geogebra y circunferencia

GEOMETRÍA ANALÍTICA

2015 AUTORES DEL

COMPENDIO DE

PROBLEMAS:

CELIA

DANA TAMARA

ROSMERY

ROCIO

WILLIAMS

WILMER

ALISON ANA

LIMBER FREDDY

MOISES

SONIA BEATRIZ

NORMA

SOLEDAD DAYSI

XENA

EDWIN

GABRIELA

MARCOS

JORGE LUIS

EDGAR GABRIEL

RUDDY

OMAR ABRAHAM

MARGARITA

ESMERALDA

JHONATTAN ALEJANDRO

MARISABEL

ANA MARIA

ALVARO JOEL

EVER JHONEL

RODRIGO

ELIO DANNY

DAYSI DORIS

JOHNNY

ELISEO

CARLA MILENCA

APLICANDO

GEOGEBRA

CON LOS

ESTUDIANTES

LA

CIRCUNFERNCI

A

PROFESOR GUÍA: LIC. JORGE MANCACHI

CHOQUE

2015

UNIDAD EDUCATIVA

YUNGUYO FE Y

ALEGRIA (turno tarde)

6º de SECUNDARIA ROJO

GEOMETRÍA

ANALÍTICA

TODOS LOS PROBLEMAS DEBEN TENER UN ANALISIS DETALLADO DE CADA PROBLEMA

CONSIDERANDO ORDEN, GRAFICOS PRECISOS USO INSTRUMENTOS GEOMETRICOS CON

MEDIDAS ADECUADAS.

1) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene:

a) El centro en el punto (2,5) y el radio es igual a 7

b) Un diámetro con extremos los puntos (8,-2) y (2,6)

Para encontrar la ecuación se debe de utilizar la fórmula de:

PARA EL PUNTO (2,5) PARA EL PUNTO (8-2) PARA EL PUNTO (2,6)

D2+E5+F=-29 8D-2E+F=-60 2D+6E+F=-40 Entonces lo resolvemos con el método sarus o cramer: PARA D PARA E

=58-200-360-80+174+300 =-120-58-320+120+80+232

D= =-108 =-66

E= PARA F PARA EL

PIGOTE

F=

=160-600-1392-116+720+1600 =-4+10+48+4-12-40 =372 =16 LA ECUACION ES:

2). Calcula el centro y el radio graficando la circunferencia:

Teniendo la cónica: ; siendo mi (h, k)= (0.75,1.25)

Se debe de utilizar esta fórmula: d= para encontrar la distancia:

d=

d=

d=

d= d=2.15R.

Hallando el centro de: Método de sustitución sustituyendo en “x” 3x+5y-5=0 3x=-5y+5

5y=-3x+5 3x= -5

Y= 3x=

Y= y=1 3x=3x x=0

Punto A (0,1) 3). mencionar y analizar la posición relativa de la recta y=3-2x respecto de la circunferencia: a)

Para la recta: Y+2x=3/1/3 Y + x = 1 P (3,1.5)

3 1.5

Para la distancia se utilizara la fórmula de d= : sabiendo que la cónica

es:

d=

d=

d=

d= d=1.65

Hallando el centro de: Método de sustitución: sustituyendo en x: 3y=2x-2 2x=3y+2 PUNTO A (0,-1)

Y= x=

y= y=-1 2x=2x x=0

para el punto de la recta con la intersección con la circunferencia es(2,-1) b) Para la recta: Y+2x=3/1/3 Y + x = 1 P (3,1.5)

3 1.5


es

-3x+4y-3=0 d=

d=

d=

d= d=1.7

Hallando el centro de: Método de sustitución: sustituyendo en “x” Punto A (0,0.75) -3x+4y-3=0 3x=4y-3

4y=3x+3 3x=4

Y= 3x=3x x=0

Y= y=0.75

c) 2 Para la recta: Y+2x=3/1/3 Y + x = 1 P (3,1.5)

3 1.5


es:

3x+5y-5=0 d=

d=

d=

d= d=0.7

Hallando el centro de: 2 Método de sustitución: sustituyendo en “x” Punto A (0,1) 3x+5y-5=0 3x=5y-5

5y=3x+5 3x=5

Y= 3x=3x x=0

Y= y=1

4). Dada la circunferencia , calcular las rectas a ella que son paralelas a la recta x+y+4=0

Para hallar la recta: x+y+4=0 x + y=-4/1/4 P (-4.-4)

-4 -4 Para hallar la paralela de la recta x+y+4=0 se utiliza la fórmula de

x + y+4=0 y=-x-4

Siendo las rectas paralelas x+y=1 y el x+y =-0.86/ 1/0.86 x+ y = 1/1/1 x + y = 1 1 1 -0.86 -0.86 Punto paralelo (1,1) Punto paralelo (-0.86, 0.86) 5). Determinar la ecuación (de forma conocida o estándar y general) de la circunferencia, que satisfaga las siguientes condiciones: a) Centro en el origen y radio =

El punto de origen es P (0,0)

El centro es (0,0)

El punto de distancia

Hallando la distancia

b) C (- 2,3) Y r =1

Reemplazando la ecuación

c) C (-3,-1) Y r =

SUSTITUIR: Para “x”

X= +

X= =

X= x = = = 0

x =0

Para el valor de “y”

Y=

Y= y= = = 0

Y = 0

d). Tiene un diámetro con extremos.

