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* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *J. C. Izquierdo

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Figura 191

ella será visto. Figura 191.

Observamos que tenemos que calcular los puntos de intersección, H1 y H2, de larecta R y la auxiliar VX con el plano horizontal Q’ respectivamente ya que, en ese

plano, está la directriz delcono. Una vez obtenido lospuntos h1 y h2, su unión nos dala recta i, esta rectapertenece al plano formadopor R y V y la directriz está enese mismo plano, por tanto,vemos que se cortan en lospuntos 1 y 2 dando lugar a lasgeneratrices V1 y V2 que secortan con R en los puntos A yB que son los puntos buscados.La visibilidad en proyecciónvertical es la misma que en lafigura 185 pues son idénticasmientras que en proyecciónhorizontal, la recta r quedadividida en los trozos, yendode izda. a dcha., antes delpunto c, desde c hasta a,

desde a hasta b, desde b hasta d y desde d hacia la dcha., quedan vistos los trozosdesde la izda. hasta c, desde a hasta b y desde d hacia la dcha., quedando oculto lostrozos desde c a a y desde b a d. Obsérvese que la recta R, antes de la interseccióncon el cono, viene por debajo de la directriz, interceptando al cono en el punto A ysaliendo por el punto B (también por debajo de la directriz).

Hay casos en que no es necesario realizar este cálculo, como en los casos expuestosen la figura 192, cuando las rectas sean de punta o verticales.


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Figura 192

Observamos que la recta R, al servertical, su intersección con elcono es el punto a, lo que tenemosque hacer es, situar el punto a enel cono y obtenemos a’ punto deentrada en el cono. Nótese que nohay punto de salida pues el conotermina en PH.

En la recta S, los puntos deentrada y salida son b’ y c’,procedemos a situarlos en el conoy obtendremos los puntos b y cbuscados.

Sección plana del cono.

Recordando lo expuesto en las secciones de los poliedros, pirámides y prismas (verpáginas 103, 117 y 132). Siempre que nos den un plano P oblicuo a los de proyecciónrealizaremos un cambio de plano para poner dicho plano P de canto donde veremosla intersección como una recta. Por otro lado, toda sección plana de un cono es unacónica o dos rectas, serán dos rectas si el plano pasa por el vértice del cono, encualquier otro caso, será siempre una cónica y las curvas cónicas son cuatro,circunferencia, elipse, hipérbola y parábola; por tanto lo primero que tenemos quedeterminar es qué tipo de curva vamos a obtener. Recordemos que una hipérbola esuna curva que tiene dos puntos en el infinito, una parábola tiene un punto en elinfinito y una elipse o circunferencia no tiene ningún punto en el infinito. Figura 193.


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Figura 193

Figura 194

Veamos la manera de saber que tipo de curva obtendremos. Consideremos un conoy un plano P. Tracemos un plano paralelo al P por el vértice del cono y veamos acuantas generatrices del cono no corta el plano, pueden ocurrir los siguientes casos,figura 194, 195 y 196.

a). Que corte a todas las generatrices del cono. Caso circunferencia o elipse.b). Que no corte a una generatriz del cono. Caso parábola.c). Que no corte a dos generatrices del cono. Caso hipérbola.


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Figura 195

En diédrico las proyecciones quedarían de la siguiente manera, consideramos que losplanos son de canto, figuras 194 y 196:

En el caso a) el plano P1'-P1 paralelo al P trazado por el vértice del cono, vemos quecorta a todas las generatrices del mismo, por tanto el plano P’-P también cortará atodas las generatrices del cono, luego la curva intersección no tendrá ningún puntoen el infinito dando lugar a una circunferencia o elipse.

En el caso b) el plano Q1'-Q1 paralelo al Q’-Q trazado por el vértice del cono, vemosque corta a todas las generatrices menos a una, la R, por tanto el plano Q’-Q, quees paralelo a la generatriz R, la cortará en el infinito, luego la curva interseccióntendrá un punto en el infinito dando lugar a una parábola.

En el caso c) el plano W1'-W1 paralelo al W’-W trazado por el vértice del cono,vemos que corta a todas las generatrices menos a dos, la S y la T, por tanto el planoW’-W, que es paralelo a las generatrices S y T, las cortará en el infinito, luego lacurva intersección tendrá dos puntos en el infinito dando lugar a la hipérbola. La


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Figura 196

hipérbola es una curva que tiene dos ramas, piénsese que el cono es ilimitado portanto, el plano W’-W cortará al cono dos veces, una por debajo del vértice y otrapor encima, dando lugar a las dos ramas.

En la página 145 definimos el cono de revolución. Vamos a aclarar este concepto.

Dada dos rectas R y E que se cortan, la superficie que engendra la recta R al giraralrededor de la recta E es un cono de revolución. Toda sección plana perpendiculara la recta E (eje del cono) es una circunferencia, por tanto, toda sección plana quecorte a todas las generatrices del cono, pero que no sea perpendicular al eje, es unaelipse.


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Figura 197

Sección plana del cono de revolución. Determinación de la cónica.

Caso elipse. Figuras 197 y 198.

Dado un cono de revolución y un plano P. Para calcular la cónica procederemos de lasiguiente manera:

En primer lugar, si el plano P es oblicuo a los de proyección, realizaremos un cambiode plano para ponerlo de canto y ver la sección como una recta. Figura 198.

En la figura 197, hemostrazado un plano paralelo al P’-P por el vértice del cono yobservamos que corta a todaslas generatrices por tanto lacónica será una elipse. Vemosque los puntos 1' y 2' son lospuntos mas alto y bajo de laelipse respectivamente y lastangentes en ellos seránrectas de punta. Vemos que eleje 12 y las tangentes en ellosson rectas perpendicularesentre si, por tanto, serán ejes.Situamos estos puntos en susrespectivas generatrices yobtenemos los puntos 1 y 2. Elsegmento 12 es el eje mayorde la elipse. En el punto mediode 1'2' tendremos losextremos del otro eje, el 3'4'.P a r a d e t e r m i n a r l a sproyecciones horizontales deestos puntos, hemos cortadoel cono por un plano Q’

paralelo al PH, obteniendo en el cono una circunferencia, sobre ella situamos lospuntos 3 y 4. El segmento 34 es el eje menor de la elipse. Conocido los dos ejes de


