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Sandro Javier Velasquez Luna
GUIA DIDACTICA
Geometría Básica
Sandro Javier Velásquez
Sandro Javier Velasquez Luna
Tabla de Contenidos
Introducción ............................................................................................................................... 3
Contenidos………… .................................................................................................................. 4
Desarrollo del Aprendizaje ....................................................................................................... 4
1. La Geometría .................................................................................................................. 4
2. Sistema de Medidas ...................................................................................................... 5
3. Elementos básicos.......................................................................................................... 8
4. Las Figuras Planas ......................................................................................................... 11
4.1. Polígonos ................................................................................................................. 11
El Triángulo ............................................................................................................... 12
Los Cuadriláteros ..................................................................................................... 14
4.2. Círculo y Circunferencia ...................................................................................... 17
El Círculo, la circunferencia. .................................................................................. 17
5. Los cuerpos geométricos. ........................................................................................... 19
5.1 Prismas ...................................................................................................................... 19
5.2. Cilindros ................................................................................................................... 20
5.3. Pirámides ................................................................................................................. 21
5.4. Conos ...................................................................................................................... 22
5.5. Esferas ...................................................................................................................... 23
Referencias Bibliográficas ...................................................................................................... 25
Desarrollo del Aprendizaje
1. La Geometría Históricamente la Geometría es una de las más antiguas
ciencias. Originariamente, formaba un conjunto de
conocimientos prácticos relacionados longitudes, áreas y
volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada,
según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.
Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma
axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir
durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en
“Los Elementos. El estudio de la astronomía y la
cartografía”, tratando de determinar las posiciones de
estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como
importante fuente de resolución de problemas geométricos
durante más de un milenio. Mientras que René Descartes
desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría,
donde curvas planas, podrían ser representadas
analíticamente mediante funciones y ecuaciones. La
geometría fue enriquecida con la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, dando origen a la topología y la
geometría diferencial. Para indagar más, revisa
http://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementos
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La geometría es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades y las
medidas de las figuras en el plano o en el espacio. En esta guía estudiaremos
algunas formas geométricas: Las formas geométricas planas: Recta y Polígonos:
Triángulo, Cuadrilátero; y algunas formas geométricas espaciales como: Superficies
de revolución: Paralelepípedo, Cilindro, Cono y Esfera. 1. Sistema de Medidas Para hablar de medidas, definamos Medir. Desde el punto de vista físico, medir una
magnitud física es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad en
función de la unidad patrón. En este caso se harán medidas y determinaciones de
longitud, superficie y volumen; y el sistema a emplearse es el Sistema Métrico
Decimal, donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de
10 respectivo, según sean los múltiplos o submúltiplos. No obstante, existen otros
sistemas de medición como el inglés y por supuesto las unidades de conversión que
permiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro.
En cuanto a medidas de longitud, el Sistema Métrico Decimal es:
Submúltiplos
Ejemplo:
Una longitud de 3 m para convertirlo en cm.
Solución: Es más fácil emplear factores de
3 m . 100 cm
300 cm conversión que colaboran con la
= ✔ visualización de las unidades
1 m
Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km.
Solución: En este caso la conversión es una
246 hm . 1 Km
24,6 Km
= división.
10 hm
Al determinara áreas de superficies, la unidad principal es el metro
cuadrado (m2) en el sistema métrico decimal y para calcular superficies
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mayores y menores que el m2, se emplean múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100 respectivamente.
