MlNr eleverna har studerat det hr kapitlet ska de:

frst vad volym r fr ngot

kunna ge namn p och knna igen olika rymdgeometriska kropparssom rtblock, kub, cylinder, prisma, klot, kon och pyramid

kunna anvnda olika enheter fr volym

kunna rkna ut volymen fr rtblock, cylinder, prisma, kon och pyramid

IngressenResonera grna kring vad som menas med olika dimensioner.

Mnga elever r bekanta med 3D-bilder, bilder som r konstruerade s attman kan se ett djup i bilden. Dock kan inte alla se sdana bilder. Vissagonfel kan gra att det inte r mjligt.

Fr att kunna se djupet i bilden p sidan 40 kan man gra s hr:

Hll bilden alldeles intill nsan. Lt gonen slappna av och stirra tomt ut iluften som om du tittade p ngot p lngt avstnd. Flytta bilden lngsamtbort frn ansiktet, titta hela tiden som om bilden var p lngt avstnd. Nrbilden r p lagom avstnd dyker djupet i bilden upp. Bilden visar enkub och en pyramid.

De platonska kropparna r regelbundna polyedrar, kroppar dr alla sidorbestr av samma regelbundna mnghrningar. De regelbundna polyedrar-na symboliserade fr pythagoreerna de fyra elementen, eld, luft, jord ochvatten. Dodekaedern var symbol fr universum. De platonska kropparnahar ftt sitt namn efter Platon. Platon (430349 f.Kr) var en grekisk filosofoch lrjunge till Aristoteles. Han ansg att de styrande skulle gna sig tmatematikstudier. Genom att lra sig att tnka logiskt skulle de bli bttreledare. Platon grundade en akademi som blev ett grekiskt matematikcen-trum (387 f.Kr.529 e.Kr.). Ovanfr Platons Akademia stod skrivet:

M ingen som r okunnig i geometrihr intrda (Olsson, Nedslag i matematikens vrld).

Fotbollen r allts inte en platonsk kropp eftersom den bestr av bde sex-hrningar och femhrningar.

Att man bara kan konstruera fem platonska kroppar hnger samman medvinkelsumman som bildas d sidorna mts i kroppens hrn.

Kropp Sidor som mts i ett hrn VinkelsummaTetraeder Tre liksidiga trianglar 3 60 = 180

Hexaeder Tre kvadrater 3 90 = 270

Oktaeder Fyra liksidiga trianglar 4 60 = 240

Geometr i24

2GeometriK2

Dodekaeder Dodeka = 12

IkosaederIkosa = 20

OBS! I bokensfrsta upplaga,1:a och 2:atryckningenhar dessa text-rader kastatsom.

Geometr i 25

K2

Dodekaeder Tre femhrningar 3 108 = 324

Ikosaeder Fem liksidiga trianglar 5 60 = 300

Om sex liksidiga trianglar mts blir vinkelsumman 360 och d bildas inget hrnutan en plan yta. Samma sak intrffar nr fyra kvadrater mts i ett hrn. Omfyra femhrningar mts blir vinkelsumman 432 vilket t.o.m. r mer n 360 ochd bildas inget vanligt hrn. Det blir hrn vnt t fel hll (konkavt).

Gr det att gra en platonsk kropp bestende av mnghrningar med fler n 5 hrn? I en sexhrning r vinkelsumman 720 och varje hrn r 120. Om tresexhrningar mts blir vinkelsumman 360 och d bildas inget hrn.

P Arbetsblad 2:1 finns ett klippark till de platonska kropparna. Frstora grnabilderna och lt eleverna frglgga, klippa ut och klistra ihop de olika platonskakropparna. Lt eleverna hnga upp figurerna i klassrummet.

GrunddelSidorna 4243. Fr de allra flesta elever r det frsta gngen som de mterbegreppen rymdgeometri och kroppar (i ett matematiskt sammanhang).Avdramatisera dem genom att diskutera vad som menas med begreppen.

Gr grna frsta uppgiften tillsammans. Lt eleverna komma med frslag pandra frpackningar som passar in p de olika kropparna.