X (-1,1) Y (1,-3)

Datos para resolver el problema Se aplica:

Valor de “x”

X (-1,1)

Sustituir:

+ Dx + Ey + F = 0

+ + 1D + 1E + F = 0

1D + 3E + F = 8 1

Valor de “Y”

Y (-1,-3)

Sustituir:

+ Dx + Ey + F = 0

+ 1D + 3E + F = 0

1D + 3E + F = 13 2

D = 3 3

D = 3 = (0 + 13 ) + 3 ( 13)

D = 3 – 13 + 3 – 13

D = 6

e) Pasa por el punto A (2,-1) y con centro C (4,2)

Hallando el radio:

Hallando la ecuación:

R.-

f) Con C (2,-3) y tangente al eje x

C (2,-3) Pt(2,0)


R.-

g) Con C (-4,5) y tangente al eje y. P (0,5)

=

=

=( )

d=

d=4


=16

h) Tangente al eje x en A (4,0) y tangente al eje y en B (0,-4).

= r

4= r

C=(4,-4)


i) Con C (1, -2) y que es tangente a la recta L: con la ecuación x-y=1

Hallando para el grafico de la recta:

PUNTO DE INTERSECCION DE LA RECTA ES: Pi (0, -1)

Hallando la distancia del punto hacia la recta:


R.-

6. Para cada ecuación, determinar si es posible, el centro, radio y trazar su gráfica

con compas.

a)

R.-

EL CENTRO ES C (h: 2; k: 0) PUNTO (2,2)

Hallando el radio:

R.- r=2


R.-

b) +

C (h=-1; K=1) r =

c) + =4

C (h=2); (k,=0) +

-4x +4+ =0

d)

HALLANDO EL CENTRO: C (h: 2; k: 0) PUNTO: (0,1)

Hallando el radio:

R.- 2.24

d)

HALLANDO EL CENTRO: C (h: 2; k: -3) PUNTO: (2,0)

Hallando el radio:

R.-

f)

C (h= r=9

7). Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (5,-2) y que pase por el punto (-1,5). C (5,-2) P (-1,5)

Resolviendo el problema

La radio seria

R=9,21

La respuesta es

8). Hallar la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea

el segmento que une los puntos: (5, -1) y (-3, 7).

Punto medio entre Ay B:

A (5, -1) y B(-3, 7)

Pm

Pm

Pm

Pm (1, 3)

Hallando el radio:


R.-

9) hallar la ecuación de la circunferencia que pase por el punto por el punto (0,0),

que tenga de radio r=13 y la abscisa de su centro sea -12

Punto A= (0,0)

Abscisa= (-12,1)

Por lo tanto la ecuación de la circunferencia será:

Haciendo operaciones algebraicas:

10). Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (5,3); (6,2) y (3, -1). PUNTOS: A (5,3); B (6,2) y C (3, -1).

ECUACION GENERAL: PARA A (5, 3)

………………(1)

PARA B (6, 2)

………………(2)

PARA C (3, -1)

………………(3)

ECUACION DE TERCER GRADO:

D:

D: -68-30+40+20-34+120 D: 48

E:

E: -200-102-60+120+50+204 E: 12

F:

F: -100-360+204+204-200+180 F: -72

Δ:

Δ: 10+9-6-6+5+18 Δ: -6

Cst:

Cst:

Cst; La solución reemplazando es:

11) hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los (2,3) y (-1,1) y cuyo

centr

o está

situad

o en

la

recta

x-3y-

11=0

P (2,3) y (-1,1)

Graficando recta C (3,5); (-2,5)

x-3y-11=0 C

x-3y=11// r=5.7

- =1 r=

Ecuación:

+ =

+

0

12) hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triangulo cuyos lados son

las rectas:

Rectas del triángulo:

x+y=8 ; 2x+y=14 ; 3x+y=22

Ecuación: C= (3,-2) r=5

13) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (-4,2) y que sea

tangente a la recta 3x+4y-16=0

P (-4,2) //3x+4y-16=0 r=4

Ecuación:

0

Hallando la distancia:

14. hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

A= a) (4,5);(3,-2);y(1,-4)

Se debe de utilizar la fórmula de: Para el P. (4.5) Para el P(3,-2) Para el P (1,-4)

