

La distancia AA´ es llamada eje mayor de la

elipse, con lo que OA = OA´ = AA´/2=a, es

llamado el semieje mayor de la elipse denota-

do con la letra a.

La distancia BB´ es llamada eje mayor de la

elipse, con lo que OB = OB´ = BB´/2=b es

llamado el semieje menor de la elipse denota-

do con la letra b.

De la definición de la elipse se puede escribir:

𝐹𝑃 + 𝐹´𝑃 = 2𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1

𝐴𝐹´ = A𝐹 = 𝐴´𝐹´ = 𝐴´𝐹 = 𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2

Excentricidad.

En el área de las matemáticas y la geometría

la excentricidad se entiende como el paráme-

tro que determina el grado de desviación de

una sección cónica con respecto a una circun-

ferencia [1] ver figura 2. Así:

En el caso de una Elipse, la excentricidad (e)

está dada por relación

𝑂𝐹

𝑂𝐴´ =𝑂𝐹´

𝑂𝐴=

𝑂𝐹

𝑎=e.

Si OF, tiende a cero, entonces e = cero, y los

focos estarán en el centro O, así, la elipse se

convierte en una circunferencia.

Teniendo en cuenta que OF=OF´, y

FB+F´B=2a, y como FB=F´B (ver figura 3)

entonces FB=a

P

F´ F

a

b

O

2a

2b

Figura 1. Elementos geométricos de la Elipse

A´ A

B´

B

e=1

e=2

e=∞

e=0

e=0,5

Figura 2. La excentricidad de las

cónicas. Fuente:.wikipedia.

La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0).

La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 (0<e < 1).

La excentricidad de una parábola es 1 (e = 1).

La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1 (e > 1). [1]





Hoja 2 de 11

Por definición la excentricidad está dada por

la ecuación 3.

𝑒 =𝑂𝐹

𝑎=

𝑐

𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3,

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 4

De la ecuación 3 se tiene 𝑐 = 𝑒𝑎, y reempla-

zando este valor en la ecuación 4, tenemos.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑒𝑎 2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 − 5

Realizando procesos algebraicos a esta ecua-

ción tenemos:

𝑒𝑎 2 = 𝑎2 − 𝑏2 ,

𝑒2𝑎2 = 𝑎2 − 𝑏2,

𝑒2 =𝑎2 − 𝑏2

𝑎2 ,

𝑏2 = 𝑎2 1 − 𝑒2 , 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 6

𝑒 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑎2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 7

La ecuación 6 se conoce como la primera

excentricidad de la elipse.

De manera similar se deriva la segunda excen-

tricidad de la elipse, la cual se muestra en la

ecuación 1-8.

𝑒´ = 𝑏2 − 𝑎2

𝑏2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 8

El aplanamiento f, (de las iníciales del voca-

blo en ingle flat), está dado por la ecuación 8

𝑓 =𝑎−𝑏

𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 9.

Nota: Una elipse desde el punto de vista ge-

ométrico queda definida, cuando se conoce el

semieje mayor y el inverso del aplanamiento.

Ejemplo: La elipse que genera el Elipsoide de

Referencia Geodésico GRS80, tiene paráme-

tros geométricos básicos, los siguientes:

a=6378137 m

f= 1/298,2572221008827.

Otros parámetros de una elipse:

𝐸 = 𝑎2 − 𝑏2 ∶ Excentricidad lineal [2].

𝑝´ =𝑎2

𝑏 ∶ Radio de curvatura polar [2].

Ecuación de la Elipse

Se requiere hallar una expresión matemática

que permita describir una elipse en un plano

XY.

De la figura 4, tomando los triángulos F´PM,

y FMP, aplicando el teorema de Pitágoras

para dichos triángulos tenemos:

F´ F O

Figura 3. Elementos de la Elipse

A

P=B

a b

F´ F O

Figura 4. Elipse en el plano XY

X

P(x, y) Y

x

y

c c

a

b

M

c

c c





Hoja 3 de 11

Para el triangulo: F´PM.