Uppgift 4 kan vara svr fr mnga elever. Om man vill arbeta grundligt meduppgiften kan eleverna rita figurerna, klippa ut dem och rent praktiskt testavilka som gr att vika till en kub. P Arbetsblad 2:1 finns figurerna om elevernahar svrt att rita dem korrekt. Dr finns ocks ngra extra vningar.

I bokens frsta tryckning r bild E felritad. Ska se ut s hr

Sidan 44. Vi brjar med de volymenheter som utgr frn liter, enheter som ele-verna redan br kunna. Volymenheterna som utgr frn kubikmeter r skertnya fr de flesta av eleverna. Bygg grna upp en kubikmeter, finns att kpa sombyggsats med rr som kanter, och visa en kubikdecimeter bde som en modell iform av en kub och som en liter mjlk. Allts koppla det matematiska till det var-dagliga. Visa ocks p en kubikcentimeter, t ex i form av centikuber. Centikuberr mycket anvndbara och br finnas p alla skolor. Byte av enheter spar vi tills 4849 d eleverna arbetat mer med volymbegreppet.

Sidan 45. G igenom hur man ritar ett rtblock s att gat uppfattar det p ettriktigt stt. Lr dem utnyttja rknehftets rutsystem. Det r viktigt att elevernafr knna att de kan rita fina figurer!

Sidorna 4647 visar p hur man rknar ut prismats volym, med brjan med spe-cialfallet rtblock.

Sidorna 4849. Byte av volymenheter brukar vara svrt. Lr eleverna att de sjlvakan ta reda p hur man omvandlar mellan dm3 och cm3 genom att rita en kubik-decimeter, skriva mtten p sidorna bde i decimeter och centimeter och rknaut volymen i dm3 och cm3. Naturligtvis mste de lra sig att 1 liter = 1 dm3 ochgrna att 1 ml = 1cm3 ven om det gr att hrleda ur det frsta sambandet.Uppgift 32 och 33 r markerade med stjrna, men kan grna lyftas fram somuppgifter som hela klassen gr tillsammans eller som gruppuppgift.

Sidorna 5051. Cylinderns volym. Pongtera likheten mellan hur man rknar utprismats volym. Skillnaden r att cylinderns bottenyta r en cirkel.

Sidorna 5253. Blandade vningar p volym, en del r riktigt svra s alla eleverbr inte ha kravet p sig att gra alla uppgifter.

Sidan 54. Lt eleverna underska att det verkligen r tre gnger s stor volym ien cylinder jmfrt med en kon med lika stor bottenarea och hjd. Anvnd plast-

Geometr i26

K2

modeller av de rymdgeometriska kropparna. Fyll en kon med t.ex. vatten, ris ellerpopcorn och frga eleverna hur mnga koner som behvs fr att fylla cylindern.Visa sedan att det behvs exakt tre stycken koner, vilket brukar frvna mngaelever. Gr likadant med pyramiden och kuben. Uppgift 57 r stjrnmarkeradoch r en riktig utmaning, nmligen att troliggra att volymen av den lilla konenendast r en ttondel av den stora. Bottenarean glas A = r2, bottenarean glas B = (r/2)2= r2/4. Volym glas A = x r2, volym glas B = x/2 r2/4= x r2/8.

Arbeta tillsammansSidan 55. Tv uppgifter som bda handlar om A4-papper och volym. A-uppgiftenbrukar ge eleverna en aha-upplevelse. De allra flesta brukar tycka att det r sjlv-klart att volymerna r lika stora innan de brjar rkna. vningen ger ocks brarepetition p cirkelns omkrets och area.

En fortsttning p B-uppgiften kan vara att lta eleverna gra ett diagram dr volymen r en funktion av ldans hjd. Frsta gngen eleverna fr se ett max-min-problem!