4D+5E+F=-31 3D-2E+F=-13 D-4E+F=-17

PARA EL D PARA EL E

D=

E= 3.3 =62-85+52-34-124+65 =-52-

31-51+13+68+93

F= =-64 =40

PARA F PARA EL PIGOTE

=136-65+372-62+208+255 =-8+5-12+2+16-15 =844 =-12 RESPUESTA

b) (8,-2);(6,2)Y(3,-7)

Se debe de utilizar la fórmula de: Para el P.(8.-2) Para el P(6,2) Para el P(3,-7)

8D-2E+F=-88 6D+2E+F=-40 3D-7E+F=-58

PARA D PARA E

D=

E= =-76+116+280+116-616-80 =-320-

264-348+120+464+528

F= =-260 =180

PARA F PARA EL PIGOTE

=-928+240+3696+528-2240-696 =16-6-42-6+56+12 =600 =30 RESPUESTA

C) + =4

C (h=2); (k,=0) +

-4x +4+ =0

c) (1,1); (1,3) Y (9,2) C(4,94;2) r=4,06

Ecuación:

15. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados:

a) X-Y=-2; 2X+3Y-1=0; 4X+Y-17=0

PARA X-Y=-2 PARA 2x+3y-1=0 PARA 4x+y-17=0

x-y=-2/1/2 2x+3y=1/1/1 4x+y=17/1/17

x-y=1 x+ y=1 x +y=1

-22 17

Se utilizara la fórmula de

PARA: (-2,2) PARA: PARA: ( 17)

-2D+2E+F=0 R.

18D+12E+36=-13 R.

68D+272E+F=-4913 R.

Se utiliza el método cramer o sarus

-2D+ 2E + F = 0 PARA D PARA

E

18D+12E +36= -13

68D+272E+16=-4913 =0-353736-0+58956-0+416

=416+0-88434+884-353736-0

D= =-12.8 =-294364 =-440870

E= =-19.2 PARA F PARA

pigote

F= 3

=117912-1768-0-0-7072+176868 =-

384+4896+290-816+19584-576

=282940 =22994

La ecuación es:

b) x+2y=5; 2x+y-7=0; x-y+1=0

PARA: x+2y=5

PARA: 2x +y-7=0 PARA: x-y+1=0

x + 2y =5/1/5 2x+ y = 7/1/7 x -y =-1/1/1

5 7 -1 1

Se utilizara la fórmula de

PARA: PARA:

PARA

5D+ /4 -D+E+F=0

20D+10E+4=125 35D+175E+25=1274

Se utiliza el método cramer o sarus PARA D PARA

E

= 2125+0+5096-0-3125-12740 =

25480-3125+0+5096-0-4375

D= =15.7 =-8644 =

23076

E= PARA F PARA pigote

F=

=0-12740+4375+2125-25480-0 =340-

250+140+68-500-350

= -31720 =-552

La ecuación es:

c) 3x+2y-13=0; x+2y-3=0; x+y-5=0

PARA: 3x+2y-13=0 PARA: x+2y-3=0 PARA: X+Y-

5=0

3x +2y =13/1/13 x + 2 y = 3/1/3 X + Y = 5/1/5

X + y = 1 x + y =1 X + Y = 1

3 5 5

PARA: PARA: PARA

3D+ /4 5D+5E+F=50

156D+234E+36=-2197 12D+6E+4=-45

Se utiliza el método cramer o sarus PARA D PARA

E

= -13182+46800-8100-10800 =-

7020-43940+21600+8100

+43940+1035 -

31200+26364

=62693 = -

26096

D= 81.6 PARA F

PARA pivote

E= =-33.9

F= =46800-52650-131820+65910

=936+4680+2160-1080-3120

+35100-2340 -2808

= -39000 =768

La ecuación es:

16) calcular la distancia desde el punto = (7,-3) hasta la recta y=x-2

17) Calcular la distancia desde el punto A (5,8) hasta la recta Y=x-2

Puntos: A (5,8), Y=x-2

18. CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE LAS RECTAS CUYAS ECUACIONES SON:

Hallando el problema Sus rectas son:

El punto 1 es:

P1 (0,0) El punto 2 es:

Hallando la distancia

La distancia es

19. Utilizando la fórmula de la distancia de un punto a una recta, calcular el área

del triángulo cuyos vértices son: A (-3,4) B (5,3) C (2,0)

HALLANDO LA BASE DEL TRIANGULO

D=√ (2&〖〖 (X〗_2-X_1) 〗^2+〖(Y_2-Y_1)〗^2 )

D=√ (〖 (-3) 〗^2+〖 (-3) 〗^2)

D=√18

HALLANDO LA PENDIENTE DE LA RECTA

M= (Y_2-Y_1)/(X_2-X_1 )

M=(O-3)/(2-5)

