geograficas-utm hoja a1

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Ecuaciones planteadas por Alberto Cotticia y Luciano Surace en el , Num. 1.“Bolletino di Geodesia e Science Affini”

Ejemplo por Gabriel Ortiz. Más información y hoja de cálculo con conversor en http://recursos.gabrielortiz.com

e =a² + b²

aExcentricidad:

e’ =a² + b²

bSegunda excentricidad:

1. :CÁLCULOS PREVIOS

2.:

ECUACIONES DE COTICCHIA-SURACE PARA EL PASO DE GEOGRÁFICAS A UTM(PROBLEMA DIRECTO)

��1

2ln [

1 + A]��

A = cos � sen �·

1. a) Sobre la geometría del elipsoide:

1. b) Sobre la longitud y latitud:

Conversión a grados decimales(sexagesimales expresadosen notación decimal):

Grados decimales = grados + minutos/60 + segundos/60/60

Cálculo del signo de la longitud:Si la longitud está referida al Oeste del meridiano de Greenwich,entonces la longitud es negativa ( - )

Si la longitud está referida al Este del meridiano de Greenwich,entonces la longitud es positiva ( + )

Cálculo del huso:

Conversión de grados decimales a radianes: Radianes =Grados decimales · �

180

Huso = entero de [Grados decimales

6]+ 31

1.c) Sobre el huso:

Cálculo del merdianocentral del huso: = Huso · 6 -183

Desplazamiento del punto a calcularcon respecto al meridiano central del huso:

�� * Los valores han de ser introducidos en radianes.

�� arc tantan �

cos ��

��c

(1 + e’² cos² �)1/2

·

· 0’9996

* 0’9996 es el factor de escala de la Proyección UTM.

A =1sen (2 · �)

A =2 A1· cos² �

J =2� �

A1

2

J =4

3 J2 + A2

4

·

J =6

5 J4 + A2

3

·

·

cos² �·

��e’²2

· �²· cos²�

��3

4e’²·

��5

3²

· �

��35

27³

· �

B =� 0’9996 · c �· ( �� J2· + � · J4

�� J6· )

2.a) Cálculo de Parámetros:

2.b) Cálculo Final de Coordenadas UTM:

X = � · · (1 +�

) + 500.000

Y = � · · (1 + � ) + B�

3* 500.000 es el retranqueo que se realiza en cada huso sobre el origen de coordenadas en el eje X (meridiano centralautomecoico del huso) con el objeto de que no existan coordenadas negativas.

* En el caso de latitudes situadas al sur del ecuador, se sumará al valor de Y 10.000.000 para evitar coordenadas negativas.

c =a²

bRadio Polar de Curvatura:

�

�

c =6378388²

6356911,94613= 6399936,608

Longitud: 3º 48' 06,7439'' W��

Latitud: 43º 29' 18,2670'' N��

La longitud (3º 48' 06,7439''), pasaría a ser en sexadecimales expresadosen notación decimal = 3+48/60+6,7439/60/60 = 3,801873306

La latitud (43º 29' 18,2670'), pasaría a ser en sexadecimales expresadosen notación decimal = 43+29/60+18,2670/60/60 = 43,4884075

La longitud (3,801873306), pasaría a ser

en radianes = 3,801873306 · /180 = 0,066355207�

La latitud (43,4884075), pasaría a ser

en radianes = 43,4884075 · /180 = 0,759015897� Como la longitud está referida al oeste del meridianode Greenwich, entonces pasa a ser negativa, quedandoen radianes = - 0,066355207 y en gradosdecimales = -3,801873306

Huso =[-3,801873306

6]+ 31 = 30,36635445

Truncamos la parte entera,luego Huso = 30

�� 0,066355207� � � ��3 · /180) 0,013995329

� � �� 3= 30 · 6 183 =

A = Cos 0,759015897 · sen 0,013995329 =� �0,01015347

��1

2ln [

1 + ( 0,01015347)�]��0,01015347)

· � 0,01015382�

( )�� arc tantan 0,759015897

cos �0,013995329� 0,759015897 = 4,89009E-05( )