Múltiplos de metro cuadrado Submúltiplos del metro cuadrado
En cuanto a las medidas agrarias, las superficies
de campo tienen como referencia un cuadrado
de 100 m de lado, así;
Ejemplo:
Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2
Solución:
24 dam2 . 102 m2 . 102 dm2 24*100 * 100 dm2 240.000 dm2 2,4x105 dm2 ✔
1 dam2 1 m2 = = =
Y en relación al cálculo de volumen, éste se mide por el metro cúbico (m3) y las unidades de los múltiplos y submúltiplos en el sistema métrico decimal varían de 1000 en 1000 según el caso:
Múltiplos de metro cúbico Submúltiplos de metro cúbico
Las unidades de volumen y capacidad se relacionan, empleando para ello al
agua como referencia:
1 Litro (L) de Agua @ 4 °C tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1
dm3,
o que es equivalente o lo que es equivalente:
1 mL de Agua @ 4 °C tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3,
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Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3 , y 1mL es equivalente a 1 cm3
Ejemplo:
Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3, se necesita revisarlo en m3
Solución
230 cm3 . 103 dm3 . 103 m3 230*1000 *1000 m3 230.000.000 m3 2,3x108 m3 ✔
1 cm3 1 dm3 = = =
En otros sistemas de unidades:
Longitud
Superficie
Volumen
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Actividad de Control:
Convierte estos valores en las unidades indicadas
100 m a cm 776,009 pies a m
3,56782 mm a km 1269,0 cm a pulg
1245,768 dm2 a m2 654,00 pulg2 a pie2
0,00000657483 hm2 a dam2 900000 m2 a yardas2
0,030378 m3 a dm3 10 m3 a galón3
0,030378 mm3 a cm3 34,98 L a m3
3. Elementos básicos
Para la comprensión y posterior cálculos de medidas, es necesario aclarar
algunos aspectos:
El Punto, es la unidad indivisible de la geometría. Un punto sólo tiene posición en el
espacio y no tiene dimensión (largo, alto, ancho).
La Línea, es una figura geométrica que se genera por un punto
en movimiento.
Línea recta L.
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea
recta. Notación:
Una Línea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de
dirección. Notación:
Una línea puede ser recta, curva o combinada y puede extenderse en forma
ilimitada.
Un Rayo es una Línea recta que crece en un solo sentido y una dirección.
Notación:
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Un Trazo es una línea segmentada caracterizada por dos
puntos terminales y se le asocia una dimensión (longitud)
Notación:
El Plano, un plano es una superficie que tiene longitud y
anchura pero no espesor, por lo tanto tiene dos
dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que
nos rodean que están en tres dimensiones.
De esta forma, la geometría plana sirve para estudiar
triángulos, cuadriláteros, circunferencia, círculo.
El Ángulo, es el espacio que existe por la formación de dos semirectas que parten de
un mismo punto. Las semirectas se llaman lados y el punto común vértice. Notación:
Un ángulo se denota de la siguiente forma:
Una letra mayúscula en
el vértice.
Una letra griega o un símbolo en Tres letras mayúsculas.
la abertura.
Para medir los ángulos se emplean varios sistemas, entre ellos el Sistema sexagesimal
que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes
constituyen un grado sexagesimal. Además, uno de estos grados se divide en 60
partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto; a su vez el
minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una
de estas partes a un segundo. Otro de los sistemas empleados para medir los
ángulos es el Sistema Radial, donde se usa el valor del irracional con unidades en
radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales: radianes equivalen
a 180°
Para medir un ángulo se hace contra el movimiento de las
manecillas de un reloj, considerándose en este caso, un ángulo
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positivo.
En función de la abertura se pueden obtener varios tipos de ángulos:
Cóncavo 0° < < 180° Agudo: 0° < < 90°
Recto: = 90° Obtuso: 90° < < 180°
Ángulo obtuso está
comprendido entre 90° y
180°, no incluyendo
estos valores.
Convexo: 180° < < 360° Extendido o Llano: = 180° Completo = 360°
Los ángulos también se encuentran en pareja:
Ángulos adyacentes: Son ángulos que tienen un lado
común y los otros dos pertenecen a la misma recta.
Ángulos consecutivos, son ángulos que tienen un lado común y
el mismo vértice. <BAC es adyacente con <DAC
Ángulos opuestos por el vértice, si dos líneas que se intersectan
generan ángulos opuestos por el vértice; son ángulos no
adyacentes <1, <2, <3 y <4 ; y son ángulos congruentes: <1 = <2
y <3 = <4
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Ángulos complementario, es un tipo especial de ángulo
adyacente cuya particularidad es que suman 90°. . Así,
el <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.
Ángulos suplementarios, es un tipo especial de ángulo
adyacente cuya particularidad es que suman 180°.
. De esta forma <BAC es adyacente al
<DAC y viceversa.
4. Las Figuras Planas
Las figuras planas son aquellas cuyos puntos están en un
plano; esto es, tienen anchura y altura, siendo las más
complejas: los polígonos, que son figuras planas cerradas,
definidas por segmentos; y los círculos que son figuras
planas cerradas demarcadas por una sola línea llamada
circunferencia.
En estas figuras se determina el Perímetro (P) que es la
longitud de la línea que rodea a la figura plana
correspondiente a la suma de las longitudes de los lados;
y el Área (A) que es la porción de plano ocupada por la figura.