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la elipse podemos trazarla por cualquier método para dibujar una elipse conocidossus ejes, no obstante podemos ir tomando puntos comprendidos entre 1' y 2' ysituándolos en el cono. Para obtener la tangente en un punto de la elipse, tal comoel punto c, teniendo presente que la elipse y la directriz son figuras homológicas decentro el vértice v del cono y eje de homología la traza horizontal del plano P,encontraremos el homólogo del punto c que será el punto 5, por este trazamos latangente a la directriz la cual corta a la traza del plano P en 6, la unión de 6 y c nosda la tangente pedida.Caso en que el plano sea un plano oblicuo a los de proyección.Figura 198. Para empezar hemos realizado un cambio de plano para poner el plano P’-P de canto y poder ver el corte como una línea y hemos trazado un plano paralelo alP’‘ por el vértice del cono para saber que tipo de cónica obtendremos y vemos que,por cortar a todas las generatrices, es una elipse. En el cambio de plano vemos quelos puntos 3'’ y 4'’ son los mas alto y bajo de la elipse, dando lugar al eje mayor dela misma, y los puntos 1'’ y 2'’ son los extremos del eje menor. Situamos estospuntos sobre sus respectivas generatrices obteniéndose los puntos 3, 4, 1 y 2.Obsérvese que para situar los puntos 1 y 2 se ha cortado el cono por un planoparalelo al nuevo PH pasando por 1'’ y 2'’. Son puntos importantes de situar los 5'y 6’ que se corresponden con los puntos de contacto de la elipse con los contornosaparentes verticales. Pasamos estas generatrices al cambio de plano para verexactamente donde corta a la cónica y obtenemos los puntos 5'’ y 6'’, que situadosen proyección horizontal, nos dan los 5 y 6 que nos llevará a conocer la situación delos 5' y 6’. Para determinar la proyección vertical de la elipse hemos situado sobreel cono los puntos 1', 2' 3' y 4'. Los puntos 1' y 2' se han situado mediante una rectahorizontal del plano P y los 3' y 4' situando dicha recta en el plano, para ello hemosdeterminado la traza horizontal de la recta 34, punto 7, y sabiendo que estesegmento pasa por el centro de la cónica, hemos unido 7' con o’ obteniéndose larecta donde están situados los puntos 3' y 4', nótese que la cónica pertenece tantoal cono como al plano P. Por último para determinar las partes vistas y ocultas, vemosen el cambio de plano, que es visto desde el corte hacia arriba. En proyecciónhorizontal, la cónica, es entera vista por caer el vértice del cono dentro de ladirectriz y es oculta la directriz por quedar por debajo del corte. En proyecciónvertical, la elipse queda dividida en dos trozos comprendidos entre los puntos 5' y6', queda vista la zona donde queda el punto 1', ya que el punto 1 está situado en lazona del cono que es vista en proyección vertical, siendo oculta la zona donde estáel punto 2'. Obsérvese que en proyección horizontal obtenemos ejes de la elipse yen proyección vertical diámetros conjugados.


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Figura 198


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Figura 199

Caso parábola. Figuras 199 y 200.



En la figura 199, hemos trazado un plano paralelo al P’-P por el vértice del cono yobservamos que coincide conel contorno aparente vertical,por tanto el plano P’-P nocortará a la generatriz V7, (eleje será paralelo a estageneratriz), por tanto, lacónica tendrá un punto en elinfinito dando lugar a unaparábola. Vemos que el punto1' es el mas alto de la misma ysu tangente es una recta depunta, situamos este punto ensu generatriz y tenemos elvértice de la parábola. Porotro lado, la traza horizontaldel plano P corta a la directrizen los puntos 5 y 6, (el 6 no seha representado por laproximidad al punto 4), puntosque también serán de laparábola. Hemos situado lospuntos 2' y 3' cortando elcono por un plano paralelo alPH y obtenemos los puntos 2 y3. Para trazar la tangente enel punto 2, sabiendo que hay

una homología entre la parábola y la directriz, hemos trazado la tangente a ladirectriz y corta a la traza horizontal del plano P en el punto 4, este unido con el 2


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nos da la tangente buscada. Por simetría obtenemos la tangente en el punto3. Paraver la visibilidad del conjunto, vemos que es visto del corte hacia arriba lo cual setraduce, en proyección horizontal, que será visto del corte hacia la izda.

Caso en que el plano sea un plano oblicuo a los de proyección.

Figura 200. Para empezar hemos realizado un cambio de plano para poner el planoP’-P de canto y poder ver el corte como una línea y hemos trazado un plano paraleloal P’‘ por el vértice del cono para saber que tipo de cónica obtendremos y vemos que,por coincidir con el contorno aparente del cono, a esta generatriz no la cortará,dando lugar a una curva con un punto en el infinito, es decir, una parábola. Vemos queel punto 1'’ es el mas alto de la parábola y lo situamos en su generatriz obteniéndoseel punto 1. Por otro lado la traza horizontal P del plano se corta con la directriz enlos puntos 5 y 6, puntos de la cónica cuyas proyecciones verticales, 5' y 6', están enLT. Averiguamos en que punto, la cónica, toca al contorno aparente vertical, punto2', y llevamos está generatriz al cambio de plano para determinar con exactitud laposición del punto 2'’ el cual nos permite encontrar el 2 y este el 2'. Hemos situadoen la parábola los puntos 3'’ y 4'’, mediante un plano paralelo al nuevo PH, obteniendolos puntos 3 y 4, para determinar las proyecciones verticales, 3' y 4', de estospuntos hemos tomado la altura que tienen en el cambio de plano y la hemos llevadoa partir de LT hacia arriba y sobre esta línea tenemos los puntos 3' y 4'. El punto1' lo hemos determinado mediante la generatriz que pasa por él. Con los puntos 1,2, 3, 4, 5 y 6 tenemos suficientes para poder trazar la parábola, tanto en proyecciónvertical como horizontal. Las tangentes en el punto 1 es paralela a P y en el punto 1'paralela a LT, ya que, en el cambio de plano, se ve como una recta de punta. Porúltimo, la tangente en el punto 2' es la generatriz que pasa por él. Para estudiar lavisibilidad, será visto desde el corte hacia arriba lo cual se traduce, en proyecciónhorizontal, del corte hacia la izda y, en proyección vertical, desde el punto 6' al 2'(véase que estos puntos están situados en proyección horizontal en la zona que esvista en vertical).


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Figura 200


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Figura 201

Caso hipérbola. Figuras 201 y 202.