· 0’9996 = 6386011,466 ��6399936,608

(1 + 0,00676817 · cos² 0,759015897 )1/2

��0,00676817

2· 0,01015382² · cos² 0,759015897 1,8365E-07� �

A = sen (2 · 0,759015897 ) = 0,9986082751

A = 0,759015897 = 0,5256374642 0,998608275 · cos²

J =20,759015897 +

0,998608275

2= 1,258320035

J =4

3 · 1,258320035 + 0,525637464

4= 1,075149392

J =6

5 · 1,075149392 + 0,525637464 · cos² 0,759015897

3= 1,884142255

��3

40,00676817 = 0,005076128·

��5

3· 0,005076128² = 4,29451E-05

��35

27· 0,005076128³ = 1,69552E-07

B = 0,9996 · 6399936,608 ( 0,759015897 0,005076128 1,258320035 + 4,29451E-05 · 1,075149392 1,69552E-07 · 1,884142255 ) = 4815141,345· ·� ��

X = 0,01015382 · 6386011,466 (� · 1 +1,8365E-07

3) + 500000 = 435157,5872

Solución de la X UTMY = 4,89009E-05 · 6386011,466 · ( 1 + 1,8365E-07 ) + 4815141,345 = 4815453,627

Solución de la Y UTM

Sobre el elipsoide de Hayford, sería:

e =6378388² + 6356911,94613²

6378388= 0,08199189

6378388² + 6356911,94613²

6356911,94613= 0,08226889e’ =

e’² = 0,006768170,08226889² =

Ejemplo sobre el vértice de Llatías sobre elipsoide Hayford:

Semieje mayor (a) = 6378388,0

Semieje menor (b) = 6356911,946130Datos elipsoide Hayford

�64842,41a =

6385961,938= 0,010153899�

e =a² + b²

aExcentricidad:

e’ =a² + b²

bSegunda excentricidad:

1. :CALCULOS PREVIOS

2.:

ECUACIONES DE COTICCHIA-SURACE PARA EL PASO DE UTM A GEOGRÁFICAS(PROBLEMA INVERSO)

1. a) Sobre la geometría del elipsoide:

1.b) Tratamiento previo de X e Y y cálculo del meridiano central del huso:

Eliminación del retranqueo en las abscisas: X = X 500.000

A1

2.a) Cálculo de Parámetros:

c =a²

bRadio Polar de Curvatura:

�

Eliminación, si procede, delretranqueo en las ordenadas:

Si las coordenadas UTM pertenecen al norte del ecuador(hemisferio norte), entonces Y no se modifica.

Si las coordenas UTM pertenecen al sur del Ecuador(hemisferio sur), entonces Y = Y 10.000.000�

* 500.000 es el retranqueo que se realizaen cada huso sobre el origen de coordenadasen el eje X (meridiano central automecoicodel huso) con el objeto de que no existancoordenadas negativas.

* 10.000.000 es el retranqueo que se realizaa las coordenadas UTM del hemisferio surcon el objeto de que no existan coordenadasnegativas.

* 500.000 es el retranqueo que se realiza en cada huso sobre el origen decoordenadas en el eje X (meridiano central automecoico del huso) con elobjeto de que no existan coordenadas negativas. Se realiza en todos los casos.

Cálculo del meridiano central del husoen el que caen las coordenadas UTM: = 6 huso - 183·

* El número de huso ha de ser conocido como un valormás de las coordenadas UTM a convertir.

�

‘

=Y

6.366.197’724 · 0’9996* 0’9996 es el factor de escala de la Proyección UTM.

��c

(1 + e’² cos² � ) 1/2· 0’9996

·

‘

Xa =

J =2� �

A1

2

J =4

3 J2 + A2

4

·

J =6

5 J4 + A2

3

· cos² �·

��3

4e’²·

��5

3²

· �

��35

27³

· �

A =1sen (2 · � )

A =2 A1· cos² �

‘

‘

‘

‘

B =� 0’9996 · c �· ( �� J2· + � · J4

�� J6· )

‘

Yb =

B��

��e’²

2·

· cos²�a²

‘

�� [ ]��·a3

�� b · ��

�

� � � �

‘

�� arc tan

sen h ��e� � e ��

2

sen h �cos �

�� arc tan � cos � · tan ��

2.b) Cálculo Final de Coordenadas Geográficas:

�� Longitud:

* en este caso no es la excentricidad, sino (2’71828182845905)elevado a la potencia de y de .

e e

� ��

* ha de ser pasada a grados sexagesimales en notación decimal, puestoque el cálculo hasta ahora lo tenemos en radianes. Para ello, dividimospor y multiplicamos por 180. está ya en grados.