M=1

HALLANDO LA ECUACION DE LA RECTA: Y-Y_1=m(X-X_(1 ))

Y-0=1(X-2)

-X+Y+2=0

ENCONTRAR LA DISTANCIA DE UN PUNTO HACIA UNA RECTA

d= ((Ax+Bx+C))/(√(〖(A)〗^2 )+(B)^2 )

d=((-1(-3)+1(4)+2))/√(1+1)

d=9/√2

HALLANDO EL AREA DEL TRIANGULO

A=1/2 bh A=√18.9/√2 A=1/2.√2.√(3^2). 9/√2

A= 27/2

20. Obtener la ecuación de la mediatriz del segmento de recta cuyos extremos son:

A (-2,6); B (6,-4) Hallando el punto medio

El punto medio es:

Y=m (x + b) 2 = m (1+b) p (2,1) Puntos hallados Dos puntos P (x, y) a) 5x - 4y = 14 P1 (2,1) El resultado del problema matemático es b) 5y – 4x +3 = 0 Reemplazando 2A+B+C=0 2x + y = 0

21. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:

Hallando la circunferencia

3x (3x-4) + 9y (y+4) -104=0

Hallando la radio

Su resultado es El centro de la circunferencia y la radio es:

22. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (1,0), sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación:

Como sabemos que la circunferencia debe pasar por el punto P (1,0), primero debemos hallar el centro y el radio con la ecuación dada:

Comparando con la ecuación de la circunferencia hallamos los valores de D, E, y F.

D=-2, E=-8, F=13

Luego de obtener estos datos utilizamos la siguiente ecuación para hallar el centro y el radio aplicando operaciones básicas:

D=-2h, E=-2k, F= Para el valor de h:

Para el valor de k:

Para el valor de :

Ya teniendo estos datos se pueden hallar el centro:

Ahora debemos graficar el problema con todos los datos hallados para luego encontrar la otra ecuación:

Como se puede observar en el grafico lo planteado por el problema se cumple, ahora solo falta hallar los datos de utilizando primero

operaciones básicas:

=16

=16 -1=0

Comparando con la ecuación de la circunferencia hallamos los valores de D, E, y F. -1=0

D=-2, E=-8, F=-1

Luego de obtener estos datos utilizamos la siguiente ecuación para hallar el centro y el radio aplicando operaciones básicas:

D=-2h, E=-2k, F= D=-2, E=-8, F=-1

Para el valor de h:

Para el valor de k:

Para el valor de :

Ya teniendo estos datos se pueden hallar el centro:

Ya teniendo estos datos podemos comprobar que la resolución del problema cumple con las condiciones planteadas. Grafico final:

23. Determinar los puntos donde la circunferencia cuya ecuación

es:

Teniendo la cónica: ; siendo mi (h, k)= (1,-2)

Se debe de utilizar esta fórmula: d= para encontrar la distancia:

d=

d=

d=

d= d=2R.

Hallando el centro de:

Método de sustitución sustituyendo en “x”

2x-4y+1=0 2x=4y-1

-4y=-2x-1 2x= 4

Y= 2x=

Y= y=0.25 8x=8x x=0

Punta A (0,0.25)

24. encontrar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por

las ecuaciones:

Para encontrar el punto 1.

De 1. Despejar ”x” de 2. Despejar ´´x`` 3=4

2x+6y=0

2x+4y=0 2x+6y=0 -2y=-3y

2x+6.0=0

X= x= -2y+3y=0

2x+0=0/1/2

X=-2y 3. X=-3y 4. Y=0 x=0

Entonces mi punto 1. Es (0,0)

Para encontrar el punto 2.

De 1. Despejar ”x” de 2. Despejar ´´x`` 3=4 -2x-

6y=0

2x-4y=0 -2x-6y=0 -2y=+3y

-2x-6.0=0

X= x= -2y-3y=0 -2x-

0=0/1/2

X=-2y 3. X=3y 4. 5Y=0 x=0

Entonces mi punto 1. Es (1,-2)

25. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasen por los puntos A (1,2); B (3,4) y sean tangentes a la recta 3x+y-3=0

Para hallar las coordenadas de la centro, C (h, k), se tiene en cuenta las igualdades , es decir,

Desarrollando y simplificando se obtiene,

Resolviendo este sistema de ecuaciones resultan h=4; k=1 y h=3/2; k=7/2.

De se deduce y

Teniendo en cuenta tendremos

Desarrollando estas ecuaciones, resulta 26). Probar que el punto P (4. 2) pertenece a la circunferencia

y obtener la ecuación de la tangente a la circunferencia

en ese punto.

Efectivamente pasa por dicho punto.

Reconstruyendo:

EL CENTRO ES: C (h: 1; k: -2)

Hallando el radio:

r=5

Hallando la pendiente:

C (h: 1; k: -2) ; P (4. 2)


geogebra y circunferencia

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