En la figura 201, hemostrazado un plano paralelo al P’-P por el vértice del cono yobservamos que quedacomprendido entre losc o n t o r n o s a p a r e n t e sverticales, no cortando a lasgeneratrices V7 y V8,(paralelas a las asíntotas), portanto la curva tendrá dospuntos en el infinito dandolugar a una hipérbola. El punto1' es el mas alto de la cónica ysu tangente es una recta depunta, este punto lo situamosen su generatriz y obtenemosel punto 1. La traza horizontalP del plano corta a la directrizen los puntos 4 y 5, puntos queson de la curva y cuyas

proyecciones verticales, 4' y 5', estarán sobre la LT. Hemos situado dos puntos mas,el 2' y 3', mediante un plano horizontal Q’. Para determinar las asíntotas de lahipérbola estas serán paralelas a las generatrices del cono V7 y V8, lo quenecesitamos es conocer un punto de ellas, podemos realizarlo de dos formas, latraza P’ del plano corta al cono en 1' (uno de los vértices de la hipérbola), siprolongamos P’ y el contorno aparente vertical izdo. hasta que se corten,encontraremos el otro vértice de la hipérbola, en su punto medio estará en centrode la misma, situándolo en proyección horizontal, trazaremos por él las paralelas alas asíntotas (generatrices v7 y v8). Otra forma es trazando el plano tangente al


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cono en los puntos 7 y 8, estas trazas cortarán a la traza P del plano en los puntosm y n, puntos de las asíntotas. Si queremos trazar alguna tangente en algún puntoa la hipérbola, recordemos que esta curva y la directriz son figuras homológicas decentro el vértice v y eje de homología la traza horizontal P del plano. Las partesvistas y ocultas quedan como siempre, será visto del corte hacia arriba, que setraduce en proyección horizontal, del corte hacia la izda.

Caso en que el plano sea un plano oblicuo a los de proyección.

Figura 202. Para empezar hemos realizado un cambio de plano para poner el planoP’-P de canto y poder ver el corte como una línea y hemos trazado un plano paraleloal P’‘ por el vértice v’‘ del cono para saber que tipo de cónica obtendremos y vemosque, el plano paralelo queda comprendido entre los contornos aparentes del cono,por tanto este plano no cortará a dos generatrices (V7 y V8 paralelas a lasasíntotas) y la curva tendrá dos puntos en el infinito, o lo que es lo mismo unahipérbola. Para determinarla hemos situado 5 puntos, el 1'’, 2'’, 3'’, 4'’, 5'’ y el 9'’.El 1'’ es el vértice de la hipérbola, y lo situamos sobre su generatriz, los puntos 2'’y 3'’ se han situado mediante un corte por un plano Q’‘ paralelo al nuevo horizontal,los puntos 4'’ y 5'’ son los cortes de la traza horizontal P del plano y la directriz delcono y el punto 9'’ es el punto de contacto de la hipérbola con el contorno aparentedcho. del cono, para llevar estos puntos a la proyección vertical, el 1' sobre sugeneratriz, los 2' y 3' a la misma altura que los 2'’ y 3'’, los 4'’ y 5'’ sobre la LT yel 9'sobre el contorno aparente del cono. Si queremos determinar algún punto masrecordemos que la hipérbola y la directriz son homólogas respecto del vértice v yel eje P. Para calcular las asíntotas, hemos dicho que son paralelas a las V7 y V8 portanto trazaremos paralelas a ellas por los puntos m y n, puntos de intersección dela traza horizontal del plano P y los planos tangentes al cono a lo largo de lasgeneratrices v7 y v8. Para el estudio de las partes vistas y ocultas quedará visto delcorte hacia arriba que se traduce, en proyección horizontal, del corte hacia la izday en proyección vertical, del corte hacia arriba pasando por el punto 2' (véase queel punto 2 queda en proyección horizontal situado en la zona que es vista enproyección vertical).


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Figura 202


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Figura 203

Sección plana del cono oblicuo. Determinación de la cónica.

Caso elipse. Figuras 203.

Observamos en la figura quelos puntos 1' y 2' son lospuntos mas alto y bajo de laelipse respectivamente y lastangentes en ellos son rectasde punta, vemos también quela recta 12 no es perpendiculara las tangentes en 1 y 2, portanto, la recta 12 será undiámetro de la elipse. En supunto medio (no calculado) seencuentra el otro diámetro dela elipse. Como puntosimportantes, hemos calculadolos puntos de contacto de laelipse con los contornosaparentes verticales, puntos3' y 4', los cuales situamos enproyección horizontal sobresus respectivas generatrices.Podemos situar algunos puntos

mas como puntos del cono o bien sabiendo que hay una homología entre la cónica yla directriz de centro el vértice v y eje de la homología la traza horizontal P delplano.


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2 360

2

* * º

* *

ππ α

G

R

− − −− − − α =

R

G* º360

Figura 204

Desarrollo del cono de revolución.

Para desarrollar el cono de revolución podemos realizarlo de dos maneras:

a). Considerar una pirámide inscrita en el cono, desarrollar la pirámide ysustituir las aristas básicas de la pirámide por un arco de circunferencia decentro el vértice del cono. Es un método inexacto. Contra mas lados se tomenen la pirámide mas exacto es.b). Calcular el ángulo .α

El caso a) no lo vamos a exponer por tratarse de un desarrollo de pirámide expuestoen las páginas 125 y siguientes, figuras 161, 162 y 163. Vamos a exponer el segundométodo.

Figura 204. El desarrollo de un cono no es mas que un sector circular. La longituddel arco del sector circular debe ser igual a la longitud de la circunferencia de ladirectriz. Aplicando una regla de tres podemos determinar el ángulo .α

Sea G la verdadera magnitud de las generatrices del cono y R el radio de ladirectriz, entonces:

de donde


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Figura 205

Figura 206

Desarrollo del cono oblicuo de directriz circunferencia.

Figura 205 y 206.Para desarrollar elc o n o o b l i c u oprocederemos ai n s c r i b i r u n apirámide en suinterior, contra maslados tenga mase x a c t o e s e ldesarrollo. Estap i r á m i d e l ainscribiremos demanera que tengau n a a r i s t acoincidente con una

de las generatrices del cono que resultan de la intersección de este con el plano quepasando por el vértice y la directriz del cono sea perpendicular al PH, (suponiendoque la directriz del cono está en el PH, si estuviera en el PV sería un plano de canto),este plano es plano de simetría tanto para elcono como para la pirámide y por tanto, solotendremos que desarrollar media pirámideluego, por simetría, tendremos la otra mitaddel desarrollo. Una vez obtenido el desarrollode la pirámide, procederemos a sustituir lasaristas básicas por arcos, para una mayorprecisión podemos calcular las tangentes encada vértice de la directriz de la pirámide.Para obtener el desarrollo calculamos lasverdaderas magnitudes de las aristas de lapirámide y situamos la arista v1', con radiosv2' y 12 determinamos el vértice 2, con radiov3' y 23 fijamos el vértice 3 y asísucesivamente y trazamos las tangentes enlos puntos 1 y 5 que son perpendiculares a lasaristas V1 y V5.


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Figura 207

Figura 208

c). Superficie cilíndrica. El cilindro.