�

Latitud: � = �

‘

[� 1 + e’² · cos²� �3

2· e’² ·

‘

sen �

‘

· cos �

‘

· ��

‘

] · ��

‘

Paso de radianes a grados sexagesimales en notación decimal(sólo para la latitud. La longitud ya está en grados):

�

�

Grados ( ° ) = entero de [grados decimales]

Minutos ( ‘ ) = entero de [(grados decimales Grados °) 60]� ·

Grados decimales =radianes

�

�

· 180

Paso de grados sexagesimales en notación decimal a grados, minutos y segundos:

Segundos ( ‘ ) =‘

c =6378388²

6356911,94613= 6399936,608

UTM X = 435157,59

UTM Y = 4815453,64Huso (Zona UTM) = 30

X = 435157,59 500000 = 64842,41� �

Como la Y está al norte del ecuador, no se modifica

� �� = 6 · 30 183 = 3°

�

‘

=4815453,64

6366197,724 · 0,9996= 0,756712374

· 0’9996 = 6385961,938 ��6399936,608

(1 + 0,00676817 · cos² 0,756712374 )1/2

A1 = sen ( 2 · 0,756712374 ) = 0,998354702

A = 0,998354702 cos² 0,756712374 = 0,5278002362 ·

J = 0,756712374 +2

0,998354702

2= 1,255889725

J =4

3 · 1,255889725 + 0,527800236

4= 1,073867353

J =6

5 · 1,073867353 + 0,527800236 · cos² 0,756712374

3= 1,882789648

0,00676817 = 0,005076128��3

4·

��5

3· 0,005076128² = 4,29451E-05

��35

27· 0,005076128³ = 1,69552E-07

B = 0,9996 · 6399936,608 ( 0,756712374 0,005076128 1,258320035 + 4,29451E-05 · 1,075149392 1,69552E-07 · 1,884142255 ) = 4800483,409· ·� ��

4815453,64 4800483,409�b =

6385961,938= 0,002344241

��0,00676817 · 0,010153899²�

2· cos² 0,756712374 = 1,84456E-07

��0,010153899 · [ ]��3

1,84456E 07��0,010153898

�� 0,002344241 · ( 1 1,84456E-07 0,756712374 = 0,759056614) +

sen h ��2’71828182845905 2’71828182845905�

2

�0,010153898 � �( 0,010153898)

� �0,010154072

�� arc tan�0,010154072

cos 0,759056614= 0,013995329�

�� arc tan ( cos 0,013995329 · tan 0,759056614 ) = 0,759007713�

�� ( 0,013995329 / · 180 ) + ( 3 ) 3,801873264

�� 0,756712374 + 1 + 0,00676817 · cos² 0,756712374 · 0,00676817 · sen 0,756712374 · cos 0,756712374 · (0,759007713 0,756712374) · (0,759007713 0,756712374) = 0,7590158993

2][

��0,759015899

�· 180 = 43,48840762

((grados decimales Grados °) 60 Minutos’) · 60� �·

Solución de la longitud ( � � �): 3° 48’ 6.74375’’

Solución de la latitud ( � ): 43° 29’ 18.26745’’

Ejemplo sobre el vértice de Llatías sobre elipsoide Hayford:

Semieje mayor (a) = 6378388,0

Semieje menor (b) = 6356911,946130Datos elipsoide Hayford

Sobre el elipsoide de Hayford, sería:

e =6378388² + 6356911,94613²

6378388= 0,08199189

6378388² + 6356911,94613²

6356911,94613= 0,08226889e’ =

e’² = 0,006768170,08226889² =

geograficas-utm hoja a1

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