Facit till diagnosen

1 A klot B rtblock C pyramid Arbetsblad 2:4

D prisma E kon F cylinder

2 a) b)

3 a) 24 cm3 s 60b) 125 dm3 s 60

c) 1 125 m3 (1 177,5 m3) s 62

d) 63 dm3 Arbetsblad 2:4

4 a) 25 dm3 b) 2 000 dm3 c) 0,5 dm3 s 59

5 a) 2 000 cm3 b) 5 cm3 c) 3 000 cm3 s 59

6 3,6 liter s 59

7 a) 576 cm3 (603 cm3) b) 600 m3 s 63

8 16 hinkar s 59, 60

Facit till kluringar

KlockaritmetikLasse pstr 1 + 12 = 1 om man rknar med klockaritmetik. Titta p klockan

GropenEn grop innehller ingen jord alls.

Geometr i 27

K2

Engelska kluringenSusan ska hlla exakt 6 liter vatten i sin guldfiskskl. Hon har tre hinkar fylldamed vatten. En innehller 7 liter, en 5 liter och en 4 liter. Hur kan hon genomatt anvnda vattnet frn dessa hinkar hlla exakt 6 liter i guldfisksklen? Honhar inga andra hinkar. Hon fr inte fylla p hinkarna frn en kran. Hon fr intehlla bort ngot vatten.

Lsning:

Hon hller vattnet frn 4-litershinken i sklen. Vattnet frn 7-litershinken hllerhon i 4-litershinken. D finns det 3 liter kvar i 7-litershinken. Hon hller vattnetfrn 5-litershinken i 7-litershinken. D blir det 1 liter kvar i 5-litershinken. Dethller hon i sklen. Nu finns det 5 liter i sklen. Hon hller vatten frn 7-liters-hinken i 5-litershinken och drefter vattnet frn 5-litershinken i 4-litershinken.D blir det 1 liter kvar i 5-litershinken. Det vattnet tmmer hon i sklen som nuhar 6 liter!

Bl kursEnkla vningar p enhetsomvandlingar, berkningar p volymer hos rtblock,cylindrar, pyramider och koner. Lt grna eleverna bygga olika rtblock med cen-tikuber. Uppgiften kan t.ex. vara att gra tre olika rtblock som alla har volymen12 cm3. Lt ocks elever, som har svrt med enhetsomvandlingarna, brja fylla enkubikdecimeter med centikuber fr att verkligen knna att det r mnga centiku-biker som fr plats. Fr en versikt av de rymdgeometriska kropparna hnvisar vitill Grundkursen sidan 42, sammanfattningen sidan 72 eller Arbetsblad 2:4.

Rd kursSidan 65. Eleverna ska p egen hand komma fram till vilket samband det finnsmellan lngdskala, areaskala och volymskala. Lrarstd kan behvas.

Sidorna 6667. Att rkna ut begrnsningsarean r repetition frn rd kurs r 8.Nr kropparna blir sammansatta behver eleverna ha ordning p sina utrkning-ar fr att lyckas n fram till korrekt svar.

Sidorna 6869. Klotets volym och area r nyheter fr eleverna.

Sidorna 7071. Pythagoras sats anvnds fr att rkna ut rymddiagonaler i rtblockoch hjder i koner och pyramider. Uppgift 34 r en verklig utmaning. Det blirenklare om eleverna sjlva fr tillverka de olika utvecklingarna AD av rummet.

Utmaning

Kant- Antal mlade Antallngd sidoytor sm-

cm 0 1 2 3 kuber

2 0 0 0 8 8

3 1 6 12 8 27

4 8 24 24 8 64

5 27 54 36 8 125

6 64 96 48 8 216

7 125 150 60 8 343

10 512 384 96 8 1 000

20 5 832 1 944 216 8 8 000

x (x 2)3 6 (x 2)3 12 (x 2) 8 x3

Geometr i28

ArbetsbladFrteckning ver arbetsblad och koppling till motsvarande sidor i boken.

Namn Sid Niv

2:1 Platonska kroppar 41 blgrnrd

2:2 Vika kuber 43 blgrn

2:3 Repetition av area blgrn

2:4 Kropparnas namn och volym 4647, 50, 54 bl

2:5 Kr