Consideremos una curva en elespacio, a la que llamaremosdirectriz, y una dirección, todas lasrectas, a las que llamaremosgeneratrices, se apoyan en ladirectriz y se mantienen paralelas ala dirección, engendran unasuperficie a la que llamaremossuperficie cilíndrica. De ladefinición se desprende que lasuperficie cilíndrica es ilimitada yhueca. Figura 207.

Si la directriz es una cónica, lasuperficie la llamaremos cilindro.

Generalmente para trabajar con élse suele limitarlo por dos planos,

uno el que contiene a la cónica y otro, paralelo o no con el anterior.Llamamos eje del cilindro a la recta que pasa por el centro de la directriz y esparalela a las generatrices del cilindro.

Clasificación de los cilindros.

Los cilindros se clasifican en dosgrupos, regulares o rectos eirregulares u oblicuos. Un cilindroes recto cuando la directriz es unacónica y las generatrices sonperpendiculares al plano de lacónica, en cualquier otro caso esoblicuo. Figura 208.

Si la directriz es una circunferenciay el cilindro es recto se le dice que


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Figura 209

es de revolución.

Representación diédrica del cilindro.

Figura 209. Consideremos un cilindro definido por una directriz circunferenciaapoyada en el PH y dirección paralelas a la recta E. Vemos que el cilindrorepresentado es oblicuo al no ser las generatrices perpendiculares al plano de ladirectriz.

Los planos P’-P y Q’-Q son los planos tangentes al cilindro a lo largo de lasgeneratrices 1-5 y 2-6 respectivamente, las generatrices 1'-5' y 2'-6' se le llamancontornos aparentes verticales. En proyección vertical serán vistas las generatricesque se apoyan en la zona de la directriz entre los puntos 1-2 (sentido antihorario)y serán ocultas las generatrices que lo hacen entre los puntos 1-2 (sentido horario).En proyección horizontal las aristas 4-8 y 3-7 se le llaman contornos aparenteshorizontales y serán vistas las generatrices que se apoyen en los puntos de ladirectriz comprendidos entre los puntos 4-3 (sentido horario) y ocultos los que lo


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Figura 210

Figura 211

hacen entre los 4-3 (sentido antihorario).Los contornos aparentes verticales no tienen por qué coincidir con los contornosaparentes horizontales y viceversa.

Situar puntos en el cilindro.

Para situar puntos en el cilindro emplearemos la generatriz que pasa por él. Figura210.

Si nos dan a, situado en ladirectriz, encontraremos a’sobre la LT.Si nos dan b’, situado sobre1'3', b estará sobre lageneratriz 13, trazaremos unaperpendicular a LT por b’hasta encontrar a 13.Si nos dan c’, trazaremos unaparalela a las generatrices porc’, esta corta a LT en 7' y 8',puntos de la directriz, loscuales situaremos sobre la

circunferencia, obteniéndoselos puntos 7 y 8, trazando unaperpendicular a LT por c’cortará a las generatrices 7-9y 8-10 en los puntos c1 y c2,solución del problema.El punto c’-c1, c’ es oculto porapoyarse la generatriz c1-7 enel punto 7 (zona oculta en PV)y la pareja c’-c2, c’ será vistopor apoyarse la generatriz c2-8 en 8 (zona vista en PV),


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Figura 212

mientras que ambas proyecciones, c1 y c2, serán ocultas en proyección horizontalpor apoyarse en los puntos 7 y 8 (zona oculta en PH), aunque serán vistas,interiormente, si no hay tapaderas..

Otra forma de situar puntos en un cilindro es seccionándolo por un plano paralelo alplano de la directriz, al estar la directriz en PH, trazaremos un plano Q horizontal,este plano corta al cilindro según una curva idéntica a la directriz. Figura 211.

Nos dan a’. Trazaremos un plano Q’ que pase por a’. Este plano produce en el cilindrouna circunferencia de centro O (situado en el eje) y radio igual a la directriz,describimos la circunferencia y sobre ella situamos el punto, obteniéndose a1 y a2,solución del problema.

Planos tangentes al cilindro.

Figura 212. El plano tangente aun cilindro en un punto A delmismo, estará determinadopor las tangentes a dos curvasque pasen por él. Considerandola generatriz que pasa por A,el plano tangente en el puntodado será tangente a este a lolargo de toda la generatrizque pasa por A. Luego todoslos puntos de una generatriz

tiene el mismo plano tangente. Todos los planos tangentes a un cilindro contendránal punto impropio de este , ya que siempre contiene a una generatriz y estas pasantodas por el punto impropio. Si el punto fuese exterior al cilindro, el plano tangentecontendrá a la recta, que pasando por el punto A es paralela a las generatrices delmismo, intersección de los dos posibles planos tangentes al mismo.

Figura 213. Para determinar el plano tangente a un cilindro en un punto A,trazaremos la generatriz que pasa por A, el plano P buscado contendrá a estageneratriz y por tanto pasará por su traza horizontal H (si la directriz del cilindroestá en PH, en el caso de que la directriz esté en PV, pasará por la traza vertical).Conocida la traza horizontal h, trazaremos la tangente a la directriz en ese punto


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Figura 213

Figura 214

que será la traza horizontal del plano P buscado. Para determinar la traza verticaldel plano, basta con situar el punto A en el plano P’-P o bien pasar por la trazavertical de la generatriz que pasa por A.

Figura 214. Si nos dieran unpunto A exterior al cilindro,trazaríamos la recta R quepasando por A sea paralela alas generatrices del cilindro,determinaríamos la trazahorizontal H de R y por htrazaríamos las dos tangentesa la directriz que serán las dosposibles trazas de los planostangentes P1 y P2 a lo largo delas generatrices que pasanpor los puntos 3 y 4respectivamente (si ladirectriz del cilindro está enPH en el caso en que estuvieseen PV determinaríamos latraza vertical). Una vez

determinada las dos trazas delos planos situaríamos el puntoA en estos planos ycalcularíamos las trazasverticales P1' y P2' de losmismos o bien calculando latraza vertical V de la recta R,por este punto pasarán las dostrazas de los planos buscados.


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Figura 215

Intersección de recta y cilindro.

Una recta R y un cilindro pueden adoptar tres posiciones en el espacio que son,figura 215:

a). Que tenga dos puntos en común con el cilindro, punto de entrada y puntode salida.b). Que sea tangente al cilindro en un punto.c). Que sea exterior al cilindro, es decir, no lo toca.

Para resolver este problemapodemos emplear el mismométodo empleado en laintersección de recta y cono(ver página 151, figura 190),que consiste en trazar unplano P que contenga a la rectaR y sea paralelo a lasgeneratrices del cilindro. Esteplano cortará al cilindro segúndos rectas que pasan por elpunto impropio del mismo,donde estas rectas se cortencon la dada tendremos lospuntos de entrada y salida enel cilindro. Veamos laresolución, figura 216.