𝐹´𝑃 2 = 𝐹´𝑀 2 + 𝑦2 ,

𝐹´𝑀 = 𝑐 − 𝑥 ,

𝐹´𝑃 2 = 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 10

Para: FMP.

𝐹𝑃 2 = 𝐹𝑀 2 + 𝑦2 ,

𝐹𝑀 = 𝑐 + 𝑥 ,

𝐹𝑃 2 = 𝑐 + 𝑥 2 + 𝑦2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 11

Se toma la ecuación 1, y se reemplaza en ésta,

los términos de la derecha de las ecuaciones

1-10 y 1-11, resultando la siguiente ecuación.

𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑐 + 𝑥 2 + 𝑦2 = 2𝑎

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 11,

Transponiendo el primer termino de la dere-

cha en la ecuación 1-11, y elevando todo al

cuadrado, tenemos:

𝑐 + 𝑥 2 + 𝑦2 = 2𝑎 − 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2,

𝑐 + 𝑥 2 + 𝑦2 = 2𝑎 − 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2 2,

Expandiendo los trinomios cuadrados, tene-

mos:

𝑐2 + 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2

= 4𝑎2 − 4𝑎 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2

+ 𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2

Agrupando y suprimiendo términos tenemos:

4𝑐𝑥 = 4𝑎2 − 4𝑎 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2,

Eliminando el numero 4 y transponiendo

términos se tiene:

𝑎 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑎2 − 𝑐𝑥,

Elevando al cuadrado a ambos lados de la

ecuación tenemos.

𝑎2 𝑐 − 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑎2 − 𝑐𝑥 2,

Extendiendo los trinomios cuadrados y reali-

zando operaciones tenemos:

𝑎2𝑐2 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 −2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐2𝑥2,

Suprimiendo términos tenemos:

𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 + 𝑐2𝑥2,

Transponiendo términos tenemos:

𝑎2𝑥2 − 𝑐2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2,

Agrupando términos se tiene:

𝑥2 𝑎2 − 𝑐2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2 𝑎2 −𝑐2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1−13,

De la ecuación 3 se tiene que:

𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 , por tanto la ecuación 1-12

de convierte en:

𝑥2 𝑏2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2,

Y dividiendo por 𝑎2𝑏2 , a ambos lados de la

ecuación tenemos:

𝑥2 𝑏2

𝑎2𝑏2 +𝑎2𝑦2

𝑎2𝑏2 =𝑎2𝑏2

𝑎2𝑏2 ,

Simplificando tenemos la ecuación de la elip-

se con focos en los puntos F´(0, -x) y F(0, x),

eje mayor 2a, y, eje menor 2b, figura 4, la cual

se muestra en la ecuación 13:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 13

EJERCICIOS 1:

1. Calcular los parámetros (e, e´, b, f, E y p´,

de las elipses con semieje mayor (a) igual a

los números n, con n perteneciendo a los

divisores propios de los números amigos1

(220, 284). Y c =n1/3, siendo n1, igual a

los números primos impares y menores a

41.

2. Dibujar 2 elipses, ayudándose con una

cuerda, dos tachuelas, un lápiz y una regla.

Comprobar empíricamente las ecuaciones

1 y 2.

3. Investigar el valor de los parámetros ge-

ométricos de la elipse generadora del elip-

soide de Hayford o elipsoide internacional.

1 Dos números amigos son dos enteros positivos a y b

tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a.





Hoja 4 de 11

4. Investigar el valor de los parámetros ge-

ométricos de la elipse generadora del elip-

soide GRS80.

Capítulo 2

El desarrollo de la geometría de la elipse y del

elipsoide, es una herramienta fundamental en

la conceptualización, desarrollo y aplicación

de la geodesia geométrica.

El Elipsoide de Revolución

Al hacer girar una elipse sobre uno de sus

ejes a, ó, b, (figura 2-1) cada fracción infini-

tesimal (muy pequeña) de giro, genera una

nueva elipse, con orientación distinta a la

anterior, ver figura 2-2. La suma de estas elip-

ses da como resultado una superficie denomi-

nada Elipsoide Revolución.