4.1. Polígonos
Un polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectilíneos y
sus elementos son:
Lado (cada segmento que forma
la línea poligonal)
Vértice (cada extremo de los lados
del polígono)
Ángulo (es el formado por dos
lados consecutivos en el interior del
polígono
Diagonal (es el segmento que une
dos vértices no consecutivos)
Perímetro
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El Triángulo, es el polígono (o figura plana y cerrada)
de tres lados. Sus elementos son: Vértice : A , B , C;
Lados : a , b , c y Ángulos : y estos ángulos
internos suman 180° , es decir:
Por otro lado, el triángulo se clasifica según sus lados
y según sus ángulos.
Clasificación de los Triángulos
Según sus
Lados (a,
b, c)
Según
sus
ángulos
interiores
( )
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Acutángulo
Rectángulo
Obtusángulo
Todos los lados iguales
a = b = c
Un lado distinto
a = b c
b
y a
c
Todos los lados
desiguales a b c y
Tres ángulos agudos
< 90°
Un ángulo recto
= 90° entre a y b Teorema de Pitágoras
Relaciona todos los lados
de un triángulo
rectángulo:
a2 + b2 = c2, donde Hipotenusa : c y Catetos : a y b
Un ángulo obtuso Ejemplos: > 90°
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La altura (h) de un triángulo se obtiene al trazar
una línea perpendicular desde el vértice al lado
opuesto o a la prolongación de éste. Ese lado,
es considerado la base (b) del triángulo.
En base a lo anterior,
El área del triángulo es: Atriángulo y
Entonces el perímetro es: Ptriágulo = a + b + c
Ejemplo
Calcula el área de un ABC cuya altura en es igual a
3 m y de base = 5 m. Además, determina el
perímetro si CA = 4,5 m y BC = 9 m
Solución
El área de un triángulo se define como Atriángulo , donde la altura es hc = 3m
y la base es b = 5 m, entonces reemplazando:
A
3 m * 5 m
= = 15 m2
✔
2
El perímetro del triángulo es: P = CA + AB + BC y al sustituir se tiene que:
P = 4,5 m + 5 m + 9 m = 18,5 m ✔
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Los Cuadriláteros, son polígonos (o figura plana cerrada)
de cuatro lados. Sus elementos son: Vértices: A, B, C, D ;
Lados : a, b, c, d ; Diagonales : e, f y Ángulos :
donde . Los cuadriláteros se clasifican
de la siguiente manera: Paralelogramo, Trapecios y
Trapezoides. Acá se muestran algunos de ellos con sus
áreas y perímetros.
Cuadrilátero Perímetro Área
Cuadrado
A cuadrado= a2
Pcuadrado = 4 · a
Rectángulo
Prectángulo= 2 · (a + b) A rectángulo= a · b
Rombo
P = 4 · a e, f:
diagonales
Romboide o
Paralelogramo
A romboide= a · h
Promboide = 2 · (a + b)
Trapecio
P = a + b + c + d
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Ejemplo
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calcular el
perímetro, las hectáreas que tiene y el precio del campo si el metro
cuadrado cuesta 150 BsF . 170 m
Solución 28 m
Los datos son: b = 170 m, h = 28 m; Precio = 150 BsF/ m2
El perímetro es la suma de sus lados P rectángulo = b + b + h + h = 2.b + 2.h
evaluando tenemos que: P rectángulo = 2*170 m + 2*28 m = 340 m + 56 m
(Recuerda que el perímetro es
una longitud y se mide en m)
P rectángulo = 396 m ✔
El área de un rectángulo es A rectángulo= b* h, recordando que en medidas agrarias
las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado,
así 1 hectárea = 10000 m², entonces
A rectángulo = 170 m * 28 m
=
4760 m2 . 1 hectárea
=
0,476 hectárea ✔
10000 m2
Finalmente, el precio del campo es:
.. 4760 m2
✔
Precio Campo 150 BsF 714000 BsF
= m2 =
Actividad de Control:
Resuélvelos todos!!, son cortos y fácil de analizar.
Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se
necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de base y 9 m de altura .
Hallar el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 10 cm cada uno
.
El perímetro de un triángulo equilátero mide 0 . 9 dm y la altura mide 25 . 95 cm .
Calcula el área del triángulo .
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Calcula el número de árboles qu e pueden plantarse en un terreno rectangular de 32
m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4 m² .