Determinamos la traza horizontal h1 de la recta R (si la directriz está en PH, siestuviera en PV calcularíamos la vertical), tomamos un punto auxiliar A de la rectaR y por él trazaremos una recta S, paralela a las generatrices del cilindro,obteniendo su traza horizontal h2. La unión de h1 y h2 nos determina la trazahorizontal P del plano que contiene a R y a S. Este plano corta al cilindro según dosgeneratrices, las que pasan por los puntos3 y 4, estas generatrices se cortan conr en los puntos 1 y 2, puntos de entrada y salida en el cilindro. Estudio de lavisibilidad, en proyección horizontal y yendo de izda. a dcha., la recta queda dividida


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Figura 216

en las siguientes zonas, desde la izda hasta b, desde b hasta 1, desde 1 hasta 2,desde 2 hasta c y desde c hacia la dcha. Son vistas las zonas desde la izda. hasta1 y desde c hacia la dcha. Obsérvese que el punto 1 es visto y el 2 oculto porapoyarse las generatrices que pasan por ellos en los puntos 3 y 4, estando el 3 enzona vista en PH y el 4 en zona oculta. Con respecto a la proyección vertical, la rectaqueda dividida desde la izda hasta d’, desde d’ hasta 1', desde 1' hasta 2', desde 2'hasta e’ y desde e’ hacia la dcha. Son vistas las zonas desde la izda. hasta 1' y desde2' hacia la dcha. Véase que los puntos 1' y 2' son ambos vistos en proyección verticalpor estar los puntos de apoyo de sus generatrices, puntos 3 y 4, en zona vista parala proyección vertical.

Hay casos en que no es necesario realizar este cálculo, como en los casos expuestosen la figura 217, cuando las rectas sean de punta o verticales. Observamos que larecta R intercepta al cilindro en los puntos 1 y 2, trazando las generatrices quepasan por ellos estas se apoyan en los puntos 7 y 8 de la directriz, trazando por 7'y 8' paralelas a las generatrices obtenemos los puntos 1' y 2', puntos de entrada ysalida en el cilindro. Análogamente para la recta S que lo hace por los puntos 3' y4'.


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Figura 217

Sección plana del cilindro.

Recordando lo expuesto en las secciones de los poliedros, pirámides, prismas y conos(ver páginas 103, 117, 132 y 153). Siempre que nos den un plano P oblicuo a los deproyección realizaremos un cambio de plano para poner dicho plano P de canto dondeveremos la intersección como una recta. Por otro lado, toda sección plana de uncilindro es una elipse o dos rectas, serán dos rectas si el plano es paralelo a lasaristas del cilindro, en caso contrario, siempre será una elipse.

Distinguiremos dos casos, el primero cuando obtenemos ejes en la elipse y elsegundo cuando obtenemos diámetros conjugados.

Antes de abordar estos casos, vamos a definir el concepto de sección recta delcilindro.

Llamamos sección recta de un cilindro a la producida por un plano P que seaperpendicular a las generatrices del cilindro.


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Figura 218

Sección plana del cilindro. Determinación de la elipse.

Caso ejes de la elipse. Figuras 218 y 219.

Dado un cilindro y un plano P perpendicular a las generatrices del cilindro. Paracalcular la elipse procederemos de la siguiente manera, si el plano es oblicuorealizaremos un cambio de plano para ponerlo de canto y ver la sección como unarecta:

Figura 218. Observando la figura vemos que los puntos 1' y 2' son los mas alto y bajode la elipse, los situamos en sus respectivas generatrices y las tangentes en ellosson rectas de punta, por tanto el segmento 12 es un eje de la elipse. En el puntomedio de este segmento tenemos el otro eje 3'4', lo situamos mediante lasgeneratrices que pasan por ellos. Podemos obtener algún punto mas como son los decontacto con las generatrices que son contorno aparente verticales. Ademáspodemos situar cualquier otro punto, bien, mediante sus generatrices o recordandoque la directriz y la elipse son afines respecto del eje P, traza horizontal del plano,y dirección de afinidad las generatrices del cilindro.


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Figura 219

Figura 219. Lo primero que hemos hecho ha sido un cambio de plano para poner elplano P de canto. Obsérvese que se han calculado los puntos de contacto de la elipsecon los contornos aparentes verticales, puntos 5' y 6', estos han sido calculados enel cambio de plano situando sus generatrices y obteniéndose los puntos 5'’ y 6'’.Obsérvese también que en proyección vertical los ejes de la elipse se proyectancomo diámetros conjugados, 1'2' y 3'4'.


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Figura 220

Sección plana del cilindro. Determinación de la elipse.

Caso diámetros conjugados de la elipse. Figuras 220.

Dado un cilindro y un plano P. Para calcular la elipse procederemos de la siguientemanera:

Vemos que los puntos 1' y 2' son los mas alto y bajo de la elipse respectivamente ysus tangentes son rectas de punta, vemos también que estas tangentes y elsegmento 12 no son perpendiculares por lo cual obtendremos diámetros conjugadosen la elipse. Situamos estos puntos sobre sus respectivas generatrices. En el puntomedio del segmento 1'2' tenemos el otro diámetro de la elipse. También hemossituado los puntos 5' y 6', puntos de contacto con los contornos aparentesverticales del cilindro.


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Figura 221

Desarrollo del cilindro.

Distinguiremos dos casos:

a). Cilindro recto.b). Cilindro oblicuo.

Caso a). Cilindro recto.

El desarrollo del cilindro recto es un rectángulo de base la longitud de lacircunferencia y altura la magnitud de las generatrices del cilindro. Figura 221.

Caso b). Cilindro oblicuo.

Figura 222 y 223. Para desarrollar el cilindro oblicuo emplearemos el mismo métodoque para desarrollar el prisma, (ver páginas 140 y siguientes), es decir, calcularemosla sección recta del cilindro y determinaremos su verdadera magnitud, despuéstomaremos varios puntos sobre ella y determinaremos las generatrices que pasanpor ellos calculando sus verdaderas magnitudes, seguidamente desarrollaremos lasección recta y trazaremos por cada uno de estos puntos rectas perpendiculares,sabemos que la sección recta y las generatrices son perpendiculares por habertomado el plano P perpendicular a las generatrices del cilindro. Por último llevaremosdesde estos puntos las distancias que hay desde ellos hasta la boca superior einferior uniendo los puntos obtenidos y trazando la curva que pasa por los mismos.