Sobre la superficie del elipsoide de revolución

se ubican “n” puntos. A fin de explicitar las

coordenadas X, Y de un punto sobre el elip-

soide, decimos que por cada punto sobre la

superficie del elipsoide pasa una elipse, como

se muestra en la figura 2-3.

La Elipse Meridiana.

La elipse que pasa por cada punto de la super-

ficie del elipsoide, se le denomina elipse me-

ridiana. Ver figura 2-4.

Coordenadas Geográficas Latitud y Longi-

tud.

O

Figura 2-1. Elipse

X

Y

a

b

Figura 2-3. Superficie del elipsoide

X

Y

P1(x, y)

O

Figura 2-2. Elipsoide de revolución

X

Y

a

b

O

Figura 2-4. Elipse Meridiana del punto p(x,y)

X

Y

a

b

P(x,y)





Hoja 5 de 11

Los elementos vistos hasta acá, nos permite

introducir el concepto más importante y estu-

diado en la geodesia y sobre el cual descansa

el desarrollo de las ciencias cartográficas,

topográficas, y en general todas las disciplinas

que están involucradas en la Geomática y las

disciplinas que tienen que ver con las ciencias

de la tierra, e indirectamente con el desarrollo

espacial, las comunicaciones y en general la

vida cotidiana del hombre moderno.

Ese concepto es el de las coordenadas geográ-

ficas Latitud y Longitud. A continuación se

desarrolla lo referente a la latitud, en razón de

que geométricamente es un poco complejo su

conceptualización y su desarrollo matemático

sobre el elipsoide.

Cuando se trata de definir una magnitud en

topografía o geodesia se debe tener muy pre-

sente el siguiente principio: Cuando se va a

realizar una medición se debe siempre reali-

zar las siguientes tres preguntas básicas, des-

de donde mido, sobre que mido y hasta donde

mido.

Latitud

En general la Latitud de un punto es el arco

medido desde el ecuador terrestre sobre el

meridiano o la meridiana que pasa por el pun-

to, hasta el punto.

Como se ve en la grafica (2-5) un punto en la

vida real no está sobre la superficie ideal elip-

soidal, sino que está en la superficie amorfa lo

que se denomina la topografía, es decir el

paisaje sobre el cual nos movemos.

Como esta superficie es completamente amor-

fa, sobre ella no es posible realizar cálculos

matemáticos ni geodésicos, todos los cálculos

se realizan es sobre la superficie del elipsoide.

De acuerdo a lo que se ve en la figura 2-6, por

un punto que este sobre la superficie terrestre

pasan tres verticales, dependiendo a cual su-

perficie se quiere referir dicho punto. Así

mismo se generan ángulos distintos de latitud.

Latitud geodésica 𝜑 : Es el ángulo que

forma la vertical al elipsoide con el plano del

ecuador, como se observa en la figura 2-6.

Geoide Elipsoide

Topografía P(x, y)

Vertical al Geoide

Vertical al Elipsoide

Figura 2-6. Verticales que se generan en un

mismo punto sobre la superficie terrestre.

Geoide

Elipsoide

Topografía

P(x, y)

Figura 2-5 Superficies fundamentales en los

estudios geodésicos

Y

O X

𝝋

P

90𝑜 + 𝜑

A

B Q

Figura 2-7. Latitud geodésica 𝜑





Hoja 6 de 11

Latitud reducida 𝛽 : Es el ángulo en el

centro de la circunferencia tangente a la elipse

en los extremos del eje mayor (2a) formado

entre el ecuador y el radio de la circunferencia

que va al punto interceptado en ella por la

línea recta perpendicular al semieje mayor de

la elipse que pasa por el punto en considera-

ción, como se ve en la figura 2-8. Se denomi-

na también latitud paramétrica o latitud ge-

ométrica.

Latitud Geocéntrica 𝜓 : Es el ángulo en el

centro de la elipse entre con el plano del ecua-

dor y el radio geocéntrico del punto en consi-

deración. Como se ve en la figura 2-9.

Relación entre la latitud Geocéntrica y la

latitud reducida.

𝑡𝑔𝛽 =𝑏

𝑎𝑡𝑔𝜓 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 1

Relación entre la latitud Geodésica y la lati-

tud reducida.