El área de un trapecio es 120 m², la altura 8 m, y la base menor mide 10 m . ¿Cuánto
mide la otra base?
Calcular el área de un par alelogramo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces
más que su altura .
Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya diagonal
menor es la mitad de la mayor .
En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también
cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el área del jardín .
Calcula el área del cuadrado que resulta de unir los puntos medios de los lados de un
rectángulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm .
Cuánto vale el área de la parte subrayada de la figura, si el área del hexágono es de
96 cm² .
Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y 92 m . La
anchura de la zona mide 40 m . Se construye un paseo de 4 m de ancho
perpendicular a las dos bases . Calcula el área de la zona arbolada que queda .
Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m . El jardín está atravesado por
dos caminos perpendiculares que forman una cruz . Uno tiene un ancho de 8 dm y el
otro 7 dm . Calcula el área del jardín .
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la
fachada de este edificio sabiendo que se gastan 0.5 kg de
pintura por m2.
Hallar el perímetro y el área de la figura:
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4.2. Círculo y Circunferencia
La Circunferencia, es el lugar geométrico de todos los puntos que
conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia. Los elementos de una circunferencia
comprenden al Radio (R ó r: distancia desde el centro de la
circunferencia y la línea del contorno), Diámetro (D: el doble del
valor del radio, D = 2*r), Cuerda, Secante y Tangente
El Círculo, representa la zona achurada, es el área delimitada por
el contorno curvo denominada circunferencia. Los elementos de
un círculo abraca el Segmento Circular que es el área o zona
comprendida en un arco de la circunferencia y una recta secante;
y el Sector Circular que cubre dos Radios y un arco de la
circunferencia. Es de
hacer notar que el arco es un segmento de la
circunferencia.
En los cálculos de área de la superficie de figuras
circulares aparece el valor del número irracional Pi (). El
número Pi, es la relación entre la longitud de la
circunferencia y su diámetro. Algo más de ello lo encuentras en
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_sagrada
y/o en http://webs.adam.es/rllorens/pihome.htm
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De esta forma en:
Circunferencia
Perímetro (Po):
Po = 2* * r
Área (Ao): NO TIENE
________________________
Círculo Perímetro (Po): Po = 2* * r
Área (Ao): Ao = * r2
Ejemplo:
Determina la longitud de la circunferencia y el área de un círculo de 30 cm de
diámetro.
Solución
Datos: = 3,141592; D = 30 cm, como el r = D / 2, entonces r = 15 cm. La longitud de la circunferencia es el mismo perímetro
Pcircunferencia = 2* * r
entonces: Pcircunferencia = 2* * 15 cm = 3,141592 * 30 cm = 94,2477 cm
Pcircunferencia = 94,25 cm ✔
El área del círculo es: A círculo = * r2 y sustituyendo valores se tiene que:
A círculo = * (15cm)2 = 3,141592 * 225 cm2
A círculo = 706,86cm2 ✔
La Elipse, es una variación de un círculo ya que posee dos radios: r1 y r2
Así Áreaelipse = * r1 * r2
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5. Los cuerpos geométricos.
Los cuerpos geométricos, son todas aquellas figuras que
tienen TRES DIMENSIONES (anchura, altura y
profundidad) o, lo que es lo mismo, volumen o
capacidad, ocupando un lugar en el espacio.
Las partes básicas de un cuerpo geométrico son: bases,
caras laterales y altura.
Las figuras geométricas más importantes son; prisma,
pirámide, cilindro, cono y esfera.
5.1 Prismas
Un prisma es una figura geométrica formada por varios paralelogramos iguales
llamados caras laterales, y dos polígonos iguales y paralelos llamados bases. Los
prismas se denominan según sean sus bases:
Prisma triangular (sus bases son triángulos) Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados) Prisma pentagonal (sus bases son pentágonos)
El área de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras:
A prisma = (perímetro de la base x altura) + (área de la base x 2)
El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresión:
V prisma = A de la base x altura
Cubo
Acubo = 6 · a2 Vcubo = a3
Ortoedro o Paralelepípedo
A paralelepípedo = 2· (a·b + a·c + b·c)
V paralelepípedo = a · b · c
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Prisma recto
A prisma recto = P · (h + a)
V prisma recto = AB · h (3)
5.2. Cilindros
Un cilindro es la figura geométrica que se obtiene al hacer girar un rectángulo
alrededor de uno de sus lados. El área de la superficie de esta figura geométrica
resulta de la suma de las superficies de todas sus caras, así que será necesario el
desarrollo del cilindro, que es un rectángulo y dos círculos. De esta forma su fórmula
es:
Á total cilindro = (Arectángulo )+ (2 x Acírculo)
A total cilindro = 2 * π * R * h ] + (2 * π * R2)
Obteniendo factor común 2 * π * R
A total cilindro = 2 * π * R *(h + R)
Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresión:
V cilindro = A base x altura
Es decir, V = π * R2 · h
Podemos resumir el cálculo del volumen de prismas o paralelepípedos y cilindros en
el siguiente esquema:
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5.3. Pirámides
Una pirámide es un poliedro que tiene como base un polígono y cuyas caras
laterales son triángulos con un vértice común.