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Figura 222


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Figura 223

Observando la figura 222, hemos trazado un plano P’-P perpendicular a lasgeneratrices del cilindro para obtener una sección recta y hemos realizado uncambio de plano para colocarlo de canto y poder ver la sección como una recta. Unavez determinada la sección la hemos abatido para poder ver su verdadera magnitud.Solamente vamos a desarrollar la mitad del cilindro aprovechándonos de la simetríacon respecto a un plano vertical que pasa por los centros de las dos directrices,produciéndole al cilindro dos generatrices, las que pasan por los puntos 1 y 2. Figura223. Sobre una recta llevamos los segmentos de curva (1)(7), (7)(4), (4)(6), (6)(2),(2)(8), (8)(3), (3)(5) y (5)(1), a partir de los puntos 1, 7, 4, 6, 2, 8, 3, 5 y 1 trazamosperpendiculares a esta recta y a partir de los puntos anteriores colocaremos lasverdaderas magnitudes de las generatrices que pasan por ellos, estas magnitudeslas tomamos en el cambio de plano, ya que las generatrices son frontales y se puedenver verdaderas magnitudes en él. Así a partir del punto 1 llevaremos la magnituddesde 1'’ hasta la boca superior e inferior, obteniéndose los puntos a y a’respectivamente, a partir del punto 7 llevaremos la magnitud desde 7'’ hasta la bocasuperior e inferior, obteniéndose los puntos b y b’ y así sucesivamente hasta llegar

al punto 2 que será el último,obteniéndose los puntos e y e’,luego por simetría obtenemos elresto del desarrollo. Por últimounimos los puntos a, b, c, d, e, f, g,h e i y los a’, b’, c’, d’, e’, f’, g’, h’ e i’y tenemos el desarrollo del prismainscrito en el cilindro, trazamos lastangentes en estos puntos yo b t e n e m o s l a s c u r v a scorrespondientes a los desarrollosde las directrices.


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Figura 224

Figura 225

La esfera.

Se define la esfera como la superficie engendrada por una circunferencia que giraalrededor de uno de sus diámetros. De la definición se desprende que es hueca.Tiene simetría central y por tanto infinitos ejes de simetría, de aquí se desprendeque toda sección plana de una esfera es una circunferencia.

Considerando que gira alrededor de uneje vertical, llamaremos polos a laintersección del eje con la esfera,ecuador a la sección producida por unplano perpendicular al eje de giro yque pasa por el centro de la esfera,meridianos a las secciones producidapor planos verticales y que pasan porel centro de la esfera y paralelos alas secciones producida por planosperpendicular al eje de giro (paralelosal PH). Figura 224.

Representación diédrica de la esfera.

La esfera queda representada por doscircunferencias de radio el de la esfera.Estas circunferencias reciben el nombrede contornos aparentes vertical yhorizontal respectivamente.

Figura 225.Veamos las partes vistas yocultas de la esfera. En proyecciónvertical serán vistos todos los puntos


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Figura 226

que queden, en proyección horizontal, en la media esfera delantera y ocultos los quequeden en la media esfera trasera y serán vistos en proyección horizontal todos lospuntos que, en proyección vertical, queden en la media esfera superior y ocultos losque queden en la media esfera inferior.

Situar puntos en la esfera.

Figura 226. Para situar puntos en laesfera vamos a aprovecharnos de lapropiedad que tiene de que todasección plana es una circunferenciay cortaremos la esfera por un planoparalelo al PH y que pase por elpunto considerado, este planoproducirá una circunferencia sobrela esfera y sobre estacircunferencia situaremos el punto.

Consideremos que nos den a’.Observamos que si cortamos a laesfera por un plano frontal quepase por su centro, le produce unacircunferencia máxima que es elcontorno aparente vertical portanto, el punto a estará sobre eldiámetro que pasa por el centro decontorno aparente horizontal.

Consideremos que nos den el puntob’. Por estar situado sobre el

ecuador de la esfera, en proyección horizontal, obtendremos dos soluciones b1 y b2.

Consideremos que nos den c’. Cortaremos la esfera por un plano horizontal P’ quepase por b’, este plano le produce a la esfera una circunferencia de radio od,(obsérvese como se ha situado el punto D), trazada la circunferencia, donde secorte con la perpendicular a LT por c’, obtendremos las soluciones c1 y c2.El punto A, ambas proyecciones son visibles. Si consideramos el punto b’-b1, b1 es


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Figura 227

Figura 228

visto mientras que b’ es oculto y si consideramos el punto b’-b2, ambas proyeccionesson vistas. Iguales consideraciones para los puntos c’-c1 y c’-c2.

Planos tangentes a la esfera.

Plano tangente a la esfera en un punto de ella.

El plano tangente a una esfera enun punto de ella quedarádeterminado por tas tangentes endicho punto a dos circunferenciascualesquiera que pasen por él yevidentemente dicho plano seráperpendicular al radio en esepunto.

Figura 227. Consideremos unaesfera y u punto A de ella, paratrazar el plano tangente en elpunto A trazaremos el radio R quepasa por A y un plano cualquieraQ’-Q que sea perpendicular al

radio R, ya solo nos queda trazar unplano P’-P paralelo al Q’-Q por el punto Ay tendremos el problema resuelto.

Plano tangente a la esfera y quecontenga a una recta.

Figura 228. Para calcular los planostangentes a una esfera y que contenga auna recta R, trazaremos por el centro Ode la esfera un plano P perpendicular a larecta R, este plano P cortará a la rectaR en el punto A y le producirá a laesfera una circunferencia máxima,


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Figura 229

desde este punto A le trazaremos las tangentes T1 y T2 a esta circunferencia yobtendremos los puntos 1 y 2. Las recta R y T1 y R y T2 nos determinan los planosP1 y P2 buscados.

Figura 229. Veamos el proceso. En primer lugar trazaremos el plano P que pasandopor O sea perpendicular a la recta R. Para ello trazaremos una recta frontal delplano buscado P y que pase por O. Obtenida esta recta le determinamos su trazahorizontal y por ella trazaremos la traza P del plano perpendicular a r y donde P

corte a LT trazaremos una perpendicular a r’ obteniéndose P’. Una vez obtenido el