𝑡𝑔𝜓 =𝑏

𝑎𝑡𝑔𝜑 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 2

Longitud Geodésica.

Longitud geodésica de un punto es el ángulo

formado por el plano meridiano geodésico

(elipse meridiana) del punto y el plano meri-

diano geodésico origen o meridiano de Gre-

enwich, se mide sobre el ecuador terrestre,

positiva al este de Greenwich y negativa al

oeste de Greenwich, ver figura 2-10.

Coordenadas Rectangulares X Y de un punto

sobre la Elipse.

A cada punto sobre la elipse meridiana le

corresponde unas coordenadas X, Y, las cua-

les están en función de la latitud geodésica y

los parámetros geométricos de la elipse. A

continuación se derivan la métrica de dichas

coordenadas.

De la figura 2-7, se deduce que la línea AB, es

la tangente a la elipse meridiana en un punto

P(x, y), de la gráfica tenemos que el ángulo

Figura 2-8 Latitud Reducida

Y

O

X 𝜷

P

Figura 2-9 Latitud Geocéntrica

Y

O

X 𝝍

P

O

Figura 2-10. Longitud Geodésica

E

Z

W

Meridiano

Origen

𝜆𝑊 𝜆𝐸





Hoja 7 de 11

que forma la tangente con el ecuador es

90 + 𝜑, así, se puede plantear la siguiente

ecuación.

𝑡𝑔 90 + 𝜑 =𝑑𝑦

𝑑𝑥, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 3

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑐𝑜𝑡𝑔𝜑, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1

𝑡𝑔𝜑, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 5

De la ecuación 1-13, conocida como la ecua-

ción de la elipse.

𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1,

Derivando parcialmente, la ecuación de la

elipse respecto a y, tenemos:

2𝑥

𝑎2+

2𝑦

𝑏2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0,

2𝑦

𝑏2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

2𝑥

𝑎2,

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

2𝑥𝑏2

2𝑦 𝑎2 , 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 6

Igualando las ecuaciones 2-5 con 2-6, se tiene:

−1

𝑡𝑔𝜑= −

𝑥𝑏2

𝑦 𝑎2 ,

1

𝑡𝑔𝜑=

𝑥𝑏2

𝑦 𝑎2 ,

𝑦 =𝑥𝑏2𝑡𝑔𝜑

𝑎2 ,

Sustituyendo el término 𝑏2 de la ecuación 1-

6, tenemos:

𝑦 =𝑥𝑎2 1 − 𝑒2 𝑡𝑔𝜑

𝑎2,

𝑦 = 𝑥 1 − 𝑒2 𝑡𝑔𝜑, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 7

Tomando la ecuación de la elipse y reempla-

zando la ecuación 2-7 en la tenemos.

𝑥2

𝑎2+

𝑥2 1 − 𝑒2 2

𝑡𝑔2𝜑

𝑎2= 1,

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 8

Desarrollando la ecuación 2-7, a fin de obte-

ner una ecuación de X en función de 𝜑 , a y

𝑒2

𝑥2 + 𝑥2 1 − 𝑒2 2

𝑡𝑔2𝜑 = 𝑎2 ,

Se factoriza 𝑥2,

𝑥2 1 + 1 − 𝑒2 2

𝑡𝑔2𝜑 = 𝑎2 ,

𝑥2 1 + 𝑡𝑔2𝜑 − 𝑒2𝑡𝑔2𝜑 = 𝑎2 ,

1 + 𝑡𝑔2𝜑 = 𝑠𝑒𝑐2𝜑

𝑥2 𝑠𝑒𝑐2𝜑 – 𝑒2𝑡𝑔2𝜑 = 𝑎2 ,

𝑥2 1

𝑐𝑜𝑠2𝜑 − 𝑒2

𝑠𝑒𝑛2𝜑

𝑐𝑜𝑠2𝜑 = 𝑎2 ,

𝑥2

𝑐𝑜𝑠2𝜑 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 = 𝑎2 ,

𝑥2 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 = 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜑,





Hoja 8 de 11

𝑥2 =𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,

𝑥 =𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 , 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 9

Reemplazando en la ecuación 2-6, la ecuación

2-8, tenemos:

𝑦 =𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 1 − 𝑒2 𝑡𝑔𝜑,

𝑦 =𝑎 1 − 𝑒2 𝑠𝑒𝑛𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 10

Así, las ecuaciones 2-8 y 2-9 permiten obtener

las coordenadas x, y sobre la elipse meridiana

teniendo en cuanta una latitud geodésica dada

y los parámetros geométricos de la elipse.