El área de la superficie de una pirámide es la suma de las superficies de todas sus
caras, fórmula es:
A pirámide = (Área de cara lateral x número de caras laterales) + (área de la base)
Ahora, el volumen de una pirámide es:
V pirámide = Área de la base x Altura / 3
V pirámide = (1/3)*b * h
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5.4. Conos
Un cono es la figura geométrica que se obtiene al hacer girar un triángulo
rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
El área de la superficie del cono será la de su área
lateral que es un sector circular cuyo radio es la
generatriz sumado al área del círculo de la base.
Como la circunferencia completa tiene una longitud
2 r, entonces el sector circular tiene una esa
longitud 2 r. Entonces podemos establecer la
siguiente relación entre ambos:
longitud de la circunferencia
longitud del arco
superficie del circulo superficie del sector
De esta forma el volumen de un cono se calcula a
partir de la expresión:
V cono = A de la base x altura / 3
V Cono base circular = (1/3)* b * h = (1/3) * r2 * h
Podemos resumir el cálculo del volumen de pirámides y conos en el siguiente
esquema:
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5.5. Esfera
La esfera es la figura geométrica que se obtiene al hacer girar un
semicírculo alrededor de un diámetro.
El área de la esfera se calcula a partir de la expresión:
A esfera =4 * *r2
Finalmente, el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresión:
Ejemplo
Tomando los datos del círculo anterior, determine el volumen la esfera de 30 cm de
diámetro.
Solución
Datos: = 3,141592; D = 30 cm, como el r = D / 2, entonces r = 15 cm.
El volumen de la esfera es: V esfera = 4/3 * * r3 y sustituyendo valores se tiene que:
V esfera = 4/3 * * r3 = 4/ 3 * * (15cm)3 = (4 * 3,141592 * 3375 cm3)/3
V esfera = 14137,17cm3 ✔
Actividad de Control:
Resuélvelos todos!!, son cortos y fácil de analizar. Calcula el volumen, en centímetr os cúbicos, de una habitación que tiene 5 m
de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto .
Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina
a razón de 6 BsF el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla? . ¿Cuántos litros de agua
serán necesarios para llenarla?
En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos
almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto .
¿Cuantas cajas podremos almacenar?
Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm 2 y 48 l de capacidad.
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Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma
cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura .
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura
mide 125.66 cm. Calcular: El área total y su volumen .
La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m . Si restaurarla
tiene un coste de 300 BsF el m 2 , ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la resta uración?
¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de
una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?
Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se llena de agua . Si la mas
a del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?
Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón . ¿Cuánto cartón
habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?
Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua . ¿Cabría esta agua en una esfera de 20
cm de radio?
Actividad de Control:
En la figura, encuentra diez (10) cuadrados.
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Actividad de Control:
Revisa esta página Web, para que practiques estos cálculos:
http://www.thatquiz.org/es-4/
Actividad de Control:
Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho
Referencias Bibliográficas
Para el estudio del despeje de incógnitas en una ecuación, te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acá; son textos
de Matemática usados en Educación Básica. Además, algunas direcciones
electrónicas:
Baldor, A. 2000. Algebra. Edit. Cultura Venezolana, S.A.
Baldor, A. 2000. Aritmética. Edit. Cultura Venezolana, S.A.
Grupo Editorial Girasol. 2007. Guía- Teórica-Práctica Matemática 7. Terra editores.
http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-area-volumen.htm http://ens5.buenosaires.edu.ar/doc/blog/MateDepo.pdf http://www.sectormatematica.cl/deportes.htm http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/00-01/PG00-01-gorria.pdf http://foks-foks.blogspot.com/