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plano P’-P determinamos el punto A intersección con la recta R. Ahora tenemos quetrazar las tangentes a la esfera desde el punto A para ello habría que determinarla sección que el plano P le produce a la esfera y dibujarla, esta sección sabemos quees una circunferencia máxima y sus proyecciones se verán como elipses, entoncesla determinación de las rectas tangentes a esta elipse nos permitirá conocer lospuntos de tangencia 1 y 2, pero al ser la elipse una curva que hay que trazarla a manoalzada, la determinación de los puntos 1 y 2 serán muy impreciso, para solventareste problema vamos a realizar el trazado de las tangentes por el punto A a la curvaintersección en un abatimiento ya que tanto la curva intersección como el punto Apertenecen al plano P. Procedemos a su abatimiento y determinamos (A) y (O), por(O) dibujaremos una circunferencia de radio el de la esfera y por (A) le trazaremoslas tangentes (T1) y (T2) obteniéndose los puntos de tangencias (1) y (2).Procedemos a desabatir los elementos obtenidos y encontramos los puntos 1 y 2 ylas rectas t1 y t2. Para determinar las rectas t1' y t2' hemos tenido en cuenta queambas rectas pertenecen al plano P y pasan por A, hemos determinado sus trazashorizontales, cuyas proyecciones verticales estarán en LT, y estos puntos los unimoscon a’ obteniéndose t1' y t2'. Una vez conocidas las rectas T1 y T2, las solucionesdel problema serán los planos P1 y P2, formados por R y T1 y R y T2respectivamente. Para su calculo hemos determinado las trazas horizontales de lasrectas R, T1 y T2 obteniéndose los puntos h, h1 y h2, la unión de h y h1 nos da P1 ylas de h y h2 nos da P2, P1 y P2 cortan a LT, por estos puntos pasarán P1' y P2'respectivamente además de pasar por la traza vertical v’ de R, por tanto unimosestos puntos de corte con LT con la traza v’ de r’ y quedan determinado las trazasverticales, P1' y P2', de los planos buscados.

Intersección de recta y esfera.

Una recta y una esfera pueden adoptar tres posiciones en el espacio, figura 230:

a). Que tenga dos puntos en común con la esfera, punto de entrada y puntode salida.b). Que sea tangente a la esfera en un punto.c). Que sea exterior a la esfera, es decir, no la toca.

Para resolver este problema vamos a emplear el método expuesto en lasintersecciones de pirámides y prismas con rectas (ver páginas 121 y 137) pero con


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Figura 230

Figura 231

una variante. El método consistíaen trazar un plano proyectante Pque contuviera a la recta R, esteplano le producirá a la esfera unacircunferencia, los puntos decontacto de esta circunferenciacon la recta R serán los puntossolución del problema. Ahora bien,la sección plana de una esfera, esuna circunferencia y su proyecciónuna elipse y esta es una curva quehay que trazarla a mano, paraevitar trazar la curva a mano y

obtener puntos imprecisos vamos a abatir el plano proyectante P-P’ y con élabatiremos la circunferencia intersección y la recta R. De esta manera obtendremoslos puntos de entrada y salida con total exactitud.

Figura 231. Veamos el proceso. Trazaremos el plano proyectante P’-P que contengaa la recta R. La sección queeste plano le produce a laesfera es una circunferenciade radio c’3', procedemos a suabatimiento y obtenemos lospuntos (C ) y (3). Abatimostamb ién l a recta Rayudándonos del punto 4'-4 yde su traza horizontal. Unavez obtenida la recta abatiday trazada la circunferencia,determinamos los puntos decontacto (1) y (2), los cualesllevaremos sobre la recta r,obteniéndose los puntos 1 y 2y a partir de estosobtendremos los 1' y 2'. Yasolo queda ver las partesvistas y ocultas. En proyección


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Figura 232

vertical y yendo de izda. a dcha., la recta queda dividida en desde la izda. hasta 3',desde 3' a 2', de 2' a 1', de 1' a x’ y de x’ hacia la dcha. Quedando visto los tramosdesde la izda. hasta 3' y desde 1' hacia la dcha., ya que en proyección horizontal, elpunto 1 queda en zona vista en PV y el 2 en zona oculta en PV. Y en proyecciónhorizontal, la recta queda dividida en desde la izda. hasta w, de w a 2, de 2 a 1, de1 a z y de z hacia la dcha. Quedan visto los tramos desde la izda. hasta w y desde1 hacia la dcha., ya que en proyección vertical el punto 1 está en zona vista en PH yel 2 está en zona oculta en PH.

Hay casos en que no es necesariorealizar este cálculo, como en loscasos expuestos en la figura 232,cuando las rectas sean de punta overticales. Observamos que la rectaR intercepta a la esfera en lospuntos 1 y 2, basta situar estospuntos sobre la esfera (cortando laesfera por un plano horizontal quepasa por 1' y 2'). La recta S vemosque corta a la esfera en los puntos3 y 4, basta con situar estos puntossobre la esfera (cortando la esferapor un plano frontal que pasa por 3y 4).


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Figura 233

Sección plana de la esfera.

Figura 233. Ya hemos dicho que toda sección plana de una esfera siempre es unacircunferencia. Para determinar la intersección procederemos a poner el plano comoun plano proyectante, ya sea de canto o vertical, esto nos permitirá ver la seccióncomo una recta y poder determinar los ejes de la elipse correspondiente.


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Una vez realizado el cambio de plano y ver el plano P de canto observamos que lasección producida es el segmento 1'’-2'’, los puntos 1'’ y 2'’ son los mas alto y bajode la circunferencia respectivamente y las tangentes en ellos son rectas de puntas,en proyección horizontal se ve que el segmento 12 y las tangentes en ellos sonperpendiculares, por lo cual, el segmento 12 es un eje de la elipse. En el punto mediode este segmento tenemos el otro 3'’-4'’, los cuales situamos mediante un planohorizontal, obteniéndose los puntos 3 y 4. En el cambio de plano vemos que elsegmento 1'’2'’ queda por debajo del ecuador de la esfera, por tanto, toda la curvaserás oculta en proyección horizontal. Una vez determinado los ejes de la elipseprocedemos a calcularlos en proyección vertical, (nótese que obtendremosdiámetros conjugados). Podemos calcular los extremos de los ejes, bien situando lospuntos en la esfera o bien situando los puntos en el plano P. Los puntos 3 y 4 loshemos situado mediante una horizontal del plano P, la cual nos permite encontrar lospuntos 3' y 4', mientras que los puntos 1 y 2 lo hemos situado determinando laproyección vertical de la recta 12, le hallamos su traza vertical v-v’ y sabiendo quepasa por C (punto medio de 3-4) determinamos la recta 1'2' y por consiguiente eldiámetro 1'2'. Observamos que la elipse en proyección horizontal, toca al ecuadorde la esfera en los puntos 5 y 6, puntos que en proyección vertical estarán situadossobre el contorno aparente vertical de la esfera y serán los puntos donde la elipsepasará de vista a oculta. Observando la proyección horizontal, vemos que será vistoen vertical, el trozo de elipse que va desde el punto 6 al 5 pasando por el 2 y 3 yquedando oculto el trozo que va del 6 al 5 pasando por el 1 y 4. Si queremosdeterminar los ejes de la elipse en proyección vertical, realizaremos otro cambio deplano para poner el plano P como plano vertical y poder ver la intersección como inarecta, lo cual nos permitirá encontrar los ejes de la elipse en proyección vertical.