EJERCICIOS 2:

1) Teniendo en cuenta los parámetros de la

elipse generadora del elipsoide GRS 80,

a =6378137 m

f = 1/298,2572221008827

e2

= 0.00672267002233

Calcular las coordenadas x, y sobre dicha

elipse para los siguientes valores de latitud:

𝜑 = 4𝑜35` 46.3215``𝑁 , 𝜑 = 0𝑜0` 0``.0

𝜑 = 15𝑜0` 0``.0 𝑁

𝜑 = 15𝑜0` 0``.0 𝑆

𝜑 = 45𝑜0` 0``.0 𝑁

𝜑 = 45𝑜0` 0``.0 𝑆

𝜑 = 75𝑜0` 0``.0 𝑁

𝜑 = 75𝑜0` 0``.0 𝑆

𝜑 = 90𝑜0` 0``.0 𝑁

𝜑 = 90𝑜0` 0``.0 𝑆

Radios principales de la elipse meridiana.

En la figura 2-11, la recta QP, se denomi-

na la gran normal, es el mayor de los

posibles radios de curvatura de la elipse

meridiana en el punto en consideración,

así mismo de dicha figura se deduce que:

𝑠𝑒𝑛 90 − 𝜑 =𝑥

𝑄𝑃

𝑐𝑜𝑠 𝜑 =𝑥

𝑄𝑃

𝑄𝑃 = 𝛶, 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝛶 .

Y

O X

𝝋

P

90𝑜 + 𝜑

A

B Q

x

y

90 − 𝜑

Figura 2-11 Esquema de la Gran Normal

M





Hoja 9 de 11

𝛾 =𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 9

Tomando la ecuación 2-8 y para reemplazar el

término x en la ecuación 2-10, se tiene:

𝛶 =

𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑

𝑐𝑜𝑠 𝜑

𝛶 𝜑 =𝑎

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 1/2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 11

La ecuación 2-11, permite el cálculo del radio

mayor de la elipse meridiana en un punto

dado, en función de la latitud geodésica y los

parámetros geométricos de la elipse meridia-

na.

El otro radio de gran importancia en geodesia

geométrica es el llamado radio meridiano de

la primera vertical, se denota con la letra grie-

ga 𝜌.

Seguidamente se deriva la ecuación de radio

meridiano de la primera vertical.

De la figura 2-12 tenemos que:

𝑑𝑠 = 𝜌 𝑑𝜑,

𝜌 = 𝑑𝑠

𝑑𝜑 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 12

Como ds se supone un arco infinitesimal, se

puede asimilar a una recta, por tanto,

𝑑𝑠 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 13

De otra parte la tangente del ángulo 𝜑 se ex-

presa mediante:

𝑡𝑔 𝜑 = 𝑑𝑦

𝑑𝑥, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 14

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑑𝑦/𝑑𝑥 , 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 15

Derivando la ecuación 2-12 respecto a x, te-

nemos:

𝑑𝜑

𝑑𝑥=

𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2

1 + 𝑑𝑦𝑑𝑥

2 , 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 16

Tomando la ecuación 2-12 y multiplicando y

dividiendo por dx en el término derecho de la

ecuación, tenemos:

𝜌 =

𝑑𝑠𝑑𝑥𝑑𝜑𝑑𝑥

𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 17

Tomado la ecuación 2-13 y dividiendo a cada

lado de la ecuación por dx, tenemos

𝑑𝑠

𝑑𝑥=

𝑑𝑥2

𝑑𝑥2+

𝑑𝑦2

𝑑𝑥2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 18

Simplificando al interior del radical se tiene:

𝑑𝑠

𝑑𝑥= 1 +

𝑑𝑦2

𝑑𝑥2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 19

Reemplazando en la ecuación 2-17, las ecua-

ciones 2-16 y 2-19, tenemos:

𝜌 = 1 +

𝑑𝑦2

𝑑𝑥2



2


Y

O

X

𝒅𝝋

ds

Figura 2-12. Esquema de la radio de la pri-

mera vertical

𝝆





Hoja 10 de 11

Haciendo producto de medios y extremos

tenemos

𝜌 =

1 +𝑑𝑦2

𝑑𝑥2 1/2


2

2/2



Agrupando el numerador,

𝜌 =


2

3/2



Tomando la ecuación 2-3, y derivando se

tiene

𝑑2𝑦

𝑑𝑥 2= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝜑)

𝑑𝜑

𝑑𝑥,

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 23

𝑑2𝑦

𝑑𝑥 2=

1

𝑠𝑒𝑛2𝜑 𝑑𝜑

𝑑𝑥 , 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 24

Luego se debe hallar el valor de 𝑑𝜑

𝑑𝑥 , para

ello tomamos la ecuación 2-9 y derivamos

𝑑𝑥

𝑑𝜑

=

−𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 12 − 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑

12 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 −

12 −2𝑒2𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,


Eliminado el 2, y agrupando 𝑐𝑜𝑠𝜑, enviando

el radical negativo al denominador, tenemos

𝑑𝑥

𝑑𝜑

=

−𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 12 −

𝑎 𝑐𝑜𝑠2𝜑 −𝑒2𝑠𝑒𝑛𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 12

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,


Sacando común divisor y factorizando 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 , tenemos:

𝑑𝑥

𝑑𝜑

=

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 − 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 − 𝑐𝑜𝑠2𝜑 −𝑒2

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 12

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,


Agrupando el numerador y haciendo producto

de medios y producto de extremos tenemos.

𝑑𝑥

𝑑𝜑=

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 −1 + 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 + 𝑒2𝑐𝑜𝑠2𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32

,


Factorizando 𝑒2, y sabiendo que 𝑠𝑒𝑛2𝜑 +𝑐𝑜𝑠2𝜑 = 1, y sacando el signo menos del

paréntesis, tenemos:

𝑑𝑥

𝑑𝜑= −

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 1 − 𝑒2

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32

,


Transponiendo términos tenemos,





Hoja 11 de 11

𝑑𝜑

𝑑𝑥= −

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 1 − 𝑒2 ,


Reemplazando esta ecuación en la ecuación 2-

24, se tiene:

𝑑2𝑦

𝑑𝑥 2= −

1

𝑠𝑒𝑛2𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 1 − 𝑒2 ,

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 31

Reemplazando en el denominador de la ecua-

ción 2-22, se tiene:

𝜌 = 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 3/2

1𝑠𝑒𝑛2𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 1 − 𝑒2

𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2

− 32

Reemplazando 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 3/2 por su equiva-

lente 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜑 3/2 y efectuando producto de

medios y extremos, tenemos

𝜌

= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜑 3/2𝑎 1 − 𝑒2 𝑠𝑒𝑛3𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32


− 33

Como 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜑 = 1/𝑠𝑒𝑛2𝜑

𝜌 =

1𝑠𝑒𝑛3𝜑

𝑎 1 − 𝑒2 𝑠𝑒𝑛3𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 32


− 34

Simplificando en el numerador se tiene final-

mente la ecuación del Radio de curva-

tura de la sección normal meri-

diana

𝜌 𝜑 =𝑎 1 − 𝑒2

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 3/2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 35

EJERCICIOS 3:

Teniendo en cuenta los parámetros de la


a =6378137 m

f = 1/298,2572221008827

e2

= 0.00672267002233

e´2 = 0.00673949677548

b =6356752.31414 m

3.1). Calcular las coordenadas x, y, 𝜌 y 𝛾

sobre dicha elipse para los siguientes valores

de latitud:

𝜑 = 4𝑜35` 46.3215``𝑁 , 𝜑 = 45𝑜0` 0``.0 𝑁

𝜑 = 90𝑜0` 0``.0 𝑁

3.2). Calcular los valores de 𝜌 y 𝛾 sobre

la elipse generadora del elipsoide GRS80,

para los valores de latitud de cero a no-

venta grados, cada diez grados, realizar la

grafica comparativa y realizar el análisis

cuantitativo y cualitativo de los dos radios

principales.

Coordenadas Cartesianas Geocéntricas elip-

soidales (X,Y,Z)

O

Figura 2-13. Coordenadas rectangulares X, Y, Z

geocéntricas

Y

Z

X Y

X

Z

γ

P(X,Y,Z)

h

𝜆 𝜑





Hoja 12 de 11

Las coordenadas cartesianas geocéntricas

elipsoidales (x, y, z), para un punto cualquie-

ra sobre la superficie terrestre vienen dadas

por la siguiente métrica, donde los parámetros

son de la figura 2-13, es posible derivar dicha

métrica:

𝜑 = 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜

𝜆 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜

h= altura del punto desde la superficie del

elipsoide.

x= Coordenada X geocéntrica del punto P

y= Coordenada Y geocéntrica del punto P

z= Coordenada Z geocéntrica del punto P

Para un punto sobre el elipsoide.

𝑥𝑦𝑧

=

𝛾𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜆𝛾𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜆

𝛾 1 + 𝑒2 𝑠𝑒𝑛𝜑

ecuación 2-36.

Para un punto a una altura dada (h), sobre el

elipsoide

𝑥𝑦𝑧

=

𝛾 + 𝑕 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜆

𝛾 + 𝑕 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜆

𝛾 1 + 𝑒2 + 𝑕 𝑠𝑒𝑛𝜑

ecuación 2-37

Así, mismo se derivan

𝜑 = 𝑡𝑔−1 𝑍 + 𝑒`2𝑏𝑠𝑒𝑛3𝜗

𝑋2 + 𝑌2 + −𝑒2𝑎𝑐𝑜𝑠3𝜗

ecuación 2-38

𝜗 = 𝑡𝑔−1 𝑍𝑎

𝑋2+𝑌2∗𝑏

ecuación 2-39

𝜆 = 𝑡𝑔−1 𝑌

𝑋 ecuación 2-40

𝑕 = 𝑋2 + 𝑌2

𝑐𝑜𝑠𝜑− 𝛾 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 41

EJERCICIOS 4:

Teniendo en cuenta los parámetros de la


a =6378137 m

f = 1/298,2572221008827

e2

= 0.00672267002233

Resolver los siguientes ejercicios:

4.1). Calcular las coordenadas X, Y , Z para

el punto sobre la superficie elipsoidal que

tiene coordenadas elipsoidales:

𝜑 = 4𝑜35` 46.3215``𝑁 ,

𝜆 = 74𝑜04` 39.0285``𝑊 h= 2620 m

4.2). Calcular las coordenadas 𝜑, 𝜆, h para el

punto sobre la superficie elipsoidal que tiene

coordenadas cartesianas geocéntricas:

X=1744890.24 m

Y= - 6116370.86 m

Z= 507899.216 m.

4.3). Suponiendo la tierra un modelo episódi-

co con parámetros:

a =6378.137 km

f = 1/298,2572221008827

e2

= 0.00672267002233

e´2 = 0.00673949677548





Hoja 13 de 11

b =6356.75231414 km

y un satélite artificial con órbita polar. Calcu-

lar:

a) La altitud del satélite sobre el polo

norte, para un observador ubicado en

una latitud, 𝜑 = 37𝑜𝑁.

b) La superficie terrestre observada

desde la posición del satélite (con-

siderando el área del elipsoide

aproximada a la esfera local o cas-

quete esférico)

Notas Bibliográficas:

[1]. http://es.wikipedia.org .

[2]. Asenjo Villamayor, Luis García -

Hernández López, David. Universidad Po-

litécnica de Valencia. Geodesia - 2003 - 530

páginas

[3].José Raúl Ramírez Pinillos. Geodesia

Geométrica.

geodesia para dummies 1_geometria del elipsoide_040410_v2

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