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ÍNDICE

1.- CONCEPTO DE PROYECCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Proyección de un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Clasificación de las proyecciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Sistema Diédrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Sistema de Planos Acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Sistema Axonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Sistema Cónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. SISTEMA DIÉDRICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Posición de los planos de proyección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Proyección del punto. Alfabeto del punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Coordenadas de un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Proyecciones de la recta. Alfabeto de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Trazas de una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Determinación de los cuadrantes por donde pasa una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Partes vistas y ocultas de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Intersección de una recta con los planos bisectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Situar puntos en una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Posiciones particulares de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

a).- Recta paralela al PH. Recta horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14b).- Recta paralela al PV. Recta frontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15c).- Recta perpendicular al PH. Recta vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15d).- Recta perpendicular al PV. Recta de punta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16e).- Recta paralela al PV y PH. Paralela a LT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16f).- Recta contenida en un plano de perfil. Recta de perfil. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Proyecciones del plano. Alfabeto del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Condición de pertenencia entre rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Condición de pertenencia entre puntos y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Rectas horizontales y frontales de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Situar un punto definido por sus coordenadas en un plano dado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Posiciones particulares del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

a).- Plano paralelo al PH. Plano horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b).- Plano paralelo al PV. Plano frontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26c).- Plano perpendicular al PH. Plano vertical. Plano proyectante horizontal. . . . 26d).- Plano perpendicular al PV. Plano de canto. Plano proyectante vertical. . . . . 27e).- Plano paralelo a la LT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28f).- Plano que pasa por la LT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29g).- Plano perpendicular al PV y PH. Plano de perfil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Posiciones relativas entre puntos, rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Relaciones de pertenencias: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

a).- Pertenencia entre puntos y rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


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b).- Pertenencia entre rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30c).- Pertenencia entre puntos y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30d).- Posiciones entre rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30e).- Posiciones entre planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2).- Planos no paralelos. Intersección de planos. . . . . . . . . . . . . . 30f).- Posiciones entre rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1). Recta y plano paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322). Recta y plano no paralelos. Intersección entre recta y plano.32

Visibilidad entre recta y el plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Movimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Cambios de planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Para cambiar una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Para cambiar un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Giros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Para girar una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Para girar un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Giro especial. Abatimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

a).- Método del triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42b).- Método del cambio de plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43c.- Método de abatir la traza que no es el eje de giro . . . . . . . . 44

Consideraciones sobre este método . . . . . . . . . . . . . . . . 45Nueva definición de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

¿Qué método se debe aplicar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Paralelismo y perpendicularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Paralelismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50a).- Paralelismo entre rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50b).- Paralelismo entre recta y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50c).-Paralelismo entre planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Perpendicularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51a).- Perpendicularidad entre rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52b).- Perpendicularidad entre planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56c).- Perpendicularidad entre recta y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57d).- Recta de máxima pendiente y recta de máxima inclinación de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Nueva definición de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Cálculo de distancias y ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Distancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60a).- Distancia entre dos puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60b).- Distancia entre punto y recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61c).- Distancia entre punto y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61d).- Distancia entre rectas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62e).- Distancia entre planos paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62f).- Distancia entre recta y plano paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63g).- Distancia entre dos rectas que se cruzan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


Página nº 194

Ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65a).- Ángulo entre dos rectas que se cortan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65b).- Ángulo entre dos rectas que se cruzan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66c).- Ángulo entre recta y plano que se cortan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66d).- Ángulo entre dos planos que se cortan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67e).- Ángulos entre una recta y los planos de proyección. . . . . . . . . . . . . . 68f).- Ángulos entre un plano y los planos de proyección. . . . . . . . . . . . . . . 68

Ejercicios de aplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Ejercicio nº 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Ejercicio nº 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Ejercicio nº 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Clasificación de las superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Cuádricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Estudio y representación de los poliedros regulares convexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Características geométricas de los poliedros regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Poliedros conjugados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Sección principal de un poliedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Consideraciones sobre la representación de figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Tetraedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Octaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Icosaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Cubo O Exaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Dodecaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Determinación de secciones planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Sección plana de un cubo por un plano de canto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Sección plana de un octaedro por un plano paralelo a LT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Sección plana de un icosaedro por un plano vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Sección plana de un cubo por un plano oblicuo a los de proyección. . . . . . . . . . . 107

Intersección de una recta con un poliedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Superficies regladas desarrollables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

a).- Superficie piramidal. La pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Clasificación de las pirámides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Representación diédrica de la pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Situar puntos en la pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Sección plana de una pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Sección plana de una pirámide mediante cambio de plano. . . . . 117Sección plana de una pirámide mediante homología. . . . . . . . . . 119

Otra forma de situar puntos en una pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Intersección de recta y pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Desarrollo de la pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

1). Abatiendo cada cara alrededor de su arista básica. . . . . . . 1252). Colocando las cara una a continuación de otra. . . . . . . . . . . 126

b). Superficie prismática. El prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129


Página nº 195

Clasificación de los prismas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Representación diédrica del prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Situar puntos en el prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Sección plana de un prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Sección plana de un prisma mediante cambio de plano. . . . . . . . 133Sección plana de un prisma mediante afinidad. . . . . . . . . . . . . . 134

Otra forma de situar puntos en un prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Intersección de una recta con un prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Desarrollo del prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

c). Superficie cónica. El cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Clasificación de los conos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Representación diédrica del cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Situar puntos en el cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Planos tangentes a un cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Intersección de recta y cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Sección plana del cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Sección plana del cono de revolución. Determinación de la cónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Caso elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Caso parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Caso hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Sección plana del cono oblicuo. Determinación de la cónica. . . 166Caso elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Desarrollo del cono de revolución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Desarrollo del cono oblicuo de directriz circunferencia. . . . . . . . . . . . 168

c). Superficie cilíndrica. El cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Clasificación de los cilindros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Representación diédrica del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Situar puntos en el cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Planos tangentes al cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Intersección de recta y cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Sección plana del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Sección plana del cilindro. Determinación de la elipse. . . . . . . . 177Caso ejes de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Sección plana del cilindro. Determinación de la elipse. . . . . . . . 179Caso diámetros conjugados de la elipse.. . . . . . . . . . . . . 179

Desarrollo del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Caso a). Cilindro recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Caso b). Cilindro oblicuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

La esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Representación diédrica de la esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Situar puntos en la esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Planos tangentes a la esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Intersección de recta y esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187


Página nº 196

Sección plana de la esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

geometrÍa descriptiva * * * la ... - problemas de...

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